各种位置直线的投影特性
第二章 直线的投影
2．已知直线 AB 平行直线 CD，试完成直线
例：已知直线AB平行直线CD，试完成直线AB
AB 和 CD 的三面投影。 和CD的三面投影。
题解： c′〝
c
NEW
c
c
b
点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并 符合点的投影规律。
二、Ｄ点不在 直线ＡＢ上。
a A d b a b
NEW
a b
D
d
B
d
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上 解法１：
NEW
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律， 故Ｍ点不在直线ＣＤ上。
例：判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
直线 水 平 线
直观图
投影图
投影特征 1、水平投影ab 反映实长 及直线的倾角β 和γ 。 2、正面投影a b //o x轴, 侧面投影a"b "//oy w 轴，且 均短于实长。 1、正面投影e f 反映实长 及直线的倾角α 和γ 。 2、水平投影ef //o x轴,侧 面投影e"f "//oz 轴，且均 短于实长。 1、侧面投影e"f" 反映实 长及直线的倾角α 和β 。 2、水平投影e f//oy H 轴,正 面投影e f //oz 轴，且均 短于实长。
• 1． 直线上的点，其投影必在该直线的同面投影上。 • 2． 直线上的点，分割线段之比，在投影后保持不变。
三．直线上的点 (一) 直线上点的投影特性
点Ｃ在直线上 ＡＢ上
1.直线上的点，
其投影必在该 直线的同面投 影上。
2.直线上的点，
工程制图 第三章 知识点
第三章一、点的投影两点的相对位置 :X 坐标值大的点在左; Y 坐标值大的点在前; Z 坐标值大的点在上。
二、直线的投影1、各种位置直线的投影特性(1 投影面平行直线:在平行的投影面上的投影,反映实长;投影与投影轴的夹角分别反映直线与另两个投影面的真实倾角; 在另两个投影面上的投影, 平行于相应的投影轴,长度缩短。
(2 投影面垂直直线:在直线垂直的投影面上的投影积聚成一点; 在另两个投影面上的投影,平行于相应的投影轴,反映实长。
(3 一般位置直线:三个投影面上的投影都倾斜于投影轴; 投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的倾角;不反映实长(缩短。
2、直线上点的投影特性及定比关系(1从属性:若点在直线上,则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
(2定比性:属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
3、两直线的相对位置关系及投影特性(1平行:三对同面投影分别互相平行。
(2 相交:三对同面投影都分别相交, 且投影的交点符合一点的三面投影特性。
(3交叉:既不符合平行特性也不复合相交特性。
判断两直线相交还是交叉的方法:(1 交点投影法:判断三个投影面的交点是否满足点的投影规则。
(通常需要做出第三投影面的两直线投影来判断(2定比关系法:由投影面的一条直线的交点投影,根据定比关系作出该交点在另一个投影面在该直线上的点的位置, 如果两个投影面上的交点是同一点, 则可判断两直线相交,反之则交叉。
4、直角三角形法 (求一般位置直线的实长和倾角直角三角形法的作图要领 :用线段在某投影面上的投影长作为一条直角边,以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边, 所作直角三角形的斜边即为线段的实长,斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的倾角。
直角边与倾角的对应关系如下表:解题原则:求直线与哪个投影面的倾角, 就用哪个投影面上的投影长作为一条直角边。
5、直角的投影定理相互垂直的两直线, 其中有一条直线平行于投影面时, 则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
直线的投影
图2-19 判别C点是否在线段AB上 作图：首先过a作一辅助线ab1，使ab1＝a'b',ac1＝a'c';然后连接b1b，过c1作b1b的 平行线使与ab相交，如果交点与C点的水平投影c重合，则表明C点对AB的分段符合定比 分段法，此时C点在直线段AB上；反之不在直线段AB上。 1.3两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。其中平行和相交两直线均在同一 平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。 1. 两直线平行： 相同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。如图2-20(a)所示， 因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。
1．水平投影积聚为一点 2．正面投影和侧面投影都 平行于Z轴，并反映实长
