9.21函数奇偶性
函数的奇偶性知识点
函数的奇偶性1.偶函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫奇函数.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称判断函数的奇偶性,包括两个必备条件:一是定义域关于原点对称,先考虑定义域是解决问题的前提，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的条件；二是判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；(2)确定f(－x)与f(x)的关系；(3)作出相应结论．说明：根据奇偶性,函数可划分为四类：①偶函数②奇函数③既奇又偶函数④非奇非偶函数2.奇函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0；○3图象关于原点对称；○4在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；○5如果0在f(x)的定义域内，则一定有f(0)=0偶函数的性质：○1定义域关于原点对称；○2f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0；○3图象关于y轴对称；○4在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；○5如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=03.判断函数的奇偶性为什么要判断定义域在x轴上所示的区间是否关于原点对称呢？答：由定义知，若x是定义域内的一个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x)具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域在x轴上所示的区间关于原点对称．即：如果所给函数的定义域在x轴上所示的区间不是关于原点对称，这个函数一定不具有奇偶性．例如：函数f(x)＝x3在R上是奇函数，但在[－2,1]上既不是奇函数也不是偶函数．4.函数奇偶性的判断：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。
函数的奇偶性教案（通用8篇）
函数的奇偶性教案（通用8篇）函数的奇偶性教案（通用8篇）作为一位兢兢业业的人民教师，很有必要精心设计一份教案，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。
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函数的奇偶性教案篇1教学目标：了解奇偶性的含义，会判断函数的奇偶性。
能证明一些简单函数的奇偶性。
弄清函数图象对称性与函数奇偶性的关系。
重点：判断函数的奇偶性难点：函数图象对称性与函数奇偶性的关系。
一、复习引入1、函数的单调性、最值2、函数的奇偶性（1）奇函数（2）偶函数（3）与图象对称性的关系（4）说明（定义域的要求）二、例题分析例1、判断下列函数是否为偶函数或奇函数例2、证明函数在R上是奇函数。
例3、试判断下列函数的奇偶性三、随堂练习1、函数（）是奇函数但不是偶函数是偶函数但不是奇函数既是奇函数又是偶函数既不是奇函数又不是偶函数2、下列4个判断中，正确的是_______.（1）既是奇函数又是偶函数；（2）是奇函数；（3）是偶函数；（4）是非奇非偶函数3、函数的图象是否关于某直线对称？它是否为偶函数？函数的奇偶性教案篇2一、教学目标【知识与技能】理解函数的奇偶性及其几何意义.【过程与方法】利用指数函数的图像和性质,及单调性来解决问题.【情感态度与价值观】体会指数函数是一类重要的函数模型,激发学生学习数学的兴趣.二、教学重难点【重点】函数的奇偶性及其几何意义【难点】判断函数的奇偶性的方法与格式.三、教学过程(一)导入新课取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：1 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面(即第二象限)画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形;问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质?函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系?答案：(1)可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y 轴对称;(2)若点(x，f(x))在函数图象上，则相应的点(-x，f(x))也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.(二)新课教学1.函数的奇偶性定义像上面实践操作1中的图象关于y轴对称的函数即是偶函数，操作2中的图象关于原点对称的函数即是奇函数.(1)偶函数(even function)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.(学生活动)：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义(2)奇函数(odd function)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).2.具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.3.典型例题(1)判断函数的奇偶性例1.(教材P36例3)应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶性.(本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤) 解：(略)总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数.(三)巩固提高1.教材P46习题1.3 B组每1题解：(略)说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数.2.利用函数的奇偶性补全函数的图象(教材P41思考题)规律：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据.(四)小结作业本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称.单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.课本P46 习题1.3(A组) 第9、10题， B组第2题.四、板书设计函数的奇偶性一、偶函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.二、奇函数：一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.三、规律：偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.函数的奇偶性教案篇3学习目标 1.函数奇偶性的概念2.由函数图象研究函数的奇偶性3.函数奇偶性的判断重点：能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性难点：理解函数的奇偶性知识梳理：1.轴对称图形：2中心对称图形：【概念探究】1、画出函数，与的图像;并观察两个函数图像的对称性。
函数奇偶性经典总结
函数奇偶性经典总结函数的奇偶性是指函数图像关于坐标轴的对称性。
根据函数的定义域和值域的不同，函数可以分为奇函数和偶函数两种。
在数学中，对函数进行奇偶性的研究有助于我们对函数的属性有更深的理解。
一、奇函数的定义和性质奇函数是指对于定义在实数集上的函数f(x)，当x属于定义域时，有f(-x)=-f(x)。
奇函数的图像以原点为对称中心，具有关于原点的对称性。
如果函数在原点具有不可导或者断点的情况，也可以是奇函数。
奇函数的一个重要性质是在区间[-a,a]上，函数值的正负是相对应的，即f(x)>0时，f(-x)<0，f(x)<0时，f(-x)>0。
奇函数的特点也决定了它的部分性质，比如说：1.奇函数在原点的导数为0，即f'(0)=0，因为导数可以看作函数的斜率，而奇函数在原点的上半部分和下半部分的斜率相等且相反。
2. 如果奇函数可积，即在定义域上有定积分存在，那么这个定积分一定等于0，即∫(-a)^a f(x) dx=0。
二、偶函数的定义和性质偶函数是指对于定义在实数集上的函数f(x)，当x属于定义域时，有f(-x)=f(x)。
偶函数的图像以y轴为对称中心，具有关于y轴的对称性。
偶函数的一个重要性质是在区间[-a,a]上，函数值的正负是相同的，即f(x)>0时，f(-x)>0，f(x)<0时，f(-x)<0。
偶函数的特点也决定了它的部分性质，比如说：1.偶函数在原点的导数为0，即f'(0)=0，因为导数可以看作函数的斜率，而偶函数在原点两侧的斜率相等且相反。
2. 如果偶函数可积，即在定义域上有定积分存在，那么这个定积分的绝对值是对称的，即∫(-a)^a ，f(x)，dx=2∫0^a f(x) dx。
三、奇偶函数的关系及奇偶函数的运算1.若函数f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0，即这个函数在整个定义域上都为0。
2.若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)=f^2(x)为偶函数，函数h(x)=，f(x)，为偶函数。
函数的奇偶性(精辟讲解)
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为
高中数学函数的奇偶性(解析版)
1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。
函数的奇偶性讲义
函数的奇偶性【知识要点】1.函数奇偶性的定义：一般地，对于函数f (x)定义域内的任意一个X,都有f (-x) = f (x), 那么函数f (x)叫偶函数(even function).如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)叫奇函数(odd function).2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性,也可由函数的奇偶性作函数的图象.3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (-x) 与f (x)的关系；⑴奇函数o f (-x)=- f (x)o f--)+f (x)=0 o 釜=-1(fx)) 0)；(2)偶函数o f (-x)= f (x)o f (- x)- f (x)= 0 o4.函数奇偶性的几个性质：(1)奇偶函数的定义域关于原点对称,在判断函数奇偶性时,应先考察函数的定义域；(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；(3)若奇函数f Q)在原点有意义，则f (0)= 0；(4)根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数,又不是偶函数；(5)在公共的定义域内：两个奇(偶)函数的和与差仍是奇(偶)函数；两个奇(偶)函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；(6)函数f Q)与函数有相同的奇偶性.5 .奇偶性与单调性: （1）奇函数在两个关于原点对称的区间L b ,- j a ,4上有相同的单调性;（2）偶函数在两个关于原点对称的区间L b ,- j a ,4上有相反的单调性.【典例精讲】 类型一函数奇偶性的判断 例1判断下列函数的奇偶性:x 2 + 2x + 3, x < 0,(6)f (x )= {a x = 0, -x 2 + 2x - 3, x > 0.变式 判断下列函数的奇偶性:11 ⑴f(x)=x 4； (2)f(x)=X 5；⑶ f (x)=x+x 2 ；(4) f(x)= - x 2(5) f (x )= x 3- 2x(6) f (x ) = 2 x 4 4十 一x 2，、b ,,(7) y = ax H ——(a > 0,b > 0) x(8) x (k > 0)y -例2已知/ Q)是R 上的奇函数，且当X > 0时，f Q)= x 3+ 2 x 2-1,求f Q)的表达式。
