2006卷年福建省高考数学卷理科21题试题1
2006年福建高考理综试卷及答案(文字版)
2006年普通高等学校招生全国统一考试（一）理科综合能力测试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第卷1至5页，第Ⅱ卷6至11页。
全卷共300分。
考试用时150分钟。
第Ⅰ卷（共21小题，每小题6分，共126分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准确无误考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试题卷上无效。
3．考试结束，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。
回以下数据可供解题时参考：以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16一、选择题（本题包括13小题。
每小题只有一个．．．．选项符合题意）1．有些神经细胞既能传导兴奋，又能合成与分泌激素。
这些细胞位于A．大脑皮层B．垂体C．下丘脑D．脊髓2．一般情况下，用抗原免疫机体，血清中抗体浓度会发生相应变化。
如果第二次免疫与第一次免疫所用的抗原相同且剂量相等，下列四图中能正确表示血清中抗体浓度变化的是3．下列关于动物细胞培养的叙述，正确的是A．培养中的人效应T细胞能产生单克隆抗体B．培养中的人B细胞能够无限地增殖C．人的成熟红细胞经过培养能形成细胞株D．用胰蛋白酶处理肝组织可获得单个肝细胞4．锄足蟾蝌蚪、雨蛙蝌蚪和蟾蜍蝌蚪均以浮游生物为食。
在条件相同的四个池塘中，每池放养等量的三种蝌蚪，各池蝌蚪总数相同。
再分别在四个池塘中放入不同数量的捕食者水螈。
一段时间后，三种蝌蚪数量变化结果如图。
下列分析，错误．．的是A．无水螈的池塘中，锄足蟾蝌蚪数量为J型增长B．三种蝌蚪之间为竞争关系C．水螈更喜捕食锄足蟾蝌蚪D．水螈改变了三种蝌蚪间相互作用的结果5．采用基因工程将人凝血因子基因导入山羊受精卵，培育出了转基因羊。
但是，人凝血因子只存在于该转基因羊的乳汁中。
以下有关叙述，正确的是A．人体细胞中凝血因子基因编码区的碱基对数目，等于凝血因子氨基酸数目的3倍B．可用显微注射技术将含有人凝血因子基因的重组DNA分子导入羊的受精卵C．在该转基因羊中，人凝血因子基因存在于乳腺细胞，而不存在于其他体细胞中D．人凝血因子基因开始转录后，DNA连接酶以DNA分子的一条链为模板合成mRNA 6．在常温常压下呈气态的化合物，降温使其固化得到的晶体属于A．分子晶体B．原子晶体C．离子晶体D．何种晶体无法判断7．下列叙述正确的是A．同一主族的元素，原子半径越大，其单质的熔点一定越高B．同一周期元素的原子，半径越小越容易失去电子C．同一主族的元素的氢化物，相对分子质量越大，它的沸点一定越高D．稀有气体元素的原子序数越大，其单质的沸点一定越高8．用N A代表阿伏加德罗常数，下列说法正确的是A．0.5 mol Al与足量盐酸反应转移电子数为1N AB．标准状况下，11.2 L SO3所含的分子数为0.5N AC．0.1 mol CH4所含的电子数为1N AD．46 g NO2和N2O4的混合物含有的分子数为1N A9．把分别盛有熔融的氯化钾、氯化镁、氯化铝的三个电解槽串联，在一定条件下通电一段时间后，析出钾、镁、铝的物质的量之比为A．1：2：3 B．3：2：1 C．6：3：1 D．6：3：210．浓度均为0.1mol·L-1的三种溶液等体积混合，充分反应后没有沉淀的一组溶液是A．BaCl2NaOH NaHCO3B．Na2CO3MgCl2H2SO4C．AlCl3NH3·H2O NaOHD．Ba(OH)2CaCl2Na2SO411．在0.1mol·L-1CH3COOH溶液中存在如下电离平衡：CH3COOH CH3COO-+H+对于该平衡，下列叙述正确的是A．加入水时，平衡向逆反应方向移动B．加入少量NaOH固体，平衡向正反应方向移动C．加入少量0.1 mol·L-1HCl溶液，溶液中c(H+)减小D．加入少量CH3COONa固体，平衡向正反应方向移动12。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷二)及答案
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}2．（5分）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．3．（5分）=（）A．B．C．i D．﹣i4．（5分）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．805．（5分）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．126．（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）7．（5分）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：38．（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）9．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x11．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．12．（5分）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）．14．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．15．（4分）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．16．（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出人．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．19．（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．24．（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．25．（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．27．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知集合M={x|x＜3}，N={x|log2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜3}C．{x|1＜x＜3}D．{x|2＜x＜3}【分析】解出集合N，结合数轴求交集．【解答】解：N={x|log2x＞1}={x|x＞2}，用数轴表示可得答案D故选D．2．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=sin2x•cos2x的最小正周期是（）A．2πB．4πC．D．【分析】将函数化简为：y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．【解答】解：所以最小正周期为，故选D3．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）=（）A．B．C．i D．﹣i【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可．【解答】解：故选A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A．40 B．50 C．70 D．80【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．5．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．B．6 C．D．12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长．【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a=，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=lnx+1（x＞0），则f（x）的反函数为（）A．y=e x+1（x∈R）B．y=e x﹣1（x∈R）C．y=e x+1（x＞1）D．y=e x﹣1（x＞1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可．【解答】解：由y=lnx+1解得x=e y﹣1，即：y=e x﹣1∵x＞0，∴y∈R所以函数f（x）=lnx+1（x＞0）反函数为y=e x﹣1（x∈R）故选B7．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（）A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出A'B'的长度，即可得到两线段的比值．【解答】解：连接AB'和A'B，设AB=a，可得AB与平面α所成的角为，在Rt△BAB'中有AB'=，同理可得AB与平面β所成的角为，所以，因此在Rt△AA'B'中A'B'=，所以AB：A'B'=，故选A．8．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）A． B．C．f（x）=﹣log2x（x＞0）D．f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y）且函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x＞0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案．【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上∵（x，y）关于原点的对称点为（﹣x，﹣y），所以（﹣x，﹣y）在函数g（x）上∴﹣y=log2（﹣x）⇒f（x）=﹣log2（﹣x）（x＜0）故选D．9．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）∴该双曲线的离心率是e==．故选A．10．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）若f（sinx）=2﹣cos2x，则f（cosx）等于（）A．2﹣sin2x B．2+sin2x C．2﹣cos2x D．2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2﹣cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx 代入，并化简即可得到答案．【解答】解：∵f（sinx）=2﹣（1﹣2sin2x）=1+2sin2x，∴f（x）=1+2x2，（﹣1≤x≤1）∴f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x．故选D11．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=，则=（）A．B．C．D．【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d≠0，∴，故选A．12．（5分）（2006•全国卷Ⅱ）函数的最小值为（）A．190 B．171 C．90 D．45【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解．【解答】解法一：f（x）==|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣19|表示数轴上一点到1，2，3，…，19的距离之和，可知x在1﹣19最中间时f（x）取最小值．即x=10时f（x）有最小值90，故选C．解法二：|x﹣1|+|x﹣19|≥18，当1≤x≤19时取等号；|x﹣2|+|x﹣18|≥16，当2≤x≤18时取等号；|x﹣3|+|x﹣17|≥14，当3≤x≤17时取等号；…|x﹣9|+|x﹣11|≥2，当9≤x≤11时取等号；|x﹣10|≥0，当x=10时取等号；将上述所有不等式累加得|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|≥18+16+14+…+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）故选C．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）在的展开式中常数项为45（用数字作答）．【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案．【解答】解：要求常数项，即40﹣5r=0，可得r=8代入通项公式可得T r=C108=C102=45+1故答案为：45．14．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为π可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在△ABD中利用余弦定理求得AD．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：15．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=．【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．【解答】解：如图示，由图形可知：点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，所以．16．（4分）（2006•全国卷Ⅱ）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500，3000）（元）月收入段应抽出25人．【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出[2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可．【解答】解：由直方图可得[2500，3000）（元）月收入段共有10000×0.0005×500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）已知向量，，．（1）若，求θ；（2）求的最大值．【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围．【解答】解：（1）因为，所以得又，所以θ=（2）因为=所以当θ=时，的最大值为5+4=9故的最大值为319．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量ξ的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望．（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果．【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ=0，1，2，3==，∴ξ的分布列为ξ0123P∴ξ的数学期望E（ξ）=（2）∵P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，这两个事件是互斥的∴P（ξ≥2）=20．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1﹣AD﹣C1的大小．【分析】（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知ED⊥CC1，而ED⊥BB1，即可证得；（Ⅱ）连接A1E，作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB．（2分）∵AB=BC，∴BO⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，∴ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．（6分）（Ⅱ）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1﹣AD﹣C1的平面角．不妨设AA1=2，则AC=2，AB=，ED=OB=1，EF==，tan∠A1FE=，∴∠A1FE=60°．所以二面角A1﹣AD﹣C1为60°．（12分）24．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．