MATLAB编程与模糊数学方法(1)-模糊数学与模糊聚类
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0.1 0.2 0.2 0.5 0.6 B A 0.3 0.3 0.3 A B 0.4 0.5 0.5 0.3 0.3
25
1.1 模糊集合及其运算
（3）模糊矩阵的转置 定义：设 A (aij )mn , 称 AT (aij )mn 为A的
T
转置矩阵，其中 aij a ji 。 模糊矩阵的转置运算符：A’
T
26
1.1 模糊集合及其运算
（4）模糊矩阵的 截矩阵
定义：设 A (aij )mn , 对任意的 [0,1],称
A (aij
( )
)mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
aij
( )
1, aij 0, aij
50
U 100
17
再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄 段隶属于这一集合的程度不一样 ， 札德给出它的隶属 函数： 1 0 u 25 u 25 2 1 Y (u ) (1 ( ) ) 25 u 100 5
1
Y（u） 0
25
50
U
18
c
0.4 0 A B 0.2 0.2 0.6 1 B 0.7 0.8
c
24
1.1 模糊集合及其运算
（2）模糊矩阵的合成 定义：设 A (aij )ms , B (bij ) sn , 称模糊矩阵
A B (cij )mn
为A与B的合成，其中 cij max{(aik bkj ) 1 k s }。 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 , B 0.3 0.4 , 则 例：设A 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6
模糊集合及其运算 年龄集 U=[0,100]
则模糊集O（年老）
u 50 2 1 (1 ( ) ) 0 5 O u 50u 100 u 0u 50
则模糊集Y（年轻）
u 25 2 1 (1 ( ) ) 1 5 Y u 25u 100 u 0u 25
28
A0.5
1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0.8
1.1 模糊集合及其运算
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法 模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U；
（2）U中的一个固定元素 u0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
* A （4）U中的一个以 作为弹性边界的模糊子集A， * * A A 制约着 的运动。 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖
喜欢x的人数 则模糊集A（质量好）:隶属函数 Ax 100
0.81 0.53 1 0 0.24 Zadeh表示法：A x1 x2 x3 x4 x5
向量表示法：A=（0.81 , 0.53, 1, 0, 0.24）
16
模糊集合及其运算
例2 考虑年龄集U=[0,100]， O =“年老”，O也是一个 年龄集， 0 0 u 50 u 50 2 1 O(u ) (1 ( ) ) 50 u 100 5 u = 20 ∉ U ，40 呢？以此类推… 札德给出了 “年老” 集函数刻画: 1 0
如果到火车站去接人Hale Waihona Puke Baidu如下描述：
“大胡子，高个子，长头发，戴宽边黑色眼镜的中年男 人” 除了男人的信息是精确的之外，其它信息全是模糊的， 但是我们却能够找到那个人。
4
1.1 模糊集合及其运算
• 一、经典集合与特征函数 • 二、模糊集合及其运算 • 三、隶属函数的确定
5
1.1 模糊集合及其运算
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A、B、C等表示。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y等表示。 论域U中的每个对象u称为U的元素。
天津工业大学
MATLAB编程与模糊数学方法 (一)
理学院 数学系 陈雅颂
教材及参考书：
汪晓银等，《数学建模与数学实验》， 第二版，科学出版社，2015 薛定宇等，《高等应用数学问题的MATLAB求解》，清华大学出版社，2008
2
教学内容：
3
1.1 模糊集合及其运算
人脑较之精确计算机，就是能在信息不完整不精确的情 况下，作出判断与决策，模糊性常常是信息浓缩所致，目 的是为了提高交换的概率，所以不是毫无用处，而是积极 的特性。
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
~
A ( x ) 称为 x 对 A 数， 的隶属程度，简称隶属度。 ~
~
11
1.1 模糊集合及其运算
A ( x ) 越接近于0, 表示x隶属于A 的程度越小； A ( x ) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大； A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，也称其为过渡点
14
1.1 模糊集合及其运算
（2）序偶表示法
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
前述例子向量表示法：A=（0,0.2,0.4,0.6,0.8,1）
u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。
29
1.1 模糊集合及其运算
u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
模糊统计试验过程： （1）做n次试验，计算出
