人教版高中数学选修1-1第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

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高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课件

第三章 §3.2 导数的运算
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝1x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
自主学习题型探究达标检测
解
y′＝(5
3
x3)′＝ (x5 )
3
3 1
x5
3
2
x5
＝Hale Waihona Puke 3.55
55 x2
(4)y＝2sin 2xcos 2x；
解
∵y＝2sin
x 2cos
2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(5)y＝log1 x；
2
解 y′＝(log1 x )′＝ 1 1＝－xln1 2.
2
xln 2
(6)y＝3x.
解 y′＝(3x)′＝3xln 3.
f′(x)＝__xl_n_a__ 1
f′(x)＝__x_
2 题型探究
PART TWO
题型一利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
解 y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11.
(2)y＝x14；解 y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－x45. (3)y＝5 x3；
导函数 f′(x)＝__0_ f′(x)＝ nxn－1 (n为自然数) f′(x)＝_c_o_s__x_ f′(x)＝－__s_i_n_x__
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝_a_x_ln__a_
f(x)＝ex f(x)＝logax (a>0，a≠1，x>0)

人教新课标A版高二数学《选修1-1》3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

1 2 3 ＋＋－－－ (3)y′＝ x x2 x3 ′＝(x 1＋2·x 2＋3·x 3)′ 1 4 9 －－－＝－x 2－4x 3－9x 4＝－ 2－ 3－ 4. x x x xsinx－2 xsinx 2 － (4)y′＝ cosx cosx ′＝ cosx ′ ＝ xsinx－2 ′cosx＋ xsinx－2 sinx cos2x
【答案】(1)y′＝4x－3 (2)y′＝2x＋4 1 (3)y′＝cosx－sinx (4)y′＝ 2 (5)y′＝6x＋5. cos x
题目类型一、导数的四则运算法则的应用
[例 1] 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)2(x－1)； (2)y＝x2sinx； 1 2 3 (3)y＝ x＋x2＋x3； 2 (4)y＝xtanx－ . cosx
第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则二）
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数
本节重点：导数的四则运算法则及其运用．本节难点：导数的四则运算法则的理解运用．
1．可导函数的四则运算法则是解决函数四则运算形式的求导法则，也是进一步学习导数的基础，因此，必须透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及规律，以达到巩固知识、提升能力的目的． 2．有了函数的和、差、积、商的求导法则，以及常见函数的导数公式，对一些简单函数的求导问题，便可直接应用法则和公式很快地求出导数，而不必每一问题都回到定义．
∴－3－x2 0＝2x0(1 －x0)，解得 x＝－1 或 x0＝3. ∴过点(1，－ 3)的该抛物线切线方程为 y－1＝－2(x ＋1) 或 y－9＝6(x－3)，即 2x＋y＋1＝0 或 6x－y－9＝0.

