模糊数学方法(第七章权重)
权重的确定方法汇总
权重的确定方法汇总1.主观评估法：该方法是根据领域专家的主观判断来确定权重。
专家会根据他们的经验和知识，对不同因素的重要性进行评估，并给出相应的权重。
这种方法适用于主观性较强的问题，如风险评估等。
2.权衡矩阵法：该方法是通过创建一个矩阵来确定权重。
在矩阵中，将各个影响因素两两进行比较，并根据重要性给出分值。
然后，根据分值计算权重。
这种方法适用于多个因素相互关联的问题。
常见的权衡矩阵方法有AHP（层次分析法）和ANP（层次网络过程）。
3.数据驱动方法：该方法是通过数据分析来确定权重。
可以使用统计分析、机器学习等技术，根据历史数据和模型训练结果，计算出各个因素的权重。
这种方法适用于大数据环境下，有足够的数据支持的问题。
4.线性规划法：该方法是通过线性规划模型来确定权重。
首先需要确定目标函数和约束条件，将问题转化为线性规划问题，然后使用线性规划算法求解出最优解，从而确定权重。
这种方法适用于有明确目标和约束的问题。
5.直觉法：该方法是通过个人的直觉和经验来确定权重。
根据个人判断，给出各个因素的权重。
这种方法适用于专家经验丰富、问题较为简单的情况。
6. Delphi法：该方法是通过专家群体的意见和建议来确定权重。
专家群体通过多轮的匿名调查和讨论，逐渐达成共识，最终确定权重。
这种方法适用于问题复杂、需要多个专家意见的情况。
7.模糊数学方法：该方法是通过模糊数学理论来确定权重。
通过模糊数学的模糊相似度和模糊综合评判等方法，计算出各个因素的权重。
这种方法适用于问题涉及的因素模糊性较强的情况。
8.回归分析法：该方法是通过回归分析模型来确定权重。
将因变量和自变量之间的关系建立回归方程，然后分析回归方程中自变量的系数大小，根据系数确定权重。
这种方法适用于因变量和自变量之间存在较强关联的问题。
在实际应用中，选择何种权重确定方法，需要根据问题的具体特点和数据情况来综合考虑。
常见的权重确定方法往往是结合多种方法，通过综合评估，得出最终的权重。
模糊数学评价方法教程
模糊综合评价法（见课件）模糊数学是从量的角度研究和处理模糊现象的科学．这里模糊性是指客观事物的差异在中介过渡时所呈现的“亦此亦比”性．比如用某种方法治疗某病的疗效“显效”与“好转”、某医院管理工作“达标”与“基本达标”、某篇学术论文水平“很高”与“较高”等等．从一个等级到另一个等级间没有一个明确的分界，中间经历了一个从量变到质变的连续过渡过程，这个现象叫中介过渡．由这种中介过渡引起的划分上的“亦此亦比”性就是模糊性．一、单因素模糊综合评价的步骤 1．根据评价目的确定评价指标（evaluation indicator ）集合},,,{21m u u u U =例如评价某项科研成果，评价指标集合为U ={学术水平，社会效益，经济效益}．2．给出评价等级（evaluation grade ）集合},,,{21n v v v V =如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价指标的权重（weight ）},,,{21m W μμμ =权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且∑=1i μ． 例如假设评价科研成果，评价指标集合U ={学术水平，社会效益，经济效益}其各因素权重设为}4.0,3.0,3.0{=W ．4．确定评价矩阵R请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素评价（one-way evaluation ），例如对学术水平，有50%的专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为“一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为()0,2.0,3.0,5.01=R同样如果社会效益，经济效益两项单因素评价结果分别为()1.0,2.0,4.0,3.02=R ()2.0,3.0,2.0,2.03=R那么该项成果的评价矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0321R R R R 5．进行综合评价通过权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊变换得到模糊评判集S ： 设m j W ⨯=1)(μ，n m ji r R ⨯=)(，那么()()n mn m m n n m s s s r r r r r rr r r R W S ,,,,,,2121222211121121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==μμμ其中“ ”为模糊合成算子．进行模糊变换时要选择适宜的模糊合成算子，模糊合成算子通常有四种：(1) ),(∨∧M 算子(){}n k r r s jkj mj jk j mj k ,,2,1,,min max )(11=∧=≤≤=∨μμ＝符号“∧”为取小， “ ∨” 为取大．例如：n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()2.03.03.03.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1∧∨∧∨∧=S =)2.03.03.0(∨∨ =3.0其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (2) (M ﹒),∨算子{}n k r r s jk j mj jk j mj k ,,2,1,max )(11=⋅⋅=≤≤=∨μμ＝例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()08.012.012.015.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1⨯∨⨯∨⨯=S =)08.009.015.0(∨∨ =15.0其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (3) ),(⊕∧M 算子“⊕”是有界和运算，即在有界限制下的普通加法运算．对t 个实数t x x x ,,,21 有⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⊕⊕⊕∑=t i i t x x x x 121,1min ．利用),(⊕∧M 算子，有()n k r s m j jk j k ,,2,1,,min ,1min 1 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑=μ例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()3.07.08.08.0 其中)2.04.0()3.03.0()5.03.0(1∧⊕∧⊕∧=S =)2.03.03.0(⊕⊕ =0.8其他k S （)4,3,2=k 求法相同． (4) (M ﹒),⊕算子n k r s m j jk j k ,,2,1,,1min 1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑=μ例如n k s R W S ⨯==1)( =)4.03.03.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.03.02.02.01.02.04.03.002.03.05.0 =()3.07.08.08.0 其中3.0(1=S •3.0()5.0⊕•4.0()3.0⊕•)2.0 =)08.009.015.0(⊕⊕ =0.32以上四个算子在综合评价中的特点是：),(∨∧M 和(M ﹒),∨在运算中能突出对综合评判起作用的主要因素，在确定W 时不一定要求其分量之和为1，即不一定是权向量，故为主因素突出型．),(⊕∧M 和(M ﹒),⊕在运算时兼顾了各因素的作用，W 为名符其实的权向量，应满足各分量之和为1，故为加权平均型．