2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练9Word版含解析

合集下载

高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练10

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练10一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析由a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1n ＝1S n －S n －1n ≥2，n ∈N *＝⎩⎪⎨⎪⎧－8n ＝1，2n －10n ≥2，n ∈N *，得a n ＝2n －10(n ∈N *)，由5<2k －10<8，得7.5<k <9，因为k ∈N *，所以k ＝8. 答案 B2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1(n ∈N *)，T n是数列{b n }的前n 项和，则T 9等于( )A.919B.1819C.2021D.940解析 ∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，∴n ＝1时，a 1＝2；n ≥2时，a n ＝S n－S n －1＝2n ，∴a n ＝2n (n ∈N *)，∴b n ＝1a n a n ＋1＝12n2n ＋2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T 9＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝940.答案 D3．已知数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 013等于( ) A ．2 011×2 010 B ．2 013×2 012 C ．2 014×2 013 D ．2 0132解析由a n ＋1＝a n ＋2n ， ∴a n ＋1－a n ＝2n ，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝4，……a 2 013－a 2 012＝4 024.累加得a 2 013－a 1＝2＋4＋6＋…＋4 024＝2 012×4 0262＝2 012×2 013，又a 1＝0，故a 2 013＝2 012×2 013.答案 B4．(2013·山东日照一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n＝( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2 1≤n ≤3n 2－6n ＋18n >3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6nn >3解析由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7.∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3，n 2－6n ＋18 n >3.答案 C5．已知曲线C ：y ＝1x(x >0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0)，其中x 2>x 1>0.过A 1，A 2分别作x轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( )A ．x 1，x 32，x 2成等差数列B ．x 1，x 32，x 2成等比数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列解析由题意，B 1，B 2两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，⎝⎛⎭⎪⎫x 2，1x2，所以直线B 1B 2的方程为y＝－1x 1x 2(x －x 1)＋1x 1，令y ＝0，得x ＝x 1＋x 2，∴x 3＝x 1＋x 2，因此，x 1，x 32，x 2成等差数列．答案 A6．等比数列{a n }的各项均为正数，a k a k －2＝a 26＝1 024，a k －3＝8，若对满足a t >128的任意t ，k ＋tk －t≥m 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6] B ．(－∞，－8] C ．(－∞，－10]D ．(－∞，－12]解析 a k a k －2＝a 26＝1 024⇒k ＝7，a 6＝32，又a k －3＝a 4＝8，a n >0，所以q ＝2，a n ＝2n －1.由a t ＝2t －1>128＝27⇒t ≥9，由题意知m ≤⎝⎛⎭⎪⎫k ＋t k －t min，而⎝⎛⎭⎪⎫k ＋t k －t min ＝7＋97－9＝－8，故选B.答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13，化简得：a n ＝－2a n －1，又a 1＝S 1＝23a 1＋13，得a 1＝1，故{a n }为以1首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案 (－2)n －18．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5>13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为________．解析设{a n }的公差为d (d ≠0)，则a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d . 又a 22＝a 1·a 5，且d ≠0，∴d ＝2a 1. ∴a 1＋a 2＋a 5＝13a 1>13，∴a 1>1. 答案 (1，＋∞)9．设数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则称数列{a n }为“凸数列”，已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }前2 013项的和为________．解析由“凸数列”的定义，可写出数列的前几项，即b 1＝1，b 2＝－2，b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，… 故数列{b n }是周期为6的周期数列．又b 1＋b 2＋b ＋b 4＋b 5＋b 6＝0，故S 2 013＝S 335×6＋3＝b 1＋b 2＋b 3＝1－2－3＝－4，故填－4. 答案－4三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·安徽凤阳二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝12，S n ＝n 2a n －n (n －1)，n ＝1,2，…….(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n S n 是等差数列，并求S n ； (2)设b n ＝S nn 3＋3n 2，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <512.证明 (1)由S n ＝n 2a n －n (n －1)知，当n ≥2时，S n ＝n 2(S n －S n －1)－n (n －1)，即(n 2－1)S n －n 2S n －1＝n (n －1)，∴n ＋1n S n －nn －1S n －1＝1，对n ≥2成立．又1＋11S 1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫n ＋1n S n 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴n ＋1n S n ＝1＋(n －1)·1.∴S n ＝n 2n ＋1.(2)b n ＝S nn 3＋3n2＝1n ＋1n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3，∴b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1n ＋2－1n ＋3<512.11．(本小题10分)(2013·山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数)．令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋2n －1d ＝2a 1＋2n －1d ＋1.解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意知T n ＝λ－n2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n ∈N *，所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，两式相减得34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，整理得R n ＝19⎝⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.12．(本小题10分)(2013·天津卷)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12，故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56.所以数列{T n }的最大项的值为56，最小项的值为－712.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试高频考点训练1 Word版含解析集合函数

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷专题综合测试1 Word 版含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·重庆卷)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析由已知得A ∪B ＝{1,2,3}，又集合U ＝{1,2,3,4}，所以∁U (A ∪B )＝{4}．答案 D2．(2013·辽宁卷)已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝( )A ．(0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]解析经计算A ＝{x |1<x <4}，B ＝{x |x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案 D3．(2013·福建卷)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 a ＝3⇒A ⊆B ，但A ⊆B 可得a ＝2或a ＝3，故选A. 答案 A4．下列结论错误的是( )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真C ．“若am 2<bm 2，则a 0，且a ≠1)的图象可能是( )解析当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A 、B.当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且1－1a <0，D 满足．答案 D6．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a b >c解析 a ＝log 233，b ＝log 233，∴a ＝b >1.又c ＝log 32<1， ∴a ＝b >c . 答案 B7．(2013·重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322解析 (3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18 ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋814，当a ＝－32∈[－6,3]时，(3－a )(a ＋6)取得最大值92. 答案 B 8．2013年下半年某省市拟联合公选年轻干部，其中省管干部x 名，市管干部y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4≥0，x －y ＋4≥0，x ≤4，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝7x ＋9y 的最大值是( )A ．64B ．72C ．90D ．100解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(取阴影部分中的整点)，由目标函数z ＝7x ＋9y 的意义可知当直线z ＝7x ＋9y 过A 点时，z 取得最大值，此时z ＝7×4＋9×8＝100.选D. 答案 D9. 设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能是( )解析在区间(0,2)上，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,2)上单调递减，符合题意的只有C. 答案 C10．(理)(2013·江西卷)如图所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析正三角形的高为1，则边长为233，当x ＝时，y＝233(0<x <π)，排除B ；由平行线分线段成比例知BE AB ＝1－cos x 21，即BE ＝233⎝⎛⎭⎫1－cos x 2，而BE ＝CD ，故y ＝2EB ＋BC ＝23－433cos x 2(0<x <π)，排除A ，C ，故选D. 答案 D10．(文)(2013·东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ．1D ．4 解析由题意可知f ′⎝⎛⎭⎫14＝12x －12| x ＝14＝1，g ′⎝⎛⎭⎫14＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案 A 11．(理)(2013·辽宁卷)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，得[x 2f (x )]′＝e x x ，令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e x x ，又f (x )＝g (x )x 2，所以f ′(x )＝xg ′(x )－2g (x )x 3＝e x －2g (x )x 3，令h (x )＝e x －2g (x )，h ′(x )＝e x －2g ′(x )＝e x －2e x x ＝e x (x －2)x ，当0<x <2时，h ′(x )<0，当x >2时，h ′(x )>0，所以h (x )≥h (2)＝0，即f ′(x )≥0，所以当x >0时，f (x )单调递增，f (x )既无极大值也无极小值．答案 D11．(文)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 解析依题意得，函数f ′(x )、g ′(x )分别是偶函数、奇函数，当x <0时，－x >0，f ′(x )＝f ′(－x )>0，g ′(x )＝－g ′(－x )<0，选B. 答案 B12．(理)(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2,1] D ．[－2,0]解析解法一：|f (x )|的图象如图，x >0时，ln(x ＋1)>0，x >0时|f (x )|≥ax ，即ln(x ＋1)>ax ，由图可得a ≤0；而x ≤0时|f (x )|≥ax ，即x 2－2x ≥ax ，得a ≥x －2恒成立得a ≥－2.综上得－2≤a ≤0，故选D.解法二：由图得a >0不成立，故a ≤0，结合图象可得，|f (x )|≥ax恒成立，只需a 大于等于x 2－2x 在x ＝0处的切线的斜率，即a ≥(2x－2)|x ＝0，所以a ≥－2，得－2≤a ≤0. 答案 D12．(文)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a 0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12，c <a <b ，选C. 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1. ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3.因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案－114．某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0，即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)．当x >40时，y ′>0. 当0<x <40时，y ′<0，所以当x ＝40时，y 最小．答案 4015．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析设P ⎝⎛⎭⎫t ，1t ，其中t >0， PA 2＝(t －a )2＋⎝⎛⎭⎫1t －a 2 ＝t 2＋1t 2－2a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2a 2，即PA 2＝⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－2a ⎝⎛⎭⎫t ＋1t ＋2a 2－2，令m ＝t ＋1t≥2，所以PA 2＝m 2－2am ＋2a 2－2＝(m －a )2＋a 2－2，当PA 取得最小值时⎩⎨⎧ a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝(22)2，或⎩⎨⎧ a >2，a 2－2＝(22)2.解得a ＝－1或a ＝10.答案－1，10 16．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出下列命题： ①f (3)＝0； ②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为____ (把所有正确命题的序号都填上)．解析取x ＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)，又y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴f (－3)＝f (3)＝0，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期函数且T ＝6，故①②正确；由题意可知f (x )在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f (－3)＝f (3)＝f (9)＝f (－9)＝0，④正确．答案 ①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )>0的解集为(－1,3)．(1)求a ，b 的值； (2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值．解 (1)由条件得⎩⎨⎧ －1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得a ＝－1，b ＝4.(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1，∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增．∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1，解得m ＝1±3.∵m <1，∴m ＝1－ 3.18．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－12x ＋3＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x <2－3，或x >2＋3时，得f ′(x )>0；当2－3<x <2＋3时，得f ′(x )<0.因此f (x )递增区间是(－∞，2－3)，(2＋3，＋∞)； f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3， Δ＝36a 2－36，由Δ>0得，a >1或a <－1，又x 1x 2＝1，可知f ′(2)<0，且f ′(3)>0，解得54<a <53，因此a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫54，53. 19．(本小题12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a . 又f (1)＝a ＋1＝c ， ∴f (x )在点(1，c )处的切线方程为y －c ＝2a (x －1)，即y －2ax ＋a －1＝0. 又∵g ′(x )＝3x 2＋b ，则g ′(1)＝3＋b . 又g (1)＝1＋b ＝c ，∴g (x )在点(1，c )处的切线方程为 y －(1＋b )＝(3＋b )(x －1)，即y －(3＋b )x ＋2＝0.依题意知3＋b ＝2a ，且a －1＝2，即a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时， h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1.h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1. h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的变化情况如下：当－3<k <2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．20．(本小题12分)(2013·北京卷)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程； (2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解 (1)设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2. 所以f ′(1)＝1，即L 的斜率为1. 又L 过点(1,0)，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x >0，x ≠1)．g (x )满足g (1)＝0，且g ′(x )＝1－f ′(x )＝x 2－1＋ln x x2. 当0<x <1时，x 2－1<0，ln x <0，所以g ′(x )<0，故g (x )单调递减；当x >1时，x 2－1>0，ln x >0，所以g ′(x )>0，故g (x )单调递增．所以，g (x )>g (1)＝0(∀x >0，x ≠1)．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．21．(本小题12分)(理)(2013·湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布N (800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p 0. (1)求p 0的值；(参考数据：若X ～N (μ，σ2)，有P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ＝0.997 4) (2)某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p 0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y .依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0.由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是原问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y . 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．21．(本小题12分)(文)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4. 由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8. 从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝⎛⎭⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2. 从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0. 故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．故当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)． 22．(本小题12分)(理)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝(1＋x )e－2x ，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x .当x ∈[0,1]时， (1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x； (2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e－2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )·e －x ≥(1－x )e x . 记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )，当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0.所以f (x )≥1－x ，x ∈[0, 1]．要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≤11＋x，只需证明e x ≥x ＋1. 记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0，因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0. 所以f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f (x )≤11＋x ，x ∈[0,1]． (2)f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝⎛⎭⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫a ＋1＋x 22＋2cos x . 设G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x .记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x )<0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )<G ′(0)＝0，故G (x )在[0,1]上是减函数．于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3. 所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立，下面证明，当a >－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤11＋x －1－ax －x 32－2x cos x ＝－x 1＋x－ax －x 32－2x cos x ＝－x ⎝⎛⎭⎫11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ，记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x ＋a ＋G (x )，则I ′(x )＝－1(1＋x )2＋G ′(x )，当x ∈(0,1)时，I ′(x )<0.故I (x )在[0,1]上是减函数，于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos1，a ＋3]．因为当a >－3时，a ＋3>0，所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)>0，此时f (x 0)<g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．22．(本小题12分)(文)(2013·浙江十校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R)． (1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－4x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)． ①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a . 在区间⎝⎛⎭⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞. (2)由题意得f (x )max <g (x )max ，而g (x )max ＝2，由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试4Word版含解析

