北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习(二)

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1、 已知集合(){}|10A x x x x =-<∈R ，，{}|22B x x x =-<<∈R ，，那么集合AB 是（ ）A ．∅B ．{}|01x x x <<∈R ，C ．{}|22x x x -<<∈R ，D ．{}|21x x x -<<∈R ，2、 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x 的值等于（ ） A ．0.754 B ．0.048C ．0.018D ．0.0123、 已知圆的极坐标方程是2cos ρθ=，那么该圆的直角坐标方程是（ ）A ．()2211x y -+= B ．()2211x y +-= C ．()2211x y ++= D ．222x y +=4、 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 5、 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．46、 已知π3sin 45x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么sin 2x 的值为（ ）频率组距0.054x0.010.0061009080706050400成绩俯视图侧（左）视图正（主）视图否是输出 xx =3x +1x = x 1 x >1输入x开始A ．325 B ．725 C ．925 D ．18257、 过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点到y轴的距离等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48、 已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9、 已知向量()23a =-，，()1b λ=，，若a b ∥，则λ=________． 10、 若复数i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为________． 11、 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为________，4S 的值为________．12、 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A ，且过点C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ，若CM MN ND ==，22AC =，则CM =________，AD =________．13、 5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有________种．14、 在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na at a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n-=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15、 （本小题共13分）OACM N BD已知函数()()sin 3cos sin f x xx x =-．⑴ 求()f x 的最小正周期；⑵ 当2π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，求()f x 的取值范围．16、 （本小题共13分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人）优秀良好 合格 男 180 70 20 女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人． ⑴ 求a 的值；⑵ 若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X 为抽取女生的人数，求X 的分布列及数学期望．17、 （本小题共14分）如图，BCD △是等边三角形， AB AD =，90BAD ∠=︒，将BCD △沿BD 折叠到BC D '△的位置，使得AD C B '⊥． ⑴ 求证：AD AC '⊥；⑵ 若M ，N 分别是BD ，C B '的中点，求二面角N AM B --的余弦值．DC B ANMDCBA18、 （本小题共14分）已知函数()ln af x x x=+（0a >）． ⑴ 求()f x 的单调区间；⑵ 如果()00P x y ，是曲线()y f x =上的任意一点，若以()00P x y ，为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；⑶ 讨论关于x 的方程()()32122x bx a f x x++=-的实根情况．19、 （本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率32e =，原点到过点()0A a ，，()0B b -，的直线的距离是455． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 若椭圆C 上一动点()00P x y ，关于直线2y x =的对称点为()111P x y ，，求2211x y +的取值范围．⑶ 如果直线1y kx =+（0k ≠）交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值．20、 （本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，410n a -=，411n a +=（*n ∈N ）．⑴求4a ，7a ；⑵是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=； ⑶设3122310101010nna a a a S =+++++，问S 是否为有理数，说明理由．北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）A （4）D （5）D （6）B （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32- （10）1 （11）12 152（12）2 27 （13）150 （14）①③注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为()sin (3cos sin )f x x x x =- 23sin cos sin x x x =-=21(23sin cos 2sin )2x x x -11=(3sin 2cos2)22x x +-1sin(2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2T π==π2． （Ⅱ）因为203x π<<，所以32662x πππ<+<．所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）设该年级共n 人，由题意得5030180120n =+，所以500n =． 则500(180120702030)80a =-++++=．（Ⅱ）依题意，X 所有取值为0,1,2．22251(0)10C P X C ===，1123253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===．X 的分布列为：X12 P110 353101336012105105EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………13分（17）（共14分） （Ⅰ）证明：因为90BAD ∠=所以AD AB ⊥，又因为'C B AD ⊥，且'ABC B B =，所以 AD ⊥平面'C AB ， 因为'AC ⊂平面'C AB ， 所以 'AD AC ⊥． （Ⅱ）因为△BCD 是等边三角形，AB AD =，90BAD ∠=，不防设1AB =，则 2BC CD BD ===， 又因为M ，N 分别为BD ，'C B 的中点，由此以A 为原点，AB ，AD ，'AC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz -．则有(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，'(0,0,1)C ，11(,,0)22M ，11(,0,)22N ． 所以11(,,0)22AM =，11(,0,)22AN =．设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =m ． 则00.AM AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m ,m ABCDMNx yz即110,22110.22x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，则1y z ==-．所以(1,1,1)=--m ． 又平面ABM 的一个法向量为(0,0,1)=n ． 所以 13cos ,33⋅-<>===-m n m n m n ． 所以二面角N AM B --的余弦值为33． ………………………………14分 （18）（共14分） 解:(Ⅰ) ()ln af x x x=+，定义域为(0,)+∞， 则|221()a x af x x x x-=-=． 因为0a >，由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞， 由()0,f x '<得(0,)x a ∈， 所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ，单调递减区间为(0,)a ． (Ⅱ)由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足 00201()2x a k f x x -'==≤ 0(0)x >， 所以20012a x x ≥-+对00x >恒成立．又当00x >时， 2001122x x -+≤，所以a 的最小值为12． (Ⅲ)由题意，方程32()1()22x bx a f x x ++=-化简得21ln 2b x x =-+12 (0,)x ∈+∞令211()ln 22h x x x b =--+，则1(1)(1)()x x h x x x x+-'=-=．当(0,1)x ∈时， ()0h x '>， 当(1,)x ∈+∞时， ()0h x '<，所以()h x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减．所以()h x 在1x =处取得极大值即最大值，最大值为211(1)ln1122h b b =-⨯-+=-．所以 当0b ->， 即0b <时，()y h x = 的图象与x 轴恰有两个交点，方程32()1()22x bx a f x x ++=-有两个实根，当0b =时， ()y h x = 的图象与x 轴恰有一个交点，方程32()1()22x bx a f x x ++=-有一个实根，当0b >时， ()y h x = 的图象与x 轴无交点，方程32()1()22x bx a f x x ++=-无实根． ……14分（19）（共13分）解: (Ⅰ)因为32c a =，222a b c -=，所以 2a b =．因为原点到直线AB ：1x ya b -=的距离22455ab d a b==+， 解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164x y+=．(Ⅱ)因为点()00,P x y 关于直线2y x =的对称点为()111,P x y ， 所以 011010121,2.22y y x x y y x x-⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩解得 001435y x x -=，001345y x y +=．所以22221100x y x y +=+． 因为点()00,P x y 在椭圆C :221164x y +=上，所以22222011344x x y x y +=+=+．因为044x -≤≤， 所以2211416x y ≤+≤． 所以2211x y +的取值范围为[]4,16． (Ⅲ)由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得 22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>． 设22(,)E x y ，33(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ，则2324214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+． 所以21MBM M y k x k +==-． 所以20M M x ky k ++=．即224201414k k k k k -++=++．又因为0k ≠， 所以218k =．所以24k =±． ………………………………13分（20）（共13分）解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ）， 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====． 与已知411n a +=矛盾． 若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ）， 则22n T n n a a a +==， 而222n T n t n t a a a +++== 从而n t n a a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾．综上，不存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． （Ⅲ）若S 为有理数，即S 为无限循环小数，则存在正整数0N ，T ，对任意的*n ∈N ，且0n N ≥，有n T n a a +=． 与（Ⅱ）同理，设T 为其中最小的正整数． 若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ），当041n N +≥时，有41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====． 与已知411n a +=矛盾． 若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ）， 当0n N ≥时，有22n T n n a a a +==， 而222n T n t n t a a a +++== 从而n t n a a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾．故S 不是有理数． ……………………………………………………13分。