模糊数学聚类分析
第4章模糊聚类分析
1] R是普通对称关系. 定理2 R对称 [0，，
证明： 设R对称，且( x, y) R , 则R( x, y)
故R( y, x) R( x, y)
R是普通对称关系.
( y, x) R
任取x, y X , 反之，若 ［0， 1］，R 对称，
R( x, x) 1，
则称R为模糊自反关系.
X有限时，R (rij )nn , rii R( xi , xi ) 1
实际应用中，可根据主对角线元素是否为1来 判定R是否满足自反关系。
自反 [0，， 1] R是普通自反关系. 定理1 R
证明：R 自反 x X , R( x, x) 1 ( [0， 1])
令 R( x, y) 则( x, y) R , 从而( y, x) R ,
于是R( y, x) R( x, y),
类似得R( x, y) R( y, x)
故R( x, y) R( y, x).
3. 模糊传递关系(fuzzy transitive relations) 定义3
rij 1 c dij ,
c 的选取只需保证0 rij 1即可，例如可选 c= 1 dmax .
（2）绝对值指数法
rij e
| xik x jk |
k 1
m
（3）绝对值倒数法
i j; 1, M rij m , i j. | x x | ik jk k 1
其中M 选取适当的正数，使得0 rij 1.
（4）绝对值减数法
rij 1 c | xik x jk |
k 1
m
其中c适当选取，使得rij 在[0， 1]内分散开.
模糊聚类分析
模糊聚类分析模糊聚类分析，也被称为模糊聚类或者软聚类，是一种数据分析的方法。
与传统的硬聚类不同，模糊聚类可以将每个观测对象划分到不同的聚类中心，从而更好地反映对象与聚类中心之间的相似性。
模糊聚类的思想源于模糊集理论，该理论引入了概率的概念，使得划定边界变得模糊化。
在传统的硬聚类方法中，每个对象只能属于一个聚类，而在模糊聚类中，每个对象的隶属度被划分为一个实数，表示对象属于每个聚类的程度。
模糊聚类的基本原理是通过最小化目标函数来优化聚类结果。
常见的目标函数包括模糊熵和模糊轮廓系数。
模糊熵用于衡量聚类的混乱程度，值越小表示聚类更好。
模糊轮廓系数则用于评价每个对象的聚类紧密度和分离度，系数范围为[-1, 1]，越接近1表示聚类结果越好。
模糊聚类的算法有多种，其中最常用的是模糊C均值（FCM）算法。
FCM算法首先随机初始化聚类中心，然后迭代更新对象的隶属度和聚类中心，直到满足终止条件。
在更新过程中，对象的隶属度和聚类中心根据距离度量进行调整。
模糊聚类在各个应用领域都有广泛的应用。
例如，在市场细分中，模糊聚类可以根据消费者的购买偏好将其划分为不同的细分市场，有助于制定更准确的营销策略。
在医学影像分析中，模糊聚类可以帮助医生根据患者的病情将其归类为不同的疾病类型，有助于做出更准确的诊断。
当然，模糊聚类也存在一些问题和挑战。
首先，模糊聚类的计算复杂度高，特别是在处理大规模数据时。
其次，模糊聚类对初始参数的敏感性较高，不同的初始化可能导致不同的聚类结果。
此外，模糊聚类的结果通常难以解释和理解，需要结合领域知识进行进一步分析。
为了克服这些问题，研究者们一直在不断改进模糊聚类算法。
例如，一些研究探索了基于深度学习的模糊聚类方法，利用神经网络来提高聚类的准确性和效率。
此外，还有一些研究致力于开发新的目标函数和距离度量方法，以更好地满足实际问题的需求。
综上所述，模糊聚类是一种基于模糊集理论的数据分析方法，可以更好地刻画对象之间的相似性。
模糊聚类分析
模糊聚类分析是一种数学方法，它使用模糊数学语言根据某些要求对事物进行描述和分类。
模糊聚类分析通常是指根据研究对象的属性构造模糊矩阵，并在此基础上根据一定隶属度确定聚类关系，即样本之间的模糊关系由样本的数量来确定。
模糊数学方法，以客观，准确地聚类。
聚类是将数据集划分为多个类或群集，以便每个类之间的数据差异应尽可能大，并且该类内的数据差异应尽可能小基本覆盖当涉及事物之间的模糊边界时，模糊聚类分析是一种根据某些要求对事物进行分类的数学方法。
聚类分析是数学统计中的一种多元分析方法是利用数学方法定量确定样品之间的关系，从而客观地分类类型。
事物之间的某些界限是精确的，而其他界限则是模糊的。
人群中人脸的相似度之间的界限是模糊的，多云和晴天之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及事物之间的模糊界限时，应使用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析广泛应用于气象预报，地质，农业，林业等领域。
通常，聚类的事物称为样本，一组事物称为样本集。
模糊聚类分析有两种基本方法：系统聚类和逐步聚类。
基本方法基本流程（1）通过计算样本或变量之间的相似系数，建立模糊相似矩阵；（2）通过对模糊矩阵进行一系列综合变换，生成模糊等效矩阵。
（3）最后，根据不同的截获水平λ对模糊等效矩阵进行分类系统聚类方法系统聚类方法是一种基于模糊等价关系的模糊聚类分析方法。
在经典聚类分析方法中，经典等价关系可用于对样本集X进行聚类。
令R为X上的经典等价关系。
对于X中的两个元素x和Y，如果XRY或（x，y）∈R ，然后x和y，否则X和y不属于同一类。
[3]使用这种方法，分类的结果与α的值有关。
α的值越大，划分的类别越多。
当α小于某个值时，X中的所有样本将被归为一类。
该方法的优点是可以根据实际需要选择α值，以获得正确的分类。
系统聚类的步骤如下：①用数字描述样品的特性。
设要聚类的样本为x = {x1，xn}。
每个样本具有p个特征，记录为Xi =（Xi1，xip）；i = 1，2，…，N；XIP是描述样本Xi的第p个特征的编号。
模糊数学——第10次课 基于模糊等价关系的聚类分析
故此时{x1, x3, x4, x5}为一类，{x2}为一类。
2014年6月26日
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选取 = 0.6，则此时R*的截矩阵变为
1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1
1 0.3 R* 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.2 0.4 0.4 0.2 1 0.5 0.3 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.3 0.6 1
1 0.4 R 0.8 0.5 0.5 0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
当 当 当 当 当
1时，分类为{ x1 },{ x2 },{ x3 },{ x4 },{ x5 }; 0.8时，分类为{ x1 , x3 },{ x2 },{ x4 },{ x5 }; 0.6时，分类为{ x1 , x3 },{ x2 },{ x4 , x5 }; 0.5时，分类为{ x1 , x3 , x4 , x5 },{ x2 }; 0.4时，分类为{ x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }.
