《运筹学》第3章习题
《运筹学教程》第三章习题答案
《运筹学教程》第三章习题答案1.影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。
它是一种边际价格，其值相当于在资源得到最有效利用的生产条件下，资源每变化一个单位时目标函数的增量变化。
又称效率价格。
影子价格是指社会处于某种最优状态下，能够反映社会劳动消耗、资源稀缺程度和最终产品需求状况的价格，是社会对货物真实价值的度量。
只有在完善的市场条件下才会出现，然而这种完善的市场条件是不存在的，因此现成的影子价格也是不存在的。
市场价格是物品和服务在市场上销售的实际价格，是由供求关系决定的。
2.证明：当原问题约束条件右端变为b i′时，原问题变为： maxz=∑C i X js.t. ∑a ij X i≤b i′(i=1,2,3,……,m)X j≥0 (j=1,2,3,……,n)对偶问题为： minp=∑b i′y is.t. ∑a ij y i≥C iy i≥0(i=1,2,3,……,m) (j=1,2,3,……,n) 设，当b i变为b i′原问题有最优解（X1′X2′X3′……X n-1′X n′）时，对偶问题的最优解为（y1′y2′y3′……y n-1′y n′）,则有：又因为当原问题有最优解时，对偶问题也有最优解，且相等，则有：所以3（1）.minp=6y1 + 2y2s.t. -y1+2y2≥-33y1+3y2≥4y1,y2≥0(2)解：令X2=X2′-X2〞，X4= X4′-X4〞，X2′，X2〞，X4′，X4〞≥0 ，原式化为：maxz=2X1 +2X2′-2X2〞-5X3 +2X4′-2X4〞s.t. 2X1 -X2′+X2〞+3X3 +3X4′-3X4〞≤-5-2X1 +X2′-X2〞-3X3 -3X4′+3X4〞≤5-6X1 -5X2′+5X2〞+X3 -5X4′+5X4〞≤-610X1 -9X2′+9X2〞+6X3 +4X4′-4X4〞≤12X1, X2′，X2〞，X3, X4′，X4〞≥0则对偶规划为：.minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2-y1′+y1〞-5y2 -9y3≥2y1′-y1〞+5y2 + 9y3≥-23y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-53y1′-3y1〞-5y2 + 4y3≥2-3y1′+3y1〞+5y2 -4y3≥-2即：minp= -5y1′+ 5y1〞-6y2 + 12y3s.t. 2y1′-2y1〞-6y2 + 10y3≥2-y1′+y1〞-5y2 -9y3=23y1′-3y1〞+y2 + 6y3≥-53y1′-3y1〞+5y2 + 4y3=2令 y1〞- y1′= y1，得：minp= 5y1 -6y2 + 12y3s.t. -2y1-6y2 + 10y3≥2y1-5y2 -9y3=2-3y1+y2 + 6y3≥-5-3y1-5y2 + 4y3=24、试用对偶理论讨论下列原问题与他们的对偶问题是否有最优解。
《运筹学》课后习题答案 第3章 运输问题
一、选择题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.二、判断题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.三、表上作业法 3. 解：可知，有初始基本可行解1112132122230,10,20,10,35,0x x x x x x ======用闭回路法计算非基变量的检验数：1123(56)(84)10(98)(67)40σσ=+-+=-<=+-+=>因为110σ<，该解并不是最优解。
进行换基迭代，让11x 进基，考虑上述闭回路，调整量min(10,10)10θ==，调整后得到新的调运方案：A2 4 0645945销量10 45 20计算非基变量的检验数得：1223(84)(56)10(95)(47)30σσ=+-+=>=+-+=>故此方案为最优方案，最优解为：11121321222310,0,20,0,45,0x x x x x x ======最优值min 105207456460Z =⨯+⨯+⨯=用电子表格模型求解进行验算：4. 解：用西北角法求得初始基本可行解：1112131421222324313233344,0,0,0;1,2,4,2;0,0,0,4;x x x x x x x x x x x x ============ 用位势法计算检验数：1111212121131322214142233131324323243433333106()210167()861012()9455()12194()731010()47u u v u v v u v u v u u v u v v u v u v v u v u v v u v u v u σσσσσσ=⎧+==-+=⎧⎧⎪=⎪⎪⎪+==-+=⎪⎪⎪=⎪⎪++=-+=⎪⎪⇒=⇒⎨⎨⎨+==-+=-⎪⎪=-⎪⎪+==-+=-=⎪⎪+==-+=⎪⎪⎩=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎩因为3132,σσ小于0，该解不是最优解。
运筹学(机械工业出版社)教材习题答案(第一章-第三章)
教材习题答案部分有图形的答案附在各章PPT文档的后面，请留意。
第1章线性规划第2章线性规划的对偶理论第3章整数规划第4章目标规划第5章运输与指派问题第6章网络模型第7章网络计划第8章动态规划第9章排队论第10章存储论第11章决策论第12章对策论习题一1.1 讨论下列问题：（1）在例1.1中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A有5台，利用率为0.8,设备B有7台，利用率为0.85,其它条件不变，数学模型怎样变化．（2）在例1.2中，如果设x j(j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．（3）在例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路．（4）在例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．（5）在例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．