苏教版数学高一-必修4导学案2.5向量的应用教师版
高一数学苏教版必修4教师用书：2.5 向量的应用
2.5 向量的应用1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题.2.会用向量方法解决某些简单的几何问题.(重点、难点)[基础·初探]教材整理 向量的应用阅读教材P 91～P 92的全部内容，完成下列问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行.( ) (3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多.( ) 【解析】 (1)可能AC →·CB →＝0或BA →·AC →＝0，故错误. (2)AB →∥CD →，AB ，CD 亦可能在一条直线上，故错误. (3)W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ，故错误. 【★答案★】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]向量在物理中的应用如图2-5-1所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小.图2-5-1【精彩点拨】 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则.【自主解答】 如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.|OA →|＝|OC →|cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|sin 30°＝12×300＝150(N).故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.1.解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.2.解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型.[再练一题]1.已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0).(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功. 【解】 (1)AB →＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J).∴合力F 对质点所做的功为－102 J.向量在平面几何中的应用求证：AF ⊥DE .【导学号：48582116】图2-5-2【精彩点拨】 法一：选取基底，并证明DE →·AF →＝0. 法二：建立平面直角坐标系证明AF →·DE →＝0.【自主解答】 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a2， 所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2 ＝－12a 2－34a·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0， 故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2).因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路： (1)向量的线性运算法：选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法：建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→ 利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用.[再练一题]2.如图2-5-3，已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，求证：O 为△ABC 的垂心.图2-5-3【证明】 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则BC →＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a ，由题设：|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，化简：a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2，得c·b ＝a·c ＝b·a ， 从而AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b·c －a·c ＝0，∴AB →⊥OC →. 同理BC →⊥OA →，CA →⊥OB →， 所以O 为△ABC 的垂心.[探究共研型]平面向量在解析几何中的应用000方程？【提示】 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →∥a ，∴y －y 0＝k (x －x 0).探究2 如何利用向量求经过点P 0(x 0，y 0)，且与a ＝(1，k )垂直的直线l 的方程？【提示】 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0). 由题意可知P 0P →⊥a ，∴(x －x 0)＋k (y －y 0)＝0.已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F分别为边BC ，CA ，AB 的中点.(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线方程.【精彩点拨】 (1)先求出D ，E ，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解.【自主解答】 (1)由已知得点 D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)， 设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →.DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程. 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为 x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程.利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.[再练一题] 3.已知点A (2，－1).(1)求过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程； (2)求过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程.【解】 (1)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1).由题意知AP →∥a ，即(x －2)－5(y ＋1)＝0，即x －5y －7＝0. 故过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为x －5y －7＝0. (2)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1). 由题意知，AP →⊥a ，即AP →·a ＝0， 即5(x －2)＋(y ＋1)＝0，即5x ＋y －9＝0.故过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程为5x ＋y －9＝0.1.已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝________.【解析】 由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2). 【★答案★】 (1,2)2.飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是______km/h.【解析】 由速度的分解可知水平方向的分速度大小为300×cos 30°＝1503(km/h).【★答案★】 150 33.在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 【导学号：48582117】【解析】 如图所示，由于OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1).在矩形中，由OA →⊥AB →得OA →·AB →＝0，所以(－3,1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.【★答案★】 44.过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是________. 【解析】 设P (x ，y )为直线上的任意一点， ∴AP →＝(x －3，y ＋2)，AP →⊥n ， ∴5(x －3)－3(y ＋2)＝0， 即5x －3y －21＝0.【★答案★】 5x －3y －21＝05.如图2-5-4，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明)图2-5-4【证明】 连结OP ， 设向量OA →＝a ，OP →＝b ，则OB →＝－a 且P A →＝OA →－OP →＝a －b ， PB →＝OB →－OP →＝－a －b ， ∴P A →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴P A →⊥PB →，即∠APB ＝90°.。
苏教版数学高一苏教版必修42.5向量的应用
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最新版高中数学 2.5 向量的应用
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诱学导入 材料：向量作为一种重要的工具,除了在数学中有广泛的应用之外,在物理学中也有广泛的应用,是研究物理问题的重要工具之一,如力、速度、加速度的合成与分解都与向量的合成与分解有关,由上节学习数量积的过程可知,功是力与位移的数量积.实际上在日常生活中有好多问题都可以用向量知识来解释.如“两个人同提一桶水,或共同提一个旅行包,夹角越大就越吃力”“在单杠上做引体向上时,两臂的夹角越小就越省力”等.
问题:你能用你所学解释这些现象吗？
导入：为了确切地描述这一问题,就需要将这一物理问题转化成数学问题.不考虑物理因素,只考虑向量的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识即可解决问题.
温故知新
1.什么是向量加法的平行四边形法则？
答:对于两个不共线的非零向量a 、b 分别作出OA =a ,OC =b ,以OA 、OC 为邻边作平行四边形OABC,则以O 为起点的对角线OB 就是向量a 与b 的和,这种求两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
2.平面向量基本定理的内容是什么？
答:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.