1．正面投影积聚为一 点2．水平投影和侧面 投影都平行于Y轴，并 反映实长
1．侧面投影积聚为一
侧
点
垂 线
2．正面投影和水平投 影都平行于X轴，并
反映实长
(3) 一般位置直线 一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投 影与投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。
影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影 不反映直角。如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在 该投影面上的投影仍然反映直角关系。通常称之为直角投影原理。
2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线）， AB为一般位置直线。现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。
3-直线的投影及两只线的相对位置关系
一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3
练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距 离
直线的投影
直线的投影一、直线投影图的画法两点确定一条直线，因此，作直线的投影，一般只需作出两点（通常是直线段的两个端点）的三面投影，然后连接这两点的各个同面投影即可。
直线的投影一般情况下还是直线，投影用粗实线表示。
如图所示。
直线投影图的画法二、直线在三投影面体系中的各种位置及其投影特性1.直线与三个投影面间的相对位置在三投影面体系中，直线相对投影面的位置可分三种：投影面的平行线、投影面的垂直线、投影面的倾斜线（一般位置直线）。
前两种又称为特殊位置直线。
空间直线与它的水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为直线对投影面 H、V、W 面的倾角α、β、γ。
当直线与投影面平行时倾角为0°；当直线与投影面垂直时倾角为90°；当直线与投影面倾斜时倾角大于0°而小于90°。
2.各种位置直线的投影特性投影面的平行线投影面的垂直线一般位置直线（参 PPT+动画。
讲解时可用圆规作为直线演示，使学生理解、记牢结论）三、直线上点的投影（点的从属性很重要）直线上点的投影有以下特性：1.从属性。
如果点在直线上，则该点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投影特性。
，已知点的三面投影在直线的同面投影上，且符合点的投影规律，则点必在直线上。
2.定比性。
若线段上的点分割线段成定比，则该点的投影也分割线段的同面投影成相同之比。
AC:CB=ac:cb=a'c':c'b'=a"c":c"b"V b ′b ′ Z b ″c ′ B b ″ c ′ c ″ a ′a ′ ″ C c ″WX O Y A a ″c bc a H a Ya ' " k " ' ●' b " b a ● k ' ● ●2ba '●1●● 2 b 'b k ●a直线上点的投影例 1：已知点 K 在线段 AB 上，求点 K 正面投影。
画法几何制图—平面投影及相对位置
② 若两投影面垂直面相互平行，
则它们具有积聚性的那组投影
必相互平行。
a
b c d
c d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e
f h h
f
//
三峡大学
44
2 . 判 例别 判下 断列 下平 列面 两与 平平 面 面是 是否 否平 平行 行。
a )
b ) 举例
平行
不平行
三峡大学
45
二、相交问题(重点与难点)
三峡大学
22
例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面 的距离为10mm。
a
10
m
n
c
b
b
c
n m
a
唯一解！
三峡大学
23
⒉ 平面上取点
若点在平面内的任一直线上，则此点一定在该平面上。 即：点在线上，则点在面上。
三峡大学
24
面上取点的方法：
首先面上取线
先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助 线，然后再在该直线上确定点的位置。
铅垂面(⊥H) 正垂面(⊥V) 侧垂面(⊥W)
水平面(//H) 正平面(//V) 侧平面(//W)
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
三峡大学
9
1） 投影面垂直面的投影
铅垂面
V PB
c
a
a
W
b
A
a b
H
C PH c
a c
b 投影特性：
1. abc积聚为一条线， 与OX、 OYH的夹角反映、角； 2 .abc、 abc为ABC的类似形；
1’ b’
各种位置直线的投影特性
各种位置直线的投影特性按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
后两类直线又称为特殊位置直线。
1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：1）三面投影都倾斜于投影轴。