专题四综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．如图是一正方体被过点A、M、N的平面和点N、D、C1的平面截去两个角后所得的几何体，其中M、N分别为棱A1B1、A1D1的中点，则该几何体的正视图为()解析正视图是正方形，点M的射影是中点，对角线DC1在正视图中是虚线，故选B.答案 B2．如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为()A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π解析由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C.答案 C3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ， b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 解析若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α，a ∥β，故排除A. 若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C. 答案 D4．将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的( )A.12B.13C.23D.14解析设正方体的棱长为1，依题意知，截去的角为一个三棱锥，其体积为：V 1＝13×12×1×1×1＝16，则V 正四面体＝1－4×16＝13.∴V 正四面体V 正方体＝131＝13.答案 B5．已知空间中有三条线段AB 、BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 异面C ．AB 与CD 相交D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交解析若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB 与CD 平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线，故选D.答案 D6．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A.32B.12C.33D.36解析由于是正三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是23×32＝33，故侧棱与底面所成角的余弦值为332＝36.答案 D7．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析由棱柱ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱底面边长为3，设高为h ，得32×32×12×h ＝94，解得h ＝3，设△ABC 中心为O ，则PO ＝3，AO ＝23×32×3＝1，由PO ⊥面ABC 知∠P AO 即AP 与面ABC 所成的角，tan ∠P AO ＝3，所以∠P AO ＝π3.答案 B8．(2013·长沙模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面三角形BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为( )A ．16 3B ．8 3C ．4 3D.833解析设正三棱柱的底面边长为a ，高为2h ，则BD ＝C 1D ＝a 2＋h 2，BC 1＝a 2＋4h 2，由△BC 1D 是面积为6的直角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧2×(a 2＋h 2)＝a 2＋4h 2，12(a 2＋h 2)＝6，解得⎩⎨⎧a 2＝8，h ＝2，故此三棱柱的体积为V ＝12×8×sin60°×4＝8 3.答案 B9.如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC ⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC 与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案 D10．(2013·湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4解析由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V 1＝13π×(12＋22＋1×2)×1＝73π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V 2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V 3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V 4＝13×(22＋22×42＋42)×1＝283，比较大小可知答案选C.答案 C11．(理)如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13解析取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴A ′O ⊥平面BCD ，∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD ，假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，A 错误，∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′－BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误，故选B.答案 B11．(文)(2013·江西九校联考)如图所示，三棱锥V －ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33C.34D.36解析由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33.答案 B12.如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，则该几何体的外接球的表面积等于( )A ．3πB ．6π C.3π2D ．2π解析在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝2；在Rt△ABD中，AD＝AB2＋BD2＝ 3.如图所示，折起的几何体为一个三棱锥A－BCD，因为AB⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AB⊥平面BCD，又因为CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC.取AD的中点O，连接OB，OC.在Rt△ABD中，OA＝OB＝OD＝12AD＝32；在Rt△ACD中，OA＝OC＝OD＝12AD＝32，所以三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，半径为32，故其表面积为S＝4πr2＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π.答案 A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析该几何体是一圆柱挖去一正四棱柱后剩下的部分，所以体积是π×22×4－22×4＝16π－16.答案16π－1614．(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析该球为一棱长为2的正方体的外接球，体对角线为球的直径，2R＝22＋22＋22＝23，得R＝3，所以该球的表面积为4πR2＝12π.答案12π15．三棱锥P－ABC的两侧面P AB，PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝3a，则二面角A－PB－C的大小为________．解析取PB的中点M，连接AM，CM.则AM⊥PB，CM⊥PB.故∠AMC为二面角A－PB－C的平面角．在△P AB和△PBC中可得AM＝CM＝3a，而AC＝3a，则△AMC为正三角形，∴∠AMC＝60°.则二面角A－PB－C的大小为60°.答案60°16．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M 分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.解析 N 在线段EG 上时，MN ⊥AC ，又AC ∥A 1C 1，∴MN ⊥A 1C 1.∵平面HEM ∥平面B 1D 1C ，∴当MN ⊂平面HEM 时，MN ∥平面B 1D 1C .∴N ∈线段EH 时，MN ∥平面B 1D 1C .答案 N 在线段EG 上点N 在线段EH 上三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题10分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是棱BB 1的中点，N 是CC 1的中点，AC 1与A 1N 相交于点E .(1)求三棱锥A －MNA 1的体积；(2)求证：AC 1⊥A 1M .解 (1)∵三棱锥A －MNA 1的体积等于三棱锥M －ANA 1的体积，∴V ＝13×12×6×3×1＝22.(2)证明：∵BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，∴BC ⊥面ACC 1.连接MN ，由M ，N 分别是BB 1和CC 1的中点可知MN ∥BC ， ∴MN ⊥面ACC 1，又∵AC 1⊂面ACC 1.∴MN ⊥AC 1.在Rt △A 1C 1N 中，A 1N2＝NC 21＋A 1C 21＝3＋64＝92，∴A 1N ＝322.在Rt △AC 1C 中，AC 21＝CC 21＋AC 2＝3＋6＝9，∴AC 1＝3. 由CC 1∥AA 1可得，NE ＝12NA 1＝22，EC 1＝13AC 1＝1，∴NE 2＋EC 21＝NC 21.∴AC 1⊥A 1N .∴AC 1⊥面A 1MN ，又∵A 1M ⊂面A 1MN ，∴AC 1⊥A 1M .18．(本小题12分)(理)如图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(即底面为正方形的直四棱柱)中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .(1)证明：A 1C ⊥平面BED ；(2)求直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值．解如图建立空间直角坐标系，则A 1(2,0,4)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，E (0,2,1)．(1)证明：A 1C →＝(－2,2，－4)，DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2,1)．∵A 1C →·DB →＝－2×2＋2×2－4×0＝0，A 1C →·DE →＝－2×0＋2×2－4×1＝0.∴A 1C →⊥DB →，A 1C →⊥DE →.∴A 1C ⊥平面BED .(2)A 1E →＝(－2,2，－3)，A 1D →＝(－2,0，－4)，设平面A 1DE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·A 1E →＝0及n ·A 1D →＝0，得－2x ＋2y －3z ＝0，－2x －4z ＝0，取n ＝(－4，－1,2)，A 1C →＝(－2,2，－4)．设直线A 1C 与平面A 1DE 所成角为θ.则sin θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－2－821·24＝1442. 则直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值为1442.18．(本小题12分)(文)如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积．解 (1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC .∵AD ⊂平面ADB ，∴平面ADB ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ，∵DB ＝DA ＝DC ＝1，∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32，∴表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.19.(本小题12分)(理)(2013·广东佛山一模)如图所示，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A －SC －B 的余弦值．解 (1)证明：由题设知AB ＝AC ＝SB ＝SA ，连接OA ，易知△ABC为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC .又△SBC为等腰三角形，SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2.所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2)解法一：取SC 的中点M ，连接AM ，OM ，由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC .∴∠OMA 为二面角A －SC －B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O 得AO ⊥平面SBC .所以AO ⊥OM .又AM ＝32SA ，故sin ∠OMA ＝AO AM ＝22SA 32SA＝63. 所以二面角A －SC －B 的余弦值为33.解法二：以O 为坐标原点，射线OB ，OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)．取SC 的中点M ，连接OM ，AM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，MO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12，MA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，－12，SC →＝(－1,0，－1)．∴MO →·SC →＝0，MA →·SC →＝0.由MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，〈MO →，MA →〉即为二面角A －SC －B 的平面角．cos 〈MO →，MA →〉＝MO →·MA →|MO →||MA →|＝33，∴二面角A －SC －B 的余弦值为33.19.(本小题12分)(文)(2013·课标全国Ⅰ)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC ＝3，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20．(本小题12分)(理)在如图所示的几何体中，四边形ACC 1A 1为矩形，FC 1∥BC ，EF ∥A 1C 1，∠BCC 1＝90°，点A ，B ，E ，A 1在一个平面内，AB ＝BC ＝2，AC ＝2 2.(1)证明：A 1E ∥AB ；(2)若A 1E ＝C 1F ＝12CC 1＝1，求平面ABC 与平面BEF 所成角的正切值．解 (1)证明：四边形ACC 1A 1为矩形，∴A 1C 1∥AC .又∵AC ⊂平面ABC ，A 1C 1⊄平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC .∵FC 1∥BC ，BC ⊂平面ABC ，FC 1⊄平面ABC ，∴FC 1∥平面ABC .又∵A 1C 1⊂平面A 1EFC 1，FC 1⊂平面A 1EFC 1，且A 1C 1∩FC 1＝C 1，∴平面A 1EFC 1∥平面ABC .又∵平面ABEA 1∩平面A 1EFC 1＝A 1E ，平面ABEA 1∩平面ABC ＝AB ，∴A 1E ∥AB .(2)∵四边形ACC 1A 1是矩形，∴AA 1⊥AC ，AA 1∥CC 1.又∵∠BCC 1＝90°，即CC 1⊥BC ，∴AA 1⊥BC .又AC ∩BC ＝C ，∴AA 1⊥平面ABC .∵AB ＝BC ＝2，AC ＝22，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴∠ABC ＝90°，即BC ⊥AB .根据以上结论，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (0,1,2)，F (1,0,2)，∴BE →＝(0,1,2)，BF →＝(1,0,2)．设平面ABC 与平面BEF 的法向量分别是n 1和n 2，平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角为θ，取n 1＝(0,0,1)，设n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 2·BE →＝0，n 2·BF →＝0，即⎩⎨⎧ y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，取n 2＝(2,2，－1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－13. 由图易知θ为锐角，∴cos θ＝13，sin θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝2 2.20.(本小题12分)(文)(2013·重庆卷)如图所示，四棱锥P －ABCD中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．解 (1)证明：因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC.因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD.从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面PAC.(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC·CD·sin ∠BCD＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13·3·23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝13·3·18·23＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.21．(本小题12分)(理)(2013·安徽卷)如图所示，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；(2)求cos ∠COD.解 (1)证明：设面PAB 与面PCD 的交线为l.因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD.又AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l. 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．(2)设CD 的中点为F.连接OF ，PF.由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD.因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD ，又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF.又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ，从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP·tan ∠OPF ＝h·tan 60°＝3h.根据题设有∠OCP ＝22.5°，得OC ＝OP tan ∠OCP ＝h tan 22.5°. 由1＝tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°和tan 22.5°>0，可得tan22.5°＝2－1，因此OC＝h2－1＝(2＋1)h.在Rt△OCF中，cos∠COF＝OFOC＝3h(2＋1)h＝6－3，故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos2∠COF－1＝2(6－3)2－1＝17－12 2.21．(本小题12分)(文)如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.(1)求证：平面BCD⊥平面ABC；(2)求证：AF∥平面BDE；(3)求四面体B－CDE的体积．解(1)证明：∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE ＝AC，CD⊥AC，∴DC⊥平面ABC.∵DC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC.(2)证明：取BD 的中点P ，连接EP 、FP ，则PF 綊12DC.∵EA 綊12DC ，∴EA 綊PF.∴四边形AFPE 是平行四边形．∴AF ∥EP ，∵EP ⊂平面BDE ，∴AF ∥平面BDE.(3)∵BA ⊥AC ，平面ABC ∩平面ACDE ＝AC ，∴BA ⊥平面ACDE ，∴BA 就是四面体B －CDE 的高，且BA ＝2.∵DC ＝AC ＝2AE ＝2，AE ∥CD ，∴S 梯形ACDE ＝12×(1＋2)×2＝3，S △ACE ＝12×1×2＝1，∴S △CDE ＝3－1＝2.∴V B －CDE ＝13×2×2＝43.22．(本小题12分)(理)(2013·浙江卷)如图所示，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝2 2.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC.(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．解解法一：(1)取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OP ，OF ，FQ.因为AQ ＝3QC ，所以QF ∥AD ，且QF ＝14AD.因为O ，P 分别为BD ，BM 的中点，所以OP 是△BDM 的中位线，所以OP ∥DM ，且OP ＝12DM.又点M 为AD 的中点，所以OP ∥AD ，且OP ＝14AD.从而OP ∥FQ ，且OP ＝FQ ，所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQ ∥OF ，又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD.(2)作CG ⊥BD 于点G ，作GH ⊥BM 于点H ，连接CH. 因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ，所以AD ⊥CG ，又CG ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ，故CG ⊥平面ABD ，又BM ⊂平面ABD ，所以CG ⊥BM.又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ，所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°. 设∠BDC ＝θ.在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos θ＝22cos θ，CG ＝CD sin θ＝22cos θsin θ，BG ＝BC sin θ＝22sin 2θ.在Rt △BDM 中，HG ＝BG·DM BM ＝22sin 2θ3. 在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝CG HG ＝3cos θsin θ＝ 3.所以tan θ＝ 3.从而θ＝60°，即∠BDC ＝60°.解法二：(1)如图所示，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意知A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)．设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12. 因为M 为AD 的中点，故M(0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12.所以PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，故PQ →·u ＝0.又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .(2)设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的法向量．由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →＝(0,22，1)知⎩⎨⎧ －x 0x ＋(2－y 0)y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0.取y ＝－1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 0，－1，22. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋2x 09＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 02＝12，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 02＝3.(1) 又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，即x 20＋y 20＝2.(2)联立(1)(2)，解得⎩⎨⎧ x 0＝0，y 0＝－2，(舍去)或⎩⎨⎧ x 0＝±62，y 0＝22.所以tan ∠BDC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－y 0＝ 3. 又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.22．(本小题12分)(文)(2013·北京海淀一模)在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC中点，又∠CAD ＝30°，P A ＝AB ＝4，点N 在线段PB 上，且PN NB ＝13.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)求证：MN ∥平面PDC ；(3)设平面P AB ∩平面PCD ＝l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由．解 (1)证明：因为△ABC 是正三角形，M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC .又因为P A ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥面P AC ，又PC ⊂面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)证明：在正三角形ABC 中，BM ＝23，在△ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ，所以AD ＝CD .因为∠CAD ＝30°，所以DM ＝233.所以BM MD ＝所以BN NP＝BM MD.所以MN∥PD，又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.(3)假设直线l∥CD，因为l⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，所以CD∥平面P AB，又CD⊂平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，所以CD∥AB，这与CD与AB不平行矛盾，所以直线l与直线CD不平行．。

2014年全国高考数学试题及答案word版

2014年全国高考数学试题及答案word版一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，且f(1) = 3，f(-1) = 1，则f(0)的值为：A. 2B. 3C. -1D. 12. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 1，a4 = 4，则S5的值为：A. 15B. 10C. 5D. 33. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1/2，则z的虚部为：A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i4. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，若f(x)在区间(1,2)内有极值，则该极值点为：A. 1B. 2D. 1/25. 若直线l：y = kx + b与圆C：x^2 + y^2 = 1相交于两点A、B，且|AB| = √2，则k的取值范围为：A. (-∞, -1] ∪ [1, +∞)B. [-1, 1]C. (-1, 1)D. [0, 1]6. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[0,3]上单调递增，则f(x)的最大值为：A. 0B. 3C. 9D. 127. 若向量a = (1, 2)，b = (2, 1)，则向量a与向量b的数量积为：A. 3B. 4C. 5D. 68. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为：A. 1B. -1C. √2D. -√29. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f(x)在区间(0,1)内有极值，则该极值点为：B. 1C. 2/3D. 1/210. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1，则z的虚部为：A. 0B. 1C. -1D. √3/211. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，q = 2，则S4的值为：A. 30B. 16C. 8D. 412. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[1,3]上单调递减，则f(x)的最小值为：A. 0B. 3C. -1D. 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练25

