直线与平面、平面与平面的相对位置

一平面平行于已知平面 。
a
s
d
f
k
e
m
n
b
c
r
X
O来自百度文库
c
r
n
e
b
k
m
d
f
s
a 6
例5 试判断两平面是否平行
s
a
d
e
f
r
X
es
SH d a
f r PH
结论：两平面平行
b c
O
c b
7
3.2 相交问题
3.2.1 积聚性法 3.2.2 辅助平面法
8
交点与交线的性质
B D
n
X
O
n
33
分析 平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹
角互为补角
C A
E
B
D
34
作图过程
m
|zM-zN|
n
X mn
n
|yM-yN| m
k
mn
|yM-yN|
h
直径任取
O
30°
45° NM
k
mn
|zM-zN|
h
35
3.3.2 两平面垂直
A
P
B
几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线 的所有平面都垂直于该平面。
4. 综合问题分析及解法
（1）熟练掌握点、线、面的基本作图方法； （2）能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题 步骤和方法。
54
垂直。
h
c
g
f
k
X
g
d b
c
a
O
f
k
b
d
结论：两平面不平行。
39
3.4 综合问题分析及解法
3.4.1 空间几何元素定位问题 3.4.2 空间几何元素度量问题
40
平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个 单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问 题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法 才能解决。
d
c
b
n
30
例9 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV
SV
h
k
h
k
k
k
h
k
h QH
hk
31
例10 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂
直于定平面。
a
c
m
e
f
b
d
X
n
O
b
a
m
e
d
c
f
n
32
例11 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °，与H面 的夹角为45 °。
EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL ∥AH交AB于L点
，KL即为所求的公垂线。
52
g
X g
作图过程
h
d
3 k 2
f
e
1
4
b
c
a
l
l
a
b
3
d
e k2
f
1
4
h c
O
53
本章小结
1. 平行问题
（1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； （2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
d
X
d
f c
e k
b
O a
3
3.1.2 平面与平面平行
P E
S B
A D
F
C
若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直 线，则这两个平面平行。
4
例3 试判断两平面是否平行
a
b n
m
c
X
d
c m
n a d
f s
r
e
O e
s
r
f
b
结论：两平面平行
5
例4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作
2. 相交问题
（1）熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚 性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。
（2）熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、 面相交求交线的作图方法。
（ 3 ）掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
3. 垂直问题
掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。
49
作图过程
X 所求距离
d
a 1
k
2
c
b e
b
c
1
d
k
2 a
e
O
50
3.4.1 空间几何元素度量问题
例17 求交叉直线AB和CD的公垂线。 d
b
a c
X
O
a
b
d
c
51
分析
D
G
F
H
K
B
E L
A
PC
过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A 作平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线
D L
E
C
20
作题步骤
c X f
f
c
b PV e
2
k
1
l
1、用直线与
d
平面求交点
QV 的方法求出
两平面的两
个共有点K、
b2
a O
L。
2、连接两个 共有点，画
l
出交线KL。
k
a d
1
21
e
两平面相交，判别可见性
c
X m
m
3
k 4
3 (4 )
k
c
b n 1 (2 )
26
3.3.1 直线与平面垂直
V
C A
E B
D
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
27
n
V C
A
k a
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
n 定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂 直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。
e
d
c
X c
g h f
g
h f
d e
O
42
分析 C
DE G
A
B F
H
所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与 交叉直线EF、GH相交。
43
作图过程
e
d
b
1
c PV k
g a
h
f 2
X
k
O
g
c
1a
h
f2
d
b
e
44
例15 试过定点A作直线与已知直线EF正交。
11
例6 铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可 见性。
a’
d’
c’
k’
f’
b’
e’
X
O
e
f
k a(b) d
c
12
（2） 两平面相交
b
V M
m
k
c
f
l
P
B
X
K
m
m C
c PH
F Nk
fb n
L
a l
c
H
n
kb f
n
a
O a
l
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
作图步骤