1.2 工厂每月生产A、B、C三种产品,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－22所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：【解】设x j （j =1,2,…，14）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为14112342567891036891112132347910121314min 2300322450232400232346000,1,2,,14jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩∑ 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X (2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （2）余料最少数学模型为134131412342567891036891112132347910121314min 0.60.30.70.40.82300322450232400232346000,1,2,,14j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++⎧+++≥⎪++++++≥⎪⎪++++++≥⎨⎪++++++++≥⎪⎪≥=⎩ 用单纯形法求解得到两个基本最优解X (1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根 X (2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根 显然用料最少的方案最优。
运筹学(胡运权版)第三章运输问题课后习题答案
P66： 8.某部门有3个生产同类产品的工厂（产地），生产的产品由4个销售点出售，各工厂A 1， A 2，A 3的生产量、各销售点B 1，B 2，B 3，B 4的销售量（假定单位为t ）以及各工厂到销售点的单位运价（元/t ）示于下表中，问如何调运才能使总运费最小？表解：一、该运输问题的数学模型为：可以证明：约束矩阵的秩为r (A) = 6. 从而基变量的个数为 6.34333231242322213141141312116115893102114124min x x x x x x x x x x x x x c z i j ij ij +++++++++++==∑∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=++=++=++=++=+++=+++=+++4,3,2,1;3,2,1,01412148221016342414332313322212312111343332312423222114131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 111213142122232431323334x x x x x x x x x x x x 712111111111111111111111111⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭二、给出运输问题的初始可行解（初始调运方案）1. 最小元素法思想：优先满足运价（或运距）最小的供销业务。
其余（非基）变量全等于零。
此解满足所有约束条件，且基变量（非零变量）的个数为6（等于m+n-1=3+4-1=6).总运费为（目标函数值） ,1013=x ,821=x ,223=x ,1432=x ,834=x ,614=x ∑∑===3141i j ijij x c Z2. 伏格尔（Vogel)法伏格尔法的基本思想：运输表中各行各列的最小运价与次小运价之差值（罚数）应尽可能地小。
或者说：优先供应罚数最大行（或列）中最小运费的方格，以避免将运量分配到该行（或该列）次小运距的方格中。
运筹学：第3-4章后答案
第P命散线性規划I•设A. B产品的生产域0别为斗M •该何J8的数学M为,max Z s c l x l-¥c2x2 sj. a li x l +硼七£b、OjiX, .%无£g5X代小Sb、x,纠心2忍•为於数2.«0-l敛皿叽衣示」插派鉤i个人完成第j项任务x< = 'o.不描诫第i个人完成瀟项任务RttrHSV 为，■ ■min A工工讥■$」・工% =丨< = 1.2•・・・•n: 何■工斗=1 / = l,X..../t齐=0或1・为協数h 7 = 1.2・・•・・n3•吋仃解集介为｛(4.0代(5・0)=6.0代(7・0)「・(8・0/.(5・1)『・(6」)『｝・Mft*^ = (5J)r. 垃优tfl为剖半面Mu 51•求出松胞何建的峨优尬纯形黑如卜检工人勺・/• 乂||打“+》仇勺=勺•网式mwfj：5•计明：山329式闪刘:$ =》几勺-/；w内+® =工(人■呻®-(力-b〃・Xf由j 所以令*0 = TbM广T%J・结论成“•第四章2•设产A 1：产耐产.MB生产壬(Fim). 为：Jft优解为彳=—.x»・6 123.<1)«M**4优解为x^ = (!.2)r.対优ffl为/(x*) = -|：(2)於休垃优第为L M(0・2)「・域优(Tl为/(L2-2：⑶©体巖优解为卅・(2丄八協优们为/X)■右2 2 24•捉也必耍性，一次欣数/a)= *FAx + bU + c•的HzcG阵为A・故山定理4.2.4 nJ 知・肖A为正定矩阵时.二次崗敷为严格卄函效:充分山曲丁二次fifi数览产格凸函数・则山址歼4.2・3呵如：5.<1) 的；”诳册阵.故此帝8［为严格凸函8(.<2)rf«airjHesM：fl-w| ~2 0］为ftiirwR・故此厲救为严格MVI.{ 0 -10丿2 0 0'(3)rfitt的Hbw购阵0 6 0为IF定卸外・故此恳数为严格“恳救.<0 0 18.6.UHU1改r为fFj&nJtfM・对満足条fl的二°・対任盘正玫£・1+£严为吋行解・因为A（x^e:°）^Ax°^eAz0ib. ILihJ g/（x）为可版小函数.M VQQrOYfxaOMT-rWVgto + Twf"©。
管理运筹学(第四版)第三章习题答案
