最新最全模糊数学方法综合整理
模糊数学综合评价法
模糊数学综合评价法模糊综合评价法（fuzzy prehensive evaluation method）模糊数学综合评价法 1模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法。
该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
它具有结果清晰,系统性强的特点,能较好地解决模糊的、难以量化的问题,适合各种非确定性问题的解决。
模糊数学综合评价法 2为了便于描述，依据模糊数学的基本概念，对模糊综合评价法中的有关术语定义如下：1．评价因素（F）：系指对招标项目评议的具体内容（例如，价格、各种指标、参数、规范、性能、状况，等等）。
为便于权重分配和评议，可以按评价因素的属性将评价因素分成若干类（例如，商务、技术、价格、伴随服务，等），把每一类都视为单一评价因素，并称之为第一级评价因素（F1）。
第一级评价因素可以设置下属的第二级评价因素（例如，第一级评价因素“商务”可以有下属的第二级评价因素：交货期、付款条件和付款方式，等）。
第二级评价因素可以设置下属的第三级评价因素（F3）。
依此类推。
2．评价因素值（Fv）：系指评价因素的具体值。
例如，某投标人的某技术参数为120，那么，该投标人的该评价因素值为120。
3．评价值（E）：系指评价因素的优劣程度。
评价因素最优的评价值为1（采用百分制时为100分）；欠优的评价因素，依据欠优的程度，其评价值大于或等于零、小于或等于1（采用百分制时为100分），即0≤E≤1（采用百分制时0≤E≤100）。
4．平均评价值（Ep）：系指评标委员会成员对某评价因素评价的平均值。
平均评价值（Ep）＝全体评标委员会成员的评价值之和÷评委数5．权重（W）：系指评价因素的地位和重要程度。
一级评价因素的权重之和为1；每个评价因子的下一个评价因子的权重之和为1。
6．加权平均评价值（Epw）：系指加权后的平均评价值。
加权平均评价值（Epw）＝平均评价值（Ep）×权重（W）。
模糊数学原理及应用
模糊数学原理及应用
模糊数学是一门研究模糊集合、模糊逻辑等概念和方法的数学分支学科，它是20世纪60年代兴起的一门新兴学科，其理论和方法在实际问题中有着广泛的应用。
本文将就模糊数学的原理及其在实际中的应用进行介绍和分析。
首先，我们来看一下模糊数学的基本原理。
模糊数学的核心概念是模糊集合和
模糊逻辑。
模糊集合是指其隶属度不是二值的集合，而是在0到1之间连续变化的集合。
模糊逻辑是一种对不确定性进行推理的逻辑系统，它允许命题的真假值在0
和1之间连续变化。
这些基本概念为模糊数学的发展奠定了基础。
其次，我们来探讨模糊数学在实际中的应用。
模糊数学在控制系统、人工智能、模式识别、决策分析等领域有着广泛的应用。
在控制系统中，模糊控制可以有效地处理非线性和不确定性系统，提高控制系统的性能。
在人工智能领域，模糊推理可以用来处理模糊信息，提高智能系统的推理能力。
在模式识别中，模糊集合可以用来描述模糊的特征，提高模式识别的准确性。
在决策分析中，模糊数学可以用来处理不确定性信息，提高决策的科学性和准确性。
总之，模糊数学作为一种新兴的数学分支学科，其原理和方法在实际中有着广
泛的应用前景。
我们应该深入学习和研究模糊数学，不断拓展其理论和方法，促进其在实际中的应用，为推动科学技术的发展做出更大的贡献。
希望本文的介绍能够对大家对模糊数学有所了解，并对其在实际中的应用有所启发。
模糊综合评价法及例题
指标
很好
好
一般
差
疗效
治愈
显效
好转
无效
住院日
≤15
16~20
21~25
＞25
费用（元） ≤1400 1400~1800 1800~2200 ＞2200
表2 两年病人按医疗质量等级的频数分配表
指标
很好 质量好 等级一般 差
疗效 住院日 费用
01年 02年
01年 02年
01年 02年
160 170
180 200
•模糊概念 秃子悖论: 天下所有的人都是秃子
设头发根数n n=1 显然 若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子
模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
共同特点：模糊概念的外延不清楚。 模糊概念导致模糊现象 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。
模糊综合评价
▪ 假设评价科研成果，评价指标集合U={学术水 平，社会效益，经济效益}其各因素权重设为
W {0.3,0.3,0.4}
模糊综合评价
▪ 请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素 评价（one-way evaluation），例如对学术水平，有50%的 专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为 “一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为
• 术语来源 Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的 模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰
模糊数学的产生与基本思想
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
模糊数学基本知识
一．模糊数学的基础知识1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。
模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。
即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。
（1）模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射：))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。
)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。
映射所表示的函数称为隶属函数。
例如：设论域U=[0，100]，U 上的老年人这个集合就是模糊集合：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。
（2）模糊集合的表示：},.....,,{21n u u u U =，)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度；则模糊集可以表示为：nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。
或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =， （3）模糊集合的运算：)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂， 补集：)}(1),.....,(1),(1{21n cu A u A u A A ---=，包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,， 2．模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ，则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集；称})(,{λλ>∈=u A U u u A s为模糊集A 的λ-强截集；λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。
模糊数学方法
( x1, x2 ,, xn ) [0,1] , 令
n
f ( x1 , x2 ,, xn ) xiai
i 1
n
f 称为几何平均型模糊综合函数.其中 a i是几
何权数.
