工程图学基础第6讲 直线与平面,平面间相对位置
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机械制图(工程图学)第三章 直线与平面、平面与平面
b' e' d' a' a' c' f' X e b c 2 1 a d a d a d 1 X e b c 2 f' X e b c c' f' a' c' e' 2' 1' d' 1' d' b' e' 2' b'
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
X X f g c k a h e (a) e a b 1 c k h 1(2) c f g b 1
a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
f
f
f
(a)
(b) (c) 图3-12铅垂面与一般位置平面相交 铅垂面与一般位置平面相交
南京师范大学xws 17
3.3垂直问题 垂直问题
3.3.1直线与平面垂直 直线与平面垂直
垂直于平面的直线被称为该平面的垂线或法线，解题时的关键是在投影图 中如何定出法线的方向。 直线与平面垂直，则直线垂直平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。 反之，如直线垂直于平面上的任意两条相交直线，则直线垂直于该平面。
b' b' b' 1' 1' c' e(f) a' a' a' k' e'(f') c' k' 1' e'(f') 2' c'
X f b
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a
e (b) 图3-11铅垂线与一般位置平面相交 铅垂线与一般位置平面相交
f' d' n' m' c' a' k' e' X e k n a m b d 图3-5两平面平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的投影图 两平面平行的投影图 f c
直线与平面的交点两平面的交线
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直线与平面的相对位 置、两平面相对位置
直线与平面的交点 两平面的交线
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直线与平面的交点、两平面的交线
直线和平面相交只有一个交点，它是直线和平面 的共有点。它既属于直线又属于平面。 两平面相交，交线是一直线。这条直线为两平面 的共有线。欲找出这一交线的位置，只要找出属 于它的两点（获找出一点一方向）就可以了。 一、直线与特殊位置平面相交 二、一般位置平面与特殊位置平面相交 三、直线与一般位置平面相交 四、两个一般位置平面相交
工程制图B ! 第六章--直线与平面、两平面相对位置
第六章直线与平面、平面与平面的相对位置平行问题直线与平面平行平面与平面平行一、直线与平面平行若平面外的一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与该平面平行。
包括6-1 平行问题二、两平面平行①若一平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。
②若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。
c'f'b'd'e'a'abcdeff'h' abcdefh a'b'd'e'c'直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。
直线与平面相交平面与平面相交一、直线与平面相交要讨论的问题：（1）求直线与平面的交点。
（2）判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。
●●相交问题6-2 相交问题二、两平面相交两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。
要讨论的问题：①求两平面的交线方法：（1）确定两平面的两个共有点。
（2）确定一个共有点及交线的方向。
②判别两平面之间的相互遮挡关系，即：判别可见性。
小结：（1）可见性的判断可根据具有积聚性的投影直接判断，也可利用重影点进行判断，这时只要在需要判断的投影上任意选取一对重影点即可。
（2）交点或交线永远可见，它们是可见与否的分界点或分界线。
◆直线垂直于平面的几何条件直线垂直于平面上的任意两条相交直线。
◆两平面垂直的几何条件一平面包含另一平面的垂线。
垂直问题平面与平面垂直6-3 垂直问题例：过直线MN 作一平面使它垂直△ABC 所确定的平面。
b ׳a ׳c ׳m ׳n ׳b acmne ׳ekf f ׳k ׳分析：求作平面过直线MN ，故仅需再确定一条与直线MN 相交的直线，即可确定此平面。
所作平面要求与△ABC 垂直，也即所作平面必须包含△ABC 的一条垂线。
因此，可使所作直线垂直于△ABC 即可。
土木工程制图直线和平面平面和平面的位置关系PPT教案
d a
e
b d
a
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c
f
f
X
O
X
O
d
e
a
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d b
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第6页/共40页
四、两投影面垂直面相互平行
Vp
q
P
Q
X
O
p
q
H
p