3.1（1）解：, 53351042..715min 212112121≥≥+≥≥++=y y y y y y y t s y y ω（2）解：无限制32132131323213121,0,0 2520474235323..86max y y y y y y y y y y y y y y y t s y y ≤≥=++≤-=+≥+--≤++=ω3.4解：例3原问题6,,1,0603020506070..min 166554433221654321 =≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=j x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x z j对偶问题：6,,1,0111111..603020506070max 655443322161654321 =≥≤+≤+≤+≤+≤+≤++++++=j y y y x y y y y y y y y y t s y y y y y y j ω3.5解：（1）由最优单纯形表可以知道原问题求max ，其初始基变量为54,x x ，最优基的逆阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-31610211B 。
由P32式（2.16）（2.17）（2.18）可知b B b 1-='，5,,1,,1 ='-=='-j P C c P B P j B j j j j σ，其中b 和j P 都是初始数据。
设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21b b b ，5,,1,21 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j a a P j j j ，()321,,c c c C =，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒='-25253161021211b b b B b ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2531612521211b b b ，解得⎩⎨⎧==10521b b ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⇒='-0211121031610212322211312111a a a a a a P B P j j ，即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+-=-=+-==+-=03161121213161212113161021231313221212211111a a a a a a a a a ，解得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-====121130231322122111a a a a a a()()()⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=---⇒'-=31612102121,0,0,2,4,4132c c c P C c j B j j σ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=+--=+-2314612142121113132c c c c c c ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=6102132c c c所以原问题为：,, 10352..1026max 32132132321≥≤+-≤++-=x x x x x x x x t s x x x z 对偶问题为：, 102263..105min 212121221≥≥+-≥-≥+=y y y y y y y t s y y ω（2）由于对偶问题的最优解为()()()2,4,,5454*=-=-=σσσc c C Y IB IB3.6解：（1）因为3x 的检验数0353≤⨯-c ，所以3c 的可变范围是153≤c 。
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
最新运筹学第3章答案
工程 费 用 收入第一年 第二年 第三年 1 5 1 830 2 4 7 240 3 5 9 6204 75 2 15 5 8 6930资金拥有量 30 25 30 3.1某公司今后三年内有五项工程可以考虑投资。
每项工程的期望收入和年度费用 （万元）如表3-10所示。
表 3-10 模型为 【解】设X j -1投资j 项目 0不投资j 项目max Z = 30x 1 40x 2 20x 3 15x 4 30花 ‘5為 +4x 2 +5x 3 +7x 4 +8x 5 W30 +7x 2 +9x 3 +5x 4 +6x 5 兰 25 8为 +2x 2 +6x 3 +2& +9x 5 兰 30 Xj = 0 或 1,j =1,川,5 最优解X = (1,1,1,0,1) , Z=110万元，即选择项目1、2、3、5时总收入最大。
3.2址问题。
以汉江、长江为界将武汉市划分为汉 口、汉阳和武昌三镇。
某商业银行计划投资 9000 万元在武汉市备选的12个点考虑设立支行，如图 3-10所示。
每个点的投资额与一年的收益见表 3 —10。
计划汉口投资2〜3个支行，汉阳投资1〜2 个支行，武昌投资 3〜4个支行。
如何投资使总收益最大，建立该问题的数学模型， 说明是什么模型，可以用什么方法求解。
表 3-11 图 3-10地址i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12投资额（万） 900 1200 1000 750 680 800 720 1150 1200 1250 850 1000 收益（万元） 400 500 450 350 300 400 320 460 500 510 380 400【解】设为为投资第j 个点的状态，旳=1或0, j=1,2，…,12 maxZ 二 400x 1 500x 2 450x 3400心900X 1 1200X 2 1000X 3 川 850心 1000心乞 9000447712吃X j 色2正旳兰3正X j 王1,送召兰2,送X j 臭3 j& j# j 三 j=8 12,' X j 乞 4Xj =1或 0, j =1,川,12最优解：x1 = x5=x12=0，其余xj=1,总收益Z=3870万元，实际完成投资额 8920万元。
二三版兼用《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第三章)
城市
电站
1
2
3
Ⅰ
15
18
22
Ⅱ
21
25
16
第三章习题解答
习题3.12的解答
城市 城市
电站
1-1
城市 1-2
城市2
城市 3-1
城市 3-2
产量
Ⅰ
150 15
15 250 18
22
22 400
Ⅱ
140 21
第三章习题解答
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
