2019版《5年高考3年模拟》文数A版精品课件：§6-4 数列的综合应用

解析 (1)证明:由条件,对任意n∈N*,有an+2=3Sn-Sn+1+3, 因而对任意n∈N*,n≥2,有an+1=3Sn-1-Sn+3. 两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,n≥2,即an+2=3an,n≥2. 又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1. 故对一切n∈N*,an+2=3an.
高考文数
第六章 数列
§6.4
数列的综合应用
知识清单
考点 数列前n项和的求法 1.常见的数列求和方法
(1)分组求和:把一个数列分成几个可以直接求和的数列.
(2)拆项相消:把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去 中间项,只剩有限项再求和.
(3)错位相减:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的
(2)
(4){an}是等差数列,公差为d,则
1 1 1 1 = . an an1 d an an1
方法技巧
方法 数列求和的方法
1.一般地,数列求和应从通项入手,若无通项,则先求通项,然后通过对通
项变形,转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式,从而
选择合适的方法求和. 2.常见类型及方法
解题导引 (1)用n-1代替n,代入an+2= 3Sn-Sn+1+3 an+1=3Sn-1-Sn+3, n≥2 得an+2-an+1=3an-an+1, n≥2,即an+2=3an,n≥2 验证当n=1时 等式的正确性 (2)由(1)知an+2=3an a2n-1=3n-1, a2n=2×3n-1 分组求和
①an=kn+b,利用等差数列前n项和公式直接求解;
②an=a1· qn-1,利用等比数列前n项和公式直接求解,但要注意对q分q=1与q ≠1两种情况进行讨论;
③an=bn+cn,数列{bn}、{cn}是可以直接求和的数列,采用分组求和法求
{an}的前n项和; ④an=bn· cn,{bn}是等差数列,{cn}是等比数列,采用错位相减法求{an}的前
例2 (2017湖南湘潭三模,17)已知数列{an}满足Sn=2an-1(n∈N*),{bn}是 等差数列,且b1=a1,b4=a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
1 2 (2)若cn= - (n∈N*),求数列{cn}的前n项和Tn. an bnbn1
解题导引 由Sn求an 求bn 求cn 裂项相消求Tn
an 2=3.于是数列{a }是首项a =1,公比为3的等比 (2)由(1)知,an≠0,Hale Waihona Puke Baidu以 2n-1 1 an
数列;数列{a2n}是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=2×3n-1.
S2n=a1+a2+…+a2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
解析 (1)∵Sn=2an-1,∴n≥2时,Sn-1=2an-1-1,∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,n≥2,即an =2an-1,n≥2. 当n=1时,S1=a1=2a1-1,∴a1=1, ∴{an}是以1为首项,2为公比的等比数列, ∴an=2n-1,∴b4=a3=4,又b1=1,
数列求和. (4)倒序相加:例如,等差数列前n项和公式的推导方法.
2.常见的拆项公式
1 1 1 (1) = - ; n( n 1) n n 1
1 1 1 1 = ; (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 (3) = n 1 - n . n n 1
n项和; ⑤可化为an=f(n)-f(n-1)形式的数列,可采用裂项相消法求{an}的前n项和; ⑥an-k+ak=cbn,可考虑用倒序相加法求和; ⑦an=(-1)nf(n),可将相邻两项合并求解,即采用“并项法”. 例1 (2015湖南,19,13分)设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1,a2=2,且an+2 =3Sn-Sn+1+3,n∈N*. (1)证明:an+2=3an; (2)求Sn.
=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)
3(3, 1) =3(1+3+…+3n-1)=
n
2
3(3n 1) n-1 3 从而S2n-1=S2n-a2n= -2×3 = (5×3n-2-1). 2 2
n 3 3 (5 3 2 1), n是奇数, 综上所述,Sn= 2 n 3 (3 2 1), n是偶数. 2
b4 4 1 1 =1. ∴ =b 3
∴bn=1+(n-1)=n.
1 - 2 =21-n- =2 2 1-n-2 , 1 1 (2)由(1)知cn= n n 1 n( n 1) a bb
n n n 1
3


∴Tn= 1
1 1 1 1 1 1 n -2 1 2 2 2 3 n n 1 1 1 2
1-n 1 =2- -2 = -2 . n 1
1 2

1 2 n 1 n 1