第二讲：直线投影、两直线相对位置(平行、相交、交叉)
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两直线的相对位置(工程制图)
思考并回答：常 见工程结构中的 一些线的位置关 系。
时间共2分钟。 通过云教学软件 提问。
道路工程制图与识图
教学过程 课后作业
教师的活动
学生的活动
备注
通过三个实例讲授 做云教学软件预留 空间相交二直线的 的练习(画出相交 三个投影特征，通 二直线的三面投 过ppt动画的形式 影)。 进行投影图的绘制。
C
A
D
B
E F
G
5
道路工程制图与识图
1）两直线相交
投影特征:①相交两直线，其各同面投影必相交，且
交点符合点的投影规律（即各投影交点的连线必垂直于
相应的投影轴）。
c′
c"
b′
b"
k′ a′
d′
k" a" d"
db k a
c
道路工程制图与识图
②对两一般线在空间是否相交。 c’
道路工程制图与识图
二、本次课的衔接和配合
本次课（两直线的相对位置）的先导课为《各种位 置直线的投影》，后续课为《平面的投影》。在教材的 知识体系中，本次课与前面的特殊位置直线与一般位置 直线等知识相链接，也为以后系统地学习平面和立体的 投影奠定了理论基础。
道路工程制图与识图
三、教学设计
主题
两直线的相对位置（相交）
符合点的投影规律。 ②对两一般位置直线而言，只要根据任意2组
同面投影即可判断两直线在空间是否相交。 ③对于特殊位置直线而言，只要判断交点是否
具有定比性来验证两直线是否相交。
道路工程制图与识图
道路工程制图与识图
直线上的点的特性：
定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即
点、直线、平面的投影
3、三视图之间的度量关系 “长对正，高平齐，宽相等”
4、三视图与物体方位的关系
主视图——物体的左右和上下关系 左视图——物体的上下和前后关系 侧视图——物体的左右和前后关系
5、三视图的作图步骤 （1）作投影轴及450辅助线 （2）从主视图入手,按照“长对正、高平齐、宽相等”原则作三视图 （3）擦除投影轴、450辅助线及其它作图辅助线
正面V与水平面 H的交线——OX轴
侧面W与水平面 H的交线——OY轴
三条轴线交点为原点O
正面V与侧面W的交线——OZ轴
2、三视图的形成
三视图的组成：主视图（尽量反映物体的主要特征）、俯视图、左视图
三个视图均在一个平面上，三个视图的相对位置不能变动
画视图时，投影面的边框和投影轴不必画出
三个视图的名称不必标注
（4）检查无误后加粗轮廓
例题1：习题集P7 §2-2 点的投影
一、点的三面投影 点的三面投影均在一个平面上，均用小写字母来表示
二、点的三面投影与直角坐标的关系
V 、H、 W面相当于坐标面 投影轴OX 、 OY、 OZ相当于X 、 Y、 Z 轴 原点O相当于坐标原点O 第一分角内的点，其坐标植均为正 每一个投影均能反映点的两个坐标植 例题2：已知点A（20，10，20），求作其三面投影
（2）在另两个投影面上的投影与投影轴平行且反映实长（“实形 性”）；
3、一般位置直线的投影 一般位置直线：同时倾斜于三个投影面的直线 投影特点：（1）三个投影都倾斜于投影轴，且其与投影轴的夹角都不反映直线 对投影面的真实倾角；
（2）三面投影的长度都短于实长 ； （练习及总结） 例题6：已知水平线AB的端点A的投影，直线与V面夹角为300，AB长12mm且B在A 的右前方，求做直线AB的三面投影。 三、点与直线
机械制图中两直线的相对位置
d’ cO
方法一作第三投影（略）方法二Fra bibliotek定比性。（略）
方法三：
假定AB、CD平行，则ABCD 共 面，AD 和BC 必相交，
d
作图：
结论： AB、CD 两交叉直线。
本节结束
分析:
a’
f’
若使 EF ∥ AB， 须 ef ∥ ab ；
b’
e’f’∥a’b’ 。
X
e’ O 作图:
b
e
a
f
解题完毕
▪ 空间两直线二相交、，两其同直面投线影相必相交交，且交点的
投影符合点的投影规律。
c’
V
Z c'
b’
k'
a’
b' k' B
C a'
d’ X
O
d' X
K
b
D d
k
O c
A
a
b
d Y
§3-4 两直线的相对位置
一、两直线平行 二、两直线相交 三、两直线交叉
▪ 两直线在空一间平、行两则它直们的线各平组同行面投影必平行
平行 即若AB∥CD
则ab∥cd ； a’b’∥c’d’ 。
V
d' X
Z
a’
c’
A
b’ B
D
CO
b
d
c
a
d’ X
d Y
a’ c’
b’
O b
a c
平行
例1 过点E（e、一e’）、作两直线直∥A线B。平行
k
c a
▪ 既不平行也三不相、交两的空直间两线直交线称叉为交叉。
投影图上的交点是重影点。
不符合投影规律
第二讲：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)详解
投影面平行线—— 水平线（平行于Ｈ面且…） 正平线（平行于Ｖ面且…） 侧平线（平行于Ｗ面且…）
2020/9/21
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z
b
实长
