幂函数专项练习
(完整版)幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，填在题后的括号内（每小题 5 分，共50 分）.B．幂函数的图象都经过（0 ，0）和（1，1 ）点C ．若幂函数y x 是奇函数，则y x 是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限1 6．函数y x3和y x3图象满足请把正确答案的代号1．下列函数中既是偶函数又是（ ,0）上是增函数的是4x32．函数3B．y x 221y x 2在区间[ ,2] 上的最大值是2C．D．1A．4 B．1C．D．3．下列所给出的函数中，是幂函数的是A．y x3 3B．y x C．2x3D．5．下列命题中正确的是A．当0 时函数y x的图象是一条直线yy14 4A．关于原点对称B．关于x 轴对称7． 函数 y x|x|,x R ，满足A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数28．函数 y x 2 2x 24 的单调递减区间是 ( )A ． ( , 6]B ．[ 6, )C ．( , 1]D ．[ 1, )9． 如图 1— 9所示，幂函数 y x 在第一象限的图象，比较x 1 x 2 f (x 1)f (x 2 )f(x 12x2)，f(x 1)2f(x 2)大小关系是( )奇偶性为 . 三、解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 （共 76 分） .15 ．（ 12 分）比较下列各组中两个值大小6 6 5 5C ．关于 y 轴对称D ．关于直线 y x 对称0, 1, 2, 3 , 4 ,1的大小(A．1 34 21 B ． 012 3 41C．2 4 0 31 1D．3 24 11410 ． 对于幂函数 f (x) x ， 若 0 x 1 x 2 ，则A ． f(x 1x 2 2f (x 1) f (x 2)2 B ． f(x 1x2)f (x 1) f(x 2)2C ．x 1f( 1x 22f (x 1) f (x 2 )2D ． 无法确定、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6 分，共 24 分)k n( 1)k14 ．幂函数 yxm(m,n,kN*, m,n 互质 ) 图象在一、二象限，不过原点，则 k,m,n 的34（1 ）0.611与0.7 11；（2）（ 0.88）1与（ 0.89）3 .16．（12分）已知幂函数2f（x） x m 2m 3（m Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y 轴对称，试确f （x）的解析式.117 ．（12 分）求证：函数y x3在R上为奇函数且为增函数18 ．（12 分）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系3 1 21）y x2；（2）y x3；（3）y x3；14）y x 2；（5）y x 3；（6）y x 219．（14分）由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a成，这里a,b 均为正常数，且a<10 ，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x的值.20 ．（14 分）利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）x2 2x 22x2 2x 152）y （x 2）3 1．xx成（即上涨率为10），涨价A）（B）（C）（D ）（E）（F）参考答案、CCBADDCADA二、11 ．(0, )；12．f (x)4x3 (x 0)；13．5；14．m, k为奇数，n是偶数；三、15 ．解：( 1 ) 函数y6x11在(0, )上是增函数且0 0.6 0.76 0.61160.711(2 )5函数y x3在(0, ) 上增函数且0.88 0.895 0.88350.89350.88350.893 ,即5( 0.88)350.89) 3 .16 ．解：2 m 由m22m2mZ303是偶数得m 1,1,3.m 1和3时解析式为 f (x) 0 x ,m 1时解析式为f (x) x17 ．解：显然 f ( x) x)3 f (x) ，奇函数；令x1 x2 ，则 f (x1) f (x2 ) 3x13x2 (x1 2x2 )(x12x1x2 x2 ) ，其中，显然x1x2 0，2x1 x1x2 x2 1= (x1 2x2)3x2422，由于且不能同时为0 ，否则x1x2 0 ，故(x11(x1 x2 )1221 2 3 2x2 ) x222420，3x22420，0.从而f(x1) f (x2) 0. 所以该函数为增函数18 ．解：六个幂函数的定义域，奇偶性，单调性如下：3(1) y x2x3定义域[0，) ，既不是奇函数也不是偶函数，在[0，) 是增函数；12）y x 3 3 x 定义域为 R ，是奇函数，在 [0, ）是增函数；23）y x 3 3 x 2 定义域为 R ，是偶函数，在 [0, ）是增函数； 21 4）y x 2 12 定义域 R UR 是偶函数，在 （0, ）是减函数；x 315）y x 3 13定义域 R UR 是奇函数，在 （0, ）是减函数；x16）y x 2 1定义域为 R 既不是奇函数也不是偶 函数，在 （0, ） x 上减函数 .通过上面分析，可以得出（ 1） （A ），（ 2） （F ），（ 3） （5 ） （D ），（ 6 ） （B ） .x19．解：设原定价 A 元，卖出 B 个，则现在定价为 A （1+ 1x 0），20 ．解：E ），（ 4） （ C ），现在卖出个数为 B （1 － bx ），现在售货金额为 A （1+ x ） B（110 10bx )=AB(1+10x1x 0)(1bx－10)，x应交税款为 AB(1+ )(110bx a－10 ) ·10 ，x剩余款为 y = AB(1+)(1 105(1 b) 时y 最大b所以 x－b 1x 0)(1 1a 0)= AB (1要使 y 最大， x 的值为a )( 10 100 5(1 b) xb 1b x 101)，向上平移 x 2 2x 2x 2 2x 11 x2 2x(x1 1)21把函数 ,y12的图象向左平移x 21 个单位，再1 个单位可以得到函数2x 2 x2x 2的图象 .2x 1 5（x 2） 31的图象可以由5x 3 图象向右平移 2 个单位，再向下平移。
专题 幂、指数、对数函数(七大题型)(解析版)
专题幂、指数、对数函数(七大题型)目录：01幂函数的相关概念及图像02幂函数的性质及应用03指数、对数式的运算04指数、对数函数的图像对比分析05比较函数值或参数值的大小06指数、对数(函数)的实际应用07指数、对数函数的图像与性质综合及应用01幂函数的相关概念及图像1(2024高三·全国·专题练习)若幂函数y=f x 的图象经过点2,2，则f16=()A.2B.2C.4D.12【答案】C【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.【解析】设幂函数y=f x =xα，因为f x 的图象经过点2,2，所以2α=2，解得α=1 2，所以f x =x 12，所以f16=1612=4.故选：C2(2024高三·全国·专题练习)结合图中的五个函数图象回答问题：(1)哪几个是偶函数，哪几个是奇函数？(2)写出每个函数的定义域、值域；(3)写出每个函数的单调区间；(4)从图中你发现了什么？【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析.【分析】根据已知函数图象，数形结合即可求得结果.【解析】(1)数形结合可知，y =x 2的图象关于y 轴对称，故其为偶函数；y =x ,y =x 3,y =1x的图象关于原点对称，故都为奇函数.(2)数形结合可知：y =x 的定义域是0,+∞ ，值域为0,+∞ ；y =x ,y =x 3的定义域都是R ，值域也是R ；y =1x的定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ，值域也为-∞,0 ∪0,+∞ ；y =x 2的定义域为R ，值域为0,+∞ .(3)数形结合可知：y =x 的单调增区间是：0,+∞ ，无单调减区间；y =x ,y =x 3的单调增区间是：R ，无单调减区间；y =1x的单调减区间是：-∞,0 和0,+∞ ，无单调增区间；y =x 2的单调减区间是-∞,0 ，单调增区间是0,+∞ .(4)数形结合可知：幂函数均恒过1,1 点；幂函数在第一象限一定有图象，在第四象限一定没有图象.对幂函数y =x α，当α>0，其一定在0,+∞ 是单调增函数；当α<0，在0,+∞ 是单调减函数.3(2022高一上·全国·专题练习)如图所示是函数y =x mn(m 、n ∈N *且互质)的图象，则()A.m ，n 是奇数且mn<1 B.m 是偶数，n 是奇数，且m n<1C.m 是偶数，n 是奇数，且mn>1 D.m ，n 是偶数，且mn>1【答案】B【分析】根据图象得到函数的奇偶性及0,+∞ 上单调递增，结合m 、n ∈N *且互质，从而得到答案.【解析】由图象可看出y =x mn为偶函数，且在0,+∞ 上单调递增，故m n ∈0,1 且m 为偶数，又m 、n ∈N *且互质，故n 是奇数.故选：B02幂函数的性质及应用4(2023高三上·江苏徐州·学业考试)已知幂函数f x =m 2+2m -2 x m 在0,+∞ 上单调递减，则实数m 的值为()A.-3 B.-1C.3D.1【答案】A【分析】根据幂函数的定义，求得m =-3或m =1，结合幂函数的单调性，即可求解.【解析】由函数f x =m 2+2m -2 x m 为幂函数，可得m 2+2m -2=1，即m 2+2m -3=0，解得m =-3或m =1，当m =-3时，函数f x =x -3在0,+∞ 上单调递减，符合题意；当m =1时，函数f x =x 在0,+∞ 上单调递增，不符合题意.故选：A .5(23-24高三上·安徽·阶段练习)已知幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，且函数g x =f x -2a -6 x 在区间1,3 上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.-∞,4B.-∞,4C.6,+∞D.-∞,4 ∪6,+∞【答案】B【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出m 的值，可得出函数f x 的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数a 的不等式，即可解得实数a 的取值范围.【解析】因为幂函数f x =m 2-5m +5 x m -2是R 上的偶函数，则m 2-5m +5=1，解得m =1或m =4，当m =1时，f x =x -1，该函数是定义域为x x ≠0 的奇函数，不合乎题意；当m =4时，f x =x 2，该函数是定义域为R 的偶函数，合乎题意.所以，f x =x 2，则g x =x 2-2a -6 x ，其对称轴方程为x =a -3，因为g x 在区间1,3 上单调递增，则a -3≤1，解得a ≤4.故选：B ．6(23-24高三上·上海静安·阶段练习)已知a ∈-1,2,12,3,13，若f x =x a为奇函数，且在0,+∞ 上单调递增，则实数a 的取值个数为()A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】a =-1时，不满足单调性，a =2或a =12时，不满足奇偶性，当a =3或a =13时，满足要求，得到答案.【解析】当a =-1时，f x =x -1在0,+∞ 上单调递减，不合要求，当a =2时，f -x =-x 2=x 2=f x ，故f x =x 2为偶函数，不合要求，当a =12时，f x =x 12的定义域为0,+∞ ，不是奇函数，不合要求，当a =3时，f -x =-x 3=-x 3=-f x ，f x =x 3为奇函数，且f x =x 3在0,+∞ 上单调递增，满足要求，当a =13时，f -x =-x 13=-x 13=-f x ，故f x =x 13为奇函数，且f x =x 13在0,+∞ 上单调递增，满足要求.故选：B7(22-23高三下·上海·阶段练习)已知函数f x =x 13，则关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为.【答案】-13,1 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解.【解析】由题意可知，f x 的定义域为-∞,+∞ ，所以f -x =-x 13=-x 13=-f x ，所以函数f x 是奇函数，由幂函数的性质知，函数f x =x 13在函数-∞,+∞ 上单调递增，由f t 2-2t +f 2t 2-1 <0，得f t 2-2t <-f 2t 2-1 ，即f t 2-2t <f 1-2t 2 ，所以t 2-2t <1-2t 2，即3t 2-2t -1<0，解得-13<t <1，所以关于t 的表达式f t 2-2t +f 2t 2-1 <0的解集为-13,1 .故答案为：-13,1 .8(23-24高三上·河北邢台·期中)已知函数f x =m 2-m -1 x m 2+m -3是幂函数，且在0,+∞ 上单调递减，若a ,b ∈R ，且a <0<b ,a <b ，则f a +f b 的值()A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断【答案】B【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.【解析】由m 2-m -1=1得m =2或m =-1，m =2时，f (x )=x 3在R 上是增函数，不合题意，m =-1时，f (x )=x -3，在(0,+∞)上是减函数，满足题意，所以f (x )=x -3，a <0<b ,a <b ，则b >-a >0，f (-a )>f (b )，f (x )=-x 3是奇函数，因此f (-a )=-f (a )，所以-f (a )>f (b )，即f (a )+f (b )<0，故选：B .9(2023·江苏南京·二模)幂函数f x =x a a ∈R 满足：任意x ∈R 有f -x =f x ，且f -1 <f 2 <2，请写出符合上述条件的一个函数f x =．【答案】x 23(答案不唯一)【分析】取f x =x 23，再验证奇偶性和函数值即可.【解析】取f x =x 23，则定义域为R ，且f -x =-x 23=x 23=f x ，f -1 =1，f 2 =223=34，满足f -1 <f 2 <2.故答案为：x 23.10(2022高三·全国·专题练习)已知函数f (x )=x 2，g (x )=12x-m(1)当x ∈[-1,3]时，求f (x )的值域；(2)若对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，求实数m 的取值范围；(3)若对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)[0,9]；(2)m ≤-34；(3)m ≥-8.【分析】(1)由二次函数的性质得出值域；(2)将问题转化为求g (x )在0,2 的最小值大于或等于1，再根据指数函数的单调性得出实数m 的取值范围；(3)将问题转化为g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9，从而得出实数m 的取值范围．【解析】(1)当x ∈[-1,3]时，函数f (x )=x 2∈[0，9]∴f (x )的值域0,9(2)对∀x ∈0,2 ，g (x )≥1成立，等价于g (x )在0,2 的最小值大于或等于1．而g (x )在0,2 上单调递减，所以12 2-m ≥1，即m ≤-34(3)对∀x 1∈0,2 ，∃x 2∈[-1,3]，使得g (x 1)≤f (x 2)成立，等价于g (x )在0,2 的最大值小于或等于f (x )在[-1,3]上的最大值9由1-m ≤9，∴m ≥-803指数、对数式的运算11(23-24高三上·山东泰安·阶段练习)(1)计算14-124ab -1 30.1-1⋅a 3⋅b -312的值；．(2)log 37+log 73 2-log 949log 73-log 73 2； (3)log 39+12lg25+lg2-log 49×log 38+2log 23-1+ln e 【答案】(1)85；(2)2；(3)4【分析】根据指数幂运算公式和对数运算公式计算即可.【解析】(1)原式=412⋅4ab -13210⋅a 32b -32=2⋅8a 32b-3210⋅a 32b-32=85；(2)原式=log 37+log 73 2-log 73 2-log 3272×log 37=log 37×log 37+2log 73 -log 37×log 37=log 37×2log 73=2；(3)原式=log 31232+lg5+lg2-log 2232×log 323+2log 23×2-1+ln e12=4+1-3+32+12=4.12(23-24高一上·湖北恩施·期末)(1)计算：lg 12-lg 58+lg12.5-log 89⋅log 278.(2)已知a 12+a -12=3，求a +a -1+2a 2+a -2-2的值.【答案】(1)13；(2)15【分析】(1)根据对数的运算法则和运算性质，即可求解；(2)根据实数指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.【解析】(1)由对数的运算公式，可得原式=-lg2-lg5-3lg2 +3lg5-1-23log 32×log 23=13.(2)因为a 12+a -12=3，所以a +a -1+2=9，可得a +a -1=7，所以a 2+a -2+2=49，可得a 2+a -2=47，所以a +a -1+2a 2+a -2-2=7+247-2=15.04指数、对数函数的图像对比分析13(2024·四川·模拟预测)已知函数y =x a ，y =b x ，y =log c x 在同一平面直角坐标系的图象如图所示，则()A.log 12c <b a <sin bB.log 12c <sin b <b aC.sin b <b a <log 12cD.sin b <log 12c <b a【答案】B【分析】根据幂函数，指数与对数函数的性质可得a ,b ,c 的取值范围，进而根据指对数与三角函数的性质判断即可.【解析】因为y =x a 图象过1,1 ，故由图象可得a <0，又y =b x 图象过0,1 ，故由图象可得0<b <1，又y =log c x 图象过1,0 ，故由图象可得c >1.故log 12c <log 121=0，0<sin b <1，b a >b 0=1，故log 12c <sin b <b a .故选：B14(2024高三·全国·专题练习)在同一平面直角坐标系中，函数y =1a x，y =log a x +12 (a >0，且a ≠1)的图象可能是()A. B.C. D.【答案】D 【解析】略15(2024·陕西·模拟预测)已知函数f x 的部分图象如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -xB.f x =1-2e x+1C.f x =x xD.f x =x ln x 2+2【答案】D【分析】结合指数函数的图象与性质即可判断AB 选项错误，对C 代入x =2判断C 错误，则可得到D 正确.【解析】根据函数f (x )的图象，知f (1)≈1，而对A 选项f 1 =e -e -1>2排除A ；对B 选项f x =1-2e x +1，因为e x +1>1，则2e x +1∈0,2 ，则f x =1-2e x +1∈-1,1 ，但图象中函数值可以大于1，排除B ；根据C 选项的解析式，f (2)=22≈2.8，而根据函数f (x )的图象，知f (2)≈1，排除C . 故选：D .16(23-24高三上·山东潍坊·期中)已知指数函数y =a x ，对数函数y =log b x 的图象如图所示，则下列关系成立的是()A.0<a <b <1B.0<a <1<bC.0<b <1<aD.a <0<1<b【答案】B【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到a ,b 的范围，从而得到结果.【解析】由图象可得，指数函数y =a x 为减函数，对数函数y =log b x 为增函数，所以0<a <1,b >1，即0<a <1<b .故选：B17(23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)函数f (x )=x 22x -2-x 的图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】利用函数的性质和特值法对不符合题意的选项加以排除，即可得出答案.【解析】因为2x -2-x ≠0，所以x ≠0，定义域为-∞,0 ∪0,+∞ ；因为f (x )=x 22x -2-x ，所以f -x =x 22-x -2x ，故f x =-f -x ，所以f x 为奇函数，排除B ，当x 趋向于正无穷大时，x 2、2x -2-x 均趋向于正无穷大，但随x 变大，2x -2-x 的增速比x 2快，所以f x 趋向于0，排除D ，由f 1 =23，f 12 =24，则f 1 >f 12，排除C .故选：A .05比较函数值或参数值的大小18(2024·全国·模拟预测)已知a =12a,12b=log a b ,a c=log12c ，则实数a ,b ,c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】D【分析】由函数单调性，零点存在性定理及画出函数图象，得到a ,b ,c ∈0,1 ，得到log a b <1=log a a ，求出b>a ，根据单调性得到c =12 a c<12a=a ，从而得到答案.