高中数学第3章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一教师用书教案新人教A版选修1

3.2 导数的计算3.2.1 几个常用函数的导数3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标核心素养1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．(重点、难点)借助导数的定义求几个常用函数的导数，培养逻辑推理及数学运算的素养.1．几个常用函数的导数原函数导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x2思考：根据上述四个公式，你能总结出函数y ＝x α的导数是什么吗？ [提示] 若y ＝x α，则y ′＝αx α－1. 2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a (a >0，且a ≠1) f (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．函数f (x )＝0的导数是( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定A [由基本初等函数的导数公式知(0)′＝0，故选A ．] 2．下列结论正确的个数为( ) ①f (x )＝ln 2，则f ′(x )＝12；②g (x)＝cos x ，则g ′⎝⎛⎭⎫π6＝－12； ③h (x )＝2x ，则h ′(x )＝2x ln 2； ④φ(x )＝log 5x ，则φ′(x )＝1x ln 5.A ．0B ．1C ．2D ．3D [对①，f ′(x )＝(ln 2)′＝0；对②，g ′(x )＝－sin x ，g ′⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π6＝－12；对③，h ′(x )＝2x ·ln 2；对④，φ′(x )＝1x ln 5.故选D ．] 3．求下列函数的导数．(1)(2x )′＝________；(2)(log 3 x )′＝________； (3)(sin 30°)′＝________；(4)⎝⎛⎭⎫1x 4′＝________. [答案] (1)2x ln 2 (2)1x ln 3 (3)0 (4)－4x5利用导数公式求函数的导数(1)y ＝x 12；(2)y ＝5x 3；(3)y ＝2sin x 2cos x 2；(4)y ＝log 12x ；(5)y ＝3x .[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(3)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(4)y ′＝(log12x )′＝1x ln 12＝－1x ln 2.(5)y ′＝(3x )′＝3x ln 3.用导数公式求函数导数的方法(1)若所求函数是基本初等函数，则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是将其进行合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y ＝1x 4可以写成y ＝x －4，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.[跟进训练]求下列函数的导数：(1)y ＝5x ；(2)y ＝－1x 5；(3)y ＝ln 3；(4)y ＝x x 3.[解] (1)y ′＝(5x )′＝5x ln 5. (2)y ′＝－(x －5)′＝5x －6＝5x 6.(3)y ′＝(ln 3)′＝0. (4)∵y ＝x x 3，∴y ＝x 52， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 52′＝52x 52－1＝52x 32＝5x x2.利用导数公式求曲线的切线方程＝x 2的切线方程．[思路点拨] 直线PQ 的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所求切线方程． [解] 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14.所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.1．本例中，是否存在与直线PQ 垂直的切线？若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由．[解] 假设存在与直线PQ 垂直的切线，因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1，设切点为(x 1，y 1)，则y ′|x ＝x 1＝2x 1，令2x 1＝－1，则x 1＝－12，y 1＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. 2．若本例中曲线改为y ＝ln x ，试求与直线PQ 平行的切线方程． [解] 设切点为(a ，b )，因为k PQ ＝1，则由f ′(a )＝1a ＝1，得a ＝1，故b ＝ln 1＝0，则与直线PQ 平行的切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2 x 2的导数．因为y ＝1－2sin 2 x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．1．判断正误 (1)(log 3π)′＝1πln 3.( ) (2)若f (x )＝1x，则f ′(x )＝ln x ．( ) (3)因为(sin x )′＝cos x ，所以(sin π)′＝cos π＝－1. ( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k ＝________. 1e [y ′＝(ln x )′＝1x ，则1x ＝k . 所以x ＝1k ，所以y ＝k ×1k＝1.所以曲线y ＝ln x 过点1k ，1，即1＝ln 1k ，所以k ＝1e.]3．曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线方程为__________．x －y ＋1＝0 [y ′＝e x ，y ′|x ＝0＝e 0＝1，故切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.]4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．[解] 因为y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，所以a ＋b ＋c ＝1.y ′＝2ax ＋b ，曲线在点(2，－1)的切线的斜率为4a ＋b ＝1. 又曲线过点(2，－1)，所以4a ＋2b ＋c ＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋b ＝1，4a ＋2b ＋c ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.所以a ，b ，c 的值分别为3，－11,9.。

高中数学第三章导数及其应用 3.2.2 导数的运算法则导学案新人教A版选修1-1

二、填空题
5．直线y＝4x＋b是曲线y＝ x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式．
A． B．0 C．钝角D．锐角
3．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()
A．y＝2x＋1B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2
4．(2015·山西六校联考)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)()
A．e－1 B．－1 C．－e－1D．－e
(2)y＝x－sin ·cos .
例2偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
练习：已知抛物线y＝ax2＋bx－7经过点(1,1)，过点(1,1 )的切线方程为4x－y－3＝0，求a、b的值．
例3已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.
f′(x)＝3x2－2x－1，
令f′(a)＝－1(0<a<1)，
即3a2－2a－1＝－1，
解得a＝ .
提高题acac
5.－
6.y＝－3x
7.[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2.f′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，