（3） 单因素决定型 设 A (a1, a2 ,, an ) [0,1] 是正规化权向量，
n
( x1, x2 ,, xn ) [0,1] , 令
Bi Ai T Ri
(i ) r11 (i ) r21 (ai1 , ai 2 ,, aini ) T (i ) rni 1
r r r
(i ) 12 (i ) 22
(i ) ni 2
r r (i ) rni p
这时需采取多层次评判来解决这类问题. 多层次综合评判的步骤： 1. 因素分类
将因素集 U {u1 , u2 ,, un } 按某种属性 分为s类，即 满足条件：
Ui (ui1, ui 2 ,, uini ), i 1,2,, s
(1) n1 n2 ns n ;
(2) U1 U 2 U s U ;
A (a1 , a2 ,, an ) 是给定 是正规化评判矩阵，
的正规化权向量，则综合评判 ( y1 , y2 ,, ym ) 也是正规化的.
（3） 若 f f 是几何平均型
评判
n 元模糊
综合函数，且 R 和 A 是归一化的，而综合
( y1 , y2 ,, ym ) 未必是归一化的. 若 R 和 A 是正规化的，综合评判 ( y1 , y2 ,, ym )
在使用 M (,) 模型和
M (, T ) 模型前将
归一化的权向量与归一化的单因素模糊评价 正规化，最后将评价结果归一化.
模糊数学例题大全
模糊数学例题大全标题：模糊数学例题大全模糊数学，又称为模糊性数学或者弗晰数学，是一个以模糊集合论为基础的数学分支。
它不仅改变了过去精确数学的观念，而且广泛应用于各个领域，从物理学、生物学到社会科学，甚至。
下面，我们将通过一些具体的例题来展示模糊数学的应用。
例1：模糊逻辑门在经典的逻辑门中，我们使用AND、OR和NOT等操作符来处理布尔值（0或1）。
然而，在现实世界中，很多情况并不是绝对的0或1。
例如，我们可以将“温度高”定义为大于25度，但24度是否算高呢？模糊逻辑门提供了更广泛的定义方式，允许我们使用模糊集合来描述这些边界情况。
例2：模糊聚类分析在统计学中，聚类分析是一种将数据集分类成几个组的方法，其中同一组内的数据点相似度高。
然而，在某些情况下，我们无法用精确的数值来描述数据点的相似度。
这时，模糊聚类分析就派上用场了。
它允许我们使用模糊矩阵来表示数据点之间的相似度，从而更准确地分类数据。
例3：模糊决策树在机器学习中，决策树是一种用于分类和回归的算法。
然而，在某些情况下，我们无法用精确的规则来描述决策过程。
这时，模糊决策树就派上用场了。
它允许我们在决策节点使用模糊规则来代替传统的布尔值规则，从而更好地模拟人类的决策过程。
例4：模糊控制系统在控制系统中，我们通常需要设计一个控制器来控制系统的行为。
然而，在某些情况下，系统的输入和输出并不是绝对的0或1。
这时，模糊控制系统就派上用场了。
它允许我们使用模糊集合来描述系统的输入和输出，从而更准确地控制系统的行为。
例5：模糊图像处理在图像处理中，我们通常需要分类、识别或分割图像中的对象。
然而，在某些情况下，图像中的对象边界并不清晰。
这时，模糊图像处理就派上用场了。
它允许我们使用模糊集合来描述图像中的对象边界，从而更准确地分类、识别或分割图像中的对象。
以上只是模糊数学众多应用的一小部分。
这个领域仍在不断发展，为解决各种复杂的现实问题提供了新的工具和方法。
通过学习模糊数学，我们可以更好地理解和处理那些边界模糊、难以用传统数学方法描述的问题。
(最新)模糊数学方法
t ( R ) = U R = ( ∨ rij( k ) ) n×n
k
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k k ( k ≤ n) ，使得 t ( R) = R ，对任意自然数 l > k 都有 R l = R k
k =1
k =1
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
则该映射确定了一个模糊集合 模糊集合A，其映射 µ A 称 模糊集合 为模糊集A 的隶属函数 µ A ( x) 称为x 对模糊集A 的 隶属函数， 隶属函数 隶属度，使 µA(x) = 0.5 的点 x 称为模糊集A 的过渡 点，即是模糊性最大的点。
对一个确定的论域U 可以有多个不同的 模糊集合。 模糊幂集：论域U上的模糊集合的全体
模糊统计实验包含下面四个基本要素 （1）论域U； （2）U中的一个固定元素 x0 ； （3）U中的一个随机变动的集合 A* （普通集） ； （4）U中的一个以 A* 作为弹性边界的模糊集A ，对 * 的变动起着制约作用，其中 x0 ∈ A* ，或 x0 ∉ A* ， A 致使 x0对A 的隶属关系是不确定的。
∨
n
k =1
( ri k ∧ r k j ) ≤ ri j ; i , j = 1 , 2 , K , n ）
则称R为模糊等价矩阵 模糊等价矩阵。 模糊等价矩阵 注：对于满足自反性和对称性的模糊关系 R 与模糊矩阵R，则
~
分别称为模糊相似关系 模糊相似矩阵 模糊相似关系与模糊相似矩阵 模糊相似关系 模糊相似矩阵。
3. 其它方法
实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是很 多的，主要根据问题的实际意义,具体问题具体分析.