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练25一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·湖南卷)某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法解析因为被抽取的个体有明显差异，所以宜采用分层抽样．答案 D2．(2013·陕西卷)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )A．11 B．12C．13 D．14解析由系统抽样的等距抽样特点知，840人要分成42组，每组20人，[481,720]包含的是第25组到第36组，每组抽1人，则共抽到12人，故选B.答案 B3．(2013·辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )A．45 B．50C．55 D．60解析低于60分的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以总人数为150.3＝50(人)．答案 B4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：x 0 1 2 3 y1357则y 与x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过( ) A ．(1,3) B ．(2,5) C ．(1.5,4)D ．(3,7)解析由题意知，样本中心点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4一定在回归直线上．答案 C5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg解析由于回归直线的斜率为正值，故y 与x 具有正的线性相关关系，选项A 中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．答案 D6．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050 110由K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈7.8.附表：A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．解析利用样本中各层人数的比例与总体中各层人数的比例相等的特点进行求解．抽取男运动员的人数为4848＋36×21＝12.答案128．(2013·湖北卷)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．解析(1)由直方图得(0.001 2＋0.002 4×2＋0.003 6＋x＋0.006 0)×50＝1，解得x ＝0.004 4.(2)(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50×100＝70.答案 (1)0.004 4 (2)709．(2013·辽宁卷)为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．解析设5个班级的数据分别为0≤a ≤b ≤c ≤d ≤e .由平均数及方差的公式得a ＋b ＋c ＋d ＋e5＝7，a －72＋b －72＋c －72＋d －72＋e －725＝4.设a －7，b －7，c －7，d －7，e －7分别为p ，q ，r ，s ，t ，则p ，q ，r ，s ，t 均为整数，则⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＋r ＋s ＋t ＝0，p 2＋q 2＋r 2＋s 2＋t 2＝20.设f (x )＝(x －p )2＋(x －q )2＋(x －r )2＋(x －s )2＝4x 2－2(p ＋q ＋r ＋s )x ＋(p 2＋q 2＋r 2＋s 2)＝4x 2＋2tx ＋20－t 2，由(x －p )2，(x －q )2，(x －r )2，(x －s )2不能完全相同知f (x )>0，则判别式Δ<0，解得－4<t <4，所以－3≤t ≤3，所以e 的最大值为10.答案 10三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下甲：512 554 528 549 536 556 534 541 522 538 乙：515 558 521 543 532 559 536 548 527 531 (1)用茎叶图表示两学生的高考备考成绩；(2)分别求两学生的高考备考成绩的中位数和平均分．解 (1)两学生的高考备考成绩的茎叶图如图所示：(2)将甲、乙两学生的高考备考成绩从小到大排列为：甲：512 522 528 534 536 538 541 549 554 556乙：515 521 527 531 532 536 543 548 558 559 从以上排列可知甲学生的高考备考成绩的中位数为536＋5382＝537.乙学生的高考备考成绩的中位数为532＋5362＝534.甲学生的高考备考成绩的平均分为500＋12＋22＋28＋34＋36＋38＋41＋49＋54＋5610＝537；乙学生的高考备考成绩的平均分为500＋15＋21＋27＋31＋32＋36＋43＋48＋58＋5910＝537.11．(本小题10分)(理)(2013·福建泉州一模)甲、乙两台机床生产同一型号零件．记生产的零件的尺寸为t (cm)，相关行业质检部门规定：若t ∈(2.9,3.1]，则该零件为优等品；若t ∈(2.8,2.9]∪(3.1,3.2]，则该零件为中等品；其余零件为次品．现分别从甲、乙机床生产的零件中各随机抽取50件，经质量检测得到下表数据：尺寸 [2.7,2.8](2.8,2.9](2.9,3.0] (3.0,3.1] (3.1,3.2] (3.2,3.3]甲机床零件频数 23202041乙机床零件频数3 5 17 13 8 4为概率，试根据样本估计总体的思想，估算甲机床生产一件零件的利润的数学期望；(2)对于这两台机床生产的零件，在排除其他因素影响的情况下，试根据样本估计总体的思想，估计约有多大的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”，并说明理由．参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.参考数据：P (K 2≥k 0)0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 01.3232.0722.7063.8415.0246.635解X 3 1 －1 P0.80.140.06则有E (X ) 所以，甲机床生产一件零件的利润的数学期望为2.48元．(2)由表中数据可知：甲机床优等品40个，非优等品10个；乙机床优等品30个，非优等品20个．制作2×2列联表如下：甲机床乙机床合计优等品 40 30 70 非优等品 10 20 30 合计5050 100计算K 2的观测值k ＝250×50×70×30＝21≈4.762. 考察参考数据并注意到3.841<4.762<5.024，可知：对于这两台机床生产的零件，在排除其他因素影响的情况下，根据样本估计总体的思想，约有95%的把握认为“零件优等与否和所用机床有关”．11．(本小题10分)(文)(2013·重庆卷)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720. (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．解 (1)由题意知n ＝10，x －＝1n ∑i ＝1nx i ＝8010＝8，y －＝1n ∑i ＝1ny i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x －2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n ×x －×y －＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝l xy l xx ＝2480＝0.3， a ＝y －－b x －＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 12．(本小题10分)(理)(2013·辽宁大连一模)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的频率分布直方图如下：已知样本中身高在[150,155) cm 的女生有1人． (1)求出样本中该校男生的人数和女生的人数； (2)估计该校学生身高在170～190 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在185～190 cm 之间的男生和样本中身高在170～180 cm 之间的女生中随机抽取3人，记被抽取的3人中的女生人数为X .求随机变量X 的分布列和数学期望E (X )．解 (1)设女生的人数n ，∴1n ＝1150×5，∴n ＝30.∵抽取的样本人数700×10%＝70， ∴样本中该校有男生40人和女生30人．(2)由频率分布直方图可得出样本中身高在170～190 cm 之间的学生人数有37人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～190 cm 之间的频率等于3770，所以估计该校学生身高在170～190 cm 之间的概率等于3770.(3)由频率分布直方图可得出样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人和样本中身高在170～180 cm 之间的女生有4人，∴X 的可能取值为1,2,3，∵P (X ＝1)＝15，P (X ＝2)＝35，P (X ＝3)＝15，∴X 的分布列为X 1 2 3 P153515∴数学期望E (X )＝1×5＋2×5＋3×5＝2.12．(本小题10分)(文)(2013·石家庄高三模拟)为了调查某大学学生在周日上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果：表1：男生上网时间与频数分布表上网时间(分钟) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80] 人数525302515上网时间(分钟) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80] 人数1020402010(2)完成下面的2×2列联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生周日上网时间与性别有关”？表3：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生女生合计附：K 2＝2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋dP (K 2≥k 0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 00.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83依题意有x 750＝20＋10100，解得x ＝225，所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225. (2)根据题目所给数据得到如下列联表：上网时间少于60分钟上网时间不少于60分钟合计男生6040100 女生7030100 合计13070200其中K2＝2100×100×130×70＝91≈2.198<2.706，因此，没有90%的把握认为“大学生周日上网时间与性别有关”．。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练19Word版含解析

高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ＝－14－21－3＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.答案 A2．(2013·辽宁卷)已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a －3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析若A 是直角，则b ＝a 3，B 是直角，BA →·OB →＝0，即b －a 3－1a ＝0；由图知O 不可能是直角，故C 成立．答案 C3．(2013·山东省实验中学诊断性测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3C . 3D ．1解析圆心到直线的距离d ＝|－5|32＋42＝1，所以R 2－d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，即AB 2＝4(R 2－d 2)＝4×(4－1)＝12，所以AB ＝12＝23，选B .答案 B4．(2013·福建龙岩质检)直线x ＋3y －23＝0与圆x 2＋y 2＝4交A ，B 两点，则OA →·OB →＝( )A ．4B ．3C ．2D ．－2解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －23＝0，x 2＋y 2＝4消去y 得：x 2－3x ＝0，解得x ＝0或x ＝ 3.设A(0,2)，B(3，1)，∴OA →·OB →＝2，选C . 答案 C5．(2013·安徽卷)函数y ＝f(x)的图象如图所示，在区间[a ，b]上可找到n(n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值范围是( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}解析 f (x )x ＝f (x )－0x －0，即点(x ，f(x))与(0,0)连线的斜率，f (x 1)x 1＝f (x 2)x2＝…＝f (x n )x n是指曲线上存在n 个点与原点连线斜率相等，则n 为过原点的直线与f(x)的图象交点的个数，结合图象可得n 为2,3,4，故选B .答案 B6．(2013·江西卷)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A .33 B ．－33C ．±33D ．－ 3解析 y ＝1－x 2化为x 2＋y 2＝1(y ≥0)表示圆心在原点半径为1的圆的上半圆，直线l 过(2，0)与曲线y ＝1－x 2交于A ，B 的点，设l 的方程为y ＝k(x －2)，即kx －y －2k ＝0，S △AOB ＝12|OA||OB|·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，即sin ∠AOB ＝1时，∠AOB ＝π2时，S △AOB 有最大值，此时原点O 到直线l 的距离d ＝|OA|·sin 45°＝22，即|2k|1＋k 2＝22，解得k ＝±33，由题可知l 的倾斜角为钝角，故k ＝－33，选B .答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．已知圆C 经过直线2x －y ＋2＝0与坐标轴的两个交点，又经过抛物线y 2＝8x 的焦点，则圆C 的方程为________．解析直线与坐标轴的两交点分别为A(－1,0)，B(0,2)，抛物线的焦点坐标为F(2,0)．再运用待定系数法即可求出圆C 的方程．答案 x 2＋y 2－x －y －2＝08．(2013·江苏镇江5月模拟)已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与直线x ＋y ＝4相交于点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1y 2＋x 2y 1的值为________．解析将y ＝4－x 代入x 2＋y 2＝9并整理有2x 2－8x ＋7＝0，解得x 1＝2＋22，x 2＝2－22，从而得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22，2－22，B ⎝⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22.故x 1y 2＋x 2y 1＝9. 答案 99．直线2ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P(a ，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．解析易知△AOB 为等腰直角三角形，且点O 到直线距离为22，可得2a 2＋b 2＝2⇒－2≤b ≤2，a 2＋(b －1)2＝2－b 22＋(b －1)2≤2＋1.答案2＋1三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)已知两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0.(1)证明此两圆相切；(2)求过点P(2,3)，且与两圆相切于点T(1,0)的圆的方程．解 (1)两圆的方程可分别化为C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，C 1(－2,2)，r 1＝13； C 2：(x －4)2＋(y ＋2)2＝13，C 2(4，－2)，r 2＝13. ∴圆心距|C 1C 2|＝213＝r 1＋r 2，即两圆外切． (2)设所求圆的方程为C 3：(x －a)2＋(y －b)2＝r 23. ∵T(1,0)在C 1，C 2，C 3上，∴圆心(a ，b)在直线lC 1C 2：y ＝－23(x －1)上． ∴b ＝－23(a －1)．①又由|C 3P|＝|C 3T|，得(a －2)2＋(b －3)2＝(a －1)2＋b 2.② 由方程①②，解得a ＝－4，b ＝103， ∴r 23＝(a －1)2＋b 2＝3259，故所求圆的方程为(x ＋4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －1032＝3259.11．(本小题10分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P 满足|PA|＝2|PB|. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM|的最小值．解设P 坐标为(x ，y)，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2，化简可得(x －5)2＋y 2＝16即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．则直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM|＝|CQ|2－|CM|2＝|CQ|2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝|5＋3|2＝42，此时|QM|的最小值为32－16＝4.12．(本小题10分)(2013·江苏卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3,2)于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x ，y)在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋(2a －3)2≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；当5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。

高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练13

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练13一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．定义运算：(a b )x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(a b )x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b a )x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23∪(1，＋∞) 解析 1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，所以(－31)x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0，解得x <－23或x >1.答案 D2．若方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,1] B ．(－∞，1] C ．[1，＋∞)D ．[－1,1]解析令f (x )＝sin 2x ＋2sin x ，则f (x )的值域是[－1,3]，因为方程sin 2x ＋2sin x ＋a ＝0一定有解，所以－1≤－a ≤3，所以实数a 的取值范围是[－3,1]．答案 A3．若函数f (x )，g (x )分别为R 上的奇函数，偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则有( ) A ．f (2)<f (3)<g (0) B ．g (0)<f (3)<f (2) C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)解析由题意得f (x )－g (x )＝e x，f (－x )－g (－x )＝e －x，即－f (x )－g (x )＝e －x，由此解得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2，g (0)＝－1，函数f (x )＝e x －e －x2在R 上是增函数，且f (3)>f (2)＝e 2－e－22>0，因此g (0)<f (2)<f (3)．答案 D4．已知函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝log 2x ＋x ，h (x )＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析分别画出函数y ＝2x，y ＝－x ，y ＝log 2x ，y ＝2的图象，转化为交点横坐标的比较问题．容易得出A 正确．答案 A5.e 416，e 525，e636(其中e 为自然常数)的大小关系是( ) A.e 416<e 525<e 636 B.e 636<e 525<e 416 C.e 525<e 416<e 636D.e 636<e 416<e 525解析由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e xx 2，于是f (4)＝e 416，f (5)＝e525，f (6)＝e636.而f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2′＝e x·x 2－e x ·2x x 4＝e xx 2－2xx 4，令f ′(x )>0得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增，因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636. 答案 A6．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋bx ＋c 在x 1处取得极大值，在x 2处取得极小值，满足x 1∈(－1, 1)，x 2∈(2,4)，则a ＋2b 的取值范围是( )A ．(－11，－3)B ．(－6，－4)C ．(－16，－8)D ．(－11,3)解析依题意得，f ′(x )＝x 2＋ax ＋b ，x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝－12＋a ·－1＋b ＝1－a ＋b >0，f ′1＝12＋a ·1＋b ＝1＋a ＋b <0，f ′2＝22＋a ·2＋b ＝4＋2a ＋b <0，f ′4＝42＋a ·4＋b ＝16＋4a ＋b >0.在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域，阴影部分表示的四边形的四个顶点的坐标分别为(－3，－4)，(－1，－2)，(－3,2)，(－5,4)，验证得：当a＝－5，b＝4时，a ＋2b取得最大值3；当a＝－3，b＝－4时，a＋2b取得最小值－11.于是a＋2b的取值范围是(－11,3)．答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．若函数f(x)＝log a(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝________.解析∵f(x)＝log a(x＋1)的定义域是[0,1]，∴0≤x≤1，则1≤x＋1≤2.当a>1时，0＝log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2；当0<a<1时，log a2≤log a(x＋1)≤log a1＝0，与值域是[0,1]矛盾．综上，a＝2.答案 28．若方程x2＋ax＋2＝0的两根可以作为一椭圆和一双曲线的离心率，则a的取值范围是________．解析方程有两个根，且一个大于1，另一个大于0小于1，设f(x)＝x2＋ax＋2，只需f(0)>0且f(1)<0，得a<－3.答案a<－39．设函数f(x)＝|x＋a|， g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案 [－1，＋∞)三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间； (2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝0，f 2＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )<0，得－13<x <2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝3－2a ＋b ≤2，f ′1＝3＋2a ＋b ≤2得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴Q 点的坐标为(0，－1)．设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z <－2，即ba －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．11．(本小题10分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )，讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x的大小关系．解 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2ln x －x ＋1x，则h ′(x )＝－x －12x 2，当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x；当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x；当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x. 12.(本小题10分)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A 、B 、C 、D 四点，点A 1、A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．解 (1)设A (x 0，y 0)，则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|.由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209，从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3,0)，A 2(3,0)知直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练18