2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。
直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。
投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线(1）投影面平行线又可分为三种：平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。
图3-11 正平线的投影特性(2）正平线的投影特性(图3-11)：1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。
3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。
又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹角即为AB与W面的倾角γ。
表3-1为投影面平行线的投影特性。
表3-1 投影面平行线的投影特性名称轴测图投影图投影特性正平线(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴水平线(1) cd=CD ,反映β、γ角(2)c＇d＇//OX轴, c"d"//O YW轴侧平线(1) e"f"=EF, 反映α、β角(2)e＇f＇//OZ轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线1）投影面垂直线又可分为三种：垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的直线叫侧垂线。
直线的投影
直角三角形方法求倾斜线段的实长及其与W面的夹角g
X
直角三角形
实长
X
Rt△(γ)：ab X ab X
AB
g
AB g
Rt△(γ)
例9 已知三角形ABC 的投影，试求其实形。
实形
BC实长
Y AB实长
Y
AC实长
例10 已知线段AB 的投影，试定出属于AB 的点S 的投 影，使AS 的实长等于已知长度L。
2.投影面 垂直线
垂直于 面 （铅垂线）
直线的位置
直 观 图
投 影 图
特 性
积聚成一点
⊥
YH YW
⊥ ＝ ＝
积聚成一点 垂直于 面 （正垂线）
YW
⊥
YH
⊥ ＝ ＝
积聚成一点 垂直于 面 （侧垂线）
YW
⊥
YH
⊥ ＝ ＝
归纳投影面垂直线投影特性：
① 在所垂直的投影面上的投影，为有积 聚性的点。 ② 在另外两个投影面上的投影，垂直于 相应的投影轴,且反映线段实长。
⒉ 平面法
② 第三面投影法 平面法
DE与FG平行
DE与FG平行
⒉ 两直线相交
V c a C A X a
k
K
b d D O d B
交点是两直 线的共有点
b c a
k
d
c
k
b
H
a
c k
d b
空间相交
投影特性
投影相交 投影特征 投影交点的连线垂直于投影轴
例4：过C点作水平线CD与AB相交。
四、直角三角形方法求倾斜线段的实长及α β γ
直角三角形方法求倾斜线段的实长及其与H面的倾角
Z Z
第二章2-3直线的投影
空间两直线平 则其各同名投 行，则其各同名投 必相互平行， 影必相互平行，反 之亦然。 之亦然。
21
例1：判断图中两条直线是否平行。 判断图中两条直线是否平行。
①
a′ ′ a b′ ′ c′ ′ c b d d′ ′
对于一般位置直 对于一般位置直 线，只要有两个同名 投影互相平行， 投影互相平行，空间 两直线就平行。 两直线就平行。
26
例题 判断两直线的相对位置
c′ 1′ a′ X a d′ d 1 b′
c 1′d′ 1′c′
b
27
判断两直线重影点的可见性
c′ b′ 1′ (3′)4′ 2′ d′ C 1 3 2 4 X A c a 1(2) 3 4 d
28
B
a′
D O
判断重影点的可 见性时， 见性时，需要看重影 点在另一投影面上的 投影， 投影，坐标值大的点 投影可见， 投影可见，反之不可 见，不可见点的投影 加括号表示。 加括号表示。
35
二、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 点分线段成定比， ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比——定比定理。 定比定理。 成定比 定比定理 三、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 且符合空间一个点的投影规律。 交叉（异面） ⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空 同名投影可能相交， 交点” 间一个点的投影规律。 交点” 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。 对重影点的投影。 36
各位置直线和平面投影特性总结