高中数学人教版选修1-1 第三章导数及其应用导数的计算

3.2导数的计算[教材研读]预习课本P81～85，思考以下问题1．幂函数f(x)＝x2，f(x)＝x 12的导数是什么？2．根据导数的运算法则，积f(x)g(x)的导数与f′(x)，g′(x)有何关系？[要点梳理]1．基本初等函数的导数公式2.导数运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．y ＝1x ，y ＝x ，y ＝x 2等求导函数，都可以看成y ＝x α(α∈Q *)，并用其导数公式求导．( )2．y ＝ln x 在x ＝2处的切线的斜率为12.( )3．f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线的方程为x －y ＋1＝0.( )[答案] 1.√ 2.√ 3.√题型一利用导数公式求函数的导数思考：如何充分利用基本初等函数的导数公式？提示：若函数解析式不能直接使用导数公式，则化成能应用导数公式的形式．求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1. [思路导引] 把解析式化简成能应用公式的形式．[解] (1)y ′＝(10x )′＝10x ln10.(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(5)∵y ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1 ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ； (3)y ＝lg5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.[解] (1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x . (2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ln 110＝－ln1010x ＝－10－x ln10. (3)∵y ＝lg5是常数函数，∴y ′＝(lg5)′＝0.(4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln10.(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二利用导数的运算法则求导数(链接教材P 84例2)求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x 2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[思路导引] 尽量把解析式转化为能用和差的求导法则，减少求导法则的应用的烦索性．[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x .(2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.(1)分析求导式符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．[跟踪训练]求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1x 2.[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x 2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x .(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln10＋2x 3. 题型三利用导数公式研究曲线的切线问题点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[思路导引] 分析知，与曲线相切且与y ＝x 平行的直线与曲线的切点到直线y ＝x 的距离最小．[解]如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.(1)本例中的问题涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．[跟踪训练]求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方程．[解] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ，1.本节课的重点是基本初等函数的导数公式及导数运算法则，难点是灵活运用导数公式和运算法则解决相关问题．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)利用导数公式求导数. (2)利用导数运算法则求导数． (3)利用导数运算研究曲线的切线问题．3．本节课的易错点是导数公式(a x )′＝a x ln a 和(log a x )′＝1x ln a 以及运算法则[f (x )·g (x )]′与⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′的区别.1．已知f (x )＝1x ，则f ′(3)＝( ) A ．－13 B ．－19 C.19D.13[解析] ∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.[答案] B2．函数y ＝3x 2的导数为( ) A ．y ′＝3x2B ．y ′＝32xC ．y ′＝23x3D ．y ′＝233x[解析][答案] D3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( ) A.1e B ．－1e C ．－e D ．e[解析][答案] D4．已知f (x )＝e x ln x ，则f ′(x )＝( ) A.e x x B ．e x＋1xC.e x (x ln x ＋1)xD.1x ＋ln x[解析] f ′(x )＝(e x)′·ln x ＋e x·(ln x )′＝e x·ln x ＋e x·1x ＝e x (x ln x ＋1)x，所以选C.[答案] C5．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( )A ．0或±3B ．0C ．±3D ．非以上答案[解析] y ′＝3x 2＋2ax ，令y ′＝0，即3x 2＋2ax ＝0，∴x ＝0或x ＝－2a 3.分别代入y ＝x 3＋ax 2－43a ，得0＝－43a ，即a ＝0；－8a 327＋4a 39－43a ＝0，即a ＝±3，∴a ＝0或a ＝±3.[答案] A6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是__________，切线的方程为__________________．[解析] y ′＝1x ，则k ＝y ′|x ＝e ＝1e ，切线方程y －1＝1e (x －e)，即x －e y ＝0.[答案] 1e x －e y ＝0。

人教版高中数学选修1-1《1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》

2 0
y y0 (3x 2)( x x0 )
2 0
切线方程 y=5x -3或y=
2 ( x 2x0 1) (3x 2)(1 x0 ) 1 解得 x0 1或 2 11 3
4 x 4
题型小结.求函数切线方程的基本步骤：（1）看题中有没有给出切点坐标，如果没有，就要设出切点坐标；（2）求导并将切点横坐标代入导函数求出切线斜率；（3）利用点斜式写出切线方程. （4）将切线经过的点代入切线方程并求出切点横坐标（5）得出切线方程
f ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x) g ( x) ( g ( x ) 0) g ( x) 2 g ( x)
题型1：求下列函数的导数
(1). f ( x) x2 2 x 3
解：f ( x) ( x ) (2x) 3
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
由法则2:
c f ( x ) c ' f ( x) c f ( x) c f ( x)
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的
导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:
1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
第一章导数及其应用
（1）若f(x)=c(c为常数),则 f ' ( x) （2）若 f ( x) x (a∈Q*),则 f ' ( x)
= 0
（3）若 f ( x) x2 ,则
（4）若 f ( x)
f ' ( x)
=
=