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练18一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．已知直线l的方向向量为l，直线m的方向向量为m，若l＝αb＋βc(α，β∈R)，m∥a，a⊥b，a⊥c且a≠0，则直线m与直线l( )A．共线B．相交C．垂直D．不共面解析由m∥a且a≠0，可得：m＝t a(t∈R)，所以m·l＝m·(αb＋βc)＝αm·b＋βm·c＝αt a·b＋βt a·c＝0，故m与l垂直，即直线m与直线l垂直．故选C.答案 C2．若不同直线l1， l2的方向向量分别为μ，v，则下列直线l1，l2中既不平行也不垂直的是( )A．μ＝(1,2，－1)，v＝(0,2,4)B．μ＝(3,0，－1)，v＝(0,0, 2)C．μ＝(0, 2，－3)，v＝(0，－2,3)D．μ＝(1,6,0)，v＝(0,0，－4)解析选项A中μ·v＝0＋4－4＝0，∴l1⊥l2；选项C中μ＝－v，∴μ，v共线，故l1∥l2；选项D中，μ·v＝0＋0＋0＝0，∴l1⊥l2，故选B.答案 B3．已知直二面角α－l－β，若A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD等于( )A．2 B. 3C. 2 D．1解析如图所示，∵BD ⊥l ，α⊥β，α∩β＝l ， ∴BD ⊥α，∴BD ⊥AD . ∵AB →＝AC →＋CD →＋DB →，且AC ⊥l ， ∴AB 2＝AC 2＋CD 2＋BD 2. ∴22＝12＋CD 2＋12.∴CD 2＝2，∴CD ＝ 2.故选C. 答案 C4．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析如图所示，取BC 中点E ，连接DE ，AE ，AD ，依题意知，三棱柱为正三棱柱，易得AE ⊥平面BB 1C 1C ，故∠ADE 为AD 与平面BB 1C 1C 所成的角．设各棱长为1，则AE ＝32，DE ＝12， tan ∠ADE ＝AE DE ＝3212＝3，由于∠ADE ∈[0°，90°]． ∴∠ADE ＝60°，故选C.答案 C5．(2013·全国大纲卷)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13解析建立如右图所示坐标系，设AA 1＝2AB ＝2，则B (1,1,0)，C (0,1,0)，C 1(0,1,2)，D (0,0,0)．设面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0n ·DC 1→＝0代入得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0y ＋2z ＝0令z ＝1，得n ＝(2，－2,1)，设CD 与面BDC 1所成的角为θ，sin θ＝|n ·DC →||n ||DC →|＝23，选A.答案 A6．过正方形ABCD 的顶点A ，引PA ⊥平面ABCD .若PA ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析解法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝22，故所求的二面角的大小是45°. 解法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP 和平面CDP 所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ 所成的二面角，其大小为45°是明显的．答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CC 1中点为E ，则直线AE 与BC 1所成的角的大小为________．解析以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设棱长为2，∴D (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (0,2,1)， ∴AE →＝(－2,2,1)，BC 1→＝(－2,0,2)，cos 〈AE →，BC 1→〉＝AE →·BC 1→|AE →||BC 1→|＝63×22＝22，所以直线AE 与BC 1所成角大小为π4.答案π48．已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF与平面ABC 所成的二面角的正切值为________．解析如图，建立空间直角坐标系．设DA ＝1，由已知条件得A (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，13，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，23， AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，13，AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，1，23，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，平面AEF 与平面ABC 所成的二面角为θ，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋13z ＝0，－x ＋y ＋23z ＝0.令y ＝1，得z ＝－3，x ＝－1，则n ＝(－1,1，－3)，平面ABC 的法向量为m ＝(0,0，－1)，cos θ＝cos 〈n ，m 〉＝311，tan θ＝23.答案239．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B →的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB →·AA 1→·AD →|.其中正确命题的序号是________．解析设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3(A 1B 1→)2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成的角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0，故④也不正确．答案 ①②三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD ＝AD ＝a ，点E 是SD 上的点，且DE ＝λa (0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE ； (2)若二面角C －AE －D 的大小为60°，求λ的值．解 (1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，D (0,0,0)，E (0,0，λa )，∴AC →＝(－a ，a,0)，BE →＝(－a ，－a ，λa )，∴AC →·BE →＝0对任意λ∈(0,1]都成立，即对任意的λ∈(0,1]，都有AC ⊥BE .(2)显然n ＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量，设平面ACE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵AC →＝(－a ，a,0)，AE →＝(－a,0，λa )，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，m ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋ay ＝0，－ax ＋λaz ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －λz ＝0.令z ＝1，则x ＝y ＝λ，∴m ＝(λ，λ，1)． ∵二面角C －AE －D 的大小为60°，∴cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝λ1＋2λ2＝12， ∵λ∈(0,1]，∴λ＝22. 11．(本小题10分)(2013·北京卷)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .并求BDBC 1的值．解 (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC.如图所示，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)设D (x ， y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925.12．(本小题10分)(2013·天津卷)如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM的长．解解法一：如图所示，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．(1)易得B 1C 1→＝(1,0，－1)，CE →＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)．由(1)知，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－277，从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217.所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (2)AE →＝(0,1,0)，EC 1→＝(1,1,1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋λ＋12＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1.于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13，所以AM ＝ 2.11解法二：(1)因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E ，又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E .CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E .又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ，连接C 1G .由(1)知，B 1C 1⊥CE ，故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝263.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217. (3)连接D 1E ，过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，连接AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x ，整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝ 2.所以线段AM 的长为 2.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试5Word版含解析

专题五综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．若直线l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：3x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．2 解析由3a －2a ＝0知a ＝0. 答案 C2．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析将方程分离参数a 可得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，方程表示过两直线的交点⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0，即C 点为(－1,2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案 C3．(2013·福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455解析双曲线x 24－y 2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线为y ＝±12x ，所以所求距离为255答案 C4．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1解析因为抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，由此得2m ＝12，解得m ＝4，由n 2＝m 2－22＝12，所以所求的椭圆方程是x 216＋y 212＝1.答案 B5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－5y24＝1B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1D ．5x 2－4y25＝1解析由题意得抛物线焦点为(1,0)， ∴a 2＋b 2＝1.又∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1a 2＝5，∴a 2＝15，∴b 2＝45.∴该双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.答案 A6．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆解析设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．答案 A7．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析由题意知，圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，平方得1＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ，所以ab ≤14.答案 A8．(2013·全国大纲卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22 C. 2D ．2解析由题意知k ≠0，设直线AB 方程为x ＝1k y ＋2，与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与抛物线方程联立得ky 2－8y －16k ＝0，y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝－16.MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228＋2＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，整理并结合y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝－16得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2，故选D.答案 D9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 5D.10解析直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，l 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于C ⎝⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，A (a,0)，AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－ab a ＋b ，ab a ＋b ，BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2.∵AB →＝12BC →，∴－ab a ＋b ＝a 2b a 2－b2，b ＝2a ，∴c 2－a 2＝4a 2.∴e 2＝c2a 2＝5，∴e ＝5，故选C.答案 C10．已知抛物线y 2＝4px (p >0)与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.5＋12B. 2＋1C.3＋1D.22＋12解析如图所示，由抛物线的定义知|AF |＝2p ＝2c .再由双曲线的定义知：|AF ′|－|AF |＝2a .又|AF ′|＝4c 2＋4c 2＝22c ， ∴22c －2c ＝2a . ∴e ＝c a ＝12－1＝2＋1.答案 B11．已知P 为抛物线x 2＝4y 上一个动点，Q 是圆(x －4)2＋y 2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1D.5＋2解析由抛物线定义知，点P 到抛物线准线的距离等于到焦点的距离，所以问题转化为抛物线上的点到圆上的点和到焦点的距离之和的最小值，易知此最小值即为圆心到焦点的距离减去圆的半径．抛物线的焦点坐标为(0,1)，圆的圆心坐标为(4,0)，半径为1，故点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值为(4－0)2＋(0－1)2－1，即17－1.答案 C 12.(2013·湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图所示)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83D.43解析以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，则△ABC 的重心G ⎝⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝t (0<t <4)，则P (t,0)，P 关于直线AC 、BC 的对称点P 1(－t,0)，P 2(4,4－t )，由题可知P 1，P 2，G 三点共线，所以4343＋t ＝43－(4－t )43－4，解得t ＝43.答案 D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．(2013·陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析由双曲线的几何性质得a 2＝16，b 2＝m ，e ＝c a ＝54，则a ＝4，b ＝m ，e ＝ca ＝16＋m 4＝54，故m ＝9.答案 914．已知抛物线y 2＝ax 过点A ⎝⎛⎭⎪⎫14，1，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为________．解析由题意知点A 在抛物线y 2＝ax 上，得1＝14a ，所以a ＝4，故y 2＝4x .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到此抛物线的焦点的距离为x A ＋a 4＝14＋1＝54.答案 5415．(2013·湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析不妨设|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又结合|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，从而|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|为最小边，从而∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，解得c a ＝ 3.答案 316．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知，k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.答案 32三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m消y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3. ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m3.∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355. 18．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围．(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.① 直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于 Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由方程①， x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4，③ 而P (0,2)，Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)，所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)．将②③代入上式，解得k ＝－34.由(1)知k ∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k ，使OA →＋OB →与PQ →共线．19．(本小题12分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2；将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .20．(本小题12分)(2013·福建卷)如图所示，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9.连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为，求直线l 的方程．解解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎨⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ，①x 1·x 2＝－100.②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.解法二：(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i 10x .由⎩⎨⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫i ，i 210. 因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)同解法一．21．(本小题12分)(2013·陕西卷)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．解 (1)如图所示，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42.又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k 2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， ∴直线l 过定点(1,0)．22．(本小题12分)(2013·广东卷)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ，则|0－c －2|2＝322，结合c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2.所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x－2y －2y 1＝0.同理，可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0.所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解．所以直线AB 的方程为x 0x －2y 0－2y ＝0. (3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y .消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2. 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92.所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练26Word版含解析

高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析由程序框图得s ＝⎩⎨⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，所以－1≤t <1时s ＝3t ∈[－3,3)，1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4 ∈[3,4]，故s ∈[－3,4]，选A.答案 A 2．(2013·广东卷)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)解析由i z ＝2＋4i 得：z ＝2＋4i i ＝(2＋4i )i－1＝4－2i ，对应点为(4，－2)，故选C.答案 C3．(2013·全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4 D.45解析 |4＋3i|＝42＋32＝5，所以(3－4i)z ＝5，即z ＝53－4i＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝35＋45i ，所以z 的虚部为45，故选D.答案 D4．(2013·安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.1112解析由程序框图的循环结构得s ＝12，n ＝4；s ＝34，n ＝6；s ＝1112，n ＝8.停止循环，输出s ＝1112，故选D.答案 D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.答案 A6．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a－x －y )，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x ) C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析 (a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，由复数的运算法则可得⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案 1＋2i8．(2013·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析由已知式子归纳规律可得第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)29.(2013·山东卷)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．解析由题中所给循环程序得：F1＝3，F0＝2，n＝2，1F1＝13>0.25；继续执行；F1＝5，F0＝3，n＝3；此时1F1＝0.2<0.25，故停止循环，输出n＝3.答案 3三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.解 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .11．(本小题10分)已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 为等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)设b n ＝a n －12n ，则b 1＝5－12＝2.因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 为首项是2，公差是1的等差数列． (2)由(1)知，a n －12n ＝a 1－12＋(n －1)×1， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ＋1.∵S n ＝(2·21＋1)＋(3·22＋1)＋…＋(n ·2n －1＋1)＋[(n ＋1)·2n ＋1]， ∴S n ＝2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n ＋n . 设T n ＝2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n ，①2T n＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1.②②－①，得T n＝－2·21－(22＋23＋…＋2n)＋(n＋1)·2n＋1＝n·2n＋1，所以S n＝n·2n＋1＋n＝n·(2n＋1＋1)．12．(本小题10分)根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，….(1)分别求数列{x k}和{y k}的通项公式；(2)令z k＝x k y k，求数列{z k}的前k项和T k，其中k∈N*，k≤2 007.解(1)由程序框图，知数列{x k}中，x1＝1，x k＋1＝x k＋2，∴x k＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N*，k≤2 007)．由程序框图，知数列{y k}中，y k＋1＝3y k＋2，∴y k＋1＋1＝3(y k＋1)．∴y k ＋1＋1y k ＋1＝3，y 1＋1＝3. ∴数列{y k ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴y k ＋1＝3·3k －1＝3k .∴y k ＝3k －1(k ∈N *，k ≤2 007)．(2)T k ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x k y k ＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k －1)(3k －1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k －[1＋3＋…＋(2k －1)]．记S k ＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k ，① 则3S k ＝1×32＋3×33＋…＋(2k －1)·3k ＋1，②①－②，得－2S k ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k －(2k －1)·3k ＋1 ＝2(3＋32＋…＋3k )－3－(2k －1)·3k ＋1 ＝2×3×(1－3k )1－3－3－(2k －1)·3k ＋1＝3k ＋1－6－(2k －1)·3k ＋1 ＝2(1－k )·3k ＋1－6， ∴S k ＝(k －1)·3k ＋1＋3.又∵1＋3＋…＋(2k －1)＝k (1＋2k －1)2＝k 2， ∴T k ＝(k －1)·3k ＋1＋3－k 2.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练8Word版含解析