最后通过对模糊评判向量S 的分析作出综合结论．一般可以采用以下三种方法：(1) 最大隶属原则模糊评判集S =),,,(21n S S S 中i S 为等级i v 对模糊评判集S 的隶属度，按最大隶属度原则作出综合结论，即),,,m ax (21n S S S M =M 所对应的元素为综合评价结果．该方法虽简单易行，但只考虑隶属度最大的点，其它点没有考虑，损失的信息较多．(2) 加权平均原则加权平均原则是基于这样的思想：将等级看作一种相对位置，使其连续化．为了能定量处理，不妨用“n ,,2,1 ”依次表示各等级，并称其为各等级的秩．然后用S 中对应分量将各等级的秩加权求和，得到被评事物的相对位置．这就是加权平均原则，可表示为∑∑==⋅=n i k ini ki iss u 11*)(νμ （12－1）其中k 为待定系数（k ＝1或k ＝2），目的是控制较大的i s 所起的作用．可以证明，当∞→k 时，加权平均原则就是最大隶属原则．例如：对()2.0,3.0,3.0,3.0=S ，评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}，各等级赋值)(i νμ分别为{4，3，2，1}，仿照普通加权平均法的计算公式，有*=1k u =2.03.03.03.02.013.023.033.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.64即该项成果的综合评价结果为好稍偏一般．(3) 模糊向量单值化如果给等级赋予分值，然后用S 中对应的隶属度将分值加权求平均就可以得到一个点值，便于比较排序．设给n 个等级依次赋予分值n c c c ,,,21 ，一般情况下（等级由高到低或由好到差），n c c c >>> 21，且间距相等，则模糊向量可单值化为∑∑==⋅=n i kini ki iss cc 11 （12－2）其中k 的含义与作用同（12－1）中的k 相同．多个被评事物可以依据（12－2）式由大到小排出次序．以上三种方法可以依据评价目的来选用，如果需要序化，可选用后两种方法，如果只需给出某事物一个总体评价结论，则用第一种方法．二、多级模糊综合评判有些情况因为要考虑的因素太多，而权重难以细分，或因各权重都太小，使得评价失去实际意义，为此可根据因素集中各指标的相互关系，把因素集按不同属性分为几类．可先在因素较少的每一类（二级因素集）中进行综合评判，然后再对综合评判的结果进行类之间的高层次评判．如果二级因素集中有些类含的因素过多，可对它再作分类，得到三级以至更多级的综合评判模型．注意要逐级分别确定每类的权重．以二级综合评判为例给出其数学模型： 设第一级评价因素集为},,,{21m u u u U =各评价因素相应的权重集为},,,{21m W μμμ =第二级评价因素集为},,,{21ik i i i u u u U = m i ,,2,1 =相应的权重集为},,,{21ik i i i W μμμ =相应的单因素评判矩阵为：[]nk jl i r R ⨯= k l ,,2,1 =二级综合评判数学模型为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m mR W R W R W W B2211三、模糊综合评判应用举例某地对区级医院2001~2002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例．患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用．规定很好、好、一般、差的标准见表12-1，病人医疗质量各等级频数分布见表12—2．表12-1 很好、好、一般、差的标准指标 很好 好 一般 差 疗效 治愈 显效 好转 无效 住院日≤1516~2021~25＞25 费用（元） ≤14001400~18001800~2200＞2200表12-2 两年病人按医疗质量等级的频数分配表 指标很好 质量好 等级一般差疗效01年 02年 160 170380 41020 1040 60住院日01年 02年 180 200 250 310130 12040 20费用01年 02年 130 110270 320130 12070 100现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价．1．据评价目的确定评价因素集合评价因素集合为U ={疗效，住院日，费用}． 2．给出评价等级集合如评价等级集合为V ={很好，好，一般，差}． 3．确定各评价因素的权重设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即）（3.0,2.0,5.0=W4．2001年与2002年两个评价矩阵R 分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=600/70600/130600/270600/130600/40600/130600/250600/180600/40600/20600/380600/1601R= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=650/100650/120650/320650/110650/20650/120650/310650/200650/60650/10650/410650/1702R=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.05．综合评价作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊乘积运算．如果突出疗效，且只需对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行总体工作情况给出一个总体评价结论，可采用),(∨∧M 算子，确定模糊评判集S ，按最大隶属度原则进行评判：n k s R W S ⨯==111)( = )3.02.05.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛117.0217.0450.0217.0067.0217.0417.0300.0067.0033.0633.0267.0 =()117.0217.0500.0267.0n k s R W S ⨯==122)( = )3.02.05.0(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛154.0185.0492.0169.0031.0185.0477.0308.0092.0015.0631.0262.0=()154.0185.0500.0262.0按最大隶属度原则，两年最大隶属度均为0.500，可以认为对某地区区级医院2001年与2002年医疗质量评价结果均为“好”．如果突出疗效，且对该地区级医院2001~2002年医疗质量进行排序，也可采用),(∨∧M 算子确定的模糊评判集S ，按加权平均原则进行评判：将评价等级很好，好，一般，差分别赋值为4，3，2，1． 2001年的评价结果为∑∑==*=⋅=41411)(i ii iik ss u νμ=117.0217.0500.0267.0117.01217.02500.03267.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.8332002年的评价结果为∑∑==*=⋅=41411)(i i i i i k s s u νμ=154.0185.0500.0262.0154.01185.02500.03262.04+++⨯+⨯+⨯+⨯=2.790 2001年的工作质量略好于2002年．以上评判结果均没有充分兼顾住院日与费用的作用，如果充分考虑各因素的作用在作权系数矩阵W 与评价矩阵R 的模糊运算的时候可以采用),(⊕∧M 算子或(M ﹒),⊕算子．。