奇偶性知识点总结
函数的奇偶性知识点总结本节主要知识点 （1）函数的奇偶性; （2）函数奇偶性的判定; （3）奇函数和偶函数的性质; （4）函数的奇偶性的应用. 知识点一 函数的奇偶性常见函数的奇偶性（1）二次函数和都是偶函数;()0)(2≠=a ax x f ()0)(2≠+=a c ax x f （2）正比例函数和反比例函数都是奇函数. ()0)(≠=k kx x f ()0)(≠=k xkx f 一个函数是奇函数或偶函数,我们就说这个函数具有奇偶性.对函数奇偶性定义的理解（1）注意定义中的的任意性,如果函数的定义域中存在,有,或x )(x f 0x )()(00x f x f ≠-,则函数不是偶函数或奇函数.)()(00x f x f -≠-)(x f （2）函数的奇偶性和单调性都是函数的重要性质.单调性是函数的局部性质,是研究函数值随自变量的变化趋势;而奇偶性是函数的整体性质,是研究函数的图象在整个定义域上的对称性.（3）偶函数和奇函数的定义域都是关于原点对称的,所以在判断一个函数的奇偶性时,要先确定函数的定义域,若定义域关于原点对称,则根据奇、偶函数的定义接着往下判断)(x f -与的关系;若定义域关于原点不对称,则函数既不是偶函数,也不是奇函数. )(x f 即判断函数的奇偶性仍然遵循“定义域优先”的原则.（4）如果函数是偶函数,则,若,则还有;如果)(x f 0)()(=--x f x f 0)(≠x f 1)()(=-x f x f 函数是奇函数,则,若,则还有. )(x f 0)()(=+-x f x f 0)(≠x f 1)()(-=-x f x f （5）既是偶函数,又是奇函数的函数只有一类,即,D ,且D 关于原点对称. 0)(=x f ∈x （6）偶函数的图象关于轴对称,反过来,图象关于轴对称的函数是偶函数;奇函数的图y y 象关于原点对称,反过来,图象关于原点对称的函数是奇函数.因此,对于比较容易画出图象的函数,我们可以利用图象法来判断函数的奇偶性. （7）若函数是偶函数,点在函数的图象上,则点,即)(x f ())(,a f a )(x f ())(,a f a --也在函数的图象上,点与点关于轴对称;())(,a f a -)(x f ())(,a f a ())(,a f a -y 若函数是奇函数,点在函数的图象上,则点,即)(x f ())(,a f a )(x f ())(,a f a --也在函数的图象上.点与点关于原点对称.())(,a f a --)(x f ())(,a f a ())(,a f a --★（8）如果函数在区间或上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相)(x f []b a ,()b a ,反数,即（因为这个区间关于原点对称）.0=+b a （9）特别说明,若函数是偶函数,则有. )(x f ()x f x f x f ==-)()(偶函数的图象特征若一个函数是偶函数,则这个函数的图象是以轴为对称轴的轴对称图形;反之,若一个函y 数的图象关于轴对称,则这个函数是偶函数.y 下面分别是函数和函数的图象,它们都是偶函数.4x y =1+=x y奇函数的图象特征若一个函数是奇函数,则这个函数的图象关于原点对称;反之,若一个函数的图象关于原点对称,则这个函数是奇函数. 下面分别是函数和对勾函数的图象,它们都是奇函数. x y 2=xx y 4+=知识点二 函数奇偶性的判定判断函数奇偶性的方法有三种:定义法、图象法和性质法. 用定义法判断函数的奇偶性（1）求 求函数的定义域,若定义域关于原点对称,则进行第（2）步;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.（2）判 求出,然后根据与的关系,确定函数的奇偶性;)(x f -)(x f -)(x f ①若,或,或（）,则函数是偶)()(x f x f =-0)()(=--x f x f 1)()(=-x f x f 0)(≠x f )(x f 函数;②若,或,或（）,则函数是)()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f 1)()(-=-x f x f 0)(≠x f )(x f 奇函数;③若,则函数是非奇非偶函数.)()(x f x f ±≠-)(x f 说明: 若要说明一个函数不是偶函数（或奇函数）,只需在函数定义域内找到一个数,有a （或）即可.(见后面的相关例题))()(a f a f ≠-)()(a f a f -≠-图象法判断函数的奇偶性对于容易画出图象的函数,若函数的图象关于轴对称,则它是偶函数;若函数的图象关于y 原点对称,则它是奇函数. 性质法判断函数的奇偶性两个在公共定义域上具有奇偶性的函数,它们的和与积所构成的函数的奇偶性为: 奇奇奇; 偶偶偶;（一奇一偶的和的单调性不能确定） +=+=奇奇偶; 偶偶偶; 奇偶奇. ⨯=⨯=⨯=知识点三 奇函数和偶函数的性质（1）定义域的对称性 奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称;（2）图象的对称性 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称; y （3）单调性的“奇同偶异”性如果函数是奇函数,那么函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;如果)(x f )(x f 函数是偶函数,那么函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.简记为)(x f )(x f “奇同偶异”.函数的奇偶性与函数值及最值的关系与函数值的关系 当函数的自变量互为相反数时,偶函数的函数值相等,奇函数的函数值互为相反数.与最值的关系 奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数（其中一个是最大值,另一个是最小值）;偶函数在关于原点对称的区间上具有相同的最值. 复合函数的奇偶性对于复合函数,若为偶函数,则为偶函数;若为奇函数,则())(x g f )(x g ())(x g f )(x g 的奇偶性与的奇偶性相同.其中的定义域关于原点对称.())(x g f )(x f ())(x g f题型一 已知函数解析式用定义法判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性:（1）; （2）; （3）.1)(23--=x x x x f x x x f 1)(-=22)(+--=x x x f 分析:例1中三个函数的解析式结构都比较简单,可以用定义法判断其奇偶性.先求出函数的定义域,若定义域关于原点对称,则继续往下判断;若定义域关于原点不对称,则函数是非奇非偶函数.解:（1）函数的定义域为,不关于原点对称,所以该1)(23--=x x x x f ()()+∞∞-,11, 函数是非奇非偶函数; （2）函数的定义域为,关于原点对称. xx x f 1)(-=()()+∞∞-,00, ∵ )(111)(x f x x x x x x x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=---=-∴该函数是奇函数;（3）函数的定义域为R ,关于原点对称.22)(+--=x x x f ∵ ()())(222222)(x f x x x x x x x f -=--+=---+-=+----=-∴该函数是奇函数. 例2. 判断函数（R ）的奇偶性. xax x f +=2)(∈a 分析:该函数的解析式里面含有参数,当参数影响到判断与的关系时,要a )(x f -)(x f 对参数进行分类讨论.x当时, 0=a 2)(x x f =∵())()(22x f x x x f ==-=-∴为偶函数; )(x f 当时,,且. 0≠a ())()(22x f x a x x a x x f ≠-=-+-=-xa x x f x f --=-≠-2)()(∴函数是非奇非偶函数.)(x f 综上所述,当时,函数为偶函数;当时,函数是非奇非偶函数. 0=a )(x f 0≠a )(x f 例3. 已知函数,R ,为实数,判断的奇偶性. 1)(2+-+=a x x x f ∈x a )(x f 分析:上面例2已经提到:对于含有参数的函数的奇偶性的判断,要充分考虑参数的不同取值情况,看是否会影响到与的关系,必要时要对参数进行分类讨论.)(x f -)(x f 在判断函数的奇偶性时,若在函数的定义域内能找到一个,使或a )()(a f a f ≠-,则函数就不是偶函数或减函数. )()(a f a f -≠-)(x f 解:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 当时,. 0=a 11)(22++=+-+=x x a x x x f ∵())(11)(22x f x x x x x f =++=+-+-=-∴函数为偶函数;)(x f 当时,∵, 0≠a 1)(2+=a a f 12)(2++=-a a a f ∴,且 )()(a f a f ≠-1)()(2--=-≠-a a f a f ∴函数为非奇非偶函数.)(x f 综上所述,当时,函数为偶函数;当时, 函数既不是奇函数,也0=a )(x f 0≠a )(x f 不是偶函数.例4. 已知函数,其中为实数,判断函数的奇偶性. xax x f 1)(2+=a )(x fx当时,,函数为奇函数; 0=a xx f 1)(=)(x f 当时,∵ 0≠a ()xax x x a x f 11)(22-=-+-=-∴,且 )()(x f x f ≠-)()(x f x f -≠-∴函数既不是偶函数,也不是奇函数.)(x f 综上所述,当时, 函数为奇函数;当时,函数既不是偶函数,也0=a )(x f 0≠a )(x f 不是奇函数. 例5. 判断函数的奇偶性.1111)(22+++-++=x x x x x f 分析:该函数的解析式结构较为复杂,如果用定义法来判断其奇偶性,研究与)(x f -的关系时会比较困难,我们可以研究与的和、差、商,来进行奇偶)(x f )(x f -)(x f 性的判断.解:函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f ∵11111111)()(2222+++-++++-+--+=+-x x x x x x x x x f x f()()()()()()()()11111211211111111122222222222222=++++-+-+-++---+=++++-+--+++-+=x x x xx x x x x x x x x x x x x x ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 解法二:函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f 当时,;当时,0=x 0)(=x f 0≠x 0)(≠x f∵ ()()()()1111111111111111)()(22222222-+++-++++--+=+++-+++-+--+=-x xx xx x x x x x x x x x x x x f x f 1221211212222-=-=-+-+---+=xx x x x x x x ∴)()(x f x f -=-综上所述,函数为奇函数.)(x f 注意:的前提是. 1)()(-=-x f x f 0)(≠x f 题型二 分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性,可以用定义法,也可以用图象法.用定义法时,必须验证在每一段内都有或成立,而不能只验证一段解析式. )()(x f x f =-)(-)(x f x f =- 在判断时,要特别注意与的范围,然后选择合适的解析式代入.x x -总结 若,则,把代入上的解析式即可得到.[]b a x ,∈[]a b x --∈-,x -[]a b --,)(x f -例6. 判断函数的奇偶性.