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
正平线的投影特性：
1、正面a 投影反b 映直线段的实a长。该投b影与OX轴、OZ轴
的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。YH （a b=AB， 反映、角的真实大小）；
b’
1.根据直角三角形的组成，利
用a’b’及实长作直角三角形；
O 2 .求出Y坐标差；
3. 利用Y坐标差求ab投影。
思考：若将已知条件实长换 b 成=30°，则如何解题？
18
直线上的点 V
直线上点的投影特性—— a
➢从属性：若点在直线上， 则点的投影必在直线的同面 投影上，且符合点的投影规 律。反之，亦然。
对c(水d)平投影面的倾角——
对正立投影面的倾角——
对侧立投影面的倾角——
各种位置直线的投影特性
直线在三投影面体系中分为：
平行于某一投影面，且 倾斜于另两个投影面
垂直于某一投影面
投影面平行线 特殊位置直线 投影面垂直线
水平线 正平线 侧平线
铅垂线 正垂线 侧垂线
与三个投影面都倾斜 一般位置直线
各种位置直线的投影特性
b
YH
9
各种位置直线的投影特性
一般位置直线（投影面倾斜线）
与三个投影面都倾斜的直线。
b Z
投影特性：
b
三个投影都是缩短了的倾
斜线段, 都不反映空间线段的
2020/9/21
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z
b
实长
b
b
a
B
a
a
a
A
b
X
O
YW
正平线的投影特性：
1、正面a 投影反b 映直线段的实a长。该投b影与OX轴、OZ轴
的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。YH （a b=AB， 反映、角的真实大小）；
b’
1.根据直角三角形的组成，利
用a’b’及实长作直角三角形；
O 2 .求出Y坐标差；
3. 利用Y坐标差求ab投影。
思考：若将已知条件实长换 b 成=30°，则如何解题？
18
直线上的点 V
直线上点的投影特性—— a
➢从属性：若点在直线上， 则点的投影必在直线的同面 投影上，且符合点的投影规 律。反之，亦然。
对c(水d)平投影面的倾角——
对正立投影面的倾角——
对侧立投影面的倾角——
各种位置直线的投影特性
直线在三投影面体系中分为：
平行于某一投影面，且 倾斜于另两个投影面
垂直于某一投影面
投影面平行线 特殊位置直线 投影面垂直线
水平线 正平线 侧平线
铅垂线 正垂线 侧垂线
与三个投影面都倾斜 一般位置直线
各种位置直线的投影特性
b
YH
9
各种位置直线的投影特性
一般位置直线（投影面倾斜线）
与三个投影面都倾斜的直线。
b Z
投影特性：
b
三个投影都是缩短了的倾
斜线段, 都不反映空间线段的
3-直线的投影及两只线的相对位置关系
一边平行于投影面的直角的投 影特性
例题 3
练习1
练 习 2
练习3
练习4
各种位置的直线的投影及相对位置关系
一、各种位置的直线的投影特性及应用
投影面平行线 投影面垂直线 一般位置直线
二、直线的相对位置关系
相交 平行 交叉
投影特性 及应用
一、特殊位置直线的投影及特性
1. 投影面平行线的投影及其特性：正平 线、侧平线、水平线
2. 投影面垂直线的投影及其特性：正垂 线、侧垂线、铅垂线
二、一般位置直线的投影及其 真长与倾角的图解方法
1. 一般位置直线的投影特性
2. 一般位置的直线的真长与倾角的图解 方法
直角 三角 形法 求直 线实 长的 基本 原理
三、 直线上的点的投影特性
1. 在直线的同面投影上
2. 按比例等分线段
2~4 两直线的相对位置
1. 相交
2. 平行
投影 特性
及
3. 交叉
应用
两相交直线的判断方法
两 相 交 直 线 的 投 影
例 题 1
两 平 行 直 线 的 投 影
例题 2
两交叉直线的空间位置及投影
两交叉直线的投影特性----1
重影点 可见性 的判断
交叉直线的投影----2
二、一边平行于投影面的直角的投影
1. 投影特性 2. 应用：例题：求点A到水平线BC的距 离
画法几何：第二讲__点、直线、平面的投影
例7：已知线段DE、FG的两个投影d’e’//f’g’， de//fg，判断空间两线段是否平行。
Z
d'
d''
f'
f''
e'
e''
g'
X O
d g
g'' YW
f e
结论：空间两 直线不平行。
YH
判断两直线是否平行：
对于一般位置直线，若两直线的两个同面 投影互相平行，即可判定该两直线在空间必定 相互平行。
b
ac
H
例6：已知直线AB和点K的投影，判断点K是否属于线 段AB
解法1 a' k'
Z a'' k''
b' X
O
a
k b
H
b'' YW
结论：K AB
解法2
X
a' k'
b' O
a k0
k
b0
b
结论：K AB
三、 两直线的相对位置
平行二直线 相交二直线 交叉二直线（异面）
1. 平行二直线
A
C
空间两直线
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
例1：已知点A的正面与侧面投影，求点A的水平投影。
Y
a’
a’’
X
O
YW
a YH
3. 点的投影与坐标
Z a’
V a'
aZ
y
zA
a''