高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·辽宁朝阳一模)在△ABC 中， M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析 ∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →. ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12. 答案 A2．(2013·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35解析 AB →＝(3，－4)，则|AB →|＝5，所以与AB →同方向的单位向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案 A3．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2D.2π3解析由(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝－2，得a ·b ＝2，即|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2，cos 〈a ，b 〉＝12.故〈a ，b 〉＝π3.答案 B4．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )， 3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1， 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C. 答案 C5．(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析由已知得|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2，易知c 与a ＋b 共线时，可取得最值．因为|c －a －b |＝1，所以2－1≤|c |≤2＋1. 答案 A6．(2013·重庆卷)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2 解析由题意得点B 1，B 2在以O 为圆心，半径为1的圆上，点P 在以O 为圆心半径为12的圆内，又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当P 与O 点重合时，|OA →|最大为2，当P 在半径为12的圆周上，|OA →|最小为72.答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 a ，b 均为单位向量，夹角为60°，所以a ·b ＝12.又b ·c ＝0.即：b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，得t 2＋(1－t )＝0，解得t ＝2. 答案 28．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝AD →2＋12|AB →|·|AD →|cos60°－12AB →2＝1，把|AD →|＝1代入得|AB →|＝12.答案 129．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为________．解析 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →， ∴BP →＝tBA →.又0≤t ≤1， ∴P 在线段BA 上运动．∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →|≤2×2＝4，即当P ，Q 重合且位于A 或B 处时，OP →·OQ →取最大值4. 答案 4三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R . (1)若D 为BC 中点，AD →＝(m,2)，求a ，m 的值；(2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值．解 (1)因为AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋a 2. 又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°. 当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)，所以由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13；当C ＝90°时，由BC →⊥AC →，得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解．综上所述，a ＝3或a ＝13.11．(本小题10分)(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解 (1)由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.12．(本小题10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12·cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.又∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0. ∴cos B ＝12.又∵0<B <π，∴B ＝π3. ∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1.又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。

【状元之路】2014高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练9

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练9一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·江西卷)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析由x,3x ＋3, 6x ＋6，…为等比数列，得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1，而x ＝－1时3x ＋3＝0不合题意，故舍去，知此数列为首项为－3，公比为2的等比数列，第四项为(－3)×23＝－24，选A.答案 A2．(2013·福建泉州质检)若数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 7＝4，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A.272B ．18C ．27D ．36解析 S 9＝9a 1＋a 92＝9a 3＋a 72＝9×42＝18.答案 B3．(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)已知各项为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 7a 14的最大值为( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在解析因为{a n }为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以20a 1＋a 202＝100，即a 1＋a 20＝10，所以a 7＋a 14＝10.又因为a 7·a 11≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25，当且仅当a 7＝a 14时“＝”成立．答案 A4．等比数列{a n }中，a 4a 5＝1，a 8a 9＝16，则a 6a 7等于( ) A ．16 B ．±4 C ．－4D ．4解析设等比数列{a n }的公比为q .则a 8a 9a 4a 5＝a 4q 4·a 5q 4a 4·a 5＝q 8＝16.∴a 6a 7a 4a 5＝a 4q 2·a 5q 2a 4·a 5＝q 4＝4，∴a 6a 7＝4. 答案 D5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n－1)2B.12(9n－1) C ．9n －1D.14(3n－1) 解析由a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n－1① 得：a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．②①－②得：a n ＝3n－3n －1＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝2也适合上式， ∴a n ＝2·3n －1，∴a 2n ＝4·9n －1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(90＋91＋…＋9n －1)＝4·1－9n1－9＝12(9n－1)．答案 B6．(2013·福建卷)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( ) A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 解析 c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m ＝a 1q m (n －1)·a 1qm (n －1)＋1·…·a 1qm (n －1)＋m －1＝a m 1qm (n －1)＋m (n －1)＋1＋…＋m (n －1)＋m －1＝a m 1qm 2(n －1)＋m －11＋m －12＝a m 1qm 2(n －1)＋m m －12 所以c n ＋1＝a m1qm 2n ＋m m －12，所以c n ＋1c n＝qm 2，所以数列{c n }为等比数列，公比为qm 2. 答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·北京卷)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析由a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，得q ＝2，又a 2＋a 4＝a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝a 11－q n 1－q＝2n ＋1－2.答案 2 2n ＋1－28．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8的值为______．解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3＋a 4＝a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)q 2＝12q 2＝1.∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 3·q 4＋a 4q 4＝q 4(a 3＋a 4)＝4. 答案 49．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析 {a n }等差数列，由S 10＝0，得a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0；由S 15＝15a 8＝25，得a 8＝53，即a 1＋7d ＝53，解得a 1＝－3，d ＝23，此时nS n ＝n 33－10n 23，令f (x )＝x 33－10x 23，令f ′(x )＝x 2－203x ＝0，得x ＝203；f (x )在x ＝203处取极小值，故检验n ＝6时，6S 6＝－48；n ＝7时7S 7＝－49.答案－49三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·全国大纲卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.11．(本小题10分)(2013·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1qn －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴S n ＝a 11－q n 1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．12．(本小题10分)(2013·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S nn＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. (1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.解 (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. (3)当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1n －1n ＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.。

2014年高考全国2卷理科数学试题及答案(word精校详细解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合M ={0, 1, 2}，N ={}2|320x x x -+≤，则MN =A ．{1}B ．{2}C ．{0，1}D ．{1，2}2. 设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =A ．- 5B ．5C ．- 4 + iD ．- 4 - i3. 设向量a ,b 满足10|a b |+=，6|a b |-=，则a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．54. 钝角三角形ABC 的面积是12，AB =1，BC 2，则AC =A ．5B 5C ．2D ．15. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.456. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 A ．1727B ．59C ．1027D ．137. 执行右面程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =A ．4B ．5C ．6D ．78. 设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ，则a =A ．0B ．1C ．2D ．39. 设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为 A ．10B ．8C ．3D ．2结束输出S 1M =，3S =开始输入x ，t1k =k t ≤M M x k=S M S =+1k k =+是否10. 设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为ABC ．6332D ．9411. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA =90º，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC =CA =CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为A ．110B ．25CD12. 设函数()x f x m π=，若存在()f x 的极值点0x 满足22200[()]x f x m +<，则m 的取值范围是A ．(,6)(6,+)-∞-∞B ．(,4)(4,+)-∞-∞C ．(,2)(2,+)-∞-∞D ．(,1)(4,+)-∞-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.）13. 10()x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________. (用数字填写答案) 14. 函数()sin(2)2sin cos()f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15. 已知偶函数f (x )在[0, +∞)单调递减，f (2)=0. 若f (x -1)>0，则x 的取值范围是_________. 16. 设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题12分）已知数列{a n }满足a 1 =1，a n +1 =3 a n +1. （Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{a n }的通项公式；（Ⅱ）证明：123111…2n a a a +++<.18. （本小题12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB // 平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D -AE -C 为60º，AP =1，AD 3E -ACD 的体积.19. （本小题12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 20092010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.44.85.25.9（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ˆnii i nii tty y btt==--=-∑∑，ˆˆay bt =-.20. （本小题12分）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b .21. （本小题12分）已知函数()2x x f x e e x -=--. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()(2)4()g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；（Ⅲ）已知1.41422 1.4143<，估计ln2的近似值（精确到0.001）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题10分）【选修4-1:几何证明选讲】如图，P 是⊙O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B 、C ，PC =2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：（Ⅰ）BE = EC ；（Ⅱ）AD ·DE = 2PB 2.23.（本小题10分）【选修4-4:坐标系与参数方程】在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，[0,]2πθ∈.（Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题10分）【选修4-5:不等式选讲】设函数1()||||(0)f x x x a a a =++->.（Ⅰ）证明：f (x ) ≥ 2；（Ⅱ）若f (3) < 5，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅱ）理科数学参考答案一、选择题： 1．【答案：D 】解析：∵2={|320}{|12}N x x x x x -+≤=≤≤，∴{1,2}M N =.2．【答案：A 】解析：∵12i z =+，复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴22z i =-+，∴2212(2)(2)2145z z i i i =+-+=-=--=-.3．【答案：A 】解析：2222||10||6210,26,a b a b a b a b a b a b +=-=∴++⋅=+-⋅=，两式相减得：1a b ⋅=. 4．【答案：B 】解析：∵1||||sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅，即：1112sin 22B =⋅，∴2sin 2B =，即45B =或135．又∵222||||||2||||cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，∴2||1AC =或5，又∵ABC ∆为钝角三角形，∴2||5AC =，即：||5AC =5．【答案：A 】解析：设 A =“某一天的空气质量为优良”，B =“随后一天的空气质量为优良”，则()0.6(|)0.8()0.75P AB P B A P A ===. 6．【答案：C 】解析：原来毛坯体积为π·32·6=54π (cm 2)，由三视图得，该零件由左侧底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱和右侧底面半径为3cm ，高为2cm 的圆柱构成，所以该零件的体积为：π·32·2+π·22·4=34π (cm 2)，则切削掉部分的体积为54π-34π =20π(cm 2)，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=. 7．【答案：D 】解析：输入的x ，t 均为2．判断12≤？是，1221M =⋅=，235S =+=，112k =+=；判断22≤？是，2222M =⋅=，257S =+=，213k =+=，判断32≤？否，输出7S =.8．【答案：D 】解析：∵1'1y a x =-+，且在点(0,0)处的切线的斜率为2，∴01'|201x y a ==-=+，即3a =. 9．【答案：B 】解析：作出x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩所表示的平面区域为如图阴影部分，做出目标函数l 0：y =2x ，∵y =2x -z ，∴当y =2x -z 的截距最小时，z 取最大值.当y =2x -z 经过C 点时，z 取最大值.由31070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C (5,2)，此时z 取最大值为2×5-2=8. 10．【答案：D 】解析：∵3(,0)4F ，∴设直线AB 的方程为33()34y x =-，代入抛物线方程得：22190216x x -+=，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∴12212x x +=，12916x x ⋅=，由弦长公式得221212||(1)[()4]12AB k x x x x =++-=，由点到直线的距离公式得：O 到直线AB 的距离2233|00|33483()(1)3d ⨯--==+-，∴13912284OABS ∆=⨯⨯=. 【另解】直线AB 的方程33()34y x =-代入抛物线方程得：2412390y y --=， ∴1233y y +=，1294y y ⋅=-，∴21212139()4244OAB S y y y y ∆=⨯⨯+-=.11．【答案：C 】解析：取BC 的中点P ，连结NP 、AP ， ∵M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，∴四边形NMBP 为平行四边形，∴BM //PN ，∴所求角的余弦值等于∠ANP 的余弦值，不妨令BC =CA =CC 1=2，则AN =AP =5，NP =MB=6，∴222||||||cos 2||||AN NP AP ANP AN NP +-∠=⨯⋅l 0l 1 3x-y-5=0yxo 12 x-3y+1=0l 2x+y-7=052CA B ACB1A1C1BNMP222(5)(6)(5)3010256+-==⨯⨯. 【另解】如图建立坐标系，令AC =BC =C 1C =2，则A (0, 2, 2)，B (2, 0, 2)，M (1, 1, 0)，N (0,1, 0)， (1,1,2)(0,1,2),BM AN ∴=--=--，01430cos .10||||65BM AN θBM AN ⋅-+===⋅12．【答案：C 】解析：∵()3cosxf x m m ππ'=，令()3cos0xf x m m ππ'==得1(),2x m k k Z =+∈，∴01(),2x m k k Z =+∈，即01|||||()|22m x m k =+≥，mxx f πsin 3)(= 的极值为3±，∴3)]([20=x f ，，34)]([22020+≥+∴m x f x 22200[()]x f x m +<， 2234∴m m <+，即：24m >，故：2m <-或2m >. 二、填空题： 13．【答案：12】解析：∵10110r r r r T C x a -+=，∴107r -=，即3r =，∴373741015T C x a x ==，解得12a =. 14．【答案：1 】解析：∵()sin(2)2sin cos()sin[()]2sin cos()f x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕ=+-+=++-+sin cos()cos sin()2sin cos()cos sin()sin cos()sin x x x x x xϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+++-+=+-+=∵x R ∈，∴()f x 的最大值为1.15．【答案：(1,3)- 】解析：∵()f x 是偶函数，∴(1)0(|1|)0(2)f x f x f ->⇔->=，又∵()f x 在[0,)+∞单调递减，∴|1|2x -<，解得：13x -<< 16．【答案：[1,1]-】解析：由图可知点M 所在直线1y =与圆O 相切，又1ON =，由正弦定理得sin sin ON OM OMN ONM =∠∠，∴1sin 22OMONM=∠，即2sin OM ONM =∠，∵0ONM π≤∠≤，∴2OM ≤，即2012x +≤，解得：011x -≤≤.【另解】过OA ⊥MN ，垂足为A ，因为在Rt △OMA 中，|OA|≤1，∠OMN =45º，所以||||sin 45OA OM ==||1OM ≤，解得||OM ≤，因为点M (x 0, 1)，所以||OM =011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.三、解答题：17．解析：（Ⅰ）证明：∵131n n a a +=+，∴1113()22n n a a ++=+，即：112312n n a a ++=+，又11322a +=，∴1{}2n a +是以32为首项，3为公比的等比数列．∴113322n n a -+=⋅，即312n n a -=.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知312n n a -=，∴11231()3133n n n n n a -=≤=∈-N*， ∴21211()11111131331[1()]133323213nn n n a a a -++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+==-<- 故：1211132n a a a ++⋅⋅⋅+< 18．解析：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于点O ，连结OE ．∵底面ABCD 为矩形， ∴点O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，∴//OE PB ，∵OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB //平面AEC .（Ⅱ）以A 为原点，直线AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB a =，则D ，(0,0,0)A，1(0,,)22E，(C a ，∴1(0,)22AE =，(AC a =，设(,,)n x y z =是平面AEC 的法向量，则310220n AE y zn AC ax⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩，解得：y z⎧=⎪⎨⎪=⎩，令x =得(3,,)n a =-，PBCDEA又∵(,0,0)AB a =是平面AED 的一个法向量，∴1|cos ,|cos6023AB n a <>===⋅，解得32a =，∴1111131||||||32232228E ACD V AD CD AP -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=.19．解析：（Ⅰ）由题意得：4t =， 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.94.37y ++++++==，∴2222222(3)(1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.60.5(3)(2)(1)0123b -⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯==-+-+-++++， ∴ˆ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=，故所求线性回归方程为：ˆ0.5 2.3y t =+. （Ⅱ）由（Ⅰ）中的回归方程的斜率0.50k =>可知，2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加．令9t =得：0.59 2.3 6.8y =⨯+=，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元。

