工程制图-第三章 直线、平面的相对位置
工程制图第3章 点、直线和平面的投影
β
SH
O
α
Y
H
YH
V
a
A
a
b c
B
b
H
水平面
a
b a W c
C
a
c
b c
b c
b a c
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
V b
正平面
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示 Z
SH
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b
工程制图 2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
通过重影点判别可见性。
●
例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。
b B K A m m a
2 ●
●
n
a
1(2)
●
k ●
c c
●
N
C
M 2
m
c
1 a
n H
k 1 b
b k
n
2、直线为特殊位置
m b k a n b k● 2 m(n)
● ●
c
●
1(2)
●
c
●
kHale Waihona Puke 1(2) A N Cb
k m (n) c H
●
c
a
a
1
3、一般位置直线与一般位置平面相交
一般位置直线与一般位置平面相交
辅助平面法：过直线作一特殊位置的平面， 先求两平面的交线， 再求交线与已知直线的交点， 此交点即为直线与平面的交点。
PV a’ d’ m’ k’ c’ n’ e’ d n c
1、平面为特殊位置 例：求直线MN与平面ABC的交点K，并判别可见性。 空间及投影分析 b n 平面ABC是一铅垂面， 其水平投影积聚成一条直 k 1(2) 线，该直线与mn的交点即 a ● 为K点的水平投影。 c m 作 图 ① 求交点 m ●2 c ② 判别可见性 ● 由水平投影可知，KN b k 1 a n 段在平面前，故正面投 影上kn为可见。
有无数解
b
n a
●
mc
例2：过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b cm
●
n
a
a b
c
唯一解
●
m
n
例 3
不平行
机械制图(工程图学)第三章 直线与平面、平面与平面
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
工程制图—23直线平面与平面的相对位置平行问题相交问题
b
c d a
c
a
d
b
b d
a c
e
d
b
ac
e
e f
f e
f h
h f
例题1 试判断两平面是否平行
a
f
s
b
n
r
e
m c
c m
d
n a d
e s
r
f
b
结论：两平面平行
例题2 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试
过点K作一平面平行于已知平面 。
a
s
d
f
k
e
m
n
b
c
r
c
b m
r n
d
f
a
e k
s
二、相交问题
V M
m
k
P
c
f
l
B
K
m C
c PH
F Nk
fb n
L
a l
a
n
m
kb a
f
l
c
H
n
⑵
b
e m f ●
a
e
b
●m
a
f
空间及投影分析
●n●1 ● 2
h
平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef
的交点m 、 b c与f h的交点
c n即为两个共有点的正面投影，
故mn即MN的正面投影。
作图
b
n
空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，
k
a
1(2) ●
●
m
其水平投影积聚成一条直 线，该直线与mn的交点即 c 为K点的水平投影。
工程制图 第三章
属于直线的点
它的三个投影分别属于直线的三个投影。 点分线段之比投影后保持不变。
AC a c ac CB c b cb
证明：投影面平行线的投影是否反映实长
ab AB cos
当
90 时,
B A
AB P
当
ab 0
投影积聚一点
B1 a b P
0 时， AB // P ab AB
三、点的三面投影的投影规律