、X
aX
xO W
ya
第二讲-投影体系和基本视图
Z
a'
b' Z
b'
a''(b'')
A
B
W a''(b'')
x
X
0
o
YW
a
a
b
Y
b
YH
• 与直线垂直旳投影面上旳投影积聚成一点。 • 在另外两个投影面上旳投影平行于相应旳投影轴反应真长。
例题2-6：鉴定直线AB、CD旳名称。
a’ X
c’ b’
OX
a
b
c
d’ O
d
2.3.2.4 两直线旳相对位置
（1）平行两直线 （2）相交两直线 （3）交叉两直线 （4）交叉两直线重影点旳可见性鉴别
S
平面P称为投影面，S称为投射中心，
需作出点ABC在平面P上旳图象。
将S与A连成直线，作出SA与平面 P旳交点a ，即为点A旳图象。直线SA 称为投射线，点a称为点A旳投影，这 种产生图象旳措施称为投影法。
A
C
B
a
c
b 投影面 P
投影法分为两类：中心投影法和平行投影法。
（1）中心投影法
前例即是中心投影法，即投射线都从投射中心出发旳，所 得旳投影称为中心投影。
C
Ac
B D
o
a
k
b
d
鉴别措施：
交点是两直线 旳共有点
d’ b’
k’
a’
x c’
o
c b
k a
d
若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点旳
投影必符合空间一点旳投影规律。
例2-9：过C点作水平线CD与AB相交。
直线的投影
V a′ α a
b′ B A α
△ Z ZA ZB
C O b
H
2、直角三角形法的作图 方法和步骤 用一般位置直线在某 一投影面上的投影作 为直角三角形的底边， 用直线的两端点到该 投影面的距离差为另 一直角边，作出一直 角三角形。此直角三 角形的斜边就是空间 线段的真实长度，而 斜边与底边的夹角就 是空间线段对该投影 面的倾角。
a′ c′ k′ d′ X c a a d K0 b D0 a d YH b′ O X c b a′ c′ b′ d′ O Z c″ b″ a″ d″ YW
3、 两直线交叉 两直线既不平行 又不相交，称为交叉 两直线。 （1）特性：若空间两直 线交叉，则它们的各 组同面投影必不同时 平行，或者它们的各 同面投影虽然相交， 但其交点不符合点的 投影规律。
a′ e′ c′ f′ d′ b′
X
c e(f) d b
O
a
（2）判定空间交叉两 直线的相对位置 空间交叉两直线 的投影的交点，实际 上是空间两点的投影 重合点。利用重影点 和可见性，可以很方 便地判别两直线在空 间的位置。
c′ m′ k′l′ ( ) a′ n′ b′
d′
O d
X
l
a c m(n) k
V a′ A X a
b′ B c′ C b c D O d X a d′ a′
b′ d′ c′ O c b d
H
（2）判定两直线是否平行 Z e″ e′ 如果两直线处于一 g″ g′ 般位置时，则只需观察 f″ 两直线中的任何两组同 f′ 面投影是否互相平行即 h″ h′ YW X 可判定。 O e 当两平行直线平行 h 于某一投影面时，则需 g 观察两直线在所平行的 那个投影面上的投影是 f YH 否互相平行才能确定。
《机械制图》两直线的相对位置
机械制图
MECHANICAL DRAWING
目录
CONTENTS
两直线的相对位置
两直线的相对位置
一、平行两直线
若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同面投 影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
B
A
D
C
a
b c
d
3
两直线的相对位置 一、平行两直线
平行于某一投影面的两条直线是否平行的判断： 如果两条直线同时平行于某一投影面，必须看 两条直线所平行的那个投影面上的投影平行与否，才能最后确定这两条直线在空间是否互相平行。
7
两直线的相对位置 三、交叉两直线
两直线既不平行也不相交，称两直线交叉 。
8
两直线的相对位置
三、交叉两直线
➢ 交叉两直线可能有一组或二组同面投影 互相平行,但决不可能三组同面投影都 互相平行。
➢ 交叉两直线的同面投影，可能有一组、 二组或三组同面投影都相交，但它们交 点的投影一定不符合点的投影规律。
6
两直线的相对位置
二、相交两直线
在空间两条直线是否相交要区分情况： （1）对于两条一般位置直线，只要根据其任意两组投影，就可确定这两条直线在空间是否相交。 （2）当两条直线中有一条是投影面平行线时，则要看两条直线在三个投影面上的投影交点是否符合 点的投影规律，才能确定两直线是否相交。
两条直线中有一条是投影 面平行线时，两直线是否 相交的判断
➢ 实际上，交叉两直线同面投影的交点是 空间两直线上的对该投影面的一对重影 点。
9
a X
a
1(2) c
2 1 c
d b
b d
两直线的相对位置
三、交叉两直线
MECHANICAL DRAWING
目录
CONTENTS
两直线的相对位置
两直线的相对位置
一、平行两直线
若空间两直线相互平行，则它们的同面投影必然相互平行。反之，如果两直线的各个同面投 影相互平行，则此两直线在空间也一定相互平行。
B
A
D
C
a
b c
d
3
两直线的相对位置 一、平行两直线