2014年6月26日
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模糊聚类分析
例2：设有模糊相似矩阵
0.1 0.2 1 R 0.1 1 0.3 0.2 0.3 1 0.2 0.2 1 R R 0.2 1 0.3 R 2 0.2 0.3 1 0.2 0.2 1 2 2 R R 0.2 1 0.3 R 2 t ( R ). 0.2 0.3 1
模糊聚类的分析
模糊聚类的分析
模糊聚类是一种聚类分析的算法，它采用模糊的方法将数据点归类到不同的类别中，以减少聚类的误差。
模糊聚类是机器学习领域的一种流行的算法，它利用每个数据点的模糊属性来衡量其分布在不同类别中的相似度，使得它能够更加准确的进行聚类分析。
模糊聚类的基本原理是把数据点归类到不同的类别中，每个类别都有一系列模糊属性，每个数据点在不同类别中的分布由它们在每个属性上的值来决定。
模糊聚类的最终目标是找到类别与数据点之间的最佳拟合，从而得到最佳聚类结果。
模糊聚类的实现是通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似
度来完成的，模糊相似度是基于数据点和每个类别的模糊属性，通过计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，可以找到一个最佳的类别，把每个数据点归入该类别，这样就可以得到最优聚类结果。
模糊聚类方法可以用来解决多维数据集聚类分析的问题，它能够更准确的表示多维数据的特征，这使得它能够更准确的对数据进行聚类分析。
此外，模糊聚类方法还能够处理非均匀分布的数据，它能够有效的处理因类别数量和混乱的环境而难以聚类的数据。
模糊聚类的缺点主要在于它的计算速度较慢，因为它需要计算每个数据点与每个类别的模糊相似度，而这需要大量的计算，模糊聚类也无法用于对超大型数据集进行聚类分析，因为它的计算效率较低。
因此，模糊聚类是一种聚类分析算法，它利用模糊性来更准确的表示数据的特征，能够有效的处理多维和复杂的数据。
但是它的计算
效率较低，也不能用于对超大型数据集进行聚类分析，因此，在使用模糊聚类进行聚类分析时，需要考虑其效率和应用限制。
第7章 模糊聚类分析
方法1. 令 rij
rij 1
2 rij m rij , 方法2. 令 rij ( i j ), 其中 m min i j M m
M max rij , 于是 rij [0,1] i j
（2）夹角余弦法
, 则 rij [0,1]
rij
x
例7.1 环境单元分类 设 U {u1 , u2 ,..., un } 为五个环境单元的集合，每个 环境单元有空气、水分、土壤、作物四个要素，环境
单元的污染状况由污染物在四个要素中含量的超限度
u1 (5,5,3,2), u2 (2,3,4,5), 来描述，若其污染数据为： u3 (5,5,2,3), u4 (1,5,3,1), u5 (2,4,5,1), 试对U进
1 0.4 R 8 0.8 0.5 0.5
0.4 0.8 0.5 0.5 1 0.4 0.4 0.4 0.4 1 0.5 0.5 R 4 0.4 0.5 1 0.6 0.4 0.5 0.6 1
所以传递闭包 R R4 , 然后依次取的截矩阵 R , 并按 R 将U分成等价类. 若=1, 便将U分为5类, 即 {u1 },{u2 },{u3 },{u4 },{u5 }; 若=0.8, 便将U分为4类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 },{u5 }; 若=0.6, 便将U分为3类, 即 {u1 , u3 },{u2 },{u4 , u5 };
J ( A,V ) aij u j vi
（2）用逐次平方法计算R的传递闭包 t ( R) R, 因为
1 0.3 R 2 0.8 0.5 0.5 1 0.4 4 R 0.8 0.5 0.5
模糊聚类分析法
模糊聚类分析方法
分类伴随着模糊性，将模糊数学中的有关概念与方法引进聚类分析，通过建立模糊相似关系，进而对客观事物进行分类。
（1）原始数据标准化
要构造模糊关系矩阵，必须对样本进行数据进行预处理，使样本数据压缩到[0，1]闭区间内，首先求出n个样本的第j个指标的平均值和标准差。
原始数据标准化值为
运用极值标准化公式，将标准化数据压缩到[0，1]闭区间内
其中与分别表示中最小值和最大值。
（2）相似系数法——标定
为了建立模糊相似矩阵，引入相似系数
这里表示两个样本与之间相似程度的变量，当接近于1，表明这两个样本越接近。
的确定方法：
相关系数法：
归一化互信息
表示样本的表达数据在个不同表达水平的发生率（概率）
距离法：欧氏距离
C选取适当的正数，使在[0，1]区间内
（3）模糊相似矩阵——聚类
通过上述标定，得到模糊相似矩阵，反映了样本间的相似关系，但它只具有自反性和对