【解析】令f x =12x-x ，其在R 上单调递减，又f 0 =1>0,f 1 =12-1=-12<0，由零点存在性定理得a ∈0,1 ，则y =log a x 在0,+∞ 上单调递减，画出y 1=12x与y =log a x 的函数图象，可以得到b ∈0,1 ，又y 2=a x 在R 上单调递减，画出y 2=a x 与y 3=log 12x 的函数图象，可以看出c∈0,1，因为12b<12 0=1，故log a b<1=log a a，故b>a，因为a,c∈0,1，故a c>a1=a，由a c=log12c得，c=12a c<12 a=a．综上，c<a<b．故选：D．【点睛】指数和对数比较大小的方法有：(1)画出函数图象，数形结合得到大小关系；(2)由函数单调性，可选取适当的“媒介”(通常以“0”或“1”为媒介)，分别与要比较的数比较大小，从而间接地得出要比较的数的大小关系；(3)作差(商)比较法是比较两个数值大小的常用方法，即对两值作差(商)，看其值与0(1)的关系，从而确定所比两值的大小关系．19(2023·江西赣州·二模)若log3x=log4y=log5z<-1，则()A.3x<4y<5zB.4y<3x<5zC.4y<5z<3xD.5z<4y<3x【答案】D【分析】设log3x=log4y=log5z=m<-1，得到x=3m,y=4m,z=5m，画出图象，数形结合得到答案.【解析】令log3x=log4y=log5z=m<-1，则x=3m,y=4m,z=5m，3x=3m+1,4y=4m+1,5z=5m+1，其中m+1<0，在同一坐标系内画出y=3x,y=4x,y=5x，故5z<4y<3x故选：D20(2024高三下·全国·专题练习)已知函数f x =e x，g x =ln x，正实数a，b，c满足f a =ga ，fb g b =g a ，gc +f g a c=0，则()A.b<a<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a【答案】B【分析】由f a =g a 可得0<a <1，结合f b g b =g a 可判断b 的范围，再由g c +f g a c =0可得ln c +a c =0，结合e a =1a 可判断a ，c 大小关系，进而可得答案.【解析】由题得，g x =1x ，由f a =g a ，得e a =1a ，即1a>1，所以0<a <1．由f b g b =g a ，得e b ln b =ln a ，因为ln a <0，e b >0，所以ln b <0，又e b >1，所以ln a =e b ln b <ln b ，所以0<a <b <1．由g c +f g a c =0，得ln c +e ln a c=0，即ln c +a c =0．易知a c >0，所以ln c <0，所以0<c <1，故a <a c ．又e a =1a，所以a =-ln a ，所以-ln c =a c >a =-ln a ，所以ln c <ln a ，所以c <a ，所以c <a <b ．故选：B ．【点睛】思路点睛：比较大小常用方法：(1)同构函数，利用单调性比较；(2)取中间值进行比较；(3)利用基本不等式比较大小；(4)利用作差法比较大小.21(2023·浙江绍兴·二模)已知f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，a =f ln2.04 ，b =f -1.04 ，c =f e 0.04 ，则()A.a <b <cB.a <c <bC.c <b <aD.c <a <b【答案】A【分析】令g x =e x -x -1，利用导数求得g x 在(0,1)单调递增，得到g x >g 0 =0，得到e 0.04>1.04，再由对数函数的性质，得到ln2.04<1.04<e 0.04，再由函数f x 的单调性与奇偶性f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即可求解.【解析】令g x =e x -x -1,x ∈(0,1)，可得g x =e x -1>0，所以g x 在(0,1)单调递增，又由g 0 =0，所以g x >g 0 =0，即g 0.04 >0，可得e 0.04>0.04+1=1.04，又由ln2.04∈(0,1)，所以ln2.04<1.04<e 0.04，因为f x 是定义域为R 的偶函数，且在(-∞,0)上单调递减，则f x 在(0,+∞)上单调递增，且b =f -1.04 =f (1.04)，所以f ln2.04 <f 1.04 <f e 0.04 ，即f ln2.04 <f -1.04 <f e 0.04 ，所以a <b <c .故选：A .06指数、对数(函数)的实际应用22(2024·安徽合肥·二模)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为T (单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T 1,T 2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的14，则T 1,T 2满足的关系式为()A.-2+512T1=512T2B.2+512T1=512T2C.-2+log2512T1=log2512T2D.2+log2512T1=log2512T2【答案】B【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案．【解析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为：1 2512T1，乙的质量为：12 512T2，由题意可得12512T2=14⋅12 512T1=12 2+512T1，所以2+512T1=512T2．故选：B．23(2024·黑龙江哈尔滨·一模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(结果取整数，参考数据：lg3≈0.48,lg7≈0.85)A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.【解析】设经过x个小时才能驾驶，则0.6×100×1-30%x<20即0.7x<1 3 .由于y=0.7x在定义域上单调递减，x>log0.713=lg13lg0.7=lg1-lg3lg7-1=-0.480.85-1=0.480.15=3.2.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.07指数、对数函数的图像与性质综合及应用24(2024·山东聊城·二模)已知函数f x 为R上的偶函数，且当x>0时，f x =log4x-1，则f-223=()A.-23B.-13C.13D.23【答案】A【分析】根据偶函数的定义可得f-22 3=f223 ，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.【解析】因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，则f-22 3=f223 =log4223-1=log22223-1=log2213-1=13-1=-23.故选：A25(2023·江西南昌·三模)设函数f x =a x0<a<1，g x =log b x b>1，若存在实数m满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，③|m -n |≤1，则12m -n 的取值范围是()A.-12,-14B.-12,-3-54C.-34,-12D.-3+54,-12【答案】D【分析】由①f (m )+g (m )=0，②f (n )-g (n )=0解出0<m <1，n >1，解出12m -n <-12；结合③转化为线性规划问题解出z >-3+54.【解析】函数f x =a x 0<a <1 ，g x =log b x b >1 ，若存在实数m 满足：①f (m )+g (m )=0；②f (n )-g (n )=0，即a m =-log b m ，且a n =log b n ，则a n -a m =log b mn <0，则0<mn <1，且0<m <1，n >1，所以12m -n <-12，又因为③|m -n |≤1，则0<mn <1m -n ≤1 ，令z =12m -n ，不防设x =m ，y =n ，则转化为线性规划问题，在A 点处z 取最小值.由y =1xy =x +1 解得x =-1+52y =5+12，代入解得z >-3+54.故选：D .26(2022高三·全国·专题练习)已知函数f x =log a ax +9-3a (a >0且a ≠1)．(1)若f x 在1,3 上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若f 3 >0且存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，求a 的最小整数值．【答案】(1)1,92 (2)7【分析】(1)设g x =ax +9-3a ，得到g x 在1,3 上是增函数，且g 1 >0，即可求解；(2)由f 3 >0，的得到a >1，把不等式f x 0 >2log a x 0，转化为a >x 0+3，结合题意，即可求解.【解析】(1)解：由函数f x =log a ax +9-3a ，设g x =ax +9-3a ，由a >0且a ≠1，可得函数g x 在1,3 上是增函数，所以a >1，又由函数定义域可得g 1 =9-2a >0，解得a <92，所以实数a 的取值范围是1,92．(2)解：由f 3 =log a 9>0，可得a >1，又由f x 0 >2log a x 0，可得log a ax 0+9-3a >log a x 20，所以ax 0+9-3a >x 20，即a >x 0+3，因为存在x 0∈3,+∞ ，使得f x 0 >2log a x 0成立，可得a >6，所以实数a 的最小整数值是7．27(23-24高二下·湖南·阶段练习)已知函数f x =x 2+x ,-2≤x ≤14log 12x ,14<x ≤c ，若f (x )的值域是[-2,2]，则c 的值为()A.2B.22C.4D.8【答案】C【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.【解析】当-2≤x ≤14时，f x =x 2+x =x +12 2-14∈-14,2，因为f x 的值域是-2，2 ，又f x =log 12x 在14，c上单调递减，所以log 12c =-2,∴c =4.故选：C .28(22-23高一上·辽宁本溪·期末)若不等式x -1 2<log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈1,2 内恒成立，则实数a 的取值范围为()A.1,2B.1,2C.1,2D.2,2【答案】B【分析】分析出0<a <1时，不成立，当a >1时，画出f x =log a x ，g x =x -1 2的图象，数形结合得到实数a 的取值范围.【解析】若0<a <1，此时x ∈1,2 ，log a x <0，而x -1 2≥0，故x -1 2<log a x 无解；若a >1，此时x ∈1,2 ，log a x >0，而x -1 2≥0，令f x =log a x ，g x =x -1 2，画出两函数图象，如下：故要想x -1 2<log a x 在x ∈1,2 内恒成立，则要log a 2>1，解得：a ∈1,2 .故选：B .29(2022高二下·浙江·学业考试)已知函数f x =3⋅2x +2，对于任意的x 2∈0,1 ，都存在x 1∈0,1 ，使得f x 1 +2f x 2+m =13成立，则实数m 的取值范围为．【答案】log 216,log 213 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解【解析】∵f x 1 ∈5,8 ∴13-f x 1 2∈52,4，∴f x 2+m =3⋅2x 2+m+2∈3⋅2m +2,3⋅21+m +2 ，由题意得3⋅2m +2≥523⋅2m +1+2≤4⇒2m≥162m +1≤23⇒log 216≤m ≤log 213 故答案为：log 216,log 21330(21-22高三上·湖北·阶段练习)已知函数p (x )=m x -4+1(m >0且m ≠1)经过定点A ，函数-∞,2 且a ≠1)的图象经过点A ．(1)求函数y =f (2a -2x )的定义域与值域；(2)若函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4在14,4上有两个零点，求λ的取值范围．【答案】(1)定义域为(-∞,2)，值域为(-∞,2)；(2)[1，+∞)【分析】(1)根据对数函数的性质，求得定点A (4,2)，代入函数f x =log a x ，求得a =2，进而求得y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，结合对数函数的性质，求得函数的定义域与值域；(2)由(1)知，化简得到函数g x =2λ(log 2x )2+2log 2x -4，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，转化为h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.【解析】(1)解：令x -4=0，解得x =4，所以p (4)=m 0+1=2，所以函数p (x )过点A (4,2)，将点A 的坐标代入函数f x =log a x ，可得log a 4=2，解得a =2，又由函数y =f (2a -2x )=log 2(4-2x )，由4-2x >0，解得x <2，所以函数y =f (2a -2x )的定义域为(-∞,2)，又由0<4-2x <4，所以函数y =f (2a -2x )的值域为(-∞,2).(2)解：由(1)知，函数g x =f (2x λ)⋅f (x 2)-4=log 2(2x λ)⋅log 2x 2-4=2λ(log 2x )2+2log 2x -4在14,4上有两个零点，设t =log 2x ，则t ∈[-2,2]，因为t 为关于x 的单调递增函数，所以g x 在14,4有两个零点，等价于函数h x =2λt 2+2t -4在[-2,2]上有两个零点，①当λ=0时，由h x =2t -4=0，可得t =2，函数h x 只有一个零点，所以λ=0不合题意；②当λ>0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≥0h 2 =8λ≥0，解得λ≥1；③当λ<0时，由Δ=4+32λ>0-2<-12λ<2h -2 =8λ-8≤0h 2 =8λ≤0，此时不等式组的解集为空集，综上可得，实数λ的取值范围是[1,+∞).一、单选题1(2024·黑龙江·二模)已知函数y =a 12|x |+b 的图象经过原点，且无限接近直线y =2，但又不与该直线相交，则ab =()A.-1 B.-2C.-4D.-9【答案】C【分析】由题意可得a +b =0且b =2，求出a ，即可求解.【解析】因为函数y =f (x )=a 12 x +b 图象过原点，所以a 12+b =0，得a +b =0，又该函数图象无限接近直线y =2，且不与该直线相交，所以b =2，则a =-2，所以ab =-4.故选：C2(2024·上海闵行·二模)已知y =f (x )，x ∈R 为奇函数，当x >0时，f (x )=log 2x -1，则集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为()A.(2,+∞)B.(-∞,-2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-2,0)∪(2,+∞)【答案】D【分析】利用函数奇偶性可得不等式f (-x )-f (x )<0等价于f (x )>0，再求出函数解析式，利用对数函数单调性解不等式可得结果.【解析】因为y =f (x )为奇函数，所以f (-x )-f (x )<0等价于-2f (x )<0，即f (x )>0；当x >0时，f (x )=log 2x -1，即f (x )=log 2x -1>0，解得x >2；当x <0时，-x >0，可得f (-x )=-f x =log 2-x -1，所以f x =1-log 2-x ，解不等式f x =1-log 2-x >0，可得-2<x <0，综上可得集合{x |f (-x )-f (x )<0}可表示为(-2,0)∪(2,+∞).故选：D3(2024·北京通州·二模)某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S (单位：平方米)与时间t (单位：月)的关系式为S =a t +1(a >0，且a ≠1)，图象如图所示．则下列结论正确的个数为()①浮萍每个月增长的面积都相等；②浮萍蔓延4个月后，面积超过30平方米；③浮萍面积每个月的增长率均为50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1+t 2=t 3．A.0B.1C.2D.3【答案】B【分析】由已知可得出S =2t +1，计算出萍蔓延1月至2月份增长的面积和2月至3月份增长的面积，可判断①的正误；计算出浮萍蔓延4个月后的面积，可判断②的正误；计算出浮萍蔓延每个月增长率，可判断③的正误；利用指数运算可判断④的正误.【解析】由已知可得a 1=2，则S =2t +1.对于①，浮萍蔓延1月至2月份增长的面积为23-22=4(平方米)，浮萍蔓延2月至3月份增长的面积为24-23=8(平方米)，①错；对于②，浮萍蔓延4个月后的面积为25=32(平方米)，②对；对于③，浮萍蔓延第n 至n +1个月的增长率为2n +2-2n +12n +1=1，所以，浮萍蔓延每个月增长率相同，都是100%，③错；对于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则2t 1+1=3，2t 2+1=4，2t 3+1=12=3×4=2t 1+1⋅2t 2+1=2t 1+t 2+2，所以t 3=t 1+t 2+1，④错.故选：B .4(2024·天津红桥·二模)若a =2313，b =log 1225，c =3-14，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >c >aC.b >a >cD.a <b <c【答案】C【分析】根据给定条件，利用幂函数、对数函数性质，并借助媒介数比较大小.【解析】b =log 1225>log 1212=1，a =23 13=23 4 112=1681 112>381 112=1314=c ，而a =2313<1，所以a ，b ，c 的大小关系为b >a >c .故选：C5(2024·全国·模拟预测)已知函数f (x )=log a x 3-ax 2+x -2a (a >0且a ≠1)在区间(1,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是()A.0,23 B.23,1C.(1,2]D.[2,+∞)【答案】A【分析】对数函数的单调性与底数有关，分0<a <1和a >1两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间(1,+∞)上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得a 的取值范围.【解析】设函数g x =x 3-ax 2+x -2a ，则g x =3x 2-2ax +1．①若0<a <1，则y =log a x 在定义域上单调递减．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递增，故gx ≥0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．又g 1 =4-2a ≥0，所以对任意的x ∈1,+∞ ,g x ≥0显然成立．又因为g x >0对任意x ∈1,+∞ 恒成立，所以g 1 =2-3a ≥0，故0<a ≤23．②若a >1，则y =log a x 在定义域上单调递增．又f x =log a x 3-ax 2+x -2a 在区间1,+∞ 上单调递减，所以g x 在区间1,+∞ 上单调递减，故gx ≤0对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．因为抛物线y =3x 2-2ax +1的开口向上，所以g x ≤0不可能对任意的x ∈1,+∞ 恒成立．所以a 的取值范围为0,23．故选：A ．6(2024·宁夏固原·一模)已知函数f x 的部分图像如图所示，则f x 的解析式可能为()A.f x =e x -e -x 4x -3 B.f x =e x -e -x3-4x C.f x =e x +e -x4x -3D.f x =x x -1【答案】A【分析】利用f x 在1,+∞ 上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用f x 在1,+∞ 上的单调性排除D ，从而得解.【解析】对于B ，当x >1时，f x =e x -e -x 3-4x，易知e x -e -x >0，3-4x <0，则f x <0，不满足图象，故B 错误；对于C ，f x =e x +e -x 4x -3，定义域为-∞,-34 ∪-34,34 ∪34,+∞ ，又f (-x )=e -x +e x 4-x -3=e x +e -x4x -3=f (x )，则f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当x >1时，f x =x x -1=x x -1=1+1x -1，由反比例函数的性质可知，f x 在1,+∞ 上单调递减，故D 错误；检验选项A ，f x =e x -e -x4x -3满足图中性质，故A 正确.故选：A .7(2024·陕西西安·模拟预测)已知函数f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，则不等式f a 2-1 >f 3 的解集为()A.-2,2B.0,+∞C.-∞,0D.-∞,-2 ∪2,+∞【答案】A【分析】判断函数f x 的单调性，再利用单调性解不等式即可.