3.直角三角形中锐角三角函数是怎样定义的？
答:在初中我们利用直角三角形定义了锐角的三角函数,如图2-5-1,在Rt △ABC 中,锐角A 的三角函数定义如下:
图2-5-1
sinA=
斜边的对边A ∠;cosA=斜边的邻边A ∠;t a nA=邻边
的对边A A ∠∠.。
数学苏教版必修4导学案：2.5 向量的应用
2.5 向量的应用1．向量在物理中的应用：向量在研究物理问题时经常用到以下结论．(1)力、速度、加速度、位移等都是向量；(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；(3)功即是力F 与所产生位移s 的数量积．预习交流1向量可以解决哪些物理问题？提示：可以解决求力、速度、方向、位移等问题．2．向量在平面几何中的应用：平面几何中的共点、共线、平行、垂直等问题都可以用向量解决．(1)对线共点问题，常可以转化为考虑先由其中某两条直线确定一个交点，然后再借助于向量知识说明其他直线也过这点．(2)对平行问题，往往转化为与其相关的向量共线问题．(3)对于垂直问题常转化为相关向量的数量积问题解决．预习交流2用向量方法解决平面几何问题的一般步骤是什么？提示：用向量方法解决几何问题，一般分如下三步：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；③把运算结果还原为几何关系．3．向量在解析几何中的应用：(1)若直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ⎝⎛⎭⎫θ≠π2.向量a ＝(m ，n )平行于l ，则k ＝tan α＝nm.(2)直线l ：y ＝kx ＋b 的方向向量是(1，k )．(3)过点P (x 0，y 0)且与a ＝(m ，n )平行的直线方程为n (x －x 0)－m (y －y 0)＝0.(4)过点P (x 0，y 0)且与向量a ＝(m ，n )垂直的直线方程为m (x －x 0)＋n (y －y 0)＝0.预习交流3 (1)设A ，B ，C ，D 四点坐标依次为(－1,0)，(0,2)，(4,3)，(3,1)，则四边形ABCD 为__________．(2)直角坐标系中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是__________．提示：(1)因为AB →＝(1,2)，BC →＝(4,1)，CD →＝(－1，－2)，DA →＝(－4，－1)，所以|AB →|＝|CD →|，|BC →|＝|DA →|.所以四边形ABCD 为平行四边形．(2)x ＋2y －4＝0一、向量在物理中的应用在重为300 N的物体上系上两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°和60°，如图所示，求物体平衡时，两根绳上拉力的大小．思路分析：由题目知两根绳子的夹角为90°，因此可以把问题转化为解直角三角形．解此类力的平衡问题，主要是运用向量之和为零向量去求解，通过运用化归思想和数形结合思想及数学建模将物理问题转化为向量问题．解：如图所示：两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300 N ，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°， 则∠OAC ＝90°.从而|OA →|＝|OC →|cos 30°＝150 3 N ，|AC →|＝|OC →|sin 30°＝150 N ，|OB →|＝|AC →|＝150 N. 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力为150 N.1．某人用50 N 的力(与水平方向成30°角，斜向下)推动一质量为8 kg 的木箱沿水平平面运动了20 m ，若滑动摩擦系数μ＝0.02，取g ＝10 m/s 2，则摩擦力f 所做的功为__________．★答案★：－42 J解析：由数量积的物理意义，只需求出摩擦力f 的大小，及它与位移的夹角即可．|f |＝(80＋50sin 30°)×0.02＝2.1(N)，又f 与位移所成的角为180°，∴W ＝f ·s ＝|f ||s |cos180°＝－1×2.1×20＝－42(J)．2．一条小船以10 km/h 的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度与船的实际速度．解：如图所示，OM →表示小船垂直于对岸行驶的速度，ON →表示水流速度，OP →表示船的实际速度．则由题意知∠NOP ＝60°，OM →＝10 km/h ，又∵四边形OMPN 是矩形，∴|OM →|＝|OP →|sin 60°＝10.∴|OP →|＝10sin 60°＝2033.∴|ON →|＝|OP →|cos 60°＝2033×12＝1033.∴水流速度为1033km/h ，船的实际速度为2033km/h.用向量法研究物理问题(1)求力向量，速度向量常用的方法：一般是向量几何化，借助于向量求和的平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤：①把物理问题中的相关量用向量表示；②转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；③结果还原为物理问题．二、向量在平面几何中的应用如图所示，ABCD是菱形，AC，BD是它的两条对角线，求证：AC⊥BD.思路分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件．证明：∵ABCD 为菱形，AC ，BD 为两对角线， ∴AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →， ∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2＝0. ∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .1．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝__________.★答案★：－23解析：OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)．∵A ，B ，C 三点共线，∴BA →∥CB →. ∵BA →＝(k －4,7)，CB →＝(4＋k ，－5)，∴－5(k －4)－7(k ＋4)＝0.∴k ＝－23.2．在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .证明：方法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0，DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB→＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝(b ＋a 2)·(－a ＋b 2)＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .方法二：如图所示，以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .1．对于两个非零向量a ，b ，a ·b ＝0⇔a⊥b ，在具体证明平面几何中的线段垂直时可先将线段转化为向量，计算向量的数量积，在此过程中，数量积的两种求解方法即向量法和坐标法可适当地选取．2．把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，应该把它掌握好，其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的简与繁．三、向量在解析几何中的应用已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM→＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．思路分析：一般要先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM →，MQ →，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．解：设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点， 设A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)， 则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )．∴a ＝x 3，b ＝－y 2，则A ⎝⎛⎭⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎫x 3，0，P A →＝⎝⎛⎭⎫3，－y 2，AM →＝⎝⎛⎭⎫x ，32y . ∵P A →·AM →＝0，∴⎝⎛⎭⎫3，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，32y ＝0. ∴3x －34y 2＝0，∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为__________．★答案★：2x ＋y －1＝0解析：任取直线上两点如(－3,0)，(1,2)， 则直线的方向向量a ＝(1,2)－(－3,0)＝(4,2)， 设P (x ，y )是所求直线上任意一点， 则(x ＋1，y －3)·a ＝0， ∴(x ＋1，y －3)·(4,2)＝4(x ＋1)＋2(y －3)＝0. ∴2x ＋y －1＝0，即为所求的直线方程．2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA →＝2AN →得(1－x 0，1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .代入圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，得x 2＋y 2＝1． ∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1．利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量a ＝(A ，B )即为直线l 的法向量，b ＝(1，k )或c ＝(－B ，A )为直线l 的方向向量.两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0是否垂直，均可由向量解决.由于n 1＝(A 1，B 1)，n 2＝(A 2，B 2)，则n 1·n 2＝0⇔n 1⊥n 2⇔l 1⊥l 21．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为__________．★答案★：27解析：由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2 ＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. ∴|F 3|＝27.2．在△ABC 中，A (－1,2)，B (3,1)，C (2，－3)，则AC 边上的高所在直线方程为__________． ★答案★：3x －5y －4＝0解析：AC →＝(3，－5)，设P (x ，y )是所求直线上任意一点，BP →＝(x －3，y －1)，所以AC边上的高所在的直线方程为AC →·(x －3，y －1)＝0，即3x －5y －4＝0.3．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC的三条__________的交点．★答案★：高解析：由OA →·OB →＝OB →·OC →得OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·AC →＝0，所以OB →⊥AC →.同理，OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.所以O 为三条高的交点．4．已知AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 一定是__________．★答案★：直角三角形解析：由原等式得AB →·(AB →＋BC →)＝0，即AB →·AC →＝0，得AB →⊥AC →，所以△ABC 一定是直角三角形．5．如图所示，若D 是△ABC 内一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2.由条件知，a 2－b 2＝c 2－d 2.∴e ·c －e ·d ＝0.即e ·(c －d )＝0.∴AD →·CB →＝0.∴AD ⊥BC .。
高中数学 2.5向量的应用教案 苏教版必修4
2.5 向量的应用教学目标：1．经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力；2．运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力．教学重点：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲”．教学难点：实际问题转化为向量问题，体现向量的工具作用．用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用．教学方法：启发式教学．教学过程：一、情景创设问题1 如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，则每根绳子的拉力是多少？二、学生活动问题2 我们在图中标上相应的字母（如图），根据力的平衡理论，①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系？②绳子OA与绳子OB学生讨论得出结论：①F1＋F2＋G＝0．②F1＝F2．问题3 如果将绳子OA的拉力表示为向量，绳子OB的拉力表示为120o 10N向量OB ，重力表示为向量OC ，则向量OA ，OB ，OC 之间有什么关系？学生讨论得出结论：++＝．这样物理问题就与数学中的向量产生了联系．三、建构数学问题4 你能否根据以上信息，将这个物理问题编写成一个数学问题？你能解决这个问题吗？学生讨论，教师整理，形成数学问题：已知向量OA ，OB 之间的夹角为120o，且向量的模等于向量的模，向量的模为10，求向量，的模．学生讨论解决问题：过A ，B 两点分别作OB ，OA 的平行线，相交于D 点，则四边形OADB 是菱形，连接OD ，则OD ＝||＝10，因为OA ＝OB ＝AD ＝BD ，且∠AOB ＝120o，所以ΔOAD 是等边三角形，所以OA ＝AD ＝OD ＝10，即||＝10，||＝10．亦即每根绳子的拉力都是10N ． 变题：在汽车站或火车站我们常见：两个人共提一个旅行包，若包重20N ，还需什么条件，你能求每一个人手臂的拉力？小结：（由学生讨论，教师整理）1．利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．2．用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．四、数学应用 1．例题．例 1 如图（1）所示，无弹性的细绳,OA OB 的一端分别固定在,A B 处，同质量的细绳OC 下端系着一个称盘，且使得OB OC ⊥，试分析,,OA OB OC 三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大？A 11(2)题后反思：（1）本题你还最想知道什么？（2）绳子OB 与绳子OC 所受力的大小比较的本质是什么？ （3）你还能提出一些什么问题？例2 已知： AC OB BC OA ⊥⊥,，求证：AB OC ⊥． 题后反思：（1）你能否画出一个几何图形来解释例2？ （2）从例2中你能得出什么结论？学生讨论得出结论：三角形ABC 的三条高交于一点．例3 已知直线l 经过点111(,)P x y 222(,)P x y ，用向量方法求l 的方程．分析：设P 是直线l 上任意一点，由−→−P P 1与−→−21P P 共线的条件可推导得直线方程． 2．练习．（1）已知作用于点O 的力21,F F 的大小分别为6，8，且两力间的夹角为060，则两力合力的大小为__ ．（2）在四边形ABCD 中，·＝0，＝，则四边形ABCD 是____ ___（直角梯形、菱形、矩形、正方形）．（3）如图，一个三角形角铁支架ABC 安装在墙壁上，AB ∶AC ∶BC ＝3∶4∶5，在B 处挂一个6kg 的物体，求角铁AB 与BC 所受的力（取g ＝10m/s 2）．（4）已知两点),(11y x A ，),(22y x B ，试用向量的方法证明以线段AB程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．（5）一条河两岸平行，河宽500m d =，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸的B 处，船航行速度1||10/km h v =，水速2||4/km h v =，要使船垂直到达对岸所用的时间最少，1v 与2v 的夹角是多少？五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容：1．如何把物理学问题转化为数学问题？2．如何把几何学问题转化为向量问题？3．如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识，作好力的分解和合成．4．通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具5．数形结合法．。
