运筹学对偶理论l

10
x3
11 14
题
x1 0, x2符号不限, x3 0
的
max W 7 y1 11y2 14 y3
写 出
4 y1 8y2 12y3 4
5y61
y1
9y2 10 y
13
2
y3

2 3
y1符号不限, y2 0, y3 0
CX≤Yb
因此对于X*和Y*也分别有：
CX≤Y*b，CX*≤Yb
又因为 CX*=Y*b
故有Y*b ≤Yb，CX≤CX*对任意的X、Y均成 立，即X*、Y*是各自的最优解。
对偶 问题 的基 本性
质
性质3（强对偶性－对偶定理）
若原问题和对偶问题两者均有可行解，则两 者均有最优解，且此时目标函数值相同。
义
第j个变量≤0
第j个约束类型为“≤”
第j个变量是自由变量 第j个约束类型为“＝”
对 偶 问 题 的 写 出
例4：写出下面问题的对偶问题
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21 x1
a22 x2
上述关系可写为下表：
x1 x2
y1
a11 a12
y2
a21 a22
… ……
yn
am1 am2
对偶关系 ≥ ≥
max z c1 c2
max Z=2x1＋3x2 x1＋2x2≤8
4x1 ≤16 4x2≤12
x1，x2 ≥0
… xn 原关系 min w
… a1n
≤
b1
… a2n
≤
b2
……
≤
…
… amn
≤
bm
maxZ CX
minW Yb
(1) AX b
s.t.
X

0
YA C (2) s.t.Y 0
C X Y AX Yb
A B C 拥有量
工时 1 1 1
3
材料 1 4 7
9
弱
单件利润 2 3 3
对 偶 定 理
x1 max Z (2,3,3) x2
y1 ＋2y2
≥2
x1
y1
＋y3 ≤ 3
x2
－3y1＋2y2＋y3 ≤-5
x3
y1 －y2 ＋y3 ＝ 1
x4
y1≥0，y2≤0，y3无约束
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
一
对 偶
a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1
a21x1
原材料B
0
单位产品利润（元） 2
2
8台时
0
16kg
4
12kg
3
若工厂的决策者不生产产品I、II，而是将之出租或出 售，则工厂的决策者就要考虑给每种资源如何定价的 问题。显然，出让这些资源的代价不应低于自己组织 生产活动时的利润。已知原模型为：
对 偶 问 题 的 提 出
max Z=2x1＋3x2 x1＋2x2≤8

a2n xn

b2
am1x1 am2 x2 amn xn bm
x1, x2 ,, xn 0
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
a12y1

a22 y2
≥≥
… cn
min W=8y1+16y2+12y3 1·y1+4·y2+0·y3≥2 2·y1+0·y2+4·y3≥3 y1，y2 ，y3≥0
原问 题与 对偶 问题 的关
系
例1 写出下述LP问题的对偶问题。
max z=2x1＋x2 5x2≤15
6x1＋2x2≤24 x1＋x2 ≤5
x1，x2 ≥0
对偶理论就是研究线性规划及其对偶 问题的理论，是线性规划理论的重要 内容之一。
2.1 原问 题与 对偶 问题 的关
系
我们将前面的LP原问题与其对偶问题进行比较有： ⑴一个问题的约束条件个数等于另一问题中变量数；
⑵一问题目标函数系数是另一问题中约束条件的右端 项；
⑶一问题约束条件为“≤”，另一则为“≥”； ⑷一个为求极大，另一个为求极小。
min w=15y1＋24y2＋5y3 6y2＋y3 ≥2
5y1＋2y2＋y3≥1 y1，y2，y3≥0
例2 写出上例中对偶问题的对偶问题。
解：先将之化为目标极大、约束为≤的形式得：
max w'=－15y1－24y2－5y3 min z'=－2x1－x2
－6y2－ y3≤－2
－5x2≥－15
－5y1－2y2－y3≤－1
x3
s.t.11
1 4
1 x1 3
7

x2 x3



9


x1 0
x2 0

x3

0
min W

(3,9)
y1 y2

s.t.111
x1＋x2－3x3＋x4≥5
y1
2x1 ＋2x3－x4≤4
y2
x2＋x3＋x4＝6
y3
x1≤0，x2，x3≥0，x4无约束
1 A 2
≥ 0
x1
≤
1 3
02
≤1 1≤
x2 x3
≥
≥
1 ≥ 5 y1 ≥ 1≤ 4 y2 ≤ ＝1 ＝ 6 y3 无
无x4
max w＝5y1＋4y2＋6y3
解：令 z'＝-z, x1＝-x1', x4＝ x4' - x4"，①拆为两式得，
max z'＝2x1'－3x2＋5x3－x4'＋x4" min w'＝-5y1＋4y2'＋6y3' –6y3"
－x1'＋x2－3x3＋x4' - x4"≥5 ②
y1－2y2'
≥2
-2x1' ＋2x3－(x4' - x4")≤4
§2 对偶 问题 的基 本性
质
性质1（弱对偶性）
若互为对偶的LP问题(1)、(2)分别有可行解：
X (x1 , x2 ,, xn )T Y ( y1, y2 ,, ym )
则其相应的目标函数值满足
Z c1x1 c2 x2 cn xn C X
b1 y1 b2 y2 bm ym Yb W
AX b
s.t.
X