模糊数学评价法
模糊数学评价法
模糊数学评价法是一种根据模糊数学原理进行评价和决策的方法。
它的基本思想是将事物的评价指标量化为模糊数，并使用模糊运算进行计算和比较。
模糊数学评价法包含以下几个步骤：
1. 确定评价指标：首先确定评价对象的各个指标，例如产品的质量、性能、价格等。
2. 模糊化：将各个指标进行模糊化处理，将其转化为模糊数。
模糊化可以通过专家的经验判断或者数据统计等方法进行。
3. 确定评价集合：根据用户的需求和评价对象的特点，确定评价集合，例如优、良、中、差等。
4. 计算评价指标的隶属度：根据模糊数学的原理，计算各个评价指标在各个评价集合中的隶属度。
5. 模糊运算：根据评价指标的隶属度进行模糊运算，得到评价对象的综合评价。
6. 判断评价对象的等级：根据综合评价的结果，确定评价对象的等级或者排名。
模糊数学评价法可以考虑到评价对象的多样性和不确定性，同时能够处理评价指标之间的相互关系和权重，提高评价结果的
客观性和准确性。
它在产品评价、企业绩效评价、投资决策等方面具有广泛的应用。
第7章模糊决策方法
7.1.3 隶属函数确定方法
（3）借用已有的“客观”尺度
在经济管理、社会科学中，可以直接借用已有的尺度 （经济指标）作为模糊集的隶属度。
（4）二元对比排序法
对于有些模糊集，很难直接给出隶属度，但通过两两 比较，容易确定两个元素相应隶属度的大小。先排序，再 用数学方法加工得到隶属函数。
隶属程度的思想是模糊数学的基本思想，应用模糊数 学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数。
L.A.扎德教授多年来致力于“计算机”与“大 系统”的矛盾研究，集中思考了计算机为什么不能像 人脑那样进行灵活的思维与判断问题。
“常规数学方法的应用对于本质上是模糊系统的 分析来说是不协调的，它将引起理论和实际之间的很 大差距。”因此，必须寻找到一套研究和处理模糊性 的数学方法。这就是模糊数学产生的历史必然性。
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第7章模糊决策方法
7.1 模糊理论的基本概念
7.1.1 模糊集与隶属函数
定义7.1.1 设 是论域，称映射
确定了 上的模糊子集 。映射 称为 的隶属函数，
称
为 对 的隶属程度。
隶属度与隶属函数的思想是模糊数学的基本思想。
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第7章模糊决策方法
7.1 模糊理论的基本概念
（2）指派方法
指派隶属函数的方法普遍被认为是一种主观方法，它 把人们的实践经验考虑进去。若模糊集定义在实数集上， 则模糊集的隶属函数便被称为模糊分布。指派方法，就是 根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根 据测量数据确定分布中所含的参数。
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第7章模糊决策方法
7.1 模糊理论的基本概念
7.1.1 模糊集与隶属函数
模糊集的表示方法（以有限论域为例） （1）扎德表示法：
模糊数学方法(第七章权重)
一、建立递阶层次结构
层次分析一般把问题分为三层，各层间关系用线 层次分析一般把问题分为三层， 连接。第一层称为目标层，第二层为准则层，第三层 连接。第一层称为目标层，第二层为准则层， 叫做方案层。如果有次级标准还可以增加次准则层等。 叫做方案层。如果有次级标准还可以增加次准则层等。
例如，上面例子的递阶层次结构为： 例如，上面例子的递阶层次结构为：
层次分析法
(The Analytic Hierarchy process,简称 简称AHP) 简称 层次分析是一种决策分析的方法。它结合了 层次分析是一种决策分析的方法。 定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。 定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。
人们在日常生活和工作中， 人们在日常生活和工作中，常常会遇到在多种方案 中进行选择问题。 中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选 择；毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才；政府 毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才； 机构要作出未来发展规划； 机构要作出未来发展规划；厂长要选择未来产品发展方 向；科研人员要选择科研课题…… 科研人员要选择科研课题
1 7 2 A 如例1 ： 1 = 1 / 7 1 1 / 4 1 / 2 4 1 1 1 / 5 1 / 4 A3 = 5 1 1 / 2 4 2 1
1 1 / 7 1 / 6 A2 = 7 1 1 / 2 6 2 1 1 1 / 3 5 A4 = 3 1 7 1 / 5 1 / 7 1
（j = 1, 2,L , n)
1 k 权重取加权平均： a j = ∑ aij k i =1 即得权重集
A = (a1 , a2 ,L , an )
2. 频数统计法
权重法的计算方法
权重法的计算方法权重法（Weighting method）是一种常用的决策分析方法，用于确定不同因素或评价指标对决策结果的影响程度。
权重法的计算方法主要包括主观赋权法、客观权重法和模糊综合评价法等。
1.主观赋权法主观赋权法是基于专家判断、经验和直觉来确定权重的一种方法。
主要步骤如下：（1）明确决策目标和评价指标：确定决策的目标，并确定与目标相关的评价指标。
（2）选择专家组成员：选择一些相关背景知识丰富的专家组成专家组。
（3）构建专家问卷：编制一份包含决策目标和评价指标的问卷，要求专家按照自己的认识和经验进行排序或打分。
（4）调查专家意见：向专家组发放问卷，收集专家对于各个评价指标的权重意见。
（5）计算权重：根据专家的评分或排序结果，对各指标进行加权计算，得出权重值。
2.客观权重法客观权重法是利用具体的数据和统计方法来确定权重的方法。
常用的方法有随机权重法、特征因子法和层次分析法等。
（1）随机权重法：通过随机生成不同的权重组合，进行模拟计算，并选取多次模拟计算结果中符合一定条件的组合作为权重。
（2）特征因子法：根据样本数据特征因子的大小及其对决策结果的影响程度，来确定权重。
常见的特征因子有方差、相关系数、熵等。
（3）层次分析法：将决策问题分层次逐级进行分析和比较，在不同层次上建立判断矩阵，通过计算判断矩阵的特征向量和特征值，从而确定权重。
3.模糊综合评价法模糊综合评价法是一种将模糊数学理论与统计学方法相结合的权重计算方法。
主要步骤如下：（1）明确评价指标和评价等级：根据决策目标，确定评价指标和评价等级。
（2）建立模糊评价矩阵：将决策问题中的指标与相应的评价等级建立模糊评价矩阵。
（3）确定隶属度函数：根据具体情况，选择适当的隶属度函数，将评价等级转化为模糊数值。
（4）计算权重：根据模糊评价矩阵和隶属度函数，通过模糊综合评价法计算各个评价指标的权重。
以上是权重法的主要计算方法，根据实际应用的情况和需求，选择合适的方法进行权重计算，可以为决策问题的选择和优化提供科学依据。
确定权重的方法有哪些
确定权重的方法有哪些确定权重的方法有以下几种：1. 主观评价法：主观评价法是通过主观判断确定权重的方法。
这种方法主要依赖于专家的经验和判断。
可以通过专家讨论、问卷调查、专家打分等方式获取权重。
这种方法的优点是简单、快捷，但由于受个人主观因素的影响较大，可能存在一定的不确定性和误差。
2. 层次分析法（AHP）：层次分析法是一种通过层次结构将问题分解为若干个互相关联的属性和准则，再通过对两两比较构建判断矩阵，最终计算权重的方法。
AHP方法综合了专家经验和定量数据，通过对判断矩阵进行运算，可以得出权重的相对大小。