43.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§2.5向量的应用
§2.5向量的应用教学目标：经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具，发展学生运算能力和解决实际问题的能力．教学重点：运用平面向量解决简单的几何问题、力学问题．教学难点：将实际问题建立成向量的基本问题．教学过程： Ⅰ.问题情境向量是既有大小，又有方向的量，既有代数特征，又有几何特征； 通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以说向量是数形结合的桥梁．课前练习:1.已知A （2，1），B （3，2），D （－1，4），（1）求证：AB ⊥AD ；（2）若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标.（1）证明：∵AB＝（1，1），AD ＝（－3，3）∴AB ·AD ＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴AB ⊥AD.（2）解：∵ABCD 为矩形，设C （x ，y ），∴AB ＝DC ，（1，1）＝（x+1，y －4)∴x ＝0，y ＝5， ∴C （0，5）.2．已知a ＝（3，－2），b ＝(k，k ）（k ∈R)，t＝||a b，当k 取何值时，t有最小值？最小值为多少？解：∵a b -＝(3－k，－2－k )∴t ＝||a b -＝（3－k ）2＋（－2－k ）2＝2k 2－2k ＋13 ＝2（k －12 ）2＋252∴当k＝12 时，t 取最小值，最小值为522.(课时训练P63例3)解析:Ⅱ．例题选讲例1(课本P84)．分析：根据力学知识，首先应该认识到有：三根绳子上受到的力达到了平衡的效果，也就是合力为零，即0OA OB OC ++=．有了这样的思考，余下的就是数学模型的建立了．点评：此问题并没有什么难度，就是要能够从问题的实际意义中抽象出向量问题，用数学的知识解决这个物理问题．练习1(教材Ｐ85第1题)：分析：问题中有：0BA CB BT ++=．解：作受力分析图如右，依题意得：0BA CB BT ++= ，||60()BT N =，又||:||:||3:4:5AB AC BC = ，3||6045()4AB N ∴=⨯=5||6075()4BC N =⨯= ．CAI评：向量源自力学（教材P86阅读的标题），自然，向量会对力学问题发挥它的作用，我们这里所见到的只是非常非常简单的问题，是我们对向量应用的初步的感受． 类似题还有教材Ｐ86第5题：请同学们课外认真思考．例２(课本P84例2)．分析：证明应该是很容易的，所用的就是向量垂直的判定条件：0a b a b ⊥⇔⋅=．思考（课本P85提出来的问题）：回答：这是一个非常容易答的一个问题，简单的说，就是平面几何中的一个常见命题：三角形三条高线交于一点．练习：用向量方法证明梯形的中位线定理．ABCAB证：设梯形ＡＢＣＤ中，//AB DC，Ｅ、Ｆ分别为ＡＤ、ＢＣ的中点，EF EA AB BF =++ ，又EF ED DC CF =++ ，0,0EA ED BF CF +=+= ，2EF AB DC ∴=+ ，又AB 与DC平行且同向，//EF AB ∴且1||(||||)2EF AB DC ∴=+ ．此即梯形中位线定理．点评：平面几何中的许多命题都可以用向量方法证明，对此我们应该略有感受了，但是不需要在这个问题上作过多的挖掘，适可而止就可以了．(课时训练)解析:解析:例３（教材Ｐ86〖思考与运用〗第6题）说明：本题的结论是三角形中的两个基本定理：一个叫做射影定理；另一个叫做余弦定理．说的详细一些，就是：三角形中的射影定理：已知在ABC 中，BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则有： cos cos a b C c B =+；cos cos b a C c A =+； cos cos c a B b A =+．三角形中的余弦定理：已知在ABC 中，BC 、CA 、AB 的长分别为a 、b 、c ，则有： 2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-．下面来思考本题的证明．BC(1)证： BC BA AC =+ ， BC BC BC BA BC AC ∴⋅=⋅+⋅ ，即2cos cos a ca B ab C =+． ∴cos cos a b C c B =+.(2) 证：22()BC BA AC =+， 2222a c b BA AC ∴=++⋅ 222cos(180)c b cb A =++-222cos c b cb A =+-，即2222cos a b c bc A =+-． 两个定理中其余几个式子可仿上证出．点评：向量作为工具，它的用途是非常广阔的，课本中的Ｐ85例３是必修Ⅱ中的一个解析几何的基本结论，但由于我们的教学安排是先学必修Ⅳ，把必修Ⅱ调到后面学了，所以对这个例题的价值暂时我们还难以体会真切，我们暂时只要知道有用向量能推导出这个结论就可以了，深刻的体会可以随着学习的深入和知识面的拓宽慢慢地去感受．P86第3题属于一样的情况，现在不要去做这个题了．这是教材中的旁白，或者叫做边注，给我们指出的是证明三点共线的一种方法，在今后的解析几何学习中有较为重要的用处．Ⅲ．课堂小结本节学习了用向量解决问题的基本类型和方法，只是一个开头和示范，更多、更灵活的应用，应该由同学们自己去体会和总结．Ⅳ．课外作业课时训练Ｐ63第12课时向量的应用.。
苏教版数学高一苏教版必修4学案2.5向量的应用
课堂导学三点剖析1.数学问题的向量方法【例1】如右图平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC 的长.思路分析：本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决. 解：设AD =a ，AB =b ，则BD =a -b ，AC =a +b .而|BD |=|a -b |=b a b a b b a a •-=•-+=+•-25241||2||22 ∴|BD |2=5-2a ·b =4（*） 又|AC |2=|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2 =|a |2+2a ·b +|b |2=1+4+2a ·b . 由（*）得2a ·b =1， ∴|AC |2=6,∴|AC |=6,即AC =6.温馨提示在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决，过程中采取整体代入，使问题解决简捷明快. 2．物理问题中的向量方法【例2】 如图甲所示，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1，求：甲(1)|F 1|、|F 2|随角θ的变化而变化的情况； （2）当|F 1|≤2|G |时，θ角的取值范围.思路分析：本题主要是利用向量加法的平行四边形法则解决物理问题.乙解：（1）如图乙所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：G =F 1+F 2. 解直角三角形得 |F 1|=,tan ||,cos ||2θθ•=G F G 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|、|F 2|皆逐渐增大. （2）令|F 1|=θcos ||G ≤2|G |， 得cosθ≥21, 又0°≤θ<90°, ∴0°≤θ≤60°. 温馨提示在解决力的合成、力的分解问题时，一般是利用向量的平行四边形法则解决. 3.向量方法的综合应用【例3】已知两恒力F 1（3，4）、F 2（6，-5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0）.试求：（1）F 1，F 2分别对质点所做的功； （2）F 1，F 2的合力F 对质点所做的功.思路分析：本题利用向量数量积知识解决物理中的做功问题，由于给出各分力的坐标，采用坐标法计算，首先求出位移的坐标，代入F ·s 公式即可. 解：AB =（7，0）-（20，15）=（-13，-15）.