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、 倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长 度来作直角边不能搞错。 如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的 对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是， 的对边 一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、 。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、 角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相 对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面 一般位置平面
投影面平行面 投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小
基本要素的投影-直线的投影
●
a●
●
a
●
b
一般情况下， 直线对一个投影面的投影特性
A
●
b 直线的投影
●
仍然为直线，特殊情况为一 α M A A B个点。
B ●
● ● ● ●
●
B
●
a≡b≡m
●
●
b
a●
b
a●
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcosα
a X A a
b a X b a Y a YH O
O b
b YW
|XA-XB|
直角三角形的作图要点: 直角三角形中,斜边为线段的实长,两直角边分别为线 段的投影及坐标差,如图
α
△Z
AB
β
△Y
AB
γ
△X
ab
a ' b'
a ' ' b' '
每个直角三角形中，三条边和直线对投影面的倾角 共四个参数，只要知道其中任意两个，就能求出其余两个
例１： α角的正确求法是（
b′
）图
b′ b′
α
a′
a′ a′
a
α
a
a
α
b (a)
b
b
(b)
(c)
例题2 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。 AB b |zA-zB|
AB |zA-zB|
a X
ab b
ab
a
例3 已知直线AB的水平投影ab及a′，且α=30°，用直角三角 形法完成其正面投影。
《机械制图》第二章 直线的投影
1.cd积聚成一点 2.c′d′⊥OX
c″d″⊥OYW 3.c′d′=c″d″=CD
1.e″f″积聚成一点 2.ef⊥OYH
e′f′⊥OZ 3.ef=e′f′=EF
一般位置直线（投影特点：三条斜线）
b a a
b
b a
投影特性：
三个投影都缩短。 即: 都不反映空间 线段的实长及与三 个投影面夹角的实 大，且与三根投影
1. ab∥OX
影
a″b″∥OZ
特
2. a′b′=AB 3. 反映α 、γ 倾角
性
βγ
1. c′d′∥ OX c″d″∥OYW
2. cd=CD 3. 反映β 、γ 倾角
β α
1.e′f′∥OZ ef∥OY H
2. e″f″=EF 3. 反映α 、β 倾角
2.投影面垂直线
由两点到两个投影面距离相等时的两 点连线构成。该直线垂直于某一投影 面，对另外两个投影面都平行 。
YW
Y
YH
• 在直线所平行的投影面上，投影反映实长，且该投影与相邻 投影轴的夹角反映该直线对另外两个投影面的倾角大小。
• 在另外两个投影面上，线段的投影为缩短的线段，且分别 平行于直线一斜二平）
名称
直 观 图
正平线
水平线
侧平线
投
γ
影
α
图
投
第二章 直线的投影
第三节 直线的投影
一、各种位置直线及投影特性
1.一般位置直线
由一般位置的两点连线构成。 该直线与三个投影面都倾斜。
β
γ
YW
α
Y YH
投影特性: 三个投影都倾斜于投影轴，每个投影既不直接
反映线段的实长，也不直接反映倾角的大小。
直线的投影知识
道路工程识图与绘图
图4-29 点的从属性
1.2 直线上点的投影特性
2. 定比性
直线上的点分割直线之比投影后保持不变，这个特 性称为定比性，如图4-30所示。
图4-30 定比性
1.3 两直线的相对位置
1. 两直线平行
空间中的两条直线如果平行，则它们的同面投影都平行。 如果两直线有一个投影面上的投影不平行，则空间中的两直 线不是平行关系，如图4-31所示。
图4-31 两直线平行
1.3 两直线的相对位置
2. 两直线相交
空间中的两条直线如果相交，则它们的同面投影都相交， 并且交点符合点的投影规律。如果两直线有一个投影面的投影 不相交，则空间的两直线不是相交关系，如图4-32所示。
图4-32 两直线相交
1.3 两直线的相对位置
3. 两直线交叉
空间中两条直线如果交叉，则它们的同面投影既不相交 又不平行，如图4-33所示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1. 投影面平行线
平行一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行 线。与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与 W面平行的直线称为侧平线。它们的投影特性如表4-1所示。规定直 线与H、V、W面的夹角分别用α、β、γ表示。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