()()⎩⎨⎧>+<-=0,10,1)(x x x x x x x f 解:由题意可知,函数的定义域为,关于原点对称. )(x f ()()+∞∞-,00, 当时,0>x 0<-x ∴; ())(1)(x f x x x f -=+-=-当时,0<x 0>-x ∴. ())(1)(x f x x x f -=--=-综上所述,函数为奇函数.)(x f 例7. 函数,则【 】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f )(x f （A ）是奇函数（B ）是偶函数（C ）既不是奇函数,也不是偶函数 （D ）无法判断解:由题意可知函数的定义域为,关于原点对称. )(x f ()()+∞∞-,00, 当时, 0>x 0<-x ∴; ())(121121)(22x f x x x f -=--=---=-当时, 0<x 0>-x ∴. ())(121121)(22x f x x x f -=+=+-=-综上所述,函数是奇函数.选择【 A 】.)(x f 方法二:（图象法）,函数的图象如下图所示,其图象关于原点对称,所以函数)(x f 是奇函数.)(x f例8. 已知函数是奇函数,则_________.⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f =m 解:当时,0>x 0<-x ∴()mx x mx x x f -=--=-22)(∵函数是奇函数,∴ )(x f )()(x f x f -=-∴ ()x x x x mx x 22222-=+--=-∴.2=m 题型三 抽象函数奇偶性的判断例9. 已知函数,R ,若对于任意实数,都有.)(x f ∈x b a ,)()()(b f a f b a f +=+求证:为奇函数.)(x f 分析:该函数的定义域是关于原点对称的,所以只需要判断与的关系即)(x f -)(x f 可.考虑到,所以我们可以先求出的值. 0=+-x x )0(f 证明:由题意可知的定义域关于原点对称. )(x f 令0==b a ∵对于任意实数,都有 b a ,)()()(b f a f b a f +=+∴ )0()0()00(f f f +=+∴0)0(=f 令,则 x b x a =-=,0)()()0()(=+-==+-x f x f f x x f ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 例10. 已知函数,R ,若对于任意实数,都有:)(x f ∈x 21,x x .()()()()2121212x f x f x x f x x f ⋅=-++求证:为偶函数.)(x f 证明: 由题意可知的定义域关于原点对称. )(x f 令,则有0,21==x x x ① )0()(2)(2)()(f x f x f x f x f ⋅==+令,则有:x x x ==21,0② )()0(2)()(x f f x f x f ⋅=-+由①②得:)()()(2x f x f x f -+=∴ )()(x f x f =-∴函数为偶函数.)(x f例11. 已知是定义在上的函数,且满足对任意,都有)(x f ()2,2-()2,2,-∈y x .)(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=（1）求的值;)0(f （2）判断的奇偶性并证明. )(x f （1）解:令0==y x ∵对任意,都有()2,2,-∈y x )(5)(y f xy y x f x f -⎪⎭⎫⎝⎛-+=∴; ()0)0(0)0(=-=f f f （2）函数为奇函数.)(x f 理由如下:由题意可知,函数的定义域关于原点对称. )(x f ()2,2-令,则有 x y -=)(0)()0()(x f x f f x f --=--=∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数.)(x f 例12. 已知对一切都成立,且,试判断)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++y x ,0)0(≠f 的奇偶性.)(x f 解:由题意可知函数的定义域为R ,关于原点对称. )(x f 令,则有 0==y x )0()0(2)0()0(f f f f =+∴, )0(2)0(22f f =()01)0()0(=-f f ∵,∴0)0(≠f 1)0(=f 令,则有 0=x )()0(2)()(y f f y f y f =-+∴ )(2)()(y f y f y f =-+∴)()(y f y f =-∴函数为偶函数.)(x f 注意本题与例10的区别及联系.例13. 已知是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意R ,都满足)(x f b a ,∈. )()()(a bf b af ab f +=（1）求,的值;)0(f )1(f （2）判断的奇偶性,并证明你的结论.)(x f （1）解:令,则. 0==b a 0)0(0)0(0)0(=⨯+⨯=f f f 令,则,∴; 1==b a )1(2)1(1)1(1)1(f f f f =⨯+⨯=0)1(=f （2）函数为奇函数.)(x f 理由如下:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 令,则有 1-==b a 0)1(2)1()1()1(=--=----=f f f f ∴0)1(=-f 令,则有 1,-==b x a )()(0)()1()(x f x f x f xf x f -=-=--=-∴函数为奇函数.)(x f 例14. 若函数的定义域是R ,且对任意R 都有成)(x f ∈y x ,)()()(y f x f y x f +=+立.（1）试判断的奇偶性;)(x f （2）若,求的值.4)8(=f ⎪⎭⎫⎝⎛-21f 解:（1）∵函数的定义域是R )(x f ∴其定义域关于原点对称.令,则有 0==y x )0(2)0()0()0(f f f f =+=∴0)0(=f令,则有 x y -=0)()()0(=-+=x f x f f ∴ )()(x f x f -=-∴函数为奇函数;)(x f （2）令,则有 y x =)(2)()()2(x f x f x f x f =+=∴ 2)2()(x f x f =∵ 4)8(=f ∴,,, 2242)8()4(===f f 1222)4()2(===f f 212)2()1(==f f 412)1(21==⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ∵函数为奇函数)(x f ∴.412121-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f f 例15. 已知函数,R 对任意实数都有,且当时,)(x f ∈x b a ,)()()(b f a f ab f +=1>x .0)(>x f （1）试判断函数的奇偶性;)(x f （2）求证:函数在上是增函数.)(x f ()+∞,0（1）解:由题意可知函数的定义域关于原点对称. )(x f 令,则,∴.1==b a )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f 令,则,∴. 1-==b a 0)1(2)1()1()1(=-=-+-=f f f f 0)1(=-f 令,则 1,-==b x a )()1()()(x f f x f x f =-+=-∴函数为偶函数;)(x f （2）任取,且,则∈21,x x ()+∞,021x x <112>x x ∵当时,,∴1>x 0)(>x f 012>⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x f∴ ()()()()()0121121112112>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-x x f x f x x f x f x f xx x f x f x f ∴()()21x f x f <∴函数在上是增函数. )(x f ()+∞,0题型四 函数奇偶性的应用 （1）求函数值; （2）求函数解析式;（3）求参数的值或取值范围; （4）求函数的值域或最值. 应用1 求函数值例16.（1）已知为奇函数,,,则_________; )(x f 9)()(+=x f x g 3)2(=-g =)2(f （2）设函数的最大值为M ,最小值为,则_________.()11)(22++=x x x f m =+m M 解:（1）∵为奇函数,∴ )(x f )()(x f x f -=-∵, 9)()(+=x f x g 3)2(=-g ∴ 6939)2()2(-=-=--=-g f ∴.6)2()2(=--=f f （2） ()12112111)(22222++=+++=++=x xx x x x x x f 设,其定义域为R ,关于原点对称. 12)(2+=x xx g ∵ )(12)(2x g x xx g -=+-=-∴为奇函数)(x g ∵奇函数在关于原点对称的区间上的最大值与最小值互为相反数 ∴0)()(min max =+x g x g ∴.2))(1())(1(min max =+++=+x g x g m M重要结论（1） 若函数为奇函数,则在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,即)(x f )(x f .0)()(min max =+x f x f （2）若函数为奇函数,（为常数）,则.)(x f k x f x g +=)()(k ()k x g x g 2)(min max =+例17. 已知,且,则【 】 8)(35-++=bx ax x x f 10)2(=-f =)2(f （A ）（B ）（C ）（D ）1026-18-10-解法一:设,易知函数为奇函数. bx ax x x g ++=35)()(x g ∴,)()(x g x g -=-8)()(-=x g x f ∵,∴,. 10)2(=-f 108)2(=--g 18)2(=-g ∴18)2()2(-=--=g g ∴.选择【 A 】. 268188)2()2(-=--=-=g f 解法二:①8222)2(35-++=b a f ②()()()8222)2(35--+-+-=-b a f ①②得: +16)2()2(-=-+f f ∵10)2(=-f ∴.261016)2(16)2(-=--=---=f f 例18. 已知,其中是偶函数,且,则【 】 1)()(--=x x f x g )(x g 1)2(=f =-)2(f （A ）（B ）1（C ）（D ）31-3-解:∵是偶函数,∴. )(x g )()(x g x g =-∵,∴1)()(--=x x f x g 1)()(++=x x g x f ∵,∴ 13)2(12)2()2(=+=++=g g f 2)2()2(-=-=g g ∴.选择【 C 】.312212)2()2(-=+--=+--=-g f 例19. 已知,均为R 上的奇函数,且在上)(x f )(x g 2)()()(++=x bg x af x F ()+∞,0的最大值为5,则在上的最小值为_________. )(x F ()0,∞-解:设,则 )()()(x bg x af x G +=2)()(+=x G x F ∵,均为R 上的奇函数)(x f )(x g ∴也是R 上的奇函数 )()()(x bg x af x G +=∵当时, ∈x ()+∞,052)()(max max =+=x G x F ∴3)(max =x G ∴根据奇函数图象的对称性,在的最小值为 )(x G ()0,∞-3)()(max min -=-=x G x G ∴.1232)()(min min -=+-=+=x G x F 注意:本题利用结论: 若函数为奇函数,（为常数）,则)(x f k x f x g +=)()(k .可以快速得出结果.()k x g x g 2)(min max =+例20. 已知是奇函数,则_________.⎩⎨⎧<>-=0),(0,3)(2x x g x x x f ()=-)3(g f 分析:先求出当时,函数的解析式,然后代入求值. 0<x )(x g 解:当时,0<x 0>-x ∴())(33)(22x f x x x f -=-=--=-∴3)(2+-=x x f ∴,∴⎩⎨⎧<+->-=0,30,3)(22x x x x x f 3)(2+-=x x g ∴()633)3(2-=+--=-g ∴.