留数及应用

其和函数F(z)为在 z 0 解析的函数.
(2) 无论 f (z) 在 z 0 是否有定义, 补充定义 f(z0)c0,则函数 f (z) 在 z 0 解析.
f(z0)lz iz0m f(z) f(z)Fc(0z,),zzz0z0
2) 可去奇点的判定 定理 若z0是f(z)的孤立奇, 则点以下三个条件等价：
1 1)(z
1)2
,
所以 : z1是函数的一,级极点
z 1是函数的二级极. 点
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个z z0 的负幂项,
那么孤立奇点 z 0 称为 f (z) 的本性奇点.
例如， e1 z1z 11z 2 1z n ,
2 !
n !
含有无穷多个z的负幂项 (0z)
1
所以z 0为本性奇点 同时，lim e z 不存在. z 0
思考
z0是 z
sin z5
z 的几阶极点? （二阶极点）
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 f (z)在无穷远点 z的去心
邻域 Rz内解析, 则称点 为 f (z) 的孤
立奇点.
y
R
o
x
令变换t
1 z
: 则f(z)
f1t (t),规定此变换将:
(2)(3) 根据函数极限的性质，是显然的．
(3)(1)
由 (3 )设 , z 0 的 在 去 0 z 心 z 0内 邻 ,f(z) 域 M ．
f(z)在 z0点 的 洛 f(z) 朗 cn级 (zz0)数 n,
n
cn2 1iC ( f(z 0) )n 1d ,(n 0 , 1 , 2 , )
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公式知: f( n )( z 0 ) 0 ,( n 0 ,1 ,2 , m 1 );
并且
f(m)(z0) m!
c0
0.
充分性证明略 .
例7 判z断 0是函 f(z数 )zsin z的几阶零
解 （方法一） f(z)zsizn z(zz3z5 ) z3(1 z2 ), 3 ! 5 ! 3! 5!
(2) 由定义的等价形式判别
z0是 f(z)的 m阶极 点 f(z)(z(zz0))m
lz iz0m (zz0)mf(z)cm0.
其中
(
z
)
在
z
0
的邻域内解析,
且
(z )0. 0
(3) 利用极限 limf(z)判断 . zz0
课堂练习
求
z3
1 z2 z
1
的奇点,
如果是极点,
指出它的
级数.
答案
由于 z3z21z1(z
那末 sin z 在 z0解析. z
注： limsinz 1 z z0
例4 说明 z0为 e z 1 的可去奇点. z
解 e z 1 1(1z1z2 1zn 1 )
zz
2 !
n !
11z 1zn1 , 0z
2!
n!
无负幂项
所以 z0为 e z 1 z
的可去奇点.
另解 因为 lim ez1lim ez 1,
孤立奇点的分类
依据 f (z)在其孤立奇点 z 0 的某去心邻域内的 洛朗级数的情况可将孤立奇点分为三类:
1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 1．可去奇点 1) 定义 如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项, 那么孤立奇点 z 0 称为 f (z) 的可去奇点.
说明: (1) z0若是 f(z)的孤立,奇点 f ( z ) c 0 c 1 ( z z 0 ) c n ( z z 0 ) n . (0zz0)
3.零点与极点的关系
定理
如果 z 0 是 f (z) 的 m 阶极点, 那么z 0 就是
f
1 (
z
)
的
m
阶零点.
反过来也成立.
证 如果 z 0 是 f (z) 的 m 阶极点, 则有 f(z)(z1z0)mg(z) (g(z0)0)
当 z z0时 , f1(z)(zz0)mg(1z)(zz0)mh(z)
(2) 判断极限 limf (z): 若极限存在且为有限值, zz0 则 z 0 为 f (z) 的可去奇点.
(3) 由有界性判断：
z为f(z)的可去 奇 f(z点 )在z的一个邻域内
0
0
例3 sizn11z21z4中不含负幂项,
z
3! 5!
z0是
sin z
z
的可去奇点 .
如果补充定义:
z0时, sin z 1, z
衣 在 冲 我 使 劲地挥
复变函数与积分变换
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点的概念 二、函数的零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态
一、孤立奇点的概念
定义 如果函f数 (z)在z0不解析 但， f(z)在z0
的 某 去 心 0邻 zz0域 内 处 处 解 则称析 ，
z0为 f (z)的孤立奇点．
例1
z0是函数
e
1 z
,
sin
z
的孤立奇点.
z
z1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点.
例2
指出函数
f (z)
z2 sin 1
在点 z0的奇点特性.
z
解 函数的奇点为
z 0, z 1 (k 1 ,2, ) k
因为lim1 0， kk
即在 z0的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z0不是孤立奇点.
z 映射为 t 0,
扩充 z 平面 映射为 扩充 t 平面
映射为 {zn}(zn )
tn
z1n(tn
0)
Rz映射为 0 t 1 R
结论: 在去心邻域 Rz内对函数 f (z) 的研究
在去心邻域 0 t 1 内对函数 (t)的研究
R
因为 (t) 在去心邻域 0 t 1 内是解析的,
因(为 s z )iz k n cz o z k s (1)k 0, 所以 zk是sinz的一级零 即 点 1 的， 一级极点.
sin z
例9
问
z0是
ez z2
1
的二阶极点吗?
解
ezz21z12n 0znn!1 解析且(0)0
11z 1(z),
z 2! 3! z
所以 z0不是二阶极点, 而是一阶极点.
函数 h( z) 在 z 0 解析且h(z0)0.
由于 lim 1 0, 只要令 1 0,
zz0 f (z)
f (z0 )
那末
z0
就是
f
1 (z
)
的
m
阶零点.
反之如果 z 0
是
1 f (z)
的 m 阶零点,
那末 f1(z)(zz0)m(z),
解析且(z0)0
当
z z0时,
f(z)(z1z0)m(z),
1.零点的定义 不恒等于零的解析函数 f (z)如果
能表示成 f(z)(zz0)m (z)某一正整数, 那么 z 0 称为
f (z) 的 m 阶(级)零点. 例6 z0是函f(数 z)z(z1)3的一级零点
z1是函 f(z数 )z(z1)3的三级 . 零 注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.
则z0为f(z)的m阶极点．
(2) 如果 z 0 为函数 f (z) 的极点 , 则
limf(z).
zz0
例5 有理分式函数 f(z)z23(zz22),
一阶极点又 称简单极点
z0是二阶极点, z2是一阶极点.
2)极点的判定方法
(1) 由定义判别
f (z)的洛朗展开式中含有 z z0的负幂项为有限项．
(z) 1 (z)
所以 z 0 是 f (z) 的 m 阶极点.
说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为
简便的方法. 1
例8 函数 sin z 有些什么奇点, 如果是极点, 指出 它的级.
解 函数的奇点是使 sizn0的点,
这些奇点是 z k ( k 0 , 1 , 2 ) .是孤立奇点.