15.2011年门头沟区初三年级第一次统一练习

2011年门头沟区初三年级第一次统一练习数 学 试 卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．-6的绝对值等于A ．6B ．16C ．16-D ．6-2．温家宝总理在十一届人大四次会议上所作的政府工作报告中指出，我国社会生产力、 综合国力显著提高． “十一五”期间，国民经济迈上新的台阶，国内生产总值达到398000万亿元．将398000用科学记数法表示应为A ．33.9810⨯B ．339810⨯C ．43.9810⨯D ．53.9810⨯ 3．把多项式3269x x x -+分解因式，结果正确的是A ．(3)(3)x x x +-B ．2(69)x x x -+C ．2(3)x x -D ．2(3)x x + 4．如图，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 、F 分别是OD 、OC 的中点．如果AC =10，BC =8， 那么EF 的长为A ．6B ．5C ．4D ．35．某学习小组的7名同学积极捐出自己的零花钱支援玉树地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，40，60，则这组数据的众数和中位数分别是 A ．50，50 B ．50，30 C ．50，20 D ．60，506．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，交⊙O 于点D ． 若∠CDB =30°，⊙O，则弦CD 的长是 A ．32B ．3 C． D ．97．一个口袋中装有八个除标号不同外其它完全相同的小球，小球上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，7，8，从口袋中随机地摸出一个小球，则摸出的小球上的数字是偶FODCBAEBA数的概率是 A ．14B ．13C ．12D ．38二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9． 在函数11y x =-中，自变量x 的取值范围是 ．10．若2(3)0m -+=，则m －n 的值为 ．11．将二次函数246y x x =-+化为2()y x h k =-+的形式，则y = ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13112sin 4520113-⎛⎫︒-+ ⎪⎝⎭．14．解分式方程 6133x x x +=+-．15．已知：如图，EF ∥BC ，点F 、点C 在AD 上，AF =DC ， EF =BC ． 求证：AB =DE ．16．已知26x x +=，求代数式222(2)(1)37x x x x x +-++-的值．17．列方程或方程组解应用题：“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．18．如图，正比例函数y m x =和反比例函数n y x=的图象 都过点A （1，a ），点B （2，1（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；GFEDCBA 图1图2（2）过A 点作直线AD 与x 轴交于点D ，且△AOD 的面积为3，求点D 的坐标．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．已知：如图，在□ABCD 中，∠ADC 、∠DAB 的平分线DF 、AE 分别与线段BC 相交于点F 、E ，DF 与AE 相交于点G ．（1）求证：AE ⊥DF ；（2）若AD =10，AB =6，AE =4，求DF 的长．20．已知Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，连结BD ．（1）如图1，若BD ∶CD ＝3∶4，AD ＝3，求⊙O 的直径 AB 的长；（2）如图2，若E 是BC 的中点，连结ED ，请你判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．21．甲、乙两校的学生代表参加区教委举办的中学生科普知识竞赛，且两校的参赛人数相同．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．表1 甲校成绩统计表乙校成绩条形统计图乙校成绩扇形统计图请你根据以上信息解答下列问题：（1）乙校参加比赛的学生代表有 人；（2）甲校学生成绩为10分的人数比乙校学生成绩为10分的人数多 人； （3）请你将表1、图1和图2补充完整．2011年门头沟区初三年级第一次统一练习数学试卷评分参考三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13112sin 4520113-⎛⎫︒-+ ⎪⎝⎭．解：112s i n 4520113-⎛⎫︒-+ ⎪⎝⎭=2132⨯+ ……………………………………………………………………4分=2 ． ……………………………………………………………………………5分14．