平行于某一投影面的两条直线是否平行的判断： 如果两条直线同时平行于某一投影面，必须看 两条直线所平行的那个投影面上的投影平行与否，才能最后确定这两条直线在空间是否互相平行。
7
两直线的相对位置 三、交叉两直线
两直线既不平行也不相交，称两直线交叉 。
8
两直线的相对位置
三、交叉两直线
➢ 交叉两直线可能有一组或二组同面投影 互相平行,但决不可能三组同面投影都 互相平行。
➢ 交叉两直线的同面投影，可能有一组、 二组或三组同面投影都相交，但它们交 点的投影一定不符合点的投影规律。
6
两直线的相对位置
二、相交两直线
在空间两条直线是否相交要区分情况： （1）对于两条一般位置直线，只要根据其任意两组投影，就可确定这两条直线在空间是否相交。 （2）当两条直线中有一条是投影面平行线时，则要看两条直线在三个投影面上的投影交点是否符合 点的投影规律，才能确定两直线是否相交。
两条直线中有一条是投影 面平行线时，两直线是否 相交的判断
➢ 实际上，交叉两直线同面投影的交点是 空间两直线上的对该投影面的一对重影 点。
9
a X
a
1(2) c
2 1 c
d b
b d
两直线的相对位置
三、交叉两直线
直线的投影
2.投影面垂直线
正垂线
立 体 及 其 三 视 图
投 影 轴 测 图
直 线 投 影 图
直线的投影
铅垂线
侧垂线
投影特性： 在所垂直的
投影面上的投影 积聚为一点；
另外两个投 影反映实长，且 垂直于相应的轴。
直线的投影 二、直线对投影面的各种相对位置及投影特性
3.一般位置直线 对三个投影面都是倾斜的直线称为一般位置直线。
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
ΔABD为直角三角形，
其中AB为实长，AD=ab，α
为AB对H面的倾角，BD=Bb-
Db=b＇bX- a＇aX=ΔZ（直 线段AB两端点的Z坐标差）。
D
因此，已知ＡＢ投影，可以
通过ab和ΔZ作辅助直角三
角形求出AB及α角。
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
用直角三角形法求一般位置直线的真长和倾角。
D
直线的投影 三、用直角三角形法求直线的真长及对投影面的倾角
特殊位置直线在三面投影中能直接显示其真长及对投影面的倾角，而一般位 置直线则不能。
在两直线交叉垂直时，也同样具有上述特性。
直线的投影 六、一边平行于投影面的直角的投影
例5: 如图a所示，求点A到直线BC的距离AK。
分析：由图可知BC∥V面，而AK⊥BC，故根据直 角投影定理可得：a′k′⊥b′c′。
图a
用直角三角形法求AK的实长
投影。投影用粗实线绘制。
直线的投影
第二讲：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)解读
点（ab积聚成一点） ； 2、在其它两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于 OX轴、OY轴。（ab = ab = AB；a bOX ；a b
OYW ）
2018/12/28 8
垂直线的投影特性： 投影面垂直线
1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点； V V
2018/12/28 5
投影面平行线的投影特性：
V
投影面平行线 1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。
a' a" 该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的 b' a' A a" 倾角； A b" 2、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴， a B a b 侧 且小于实长。 b 水 平 a z 平 Z a b a b 线 线 B b" b'
铅 垂 b 线 X a b YW
b
a
b
O YH
c 侧 垂 线 X c
d 水 平 线 Z c X d O YH c d YW
O d
解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。
例2：已知AB为水平线，补画a’b’。
b’
解题思路： 熟悉水平线的投 影特性，明确正面投 影平行于投影轴。
2、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂 b" B b" a" A B a" A 直于相应的投影轴。
正 垂 线
X b
a b YH
9
a'b'
a'
b'
b a
a'b' O Z b" a" YW
侧 垂 线
X
a
Z
OYW ）
2018/12/28 8
垂直线的投影特性： 投影面垂直线
1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点； V V
2018/12/28 5
投影面平行线的投影特性：
V
投影面平行线 1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。