产量
Ⅰ
3 10
2 20
Ⅱ
4 11
8 30
Ⅲ
8 11
4 20
销量
15 25 20
第三章习题解答
习题3.10的解答
食品厂 面粉厂
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 销量
1
3 15 4
8 15
2
10 5 11 20 11 25
3
20 2 8 4
20
4
0 10 0
0 10
产量
20 30 20
B3
B4 产量
A1 A2 A3 销量
3
7
6
45
2
4
3
22
4
3
8
56
3
3
2
2
第三章习题解答
习题3.9的解答
销地
产地
B1 B2 B3 B4 B5 产量A1源自33 7 6 24 0 5
A2
2 4 23 2 0 2
A3 销量
4 33 8 5 30 6 33223
第三章习题解答
3.10 某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加工 厂所需的面粉。各面粉厂的产量、各面食加工厂加工 面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运 价，均表示于表3-35中。假定在第1，2和3面食加工厂 制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元， 试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面粉厂和面 食加工厂都属于同一个主管单位)。
运筹学 第三版 清华大学出版社 第3章运输问题
运输问题应用—建模
1
1.运输问题的数学模型.
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
2
例3.1:某公司从两个产地A1、A2将物 品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销 地每件物品的运费如下表所示，问：应 如何调运可使总运输费用最小？
32
2.运输问题求解 —表上作业法
1、初始基本可行解的确定 （1）西北角法：从西北角（左上 角）格开始，在格内的右下角标上允 许取得的最大数。然后按行（列）标 下一格的数。若某行（列）的产量 （销量）已满足，则把该行（列）的 其他格划去。如此进行下去，直至得 到一个基本可行解。
33
2.运输问题求解 —表上作业法
表3-3 运输问题数据表
销地 产地
B1 c11 c21
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n
产量
┇
A1 A2
┇
┇
Am
销量
cm1 b1
cm2 b2
┇ ┇ … cmn
┇
a1 a2
am
… bn
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 9 运输变量表（表 3-4）。
2.运输问题求解 —表上作业法
一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输 问题的初始基本可行解，必须保证 找到 m + n – 1 个不构成闭回路的 基变量。 一般的方法步骤如下：
26
2.运输问题求解 —表上作业法
电力出版社运筹学答案 第三张基础训练
第3章训练题32．某单位有5个拟选择的投资项目，其所需投资额及期望收益（单位：万元）如右表所示。
由于各项目之间有一定联系，A 、C 、E 之间必须选择一项，且仅需选择一项；B 和D 之间需选择且仅需选择一项；又由于C 和D 两项目密切相关，C 的实施必须以D 的实施为前提条件。
该单位共筹集资金15万元，应选择那些投资项目，使期望收益最大？ 32．E D C B A ,,,,分别用5,4,3,2,1表示，⎩⎨⎧=否则个项目投资第设,0,1i x i ，模型为 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≤++++≤=+=++++++=)5,4,3,2,1(,10155424611967810max 54321434253154321i x x x x x x x x x x x x x x x x x x z i 或投资项目B A ,，最大收益是18万元。
二．实践能力训练1．某房屋出租者有资产191万元，准备购买两种房产用来出租。
第一种房产每栋33万元，但目前只有4栋可买；第二种是套房，每套28万元，数量不限。
该房产主每月能用于照料出租房的时间为140小时。
第一种房间每栋每月需照料时间为4小时，第二种房产每套需40小时。
第一种房产每年每栋净收益为2万元，第二种每套3万元。
房产主应如何分配他的资金来购买这两种房产，可使年收益最大？ 1.设21,x x 分别表示购买一、二两种房产的套数，模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤++=且取整数0,1404044191283332max 212112121x x x x x x x x x z 第一种房产买3栋，第二种房产买3栋。
最大收益是15万元。
3．某超市集团计划在市区Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ号地域建立超市网点，可供选择的位置有8处，其中要求：Ⅰ号地域由321,,A A A 三处组成，且至少选两处；Ⅱ号地域由54,A A 两处组成，且至少选一处；Ⅲ号地域由876,,A A A 组成，且至少选一处。
运筹学 第三章 运输问题
mn
Min Z = cij xij i1 j1 m xij =ai （i=1, ..., m）产量约束 i 1 n xij =bj（j=1, ..., n）销量约束 j1
xij ≥ 0（i=1, ..., m；j=1, ..., n）
15
2. 伏格尔法（Vogel）
例5
销地 产地
A1
B1 3
②
B2
B3
11
3
⑤
B4
ai
10 7 0 0 0 0
1
A2
①
9
2③ 8 4 1 1 1 1
A3
7
4
⑥
10
③
5 9 12 - -
bj
3
6
5
6 20
2513
2 - 13
2 - 12
2-1-
Z＝2×3 ＋1×1＋6×4＋5×3＋3×8＋3×5＝85 16
0
2.决策变量xij的系数列向量为:
1
i位 置
aij
1
m
j位 置
3. 线性无关的行数为m+n-1.
0
5
四、闭回路
1. 概念
例3
销地 产地
A1
A2
A3 bj
B1
B2
B3
B4
ai
3
11 ④
3 ③
10 7
1 ③
9
2
①
84
7
4
⑥
10 ③
59