二. 模糊关系与模糊矩阵
模煳综合评判法
bj (ai pij )( j 1,2m)
例1：对某品牌电视机进行综合模糊 评价
❖ 设评价指标集合： U＝｛图像，声音，价格｝；
评语集合： V＝｛很好，很好，一般，不好｝；
首先对图像进行评价： 假设有30%旳人以为很好，50%旳人以为很好
，20%旳人以为一般，没有人以为不好，这么 得到图像旳评价成果为
（1）建立模糊综合评判矩阵
设ci j (i 1,2,3,4; j 1,2,,20)表示第j个制药厂的 第j个因素的值, 令
ri j
ci j
20
(i 1,2,3,4; j 1,2,,20)
cik
k 1
即rij表达第j个制药厂旳第i个原因旳值在20家 制药厂旳同意原因值旳总和中所占旳百分比，
1.80 1.93 0.87 1.12 1.21 0.87 0.89 2.52 0.81 0.82 1.01
u4
1.67 1.50 1.25 1.71 1.44 1.31 1.52 1.32 2.59 1.89 2.02 1.48 1.47 1.91 1.52 1.40 1.80 1.45 1.83 1.89
0.0231,0.02000,0.0393,0.0287,0.0306,0.0224,0.0223
0.0290,0.0231,0.0212,0.0273,0.0220,0.0278,0.0287)
按从小到大旳顺序排序，这20家制药厂旳经济效 益旳好坏顺序为：9，11，14，10，20，19，17， 4，1，15，7，2，12，13，18，5，16，8，6，3
三个科研成果旳有关情况表
设评价指标集合： U＝｛科技水平，实现可能性，经济效益｝
模糊综合评价法 模糊算子excel公式
模糊综合评价法模糊算子excel公式
模糊综合评价法是一种基于模糊集理论的评价方法，用于处理评
价问题中的不确定性与模糊性。
其中，模糊算子是用于计算模糊关系、模糊相似度和模糊逻辑运算的数学公式。
在Excel中，可以使用以下中文公式表示模糊算子：
1. 模糊相似度计算：
- 余弦相似度公式：=(∑(A*B))/(√(∑(A^2))*√(∑(B^2)))
- 欧式距离公式：=√(∑((A-B)^2))
- 杰卡德相似系数公式：=∑(min(A, B))/∑(max(A,B))
2. 模糊关系计算：
- 最小值法：=min(A, B)
- 最大值法：=max(A, B)
- 相乘法：=A*B
- 相加法：=A+B-A*B
3. 模糊逻辑运算：
- 模糊与运算：=min(A, B)
- 模糊或运算：=max(A, B)
- 模糊非运算：=1-A
其中，A和B分别表示模糊集合中的元素值。
这些公式可以在Excel中直接使用，以计算模糊相似度、模糊关
系和模糊逻辑运算的结果。
通过这些公式，可以准确地处理评价问题
中的模糊性和不确定性，并得出相应的评价结果。
(完整版)模糊推理方法
几种典型的模糊推理方法根据模糊推理的定义可知，模糊推理的结论主要取决于模糊蕴含关系),(~Y X R 及模糊关系与模糊集合之间的合成运算法则。
对于确定的模糊推理系统，模糊蕴含关系),(~Y X R 一般是确定的，而合成运算法则并不唯一。
根据合成运算法则的不同，模糊推理方法又可分为Mamdani 推理法、Larsen 推理法、Zadeh 推理法等等。
一、Mamdani 模糊推理法Mamdani 模糊推理法是最常用的一种推理方法，其模糊蕴涵关系),(~Y X R M 定义简单，可以通过模糊集合A ~和B ~的笛卡尔积(取小)求得，即)()(),(~~~y x y x B A RMμμμΛ= (3.2.1) 例 3.2.1 已知模糊集合3211.04.01~x x x A ++=，33211.03.05.08.0~y y y y B +++=。
求模糊集合A ~和B ~之间的模糊蕴含关系),(~Y X R M 。
解：根据Mamdani 模糊蕴含关系的定义可知：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯=1.01.01.01.01.03.04.04.01.03.05.08.0]1.03.05.08.0[1.04.01~~),(~οB A Y X R MMamdani 将经典的极大—极小合成运算方法作为模糊关系与模糊集合的合成运算法则。
在此定义下，Mamdani 模糊推理过程易于进行图形解释。
下面通过几种具体情况来分析Mamdani 模糊推理过程。
(i) 具有单个前件的单一规则设*~A 和A ~论域X 上的模糊集合，B ~是论域Y 上的模糊集合，A ~和B ~间的模糊关系是),(~Y X R M ，有大前提(规则)： if x is A ~ then y is B ~小前提(事实)： x is *~A结论： y is ),(~~~**Y X R A B M ο=当)()(),(~~~y x y x B A RMμμμΛ=时，有 )()}()]()({[V )]}()([)({V )(~~~~Xx ~~~Xx ~***y y x x y x x y BB A AB A AB μωμμμμμμμΛ=ΛΛ=ΛΛ=∈∈ (3.2.2)其中)]()([V ~~Xx *x x AA μμωΛ=∈，称为A ~和*~A 的适配度。
第四讲模糊数学方法汇总
这类现象不满足“非此即彼”的 排中律，而具有“亦此亦彼”的模糊 性。 2020/10/2 需要指出的是，模糊不确定不同 10
于随机不确定。随机不确定是因果律
破损造成的不确定，而模糊不确定是
由于排中律破损造成的不确定。
为了研究模糊现象和关系，美国
y 1
d d
x c
k
,
c
x
d
0,
x d.