()()3336)6()3(2-=+--=-=-f g f 应用2 求函数解析式利用函数的奇偶性求函数解析式的一般方法是:（1）“求谁设谁”,即求函数在哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上; x （2）利用已知区间的函数解析式矩形化简,得到的解析式;)(x f -（3）利用函数的奇偶性写出或,即可得到函数的解析式. )(x f )(x f -)(x f )(x f 注意:若是R 上的奇函数时,不要遗漏的情形.)(x f 0=x 例21. 已知是R 上的奇函数,当时,. )(x f 0>x 132)(2++-=x x x f （1）求的值; （2）求函数的解析式. )0(f )(x f 解:（1）∵是R 上的奇函数 )(x f ∴, )0()0()0(f f f -==-0)0(2=f ∴;0)0(=f （2）当时,则0<x 0>-x ∴ ())(132132)(22x f x x x x x f -=-+-=+--=-∴.132)(2-+=x x x f ∴函数的解析式为.)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-=0,1320,00,132)(22x x x x x x x x f 例22. 若函数是偶函数,函数是奇函数,且,求函数)(x f )(x g 11)()(-=+x x g x f 的解析式.)(x f 解:∵函数是偶函数,函数是奇函数 )(x f )(x g ∴,)()(x f x f =-)()(x g x g -=-∵ 11)()(-=+x x g x f ∴,11)()(--=-+-x x g x f 11)()(+-=-x x g x f 解方程组得:.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f 11)(2-=x x f ∴函数的解析式为. )(x f 11)(2-=x x f 例23. 已知是定义在R 上的偶函数,且≤0时,.)(x f x 1)(+-=x x f（1）求,; )0(f )2(f （2）求函数的解析式.)(x f 解:（1）∵当≤0时,,∴.x 1)(+-=x x f 1)0(=f ∵是定义在R 上的偶函数,∴; )(x f 31)2()2()2(=+--=-=f f （2）当时,则 0>x 0<-x ∴.()11)(+=+--=-x x x f ∴函数的解析式为.)(x f ⎩⎨⎧>+≤+-=0,10,1)(x x x x x f 例24. 已知函数是定义在R 上的奇函数,当时,,则函)(x f y =0>x x x x f 2)(2-=数在R 上的解析式为____________.)(x f 结论 若奇函数在原点处有定义,则.0)0(=f 解:∵函数是定义在R 上的奇函数∴. )(x f y =0)0(=f ∵当时,0>x x x x f 2)(2-=∴当时,, 0<x 0>-x ())(22)(22x f x x x x x f -=---=+=-∴.x x x f 2)(2--=∴函数的解析式为.)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-0,20,00,222x x x x x x x 例25. 函数为R 上的奇函数,且. 1)(2++=x b ax x f 5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （1）求函数的解析式;)(x f （2）若≤在区间上恒成立,求的取值范围.)(x f 532-m []4,2m 解:（1）∵函数为R 上的奇函数1)(2++=x bax x f ∴,∴0)0(==b f 1)(2+=x axx f∵,∴,解之得:. 5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 5252121212==+⎪⎭⎫ ⎝⎛a a1=a ∴函数的解析式为; )(x f 1)(2+=x xx f （2）∵≤在区间上恒成立)(x f 532-m []4,2∴≤恒成立 12+x x 532-m 设,只需≤即可.1)(2+=x x x g max )(x g 532-m 任取,且,则有[]4,2,21∈x x 21x x < ()()()()()()()()111111111)()(22212121222121222122221121++--=+++-+=+-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x x g x g ∵,且[]4,2,21∈x x 21x x <∴ ()()011,01,022212121>++<-<-x x x x x x ∴,∴ 0)()(21>-x g x g ()()21x g x g >∴函数在上为减函数 )(x g []4,2∴ 52122)2()(2max =+==g x g ∴≤,解之得:≥1或≤. 52532-m m m 1-∴实数的取值范围是.m (][)+∞-∞-,11, 例26. 已知函数是定义在R 上的奇函数,当时,,求. )(x f 0>x 32)(x x x f +=)(x f 解:∵函数是定义在R 上的奇函数,∴. )(x f 0)0(=f ∵当时,0>x 32)(x x x f +=∴当时,，∴.0<x ,0>-x ())()(3232x f x x x x x f -=+--=-=-32)(x x x f +-=∴.⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+=0,0,00,)(3232x x x x x x x x f应用3 求参数的值例27. 已知函数为偶函数,其定义域为,则()b a x b ax x f ++-+=31)(2[]a a 2,1-的值为_________.b a +结论 如果函数在区间或上为偶函数或奇函数,则区间的两个端点互为相)(x f []b a ,()b a ,反数,即（因为这个区间关于原点对称）.0=+b a 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴,解之得:. 021=+-a a 31=a ∴ ()b x b x x f ++-+=1131)(2∵)()(x f x f =-∴ ()()b x b x b x b x ++-+=++--1131113122∴,解之得: ()11-=--b b 1=b ∴. 34131=+=+b a 例28. 若函数为奇函数,则_________.()()a x x xx f -+=12)(=a 解:∵函数为奇函数 )(x f ∴, )()(x f x f -=-()()()()a x x xa x x x -+-=--+--1212∴ ()()()()a x x a x x -+=--+-1212展开并整理得: ()()x a x a 2112-=-∴,解之得:. a a 2112-=-21=a 例29. 若函数为偶函数,则_________. ()()a x x x f -+=1)(=a 解:∵函数为偶函数,∴ )(x f )()(x f x f =-∴ ()()()()a x x a x x -+=--+-11∴()()x a x a -=-11∴,解之得:.a a -=-111=a 例30. 若函数为偶函数,则函数在区间上()321)(2++-=mx x m x f )(x f ()3,5--【 】（A ）先增后减 （B ）先减后增 （C ）单调递减（D ）单调递增分析: 结论 对于函数：c bx ax y ++=2（1）当时,它是偶函数; 0=b （2）当时,它是奇函数.0==c a 对于本题,因为函数为偶函数,所以不难得到. ()321)(2++-=mx x m x f 0=m 解:∵函数为偶函数()321)(2++-=mx x m x f ∴, )()(x f x f =-()()32132122++-=+--mx x m mx x m ∴,解之得:m m 22=-0=m ∴,其图象开口向下,对称轴为轴. 3)(2+-=x x f y ∵函数在区间单调递增.选择【 D 】.)(x f ()3,5--例31. 设为常数,函数.若为偶函数,则_________. a 34)(2+-=x x x f ()a x f +=a 分析:将函数的图象向左或向右平移个单位长度,即可得到)(x f ()0>a ()0<a a 函数的图象.偶函数的图象关于轴对称.()a x f +y 结论 若函数满足,则函数的图象关于直线对称.)(x f )()(x a f x a f -=+)(x f a x =解法一:∵()1234)(22--=+-=x x x x f ∴()()122--+=+a x a x f ∵为偶函数()a x f +∴其图象的对称轴为轴,∴,解之得:.y 02=-a 2=a 解法二:,其图象的对称轴为直线.()1234)(22--=+-=x x x x f 2=x ∵为偶函数()a x f +∴,即 )()(a x f a x f +=+-)()(x a f x a f +=-∴函数的图象关于直线对称. )(x f a x =∴. 2=a例32. 已知是定义在上的偶函数,则_______. ()231)(bx x a x f +-=[]b b +2,=+b a 解:∵偶函数的定义域关于原点对称 ∴,解之得: 02=++b b 1-=b ∴()231)(x x a x f --=∵,∴ )()(x f x f =-()()232311x x a x x a --=---∴,解之得:. ()11-=--a a 1=a ∴0.=+b a 例33. 已知函数是奇函数,则_________.⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=0,0,00,2)(22x mx x x x x x x f =m 解:当时,,∴ 0<x 0>-x x x x f 2)(2--=-∵函数是奇函数 )(x f ∴ )(2)(2x f x x x f -=--=-∴（） mx x x x x f +=+=222)(0<x ∴.2=m 例34. 已知函数为偶函数.()()21)(xt x x x f -+=（1）求实数的值;t （2）是否存在实数,使得当时,函数的值域为?0>>a b ∈x []b a ,)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.b a ,分析:,设,因为与均为()()21)(x t x x x f -+=()()()t x x x h x x g -+==1,1)(2)(x f )(x g 偶函数,所以也是偶函数,故,得到. ()t x t x x h --+=1)(201=-t 1=t 解:∵函数为偶函数()()21)(xt x x x f -+=∴()()()()2211)(x t x x x t x x x f -+=--+-=-∴ ()()()()t x x t x x -+=--+-11∴,解之得:. t t -=-111=t ∴; ()()222211111)(xx x x x x x f -=-=-+=（2）∵ 0>>a b ∴函数在区间上为增函数 211)(xx f -=[]b a ,∴,2min11)()(a a f x f -==2max 11)()(bb f x f -==∵函数的值域为)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22∴,解之得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-b b a a 2211221122⎩⎨⎧==11b a ∵0>>a b ∴不存在实数,使得当时,函数的值域为.0>>a b ∈x []b a ,)(x f ⎦⎤⎢⎣⎡--b a 22,22例35. 已知函数是R 上的偶函数. 211)(x mx x f ++=（1）求实数的值;m （2）判断并用定义法证明函数在上的单调性.)(x f y =()0,∞-解:（1）∵函数是R 上的偶函数 211)(x mx x f ++=∴,)()(x f x f =-221111x mx x mx ++=++-∴,,解之得:;11+=+-mx mx m m =-0=m（2）由（1）知:. 