这种方法的优点是结构化、可操作性好，但需要系统性的分析和计算，且对于问题的结构和判断矩阵的构建比较依赖。
3. TOPSIS法：TOPSIS（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）方法是一种将问题转化为离差最小的理想解和离差最大的负理想解的距离，通过计算属性与理想解的相似程度，确定权重的方法。
这种方法通过比较属性与理想解的距离，综合考虑多个属性的影响，确定权重。
TOPSIS方法适用于多属性决策问题，优点是计算相对简单，可以充分考虑各属性的重要性。
4. 熵权法：熵权法是一种根据信息熵原理进行权重确定的方法。
该方法通过计算各属性的信息熵值，反映属性的不确定性和随机性，进而计算出权重。
熵权法的优点是不涉及主观评价，避免了主观偏差，同时可以充分考虑属性的信息量和差异。
5. 模糊数学方法：模糊数学方法是一种基于模糊逻辑的判断和决策方法。
这种方法适用于问题属性之间存在模糊性和不确定性的情况。
通过建立模糊隶属函数，对属性进行模糊化处理，并进行模糊比较和加权，最终确定权重。
模糊数学方法的优点是能够应对复杂的问题和模糊的信息，但计算过程较为复杂。
6. 统计分析方法：统计分析方法是一种利用数据分析和统计方法确定权重的方法。
通过对历史数据或实验数据进行分析和建模，可以得出不同属性的权重。
模糊数学方法
模糊数学⽅法模糊数学⽅法在⾃然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。
这⾥所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某⼀⽣态条件对某种害⾍、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、⽐较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻⽓候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。
这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产⽣了模糊集合论。
根据集合论的要求，⼀个对象对应于⼀个集合，要么属于，要么不属于，⼆者必居其⼀，且仅居其⼀。
这样的集合论本⾝并⽆法处理具体的模糊概念。
为处理这些模糊概念⽽进⾏的种种努⼒，催⽣了模糊数学。
模糊数学的理论基础是模糊集。
模糊集的理论是1965年美国⾃动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授⾸先提出来的，近10多年来发展很快。
模糊集合论的提出虽然较晚，但⽬前在各个领域的应⽤⼗分⼴泛。
实践证明，模糊数学在农业中主要⽤于病⾍测报、种植区划、品种选育等⽅⾯，在图像识别、天⽓预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、⼈⼯智能等诸多领域的应⽤也已初见成效。
从该学科的发展趋势来看，它具有极其强⼤的⽣命⼒和渗透⼒。
在侧重于应⽤的模糊数学分析中，经常应⽤到聚类分析、模式识别和综合评判等⽅法。
在DPS系统中，我们将模糊数学的分析⽅法与⼀般常规统计⽅法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供⽤户参考和使⽤。
第1节模糊聚类分析1. 模糊集的概念对于⼀个普通的集合A，空间中任⼀元素x，要么x∈A，要么x?A，⼆者必居其⼀。
这⼀特征可⽤⼀个函数表⽰为：A x x A x A()=∈1A(x)即为集合A的特征函数。
将特征函数推⼴到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推⼴到模糊集中为[0, 1]区间。
定义1 设X为全域，若A为X上取值[0, 1]的⼀个函数，则称A为模糊集。
如给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100，这样给定了⼀个从域X=｛x1 , x2 , x3 , x4, x5｝到[0, 1]闭区间的映射。
权重确定方法
权重确定方法权重是指在某种评价体系中，各指标或因素所占的比重。
在实际工作中，确定权重是非常重要的，它直接影响着评价结果的客观性和准确性。
因此，确定权重的方法是非常值得研究和探讨的。
下面将介绍一些常用的权重确定方法。
一、主观赋权法。
主观赋权法是指根据专家经验和判断，通过讨论和协商确定各指标的权重。
这种方法的优点是简单直观，能够充分发挥专家的经验和智慧，但缺点是容易受主观因素的影响，权重的确定可能不够客观和科学。
二、层次分析法。
层次分析法是一种将复杂问题层层分解，逐级进行比较和判断的方法。
通过构建层次结构模型，确定各层次的权重，最终得出最终的权重结果。
这种方法的优点是结构清晰，逻辑严谨，能够较为客观地确定权重，但缺点是需要大量的计算和分析，且对专家的要求较高。
三、模糊综合评价法。
模糊综合评价法是一种利用模糊数学理论进行权重确定的方法。
通过建立模糊综合评价模型，将各指标的权重表示为模糊数，并通过模糊综合运算得出最终的权重结果。
这种方法的优点是能够较好地处理不确定性和模糊性，但缺点是模型较为复杂，计算量大，且对数据的要求较高。
四、层次加权法。
层次加权法是一种将各指标的权重通过层层加权得出最终权重的方法。
首先确定各指标的相对重要性，然后通过加权求和得出最终的权重结果。
这种方法的优点是简单易行，计算量小，但缺点是对指标之间的关系要求较高，容易出现主观偏差。
五、信息熵法。
信息熵法是一种利用信息熵理论进行权重确定的方法。
通过计算各指标的信息熵和权重熵，得出最终的权重结果。
这种方法的优点是能够较好地反映指标的信息量，但缺点是对数据的要求较高，且计算过程较为复杂。
综上所述，确定权重的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和局限性。
在实际工作中，我们可以根据具体情况选择合适的方法，或者结合多种方法进行权重确定，以确保评价结果的客观性和准确性。
希望本文介绍的方法能够对大家有所帮助，谢谢阅读。
数学权重计算公式
数学权重计算公式在数学中，权重是一种常用的概念，用于表示各个元素的相对重要性或影响力。
根据具体的应用场景和需求，可以使用不同的公式来计算权重。
下面是一些常见的权重计算公式及相关参考内容。
1. 简单加权计算公式：简单加权计算公式是最基本的一种权重计算方法，它将各个因素的权重加总得到汇总的权重结果。
计算公式如下：总权重 = (权重1 * 值1) + (权重2 * 值2) + ... + (权重n * 值n) 其中，权重表示影响因素的重要性，值表示具体的数值或指标。
参考内容：- 《统计学习方法》（李航著）：该书介绍了机器学习中的一些常用算法及其实现，其中包含了关于权重的概念和计算方法的详细介绍。
- 《数据化运营》（徐斌著）：该书从数据和运营的角度出发，讲解了如何运用数据进行决策和优化，包括权重计算的方法和应用案例。
2. 标准化权重计算公式：在一些情况下，需要对权重进行标准化处理，使得各个权重值的范围相同或可比较。
常用的标准化权重计算公式有以下两种：(1) 最大值最小值标准化：标准化权重 = (原始权重 - 最小权重) / (最大权重 - 最小权重) 最大值最小值标准化将原始权重映射到[0, 1]范围内，保持了权重的相对大小关系。
(2) Z-Score标准化：标准化权重 = (原始权重 - 平均权重) / 标准差Z-Score标准化将原始权重映射到均值为0，标准差为1的标准正态分布上，使得各个权重值可以进行可比较的分析。
参考内容：- 《数值分析方法》（杨拥军著）：该书详细介绍了数值分析中的常见计算方法，包括标准化处理和相关应用案例。
- 《数据挖掘：概念与技术》（Jiawei Han等著）：该书全面讲解了数据挖掘的基本概念和技术，包括标准化权重计算方法的原理和实践。
3. 熵权法计算公式：熵权法是一种基于信息熵的权重计算方法，它通过计算各个因素的熵值来确定权重。