q
X
O
p
q
当两个投影面垂直面P与Q相互平行时，它们的积聚投影，即它们与该投影面的 交线，也相互平行。
第7页/共40页
【例4】过线段AB作平面平行于平面△CDE。
【分析】由已知可得，△CDE 为铅垂面，且ab//cde，过a作a′m′//c′d′,连 接b′m′，则△AMB即为所求 。
X
m
n
c
p
2
c
a
1 m(n) p
O
作图步骤：
（1）求交 点 如图 所示， 因△ABC 与平面 P均垂 直于H面 ，故交 线必为 铅垂线 ，且积 聚于一 点m(n) ，然后 作出此 交线的 V面投 影m′n ′，它 的长度 仅为两 平面在V 面的共 有部分 。
（2）判断 可见性 在V面 投影中 ，取交 叉两直 线的任 一重影 点I、I I，判 断可见 性1′（ 2′） ，从H面 可知， 1在前 ，2在后 ，因1 在ABC上 ,而2在 平面P 上，故a ′n′ 可见为 实线。 这时交 线mn为 可见与 不可见 的分界 线。
【分析】 ① 如图4.10（b）所示，要过E作平面Q的垂线，可先作出Q平面上正平线 AB 和水平线CD 的两面投影ab，cd，a′b′，c′d′；
② 过e，e′分别垂作eh⊥cd，e′h′⊥a′b′，EH即为所求垂线。
工程制图-第三章-直线、平面的相对位置
直线、平面的相对位置本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：1)平行关系：直线与平面平行，两平面平行。
2)相交关系：直线与平面相交，两平面相交。
§1 平行关系1.1 直线与平面平行定理:若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此平面必相互平行。
以，直线EF平行于ABC平面。
[例1]过已知点k ，作一条水平线平行于△ABC 平面。
步骤：1）在ABC 平面内作一水平线AD ； 2）过点K 作 KL ∥AD ； 3）直线KL即为所求。
d′d l′lk′k a′a b′e′bc X[例2]试判断:已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表面SCF。
作图步骤：1）作c'm'∥a'b'；2）根据CM在平面SCF内，作出cm；3）由于cm不平行于ab，即在该平面内作不出与AB平行的直线，所以，直线AB不平行于四棱锥侧表面SCF。
1.2 平面与平面平行两平面相平行的条件是：如果一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，则此两平面平行。
所以：平面ABC 和平面DEF 相平行。
［例3］过点K作一平面，是其与平面ABC平行。
解：只要过K点作两条相交直线分别平行于△ABC的两条边，则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。
作图步骤：2）作KD∥AC(k'd'∥a'c',kd∥ac);a'cac'bb'k'kl'ld'dX1）作KL∥BC(k'l'∥b'c', kl∥bc); 3）平面KDL即为所求。
2.1 直线与平面相交2.1.1 利用积聚性求交点当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。
⑴平面为特殊位置[例]求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。
空间及投影分析平面ABC 是一正垂面，其V 投影积聚成一条直线，该直线与m'n'的交点即为K点的V 投影。
机械制图 直线与平面 平面与平面的相对位置课件
求交线的方法
通过在每个平面上选择一组点， 并确定这些点在另一个平面上的 投影，可以找到交线。
平面与平面平行
平面与平面平行
求平行平面的方法
当两个平面在三维空间中没有重叠部 分时，它们平行。平行的平面永远不 会相交。
通过选择两个平面上对应的点并确保 它们之间的距离相等，可以找到平行 的平面。
平行的性质
交点
直线与平面的的投影。
直线与平面平行
直线的投影与平面的投影 平行，且无重影。
直线与平面内无数条直线 平行。
直线平行于平面，且与平 面无交点。
定义
投影特性 性质
直线与平面垂直
定义
直线垂直于平面，并与平面相交于一点。
性质
直线与平面内任意直线垂直。
机械制图 - 直线与平面、 平面与平面的相对位置
xx年xx月xx日
• 直线与平面的关系 • 平面与平面的相对位置 • 直线和平面、平面和平面相对位
置的应用 • 直线和平面、平面和平面相对位
置的作图技巧 • 直线和平面、平面和平面相对位
置的练习题和解析
目录
01
直线与平面的关系
直线与平面相交
定义
直线与平面在某一点交汇，除该点外，直线不在平面上。
平行线法
通过作平行线来帮助确定平面与平面的相对位置，如过一点作平面 的平行线，再判断该平行线与另一个平面的关系。
05
直线和平面、平面和平面 相对位置的练习题和解析
练习题一：直线与平面的关系
直线与平面关系的基本概念
•·
01
直线与平面平行：直线不在
平面内，且与平面无交点。
02
03
直线与平面相交：直线在平 面内，或有且仅有一个交点
工程制图直线与平面平面与平面的相对位置 PPT
工程制图直线与平面平面与平面的 相对位置
直线与平面、平面与平面得相对位置 相对位置包括平行、相交与垂直。
一、直线与平面平行
若平面外的一直线与平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行。
利用该定理:① 在平面外作一直线与平面平行 ② 判断平面外直线与平面就是否平行
例1:过M点作直线MN平行于平面ABC。
p m
c
A
判别
可见性
a
n b
a
P
M
C
N
B m