若对所有的x ≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax对g（x），求导得g'（x）=ln（x+1）+1﹣a，令g'（x）=0⇒x=e a﹣1﹣1，当a≤1时，对所有的x＞0都有g'（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x≥0时有g（x）≥g（0），即当a≤1时都有f（x）≥ax，所以a≤1成立，当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1时，g'（x）＜0，所以g （x）在（0，e a﹣1﹣1）上是减函数，又g（0）=0，所以对于0＜x＜e a﹣1﹣1有g （x）＜g（0），即f（x）＜ax，所以当a＞1时f（x）≥ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围．【解答】解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，（i）当a≤1时，对所有x＞0，g′（x）＞0，所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，又g（0）=0，所以对x≥0，都有g（x）≥g（0），即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f（x）≥ax．（ii）当a＞1时，对于0＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，e a﹣1﹣1）是减函数，又g（0）=0，所以对0＜x＜e a﹣1﹣1，都有g（x）＜g（0），即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax，于是不等式f（x）≥ax成立即为g（x）≥g（0）成立．对函数g（x）求导数：g′（x）=ln（x+1）+1﹣a令g′（x）=0，解得x=e a﹣1﹣1，当x＞e a﹣1﹣1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，当﹣1＜x＜e a﹣1﹣1，g′（x）＜0，g（x）为减函数，所以要对所有x≥0都有g（x）≥g（0）充要条件为e a﹣1﹣1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（﹣∞，1]．25．（14分）（2006•全国卷Ⅱ）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．（Ⅰ）证明为定值；（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S=f（λ）的表达式，并求S的最小值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得•的结果为0，进而判断出AB⊥FM．（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x o，y o），焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1，显然AB斜率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x2﹣4kx﹣4=0，判别式△=16（k2+1）＞0．x1+x2=4k，x1x2=﹣4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y′=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（x﹣x1）+y1，y=（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，x o==2k，y o==﹣1，即M（，﹣1）从而，=（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）•=（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）=（x22﹣x12）﹣2[（x22﹣x12）]=0，（定值）命题得证．这就说明AB⊥FM．（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=|AB||FM|．∵，∴（﹣x1，1﹣y1）=λ（x2，y2﹣1），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4λ，|FM|====．因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=﹣1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=λ++2=（）2．于是S=|AB||FM|=（）3，由≥2知S≥4，且当λ=1时，S取得最小值4．27．（12分）（2006•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2﹣a n x﹣a n=0有一根为S n﹣1，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）猜想数列{S n}的通项公式，并给出严格的证明．【分析】（1）验证当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；（2）用数学归纳法证明数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=．（2）由题设（S n﹣1）2﹣a n（S n﹣1）﹣a n=0，S n2﹣2S n+1﹣a n S n=0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入上式得S nS n﹣2S n+1=0．①﹣1由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．由此猜想S n=，n=1，2，3，．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即S k=，当n=k+1时，由①得S k+1=，即S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知S n=对所有正整数n都成立．。
2006年全国数学题与评析
2006年全国高考数学试题Ⅲ的评析一、2005年高考全国卷数学试题的特点在《2005年高考数学大纲》中明确指出：数学科的考试将会按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，据此，教育部考试中心命制的全国卷1、全国卷2、全国卷3三套试卷，分文、理科共六份试题．试题的设计体现了数学学科的特点，突出了知识的基础性，注意了在知识网络交汇点设题，着力反映了概念性、思辩性、量化的灵活性、解法的多样性及应用的广泛性，在数学思想方法及数学理性思维方面作了比较深入的考查。
试题“温和平缓”，既似曾相识，又推陈出新；既符合考生实际，又符合高考对选拔的要求。
相比之下，“全国卷1”比“全国卷2”和“全国卷3”要难些，但没有使学生望而生畏的题目，新题不难，难题不怪，“纯净淡雅”，平易近人。
既全面的考查了基础知识，又突出了对重点内容的考查；既关注了考查数学的基本方法和技巧，又注重了对能力的考查和思维能力的提升。
所有这些，对中学数学都具有很好的导向作用。
二、全国高考数学试题Ⅲ的评析2005年高考甘肃采用的高考数学试题模版是全国卷Ⅲ，试卷题量与2004年相同。
2005年高考数学试卷总体呈现平稳，没有出现难题、偏题和怪题。
命题凸现了高中数学的主干知识，以“死题”考知识，用“活题”考能力，加强了数学运算能力的考查。
文理科试卷的差异较往年缩小了。
从定量上看，此套试卷继续保持2004年在全国卷Ⅲ在文理差异上的风格，即减少相同题，减少姊妹题增加不同题，但不同题的数量较2004年有所减少，其中，选择题相异的有１道，填空题差异有２道，（而且这３道试题都是因为文理考试知识的不同要求命制的）解答题差异的有2.5道。
总体的感觉是：数学试题整体不难，应该说成绩优秀的学生得高分并不困难。
1、选择题：平淡中考知识，创新中考能力选择题都是容易题和中等题，大多数题属于“一捅就破”的题型，主要考查了数学的基本概念、基本知识和基本的计算、解题方法。
2006年高考理科数学试题及答案(福建卷)
页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根2006年高考试题理科数学（福建卷）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于 （A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7- （4）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于 （A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-（5）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（A ） （B ）3 （C ）3（D ）3 （6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。
从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（A ）27 （B ）38 （C ）37 （D ）928（7）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n （C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（8）函数2log (1)1x y x x =>-的反函数是 （A ）2(0)21x x y x =>- （B ）2(0)21xx y x =<- （C ）21(0)2x x y x -=> （D ）21(0)2x x y x -=< （9）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 （10）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞（11）已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。
2006年福建省高考理科数学试卷真题+参考答案+详细解析
2006年福建省高考数学试卷（理科数学）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设a ，b ，c R ∈，则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是( ) A ．0ad bc -=B ．0ac bd -=C ．0ac bd +=D ．0ad bc +=2．（5分）在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于( ) A ．40B ．42C ．43D ．453．（5分）已知(,)2παπ∈，3sin 5α=，则tan()4πα+等于( )A ．17B ．7C ．17-D ．7-4．（5分）已知全集U R =，且{||1|2}A x x =->，2{|680}B x x x =-+<，则()U A B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3]-5．（5分）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．BCD 6．（5分）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( ) A ．27B ．38C ．37D ．9287．（5分）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( ) A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊂，//n α，则//m n D ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n 8．（5分）函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是( ) A ．2(0)21xx y x =>-B ．2(0)21xx y x =<-C ．21(0)2x x y x -=>D ．21(0)2x x y x -=<9．（5分）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于( )A ．23B ．32C ．2D ．310．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞11．（5分）||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(OC mOA nOB m =+、)n R ∈，则mn等于( ) A ．13B ．3C ．33D ．312．（5分）对于直角坐标平面内的任意两点11(),A x y ，22(),B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||||||||AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||||||||||||AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222||||||||||||AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，||||||||||||AC CB AB +>． 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 ．14．（4分）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a = ．15．（4分）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 ．16．（4分）如图，连接ABC ∆的各边中点得到一个新的△111A B C ，又连接△111A B C 的各边中点得到△222A B C ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，⋯，这一系列三角形趋向于一个点M ．已知(0,0)A ，(3,0)B ，(2,2)C ，则点M 的坐标是 ．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数22=++，x Rf x x x x x()sin cos2cos∈．（Ⅰ）求函数()f x的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数()=∈的图象经过怎样的变换得到？y x x Rf x的图象可以由函数sin2()18．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==． （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．19．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？20．（12分）已知椭圆2212xy+=的左焦点为F，O为坐标原点．（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．21．（12分）已知函数2()8f x x x =-+，()6g x lnx m =+． （Ⅰ）求()f x 在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．22．（14分）已知数列{}n a 满足11a =，*121()n n a a n N +=+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311()232n n a a a n nn N a a a +-<++⋯+<∈．2006年福建省高考数学试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设a ，b ，c R ∈，则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是( ) A ．0ad bc -=B ．0ac bd -=C ．0ac bd +=D ．0ad bc +=【解析】a ，b ，c R ∈，复数()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++为实数，0ad bc ∴+=，故选D ． 【点评】本题是对基本概念的考查．2．（5分）在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于( ) A ．