熵值越大，表示信息的不确定度越高，权重越小。
熵权法计算步骤如下：(1) 计算每个因素的熵值：熵 = - 求和[概率 * log2(概率)]其中，概率表示某个因素的权重占比。
fahp权重计算
fahp权重计算Fahp权重计算Fahp（Fuzzy Analytic Hierarchy Process）是一种基于模糊数学理论的多准则决策方法，用于确定决策问题中各准则的权重。
它通过对准则之间的两两比较，结合模糊数学的运算方法，得出一个权重向量，用于指导决策过程。
本文将详细介绍Fahp权重计算的过程和应用。
一、Fahp权重计算的基本原理Fahp权重计算的基本原理是将准则之间的两两比较转化为模糊数学中的模糊矩阵运算，通过对模糊矩阵的特征向量进行归一化处理，得到最终的权重向量。
具体而言，Fahp权重计算包括以下几个步骤：1. 构建模糊判断矩阵：根据决策问题的具体情况，建立一个n×n 的模糊判断矩阵，其中n表示准则的个数。
模糊判断矩阵的元素表示准则之间的比较关系，通常用模糊语言（如“相对重要”、“非常重要”、“非常不重要”等）进行描述。
2. 模糊矩阵的标准化：对模糊判断矩阵进行标准化处理，将模糊语言转化为数值，得到一个数值型的模糊矩阵。
3. 求解特征向量：通过求解模糊矩阵的特征向量，得到一个n维的特征向量。
4. 归一化处理：将特征向量进行归一化处理，得到最终的权重向量。
二、Fahp权重计算的应用案例为了更好地理解Fahp权重计算的应用，下面以选取旅游目的地的案例进行说明。
假设我们需要选择旅游目的地，我们可以从以下几个准则进行考虑：自然风光、文化历史、交通便利、旅游费用和安全性。
现在我们需要确定这些准则的权重，以便进行决策。
我们需要构建模糊判断矩阵，对这些准则进行两两比较。
比如，我们认为自然风光相对于文化历史来说非常重要，于是可以将其模糊判断矩阵的元素设为“非常重要”。
接下来，我们将模糊判断矩阵进行标准化处理，转化为数值型的模糊矩阵。
例如，我们可以将“非常重要”转化为0.8，将“相对重要”转化为0.6。
然后，我们求解模糊矩阵的特征向量。
通过计算特征向量，我们可以得到每个准则的权重。
我们对特征向量进行归一化处理，得到最终的权重向量。
模糊数学方法详细介绍
A x e
A x
A x
A x
1
0
1
a
x
0
1
a
x
0
a
x
偏小型
6.柯西型
1 1 A x 1 x a xa x a A x
中间型
1 1 x a
偏大型
0 1 A x 1 x a xa xa
A x A x
0 k xa b x c x A ba cxd 1
xd
A x
1
0
1
a
b
1
cd x
0
x
0 a b
a
b
x
偏小型
4. 型 k 0
1 A x k xa e
现实中的模糊概念——例如：厚、薄、美、丑、 早晨、中午、晴天、阴天、优、劣，蔬菜、水 果、感冒、合格品、次品等 量的分类
确定性 经典数学 量 随机性 随机数学 不确定性模糊性 模糊数学
模糊数学
1965年美国加利福尼亚大学控制专家扎德(zadeh L.A)在《information and control》杂志上发表了一 篇开创性论文“Fuzzy sets”这标志着模糊数学的诞生。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。是 把模糊的问题化为确定性问题的基础，是数据处理常用 的方法。
说明：排中律不成立，即
A A U, A
c c
一、模糊集合论的基础知识
U = {甲, 乙, 丙, 丁} A = “矮子” 隶属函数A= (0.9, 1, 0.6, 0) B = “瘦子” 隶属函数B= (0.8, 0.2, 0.9, 1) 找出 C = “既矮又瘦” C = A∩B = ( 0.9∧0.8 , 1∧0.2 , 0.6∧0.9 , 0∧1 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0) 甲和丙比较符合条件
模糊数学方法权重
模糊数学方法权重模糊数学方法权重是指利用模糊数学方法对多个指标或因素进行权重分配和评估的过程。
在现实生活中，我们常常需要根据各种指标或因素的重要性，为它们分配相应的权重，以便进行综合评价和决策。
模糊数学提供了一种有效的方法来解决这个问题。
模糊数学方法权重的计算过程主要包括指标的模糊化、成对比较和权重的计算三个步骤。
指标的模糊化是将具体的指标转化为模糊数值的过程。
在实际应用中，往往难以准确地度量和评估各种指标的重要性，而模糊数学提供了一种有效的方法来处理这种不确定性。
通过设定合适的模糊集以及相应的隶属函数，可以将具体的指标转化为模糊数值，以表示其重要程度的不确定性。
成对比较是在模糊化后的指标之间进行两两比较的过程。
通过成对比较，可以确定各个指标之间的相对重要性，从而为它们分配相应的权重。
成对比较是一个相对性的过程，即通过比较两个指标之间的差异，来判断它们的相对重要性。
权重的计算是根据成对比较的结果，通过一定的计算方法来确定各个指标的权重。
常用的方法有模糊层次分析法、模糊正态分布法、模糊相对熵法等。
这些方法都是基于模糊数学理论和原理，通过数学模型和计算公式来实现权重的计算。
模糊层次分析法是一种常用的权重计算方法，它基于模糊数学理论和层次分析法。
首先，将各个指标按照重要性划分为几个层次，形成一个层次结构。
然后，通过成对比较，得到各个指标之间的相对重要性的模糊数值。
最后，根据模糊层次分析法的计算步骤，得到各个指标的权重。
模糊正态分布法是一种基于概率统计理论和模糊数学理论的权重计算方法。
它将指标的相对重要性看作是一种随机变量，符合其中一种模糊正态分布。
通过模糊数学的方法，可以估计和计算出各个指标的权重。
模糊相对熵法是一种基于信息论和模糊数学理论的权重计算方法。
它通过计算指标之间的模糊熵和相对熵，来评估和比较它们的重要性。
模糊相对熵方法可以考虑到各个指标之间的相互关系和相互影响，从而提高权重计算的准确性和稳定性。
模糊数学方法
模糊数学方法
模糊数学方法是一种处理具有不确定性或模糊性问题的数学方法。
在经典数学中，事物通常被视为确定性的，可以用精确的数值来表示。
然而，在实际生活中，很多事物是模糊的，没有明确的界限和定义，这就需要用模糊数学方法来处理。
模糊数学方法的基本思想是承认事物的模糊性，将模糊性作为事物的一种固有属性来处理，而不是试图消除它。
通过建立模糊集合和隶属函数，模糊数学方法能够描述和处理具有不确定性和模糊性的事物。
具体来说，模糊数学方法包括模糊集合理论、模糊推理、模糊控制等方面的内容。
其中，模糊集合理论是研究模糊性事物的数学理论，包括模糊集的定义、运算和性质等；模糊推理是利用模糊集合和隶属函数进行推理的方法，可以用于处理不确定性和模糊性的事物；模糊控制则是将模糊数学方法应用于控制领域，用于处理具有不确定性和非线性的控制系统。
总之，模糊数学方法是一种处理具有不确定性或模糊性问题的有效工具，可以广泛应用于各个领域，如自然语言处理、模式识别、人工智能等。
权重的计算方法
权重的计算方法权重是很多计算过程中都必不可少的一种重要的参数，它可以用来衡量不同因素之间的关联度，从而有效解决实际问题。
具体来看，权重的计算方法包括贝叶斯统计分析、模糊逻辑推理和启发式决策等多种工具。
现在，让我们一一展开，来了解一下这些权重的计算方法背后的原理与实现过程。
一、贝叶斯统计分析贝叶斯统计分析是一种用于计算权重的最常用统计方法。
它是基于概率论和模糊数学理论，以及贝叶斯定理为基础，通过对不同行为做出相应的推断，去度量一个行为发生的概率(即权重)。
具体来说，贝叶斯统计分析有三种基本方法：贝叶斯分类法、贝叶斯估计法和贝叶斯聚类法。
贝叶斯分类法通过将样本分类，从而计算出一个行为发生的概率。
其中，一个样本的综合概率就是它与各个类别的权重值。
贝叶斯估计法则是在贝叶斯分类法的基础上，对每一个类别，对它对整体概率变化情况进行分析，最终获得权重值。
最后，贝叶斯聚类法是利用聚类分析，将样本根据其属性进行分类，然后求出每一类的权重值，从而获得该样本的总权重。
