直线与平面平面与平面的相对位置

例6 铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可 见性。
a’
d’
c’
k’
f’
b’
e’
X
O
e
f
k a(b) d
c
（2） 两平面相交
b
V M
m
k
c
f
l
P
B
X
K
m
m C
c PH
F Nk
fb n
L
a l
c
H
n
kb f
n
a
O a
l
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
n
V
f
A
C
E
D
a
B Xd
a d
c b
f c
k
O k
b
n
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投 影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面。
例8 平面由 BDF 给定，试过定点 M 作平面的垂线。
n f
c
a
m b
d
a d
f
m
c
b n
例9 试过定点 K 作特殊位置平面的法线。
d
平面求交点
QV 的方法求出
两平面的两
个共有点K、
b2
a O
L。
2、连接两个 共有点，画
l
出交线KL。
k
a d
1
e
例7 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相 交。
b
X
b
c f
a
a f
c
k
e
eO
k
分析 F
K
C
H
A
E
B
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交 于H；连接KH，KH即为所求。
e'
b'
的交线；
3 交线的投影与已知直线 的同名投影相交，得交点；
a PH e
4 判定可见性：利用重 影点。
d
k
b
c
两一般位置平面相交求交线的方法 B
F
A K
利用求一般位置 线面交点的方法找 出交线上的两个点， 将其连线即为两平 面的交线。
D L
E
C
作题步骤
c X f
f
c
b PV e
2
k
1
l
1、用直线与
5.1 平行问题
5.1.1 直线与平面平行
P
C
A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与 该平面平行。
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c
g
d f
X
f d
g c
结论：直线AB不平行于定平面
a e
e
a
b
O
b
例2 过点K作一水平线AB平行于已知平面 ΔCDE。 c
f
e b k a
A E
K 1
2 D
C B
过AB作平面P垂直于H投影面
a
c
X PH a c
d 2
k
1
1
k
2 d
作题步骤：
1、 过AB作铅
垂平面P。
2、求P平面与
ΔCDE的交线
e ⅠⅡ。
b
O 3、求交线
ⅠⅡ与AB的交
e 点K。
b
直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。
d
a 1
( 2 )
4
c
k
3
e
X
b
O
a
2
e
c
k（3） 4 1
d
X
d
f c
e k
b
O a
5.1.2 平面与平面平行
P E
S B
A D
F
C
若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直 线，则这两个平面平行。
例3 试判断两平面是否平行
a
b n
m
c
X
d
c m
n a d
f s
r
e
O e
s
r
f
b
结论：两平面平行
例4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作
b’
f’
n'
a’
PV
e’
m'
g’
c’
f
a
n
e b PH
c
m g
K’
1’
2‘
2 K
32
1 PH
求求直直线线MNM与N与平平面面的的交交点点K，K，并并判判别别可可见见性性 1’ K‘
K PH
32
1
1’ 2’
1(2) 30
求求三三角角形形ABACB与C与平平面面DEDFEGF的G的交交线线，，并并判别 可判见别性可见性
一平面平行于已知平面 。
a
s
d
f
k
e
m
n
b
c
r
X
O
c
r
n
e
b
k
m
d
f
s
a
例5 试判断两平面是否平行
s
e
f
a d
r
X
es
SH d a
f r PH
结论：两平面平行
b c
O
c b
5.2 相交问题
交点与交线的性质
PA
K B
B D
KA
L
F
E
C
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面 相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线 与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共 有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有 线的投影。
d
b
以正垂面为辅助平面求线面交点
f
QV
1
b
f
c
步骤：
1、 过EF作正
k
垂平面Q。
2、求Q平面与
2
ΔABC的交线
a ⅠⅡ。
e
3、求交线
ⅠⅡ与EF的交
2
a 点K。
b k
1
c
e
基本作图题
用辅助平面（线）求交点的一般步骤：
1 含已知直线的一个投影 作一辅助面（通常为垂直 面）；
a'
c'
k' d'
2 求该辅助面与已知平面
5.2.1 积聚性法
V N
B P
K A
PH a bk
C
M
c
H
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点 的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可 在直线的另一个投影上找到。
直线可见性的判别
V
B
AK PH a
bk M
N P
C c
b n
a k m
c
n a
kb
H
m 在平面之前 c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接 判别直线的可见性--观察法
h
PV
SV
h
k
h
k
k
k
h
k
h QH
hk
例10 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线 MN 是否垂
直于定平面。
a
c
m
e
f
b
d
X
n
O
b
a
m
e
d
c
n
f
5.3.2 两平面垂直
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线 的所有平面都垂直于该平面。
1’
(3’) 2’
1
3
2
n’ m’
PH
m
n
QH
过点K作一直线，使其与AB、CD均相交。
m’
n’
Qv
m
n
5. 3 垂直问题
V
5.3.1 直线与平面垂直
C A
E B
D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
n
V C
A
k a
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂 直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。
作图步骤
c
b
b c
PV
f1 m
2
a
n
a f
n2
m1
k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
h
2、过直线EF作正垂
e 平面P。
源自文库
3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。
he
4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
5、连接KH，KH即 为所求。
k
求两平面的交线，并判断可见性。
b’ c’
a’
a c
b
求两平面的交线，并判断可见性。
平面可见性的判别
VM B
m
c
f
b
k l
m C
K F
X L
N ka
f
l
a
n
O
m
kb a
f
l
c
n
Hc
n
平面可见性的判别
VM B
b
m k l
f
K
m C
X L F
N ka
f
l
n
O
m
kb
PH
f
l
c
n
H
n
平面可见性的判别
VM B
m C c
K
L F
N ka
f
l
n
m
c
f
b
k l
a
X
n
O
m
kb a
f
l
Hc n
5.2.2 辅助平面法