高中数学选修1-1精品课件1：3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

1 ，可以转化为y=
x3
x
2 3
，y=x-3
后再求导.
（4）对解析式较复杂的，要先化简解析式，再选择公式进行求
导，化简时注意化简的等价性.
【典例训练】
1.若y=10x，则y′|x=1=_________.
2.求下列函数的导数：
（1）y=x7；（2）y=
1 x2
；（3）y=
3 x；
（4）y=2sin
题目类型三、导数的综合应用【技法点拨】
导数的综合应用的解题技巧 (1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在.
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题.遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题.可以结合导数的几何意义分析.
【解析】1.依题意，y′|x=x1=
，1
2 x1
∵n与m垂直，
（6）若f(x)=ex，则f′(x)=_ex_；
（7）若f(x)=logax，则f′(x)=
1 (a>0且a≠1)；
xlna
(8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
x
1.利用导数的定义求导与导数公式求导的区别导函数定义本身就是函数求导的最基本方法，但导函数是由极限定义的，所以函数求导总是要归结为求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，但是用导函数定义推导出常见函数与基本初等函数公式后，求函数的导函数就可以用公式直接求导了，简洁迅速.
第三章导数及其应用
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

题型一：题型一：导数公式及导数运算法则的应用
(1) y = x − 2 x + 3 1 2 (2) y = − 2 ; x x x (3) y = ; 2 1− x (4) y = tan x;
3 2
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数求下列函数的导数
答案: 答案 (1) y′ = 3x2 − 2;
1 4 + 3; 2 x x 1 + x2 (3) y′ = ; 2 2 (1 − x ) (2) y′ = −
1 (4) y ′ = ; 2 cos x
2
(5) y = (2 x − 3) 1 + x ; 1 (6) y = 4 ; x (7) y = x x ;
(5) y′ =
6 x3 + x 1+ x
解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′ ′ ′ ＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′ ′ ′ ′ ′ 4 2 ＝5x －9x －10x. 2 2 法一：解：(2)法一：y′＝(2x ＋3)′(3x－2)＋(2x ＋3)(3x－2)′ 法一 ′ ′ －＋－ ′
＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3 －＋＝18x2－8x＋9. ＋ (2)法二 ∵ ＝法二：解：法二： y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，－＝－，
( Cu )′ = C u ′.
u u′v − uv′ 法则3 )′ = ( (v ≠ 0) 2 v v
u(x + ∆x) u(x) − ∆y v(x + ∆x) v(x) = ∆x ∆x u ( x + ∆ x )v ( x ) − u ( x )v ( x + ∆ x ) = v ( x + ∆ x )v ( x )∆ x u(x + ∆x) − u(x) v(x + ∆x) − v(x) v(x) − u(x) ∆x ∆x = v ( x + ∆ x )v ( x )

高中数学人教版选修1-1 3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案(系列三)