二、模糊逻辑推理模糊逻辑推理是一种基于模糊数学理论的方法，它主要是利用模糊推理的规则去计算不同行为的关联度，来衡量行为之间的权重大小。
该方法包括一系列的步骤，简而言之，就是根据行为之间的关联性，使用模糊数学理论，计算出每一个行为发生的概率，即权重值。
三、启发式决策启发式决策可以在决策过程中计算不同行为的权重，它的效率比贝叶斯统计分析等方法要高。
它首先根据输入的复杂变量，进行分析，然后建立相应的模型，计算出权重值。
此外，它还采用了一些相关算法，比如贝叶斯网络、决策树等，去估计不同行为的权重。
综上所述，权重的计算方法包括贝叶斯统计分析、模糊逻辑推理和启发式决策等多种工具。
它们不仅有助于我们准确衡量不同行为之间的关联度，而且还可以有效解决诸如任务优化、机器学习等的实际问题。
模糊数学方法(第七章权重)
如果u1，u2，u3不是三个旅游点而是三个元素， 则最后的结果：
(0.3617, 0.2538, 0.3845) 就是三个元素的权重：
u1 0.3617,u2 0.2538,u3 0.3845
W（2）
12
n2
第三层n3个元素对第二层n2个元素的权重（排序）向量为
W1 ,W2 , ,Wn2
将它们构成分块矩阵：
W = (W1 ,W2 , ,Wn2 ) 则第三层元素对第一层目标的权重（排序）向量为
W（3） WW（2） (W1 ,W2 ,
,Wn2
)
p
a j wi xi i 1
得到权重集：
( j 1, 2, , n)
A (a1, a2, , an )
§7.2 层次分析法 (The Analytic Hierarchy process,简称AHP)
层次分析是一种决策分析的方法。它结合了 定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。
特征向量归一化得第三层3个元素对第二层4个元素的权 重（排序）向量为：
0.6028 0.07023 0.09888 0.2791
W1
0.08236 源自,W2 0.3706
,W3
0.3643
,
W4
0.6494
0.3151
得到权重（排序）向量：
W (w1 , w2 , , wn )
3. 特征向量法
(1)计算判断矩阵A的最大特征值max ; (2)求A属于特征值max的正特征向量
模糊数学评价方法
1 1 (u ) (u 6) 2 0 u 8 6u 8 u6
求各项单项指标(i)对每级(k)隶属度函数并建立模糊关系矩阵R： U 作为各污染指标的集合；V为分级标准的集合； 如U取{BOD,DO,COD,酚,CN}，V取{Ⅰ级, Ⅱ级，Ⅲ级，Ⅳ级，Ⅴ级}， 根据隶属度计算公式，可得到5阶矩阵，即为模糊关系矩阵R(5×5)
0 u v 第三级(k=3)：ik (ui ) i i 2 vi 3 vi 2 1
ui vi 2 vi 2 ui vi 3 ui vi 3
计算权重
Ci Wi Si
对于DO，W
1 CDO S DO
各单项权重值归一化：W
Si n Ci Si i 1
1994 1996 1998 2000 2002 2004
0.8
武汉城市生态系统健康
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2 1992
年份
0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 0.50 0.45 0.40 1992
人类健康
人类健康要素的最大隶属度 0.7627(2003)
1994
A : U [0,1]
模糊集合理论简介 隶属度与隶属函数 隶属度：表示元素u属于模糊集合A的程度。 隶属函数：指在论域U到[0,1]上的映射u： : U [0,1] ，u完全属于模糊集合。 0，则u完全不属于模糊集合。 当 1 ， 例子：“年轻”和“年老”是两个模糊概念，取论域 U=[0,100](年龄)，设描述“年轻”和“年老”的两个隶属函 数uy和ux，或者两个模糊集分别为Y和X，年龄u分别属于这两 个模糊集的隶属度为： 0 u 25 1
模糊数学方法与统计赋权
模糊数学方法与统计赋权I}一⑩纯枯,7喊,数量经济技术经济研究2oo0年第10期f蝴.五田模糊数学方法与统计赋权李金华l.i巧构建统计指标体系进行社会现象的综合评价,其中一个关键性技术难题是指标值的归并和指标权数的确定.由于一个捂壶i丕中包含多个指标,有主有次,有轻有重,为了保证量化分析和评价测定的精度,有必要在对指标值汇总时给不同的指标赋以不同的权数.实践中,一般的统计赋权是采用专家调查法,该法是将指标系统以调查问卷的形式送达给有关专家,由被邀请的专家给系统中的各指标赋以不同的权值,而后将各位专家所赋的权值进行简单平均,以此确定每一指标的最终权数.专家调查法简便易行,利于操作,故运用颇为广泛.但这种方法由于完全依赖专家的主观判断,少有严密的数学处理,故在科学性和可信度上往往差强人意.而模糊数学中判断矩阵的求解理论却是解决统计赋权的一种较优方法一,模糊数学在赋权应用中的思路1指标赋权通常情况下,一个指标系统包含多个子系统.每个子系统内再古有多个具体指标.因此,一个多层次指标系统的框架可表示为:指标系统子系统1指指指标标标m【tm【2m1n子系坑2指指指标标标nl2【m≈m…子系统P指指指标标妊lnptmpK统计赋权首先在各子系统内对单个指标赋权,而后在大系统内对各子系统赋权. 我们以Ⅲ.表示评价因子(指标),ⅢM.(1.2,…,")首先可考虑将集合内的各指标"两两互相对比,以确定彼此问的重要性.指标对比的重要程度我们设定闭区间fl,5J作为一个尺度来反映若Ⅲ与m.相比同等重要,取值为1;若Ⅲ比Ⅲ,极为重要,可取满值5.在1～5的范围内,取值越大,表明一个指标比另一指标的重要程度越高;取值越小表明一个指标比另一指标的重要程度越低.可称这种数值为指标的判断系数.将系统内的具体指标无一例外地进行对比定值,可求出一个由判断系数构成的判矩阵.一34—|R中若R中的系数估计正确.则应有若t.与Ⅲ,相比较则得月特征向量(∑=1)的各分量作为系统内各指标的权数实际中为方便操作常用几何l=I平均法对尺进行加工,以求解特征向量具体做法是:(.1)将按行对各分量莲乘,量(..…,,)=求其几何平均值,得出一个n维列向(2)将所求出的"维向量中的每一分量分别除以分量的总和,即得权重向量.为了分析权数分布的台理性和可靠度,模糊数学理论提供了对|R进行一致性检验的方法,其使用的公式为:C|R--CI/RI其中:CI为判断矩阵|R的一般性指标:|R,为判断矩阵尺的随机一致性指标.可由|R, 值表查出:c』=(^一n)/一1).一宝当CR小于01时,可认为|R具有较优的一致性,说明赋权台理:否则就需要调整判断矩阵,直到获得满意的一致性指标为止.2.子系统赋权对子系统中的具体指标赋权后,可在大系统下对每一子系统赋权.此时.每～子系作为一个项目,可将其作为一个综台指标看待,将它们两两对比,以判别彼此的重要性.亦可构造出一个判断矩阵尺i12～35一t_-__-____,J_______●_J__1____j一¨¨¨¨断^.1●,-}～.较一¨比r,●●l相示表的{f昕恨征特大豉]●●●●●●,●J件"陡一舯^]●●,J情～常r●,,●●●●L遵●J_-_1●●●f_f-_____●,●●●__-___I_!¨量m.旬¨¨¨¨征....特"¨的m.晰尺..为一=R_主厄-_____-_____,●____t___●____-●_____l对于尺可用前面的几何平均法求特征向量.也可用算术平均法求特征向量用算术平均法求特征向量的方法是:将尺按列归一化,即有pll/∑,,J,I2/∑p2…p1/∑pr=J=1,=ln,2J/∑pp:/∑,2…,2/∑,¨__l…p/∑将归一化后的矩阵(4)按行相加则得一个,维列向量二,i./,JJlp2J/∑,…十J:/上,:+…+I/上+12/∑+…+2/∑¨/∑+/∑.2+…+p/∑,,;IFIJ=J将向量(5)再柞归一亿处理.即得所求的总系统中各子系统的权数分配向量.其音理度的检验指标与前述相同.指标系统的统计赋权是先对指标赋权,而后对子系统赋权指标的权数是对子系统而言,而子系统的权数则是对总系统而言如果将指标的权数分别与对应的子系统的权数相乘,则可求出指标直接对总系统的权数.