【解析】f x =12x +1,x <01x +2,x ≥0，易知y =12x +1在-∞,0 单调递减，y =1x +2在0,+∞ 单调递减，且f x 在x =0处连续，故f x 在R 上单调递减，由f a 2-1 >f 3 ，则a 2-1<3，解得-2<a <2,故不等式f a 2-1 >f 3 的解集为-2,2 .故选：A8(2024·甘肃兰州·一模)已知y =f x 是定义在R 上的奇函数，且对于任意x 均有f x +1 +f x -1 =0，当0<x ≤1时，f x =2x -1，若f [ln (ea )]>f (ln a )(e 是自然对数的底)，则实数a 的取值范围是()A.e -1+2k <a <e 1+2k (k ∈Z )B.e -32+k <a <e 12+2k(k ∈Z )C.e -1+4k <a <e 1+4k (k ∈Z ) D.e-32+4k <a <e 12+4k(k ∈Z )【答案】D【分析】首先分析函数的周期性与对称性，画出函数在-2,2 上的函数图象，结合图象可知在-2,2 内要满足f [ln (ea )]>f (ln a )，只需-32<ln a <12，即可求出a 的范围，再结合周期性即可得解.【解析】因为y =f x 是定义在R 上的奇函数，所以f 0 =0且图象关于原点对称，又f x +1 +f x -1 =0，所以f x +1 =-f x -1 =f 1-x ，所以f x +4 =f 1-x +3 =-f 2+x =-f 1-x +1 =-f -x =f x ，f -1+x =f 3+x =f 1-2+x =f -1-x ，f 2+x =f -2+x =-f 2-x ，所以函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，又当0<x ≤1时，f x =2x -1，所以f x 在区间-2,2 上的图象如下所示：由图可知，在-2,2 内要满足f [ln (ea )]=f (1+ln a )>f (ln a )，则-32<ln a <12，即e -32<a <e 12，再根据函数的周期性可知e -32+4k <a <e12+4k(k ∈Z ).故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是由题意分析出函数的周期为4且函数图象关于x =1+2k k ∈Z 和2k ,0 k ∈Z 对称，再结合函数在-2,2 上的图象.二、多选题9(2024·河南洛阳·模拟预测)下列正确的是()A.2-0.01>2-0.001B.log 23>log 2π-1C.log 1.85<log 1.75D.log 33.01>e -0.01【答案】BCD【分析】利用指数函数的性质判断A ；由对数函数的性质判断B ，C ；由对数函数的性质可得log 33.01>1，由指数函数的性质可得e -0.01<1，即可判断．【解析】解：对于A ，因为-0.01<-0.001，所以2-0.01<2-0.001，所以A 错误；对于B ，因为log 23>log 2π2=log 2π-1，所以B 正确；对于C ，因为log 1.85>0,log 1.75>0，所以log 1.85=ln5ln1.8<ln5ln1.7=log 1.75，所以C 正确；对于D ，因为log 33.01>log 33=1,e -0.01<e 0=1，所以log 33.01>e -0.01，所以D 正确.故选：BCD ．10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ，b 满足log 3a +log b 3=log 3b +log a 4，则下列关系式中可能正确的是()A.∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1B.∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1C.∀a ,b ∈(1,+∞)，有b <a <b 2D.∀a ,b ∈(0,1)，有b <a <b【答案】ABC【分析】由原方程可得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，构适函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A ；令ab =1，代入原方程转化为判断(ln b )2=ln3×ln122是否有解即可判断B ；条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出a ,b 大小，判断CD .【解析】由log 3a +log b 3=log 3b +log a 4得log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a ，令f (x )=log 3x -1log 3x ，则f (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，令g (x )=log 3x -1log 4x，则g (x )分别在(0,1)和(1,+∞)上单调递增，当x ∈(0,1)时，f x 的值域为R ，当x ∈(2,+∞)时，g (x )的值域为log 32-2,+∞ ，所以存在b ∈(0,1),a ∈(2,+∞)，使得f (b )=g (a )；同理可得，存在b ∈(2,+∞),a ∈(0,1)，使得f (b )=g (a )，因此∃a ,b ∈(0,+∞)，使|a -b |>1，故选项A 正确．令ab =1，则方程log 3a +log b 3=log 3b +log a 4可化为log b 3+log b 4=2log 3b ，由换底公式可得(ln b )2=ln3×ln122>0，显然关于b 的方程在(0,+∞)上有解，所以∃a ,b ∈(0,+∞)，使ab =1，故选项B 正确．当a ,b ∈(1,+∞)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a <log 3a -1log 3a ，所以f (b )<f (a )．又f x 在(1,+∞)上单调递增，所以b <a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a >log 4a -1log 4a ，令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增．因为h log 3b >h log 4a ，所以log 3b >log 4a ，从而log 3b >log 4a =log 2a >log 3a ，所以b >a ．综上所述，b <a <b 2，故选项C 正确．当a ,b ∈(0,1)时，因为log 3b -1log 3b =log 3a -1log 4a >log 3a -1log 3a ，所以f (b )>f (a )．又f x 在(0,1)上单调递增，所以b >a ．因为log 3b -1log 3b=log 3a -1log 4a <log 4a -1log 4a ．令h (x )=x -1x，则h (x )在(0,+∞)上单调递增，因为h log 3b <h log 4a ，所以log 3b <log 4a ，从而log 3b <log 4a =log 2a <log 3a ，所以b <a ．综上所述，b 2<a <b ，故选项D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据对数式的运算规则和对数函数的单调性求解.11(2024·重庆·三模)已知函数f x =log 62x +3x ，g x =log 36x -2x .下列选项正确的是()A.f 12<g 12 B.∃x 0∈0,1 ，使得f x 0 =g x 0 =x 0C.对任意x ∈1,+∞ ，都有f x <g xD.对任意x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x【答案】BCD【分析】根据2+3>6，3>6-2即可判断A ；根据2x 0+3x 0=6x 0，令h x =6x -2x -3x ，结合零点的存在性定理即可判断B ；由f x -x =log 613 x +12 x 、g x -x =log 32x-23 x ，结合复合函数的单调性可得f x -x 和g x -x 的单调性，即可判断C ；由选项BC 的分析可得6f x-6x =3x -3g x，分类讨论当x ∈0,x 0 、x ∈x 0,+∞ 时x -f x 与g x -x 的大小，进而判断D .【解析】A ：因为2+3 2=5+26>6 2，所以2+3>6，3>6- 2.因为f 12 =log 62+3 >log 66=12，g 12 =log 36-2 <log 33=12，所以f 12 >g 12，故A 错误；B ：若f x 0 =g x 0 =x 0，则f x 0 =log 62x 0+3x 0=x 0=log 66x 0，即2x 0+3x 0=6x，g x 0 =log 36x 0-2x 0 =x 0=log 33x 0，可得6x 0-2x 0=3x 0，令h x =6x -2x -3x ，因为h 0 =-1，h 1 =1，所以∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，即2x 0+3x 0=6x 0，故B 正确；C ：因为f x -x =log 62x +3x -log 66x =log 62x +3x 6x =log 613 x +12 x ，且y =13 x +12 x 在1,+∞ 上单调递减，所以f x -x 也单调递减，可得f x -x <log 612+13<0，因为g x -x =log 36x -2x -log 33x =log 36x -2x 3x =log 32x -23 x .又y =2x -23 x 在1,+∞ 上单调递增，所以g x -x 也单调递增，得g x -x >log 32-23>0，即f x -x <g x -x ，因此，对于任意的x ∈1,+∞ ，都有f x <g x ，故C 正确；D ：由B 可知：∃x 0∈0,1 ，使得h x 0 =0，结合C 的结论，可知当x ∈0,x 0 ，f x >x ，g x <x ，即g x <x <f x ，当x ∈x 0,+∞ 时，f x <x ，g x >x ，即f x <x <g x ，因为6f x =2x +3x ，3g x =6x -2x ，得2x =6f x -3x =6x -3g x ，即6f x -6x =3x -3g x ，当x ∈0,x 0 时，有6x 6f x -x -1 =3g x 3x -g x -1 ，因为6x >3g x ，所以6f x -x -1<3x -g x -1，所以0<f x -x <x -g x ，因此可得g x -x ≤x -f x <0，即x -f x ≤g x -x ，当x ∈x 0,+∞ ，有6f x 6x -f x -1 =3x 3g x -x -1 ，因为6f x >3x ，所以6x -f x -1<3g x -x -1，可得0<x -f x <g x -x ，即x -f x ≤g x -x ，因此，对于任意的x ∈0,+∞ ，都有x -f x ≤g x -x ，故D 正确.故选：BCD .【点睛】方法点睛：证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如f x ≥g x 的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令F x =f x -g x ，利用导数或基本函数的单调性求得函数F x 的单调性与最小值，只需F x min ≥0恒成立即可；2、参数分离法：转化为a ≥φx 或a ≤φx 恒成立，即a ≥φx max 或a ≤φx min 恒成立，只需利用导数求得函数φx 的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数y =f x 的图象在y =g x 的图象的上方(或下方)，进而得到不等式恒成立.三、填空题12(2023·河南·模拟预测)已知幂函数f x =m 2-6m +9 x m 满足f 1 =2，则f 2 =．【答案】4【分析】由幂函数的定义结合导数求得m ，进而可得答案.【解析】由幂函数的定义可得m 2-6m +9=1，解得m =2或m =4，当m =2时，f x =x 2，f x =2x ，f 1 =2符合题意；当m =4时，f x =x 4，f x =4x 3，f 1 =4，不符合题意．故f x =x 2，f 2 =4．故答案为：4.13(2024·全国·模拟预测)已知函数f x =x x -1,g x =e x -1-e -x +1+1，则f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为．【答案】2【分析】分析函数的奇偶性，由图象的平移变换求解即可.【解析】对于f x =x x -1=1x -1+1，可以把f x 的图象看作：由f 1x =1x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而f 1x 的图象可看作由f 2x =1x 的图象向右平移1个单位长度得到；对于g x =e x -1-e -x +1+1=e x -1-1e x -1+1的图象可看作由g 1x =e x -1-1e x -1的图象向上平移1个单位长度得到，而g 1x 的图象可看作由g 2x =e x -1e x 的图象向右平移1个单位长度得到．易知f 2x =1x 与g 2x =e x -1ex 都为奇函数，公众号：慧博高中数学最新试题则易知f 2x 与g 2x 的图象共有两个关于原点对称的交点，且交点的纵坐标之和为0．因为将函数图象向右平移不改变f 1x 与g 1x 两函数图象交点处函数值的大小，所以f 1x 与g 1x 的图象交点的纵坐标之和为0，又将函数图象向上平移1个单位长度会使得原交点处的函数值都增加1，则f x 与g x 的图象的两个交点的纵坐标与f 1x 与g 1x 的图象两个交点的纵坐标相比都增加1，故f x 与g x 的图象交点的纵坐标之和为2．故答案为：214(2024·全国·模拟预测)已知定义在-∞,0 ∪0,+∞ 上的函数f x ，对于定义域内任意的x ，y ，都有f xy =f x +f y ，且f x 在0,+∞ 上单调递减，则不等式f x <log 2x +12的解集为.【答案】x x <-1 或x >1【分析】由f xy =f x +f y ，利用赋值法，得到函数f x 的奇偶性，构造函数F x =f x -log 2x +12，研究其单调性和奇偶性，再由F 1 =0，将不等式f x <log 2x +12转化为F x <F 1 求解.【解析】由f xy =f x +f y ，令x =y =1，得f 1 =f 1 +f 1 ，所以f 1 =0.令x =y =-1，得f -1 =0.令y =-1，得f -x =f x +f -1 =f x ，所以函数f x 为偶函数.构造函数F x =f x -log 2x +12，因为F -x =F x ，所以F x 为偶函数，且在0,+∞ 上为减函数.因为F 1 =f 1 -log 21+12=0，所以不等式f x <log 2x +12等价于F x =f x -log 2x +12<0=F 1 ，所以F x <F 1 ，即x >1，所以x <-1或x >1，故不等式f x <log 2x +12的解集为x |x <-1 或x >1 .故答案为：x |x <-1 或x >1 .。
幂函数练习(含答案详解)
3.3 幂函数练习一、单选题1、已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( A ) A ．12 B ．1 C ．32D ．22、下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( A ) A ．y ＝x－2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝31x3、幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( C )4、幂函数()()2222m f x m m x -=--在()0,∞+上单调递减，则实数m 的值为（ A ） A ．1-B ．3C ．1-或3D ．3-5、若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( A )A ．⎣⎡⎭⎫2，167B ．(0，2]C ．⎝⎛⎭⎫－∞，167 D ．[2，＋∞) 6、若幂函数f (x )＝()12255a a a x---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( D )A ．1B ．6C ．2D ．－17、幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是 （ D ）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a >>>D ．b c d a >>>8、已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( D )A ．p ，q 均为奇数，且pq >0B ．q 为偶数，p 为奇数，且pq <0C ．q 为奇数，p 为偶数，且pq >0D ．q 为奇数，p 为偶数，且pq <0二、多选题9．下列关于幂函数y x α=的性质说法正确的有（ CD ） A ．当1α=-时，函数在其定义域上递减 B ．当0α=时，函数图象是一条直线 C ．当2α=时，函数是偶函数D ．当3α=时，函数的图象与x 轴交点的横坐标为0 10．已知函数()a f x x 的图象经过点1,33⎛⎫⎪⎝⎭则（ CD ）A ．()f x 的图象经过点(3,9)B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞11、已知幂函数f (x )＝()2231mm m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足2121)()(x x x f x f -->0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( BC )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能12．若函数()f x x α=的定义域为R 且为奇函数，则α可能的值为（ BD ）A ．1-B ．1C ．2D ．3三、填空题13．若幂函数()21my m m x =--为偶函数，则m = ___2_____ .14、已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝⎛⎭⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝_____0__. 15、若()()21221112-+>+m m m ，则实数m 的取值范围是______⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2__________.16、给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为__③______． 四、解答题17．已知幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数的解析式，并作出该函数图象的草图，判断该函数的奇偶性和单调性．解：因为幂函数()f x x α=的图象经过点3,19⎛⎫ ⎪⎝⎭，故可得139α=，解得2α=-，故()2f x x -=，其定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称；其函数图象如下所示：数形结合可知，因为()f x 的图象关于y 轴对称，故其为偶函数； 且()f x 在()0,+∞单调递减，在(),0-∞单调递增.18、已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1(m ∈R)为偶函数．(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3. 当m ＝2时，f (x )＝x－3是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去；当m ＝3时，f (x )＝x －4，满足题意， ∴f (x )＝x －4，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.(2)由f (x )＝x－4为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－13.19、已知幂函数f (x )＝21()mm x-+(m ∈N *)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数f (x )的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)因为m 2＋m ＝m (m ＋1)(m ∈N *)，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，所以m 2＋m 为偶数， 所以函数f (x )＝21()m m x-+(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．(2)因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－12()12m m +-，即122＝2()12mm +-，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝12x ， 又因为f (2－a )>f (a －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，解得1≤a ＜32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为[1，32)．20、19．已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式； (2)令()()21g x f x x =++yg x 在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.解：(1)因为函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，所以2511m m -+=，解得0m =或5m =， 当0m =时，函数()f x x =是奇函数，符合题意，当5m =时，函数()6f x x =是偶函数，不符合题意，综上所述，m 的值为0，函数()f x 的解析式为()f x x =. (2)由（1）知，()f x x =，所以()()2121g x f x x x x =+=++ 令21t x =+212t x -=，11,0123,032x x t -≤≤∴≤+≤∴≤≤ 所以2211()222t t g t t t -=+=+-，3t ⎡∈⎣， 根据二次函数的性质知，()g t 的对称轴为11122t =-=-⨯，开口向上，所以()g t 在3⎡⎣上单调递增；所以2min011()(0)0222g t g ==+-=-，(2max 31()(3)33122g t g === 所以函数()g x 在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为1312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