3.2导数的计算3．2.1 几个常用函数的导数3．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)熟练掌握基本初等函数的导数公式；(2)掌握导数的四则运算法则．2．过程与方法能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．3．情感、态度与价值观通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力．由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则．学生不用推导而直接去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用，在训练中也有加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣．●重点、难点重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则．难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题，记住公式和法则是应用的前提，通过出示不同类型的例题与习题，进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键．●教学流程创设问题情境，引出问题：有没有更简洁的求导方法？⇒引导学生通过导数的定义推导出几个常用函数的导数公式.⇒通过引导学生回答所提问题导出导数的运算法则.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握用求导公式求初等函数的导数.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用求导公式和导数的运算法则求导.⇒复习回顾导数的几何意义，完成例3及其变式训练，解决导数的应用问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学(对应学生用书第52页)1．用导数的定义求导数的步骤是怎样的？【提示】①求函数值的变化量；②求平均变化率；③取极值，得导数．2．我们发现，用导数的定义求导数很复杂，能不能总结出常用函数的求导公式呢？【提示】能．基本初等函数的导数公式续表一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？【提示】能．设两个函数f (x )，g (x )可导，则 ⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝fx gx －f x g x[g x 2(g (x )≠0)课堂互动探究 (对应学生用书第53页)例题(1)y＝x8(2)y＝1x4(3)y＝3 x(4)y＝2x(5)y＝log2x(6)y＝cos x【思路探究】(1)以上函数分别是什么类型的函数？(2)这种函数的求导公式是怎样的？【自主解答】(1)y′＝(x8)′＝8x8－1＝8x7.(2)y′＝(1x4)′＝(x－4)′＝－4x－5.(3)y′＝(3x)′＝(x13)′＝13x13－1＝13x－23.(4)y′＝(2x)′＝2x ln 2.(5)y′＝(log2x)′＝1x ln 2.(6)y′＝(cos x)′＝－sin x.方法规律1．基本初等函数的求导公式是求导数基本依据，一定要记清形式，学会使用公式求导．2．对于形如y＝1x p，y＝nx的函数一般先转化为幂函数的形式，再用幂函数的求导公式求导．3．要区分指数函数、对数函数的求导公式，以免在运用时混淆．变式训练求下列函数的导数；(1)y＝10；(2)y＝x10；(3)y＝3x2；(4)y＝13x2；(5)y＝3x；(6)y＝log3x. 【解】(1)y′＝(10)′＝0 (2)y′＝(x10)′＝10x10－1＝10x9.(3)y′＝(x 23)′＝23x23－1＝23x－13＝233x.(4)y′＝(x－23)′＝－23x－23－1＝－23x－53＝－233x5.(5)y′＝(3x)′＝3x ln 3.(6)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)；(2)f (x )＝lg x －3x ； (3)f (x )＝11－x ＋11＋x ；(4)f (x )＝sin x1＋sin x .【思路探究】【自主解答】 (1)∵f (x )＝x 2－x －6， ∴f ′(x )＝(x 2－x －6)′＝2x －1. (2)f ′(x )＝(lg x )′－(3x )′＝1x ·ln 10－3x ln 3. (3)y ＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x－x ＋x＝21－x， ∴y ′＝(21－x)′＝－－x－x 2＝2－x2.(4)∵f (x )＝sin x 1＋sin x ＝1－11＋sin x ，∴f ′(x )＝1′－(11＋sin x)′＝－－＋sin x ＋sin x2＝cos x ＋sin x2.规律方法1．应用导数运算法则求函数的导数的技巧：(1)求导之前，对三角恒等式先进行化简，然后再求导，这样既减少了计算量，又可少出错．(2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导．(3)在函数中有两个以上的因式相乘时，要注意多次使用积的求导法则，能展开的先展开成多项式，再求导．2．应用导数运算法则求函数的导数的原则：结合函数解析式的特点先进行恒等变形，把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、乘、除运算，再套运算法则．变式训练求下列函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6； (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)； (3)y ＝x －1x ＋1； (4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)．【解】 (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′ ＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′ ＝5x 4－9x 2－10x .(2)法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′ ＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6， ∴y ′＝18x 2－8x ＋9. (3)法一 y ′＝(x －1x ＋1)′＝x －x ＋－x －x ＋x ＋2＝x ＋－x －x ＋2＝2x ＋2.法二 ∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝(1－2x ＋1)′＝(－2x ＋1)′＝－x ＋－x ＋x ＋2＝2x ＋2.(4)y ＝－sin x 2(1－2cos 2x 4)＝－sin x 2(－cos x 2)＝12sin x ，y ′＝(12sin x )′＝12(sin x )′＝12cos x .例题3 【思路探究】 (1)平行于直线4x ＋3y －8＝0且与抛物线相切的直线与抛物线y ＝－x 2的切点是否满足题意？(2)该切点的坐标如何求出？【自主解答】如图所示，由题意知作与4x ＋3y －8＝0平行的直线l ，当l 与y ＝－x 2相切时，切点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离最小．设切点为(x 0，－x 20)，又y ′＝(－x 2)′＝－2x ，∴－2x 0＝－43，∴x 0＝23，y 0＝－x 20＝－49，∴点P (23，－49)，即抛物线y ＝－x 2上的点(23，－49)到直线的距离最小．规律方法利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义，可以求解一些与距离、面积有关的几何问题，解题的关键是正确运用曲线的切线．变式训练已知点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上一点，求点P 到直线y ＝x －2的最小距离．【解】过p 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴p 的坐标为(1,1)，∴d min ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.易错易误辨析 (对应学生用书第54页)因公式记忆不准确致误典例求函数y ＝sin x －cos x 的导数．【错解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x －sin x【错因分析】 (cos x )′＝－sin x ，错解中因漏掉负号致误．【防范措施】应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，以防因记忆不牢而致误．【正解】 y ′＝(sin x )′－(cos x )′＝cos x ＋sin x .课堂小结本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算．在运算中，熟记有关的求导公式是关键，但对运算法则更应熟练掌握，特别是对商的运算，应与积的运算予以区别记忆，同时也要注意它们之间的联系.课堂双击达标 (对应学生用书第54页)1．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)等于( )A ．