（1）W 1=F 1·AB =（3，4）·（-13，-15）=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W 2=F 2·AB =（6，-5）·（-13，-15）=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).（2）W =F ·AB =（F 1+F 2）·AB =［(3,4)+(6,-5)］·（-13，-15）=（9，-1）·（-13，-15）=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(焦). 温馨提示力对物体所做的功实际是力与位移的数量积，即W =F ·s ，若用坐标运算，应当注意首先求出位移s 这一向量的坐标，即终点的坐标减去起点的坐标.【例4】△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN=2NC ，AM 与BN 相交于点P.求：AP ∶PM 的值.思路分析：待定系数法求定比的问题. 解：设=e 1,CN =e 2.则AM =AC +CM =-3e 2-e 1,BN =2e 1+e 2.∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在实数λ，μ分别使=λ=-λe 1-3λe 2,BP =μBN =2μe 1+μe 2.故=-=(λ+2μ)e 1+(3λ+μ)e 2. 而=+=2e 1+3e 2. 由基本定理得⎩⎨⎧=+=+,33,22μλμλ解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.53,54μλ即AP =54AM . 故AP ∶PM=4∶1. 温馨提示在解决有关定比问题时，字母顺序易出错，解决本题的关键是选择适当的一对基底，选不好基底，会使题目进入误区. 各个击破 类题演练1已知：在△ABC 中，=a =(x 1,y 1),=b =(x 2,y 2). 求证：△ABC 的面积S=21|x 2y 1-x 1y 2|. 证明：由S △ABC =21|a |·|b |sinA =22)cos |||(||)||(|21A b a b a ••-• =22)(|)||(|21b a b a •-• =22121222222121)()(21y y x x y x y x +-+•+ =22112)(21y x y x - =21|x 2y 1-x 1y 2|. 变式提升1如图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内一点，满足=++，求证：⊥.证明：∵BC=OC-OB,AE=OE-OA=(OA+OB+OC)-OA=OB+OC,∴AE·BC=（OC-OB）·（OC+OB）=|OC|2-|OB|2.∵O为外心，∴|OC|=|OB|，即AE·BC=0，AE⊥BC.类题演练2在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°,60°,如图，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.解：作ABCB，使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,|OA|=|OC|cos30°=1503（N），|AC|=|OC|sin30°=150(N),|OB|=|AC|=150(N).150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是3变式提升24千米/时，水流速度为4千米/时.某人在静水中游泳，速度为3（1）如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向游？速度是多少？（2）他必须往哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际速度是多少？解：（1）如图，4km/h.水流速度v1=4 km/h,游泳速度v2=3设合速度v 与v 1所成角为θ，于是t a nθ=3434=，∴θ=60°. |v |=222221)34(4||||+=+v v =8 km/h.（2）如图，v =244)34(22=-，sinθ=33，θ≈35.26°, 则方向为与水流方向成125.26°的角.实际速度是24km/h.类题演练3如图所示，求两个力f 1、f 2的合力f 的大小和方向（精确到一位小数）.解：设f 1=(a 1,a 2),f 2=(b 1,b 2), 则a 1=300cos30°=259.8,a 2=300sin30°=150,b 1=-200cos45°=-141.4,b 2=200sin45°=141.4, 所以f 1=(259.8,150),f 2=(-141.4,141.4),f =f 1+f 2=(259.8,150)+(-141.4,141.4)=(118.4,291.4), |f |=22)4.291()4.118(+=314.5. 设f 与x 轴的正向夹角为θ，则t a nθ=4.1184.291=2.4611. 由f 的坐标知θ是第一象限的角，所以θ=67°53′.答：两个力的合力是314.5 N,与x 轴的正方向的夹角为67°53′，与y 轴的夹角为22°7′. 变式提升3如图，质量为m 的物体静止地放在斜面上，斜面与水平面的夹角为α，求斜面对于物体的摩擦力的大小f.解析：如图，物体受三个力：重力w （方向竖直向下，大小为mgN ）,斜面对物体的支持力p (方向垂直于斜面斜向上，设其大小为pN),摩擦力f (沿斜面支持力的方向，大小为fN)，由于物体静止，这三个力平衡，合力为0；w+p+f=0（*）记垂直于斜面斜向下方、大小为1 N的力为e1，沿斜面下降方向、大小为1 N的力为e2，以e1、e2为基底，写出所涉及的三个力的坐标，则p=（-p,0）,f=(0,-f),由e1旋转到w方向的角为α，则w的坐标为（mgcosα,mgsinα）.由（*），得w+p+f=（mgcosα,mgsinα）+(-p,0)+(0,-f)=(mgcosα-p,mgsinα-f)=(0,0).故mgsinα-f=0,f=mgsinα(N).类题演练4求证：直径上的圆周角是直角.解析：已知：AC为⊙O的一条直径，∠ABC是圆周角.求证：∠ABC=90°.证明：设AO=a, OB=b.则AB=a+b,OC=a,BC=a-b,|a|=|b|.由于AB·BC=（a+b）·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以AB⊥BC.由此得∠ABC=90°.即直径上的圆周角为直角.变式提升4已知圆C：(x-3)2+(y-3)2=4和点A（1，1），M为圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA=2AN，求点N的轨迹方程.解析：设M（x0,y0）,N(x,y).由=2AN，得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1).所以⎩⎨⎧+-=+-=.32,3200y y x x代入方程(x-3)2+(y-3)2=4， 整理得x 2+y 2=1.所以所求的轨迹方程为x 2+y 2=1.。
高中数学苏教版必修4教案：第二章 平面向量 第11课时 2.5向量的应用
第11课时 §2.5 向量的应用
【教学目标】
一、知识与技能
体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力和解决实际问题的能力.
二、过程与方法
.经历用向量法解决某些简单的几何问题,力学问题的过程.
三、情感、态度与价值观
使学生通过对问题的分析，转化，从深层次上认识学科之间的内在联系，并深刻认识数学的工具性作用，学会转化矛盾的方法，增强解决矛盾的能力，培养学生的创新精神
【教学重点难点】向量知识的应用
【教学过程】
一、复习：
①向量是既有大小又有方向的量,它既有代数特征,又有几何特征;
②通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化,所以向量是数型结合的桥梁; ③向量也是解决许多物理问题的有力工具
二、新课讲解：
三、例题分析：
例1、如图所示,无弹性的细绳OB OA ,的一端分别固定在B A ,处,同质量的细绳OC 下端系着一个称盘,且使得OC OB ⊥试分析OC OB OA ,,三根绳子受力的大小,判断哪根绳子受力最大.(物理学中的应用)
例2、.已知:BC OA ⊥,AC OB ⊥，求证:AB OC ⊥
思考:你能否画一个几何图形来解释例2
例3、已知直线l 经过点),(111y x P 和),(222y x P ,用向量方法求l 的方程.
四、课时小结：本节课主要内容是应用向量解决某些简单问题.
