相似三角形难题集锦.docx

相似二角形1. 如图，在Rt △ ABC中，∠ ACB=90 , AC=3 BC=4过点B作射线BB1" AC-动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥ AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG设点D运动的时间为t秒.(1) 当t为何值时，AD=AB并求出此时DE的长度；(2)当厶DEG与^ ACB相似时，求t的值.2. 如图，在△ ABC中，/ ABC= 90°，AB=6m BC=8m动点P以2m∕s的速度从A点出发，沿AC向点C移动.同时，动点Q以1m∕s的速度从C点岀发，沿CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(2)在P, Q移动的过程中，当△ CPC为等腰三角形时，求出t的值.3.如图1 ,在Rt△ ABC中，_ ACB= 90°AC= 6，BC= 8,点D在边AB上运动，DE平分/ CDB交边BC于点E，EM⊥BD,垂足为M EN⊥CD,垂足为N.(1)当AD= CD时，求证：DE// AC ( 2)探究：AD为何值时，△ BME与^ CNE相似?4.如图所示, 在厶ABC中，BA= BC= 20cm, AC= 30cm,点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动.设运动的时间为X .(1)当X为何值时，PQ// BC?(2)^ APQ与^ CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由.5.如图，在矩形ABCD中, AB=12cm BC=6cm点P沿AB边从A开始向点B以2cm∕s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm∕s的速度移动•如果P、Q同时出发，用t (S)表示移动的时间(O V t V 6)。

(1) 当t为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？(2) 当t为何值时，以点Q A、P为顶点的三角形与△ ABC相似?6.在平面直角坐标系XOy中，点A的坐标为(2 , 1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°,求这个正比例函数的表达式.(1)①当t=2.5s时，求△ CPQ的面积；②求△ CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式；210..已知，如图，直线 y= - 2x + 2与坐标轴交于 A B 两点•以AB 为短边在第一象限做一个矩形 矩形的两边之比为1 : 2。

求C 、D 两点的坐标。

11. 如图：△ ABC 中，D 是AB 上一点，AD=AC BC 边上的中线 AE 交CD 于 FAB __CF_求证：…_ *12. 四边形ABCD 中, AC 为AB AD 的比例中项，且 BE BC 27.在厶ABC 中，AB=Xi , AC=4, BC=2以AB 为边在C 点的异侧作△ ABD,使厶ABD 为等腰直角三角形，求线段 CD 的长.8.在厶ABC 中，AC=BC ∠ ACB=90 ,点M 是AC 上的一点，点 N 是BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的P 点.求证：MC NC=AP PB.9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 勺边OA 在X 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折B 点落在D 点的位置，且 AD 交y 轴于点E .那么D 点的坐标为（）312、ABCD 使得y i\qOAC 平分∠ DAB17. 已知：如图，梯形 ABCc 中, AB//DC ,对角线 AC BD 交于0,过O 作EF//AB 分别交AD BC 于B F1 1 1- + - = i -13. 在梯形ABCD K AB// CD, AB = b , CD= a , E 为AD 边上的任意一点，EF// AB,且EF 交BC 于点F ,某同学在研究这一问题时，发现如下事实:DEa+bD 思Λ + Ξ⅛ ~ I*__ — 2---------⑴当时，EF= _； (2)当一二 时，EF= _；DEm+3⅛ QE—■ = J-------- —=⅛⑶当卫“ 时，EF=•当「一时，参照上述研究结论，请你猜想用a 、b 和k 表示EF 的一般结论，并给出证明.14.已知：如图，在△ ABC中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且 BE = EF = FCO求 BN NQ QM15.证明：(1)重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的 三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.2二•(注：重心是三角形三条中线的交点)(2)角平分线定理:16.如图，在等边厶ABC 中, M N 分别是边AB, AC 的中点，D 为MN 上任意一点，BD CD的延长线分别交 1 1 3+ --- — -求证：「三 =F 一上.AC AB 于点 E 、F .20. ( 1)如图1 ,点「在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA BC的延长线于点Q, S,交-1.于点二.求证:PQ-PR = PSPT(2)如图2,图3 ,当点「在平行四边形ABCD的对角线—或_1的延长线上时，：-_-「•-^ -「是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明)；21. 如图，在平行四边形ABCD中,过点A作AEI BC垂足为E,连接DE F为线段DE上一点，且∠ AFE=∠ B. ⑴求证：△ ADF^△ DEC(2) 若AB= 4,AD = 3 < 3 ,AE = 3,求AF 的长.22. 如图，已知等腰三角形ABC中，AD, BF分别为BC AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E,交BF于G交AC 延长线于HO求证：D E=E(?EH18. 如图，在△ ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH勺四个顶点分别在厶ABC上1 1 1-- + --- = ---求证：•J_19.已知，在△ ABC中作内接菱形CDEF设菱形的边长为a •求证:4CPC 一(U•门23. 已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD BC CD的延长线、PE PH求证：VG24. 已知，如图，锐角△ ABC中, AD丄BC于D，H为垂心(三角形三条高线的交点)25.已知如图，CD是Rt△ ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F 求证：丄26如图，在Rt △ ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DHL BM且与AC的延长线交于点E.求证：(1 )△ AED^△ CBM ( 2) ALCM^AC-CDEDB27.如图，△ ABC是直角三角形，∠ ACB=90，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证：Fl^ = FBF C.(2)若G是BC的中点，连接GD GD与EF垂直吗？并说明理由.CGB28.如图，四边形ABCD DEFG都是正方形，连接AB CG,AE与CG相交于点M, CG与AD相交于点N.求证：DAB的延长线分别相交于点E、F 、G H.;在AD上有一点P，且∠ BPC为直角.求证：PD= AD∙ DH。