Oa b c
dx
2020/10/2
28
(3) 柯西分布
23
0, x a,
②
偏大型
A
x
x b
a a
,
a
x
b,
y
1, x b.
1
2020/10/2
Oa b
x 24
0, x a,
x
a
,
a
x
b,
③
中间型
A
x
b
a 1,
b x c,
y
d
x
,
c
x
d
1
d c
0, x d.
Oa b c d x
2020/10/2
25
(2) 抛物形分布
① 偏小型
(1) 包含：A B A x B x (2) 相等：A B A x B x
2020/10/2
19
(3) 交：C A B C x
A x B x (4) 补：AC AC x 1 A x
(5) 内积：A B A x B x xU
(6) 外积：A B A x B x xU
下面给出本讲的问题提纲，以便 于大家学习。
模糊数学方法
O (x )
100 x
25 50 x*
6 Of 70
3.运算性质： ⑴ 对偶律：( A∪B )c = Ac ∩ Bc ；( A∩B )c ⑵ 幂等律： A∪A = A ；A∩A = A ⑶ 交换律： A∪B = B∪A ；A∩B = B∩A ⑷ 结合律：( A∪B )∪C = A∪( B∪C ) ；( ⑸ 分配律：( A∪B )∩C =( A∩C )∪( B∩C ⑹ 吸收律：( A∪B )∩A = A ；( A∩B )∪A ⑺ 两极律： A∪ = A ；A∩ = ；A∪E = ⑻ 还原律：( Ac )c = A ⑼ 不满足互补律：A∪Ac ≠ E ， A∩Ac ≠ ⑽ 伪补律： A∪Ac(x) = A(x)∨Ac(x) ≥ ½
你属于“年轻”的隶属 度为 : Y ( 30 ) [1 ( 30 25 2 1 ) ] 0.5 5
你属于“年老”的隶属 : O (30) 0 度为
4 Of 70
二、 模糊子集的运算： Ã 仍记为 A (除非特别申明)
1.关系运算：对论域 U ⑴ 模糊空集 ：对xU，均有 (x)=0 ⑵ 模糊全集 E ：对xU，均有 E(x)=1 ⑶ 模糊幂集 (U) ：U 中的全体模糊子集(含普通子集)构成的普通集合(其元素是模糊子集)。 ⑷ A = B ：对xU，均有 A(x) = B(x) ⑸ A B ：对xU，均有 A(x)≤ B(x) 2.并、交、余运算：对论域 U ⑴ 并(A∪B)：设 A ,B (U),对xU，则 A∪B 是由下列隶属函数确定的模糊子集 A∪B(x) = Max{A(x),B(x)}= A(x)∨B(x） ⑵ 交(A∩B)：设 A ,B (U),对xU，则 A∩B 是由下列隶属函数确定的模糊子集 A∩B(x) = Min{A(x),B(x)}= A(x)∧B(x） ⑶ 余(Ac)：设 A (U),对xU，则 Ac 是由下列隶属函数确定的模糊子集 Ac(x) = 1 - A(x) 例2-4 商品论域 U = {X1,X2,X3,X4,X5}，表示 “商品质量好”这个模糊概念的模糊子集为：A = {0.81,0.53,1,0,0.24} ， “商品质量差”这个模糊概念的模糊子集为：B = {0.05,0.21,0,0.36,0.57} 。 则：①表示“商品质量或好或差”这个模糊概念的模糊子集为： A∪B = {0.81∨0.05,0.53∨0.21,1∨0,0∨0.36,0.24∨0.57}={0.81,0.53,1,0.36,0.57}； ②表示“商品质量又好又差”这个模糊概念的模糊子集为： A∩B = {0.81∧0.05,0.53∧0.21,1∧0,0∧0.36,0.24∧0.57}={0.05,0.21,0,0,0.24}； ③表示“商品质量不好”这个模糊概念的模糊子集为： Ac = {1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24}={0.19,0.47,0,1,0.76}；
最新最全模糊数学方法综合整理
模糊数学方法模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性．在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。
根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。
这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。
实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。
在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。
在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
模糊数学方法
~
，则称隶属度
度。
R ( x, y )
~
~
为
( x, y)
关于模糊关系
U V
R
~
的相关程
注：由于模糊关系就是乘积空间
上的一个模糊
子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。
模糊矩阵：设矩阵
n n
t ( R) R ( rij( k ) ) nn
k k 1 k 1
特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数
k (k
，使得 t ( R) R k ，对任意自然数 l k 都有 Rl R k n)
此时 t ( R ) 一定为模糊等价矩阵。
三. 模糊聚类分析方法
假设作n次模糊统计试验，可以算出
x0 A*的次数 x0 对A的隶属频率＝ n
事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定， 其稳定值称为 x 0 对A的隶属度，即
x0 A* 的次数 A ( x0 ) lim n n
2. 指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们
的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果 模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函数为 模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经
1 1 n 1 n 2 2 x j xij , s j [ ( xij x j ) ] ( j 1, 2,, m) n i 1 n i 1
(ii) 平移——极差变换.