高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练23

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练23一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．在一次班级聚会上，某班到会的女同学比男同学多6人，从这些同学中随机挑选一人表演节目，若选到女同学的概率为23，则这班参加聚会的同学的人数为( )A ．12B ．18C ．24D ．32解析设女同学有x 人，则该班到会的共有(2x －6)人，所以x 2x －6＝23，得x ＝12，故该班参加聚会的同学有18人，故选B.答案 B2．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.13B.23C.34D.14解析设点P 到点O 的距离小于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P ＝1－13＝23. 答案 B3．连续抛掷两枚正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记所得朝上的面的点数分别为x ，y ，过坐标原点和点P (x ，y )的直线的倾斜角为θ，则θ>60°的概率为( )A.14 B.34 C.12D.16解析基本事件总数为6×6＝36种，θ>60°的必须是y x＝tan θ>3，∴这样的基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,6)，共9种．∴概率为936＝14.答案 A4．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910解析记事件A ：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A 的对立事件A －仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A 的对立事件A －的概率为P (A －)＝110，∴P (A )＝1－P (A －)＝910.选D.答案 D5．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a 和b ，则方程x ＝22a －2bx有不等实数根的概率为( )A.14B.12C.34D.25解析方程x ＝22a －2b x，即x 2－22ax ＋2b ＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(22a )2－4×2b >0，即a >b .在如图所示的平面直角坐标系内，(a ，b )的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A “方程x ＝22a －2bx有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．由几何概型公式可得P (A )＝12×1×11×1＝12.答案 B6．(2013·湖南卷)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12 B.14 C.32D.74解析矩形ABCD 如图所示，在点P 从D 点向C 点运动过程中，DP 在增大，AP 也在增大，而BP 在逐渐减小，当P 点到P 1位置时，BA ＝BP 1，当P 点到P 2位置时，AB ＝AP 2，故点P 在线段P 1P 2上时，△ABP 中边AB 最大，由题意可得P 1P 2＝12CD .在Rt △BCP 1中，BP 21＝916CD 2＋BC2＝916AB 2＋AD 2＝AB 2. 即AD 2＝716AB 2，所以AD AB ＝74，故选D.答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·课标全国Ⅱ)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．解析任取两个不同的数的情况有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中和为5的有2种，所以所求概率为210＝0.2.答案 0.28．在集合A ＝{m |关于x 的方程x 2＋mx ＋34m ＋1＝0无实根}中随机的取一元素x ，恰使式子lg x 有意义的概率为________．解析由于Δ＝m 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ＋1<0，得－1<m <4，若使lg x 有意义，必须使x >0.在数轴上表示为，故所求概率P ＝45.答案 459．(2013·浙江卷)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．解析设3名男同学分别为a 1，a 2，a 3,3名女同学分别为b 1，b 2，b 3，则从6名同学中任选2名的结果有a 1a 2，a 1a 3，a 2a 3，a 1b 1，a 1b 2，a 1b 3，a 2b 1，a 2b 2，a 2b 3，a 3b 1，a 3b 2，a 3b 3，b 1b 2，b 1b 3，b 2b 3，共15种，其中都是女同学的有3种，所以概率P ＝315＝15.答案 15三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2012·福建卷)在等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，b 4＝8，{a n }的前10项和S 10＝55.(1)求a n 和b n ；(2)现分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 依题意得S 10＝10×1＋10×92d ＝55，b 4＝q 3＝8，解得d ＝1，q ＝2，所以a n ＝n ，b n ＝2n －1.(2)分别从{a n }和{b n }的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件有2个：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P ＝29.11．(本小题10分)(2013·天津卷)某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，(ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果；(ⅱ)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B 发生的概率．解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为10＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝615＝25.12．(本小题10分)(2013·江西卷)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)写出数量积X 的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解 (1)X 的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有OA 2→·OA 5→，共1种；数量积为－1的有OA 1→·OA 5→，OA 1→·OA 6→，OA 2→·OA 4→，OA 2→·OA 6→，OA 3→·OA 4→，OA 3→·OA 5→，共6种；数量积为0的有OA 1→·OA 3→，OA 1→·OA 4→，OA 3→·OA 6→，OA 4→·OA 6→，共4种；数量积为1的有OA 1→·OA 2→，OA 2→·OA 3→，OA 4→·OA 5→，OA 5→·OA 6→，共4种．故所有可能的情况有15种．所以小波去下棋的概率为P 1＝715；因为去唱歌的概率为P 2＝415，所以小波不去唱歌的概率P ＝1－P 2＝1－415＝1115.。

(word完整版)2014年高考全国Ⅱ理科数学试题及答案(word解析版),推荐文档

2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2014年全国Ⅱ，理1，5分】设集合{}0,1,2M =，{}2320N x x x =-+≤，则M N =I （）（A ）{}1 （B ）{}2 （C ）{}0,1 （D ）{}1,2 【答案】D【解析】把{}0,1,2M =中的数代入不等式2320x x -+≤，经检验1,2x =满足，故选D ．（2）【2014年全国Ⅱ，理2，5分】设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（）（A ）5- （B ）5 （C ）4i -+ （D ）4i -- 【答案】A【解析】12i z =+Q ，1z 与2z 关于虚轴对称，22z i ∴=-+，12145z z =--=-，故选A ．（3）【2014年全国Ⅱ，理3，5分】设向量,a b 满足10+=a b 6-=a b ，则⋅=a b （）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 【答案】A【解析】||10a b +=r r Q ||6a b -=r r ，22210a b ab ∴++=r r r r ，2226a b ab +-=r r r r ，联立方程解得1ab =r r，故选A ．（4）【2014年全国Ⅱ，理4，5分】钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，2BC =，则AC =（）（A ）5 （B 5 （C ）2 （D ）1 【答案】B【解析】ΔABC 111sin 21sin 222S ac B B ==⋅=Q ，2sin B ∴，π4B ∴=或3π4B =，当π4B =时，经计算ABC∆为等腰直角三角形，不符合题意，舍去；当3π4B =时，使用余弦定理，222-2cos b a c ac B =+，解得5b =故选B ．（5）【2014年全国Ⅱ，理5，5分】某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.6 （D ）0.45 【答案】A 【解析】设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为p ，则据题意有0.60.75p =⋅，解得0.8p =，故选A ．（6）【2014年全国Ⅱ，理6，5分】如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）（A ）1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）13【答案】C【解析】Q 加工前的零件半径为3，高6，∴体积19π654πv =⋅=，Q 加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2，高4，右半部为大圆柱，半径为3，高为2，∴体积2449π234πv π=⋅+⋅=，∴消掉部分的体积与原体积之比=54π34π1054π27-==，故选C ．（7）【2014年全国Ⅱ，理7，5分】执行右图程序框图，如果输入的,x t 均为2，则输出的S =（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 【答案】D【解析】2x =，2t =，变量变化情况：1 3 12 5 22 7 3M S K，故选D ．（8）【2014年全国Ⅱ，理8，5分】设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a =( ) （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】D【解析】()ln(1)f x ax x =-+Q ，1()1f x a x '∴=-+，(0)0f ∴=，且(0)2f '=，联立得3a =，故选D ．（9）【2014年全国Ⅱ，理9，5分】设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（）（A ）10 （B ）8 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数2z x y =-在两条直线310x y -+=与70x y +-=的交点()5,2处，取得最大值8z =，故选B ．（10）【2014年全国Ⅱ，理10，5分】设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ，B两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（）（A（B（C ）6332 （D ）94 【答案】D【解析】设点A ，B 分别在第一和第四象限，2AF m =，2BF n =，则由抛物线的定义和直角三角形可得：3224m =⋅，3224n =⋅，解得3(22m =，32n =，6m n ∴+=，ΔOAB 139()244S m n ∴=⋅⋅+=，故选D ．（11）【2014年全国Ⅱ，理11，5分】直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M ，N 分别是11A B ，11A C 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（）（A ）110 （B ）25 （C（D【答案】C【解析】如图，分别以11C B ，11C A ，1C C 为,,X Y Z 轴，建立坐标系．令12AC BC C C ===，则(0,2,2)A ，(2,0,2)B ，(1,1,0)M ，(0,1,0)N ，(1,1,2BM ∴=u u u u r --），(0,1,2AN =-u u u r -），cos θ||||BM AN BM AN ⋅===⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r ，故选C ．（12）【2014年全国Ⅱ，理12，5分】设函数()x f x mπ=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m ⎡⎤+<⎣⎦，则m 的取值范围是（）（A ）()(),66,-∞-∞U （B ）()(),44,-∞-∞U （C ）()(),22,0-∞-U （D ）()(),14,0-∞-U 【答案】C【解析】π()x f x m Q的极值为，即20[()]3f x =，0||||2m x ≤，22200[()]34m x f x ∴+≥+，2234m m ∴+<，解得||2m >，故选C ．第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2014年全国Ⅱ，理13，5分】()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =______．【答案】12【解析】37371015C x a x =Q ，331015C a ∴=，12a =．（14）【2014年全国Ⅱ，理14，5分】函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为______．【答案】1【解析】()sin(2)-2sin φcos()sin()cos cos()sin 2sin cos()sin()cos cos()sin sin 1f x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=++=+⋅++⋅-+=+⋅-+•=≤Q ，最大值为1．（15）【2014年全国Ⅱ，理15，5分】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =．若()10f x ->，则x 的取值范围是_______．【答案】()1,3-【解析】Q 偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且()20f =，()0f x ∴>的解集为||2x <，(1)0f x ∴->的解集为|1|2x -<，解得()1,3x ∈-．（16）【2014年全国Ⅱ，理16，5分】设点()0,1M x ，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是_______．【答案】[1,1]-【解析】在坐标系中画出圆O 和直线1y =，其中()0,1M x 在直线上，由圆的切线相等及三角形外角知识，可得0[1,1]x ∈-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2014年全国Ⅱ，理17，12分】已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+．（1）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）证明：1231112n a a a ++<…+．解：（1）11a =Q ，131,N *n n a a n +=+∈，n 1111313()222n n a a a +∴+=++=+， 1{}2n a ∴+是首项为11322a +=，公比为3的等比数列．1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=．（2）由（1）可知312n n a -=，1231n n a ∴=-，111a =，当1n >时，1121313nn n a -=<-， 121123111111111313311133323213n n n n a a a a --∴++++<++++==-<-L L （），123111132n a a a a ∴++++<L ．（18）【2014年全国Ⅱ，理18，12分】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --为60︒，1AP =，3AD =，求三棱锥E ACD -的体积．解：（1）设AC 的中点为G , 连接EG ．在三角形PBD 中，中位线//EG PB ，且EG 在平面AEC 上，所以//PB 平面AEC ．（2）设CD m =，分别以AD ，AB ，AP 为X ，Y ，Z 轴建立坐标系，则(0,0,0)A ，(3,0,0)D ，31()2E ，(3,,0)C m ，∴(3,0,0)AD =u u u r ，31()2AE =u u u r ，(3,,0)AC m =u u ur ．设平面ADE 的法向量为1111(,,)n x y z =u u r ，则10n AD ⋅=u u r u u u r，10n AE ⋅=u u r u u u r ，解得一个1(0,1,0)n =u u r ．同理设平面ACE 法向量为2222(,,)n x y z =u u r ，则20n AC ⋅=u u r u u u r ，20n AE ⋅=u u r u u u r ，解得一个2(,3,3)n m m =--u u r ， 22222222||31cos |cos ,|32||||33n n n n n n m m π⋅=<>===⋅++u u r u u ru u r u u r u u r u u r Q ，解得32m =．设F为AD的中点，则//PA EF，且122EFPA==，EF⊥面ACD，即为三棱锥E ACD-的高．-Δ1113133222E ACD ACDV S EF=⋅⋅=⋅⋅E ACD-．（19）【2014年全国Ⅱ，理19，12分】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据（1）求（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ni iiniit t y ybt t∧==--=-∑∑，ˆˆa y bt=-．解：（1）12747t+++==LQ，2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.94.37y++++++==，设回归方程为y bt a=+，代入公式，经计算得：31420.700.5 1.8 4.8141(941)21422b⨯++++++===++⨯⨯，14.34 2.32a y bt=-=-⨯=，所以y关于t的回归方程为0.5 2.3y t=+．（2）12b=>Q，∴2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该区人均纯收0.59 2.3 6.8y=⋅+=（千元），所以，预计到2015年，该区人均纯收入约为6.8千元．（20）【2014年全国Ⅱ，理20，12分】设1F,2F分别是椭圆()222210x ya ba b+=>>的左右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为34，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且15MN F N=，求a，b．解：（1）Q由题知，11234MFF F=，21324ba c∴⋅=，且222a b c=+．联立整理得：22320e e+-=，解得12e=．C∴的离心率为12．（2）由三角形中位线知识可知，222MF=⋅，即24ba=．设1F N m=，由题可知14MF m=．由两直角三角形相似，可得M，N两点横坐标分别为c，32c-．由焦半径公式可得：1MF a ec=+，13()2NFa e c=+-，且11:4:1MF NF=，cea=，222a b c=+．联立解得7a=，b=（21）【2014年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()2x xf x e e x-=--．（1）讨论()f x的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x=-，当0x>时，()0g x>，求b的最大值；（3）已知1.4142 1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．解：解法一：（1）-()2x xf x e e x=--Q，x R∈，∴-1()2220x x xxf x e e ee'=+-=+-≥=．所以，()f x 在R 上单增．（2）22()(2)4()44(2)0x x x x g x f x bf x e e x b e e x --=-=----->，0x >．令22()44(2)x x x x h x e e x b e e x --=-----，0x >，则(0)0h =．22()2244(2)x x x x h x e e b e e --'=+--+-， ()0,x m ∴∃∈，0m >，使()0h x '≥，即2-22244(2)0x x x x e e b e e -+--+-≥，即2-222(2)0x x x x e e b e e -+--+-≥．同理，令22()22(2)x x x x m x e e b e e --=+--+-，()0,x m ∈，0m >，则这(0)0m =．22()222()x x x x m x e e b e e --'=---，()0,x t ∴∃∈，0t >，使()0m x ≥．即22222()0x x x x e e b e e -----≥，即()()()0x x x x x x e e e e b e e ---+---≥，且0x x e e -->，即x x e e b -+≥，即22x x x x e e e e b --+>⋅=≥，所以b 的最大值为2．（3）设ln 20x =>，则(ln 2)0f >，即2(ln 2)22ln 2ln 202f =--=->，解得2ln 2<．由（2）知，(2)8()f x f x >，令ln 20x =>，则(2ln 2)8(ln 2)f f >，即(ln 2)8(ln 2)f f >，即122ln 2822ln 2)22-->--（，36ln 2422>-，解得21ln 2234>-，所以2122ln 2342-<<．解法二：（1）()20x x f x e e -'=+-≥，等号仅当0x =时成立．所以()f x 在(),-∞+∞单调递增．（2）()()()()()2224484x x x x g x f x bf x e e b e e b x --=-=---+-，()()()()()2222422222x x x xxx x x g x e e b e e b ee e e b ----⎡⎤'=+-++-=+-+-+⎣⎦．（ⅰ）当2b ≤时，()0g x '≥，等号仅当0x =时成立，所以()g x 在(),-∞+∞单调递增．而()00g =，所以对任意0x >，()0g x >．（ⅱ）当2b >时，若x 满足222x x e e b -<+<-，即()20ln 12x b b b <<-+-时，()0g x '<．而()00g =，因此当()20ln 12x b b b <≤-+-时，()0g x <．综上所述，b 的最大值为2．（3）由（2）可知，()()3ln 222221ln 22g b b =-+-，当2b =时，()3ln 2426ln 202g =-+>，823ln 20.6928->>；当321b =+时，()2ln 12ln 2b b b -+-=，()()3ln 222322ln 202g =--++<，182ln 20.6934+<<．所以ln2的近似值为0.693．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号．（22）【2014年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 是O e 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O e 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O e 于点E ．证明：（1）BE EC =；（2）22AD DE PB ⋅=．解：解法一：（1）2PC PA =Q ，PD DC =，PA PD ∴=，PAD ∆为等腰三角形．连接AB ，则PAB DEB β∠=∠=BCE BAE α∠=∠=．PAB BCE PAB BAD PAD PDA DEB DBE ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠Q ， DBE βαβ∴+=+∠，即a DBE =∠，即BCE DBE ∠=∠，所以BE EC =．（2）AD DE =BD DC ⋅⋅Q ，2PA PB PC =⋅，PD DC PA ==，()BD DC PA PB PA PB PC PB PA PB PC PA ∴⋅=-=⋅-⋅=⋅-（），222PB PA PB PB PB ⋅=⋅=， 22AD DE PB ∴⋅=．解法二：（1）连接AB ，AC ．由题意知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠．因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠， PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DAC PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =．（2）由切割线定理得2PA PB PC =⋅．因为PA PD DC ==，所以2DC PB =，BD PB =．由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以22AD DE PB ⋅=．（23）【2014年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：（1）C 的普通方程为：()()221101x y y -+=≤≤．可得C 的参数方程为1cos sin x t y t =+⎧⎨=⎩()0t π≤≤．（2）设()1cos ,sin D t t +，由（1）知C 是以()1,0G 为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t 3t π=．故D 的直角坐标为1cos ,sin 33ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即32⎛ ⎝⎭．（24）【2014年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设函数()1(0)f x x x a a a=++->．（1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围．解：（1）由0a >，有()()1112f x x x a x x a a a a a=++-≥+--=+≥，所以()2f x ≥．（2）()1333f a a =++-，当3a >时，()13f a a=+，由()35f <得3a <．当03a <≤时，()136f a a=-+，由()35f <3a <≤．综上所述，a 的取值范围是⎝⎭．。