40B ．42C ．43D ．45【解析】在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，得3d =，514a =，4565342a a a a ∴++==．故选：B ．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题．3．（5分）已知(,)2παπ∈，3sin 5α=，则tan()4πα+等于( )A ．17B ．7C ．17-D ．7-【解析】已知3(,),sin 25παπα∈=，则3tan 4α=-，∴1tan 1tan()41tan 7πααα++==-，故选：A ．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．4．（5分）已知全集U R =，且{||1|2}A x x =->，2{|680}B x x x =-+<，则()U A B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3]-【解析】{|3A x x =>或1}x <-，{|13}U C A x x =-，{|24}B x x =<<，()(2,3]U C A B ∴=，故选：C ． 【点评】本题主要考查了集合的运算，属于以不等式为依托，求集合的交集、补集的基础题，也是高考常会考的题型．5．（5分）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．BC ．3D【解析】正方体外接球的体积是323π，则外接球的半径2R =，正方体的对角线的长为4， 故选：D ．【点评】本题考查球的内接正方体问题，是基础题．6．（5分）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( ) A ．27B ．38C ．37D ．928【解析】由题意知本题是一个古典概型，在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．试验的总事件是从8个球中取3个球有38C 种取法，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球包括摸到2个黑球，或摸到3个黑球有213353C C C +种不同的取法，∴至少摸到2个黑球的概率等于2133533827C C C P C +==，故选：A ． 【点评】本题也可以从对立事件角度来考虑，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的对立事件是从中摸出3个球，摸到的都是白球或摸到的有一个黑球，试验的总事件是从8个球中取3个球有38C 种取法，摸到的都是白球有3510C =种方法，摸到的有一个黑球有1235C C 种方法，代入公式得到结果． 7．（5分）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( ) A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊂，//n α，则//m n D ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n【解析】对于平面α和共面的直线m 、n ，真命题是“若m α⊂，//n α，则//m n ”．故选：C ． 【点评】本题考查空间直线与平面之间的位置关系，是基础题． 8．（5分）函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是( ) A ．2(0)21xx y x =>-B ．2(0)21xx y x =<-C ．21(0)2x x y x -=>D ．21(0)2x x y x -=<【解析】对于1x >，函数221log log (1)011x y x x ==+>--，由函数2log (1)1xy x x =>-解得1211yx =--，1212121y yy x =+=--，∴原函数的反函数是2(0)21x x y x =>-，故选：A ． 【点评】本题的解决体现了整体换元的思想，这样可以使复杂的解析式变得易懂，本题的难点在通过原函数的值域确定反函数的值域，求函数式时注意准确应用指数式与对数式的互化． 9．（5分）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值等于( )A ．23B ．32C ．2D ．3【解析】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，∴32ωππ--或342ωππ，ω∴的最小值等于32，故选：B ． 【点评】本题主要考查正弦函数的最值和三角函数的单调性．属基础题．10．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞【解析】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴3ba，离心率2222224c a b e a a+==， 2e ∴，故选：C ．【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．11．（5分）||1OA =，||3OB =，0OA OB ⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(OC mOA nOB m =+、)n R ∈，则mn等于( ) A ．13B ．3CD【解析】法一：如图所示：OC OM ON=+，设||ON x =，则||3OM x =．3333||||OA OB OC x x xOA xOB OA OB =⋅+⋅=+，∴3mn =．法二：如图所示，建立直角坐标系．则(1,0)OA =，(0,OB =，∴OC mOA nOB =+()m =，tan30∴︒==，∴3mn=．故选：B ． 【点评】对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．12．（5分）对于直角坐标平面内的任意两点11(),A x y ，22(),B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||||||||AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：①若点C 在线段AB 上，则||||||||||||AC CB AB +=； ②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222||||||||||||AC CB AB +=； ③在ABC ∆中，||||||||||||AC CB AB +>． 其中真命题的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】对于直角坐标平面内的任意两点11(),A x y ，22(),B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 2121||||||||AB x x y y =-+-．对于①若点C 在线段AB 上，设C 点坐标为00(,)x y ，0x 在1x 、2x 之间，0y 在1y 、2y 之间， 则010*********||||||||||||||||||||||||AC CB x x y y x x y y x x y y AB +=-+-+-+-=-+-=．成立故正确． 对于②在ABC ∆中，若90C ∠=︒，则222||||||||||||AC CB AB +=；是几何距离而非题目定义的距离，明显不成立，对于③在ABC ∆中，01012020||||||||||||||||AC CB x x y y x x y y +=-+-+-+-012001202121|()()||()()|||||||||x x x x y y y y x x y y AB -+-+-+-=-+-=．③不正确．∴命题①成立，故选：B ．【点评】此题主要考查新定义的问题，对于此类型的题目需要认真分析题目的定义再求解，切记不可脱离题目要求．属于中档题目．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 10 ．【解析】根据所给的二项式写出展开式的通项，251031551()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，要求4x 的项的系数，1034r ∴-=，2r ∴=，4x ∴的项的系数是225(1)10C -=，故答案为：10．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（4分）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a =14．【解析】设切点00(),P x y ，2y ax =，2y ax ∴'=，则有：0010x y --=（切点在切线上）①；200y ax =（切点在曲线上）②021ax =（切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：14a =． 【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识的能力．15．（4分）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是49． 【解析】一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2． 将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为0ξ=，1，2，4，11111133333311663(0)4C C C C C C P C C ξ++===，112211661(1)9C C P C C ξ===，1111211211661(2)9C C C C P C C ξ+===， 111111661(4)36C C P C C ξ===，∴124499369E ξ=++=．故答案为：49． 【点评】数字问题是概率中经常出现的题目，一般可以列举出要求的事件，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的可以借助于排列数和组合数来表示．16．（4分）如图，连接ABC ∆的各边中点得到一个新的△111A B C ，又连接△111A B C 的各边中点得到△222A B C ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，111A B C ∆，222A B C ∆，⋯，这一系列三角形趋向于一个点M ．已知(0,0)A ，(3,0)B ，(2,2)C ，则点M 的坐标是 52(,)33．【解析】如图，连接ABC ∆的各边中点得到一个新的△111A B C ，又连接△111A B C 的各边中点得到△222A B C ，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC ∆，△111A B C ，△222A B C ，因为这一系列三角形重心相同，趋向于一个点M ，则点M 是ABC ∆的重心， 已知(0,0)A ，(3,0)B ，(2,2)C ，52(,)33M ∴=．【点评】点M 是ABC ∆的重心，应用中点坐标公式及三角形重心坐标公式． 三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数22()sin 3cos 2cos f x x x x x =++，x R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？ 【解析】（Ⅰ）1cos233133()2(1cos2)2cos2sin(2)22262x f x x x x x x π-=++=++=++． ()f x ∴的最小正周期22T ππ==．由题意得222,262k x k k Z πππππ-++∈，即,36k x k k Z ππππ-+∈．()f x ∴的单调增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈． （Ⅱ）先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象． 【点评】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力．18．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD == （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．【解析】()I 证明：连接OC ，BO DO =，AB AD =，AO BD ∴⊥．BO DO =，BC CD =，CO BD ∴⊥． 在AOC ∆中，由已知可得1,3AO CO ==．而2AC =，222AO CO AC ∴+=，90AOC ∴∠=︒，即AO OC ⊥． BD OC O =，AO ∴⊥平面BCD ．()II 解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(0,3,0)C ，(0,0,1)A ，13(,,0)22E ，(1,0,1)BA =-，(1,3,0)CD =--．∴.2cos ,4||||BA CD BA CD BA CD <>==， ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为2arccos4． ()III 解：设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则.(,,)(1,0,1)0.(,,)(03,1)0n AD x y z n AC x y z ⎧=⋅--=⎪⎨=⋅-=⎪⎩，∴030.x z y z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ 令1y =，得(3,1,3)n =-是平面ACD 的一个法向量．又13(,,0)22EC =-，∴点E 到平面ACD 的距离|.|321||77EC n h n ===．【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．19．（12分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120)12800080y x x x =-+<已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】()I 当40x =时，汽车从甲地到乙地行驶了1002.540=小时， 要耗油313(40408) 2.517.512800080⨯-⨯+⨯=（升）． 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升． ()II 当速度为x 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为()h x 升， 依题意得3213100180015()(8)(0120)1280008012804h x x x x x x x =-+⋅=+-<，332280080()(0120)640640x x h x x x x -'=-=<．令()0h x '=，得80x =．当(0,80)x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数； 当(80,120)x ∈时，()0h x '>，()h x 是增函数．∴当80x =时，()h x 取到极小值(80)11.25h =．因为()h x 在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值．答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．【点评】本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力．20．（12分）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点．（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【解析】2()2I a =，21b =，1c ∴=，(1,0)F -，:2l x =-．圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上．设1(,)2M t -，则圆半径13|()(2)|22r =---=． 由||OM r =2213()22t -+=，解得2t =±∴所求圆的方程为2219()(2)24x y ++±=．()II 设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入2212x y +=，整理得2222(12)4220k x k x k +++-=．直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根．