a
m
n
pH b
作图过程
pHn b
c H
空间及投影分析
c
ABC就是一般位置平面, 平
面P就是铅垂面,其水平投影积聚成
直线 pH ,pH与abc得交点m、n 即 为两平面交线MN得水平性投影。
例2:求矩形平面P与ABC得交线MN,并判别可见性。
p b m
a n
有多少解？ a
a
b c m
●
b
●
mc
n
有无数解
n
例2:过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b
a a
b
cm n ●
c
m●
n
唯一解
例 3
不平行
二、直线与平面相交
直线与平面相交,其交点就是直线与平 面得共有点。
要讨论得问题: ● 求直线与平面得交点。
● 判别两者之间得相互遮挡关系,即判别可 见性。 我们先讨论直线或平面中至少有一个 处于特殊位置得情况。
⒉ 两平面平行 必须就是一个平面上得一对相交直线对应平行
于另一个平面上得一对相交直线。
1、平面为特殊位置
例:求直线MN与平面ABC得交点K,并判别可见性。
直线与平面、平面与平面得相对位置 相对位置包括平行、相交与垂直。
一、直线与平面平行
若平面外的一直线与平面内的一 条直线平行，则该直线与此平面平行。
利用该定理:① 在平面外作一直线与平面平行 ② 判断平面外直线与平面就是否平行
例1:过M点作直线MN平行于平面ABC。
p m
c
A
判别
可见性
a
n b
a
P
M
C
N
B m
a
m
n
pH b
作图过程
pHn b
c H
空间及投影分析
c
ABC就是一般位置平面, 平
面P就是铅垂面,其水平投影积聚成
直线 pH ,pH与abc得交点m、n 即 为两平面交线MN得水平性投影。
例2:求矩形平面P与ABC得交线MN,并判别可见性。
p b m
a n
有多少解？ a
a
b c m
●
b
●
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n
有无数解
n
例2:过M点作一正平线MN平行于平面 ABC。
b
a a
b
cm n ●
c
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n
唯一解
例 3
不平行
二、直线与平面相交
直线与平面相交,其交点就是直线与平 面得共有点。
要讨论得问题: ● 求直线与平面得交点。
● 判别两者之间得相互遮挡关系,即判别可 见性。 我们先讨论直线或平面中至少有一个 处于特殊位置得情况。
⒉ 两平面平行 必须就是一个平面上得一对相交直线对应平行
于另一个平面上得一对相交直线。
1、平面为特殊位置
例:求直线MN与平面ABC得交点K,并判别可见性。
工程制图(第四版)第4章 直线与平面、平面与平面的相对位置
一、积聚性法
V
N B
P
A
K
PH a bk
C
M
c
H
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影 为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上 找到。
1、直线与平面相交
V
B
AK PH a
bk M
N P
C c
b n a k
m
c
n a
kb
H
m 在平面之前 c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性 观察法
d
f c
e k
b
O a
二、平面与平面平行
P
E
D
F
C
S B
A
若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直 线，则这两个平面平行。
例3 试判断两平面是
否平行。
b
a n
m
c
X
d
c m
n a d
f s
r
e
O e
s
r
结论：两平面平行
f
b
例4 已知定平面由平行两直
线AB和CD给定。试过点K作 a
一平面平行于已知平面 。
作图过程
g
X g
h
d
3 k 2
f
e
1
4
b
c
a
l
l
O
a
b
3
d
e k2
f
1 4
h c
本章小结
1. 平行问题
（1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； （2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
工程制图之直线与平面 平面与平面相对位置
返回
A
Ⅰ
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直
D
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个 平面作的垂线必属于第一个平面。
例1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。
h’ f’
c’
g’
k’
a’
b’
d’
a d
f c b
k g
h
返回
例2 、试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
a’ e’
f
2
a
b k
1
c
e
返回
例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f’
c’
b’ PH f
2’ k’
1’
a’ e’
步骤：
1、 过EF作铅垂面P。 2、求P平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。
3、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点K。
a
1
b
k 2
c
e
返回