a' a" 该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的 b' a' A a" 倾角； A b" 2、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴， a B a b 侧 且小于实长。 b 水 平 a z 平 Z a b a b 线 线 B b" b'
铅 垂 b 线 X a b YW
b
a
b
O YH
c 侧 垂 线 X c
d 水 平 线 Z c X d O YH c d YW
O d
解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。
例2：已知AB为水平线，补画a’b’。
b’
解题思路： 熟悉水平线的投 影特性，明确正面投 影平行于投影轴。
2、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂 b" B b" a" A B a" A 直于相应的投影轴。
正 垂 线
X b
a b YH
9
a'b'
a'
b'
b a
a'b' O Z b" a" YW
侧 垂 线
X
a
Z
08根据两直线的投影判别两直线的相对位置
教学重点：
1.特殊位置直线的投影特性。 2.判断两直线的相对位置。
教学难点：
1.根据直线的投影特性判别直线对投影面的相对位置。 2.根据两直线的投影判别两直线的相对位置。
2.3 直线的投影
2.3.1 直线 由平面几何得知，两点确定一条直线，故直线的投影可由直线上两点的投影 确定。 如图2-15所示，分别将两点A，B的同面投影用直线相连，则得到直线AB的投 影。
2.3 直线的投影
图2-27 判断两直线是否交叉
图2-20 求直线上点的投影
图2-21 判断点是否在直线上
2.3 直线的投影
【例2-4】 如图2-22（a）所示，已知侧平线AB及点M的正面投影和水平投 影，判断点M是否在直线AB上。
【解】 判断方法有两种: （1）求出它们的侧面投影。 如图2-22（b）所示，由于m″不在a″b″上，故点M不在直线AB上。 （2）用点分线段成定比的方法判断。 由于am∶mb≠a′m′∶m′b′，故点M不在直线AB上。
判断空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的任意两对同 名投影是否分别平行，如图2-23（b）所示。但是当两平行直线均平行于某一 投影面时，只有当所平行的投影面上的投影平行时才能判断其相互平行。如 图2-24（a）所示（CD，EF为侧平线），虽然cd∥ef，c′d′∥e′f′，但求 出侧面投影（图2-24（b））后，由于c″d″不平行于e″f″，故CD，EF不平 行。在这种情况下，一种方法是求出它们在的平行的投影面上的投影进行判 断;另一种方法是利用平行两直线共面，其投影保持定比的规律进行判断。
图2-22 判断点是否在直线上
2.3 直线的投影
2.3.4 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种:平行、相交和交叉（异面）。 1.两直线平行 若空间两直线相互平行，则其同面投影必相互平行;若两直线的三个同面投 影分别相互平行，则空间两直线必相互平行（图2-23）。
1.特殊位置直线的投影特性。 2.判断两直线的相对位置。
教学难点：
1.根据直线的投影特性判别直线对投影面的相对位置。 2.根据两直线的投影判别两直线的相对位置。
2.3 直线的投影
2.3.1 直线 由平面几何得知，两点确定一条直线，故直线的投影可由直线上两点的投影 确定。 如图2-15所示，分别将两点A，B的同面投影用直线相连，则得到直线AB的投 影。
2.3 直线的投影
图2-27 判断两直线是否交叉
图2-20 求直线上点的投影
图2-21 判断点是否在直线上
2.3 直线的投影
【例2-4】 如图2-22（a）所示，已知侧平线AB及点M的正面投影和水平投 影，判断点M是否在直线AB上。
【解】 判断方法有两种: （1）求出它们的侧面投影。 如图2-22（b）所示，由于m″不在a″b″上，故点M不在直线AB上。 （2）用点分线段成定比的方法判断。 由于am∶mb≠a′m′∶m′b′，故点M不在直线AB上。
判断空间两直线是否平行，一般情况下，只需判断两直线的任意两对同 名投影是否分别平行，如图2-23（b）所示。但是当两平行直线均平行于某一 投影面时，只有当所平行的投影面上的投影平行时才能判断其相互平行。如 图2-24（a）所示（CD，EF为侧平线），虽然cd∥ef，c′d′∥e′f′，但求 出侧面投影（图2-24（b））后，由于c″d″不平行于e″f″，故CD，EF不平 行。在这种情况下，一种方法是求出它们在的平行的投影面上的投影进行判 断;另一种方法是利用平行两直线共面，其投影保持定比的规律进行判断。
图2-22 判断点是否在直线上
2.3 直线的投影
2.3.4 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种:平行、相交和交叉（异面）。 1.两直线平行 若空间两直线相互平行，则其同面投影必相互平行;若两直线的三个同面投 影分别相互平行，则空间两直线必相互平行（图2-23）。
直线的投影
b 1 (3)4 2 d C 2 1 3 B
4
D
X
A c a 3 1(2) b
O
4
d