u0 A*的次数 u0 对A的隶属频率 n
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
13
1.1 模糊集合及其运算
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
A 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 （Zadeh表示法） 140 150 160 170 180 190
19
1.1 模糊集合及其运算
2、模糊集的运算 设A，B是论域U的两个模糊子集，定义： 相等： A B A( x ) B( x ), x U 包含： A B A( x ) B( x ), x U 并： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 表示取大； 交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 表示取小。 余： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
余： Ac (1 aij )mn
对应元素取余
1 0.1 0.4 0 , B , 则 例：设A 0.2 0.3 0.3 0.2 1 0.1 A B 0.3 0.3 0 0.9 A 0.8 0.7
6
经典集合 . u . u A
u A
A
u A
7
1.1 模糊集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
A : U {0,1}
其中
u A (u),
1, u A A (u ) 0, u A
（1）模糊矩阵间的关系及运算
定义：设 A (aij )mn , B (bij )mn 都是模糊矩阵，定义 相等：A B aij bij 包含： A B aij bij
23
1.1 模糊集合及其运算
并： A B (aij bij )mn 对应元素取大
交： A B (aij bij )mn 对应元素取小
27
1.1 模糊集合及其运算
1 0.5 例：设A 0.2 0 1 1 0 0 0. 5 0 . 2 0 1 0 .1 0 .3 ,则 0. 1 1 0 .8 0. 3 0 . 8 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
21
1.1 模糊集合及其运算
几个常用的算子： （1）Zadeh算子 ( , )
a b max{a , b}, a b min{ a , b}
（2）环和、乘积算子 （3）有界和 ()
ˆ ,) (
ˆ b a b ab, a b ab a
a b 1 (a b)
~ ~ ~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者
A 是等同的。为简单见，通常用A 来表示 A 和 ~ ~
x5
x7
~
~
~
。
x1
x6
x2
A
x4
x3
U
12
1.1 模糊集合及其运算
论域 U 140,150,160,170,180,190
（还是经典集合）
模糊集 A：表示高个子
定义隶属函数（具有主观性）： Ax x 140
A 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 140 150 160 170 180 190
190 140
（Zadeh表示法）
模糊集并不再回答 “ 是或不是 ” 的问题 ， 而是对每个对 象 ( 元素 ) 给一个隶属度 ， 所以与经典集有本质区别 。 而 且与隶属函数是捆绑一起的，所以一般不做区分。
函数 A 称为集合A的特征函数。
8
1.1 模糊集合及其运算
二、模糊集合及其运算
美国控制论专家 Zadeh 教授正视了经典
集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提
示了现实生活中的绝大多数概念并非都是 “非此即彼”那么简单，而概念的差异常 以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦 彼”的模糊现象。基于此，1965年， Zadeh 教授在《Information and Control》杂志上 发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,标志
（4）Einstain算子 ( , )
ab a b , 1 ab
ab a b 1 (1 a)(1 b)
22
1.1 模糊集合及其运算
3、模糊矩阵
定义：设 R ( rij )mn ,0 rij 1, 称R为模糊矩阵。
当 rij 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。 当模糊方阵 R ( rij )nn的对角线上的元素 rij 都为1时， 称R为模糊自反矩阵。示例：
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为： A( x ) A x xU
15
模糊集合及其运算
x5 结果为： 例1 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x评价 3 , x4 , ， 81人认为x1 质量好，53人认为 x2 质量好，所有人认 为 x3 质量好，没有人认为 x4 质量好，24人认为 x5 质 量好.
20
例3：论域U = 宿舍四人{甲, 乙, 丙, 丁} A = “喜欢NBA”，隶属函数A= (0.9, 1, 0.6, 0) B = “喜欢LOL”，隶属函数B= (0.8, 0.2, 0.9, 1)
找出 C = “既喜欢NBA又喜欢LOL”？？？？？ C = A∩B = ( 0.9∧0.8 , 1∧0.2 , 0.6∧0.9 , 0∧1 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0) 对比隶属度，得？ ？和？ ？比较符合条件.