六、两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A
L F
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ 在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2 不可见。
返回
五、直线与一般位置平面相交
M
A
例题1
C
例题2
B
N
判别可见性
返回
例1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
QV
c’
f’ 1’
k’ b’
2’
步骤：
1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。
返回
例：求两平面的交线MN并判别可见性。
A
Ⅰ
A
Ⅰ
D
Ⅱ
两平面垂直
D
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个 平面作的垂线必属于第一个平面。
例1：平面由 BDF给定，试过定点K作平面的垂面。
h’ f’
c’
g’
k’
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b’
d’
a d
f c b
k g
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例2 、试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。
a’ e’
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a
b k
1
c
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例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f’
c’
b’ PH f
2’ k’
1’
a’ e’
步骤：
1、 过EF作铅垂面P。 2、求P平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。
3、求交线ⅠⅡ 与EF 的交点K。
a
1
b
k 2
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六、两一般位置平面相交求交线的方法
B M
K A
L F
点Ⅰ在FH上，点Ⅱ在BC上，点Ⅰ 在上，点Ⅱ在下，故fh可见，n2 不可见。
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五、直线与一般位置平面相交
M
A
例题1
C
例题2
B
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判别可见性
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例1 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
QV
c’
f’ 1’
k’ b’
2’
步骤：
1、 过EF作正垂面Q。 2、求Q平面与ΔABC 的交线ⅠⅡ。 3、求交线ⅠⅡ与EF 的交点K。
返回
例：求两平面的交线MN并判别可见性。
建筑制图第五章 直线、平面相对位置
第五章 直线与平面的相对位置 两平面的相对位置
基本要求
§5-1 直线与平面平行 • 两平面平行 §5-2 直线与平面的交点 • 两平面的交线 §5-3 直线与平面垂直 • 两平面垂直
基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
一、直线与平面相交只有一个交点 二、两平面的交线是直线 三、特殊位置线面相交 四、一般位置平面与特殊位置平面相交 五、直线与一般位置平面相交 六、两一般位置平面相交
一、直线与平面相交
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
二、平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知 平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例题1 例题2
二、平面与平面平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应 平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平 面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。
（四）点、线、面综合题 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步
骤和方法。
§5-1 直线与平面平行 • 两平 面平行
一、直线与平面平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该 平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
3．连接KH，KH即 为所求。
基本要求
§5-1 直线与平面平行 • 两平面平行 §5-2 直线与平面的交点 • 两平面的交线 §5-3 直线与平面垂直 • 两平面垂直
基本要求
（一）平行问题
1．熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； 2．熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