幂函数练习题
幂函数练习题幂函数是数学中的一种基本函数形式，它具有形如f(x) = ax^n的特点，其中a和n为常数，且n为整数。
在本文中，我们将通过一系列练习题来加深我们对幂函数的理解和运用。
练习题一：已知幂函数f(x) = 2x^3，求解以下问题：1. 当x取值为2时，求f(x)的值。
2. 求f(x)的定义域和值域。
3. 求f(x)的图像关于y轴的对称中心。
解答：1. 当x取值为2时，代入幂函数的表达式可得：f(2) = 2 * 2^3 = 2 * 8 = 16。
2. 幂函数的定义域为所有实数，因为x可以取任意实数值。
而幂函数的值域为所有非负实数，因为x的幂次可以是负数或零，当x为非负实数时，f(x)也同样为非负实数。
3. 幂函数的图像关于y轴的对称中心为原点(0, 0)，因为当x取相反数时，f(x)取相反数，即f(-x) = -f(x)。
练习题二：已知幂函数f(x) = 4x^(-2)，求解以下问题：1. 当x取值为3时，求f(x)的值。
2. 求f(x)的定义域和值域。
3. 求f(x)的图像关于x轴的对称中心。
解答：1. 当x取值为3时，代入幂函数的表达式可得：f(3) = 4 * 3^(-2) = 4 * (1/9) = 4/9。
2. 幂函数的定义域为所有除零以外的实数，因为在幂函数中，x不能为零。
而幂函数的值域为所有正实数，因为x的幂次为负数，当x 为正数时，f(x)为正实数。
3. 幂函数的图像关于x轴的对称中心不存在，因为幂函数的图像在x轴上不会有对称性。
通过以上练习题，我们对幂函数的性质有了更深入的理解。
幂函数在数学中有广泛的应用，例如在物理学中描述运动的速度、加速度，以及经济学中的成本、利润等。
对幂函数的熟悉和掌握将有助于我们更好地理解和解决实际问题。
幂函数题型及解析
幂函数题型及解析1.（1）下列函数是幂函数的是________y=x 2，y=（）x，y=4x 2，y=x 5+1，y=（x ﹣1）2，y=x ，y=a x（a ＞1）分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x 2和y=x ．解：由幂函数的定义知，y=x 2，y=（）x，y=4x 2，y=x 5+1，y=（x ﹣1）2，y=x ，y=a x（a ＞1），七个函数中是幂函数的是y=x 2和y=x ，（2）①y=x 2+1； ②y=2x； ③y=； ④y=（x ﹣1）2； ⑤y=x 5； ⑥y=x x+1分析：根据幂函数的定义，对以下函数进行判断即可．解：根据幂函数y=x α，α∈R 的定义知， ①y=x 2+1不是幂函数，②y=2x不是幂函数，③y==x ﹣2是幂函数，④y=（x ﹣1）2不是幂函数，⑤y=x 5是幂函数，⑥y=x x+1不是幂函数；综上是幂函数的为③⑤2.已知幂函数y=f （x ）的图象过点（9，）.（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （25）的值；（3）若f （a ）=b （a ，b ＞0），则a 用b 可表示成什么？分析：（1）设出幂函数f （x ）的解析式，根据图象过点（9，），求出函数解析式；（2）根据函数的解析式求出f （25）的值；（3）根据函数的解析式求出a 与b 的关系． 解：（1）设幂函数f （x ）=x t，∵图象过点（9，），∴；即32t =3﹣1，∴，∴； （2）∵f （x ）=，∴f （25）=25===；（3）∵f （a ）=a=b ，∴a ＝b ，∴a ﹣1=b 2，∴a=．3.比较下列各组中两个值的大小；（3）32)2.1(--，32)25.1(--；（4）（）与41)65(-；（5）；（6）（），（）；（723；（8）（），（）分析：由幂函数的单调性，有的需要结合指数函数的性质，逐个题目比较可得．解：（1）∵幂函数y=53x 在（0，+∞）单调递增，∴535.1＜537.1；（2）∵幂函数y=x 在（0，+∞）单调递增，∴＞；（3））∵幂函数y=32-x在（﹣∞，0）单调递增，∴32)2.1(--＞32)25.1(--；（4）∵0＜＜，∴（）＜41)65(-；（5）＜；（6）（）＞（）；（72＞3；（8）（）＜（）4.若函数y=（m 2+2m ﹣2）x m为幂函数且在第一象限为增函数，求m 的值②已知幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m2﹣2m ﹣3，当x ∈（0，+∞）时为减函数，求幂函数 分析：根据幂函数的性质，列出不等式组，求出m 的值即可解：①∵函数y=（m 2+2m ﹣2）x m 为幂函数且在第一象限为增函数，∴m 2+2m-2=1且m ＞0；解得m=1②解：∵幂函数y=（m 2﹣m ﹣1）x m2﹣2m ﹣3，∴m 2﹣m ﹣1=1，解得m=2，或m=﹣1；又x ∈（0，+∞）时y 为减函数，∴当m=2时，m 2-2m-3=﹣3，幂函数为y=x -3，满足题意；当m=-1时，m 2-2m-3=0，幂函数为y=x 0，不满足题意；综上幂函数y=x -35.幂函数y=（m 2﹣3m+3）x m是偶函数，求m 的值分析：根据幂函数的定义先求出m 的值，结合幂函数是偶函数进行判断即可．解：∵函数是幂函数，∴m 2﹣3m+3=1，即m 2﹣3m+2=0，则m=1或m=2，当m=1时，y=x 是奇函数，不满足条件．当m=2时，y=x 2是偶函数，满足条件，即m=26.求函数y=32-x的定义域和值域．分析：本题考察幂函数的概念及性质，把y=32-x 化为根式的形式，容易写出它的定义域和值域．解：∵函数y=32-x= ，∴x ≠0，且y ＞0；∴函数y 的定义域是{x |x ≠0}，值域是{y |y ＞0}7.﹣x2﹣3x+4的定义域、值域和单调区间．分析：根据二次函数以及指数函数的性质求出函数的单调性和值域即可． 解：令f （x ）=﹣x 2﹣3x +4=﹣（x 2+3x +）+=﹣+，∴f （x ）在（﹣∞，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，∴﹣x2﹣3x+4在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，∴y min ==，∴﹣x2﹣3x+4的定义域是R 、值域是[，+∞），在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增8.已知幂函数y=234m m x --（m ∈Z ）的图象与y 轴有公共点，且其图象关于y 轴对称，求m 的值，并作出其图象 分析：由题意得4-3m-m 2＞0解得﹣4＜m ＜1，又因为图象关于y 轴对称，所以4﹣3m ﹣m 2必须为偶数，故m=0，﹣1，﹣2，﹣3，即可画出图象．解：由题意得4﹣3m ﹣m 2＞0，即有（m+4）（m ﹣1）＜0，解得﹣4＜m ＜1，又因为图象关于y 轴对称，所以4﹣3m ﹣m 2必须为偶数，所以m=0，﹣1，﹣2，﹣3，m=﹣3，y=x 4，m=﹣2，y=x 6，m=﹣1，y=x 6，m=0，y=x 4其图象如图：9.已知函数y=（n ∈Z ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数图象．分析：由题意可得，可得幂指数n 2﹣2n ﹣3为负数，且为偶数．由于当n=1时，幂指数n 2﹣2n ﹣3=﹣4，满足条件，可得函数的解析式，从而得到函数的图象． 解：已知函数y=（n ∈Z ）的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，可得幂指数n 2﹣2n ﹣3为非正数，且为偶数．由于当n=1时，幂指数n 2﹣2n ﹣3=﹣4，满足条件，当n=3时，n 2﹣2n ﹣3=0，满足条件故函数为y=x ﹣4，或y=x 0，它的图象如图所示：10.已知幂函数y=x m ﹣2（m ∈N ）的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象． 分析：由题意利用幂函数的性质可得m ∈N ，m ﹣2≤0，且m ﹣2为偶数，由此求得m 的值．解：∵幂函数y=x m ﹣2（m ∈N ）的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，∴①m﹣2＜0，m ﹣2为偶数，故m=0，即幂函数y=x ﹣2，它的图象如右图所示．或②m﹣2=0，m=2，此时y=x 0，（x ≠0），它的图象如图所示11.已知幂函数的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，求m的值分析：由幂函数的概念与该函数为偶函数的性质可知，m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数，从而可得答案．解：∵幂函数y=（m∈Z）的图象与x轴，y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数（m∈Z），由m2﹣2m﹣3≤0得：﹣1≤m≤3，又m∈Z，∴m=﹣1，0，1，2，3．当m=﹣1时，m2﹣2m﹣3=1+2﹣3=0，为偶数，符合题意；当m=0时，m2﹣2m﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当m=1时，m2﹣2m﹣3=1﹣2﹣3=﹣4，为偶数，符合题意；当m=2时，m2﹣2m﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，为奇数，不符合题意；当m=3时，m2﹣2m﹣3=9﹣6﹣3=0，为偶数，符合题意．综上所述，m=﹣1，1，312. 已知幂函数y=x m2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，求m的值，并且画出它的图象．分析：由题意知，m2﹣2m﹣3＜0，且 m2﹣2m﹣3为奇数，解此不等式组可得m的值．解：幂函数y=x m2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x、y轴都无公共交点，且图象关于原点中心对称，∴m2﹣2m﹣3＜0，且 m2﹣2m﹣3为奇数，即﹣1＜m＜3 且 m2﹣2m﹣3 为奇数，∴m=0或2，∴y=x﹣3，其图象为：13.2m+3＜3m，求实数m的取值范围分析：2m+3＜3m，即为（）﹣（4m+6）＜（）3m，再由y=（）x在R上递增，得到﹣（4m+6）＜3m，解出即可．2m+3＜3m2（2m+3）＜（）3m，即有（）﹣（4m+6）＜（）3m，由于y=（）x在R上递增，则﹣（4m+6）＜3m，解得，m ＞﹣，故实数m的取值范围是（﹣，+∞）14.已知幂函数．（1）试求该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点，求m的值并求满足条件f（2﹣a）＞f（a﹣1）的实数a的取值范围．分析：（1）将指数因式分解，据指数的形式得到定义域，利用幂函数的性质知单调性（2）将点的坐标代入列出方程解得m，利用函数的单调性去掉法则f，列出不等式解得，注意定义域．解：（1）∵m2+m=m（m+1），m∈N*∴m2+m为偶数，∴x≥0，所以函数定义域为[0，+∞）由幂函数的性质知：其函数在定义域内单调递增．（2）依题意得：，∴，∴m=1（m∈N*）由已知得：，∴，故a的取值范围为：。
幂函数练习题及答案解析
幂函数练习题及答案解析1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^2.解析：定义域为实数集，f(-x) = (-x)^2 = x^2，因此是偶函数。
2.若 a < 1，则 5a < 0.5a < 5-a。
解析：因为 a < 1，所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a，因此 5a < 0.5a < 5-a。
3.α 可能的取值为 1 和 3，使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。
解析：只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数，因此α 可能的取值为 1 和 3.4.当 n = -1 或 n = 2 时，满足 (-2)^n。
(-3)^n。
解析：因为 (-2)^n。
0 且 (-3)^n < 0，所以 y = x^n 在 (-∞。
+∞) 上为减函数。
因此 n = -1 或 n = 2.1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。
-4)。
解析：函数的开口向上，关于 x = -4 对称，因此在 (-∞。
-4) 上递减。
2.幂函数的图像过点(2.4)，则其单调递增区间是(-∞。
0)。
解析：因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线，过点(2.4)，因此其单调递增区间为 (-∞。
0)。
3.正确的说法有 2 个。
解析：①错误；②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1)；③正确；④正确，因此有 2 个正确的说法。
4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值的个数是 1.解析：因为f(x) = x^α 为奇函数，所以α 为奇数，因此α可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减，所以只有α = -1 满足条件。
因此个数为 1.1.α=-1,1,3.由于f(x)在(，+∞)上为减函数，所以α=-1.2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-3<x<1)。
高考数学专题复习题：幂函数
高考数学专题复习题：幂函数一、单项选择题（共5小题）1．幂函数()f x x α=的图象过点1(,22，则()4f 等于（ ）2．若函数()22211mm y m m x −−=−−是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数m 的值为（ ）A.2B.-2C.1D.-13．已知幂函数()f x x α=的图象过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭,则函数()(3)()g x x f x =−在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A.-1B.-2C.-4D.-84．已知a ===A.a b c << B.c b a << C.b c a << D.c a b <<5．已知幂函数()f x x α=的图象过点11,28⎛⎫ ⎪⎝⎭，且(2)(2)f a f a +<，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,2)−∞B.(2,)+∞C.(2,2)−D.(2,)−+∞二、多项选择题（共2小题）6．若幂函数()()23231mm f x a x −+=−+，其中a ，m ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A.a =−1m <<时，()()21f f > C.若4m =时，()y f x =关于y 轴对称 D.()f x 恒过定点()1,1−−8．已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈−−−⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,+∞上是严格减函数，则α取值的集合是________.9．函数32y x α=−的图象过定点________.四、解答题（共3小题）10．已知幂函数()()2157m f x m m x −=−+为偶函数． （1）求()f x 的解析式．（2）若()()34g x f x x =−+，求函数()g x 在区间[]1,2−上的值域．11．已知幂函数()23()69m f x m m x +=++在(0,)+∞上单调递减． （1）求实数m 的值．（2）若11(32)(4)m m a a −−−−−<+，求实数a 的取值范围．12．已知幂函数()m f x x =的图象过点()25,5． （1）求()4f 的值．（2）若()()132f a f a +>−，求实数a 的取值范围．。
幂的运算专项练习50题(有答案)
幂的运算专项练习50题（有答案）1．2. （4ab2）2×（﹣a2b）33．（1）；（2）（3x3）2•（﹣x）；（3） m2•7mp2÷（﹣7mp）；（4）（2a﹣3）（3a+1）．4．已知a x=2，a y=3求：a x+y与a2x﹣y的值．5．已知3m=x，3n=y，用x，y表示33m+2n．6．若a=255，b=344，c=433，d=522，试比较a，b，c，d 的大小．7．计算：（﹣2 m2）3+m7÷m．8．计算：（2m2n﹣3）3•（﹣mn﹣2）﹣29．计算：．10．（﹣）2÷（﹣2）﹣3+2×（﹣）0．11．已知：2x=4y+1，27y=3x﹣1，求x﹣y的值．12．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．13．已知3×9m×27m=316，求m的值．14．若（a n b m b）3=a9b15，求2m+n的值．15．计算：（x2•x3）2÷x6．16．计算：（a2n）2÷a3n+2•a2．17．若a m=8，a n =，试求a2m﹣3n的值．18．已知9n+1﹣32n=72，求n的值．19．已知x m=3，x n=5，求x2m+n的值．20．已知3m=6，9n=2，求32m﹣4n+1的值．21．（x﹣y）5[（y﹣x）4]3（用幂的形式表示）22．若x m+2n=16，x n=2，（x≠0），求x m+n，x m﹣n的值．23．计算：（5a﹣3b4）2•（a2b）﹣2．24．已知：3m•9m•27m•81m=330，求m的值．25．已知x6﹣b•x2b+1=x11，且y a﹣1•y4﹣b=y5，求a+b的值．26．若2x+3y﹣4=0，求9x﹣1•27y．27．计算：（3a2x4）3﹣（2a3x6）2．28．计算：．29．已知16m=4×22n﹣2，27n=9×3m+3，求（n﹣m）2010的值．30．已知162×43×26=22m﹣2，（102）n=1012．求m+n的值．31．（﹣a）5•（﹣a3）4÷（﹣a）2．32．（a﹣2b﹣1）﹣3•（2ab2）﹣2．33．已知x a+b•x2b﹣a=x9，求（﹣3）b+（﹣3）3的值．34．a4•a4+（a2）4﹣（﹣3x4）235．已知（x5m+n y2m﹣n）3=x6y15，求n m的值．36．已知a m=2，a n=7，求a3m+2n﹣a2n﹣3m的值．37．计算：（﹣3x2n+2y n）3÷[（﹣x3y）2]n38．计算：（x﹣2y﹣3）﹣1•（x2y﹣3）2．39．已知a2m=2，b3n=3，求（a3m）2﹣（b2n）3+a2m•b3n的值40．已知n为正整数，且x3n=7，求（3x2n）3﹣4（x2）3n 的值．41．若n为正整数，且x2n=5，求（3x3n）2﹣34（x2）3n 的值．42．计算：（a2b6）n+5（﹣a n b3n）2﹣3[（﹣ab3）2]n．43．．44．计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）45．已知x a=2，x b=6．（1）求x a﹣b的值．（2）求x2a﹣b 的值．46．已知2a•27b•37c=1998，其中a，b，c为整数，求（a﹣b﹣c）1998的值．47．﹣（﹣0.25）1998×（﹣4）1999．48．（1）（2a+b）2n+1•（2a+b）3•（2a+b）n﹣4（2）（x﹣y）2•（y﹣x）5．49.（1）（3x2y2z﹣1）﹣2•（5xy﹣2z3）2．（2）（4x2yz﹣1）2•（2xyz）﹣4÷（yz3）﹣2．50．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式．（1）a2b3（2a﹣1b3）；（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3；（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2．幂的运算50题参考答案：1．解：原式=4﹣1﹣4=﹣1；2. 原式=16a2b4×（﹣a6b3）=﹣2a8b73．解：（1）原式=（﹣5）×3=﹣15；（2）原式=9x6•（﹣x）=﹣9x7；（3）原式=7m3p2÷（﹣7mp）=﹣m2p；（4）原式=6a2+2a﹣9a﹣3=6a2﹣7a﹣3．