着模糊数学的诞生。
9
引例
亦此亦彼 模糊集合 A ,元素 x
~
A
~
U 若x 位于A 的内部，则用1来记录， 若x 位于A 的外部，则用0来记录， 若x 一部分位于A 的内部，一部分位于A 的外部，则 用x 位于A 内部的长度来表示 x 对于A 的隶属程度。
10
1.1 模糊集合及其运算
1、模糊子集
定义：设U是论域，称映射
25
1.1 模糊集合及其运算
（3）模糊矩阵的转置 定义：设 A (aij )mn , 称 AT (aij )mn 为A的
T
转置矩阵，其中 aij a ji 。 模糊矩阵的转置运算符：A’
T
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1.1 模糊集合及其运算
（4）模糊矩阵的 截矩阵
定义：设 A (aij )mn , 对任意的 [0,1],称
A (aij
( )
)mn 为模糊矩阵A的 截矩阵，其中
aij
( )
1, aij 0, aij
50
U 100
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再如，Y= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄 段隶属于这一集合的程度不一样 ， 札德给出它的隶属 函数： 1 0 u 25 u 25 2 1 Y (u ) (1 ( ) ) 25 u 100 5
1
Y（u） 0
25
50
U
18
c
0.4 0 A B 0.2 0.2 0.6 1 B 0.7 0.8
c
24
1.1 模糊集合及其运算
（2）模糊矩阵的合成 定义：设 A (aij )ms , B (bij ) sn , 称模糊矩阵
A B (cij )mn
为A与B的合成，其中 cij max{(aik bkj ) 1 k s }。 0.1 0.2 0.4 0.5 0.6 , B 0.3 0.4 , 则 例：设A 0.1 0.2 0.3 0.5 0.6
模糊集合及其运算 年龄集 U=[0,100]
则模糊集O（年老）
u 50 2 1 (1 ( ) ) 0 5 O u 50u 100 u 0u 50
则模糊集Y（年轻）
u 25 2 1 (1 ( ) ) 1 5 Y u 25u 100 u 0u 25
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A0.5
1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
A0.8
1.1 模糊集合及其运算
三、隶属函数的确定 1、模糊统计法 模糊统计试验的四个要素：
（1）论域U；
（2）U中的一个固定元素 u0 ;
* A （3）U中的一个随机运动集合 ;
* A （4）U中的一个以 作为弹性边界的模糊子集A， * * A A 制约着 的运动。 可以覆盖 u0 , 也可以不覆盖
喜欢x的人数 则模糊集A（质量好）:隶属函数 Ax 100
0.81 0.53 1 0 0.24 Zadeh表示法：A x1 x2 x3 x4 x5
向量表示法：A=（0.81 , 0.53, 1, 0, 0.24）
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模糊集合及其运算
例2 考虑年龄集U=[0,100]， O =“年老”，O也是一个 年龄集， 0 0 u 50 u 50 2 1 O(u ) (1 ( ) ) 50 u 100 5 u = 20 ∉ U ，40 呢？以此类推… 札德给出了 “年老” 集函数刻画: 1 0
如果到火车站去接人Hale Waihona Puke Baidu如下描述：
“大胡子，高个子，长头发，戴宽边黑色眼镜的中年男 人” 除了男人的信息是精确的之外，其它信息全是模糊的， 但是我们却能够找到那个人。
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1.1 模糊集合及其运算
• 一、经典集合与特征函数 • 二、模糊集合及其运算 • 三、隶属函数的确定
5
1.1 模糊集合及其运算
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。 通常用大写字母A、B、C等表示。 论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。 通常用大写字母U、V、X、Y等表示。 论域U中的每个对象u称为U的元素。
天津工业大学
MATLAB编程与模糊数学方法 (一)
理学院 数学系 陈雅颂
教材及参考书：
汪晓银等，《数学建模与数学实验》， 第二版，科学出版社，2015 薛定宇等，《高等应用数学问题的MATLAB求解》，清华大学出版社，2008
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教学内容：
3
1.1 模糊集合及其运算
人脑较之精确计算机，就是能在信息不完整不精确的情 况下，作出判断与决策，模糊性常常是信息浓缩所致，目 的是为了提高交换的概率，所以不是毫无用处，而是积极 的特性。
A : U [0,1],
~
x A ( x ) [0,1]
A 称为 A 隶属函 确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 ~ ~ ~
~
A ( x ) 称为 x 对 A 数， 的隶属程度，简称隶属度。 ~
~
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1.1 模糊集合及其运算
A ( x ) 越接近于0, 表示x隶属于A 的程度越小； A ( x ) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大； A ( x )＝0.5, 最具有模糊性，也称其为过渡点
14
1.1 模糊集合及其运算
（2）序偶表示法
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
前述例子向量表示法：A=（0,0.2,0.4,0.6,0.8,1）
u0 , 致使 u0对A的隶属关系是不确定的。
29
1.1 模糊集合及其运算
u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
模糊统计试验过程： （1）做n次试验，计算出
u0 A*的次数 u0 对A的隶属频率 n
（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为
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1.1 模糊集合及其运算