211)(x x f +=函数在上为增函数,理由如下: )(x f y =()0,∞-任取,且,则有()0,,21∞-∈x x 21x x < ()()()()()()()()222112122221212222212111111111x x x x x x x x x x x x x f x f ++-+=++-=+-+=-∵,且()0,,21∞-∈x x 21x x <∴ ()()011,0,022211212>++>-<+x x x x x x ∴ ()()()()2121,0x f x f x f x f <<-∴函数在上为增函数.)(x f y =()0,∞-例36. 已知函数是奇函数,且,其中R .nmx x x f ++=2)(23)1(=f ∈n m ,（1）求的值;n m ,（2）判断在上的单调性,并加以证明. )(x f (]2,-∞-解:（1）∵,∴,∴. 3)1(=f 33=+nm 1=+n m ∵函数为奇函数)(x f ∴, )()(x f x f -=-nmx x n mx x --+=+-+2222∴,解之得:n n -=0=n 解方程组得:;⎩⎨⎧==+01n n m ⎩⎨⎧==01n m （2）由（1）可知:（可见函数为对勾函数）xx x x x f 22)(2+=+=)(x f 函数在上为增函数,理由如下: )(x f (]2,-∞-任取,且,则有∈21,x x (]2,-∞-21x x <()()()()()212121212122112122222x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-∵,且 ∈21,x x (]2,-∞-21x x <∴ 02,0,0212121>-<->x x x x x x ∴∴ ()()()()2121,0x f x f x f x f <<-∴函数在上为增函数. )(x f y =()0,∞-应用4 函数的奇偶性与单调性的综合例37. 已知在定义域上是奇函数,又是减函数,若)(x f []1,1-,求实数的取值范围.()()0112<-+-a f a f a 解:∵ ()()0112<-+-a f a f ∴()()a f a f --<-112∵在定义域上是奇函数 )(x f []1,1-∴ ()()()1)1(1-=--=--a f a f a f ∴()()112-<-a f a f 由题意可得:,解之得:0≤.⎪⎩⎪⎨⎧->-≤-≤-≤-≤-1111111122a a a a 1<a ∴实数的取值范围是.a [)1,0例38. 定义在上的偶函数在上单调递减,若,求实[]2,2-)(x f []2,0()()m f m f <-1数的取值范围.m 结论:若函数为偶函数,则有.)(x f ()x f x f x f ==-)()(解:∵函数是定义在上的偶函数)(x f []2,2-∴,,.()()m f m f -=-11()()m f m f =[]2,0,1∈-m m∵在上单调递减, )(x f []2,0()()m f m f <-1∴,.()()m f m f <-1m m >-1由题意可得:,解之得:≤.⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-≤-≤-mm m m 1222121-m 21<∴实数的取值范围是.m ⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,1注意:的同解不等式为.m m >-1()221m m >-例39. 定义在R 上的奇函数,满足,且在上单调递减,求不等)(x f 021=⎪⎭⎫⎝⎛f ()+∞,0式的解集.0)(>x xf 分析:奇函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.解:∵定义在R 上的奇函数,满足)(x f 021=⎪⎭⎫⎝⎛f ∴021=⎪⎭⎫⎝⎛-f ∵函数在上单调递减 )(x f ()+∞,0∴函数在上单调递增 )(x f ()0,∞-∴当时,;当时, 210<<x 0)(>x f 021<<-x 0)(<x f ∴不等式的解集为.0)(>x xf ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,00,21 注意:对于奇函数的理解,可结合下面的图象.图中.)(x f 0)0(=f例40. 已知奇函数,是减函数,解不等式. )(x f y =∈x ()1,1-0)31()1(<-+-x f x f 解:∵ 0)31()1(<-+-x f x f ∴ )31()1(x f x f --<-∵是奇函数)(x f y =∴ ()()13)31()31(-=--=--x f x f x f ∴)13()1(-<-x f x f 由题意可得:,解之得:.⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-1311311111x x x x 210<<x ∴不等式的解集为. 0)31()1(<-+-x f x f ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x 例41. 已知偶函数在上单调递减,,若,则的取值)(x f [)+∞,0()02=f ()01>-x f x 范围是__________.解:由题意可得的解集为 0)(>x f ()2,2-∵()01>-x f ∴,解之得: 212<-<-x 31<<-x ∴的取值范围是.x ()3,1-例42. 已知函数是定义在上的偶函数,且当≥0时,单调递增,)(x f []a a 2,1-x )(x f则关于的不等式的解集为【 】x ()()a f x f >-1（A ）（B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,34⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 （C ）（D ）随的值的变化而变化⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--32,3131,32 a 解:∵函数是定义在上的偶函数 )(x f []a a 2,1-∴,解之得: 021=+-a a 31=a ∴函数的定义域为)(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,32∵,∴,∴ ()()a f x f >-1()⎪⎭⎫⎝⎛>-311f x f ()⎪⎭⎫ ⎝⎛>-311f x f ∵当≥0时,单调递增,≥0 x )(x f 1-x ∴. 311>-x 由题意可得: ,解之得:≤或≤.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤-≤-31132132x x 3132<x x <3435∴不等式的解集为.选择【 B 】.()()a f x f >-1⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡35,3432,31 例43. 已知是定义在R 上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数满)(x f (]0,∞-a 足,则的取值范围是【 】()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f a （A ）（B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,2321, （C ）（D ）⎪⎭⎫⎝⎛23,21⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23解:∵是定义在R 上的偶函数,且在区间上单调递增)(x f (]0,∞-∴在区间上单调递减,. )(x f [)+∞,0⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-2121f f ∵()⎪⎭⎫⎝⎛->-211f a f ∴,∴,解之得:.()⎪⎭⎫⎝⎛>-211f a f 211<-a 2321<<a ∴的取值范围是.选择【 C 】.a ⎪⎭⎫⎝⎛23,21☆例44. 已知函数的定义域为,且是奇函数.)(x f ()+∞,0⎩⎨⎧><+=0),(0,2)(2x x f x x x x g （1）求的表达式;)(x f （2）若在上的值域是,求值:是方程的两个根.)(x f []b a ,⎦⎤⎢⎣⎡a b 1,1b a ,x x f 1)(=解:当时, 0>x 0<-x ∴ ()x x x g 22-=-∵是奇函数)(x g ∴ ()()()x g x x x g -=+--=-22∴（） x x x g 2)(2+-=0>x ∴（）; x x x f 2)(2+-=0>x （2）证明:由题意可知: 0>>a b ∵≤1()112)(22+--=+-=x x x x f ∴≤1,∴≥1 a1a ∴在上单调递减)(x f []b a ,∴, ()a a f 1=()bb f 1=∴是方程的两个根.b a ,xx f 1)(=例45. 设函数对任意R 都有,且当时,)(x f ∈y x ,()()()y f x f y x f +=+0>x,. 0)(<x f 2)1(-=f （1）证明:为奇函数; )(x f （2）证明:在R 上是减函数;)(x f （3）若,求的取值范围; ()()47652>-++x f x f x （4）求在上的最大值与最小值.)(x f []3,3-（1）证明:令,则,∴ 0==y x )0(2)0()0()0(f f f f =+=0)0(=f 令,则有 x y -=0)()()0(=-+=x f x f f ∴)()(x f x f -=-∵函数的定义域为R ,关于原点对称 )(x f ∴函数为奇函数;)(x f （2）证明:任取R ,且,则 ∈21,x x 21x x <012>-x x ∵当时,,∴0>x 0)(<x f ()012<-x x f ∴()()()()()()()1112211212)(x f x f x x f x f x x x f x f x f -+-=-+-=-.()012<-=x x f ∴,∴. ()()012<-x f x f ()()21x f x f >∴在R 上是减函数;)(x f （3）解:由（1）可知:2)1()1(=--=-f f 令,则 1-==y x 4)1(2)1()1()2(=-=-+-=-f f f f ∵()()47652>-++x f x f ∴, ())2(7652->-++f x x f ())2(511->-f x f ∵在R 上是减函数 )(x f ∴,解之得:. 2511-<-x 513>x∴的取值范围是; x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,513（4）令,则1,2-=-=y x 624)1()2()3(=+=-+-=-f f f ∵在R 上是减函数)(x f ∴在上的最大值为6)(x f []3,3-∵奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数∴在上的最小值为.)(x f []3,3-6-例46. 函数对任意R 都有,并且当时,)(x f ∈b a ,()()()1-+=+b f a f b a f 0>x .1)(>x f （1）判断函数是否为奇函数;)(x f （2）证明:在R 上是增函数;)(x f （3）解不等式.()1232<--m m f （1）解:令,则0==b a 1)0(21)0()0()0(-=-+=f f f f ∴01)0(≠=f ∴函数不是奇函数;)(x f （2）任取R ,且,则∈21,x x 21x x <012>-x x ∵当时,,∴0>x 1)(>x f ()112>-x x f ∴ ()()()()()()()11121112121)(x f x f x x f x f x x x f x f x f --+-=-+-=-()0112>--=x x f ∴()()12x f x f >∴在R 上是增函数;)(x f （3）由（1）可知:1)0(=f ∵()1232<--m m f∴())0(232f m m f <--∵在R 上是增函数)(x f ∴,解之得: 0232<--m m 132<<-m ∴不等式的解集为. ()1232<--m m f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,32例47. 