高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练15

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练151．(本小题15分)(2013·山东烟台二模)设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项．(1)证明数列{a n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n<2.解 (1)由已知得，2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1(a 1＝0舍去)；当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1. 于是2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1.于是a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1. 因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)．故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)证明：因为a n ＝n ，则S n ＝n n ＋12，1S n ＝2nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<2.2．(本小题15分)(2013·福建福州二模)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为A ，P 为C 1上任一点，MN 是圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1的一条直径，若与AF 平行且在y 轴上的截距为3－2的直线l 恰好与圆C 2相切．(1)求椭圆C 1的离心率；(2)若PM →·PN →的最大值为49，求椭圆C 1的方程．解 (1)由题意可知直线l 的方程为bx ＋cy －(3－2)c ＝0，因为直线l 与圆C 2：x 2＋(y －3)2＝1相切，所以d ＝|3c －3c ＋2c |b 2＋c 2＝1，即a 2＝2c 2，从而e ＝22. (2)设P (x ，y )，圆C 2的圆心记为C 2，则x 22c 2＋y 2c2＝1(c >0)，又PM →·PN →＝(PC 2→＋C 2M →)·(PC 2→＋C 2N →)＝PC 22→－C 2N 2→＝x 2＋(y －3)2－1＝－(y ＋3)2＋2c 2＋17(－c ≤y ≤c )．①当c ≥3时，(PM →·PN →)max ＝17＋2c 2＝49，解得c ＝4，此时椭圆方程为x 232＋y 216＝1； ②当0<c <3时，(PM →·PN →)max ＝－(－c ＋3)2＋17＋2c 2＝49，解得c ＝±52－3但c ＝－52－3<0，且c ＝52－3>3，故舍去．综上所述，椭圆C 1的方程为x 232＋y 216＝1.3．(本小题15分)(2013·湖南卷)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2.l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM →·FN →<2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．解 (1)由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM →＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN →＝(pk 2，pk 22)．于是FM →·FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋k 222＝1.故FM →·FN →<p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p . 故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2，化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0.于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0. 又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p >0，所以点M 到直线l 的距离 d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫k 1＋142＋785.故当k 1＝－14时，d 取最小值7p85.由题设，7p 85＝755，解得p ＝8.故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .4．(本小题15分)(2013·福建卷)已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值；(3)当a ＝1时，若直线l ：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，求k 的最大值．解 (1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e. (2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，∴函数f (x )无极值． ②当a >0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，x ＝ln a .x ∈(－∞，ln a )，f ′(x )<0，x ∈(ln a ，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． (3)当a ＝1时，f (x )＝x －1＋1e x .令g (x )＝f (x )－(kx －1)＝(1－k )x ＋1e x ，则直线l ：y ＝x －1与曲线y ＝f (x )没有公共点，等价于方程g (x )＝0在R 上没有实数解．假设k >1，此时g (0)＝1>0，g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝－1＋1e1k －1<0，又函数g (x )的图象连续不断，由零点存在定理，可知g (x )＝0在R 上至少有一解，与“方程g (x )＝0在R 上没有实数解”矛盾，故k ≤1.又k ＝1时，g (x )＝1e x >0，知方程g (x )＝0在R 上没有实数解．∴k 的最大值为1.5．(本小题15分)(2013·陕西卷)已知函数f (x )＝e x，x ∈R . (1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值； (2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数； (3)设a <b ，比较f a ＋f b2与f b －f ab －a的大小，并说明理由．解 (1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图象在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝1x 0，解得x 0＝e 2，k ＝1e2.(2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线y ＝exx2与y ＝m 的公共点个数．令φ(x )＝e xx2，则φ′(x )＝exx －2x 3，∴φ′(2)＝0. 当x ∈(0,2)时，φ′(x )<0，φ(x )在(0, 2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为φ(2)＝e24.当0<m <e 24时，曲线y ＝exx 2与y ＝m 无公共点；当m ＝e 24时，曲线y ＝exx2与y ＝m 恰有一个公共点；当m >e 24时，在区间(0,2)内存在x 1＝1m ，使得φ(x 1)>m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)>m .由φ(x )的单调性知，曲线y ＝exx2与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x >0时，若0<m <e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若m ＝e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若m >e 24，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)可以证明f a ＋f b2>f b －f ab －a.事实上，f a ＋f b2>f b －f a b －a ⇔e a ＋e b 2>e b －e ab －a⇔b －a 2>e b －e a e b ＋e a ⇔b －a2>1－2eae b ＋ea⇔b －a2>1－2e b －a＋1(b >a )．(*) 令ψ(x )＝x 2＋2e x ＋1－1(x ≥0)，则ψ′(x )＝12－2e xe x＋12＝e x ＋12－4e x 2e x ＋12＝e x －122e x＋12≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增． ∴x >0时，ψ(x )>ψ(0)＝0. 令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．。

高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练28

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练28一、填空题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．1．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析将直线l 1，l 2的参数方程分别化为直角坐标方程为：l 1：kx ＋2y －k －4＝0，l 2：2x ＋y －1＝0.若l 1∥l 2，则k ＝4；若l 1⊥l 2，则2k ＋2＝0，即k ＝－1. 答案 4 －12．(2013·江西卷)设曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析曲线C 的普通方程为y ＝x 2，又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得ρ2cos 2θ－ρsin θ＝0，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案 ρcos 2θ－sin θ＝03．(2013·北京卷)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．解析极坐标系中点⎝⎛⎭⎪⎫2，π6对应直角坐标系中坐标(3，1)，极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系直线方程为y ＝2，所以距离为1.答案 14．(2013·广东深圳一模)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t ＋1(t 为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C 1与C 2交点在直角坐标系中的坐标为________．解析将曲线C 1的参数方程和曲线C 2的极坐标方程分别转化为直角坐标方程C 1：y ＝x 2＋1，C 2：y －x ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，y －x ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故交点坐标为(2,5)．答案 (2,5)5．(2013·广东卷)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为________．解析曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2，由圆的几何性质知，切线l 与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故l 的斜率为－1，从而l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y ＝2化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，化简得ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.答案 ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 26．(2013·天津卷)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.解析极坐标方程和极坐标在直角坐标中，方程为x 2－4x ＋y 2＝0，点P 为(2,23)，所以|CP |＝－2＋－232＝2 3.答案 2 37．(2013·重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 ρcos θ＝4化为普通方程x ＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝t 3化为普通方程y 2＝x 3，联立解得A (4,8)，B (4，－8)，故|AB |＝16.答案 168．(2013·广东揭阳一模)已知曲线C 1：ρ＝22和曲线C 2：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，则C 1上到C 2的距离等于2的点的个数为________．解析将方程ρ＝22与ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2化为直角坐标方程得x 2＋y 2＝(22)2与x－y －2＝0，知C 1为圆心在坐标原点，半径为22的圆，C 2为直线，因圆心到直线x －y －2＝0的距离为2，故满足条件的点的个数为3.答案 39．(2013·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．解析椭圆的普通方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，l 的直角坐标系方程为x ＋y ＝m .圆的直角坐标系方程为x 2＋y 2＝b 2，椭圆焦点(c,0)在直线上，则c ＝|m |，直线与圆相切，则|m |2＝b ，即c ＝2b ，e ＝c a ＝c b 2＋c2＝63.答案63二、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分) (2013·福建卷)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程； (2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解 (1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1. 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．11．(本小题10分)(2013·辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎪⎨⎪⎧b2＝1，－ab2＋1＝2.解得a ＝－1，b ＝2.12．(本小题10分)(2013·辽宁五校协作体联考)已知直线l 是过点P (－1,2)，方向向量为n ＝(－1，3)的直线，圆方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3.(1)求直线l 的参数方程；(2)设直线l 与圆相交于M ，N 两点，求|PM |·|PN |的值．解 (1)∵n ＝(－1，3)，∴直线的倾斜角α＝2π3.∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos 2π3，y ＝2＋t sin 2π3(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)．(2)∵ρ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝cos θ＋3sin θ，∴ρ2＝ρcos θ＋3ρsin θ.∴x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，将直线的参数方程代入得t 2＋(3＋23)t ＋6＋23＝0. ∴|t 1t 2|＝6＋23，即|PM |·|PN |＝6＋2 3.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练2Word版含解析