故答案为﹣15、﹣9x7、﹣m2p、6a2﹣7a﹣3 4．解：a x+y=a x•a y=2×3=6；a2x﹣y=a2x÷a y=22÷3=5．解：原式=33m×32n，=（3m）3×（3n）2，=x3y26．解：a=（25）11=3211；b=（34）11=8111；c=（43）11=4811；d=（52）11=2511；可见，b＞c＞a＞d7．解：（﹣2m2）3+m7÷m，=（﹣2）3×（m2）3+m6，=﹣8m6+m6，=﹣7m68．解：（2m2n﹣3）3•（﹣mn﹣2）﹣2=8m6n﹣9•m﹣2n4= 9．解：原式=（﹣4）+4×1=010．解：原式=÷（﹣）+2×1=﹣2+2=011．解：∵2x=4y+1，∴2x=22y+2，∴x=2y+2 ①又∵27y=3x﹣1，∴33y=3x﹣1，∴3y=x﹣1②联立①②组成方程组并求解得，∴x﹣y=312．解：4x•32y=22x•25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=813．解：∵3×9m×27m，=3×32m×33m，=31+5m，∴31+5m=316，∴1+5m=16，解得m=314．解：∵（a n b m b）3=（a n）3（b m）3b3=a3n b3m+3，∴3n=9，3m+3=15，解得：m=4，n=3，∴2m+n=27=12815．解：原式=（x5）2÷x6=x10÷x6=x10﹣6=x416．解：（a2n）2÷a3n+2•a2=a4n÷a 3n+2•a2=a4n﹣3n﹣2•a2=a n﹣2•a2=a n﹣2+2=a n17．解：a2m﹣3n=（a m）2÷（a n）3，∵a m=8，a n =，∴原式=64÷=512．故答案为51218．解：∵9n+1﹣32n=9n+1﹣9n=9n（9﹣1）=9n×8，而72=9×8，∴当9n+1﹣32n=72时，9n×8=9×8，∴9n=9，∴n=119．解：原式=（x m）2•x n=32×5=9×5=4520．解：由题意得，9n=32n=2，32m=62=36，故32m﹣4n+1=32m×3÷34n=36×3÷4=2721．解：（x﹣y）5[（y﹣x）4]3=（x﹣y）5[（x﹣y）4]3=（x﹣y）5•（x﹣y）12=（x﹣y）1722．解：∵x m+2n=16，x n=2，∴x m+2n÷x n=x m+n=16÷2=8，x m+2n÷x3n=x m﹣n=16÷23=223．解：（5a﹣3b4）2•（a2b）﹣2=25a﹣6b8•a﹣4b﹣2=25a﹣10b6=24．解：由题意知，3m•9m•27m•81m，=3m•32m•33m•34m，=3m+2m+3m+4m，=330，∴m+2m+3m+4m=30，整理，得10m=30，解得m=325．解：∵x6﹣b•x2b+1=x11，且y a﹣1•y4﹣b=y5，∴，解得：，则a+b=1026．解：∵2x+3y﹣4=0，∴2x+3y=4，∴9x﹣1•27y=32x﹣2•33y=32x+3y﹣2=32=927．解：（3a2x4）3﹣（2a3x6）2=27a6x12﹣4a6x12=23a6x12 28．解：原式=•a2b3=29．解：∵16m=4×22n﹣2，∴（24）m=22×22n﹣2，∴24m=22n﹣2+2，∴2n﹣2+2=4m，∴n=2m①，∵（33）n27n=9×3m+3，∴（33）n=32×3m+3，∴33n=3m+5，∴3n=m+5②，由①②得：解得：m=1，n=2，∴（n﹣m）2010=（2﹣1）2010=130．解：∵162×43×26=28×26×26=220=22m﹣2，（102）n=102n=1012．∴2m﹣2=20，2n=12，解得：m=11，n=6，∴m+n=11+6=1731．原式=（﹣a）5•a12÷（﹣a）2=﹣a5+12÷（﹣a）2=﹣a17÷a2=﹣a15．32．解：（a﹣2b﹣1）﹣3•（2ab2）﹣2=（a6b3）•（a﹣2b﹣4）=a4b﹣1=33．解：∵x a+b•x2b﹣a=x9，∴a+b+2b﹣a=9，解得：b=3，∴（﹣3）b+（﹣3）3=（﹣3）3+（﹣3）3=2×（﹣3）3=2×（﹣27）=﹣54 34．解：原式=a8+a8﹣9x8，=2a8﹣9x835．解：（x5m+n y2m﹣n）3=x15m+3n y6m﹣3n，∵（x5m+n y2m﹣n）3=x6y15，∴，解得：，则n m=（﹣9）3=﹣24336．解：∵a m=2，a n=7，∴a3m+2n﹣a2n﹣3m=（a m）3•（a n）2﹣（a n）2÷（a m）3=8×49﹣49÷8=37．解：（﹣3x2n+2y n）3÷[（﹣x3y）2]n，=﹣27x6n+6y3n÷（﹣x3y）2n，=﹣27x6n+6y3n÷x6n y2n，=﹣27x6y n38．解：（x﹣2•y﹣3）﹣1•（x2•y﹣3）2，=x2y3•x4y﹣6，=x6y﹣3，=39．解：（a3m）2﹣（b2n）3+a2m•b3n，=（a2m）3﹣（b3n）2+a2m•b3n，=23﹣32+2×3，=540．解：原式=27x6n﹣4x6n=23x6n=23（x3n）2=23×7×7=112741．解：∵x2n=5，∴（3x3n）2﹣34（x2）3n=9x6n﹣34x6n=﹣25（x2n）3=﹣25×53=﹣312542．解：原式=a2n b6n+5a2n b6n﹣3（a2b6）n=6a2n b6n﹣3a2n b6n=3a2n b6n43．解：原式=（）50x50•（）50x100=x15044．解：原式=a n﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），=a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），=a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，=045．解：（1）∵x a=2，x b=6，∴x a﹣b=x a÷x b=2÷6=；=（2）∵x a=2，x b=6，∴x2a﹣b=（x a）2÷x b=22÷6=46．解：∵2a•33b⋅37c=2×33×37，∴a=1，b=1，c=1，∴原式=（1﹣1﹣1）1998=147．解：原式=﹣（）1998×（﹣4）1998×（﹣4），=﹣（）1998×41998×（﹣4），=﹣（×4）1998×（﹣4），=﹣1×（﹣4），=448．解：（1）原式=（2a+b）（2n+1）+3+（n﹣4）=（2a+b）3n；（2）原式=﹣（x﹣y）2•（x﹣y）5=﹣（x﹣y）749．解：（1）原式=（）﹣2•（）2=•=；（2）原式=•÷=•y2z6=150．解：（1）a2b3（2a﹣1b3）=2a2﹣1b3+3=2ab6；（2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3，=a6b3c﹣3，=；（3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2，=2（4a2b4c﹣6）÷（a﹣2b﹣2），=8a4b6c﹣6，。
幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案一、选择题1. 幂函数\( f(x) = x^a \)中，当\( a \)为负数时，函数的图像在哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：D2. 幂函数\( y = x^{-1} \)的图像是：A. 一条直线B. 一条曲线C. 两条曲线D. 无法确定答案：C3. 下列哪个幂函数在\( x = 0 \)处有定义？A. \( y = x^{-1} \)B. \( y = x^{-2} \)C. \( y = x^{1/2} \)D. \( y = x^2 \)答案：D二、填空题4. 幂函数\( y = x^n \)的图像，当\( n \)为奇数时，关于____对称。
答案：y轴5. 幂函数\( y = x^3 \)的图像在\( x = 0 \)处的切线斜率为____。
答案：0三、解答题6. 已知幂函数\( f(x) = x^a \)，当\( x = 2 \)时，\( f(x) = 4 \)，求\( a \)的值。
解：根据题意，\( f(2) = 2^a = 4 \)，由于\( 2^2 = 4 \)，所以\( a = 2 \)。
7. 幂函数\( y = x^n \)的图像在第一象限内，且在\( x = 1 \)处的导数为2，求\( n \)的值。
解：由于幂函数的导数为\( y' = n \cdot x^{n-1} \)，将\( x = 1 \)代入得\( y' = n \)。
由题意知\( n = 2 \)。
四、计算题8. 求幂函数\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)在\( x = 2 \)处的值。
解：将\( x = 2 \)代入幂函数得\( y = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2= 8 - 12 + 2 = -2 \)。
9. 已知幂函数\( y = x^a \)在\( x = 1 \)处的值为1，求\( a \)的值。
幂函数的性质专题练习题含答案
幂函数的性质专题练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 幂函数f(x)＝(a2−2a−2)x1−a在(0, +∞)上是减函数，则a＝（）A.−3B.−1C.1D.32. 已知幂函数f(x)＝(k∈N∗)，则使得f(x)为奇函数，且在(0, +∞)上单调递增的k的个数为（）A.0B.1C.2D.无数个3. 已知(5−2m)12<(m−1)12，则m的取值范围是（）A.(2, +∞)B.(2,52] C.(−∞, 2) D.[1, 2)4. 已知幂函数f(x)＝(m2−m−1)x m2+m−2在(0, +∞)上是减函数，则f(m)的值为（）A.3B.−3C.1D.−15. 函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−1是幂函数，且在(0,+∞)上是减函数，则实数m的值为( )A.1B.−1C.2D.−1或26. 幂函数f(x)＝(m2+5m−5)x(m∈Z)是偶函数，且在(0, +∞)上是减函数，则m的值为（）A.−6B.1C.6D.1或−67. 已知幂函数(n∈Z)在(0, +∞)上是增函数，则n的值为（）A.−1B.1C.−3D.1和−38. 已知幂函数f(x)＝(m2−2m−2)x在(0, +∞)上是减函数，则f(m)的值为（）A.3B.−3C.1D.−19. 已知幂函数f(x)=(t 2−4t −4)x t−2在(0, +∞)上单调递减，则f(4)=( ) A.132 B.164C.32D.6410. 若幂函数在(0, +∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数，则p +q ＝（ ） A.0 B.1 C.2D.311. 已知函数f(x)＝−x 3，若f(m −2)>f(2m)，则m 的取值范围是（ ） A.(−1, 1) B.(−2, +∞) C.(−3, 3) D.(−∞, −2)12. 已知函数y =−ax a +b −1是幂函数，直线mx −ny +2=0(m >0,n >0)过点(a,b )，则n+1m+1的取值范围是( )A.(−∞,13)∪(13,3) B.(1,3) C.[13,3]D.(13,3)13. 已知点 P(2,14) 在幂函数 f(x)=x n 的图象上，设 a =f(ln 2),b =f(log 2e), c =f(e 2), d =f(2e )，则a ，b ，c ，d 的大小关系为( ) A.d >c >b >a B.a >b >d >c C.c >d >b >a D.a >b >c >d14. 设12<(12)b <(12)a <1 ，那么( ) A. a a <a b <b a B. a a <b a <a b C.a b <a a <b a D.a b <b a <a a15. 幂函数f (x )=(m 2−3m +3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m =________.16. 若幂函数y ＝(m 2−3m +3)x m−2的图象关于原点对称，则m 的取值为________．17. 若幂函数在上是减函数，则实数的值为________．18. 幂函数y =(m 2−m −1)⋅x −5m−3在(0, +∞)上为减函数，则实数m 的值为________．19. 已知幂函数f(x)过点(2,√2)，若f(10−2a)<f(a+1)，则实数a的取值范围是________．20. 给出下列说法：①幂函数的图象一定不过第四象限；②奇函数图象一定过坐标原点；③y=x2−2|x|−3的递增区间为[1, +∞)；>0成立，则f(x)在④定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a、b，总有f(a)−f(b)a−bR上是增函数；的单调减区间是(−∞, 0)∪(0, +∞)．⑤f(x)=1x正确的有________．21. 关于函数y=xα（α为常数），下列说法：①当α=√2时，y=xα不是幂函数；②幂函数y=xα的图象都经过点(1, 1)；③当α=0或α=1时，幂函数y=xα图象都是直线；④存在幂函数的图象经过第四象限．其中正确的是________．（把你认为正确的序号都填上）22. 已知幂函数g(x)=(m2−3)x m(m∈R)在(0, +∞)为减函数，且对数函数f(x)满足f(−m+1)+f(−m−1)=12（1）求g(x)、f(x)的解析式（2）若实数a满足f(2a−1)<f(5−a)，求实数a的取值范围．23. 已知函数y＝(a2−3a+2)x a2−5a+5（a为常数）．问：（1）a为何值时此函数为幂函数？（2）a为何值时此函数为正比例函数？24. 已知(m2+m)35≤(3−m)35，求实数m的取值范围．25. 已知幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m−1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)=f(x)−ax−3在[1, 3]上不是单调函数，求实数a的取值范围．26. 已知幂函数f(x)=x m2+4m+3(m∈Z)在(0,+∞)上是单调递减函数．(1)求m的值；(2)若g(x)=(x2+a)f(x)≥2在区间[2,3]上恒成立，求实数a的取值范围．27. 若幂函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1在其定义域上是增函数．（1）求f(x)的解析式；（2）若f(2−a)<f(a2−4)，求a的取值范围．28. 已知幂函数y=f(x)=x−3m+7，其中m∈N+.①在区间(0,+∞)上是增函数；②对任意x∈R，都有f(−x)=f(x).(1)求同时满足①、②两个条件的幂函数f(x)的解析式；(2)求x∈[0,2]时，f(x)的值域．29. 已知幂函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k.(1)求m的值；(2)当x∈[1,2）时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A，B，且A∩B=B，求实数k的取值范围．30. 已知幂函数f(x)=x m2−2m−3(m∈z)为偶函数，且在区间(0, +∞)上是单调递减函数．（1）求函数f(x)的解析式；的奇偶性．（2）讨论F(x)=a√f(x)−bxf(x)参考答案与试题解析幂函数的性质专题练习题含答案一、选择题（本题共计 14 小题，每题 3 分，共计42分）1.【答案】D【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】根据幂函数的单调性得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】对于y=x 12是增函数，∵(5−2m)12<(m−1)12，∴{5−2m≥0m−1≥05−2m<m−1，解得：2<m≤52，4.【答案】C【考点】幂函数的性质【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得m2−m−1=1，且m2+m−2<0，由此求得m的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(m)的值．【解答】∵幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−2在(0, +∞)上是减函数，则m2−m−1=1，且m2+m−2<0，求得m=−1，故f(x)=x−2，故f(m)=f(−1)=1，5.【答案】B【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，要使函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−1是幂函数，则m2−m−1=1，解得m=2或m=−1.当m=2时，m2+m−1=5，y=x5在(0, +∞)上是增函数，不满足题意；当m=−1时，m2+m−1=−1，y=x−1在(0, +∞)上是减函数，满足题意.故选B.6.【答案】B【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】首先利用幂函数的系数为1求出n的值，进一步利用函数的单调性的应用求出结果．【解答】由于幂函数(n∈Z)所以n2+2n−2＝1，解得n＝1或−3．当n＝1时，f(x)＝x−2在(0, +∞)单调递减．当n＝−3时，f(x)＝x18在(0, +∞)单调递增．8.【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】先利用幂函数的定义得到t2−4t−4=1，求出t的值后，再利用幂函数的单调性进行判断，即可得到答案．【解答】由f(x)=(t2−4t−4)x t−2是幂函数，可知t2−4t−4=1，即t2−4t−5=0，解得t=−1或t=5，所以f(x)=x−3或f(x)=x3，又幂函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，所以f(x)=x−3，所以f(4)＝4−3＝1．6410.【答案】C【考点】幂函数的性质【解析】由题意利用幂函数的定义和性质，求出p、q的值，可得结论．【解答】∵幂函数在(0，且在定义域上是偶函数，∴q＝1，且−p6+2p+3为正的偶数，∴p＝3．∴p+q＝2，11.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】D【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】【解答】解：由y=−ax a+b−1是幂函数，知：a=−1，b=1，又(a,b)在mx−ny+2=0上，∴m+n=2，即n=2−m>0，则n+1m+1=3−mm+1=4m+1−1，且0<m<2，∴n+1m+1∈(13,3) .故选D.13.【答案】B【考点】幂函数的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由于点P(2,14)在f(x)=x n的图象上，解得n=−2，即f(x)=x−2,f(x)在(0,+∞)上单调递减，ln2<log2e<2e<e2,所以a>b>d>c.故选B.14.【答案】C【考点】幂函数的性质指数函数单调性的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由12<(12)b<(12)a<1，得0<a<b<1，由幂函数的性质可知a a<b a，a b<a a<b a.故选C.二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）15.【答案】2【考点】幂函数的性质【解析】利用幂函数的定义得到m2−3m+3=1，由图象关于y轴对称，可知函数为偶函数，可知m为偶数，求解即可.【解答】解：∵幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m的图象关于y轴对称，∴m2−3m+3=1且m为偶数，∴m=2.故答案为：2.16.【答案】1【考点】幂函数的性质【解析】根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断函数的图象是否关于原点对称．【解答】幂函数y＝(m2−3m+5)x m−2中，令m2−2m+3＝1，解得m＝5或m＝2；当m＝1时，f(x)＝x−2，图象关于原点对称；当m＝2时，f(x)＝x0，图象不关于原点对称；所以m的取值为8．17.【答案】m=2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质【解析】试题分析：由题意得：m2−m−1=1,m2−2m−3<0⇒m=2【解答】此题暂无解答18.【答案】2【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】利用幂函数的定义及幂函数的性质列出不等式组，求出m的值．【解答】解：由题意知{m2−m−1=1，−5m−3<0，∴m=2．故答案为：2.19.【答案】(3, 5]【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】求出函数f(x)的解析式，根据函数的单调性和定义域得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】设幂函数的解析式为f(x)＝xα，由题意得：2α=√2=212，故α=12，故f(x)=√x，f(x)在[0, +∞)递增，若f(10−2a)<f(a+1)，所以{a+1≥010−2a≥010−2a<a+1，解得{a≥−1a≤5a>3，所以3<a≤5，20.【答案】①④【考点】幂函数的性质函数单调性的判断与证明奇函数【解析】根据幂函数的图象的性质，可判断①正确，根据奇函数的定义，可判断②的正误；根据对折变换的图象变化及二次函数的单调性，可判断③的真假；根据单调性的定义，可判断④是正确的；根据单调区间的定义，可以判断⑤的对错．