称性，不具有传递性，此时，可以通过平方法得到的传递闭包，而就是论域上
的一个模糊等价矩阵，选择不同的值，得到不同的水平截集，得到动态聚类结果，生成动态聚类树。
模糊聚类分析
模糊聚类分析是一种采用模糊数学语言对事物按一定的要求进行描述和分类的数学方法。
[1] 模糊聚类分析一般是指根据研究对象本身的属性来构造模糊矩阵，并在此基础上根据一定的隶属度来确定聚类关系，即用模糊数学的方法把样本之间的模糊关系定量的确定，从而客观且准确地进行聚类。
聚类就是将数据集分成多个类或簇，使得各个类之间的数据差别应尽可能大，类内之间的数据差别应尽可能小，即为“最小化类间相似性，最大化类内相似性”原则主要内容模糊聚类分析是涉及事物之间的模糊界限时按一定要求对事物进行分类的数学方法。
聚类分析是数理统计中的一种多元分析模糊聚类分析方法，它是用数学方法定量地确定样本的亲疏关系，从而客观地划分类型。
事物之间的界限，有些是确切的，有些则是模糊的。
例人群中的面貌相像程度之间的界限是模糊的，天气阴、晴之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及事物之间的模糊界限时，需运用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析广泛应用在气象预报、地质、农业、林业等方面。
通常把被聚类的事物称为样本，将被聚类的一组事物称为样本集。
模糊聚类分析有两种基本方法：系统聚类法和逐步聚类法。
基本方法基本过程（1）计算样本或变量间的相似系数，建立模糊相似矩阵；（2）利用模糊运算对相似矩阵进行一系列的合成改造，生成模糊等价矩阵；（3）最后根据不同的截取水平λ对模糊等价矩阵进行截取分类系统聚类法系统聚类法是基于模糊等价关系的模糊聚类分析法。
在经典的聚类分析方法中可用经典等价关系对样本集X进行聚类。
设R是 X上的经典等价关系。
对X中的两个元素x和y，若xRy或(x，y)∈R，则将x和y并为一类，否则x和y不属于同一类。
应用这种方法,分类的结果与α的取值大小有关。
α取值越大,分的类数越多。
α小到某一值时,X中的所有样本归并为一类。
这种方法的优点在于可按实际需要选取α的值，以便得到恰当的分类。
模糊聚类分析
模糊聚类分析系统聚类法是基于模糊等价关系的模糊聚类分析法。
在经典的聚类分析方法中可用经典等价关系对样本集X进行聚类。
设R是X上的经典等价关系。
对X中的两个元素x和y，若xRy或(x，y)∈R，则将x和y并为一类，否则x和y不属于同一类。
相应地，可用X上的模糊等价关系对样本集X进行模糊聚类。
设慒是X上的模糊等价关系，是慒的隶属函数。
对于任何α∈【0，1】，定义慒的α截关系Sα是X上的经典等价关系。
根据Sα得到X 的一种聚类,称为在α水平上的聚类。
应用这种方法,分类的结果与α的取值大小有关。
α取值越大,分的类数越多。
α小到某一值时,X中的所有样本归并为一类。
这种方法的优点在于可按实际需要选取α的值，以便得到恰当的分类。
系统聚类法的步骤如下:①用数字描述样本的特征。
设被聚类的样本集为X={x1，…,xn}。
每个样本均有p种特征,记作xi=(xi1，…，xip);i=1，2，…,n;xip表示描述样本xi的第p个特征的数。
②规定样本之间的相似系数rij(0≤rij≤1;i，j=1，…，n)。
rij描述样本xi与xj之间的差异或相似的程度。
rij 越接近于1,表明样本xi与xj之间的差异越小;rij 越接近于0，表明xi与xj之间的差异越大。
rij可用主观评定或集体评分的方法规定，也可用公式计算，如采用夹角余弦法、最小最大法、算术平均最小法等。
因为rii=1(xi与自身没有差异),rij=rji(xi与xj之间的差异等同于xj与xi之间的差异),所以由rij(i，j=1，…，n)可得X上的模糊相似关系。
一般，R不具备可传递性，因而R不一定是X上的模糊等价关系。
③运用合成运算R=R⋅R(或R=R⋅R等)求出最接近相似关系R的模糊等价关系S=R(或R等)。
若R已是模糊等价关系，则取S=R。
④选取适当水平α(0≤α≤1),得到X 的一种聚类。
第七章模糊聚类分析
F-统计量：
设 U {u1, u2 ,, un} 为待分类事物的全体，u j ( x j1, x j 2 ,, x jm )
xjk 为描述元素 uj 第 k 个特征的数据 (k 1, 2,, m) .设 c 为
对应于 λ 值的类数，ni 为第 i 类元素的个数，第 i 类元素记为
* * * * xk 在第 l 行，用 aii xk , ai i xk ,, ai i xk 并设 1 j 2 j k j
分别代替 ai1l , ai2l ,, aik l 及其对称矩阵，并把 all 圈起来
继续此过程，到 k = n-1,得到 t(A) .