3
6
5
6 20
1) 数字格 2) 空格
运筹学第三章课后习题答案
量 1 2 34
4 51 34
6 8 302
④
A2 A3 销量
31
2
25
30 8 1 1 5
⑤
3
7 15
1 4 224 ⑥
6
5
6
3
列12 罚22 数3
vj 4
111 11 11 1
②
①⑦
③
2020/1/1
9
从上表计算知：x12=5，x13=3，x21=3，x23=2，x24=3， x33=1。总费用=5×1＋3×4＋3×1＋2×5＋3×0＋ 1×5=35，在上述三种计算方法中，这种方法计算所需 运输费用是最省的。但还不知是否最优。现用闭回路法 检验如下： 闭回路法检验如下：
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10
第一个闭回路σ11，走4→1→5→4线路
产地 销地
A1
B1
B2
B3
45 13 4
B4
6
A2 3 1
22 5 3 0
A3 销量
3
71 5
1
6
5
6
3
产量
8 8 4
σ11=4-1+5-4=4
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第二闭回路σ14，走6→0→5→4线路
产地 销地
A1
B1
B2
B3
45 13 4
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①最小元素法求解：
销地 B1
B2
产地
A1
13
7
A2
22
4
A3
4
33
销量
3
3
B3
B4 B5 产量
6 3 28 2
1 4 30
运筹学习题集03
数学建模1、某织带厂生产A 、B 两种纱线和C 、D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而成。
这四种产品的产值、成本、加工工时等资料列表如下：产品项目A B C D 单位产值 (元)168 140 1050 406 单位成本 (元)42 28 350 140 单位纺纱用时 (h)3 2 104 单位织带用时 (h) 0 0 2 0.5 工厂有供纺纱的总工时7200h ，织带的总工时1200h ，列出线性规划模型。
解：设A 的产量为x 1，B 的产量为x 2，C 的产量为x 3，D 的产量为x 4，则有线性规划模型如下：max f (x )=(168-42)x 1 +(140-28)x 2 +(1050-350)x 3 +(406-140)x 4=126 x 1 +112 x 2 +700 x 3 +266 x 4s.t. ⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤+≤+++4,3,2,1 ,012005.02 720041023434321i x x x x x x x i2、靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m 3，在两个工厂之间有一条流量为200万m 3的支流。
两化工厂每天排放某种有害物质的工业污水分别为2万m 3和1.4万m 3。
从第一化工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然净化。
环保要求河流中工业污水含量不能大于0.2%。
两化工厂处理工业污水的成本分别为1000元/万m 3和800元/万m 3。
现在要问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂处理工业污水的总费用最小。
列出线性规划模型。
解：设x 1、x 2分别代表工厂1和工厂2处理污水的数量(万m 3)。
则问题的目标可描述为min z =1000x 1+800x 2 x 1 ≥1 0.8x 1 + x 2 ≥1.6 x 1 ≤2 x 2≤1.4 x 1、x 2≥03、红旗商场是个中型的百货商场，它对售货人员的需求经过统计分析如表所示。
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案
《运筹学》第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及答案一、填空题1. 在线性规划问题中，若原问题存在最优解，则其对偶问题也一定存在最优解，这是线性规划的基本性质之一，称为______。
答案：对偶性2. 在线性规划问题中，若原问题与对偶问题均存在可行解，则它们均有______。
答案：最优解3. 对于线性规划问题，若原问题约束条件系数矩阵为A，目标函数系数向量为c，则其对偶问题的目标函数系数向量是______。
答案：c的转置（c^T）二、选择题1. 线性规划的原问题与对偶问题之间的关系是：A. 原问题的最优解和对偶问题的最优解相同B. 原问题的最优解是对偶问题的最优解的负数C. 原问题的最优解与对偶问题的最优解互为对偶D. 原问题的最优解和对偶问题的最优解没有关系答案：C2. 在线性规划中，若原问题不可行，则其对应的对偶问题：A. 可行B. 不可行C. 无界D. 无法确定答案：B三、判断题1. 线性规划的原问题和对偶问题具有相同的可行解。
（）答案：错误2. 若线性规划的原问题存在唯一最优解，则其对偶问题也一定存在唯一最优解。
（）答案：正确四、计算题1. 已知线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t.x1 + 2x2 ≤ 42x1 + x2 ≤ 5x1, x2 ≥ 0求该问题的对偶问题，并求解原问题和对偶问题的最优解。
答案：对偶问题为：min w = 4y1 + 5y2s.t.y1 + 2y2 ≥ 32y1 + y2 ≥ 2y1, y2 ≥ 0原问题和对偶问题的最优解如下：原问题最优解：x1 = 2, x2 = 1，最大利润z = 8对偶问题最优解：y1 = 2, y2 = 1，最小成本w = 82. 某工厂生产甲、乙两种产品，生产一件甲产品需要2小时的机器时间和3小时的工人劳动时间，生产一件乙产品需要1小时的机器时间和1小时的工人劳动时间。
工厂每周最多能使用12小时的机器时间和9小时的工人劳动时间。
运筹学习题答案注释(第3章)
第3章运输问题注意：本章习题解法不唯一，有的题目，最优解也可能不唯一。
3.8 表3-32和表3-33分别给出了各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业法求最优解。