1.点的V、H投影连线垂直于OX轴，即
a a OX
2.点的V、W投影连线垂直于OZ轴，即 a a OZ 3.点的H投影到OX轴的距离等于点的W投影到OZ轴的距离，即 aax a a z
四、空间两点的相对位置可利用它们在投影图中各组同名投影 (同面投影)来判断
作图步骤 判别可见性
作图步骤
迹线表示平面
几何元素表示平面
判别可见性
2、一般位置平面与特殊位置平面相交
作图步骤 判别可见性
作图步骤
判别可见性
3、两投影面垂直面相交
m
n
X
O
RH
m( n)
QH
4、直线为特殊位置
1
m(n) 2
3
n
1
2(3)
m
1、直线与一般位置平面相交
求作交线的步骤： 1.含直线DE 作辅助平面
名称
正平面
水平面
正垂面
铅垂面
立 体 图
轨 迹
投 影 图
过直线EF，作铅垂面和正垂面
PV
铅垂面S
正垂面P
一般位置平面
投影特性: (1) 三个投影 均为的类似形 (2) 投影图不反映a、、 的真实角度
哈工大工程制图作业答案
3-4 已知 ABC平行于 DEFG，作出其水平投影。
′
(2) 过直线AB作一平面△ABC∥DE。
′
c
′
′
′
′
′
′ ′
′
′
′
c
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
3-5 △ABC平行于△DEF，点M属于△ABC，作出其正面投影。 3-6 判别已知两平面是否平行。
a
′
c ′ ′
b
′
′ ′
′
′
′
′
e′
′
′
′
′
c′′
b a′′
e
d′ c′
′ ′
d
c
30
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
3-31 在△ABC内求作一直线与MN垂直相交。
3-32 AB为一直角边作直角△ABC,斜边AC为水平线,∠C为60 。
′
′
l′
′
k′
′
′
l
k
′
′
c
c
bc
30
AC
49
第四章 投影变换
习题 4-1 习题 4-4 习题 4-7
′
′
′
′
′
第三章 直线与平面、平面与平面的相对位置
习题 3-1,2 习题 3-7,8 习题 3-13,14 习题 3-19,20 习题 3-25,26 习题 3-31,32
习题 3-3,4 习题 3-9,10 习题 3-15,16 习题 3-21,22 习题 3-27,28
习题 3-5,6 习题 3-11,12 习题 3-17,18 习题 3-23,24 习题 3-29,30
工程制图 03空间点、直线和平面的投影分析
1.15
第3章 空间点、直线和平面的投影分析 章 空间点、
3.2 空间直线的投影分析
(a) 图3.5 直线的投影
1.16
(b)
第3章 空间点、直线和平面的投影分析 章 空间点、
3.2 空间直线的投影分析
3.2.2 直线相对于投影面的位置及其投影特性
直线与投影面的相对位置有3种 投影面平行线、 直线与投影面的相对位置有 种：投影面平行线、投影面垂直线和 一般位置直线。前两种直线又统称为特殊位置直线。 一般位置直线。前两种直线又统称为特殊位置直线。 直线和它在投影平面上的正投影之间所成的锐角称为此直线对该平 面的倾角。本书约定：直线与H、 、 三投影面所成的角分别用 面的倾角。本书约定：直线与 、 V、W三投影面所成的角分别用 ，，表示 如图3.6(a)所示。当直线平行于投影面时，倾角为 °； 表示， 所示。 ，，表示，如图 所示 当直线平行于投影面时，倾角为0° 垂直于投影面时为90° 倾斜于投影面时，则倾角在0° 垂直于投影面时为 °；倾斜于投影面时，则倾角在 °和90°之 ° 间。 1. 一般位置直线 一般位置直线对投影面V、 、 均为倾斜 均为倾斜， 一般位置直线对投影面 、 H、W均为倾斜， 两端点的坐标差都不 等于零。如图3.6(a)所示的直线 ，由此可得一般位置直线的投影 所示的直线AB， 等于零。如图 所示的直线 特性。 特性。
1.14
第3章 空间点、直线和平面的投影分析 章 空间点、
3.2 空间直线的投影分析
3.2.1 直线的表示法