' xij [0,1] ，则还需 如果经过平移—标准差变换后还有某些
对其进行平移—极差变换，即令
xij xij min {xij }
模糊数学第二讲--模糊集合及其运算
A(u)
[1
(
u
50 5
)2
]1
, 50 u 100
1
0 u 25
B(u)
[1
(
u
25 5
)2
]1
25 u 100
A
B A(u) B(u)
1
[1 (u 25)2 ]1
5
[1 (u 50)2 ]1 5
uU
u
u 0u25
25u u*
u
u* u100
u
A
B A(u) B(u)
2024/7/20
20
五、模糊截集
1. -截集(-cut)
引例：
奴隶社会 1/ 夏 1/ 商 0.9 / 西周 0.7 / 春秋 0.5/战国 0.4 / 秦 0.3/ 西汉 0.1/东汉
若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西 周、春秋、战国
若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、 春秋
(A B) C (A C) (B C)
5、吸收律： (A B) A A, (A B) A A 6、复原律： (Ac )c A 7、对偶律： ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc 8、0 –1律： A U U , A A
AU A, A
k 1
uk
k 1
uk
u k 1
k
(2) 设论域U为无限集且A A(u), B B(u),
uU u
uU u
则A B A(u) B(u)，A B A(u) B(u)，AC 1 A(u)
uU
u
uU
u
uU
u
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16
例2 设模糊集A和B的隶属函数为
模糊数的运算法则
模糊数的运算法则模糊数学是一种现代数学理论，是一种模糊逻辑与相关技术的应用，其基础是模糊集合论和模糊逻辑，其目的是对不清楚的现实问题进行建模和分析。
模糊数学的关键思想是将大量复杂的客观事物分割为不同的类别，并用模糊运算法则进行模糊处理，以满足实际应用的需要。
模糊数的运算法则，也称作模糊计算法则，是模糊数学中最基础的概念，它涉及到模糊数学中运算使用的许多基本规则。
模糊计算法则包括：最大化原则、最小化原则、综合原则、增量原则、优势原则、相等原则、隶属函数原则、传递原则和模糊耦合原则等。
最大化原则是模糊数学中最重要的原则之一，它指的是在把握模糊事物时，根据运算要求，应尽可能将结果推得最大。
对于给定的模糊事物，根据模糊数学理论，计算结果是最大值。
最小化原则是模糊数学中另一个重要的原则，它指的是在把握模糊事物时，应尽可能将结果推得最小。
并且，在使用模糊数学运算时，计算结果也是最小值。
综合原则是模糊数学中的另一个重要原则，它指的是，对于一个模糊问题的多个情况，应综合所有情况，最后得出最佳答案。
增量原则指的是在把握模糊事物时，应尽可能通过将结果增量增加或减少，以发现或重现一个模糊事物。
优势原则是模糊数学中又一个重要原则，它指的是在把握模糊事物时，应选择有最大优势的模糊事物，以及将结果推得最大优势。
相等原则是模糊数学的核心原则，它指的是在把握模糊事物时，要尽可能保持模糊事物的相等性，即模糊事物的增减必须保持一定的平衡。
隶属函数原则是模糊数学中最重要的原则，它指的是在把握模糊事物时，要充分利用隶属函数，以已知类别中的概率变化，并用隶属函数来表达模糊问题。
传递原则是模糊数学中一个重要的原则，它指的是在把握模糊事物时，应保持模糊事物的传递性，确保其计算结果不会发生跳变，而是可以唯一确定。
模糊耦合原则是模糊数学中最为重要的原则之一，它指的是在把握模糊事物时，应尽可能地考虑模糊事物之间的耦合关系，并综合评估各个模糊事物之间的联系，以得出最终的结果。
模糊数学方法与应用
模糊数学方法与应用概述模糊数学是一种用来处理不确定性和模糊性问题的数学方法。
它的基本思想是将模糊性和不确定性引入数学模型中，以便更好地描述和解决现实世界中的复杂问题。
模糊数学的应用非常广泛，包括工程、经济、管理、决策等领域。
本文将介绍模糊数学的基本原理以及它在实际应用中的一些具体案例。
模糊数学的基本原理模糊数学的核心是模糊集合理论，它是对传统集合理论的扩展和推广。
在传统集合理论中，一个元素要么属于一个集合，要么不属于一个集合，不存在模糊性。
而在模糊集合理论中，一个元素可以以一定的隶属度属于一个集合，这个隶属度是介于0和1之间的一个实数。
例如，对于一个人的年龄来说，年轻人和老年人是两个模糊集合，一个人可以以0.7的隶属度属于年轻人，以0.3的隶属度属于老年人。
模糊数学的应用案例1. 控制系统模糊控制理论是模糊数学的一个重要应用领域。
传统的控制系统设计需要精确的数学模型和准确的参数，但是在现实问题中，很难得到完全准确的模型和参数。
模糊控制理论通过引入模糊逻辑和模糊推理的方法，可以处理这些不确定性和模糊性的问题。
例如，模糊控制器可以根据当前的温度、湿度等参数来控制空调的温度和风速，以提供一个舒适的室内环境。
2. 人工智能模糊数学在人工智能领域也有广泛的应用。
在模糊推理中，基于模糊集合的推理可以处理不完全和不确定的信息。
例如，通过使用模糊推理系统，可以根据一些模糊的规则和输入信息来进行判断和决策。
模糊神经网络是一种基于模糊数学的人工神经网络模型，它可以用来解决一些复杂的分类和模式识别问题。
3. 经济与金融在经济学和金融学中，模糊数学可以用来处理一些模糊和不确定的经济和金融问题。