表3-32解：由最小元素法求得上述运输问题的初始基可行解，其过程如下：表3.8-1由于0为最小，所以，取3与8的最小值放在x24位置上，划去B4列，得表3.8-2表3.8-2划去A2行，得表3.8-3在表3.8-3中的没画线的表格中，由于1最小，所以取8与5的最小值放在x12位置上，划去B2列，得表3.8-4在表3.8-4中没画线的表格中，由于3最小，所以取4与1的最小值放在x31位置上，划去B1列，得表3.8-5表3.8-4在表3.8-5中没画线的表格中，由于4最小，所以取3与6的最小值放在x13位置上，划去A1行，得表3.8-6在表3.8-6中没画线的表格中，由于5最小，所以取3与3的最小值放在x33位置上，划去A3行和B3列，得表3.8-7，这样就得到了一个初始基可行解，如表3.8-8所示。
在表3.8-8中，使用闭回路法计算非基变量的检验数（括弧内的数），得表3.8-9：σ11 = c11-c13 + c33-c31 = 4-4+5-3 = 2σ14 = c14-c13 + c33-c31 + c21-c24 = 6-4+5-3+1-0 = 5表3.8-7σ22 = c22 -c12 + c13 - c33 + c31 - c21 = 2-1+4-5+3-1 = 2σ23 = c23 -c33 + c31 - c21 = 5-5+3-1 = 2σ32 = c32 -c33 + c13–c12 = 7-5+4-1 = 5σ34 = c34 -c24 + c21–c13 = 1-0+1-3 = -1在表3.8-9中，由于检验数σ34 = -1≤0 ，所以表3.8-9中的解不是最优解。
选x34运筹学习题答案及注释第3页为换入变量，找到闭回路为：x34 x24 x21 x31，由于3与1的最小数为1，故调整量为1，选x31为换出变量，调整后的解如表3.8-10所示表3.8-10在表3.8-10中，使用闭回路法计算各非基变量的检验数，得表3.8-11：表3.8-11在表3.8-11中，由于所有检验数均大于等于 0 ，所以表3.8-11中的解就是最优解，其最小运价为39 。
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题。
这类问题一般可用线性规划模型来描述，当然可以用单纯形法求解。
但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法—-表上作业法。
此外,有些线性规划问题从实际意义上看，并非运输问题，但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。
例3。
1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3-1所示（单位：千元/kt)，问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少?设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量,即x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0，i=1，2，3；j=1，2，3 生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。
运筹学习题答案(第三章)
2
4
3 3
4
3
2
3
8
2 2
2
5
3
0
3
2
6
14
3
0
销量
School of Management
运筹学教程
第三章习题解答
3.10 某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加 工厂所需的面粉。各面粉厂的产量、各面食加工厂加 工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位 运价，均表示于表3-35中。假定在第1，2和3面食加 工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和 11元，试确定使总效益最大的面粉分配计划(假定面 粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位)。
表3-37
城市
电站 Ⅰ Ⅱ page 21
11 August 2013
1
2
3
15 21
18 25
22 16 21
School of Management
运筹学教程
第三章习题解答
习题3.12的解答
城市 城市 城市 城市 城市 城市 产量 1-1 1-2 2 3-1 3-2 电站
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ 销量
page 22 11 August 2013
page 11 11 August 2013
B1
B2
B3
B4
产量
4 5 1 3 4 6 6 1 2 5 2 0 3 7 3 5 1 1
6 5 6 3
8
8 4 20
11
销量
School of Management
运筹学教程
第三章习题解答
表3-33 销地 产地 A1 A2 A3 销量
page 12 11 August 2013
《运筹学》第3章习题
《运筹学》第3章习题第三章线性规划对偶理论与灵敬度分析习题一、思考题1.对偶问题和对偶变量的经济意义是什么2.简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么3.什么是资源的影子价格它和相应的市场价格之间有什么区别4.如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检验数之间的关系5.利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解6.在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）>0,其经济意义是什么7.在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量心+代的检验数（T n+k > 0 （标准形为求最小值），其经济意义是什么8.将（幻，Cj的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解将会出现什么变化有多少种不同情况如何去处理二、判断下列说法是否正确1.任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2.对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3.若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4.对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定有最优解。