所有指标对总系统的权数之和应为l模糊数学的这种赋权思路有着显着的三个优点:①它把判断矩阵建立在对系统中各指标的细致对比上,没有指标间的两两互相对比,就不可能有可靠的判断矩阵,也就无法求出满意的权数向量,这样就避免了专家在对指标仅作简单认识后就轻意赋权:②对专家所作出的主观8断进行了科学的数学娃理,这使得最终求出的权数建立在对数据的客观处理基础之上,进而消除了指标赋权中的纯主观评价;③提供了一种统计检验工具,通过显着性指标和判断系数矩阵的验证对比,在结果与过程中建立了一种约束机制,保证了权数的精度和可靠度.可见,模糊数学赋权不失为一种较优的统计赋权方法.二,案例演示我们以"高新技术项目遘选系统"为例说明前述方法的应用.在众多的高新技术项目中遴选出一个或若干个项目,拟考虑的因素可归纳为技术的先进性,产品的经济效益,生产对环境的影响和产品未来的成长性4个方面.据此,我们设计了一个遴选指标系统如下:高新技术项目遴选系统Ⅲ技术先进性子系统:m产品技术复杂程度:Ⅲ.:产品性能相对先进程度:.产一36—品安全性评价度.经济效益子系统:m工人月劳动生产率;m22单位产品附加值率;D'I:投资回收期年限;m每百元资金利税率;m出口刨汇额.m3环境保护子系统:,.日均排放嗟水"量;m,2日均排放"废气"量m,日均排放"废渣"量;m生产地点100平方米内日均噪音度r/.1成长潜力子系统:m1主要产品技术发展阶段;Ⅲ产品可替代性评价度;m市场占有率估计值;产品换代周期.遘选系统包含4个子系统,共l6个指标.觋在我们必第2子系统经济效益"为例, 利用模糊数学原理对其中的5个指标赋权15个经济效益指标的权敷第一步,将子系统中的5个指标两两进行比较,构造出反映其重要程度的判断系数矩阵如下:323323Il2】2i1】这里,我们认为首先是"工人月劳动生产率"和"单位产品附加值率"同等重要:其次是"每百元资金利税率;最后是"投资回收期年限和出口创汇额"故有上面矩阵中的第一行类比得出其他各行数值.第二步,求R中各行的几何平均值,得一到向量如下:(1.7826.1782605610.1.0000.0.5610)r———————————一其中:】.7826:订了丽:o.5610=x×1×xljj其他数据类推.第三步,将已求出的列向量中的每一分量分别除以其总和数,则得所求的指标权数向量如下:(O.3134.03j34.0.0986,nl758.n0986)第四步,验证权数的可信度.RW:494oI8836l4940J一37一一3一,一一3一3一2一3 r........,....,....,..,.....L44686ⅢⅢ㈣㈣33l2l22●一2●●一233l2l●●～3●一2l一3●一3l一2～3.耋=c++丽0.4940++CI=(^…一H)/一1J=(50131—5)/(5—1)=O.003275查表得R1=1.12CR=C1/RI=0.003275/112=0002924<1这表明对第2子系统所赋的权数具有较高的可信度,可用于实际. 24个子系统的权数我们先将4个子系统按重要程度作简单排序(不排序也不影响操作) 性,环境影响和技术的先进性,两两对比.得判断矩阵如下:R一12j112312j111用算术平均法求解特征向量,先将JR按列归一化有O44440.2222022220l】11044440.22220.2222O1111丽4940)=5.o131经济效益,成长将归一化的矩阵按行相加,得一个4维列向量(1.6924,0.9087,0.9087.0.4900)对求得的列向量再作归一化处理,则得各子系统在总系统中的权数分布向量为: (O.4231,0.2272.02272.01225)同理可对这一权数向量进行可信度检验.若把"经济效益子系统"中5个指标的权数与该子系统在总系统中所得的权重O.4231分别相乘,则得5个效益指标对于总系统的权重分配值为:04231×(O3134.03134.00986.01758.0.0986)即:(O1326.013260.0417,0.07440.0417)这里.我们将模糊数学原理在项目中的评价方法延伸到指标系统的赋权中,并将判断系数的值域作了适度修订,实践证明可行因而,可以相信该方法在多层次指标系统的赋权中会有蘸好的应用前景.一38—2000年7月(作者单-t2-:中国社会科学院数量经济与技术经济研究所)OOOO渤渤OOOO。
权重计算公式的定义
权重计算公式的定义权重计算是指根据一定的规则和算法，对不同因素的重要性进行量化评估，从而得出最终的权重值。
在实际应用中，权重计算常常用于决策分析、风险评估、资源分配等方面。
通过权重计算，可以帮助决策者更加客观地进行决策，提高决策的科学性和准确性。
权重计算的基本原理是根据不同因素的重要性，为每个因素赋予一个相应的权重值，然后将这些权重值进行加权求和，得出最终的综合权重。
在实际应用中，权重计算可以采用多种方法和算法，其中最常见的包括层次分析法（AHP）、主成分分析法（PCA）、熵权法、模糊综合评价法等。
层次分析法（AHP）是一种常用的权重计算方法，它将决策问题分解成多个层次，通过构建层次结构和两两比较矩阵，计算出每个因素的权重值。
AHP方法的优点是能够考虑到不同因素之间的相对重要性，较为客观地进行权重计算。
主成分分析法（PCA）则是一种基于统计学原理的权重计算方法，它通过对数据进行主成分分析，得出各个主成分的贡献率和权重值，从而进行权重计算。
熵权法是一种基于信息熵理论的权重计算方法，它通过计算每个因素的信息熵和权重值，从而得出最终的综合权重。
熵权法的优点是能够考虑到不确定性因素对权重的影响，较为全面地进行权重计算。
模糊综合评价法则是一种基于模糊数学理论的权重计算方法，它通过对模糊隶属度和模糊关系进行计算，得出最终的权重值。
模糊综合评价法的优点是能够处理不确定性和模糊性因素，较为灵活地进行权重计算。
在实际应用中，权重计算的具体步骤包括确定评价因素、构建评价指标体系、确定权重计算方法、进行数据处理和计算、得出最终的权重值。
在进行权重计算时，需要考虑到不同因素的相互关系、相对重要性和不确定性因素，从而得出客观、准确的权重值。
权重计算在实际应用中具有广泛的应用价值。
在企业管理中，可以用于绩效评价、资源分配、投资决策等方面；在风险评估中，可以用于评估不同风险因素的重要性和影响程度；在决策分析中，可以用于综合评价和决策支持。
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p
a j wi xi i 1
得到权重集：
( j 1, 2, , n)
A (a1, a2, , an )
§7.2 层次分析法 (The Analytic Hierarchy process,简称AHP)
层次分析是一种决策分析的方法。它结合了 定性分析和定量分析，并把定性分析的结果量化。
一致性指标均小于0.1， 一致性满意。
最大特征值和对应正特征向量分别为： λ=3.002，X=(5.903867500, 0.8066923031, 3.086293726)T λ=3.080，X=(0.0846216595,0.4466019878,0.6734288503)T λ=3.094，X=(0.09138978270, 0.3366828382, 0.4961400716)T λ=3.065，X=(3.658853431, 8.514030366, 0.943422178)T λ=4.0155, X=(9.15749285,3.529892637,3.90998156,1.8409641)T
为了把这种定性分析的结果量化，20世纪70年代，美 国数学家 Saaty等人首先在层次分析中引入了九级比例标 度和两两比较矩阵A=(aij)。
两个元素相互比较时，以其中一个元素作为比较元1， 如相对上一层,ui与uj（ uj为1）比较,若好坏相同，则aij记
为1；若ui比uj较好, 记为3; 若ui比uj好, 记为5； 若ui比uj明
wi
=
1n n j1
aij
n
alj
l 1
(i 1, 2, , n)
2. 最小夹角法
(1)
将矩阵A的列向量单位化，得到的矩阵设为B
=
(bij
)n?
