工程制图-第三章 直线、平面的相对位置

作图步骤：
1)利用积聚性求直线AA1与P 平面的交点(d,d,d )；
2）利用积聚性求直线AB与P 平面的交点E，其过 程为先求e，
根据e求出e， 再跟据e求出e； 3）用同样的方法 求出F (f, f, f )； 4）顺序连接点D、 E、F 的同面投影， 就可求得P 平面与 三棱柱表面的交线。
[例1]过已知点k，作一条水平线平行于△ABC平面。
步骤：
1）在ABC平面内 作一水平线AD； 2）过点K作 KL∥AD； 3）直线KL 即为所求。
b a′
b′
d′ e′
k′
l′
X
a c d l k
[例2] 试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。
作图步骤：
1）作cm∥ab ； 2）根据CM在平面 SCF内，作出cm； 3）由于cm不平 行于ab，即在该 平面内作不出与 AB平行的直线， 所以，直线AB不 平行于四棱锥侧 表面SCF。
图(b)所示的平面ABC为一般位置平面，求 点S到平面的距离时，应先把点S和ABC平面作 一次换面，使平面ABC在新的投影体系中为投 影面垂直面，再由点S向平面ABC作垂线，则 垂足L和点S的连线SL即为所求点S到平面ABC 的距离。
作图步骤：
1）在ABC 平面上作水平线CD( cd , c d ) ； 2）取X1轴垂直于cd，在V1投影面上求出s1 和 a1 b1 c1(积聚为一直线）； 3）自s1引a1 b1 c1 的垂线与之相交于l1 ，则s1 l1 即为所求距离的实长； 4）自s 作X1的平行线，并在其上根据l1 求出l ； 5）用取面上点的方法求出l ，则线段SL(sl ,s l ) 即为所求点到平面的距离。
⑴ 平面为特殊位置
[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。 空间及投影分析
平面ABC 是一正垂面， 其V 投影积聚成一条直线， 该直线与mn 的交点即为K 点的V 投影。
作
图
1)求交点。 2)判别可见性。 由V投影可知，km 段在平面 上方，故H投影上km为可见。 还可通过重影点判别可见性。
[例7]已知三棱锥SABC 被铅垂面Q 切去一角， 试完成其主、左视图。 解：平面Q为铅垂面，只
需利用积聚性求得Q 平面 与三棱锥三条棱边SA 、 AB、AC的交点D、E、F， 然后将其顺序连接即可。
作图步骤：
1)求D、E、F得H投影d、e、f； 2)由d、e、f求出d、e、f ； 3)由e、f求出e、f ； 4)由d求出d ； 5)顺序连接D、E、F的同面投影即可。
[例5]求一般位置直线ABC与正垂面P 的交线。 解：P 平面为正垂面， 可以利用PV 的积聚 性，直接求出交线 的V 投影m n，再由 m n 求得mn。 由于P 平面是用 Байду номын сангаас线表示的平面， 故不需要判断其可 见性。
［例6］求证垂面P与三棱柱表面的交线。
解:求P 平面与三棱 柱表面的交线，只 需要利用积聚性求 出三条棱边AA1、 AB、AC 和P 平面 的交点D、E、F， 然后将交点顺次连 接即可。
§3
综合举例
本节给出了用换面法解决一些较复杂的 相对位置问题的一些例子。
[例1]求点M与直线AB之间的距离。 m a X a m b
b
解：由图可见，求点 M 与 直线AB 间的距离，应由点 向直线AB引垂线，交AB于 K点，则线段MK 即为点M 与直线AB 间的距离。 当直线AB垂直于某 一投影面时，则线段MK必 平行于该投影面，且在该 投影面上的投影反映实长。
2.1.2 一般位置直线与一般位置平面相交 一般位置直线与一般位置平面相交， 其投影都没积聚性，则采用换面法： 将一般位置直线或平面变成投影面的 垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用 积聚性直接求得交点的投影。然后利用所 得交点的投影返回到原体系当中，即可求 的平面与直线的交点。