解分式方程6133xx x +=+-．解：去分母，得 6(3)(3)(3)(3)x x x x x -++=+-． ……………………………………2分整理，得 99x =．解得1x =． ……………………………………………………………………4分 经检验，1x =是原方程的解．图27分图1分数9 %所以原方程的解是1x =． ………………………………………………………5分15． 证明：∵AF D C =，∴AC D F =． …………………………1分 E F B C ∥，∴E F D B C A ∠=∠． …………………2分 在△ABC 与△D EF 中， ,,,B C E F B C A E F DA C D F =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴A B C D E F △≌△． ……………………………………………………4分∴AB =DE ． ……………………………………………………………………5分16． 解：222(2)(1)37x x x x x +-++-3222(21)37x x x x x x =+-+++- …………………………………………2分33222237x x x x x x =+---+- ………………………………………………… 3分27x x =+-． ……………………………………………………………………………4分当26x x +=时，原式671=-=-． ……………………………………………………5分17．解：设中国内地去年有x 个城市参加了此项活动，今年有y 个城市参加了此项活动．…1分依题意，得119,313.x y y x +=⎧⎨=-⎩ ………………………………………………………………3分解得33,86.x y =⎧⎨=⎩ ………………………………………………………………………4分答：去年有33个城市参加了此项活动，今年有86个城市参加了此项活动． …………5分18. 解：（1）∵反比例函数n y x=的图象经过点B （2，1）,∴2n=．∴反比例函数的解析式是2yx=． …………1分E点A （1，a ）在反比例函数2yx=的图象上，∴2a =． ∴(12)A ，．……………………………………2分 ∵正比例函数y m x =的图象经过点(12)A ，， ∴ 2m =． ∴正比例函数的解析式是2y x =．………………………………………………3分（2）依题意，得1232O D ⨯⨯=．∴3O D =．∴ D 点坐标为1(3,0)D -或2(3,0)D ． ……………………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 解：（1）在□ABCD 中，AB D C ∥，∴∠ADC +∠DAB =180°．DF 、AE 分别是∠ADC 、∠DAB 的平分线，∴12ADF CDF ADC∠=∠=∠，12DAEBAE DAB∠=∠=∠．∴1()902ADF DAE ADC DAB ∠+∠=∠+∠=︒．∴90AGD ∠=︒．∴AE ⊥DF ．…………………………………………………………………………2分（2）过点D 作D H AE ∥，交BC 的延长线于点H ，则四边形AEHD 是平行四边形，且FD ⊥DH ． ∴DH =AE =4，EH =AD =10.在□ABCD 中，AD BC ∥，∴∠ADF =∠CFD ，∠DAE =∠BEA ． ∴∠CDF =∠CFD ，∠BAE =∠BEA ．∴DC =FC ，AB =EB ．在□ABCD 中，AD =BC =10，AB =DC =6， ∴CF =BE =6，BF =BC －CF =10－6=4． ∴FE =BE－BF =6－4=2． …………………………………………………………3分∴FH =FE +EH =12． ………………………………………………………………4分GF EDB A图2图1在R t △FDH中，22482D H D H ==-=………………………………5分 20．解：（1）如图1，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB =90°．则∠CDB =∠ADB =90°． ∴∠C +∠CBD =90°． ∵∠ABC =90°，∴∠ABD +∠CBD =90°． ∴∠C =∠ABD ．∴△ADB ∽△BDC ． ∴A DB D B DC D=．∵BD ：CD =3：4，AD =3，∴BD =4．在R t △ABD 中，5AB===． (3)分（2）直线ED 与⊙O 相切． 证明：如图2，连结OD ．由（1）得∠BDC =90°． ∵E 是BC 的中点， ∴DE =BE ．∴∠EDB =∠EBD ．∵OB =OD ， ∴∠ODB =∠OBD ．∵∠OBD +∠EBD =90°，∴∠ODB +∠EDB =∠ODE =90°． ∴ED 是⊙O 的切线． ……………………………………………………………5分21．解：（1）20． ……………………………………………………………………………1分（2）3． ………………………………………………………………………………2分（3）补全表1、图1和图2． ……………………………………………………5分22．