直线与平面的相对位置

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V
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m N C c PH f n b k a
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平 面 的 可 见 性 判 断 b k
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C c
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n
4、一般位置平面与投影面水平面相交
a
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例题3 试判断 两平面是否平 行
b
n
m c d c n m
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e a
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结论：两平面平行
b
r
f
例题4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试 过点K作一平面平行于已知平面 。 a d f c c b a r s
k
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b
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例题5 试判断两平面是否平行。
n
c
a
C H k b
n
m
c
直 线 的 可 见 性 判 断
b n
V
N B P A PH M K a m k
c
a
b k c
Байду номын сангаас
a
C H k b
n
m
c
2、投影面垂直线与一般位置平面相交
a
e b
a
e b k
c f a b a
c f
e(f) c
K`
c
e(f)
b
总结：
对于直线与平面相交求交点：

一般位置直线与投影面垂直面相交：
在垂直的投影面上，取两直线的交点，即为K的 一个投影点，再按照投影连线的方法取K的另一投 影点。

投影面垂直线与一般位置直面相交：
在垂直的投影面上，直线积聚的点，即为K的一 个投影点，再按照平面上取点的方法，求交点的 另一个投影点。
3、一般位置平面与投影面垂直面相交

二、一般位置相交
参加相交的两个元素相对投影面都处于一般 位置，两元素在各投影面上的投影均没有积聚性， 交点、交线的投影都不能直接求出，需采用辅助 平面法作图求得。
一般位置直线与一般位置平面
QV
一 般 位 置 直 线 与 一 般 位 置 平 面 相 交
f
m
c k n e a a
b
s e f r a d
b c
es 结论：两平面平行 f
SH r P H
d
a
c
b
若两平行平面同时垂直某一投影面，则其积聚性 的投影相互平行。
§6.2 直线与平面、平面与平面相交
直线与平面或平面与平面之间，若不平 行则必相交。
直线与平面相交产生交点，平面与平面 相交产生交线。 交点或交线是两个几何元素的共有元素 ，也是在投影中几何元素重影部分可见与 不可见的分界点或分界线。
交线必为水平线
5、两铅垂面相交
交线为铅垂线，且交线的水平投影积聚成为一个 点，正投影垂直于OX轴。
对特殊位置直线与平面、平面与平面相 交结论：
1、当相交两元素之一的投影有积聚性时，交 点或交线的一个投影可以直接得出，另一投影可 用直线上取点或平面上取点、线的方法得出。 2、若相交两平面之一平行于某投影面，则 交线也平行于该投影面，若相交两平面同时垂直 于某投影面，则交线也垂直于该投影面。

一、特殊位置相交
特殊位置相交是指相交元素中至少有一个垂 直于投影面的情况。 该元素的一个投影有积聚性，利用积聚性， 求交点或交线的投影。
直线与特殊位置平面相交 特殊位置直线与平面相交 两平面相交
1、直线与特殊位置平面相交
b
V
N B P A PH M a b k c K m a k
f b
k m
n
作辅助平面求交点步骤：
1、 过一般位置直线作特殊位置平面（正垂面、 铅垂面）。 2、把问题转化为特殊位置平面与一般位置平面 求交线的问题，并求交线。 3、交线与一般位置直线的交点即为一般位置直 线与平面的交点。
直线 EF 与平面Δ ABC 相交，判别可见性示意图
f
c 1 (2)
f c a d f a d c b n k b k
例题8 试过定点K作特殊位置平面的法线。 h PV k SV k h h
k
k
h
k
h
QH
h
k
例题20 平面由两平行 线AB、CD给 定，试判断直 线MN是否垂 直于定平面。
a
e b d f
c
m
n
b
e d
a
m
c
V
b
k
F
e B
a
Ⅱ Ⅰ
K
C
Ⅲ Ⅳ
k
f
b
A a
c
(4)
3
E e
H
§6.3 直线与平面、平面与平面垂直
1、直线与平面垂直
直线与平面垂直的几何条件：
若一直线垂直于一平面，则必垂直 于属于该平面的一切直线。
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于 该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面 的正平线的正面投影。 n V
c
b
g
例题1 试判断 直线AB是否平行于 定平面
d f e a
f d
e
结论：直线AB不平行于 定平面
a g c b
c
例题2 试过点K 作水平线AB平行于 Δ CDE平面 f e b k a
d e k d b f a
c
2、平面与平面平行
P E B A C S
D
F
若属于一平面的相交两直线对应平行于属于另一平面的相交 两直线，则此两平面平行

直线与平面、平面与平面的相对位置关系：
平行、相交、垂直
一、在投影图上如何绘制及判别直线与平面、 平面与平面平行。 二、直线与平面、平面与平面相交，绘制其 交点或交线。 三、在投影图上如何绘制及判别直线与平面、 平面与平面垂直。
1、直线与平面平行
C
P A
D
B
若一直线平行于属于定平面的一直线，则该直线与平面平行
f
n
2、平面与平面垂直
两平面垂直的几何条件： 若一直线垂直于一定平面，则包含这 条直线的所有平面都垂直于该平面。 反之，两平面相互垂直，则由属于第 一个平面的任意一点向第二个平面作的 垂线必属于第一个平面。
A
Ⅱ
D
A A
Ⅰ
Ⅱ
D
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直 两平面不垂直
精品课件！
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h 例题9 平 面由 BDF给 定，试过定点 K作已知平面 的垂面 d f a d c b h k g f g k b
a C
E B D n a k
k d
e
c
b
A
e d
c b
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直 线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直 于该平面。 n V f
c A
C E B d f d a k a b k
D
c
b n
n
例题7 平面由 BDF给定，试过 定点K作平面的法 线。
c
a