记11(),A x y ，22(),B x y ，AB 中点00(),N x y ，则2122421k x x k +=-+，202221k x k =-+，002(1)21ky k x k =+=+，AB ∴的垂直平分线NG 的方程为001()y y x x k-=--．令0y =，得222002222211212121242G k k k x x ky k k k k =+=-+=-=-+++++． 0k ≠，∴102G x -<<，∴点G 横坐标的取值范围为1(,0)2-．【点评】本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力，直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常是先联立组成方程组，消去x （或)y ，得到y （或)x 的方程．我们在研究圆锥曲线时，经常涉及到直线与圆锥曲线的位置关系的研究．主要涉及到：交点问题、弦长问题、弦中点（中点弦）等问题，常用的方法：联立方程组，借助于判别式，数形结合法等． 21．（12分）已知函数2()8f x x x =-+，()6g x lnx m =+． （Ⅰ）求()f x 在区间[,1]t t +上的最大值()h t ；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】22()()8(4)16I f x x x x =-+=--+． 当14t +<，即3t <时，()f x 在[,1]t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67h t f t t t t t =+=-+++=-++； 当41t t +，即34t 时，()(4)16h t f ==；当4t >时，()f x 在[,1]t t +上单调递减，2()()8h t f t t t ==-+．综上，2267,3()16,348,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=⎨⎪-+>⎩．()II 函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()m x g x f x =-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．2()86m x x x lnx m =-++，∴262862(1)(3)()28(0)x x x x m x x x x x x-+--'=-+==>，当(0,1)x ∈时，()0m x '>，()m x 是增函数； 当(1,3)x ∈时，()0m x '<，()m x 是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，()0m x '>，()m x 是增函数； 当1x =，或3x =时，()0m x '=．()m x m ∴=极大值（1）7m =-，()m x m =极小值（3）6315m ln =+-． 当x 充分接近0时，()0m x <，当x 充分大时，()0m x >．∴要使()m x 的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70()63150m x m m x m ln =->⎧⎨=+-<⎩极大值极小值，即71563m ln <<-．∴存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,1563)ln -．【点评】本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力． 22．（14分）已知数列{}n a 满足11a =，*121()n n a a n N +=+∈． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）证明：*122311()232n n a a a n nn N a a a +-<++⋯+<∈． 【解析】（Ⅰ）*121()n n a a n N +=+∈，112(1)n n a a +∴+=+，{1}n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12n n a ∴+=．即*21()n n a n N =-∈．（Ⅱ）证明：12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，∴12()42n n b b b n nb ++⋯+-=．122[()]n n b b b n nb ∴++⋯+-=，①12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++⋯++-+=+．②②-①，得112(1)(1)n n n b n b nb ++-=+-， 即1(1)20n n n b nb +--+=，③ 21(1)20n n nb n b ++-++=．④④-③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=，*211()n n n n b b b b n N +++∴-=-∈，{}n b ∴是等差数列． （Ⅲ）证明：112121112122(2)2k k k k k k a a ++--==<--，1k =，2，...，n ，∴122312n n a a a na a a +++⋯+<．111211111111.2122(21)23222232k k k k kk kk a a +++-==-=----⋅+-，1k =，2，⋯，n ， ∴1222311111111()(1)2322223223n n n n a a a n n n a a a +++⋯+-++⋯+=-->-， ∴*122311()232n n a a a n nn N a a a +-<++⋯+<∈． 【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力．。
2006年福建省高考数学试卷+解析+参考答案(文科)
2006年福建省高考数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于( ) A ．2B ．1C ．0D ．1-2．（5分）在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于( ) A ．40B ．42C ．43D ．453．（5分）“tan 1α=”是“4πα=”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知(2πα∈，)π，3sin 5α=，则tan()4πα+等于( ) A ．17B ．7C ．17-D ．7-5．（5分）已知全集U R =，且{||1|2}A x x =->，2{|680}B x x x =-+<，则()U A B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3]-6．（5分）函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是( ) A ．(1)1xy x x =≠+ B ．(1)1xy x x=≠- C ．1(0)x y x x -=≠ D ．1(0)xy x x-=≠ 7．（5分）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．BCD 8．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( ) A ．108种B ．186种C ．216种D ．270种9．（5分）已知向量a 与b 的夹角为120︒，||3,||13a a b =+=，则||b 等于( ) A ．5B ．4C ．3D ．110．（5分）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( ) A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n11．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2,)+∞D ．(2,)+∞12．（5分）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()f x lgx =．设6()5a f =，3()2b f =，5()2c f =，则( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 ．14．（4分）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a = ． 15．（4分）已知实数x 、y 满足1|1|y y x ⎧⎨-⎩，则2x y +的最大值是 ．16．（4分）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值是 ．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数22=++，x Rf x x x x x()sin cos2cos∈．（Ⅰ）求函数()f x的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数()=∈的图象经过怎样的变换得到？y x x Rf x的图象可以由函数sin2()18．（12分）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6）．（Ⅰ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；（Ⅱ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（Ⅲ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率．19．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==． （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．20．（12分）已知椭圆2212xy+=的左焦点为F，O为坐标原点．（Ⅰ）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，并且线段AB的中点在直线0x y+=上，求直线AB的方程．21．（12分）已知()f x是二次函数，不等式()0f x<的解集为(0,5)且()f x在[1,4]-上的最大值为12，①求()f x的解析式；②是否存在自然数m，使方程37()0f xx+=在区间(,1)m m+内有且只有两个不等的实根？若不存在，说明理由；若存在，求m的值．22．（14分）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，*2132()n n n a a a n N ++=-∈． （Ⅰ）证明：数列1{}n n a a +-是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，证明{}n b 是等差数列．2006年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于( ) A ．2B ．1C ．0D ．1-【解析】由2y ax =-，(2)1y a x =++得20ax y --=，(2)10a x y +-+=，因为直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，所以(2)10a a ++=，解得1a =-．故选：D ．【点评】本题考查两直线垂直的条件．2．（5分）在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，则456a a a ++等于( ) A ．40B ．42C ．43D ．45【解析】在等差数列{}n a 中，已知12a =，2313a a +=，得3d =，514a =，4565342a a a a ∴++==．故选：B ．【点评】本题主要考查了等差数列的性质．属基础题． 3．（5分）“tan 1α=”是“4πα=”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若“tan 1a =”，则4k παπ=+，k Z ∈，α不一定等于4π； 而若“4a π=”则tan 1α=，∴“tan 1a =”是4a π=的必要而不充分条件，故选：B ．【点评】本题是三角方程求解，充要条件的判断，是容易题． 4．（5分）已知(2πα∈，)π，3sin 5α=，则tan()4πα+等于( ) A ．17B ．7C ．17-D ．7-【解析】已知3(,),sin 25παπα∈=，则3tan 4α=-，∴1tan 1tan()41tan 7πααα++==-，故选：A ．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．5．（5分）已知全集U R =，且{||1|2}A x x =->，2{|680}B x x x =-+<，则()U A B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(2,3]-【解析】{|3A x x =>或1}x <-，{|13}UA x x =-，{|24}B x x =<<，()(2,3]U A B ∴=，故选：C ．【点评】本题主要考查了集合的运算，属于以不等式为依托，求集合的交集、补集的基础题，也是高考常会考的题型． 6．（5分）函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是( ) A ．(1)1x y x x =≠+ B ．(1)1x y x x =≠- C ．1(0)x y x x -=≠ D ．1(0)xy x x-=≠【解析】由函数(1)1x y x x =≠-+，解得(1)1y x y y =≠-，∴原函数的反函数是(1)1xy x x=≠-．故选：B ．【点评】本题主要考查反函数的知识点，反函数是高考的常考点，需要同学们熟练掌握． 7．（5分）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．BC ．3D【解析】正方体外接球的体积是323π，则外接球的半径2R =，正方体的对角线的长为4， 故选：D ．【点评】本题考查球的内接正方体问题，是基础题．8．（5分）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( ) A ．108种B ．186种C ．216种D ．270种【解析】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，有37A 种选法，其中只选派男生的方案数为34A ，分析可得，“这3人中至少有1名女生”与“只选派男生”为对立事件，则这3人中至少有1名女生等于从全部方案中减去只选派男生的方案数，即合理的选派方案共有3374186A A -=种，故选：B ． 【点评】本题考查排列的运用，出现最多、至少一类问题时，常见的方法是间接法． 9．（5分）已知向量a 与b 的夹角为120︒，||3,||13a a b =+=，则||b 等于( ) A ．5B ．4C ．3D ．1【解析】向量a 与b 的夹角为120︒，||3,||13a a b =+=，∴3||||cos120||2a b a b b ⋅=⋅⋅︒=-，222||||2||a b a a b b +=+⋅+，∴21393||||b b =-+，∴||1b =-（舍去）或||4b =，故选：B ．【点评】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．10．（5分）对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( ) A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m n C ．若m α⊂，//n α，则//m n D ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n【解析】对于平面α和共面的直线m 、n ，真命题是“若m α⊂，//n α，则//m n ”．故选：C ． 【点评】本题考查空间直线与平面之间的位置关系，是基础题．11．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1，2]B ．(1,2)C ．[2，)+∞D ．(2,)+∞【解析】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a， ∴3ba，离心率2222224c a b e a a +==，2e ∴，故选：C ． 【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．12．（5分）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()f x lgx =．