五、反馈练习：。
【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.5 向量的应用教案 苏教版必修4
〖2．5向量的应用〗之小船创作(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能会用向量方法处理简单的物理和几何问题．2．过程与方法通过本节的学习，研究向量法和坐标法处理物理和几何问题的思想．3．情感、态度与价值观(1)培养分析事物间相互联系的能力，提高学科间相互渗透的学习方法．(2)通过对实际问题的抽象思考，培养分析问题和应用知识解决问题的意识与能力．(3)培养热爱生活、热爱自然的高尚情怀．●重点难点重点：用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．难点：用向量方法解决实际问题的基本方法．(教师用书独具)●教学建议关于向量方法在平面几何及物理中的教学教学时，建议教师在引导学生回顾向量的线性运算、数量积运算及向量加减法的几何意义、向量共线定理、平面向量基本定理等知识的前提下，通过实例充分展示向量的工具性，突出其在生产实际中的应用，在巩固知识的同时，激发学生的学习兴趣，培养学生的创新和开拓能力．●教学流程错误!错误!错误!错误!错误!课标解读1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题．2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”向量在物理中的应用图2－5－1如图2－5－1，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，θ角的取值范围．【思路探究】由力的平衡原理知，重力G是绳子的拉力和水平拉力的合力，且G⊥F2，F1与G的夹角为π－θ，解三角形求得力的大小与θ的关系，再回答相关问题．【自主解答】(1)由力的平衡原理知，G＋F1＋F2＝0，作向量OA→＝F1，OB→＝F2，OC→＝－G，则OA→＋OB→＝OC→，∴四边形OACB为平行四边形，如图．由已知∠AOC＝θ，∠BOC＝π2，∴|OA→|＝|OC→|cos θ，|OB→|＝|AC→|＝|OC→|tan θ.即|F1|＝|G| cos θ，|F2|＝|G|tan θ，θ∈[0，π2)．由此可知，当θ从0逐渐增大趋向于π2时，|F1|，|F2|都逐渐增大．(2)当|F1|≤2|G|时，有|G|cos θ≤2|G|，∴cos θ≥12，又θ∈[0，π2)．∴θ∈[0，π3]．1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．图2－5－2如图2－5－2，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为2π3，求F3的大小．【解】∵F1，F2，F3三个力处于平衡状态，∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)，∴|F3|＝|F1＋F2|＝F1＋F22＝F21＋2F1·F2＋F22＝1＋2×1×2×cos 2π3＋4＝3.向量在平面几何中的应用图2－5－3如图2－5－3所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.【思路探究】以点D为原点建立直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ，求出向量PA→与EF→的坐标，分别求出它们的长度判断即可．【自主解答】建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜2)，则A(0,1)，P(22λ，2 2λ)，E(1，22λ)，F(22λ，0)．∴PA→＝(－22λ，1－22λ)，EF→＝(22λ－1，－22λ)，∴|PA→|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，|EF→|＝22λ－12＋－22λ2＝λ2－2λ＋1，∴|PA →|＝|EF →|，∴PA ＝EF .用向量证明平面几何问题的方法，常见有两种思路：(1)向量的线性运算法 选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化(2)向量的坐标运算法建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化 已知直角三角形的两直角边长分别为2和4，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值．【解】 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别是BC ，AC 边的中点．BC ＝2，AC ＝4.则CD ＝1，CE ＝2.∴|AD →|＝AC →2＋CD→2＝17， |BE →|＝BC →2＋CE→2＝2 2. AD →·EB →＝(AC →＋CD →)·(EC →＋CB →)＝AC →·EC →＋AC →·CB →＋CD →·EC →＋CD →·CB →＝4×2＋0＋0＋1×2＝10.设AD →与EB →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·EB→|AD →||EB →|＝1017×22＝53434. 故直线AD 和BE 所夹的锐角的余弦值为53434. 法二 如图所示建立直角坐标系，点C 为原点，两直角边为坐标轴．其中点A (0,4)，B (2,0)，D (1,0)，E (0,2)．则AD →＝(1，－4)，EB →＝(2，－2)．∴AD →·EB →＝1×2＋(－4)×(－2)＝10.|AD →|＝12＋－42＝17，|EB →|＝22＋－22＝2 2.设AD →与EB →的夹角为θ，则cos θ＝AD →·EB→|AD →||EB →|＝1017×22＝53434. 故直线AD 和BE 所夹的锐角的余弦值为53434. 向量在解析几何中的应用 已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程． 【思路探究】 一般要先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM →，MQ →，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．【自主解答】 设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点，设 A (0，b )，Q (a,0)(a ＞0)，则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )．∵AM →＝－32MQ →，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )． ∴a ＝x 3，b ＝－y2， 则A (0，－y 2)，Q (x3，0)，PA →＝(3，－y 2)，AM →＝(x ，32y )． ∵PA →·AM →＝0，∴(3，－y 2)·(x ，32y )＝0. ∴3x －34y 2＝0，∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)． 利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算使问题得以解决．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －6，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝2AP →，求点P 的轨迹方程．【解】 设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则RA →＝(1,0)－(x 0，y 0)＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x ，y )－(1,0)＝(x －1，y )．由RA →＝2AP →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －1，－y 0＝2y ，又∵点R 在直线l ：y ＝2x －6上，∴y 0＝2x 0－6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －26－2x 0＝2y ①②由①得x 0＝3－2x ，代入②得6－2(3－2x )＝2y ，整理得y ＝2x ，即为点P 的轨迹方程. 应用问题的题意理解不清致误 在水流速度为4 3 km/h 的河水中，一艘船以12 km/h 的实际航行速度垂直于对岸行驶，求这艘船的航行速度的大小与方向．【错解】 如图所示，设AB →表示水流速度，AC →表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB →，AC →为邻边作▱ABDC ，则AD →就是船的航行速度．由|AC →|＝12，得|AC →|＝|BD →|＝12，又∵|AB →|＝43，∴|AD →|＝432＋122＝83(km/h)．∵tan ∠DAB ＝1243＝3，∴∠DAB ＝60°， ∴船的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流方向的夹角为60°.【错因分析】 错解中错在没有正确理解题意，导致船的航行方向求解错误．【防范措施】 准确理解题意，抽象出物理问题中的向量，建立为以向量为主体的数学模型，是解决此类问题的关键所在．【正解】 如图所示，设AB →表示水流速度，AC →表示船垂直于对岸行驶的速度，以AB →为一边，AC →为一对角线作▱ABCD ，则AD →就是船的航行速度．∵|AB →|＝43，|AC →|＝12，∴|AD →|＝|BC →|＝83，∴tan ∠ACB ＝4312＝33. ∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∴∠BAD ＝120°，∴船的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流方向的夹角为120°.1．平面向量在几何表示下的应用通常先选取一组基底，基底中的向量最好已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系．2．平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．实现向量的坐标化，有时是最不容易做到的．3．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.1．若向量OF→1＝(2,2)，OF→2＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝________.