如已知两点A(xA，yA，zA)和B(xB，yB，zB)的空间位置，可首先绘出该两 的空间位置， 如已知两点 和 的空间位置 点的三面投影，如图3.5(a)所示，然后将两点的同面投影相连，即可得直 所示， 点的三面投影，如图 所示 然后将两点的同面投影相连， 线的三面投影，如图3.5(b)所示。由此也可得出结论：在一般情况下， 所示。 线的三面投影，如图 所示 由此也可得出结论：在一般情况下， 直线的投影仍是直线(不变性 不变性)。 直线的投影仍是直线 不变性 。而当直线上两点为某一投影面上的重影 点时，直线即垂直于该投影面，直线在该投影面上会积聚为一点(积聚性 点时，直线即垂直于该投影面，直线在该投影面上会积聚为一点 积聚性 )。 。
工程制图第三章-点、直线、平面投影
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
工程制图第三章知识点
⼯程制图第三章知识点第三章⼀、点的投影两点的相对位置 :X 坐标值⼤的点在左; Y 坐标值⼤的点在前; Z 坐标值⼤的点在上。
⼆、直线的投影1、各种位置直线的投影特性(1 投影⾯平⾏直线:在平⾏的投影⾯上的投影,反映实长;投影与投影轴的夹⾓分别反映直线与另两个投影⾯的真实倾⾓; 在另两个投影⾯上的投影, 平⾏于相应的投影轴,长度缩短。
(2 投影⾯垂直直线:在直线垂直的投影⾯上的投影积聚成⼀点; 在另两个投影⾯上的投影,平⾏于相应的投影轴,反映实长。
(3 ⼀般位置直线:三个投影⾯上的投影都倾斜于投影轴; 投影与投影轴的夹⾓不反映直线与投影⾯的倾⾓;不反映实长(缩短。
2、直线上点的投影特性及定⽐关系(1从属性:若点在直线上,则点的各个投影必在直线的各同⾯投影上。
(2定⽐性:属于线段上的点分割线段之⽐等于其投影之⽐。
3、两直线的相对位置关系及投影特性(1平⾏:三对同⾯投影分别互相平⾏。
(2 相交:三对同⾯投影都分别相交, 且投影的交点符合⼀点的三⾯投影特性。
(3交叉:既不符合平⾏特性也不复合相交特性。
判断两直线相交还是交叉的⽅法:(1 交点投影法:判断三个投影⾯的交点是否满⾜点的投影规则。
(通常需要做出第三投影⾯的两直线投影来判断(2定⽐关系法:由投影⾯的⼀条直线的交点投影,根据定⽐关系作出该交点在另⼀个投影⾯在该直线上的点的位置, 如果两个投影⾯上的交点是同⼀点, 则可判断两直线相交,反之则交叉。
4、直⾓三⾓形法 (求⼀般位置直线的实长和倾⾓直⾓三⾓形法的作图要领 :⽤线段在某投影⾯上的投影长作为⼀条直⾓边,以线段的两端点相对于该投影⾯的坐标差作为另⼀条直⾓边, 所作直⾓三⾓形的斜边即为线段的实长,斜边与投影长间的夹⾓即为线段与该投影⾯的倾⾓。
直⾓边与倾⾓的对应关系如下表:解题原则:求直线与哪个投影⾯的倾⾓, 就⽤哪个投影⾯上的投影长作为⼀条直⾓边。
5、直⾓的投影定理相互垂直的两直线, 其中有⼀条直线平⾏于投影⾯时, 则两直线在该投影⾯上的投影仍反映直⾓。
工程制图第3章答案
3．两直线交叉
交叉两直线各组同面投影不会都平行，特殊情况下可能有一两组 平行；其各组同面投影交点的连线与相应的投影轴不垂直，即不符合 点的投影规律。
重影点 反之，如果两直线的投影既不符合平行两直线的投影特性，也不 符合相交两直线的投影特性，则该两直线空间为交叉两直线。
4．两直线垂直
一般情况下，在投影图中不能确定空间两直线是否垂直， 但当直线处于特殊位置时可以直接从投影图中判断：
三、正投影的基本性质
1. 实形性
2．积聚性
∟
三、正投影的基本性质
3.类似性
4．平行性
三、正投影的基本性质
5．定比性
6．从属性
3-2 三视图的形成及其投影关系
一、 三视图的形成
1. 三投影面体系的建立
物体的一个投影不能确定空间物体的形状。
怎吗办？
建立三面投影体系
2．三视图的形成
主视图
左 视图
[例3-4] 已知点A(15,10,12)，求作点A的三面投影图。
作图步骤如下：
1.自原点O沿OX轴向左量取x=15,得点 ax 2.过ax作OX轴的垂线，在垂线上自ax向下量取y=10,得点A的水平投影a 向上量取z=12,得点A的正面投影a
3.根据点的投影规律，可由点的两个投影作出第三投影 a 。
★ 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。
[例3-11] 求一般位置直线MN与铅垂面ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