5.若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6.已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量y；>0,说明在最优生产计划中，第i种资源已经完全用尽。
7.已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量y；=0,说明在最优生产计划中，第i种资源一定还有剩余。
8.对于（们，勺，勺来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9.若某种资源的影子价格为Z7,则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加￡个单位，相应的目标函数值增加ku o10.应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量X,. < 0,且母所在行的所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
三、写出下列线性规划的对偶问题(2)max z = 2舟+ 2x2 + 3x3 + x4 (1) max Z = 3“ + 2x2 + x3Xj + x2 + 2X3< 54“ + 2X2 -x3< 73X] + 2X2 +x3 <9x l ,x2 ,x3 > 0 (3)min z = “ 一2x2一X] +x2 +x3 +x4 < 12 2X] -x2 +3乃=-1<“ 一兀3 + *4 n 3“ ,x2 >O,X3,心无约束(4)min z = X] + x2 + 2x33州一x2 + 2X3 < 52xj - 4X2 -x3 > 7—X] + 2A*2 + 4兀3 =10X),x2 >0,x3无约束「2%j +x2 + 2X3< 72兀]一3X2 -x3 =5—3x\ + 5%2 — 4xj n3%! x >0,x无约束(6) min z = 5兀]一4x2 + 3x34X] + 2X2一6X2 5 24 3%| — 6%2 — 4兀3 n ] 55X2+3X3 = 302%j +7X3 > 88兀]+5X2一4*3 <154x° + 6X3 = 30四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题(1) min Z = 3“ + 2x2 + 勺(2) max z = 2x, + 2x2 + 4勺+ x2 + x3 <62%j + 3X2 + 5乃丫2X[ -x3 > 4x2 -x3 > 3 3Xj +x2 +7X3 < 3 “ +4七+6x3 < 5x},x2,x3 >0(3 ) min z = 12%] + 8x2 + 16x3 + 12x42x{ +x2+4X3> 2< 2X] + 2X2+4X4 > 3 ；X] ,x2 ,x3 ,X4 >0X] 9X29X3 >0(4 ) min z = 5AJ + 2x2 + 4x33“ +x2 + 2X4 > 7< 6%j +3X2+5X3 > 12 ；X{ ,X2內>0六.已知下表(表3—1.)为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中心无为松弛变量，问题的约束为形式(1 )写出原线性规划问题；(2) 写出原问题的对偶问题；(3) 直接由表3 — 1写出对偶问题的最优解。
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第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题
一、 思考题
1． 对偶问题和对偶变量的经济意义是什么
2．简述对偶单纯形法的计算步骤。
它与单纯形法的异同之处是什么
3．什么是资源的影子价格它和相应的市场价格之间有什么区别
4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系
5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解
6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k
n x ，其经济意 义是什么
7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k
n σ（标准形为 求最小值），其经济意义是什么
8．将i j j i b c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化有多少种不同情况如何去处理
二、 判断下列说法是否正确
1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。
2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>*i
y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*i
y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。
8．对于i j j i b c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0<i
x ，且i x 所在行的
所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。
三、 写出下列线性规划的对偶问题
（1）32123max x x x Z ++= （2）4321322max x x x x z +++=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤-+≤++0,,92372452321321321321x x x x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+--=+-≤+++无约束
4321431
3214321,,0,313212x x x x x x x x x x x x x x ； （3）32132min x x x z --= （4）3212min x x x z ++=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++-≥--≤+-无约束321321321321,0,1042742523x x x x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-+-=--≤++无约束