设是定义在上的减函数,且满足, )(x f y =()+∞,0())()(y f x f xy f +=. 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f （1）求,,的值; )1(f ⎪⎭⎫ ⎝⎛91f )9(f （2）若,求的取值范围.2)2()(<--x f x f x 解:（1）令,则有,∴;1==y x )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f 令,则有; 31==y x 212313191=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f f ∵ 01)3(31)3(313)1(=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=f f f f f ∴1)3(-=f ∴;()2)3(2)3()3(33)9(-==+=⨯=f f f f f （2）∵2)2()(<--x f x f ∴ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<91)2()(f x f x f ∴ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-<x f x f 291)(∵是定义在上的减函数)(x f y =()+∞,0∴()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧->>->x x x x 29102910,解之得:251<<x . ∴的取值范围是. x ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,51☆例48. 设是定义在上的函数,且满足,当)(x f ()()+∞∞-,00, ()()()y f x f xy f +=时,.1>x ()0<x f （1）求的值,并证明是偶函数;)1(f )(x f （2）证明函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0（3）若,≥,求的取值范围.1)3(-=f )8()(-+x f x f 2-x 解:（1）令,则有,∴;1==y x )1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=f ∵是定义在上的函数)(x f ()()+∞∞-,00, ∴其定义域关于原点对称.令,则有,∴.1-==y x ()()()01211)1(=-=-+-=f f f f ()01=-f 令,则有1-=y ()())(1)(x f f x f x f =-+=-∴是偶函数;)(x f （2）证明:任取,且,则 ∈21,x x ()+∞,021x x <112>x x ∵当时,,∴ 1>x ()0<x f 012<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x f ∴ ()()()()()0121112111212<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-x x f x f x f x x f x f x x x f x f x f ∴.()()21x f x f >∴函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0（3）解:∵1)3(-=f ∴令,则有 3==y x 2)3(2)3()3()9(-==+=f f f f ∴≥)8()(-+x f x f )9(f ∴≥())8(-x x f )9(f ∵函数是偶函数)(x f ∴≥()()8-x x f )9(f ∵函数在上单调递减;)(x f ()+∞,0∴,解之得:≤≤或≤≤9,且,. ()()⎩⎨⎧≠-≤-0898x x x x 1-x 74-74+x 0≠x 8≠x ∴的取值范围是. x [)(][)(]9,88,7474,00,1 +--例49. 若函数为区间上的奇函数,则它在这一区间上的最大1)(++-=bx a x x f []1,1-值为_________.解:∵函数为区间上的奇函数)(x f []1,1-∴,∴0)0(=f 0=a ∴ 1)(+-=bx x x f ∵,∴,解之得: ())1(1f f --1111+=+---b b 0=b ∴,在区间上为减函数x x f -=)([]1,1-∴.()11)(max =-=f x f 例50. 已知函数.32)(2-+-=x x x f （1）求在区间上的最小值; )(x f []2,12-a ()a g （2）求的最大值.)(a g 解:（1）由题意可知:,解之得:. 212<-a 23<a ,其图象的开口向下,对称轴为直线. ()2132)(22---=-+-=x x x x f 1=x当,即时, 12212<+-a 21<a 684)12()(2min -+-=-=a a a f x f ∴;()6842-+-=a a a g 当≥1,即≤时, 2212+-a 2123<a ()()32min -==f x f ∴.3)(-=a g 综上所述,; ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<-+-=2321,321,684)(2a a a a a g （2）由（1）可知:.3)(max -=a g。
高中数学函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析
函数奇偶性知识点归纳考点分析及经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） 偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
()f x x ()()f x f x -=()f x ()f x x ()()f x f x -=-()f x x )()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f )()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f y y y即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ） 奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
函数奇偶性知识点与经典题型归纳
函数奇偶性知识点与经典题型归纳函数奇偶性是解析函数的性质之一，它在函数的图像对称性、定义域及值的关系等方面具有重要作用。
本文将介绍函数奇偶性的基本概念、性质以及一些经典的奇偶函数题型。
一、函数奇偶性的基本概念1. 奇函数和偶函数的定义在解析函数中，如果对于函数f(x)成立f(-x) = -f(x)，则该函数称为奇函数；如果对于函数f(x)成立f(-x) = f(x)，则该函数称为偶函数。
2. 奇函数和偶函数的图像特点奇函数的图像关于原点对称，即当点(x, y)在函数图像上时，点(-x, -y)也在函数图像上；偶函数的图像关于y轴对称，即当点(x, y)在函数图像上时，点(-x, y)也在函数图像上。
3. 奇偶函数的性质（1）奇函数的定义域可以是关于原点对称的任意区间，而值域为关于y=0对称的区间；（2）偶函数的定义域可以是关于y轴对称的任意区间，而值域为x 轴正半轴；（3）奇函数与偶函数的和，可以是一个任意的解析函数。
二、函数奇偶性的经典题型归纳题型描述：已知函数的解析式，判断该函数是奇函数还是偶函数。
解题思路：通过函数是否满足奇函数或偶函数的定义来进行判断。
如果满足奇函数定义，则判断为奇函数；如果满足偶函数定义，则判断为偶函数；如果都不满足，则为一般函数。
2. 函数与奇偶函数的四则运算题型题型描述：已知两个函数的奇偶性，求它们的和、差、积或商的奇偶性。
解题思路：根据奇函数与奇函数、奇函数与偶函数、偶函数与偶函数的运算法则可得出结论：（1）奇函数与奇函数的和为偶函数，差为奇函数，积为奇函数，商为一般函数；（2）奇函数与偶函数的和、差、积均为一般函数，商为奇函数；（3）偶函数与偶函数的和为偶函数，差、积为偶函数，商为一般函数。
3. 函数奇函数或偶函数的求解题型题型描述：已知函数满足一定的条件，求证函数的奇偶性。
解题思路：根据已知条件对函数的解析式进行转化或变形，判断奇函数或偶函数的定义是否满足，从而得出结论。
函数的奇偶性说课稿
函数的奇偶性说课稿第一篇：函数的奇偶性说课稿函数的奇偶性(说课稿)同心县回民中学马万各位老师,大家好!今天我说课的课题是高中数学人教A版必修一第一章第三节”函数的基本性质”中的“函数的奇偶性”，下面我将从教材分析，教法、学法分析，教学过程,教辅手段,板书设计等方面对本课时的教学设计进行说明。
一、教材分析（一）教材特点、教材的地位与作用本节课的主要学习内容是理解函数的奇偶性的概念，掌握利用定义和图象判断函数的奇偶性，以及函数奇偶性的几个性质。
函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关，而且为后面学习幂函数、指数函数、对数函数的性质打下了坚实的基础。
因此本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
（二）重点、难点1、本课时的教学重点是：函数的奇偶性及其几何意义。
2、本课时的教学难点是：判断函数的奇偶性的方法与格式。
（三）教学目标1、知识与技能：使学生理解函数奇偶性的概念，初步掌握判断函数奇偶性的方法；2、方法与过程：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构奇函数、偶函数等概念；能运用函数奇偶性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观：在奇偶性概念形成过程中,使学生体会数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
二、教法、学法分析 1．教学方法：启发引导式结合本章实际，教材简单易懂，重在应用、解决实际问题，本节课准备采用＂引导发现法＂进行教学，引导发现法可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，在解决问题的过程中，体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构．使用多媒体辅助教学，突出了知识的产生过程，又增加了课堂的趣味性．2．学法指导：引导学生采用自主探索与互相协作相结合的学习方式。
让每一位学生都能参与研究，并最终学会学习．三、教辅手段以学生独立思考、自主探究、合作交流，教师启发引导为主，以多媒体演示为辅的教学方式进行教学四、教学过程为了达到预期的教学目标，我对整个教学过程进行了系统地规划，设计了四个主要的教学程序：温故导新,指导观察，形成概念。
函数的奇偶性口诀
函数的奇偶性口诀函数的奇偶性是数学中一个非常重要的概念。
了解和掌握函数的奇偶性对于解决数学问题和理解函数的性质都有很大帮助。
在学习过程中，我们可以利用一个简单的口诀来帮助记忆和理解函数的奇偶性。
首先，让我们回顾一下函数的奇偶性的定义。
一个函数是奇函数，如果对于任意的x，有f(-x) = -f(x)。
换句话说，当自变量取相反数时，函数值也取相反数。
另一方面，如果对于任意的x，有f(-x) = f(x)，那么这个函数就是偶函数。
当自变量取相反数时，函数值保持不变。
现在，让我们来学习用口诀记住函数的奇偶性。
这个口诀的思路是通过观察函数图像来确定函数的奇偶性。
口诀的内容如下：“奇上奇，偶上偶，奇偶相乘正为非。
”这是一个简单而有趣的口诀，它通过观察函数图像中的关键点来确定函数的奇偶性。
让我们详细解释一下。
首先，我们来解释“奇上奇，偶上偶”这一部分。
对于一个函数来说，我们可以通过观察函数图像的关键点来判断函数的奇偶性。
如果一个奇函数在某点上取一个奇数值，那么这个点的对称点也将取一个奇数值。
同样地，如果一个偶函数在某点上取一个偶数值，那么这个点的对称点也将取一个偶数值。
这是因为奇函数的图像关于原点对称，而偶函数的图像关于y轴对称。
接下来，我们来解释“奇偶相乘正为非”这一部分。
这一部分提醒我们奇函数和偶函数相乘的结果是一个非奇非偶的函数。
换句话说，奇函数和偶函数相乘的结果既不是奇函数也不是偶函数。
这是因为奇函数和偶函数的奇偶性质恰好相反，在相乘时就相互抵消了。