[例3-12] 求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点 分析： 作图：
判可见性：
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共 有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
机械制图CAI课件 第03章直线、平面的相对位置
本章主要介绍直线、平面的相对位 置，包括平行关系、相交关系和垂直关 系，以及点、线、面综合题及其解法。
第三章 直线、平面的相对位置
§3.1 平行关系 §3.2 相交关系 §3.3 垂直关系 §3.4 点、线、面综合题及其解法
§3.1 平行关系
§3.1.1 直线与平面平行
求△ABC与DE、FG两平面交线的正投影图
选通过点A、E 的
正垂面P 为辅助面， 求出一个三面共点K ；
又选过点A、F
的铅垂面Q为辅助面， 求出另一个三面共点 L；
连接K、L ，则
KL即为所求的交线。
(a)
(b)
P、Q 两平面都用迹线给出，且其同面迹线相交，即 PH∩QH＝M，PV∩QV＝N，则交点M、N是P、Q 两平面交线
c
k′l′∥a′d′，
b
则直线KL为所求。
d
l
c
a
k
［例2］试过K 点作一正平线，使之平行于P
平面。
因PV 是P 平面上特 殊的正平线，所以过点K
作KL∥PV， 即作k′l′∥PV，kl∥X
轴，则直线KL为所求。
［例3］试过K点作一铅垂面P (用迹线表示) ，使之平行于AB直线 。
作铅垂面平行于AB 直 线，则PH必平行于ab 。
直线与平面平行的几何条件是：如果平面外 的一直线和这个平面上的一直线平行，则此直线 平行于该平面。
由于EF∥BD，且 BD 是ABC 平面上的一 直线，所以，直线EF 平行于ABC 平面。
［例1］试过K点作一水平线，使之平行于
△ABC 。
b
先在△ABC上
a
d k
l
作一水平线AD； 再
工程制图第3章答案
投 射 方 向
90°
2. 特性
中心投影法
物体位置改 变，投影大 小也改变。
投 影 特 性
●
投射中心、物体、投影面三者之间的相 对距离对投影的大小有影响。 用于建筑图样中的透视图绘制。
● 度量性较差。 ●
平行投影法
物体位置改 变，投影大 小不改变。
投 影 特 性
● ● ●
投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
a a ⊥OX；
⊥OZ；
水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离，即
a ax = aaz
[例3-3] 根据点A和B的两个投影求第三个投影。 （二求三）
求法：
a:
长对正 宽相等
:
高平齐 宽相等
二、点的投影与空间直角坐标的关系
空间点A到W面的距离，等于点A的x坐标；即： 空间点A到V面的距离，等于点A的y坐标；即： 空间点A到H面的距离，等于点A的z坐标；即：
[例3-12] 求铅垂线MN与一般位置平面△ABC的交点
分析： 作图：
判可见性：
⒉ 两平面相交
两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共 有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：
● 求两平面的交线。 ● 判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。
解决问题的方法:
若相交两平面之一为投影面垂直面或投影面平行 面时，则可利用该平面有积聚性的投影，在有积聚性 的投影图上直接求得交线，再根据交线是两平面的共 有线，求出另外的投影。
平 面 投 影 图
应 用 举 例
2． 投影面平行面
正平面
轴 测 投 影 图 平 面 投 影 图
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。
2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。
§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
EF∥AD，且AD是ABC平面上的一直线，所以，直线EF平行于ABC平面。