设6()5a f =，3()2b f =，5()2c f =，则( ) A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【解析】已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()f x lgx =．则6444()()()05555a f f f lg ==-=-=->，3111()()()02222b f f f lg ==-=-=->，511()()0222c f f lg ===<，又4152lglg >，41052lg lg ∴<-<-，c a b ∴<<，故选：D ． 【点评】本题主要考查奇函数性质与函数的周期性，同时考查对数函数的单调性． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是 10 ．【解析】根据所给的二项式写出展开式的通项，251031551()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，要求4x 的项的系数，1034r ∴-=，2r ∴=，4x ∴的项的系数是225(1)10C -=，故答案为：10．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（4分）已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a = 14． 【解析】设切点00(),P x y ，2y ax =，2y ax ∴'=，则有：0010x y --=（切点在切线上）①；200y ax =（切点在曲线上）②021ax =（切点横坐标的导函数值为切线斜率）③；由①②③解得：14a =． 【点评】本题主要考查抛物线的应用．考查了学生综合运用所学知识的能力． 15．（4分）已知实数x 、y 满足1|1|y y x ⎧⎨-⎩，则2x y +的最大值是 4 ．【解析】已知实数x 、y 满足1|1|y y x ⎧⎨-⎩在坐标系中画出可行域，三个顶点分别是(0,1)A ，(1,0)B ，(2,1)C ，由图可知，当2x =，1y =时，2x y +的最大值是4．故答案为：4．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．（4分）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则ω的最小值是 32．【解析】函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间[,]34ππ-上的最小值是2-，则x ω的取值范围是[,]34ωπωπ-，当22x k πωπ=-+，k Z ∈时，函数有最小值2-，232k ωπππ∴-+-，或342ωππ，k Z ∈，∴362k ω-，6ω，k Z ∈，0ω>，ω∴的最小值等于32．故答案为：32．【点评】本题主要考查正弦函数的最值的应用．考查基础知识的运用能力．三角函数式高考的重要考点，一定要强化复习．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知函数22()sin cos 2cos f x x x x x =++，x R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2()y x x R =∈的图象经过怎样的变换得到？【解析】（Ⅰ）1cos2133()2(1cos2)2cos2sin(2)22262x f x x x x x x π-=++=++=++． ()f x ∴的最小正周期22T ππ==．由题意得222,262k x k k Z πππππ-++∈，即,36k x k k Z ππππ-+∈．()f x ∴的单调增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈．（Ⅱ）先把sin 2y x =图象上所有点向左平移12π个单位长度，得到sin(2)6y x π=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3sin(2)62y x π=++的图象． 【点评】本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力．18．（12分）每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)． （Ⅰ）连续抛掷2次，求向上的数不同的概率； （Ⅱ）连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率；（Ⅲ）连续抛掷5次，求向上的数为奇数恰好出现3次的概率．【解析】（Ⅰ）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数4416⨯=， 满足条件的事件是向上的数不同，第一次由6种选择，第二次出现5种结果，共有5630⨯=， 设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，∴655()666P A ⨯==⨯． 答：抛掷2次，向上的数不同的概率为56． （Ⅱ）由题意知，本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数4416⨯=， 满足条件的事件是向上的数之和为6的结果有(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)5种， 设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．∴55()6636P B ==⨯． 答：抛掷2次，向上的数之和为6的概率为536． （Ⅲ）设C 表示事件“抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次”，即在5次独立重复试验中，事件向上的数为奇数恰好出现3次，在这个试验中向上的数为奇数的概率是12， 根据独立重复试验的概率公式得到∴3325511105()(3)()()223216P C P C ====． 答：抛掷5次，向上的数为奇数恰好出现3次的概率为516． 【点评】本题考查独立重复试验，考查等可能事件的概率，主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力．是一个综合题．19．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2CA CB CD BD ====，2AB AD ==． （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离．【解析】（Ⅰ）证明：连接OC ，BO DO =，AB AD =，AO BD ∴⊥．BO DO =，BC CD =，CO BD ∴⊥． 在AOC ∆中，由已知可得1,3AO CO ==而2AC =，222AO CO AC ∴+=，90AOC ∴∠=︒，即AO OC ⊥． BD OC O =，AO ∴⊥平面BCD ．（Ⅱ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，3,0)C ，(0,0,1)A ，13(2E ，(1,0,1)BA =-，(1,3,0)CD =-．∴.2cos ,4||||BA CD BA CD BA CD <>== ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为2（Ⅲ）解：设平面ACD 的法向量为(,,)n x y z =，则.(,,)(1,0,1)0.(,,)(03,1)0n AD x y z n AC x y z ⎧=⋅--=⎪⎨=⋅-=⎪⎩，∴030.x z z +=⎧⎪⎨-=⎪⎩令1y =，得(3,1,3)n =-是平面ACD 的一个法向量．又13(2EC =-，∴点E 到平面ACD 的距离|.|321||7EC n h n ===．【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．20．（12分）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点．（Ⅰ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，并且线段AB 的中点在直线0x y +=上，求直线AB 的方程．【解析】（Ⅰ）22a =，21b =，1c ∴=，(1,0)F -，:2l x =-．圆过点O 、F ，∴圆心M 在直线12x =-上．设1(,)2M t -，则圆半径13|()(2)|22r =---=．由||OM r =2213()22t -+=，解得2t =±∴所求圆的方程为2219()(2)24x y ++=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，代入2212x y +=，整理得2222(12)4220k x k x k +++-=．直线AB 过椭圆的左焦点F ，∴方程有两个不等实根，记11(),A x y ，22(),B x y ，AB 中点0(N x ，0)y ，则2122421k x x k +=-+，2012002212(),(1)22121k kx x x y k x k k =+=-=+=++， 线段AB 的中点N 在直线0x y +=上，∴20022202121k k x y k k +=-+=++，0k ∴=，或12k =．当直线AB 与x 轴垂直时，线段AB 的中点F 不在直线0x y +=上．∴直线AB 的方程是0y =或210x y -+=．【点评】本题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意公式的灵活运用．21．（12分）已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集为(0,5)且()f x 在[1,4]-上的最大值为12， ①求()f x 的解析式；②是否存在自然数m ，使方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不等的实根？若不存在，说明理由；若存在，求m 的值． 【解析】（1）()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5)，∴可设()(5)(0)f x ax x a =->．()f x ∴在区间[1,4]-上的最大值是(1)6f a -=．由已知得612a =，2a ∴=，2()2(5)210()f x x x x x x R ∴=-=-∈． （2）方程37()0f x x+=等价于方程32210370x x -+=． 设32()21037h x x x =-+，则2()6202(310)h x x x x x '=-=-． 在区间10(0,)3x ∈时，()0h x '<，()h x 是减函数； 在区间(,0)-∞，或10(,)3+∞上，()0h x '>，()h x 是增函数，故(0)h 是极大值，10()3h 是极小值．(3)10h =>，101()0327h =-<，(4)50h =>，∴方程()0h x =在区间1010(3,),(,4)33内分别有惟一实数根，故函数()h x 在(3,4)内有2个零点． 而在区间(0,3)，(4,)+∞内没有零点，在(,0)-∞上有唯一的零点． 画出函数()h x 的单调性和零点情况的简图，如图所示．所以存在惟一的自然数3m =，使得方程37()0f x x+=在区间(,1)m m +内有且只有两个不同的实数根． 【点评】本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力，属于中档题． 22．（14分）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，*2132()n n n a a a n N ++=-∈． （Ⅰ）证明：数列1{}n n a a +-是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若数列{}n b 满足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---⋯=+∈，证明{}n b 是等差数列． 【解析】（Ⅰ）证明：2132n n n a a a ++=-，2112()n n n n a a a a +++∴-=-，11a =，23a =，∴*2112()n n n na a n N a a +++-=∈-．1{}n n a a +∴-是以212a a -=为首项，2为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）1{}n n a a +-是以212a a -=为首项，2为公比的等比数列得*12()n n n a a n N +-=∈， 12*112211()()()222121()n n n n n n n n a a a a a a a a n N -----∴=-+-++-+=++++=-∈．（Ⅲ）证明：12111444(1)n n b b b b n a ---=+，∴1242n n b b b n nb ++⋯+-=122[()]n n b b b n nb ∴++⋯+-=，①12112[()(1)](1)n n n b b b b n n b ++++⋯++-+=+．②②-①，得112(1)(1)n n n b n b nb ++-=+-， 即1(1)20n n n b nb +--+=．③21(1)20n n nb n b ++-++=．④④-③，得2120n n n nb nb nb ++-+=，即2120n n n b b b ++-+=，*211()n n n n b b b b n N +++∴-=-∈，{}n b ∴是等差数列．【点评】本小题主要考查数列、不等式等基本知识的综合运用，考查化归的数学思想方法在解题中的运用，考查综合解题能力．。
2006年福建高考数学试题(理科)及答案
2006年福建高考数学试题（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7-（4）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-（5）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（A ）22 （B ）233 （C ）423 （D ）433（6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。
从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（A ）27 （B ）38 （C ）37 （D ）928（7）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是（A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（8）函数2log (1)1xy x x =>-的反函数是（A ）2(0)21x xy x =>- （B ）2(0)21xx y x =<-（C ）21(0)2x x y x -=> （D ）21(0)2x x y x -=< （9）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，则ω的最小值等于（A ）23 （B ）32（C ）2 （D ）3 （10）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞（11）已知1,3,.0,OA OB OAOB===点C 在AOC ∠30o=。
2006年高考试题及答案-理科数学-全国卷