解：（1）12． …………………………………………………………………………………2分（2）12． ………………………………………………………………………………3分（3）5或15. ……………………………………………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23、24题各7分，第25题8分） 23．解：（1）根据题意，得220,Δ(2)4(2)(1)0.m m +≠⎧⎨=--+⨯-≥⎩解得2,3.m m ≠-⎧⎨≥-⎩∴m 的取值范围是m ≥－3且m ≠－2． (2)分（2） 关于x 的二次函数21(2)21y m x x =+--和22(2)1y m x mx m =++++的图象都经过x 轴上的点（n ，0），∴22(2)21(2)1m n n m n mn m +--=++++．解得n =－1． ………………………………………………………………………3分当n =－1时，2210m ++-=，解得m =－3． …………………………………………………………………4分（3）2322y x x =+-． …………………………………………………………………5分当x 的取值范围是>0x 或5<2x -时，二次函数3y 的值大于二次函数2y 的值．…………………………………………………………7分24．解：（1）垂直，相等 ……………………………………………………………………2分（2）猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．证明：如图2，过D 作D G BC ⊥于G ． ∵o 90ABC ∠=， ∴DG ∥AB . ∵AD ∥BC ，∴四边形ABGD 为矩形.∴AB =DG =2,AD =BG =1.∵tan ∠DCB =D G C G=2,∴2122D G C G ===.5432OED A∴ CB = AB =2.∵o 90ABC EBF ∠=∠=，∴A B C A B E E B F A B E ∠+∠=∠+∠. ∴C BE ABF ∠=∠. 在△ABF 和△CBE 中，,,,AB C B ABF C BE BF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△CBE .∴21AF CE =∠=∠，.∵o 1390∠+∠=，34∠=∠， ∴o 2490∠+∠=. ∴o 590∠=.AF C E.∴⊥ ………………………………………………………………4分（3）①猜想：（1）中的两个结论没有发生变化．②如图3， AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ． ∴C AD O D BO B=．AD ＝1，BC ＝2，∴12O D O B=．在Rt △DAB中，BD ===．∴O B=．∵6O F =∴2BFBE ==．∠1＋∠FBM =90°，∠2＋∠FBM =90°,21∠=∠∴．又 o 345OAB ,∠=∠= ∴△BME ∽△BOA . ∴.BM BE BOBA=图3231OF E DCBA M2.23=∴5.6B M=………………………………………………………………………7分25. 解：（1）∵抛物线21(2)473my x m x m-=-+-+-关于y轴对称,∴m－2=0．∴m=2．∴抛物线的解析式是2113y x=-+.………………………………………………2分令y＝0，得x=∴(0)A，0)B．在Rt△B O C中，OC＝1, OB可得∠OBC＝30º.在Rt△B O D中，OD＝3, OB可得∠OBD＝60º.∴BC是∠OBD的角平分线.∴直线BD与x轴关于直线BC对称.因为点P关于直线BC的对称点在x轴上，则符合条件的点P就是直线BD与抛物线2113y x=-+的交点.设直线BD的解析式为y kx b=+.∴0,3.bb+==⎪⎩∴3.kb⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线BD的解析式为3y=+.∵点P在直线BD上，设P点坐标为(,3)x+.又因为点P (,3)x+在抛物线2113y x=-+上，∴21313x+=-+.解得12x x==∴120,3y y==-.∴点P的坐标是3)-.……………………………………………………………数学试卷 第 11 页 （共 11 页）3分（2）过点P 作PG ⊥x 轴于G ，在PG 上截取2PH =，连结AH 与y 轴交于点E ，在y轴的负半轴上截取2EF =. ∵ PH ∥EF ，PH EF =，∴ 四边形PHEF 为平行四边形，有HE PF =. 又 ∵ PB 、EF 的长为定值，∴ 此时得到的点E 、F 使四边形PBEF 的周长最小. ∵ OE ∥GH ，∴ Rt △A O E ∽Rt △AG H . ∴O E AO G HAG=.∴13OE ==.∴ 17233OF OE EF =+=+=.∴ 点E 的坐标为（0，13-），点F 的坐标为（0，73-）. …………………………5分（3）点N 的坐标是132N ，）或2N 或31819N （-，）.………………8分xy GHE F-1 D。