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法
A( x1 ) A( x2 ) A( xn ) A x1 x2 xn
A( xi ) 这里 表示 xi 对模糊集A的隶属度是 A( xi ) 。 xi
A 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 （Zadeh表示法） 140 150 160 170 180 190
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1.1 模糊集合及其运算
2、模糊集的运算 设A，B是论域U的两个模糊子集，定义： 相等： A B A( x ) B( x ), x U 包含： A B A( x ) B( x ), x U 并： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 表示取大； 交： ( A B )( x ) A( x ) B( x ), x U 表示取小。 余： Ac ( x ) 1 A( x ), x U
余： Ac (1 aij )mn
对应元素取余
1 0.1 0.4 0 , B , 则 例：设A 0.2 0.3 0.3 0.2 1 0.1 A B 0.3 0.3 0 0.9 A 0.8 0.7
6
经典集合 . u . u A
u A
A
u A
7
1.1 模糊集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个 经典集合A，则必有 u A 或者u A ，用函数表示为：
A : U {0,1}
其中
u A (u),
1, u A A (u ) 0, u A
（1）模糊矩阵间的关系及运算
定义：设 A (aij )mn , B (bij )mn 都是模糊矩阵，定义 相等：A B aij bij 包含： A B aij bij
23
1.1 模糊集合及其运算
并： A B (aij bij )mn 对应元素取大
交： A B (aij bij )mn 对应元素取小
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1.1 模糊集合及其运算
1 0.5 例：设A 0.2 0 1 1 0 0 0. 5 0 . 2 0 1 0 .1 0 .3 ,则 0. 1 1 0 .8 0. 3 0 . 8 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1
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1.1 模糊集合及其运算
几个常用的算子： （1）Zadeh算子 ( , )
a b max{a , b}, a b min{ a , b}
（2）环和、乘积算子 （3）有界和 ()
ˆ ,) (
ˆ b a b ab, a b ab a
a b 1 (a b)
~ ~ ~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者
A 是等同的。为简单见，通常用A 来表示 A 和 ~ ~
x5
x7
~
~
~
。
x1
x6
x2
A
x4
x3
U
12
1.1 模糊集合及其运算
论域 U 140,150,160,170,180,190
（还是经典集合）
模糊集 A：表示高个子
定义隶属函数（具有主观性）： Ax x 140
A 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 140 150 160 170 180 190
190 140
（Zadeh表示法）
模糊集并不再回答 “ 是或不是 ” 的问题 ， 而是对每个对 象 ( 元素 ) 给一个隶属度 ， 所以与经典集有本质区别 。 而 且与隶属函数是捆绑一起的，所以一般不做区分。
函数 A 称为集合A的特征函数。
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1.1 模糊集合及其运算
二、模糊集合及其运算
美国控制论专家 Zadeh 教授正视了经典
集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提
示了现实生活中的绝大多数概念并非都是 “非此即彼”那么简单，而概念的差异常 以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦 彼”的模糊现象。基于此，1965年， Zadeh 教授在《Information and Control》杂志上 发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,标志
（4）Einstain算子 ( , )
ab a b , 1 ab
ab a b 1 (1 a)(1 b)
22
1.1 模糊集合及其运算
3、模糊矩阵
定义：设 R ( rij )mn ,0 rij 1, 称R为模糊矩阵。
当 rij 只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。 当模糊方阵 R ( rij )nn的对角线上的元素 rij 都为1时， 称R为模糊自反矩阵。示例：
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为： A( x ) A x xU
15
模糊集合及其运算
x5 结果为： 例1 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x评价 3 , x4 , ， 81人认为x1 质量好，53人认为 x2 质量好，所有人认 为 x3 质量好，没有人认为 x4 质量好，24人认为 x5 质 量好.
20
例3：论域U = 宿舍四人{甲, 乙, 丙, 丁} A = “喜欢NBA”，隶属函数A= (0.9, 1, 0.6, 0) B = “喜欢LOL”，隶属函数B= (0.8, 0.2, 0.9, 1)
找出 C = “既喜欢NBA又喜欢LOL”？？？？？ C = A∩B = ( 0.9∧0.8 , 1∧0.2 , 0.6∧0.9 , 0∧1 ) = ( 0.8, 0.2, 0.6, 0) 对比隶属度，得？ ？和？ ？比较符合条件.
着模糊数学的诞生。
9
引例
亦此亦彼 模糊集合 A ,元素 x
~
A
~
U 若x 位于A 的内部，则用1来记录， 若x 位于A 的外部，则用0来记录， 若x 一部分位于A 的内部，一部分位于A 的外部，则 用x 位于A 内部的长度来表示 x 对于A 的隶属程度。
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1.1 模糊集合及其运算
1、模糊子集
定义：设U是论域，称映射