普通高等学校招生全国统一考试文科数学（全国卷Ⅰ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到10页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一．选择题（1）设集合M={x|x 2-x<0},N={x||x|<2},则（A ）M φ=N （B ）M M N =（C ）M N M =（D ）R N M =（2）已知函数y=e x 的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，则（A ）f(2x)=e 2x (x )R ∈ （B ）f(2x)=ln2lnx(x>0)（C ）f(2x)=2e 2x (x )R ∈（D ）f(2x)= lnx+ln2(x>0)（3）双曲线mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=（A ）-41 （B ）-4 (C)4 （D ）41 （4）如果(m 2+i)(1+mi)是实数,则实数m=（A ）1（B ）-1（C ）2（D ）-2（5）函数f(x)=tan(x+4π)的单调递增区间为（A ）(k π-2π, k π+2π),k Z ∈ （B ）(k π, (k+1)π),k Z ∈(C) (k π-43π, k π+4π),k Z ∈ （D ）(k π-4π, k π+43π),k Z ∈（6）∆ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c ，且c=2a ，则cosB=（A ）41 （B ）43 （C ）42 （D ）32（7）已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥高为4，体积为16，则这个球的表面积是（A ）16 π （B ）20π （C ）24π （D ）32π（8）抛物线y=-x 2上的点到4x+3y-8=0直线的距离的最小值是（A ）34 （B ）57（C ）58（D ）3（9）设平面向量a 1、a 2、a 3的和a 1+a 2+a 3=0，如果平面向量b 1、b 2、b 3满足|b i |=2|a i |，且a i 顺时针旋转30︒后与同向，其中i=1、2、3，则（A ）-b 1+b 2+b 3=0 （B ）b 1-b 2+b 3=0（C ）b 1+b 2-b 3=0 （D ）b 1+b 2+b 3=0（10）设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 2+a 3=15，a 1a 2a 3=80，则a 11+a 12+a 13=（A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75（11）用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm)的细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到期的三角形面积的最大值为（A ）85cm 2（B ）610cm 2（C ）355cm 2（D ）20cm 2（12）设集合I={1，2，3，4，5}，选择I 的两个非空子和B ，要使B 中的最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有（A ）50种 （B ）49种 （C ）48种 （D ）47种第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2006年高考福建卷理科数学试题及参考答案
不等式解法一、联立数组：### 解不等式322322--+-x x x x ＜0.根据商的符号法则，它可以化成两个不等式组：2222320320, 330230.x x x x x x x x ⎧⎧-+>-+<⎪⎪⎨⎨--<-->⎪⎪⎩⎩或 因此，原不等式的解集就是上面两个不等式组的解集的并集可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}二、数轴标根法原理：设一个高次不等式的解为X1、X2……Xn,其中X1＜X2＜……＜Xn ，则对于任意X ＞Xn ，不等式恒大于零，即最大根右边的数使不等式恒成立，所以标根从不等式右边标起。
（对二次不等式一样适用，但一般我们直接用抛物线的知识做）做法:1.把所有X 前的系数都变成正的(不用是1,但是得是正的)；2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有根；3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(指的是分解因式后,某个因数的指数是奇数或者偶数)；(X-2)2(X-3)＞0(X-2)的指数是2, 是偶数,所以在数轴上画曲线时就不穿过2这个点而(X-3)的指数是1 ,是奇数,所以在数轴上画曲线时就要穿过3这个点4.注意看题中不等号中有没有等号,有的话还要注意写结果时舍去会使不等式为0的根。
### 解不等式322322--+-x x x x ＜0.根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为:（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0 即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0(最高次项系数一定要为正,不为正要化成正的)令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）.看题求解,题中要求求＜0的解,那么只需要在数轴上看看哪一段在数轴以下即可,观察可以得到:由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}三、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及解析
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x 对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，3则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A 有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f （x）是y=e x的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0 【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C． D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y ﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0 【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B 中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y ﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A 为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x 0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M 的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f （x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a＜2时，f'（x）＞0，f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅲ）当a＞2时，0＜＜1，令f'（x）=0，解得x1=，x2=．当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：f （x ）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f （x ）在（，）为减函数． （Ⅱ）（ⅰ）当0＜a ≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞f （0）=1．（ⅱ）当a ＞2时，取x 0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f （x 0）＜f （0）=1（ⅲ）当a ≤0时，对任意x ∈（0，1），恒有＞1且e﹣ax ≥1，得f （x ）=e ﹣ax ≥＞1． 综上当且仅当a ∈（﹣∞，2]时，对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n }的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n }的前n 项的和求首项a 1与通项a n ，可先求出S n ﹣1，然后有a n =S n ﹣S n ﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．再由①有S n﹣1=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
2006年高考理综全国Ⅱ卷化学试题和参考答案
2006年高考理综全国Ⅱ卷化学试题和参考答案（适合黑龙江、吉林、广西、内蒙古）第I卷以下数据可供解题时参考：相对原子质量（原子量）：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Cl 35.5一、选择题（本题包括13小题。
每小题只有一个选项符合题意）6、反应2A(g)＋B(g)2C(g)；△H＞0。
下列反应条件有利于生成C的是A 低温、低压B 低温、高压C 高温、高压D 高温、低压7、将纯水加热至较高温度，下列叙述正确的是A 水的离子积变大、pH变小、呈酸性B 水的离了积不变、pH不变、呈中性C 水的离子积变小、pH变大、呈碱性D 水的离子积变大、pH变小、呈中性8、下列反应的离子方程式书写正确的是A 氯化铝溶液中加入过量氨水：Al3＋＋4NH·H2O＝AlO2－＋4NH4＋＋2H2OB 澄清石灰水与少量苏打溶液混合：Ca2＋＋OH－＋HCO3－＝CaCO3↓＋H2OC 碳酸钙溶于醋酸：CaCO3＋2H＋＝Ca2＋＋CO2↑＋H2OD 氯化亚铁溶液中通入氯气：2Fe2＋＋Cl2＝2Fe3＋＋2Cl－9、某氯化镁溶液的密度为1.18g/cm3，其中镁离子的质量分数为5.1%，300mL该溶液中Cl－离子的物质的量约等于A 0.37molB 0.63molC 0.74molD 1.5mol10、已知下列分子或离子在酸性条件下都能氧化KI，自身发生如下变化：H2O2→H2O IO3－→I2MnO4－→Mn2＋HNO2→NO 如果分别用等物质的量的这些物质氧化足量的KI，得到I2最多的是A H2O2B IO3－C MnO4－D HNO211、下列叙述正确的是A NH3是极性分子，分子中N原子是在3个H原子所组成的三角形的中心B CCl4是非极性分子，分子中C原子处在4个Cl原子所组成的正方形的中心C H2O是极性分子，分子中O原子不处在2个H原子所连成的直线的中央D CO2是非极性分子，分子中C原子不处在2个O原子所连成的直线的中央12、下列叙述正确的是A 直径介于1nm～100nm之间的微粒称为胶体B 电泳现象可证明胶体属电解质溶液C 利用丁达尔效应可以区别溶液与胶体D 胶体粒子很小，可以透过半透膜13、主链含5个碳原子，有甲基、乙基2个支链的烷烃有A 2种B 3种C 4种D 5种参考答案：6.C7.D8.D9.D 10.B 11.C 12.C 13.A第Ⅱ卷26、（15分）可用图示装置制取少量乙酸乙酯（酒精灯等在图中均已略去）。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.设集合 $M=\{x|x^2-x<0\}$，$N=\{x||x|<2\}$，则（）。
A。
$M\cap N=\varnothing$B。
$M\cap N=M$C。
$M\cup N=\mathbb{R}$XXX2.已知函数 $y=e^x$ 的图象与函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称，则（）。
A。
$f(2x)=e^{2x}$（$x\in\mathbb{R}$）B。
$f(2x)=\ln2\cdot\ln x$（$x>0$）C。
$f(2x)=2e^x$（$x\in\mathbb{R}$）D。
$f(2x)=\ln x+\ln 2$（$x>0$）3.双曲线 $mx^2+y^2=1$ 的虚轴长是实轴长的2倍，则$m=$（）。
A。
$\dfrac{3}{4}$B。
$1$C。
$-4$D。
$4$4.如果复数 $(m^2+i)(1+mi)$ 是实数，则实数 $m=$（）。
A。
$1$B。
$-1$C。
$0$D。
不存在实数 $m$ 满足条件。
5.函数$y=\dfrac{\sin x}{1+\cos x}$ 的单调增区间为（）。
A。
$(2k\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$B。
$(2k\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{N}$C。
$(2k\pi+\pi,(2k+1)\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$D。
$(2k\pi+\pi,(2k+1)\pi+\pi)$，$k\in\mathbb{Z}$6.$\triangle ABC$ 的内角 $A$、$B$、$C$ 的对边分别为$a$、$b$、$c$，若 $a$、$b$、$c$ 成等比数列，且 $c=2a$，则 $\cos B=$（）。
2006年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)
2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R2．（5分）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）3．（5分）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．4．（5分）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．5．（5分）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．6．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．7．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π8．（5分）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．39．（5分）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量1、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=010．（5分）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．7511．（5分）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm212．（5分）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B 中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于°．14．（4分）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为．15．（4分）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有种（用数字作答）．16．（4分）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．18．（12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．21．（14分）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．22．（12分）设数列{a n}的前n项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a1与通项a n；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：．2006年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合M={x|x2﹣x＜0}，N={x||x|＜2}，则（）A．M∩N=∅ B．M∩N=M C．M∪N=M D．M∪N=R【分析】M、N分别是二次不等式和绝对值不等式的解集，分别解出再求交集合并集．【解答】解：集合M={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，N={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N=M，故选：B．2．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则（）A．f（2x）=e2x（x∈R）B．f（2x）=ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）=2e x（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x＞0）【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法．