例题： 判断两直线重影点的可见性 c b 1 3(4)
2
a X 4
d
b d
c
a 1(2)
3
五、直角投影定理
直角投影定理：空间互相垂直的两直线中，若有一直线平 行于某一投影面，则两直线在该 投影面中的投影仍然相互 垂直。
b a
AB为水平线 CD为侧平线
四、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉 （异面）。 1、两直线平行 V
d c a C
A a c
b B D
X
c
d
a a
b
O
d
b
H
c
b
d
空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行，反之 亦然。
例：判断图中两条直线是否平行。
b
a
K’
b
m
重点掌握： ★点与直线的投影特性，尤其是特 殊位置直线的投影特性。 ★点与直线及两直线的相对位置的判断 方法及投影特性。 ★定比定理。
★直角定理，即两直线垂直时的投影特性。
小
一、各种位置直线的投影特性 ⒈ 一般位置直线
结
三个投影与各投影轴都倾斜。 ⒉ 投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相 应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。 ⒊ 投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个 投影反映实长且垂直于相应的投影轴。
a k ●
b a k● b a
●
k
b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
工程制图4(直线的投影)
本节回顾
• 直线的投影
– 直线投影的定义，直线实长及其与各投影面夹 角的求法
– 直线投影和点投影的关系 – 各种位置直线的投影 – 两直线的相对位置
• 作业
– 习题集17-20页
3-2 直线的投影
一、直线的投影图 二、各种位置直线的投影 三、直线上点的投影 四、两直线的相对位置
一、直线的投影图 z
b’ b”
a’
a”
X
o
YW
b
a
YH
两点决定一条直线。因此，直线直线的的投投影影图可以由直 线上任意两个点的投影来决定。
1. 直线对一个投影面的投影特性
A
B
B
M
A
B
α
A
b
b
a(b)(m) H
b’
c’
Z坐标差
a’
a c
C0
b
三、直线上点的投影
1. 从属性。若点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的 同面投影上，并且符合空间一点的投影特性。
2. 定比性。若点在直线上，则点分线段之比等于其投影之比。
AC:CB= ac:cb = a’c’:c’b’ = a”c”:c”b”
b’
z
b”
c’
c”
例6 已知AB∥V面，试过点C作一直线CD与AB垂 直相交。
b’
d’
a’
X
a
d
直线CD与正平线AB所成的 直角正面投影上反映直角。
c’ b
c
例7 求两直线AB、CD的公垂线。
公垂线MN是水平
D N
线 c’
A
n’ d’
a’ m’
M
C
BX
直线投影知识与直角投影定理教案
课题：1、直线上点的投影2、两直线的相对位置3、直角投影定理课堂类型：讲授教学目的：1、讲解直线上点的投影特性2、讲解两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特点3、讲解用直角投影定理教学要求：1、理解并掌握直线投影的定比性的解题方法2、会根据两直线的投影判断它们的相对位置，并熟练掌握两直线平行、相交的作图问题3、理解并掌握直角投影定理的特点和解题思路教学重点：1、两直线各种相对位置（平行、相交、交叉）的投影特点2、直角投影定理教学难点：利用直角投影定理图解空间几何问题教具：自制的三投影面体系模型教学方法：例题辅助讲解教学过程：一、复习旧课1、三种位置直线（包括七种类型）的投影特性。
尤其注意：实长和倾角的判断。
2、用直角三角形法求一般位置直线的实长及其对各投影面倾角的方法和步骤。
二、引入新课题上次课我们学习了三种位置直线的投影特性，本次课我们继续学习空间直线的其他投影特性。
三、教学内容（一）直线上点的投影1、直线上点的投影点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，反之，若一个点的各个投影都在直线的同面投影上，则该点必定在直线上。
举例：如图2－27所示直线AB上有一点C，则C点的三面投影c、c′、c″必定分别在该直线AB的同面投影ab、a′b′、a″b″上。
（a）（b）图2－27 直线上点的投影2、直线投影的定比性直线上的点分割线段之比等于其投影之比，这称为直线投影的定比性。
在图2－27中，点C在线段AB上，它把线段AB分成AC和CB两段。
根据直线投影的定比性，AC：CB = ac：cb = a′c′：c′b′ = a″c″：c″b″。
3、讲解例题（例2－6）如图2－28（a），已知侧平线AB的两投影和直线上K点的正面投影k′，求K点的水平投影k。
（a）题目（b）解法1 （c）解法2图2—28 求直线上点的投影（二）两直线的相对位置两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况。
