直线与平面的相对位置

n
c
a
C H k b
n
m
c
直 线 的 可 见 性 判 断
b n
V
N B P A PH M K a m k
c
a
b k c
a
C H k b
n
m
c
2、投影面垂直线与一般位置平面相交
a
e b
a
e b k
c f a b a
c f
e(f) c
K`
c
e(f)
b
总结：
对于直线与平面相交求交点：
c
b
g
例题1 试判断 直线AB是否平行于 定平面
d f e a
f d
e
结论：直线AB不平行于 定平面
a g c b
c
例题2 试过点K 作水平线AB平行于 Δ CDE平面 f e b k a
d e k d b f a
c
2、平面与平面平行
P E B A C S
D
F
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交 两直线，则此两平面平行

二、一般位置相交
参加相交的两个元素相对投影面都处于一般 位置，两元素在各投影面上的投影均没有积聚性， 交点、交线的投影都不能直接求出，需采用辅助 平面法作图求得。
一般位置直线与一般位置平面
QV
一 般 位 置 直 线 与 一 般 位 置 平 面 相 交
f
m
c k n e a a
b
a
f s
例题3 试判断 两平面是否平 行
b
n
m c d c n m
r
e
e a
d s
结论：两平面平行
b
r
f
例题4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试 过点K作一平面平行于已知平面 。 a d f c c b a r s
k
e
b
r k d
f s
e
例题5 试判断两平面是否平行。

一、特殊位置相交
特殊位置相交是指相交元素中至少有一个垂 直于投影面的情况。 该元素的一个投影有积聚性，利用积聚性， 求交点或交线的投影。
直线与特殊位置平面相交 特殊位置直线与平面相交 两平面相交
1、直线与特殊位置平面相交
b
V
N B P A PH M a b k c K m a k
a C
E B D n a k
k d
e
c
b
A
e d
c b
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直 线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直 于该平面。 n V f
c A
C E B d f d a k a b k
D
c
b n
n
例题7 平面由 BDF给定，试过 定点K作平面的法 线。

一般位置直线与投影面垂直面相交：
在垂直的投影面上，取两直线的交点，即为K的 一个投影点，再按照投影连线的方法取K的另一投 影点。

投影面垂直线与一般位置直面相交：
在垂直的投影面上，直线积聚的点，即为K的一 个投影点，再按照平面上取点的方法，求交点的 另一个投影点。
3、一般位置平面与投影面垂直面相交
V
b
k
F
e B
a
Ⅱ Ⅰ
K
C
Ⅲ Ⅳ
k
f
b
A a
c
(4)
3
E e
H
§6.3 直线与平面、平面与平面垂直
1、直线与平面垂直
直线与平面垂直的几何条件：
若一直线垂直于一平面，则必垂直 于属于该平面的一切直线。
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于 该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面 的正平线的正面投影。 n V
f b
k m
n
作辅助平面求交点步骤：
1、 过一般位置直线作特殊位置平面（正垂面、 铅垂面）。 2、把问题转化为特殊位置平面与一般位置平面 求交线的问题，并求交线。 3、交线与一般位置直线的交点即为一般位置直 线与平面的交点。
直线 EF 与平面Δ ABC 相交，判别可见性示意图
f
c 1 (2)
c
a
m
V
b
f n k
M
B K
P
c
l
a
m
L
F
m N C c PH f n b k a
k b
l
a
l
f c
H
n
平 面 的 可 见 性 判 断 b k
f n l a a l
m V M B K F c
L
N k a l c H
m k b
m
C c
f n
f
n
4、一般位置平面与投影面水平面相交
s e f r a d
b c
es 结论：两平面平行 f
SH r P H
d
a
c
b
若两平行平面同时垂直某一投影面，则其积聚性 的投影相互平行。
§6.2 直线与平面、平面与平面相交
直线与平面或平面与平面之间，若不平 行则必相交。
直线与平面相交产生交点，平面与平面 相交产生交线。 交点或交线是两个几何元素的共有元素 ，也是在投影中几何元素重影部分可见与 不可见的分界点或分界线。
f
n
2、平面与平面垂直
两平面垂直的几何条件： 若一直线垂直于一定平面，则包含这 条直线的所有平面都垂直于该平面。 反之，两平面相互垂直，则由属于第 一个平面的任意一点向第二个平面作的 垂线必属于第一个平面。
A
Ⅱ
D
A A
Ⅰ
Ⅱ
D
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
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h 例题9 平 面由 BDF给 定，试过定点 K作已知平面 的垂面 d f a d c b h k g f g k b
交线必为水平线
5、两铅垂面相交
交线为铅垂线，且交线的水平投影积聚成为一个 点，正投影垂直于OX轴。
对特殊位置直线与平面、平面与平面相 交结论：
1、当相交两元素之一的投影有积聚性时，交 点或交线的一个投影可以直接得出，另一投影可 用直线上取点或平面上取点、线的方法得出。 2、若相交两平面之一平行于某投影面，则 交线也平行于该投影面，若相交两平面同时垂直 于某投影面，则交线也垂直于该投影面。
f c a d f a d c b n k b k
例题8 试过定点K作特殊位置平面的法线。 h PV k SV k h h
k
k
h
k
h
QH
h
k
例题20 平面由两平行 线AB、CD给 定，试判断直 线MN是否垂 直于定平面。
a
e b d f
c
m
n
b
e d
a
m
c

直线与平面、平面与平面的相对位置关系：
平行、相交、垂直
一、在投影图上如何绘制及判别直线交线。 三、在投影图上如何绘制及判别直线与平面、 平面与平面垂直。
1、直线与平面平行
C
P A
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行