一、直线与平面相交只有一个交点 二、两平面的交线是直线 三、特殊位置线面相交 四、一般位置平面与特殊位置平面相交 五、直线与一般位置平面相交 六、两一般位置平面相交
一、直线与平面相交
A K B
直线与平面相交只有一个交点，它是直线与平面的共有点。
二、平面与平面相交
M
K
L
F
N
两平面的交线是一条直线，这条直线为两平面所共有
有关线、面平行的作图问题有：判别已知线面是否平行；作直线与已知 平面平行；包含已知直线作平面与另一已知直线平行。
例题1 例题2
二、平面与平面平行
几何条件 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应 平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。
两面平行的作图问题有：判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平 面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。
（四）点、线、面综合题 1．熟练掌握点、线、面的基本作图方法； 2．能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步
骤和方法。
§5-1 直线与平面平行 • 两平 面平行
一、直线与平面平行
几何条件 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与该 平面平行。这是解决直线与平面平行作图问题的依据。
3．连接KH，KH即 为所求。
机械制图直线与平面平面与平面的相对位置
a’ x
2’ 3’
f’
k’
b’
Ⅲ
g’
1’
A
4’
PV
2
Ⅱ
K
B
Ⅰ Ⅳ
解法一空间分析： 含点
f
与一直线作平面，求与另
a
3
k
b
一直线的交点。
4
g
图 5-13
1
例2 含点A作直线AB使与交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。
Ⅲ A
Ⅱ K
B
Ⅰ
Ⅳ
图 5-14
解法二空间分析： 含点和 两直线分别作面，求两面交 线与一直线的交点。
3. 再作平面S2，又可得到交 线上的另一个交点Ⅱ。
4. 连接I Ⅱ即P、Q的交线。
图 5-17
例 求△ABC和平面(L1 ∥ L2)的交线。
b’
l1’ l2’
k2’
1’ k1’
c’ 2’ 3’
S2V S1V
a’ x
c
a 1 k1 k2
b
2
图 5-18
3 l2
l1
§5-3 垂直问题
一、 直线和平面垂直 二、 两平面垂直
例2 已知点A到△ⅠⅡⅢ的距离为15，求a。
6’
2’
解题步骤：
b’
f’ a’ x
hc f
k
a’ d’
X d
g a
a
e
图 5-16
b’ e’
k’ l’
f’ RV
b
c’
lc f
k
e
例 求△ABC和△DEF的交线。（判别可见性）
b’ e’
1’
a’
k’ 2’
l3’’(4’) f’
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2.5.3 垂直问题
工
1 特殊情况的垂直问题
程
图
学
基
2 一般情况的垂直问题（不要求）
础
LAST
NEXT
HOME
1 特殊情况的垂直问题
1) 直线与投影面垂直面垂直
工 程 图 学 基 础
当直线与投影面垂直面垂直时，直线一定与该平 面所垂直的投影面平行，并且直线的投影一定与该平 面有积聚性的同面投影垂直。
NEXT
HOME
例2 过点K作一铅垂面P(用迹线和几何元素分别表示)，使之平
行于直线AB。
a′
工 程
图X
学 基
PV k′
b′
b
PX O
k
过k作PH∥ab；过PX
作PV⊥OX轴，则P平面 为所求。
础
a
PH
由于铅垂面的H投影为一直线，若作铅垂面平行 于直线AB，则PH必平行于ab。
LAST
NEXT
HOME
b
工 a
程
图X 学a
基 础
m d
c
m c d
k
作图步骤
先在△ABC内任作水平线 AD
O
再过点K作KM∥AD即 km∥ad，k m ∥a d′，
则直线KM为一水平线且平
k
行于已知平面△ABC。
b
分析：△ABC上的水平线有无数条，但其方向是确定 的，因此过K点作平行于△ABC的水平线也是唯一的。
LAST
例9 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否 垂直。
h
c
工
g
f
程
k
图
学
X
基
g
础
f k
结论：两平面不垂直。
d b
c
b d
a
O
LAST
NEXT
HOME
本章小结
1. 平行问题
（1）熟悉直线、平面平行，平面与平面平行的几何条件；
（2）熟练掌握直线、平面平行，平面与平面平行的投影特性及作图
方法。
O
e
s
r
b
结论：两平面平行
f
LAST
NEXT
HOME
例4 已知平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面 平行于已知平面 。
工 程 图 学X 基
m b
c
c
a
s
d
f
k
e
n
r
O
r
础
b
m
n
d
f
e k
s
a
LAST
NEXT
HOME
2.5.2 相交问题
工
1 积聚性法
程
图
学
2 辅助平面法（不要求）
基
础
LAST
例6 求点D到△AB
d
程
图X a
学 基 所求距离 e
础
m
d
b i k f
n
i PnH kf
c
O
c
b
作图步骤
(1)在△ABC平面上先作正平 线CE和水平线AF (2)过点D作△ABC的垂线DI。