例如，模糊数学可以用来描述和分析不完全和不确定的市场需求、价格波动等。
另外，模糊集合和模糊推理可以用来建立一些模糊决策模型，以辅助经济和金融决策。
4. 交通运输交通运输领域是另一个模糊数学的重要应用领域。
在交通规划和交通控制中，模糊数学可以用来处理交通流量、交通信号等模糊和不确定的问题。
模糊数学法
模糊数学法引言模糊数学法是一种用于处理模糊不确定性问题的数学方法。
它是由美国数学家洛特菲尔德于1965年提出的，被认为是一种在现实世界中处理不明确、含糊和不确定性信息的有效工具。
在传统的数学中，我们通常使用精确的数值来进行计算和推导。
然而，在现实生活中，很多问题都是模糊不清的，无法用精确的数值来描述。
例如，判断一个人的身高是否高大，这个问题就存在模糊性，因为高大的标准因人而异。
在这种情况下，传统的数学方法就失去了效力，需要使用模糊数学法来处理。
模糊集合模糊集合是模糊数学的核心概念之一。
传统的集合理论中，元素要么属于集合，要么不属于集合，不存在属于程度的概念。
而在模糊集合中，元素的归属程度可以是模糊的。
一个元素可以部分属于集合，部分不属于集合。
这种归属程度的模糊性可以用[0,1]之间的数值来表示，称为隶属度。
模糊集合可以用一个隶属函数来描述。
隶属函数是一个将元素映射到隶属度的函数。
例如，对于一个描述“高大”人的模糊集合，可以用一个隶属函数将每个人映射到0到1之间的一个隶属度，表示这个人属于“高大”这个集合的程度。
模糊逻辑模糊逻辑是模糊数学的另一个重要概念。
传统的逻辑推理是基于真假的二值逻辑，而模糊逻辑则允许命题的真实性程度是模糊的。
模糊逻辑中的命题可以是“完全真”、“完全假”或者处于两者之间的模糊状态。
模糊逻辑使用模糊推理来推导出模糊命题的真实性程度。
它可以用于解决模糊不确定性问题，例如模糊控制系统中的决策问题、模糊信息检索等。
模糊数学应用模糊数学方法在很多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：模糊控制模糊控制是模糊数学的一个重要应用领域。
在传统的控制系统中，输入和输出之间的关系通常是精确的，可以用精确的数学模型来描述。
然而，在现实生活中，很多控制系统的输入和输出之间的关系是模糊的，无法用精确的数学模型来描述。
在这种情况下，可以使用模糊控制方法来设计控制系统，通过模糊推理来处理模糊的输入和输出。
模糊数学整理
（4）强烈算子：
四种算子关系：
1.4模糊集的截集
支集
核
1.5分解定理
定理1
1.6模糊集的模糊度
满足条件：
(1)
(2)
(3)
(4)
三种模糊度：
（1）海明模糊度
（2）欧几里得
第二章扩张原理与模糊数
2.1扩张原理
定理1
例2
2.2多元扩张原理
定理1
例1
2.3区间数
例题
2.4凸模糊集
例1
定理1
2.5模糊数
定义1
定理1
例2
例3
第三章模糊模式识别
3.1模糊集的贴近度
满足条件：
①
②
③
海明贴近度
欧几里德
最大最小
格贴近度
模糊模式识别的方法：
直接方法、间接方法
第四章模糊关系与聚类分析
4.2模糊矩阵及截矩阵
转置矩阵、对称矩阵、自反矩阵
模糊转置关系的性质
4.4模糊关系的合成
例1
4.5模糊关系的传递性
定义1
U上的x
定义2
例题
第五章模糊变换与综合评判
模糊变换
例1
模糊综合评判
(1)建立因素集
(2)建立判断集
(3)单因素模糊评判
(4)建立权重集
(5)模糊综合评判
第六章模糊故障诊断
第七章模糊语言与模糊推理
模糊语言与模糊算子
模糊Байду номын сангаас言变量
模糊算子
语言值
模糊推理的方法及算法
问题1：模糊关系的生成规则。设A是X上的模糊集，B是Y上的模糊集。根据模糊推理的大前提条件，确定模糊关系
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第 2 节 模糊模式识别
1. 方法简介 “模式”一词来源于英文 Pattern，原意是典范、式样、样品，在不同场合有其不同的 含义。在此我们讲的模式是指具有一定结构的信息集合。 模式识别就是识别给定的事物以及与它相同或类似的事物，也可以理解为模式的分类， 即把样品分成若干类，判断给定事物属于哪一类，这与我们前面介绍的判别分析很相似。 模式识别的方法大致可以分为两种， 即根据最大隶属原则进行识别的直接法和根据择近 原则进行归类的间接法，分别简介如下： (1) 若已知 n 个类型在被识别的全体对象 U 上的隶属函数，则可按隶属原则进行归类。 此处介绍的是针对正态型模糊集的情形。对于正态型模糊变量 x，其隶属度为
x11 x 21 X x n1
提供了以下 8 种建立相似矩阵的方法： ①相关系数法：
x12 x 22 xn2
x1m x2m x nm n m
②最大最小法： ③算术平均最小法： ④几何平均最小法： ⑤绝对指数法： ⑥绝对值减数法： ⑦夹角余弦法： ⑧欧氏距离：
这样确定出一个模糊子集 A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。
定义2
若 A 为 X 上的任一模糊集，对任意 0 1，记 A=｛x｜xX, A(x)｝,称 A