[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。
步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ；2）过点K 作KL ∥AD ；3）直线KL 即为所求。
d′dl′lk′ka′ab′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。
作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。
1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。
［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。
作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。
2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。
⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。
作图1)求交点。
2)判别可见性。
由V投影可知，k'm'段在平面上方，故H投影上km为可见。
还可通过重影点判别可见性。
2k M (n )b●m 'n ' c 'b 'a 'a c⑵直线为特殊位置空间及投影分析:直线MN 为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K 的水平投影也积聚在该点上。
1)求交点2)判别可见性点Ⅰ位于平面上，在前；点Ⅱ位于MN 上，在后。
故k '2'为不可见。
1'(2')k '●1●●作图:用面上取点法X 通过重影点判别可见性直线EF为正垂线时［例1］求直线MN 与铅垂面P 的交点。
解:平面P 为铅垂面，P H 有积聚性，故mn 与P H 的交点k即为交点K 的H 投影。
k '由于交点K 必在直线MN 上，故可用在直线上取点的方法，由k 求出k '。
规定：在求用迹线表示的平面的交点和交线时，不必分辨可见性。
k［例2］求直线MN与四棱柱表面ABCD和ABEF的交点。
解：ABCD为水平面，其V投影有积聚性；ABEF为铅垂面，其H投影有积聚性，故本题可用平面的积聚性求解。
作图步骤：1）求m'n'与a'b'c'd'的交点k'；2）根据k'，在mn上求得点k，则点K(k,k')就是MN与ABCD的交点；3）求mn与abef的交点l；4）根据l，在m'n'上求得点l'，则点L(l,l')就是MN与ABEF的交点；5）因直线MN穿通四棱柱，所以线段KL之间部分的投影均为一般位置直线与一般位置平面相交，其投影都没积聚性，则采用换面法：将一般位置直线或平面变成投影面的垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用积聚性直接求得交点的投影。
然后利用所得交点的投影返回到原体系当中，即可求的平面与直线的交点。
2.1.2一般位置直线与一般位置平面相交［例3］求一般位置直线MN与一般位置平面ABC的交点。
解：根据上述分析，应采用换面法将平面ABC变换成投影面垂直面，这样就可以在新的投影体系中直接求得交点的投影。
作图步骤：1）在平面ABC上作水平线AD(ad,a'd');2）作X1轴垂直于ad;3）求出直线MN和平面ABC在V1投影面上的新投影m1'n1'和a1'b1'c1'；4）求出m1'n1'和a1'b1'c1'的交点k1'；5）根据k1'求出k，再由k求出k'，则点K(k,k')就是直线MN与平面ABC的交点；6）取H面的重影点1、2判断直线MN 的H 投影的可见性。
7）取V面的重影点3'、4'判断直线MN 的V 投影的可见性。
2.2 两平面相交2.2.1 一般位置平面与特殊位置平面相交在两平面之一有积聚性的情况下，可以在没有积聚性的那个平面上取两条直线，分别求这两条直线与有积聚性的那个平面的交点，则这两个交点的连线就是两平面的交线。
［例4］求一般位置平面ABC与铅垂面DEF的交线。
解：由图可见，只要求出△ABC上的两条直线AB、AC和△DEF 的交点M、N ，就可以求得两平面的交线。