；
n（2）计算n Nhomakorabea bij
wi =
j 1 nn
bij
i1 j1
(i 1, 2, , n)
即B的行元素和与B的总元素和之比。
A1
uuu123
1
1 1
/ /
7 2
7 1 4
2
1
/4 1
旅游
景色
住宿
费用
交通
u1
u2
u3
如果我们通过判断矩阵A1, 可以准确的确定 u1 ,u2 ,u3 相对“景点”的重要程度, 就可以通过对 “景色”“住宿”“费用”“交通”等所有考虑 到的因素的重要程度, 再通过这些因素的重要程度, 最后确定出各方案对目标的重要程度。
W（2）
12
n2
第三层n3个元素对第二层n2个元素的权重（排序）向量为
W1 ,W2 , ,Wn2
将它们构成分块矩阵：
W = (W1 ,W2 , ,Wn2 ) 则第三层元素对第一层目标的权重（排序）向量为
W（3） WW（2） (W1 ,W2 ,
,Wn2
)
0.5589
0.5368
0.07169
第二层4个元素对目标的权重（排序）向量为
0.4966
W
(2)
0.1914
0.2120
0.0998
于是第三层3个元素对元素对目标的权重（排序）向量为
0.4966
W
(3)
WW
(2)
第七章 权重的确定方法
§7.1 专家评估统计法
1. 算术平均法
设因素集U {u1,u2, ,un}
k个专家，每个专家独立给出的因素u
的权重
j
a1 j
a2
j
akj
k个专家给出所有因素的权重排成矩阵
a11 a12
a21
a22
ak1 ak1
12
n2
1W1 2W2 n2Wn2
1 7 2
如例1
：A1
1/
1
/
7 2
1 4
1/ 4
1
1 1/ 5 1/ 4
A3
5 4
1 2
1/ 2
1
1 1/ 7 1/ 6
A2
7
6
1 2
1/ 2
1
aik akj aij 则称A为一致性矩阵。
但在实际问题中很难使A满足一致性。虽然AHP并不 要求判断矩阵具有完全的一致性，但是偏离一致性要 求过大的判断矩阵所作出的最终决策也会于实际情况 偏差太大，因此有必要对判断矩阵进行一致性检验。
一致性检验的步骤：
（1）计算判断矩阵的一致性指标CI :
在模糊综合评判中，对所选择的多个因素赋 予权重时，哪一个的权重应大一些？这也是在 对因素赋予权重之前应该解决的问题。
不管是方案的优先还是权重的重要程度的比较， 我们都可以采用对方案或权重排序的方法来确 定它们的优先或重要程度。 层次分析法就是对方案或因素的排序权重的方法。 以下举例说明层次分析法对方案或因素的排序 或权重的确定方法。
特征向量归一化得第三层3个元素对第二层4个元素的权 重（排序）向量为：
0.6028 0.07023 0.09888 0.2791
W1
0.08236
,W2
0.3706
,W3
0.3643
,
W4
0.6494
0.3151
(W1
,W2
,W3
,W4
)
0.1914 0.2120
0.0998
0.4966W1 0.1914W2 0.2120W3 0.0998W4
0.6028
0.07023
0.09888
0.2791
0.4966
0.08236
例1 某家庭预备 “五·一”出游，手上有三个旅游点u1， u3的资料。u1景色优美，但u1是一个旅游热点，住宿条件 不十分好, 费用也较高；u2交通方便, 住宿条件很好，价钱 也不贵，只是旅游景点很一般；u3点旅游景点不错, 住宿、 花费都挺好，就是交通不方便。究竟选择哪一个更好呢？
在这个问题中，首先有一个目标——旅游选择；其次 是选择方案的标准——景点好坏、交通是否方便、费用 高低、住宿条件等；第三个是可供选择的方案。
0.1914
0.3706
0.2120
0.3643
0.0998
0.6494
0.3151
0.5589
0.5368
0.07169
0.3617
0.2538
0.3845
由计算结果和最大隶属原则，u1，u2，u3三个 旅游点相对旅游目标来说，综合排序结果是： u3点为首选，u1次之，u2点最后。即排序为：
人们在日常生活和工作中，常常会遇到在多种方案 中进行选择问题。例如假日旅游可以有多个旅游点供选 择；毕业生要选择工作单位；工作单位选拔人才；政府 机构要作出未来发展规划；厂长要选择未来产品发展方 向；科研人员要选择科研课题……
人们在选择时，最困难的就是在众多方案中 都不是十全十美的,往往这方面很好，其它方面 就不十分满意，这时，比较各方案哪一个更好 些，就成为首要问题了。
CI max n
n1 （2） 根据矩阵的阶数由下表查找平均随机一致性指标RI;
n
3456789
RI 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
（3）计算一致性比例CR : CR CI RI
若CR 0.1,认为A具有满意的一致性，接受A; 否则，放弃A或对A的数据做适当的调整。
一、建立递阶层次结构
层次分析一般把问题分为三层，各层间关系用线 连接。第一层称为目标层，第二层为准则层，第三层 叫做方案层。如果有次级标准还可以增加次准则层等。
例如，上面例子的递阶层次结构为：
旅游
———— 目标层
景色
住宿
费用
交通 ———— 准则层
u1
u2
u3 ———— 方案层
二、构造两两比较判断矩阵
作单因素u
的权重统计:
j
(1)
在每个专家所给出的u
的权重
j
a1 j
a2
j
akj
中找出最大值M j和最小值m（j j 1, 2,
n)；
（2）适当选择正整数p( p为组数），由公式 M j mj p
计算出组距，将权重由小到大分为p组；
（3）计算落在每组内的权重的频数和频率； （4）取最大频率所在的组的组中值作为因素
显好,记为7;若 ui比uj好的多，则记为9; 2, 4, 6, 8则是介于 1,3,5,7,9之间的情况。
把与上层某元素有关系的所有下层元素逐一 比较，且每一个元素与各元素比较的结果排成一 行则可得到一个方阵A=(aij)n×n，称为两两比较矩
阵。设ui与uj比为aij，则uj与ui比应为aji=1/aij ,
u j的权重a（j j=1,2, ,n),得到权重集： A (a1, a2 , , an )
3. 加权统计法
加权统计法的前两步（1），（2）同频数统计法。
（3）设第i组的组中值为xi，频数为Ni ,频率为