1、两直线平行（1）特性若空间两直线平行，则它们的各同面投影必定互相平行。
直线投影学习
B
A b
a
b a
证明：设
C
因
直角边BC//H面 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb
所以 BC⊥ABba平面
c
又因 BC∥bc
H
故 bc ⊥ABba平面
c
因此 bc⊥ab
即 ∠abc 为直角
b a
c
直线在H面上的投影互 相垂直
第23页/共30页
交叉垂直的两直线的投影
第24页/共30页
直角投影定理
条件：①互相垂直的两直线(相交或交叉) ②其中有一条直线平行于某一投影面 则：两直线在该投影面上投影仍互相垂直
c′ a′
X
c
O
b
b″ c″
a″
Y
a
Y
◆若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影上。
◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段相同 的比例。即：
AC:CB=ac:cb=ac:cb=ac:cb
第11页/共30页
定比定理
点在直线上的判别方法：
◆若点在直线上, 则点的 投影必在直线的同名投 影上。并将线段的同名
侧垂线
Z
a
a
b
ab
A
B
X
X
a
a
bY
Z b
ab
O
YW
b YH
第8页/共30页
(2) 投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a c(d)
d c
e
f
e(f)
●
●
b
●
a(b)
b d
c
e
f
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
画法几何直线投影全解
检验点C、F、I、L是否在直线AB、DE、GH、JK上
a’
d’
g’ (h’)
j’
c’
b’ f’
i’
l’
X
e’
k’
O
b
h
j
c a
dfe
i
l
g
k
点C在直线AB上 点F在直线DE上
点I不在直线GH上 点L不在直线JK上
【例题】判定下题中，点K是否在直线AB上？
方法一：从属性
k′
a′
X
a
k
Z b′
a″
O
|yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
Z
b
Z
b′
a〞
B b
a′
b〞
a
X
O
YW
X
O
b
b
A
a
a
Y
a
YH
|xA-xB|
【例题】如图所示，求直线AB的真长及其对
投影面H、V的倾角 、
方法一：
△y=ab
a′
a0
△z
b′ X
O
a
b
方法二：
a′
b′ X
a
Z a″
O
AB真 长
b″ YW
b
YH
X
O
a c c0
d
d0
b0
b
CD 点点 在不 直在 线直 A线 BA 上B
上
【例题】试在直线AB上确定一点C，使 AC:CB=2:3，求C点的两面投影。
b′
C′
a′
X
O
a c
b
【例题】如图所示，已知直线AB上的点C距离侧 面W10mm，求C点的两面投影。
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a’ X a
O
b
2018/11/9
12
例3:
过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与 H面的倾角=30°。
Z b’ a’
30°
X
O
解题思路：熟悉正平 b” 线的投影特性，并从 反映实长和的投影 入手。 a” YW 作图要点:１．做正 平线的正面投影；
２．过点a做正平线 的水平投影和侧面投 影。
铅 垂 b 线 X a b YW
b
a
b
O YH
c 侧 垂 线 X c
d 水 平 线 Z c X d O YH c d YW
O d
解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。
例2：已知AB为水平线，补画a’b’。
b’
解题思路： 熟悉水平线的投 影特性，明确正面投 影平行于投影轴。
例 5： 已知直线的一个投影a’b’及实长，求直线的投影ab。
AB
实长
B0
解题思路及步骤——
b’
1.根据直角三角形的组成，利 用a’b’及实长作直角三角形；
O 2 .求出Y坐标差；
X
a’ a b
2018/11/9
3. 利用Y坐标差求ab投影。 思考：若将已知条件实长换 成=30°，则如何解题？
18
直线上的点
直线上点的投影特性——
从属性：若点在直线上， 则点的投影必在直线的同面 投影上，且符合点的投影规 律。反之，亦然。
V a c
C A
b
B
a
c
b H
定比性：若点在直线上，则点的投影分割线 段的同面投影之比与空间点分割线段之比相 等。反之，亦然。 即AC/CB=ac/cb= ac / cb = ac : c b，利用这一特性，在不作侧面投 影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已 知点是否在侧平线上。
B a(b)
b a(b) YH