还有逐步平方法：
计算R R R R R ，直至出现R R ，则t R R
1 n xk x jk (k 1, 2,, m) n j 1
于是，称
ni || u i u ||2 (c 1) i F c1 n i i 2 i || u u || j
c
i 1 j 1
( n c)
为F-统计量，其中 || u i u || 为第i类中元素 uij 与中心 u i 的距离. 可见，F-统计量的分子表征类与类间的距离，分母表征类
内元素间的距离. 因此，F 值越大，说明分类越合理，与此分
类相对应的 F-统计量最大的阈值λ为最佳值.
求传递闭包的简便方法
设 A (aij )nn 为模糊相似矩阵，求 t(A). (1) 求 max a1 j ,假定 a1m max a1 j , 把 A 中的 a1m,am1,a11,amm 用圆圈 2 j n 2 j n
xi 是数据处理后的数据。
3.标定
就是根据实际情况，按一个准则或某一种方法，给论域 U中的元素两两之间都赋以区间[0,1]内的一个数，叫做相 似系数。它的大小表征两个元素彼此接近或相似的程度。 设 u1 , u2 ,, un 为待分类的对象，uj有m个刻划其特征的 数据， j1 , x j2 ,, x jm ，然后对于 ui与 uj ，用 rij 表示 ui 与 uj 的 x 的相似程度，要求 0 rij 1, rii 1
模糊数学2模糊聚类分析方法模糊综合评判方法
❖ （1）单层次模糊综合评判模型 设X={x1,x2…xn}是综合评判因素所组成集合，
Y={y1,y2…yn}是评语所组成的集合。
R：X→Y rij=µR(xi,yj) 元素rij表示xi符合yj标准的程度。
A=(a1,a2…an)是各评判因素的权重分配，
则评判结果 B=A◦R.
例
我们对于某学校的校园网络一期建设情况进行评判，设包括三个因 素，即硬件建设，软件建设、人员培训，用论域U表示为：
0.38 0.8 0.67
0.49 1375 931源自0.380.80.67
0.93
0.95 0.67 0.94
0.9
0.94 0.67 0.95
1
0.99
0.99 0.45 0.55
0.99
1
0.99 0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
0.99
0.45 0.55
1
0.45 0.55
0.45 1
0.49137 5931
0.93
0.9
1 0.67 0.94 0.38
0.38
0.38 0.95 0.94
0.67 1 0.67
0.94 0.67 1
0.8 0.67
0.8 0.67
0.8 0.67
0.67 0.94 0.67 0.95
0.49137 5931
0.38 0.8 0.67
0.49137 5931
较好
40% 30% 10%
可以
10% 20% 30%
不好
0 10% 60%
0.2 R ~
0.7
0.1
0
上表就构成模糊矩阵 R= 0
0.4 0.5 0.1
模糊聚类分析的理论(17页)
模糊聚类分析的理论模糊聚类分析是一种基于模糊数学理论的聚类方法，它允许数据点属于多个类别，并且每个类别都有一个模糊度。
这种方法在处理现实世界中的问题时非常有效，因为现实世界中的数据往往不是完全确定的，而是具有模糊性的。
模糊聚类分析的基本思想是将数据点分为若干个类别，使得每个数据点属于各个类别的程度不同。
这种程度可以用一个介于0和1之间的数来表示，0表示不属于该类别，1表示完全属于该类别。
这种模糊性使得模糊聚类分析能够更好地处理现实世界中的不确定性。
模糊聚类分析的理论基础是模糊集合论。
模糊集合论是一种扩展了传统集合论的数学理论，它允许集合的元素具有模糊性。
在模糊集合论中，一个元素属于一个集合的程度可以用一个隶属度函数来表示。
隶属度函数是一个介于0和1之间的数，它表示元素属于集合的程度。
模糊聚类分析的理论方法有很多种，其中最著名的是模糊C均值(FCM)算法。
FCM算法是一种基于目标函数的迭代算法，它通过最小化目标函数来得到最优的聚类结果。
目标函数通常是一个关于隶属度函数和聚类中心之间的距离的函数。
模糊聚类分析的理论应用非常广泛，它可以在很多领域中使用，例如图像处理、模式识别、数据挖掘等。
在图像处理中，模糊聚类分析可以用于图像分割、图像压缩等任务；在模式识别中，模糊聚类分析可以用于特征提取、分类等任务；在数据挖掘中，模糊聚类分析可以用于发现数据中的隐含规律、预测未来趋势等任务。
模糊聚类分析的理论还有很多需要进一步研究和发展的地方。
例如，如何提高模糊聚类分析的效率和准确性，如何处理大规模数据集，如何将模糊聚类分析与其他方法相结合等。
这些问题都需要进一步的研究和探索。
模糊聚类分析的理论是一种强大的聚类方法，它能够处理现实世界中的不确定性，并且具有广泛的应用前景。
通过不断的研究和发展，模糊聚类分析的理论将会更加完善，并且将会在更多的领域中得到应用。
模糊聚类分析的理论模糊聚类分析是一种基于模糊数学理论的聚类方法，它允许数据点属于多个类别，并且每个类别都有一个模糊度。
模糊聚类分析
查德 1965 年给出的定义：
定义：从论域 U 到闭区间0, 1 的任意一个映射：A :U 0, 1 ，对 任意u U ，u A Au ， Au 0, 1 ，那么A 叫做 U 的一个模糊
子集， Au 叫做 u 的隶属函数，也记做A u 。
简单地可表达为：
设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1]
39 C 以上的一人，x1 ；
如 果 规 定 37.5 C 以 下 的 不 算 发 烧 ， 问 有 多 少 发 烧 病 人 ？ 医 生 就 可 以 回 答 ：
x1, x3, x4 , x5 ，但所谓“发烧”实际上是一个模糊概念，它存在程度上的不同，也就是
说要用隶属函数来描述。如果根据医师的经验规定，对“发烧”来说：
(1) AB AB； (2) ≤ A A； (3) (A∪B)= A∪B，(A∩B)= A∩B.