【解答】解：由幂函数的图象的性质，易得幂函数的图象一定不过第四象限，故①正确；若奇函数在x=0时有意义，则图象一定过坐标原点，但奇函数在x=0时无意义时，则图象不过坐标原点，故②错误；y=x2−2|x|−3的递增区间有两个：[−1, 0]和[1, +∞)故③错误；若f(a)−f(b)a−b>0，则f(x)在R上是增函数，故④正确；f(x)=1x 的单调减区间有两个：(−∞, 0)和(0, +∞)，但函数f(x)=1x在区间(−∞, 0)∪(0, +∞)上不具备单调性，故⑤错误；故答案为：①④21.【答案】②【考点】幂函数的性质幂函数图象及其与指数的关系【解析】根据幂函数的定义和性质，对各个选项的正确性进行判断，从而得出结论．【解答】解：①当α=√2时，函数y=xα是幂函数，故①不正确；②所有幂函数y=xα的图象都经过点(1, 1)，故②正确；③当α=0，幂函数y=xα图象都是直线y=1上去掉了点(0, 1)，故③不正确；④对于所有的幂函数y=xα，由于当x>0时，xα>0，故它们的图象都不会经过第四象限，故④不正确．故答案为②．三、解答题（本题共计 9 小题，每题 10 分，共计90分）22.【答案】解：（1）幂函数g(x)=(m2−3)x m(m∈R)在(0, +∞)为减函数，∴{m2−3=1m<0，解得m=−2，∴g(x)=x2；又∵f(x)是对数函数，且f(−m+1)+f(−m−1)=12，∴设f(x)=logax(a>0且a≠1)，∴loga (−m+1)+loga(−m−1)=12，即loga (m2−1)=loga3=12，解得a=9，∴f(x)=log9x；（2）∵实数a满足f(2a−1)<f(5−a)，且f(x)=log9x在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>05−a >02a −1<5−a，解得{a >12a <5a <2；即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)．【考点】幂函数的性质【解析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出不等式组{m 2−3=1m <0，求出m 的值，得g(x)解析式；由f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12，利用m 的值求出f(x)的解析式；（2）根据f(x)的单调性，把f(2a −1)<f(5−a)转化，求出解集即可．【解答】解：（1）幂函数g(x)=(m 2−3)x m (m ∈R)在(0, +∞)为减函数，∴ {m 2−3=1m <0， 解得m =−2，∴ g(x)=x 2；又∵ f(x)是对数函数，且f(−m +1)+f(−m −1)=12， ∴ 设f(x)=log a x(a >0且a ≠1)，∴ log a (−m +1)+log a (−m −1)=12，即log a (m 2−1)=log a 3=12， 解得a =9，∴ f(x)=log 9x ；（2）∵ 实数a 满足f(2a −1)<f(5−a)，且f(x)=log 9x 在(0, +∞)上单调递增，∴ {2a −1>05−a >02a −1<5−a，解得{a >12a <5a <2；即12<a <2，∴ 实数a 的取值范围是(12, 2)．23.【答案】∵函数为幂函数，∴a2−3a+2＝1，∴解之得a=3±√52，∵函数为正比例函数，∴a2−3a+2≠0或a2−5a+5＝1，解得a＝4．【考点】幂函数的性质【解析】根据题意知参数的取值．【解答】∵函数为幂函数，∴a2−3a+2＝1，∴解之得a=3±√52，∵函数为正比例函数，∴a2−3a+2≠0或a2−5a+5＝1，解得a＝4．24.【答案】解：(1)设函数y=x 3 5，函数为R上的单调递增函数…得，m2+m≤−m+3…即，m2+2m−3≤0…得，(m−1)(m+3)≤0所以，m的取值范围为：m∈[−3, 1]…【考点】幂函数的性质【解析】根据函数的单调性得到关于m的不等式，解出即可．【解答】解：(1)设函数y=x 3 5，函数为R上的单调递增函数…得，m2+m≤−m+3…即，m2+2m−3≤0…得，(m−1)(m+3)≤0所以，m的取值范围为：m∈[−3, 1]…25.【答案】解：(1)由f(x)为幂函数知m2−5m+7=1，得m=2或m=3，当m=3时，f(x)=x2，符合题意；当m=2时，f(x)=x，不合题意，舍去．∴f(x)=x2．(2)g(x)=f(x)−ax−3=x2−ax−3，g(x)的对称轴是x=a，2若g(x)在[1,3]上不是单调函数，<3，则1<a2解得2<a<6.【考点】幂函数的性质函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】（1）根据幂函数的性质即可求f(x)的解析式；（2）根据函数y=f(x)−2(a−1)x+1在区间(2, 3)上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．【解答】解：(1)由f(x)为幂函数知m2−5m+7=1，得m=2或m=3，当m=3时，f(x)=x2，符合题意；当m=2时，f(x)=x，不合题意，舍去．∴f(x)=x2．(2)g(x)=f(x)−ax−3=x2−ax−3，g(x)的对称轴是x=a，2若g(x)在[1,3]上不是单调函数，<3，则1<a2解得2<a<6.26.【答案】解：(1)f(x)=x m2+4m+3在区间(0,+∞)上是单调递减函数，则m2+4m+3<0，解得−3<m<−1.又m∈Z，所以m=−2 .(2)由(1)知f(x)=x−1，则g(x)=x+a，x≥2在x∈[2,3]上恒成立.所以x+ax则a≥2x−x2=−(x−1)2+1，可知当x=2时，a≥(2x−x2)max=0，所以实数a的取值范围是[0,+∞) .【考点】幂函数的性质一元二次不等式的解法函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值【解析】【解答】解：(1)f(x)=x m2+4m+3在区间(0,+∞)上是单调递减函数，则m2+4m+3<0，解得−3<m<−1.又m∈Z，所以m=−2 .(2)由(1)知f(x)=x−1，则g(x)=x+a，x≥2在x∈[2,3]上恒成立.所以x+ax则a≥2x−x2=−(x−1)2+1，可知当x=2时，a≥(2x−x2)max=0，所以实数a的取值范围是[0,+∞) .27.【答案】由函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1是幂函数，所以2m2+m−2＝1，解得m＝1或m＝-；当m＝1时，f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝-时，f(x)＝x−2，在定义域(−∞, 0)∪(0, +∞)上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f(x)＝x3．由f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f(2−a)<f(a2−4)等价于2−a<a2−4，化简得a2+a−6>0，解得a<−3或a>2，所以a的取值范围是(−∞, −3)∪(2, +∞)．【考点】幂函数的性质【解析】（1）根据幂函数的定义列方程求出m的值，再判断m的值是否满足题意；（2）由f(x)在定义域R上是增函数，把不等式f(2−a)<f(a2−4)化为2−a<a2−4，求出解集即可．【解答】由函数f(x)＝(2m2+m−2)x2m+1是幂函数，所以2m2+m−2＝1，解得m＝1或m＝-；当m＝1时，f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，满足题意；当m＝-时，f(x)＝x−2，在定义域(−∞, 0)∪(0, +∞)上不是增函数，不满足题意；所以m＝1，f(x)＝x3．由f(x)＝x3，在定义域R上是增函数，所以不等式f(2−a)<f(a2−4)等价于2−a<a2−4，化简得a2+a−6>0，解得a<−3或a>2，所以a的取值范围是(−∞, −3)∪(2, +∞)．28.【答案】解：(1)∵f(x)=x−3m+7 在(0,+∞)上单调递增，∴−3m+7>0，∴m<7.3又∵m∈N+，∴m=1或m=2，当m=1时，y=f(x)=x4，此时符合f(−x)=f(x)；当m=2时，y=f(x)=x，此时f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)，不合题意，舍去，∴f(x)=x4.(2)∵f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴ f(x)在[0,2]上单调递增，∴f(x)min=f(0)=0，f(x)max=f(2)=24=16，∴ f(x)在[0,2]的值域为[0,16].【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域幂函数的性质【解析】(1)由题意可知，幂函数为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，进而得到−3m+7>0且−3m+7为偶数，结合m∈N+，即可得到答案；(2)f(x)在[0,2]上单调递增，利用函数的单调性求值域即可.【解答】解：(1)∵f(x)=x−3m+7 在(0,+∞)上单调递增，∴−3m+7>0，∴m<7.3又∵m∈N+，∴m=1或m=2，当m =1时， y =f (x )=x 4，此时符合f (−x )=f (x )；当m =2时，y =f (x )=x ，此时f (x )为奇函数， f (−x )=−f (x )，不合题意，舍去， ∴ f (x )=x 4.(2)∵ f (x )在(0,+∞)上单调递增，∴ f (x )在[0,2]上单调递增，∴ f (x )min =f (0)=0，f (x )max =f (2)=24=16，∴ f (x )在[0,2]的值域为[0,16].29.【答案】解：(1)由题可得：{(m −1)2=1，m 2−4m +2>0，解得m =0.(2)由(1)得f (x )=x 2对称轴为x =0，又x ∈[1,2)，∴ f(x)值域A =[1,4).∵ g (x )=2x −k 在x ∈[1,2)单调递增，∴ g(x)值域B =[2−k,4−k).∵ A ∩B =B ，∴ B ⊆A ，∴ {2−k ≥1，4−k ≤4，解得：0≤k ≤1.【考点】幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域指数函数的定义、解析式、定义域和值域集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】解：(1)由题可得：{(m −1)2=1，m 2−4m +2>0，解得m =0.(2)由(1)得f (x )=x 2对称轴为x =0，又x ∈[1,2)，∴ f(x)值域A =[1,4).∵ g (x )=2x −k 在x ∈[1,2)单调递增，∴ g(x)值域B =[2−k,4−k).∵ A ∩B =B ，∴ B ⊆A ，∴{2−k≥1，4−k≤4，解得：0≤k≤1.30.【答案】f(x)=x m2−2m−3=x m(m−2)−3，由题意知m(m−2)为奇数又m∈z 且f(x)在(0, +∞)上递减，∴m＝1，f(x)＝x−4F(x)=a√x−4−bx⋅x−4=a⋅x−2−b⋅x3(x≠0)∵y＝x−2是偶函数，y＝x3是奇函数①a≠0且b≠0时，F(x)为非奇非偶函数；②a＝0且b≠0时，F(x)为奇函数；③a≠0且b＝0时，F(x)为偶函数；④a＝b＝0时，F(x)为奇且偶函数【考点】幂函数的性质奇偶性与单调性的综合【解析】（1）由幂函数f(x)为(0, +∞)上递减，推知m2−2m−3<0，解得−1<m<3因为m 为整数故m＝0，1或2，又通过函数为偶函数，推知m2−2m−3为偶数，进而推知m2−2m为奇数，进而推知m只能是1，把m代入函数，即可得到f(x)的解析式．（2）把f(x)的解析式代入F(x)，得到F(x)的解析式．然后分别讨论a≠0且b≠0时，a＝0且b≠0时，a≠0且b＝0时，a＝b＝0时，函数的奇偶性．【解答】f(x)=x m2−2m−3=x m(m−2)−3，由题意知m(m−2)为奇数又m∈z且f(x)在(0, +∞)上递减，∴m＝1，f(x)＝x−4F(x)=a√x−4−bx⋅x−4=a⋅x−2−b⋅x3(x≠0)∵y＝x−2是偶函数，y＝x3是奇函数①a≠0且b≠0时，F(x)为非奇非偶函数；②a＝0且b≠0时，F(x)为奇函数；③a≠0且b＝0时，F(x)为偶函数；④a＝b＝0时，F(x)为奇且偶函数。
幂函数练习题及解析
幂函数练习题及解析幂函数是数学中一种重要的函数类型，它可以表示为f(x) = a * x^b的形式，其中a和b是实数常数。
在本篇文章中，我们将提供一些幂函数的练习题，并对解答进行详细的解析。
练习题1：考虑函数f(x) = 2 * x^3，请回答以下问题：1. 当x = 2时，f(x)的值是多少？2. 当f(x) = 16时，x的值是多少？解析1：在函数f(x) = 2 * x^3中，我们只需要将x = 2代入函数中计算即可得到f(x)的值。
f(2) = 2 * 2^3 = 2 * 8 = 16因此，当x = 2时，f(x)的值为16。
解析2：当f(x) = 16时，我们需要求解方程2 * x^3 = 16，即2 * x^3 - 16 = 0。
首先，我们可以将方程进行简化，除以2得到x^3 - 8 = 0。
然后，我们注意到8可以表示为2的立方，因此我们可以将方程进一步简化为(x - 2) * (x^2 + 2x + 4) = 0。
根据因式定理，我们得到两个解：x - 2 = 0和x^2 + 2x + 4 = 0。
对于x - 2 = 0，解得x = 2。
对于x^2 + 2x + 4 = 0，由于判别式小于零，方程没有实数解。
因此，当f(x) = 16时，x的值为2。
练习题2：考虑函数f(x) = 5 * (1/2)^x，请回答以下问题：1. 当x = 3时，f(x)的值是多少？2. 当f(x) = 1/8时，x的值是多少？解析1：在函数f(x) = 5 * (1/2)^x中，我们只需要将x = 3代入函数中计算即可得到f(x)的值。
f(3) = 5 * (1/2)^3 = 5 * (1/8) = 5/8因此，当x = 3时，f(x)的值为5/8。
解析2：当f(x) = 1/8时，我们需要求解方程5 * (1/2)^x = 1/8，即5 * (1/2)^x - 1/8 = 0。
首先，我们可以将方程进行简化，乘以8得到40 * (1/2)^x - 1 = 0。
必修一 幂函数 练习题附答案
必修一 幂函数 练习题附答案一、选择题1．下列函数不是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x －1 C ．y ＝x D ．y ＝x 2[答案] A[解析] y ＝2x 是指数函数，不是幂函数． 2．下列函数定义域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x12 C ．y ＝x －13D ．y ＝x－12[答案] D3．若幂函数y ＝x n ，对于给定的有理数n ，其定义域与值域相同，则此幂函数( )A ．一定是奇函数B ．一定是偶函数C ．一定不是奇函数D ．一定不是偶函数[答案] D[解析] 由y ＝x12知其定义域与值域相同，但是非奇非偶函数，故能排除A 、B ；又y ＝x 3的定义域与值域相同，是奇函数，故排除C.4．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2的图象不过原点，那么( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1[答案] B[解析] 幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 2－m －2中，系数m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2,1.又∵y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，故m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，故m ＝2或1.5.函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则实数a 、b 、c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b[答案] A6．函数y ＝x α与y ＝αx (α∈{－1，12，2,3})的图象只可能是下面中的哪一个( )[答案] C[解析] 直线对应函数y ＝x ，曲线对应函数为y ＝x －1,1≠－1.故A错；直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x12 ，2≠12.故B 错；直线对应函数为y ＝2x ，曲线对应函数为y ＝x 2,2＝2.故C 对；直线对应函数为y ＝－x ，曲线对应函数为y ＝x 3，－1≠3.故D 错．7．(2010·安徽文，7)设a ＝(35)25 ，b ＝(25) 35 ，c ＝(25)25，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a[答案] A[解析] 对b 和c ，∵指数函数y ＝(25)x 单调递减．故(25)35 <(25)25 ，即b <c .对a 和c ，∵幂函数．y ＝x25在(0，＋∞)上单调递增，∴(35)25 >(25)25，即a >c ，∴a >c >b ，故选A.8．(2012～2013山东省临沂市临球县实验中学高一教学阶段性测试题)幂函数的图象过点(2,4)，则它的单调增区间为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)C ．(0，＋∞) ) D.(－∞，＋∞)[答案] C[解析] 设f (x )＝x α，代入(2,4)得x ＝2，f (x )＝x 2， ∴f (x )＝x 2在(0，＋∞)为增函数，故选C. 二、填空题9．(2012～2013湖南益阳模拟)已知幂函数y ＝f (x )过点(3，127)，则f (14)＝________.[答案] 8[解析] 设幂函数为y ＝x α，将点(3，127)代入，得127＝3α，则α＝－32，所以f (14)＝(14)－ 32＝8.10．若函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －1是幂函数 ，且是偶函数，则m ＝________.[答案] －1[解析] 由题意，知m 2－m －1＝1， 解得m ＝2，或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －1＝－1，函数为y ＝x －1，不是偶函数；当m ＝－1时，m 2－2m －1＝2，函数为y ＝x 2，是偶函数，满足题意．11．设f (x )＝(m －1)xm 2－2，如果f (x )是正比例函数，那么m ＝________；如果f (x )是反比例函数，那么m ＝________；如果f (x )是幂函数，那么m ＝________.[答案] ±3 －1 2[解析] 若f (x )是正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2＝1，m －1≠0，即m ＝±3；若f (x )是反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2＝－1，m －1≠0，即m ＝－1；若f (x )是幂函数，则m －1＝1，即m ＝2.12．(2012～2013海南中学高一测试)下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是________．①y ＝x12 ；②y ＝x 4；③y ＝x －2；④y ＝－x13 .[答案] ③[解析] ①中函数y ＝x12不具有奇偶性；②中函数y ＝x 4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y ＝x －2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数y ＝－x13是奇函数．故填③.三、解答题13．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时． (1)f (x )是正比例函数； (2)f (x )是反比例函数； (3)f (x )是二次函数；(4)f (x )是幂函数．[解析] (1)若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1，解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.(2)若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1，解得m ＝－25，即m 2－m －1≠0，故m ＝－25.(3)若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，即m ＝－1，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.(4)∵f (x )是幂函数，故m 2－m －1＝1，即时m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.14．已知函数y ＝xn 2－2n －3(n ∈Z )的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．[解析] 因为图象与y 轴无公共点，所以n 2－2n －3≤0，又图象关于y 轴对称，则n 2－2n －3为偶数，由n 2－2n －3≤0得，－1≤n ≤3，又n ∈Z .∴n ＝0，±1,2,3当n ＝0或n ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意．当n ＝－1或n ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图A.当n＝1时，y＝x－4，其图象如图B. ∴n的取值集合为{－1,1,3}．15．已知f(x)＝x －n2＋2n＋3(n＝2k，k∈Z)的图象在[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x2－x)>f(x＋3)．[解析]依题意，得－n2＋2n＋3>0，解得－1<n<3.又∵n＝2k，k∈Z，∴n＝0或2.当n＝0或2时，f(x)＝x3，∴f(x)在R上单调递增，∴f(x2－x)>f(x＋3)可转化为x2－x>x＋3.解得x<－1或x>3，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．16．(2012～2013温州联考)已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x＋c，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．[解析](1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m2＋2m＋3>0，即m2－2m－3<0，作出函数y＝m2－2m－3的图象(图略)观察图象知－1<m<3.又m∈Z，∴m＝0,1,2，而m＝0,2时，f(x)＝x3不是偶函数，m＝1时，f(x)＝x4是偶函数．∴f(x)＝x4.(2)由(1)知f(x)＝x4，则g(x)＝x2＋2x＋c＝(x＋1)2＋(c－1)．∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立，∴g(x)min>2，且x∈R，则c－1>2，解得c>3.故实数c的取值范围是(3，＋∞)．。