1.1 空间各直线的投影共性为： 直线在所垂直的投影面上的投影积 聚为一点，其他两投影反映实长， 且垂直于相应的两投影轴。
1.1 空间各种位置直线的投影特性
3. 一般位置直线
一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影 面上的投影都不反映实长，投影与投影轴之间的夹角也不 反映直线与投影面之间的夹角，如图4-28所示。
工程制图4(直线的投影)
本节回顾
• 直线的投影
– 直线投影的定义，直线实长及其与各投影面夹 角的求法
– 直线投影和点投影的关系 – 各种位置直线的投影 – 两直线的相对位置
• 作业
– 习题集17-20页
3-2 直线的投影
一、直线的投影图 二、各种位置直线的投影 三、直线上点的投影 四、两直线的相对位置
一、直线的投影图 z
b’ b”
a’
a”
X
o
YW
b
a
YH
两点决定一条直线。因此，直线直线的的投投影影图可以由直 线上任意两个点的投影来决定。
1. 直线对一个投影面的投影特性
A
B
B
M
A
B
α
A
b
b
a(b)(m) H
b’
c’
Z坐标差
a’
a c
C0
b
三、直线上点的投影
1. 从属性。若点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的 同面投影上，并且符合空间一点的投影特性。
2. 定比性。若点在直线上，则点分线段之比等于其投影之比。
AC:CB= ac:cb = a’c’:c’b’ = a”c”:c”b”
b’
z
b”
c’
c”
例6 已知AB∥V面，试过点C作一直线CD与AB垂 直相交。
b’
d’
a’
X
a
d
直线CD与正平线AB所成的 直角正面投影上反映直角。
c’ b
c
例7 求两直线AB、CD的公垂线。
公垂线MN是水平
D N
线 c’
A
n’ d’
a’ m’
M
C
BX
直线投影
1、已知直线AB的三面投影
试判别有关性质：
aˊ
（1）AB是 侧平 线
（2）它同V面—倾—斜
bˊ
它同W—平—行
Xa
它同H 倾斜（平行或倾斜）
（3）它在 W 投影面上的投影 b
a〞b〞 反映实长
Z a〞
b〞
O
YW
YH
2、已知直线AB的三面投影，试判别有关性 质：
Z
a'(b')
X
b
b"
O
a"
AB是 正垂 线，
bˊ
a〞 b〞
A X
B O b〞 X
O
YW
a
H
b
a
Y
b
YH
投影特性：1、ab=AB且 ab且倾斜于投影轴（一斜）
2、a′b′、a〞b〞＜AB且平行于相应投影轴（二平）
3、侧平线（平行W面且 倾斜V面、H面）
Z
V
aˊ
aˊ A
W a〞
bˊ
bˊ
Z a〞b〞Xa来自OXaO
YW
B
b〞
Hb
b Y
YH
投影特性：1、a〞b〞 =AB且 a′b′且倾斜于投影轴（一斜）
（垂直于投影轴→二垂）
辩认：一点二垂
（三）一般位置直线 这类直线对三个投影面均处于倾斜位置
V
Z
b' B b" W
a'
X
A a b a"
Z b' b"
a'
O a"
X
b
YW
H
Y
a YH
1）直线的三面投影长度均小于实长
机械制图直线的投影
例1：判断图中两条直线是否平行。
b d c c b d 对于一般位置直线，只 要有两个同面投影互相平行， 空间两直线就平行。
a a
AB//CD
三峡大学
例2：判断图中两条直线是否平行。
c c 对于投影面平行线，只有两 a 个同名投影互相平行，不能判断空 d 间直线平行。 方法1：求出侧面投影 AB与CD不平行。
三峡大学
3)侧平线（//W,所有点X坐标相等）
a
b a
β
实长
α
b
a
b W面具有实形性,H、V有类似性. 1.W面a”b”=AB,反映倾角α .β ； 2.a’b’//OZ,ab//OYH，长度缩短。
投影特性：
① 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并 反映直线与另两投影面倾角的大小。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。 投影特征：一斜两平行
三峡大学
cb ac
X
四、空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉
⒈ 两直线平行
b
a A a b B c d C c d H V
投影特性：
平行性——空间两直线平 行，则其各同面投影必相 互平行，反之亦然。
等比性——空间两线段平 行，其长度之比等于同面 投影长度之比。
直 线 平 行
D
即：AB//CD，ab//cd，a’b’//c’d’， a”b”//c”d”. AB/CD=ab/cd=a’b’/c’d’=a 三峡大学
垂直于某一投影面而 与其余两投影面平行
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
三峡大学
1.一般位置直线
如图,直线AB与三个投影面都倾斜。V面投影a’b’,H面投影ab,W面投影 a”b”。 设直线段AB对H、V、W三个投影面的倾角分别为α 、β 、γ ，则 ab=ABcosα , a’b’=ABcosβ , a”b”=ABcosγ .三个投影都具有类似性.