4 B.19 C ．－14 D ．－19【解析】 ∵(1x )′＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－1－2＝－19. 【答案】 D2．下列各式中正确的是( ) A ．(ln x )′＝x B ．(cos x )′＝sin x C ．(sin x )′＝cos xD ．(x －5)′＝－15x －6【解析】 ∵(ln x )′＝1x ，(cos x )′＝－sin x ，(x －5)′＝－5x －5－1＝－5x 6，∴A 、B 、D 均不正确；C 正确．【答案】 C3．下列求导正确的是( ) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x ＋ln 3)′＝3x ·ln 3＋13D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x【解析】 ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1－1x2，A 不正确．(3x ＋ln 3)′＝(3x )′＋(ln 3)′＝3x ln 3，C 不正确． (x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确．【答案】 B4．求曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程．【解】 y ′＝(xx －2)′＝－2x －2.∴k ＝y ′|x ＝1＝－2∴切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0.课后知能检测 (对应学生用书第107页)一、选择题1．(2013·普宁高二检测)设函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln 22 D ．ln 2【解析】 ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2. ∴ln x 0＝1，x 0＝e. 【答案】 B2．(2013·广元高二检测)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －3＝0 B ．3x －y ＋1＝0 C ．3x ＋y －1＝0D ．x －3y ＋3＝0【解析】 y ′＝e x ＋x e x ＋2，∴y ′|x ＝0＝3＝k .∴曲线在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，即3x －y ＋1＝0. 【答案】 B3．设曲线y ＝ax 2在(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B.12 C ．－12D ．－1【解析】 y ′＝2ax ，∴在点(1，a )处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 由题意可得2a ＝2，∴a ＝1.故选A.【答案】 A4．函数y ＝x1－cos x 的导数是( )A.1－cos x －sin x 1－cos xB.1－cos x －x sin x －cos x 2C.1－cos x －sin x －cos x 2D.1－cos x ＋x sin x －cos x 2【解析】 y ′＝x－cos x －x －cos x－cos x 2＝1－cos x －x sin x －cos x 2.【答案】 B5．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]【解析】 f ′(x )＝x 2sin θ＋3x cos θ， ∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin(θ＋π3)，∵θ∈[0，5π12]，∴sin(θ＋π3)∈[22，1]，∴f ′(1)∈[2，2]．【答案】 D 二、填空题6．设函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，∴f ′(1)＝3×12－4×1＋1＝0. 【答案】 07．(2013·张家港高二检测)设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )，(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f a ＋b f b＋cf c＝________. 【解析】 ∵f ′(x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )，代入即得 a f a ＋b f b ＋cf c ＝a a －b a －c＋b b －cb －a＋c c －ac －b＝－ab －c －b c －a －c a －ba －b b －c c －a＝－ab ＋ac －bc ＋ab －ac ＋bc a －b b －c c －a＝0. 【答案】 08．(2013·重庆高二检测)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．【解析】 ∵f ′(1)＝n ＋1，∴y ＝x n ＋1在点(1,1)处的切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1.令y＝0，得x n ＝n n ＋1， ∴a n ＝lg n －lg(n ＋1)，∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 1－lg 100＝－2.【答案】－2三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝x －sin x 2·cos x 2； (2)y ＝1x·cos x . 【解】 (1)∵y ＝x －sin x 2·cos x 2＝x －12sin x ， ∴y ′＝1－12cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ·cos x ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′cos x ＋1x(cos x )′ ＝⎝⎛⎭⎫x －12′cos x －1x sin x ＝－12x －32cos x －1xsin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x. 10．已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，求a ，b 的值．【解】 (1)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x x ＋2－b x2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝1，f ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1. 所以a ＝1，b ＝1.11．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)求证曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．【解】 (1)7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12. 又f ′(x )＝a ＋b x 2，于是⎩⎨⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3. 故f (x )＝x －3x. (2)【证明】设点P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2可知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12·⎪⎪⎪⎪－6x 0·|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 围成的三角形的面积为定值，此定值为6.教师备课资源(教师用书独具)备选例题设f(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 011(x)＝() A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x【解析】f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝f1(x)，f6(x)＝f2(x)，…，f n＋4(x)＝f n(x)，可知周期为4.∴f2 011(x)＝f3(x)＝－cos x.【答案】 D备选变式已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n(x)＝f n－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1(π2)＋f2(π2)＋…＋f2 011(π2)＝________.【解析】f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，以此类推，可得出fn(x)＝f n＋4(x)．又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1(π2)＋f2(π2)＋…＋f2 011(π2)＝f1(π2)＋f2(π2)＋f3(π2)＝－f4(π2)＝cos π2－sinπ2＝－1.【答案】－1。