0
称 形 式
的
题
minW Yb
对
的 定 义
s.t.YYA0C
偶 问 题
对 偶 问 题 的 定 义
例3：写出下面LP问题的对偶问题。
min z＝2x1＋3x2－5x3＋x4
x1＋x2－3x3＋x4≥5
2x1 ＋2x3－x4≤4
x2＋x3＋x4＝6
①
x1≤0，x2，x3≥0，x4无约束
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
am1 y1 c1

am2
amn
y2 ym


c2 cn

对称 形式 的对 偶问 题
y1, y2 ,, ym 0
maxZ CX
对
对 偶 问
x2 ＋ x3 ＋ x4' - x4" ≤ 6
y1
＋y3 ≤ 3
－x2 － x3 － x4'＋x4" ≤-6
－3y1＋2y2＋y3 ≤-5
x1'，x2，x3，x4'，x4" ≥0
y1 －y2 ＋y3 ＝ 1
直接写出其对偶问题，有
y1≥0，y2≤0，y3无约束
对 偶 问 题 的 定 义
min z＝2x1＋3x2－5x3＋x4
y1，y2，y3≥0
－－6xx11－－2xx22≥≥－－524
x1，x2 ≥0
结论：原问题与对偶问题互为对偶。
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问
s.t.
a11 a21
am1
a12 a22
am2


a1n a2n
amn
4x1 ≤16 4x2≤12
x1，x2 ≥0
若yi为出让第i种资源的单位收益，则应有 1·y1+4·y2+0·y3≥2……产品I 2·y1+0·y2+4·y3≥3……产品II
则出让所得总收入，即为购买者的总支出希望达到 最小，因此有
min W=8·y1+16·y2+12·y3 即得LP问题：
min W=8y1+16y2+12y3 1·y1+4·y2+0·y3≥2 2·y1+0·y2+4·y3≥3 y1，y2 ，y3≥0
x1 x2 xn


b1 b2 bm


y1 y2 y3 y4
题 的 定 义
x1, x2 ,, xn 0
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
s.t.
证明：由两者均有可行解，则根据定理1可 知两者均有界，因此均有最优解。
maxZ CX
AX b
X 0
X
*

0X
* B

设B是其最优基，X*是其对应的最优解， 令A=(B，N)，则对应于基B的检验数满足
对偶问题对应表
对
原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题）
偶
目标函数maxZ
目标函数minZ
问
约束条件： m个
第i个约束类型为“≤”
变量数： m个
第i个变量≥0
题
第i个约束类型为“≥”
第i个变量≤0
第i个约束类型为“＝” 第i个变量是自由变量
的
定
变量数：n个
第j个变量≥0
约束条件：n个
第j个约束类型为“≥”
1
2
4 7

y1 y2



3 3


y1 y2


0
推论1 极大化问题的任意一个可行解所对
应的目标函数值是其对偶问题最优目标函
数值的一个下界。
几
个
推论2 极小化问题的任意一个可行解所对 应的目标函数值是其对偶问题最优目标函
推
数值的一个上界。
运筹学
第二章 对偶理论与灵敏度分析
§1 对 偶 问 题 的 提 出
内容一致但从相反角度提出的一对问题称为 对偶问题。
引例1：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种
产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两 种原材料的消耗，如下表所示，问应该如何安排计划 才能使该工厂获利最多？
Ⅰ
Ⅱ
设备
1
原材料A
4
-y1
＋y3' – y3" ≥-3
x2 ＋ x3 ＋ x4' - x4" ≤ 6
3y1＋2y2'＋y3' – y3"≥5
x2 ＋ x3 ＋ x4' - x4" ≥ 6 ③
-y1 －y2' ＋y3' – y3"≥ 1
x1'，x2，x3，x4'，x4" ≥0
y1 ＋y2' －y3' ＋ y3"≥-1
②×(-1)，③×(-1)，得，
称这一LP问题为原LP问题的对偶问题。
§2 线性规划对偶理论
任何一个线性规划问题都有一个伴生
对
的线性规划问题，称为其“对偶”问 题。
偶
对偶问题是对原问题从另一角度进行
理
的描述，其最优解与原问题的最优解 有着密切的联系，在求得一个线性规
来自百度文库
论
划最优解的同时也就得到对偶线性规 划的最优解，反之亦然。
论
推论3 若原始问题有可行解，则其目标函
数无界的充要条件是对偶问题没有可行解。
注：反之不一定成立。
对偶 问题 的基 本性
质
性质2（最优性）
若X*和Y*分别是互为对偶的线性规划的可 行 解 ， 且 使 CX*=Y*b， 则 X* 和 Y* 分 别 是 相应线性规划问题的最优解。
证：由弱对偶定理可知，对任意可行解有：
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1
a12y1

a22 y2

am2
ym

(, )c2
题 的 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m

am2 ym

c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn
y1, y2 ,, ym符号不限
例5：写出下面问题的对偶问题
对
min Z 4x1 2x2 3x3
偶 问
4x1 5x2 6x3 7
182x1x191x32 x2

a22 x2


a2n xn

(, )b2
般 线 性
问 题 的 定 义
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm x j 0( 0,或符号不限 ) j 1 ~ n
规 划 问
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
y1，y2'，y3'，y3" ≥0
max z'＝2x1'－3x2＋5x3－x4'＋x4" 令w'＝-w, y2＝-y2', y3＝y3"–y3',得，
x1'－x2＋3x3－(x4' - x4")≤-5 max w＝5y1＋4y2＋6y3
-2x1' ＋2x3－(x4' - x4")≤4
y1 ＋2y2
≥2