4、隶属函数的确定
1. 模糊统计方法 与概率统计类似，但有区别：若把概率
统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的 圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈” 是否盖住“不动的点”.
2. 指派方法 一种主观方法，一般给出隶属函数的解
一、模糊集及模糊关系
1、模糊问题的提出
在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义 不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模 糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不 分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的 存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那 么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影 响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通 常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模 糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
体温39 C 以上的隶属函数 x 1 ； 体温38.5 C 以上不到39 C 的隶属函数 x 0.9 ； 体温38 C 以上不到38.5 C 的隶属函数 x 0.7 ； 体温37.5 C 以上不到38 C 的隶属函数 x 0.4 ； 体温37.5 C 以下的隶属函数 x 0 ；
模糊数学中的模糊聚类分析-教案
模糊数学中的模糊聚类分析-教案一、引言1.1模糊聚类分析的基本概念1.1.1模糊聚类的定义：介绍模糊聚类分析作为处理不确定性和模糊性数据的一种方法。
1.1.2模糊聚类的重要性：强调其在数据挖掘、模式识别等领域中的应用价值。
1.1.3模糊聚类与传统聚类的区别：对比分析两者在处理数据时的不同方法论。
1.2模糊聚类分析的背景1.2.1模糊数学的发展：介绍模糊数学的起源和发展历程。
1.2.2模糊聚类的发展历程：概述模糊聚类分析从理论到实践的演变。
1.2.3当前模糊聚类分析的研究热点：列举当前学术界对模糊聚类分析的主要研究方向。
1.3教学目标和意义1.3.1知识目标：明确学生通过本课程应掌握的模糊聚类分析的理论知识。
1.3.2技能目标：培养学生运用模糊聚类分析解决实际问题的能力。
1.3.3情感态度与价值观：强调模糊思维在解决复杂问题中的重要性。
二、知识点讲解2.1模糊聚类分析的基本原理2.1.1模糊集合理论：介绍模糊集合的概念、运算及其在聚类分析中的应用。
2.1.2模糊关系和模糊矩阵：解释模糊关系的基本概念和模糊矩阵的构建方法。
2.1.3模糊聚类算法：详细介绍模糊C-均值（FCM）算法的原理和步骤。
2.1.4聚类有效性分析：讨论如何评价模糊聚类结果的合理性和有效性。
2.2模糊聚类分析的关键技术2.2.1隶属度函数的选择：介绍不同类型的隶属度函数及其在聚类分析中的作用。
2.2.2聚类准则的确定：解释如何选择合适的聚类准则来指导聚类过程。
2.2.3聚类数的确定：讨论确定最佳聚类数的方法和策略。
2.2.4算法优化与改进：介绍提高模糊聚类分析效率和精度的方法。
2.3模糊聚类分析的应用案例2.3.1图像处理中的应用：举例说明模糊聚类在图像分割、识别等方面的应用。
2.3.2金融数据分析中的应用：介绍模糊聚类在客户细分、风险评估等方面的应用。
2.3.3生物学研究中的应用：阐述模糊聚类在基因分类、生物种群分析中的应用。
2.3.4其他领域的应用：简要介绍模糊聚类在其他领域，如医疗诊断、市场调查等的应用。
第六章 模糊聚类分析
定理2 设R是U上n阶模糊相似矩阵，则 存在一个最小自然数k（k<=n),使得传递 闭包t(R) =Rk,对于一切大于k 的自然数l， 恒有Rl=Rk.此时， t(R) 为模糊等价矩阵。
例3：设
求传递闭包t( R ).