根据函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称可知f（x）是y=e x 的反函数，由此可得f（x）的解析式，进而获得f（2x）．【解答】解：函数y=e x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以f（x）是y=e x的反函数，即f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x＞0），选D．3．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选：A．4．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）如果复数（m2+i）（1+mi）是实数，则实数m=（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】注意到复数a+bi（a∈R，b∈R）为实数的充要条件是b=0【解答】解：复数（m2+i）（1+mi）=（m2﹣m）+（1+m3）i是实数，∴1+m3=0，m=﹣1，选B．5．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）函数的单调增区间为（）A．B．（kπ，（k+1）π），k∈ZC．D．【分析】先利用正切函数的单调性求出函数单调增时x+的范围i，进而求得x 的范围．【解答】解：函数的单调增区间满足，∴单调增区间为，故选C6．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A．B．C．D．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．7．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A．16πB．20πC．24πD．32π【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．【解答】解：正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2，∴球的半径为，球的表面积是24π，故选C．8．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）抛物线y=﹣x2上的点到直线4x+3y﹣8=0距离的最小值是（）A．B．C．D．3【分析】设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，由此能够得到所求距离的最小值．【解答】解：设抛物线y=﹣x2上一点为（m，﹣m2），该点到直线4x+3y﹣8=0的距离为，分析可得，当m=时，取得最小值为，故选B．9．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设平面向量1、2、3的和1+2+3=0．如果向量、2、3，满足|i|=2|i|，且i顺时针旋转30°后与i同向，其中i=1，2，3，1则（）A．﹣1+2+3=0 B．1﹣2+3=0 C．1+2﹣3=0 D．1+2+3=0【分析】三个向量的和为零向量，在这三个向量前都乘以相同的系数，我们可以把系数提出公因式，括号中各项的和仍是题目已知中和为零向量的三个向量，当三个向量都按相同的方向和角度旋转时，相对关系不变．【解答】解：向量1、2、3的和1+2+3=0，向量1、2、3顺时针旋转30°后与1、2、3同向，且|i|=2|i|，∴1+2+3=0，故选D．10．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设{a n}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{a n}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．11．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（）A．B．C．D．20cm2【分析】设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．海伦公式S=≤=故排除C，D，由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，推测当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，进而得到答案．【解答】解：设三角形的三边分别为a，b，c，令p=，则p=10．由海伦公式S=知S=≤=＜20＜3由于等号成立的条件为10﹣a=10﹣b=10﹣c，故“=”不成立，∴S＜20＜3．排除C，D．由以上不等式推测，当三边长相等时面积最大，故考虑当a，b，c三边长最接近时面积最大，此时三边长为7，7，6，用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，故选B．12．（5分）（2006•全国卷Ⅰ）设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（）A．50种B．49种C．48种D．47种【分析】解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．【解答】解：解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）已知正四棱锥的体积为12，底面对角线长为，则侧面与底面所成的二面角等于60°．【分析】先根据底面对角线长求出边长，从而求出底面积，再由体积求出正四棱锥的高，求出侧面与底面所成的二面角的平面角的正切值即可．【解答】解：正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=，∴二面角等于60°，故答案为60°14．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为11．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2y﹣x表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A（0，1），B（7，1），C（3，7），在△ABC中满足z=2y﹣x的最大值是点C，代入得最大值等于11．故填：11．15．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日．不同的安排方法共有2400种（用数字作答）．【分析】本题是一个分步计数问题，先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52种排法，其余5人再进行排列，有A55种排法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，首先安排甲、乙两人在假期的后5天值班，有A52=20种排法，其余5人再进行排列，有A55=120种排法，∴根据分步计数原理知共有20×120=2400种安排方法．故答案为：240016．（4分）（2006•全国卷Ⅰ）设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ=．【分析】对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值【解答】解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）ABC的三个内角为A、B、C，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．【分析】利用三角形中内角和为π，将三角函数变成只含角A，再利用三角函数的二倍角公式将函数化为只含角，利用二次函数的最值求出最大值【解答】解：由A+B+C=π，得=﹣，所以有cos=sin．cosA+2cos=cosA+2sin=1﹣2sin2+2sin=﹣2（sin﹣）2+当sin=，即A=时，cosA+2cos取得最大值为故最大值为18．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B 有效的概率为．（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意知本题是一个独立重复试验，根据所给的两种药物对小白鼠有效的概率，计算出小白鼠有效的只数的概率，对两种药物有效的小白鼠进行比较，得到甲类组的概率．（2）由题意知本试验是一个甲类组的概率不变，实验的条件不变，可以看做是一个独立重复试验，所以变量服从二项分布，根据二项分布的性质写出分布列和期望．【解答】解：（1）设A i表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，B i表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只“，i=0，1，2，依题意有：P（A1）=2××=，P（A2）=×=．P（B0）=×=，P（B1）=2××=，所求概率为：P=P（B0•A1）+P（B0•A2）+P（B1•A2）=×+×+×=（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ～B（3，）．P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）=C31××（）2=，P（ξ=2）=C32×（）2×=，P（ξ=3）=（）3=∴ξ的分布列为：∴数学期望Eξ=3×=．19．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）如图，l1、l2是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN．（Ⅰ）证明AC⊥NB；（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB与平面ABC所成角的余弦值．【分析】（1）欲证AC⊥NB，可先证BN⊥面ACN，根据线面垂直的判定定理只需证AN⊥BN，CN⊥BN即可；（2）易证N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH 为NB与平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．【解答】解：（Ⅰ）由已知l2⊥MN，l2⊥l1，MN∩l1=M，可得l2⊥平面ABN．由已知MN⊥l1，AM=MB=MN，可知AN=NB且AN⊥NB．又AN为AC在平面ABN内的射影．∴AC⊥NB（Ⅱ）∵AM=MB=MN，MN是它们的公垂线段，由中垂线的性质可得AN=BN，∴Rt△CAN≌Rt△CNB，∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB，∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心，连接BH，∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中，cos∠NBH===．20．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量．求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值．【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程，设P（x0，y0），M（x，y），利用点M 的坐标来表示点P的坐标，最后根据x0，y0满足C的方程即可求得；（2）先将用含点M的坐标的函数来表示，再利用基本不等式求此函数的最小值即可．【解答】解：（I）椭圆方程可写为：+=1式中a＞b＞0，且得a2=4，b2=1，所以曲线C的方程为：x2+=1（x＞0，y＞0）．y=2（0＜x＜1）y'=﹣设P（x0，y0），因P在C上，有0＜x0＜1，y0=2，y'|x=x0=﹣，得切线AB的方程为：y=﹣（x﹣x0）+y0．设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=，y=．由=+得M的坐标为（x，y），由x0，y0满足C的方程，得点M的轨迹方程为：+=1（x＞1，y＞2）（Ⅱ）||2=x2+y2，y2==4+，∴||2=x2﹣1++5≥4+5=9．且当x2﹣1=，即x=＞1时，上式取等号．故||的最小值为3．21．（14分）（2006•全国卷Ⅰ）已知函数．（Ⅰ）设a＞0，讨论y=f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据分母不为0得到f（x）的定义域，求出f'（x），利用a的范围得到导函数的正负讨论函数的增减性即可得到f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，1）恒有f（x）＞1即要讨论当0＜a≤2时，当a＞2时，当a≤0时三种情况讨论得到a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞）．对f（x）求导数得f'（x）=e﹣ax．（ⅰ）当a=2时，f'（x）=e﹣2x，f'（x）在（﹣∞，0），（0，1）和（1，+∞）均大于0，所以f（x）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数．（ⅱ）当0＜a ＜2时，f'（x ）＞0，f （x ）在（﹣∞，1），（1，+∞）为增函数． （ⅲ）当a ＞2时，0＜＜1，令f'（x ）=0， 解得x 1=，x 2=．当x 变化时，f′（x ）和f （x ）的变化情况如下表：f （x ）在（﹣∞，），（，1），（1，+∞）为增函数，f （x ）在（，）为减函数． （Ⅱ）（ⅰ）当0＜a ≤2时，由（Ⅰ）知：对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞f （0）=1．（ⅱ）当a ＞2时，取x 0=∈（0，1），则由（Ⅰ）知f （x 0）＜f （0）=1 （ⅲ）当a ≤0时，对任意x ∈（0，1），恒有＞1且e ﹣ax ≥1，得f （x ）=e ﹣ax ≥＞1．综上当且仅当a ∈（﹣∞，2]时，对任意x ∈（0，1）恒有f （x ）＞1．22．（12分）（2006•全国卷Ⅰ）设数列{a n }的前n 项的和，n=1，2，3，…（Ⅰ）求首项a 1与通项a n ；（Ⅱ）设，n=1，2，3，…，证明：． 【分析】对于（Ⅰ）首先由数列{a n }的前n 项的和求首项a 1与通项a n ，可先求出S n，然后有a n=S n﹣S n﹣1，公比为4的等比数列，从而求解；﹣1对于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，将a n=4n﹣2n代入S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）然后再利用求和公式进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由S n=a n﹣×2n+1+，n=1，2，3，①得a1=S1=a1﹣×4+所以a1=2．=a n﹣1﹣×2n+，n=2，3，4，再由①有S n﹣1将①和②相减得：a n=S n﹣S n﹣1=（a n﹣a n﹣1）﹣×（2n+1﹣2n），n=2，3，整理得：a n+2n=4（a n﹣1+2n﹣1），n=2，3，因而数列{a n+2n}是首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，即：a n+2n=4×4n﹣1=4n，n=1，2，3，因而a n=4n﹣2n，n=1，2，3，（Ⅱ）将a n=4n﹣2n代入①得S n=×（4n﹣2n）﹣×2n+1+=×（2n+1﹣1）（2n+1﹣2）=×（2n+1﹣1）（2n﹣1）T n==×=×（﹣）所以，=﹣）=×（﹣）＜（1﹣）。
2006年高考数学及答案
2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．书写。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
