2010年全国统一招生考试理科(新课标)数学试卷的第21题

一道新课标高考试题解法机理分析及其通性通法
2010年全国统一招生考试理科（新课标）数学试卷的第21题：设函数()21x f x e x ax =---． （Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调性区间； （Ⅱ）若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．
这一道题看似简单其实是一道深思熟虑的试题，尤其是第（Ⅱ）问，命题者给出的答案非常巧妙并且颇有思辨性，但命题者解法不是中学数学教育中的通性通法，该解法中学教师和中学生接受都有点困难．基于此，本文就命题者的解法机理分析及其通性通法谈一下看法．
先看命题者给予的解答（记为方法一）： 方法一：（Ⅱ）()12x f x e ax '=--，由于1x e x ≥+，()2(12)f x x ax a x '≥-=-，（i ）若
120a -≥，即1
2a ≤
时，当0x ≥时，()0f x '≥，而(0)0f =，于是，有()(0)0f x f ≥=； （ii ）若1
2
a >时，由于0x ≠时，1x e x >+，可得1x e x ->-，1x e x -->-，所以，
22(1)x ax a e --<-，()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --'<-+-=--，
当(0,ln 2)x a ∈时，()0f x '<，而()00f =，于是存在(0,ln 2)x a ∈，
使得()(0)0f x f <=，即1
2
a >时，()0f x ≥在[0,)+∞不恒成立， 综上所述：实数a 的取值范围是1
(,]2
-∞．
一、解题机理分析：
从命题的逻辑关系来看，所谓的“若0x ≥时，()0f x ≥，求a 的取值范围．”实际上是求“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的充要条件，解答中对参量a 的分类讨论“（i ）若1
2
a ≤时，任意x ∈[0,)+∞，()0f x '≥，所以当0x ≥时，()0f x ≥”，即“1
2
a ≤”就是“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”
的充分条件，并非是必要条件，“（ii ）若1
2
a >时，存在(0,ln 2)x a ∈时，()0f x <，”是求的“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的必要条件，即“若x ∀∈[0,)+∞，
()0f x ≥，则12a ≤
”等价于“若1
2
a >时，则存在[0,)x ∈+∞，()0f x <”． 从同一解题思想方法出发，还可以选择两次求导数的方法来求“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的充要条件．
方法二：（Ⅱ）()12x f x e ax '=--，令()()g x f x '=，则()2x g x e a '=-，由于0x ≥时，
1x e ≥，若1
2
a ≤
时，()0g x '≥（等号仅当0x =时成立）， 所以，()g x 在[0,)+∞上单调递增，且()00g =，
因此，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，即()0f x '≥，且()00f =，
所以，()()00f x f ≥=；由于()0g x '≥只是“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的充分条件，同方法一一样也要求“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的必要条件，以下同方法一． 方法一、方法二分别利用了若0x ≥，则1x e x ≥+1≥的结论，事实上，对于0x ≥，有更精确的结论是2
112
x e x x ≥++
，并且利用这个结论恰好可以进行变量分离、构造函数和化归成恒成立问题来来解决，而变量分离、构造函数和化归成恒成立问题也恰好是中学数学常用的通性通法和思想方法，并且可以直接得到“任意x ∈[0,)+∞，()0f x ≥”的充要条件． 二、本题的通性通法：
方法三（参变量分离法）：（Ⅱ）（i ）若0x =时，()0f x ≥成立时，a 是任意实数；
（ii ）若0x >时，()0f x ≥等价于2211x e a x x x ≤--，令()2
1x e x g x x --=，
令21
()12
x K x e x x =--- ，()1x K x e x '=--，由于1x e x ≥+，()0K x '≥，
()K x 在(0,)+∞上是增函数，即在[0,)+∞上是增函数，且(0)0K =，
()(0)0K x K ≥=，即2112
x
e x x ≥++，而()2
1x
e x g x x --=221122x
x >=， 即1
2
a ≤
，综上所述：实数a 的取值范围是1(,]2-∞．
方法四（化归思想）：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x ≥时，1x e x ≥+，令()2
1
12
x h x e x x =---（0x ≥），则()10x h x e x '=--≥，则()h x 在区间[0,)+∞上是增函数，且()00h =，
所以，()2112x h x e x x =---
0≥，即21
12
x e x x ≥++， 所以，()2(1)x f x e x ax =-+-22211
(12)22x ax a x ≥-=-，
由于()0f x ≥在0x ≥时恒成立，即21(12)02a x -≥恒成立，则120a -≥，解之1
2
a ≤，
故实数a 的取值范围是1
(,]2
-∞．
方法三和方法四都利用了0x ≥时，21
12
x e x x ≥++这个结论，事实上已经触及这个问题
的底线，也就是泰勒（Taylor ）公式：2
112
x
e x x =+++…1!(1)!n n x x x e n n θ++++，01θ<<．
三、构造函数利用极限思想
方法五：
（Ⅱ）（i ）若0x =时，()0f x ≥成立时，a 是任意实数；
（ii ）若0x >时，()0f x ≥等价于2211x e a x x x ≤--，令()21x e x g x x --=，由（Ⅰ）知
1x
e x ≥+（仅0x =等号成立），所以()2(1)0x e x g x x -+=>， ()g x '3
(1)2(1)x x e x e x
+--= 因为0x >，要()0g x '>，只需(1)2(1)0x x e x e +-->，
现在设()(1)2(1)x x h x e x e =+--，即只需()22x x h x xe e x =-++0>（x 0>），又(0)0h =， 则只需()0h x '>（x 0>）， （1）当1x ≥时，
因为()21x x x h x e xe e '=+-+ 1x x xe e =-+(1)1x e x =-+ (1)(1)1x x >+-+20x =>， 即()h x '0> （2）当0<x<1时
因为()21x x x h x e xe e '=+-+ 1x x xe e =-+ (1)1x e x =-+
此时，令()(1)1x t x e x =-+，则()x t x xe '=>0， 所以()(0)0t x t >=，
综上所述：()h x (0)0h >=
所以()3(1)2(1)2x x e x e x g x x ---+'=
3
(1)2(1)
x x e x e x +--=0>， 则()g x 在区间(0,)+∞上是增函数，
因此，0lim ()x a g x →≤201lim x x e x x →--=01lim 2x x e x
→-=01
lim 22x x e →==， 综上所述：实数a 的取值范围是1
(,]2
-∞．。