［例3］求一般位置直线MN与一般位置平面ABC的交点。 解：根据上述分析，应采 用换面法将平面ABC变换 成投影面垂直面，这样就 可以在新的投影体系中直 接求得交点的投影。 作图步骤： 1）在平面ABC上作水平 线AD(ad,a d ); 2）作X1轴垂直于ad; 3）求出直线MN和平面 ABC在V1投影面上的新 投影m1 n1和a1 b1 c1 ；
第三章 直线、平面的相对位置
本章讨论直线与平面、平面与平面的 相对位置关系及其投影，包括以下内容：
1)平行关系：直线与平面平行， 两平面平行。 2)相交关系：直线与平面相交， 两平面相交。
§1
1.1
平行关系
直线与平面平行
定理:
若一直线平行于平面上的某一直线， 则该直线与此平面必相互平行。
由于ef∥ad，e f ∥a d ，即 EF∥AD，且AD是ABC平面上的一直线，所 以，直线EF平行于ABC平面。
⑵ 直线为特殊位置
空间及投影分析:
b k ● a
●
m
直线MN为铅垂 线，其水平投影积聚成 一个点，故交点K 的水 平投影也积聚在该点上。
c
n b
1 (2)
作 图:
1) 求交点 2) 判别可见性
用面上取点法
X
k● 2 M (n)
●
通过重影点判别可见性
c
a
1
点Ⅰ位于平面上，在前； 点Ⅱ位于MN上，在后。 故k 2为不可见。
两平面相交
2.2.1 一般位置平面与特殊位置平面相交
在两平面之一有积聚性的情况下， 可以在没有积聚性的那个平面上取两 条直线，分别求这两条直线与有积聚 性的那个平面的交点，则这两个交点 的连线就是两平面的交线。
［例4］求一般位置平面ABC与铅垂面DEF的交线。
解：由图可见，只要求出△ABC上的两条直线AB、AC 和△DEF 的交点M、N ，就可以求得两平面的交线。
作图步骤：
1）过K点作平面KFG平行于平面CDE(KF∥CE, KG∥CD)；
2）用换面法求直线AB与平面KFG的交点S；
［例4］过点K 作一条直线，使其与平面CDE 平行，并与直线AB 相交。
解:过定点K作一条直线平行于已知平面CDE，有
无穷多解，这些直线的轨迹为一个过点K且平行于 CDE的平面Q 。所作的直线还应与直线AB相交， 而Q平面与直线AB只有一个公共点，即直线AB与 平面Q 的交点S。因此KS 即为所求直线。
4）求出m1 n1和a1 b1 c1 的交点k1 ；
5）根据k1求出k，再由k 求出k，则点K(k,k )就是 直线MN与平面ABC的交 点； 6）取H面的重影点1、2 判断直线MN 的H 投影 的可见性。
7）取V面的重影点3、4 判断直线MN 的V 投影的 可见性。
2.2
作图步骤：
1)利用积聚性求AB与△DEF的交点M (m,m )； 2)利用积聚性求AC与△DEF的交点N (n,n )； 3)连接MN (mn,m n )就可得到两平面的交线； 4)取直线AB和DF在V面上的重影点1 (2)， 分辨可见性： 由图可见，点1在点2的前面，故b m为可 见，为m l 不可见。由于过重影点的两线段的 投影之可见性必不相同，因此可以确定其他各 边的可见性。
作图步骤：
1）更换V面，作轴X1平行于ab，求出两平面在新的投影体 系中的投影a1 b1 c1和a1 b1 d1，此时，交线AB平行于V1 面；
2）更换H面，作轴X2垂直于a1 b1，求出两平面在新的投 影体系中的投影a2b2c2和a2b2d2，此时交线AB垂直于H2面， c2a2d2 即为所求两平面夹角 的真实大小。
直线EF为正垂线时
［例1］求直线MN 与铅垂面P 的交点。
解:平面P为铅垂
面，PH有积聚性， 故mn与PH的交点k 即为交点K 的H 投 影。
由于交点K必在直 线MN上，故可用 在直线上取点的方 法，由k求出k。 规定：在求用迹线表
示的平面的交点和交线 时，不必分辨可见性。
k
k
［例2］求直线MN与四棱柱表面ABCD和ABEF的交点。 解：ABCD为水平面，其V投 影有积聚性；ABEF为铅垂面， 其H投影有积聚性，故本题可 用平面的积聚性求解。 作图步骤： 1）求mn 与abcd 的交点k ； 2）根据k，在mn上求得点k， 则点K(k,k )就是MN与ABCD 的交点； 3）求mn与abef的交点l ； 4）根据l，在mn上求得点l， 则点L(l,l )就是MN与ABEF的 交点； 5）因直线MN穿通四棱柱，所 以线段KL之间部分的投影均为 不可见。