4.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）＝P(A)+P(B) S =4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V =34πR 3n 次独立事件重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k其中R 表示球的半径如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A ·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V =34πR 3n 次独立事件重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数i3i31-+等于（A ）i （B ）－i （C ）3+i （D ）3－i (2)设集合A={x ｜｜x －2｜≤2,x ∈R},B={y ｜y=2x -,－1≤x ≤2},R (A ∩B)等于（A ）R (B){x ｜x ∈R,x ≠0} (C){0} (D) (3)若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆22162xy+=的右焦点重合，则p 的值为（A ）－2(B)2 (C)－4 (D)4(4)设a ，b ∈R ，已知命题p ：a=b;命题q ：222()22a ba b++≤则p 是q 成立的 (A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件（C ）充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (5)函数y =⎩⎨⎧-≥0,,0,22＜x x x x 的反函数是（A ）y =⎪⎩⎪⎨⎧-≥0,0,2＜x x x x(B)y =⎩⎨⎧-≥0,0,2＜x x x x(C) y =⎪⎩⎪⎨⎧--≥0,0,2＜x x x x(D)y =⎩⎨⎧--≥0,0,2＜x x x x(6)将函数y =sin ωx (ω＞0)的图象按向量a =(6π-，0)平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（A ）y =sin(x 6π+) (B) y =sin(x 6π-)(C) y =sin(2x 3π+)(D) y =sin(2x 3π-)第（6）题图 （7）若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y －8=0垂直，则l 的方程为（A ）４x －y －3=0 (B)x +4y －5=0 (C)4x －y +3=0 (D)x +4y +3=0(8)设α＞0，对于函数f (x )=xax sin sin +(0＜x ＜π)，下列结论正确的是（A ）有最大值而无最小值 （B ）有最小值而无最大值 （C ）有最大值且有最小值 （D ）既无最大值又无最小值(9) 表面积为２3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为(A)π32 (B)π31 (C)π32 (D)π332(10)如果实数x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-,01,01,01y x y y x 那么2x －y 的最大值为(A)2 (B)1 (C)－2 (D)－3(11) 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于∆A 2B 2 C 2的三个内角的正弦值，则(A) 111C B A ∆和∆A 2B 2 C 2都是锐角三角形 (B) 111C B A ∆和∆A 2B 2 C 2都是钝角三角形(C) 111C B A ∆是钝角三角形，∆A 2B 2 C 2是锐角三角形(D) 111C B A ∆是锐角三角形，∆A 2B 2 C 2是钝角三角形(12)在正方体上任选３个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等．腰三角形的概率为 (A)71 (B)72 (C)73 (D)742006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选题 共90分）注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写作答，在试题卷上书写作答无效．．．．．．．．．．．.二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）设常数a ＞0，（ax 2+x1）4展开式中x 3的系数为23,则∞-n lim (a+a 2+…+a n)= .(14)在平行四边形ABCD 中，AB =a , AD =b , AN =3, NC ,M 为BC 的中点，则MN =.(用a ,b 表示)（15）函数f(x)对于任意实数x 满足条件f(x+2)=)(1x f ，若f (1)=－5,则f (f (5))= .(16)多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图，正方体的一个顶点A 在平面a 内，其余顶点在a 在同侧.正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到a 的距离分别为1,2和4.P 是正方体的其余四个顶点中的一个，则P 到平面a 的距离可能是： ① 3；②4；③5；④6；⑤7. 以上结论正确的为 . （写出所有正确结论的编号．．）三.解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知43π＜a ＜π，tan a +cot a =－310.（Ⅰ）求tan a 的值；（Ⅱ）求)4sin(282cos 112cos 2sin 82sin 522π--++a aa a a 的值.（18）（本小题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.（Ⅰ）写ξ出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程） （Ⅱ）求ξ的数学期望E.（要求写出计算过程或说明道理）(19)(本小题满分12分)如图，P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点，PA =1,P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O .(Ⅰ)证明 P A ⊥BF ；(Ⅱ)求面APB 与面DPB 所成二面角的大小.(20)(本小题满分12分)已知函数f(x)在R 上有定义，对任意实数a ＞0和任意实数x,都有f (ax )=af (x ). (Ⅰ)证明f (0)=0;(Ⅱ)证明f (x )=⎩⎨⎧<≥,0,,0,x hx x kx 其中k 和h 均为常数;(Ⅲ)当(Ⅱ)中的k ＞0时，设1()()()g x f x f x =+ (0)x >,讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性求极值.(21)(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=12,S n =n 2a n －n (n －1),n =1,2…(Ⅰ)写出S n 与S n －1的递进关系式(n ≥2),并求S n 关于n 的表达式; (Ⅱ)设1()n n n S f x xn+=，()n n b f p '= (P ∈R)，求数列{b n }的前n 项和T n .(22)(本小题满分14分) 如图，F 为双曲线C :22221xya b-= (a ＞0,b ＞0)的右焦点,P 为双曲线C 右支上一点,且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点，已知四边形OFPM 为平行四边形|PF|=λ|OF|. (Ⅰ)写出双曲线C 的离心率e 与λ 的关系式;(Ⅱ)当λ=1时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝12,求此时的双曲线方程.2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数 学（理科）参考答案一、选择题：1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.A 10.B 11.D 12.C 二、填空题：13. 1 14.41(b －a ) 15. 51-16. ①③④⑤提示：11i i===-故选A2．解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A B C = ，故选B 。
2006年福建省高考数学卷理科21题评点
2006年福建省高考数学卷理科21题评点福州三中 黄炳锋一、对试题的看法今年高考理科数学21题由两个相对独立的小题构成，第一小题在给定二次函数条件下，求长度为1的动区间的最大值，第二小题求两个函数图象有3个交点的参数m 的取值范围。
主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法和运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。
我们知道二次函数、二次方程与二次不等式在高中数学中的地位，第一小题并不回避对二次函数在闭区间上的最值的考查，这类最值问题不外乎轴定区间定、轴动区间定和轴定区间动三种，以往我们都重视前两类，认为第三类难度太大，教学中不够重视，本次高考却出乎意料地考查第三类，想想却在情理之中。
因为区间的移动影响了最大值点的位置，所以试题要求以分段函数的形式将区间在不同位置下的二次函数的最值表示出来，既有图形的动态又有分段函数的思想，试题可谓一举两得。
第二小题主要考查用导数研究函数性质，从新课程卷开始，导数作为考试内容的考查力度逐年增大，本题的原型来自【2005年全国卷Ⅱ】文科21题：设a 为实数,函数.)(23a x x x x f +--=（1）求)(x f 的极值；（2）当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.试题继续沿用第一小题的二次函数模型替代了三次函数，将与x 轴有一个交点改为了与一个含参数的自然对数函数图象有三个交点，这个改动虽然看起来不太起眼，却把试题改活了。
改成了意味深远、韵味无穷的精彩的数学试题。
本题不仅要看到试题的背景原型，还要看到试题的方向，首先是试题的直观理解，函数x x x f 8)(2+-=与m x x g +=ln 6)(的图象有且仅有三个交点，求实数m 的取值范围，我的第一感觉是怎么会有三个交点呢？待到画出可能的图形后，又想实数m 的取值条件该如何转化得到？现在将两个函数作差，得到m x x x x f x g x ++-=-=ln 68)()()(2ϕ，将问题转化为函数)(x ϕ的图象与x 轴恰有三个交点，这就涉及零点判断，一般用区间根的方法，可怎样才能保证恰有三个零点呢，用到函数的单调性，这正是新课程用大篇幅解决的方程的根与函数的零点问题。
2006年福建省高考数学试题及答案
2006年高考文科数学试题（福建卷）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-（2）在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）"tan 1"α=是""4πα=的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要不而充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）已知3(,),sin ,25παπα∈=则tan()4πα+等于（A ）17 （B ）7 （C ）17- （D ）7-（5）已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3) （C ）(2,3] （D ）(1,4)-（6）函数(1)1xy x x =≠-+的反函数是 （A ）(1)1x y x x =≠+方 （B ）(1)1x y x x =≠- （C ）1(0)x y x x -=≠ （D ）1(0)xy x x-=≠ （7）已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于（A ） （B ）3 （C ）3 （D ）3（9）已知向量a 与b 的夹角为120o，3,a a b =+= 则b 等于（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）1 （10）对于平面α和共面的直线m 、,n 下列命题中真命题是 （A ）若,,m m n α⊥⊥则n α∥ （B ）若m αα∥,n ∥,则m ∥n（C ）若,m n αα⊂∥,则m ∥n （D ）若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n（11）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞（12）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x =设63(),(),52a fb f ==5(),2c f =则（A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b <<二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
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2006年福建省高考数学卷理科21题评点
福州三中 黄炳锋
一、对试题的看法
今年高考理科数学21题由两个相对独立的小题构成，第一小题在给定二次函数条件下，求长度为1的动区间的最大值，第二小题求两个函数图象有3个交点的参数m 的取值范围。
主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法和运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。
我们知道二次函数、二次方程与二次不等式在高中数学中的地位，第一小题并不回避对二次函数在闭区间上的最值的考查，这类最值问题不外乎轴定区间定、轴动区间定和轴定区间动三种，以往我们都重视前两类，认为第三类难度太大，教学中不够重视，本次高考却出乎意料地考查第三类，想想却在情理之中。
因为区间的移动影响了最大值点的位置，所以试题要求以分段函数的形式将区间在不同位置下的二次函数的最值表示出来，既有图形的动态又有分段函数的思想，试题可谓一举两得。
第二小题主要考查用导数研究函数性质，从新课程卷开始，导数作为考试内容的考查力度逐年增大，本题的原型来自【2005年全国卷Ⅱ】文科21题：设a 为实数,函数
.)(23a x x x x f +--=（1）求)(x f 的极值；
（2）当a 在什么范围内取值时,曲线x x f y 与)(=轴仅有一个交点.试题继续沿用第一小题的二次函数模型替代了三次函数，将与x 轴有一个交点改为了与一个含参数的自然对数函数图象有三个交点，这个改动虽然看起来不太起眼，却把试题改活了。
改成了意味深远、韵味无穷的精彩的数学试题。
本题不仅要看到试题的背景原型，还要看到试题的方向，首先是试题的直观理解，函数x x x f 8)(2
+-=与m x x g +=ln 6)(的图象有且仅有三个交点，求实数m 的取值范围，我的第一感觉是怎么会有三个交点呢？待到画出可能的图形后，又想实数m 的取值条件该如何转化得到？
现在将两个函数作差，得到m x x x x f x g x ++-=-=ln 68)()()(2ϕ，将问题转化为函数)(x ϕ的图象与x 轴恰有三个交点，这就涉及零点判断，一般用区间根的方法，可怎样才能保证恰有三个零点呢，用到函数的单调性，这正是新课程用大篇幅解决的方程的根与函数的零点问题。
从这个角度讲，本题不仅精彩，而且还尝试与新课改接轨，这是一道立意新颖、表述严谨的试题，试题关注数学的核心内容与基本能力，关注数学
思想、数学方法，堪称好题。
二、主要错误分析
本题得分不高，主要原因是第二小题对学生的能力要求高，因此第二小题空白卷比较多，所以典型错误主要集中在第一小题：
（1）懂得需要对t 分类，但对不同的类别取错反了最大值点；
（2）变量仅部分代入，这是对函数概念理解不足造成的，这种错误在老师看来是挺可笑的，可阅卷过程中比比皆是，比如x x x f 8)(2+-=，t t t f t h 8)1()1()(2++-=+=；
（3）计算错误，比如)1(8)1()1(2+++-=+t t t f 展开，不是忘了变号，就是忘了乘8；
正因如此，本题评卷过程每每出现第一小题不得分，第二小题得满分的现象，让我们惊诧。
三、今后教学启示
在改卷中，有些体会，供大家在教学时参考：
（1）充分理解考试大纲，肯定对高考有帮助。
（2）在抓好数学“三基”的同时强化解题规范训练；
（3）在各阶段复习中都要重视数学思想方法的渗透；
（4）重视基础知识，突出重点教材的考查，从目前高考来看，导数应用的考查已经不是秘密，考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等，在与导数有关的概念、求曲线的切线、函数的单调性和最（极）值，与不等式和实际问题有关的五大热点问题，各地都有精彩的命题，尤其要提醒注意的是，导数的知识不断向大学要求靠拢，多次出现了导数的运算性质，乘积或商的导数求法等。
比如【2005年全国卷Ⅱ】理科22题：已知0≥a ，函数x e ax x x f )2()(2-=
（1）当x 为何值时，)(x f 取得最小值？证明你的结论；
（2）设)(x f 在]1,1[-是单调函数，求a 的取值范围.
（5）学会数学模型转化，增强应用意识，提高应用能力；首先要培养学生的数学阅读能力，重视审题，系统地培养学生的数学化能力！。