例4：设甲、乙、丙、丁、戊5人面貌“彼此 相象”的Fuzzy关系如下：
试对他们进行分类，并做聚类图。
例5:设U={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7},给出模糊相似 矩阵
请做模糊聚类分析。
6.3 模糊聚类分析的应用
一、模糊聚类分析的一般步骤 1. 列出数据矩阵 2. 数据标准化 3. 建立模糊相似矩阵(标定) 4. 求传递闭包 5. 聚类
建立相似关系的常用方法
建立相似关系的常用方法
3、最大最小法 rij
min( x ，x max( x ，x
k 1 ik k 1 m ik
m
jk
) )
jk
4、算术平均最小法 rij
min( x ，x
k 1 ik
m
jk
)
1 m ( xik x jk ) 2 k 1
5、几何平均最小法 rij
min( x ，x
k 1 ik
m
jk
)
k 1
m k 1
m
xik x jk
6、绝对值指数法 rij e
| xik x jk |
7、绝对值减数法 1 i j m rij 1 c | xik x jk | i j k 1 其中选择合适的c，使得0 rij 1
201
28.8 43.6 68.5
第4章模糊聚类分析
第四章 模糊聚类分析在数学上，根据事物的一定特征，并按一定要求和规律对事物进行分类的方法称为聚类分析，聚类分析的对象一定是尚未分类的群体，其理论产生于对事物进行分类的实际要求。
对带有模糊特征的事物进行聚类分析，使用的是模糊数学方法，因而称为模糊聚类分析法。
该法在生物、医学中应用较广，方法也多样，本章着重介绍以模糊相似关系为基础的聚类方法。
第一节 模糊聚类分析的步骤一、原始数据标准化由于实际问题中所收集的数据往往并不是闭区间[0，1]内的数，所以首先要把原始数据标准化，可以采用如下公式sxx x -=' 其中 x ---原始数据，x ---原始数据的平均值，s —原始数据的标准差这样得到的标准化数据还不一定落在 [0，1]内，若要把标准化数据压缩到[0，1]闭区间，可采用极值标准化公式minmax minx x x x x --='显然，当x =x min 时，则0='x 当x =x max 时，则1='x 二、建立模糊相似关系设Z={x 1 , x 2 , …, x n }是待分类事物的全体，设每一被分类的对象 x i 是由一组数据),,,(21im i i i x x x x = ),,2,1(n i =来表示，现在的问题是如何建立x i 和x j 之间的相似关系？按照实际情况，选用下列方法之一来表示x i 和x j ：1．最大最小法()()∑∑===m k jk ikmk jk ikij x xx xr 11,max ,min2．几何平均最小法()∑∑==⋅=mk jkik mk jk ikij x x x xr 11,min3．算术平均最小法()()∑∑==+=mk jk ik mk jk ikij x x x xr 1121,min4．相关系数法∑∑∑===----=mk mk j jk i ikmk j jk i ikij x x x xx x x xr 11221)()())((其中∑==m k ik i x m x 11 ∑==mk jk j x m x 115．指数相关系数法∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=mk k jk ik ij S x x m r 1243exp 1 其中()∑=-=mk k ik k x x n S 121 ∑==nj jk k x n x 116．夹角余弦法∑∑∑===⋅⋅=m k mk jkikmk jkikij xx x xr 112217．数量积法⎪⎩⎪⎨⎧⋅=∑=mk jkikij x xMr 111时当时当j i j i ≠=其中M 是一个适当选择的正数，并且满足⎪⎭⎫⎝⎛⋅≥∑=m k jk ik x x M 1max8．距离法qmk q jk ik ij x x r 11⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑= 闵可夫斯基距离当q=1时，∑=-=mk jk ikij x xr 1海明距离当q=2时，∑=-=mk jk ijij x xr 12)( 欧氏距离9．非参数法令i ik ikx x x -=' j jk jk x x x -=' 集合},,,,,{2211jm imj i j i x x x x x x '''''' 中正数个数记为n + ,负数个数记为n -- ： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-+-+n n n n r ij 121 10．绝对值减数法⎪⎩⎪⎨⎧--=∑=mk jk ik ij x x C r 111 时当时当j i j i ≠= 其中C 适当选择，使0≤r i j ≤1 11．绝对值指数法⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=mk jkik ij x x r 1exp12．绝对值倒数法⎪⎩⎪⎨⎧-=∑=m k jk ik ij x x M r 11 时当时当j i j i ≠=其中M 是一个适当选择的正数，并且满足⎪⎭⎫⎝⎛-≤∑=m k jk ik x x M 1min以上各式中的ik x 为第 i 个点第k 个因子的值，jk x 为第 j 个点第k 个因子的值。
模糊聚类分析方法
第二节 模糊聚类分析方法在科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。
例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。
对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。
由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。
一、模糊聚类分析的一般步骤1、第一步：数据标准化[9]（1） 数据矩阵设论域12{,,,}n U x x x =为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，即12{,,,}i i i im x x x x = (1,2,,)i n =，于是，得到原始数据矩阵为111212122212m m n n nm x x x x x x x x x ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭。
其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。
（2） 数据标准化在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。
但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。
因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。
通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换i k kikkx x x s -'= (1,2,,;1,2,i n k m ==其中 11n k i k i x x n ==∑，k s = 经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。