1、水平投影积聚为一点（ab积聚成一点） ； 2、在其它两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于 OX轴、OY轴。（ab = ab = AB；a bOX ；a b
OYW ）
2018/11/9 8
垂直线的投影特性： 投影面垂直线
1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点； V V
b
X
|yA-yB|
a
O
a b
b
AB
a
|yA-yB|
2018/11/9
15
求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角
b
B
a
b
b a
A a
|xA-xB|
2018/11/9 16
直角三角形法求线段实长 及线段与投影面的倾角
即：直角三角形的组成:斜边－实长
直角边1－投影,直角边2－坐标差, 投影与实长的夹角－倾角。
V
b X O YW X a O
b YW
a
b
b
2018/11/9
YH
YH
6
各种位置直线的投影特性
投影面垂直线
铅垂线（垂直于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面）2018/11/97源自铅垂线—a A b
垂直于水平投影面的直线
a Z a
a
b
X O
b
YW
铅垂线的投影特性：
2、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂 b" B b" a" A B a" A 直于相应的投影轴。
正 垂 线
X b
a b YH
9
a'b'
a'
b'
b a
a'b' O Z b" a" YW
侧 垂 线
X
a
Z
b
a'
b'
b" a" YW
O
a
2018/11/9
YH
各种位置直线的投影特性
一般位置直线（投影面倾斜线）
第二章 点、直线、平面的投影
直线的投影 直角三角形法求线段实长及倾角 直线上的点 两直线的相对位置关系
2018/11/9 1
直线的投影
a’ 两点决定一条直线。 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
分别将两点的同名（同面）投影 b’ 用直线连接，就得到直线的投影。 X
Z
a”
b”
a
O YW
a
b
b
直线对投影面的倾角： 对水平投影面的倾角—— 对正立投影面的倾角—— 对侧立投影面的倾角——
YH
c(d)
各种位置直线的投影特性
直线在三投影面体系中分为：
平行于某一投影面，且 倾斜于另两个投影面
投影面平行线 特殊位置直线
水平线 正平线 侧平线 铅垂线 正垂线 侧垂线
垂直于某一投影面
投影面垂直线 一般位置直线
2018/11/9 5
投影面平行线的投影特性：
V
投影面平行线 1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。
a' a" 该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的 b' a' A a" 倾角； A b" 2、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴， a B a b 侧 且小于实长。 b 水 平 a z 平 Z a b a b 线 线 B b" b'
例6：判断点C是否在线段AB上。
① a’ X
a c c
b O
②
a’
c
●
b’ b X a O c
●
b
点C在直 线AB上
点C不在直 线AB上
20
2018/11/9
例7：判断点K是否在线段AB上。
与三个投影面都倾斜的直线。 b Z
b
a X
a
O
YW
投影特性： 三个投影都是缩短了的倾 斜线段, 都不反映空间线段的 实长及与三个投影面的倾角。
a
b YH
思考：从属于投影面及投影轴的 直线的投影特性是什么？其投影 如何作图？
例1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。
a
侧 平 X 线
Z a O
与三个投影面都倾斜
各种位置直线的投影特性
投影面平行线——
水平线（平行于Ｈ面且…）
正平线（平行于Ｖ面且…） 侧平线（平行于Ｗ面且…）
2018/11/9
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z b a B
实长
b
b
a
a
b
a
A
X
O
YW
正平线的投影特性： 1、正面投影反映直线段的实长。该投影与 OX轴、OZ轴 a b b a 的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。（ a b=AB， YH 反映、角的真实大小）； 2、在H面、W面上的投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且 小于实长。 （ab OX ; a b OZ）
13
a
b YH
2018/11/9
直角三角形法求线段实长及线段与投影面的倾角
AB
|zA-zB| |zA-zB|
ab
|zA-zB |
AB
2018/11/9
AB
|zA-zB|
求直线AB的实长及其对 水平投影面的倾角 角。
14
ab
求直线的实长及对正面投影面的倾角 角
AB
|yA-yB|