【解析】∵F1＋F2＝(2,2)＋(－2,3)＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝0＋52＝5.【答案】52．在△ABC中，A(－1,2)，B(3,1)，C(2，－3)，则AC 边上的高所在直线方程为________．【解析】AC→＝(3，－5)，设P(x，y)是所求直线上任意一点，BP→＝(x－3，y－1)，所以AC边上的高所在的直线方程为AC→·(x－3，y－1)＝0，即3x－5y－4＝0.【答案】3x－5y－4＝03．在四边形ABCD中，若AB→＋CD→＝0，AB→·BC→＝0，则四边形的形状为________．【解析】∵AB→∥CD→，|AB→|＝|CD→|，且AB→⊥BC→，故四边形ABCD为矩形．【答案】矩形图2－5－44．如图2－5－4所示，在平行四边形ABCD中，已知AD ＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．【解】设AD→＝a，AB→＝b，则BD→＝a－b，AC→＝a＋b.∵|BD→|＝|a－b|＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝1＋4－2a·b＝5－2a·b，∴|BD→|2＝5－2a·b＝4.可得2a·b＝1.∵|AC→|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b，∴|AC→|2＝6，∴|AC→|＝6，即AC＝ 6.一、填空题1．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)________．【解析】5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．【答案】(10，－5)2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某一物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于________．【解析】由题意可知f4＝－(f1＋f2＋f3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．【答案】(1,2)3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于________．【解析】∵∠C＝90°，∴AC→·CB→＝0，∴AB→·AC→＝(AC→＋CB→)·AC→＝AC→2＋CB→·AC→＝16.【答案】164．(2013·无锡高一检测)若四边形ABCD满足AB→＋CD→＝0，(AB→－AD→)·AC→＝0，则该四边形的形状一定是________．【解析】∵AB→＋CD→＝0，∴AB→＝DC→，∴AB綊CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵(AB→－AD→)·AC→＝0，∴DB→·AC→＝0，∴DB→⊥AC→，∴四边形ABCD是菱形．【答案】菱形5．(2013·重庆高考)在OA为边，OB为对角线的矩形中，OA→＝(－3,1)，OB→＝(－2，k)，则实数k＝________.【解析】如图所示，由于OA→＝(－3,1)，OB→＝(－2，k)，所以AB→＝OB→－OA→＝(1，k－1)．在矩形中，由OA→⊥AB→得OA→·AB→＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k＝4.【答案】 46．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则O 是△ABC 的________心．【解析】 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →⇔OB →·(OA →－OC →)＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →.同理OC →⊥BA →，OA →⊥BC →，故点O 为△ABC 的垂心．【答案】 垂7．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.【解析】 ∵|OA →|＝1，|OB →|＝1，|AB →|＝3，∴∠AOB ＝120°，∴OA →·OB →＝1×1×cos 120°＝－12. 【答案】 －128．已知船在静水中的速度大小为5 m/s ，且船在静水中的速度大小大于水流速度大小，河宽为20 m ，船垂直到达对岸用的时间为5 s ，则水流速度大小为________m/s.【解析】 设船在静水中的速度为v 1，水流速度为v 2，船的实际速度为v 3，建立如图所示的平面直角坐标系．|v 1|＝5 m/s ，|v 3|＝205＝4 m/s ，则v 3＝(0,4)，v 1＝(－3,4)， v 2＝v 3－v 1＝(0,4)－(－3,4)＝(3,0)．∴|v 2|＝3 m/s ，即水流的速度大小为3 m/s.【答案】 3二、解答题9．已知，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，求证AC ⊥BD .【证明】 ∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2＝0，∴AC →⊥BD →，即AC ⊥BD .10．一条小船以10 km/h 的速度向垂直于对岸方向航行，小船实际行驶的方向与水流方向成60°角，求水流速度大小与船的实际速度大小．【解】 如图所示，OM →表示小船垂直于对岸行驶的速度，ON →表示水流速度，OP →表示船的实际速度．则由题意知∠NOP ＝60°，|OM →|＝10，又∵四边形OMPN 是矩形，∴|OM →|＝|OP →|sin 60°＝10. ∴|OP →|＝10sin 60°＝2033. ∴|ON →|＝|OP →|cos 60°＝2033×12＝1033. ∴水流速度为1033km/h ， 船的实际速度为2033km/h. 11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN ，求点N 的轨迹方程．【解】 设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，则MA →＝(1－x 0,1－y 0)，AN →＝(x －1，y －1)，由MA →＝2AN →，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －1，1－y 0＝2y －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y ＋3，又点M 在圆C 上，即(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，∴(－2x ＋3－3)2＋(－2y ＋3－3)2＝4，即x 2＋y 2＝1，∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.(教师用书独具)在△OAB 的边OA 、OB 上分别有一点P 、Q ，已知OP ∶PA ＝1∶2，OQ ∶QB ＝3∶2，连结AQ 、BP ，设它们交于点R ，若OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 与b 表示OR →；(2)若|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，过点R 作RH ⊥AB 交AB 于点H ，用a 与b 表示OH →.【思路探究】 本题主要考查向量的线性运算、共线向量和向量的垂直，充分利用三点共线的隐含条件是解决本题的关键．【自主解答】 (1)OP →＝13OA →＝13a ，OQ →＝35OB →＝35b ， 由A 、R 、Q 三点共线，可设AR →＝mAQ→， 故OR →＝OA →＋AR →＝a ＋mAQ →＝a ＋m (OQ →－OA →)＝(1－m )a ＋35m b .同理，由B 、R 、P 三点共线，可设BR →＝nBP→， 故OR →＝OB →＋BR →＝b ＋n (OP →－OB →)＝n 3a ＋(1－n )b ， 由于a 与b 不共线，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝n 3，35m ＝1－n .解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝56，n ＝12.∴OR →＝16a ＋12b . (2)由A 、H 、B 共线，可设BH →＝λBA →，则OH →＝λa ＋(1－λ)b ，RH→＝OH→－OR→＝(λ－16)a＋(12－λ)b.又RH→⊥AB→，∴RH→·AB→＝0，即[(λ－16)a＋(12－λ)b]·(b－a)＝0.又a·b＝|a|·|b|cos θ＝1，θ＝60°，∴λ＝12，∴OH→＝12a＋12b.利用向量的方法很容易解决几何中的长度计算与角度计算问题，特别在证明一些垂直关系等问题中充分体现了向量的广泛应用．(2013·太原高一检测)如图，平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝13 BC，(1)以a，b为基底表示向量AM→与HF→；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求AM→·HF→.【解】(1)∵M为DC的中点，∴DM→＝12DC→，又DC→＝AB→，∴AM→＝AD→＋DM→＝AD→＋12AB→＝12a＋b，∵H为AD的中点，BF＝13 BC，∴AH→＝12AD→，BF→＝13BC→，又BC→＝AD→，∴HF→＝HA→＋AB→＋BF→＝－12AD→＋AB→＋13AD→＝AB→－16AD→＝a－16b.(2)由已知得a·b＝3×4×cos 120°＝－6，AM→·HF→＝(12a＋b)·(a－16b)＝12a2＋(1－112)a·b－16b2＝12×32＋1112×(－6)－16×42＝－113.。
苏教版高中数学必修四教学案：第2章 2.5 向量的应用 -含答案