29.如图，BD CE分别是△ ABa的两边上的高，过D作DGL BC于G分别交CE及BA的延长线于F、HO2求证：(1) DG= BG∙ CG ( 2) BG∙ CG= GF∙ GH30. △ ABC^n△ DEF是两个等腰直角三角形，∠ A=∠ D=90°,A DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M EF与AC交于点N,求证：△ BEM h^ CNE(2)如图2,将厶DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M EF与AC交于点N,于是，除(1)中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.31. 如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交Aa CD于点P、Q.(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；(2)求BP PQ QRAE__AC32. 如图，在△ ABC中，AD丄BC于D, DEX AB于E, DF L AC于F。

求证：二二33.如图，Rt^ AB C ■是由Rt△ ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC '交斜边于点E, CC '的延长线交BB '于点F∙(1)证明：△ ACE^△ FBE(2)设∠ ABC〉，∠ CAC = 一：，试探索：■满足什么关系时，△ ACE与^ FBE是全等三角形，并说明理由.B'C A34.在直角梯形OABCK CB// OA ∠ C(A= 90o, CB= 3, OA= 6, BA= 3{5.分别以OA OC边所在直线为X轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.(1) 求点B的坐标；(2) 已知D E分别为线段OC OB上的点，OD= 5, OE= 2E B,直线DE交X轴于点F.求直线DE的解析式；(3) 点M是 ( 2)中直线DE ±的一个动点，在X轴上方的平面内是否存在另一个点N使以OD M N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.36.如图，在正方形ABCt≠, E是BC上的一点，连结AE作BF⊥AE垂足为H交CD于F,作CQ AE交BF于G37. 刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②.图①中，∠ B=90°, ∠ A=30°, BC=6cm 图②中，∠ D=90°, ∠ E=45°,35.在图15-1至图15-3中，直线MN⅛线段AB相交于点O,∠ 1 = ∠ 2 = 45°.(1)如图15-1 ,若AO = OB请写出AO与BD的数量关系和位置关系；(2)将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2 ,其中AO = OB求证：AC(3)将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3 ,求BD的值.ACBD(1)求证CGBH ⑵ FC=BF∙ GF ⑶FC2 GFAB2 GBDE=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△ DEF 的直角边DE 与厶ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△ DEF 沿AC 方向移动.在移动过程中，D E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合).(1) 在厶DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现： F 、C 两点间的距离逐渐 ▲. ( 填“不变”、“变大”或“变小”)(2) 刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△ DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行？问题②：当△ DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，以线段 AD FC BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形 ？ 问题③：在△ DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠ FCD=15 ?如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由. 请你分别完成上述三个问题的解答过程.38. 已知△ ABC 中，AB= 2 . 5，AC= 4 5，BC = 6(1) 如图1点M 为AB 的中点，在线段 AC 上取点 汕使厶AMN 与^ABC 相似，求线段 MN 的长；(2) 如图2,是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，①请你在所给的网 格中画出格点△ ABCl ,使得△ A l BC 与厶ABC 全等(画出一个即可，不需证明)②试直接写出在所给的网格中与△ ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个(不需证明)39. 已知直角坐标系中菱形 ABC 的位置如图，C, D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A , C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒. (1) 填空：菱形ABC 的边长是 ____ 、面积是 _____ 、高BE 的长是 _____ ; (2) 探究下列问题： ① 若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△ APQ 勺面积S 关于t 的函数关系式，以及 S 的最大值。