工程图学基础第6讲 直线与平面,平面间相对位置

础
当直线或平面的投影具有积聚性时，可利用积聚性 的特性直接做出交点或交线的一个投影，然后再利用在 直线或平面上取点的方法求出另一投影。
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1) 投影面倾斜线与特殊位置平面相交
V P
N
工
B
b n
a k m
程
图
AK
X
c
O
学 基
PH a M bk
C cH
础
a
n
kb
m
c
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时， 交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一 个投影可在直线的另一个投影上找到。
例6 求点D到△ABC的距离。
m
e
a
工
d
程
图X a
学 基 所求距离 e
础
m
d
b i k f
n
i PnH kf
c
O
c
b
作图步骤
(1)在△ABC平面上先作正平 线CE和水平线AF (2)过点D作△ABC的垂线DI。
(3)过DI作铅垂面(辅助平面)， 用PH表示，求出DI与△ABC 的交点K(K点为垂足) (4)用直角三角形法求出距离 DK的实长 。
b
工 a
程
图X 学a
基 础
m d
c
m c d
k
作图步骤
先在△ABC内任作水平线 AD
O
再过点K作KM∥AD即 km∥ad，k m ∥a d′，
则直线KM为一水平线且平
k
行于已知平面△ABC。
b
分析：△ABC上的水平线有无数条，但其方向是确定 的，因此过K点作平行于△ABC的水平线也是唯一的。
LAST
LAST
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2) 平面与投影面垂直面垂直
工
程
图
学
基
础
左图投影面倾斜面△ABC与正垂面△EFG垂直。在 △ABC内与正垂面△EFG垂直的直线AD一定是一条正平线， 且a′d′⊥e′f′g′。右图两铅垂面△ABC与EFGH垂直，其水平 投影abc⊥ef(g)(h)。
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HOME
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交点与交线的性质
B D
工
PA
KA
程
K
图B
L
F
E
学 C
基
础
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与
平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交
点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是
两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质
是求共有点、共有线的投影。
LAST
NEXT
b
m
VM
k
B
c
f
l
工
程
K LX
a
n
O
图 学 基 础
m
C c
F
N ka
f
l
n
m
H
f
kb a l
c
n
LAST
NEXT
HOME
平面可见性的判别
VM B
工
K
程
L
图 学
m C
F
N ka
f
l
基
cn
础
m
c
f
b
k l
a
X
n
O
m
kb a
H
f
l
c
直观法即可判断
n
LAST
NEXT
HOME
4) 两个垂直于同一投影面的平面相交
LAST
NEXT
HOME
2.5.3 垂直问题
工
1 特殊情况的垂直问题
程
图
学
基
2 一般情况的垂直问题（不要求）
础
LAST
NEXT
HOME
1 特殊情况的垂直问题
1) 直线与投影面垂直面垂直
工 程 图 学 基 础
当直线与投影面垂直面垂直时，直线一定与该平 面所垂直的投影面平行，并且直线的投影一定与该平 面有积聚性的同面投影垂直。
LAST
NEXT
HOME
s
e
工
程
图
X
学
基
es
础
a d f
r
SH d a f r PH
b c
O
cb
当两平面为同一投影面的垂直面时，若其在该投 影面上的积聚性投影平行，则这两平面平行。
LAST
NEXT
HOME
例3 试判断两平面是否平行。
a
b
n
f s
r
e
工 程 图X 学 基 础
m c
c m
d
n a d
2.5 直线与平面、平面与平面的相对位置
2.5.1 平行问题
工
程
图
2.5.2 相交问题（重影点法）
学
基
2.5.3 垂直问题（特殊情况）
础
2.5.4 综合问题分析
NEXT
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2.5.1 平行问题
工
程
1 直线与平面平行
图
学
基
2 平面与平面平行
础
LAST
NEXT
HOME
1 直线与平面平行
A
B
工
程
图
基
定的平面垂直于直线AB。
础
直线垂直于平面，直线的水平投影必垂直于该平面 的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于该平面 的正平线的正面投影。
LAST
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例8 过直线KG作平面与已知平面△ABC垂直。
h
c
工 程
e
图
d b
g k
学
a
基X
础
e
a
c d
O k
g
b h
LAST
NEXT
HOME
工 2. 相交问题
程
（1）熟练掌握特殊位置直线、平面相交（其中直线或平面的投影具
有积聚性）交点的求法和作两个平面的交线（其中一平面的投影具有
图 积聚性）。
学
（2）熟练掌握一般位置直线、平面相交求交点的方法。
（3）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