解:将平面ABC变换成 投影面垂直面，即可求 得交线的一个投影。
作图步骤：
1)在平面ABC上作水 平线AN(an,a n )； 2)作X1轴垂直于an； 3)求出△ABC和△DEF 在V1面上的新投影 a1 b1 c1 和 d1 e1 f1 ；
4）求出a1 b1 c1 和d1 e1 f1 的交线k1 l1 ； 5）根据k 1 l 1 求出kl， 再根据kl 求出k l ，则 直线 KL(kl, k l ) 就是 两平面的交线； 6）利用V1投影直接 判断H 投影的可见性； 利用重影点1 ,2 和 3, 4 判断投影的可见性。
作图步骤：
1）作KL∥BC (kl∥bc, kl∥bc); 2）作KD∥AC (kd∥ac,kd∥ac); 3）平面KDL即为所求。
X d
l a k
b
c b
l k a d
c
§2
2.1
相交关系
直线与平面相交 利用积聚性求交点
2.1.1
当平面或直线的投影有积聚性 时，交点的两个投影中有一个可直 接确定，另一个投影可用在直线上 或平面上取点的方法求出。
［例3］求平面ABC和平面ABD间的夹角。
解:由图(a)可见，当两平面同时垂直于某投影面时，这两
个平面在此投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。 要使两平面同时变换为投影面垂直面，只需将它们的交线 变换为投影面垂直线即可。 图(b)中，平面ABC和ABD的交线AB为一般位置直线， 因此需要两次换面，才能使交线AB变换为投影面垂直线。
b
X1 H V1
a1 k1 (b1)
m1
[例2] 求点S 到平面ABC 的距离。
解：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂 线，求出该垂线与平面相交的的垂足，则该点 到垂足的距离，即为所求点到平面的距离。如 图(a)可见，当平面垂直于某一投影面时，则由 点M向平面所作的垂线MK为该投影面的平行 线，且在该投影面上的投影反映实长。
2.2.2
两个一般位置平面相交
两一般位置平面的投影都没有积 聚性，所以其交线不能直接求出。解 决此类问题的思路是采用换面法，将 两相交平面之一变换为投影面垂直面， 这样就可以利用积聚性在新的投影体 系中直接求得交线的一个投影，然后 将其返回原投影体系中，即可求得两 平面的交线。
[例8]求两一般位置平面ABC 和DEF 的交线。
1.2
平面与平面平行
两平面相平行的条件是：如果一平面上的两 条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直 线，则此两平面平行。
因为：AB∥DE，BC∥EF ， 所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。
［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两 条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。
图所示直线AB为水平线，若求点M到直线AB的 距离，应进行一次投影换面，将直线AB变换为投影 面垂直线，则在新的投影体系中，即可求出点M与 直线AB 之间的距离的实长。将其返回原投影体系 中，就可求出距离的投影。
m
A
a b K B m b M
X
m a
作图步骤：
1)取新投影轴X1垂直于ab，求出点M与直线AB的新 投影m1 和a1 b1 ; 2)由点M向直线AB作垂 线，与直线AB相交于点 K，点K在新投影体系中 的投影k1 与a1 b1 重合， a 连接m1 k1 即为所求距 X 离的实长； 3)自m引直线平行于X1轴， a 与ab相交于k ； 4)由k求出k ，则可求 得点M与直线AB的距离 MK (mk, m k )。 m k m k b