高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2解析f(x)为奇函数知f(－1)＝－f(1)＝－2，故选A.答案A2．(2013·浙江卷)已知x，y为正实数，则()A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg y B．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg y D．2lg(xy)＝2lg x·2lg y解析由指数与对数的运算性质得2lg(xy)＝2(lg x＋lg y)＝2lg x·2lg y.答案D3．(2013·全国卷Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则() A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c解析a＝log36＝1＋log32，b＝log510＝1＋log52，c＝log714＝1＋log72.由y＝log3x，y＝log5x，y＝log7x在同一坐标系中的相对位置知log32>log52>log72，进而得a>b>c，选D.答案D4．(2013·陕西卷)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y有()A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]解析令x＝1.5，而[－x]＝－2，－[x]＝－1，故A错．[2x]＝3,2[x]＝2，则B错，令x＝1.8，y＝1.9，则[x＋y]＝[3.7]＝3，而[x]＝1，[y]＝1，[x＋y]>[x]＋[y]，故C错，从而选D.答案D5．(2013·山东东营模拟)已知函数y＝f(x)的大致图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式应为()A．f(x)＝e x ln x B．f(x)＝e－x ln(|x|)C．f(x)＝e x ln(|x|) D．f(x)＝e|x|ln(|x|)解析由定义域是{x|x∈R，且x≠0}，排除A；由函数图象知不是偶函数，排除D；当x→＋∞时，f(x)＝ln|x|e x→0，排除B，选C.答案 C6．(2013·北京东城模拟)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y＝x－1，y＝x 12，y＝(x－1)2，y＝x3中有三个是增函数；②若log m3<log n3<0，则0<n<m<1；③若函数f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点(1,0)对称；④若函数f(x)＝3x－2x－3，则方程f(x)＝0有两个实数根，其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析①在区间(0，＋∞)上，只有y＝x 12，y＝x3是增函数，所以①错误；②由log m 3<log n 3<0，可得1log 3m <1log 3n <0，即log 3n <log 3m <0，所以0<n <m <1，所以②正确；③显然正确；④由f (x )＝3x －2x －3＝0得3x ＝2x ＋3，令y 1＝3x ，y 2＝2x ＋3，在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图．由图象可知，两个函数图象有两个交点，所以④正确．所以正确命题的个数为3.故选C.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，f (x －1)，x >0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56的值为________．解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝－12. 答案－128．(2013·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析 x <0时，－x >0，f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，故f (x )＝－x 2－4x . x ＝0时，f (x )＝0，所以f (x )>x ，即为⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－4x >x ，x <0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x >x ，x >0，解得－5<x <0或x >5.答案 (－5,0)∪(5，＋∞)9．(2013·北京石景山模拟)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12；②点(k,0)是y ＝f (x )的图象的对称中心，其中k ∈Z ； ③函数y ＝f (x )的最小正周期为1；④函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，32上是增函数．则上述命题中真命题的序号是________．解析令x ＝m ＋a ，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以f (x )＝x －{x }＝a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12，所以①正确；因为f (2k －x )＝2k －x －{2k －x }＝(－x )－{－x }＝f (－x )≠－f (－x )，所以点(k,0)不是函数f (x )的图象的对称中心，所以②错误；f (x ＋1)＝x ＋1－{x ＋1}＝x －{x }＝f (x )，所以最小正周期为1，所以③正确；显然④错误；所以正确的为①③.答案 ①③三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a >0时，f (x )在[2, 3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5f (2)＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝54a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ②当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2f (2)＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝24a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. ∴a ＝1，b ＝0或a ＝－1，b ＝3. (2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2，g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2. 若g (x )在[2,4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m ＋22≥4， ∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log 26. 故m 的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．11．(本小题10分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解函数的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x ＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，令f ′(x )>0，得2－x 2x (x －2)<0，又0<x <2，则2－x 2>0，解得0<x < 2.令f ′(x )<0，则2－x 2<0，解得2<x <2. ∴函数f (x )的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(2，2)． (2)∵a >0，当x ∈(0,1]时， f ′(x )＝1x －12－x ＋a ＝2(1－x )x (2－x )＋a >0.则f (x )在x ∈(0,1]上是增函数，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.12．(本小题10分)(2013·辽宁沈阳一模)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0<a 1； (3)在(2)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.解 (1)由f (x )＝1，得lg x ＝±1，所以x ＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f (a )＝f (b )可判断a ∈(0,1)，b ∈(1，＋∞)，从而－lg a ＝lg b ，从而ab ＝1. 又a ＋b 2＝1b＋b2，令φ(b )＝1b ＋b (b ∈(1，＋∞))，任取1φ(1)＝2.∴a ＋b 2>1.(3)证明：由已知可得b ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，得4b ＝a 2＋b 2＋2ab ，得1b 2＋b 2＋2－4b ＝0，g (b )＝1b 2＋b 2＋2－4b ，因为g (3)<0，g (4)>0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.。

2014版高考数学(理科)(全国通用版)二轮复习(审题+解题+回扣+专练) 中档大题保分练(四)

中档大题保分练(四）(推荐时间：50分钟)1．已知函数f (x )＝sin ωx （ω>0）在区间［］0，π3上单调递增，在区间错误!上单调递减；如图，四边形OACB 中,a ,b ，c 为△ABC 的内角A ， B ，C 的对边，且满足错误!＝错误!.（1)证明：b ＋c ＝2a ；(2）若b ＝c ，设∠AOB ＝θ（0<θ<π），OA ＝2OB ＝2，求四边形OACB 面积的最大值．（1）证明由题意知：错误!＝错误!，解得：ω＝错误!，∵错误!＝错误!,∴sin B cos A ＋sin C cos A＝2sin A －cos B sin A －cos C sin A ，∴sin B cos A ＋cos B sin A ＋sin C cos A ＋cos C sin A＝2sin A ,∴sin（A ＋B ）＋sin(A ＋C )＝2sin A ，∴sin C ＋sin B ＝2sin A ⇒b ＋c ＝2a .(2）解因为b ＋c ＝2a ，b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，所以△ABC 为等边三角形，S OACB ＝S △OAB ＋S △ABC ＝12OA ·OB sin θ＋错误!AB 2 ＝sin θ＋错误!(OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos θ)＝sin θ－3cos θ＋错误!＝2sin 错误!＋错误!，∵θ∈（0，π），∴θ－错误!∈错误!，当且仅当θ－错误!＝错误!，即θ＝错误!时取最大值，S OACB 的最大值为2＋错误!.2．张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟,如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13. (1)求张师傅此行程时间不少于16分钟的概率；(2）记张师傅此行程所需时间为Y 分钟，求Y 的分布列和均值．解 (1）如果不遇到红灯，全程需要15分钟，否则至少需要16分钟．所以张师傅此行程时间不少于16分钟的概率P＝1－错误!4＝错误!.(2)设张师傅此行程遇到红灯的次数为X，则X～B错误!,P(X＝k)＝C错误!错误!k错误!4－k，k＝0，1,2,3，4。

高考数学二轮复习钻石卷高频考点训练14

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练141．(2013·江西卷)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析由M ∩N ＝{4}，得z i ＝4，则z ＝4i ＝－4i ，故选C.答案 C2．(2013·陕西卷)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( ) A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析 f (x )＝1－x 2的定义域M ，即1－x 2≥0的解集，故M ＝{x |－1≤x ≤1}．由补集的运算，知∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案 D3．(2013·湖南卷)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析在同一平面直角坐标中作出y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象，g (x )＝x 2－4x ＋5的顶点(2,1)，2ln2>2lne 12＝1，所以(2,1)位于y ＝f (x )图象下方，故交点个数为2.答案 B4．(2013·全国卷Ⅱ)执行右面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋ (110)C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋ (111)解析由程序框图的循环结构可知：T ＝1，S ＝0＋1＝1，K ＝2； T ＝12，S ＝1＋12，K ＝3；T ＝123＝12×3，S ＝1＋12＋12×3，K ＝4； T ＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋ (110)，K ＝11>10；停止循环，输出S ，故选B. 答案 B5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52等于( )A ．－12B ．－14C.14D.12解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 答案 A6．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A.12 B.33C.32D. 3解析 y x可以看作圆(x －2)2＋y 2＝3和原点连线的斜率．利用图形易知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝ 3.答案 D7．已知对于任意的k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,5)C ．[1,5)∪(5，＋∞)D ．[1，＋∞)解析直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆x 25＋y 2m ＝1内部即可．从而m ≥1，又因为椭圆x 25＋y 2m＝1中m ≠5，所以m 的取值范围是[1,5)∪(5，＋∞)．答案 C8．如图所示，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3:1B ．2:1C ．4:1D.3:1解析将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ ＝0，且易有VC －AA 1B ＝V3，故选B.答案 B9．(2013·安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增，只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a<0，整理得a ≤0，而当a ≤0时，结合图象可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.答案 C10．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则sin x ，tan x 与x 的大小关系是( ) A ．tan x ≥sin x ≥x B ．tan x ≥x ≥sin x C ．大小关系不确定D ．|tan x |≥|x |≥|sin x |解析结合y 1＝sin x ，y 2＝tan x ，y 3＝x 的图象可知D 正确．答案 D11．数列{a n }中，若a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1，则a 6等于( )A ．3 B.13 C ．11D.111解析由a 1＝1，a n ＋1＝a n2a n ＋1得a n >0，∴2a n ＋1>a n ，即a n2a n ＋1<1，故排除A 项，C 项．又a 2＝a 12a 1＋1＝13，又由已知可以看出a n ＋1<a n ，故a 6应小于13.答案 D12．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1D ．ω≤－1解析 ∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A 、C ，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π，∴y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D. 答案 B13．若等比数列的各项均为正数，前n 项的和为S ，前n 项的积为P ，前n 项倒数的和为M ，则有( )A ．P ＝S MB ．P >S MC ．P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S MnD ．P 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫S Mn解析取等比数列为常数列：1,1,1，…，则S ＝n ，P ＝1，M ＝n ，显然P >SM和P 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n 不成立，故选项B 和D 排除，这时选项A 和C 都符合要求．再取等比数列：2,2,2，…，则S ＝2n ，P ＝2n，M ＝n2，这时有P 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S M n，而P ≠SM ，所以A 选项不正确．答案 C14．(2013·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0解析 f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ；x 3的系数为正数，故f (x )或者在(－∞，＋∞)上为增函数，或者存在极值点x 1，x 2，(x 1<x 2)，f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上为增函数在 (x 1，x 2)上为减函数，此时x 2为极小值点，故在(－∞，x 2)上先增后减，故选C.答案 C15．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，f x ≤K ，K ，fx >K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析函数f (x )＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，作图f (x )≤K ＝12⇒x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故在(－∞，－1)上是单调递增的．答案 C16．(2013·安徽卷)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 3解析 |OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，求得∠AOB ＝π3，不妨设A (2,0)，B (1，3)，P (x ，y )．由题中所给OP →＝λOA →＋μOB →，知⎩⎨⎧x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x 2－y 23，μ＝y3，又|λ|＋|μ|≤1代入得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－y 23＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 3≤1，当y ≥0且x 2－y 23≥0时，得：3x ＋y ≤23，画出可行域可得S 0＝12×2×3＝ 3.由图象的对称性得S ＝4S 0＝43，故选D. 答案 D17．(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －16解析令f (x )＝g (x )得x 2－2(a ＋2)x ＋a 2＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8，解得x ＝a ＋2或x ＝a －2，因为f (x )的对称轴是x ＝a ＋2，g (x )的对称轴是x ＝a －2，在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得A ＝f (a ＋2)＝－4a －4，B ＝f (a －2)＝－4a ＋12，所以A －B ＝－16.答案 B18．(2013·全国卷Ⅰ)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1>c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列解析 ∵a n ＋1＝a n ，∴令a n ＝a ，a 为常数，b 2＝c 1＋a 2，c 2＝b 1＋a2.∴b 2＋c 2＝c 1＋a ＋b 1＋a2＝2a .归纳可知b n ＋c n ＝2a .∴点A 在以2a 为长轴的椭圆上．c 2－b 2＝b 1－c 12，归纳知|c n －b n |＝b 1－c 12n －1，∴c n 与b n 越来越接近时，A 点越接近D 点，S n 逐渐递增． ∴{S n }是递增数列．答案 B。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·江西卷)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析由x,3x ＋3, 6x ＋6，…为等比数列，得(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或x ＝－1，而x ＝－1时3x ＋3＝0不合题意，故舍去，知此数列为首项为－3，公比为2的等比数列，第四项为(－3)×23＝－24，选A.答案 A 2．(2013·福建泉州质检)若数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 7＝4，则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A.272 B ．18 C ．27D ．36解析 S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 3＋a 7)2＝9×42＝18. 答案 B3．(2013·黑龙江哈尔滨六校联考)已知各项为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 7a 14的最大值为( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在解析因为{a n }为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以20(a 1＋a 20)2＝100，即a 1＋a 20＝10，所以a 7＋a 14＝10.又因为a 7·a 11≤⎝⎛⎭⎪⎫a 7＋a 1422＝25，当且仅当a 7＝a 14时“＝”成立．答案 A4．等比数列{a n }中，a 4a 5＝1，a 8a 9＝16，则a 6a 7等于( ) A ．16 B ．±4 C ．－4D ．4解析设等比数列{a n }的公比为q . 则a 8a 9a 4a 5＝a 4q 4·a 5q 4a 4·a 5＝q 8＝16. ∴a 6a 7a 4a 5＝a 4q 2·a 5q 2a 4·a 5＝q 4＝4，∴a 6a 7＝4. 答案 D5．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n－1D.14(3n－1)解析由a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1① 得：a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．② ①－②得：a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1(n ≥2)．又当n ＝1时，a 1＝2也适合上式，∴a n ＝2·3n －1，∴a 2n ＝4·9n －1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(90＋91＋…＋9n －1)＝4·1－9n 1－9＝12(9n －1)．答案 B6．(2013·福建卷)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m 解析 c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n －1)＋2·…·a m (n －1)＋m ＝a 1q m (n －1)·a 1q m (n －1)＋1·…·a 1q m (n －1)＋m －1＝a m 1qm (n －1)＋m (n －1)＋1＋…＋m (n －1)＋m －1 ＝a m 1qm 2(n －1)＋(m －1)(1＋m －1)2＝a m 1qm 2(n －1)＋m (m －1)2所以c n ＋1＝a m 1qm 2n ＋m (m －1)2，所以c n ＋1c n＝qm 2，所以数列{c n }为等比数列，公比为qm 2.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·北京卷)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解析由a 3＋a 5＝q (a 2＋a 4)，得q ＝2，又a 2＋a 4＝a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.答案 2 2n ＋1－28．等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝1，则a 7＋a 8的值为______．解析设等比数列{a n }的公比为q ，则a 3＋a 4＝a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)q 2＝12q 2＝1.∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 3·q 4＋a 4q 4＝q 4(a 3＋a 4)＝4. 答案 49．(2013·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析 {a n }等差数列，由S 10＝0，得a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0；由S 15＝15a 8＝25，得a 8＝53，即a 1＋7d ＝53，解得a 1＝－3，d ＝23，此时nS n ＝n 33－10n 23，令f (x )＝x 33－10x 23，令f ′(x )＝x 2－203x ＝0，得x ＝203；f (x )在x ＝203处取极小值，故检验n ＝6时，6S 6＝－48；n ＝7时7S 7＝－49.答案－49三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·全国大纲卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．解设{a n }的公差为d .由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0，此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )，解得d ＝0或d ＝2. 因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.11．(本小题10分)(2013·陕西卷)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．12．(本小题10分)(2013·广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74.解 (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4. (2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ， 2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn ＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. (3)当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n＝1n 2<1(n －1)n ＝1n －1－1n ，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74.1a1＋1a2＋…＋1a n<7 4.综上，对一切正整数n，有。