高中数学人教A版选修1-1课件：3.2.2《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》

1．知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则； 2．思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想.
（一）书面作业必做题 P18 习题1.2
A组 5,6,7题
B组 2题
选做题 1.y cos x 的导数是 _________;
x 2.函数y ax2 1的图象与直线y x相切，则a= ______; 3.已知函数y x ln x. (1)求这个函数的导数； (2)求这个函数在点x 1处得切线方程.
总是比别人学得慢
一看就懂一做就错
看得懂，但不会做
总是比别人学得差不会举一反三
什么是学习力-含义
管理知识的能力（利用现有知识解决问题）
学习知识的能力（学习新知识速度、质量等）
长久坚持的能力（自律性等）
什么是学习力-常见错误学习方式
案例式学习
顺序式学习
冲刺式学习
什么是学习力-高效学习必备习惯
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u 2x 3
"复合"而成, 等等.
一般地, 对于两个函数y f u和u gx,如果通过变量u, y可以表示成x的函数, 那么称这个函数为函数y f u和 u gx的复合函数(composite functio#39; x
ln
u ' 3x
2'
1 u
3
3 3x
2
.
例4 求下列函数的导数
1 y 2x 32 ; 2 y e0.05x1 ;
3 y sinx 其中 ,均为常数 .
解 1函数y 2x 32可以看作函数y u3和
u 2x 3的复合函数.

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》赛课课件_7

证明： 2 x1 x2
f (x1) f (x2) 2x13 6x12 7 2x23 6x22 7
2(x1 x2) x12 x22x1x2 3x1 3x2

2( x1

x2
)
x1

3 2
2

当x>-2时, y 0,即已知函数在(-2,+∞)上是增函数.
又f(-2)=-1,故所求函数的值域是[-1,+∞).
应用三：证明不等式
例题7：《智力报》P7右文例1，例2
说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一种重要方法.其解题步骤是: 令F(x)=f(x)-g(x),x≥a,其中F(a)=f(a)-g(a)=0, 从而将要证明的不等式“当x>a时,f(x)>g(x)”转化为证明: “当x>a时,F(x)>F(a)”.
函数单调增（减）
定义
y f ( x1) f ( x2 ) 0 0
x
x1 x2
平均变有关，我们可以利用导数去探讨函数的单调性。
导数
探究一：函数单调性与导数符号的关系
h(t) 4.9t2 6.5t 10 h(t) 9.8t 6.5
理由：可能 f (x) 0 恒成立
4、 f (x) 为某区间的增函数 f (x) 0 且 f (x) 0的点离散
应用二：证明函数单调性
例题4：书 P26练习4（改为［0，2］如何？）
例题5:证明方程 x 1 sin x 0 只有一个根x=0. 3
证:设
f
(
x)

x

小结

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》赛课课件_3

4.若f
x

1 x
, 则f
'
x

1 x2
；
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上可以是任意实数.
练习：1 求下列幂函数的导数
（1）y x5 (2) y 1 x2 (3) y 3 x (4) y 3 x5
从物理的角度理解：
若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.
4.函数 y = f (x) =
1 x
的导数
因为
y
f x x f x
1 1 x x x
x
x
x

x
xx
x x xx
从几何的角度理解：
O
x
y=1表示函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1.
从物理的角度理解：
若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.
探究
在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象,并根据导数定义,求它们的导数.
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?y y=4x y=3x
应用2:求下列函数的导数
(1)y=(2x2+3)(3x-2)
(2)y=(1+x6)(2+sinx)
法则3:
3:求下列函数的导数 (1)y=tanx
(2) y