321321321321,0,3
453532722x x x x x x x x x x x x ；
（5）321347max x x x z +-= （6）321345min x x x z +-=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=+≥--≤-+无约束23132321221,0,030351546324624x x x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≤-+≥+无约束
1323232131,0,306415458872x x x x x x x x x x 。
四、 用对偶单纯形法求解下列线性规划问题
（1）32123min x x x Z ++= （2）321422max x x x z ++=
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥-≤++0
,,3463213231321x x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤++≥++0,,5643732532321321321321x x x x x x x x x x x x ； （３）43211216812min x x x x z +++= （４）321425min x x x z ++=
⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0,,,34222424321421321x x x x x x x x x x ； ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0,,125367233
21321421x x x x x x x x x ；
五、 对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时j c 与i b 的变化范围。
（１）1213max x x x z ++= （２）4211935089max x x x z x +++= ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,3232223
21321321x x x x x x x x x ；
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+++0,,,6418410234321434321x x x x x x x x x x ； （３）32134max x x x z ++= （４）432181026max x x x x z +++=
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,622422*********x x x x x x x x x ； ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++-≤++-≤--+0
,,,103242582332044654321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ． 六、 已知下表（表3—1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，问题的约束为 形式
表 3—1
1x 2x 3x 4x 5x
3x 5/2 0
1/2 1 1/2
０ 1x 5/2 1 －1/2 0 －1/6 1/3
j j z c - 0 －４ 0 －４ －２
（１） 写出原线性规划问题；
（２） 写出原问题的对偶问题；
（３） 直接由表３—１写出对偶问题的最优解。
七、 某厂利用原料Ａ、Ｂ生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利润及有关数据如表1—4所示，分别回答下列问题：
甲 乙 丙 原料拥有量
A B 6 3 3 4 5 5 45
30
单件利润 4 1 5
（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；
（2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变
（3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：Ａ为３单位，Ｂ为２单位，单件利润为２．５单位．问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划；
（4）若原材料Ａ市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料Ｂ如数量不足可去市场购买，单价为０．５，问该厂应否购买，以够劲多少为宜（5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划．
八、某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过Ａ、Ｂ、Ｃ三种设备加工。
已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润见表３—４。
甲乙丙设备能力（台时）
ＡＢＣ
１
１０
２
１
４
２
１
５
６
１００
６００
３００
单位产品利润（元）１０６４
（１）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；
（２）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产如产品丙每件的利润增加到50/6 ，求最优生产计划。
（４）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变
（５）设备A的能力如为100+10，确定保持原最优基不变的的变化范围。
（６）如有一种新产品丁，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3小时，预期每件的利润为8元，是否值得安排生产
（７）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。