直线的投影
对于一般位置直线的辨认：直线的投影如果与三个投影轴都倾斜，则可判定该直线为一般位置直线。
思考题、讨论题、作业
习题册：P17 1、2、3、4
教学后记
在直线的投影中，只要理解了各种位置直线的定义、点的投影规律，作投影图应该是没问题的
3、一般位置直线
与三个投影面都处于倾斜位置的直线称为一般位置直线。
举例：如图2－23（a）所示，直线AB与H、V、W面都处于倾斜位置，倾角分别为α、β、γ。其投影如图2－23（b）所示。
（a）（b）
一般位置直线的投影特征可归纳为：
（1）直线的三个投影和投影轴都倾斜，各投影和投影轴所夹的角度不等于空间线段对相应投影面的倾角；
1、投影面平行线
平行于一个投影面且同时倾斜于另外两个投影面的直线称为投影面平行线。平行于V面的称为正平线；平行于H面的称为水平线；平行于W面的称为侧平线。
直线与投影面所夹的角称为直线对投影面的倾角。α、β、γ分别表示直线对H面、V面、W面的倾角。
举例说明：正平线的投影特性
强调：（1）斜线反映实长；
（2）直线的倾角α、γ。
授课题目
直线的投影
授课类型
新授
首次授课时间
年月日
学时
2
教学目标
理解并掌握各种位置直线的投影特性，并能根据投影特性判别直线对投影面的相对位置
重点与难点
各种位置直线的投影特性
教学手段与方法
讲授为主，学生理解掌握
教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）
根据直线在三投影面体系中的位置可分为投影面倾斜线、投影面平行线、投影面垂直线三类。前一类直线称为一般位置直线，后两类直线称为特殊位置直线。
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各种位置直线的投影特性
按照直线对三个投影面的相对位置，可以把直线分为三类：
一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线。
后两类直线又称为特殊位置直线。
1.一般位置直线—与三个投影面都倾斜的直线
一般位置直线的投影特性如下（图3-10）：
1）三面投影都倾斜于投影轴。
2）投影长度均比实长短，且不能反映直线与投影面倾角的真实大小。
直线对H、V、W的倾角分别用α、β、γ表示。
投影面平行线——平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面的直线
(1）投影面平行线又可分为三种：
平行于V面的直线叫正平线；平行于H面的直线叫水平线；平行于W面的直线叫侧平线。
图3-11正平线的投影特性
(2）正平线的投影特性(图3-11)：
1)直线平行于V面，则V面投影与直线本身平行且等长，a＇b＇=AB；
2)正平线上各点到V面的距离即Y坐标都相等，则a b∥OX, a"b"∥OZ。
3)AB与H面的倾角为α，由于AB平行V面，所以AB与V面的倾角为0。
又因为AB ∥a＇b＇，a b∥OX轴，所以，a＇b＇与OX轴的夹角为α，同理a＇b＇与OZ轴的夹
角即为AB与W面的倾角γ。
表3-1为投影面平行线的投影特性。
表3-1 投影面平行线的投影特性
名称轴测图投影图投影特性
正平线
(1)a＇b＇=AB, 反映α、γ角
(2)a b//OX轴, a"b"//OZ轴
水平线
(1) cd=CD ,反映
β、γ角
(2)c＇d＇//OX轴, c"d"//O YW轴
侧平线
(1) e"f"=EF, 反映
α、β角
(2)e＇f＇//OZ
轴，ef//O YH轴投影面平行线的投影特性:
1.直线在与其平行的投影面上的投影,反映该线段的实长和与其他两个投影面的倾角
2.直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且比线段的实长短