通过这个口诀，我们可以快速回想起函数的奇偶性。
我们只需要观察函数图像上的关键点，判断这些点的对称性质，然后根据口诀来推断函数的奇偶性。
当然，记住函数的奇偶性并不仅仅需要依靠一个口诀。
在学习过程中，我们还需要掌握一些函数的基本性质和规律。
例如，我们知道常数函数是一个偶函数，幂函数的奇偶性根据指数的奇偶性来确定等等。
掌握这些基本性质和规律，能够更有效地判断函数的奇偶性。
函数奇偶性的概念
奇函数的图像关于原点对称。
奇函数的性质
奇函数在原点有定义，且在原点的函数值为0。
偶函数的性质
偶函数定义
01
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，
则称$f(x)$为偶函数。
偶函数的图像
02
偶函数的图像关于y轴对称。
偶函数的性质
03
偶函数在y轴两侧的函数值相等，即$f(-x)=f(x)$。
用。理解和掌握奇偶函数的性质和特点
是解决相关问题的关键。
05 奇偶函数与周期性的关系
奇函数与周期性的关系
奇函数
如果对于函数$f(x)$，有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数的周期性
奇函数不一定具有周期性，但如果 一个奇函数具有周期性，那么它的 周期一定是$T=2npi$（$n$为整 数）。
描述弹性力分布
描述波动传播
在波动传播中，如果波动函数具有偶 函数的性质，那么波前的形状将呈现 对称性，即波前的中心位置是波峰或 波谷。
在弹性力学中，如果弹性力分布具有 偶函数的性质，那么物体在受力作用 下的变形将呈现对称性。
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奇函数的性质
奇函数的图像关于原点对 称，即如果$f(x)$是奇函 数，那么其图像关于原点 对称。
奇函数的例子
$f(x)=x^3$是一个奇函数， 因为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
偶函数的定义
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定 义域内任意一个$x$，都 有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
函数奇偶性的概念
contents
函数奇偶性课件
又f（x）是偶函数，∴f（x1）＞f（x2）．
∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
思考：奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系？
巩固创新
1 已知：函数f（x）是奇函数，在〔a，b〕上是增函数（b＞a＞0），问f（x）在〔－b，－a〕上的单调性如何．
教学目标
1 通过具体函数，让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论，体验数学概念的建立过程，培养其抽象的概括能力．
教学重难点
1理解、掌握函数奇偶性的定义，奇函数和偶函数图像的特征，并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性．
2 在经历概念形成的过程中，培养学生归纳、抽象概括能力，体验数学既是抽象的又是具体的．
函数的奇偶性是指在关于原点的对称点的函数值相等。函数奇偶性课件内容，一起来看看！
课标分析
函数的奇偶性是函数的重要性质，是对函数概念的深化．它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起，反映在图像上为：偶函数的图像关于ｙ轴对称，奇函数的图像关于坐标原点成中心对称．这样，就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析．
学生分析
这节内容学生在初中虽没学过，但已经学习过具有奇偶性的具体的函数：正比例函数y＝kx，反比例函数 ，（k≠0），二次函数y＝ax2，（a≠0），故可在此基础上，引入奇、偶函数的概念，以便于学生理解．在引入概念时始终结合具体函数的图像，以增加直观性，这样更符合学生的认知规律，同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔．对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析，让学生理解：奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集；对于在有定义的奇函数y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函数，又是偶函数的函数有f（x）＝0，x∈R．在此基础上，让学生了解：奇函数、偶函数的矛盾概念———非奇非偶函数．关于单调性与奇偶性关系，引导学生拓展延伸，可以取得理想效果．
函数奇偶性
函数奇偶性函数奇偶性是数学学科知识之一，奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b ，-a]上是减函数（增函数）。
快速导航外文名 Parity of function 特性2 奇函数关于原点对称 特性1 偶函数关于y 轴对称 中文名 函数奇偶性 目录∙1基础定义 ∙2主要特征 ∙ 概述 ∙ 奇函数 ∙ 偶函数 ∙3证明方法 ∙4相关性质 ∙ 5要点诠释1基础定义一般地，对于函数f(x)⑴如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）或f(x)/f(-x)=1那么函数f(x）就叫做偶函数。
关于y轴对称，f（-x）=f（x）。
⑵如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x）或f(x)/f(-x)=-1，那么函数f(x）就叫做奇函数。
关于原点对称，-f（x）=f（-x）。
（x∈R，⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
⑷如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
-------------定义域不关于原点对称。
定义域互为相反数，定义域必须关于原点对称特殊的，f（x）=0既是奇函数，又是偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x）比较得出结论）③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
函数奇偶性的定义与应用.
x + 1 ( x > 0)⎪⎪ 2 ⎪- 1x 2 - 1 ( x < 0) （4） f ( x ) = x 2x ∈ [- 1,2](函数 2：函数的奇偶性【教学目的】 使学生了解奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法；【重点难点】 重点：函数的奇偶性的有关概念；难点：奇偶性的应用一、函数的奇偶性1.偶函数：一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x ，都有 f(-x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函数．2.奇函数：一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x ，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)就叫做奇函数．3.判断函数奇偶性的方法：（1）图像法：偶函数的图像关于 y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称．（○2）定义法： 1 首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；②确定 f(－x)与 f(x)的关系；○3 作出相应结论：若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0 ，则 f(x)是偶函数；若 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则 f(x)是奇函数．4.奇偶函数的简单性质：（1）奇函数：奇函数的图像关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在 [a,b ]上为增函数，则在[-b ，-a ]上也为增函数.（2）偶函数：奇函数的图像关于 y 轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b ]上为增函数，则在[-b ，-a ]上为减函数.二、函数奇偶性的应用1、利用定义判断函数奇偶性x 3 - x 2例 1（1） f ( x ) = x 3 + 2 x ； （2） f ( x ) = 2 x 4 + 3x 2 ；（3） f ( x ) = ；x - 1；（5） f ( x ) = x - 2 + 2 - x；⎧ 1 2 （6） f ( x ) =x 2 - 1 + 1 - x 2 ； （7） g ( x ) = ⎨⎪⎩ 22、利用定义求函数解析式（1） f (x )为 R 上奇函数，当 x > 0 时， f (x ) = x 1 - x )，求 f (x )在 R 上解析式；, ,（2） f (x )为 R 上偶函数，当 x < 0 时， f (x ) = x 2 - 3x + 1 ，求 f (x )在 R 上解析式．（3） f (x ) g ( x ) 都是定义在 R 上的函数，且 f (x )为偶函数， g (x )为奇函数，且有f (x )+g ( x ) = x 2 + x - 2 ，试求 f (x ) g ( x ) 的解析式.3、利用奇偶性求参数取值范围（1） f ( x ) 在(－2，2)上为减函数，且 f (m - 1) + f (4 - 2m ) > 0 ，求 m 的取值范围；（2） f ( x ) 在 [-3,3] 上为偶函数，且在[-3,0] 上是减函数 f (2a - 1) - f (3 - a ) > 0 ，求 a 的取值范围.（3） 已知定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）的函数 f ( x ) 是偶函数，并且在（－∞，0）上是增函数，若 f (-3) = 0 ，则不等式 x<0 的解集是f ( x ).（4） 已知 f ( x ) 是定义在（－3，3）上的奇函数且 f (0)=0,当 0<x <3 时， f ( x ) 的图像如图所示.那么不等式 xf ( x ) ≤ 0 的解集是（）A ． (-3,-1] (0,1]B ． [-1,0) (0,1]C ． (-3,-1] [0,1]D ． [－1，1](5)设 f ( x ) 为 定 义 域 在 R 上 的 偶 函 数 ， 且 f ( x ) 在[0 + ∞)为增函数, 则f (-2), f (-π ), f (3) 的大小顺序为（）A ． f (-π ) > f (3) > f (-2)C ． f (-π ) < f (3) < f (-2)B ． f (-π ) > f (-2) > f (3)D ． f (-π ) < f (-2) < f (3)5 7(6) y = f ( x ) 在 (0, 2) 上是增函数, y = f ( x + 2) 是偶函数,则 f (1), f ( ), f ( ) 的大小关系2 2是.(7) 如果奇函数 y = f ( x ) 在区间[3, 7]上是增函数，且最小值为 5，那么 y = f ( x ) 在区间[－7, －3]上是（ ）。
函数的奇偶性怎么判断函数的周期性奇函数与偶函数性质
一、判断函数奇偶性的方法1.先分解函数为常见的一般函数，比如多项式x^n，三角函数，判断奇偶性2.根据分解的函数之间的运算法则判断，一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x），f(g(x))（除法或减法可以变成相应的乘法和加法）3.若f（x）、g(x）其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x）非奇非偶函数，f(g(x))奇4.若f（x）、g(x）都是偶函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）偶，f(g(x))偶5.若f（x）、g(x）都是奇函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）奇，f(g(x))奇二、函数的奇偶性定义：1.偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