基 3. 垂直问题
础
掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的投影特性及作图方法。
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直线与平面相交
工
程
图
学
基
B
础
P源自文库 K
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
LAST
NEXT
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平面与平面相交
B
M
工
程 图
KA
L
学
F
基
N
础
C
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有。
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HOME
1 积聚性法
V P
N
工
B
程
图
AK
学 基
PH a M bk
C cH
2 两平面平行
E
工
Q
F
程
D
图
学
B
基
P
C
础
A
若一平面上的两相交直线对应地平行于另一平面上的两 相交直线，则这两个平面平行。
LAST
NEXT
HOME
两迹线平面平行
V
工
程 图
X PX
学
基
础
PV
QV
O
H PH
QH
X PX
PV
QV
O QX
PH QH
两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相 平行。因此，两平行平面的同面迹线一定平行。
d 4
c
1 (2)
a′b′c′与d′e′f′的交点1′(2′) 即为
工
3 b a
e f
交线的正面投影，由此在ac上求 得2，在df上求得1，12为交线的 水平投影。
程
图 学
X
e d
2
O c
平面水平投影的重叠部分， 其可见性利用重影点进行判 断。
基
a (3)4 1
础
b
f
两个平面同时垂直于某投影面，其交线为该投影面 垂直线。两正垂面△ABC与△DEF相交，交线ⅠⅡ为正 垂线。
例9 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。
h
c
工
g
f
程
k
图
学
X
基
g
础
f k
结论：两平面不垂直。
d b
c
b d
a
O
LAST
NEXT
HOME
本章小结
1. 平行问题
（1）熟悉直线、平面平行，平面与平面平行的几何条件；
（2）熟练掌握直线、平面平行，平面与平面平行的投影特性及作图
方法。
LAST
HOME
作业
工 • 习题集2-11至2-15
程 图 学 基 础
LAST
NEXT
HOME
直线可见性的判别
b
n
V P
N
工
B
a k m
程
图
AK
X
c
O
学 基
PH a M bk
C cH
a
n
kb
础
m
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能够 直接判别直线的可见性----观察法，由水平投影可知KM
段在平面前，故正面投影上k m 为可见。
LAST
NEXT
HOME
2) 投影面垂直线与投影面倾斜面相交
C
学
基
D
础
P
若一直线平行于平面上的一直线，则该直线与平面平 行。反之，若平面上不存在与此直线平行的直线，则可
LAST
NEXT
HOME
工 程 图 学 基 础
当平面为某一投影面垂直面时，只要其有积聚性的投 影与直线的同面投影平行，则直线一定平行于该平面。
例1 过已知点K，作一水平线KM平行于已知平面△ABC 。
工
c
程 图
学X
基 础
c
a
d
k 1（2） f
b
e
O
e
2
f
ka(b)
1
d
分析：直线AB是 铅垂线，H投影有积聚 性，故交点的H投影k
必和a（b）重合。又
因交点K是△CDE上的 点，因此可用求面上 取点的方法，求出K点
的V面投影k′。
可见性判别----重影点法 点Ⅰ位于AB上在前。点 Ⅱ位于平面上在后；故 k1为可见。
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HOME
例2 过点K作一铅垂面P(用迹线和几何元素分别表示)，使之平
行于直线AB。
a′
工 程
图X
学 基
PV k′
b′
b
PX O
k
过k作PH∥ab；过PX
作PV⊥OX轴，则P平面 为所求。
础
a
PH
由于铅垂面的H投影为一直线，若作铅垂面平行 于直线AB，则PH必平行于ab。
LAST
NEXT
HOME
LAST
NEXT
HOME
3) 投影面倾斜面与特殊位置平面相交 b
e k
VE
d
c
l
工
B
a
程
K A
X
图
X
学 基
e
C
D
LF k
a
O
l
d
础
cf
H
f
O
e
kb a
l
d
c f
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
LAST
NEXT
HOME
平面可见性的判别
求空间点到某平面的距离，可通过空间点向该平面 作垂线，再求出所作垂线与该平面的交点(即垂足)，最 后用直角三角法求出距离的实长。
LAST
NEXT
HOME
例7 过点D作平面垂直于直线AB。
作图步骤
工
(1) 过D点作水平线CD垂直 于直线AB。
程
(2) 过D点作正平线ED垂直
图
于直线AB。
学
由两相交直线ED、CD所确
O
e
s
r
b
结论：两平面平行
f
LAST
NEXT
HOME
例4 已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面 平行于已知平面 。
工 程 图 学X 基
m b
c
c
a
s
d
f
k
e
n
r
O
r
础
b
m
n
d
f
e k
s
a
LAST
NEXT
HOME
2.5.2 相交问题
工
1 积聚性法
程
图
学
2 辅助平面法（不要求）
基
础
LAST