但是，再用得到的ikx '还不一定在区间[0,1]上。
② 平移·极差变换111m i n {}m a x {}m i n {}i k i k i nikik iki ni nx x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =显然有01ikx ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。
模糊聚类分析
模糊聚类分析壹、何谓聚类分析聚类分析是研究事物分类的一种多元分析方法。
在日常生活中，我们时常要把所接触到的事物（样本），按其性质、用途等进行分类，这种分类过程我们称为聚类分析。
（阙颂廉，民83）贰、聚类分析的应用模糊聚类分析是当前在模糊数学中应用最多的几个方法之一，可以将研究的样本进行合理的分类，如产品的分类就常常用聚类分析来进行，另聚类分析也可用来进行判别分析和预测（林杰斌等。
民76）。
所以，也被广泛地应用于天气预报、地震预测、地质探勘、运动员心理素质分类、河川水质污染程度等方面。
参、普通的等价关系在谈聚类分析之前，应先介绍相似关系和等价关系：一.自反性对任意Uu∈，都有Ru,u(∈，即集合中任一个元素u都)与自身有某相同性质的关系，则称R是自反关系，相对应的矩阵称为自反矩阵。
另数学表示意义为：A中的元素关于R具有”自反性”，即。
例：若U 为同一种族的集合，而集合中每一个人u ，皆与自身有同一种族之关系，这种性质则称为自反性。
二. 对称性如果ji ,R )u ,u (,R )u ,u(i j j i≠∈∈必有。
即u i 与u j 有存在某种关系，若将两个元素之位置对调，则即u j 与u i 也必有符合这层关系，则称R 有对称关系，相对应的矩阵为对称矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”对称性”，即yRx xRy ,A y ,x 且若∈∀。
例：若甲和乙是同学关系，则乙和甲必也是同学关系，这种关系则称为对称性。
三. 传递性如果能由R)w u (R )w v (R )v u (∈∈∈，，推導出，及，。
即u与v 有存在某一关系，而v 与w 也有这同一种关系存在，则即u 与w 也必有符合这层关系存在，则称R 有传递关系，相对应的矩阵为传递矩阵。
另数学表示意义为：A 中的元素关于R 具有”传递性”，即。
例：若甲和乙是同一种族关系，而乙和丙也是同一种族关系，则甲和丙必有同一种族关系，这种则称为具有传递性关系。
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农村经济状况聚类分析随着我国经济的发展，各地区农村的经济也有了相应的发展。
拥有的生产性固定资产数量随之提高，几乎所有的指标都在上升。
本文应用MATLAB软件采用动态聚类法，从大量固定资产中提取出数据并对地区进行分类，以便得出较合理的结论。
1 原始数据选取8个固定资产作为评价对象，具体指标如下表：表农村居民家庭平均每百户拥有主要生产性固定资产数量 (年底数)数据来源：《国家统计年鉴2010》网址：/tjsj/ndsj/2010/indexch.htm将数据初始化为矩阵X =4.5300 1.33005.3300 0.1300 0.1300 2.5300 0.2700 35.33007.3300 2.8300 16.6700 1.3300 2.1700 21.6700 6.8300 54.50003.7700 2.4800 32.8000 2.3800 6.3500 27.1300 8.8800 36.33003.5700 2.1000 14.8100 1.1400 4.8600 6.1900 16.0700 77.05001.8900 4.5600 50.1200 3.9800 30.5800 37.3800 62.2300 245.78002.7000 4.0700 11.16003.0200 15.9300 40.6100 27.3500 59.89002.6300 9.3800 42.8800 6.1600 15.2500 29.5600 35.1900 96.63001.5200 17.9000 53.1400 3.8400 3.7500 26.8800 11.6500 45.09002.2800 1.2100 17.1100 10.2600 13.3500 19.0700 1.5900 21.53002.3300 1.3000 2.4100 17.2200 2.7100 23.5700 7.4800 104.63001.3300 4.8500 39.7300 15.5200 5.1900 54.2200 5.6100 19.61002.6900 0.7700 4.4500 9.0500 1.2600 14.2900 7.4000 78.85001.7500 0.6900 4.3500 26.9800 9.8800 22.6100 32.3300 12.90003.6100 3.7300 24.0900 2.5500 13.4500 44.8600 6.6300 34.07002.4300 11.6800 34.6600 4.7300 8.1000 36.0000 7.5500 33.02001.3000 1.8500 16.06002.5800 9.7000 25.6900 25.2300 18.01001.3600 0.38002.1900 22.2000 4.0700 27.8900 17.4000 21.24001.8400 0.7200 6.0900 19.40002.9900 20.1300 24.8300 22.07001.1900 1.3400 19.3500 22.39003.6800 20.7700 46.9700 37.53001.7300 0.73002.5000 28.3300 1.6800 34.2500 22.1100 42.58001.8300 0.3100 1.3400 6.9600 1.1600 7.3200 61.0300 34.29002.8300 1.3800 9.0600 8.0400 4.0400 11.2900 63.6300 67.25001.8900 4.1400 11.1700 4.5600 18.0600 15.8700 15.9000 47.21000.8900 3.7200 32.2200 5.8300 16.7800 10.4400 64.8300 42.94004.3300 3.1700 56.2500 6.7700 3.6700 0.5000 61.5000 121.83005.0000 1.3300 57.5000 3.7900 4.8300 22.3300 34.3300 37.33002.6500 6.5800 28.3900 2.1300 47.68003.5500 61.0300 487.3500 标准化后的矩阵X=0.5652 0.0580 0.0710 0 0 0.0378 0 0.04731.0000 0.1433 0.2730 0.0426 0.0429 0.3941 0.1016 0.08770.4472 0.1234 0.5602 0.0798 0.1308 0.4957 0.1334 