2.奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）＝f（x），那么函数f（x）是奇函数。
三、函数的周期性：（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
四、函数的奇偶性：（1）定义：偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（x）＝f（x），那么函数f（x）是奇函数。
（2）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
函数奇偶性经典讲义---新
Ⅰ复习提问((二)(非奇非偶) (三）、奇偶函数的性质:1、奇函数的反函数也是奇函数2、奇偶函数的加减：±±±奇奇=奇，偶偶=偶，奇偶=非奇非偶；奇偶函数的乘除:同偶异奇 ３、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
4、定义在Ｒ上的任意函数()f x 都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和()()()()()()()22f x f x f x f x f x --+-=+奇偶 （四)、函数奇偶性的做题方法与步骤。
第一步,判断函数的定义域是否关于原点对称;第二步，求出()f x -的表达式;第三步,比较()()f x f x -与的关系()()()()f x f x f x f x -⎧⎪⎨-⎪⎩与相等，函数为偶与互为相反数，函数为奇函数Ⅱ 题型与方法归纳题型与方法()()()()()0,0,020,===f x f x f x f x ⎧+-=⎧⎪→⎪⎨--=⎪⎪⎩⎨±±±⎧⎪⎨⎪⎩⎩则是奇函数定义法：1）看定义域是否关于对称，）若则是偶函数奇偶加减：奇奇奇，偶偶偶，奇偶非奇非偶快速判定奇偶乘除：同偶异奇。
一、判定奇偶性例1：判断下列函数的奇偶性1) ()()21f x x x =+ ２）()112log x x f x -⎛⎫ ⎪+⎝⎭= 3)()f x =4)()f x = ５)()2211021102x x f x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩解:1)()f x 的定义域为R,()()()()2211f x x x x x -=--+=+()f x =所以原函数为偶函数。
２)()f x 的定义域为11x x-+0>即11x -<<，关于原点对称()()()111122log log x x x x f x ⎛⎫--+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭-==()21log 1x f x x -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，所以原函数为奇函数。
函数奇偶性归纳总结
函数的奇偶性的归纳总结考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。
教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。
教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。
教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。
教学过程：一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增）④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，除了直接运用定义法判断外，下面再介绍几种判定方法.一、定义域判定法例1 判断函数f (x )＝x ＋1·x －1的奇偶性.分析 一个函数是奇(偶)函数，其定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提条件.若定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也不是偶函数.解 要使函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧ x －1≥0，x ＋1≥0.解得x ≥1，即定义域是{x |x ≥1}.因为定义域不关于原点对称，所以函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数.评注 用定义域虽不能判断一个函数是奇函数还是偶函数，但可以通过定义域不关于原点对称来说明一个函数不具有奇偶性.二、变式法例2 判断f (x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1的奇偶性. 分析 直接验证f (－x )＝±f (x )有困难，可转化为验证f (x )f (－x )＝±1(f (x )≠0).解 f (x )的定义域为R ，关于原点对称.当x ＝0时，f (x )＝0，图象过原点.因为当x ≠0时，f (－x )f (x )＝(1＋x 2)－(x ＋1)2(1＋x 2)－(x －1)2＝－1， 所以f (－x )＝－f (x ).又f (0)＝0，所以函数f (x )为奇函数.评注 为了运算上的方便或是直接运用定义判断较难进行时，常把验证f (－x )＝±f (x )转化为验证其变式：f (x )±f (－x )＝0或f (x )f (－x )＝±1(f (x )≠0).三、图象法例3 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＜－1，0，－1≤x ≤1，－x ＋2，x ＞1的奇偶性.分析 本题可用图象法较为直观地判断.解 作出函数f (x )的图象，如图所示.因为函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )为偶函数.评注 一些函数的奇偶性可用图象法解决，即图象关于原点对称的函数是奇函数，图象关于y 轴对称的函数是偶函数，否则既不是奇函数也不是偶函数.。
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3、奇、偶函数性质：
偶函数的 定义域关于原点对称 图象关于y轴对称
奇函数的
定义域关于原点对称 图象关于原点对称。
思考：已知函数f(x)是偶函数,而且在(0,+∞)上是减函数， 判断f(x)在(-∞,0)上是增函数还是减函数？并证明之。
例： (2)若函数f(x)是奇函数,其他条件不变,试问f(x)在(-∞,0)上 是增函数还是减函数？
应用:
例1 判断下列函数的奇偶性 1.y=-2x2+1,x∈R; 是偶函数 是奇函数 2.f(x)=-x｜x｜; 3.y=-3x+1; 不是奇函数也不是偶函数 4.f(x)=x2,x∈{-3,-2,-1,0,1,2}; 非奇非偶函数 5.y=0,x∈[-1,1]; 既是奇函数也是偶函数
1 x 6. f ( x ) ( x 1) 1 x
1 1 1 f ( x) -1 x 3 2
表（4）
1 3
-2 -1 0
-1 - =-f(1)
1 f(-3)= =-f(3) 3 ……
1 2
f(-x) = -f(x)
1 f ( x) x
函数y=f(x)的图象 关于原点对称
1、对定义域中的每一 个x，-x也在定义 域内； 2、都有f(-x)=-f(x)
总结 一、函数奇偶性的定义； 二、函数奇偶性的判定方法；
三、函数奇偶性的运用。
非奇非偶函数
例2
x 2 2 x 3, x 0 f ( x ) 0, x 0 证明函数 ,是奇函数。 x 2 2 x 3, x 0
例3 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+2b+c是偶函数, 且定义域为(b-1,2b),求a,b,c的值。
例4 已知y=f(x)是R上的奇函数，当x>0时， f(x)=x2 +2x-1 ，求函数的表达式。
（1）下列说法是否正确，为什么？
（1）若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
（2）若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
（2）下列函数是否为偶函数，为什么？
。
（A）
y x 4 2 | x | 1, x [2,3]
（B）
1 y , x R且x 0 x
表（3）
0 1 2 3
2 3
-2
3 2 1 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x
f(x)=x
-3 -2 -1 0 1
f(-1)= -1=-f(1) -f(2) f(-3)= -3 =-f(3)
……
-x
x
f(-x) = -f(x)
f(x)=x
y x
-3 -2 -1 0 1 2 3 1
1 2
3 2 1
（C）
x 1, x 0 f ( x) x 1, x 0
（D）
观察下面两个函数填写表格
y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x y
3
2 1 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
-2 -3
f(x)=x
1 f ( x) x
y
x
-3 -2 -1
解：f(x)为偶函数，由定义有 f(x)=f(-x) 对任意的-∞<x1<x2<0,有0<-x2<-x1<+∞ f(x2)-f(x1)=f(-x2)-f(-x1) 又有f(x)在(0,+∞)为减函数 则f(-x2)>f(-x1),即f(x2)>f(x1) f(x)在(-∞,0)上为增函数
性质： 1、偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 2、奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
x … -2 -1 0 1 2 …
O x
y … 2 1 0 1 2 …
函数y=f(x)的图象 关于y轴对称
1、对定义域中的每一 个x, -x也在定义 域内; 2、都有f(x)=f(-x)
一般地，如果对于函数f(x)的定义 域内任意一个x，都有 f(-x)= f(x)， 那么函数f(x)就叫做偶函数。
一般地,如果对于函数f(x)的定义 域内任意一个x,都有 f(-x)=- f(x)， 那么函数f(x)就叫做奇函数 。
如果一个函数f(x)是奇函数或偶函 数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶 性.
判定函数奇偶性基本方法: ①定义法: 先看定义域是否关于原点对称, 再看f(-x)与f(x)的关系. ②图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称.
麦当劳的标志
奔驰的标志
扑克牌
• 看了我们生活中常见的图片，发现这 些图形似乎都有着一种对称美。
• 我们现在正在学习的函数图象，是否 也会具有对称的特性呢？
y
f (x)=x2
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 4 1 0 1 4 …
O
x
f (x)=|x|
y
问题： 1、对定义域中的每一个x， -x是否也在定义域内？ 2、f(x)与f(-x)的值有什么 关系？
非奇非偶函数
如：
y y 3
y=3x+1
2
y=x2+2x
3 2 1
1
-2 -1 0 -1 1 2 3 x
-2 -1 0 -1 -2 -3
1
2
3 x
-2
-3
即是奇函数又是偶函数的函数
如：
y 3 2
1
-2 -1 0 -1 -2 -3 1
y=0
2 3 x
说明： 1、根据函数的奇偶性
函数可划分为四类:
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 f(x)=0 x∈R 非奇非偶函数