c
b
b c
PV
f1 m
2
a
n
a f
n2
m1
k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
h
2、过直线EF作正垂
e 平面P。
3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。
he
4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
5、连接KH，KH即 为所求。
k
25
3. 3 垂直问题
3.3.1 直线与平面垂直 3.3.2 平面与平面垂直
l
e
a
O
b2
e a l
1
n
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
22
例7 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相 交。
b
X
b
c f
a
a f
k
e
eO
c
k
23
分析 F
K
C
H
A
E
B
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交 于H；连接KH，KH即为所求。
24
3.1.1 直线与平面平行
P
C
A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与 该平面平行。
1
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c
g
d f
X
f d
g c
结论：直线AB不平行于定平面
a e
e
a
b
O
b
2
例2 过点K作一水平线AB平行于已知平面 ΔCDE。 c
f
e b k a
f
e
X e
a
O a
f
45
分析
A
E
K
F
过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求
。 46
作图过程
2 f
1 e
a
1
e
PV
e
e
2
a
f 2 k
a
2
a
k
f
f
1
47
1
例16 求点C到直线AB的距离。
a
c
X c
b
O b
a
48
分析
A
K
P
C
B 过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直 的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与 AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。
求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问 题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如 距离、角度）。
综合问题解题的一般步骤： 1. 分析题意 2. 明确所求结果，找出解题方法 3. 拟定解题步骤
41
3.4.1 空间几何元素定位问题
例14 已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与CD平
行，并且与EF、GH均相交。
A E
K 1
2 D
C B
过AB作平面P垂直于H投影面
16
a
c
X PH a c
d
2 k 1
1
k
2
d
作题步骤：
1、 过AB作铅
垂平面P。
2、求P平面与
ΔCDE的交线
e ⅠⅡ。
b
O 3、求交线
ⅠⅡ与AB的交
e 点K。
b 17
直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。
d
a ( 2 ) 1
4
c
k
3
e
X
b
O
a
2
e
c
k（3） 4
1
d
b
18
以正垂面为辅助平面求线面交点
f
QV
1
b
f
c
步骤：
1、 过EF作正
k
垂平面Q。
2、求Q平面与
2
ΔABC的交线
a ⅠⅡ。
e
3、求交线
ⅠⅡ与EF的交
2
a 点K。
b k
1 19
c
e
两一般位置平面相交求交线的方法 B
F
A K
利用求一般位置 线面交点的方法找 出交线上的两个点， 将其连线即为两平 面的交线。
36
A
Ⅰ Ⅱ
B
两平面垂直
A
Ⅰ
B
Ⅱ
两平面不垂直
反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点 向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
37
例12 平面由 BDF给定，试过定h点K作已知平面的垂面
f
c
g
k
a
b
d
X
a d
f c
O k
g
b h
38
例13 试判断 ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否
c
H
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点 的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可 在直线的另一个投影上找到。
10
直线可见性的判别
V
B
AK PH a
bk M
N P
C c
b n
a k m
c
n a
kb
H
m 在平面之前 c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接 判别直线的可见性--观察法
PA
K B
KA
L
F
E
C
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面 相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线 与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共 有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有 线的投影。
9
3.2.1 积聚性法
V
N B
P
A
K
PH a bk
C
M
由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
13
平面可见性的判别
VM B
m
c
f
b
k l
m C
K F
X L
N ka
f
l
a
n
O
m
kb a
f
l
c
n
Hc
n
14
平面可见性的判别
VM B
m C c
K
L F
N ka
f
l
n
m
c
f
b
k l
a
X
n
O
m
kb a
f
l
Hc n
15
3.2.2 辅助平面法
28
n
V
f
A
C
E
D
a
B Xd
a d
c b
f c
k
O k
b
n
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投 影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面。
29
例8 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。
n f
c
a
m b
d
f
m
a