为 A 的截集。 A是普通集合而不是模糊集。 由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数 学语言，需要选取不同的置信水平 (0 1) 来确定其隶属关系。截集就是将模糊集转 化为普通集的方法。模糊集 A 是一个具有游移边界的集合，它随值的变小而增大，即当1 <2 时，有 A1∩A2。 定义 3 模糊集运算定义。若 A、B 为 X 上两个模糊集，它们的和集、交集和 A 的余集 (AB) (x)= max ( A(x), B(x) ) (AB) (x)= min ( A(x), B(x) ) AC (x)=1－A(x) 关于模糊集的和、交等运算，可以推广到任意多个模糊集合中去。 定义 4 定义 5 素为： 若一个矩阵元素取值为[0, 1]区间内， 则称该矩阵为模糊矩阵。 同普通矩阵一样， 若 A 和 B 是 n×m 和 m×l 的模糊矩阵，则它们的乘积 C=AB 为 n×l 阵, 其元
rij
n
。
在实际处理过程中，R 的收敛速度是比较快的。为进一步加快收敛速度，通常采取如下 处理方法： R→R2→R4→R8→…→R2k 即先将 R 自乘改造为 R2，再自乘得 R4，如此继续下去，直到某一步出现 R2k=Rk=R*。此时 R*满足了传递性, 于是模糊相似矩阵(R)就被改造成了一个模糊等价关系矩阵(R*)。 (4) 模糊聚类。对满足传递性的模糊分类关系的 R*进行聚类处理，给定不同置信水平 的，求 R 阵，找出 R*的显示，得到普通的分类关系。当=1 时，每个样品自成一类，随
*
值的降低，由细到粗逐渐归并，最后得到动态聚类谱系图。 4. DPS 平台操作示例 首先在编辑状态下输入编辑数据，格式是每一行为一个样本，每一列为一个变量，然后 将待分析的数据定义成数据矩阵块，在菜单方式下选择“模糊数学模糊聚类”功能项，回 车执行时，系统将提示用户选择数据转换方法： 0.不转换 1.数据中心化 2.对数转换 3.数据规格化 4.数据标准化
2 b ij 2 2 ij
(1) ( 2) bij a ij a ij
,
,
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m)。其中，
(1) a ij min( x ij )
,
(2) aij max( x ij )
,
, 而
2 ij
是 xij 的方差。 待判别对象 B 的 m 个指标分别具有参数 aj , bj (j=1, 2, …, m)，
作出数据转换方式的选择后， 系统又将提示选择建立模糊相似关系的计算方法， 共有上面所 述的 8 种方法可供选择。 分析输出的结果包括各个样本的联结序号、 联结水平、 聚类谱系图索引及在屏幕上显示
聚类谱系图(拷屏可得到谱系图硬拷贝, 或按 S 将图形文件以“.BMP”格式存放在盘上，然 后可在 Windows 有关应用软件中调出)。
(3) 聚类分析。用上述方法建立起来的相似关系 R，一般只满足反射性和对称性，不满 足传递性，因而还不是模糊等价关系。为此，需要将 R 改造成 R*后得到聚类图，在适当的 阈值上进行截取，便可得到所需要的分类。将 R 改造成 R*，可用求传递闭包的方法。 。R 自 乘的思想是按最短距离法原则，寻求两个向量 xi 与 xj 的亲密程度。 假设 R2=(rij )，即 rij = k 1 (rik∧rkj )，说明 xi 与 xj 是通过第三者 K 作为媒介而发生关系， rik∧rkj 表示 xi 与 xj 的关系密切程度是以 min(rik , rkj)为准则， 因 k 是任意的, 故从一切 rik∧rkj 中寻求一个使 xi 和 xj 关系最密切的通道。Rm 随 m 的增加，允许连接 xi 与 xj 的链的边就越 多。由于从 xi 到 xj 的一切链中, 一定存在一个使最大边长达到极小的链，这个边长就是相 当于
其中
(1) a ij
和
( 2) a ij
2 b 2 2 ij 2 分别是第 i 类元素第 j 种指标的最小值和最大值， ij , 而 ij 是第 i 类元
素第 j 种指标的方差。 (2) 若有 n 种类型(A1, A2, …, AN), 每类都有 m 个指标，且均为正态型模糊变量， 相应的 参数分别为
且为正态型模糊变量，则 B 与各个类型的贴近度为
模糊数学方法
模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学． 这里模糊性是指客观事物的差异在 中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医 院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另 一个等级间没有一个明确的分界， 中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程， 这个现象 叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性．在自然科学或社 会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主 要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性， 如某一生态条件对某种害虫、 某种作物的 存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利” ；灾害性霜冻气候对农业 产量的影响程度为“较重、严重、很严重” ，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为 处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。 根据集合论的要求， 一个对象对应于一个集合， 要么属于， 要么不属于， 二者必居其一， 且仅居其一。 