投影面垂直线——垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面的直线
1）投影面垂直线又可分为三种：
垂直于V面的直线叫正垂线；垂直于H面的直线叫铅垂线；垂直于W面的
直线叫侧垂线。
2）铅垂线的投影特性（图3-12）：
①铅垂线的H面投影积聚为一点；
②铅垂线平行于V、W面，在V、W面的投影反映实长，且平行于OZ轴。
图3-12 铅垂线的投影特征
下表为投影面垂直线的投影特性:
表3-2 投影面垂直线的投影特性
名称轴测图投影图投影特性
正垂线(1) a＇b＇'积聚成一点
(2)a b垂直OX轴，
a"b"垂直OZ轴，
a b=a"b"=AB
铅垂线
(1)cd积聚成一点
(2)c＇d＇垂直OX轴，c"d"垂直OYW轴，
c＇d＇=c"d"=CD
側垂线
(1)e"f"积聚成一点
(2)e＇f＇垂直OZ轴，
ef垂直OYH轴，
e＇f＇=ef=EF
投影面垂直线的投影特性：
1.直线在与其所垂直的投影面上的投影积聚成一点
2.直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且反映该线段的实长
各种位置平面的投影特性
平面对投影面的相对位置有三种：
一般位置平面、投影面垂直面、投影面平行面。
后两种称特殊位置平面
规定平面对H、V、W面的倾角分别用α、β、γ来表示。
所谓平面的倾角，是指平面与某
一投影面所成的二面角。
1.一般位置平面——与三个投影面都倾斜的平面
一般位置平面的投影如图3-24所示。
由于△ABC对H、V、W面都倾斜，因此它的三
个投影都是三角形，为原平面图形的类似形，面积均比实形小。
2.投影面垂直面——垂直于一个投影面，与另两个投影面倾斜的平面
投影面垂直面可分为三种：
垂直于V面的平面叫正垂面；垂直于H面的平面叫铅垂面；垂直于W面的平面叫侧
图3-25是铅垂面△ABC的投影。
由于△ABC垂直于H面，倾斜于V、W面，因此其
水平投影积聚成一条直线，Ｖ面投影和Ｗ面投影都是类似的三角形，Ｈ面投影与OX轴、
OY轴的夹角分别反映△ABC与V面、W面的倾角β、γ。
图3-25 铅垂面的投影特性
表3-3 投影面垂直面的投影特性
名称轴侧图投影图投影特性
铅垂面(1)p积聚成一直线,
反映β、γ角(2)p＇和p"均为原图
形的类似形
正垂面(1)q＇积聚成一直线,
反映α、γ角(2)q和q"均为原图
形的类似形
侧垂面
(1)r"积聚成一直线,
反映α、β角
(2)r＇和r均为原图
形的类似形
投影面垂直面的投影特性:
1.平面在与其所垂直的投影面上的投影面积聚成倾斜与投影轴的直线,并反映该平面对其
他两个投影面的倾角
2.平面的其他两个投影都是面积小于原平面图形的类似形
3.投影面平行面——平行于一个投影面，与另两个投影面垂直的平面
投影面平行面可分为三种：
平行于V面的平面叫正平面；平行于H面的平面叫水平面；平行于W面的平面叫侧平面。
图3-26为正平面的投影。
平面P平行于V面，垂直于H面和W面，因此其V面投影反映实形，H面投影和W面投影积聚成直线，且H面投影平行于OX轴，W面投影平行于
OZ轴。
图3-26 正平面的投影特性
表3-4 投影面平行面的投影特性
名称轴测图投影图投影特性
水平面
(1)p反映平面实形
(2)p＇和p"均具有积聚性,且p＇∥OX轴,p"∥
OY W轴
正平面
(1)q＇反映平面实形
(2)q和q"均具有积聚性,且q∥OX轴,q"∥OZ轴
侧平面
(1)r"反映平面实形
(2)r＇和r均具有积聚性,
且r＇∥OZ轴,r∥OY H轴
投影面平行面的投影特性:
1.平面在与其平行的投影面上的投影反映平面图形的实形
2.平面在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投影轴的直线。