0.04940.4161 0.1018 0.2399 0.0358 0.0995 0.1059 0.2447 0.13520.1553 0.2416 0.8686 0.1365 0.6404 0.6865 0.9597 0.49080.2811 0.2138 0.1749 0.1025 0.3323 0.7466 0.4195 0.09900.2702 0.5156 0.7397 0.2138 0.3180 0.5410 0.5409 0.17650.0978 1.0000 0.9224 0.1316 0.0761 0.4911 0.1763 0.06780.2158 0.0512 0.2808 0.3592 0.2780 0.3457 0.0204 0.01820.2236 0.0563 0.0191 0.6060 0.0543 0.4294 0.1117 0.19330.0683 0.2581 0.6836 0.5457 0.1064 1.0000 0.0827 0.01410.2795 0.0262 0.0554 0.3163 0.0238 0.2567 0.1104 0.13900.1335 0.0216 0.0536 0.9521 0.2050 0.4116 0.4966 00.4224 0.1944 0.4051 0.0858 0.2801 0.8258 0.0985 0.04460.2391 0.6464 0.5933 0.1631 0.1676 0.6608 0.1128 0.04240.0637 0.0875 0.2621 0.0869 0.2013 0.4689 0.3866 0.01080.0730 0.0040 0.0151 0.7826 0.0829 0.5099 0.2653 0.01760.1475 0.0233 0.0846 0.6833 0.0601 0.3654 0.3804 0.01930.0466 0.0586 0.3207 0.7894 0.0747 0.3773 0.7234 0.05190.1304 0.0239 0.0207 1.0000 0.0326 0.6283 0.3383 0.06260.1460 0 0 0.2422 0.0217 0.1270 0.9411 0.04510.3012 0.0608 0.1375 0.2805 0.0822 0.2009 0.9814 0.11460.1553 0.2177 0.1750 0.1571 0.3771 0.2861 0.2421 0.07230 0.1939 0.5499 0.2021 0.3502 0.1850 1.0000 0.06330.5342 0.1626 0.9777 0.2355 0.0744 0 0.9484 0.22960.6382 0.0580 1.0000 0.1298 0.0988 0.4064 0.5276 0.05150.2733 0.3565 0.4817 0.0709 1.0000 0.0568 0.9411 1.0000模糊相似矩阵R=1.0000 0.9423 0.6158 0.7979 0.2169 0.3725 0.3570 0.2370 0.4091 0.3348 0.1793 0.5899 0.1418 0.5033 0.3637 0.1918 0.1113 0.2076 0.1014 0.1449 0.1565 0.3097 0.3427 0.0843 0.4504 0.5732 0.2464 0.9423 1.0000 0.8233 0.8805 0.4538 0.6354 0.5885 0.4338 0.6140 0.5056 0.4710 0.7331 0.3112 0.7540 0.6017 0.4839 0.3120 0.3918 0.3037 0.3373 0.2742 0.4438 0.5518 0.2725 0.5601 0.7414 0.3439 0.6158 0.8233 1.0000 0.8334 0.7615 0.8021 0.8663 0.7329 0.8199 0.5592 0.8199 0.7029 0.4371 0.9320 0.8604 0.7893 0.4567 0.5154 0.5282 0.4613 0.3098 0.4898 0.7448 0.5538 0.7121 0.9266 0.4699 0.7979 0.8805 0.8334 1.0000 0.7437 0.6990 0.7929 0.5591 0.6267 0.4839 0.4734 0.7081 0.4218 0.7010 0.6423 0.6477 0.3360 0.4826 0.5224 0.3573 0.5543 0.7134 0.7206 0.6429 0.8523 0.8788 0.6932 0.2169 0.4538 0.7615 0.7437 1.0000 0.8363 0.9234 0.6650 0.6818 0.4918 0.6823 0.5625 0.5453 0.7302 0.7229 0.9136 0.4798 0.5719 0.7106 0.4688 0.6406 0.7500 0.8718 0.8960 0.8066 0.8017 0.8468 0.3725 0.6354 0.8021 0.6990 0.8363 1.0000 0.8417 0.5988 0.7614 0.6654 0.7767 0.7224 0.6166 0.9154 0.7948 0.9426 0.6337 0.6573 0.6497 0.6208 0.5661 0.6745 0.8990 0.6689 0.5412 0.6803 0.6043 0.3570 0.5885 0.8663 0.7929 0.9234 0.8417 1.0000 0.8740 0.7609 0.5541 0.7981 0.6304 0.5602 0.8166 0.9111 0.8866 0.5171 0.6058 0.7075 0.5164 0.5367 0.6783 0.8896 0.8237 0.8141 0.8599 0.7100 0.2370 0.4338 0.7329 0.5591 0.6650 0.5988 0.8740 1.0000 0.5795 0.3550 0.7403 0.3896 0.2974 0.6747 0.9420 0.6377 0.3012 0.3532 0.4504 0.3090 0.1914 0.3330 0.6675 0.5621 0.6019 0.6759 0.4381 0.4091 0.6140 0.8199 0.6267 0.6818 0.7614 0.7609 0.5795 1.0000 0.8109 0.8637 0.8157 0.7514 0.8426 0.7553 0.7339 0.7682 0.7621 0.6925 0.7533 0.2817 0.4331 0.8296 0.5015 0.5175 0.7001 0.4659 0.3348 0.5056 0.5592 0.4839 0.4918 0.6654 0.5541 0.3550 0.8109 1.0000 0.7429 0.9494 0.8927 0.6348 0.5485 0.5841 0.9428 0.9171 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