这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。 为处理这些模糊概念而进行的 种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是 1965 年美国 自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近 10 多年来发展很快。 模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学 在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地 震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科 的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。 在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。 在 DPS 系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其 分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。
第1节
1. 模糊集的概念
模糊聚类分析
对于一个普通的集合 A，空间中任一元素 x，要么 xA，要么 xA，二者必居其一。这 一特征可用一个函数表示为：
1 A( x ) 0 x A x A
A(x)即为集合 A 的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取 0、1 两值推广 到模糊集中为[0, 1]区间。 定义 1 设 X 为全域，若 A 为 X 上取值[0, 1]的一个函数，则称 A 为模糊集。 如给 5 个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以 100，这样给定了一个从域 X=｛x1 , x2 , x3 , x4, x5｝到[0, 1]闭区间的映射。 x1：85 分，即 A(x1)=0.85 x2：75 分， x3：98 分， x4：30 分， x5：60 分， A(x2)=0.75 A(x3)=0.98 A(x4)=0.30 A(x5)=0.60
A( x ) e
2 2 2
x a 2 b
其中 a 为均值，b =2 , 为相应的方差。按泰勒级数展开，取近似值得
x a 2 A( x ) 1 b 0 xa b xa b
若有 n 种类型 m 个指标的情形，则第 i 种类型在第 j 种指标上的隶属函数是
0 (1) 2 x a ij 1 bij Aij ( x ) 1 (2) 2 x a ij 1 b ij 0
(1) x a ij bij (1) (1) a ij bij x a ij (1) (2) a ij x a ij (2) (2) a ij x a ij bij (2) a ij bij x
m
都是模糊集, 其隶属函数分别定义为：
有模糊单位阵，记为 I；模糊零矩阵，记为 0；元素皆为 1 的矩阵用Ｊ表示。
Cij=
k 1
( a ik bkj )
(i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, l) (20.1) 4) AＪ=ＪA; 5)
符号“∨”和“∧”含意的定义为： a∨b=max(a, b)，a∧b=min(a, b)。 模糊矩阵乘法性质包括: 1) (AB)C=A (BC)；2) AI=IA=A；3) A0=0A=0; 2. 模糊分类关系 模糊聚类分析是在模糊分类关系基础上进行聚类。由集合的概念, 可给出如下定义： 定义 6 定义 7 n 个样品的全体所组成的集合 X 作为全域，令 XY=｛(X, Y)｜xX, yY｝,则称 设 R 为 XY 上的一个集合，并且满足： XY 为 X 的全域乘积空间。 1) 反身性: (xi , yi)R，即集合中每个元素和它自己同属一类； 2) 对称性: 若(x, y)R，则(y, x)R，即集合中(x, y)元素同属于类 R 时, 则(y, x)也同属 于 R； 3) 传递性: (x, y)R，(y, z)R，则有(x, z)R。 上述三条性质称为等价关系，满足这三条性质的集合 R 为一分类关系。 聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度, 并以此来实现分类， 模糊聚类分析的实质就则是根据研究对象本身的属性未构造模糊矩阵， 在此基础上根据一定 的隶属度来确定其分类关系。 3. 模糊聚类 利用模糊集理论进行聚类分析的具体步骤如下： (1) 若定义相似系数矩阵用的是定量观察资料，在定义相似系数矩阵之前，可先对原始 数据进行变换处理，变换的方法同系统聚类分析, 可参考第 17 章系统聚类分析一节。 (2) 计算模糊相似矩阵。设Ｕ是需要被分类对象的全体，建立Ｕ上的相似系数 R,Ｒ(i, j) 表示 i 与 j 之间的相似程度，当Ｕ为有限集时，R 是一个矩阵，称为相似系数矩阵。定义相 似系数矩阵的工作， 原则上可以按系统聚类分析中的相似系数确定方法， 但也可以用主观评 定或集体打分的办法。DPS 平台，对数据集 若 A、B 为模糊矩阵且 aij bij (一切 i, j)，则 AB，又若 AB, 则 AC BC，CACB。