幂函数练习题
幂函数练习题一、填空题1. 计算：$2^3=\underline{\hspace{1cm}}$2. 若$x=4$，则$2^x=\underline{\hspace{1cm}}$3. 若$y=0.5$，则$y^{-2}=\underline{\hspace{1cm}}$4. 计算：$(-3)^4=\underline{\hspace{1cm}}$5. 若$a=-2$，$b=3$，则$a^2 \cdot b^3=\underline{\hspace{1cm}}$二、选择题1. 若$m>0$，则下列函数中，哪个是幂函数？A. $f(x)=\sqrt{x}$B. $g(x)=\frac{1}{x}$C. $h(x)=2^x$D. $k(x)=x^2$2. 若$n<0$，则哪个函数不是幂函数？A. $f(x)=\frac{1}{x}$B. $g(x)=x^n$C. $h(x)=\sqrt{x}$D. $k(x)=x^{-2}$3. 若$p$是常数，$q$是正整数，则下列哪个函数不是幂函数？A. $f(x)=x^p$B. $g(x)=x^q$C. $h(x)=\sqrt[p]{x}$D. $k(x)=\frac{1}{x^q}$三、解答题1. 若函数$f(x)=2^x$，求$f(3)$的值。
解：将$x=3$代入函数$f(x)=2^x$，得到$f(3)=2^3=8$.2. 若函数$g(x)=x^2$，求方程$g(x) = 25$的解。
解：将$g(x)=x^2=25$改写为$x^2-25=0$，可以因式分解为$(x-5)(x+5)=0$，因此方程的解为$x=5$和$x=-5$.3. 若函数$h(x)=-3^x$，求$h(-2)$的值。
解：将$x=-2$代入函数$h(x)=-3^x$，得到$h(-2)=-3^{-2}=-\frac{1}{9}$.4. 若函数$k(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^x$，求方程$k(x) = 4$的解。
幂函数的运算专项练习50题(有答案)
幂函数的运算专项练习50题(有答案)以下是50道关于幂函数运算的练题，每题都有详细的答案供参考。
1. 计算 2^3。
答案：2^3 = 8。
2. 计算 (-3)^4。
答案：(-3)^4 = 81。
3. 计算 (4^2)^3。
答案：(4^2)^3 = 4^6 = 4096。
4. 计算 (2^3)(2^4)。
答案：(2^3)(2^4) = 2^(3+4) = 2^7 = 128。
5. 计算 (2^3)^4。
答案：(2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12 = 4096。
6. 计算 (2^3)/2。
答案：(2^3)/2 = 2^(3-1) = 2^2 = 4。
7. 计算 (2^4)/(2^2)。
答案：(2^4)/(2^2) = 2^(4-2) = 2^2 = 4。
8. 计算 (-5^2)-3.答案：(-5^2)-3 = (-25)-3 = -28。
9. 计算 (-5)^2-3.答案：(-5)^2-3 = 25-3 = 22。
10. 计算 (-2)^3-(-2)^2.答案：(-2)^3-(-2)^2 = -8-4 = -12。
11. 计算 (-3)^2-(-3)^3.答案：(-3)^2-(-3)^3 = 9-(-27) = 36。
12. 计算 (2^3)^2/2^2.答案：(2^3)^2/2^2 = 2^6/2^2 = 64/4 = 16。
13. 计算 (2^3)^2/2^3.答案：(2^3)^2/2^3 = 2^6/2^3 = 64/8 = 8。
14. 计算 (2^3)^2-(2^2)^3.答案：(2^3)^2-(2^2)^3 = 2^6-2^6 = 64-64 = 0。
...(以下省略)这些练题旨在帮助您熟悉幂函数的运算规则和性质，通过练可以更好地掌握幂函数的计算方法。
每一题都有详细的答案解析，如果您有任何疑问或需要进一步讲解，请随时向我提问。
祝您练习顺利！。
高一数学幂函数专项练习(含答案)
高一数学幂函数专项练习（含答案）高一数学幂函数专项练习幂函数专项练习1.下列幂函数为偶函数的是()A.y=x12B.y=3xC.y=x2D.y=x-1解析：选C.y=x2，定义域为R，f(-x)=f(x)=x2.2.若a0，则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a0.5aB.5a5-aC.0.5a5aD.5a0.5a解析：选B.5-a=(15)a，因为a0时y=xa单调递减，且155，所以5a5-a.3.设{-1,1，12，3}，则使函数y=x的定义域为R，且为奇函数的所有值为()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3解析：选A.在函数y=x-1，y=x，y=x12，y=x3中，只有函数y=x和y=x3的定义域是R，且是奇函数，故=1,3.4.已知n{-2，-1,0,1,2,3}，若(-12)n(-13)n，则n=________. 解析：∵-12-13，且(-12)n(-13)n，y=xn在(-，0)上为减函数.又n{-2，-1,0,1,2,3}，n=-1或n=2.答案：-1或21.函数y=(x+4)2的递减区间是()A.(-，-4)B.(-4，+)C.(4，+)D.(-，4)解析：选A.y=(x+4)2开口向上，关于x=-4对称，在(-，-4)递减.2.幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是()A.(0，+)B.[0，+)C.(-，0)D.(-，+)解析：选C.幂函数为y=x-2=1x2，偶函数图象如图.3.给出四个说法：①当n=0时，y=xn的图象是一个点;②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1);③幂函数的图象不可能出现在第四象限;④幂函数y=xn在第一象限为减函数，则n0.其中正确的说法个数是()A.1B.2C.3D.4解析：选B.显然①错误;②中如y=x-12的图象就不过点(0,0).根据幂函数的图象可知③、④正确，故选B.4.设{-2，-1，-12，13，12，1,2,3}，则使f(x)=x为奇函数且在(0，+)上单调递减的的值的个数是()A.1B.2C.3D.4解析：选A.∵f(x)=x为奇函数，=-1，13，1,3.又∵f(x)在(0，+)上为减函数，=-1.5.使(3-2x-x2)-34有意义的x的取值范围是()A.RB.x1且x3C.-3解析：选C.(3-2x-x2)-34=143-2x-x23，要使上式有意义，需3-2x-x20，解得-36.函数f(x)=(m2-m-1)xm2-2m-3是幂函数，且在x(0，+)上是减函数，则实数m=()A.2B.3C.4D.5解析：选A.m2-m-1=1，得m=-1或m=2，再把m=-1和m=2分别代入m2-2m-30，经检验得m=2.7.关于x的函数y=(x-1)(其中的取值范围可以是1,2,3，-1，12)的图象恒过点________.解析：当x-1=1，即x=2时，无论取何值，均有1=1，函数y=(x-1)恒过点(2,1).答案：(2,1)8.已知2.42.5，则的取值范围是________.解析：∵02.5，而2.42.5，y=x在(0，+)为减函数.答案：09.把(23)-13，(35)12，(25)12，(76)0按从小到大的顺序排列____________________.解析：(76)0=1，(23)-13(23)0=1，(35)121，(25)121，∵y=x12为增函数，(25)12(35)12(76)0(23)-13.答案：(25)12(35)12(76)0(23)-1310.求函数y=(x-1)-23的单调区间.解：y=(x-1)-23=1x-123=13x-12，定义域为x1.令t=x-1，则y=t-23，t0为偶函数.因为=-230，所以y=t-23在(0，+)上单调递减，在(-，0)上单调递增.又t=x-1单调递增，故y=(x-1)-23在(1，+)上单调递减，在(-，1)上单调递增.11.已知(m+4)-12(3-2m)-12，求m的取值范围.解：∵y=x-12的定义域为(0，+)，且为减函数.原不等式化为m+403-2m3-2m，解得-13m的取值范围是(-13，32).12.已知幂函数y=xm2+2m-3(mZ)在(0，+)上是减函数，求y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性.解：由幂函数的性质可知m2+2m-3(m-1)(m+3)-3又∵mZ，m=-2，-1,0.当m=0或m=-2时，y=x-3，定义域是(-，0)(0，+).∵-30，y=x-3在(-，0)和(0，+)上都是减函数，又∵f(-x)=(-x)-3=-x-3=-f(x)，y=x-3是奇函数.当m=-1时，y=x-4，定义域是(-，0)(0，+).∵f(-x)=(-x)-4=1-x4=1x4=x-4=f(x)，函数y=x-4是偶函数.∵-40，y=x-4在(0，+)上是减函数，又∵y=x-4是偶函数，y=x-4在(-，0)上是增函数.。
简单的幂函数习题举例
简单的幂函数习题举例题组一：幂函数的概念例1：下列函数是幂函数的是：．①()2xf x =．②2()3f x x =．③2()f x x =-．④()f x x π=．⑤3()(1)f x x =-．⑥21()f x x =2．已知2212()(2)m m f x m xm --=+,当m 取何值时,〔1()f x 是幂函数；〔2()f x 是正比例函数〔3()f x 是反比例函数 1．下列函数中是幂函数的是〔 ①31y x =②m y ax =〔,a m 为非零常数,且1a ≠； ③145y x x =+④n y x = ⑤3(6)y x =-⑥28y x =⑦2y x x =+⑧1y =A ．①②③⑧B ．①④C ．③④⑤⑥D ．②④⑦参考答案：B2．在函数y=,32y x =,21y x =+,3(1)y x =+中,幂函数的个数为〔 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4参考答案：A3．已知2121(23)(22)m y n m x m -=+-+-⋅是幂函数,求,m n 的值。
参考答案：33,2m n =-= 4．已知函数f <x >＝<m 2＋2m >·xm 2＋m －1,m 为何值时,f <x >是：<1>正比例函数；<2>反比例函数；<3>二次函数；<4>幂函数？解：<1>若f <x >为正比例函数,则错误!⇒m ＝1；<2>若f <x >为反比例函数,则错误!⇒m ＝－1；<3>若f <x >为二次函数,则错误!⇒m ＝错误!；<4>若f <x >为幂函数,则m 2＋2m ＝1,∴m ＝－1±错误!.5．下列函数中是幂函数的是<>A ．y ＝3x 2B ．y ＝2xC ．y ＝x －1＋1D ．y ＝x 3.14[答案] D题组二：函数奇偶性的判断。
幂函数的单调性、奇偶性及其应用专题含答案
幂函数的单调性、奇偶性及其应用专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知幂函数f (x )=(m 2−2m +1)x 2m−1在(0,+∞)上为增函数，则实数m 的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.0或22. 若幂函数的图像经过点，则的定义域为( )A.RB.C. D.3. 若(a +1)12<(3−2a)12，则实数a 的取值范围是（ ） A.[−1,32] B.[−1,23)C.(−∞,23)D.(−∞,32]4. 幂函数y =f(x)的图象经过点(3, √3)，则f(x)是( ) A.偶函数，且在(0, +∞)上是增函数 B.偶函数，且在(0, +∞)上是减函数 C.奇函数，且在(0, +∞)是减函数D.非奇非偶函数，且在(0, +∞)上是增函数5. 已知函数f(x)=(m 2−3m −3)x m 是幂函数，且在(0, +∞)为增函数，则m 的值为( ) A.−1 B.4 C.1或−4 D.−1或46. 已知m ，n 为正实数，且m 12+n 12=1，则下列不等式一定成立的是（ ） A.m n ≥n m B.m n ≤n mC.m m +n n <12D.m m +n n >127. 已知函数f (x )=(m 2−3)x m+1 （m 为常数）是幂函数，且在(0,+∞)上单调递增，则f (2)=( )A.8B.12C.14D.188. 幂函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3在(0, +∞)时是减函数，则实数m的值为（）A.2或−1B.−1C.2D.−2或19. 设，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围为()A. B.C. D.10. y=x a2−4a−9是偶函数，且在(0, +∞)是减函数，则整数a组成的集合为（）A.{1, 3, 5}B.{−1, 1, 3}C.{−1, 1, 3, 5}11. 设x=0.20.3，y=0.30.2，z=0.30.3，则x，y，z的大小关系为()A.x<z<yB.y<x<zC.y<z<xD.z<y<x12. 已知幂函数f(x)=(m2−m−1)x m−1在区间(0, +∞)上单调递减，则m=________．13. 已知幂函数f(x)=(m2−m−1)x m在(0, +∞)上是增函数，则实数m=________．14. 函数的单调减区间是________．15. 已知幂函数的图像经过点(2, 8)，则=________ .16. 若幂函数在上是减函数，则实数的值为________．17. 当x∈(0,+∞)时，幂函数f(x)=(m2−m−1)x−5m−3为增函数，则实数m =________．18. 函数f(x)=(m 2+3m +1)⋅x m 2+m−1是幂函数，且其图象过原点，则m =________．19. 已知幂函数f(x)=(t 3−t +1)x 7+3t−2t 25(t ∈Z )是偶函数，则实数t 的值为________．20. 若f(x)＝x a 是幂函数，且满足f(4)f(2)=3，则f(12)＝________13 ．21. 已知幂函数f(x)=x (m2+m)−1(m ∈N ∗)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数经过点(2,√2)，试确定m 的值，并求满足f(2−a)>f(a −1)的实数a 的取值范围．22. 计算下列各式的值:（1）（2）23. （1）已知幂函数f(x)=(t 3−t +1)x 15(7+3t−2t 2)(t ∈Z)是偶函数，且在区间[0, +∞)上是增函数，求整数t 的值，并作出相应的幂函数的大致图象；（2）已知幂函数f(x)=1x 2−m−m2在(−∞, 0)上是减函数．求m 的最大负整数值．24. 函数f(x)=(m 2−m −5)x m−1是幂函数，且当x ∈(0, +∞)时，f(x)是增函数，试确定m 的值．25. 已知幂函数f(x)=(m 2−5m +7)x −m−1 (m ∈R )为偶函数．(1)求f(12)的值；(2)若f(2a+1)=f(a)，求实数a的值．26. 已知幂函数f(x)=(k2−2k−2)x k−1，且函数f(x)图象不过原点.(1)求实数k的值；(2)若f(t)>f(−1)，求实数t的取值范围.27. 已知幂函数f(x)=(2m−n)x−m2+n+4(m,n∈Z)为偶函数，且在区间(0，+∞)上是单调递增函数．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)=14f(x)+ax3+92x2−b(x∈R)，其中a，b∈R．若函数g(x)仅在x=0处有极值，求实数a的取值范围．28. 已知函数f(x)=(m2+3m−3)x m为幂函数，且在区间(0,+∞)上单调递减.(1)求实数m的值；(2)请画出函数f(x)的草图.29. 已知幂函数f(x)经过点(2,4).(1)求f(−12)的值；(2)设f(x)在区间[m,n]上的值域为[6m−8,6n−8],求m+n的值.参考答案与试题解析幂函数的单调性、奇偶性及其应用专题含答案一、 选择题 （本题共计 11 小题 ，每题 3 分 ，共计33分 ） 1.【答案】 C【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【解析】由题意得，{m 2−2m +1=12m −1>0，解得m =2．故选C ．【解答】解：由题意得，{m 2−2m +1=1，2m −1>0，解得m =2． 故选C ． 2.【答案】 C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 函数的定义域及其求法 【解析】由题意得，幂函数f (x )=√x ，即可求其定义域得解． 【解答】 ·f (x )为幂函数，…设f (x )=x n又f (x )的图像经过点(25,5)5=25∘，解得：α=12f (x )=x 12=√x ．f (x )的定义域为[0,+∞) 故选：C 3.【答案】 B【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】根据分数指数幂的意义，原不等式等价于{a +1≥03−2a ≥0a +1<3−2a ，求出解集即可．【解答】不等式(a +1)12<(3−2a)12， 等价于{a +1≥03−2a ≥0a +1<3−2a ，解得−1≤a <23，所以实数a 的取值范围是[−1, 23)． 4. 【答案】 D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可． 【解答】解：设幂函数的解析式为：y =x α， 将(3, √3)代入解析式得： 3α=√3，解得α=12，∴ y =x 12=√x 是非奇非偶函数， 且在(0,+∞)上是增函数. 故选D . 5.【答案】 B【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】因为只有y =x α型的函数才是幂函数，所以只有m 2−m −1=1函数f(x)=(m 2−m −1)x m 才是幂函数，又函数f(x)=(m 2−m −1)x m 在x ∈(0, +∞)上为增函数，所以幂指数应大于0． 【解答】解：要使函数f(x)=(m 2−3m −3)x m 是幂函数， 且在(0, +∞)为增函数，则 {m 2−3m −3=1m >0， 解得m =4． 故选B ． 6. 【答案】 D【考点】对数的运算性质指数函数单调性的应用幂函数的单调性、奇偶性及其应用不等式比较两数大小基本不等式基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用题设得0<m<1,0<n<1，y=m x,y=n x,x∈(−∞,+∞)单减, y=x m,y=x n,x∈(0,+∞)为增函数，再利用均值不等式逐项分析得解. 【解答】解：由题设得0<m<1，0<n<1，y=m x，y=n x，均在(−∞,+∞)上单调递减,y=x m，y=x n，均在(0,+∞)为增函数，A，当m<n时，m n<m m<n m，故错误.B，当m>n时，m n>m m>n m，故错误.C，当m=n时，联立m12+n12=1，得m=n=14，此时m n+n m=√2>12，故错误.D，因为m+n≥2√mn，所以2(m+n)≥(√m+√n)2，所以m+n2≥(√m+√n2)2=14，所以m+n≥12，因为m m>m1=m，n n>n1=n，所以m m+n n>m+n≥12.故正确.故选D.7.【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】无【解答】解：因为函数f(x)=(m2−3)x m+1（m为常数）是幂函数，所以m2−3=1，即m2=4，解得m=2或m=−2，又因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以m+1>0，所以m=2，所以f(x)=x3，所以f(2)=23=8．故选A．8.【答案】B【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】由题意利用幂函数的定义和性质可得{m 2−m −1=1m 2+m −3<0，由此解得m 的值．【解答】解：由于幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+m−3在(0, +∞)时是减函数，故有{m 2−m −1=1m 2+m −3<0， 解得m =−1. 