作图步骤：1)利用积聚性求AB与△DEF的交点M (m,m')；2)利用积聚性求AC与△DEF的交点N (n,n')；3)连接MN (mn,m'n')就可得到两平面的交线；4)取直线AB和DF在V面上的重影点1'(2')，分辨可见性：由图可见，点1在点2的前面，故b'm'为可见，为m'l'不可见。
由于过重影点的两线段的投影之可见性必不相同，因此可以确定其他各边的可见性。
[例5]求一般位置直线ABC与正垂面P 的交线。
解：P 平面为正垂面，的积聚可以利用PV性，直接求出交线的V 投影m'n'，再由m'n'求得mn。
由于P 平面是用迹线表示的平面，故不需要判断其可见性。
［例6］求证垂面P与三棱柱表面的交线。
解:求P 平面与三棱柱表面的交线，只需要利用积聚性求出三条棱边AA1、AB、AC 和P 平面的交点D、E、F，然后将交点顺次连接即可。
作图步骤：1)利用积聚性求直线AA1与P 平面的交点(d,d',d'')；3）用同样的方法求出F (f, f ', f '')；4）顺序连接点D 、E 、F 的同面投影，就可求得P 平面与三棱柱表面的交线。
2）利用积聚性求直线AB 与P 平面的交点E ，其过程为先求e '，根据e '求出e ''，再跟据e ''求出e ；[例7]已知三棱锥SABC 被铅垂面Q 切去一角，试完成其主、左视图。
解：平面Q为铅垂面，只需利用积聚性求得Q 平面与三棱锥三条棱边SA 、AB、AC的交点D、E、F，然后将其顺序连接即可。
作图步骤：1)求D、E、F得H投影d、e、f；2)由d、e、f求出d''、e''、f''；3)由e、f求出e'、f'；4)由d''求出d'；5)顺序连接D、E、F的同面投影即可。
2.2.2 两个一般位置平面相交两一般位置平面的投影都没有积聚性，所以其交线不能直接求出。
解决此类问题的思路是采用换面法，将两相交平面之一变换为投影面垂直面，这样就可以利用积聚性在新的投影体系中直接求得交线的一个投影，然后将其返回原投影体系中，即可求得两平面的交线。
[例8]求两一般位置平面ABC 和DEF 的交线。
解:将平面ABC变换成投影面垂直面，即可求得交线的一个投影。
作图步骤：1)在平面ABC上作水平线AN(an,a'n')；2)作X1轴垂直于an；3)求出△ABC和△DEF在V1面上的新投影a1'b1'c1'和d1'e1'f1'；6）利用V 1投影直接判断H 投影的可见性；利用重影点1',2'和3', 4'判断投影的可见性。
4）求出a 1'b 1'c 1'和d 1'e 1'f 1'的交线k 1'l 1'；5）根据k 1'l 1'求出kl ，再根据kl 求出k 'l '，则直线KL (kl, k 'l ') 就是两平面的交线；§3 综合举例本节给出了用换面法解决一些较复杂的相对位置问题的一些例子。
[例1]求点M 与直线AB 之间的距离。
解：由图可见，求点M 与直线AB 间的距离，应由点向直线AB 引垂线，交AB 于K 点，则线段MK 即为点M 与直线AB 间的距离。
当直线AB 垂直于某一投影面时，则线段MK 必平行于该投影面，且在该投影面上的投影反映实长。
m 'b 'a 'abX m图所示直线AB 为水平线，若求点M 到直线AB 的距离，应进行一次投影换面，将直线AB 变换为投影面垂直线，则在新的投影体系中，即可求出点M 与直线AB 之间的距离的实长。
将其返回原投影体系中，就可求出距离的投影。
AK BMmm 'b 'a 'abXmk 'km 'b 'a 'a bX m X 1H V 1(b 1')a 1'k 1'm 1'作图步骤：1)取新投影轴X 1垂直于ab ，求出点M 与直线AB 的新投影m 1'和a 1'b 1';2)由点M 向直线AB 作垂线，与直线AB 相交于点K ，点K 在新投影体系中的投影k 1'与a 1'b 1'重合，连接m 1'k 1'即为所求距离的实长；3)自m 引直线平行于X 1轴，与ab 相交于k ；4)由k 求出k '，则可求得点M 与直线AB 的距离MK (mk, m 'k ')。
[例2] 求点S 到平面ABC 的距离。
解：求点到平面的距离，需自该点向平面作垂线，求出该垂线与平面相交的的垂足，则该点到垂足的距离，即为所求点到平面的距离。
如图(a)可见，当平面垂直于某一投影面时，则由点M向平面所作的垂线MK为该投影面的平行线，且在该投影面上的投影反映实长。