(3)过DI作铅垂面(辅助平面)， 用PH表示，求出DI与△ABC 的交点K(K点为垂足) (4)用直角三角形法求出距离 DK的实长 。
工
c
程 图
学X
基 础
c
a
d
k 1（2） f
b
e
O
e
2
f
ka(b)
1
d
分析：直线AB是 铅垂线，H投影有积聚 性，故交点的H投影k
必和a（b）重合。又
因交点K是△CDE上的 点，因此可用求面上 取点的方法，求出K点
的V面投影k′。
可见性判别----重影点法 点Ⅰ位于AB上在前。点 Ⅱ位于平面上在后；故 k1为可见。
d 4
c
1 (2)
a′b′c′与d′e′f′的交点1′(2′) 即为
工
3 b a
e f
交线的正面投影，由此在ac上求 得2，在df上求得1，12为交线的 水平投影。
程
图 学
X
e d
2
O c
平面水平投影的重叠部分， 其可见性利用重影点进行判 断。
基
a (3)4 1
础
b
f
两个平面同时垂直于某投影面，其交线为该投影面 垂直线。两正垂面△ABC与△DEF相交，交线ⅠⅡ为正 垂线。
工 2. 相交问题
程
（1）熟练掌握特殊位置直线、平面相交（其中直线或平面的投影具
有积聚性）交点的求法和作两个平面的交线（其中一平面的投影具有
图 积聚性）。
学
（2）熟练掌握一般位置直线、平面相交求交点的方法。
（3）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
基 3. 垂直问题
础
掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的投影特性及作图方法。
NEXT
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交点与交线的性质
B D
工
PA
KA
程
K
图B
L
F
E
学 C
基
础
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与
平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交
点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是
两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质
是求共有点、共有线的投影。
LAST
NEXT
b
m
VM
k
B
c
f
l
工
程
K LX
a
n
O
图 学 基 础
m
C c
F
N ka
f
l
n
m
H
f
kb a l
c
n
LAST
NEXT
HOME
平面可见性的判别
VM B
工
K
程
L
图 学
m C
F
N ka
f
l
基
cn
础
m
c
f
b
k l
a
X
n
O
m
kb a
H
f
l
c
直观法即可判断
n
LAST
NEXT
HOME
4) 两个垂直于同一投影面的平面相交
础
当直线或平面的投影具有积聚性时，可利用积聚性 的特性直接做出交点或交线的一个投影，然后再利用在 直线或平面上取点的方法求出另一投影。
LAST
NEXT
HOME
1) 投影面倾斜线与特殊位置平面相交
V P
N
工
B
b n
a k m
程
图
AK
X
c
O
学 基
PH a M bk
C cH
础
a
n
kb
m
c
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时， 交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一 个投影可在直线的另一个投影上找到。
LAST
NEXT
HOME
直线可见性的判别
b
n
V P
N
工
B
a k m
程
图
AK
X
c
O
学 基
PH a M bk
C cH
a
n
kb
础
m
c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能够 直接判别直线的可见性----观察法，由水平投影可知KM
段在平面前，故正面投影上k m 为可见。
LAST
NEXT
HOME
2) 投影面垂直线与投影面倾斜面相交
LAST
HOME
作业
工 • 习题集2-11至2-15
程 图 学 基 础
C
学
基
D
础
P
若一直线平行于平面上的一直线，则该直线与平面平 行。反之，若平面上不存在与此直线平行的直线，则可
LAST
NEXT
HOME
工 程 图 学 基 础
当平面为某一投影面垂直面时，只要其有积聚性的投 影与直线的同面投影平行，则直线一定平行于该平面。
例1 过已知点K，作一水平线KM平行于已知平面△ABC 。
求空间点到某平面的距离，可通过空间点向该平面 作垂线，再求出所作垂线与该平面的交点(即垂足)，最 后用直角三角法求出距离的实长。
LAST
NEXT
HOME
例7 过点D作平面垂直于直线AB。
作图步骤
工
(1) 过D点作水平线CD垂直 于直线AB。
程
(2) 过D点作正平线ED垂直
图
于直线AB。
学
由两相交直线ED、CD所确
2 两平面平行
E
工
Q
F
程
D
图
学
B
基
P
C
础
A
若一平面上的两相交直线对应地平行于另一平面上的两 相交直线，则这两个平面平行。
LAST
NEXT
HOME
两迹线平面平行
V
工
程 图
X PX
学
基
础
PV
QV
O
H PH
QH
X PX
PV
QV
O QX
PH QH
两平行平面和第三个平面相交，其交线一定互相 平行。因此，两平行平面的同面迹线一定平行。
基
定的平面垂直于直线AB。
础
直线垂直于平面，直线的水平投影必垂直于该平面 的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于该平面 的正平线的正面投影。