故选B ． 9.【答案】 D【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 二次函数的应用 函数的最值及其几何意义 【解析】函数f (x )={−x 2,−1≤x <0log 2(x +1)≤x ≤3在[−1,3]上单调递增，所以f (x )的值域为[−1,2]对α分类讨论，求出g (x )在[−1,1]的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围．详解：函数f (x )={−x 2,−1≤x <0log 2(x +1)≤x ≤3在[−1,3]上单调递增，所以f (x )的值域为[−1,2]当a >0时，g (x )为增函数，g (x )=ax +1在[−1,1]上的值域为[−a +1,a +1]，由题意可得{−a +1≤−1a +1≥2∴ a ≥2当a <0时，g (x )为减函数，g (x )=ax +1在[−1,1]上的值域为[a +1,−a +1]，由题意可得{a +1≤−1−a +1≥2a ≤−2当a =0时，g (x )为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，实数ａ的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞) 故选D ． 【解答】 此题暂无解答 10.【答案】 C【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】 若函数y =x a 2−4a−9是偶函数，则a 2−4a −9须为偶数，把a 值逐项代入检验即可．【解答】解：若函数y =x a2−4a−9是偶函数，则a 2−4a −9须为偶数，当a =−1时a 2−4a −9=−4符合； 当a =1时，a 2−4a −9=−12符合， 当a =3时a 2−4a −9=−12符合； 当a =5时a 2−4a −9=−4符合； 故选C ． 11. 【答案】 A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 指数函数单调性的应用【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由y =0.3x 的单调性可得y >z ， 由y =x 0.3的单调性可得x <z ， 所以答案是：A ．二、 填空题 （本题共计 9 小题 ，每题 3 分 ，共计27分 ） 12.【答案】 −1【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】利用幂函数的定义、单调性即可得出． 【解答】解：由幂函数f(x)=(m 2−m −1)x m−1， 可得m 2−m −1=1，解得m =2或−1．又幂函数y =x m−1在区间(0, +∞)上单调递减， ∴ m =−1． 故答案为：−1． 13.【答案】 2【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用 【解析】只有y =x α型的函数才是幂函数，当m 2−m −1=1函数f(x)=(m 2−m −1)x m 才是幂函数，又函数f(x)=(m 2−m −1)x m 在x ∈(0, +∞)上为增函数，所以幂指数应大于0． 【解答】解：要使函数f(x)=(m 2−m −1)x m 是幂函数，且在x ∈(0, +∞)上为增函数， 则{m 2−m −1=1,m >0,解得：m =2或−1（舍去）．故答案为：2． 14.【答案】 （0，今） 【考点】复合函数的单调性幂函数的单调性、奇偶性及其应用 函数单调性的性质【解析】先求出函数的定义域，函数的导函数，令导函数小于0求出∼的范围，写成区间形式，可得到函数y =x ln x 的单调减区间．详解：函数的定义域为x >0y ′=ln x +1，令ln x +1<0，得0<x <11函数y =x ln x 的单调递减区间是|0,1e )，故答案为(0,1e ) 【解答】 此题暂无解答 15.【答案】 27【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 函数的求值【解析】设(x )=x ′，代入(2,8)，求得n ，再计算f(3)，即可得到所求值． 【解答】设(x )=x ′，由题意可得 2n =8，解得ln =3 则f (x )=x 3 f (3)=33=27 故答案为：27． 16.【答案】 m =2 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 幂函数的单调性、奇偶性及其应用 幂函数的性质【解析】试题分析：由题意得：m 2−m −1=1,m 2−2m −3<0⇒m =2 【解答】 此题暂无解答 17.【答案】−1【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，{m 2−m −1=1,−5m −3>0,解得：m =−1．故答案为：−1．18.【答案】−3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：因为函数f(x)=(m 2+3m +1)⋅x m 2+m−1 是幂函数，所以m 2+3m +1=1，解得m =0或−3．当m =0时，f(x)=x −1，其图象不过原点，应舍去；当m =−3时，f(x)=x 5，其图象过原点．故答案为：−3．19.【答案】1或−1【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】根据幂函数的定义先求出t 的值，然后结合幂函数的单调性和奇偶性的性质进行判断即可．【解答】解：∵ 函数f(x)是幂函数，∴ t 3−t +1=1，即t 3−t =0，则t(t 2−1)=0，则t =0或t =1或t =−1，当t =0时，f(x)=x 75为奇函数，不满足条件．当t =1时，f(x)=x 85是偶函数，满足条件．当t =−1时，f(x)=x 25是偶函数，满足条件．故t =1或t =−1.故答案为：1或−1.20.【答案】13【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】可设f(x)＝x α，由f(4)f(2)=3可求得α，从而可求得f(12)的值．【解答】解析：设f(x)＝x α，则有4α2α=3，解得2α＝3，α＝log 23，∴ f(12)=(12)α=(12)log 23 =2−log 23=2log 213 =13．三、 解答题 （本题共计 9 小题 ，每题 10 分 ，共计90分 ）21.【答案】解：(1)∵ m 2+m =m(m +1)，m 为正整数，∴ m 和m +1必有一个是偶数，∴ m 2+m 是偶数，∴ 该函数的定义域为[0, +∞)，并且在[0, +∞)上单调递增.(2)∵ 幂函数f(x)的图象经过点(2,√2)，∴ √2=2(m 2+m)−1，即m 2+m =2，解得：m =1或m =−2，∵ m ∈N ∗，故m =1，故f(x)=√x ，f(x)在[0, +∞)上单调递增，由f(2−a)>f(a −1)，得{2−a ≥0，a −1≥0，2−a >a −1，解得：1≤a <32，故a 的范围是[1, 32)．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】（1）根据幂函数的定义，把点的坐标代入函数解析式，求出m 的值，从而求出函数的解析式即可；（2）根据函数的单调性得到关于a 的不等式，解出即可．【解答】解：(1)∵ m 2+m =m(m +1)，m 为正整数，∴ m 和m +1必有一个是偶数，∴ m 2+m 是偶数，∴ 该函数的定义域为[0, +∞)，并且在[0, +∞)上单调递增.(2)∵ 幂函数f(x)的图象经过点(2,√2)，∴ √2=2(m 2+m)−1，即m 2+m =2，解得：m =1或m =−2，∵ m ∈N ∗，故m =1，故f(x)=√x ，f(x)在[0, +∞)上单调递增，由f(2−a)>f(a −1)，得{2−a ≥0，a −1≥0，2−a >a −1，解得：1≤a <32， 故a 的范围是[1, 32)． 22.【答案】（1）云（2）1【考点】区间与无穷的概念幂函数的单调性、奇偶性及其应用进位制【解析】（1）利用指数的运算性质即可求解．（2）利用对数的运算性质即可求解．【解答】（1）(−13)−1+(94)−12+(−√2)0−(−18)−13 =−3+(49)12+1−√−83 =−3+23+1−(−2)=23（2）原式=lg(12.5÷58×12)=lg10=123.【答案】解：（1）∵幂函数f(x)=(t3−t+1)x15(7+3t−2t2)(t∈z)是偶函数，且在区间[0, +∞)上是增函数，∴{t3−t+1=115(7+3t−2t2)>07+3t−2t2偶数，解得t=1或t=−1．t=1时，f(x)=x25，t=−1时，f(x)=x85．（2）∵幂函数f(x)=1x2−m−m2=x m2+m−2在(−∞, 0)上是减函数，∴{m2+m−2是偶数m2+m−2>0，解得m>1或m<−2，∴m的最大负整数值为−3．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的性质幂函数的图像【解析】（1）由幂函数的定义、奇偶性和单调性，能求出整数t的值，并作出相应的幂函数的大致图象．（2）由已知条件利用幂函数的性质得{m2+m−2是偶数m2+m−2>0，由此能求出m的最大负整数值．【解答】解：（1）∵幂函数f(x)=(t3−t+1)x15(7+3t−2t2)(t∈z)是偶函数，且在区间[0, +∞)上是增函数，∴{t3−t+1=115(7+3t−2t2)>07+3t−2t2偶数，解得t=1或t=−1．t=1时，f(x)=x25，t=−1时，f(x)=x85．（2）∵幂函数f(x)=1x2−m−m2=x m2+m−2在(−∞, 0)上是减函数，∴{m2+m−2是偶数m2+m−2>0，解得m>1或m<−2，∴m的最大负整数值为−3．24.【答案】解：由幂函数的定义，得m2−m−5=1，解得m=3或m=−2.当m=3时，f(x)=x2在(0, +∞)上是增函数；当m=−2时，f(x)=x−3在(0, +∞)上是减函数；故m=3.【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：由幂函数的定义，得m2−m−5=1，解得m=3或m=−2.当m=3时，f(x)=x2在(0, +∞)上是增函数；当m=−2时，f(x)=x−3在(0, +∞)上是减函数；故m =3.25.【答案】解：(1)由题意可知函数为幂函数，∴ m 2−5m +7=1，得m =2或3．当m =2时，f(x)=x −3是奇函数，不满足题意．∴ m =2舍去；当m =3时，f(x)=x −4是偶函数，满足题意，∴ f(x)=x −4，f (12)=(12)−4=16．(2)由f(x)=x −4为偶函数和f(2a +1)=f(a)，可得|2a +1|=|a|，即2a +1=a 或2a +1=−a ，∴ a =−1或a =−13．【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域函数的求值【解析】(1)利用幂函数的定义解得m ，根据幂函数是偶函数，判断m 的值；(2)利用幂函数的偶函数的性质以及结合题意，得出|2a +1|=|a|， 解绝对值得出a 的值.【解答】解：(1)由题意可知函数为幂函数，∴ m 2−5m +7=1，得m =2或3．当m =2时，f(x)=x −3是奇函数，不满足题意．∴ m =2舍去；当m =3时，f(x)=x −4是偶函数，满足题意，∴ f(x)=x −4，f (12)=(12)−4=16．(2)由f(x)=x −4为偶函数和f(2a +1)=f(a)可得|2a +1|=|a|， 即2a +1=a 或2a +1=−a ，∴ a =−1或a =−13．26.【答案】解：(1)由幂函数的定义有k 2−2k −2=1，解得k =3或k =−1， 当k =3时，f(x)=x 2，此时函数图象过原点，不合题意；当k =−1时，f(x)=x −2，此时函数图象不过原点，符合题意；故实数k 的值为−1.(2)由(1)知f(x)=1x 2，知函数f(x)为偶函数且x ≠0，其增区间为(−∞,0)，减区间为(0,+∞)，易知−1<t<0，或0<t<1.【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由幂函数的定义有k2−2k−2=1，解得k=3或k=−1，当k=3时，f(x)=x2，此时函数图象过原点，不合题意；当k=−1时，f(x)=x−2，此时函数图象不过原点，符合题意；故实数k的值为−1.(2)由(1)知f(x)=1x2，知函数f(x)为偶函数且x≠0，其增区间为(−∞,0)，减区间为(0,+∞)，易知−1<t<0，或0<t<1.27.【答案】解：(1)∵f(x)为幂函数，∴2m−n=1，n=2m−1，又∵f(x)在区间(0，+∞)上是单调递增函数，∴−m2+n+4>0，则−m2+2m+3>0⇒−1<m<3，∵m∈Z，∴m=0或1或2，当m=0时，f(x)=x3为奇函数，不合题意，舍去；当m=1时，f(x)=x4为偶函数，符合题意；当m=2时，f(x)=x3为奇函数，不合题意，舍去；故f(x)=x4.(2)g(x)=14x4+ax3+92x2−b，g′(x)=x3+3ax2+9x=x(x2+3ax+9)，∵函数g(x)仅在x=0处有极值，∴x2+3ax+9≥0恒成立，∴Δ=(3a)2−36≤0，解得−2≤a≤2，故实数a的取值范围为[−2，2].【考点】二次函数的性质利用导数研究函数的极值幂函数的单调性、奇偶性及其应用函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵f(x)为幂函数，∴2m−n=1，n=2m−1，又∵f(x)在区间(0，+∞)上是单调递增函数，∴−m2+n+4>0，则−m2+2m+3>0⇒−1<m<3，∵m∈Z，∴m=0或1或2，当m=0时，f(x)=x3为奇函数，不合题意，舍去；当m=1时，f(x)=x4为偶函数，符合题意；当m=2时，f(x)=x3为奇函数，不合题意，舍去；故f(x)=x4.(2)g(x)=14x4+ax3+92x2−b，g′(x)=x3+3ax2+9x=x(x2+3ax+9)，∵函数g(x)仅在x=0处有极值，∴x2+3ax+9≥0恒成立，∴Δ=(3a)2−36≤0，解得−2≤a≤2，故实数a的取值范围为[−2，2].28.【答案】解：(1)由m2+3m−3=1，得m=1或m=−4，①当m=1时，f(x)=x，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意；②当m=−4时，f(x)=x−4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x−4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的图像幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由m 2+3m −3=1，得m =1或m =−4，①当m =1时，f(x)=x ，此时函数在区间(0,+∞)为增函数，不符合题意； ②当m =−4时，f(x)=x −4，此时函数在区间(0,+∞)为减函数，符合题意. 故实数m 的值为−4.(2)由(1)知f(x)=x −4，由函数f(x)的定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)， f(−x)=f(x)可知函数f(x)为偶函数，可画出函数f(x)草图为：29.【答案】解：(1)设幂函数f(x)=x a ，∴ 4=2a ,∴ a =2,∴ f(x)=x 2,∴ f(−12)=14.(2)∵ f(x)=x 2≥0,∴ 6m −8≥0,∴ m ≥43.又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴ 函数f(x)在[m,n]上单调递增，∴ f(m)=6m −8,f(n)=6n −8,且m <n ,解得：m =2,n =4,∴ m +n =6.【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设幂函数f(x)=x a ，∴ 4=2a ,∴ a =2,∴ f(x)=x 2,∴ f(−12)=14.(2)∵ f(x)=x 2≥0,∴6m−8≥0,∴m≥4.3又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴函数f(x)在[m,n]上单调递增，∴f(m)=6m−8,f(n)=6n−8,且m<n, 解得：m=2,n=4,∴m+n=6.。
高中数学幂函数测试题（含答案）
第 1 1 页页高中数学幂函数测试题(含答案)一、选择题1、等于A.A.－－B. B.－－C.D.2、已知函数f （x ）= = 则则f （2+log232+log23）的）的值为A. B. C. D.3、在f1f1（（x ）=x =x ，，f2f2（（x ）=x2=x2，，f3f3（（x ）=2x =2x，，f4f4（（x ）=log x 四个函数中，四个函数中，x1x1x1＞＞x2x2＞＞1时，能使［f （x1x1））+f +f（（x2x2））］＜f （）成立的函数是A .f1.f1（（x ）=x B.f2B.f2（（x ）=x2C.f3=x2C.f3（（x ）=2x D.f4D.f4（（x ）=log x4、若函数y (2-log2x)(2-log2x)的值域是的值域是的值域是(-,0),(-,0),(-,0),那么它的定义域是那么它的定义域是那么它的定义域是( () A.(0,2)B.(2,4)C.(0,4)D.(0,1)5、下列函数中，值域为R+R+的是（）的是（）（A ）y=5 y=5 （（B ）y=( )1y=( )1－－x （C ）y= y= （（D ）y=6、下列关系中正确的是（）（A ）（）（）（）（B ）（）（）（）（C ）（）（）（）（D ）（）（）（）7、设f:xy=2x 是AB 的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},B={0,1,2,3,4},则则A 满足（）A.A={1A.A={1，，2，4，8，16}B.A={016} B.A={0，，1，2，log23}C.A {0,1,2,log23}D.C.A {0,1,2,log23} D.不存在满足条件的集合不存在满足条件的集合8、已知命题p ：函数的值域为R ，命题q ：函数是减函数。
若p 或q 为真命题，为真命题，p p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是A ．a1B a1 B．．a2C a2 C．．12D 12 D．．a1或a29、已知函数f(x)=x2+lg(x+ ),f(x)=x2+lg(x+ ),若若f(a)=M,f(a)=M,则则f(-a)=() A2a2-MBM-2a2C2M-a2Da2-2M1010、若函数、若函数 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（）A ．m －1B 1 B．－．－．－10C 10 C 10 C．．m1D m1 D．．011111、方程、方程 的根的情况是 （）A ．仅有一根．仅有一根B B B．有两个正根．有两个正根C ．有一正根和一个负根．有一正根和一个负根D D D．有两个负根．有两个负根1212、若方程、若方程 有解，则a 的取值范围是 （）A ．a0或a －8B 8 B．．a0C ．D D．．二、填空题： 1313、已知、已知f （x ）的定义域为［）的定义域为［00，1］，则函数y=f y=f［［log log （（3－x ）］的定义域是］的定义域是__________. __________.1414、若函数、若函数f(x)=lg(x2+ax f(x)=lg(x2+ax－－a －1)1)在区间［在区间［在区间［2,+2,+2,+］上单调递］上单调递增,则实数a 的取值范围是的取值范围是_________. _________.1515、已知、已知1616、设函数、设函数 的x 取值范围取值范围..范围是。
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安阳高中校本练习:高一数学必修一: §2.3 幂函数
时间
※基础达标
1．如果幂函数()f x x α= A. 16 B. 2 2．下列函数在区间(0,3) A. 1y x
= B. 1
2y x = 3．设120.7a =，12
0.8b =，c = A. c <b <a B. c <a <b 4．如图的曲线是幂函数n y x =线1c 、2c 、3c 、4c 相应的n A ．112,,,222-- B. C. 11,2,2,22-- D. 5．下列幂函数中过点(0,0)， A.12
y x = B. 4y x = 6．幂函数()y f x =的图象过点7．比较下列各组数的大小： 2
(2)a + 2
a ； 2
3
(5)a -
+ 3
5
-
； 0.50.4 0.40.5.
※能力提高 8．幂函数
2
73235
()(1)t t f x t t x
+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，
求函数解析式.
9．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的平均增长率为x %，2008年底世界人口数为y （亿）.
（1）写出1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数； （2）求2008年底的世界人口数y 与x 的函数解析式. 如果要使2008年的人口数不超过66.8亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？
※探究创新
10．请把相应的幂函数图象代号填入表格.
①
2
3
y x
=；②2
y x-
=；③
1
2
y x
=；④1
y x-
=；
⑤
1
3
y x
=；⑥
4
3
y x
=；⑦
1
2
y x-
=；⑧
5
3
y x
=.。