x3 x2 3
三.应用: 1.求下列函数的导数: (1)y=2xtanx
(2) y (x 2)3(3x 1)2

高中数学第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二课件新人教A版选修1_1

3 x
【导学号：97792140】
[解] ①y′＝(x3· ex)＝(x3)′· ex＋x3· (ex)′ ＝3x2· ex＋x3· ex＝ex(x3＋3x2)．
cos x ②y′＝ x ′
cos x′· x－cos x· x′ ＝ x2 －x· sin x－cos x xsin x＋cos x ＝＝－ . x2 x2
f′(x)＋g′(x) [f(x)＋g(x)]′＝_______________ f′(x)－g′(x) [f(x)－g(x)]′＝_________________ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) [f(x)· g(x)]′＝_____________________
f′xgx－fxg′x
2 3 (2)y＝xx －2x－6＋2；
(3)y＝cos xln x； x (4)y＝ex.
[解] ＝(x
－2
1 (1)y′＝x2＋sin 1 )′＋2sin x′
－3
x x 2cos 2′
1 ＝－2x ＋2cos x 2 1 ＝－x3＋2cos x.
2．函数y＝x· ln x的导数是( A．x 1 B.x
) C．ln x＋1 D．ln x＋x
C [y′＝(x)′×ln x＋x×(ln x)′＝ln x＋1.]
3．函数y＝x4＋sin x的导数为( A．y′＝4x3 C．y′＝4x3＋sin x
) B．y′＝cos x D．y′＝4x3＋cos x
D [y′＝(x4)′＋(sin x)′＝4x3＋cos x．]
9 4．函数y＝x 的导数为__________. 【导学号：97792139】
9′×x－9×x′ 9 9 y′＝－x2 [y′＝＝－x2] x2

高中数学第三章3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件人教版选修1

证明：令
f ( x x) f ( x) g ( x x) g ( x)
y f ( x x) f ( x) g ( x x) g ( x) x x
y f ( x x) g ( x x) f ( x) g ( x)
'
5
3x 5x 4 4y 3 cos x 4 sin x
2
'
1 答： 1 y ln 2 x
3 y 10x
4
6x 5
4 y 3sin x 4cos x
'பைடு நூலகம்
2 y 2e
'
x
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
5284 c x 100 x
数，下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函数加、减、乘、除的求导问题。
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).
1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 2.若f ( x) x n , 则f '( x ) nx n 1 ; 3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 5.若f ( x) a x , 则f '( x ) a x ln a (a 0); 6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ;

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》优质课教案_5

第二课时导数的运算法则（重点）1.掌握导数的和、差、积、商的求导法则.（难点）2.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.一知识回顾基本初等函数的导数公式(1)若f(x)＝c(常数)，则f ′(x)＝ .(2)若f(x)＝x α(α∈Q ﹡)，则f ′(x)＝ .(3)若f(x)＝sin x ，则f ′(x)＝ .(4)若f(x)＝cos x ，则f ′(x)＝ .(5)若f(x)＝ax ，则f ′(x)＝ .(6)若f(x)＝ex ，则f ′(x)＝ .(7)若f(x)＝log a x ，则f ′(x)＝ .(8)若f(x)＝ln x ，则f ′(x)＝ .二知识探究1. 导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:[]()()()().'''±=±f x g x f x g x 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即: []()()()()()().'''=+f x g x f x g x f x g x 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方，即:[]20()()()()()(()).()()f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦2.思考下列问题:(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)是否能是常数函数?提示:可以.由法则2:[]()'()()().C f x C f x C f x C f x '''⋅=+⋅=⋅例如,①若y=f(x)±c,则y ′=f ′(x);②若y=af(x),则y ′=af ′(x);③ ()()()2kf x k []f x f x -''=［］ (f(x)≠0). (2)应用导数的运算法则求导数的前提是什么?提示:应用导数的运算法则求导数的前提是f ′(x),g ′(x)都是存在的.3.运算法则的推广(1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即[f 1(x)±f 2(x)±f 3(x)±…±f n (x)]′=f ′1(x)±f ′2(x)±f ′3(x)±…±f ′n (x).(2) 积的导数公式的拓展,若y=f 1(x)f 2(x)…f n (x),则有y ′=f 1′(x)f 2(x)…f n (x)+f 1(x)f 2′(x)…f n (x)+…+f 1(x)f 2(x)…f n ′(x).三【即时训练】求下列函数的导数:1(1).=+y x x (2)tan .=y x (3)5.=x y例1 求函数y=x 3_2x+3的导数.【变式练习】求下列函数的导数:2121().y x x =-221().=-x y x528480100100 ().x x<<-日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位:元）为：c(x)=求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率.(1)90%. (2)例2 98%.【提升总结】函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知 .它表示纯净度为98%左右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增加的速度也越快.小结：导数的运算法则1.()''',±=±u v u v 1212()''''.±±±=±±±n n f f f f f f2.()'''.=+uv u v uv2.''3.()'-=u v u v uv v 注意:(),'''≠u v u v .u u v v ''⎛⎫≠ ⎪'⎝⎭。