[例1] 如图所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．[思路点拨] 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．[精解详析] 如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°. 在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.|OA |＝|OC |cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB |＝|OC |sin 30°＝12×300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. [一点通] 在解决力的合成与力的分解问题时，一般是通过作出受力分析图结合力的平衡原理，再辅之以向量加法的平行四边形法则使问题获得简捷、有效的解决．因此，在运用向量解决物理问题时，一定要把数学知识和物理的实际情况有机结合起来，这是有效解决此类问题的根本方法．1．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________．解析：由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. ∴|F 3|＝27. 答案：272．在水流速度为4 3 km/h 的河中，一艘船以12 km/h 的实际速度垂直对岸行驶，求这艘船在静水中航行速度的大小与方向．解：如图，设AB 表示水流速度，AC 表示船行驶的实际速度，以AB 为一边，AC 为一对角线作平行四边形ABCD ，则AD 就是船在静水中的航行速度．∵|AB |＝4 3.|AC |＝12，∴|AD |＝|BC |＝83，tan ∠ACB ＝4312＝33，∴∠CAD ＝∠ACB ＝30°，∠BAD ＝120°.故船在静水中的航行速度大小为8 3 km/h ，与水流方向夹角为120°.[例2] 如图，在等腰直角△ABC 中，角C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上的一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .[思路点拨] 欲证AD ⊥CE ，即证AD ·CE ＝0.由于已有CA ·CB ＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．[精解详析] 法一：记CA ＝a ，CB ＝b ， 则AB ＝b －a ，且a ·b ＝0，|a |＝|b |. 因为AD ＝CD －CA ＝12b －a ，CE ＝AE －AC ＝23(b －a )＋a ＝23b ＋13a ，所以AD ·CE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23b ＋13a ＝13b 2－13a 2＝0. 可得AD ⊥CE .法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC ＝BC ＝2，则C (0,0)，A (2,0)，B (0,2)， 因为D 是CB 的中点，则D (0,1)． 所以AD ＝(－2,1)，AB ＝(－2,2)又CE ＝CA ＋AE ＝CA ＋23AB ＝(2,0)＋23(－2,2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43， 所以AD ·CE ＝(－2,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43＝(－2)×23＋43＝0，因此AD ⊥CE .[一点通] (1)证明直线平行，可用平行向量定理；证明直线垂直，可用数量积运算； (2)用向量法证明几何问题，需要选取恰当的基底，进而将其他向量用基底正确表示；如果能够建系，则可用向量的坐标法，借助代数运算达到证明的目的．3．点O 是△ABC 所在平面内一点，满足OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，则点O 是△ABC 的三条________的交点．解析：由OA ·OB ＝OB ·OC 得OB ·(OA －OC )＝0， 即OB ·AC ＝0，所以OB ⊥AC .同理，OC ⊥AB ，OA ⊥BC .所以O 为三条高的交点． 答案：高4.已知：如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条高，且相交于点O ，若DG ⊥BE 于G ，DH ⊥CF 于H ，求证：GH ∥EF .证明：设OA ＝λOD (λ≠0)，∵DG ⊥BE ，AE ⊥BE ，∴DG ∥AE ，同理DH ∥AF ， 则AE ＝λDG ，AF ＝λDH ，∴EF ＝AF －AE ＝λ(DH －DG )＝λGH . ∴GH ∥EF ，又∵GH ，EF 没有公共点，∴GH ∥EF .[例3] 已知点P (－3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴上的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足PA ·AM ＝0，AM ＝－32MQ ，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．[思路点拨] 先设出动点坐标即M (x ，y )，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM ，MQ ，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程．[精解详析] 设点M (x ，y )为轨迹上的任意一点， 设A (0，b )，Q (a,0)(a >0)，则AM ＝(x ，y －b )，MQ ＝(a －x ，－y )， ∵AM ＝－32MQ ，∴(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )，∴a ＝x 3，b ＝－y 2，则A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－y 2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x3，0，PA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2，AM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y .∵PA ·AM ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫3，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32y ＝0.∴3x －34y 2＝0， ∴所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．[一点通] (1)正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标是解题的关键．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．5．过点M (2,3)且平行于向量a ＝(2,3)的直线方程为________．解析：设P (x ，y )是所求直线上的任意一点(M 除外)，则MP ＝(x －2，y －3)． ∵该直线平行于向量a ＝(2,3)， ∴2(y －3)＝3(x －2)即3x －2y ＝0. 又点M (2,3)在直线3x －2y ＝0上， 故所求直线方程为3x －2y ＝0. 答案：3x －2y ＝06．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA ＝2AN ，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0，y 0)，N (x ，y )，由MA ＝2AN 得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y .代入方程：(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，得x 2＋y 2＝1.∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.1．向量法解决物理问题的步骤(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题；(2)建立以向量为主体的数学模型；(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．2．利用向量研究平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．3．向量在解析几何中的应用利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l：Ax＋By＋C＝0，则向量a＝(A，B)即为直线l的法向量，b＝(1，k)或c＝(－B，A)为直线l的方向向量．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋c2＝0是否垂直，均可由向量解决．由于n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，则n1·n2＝0⇔n1⊥n2⇔l1⊥l2.课下能力提升(二十二)一、填空题1．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b<0，则△ABC的形状为________．解析：由a·b<0⇒∠A>90°，故为钝角三角形．答案：钝角三角形2．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为________．解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(A点除外)，则AP⊥a，∴AP·a＝0.又∵AP＝(x－2，y－3)．∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.又∵点A(2,3)在直线2x＋y－7＝0上，∴所求直线方程为2x＋y－7＝0.答案：2x＋y－7＝03．作用于原点的两个力F1＝(1,1)，F2(2,3)，为使它们平衡，需要加力F3＝________.解析：要使它们平衡，则合力大小为0，F 1＋F 2＋F 3＝0，设F 3＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＋x ＝0，1＋3＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－4，故F 3＝(－3，－4)．答案：(－3，－4)4．当两人提起重量为|G |的旅行包时，两人用力都为|F |，夹角为θ，若|F |＝|G |，则θ的值为________．解析：作OA ＝F 1，OB ＝F 2，OC ＝－G ，则OC ＝OA ＋OB ，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形，∴∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°. 答案：120°5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则OA ·OB ＝__________.解析：如图，取D 为AB 的中点， ∵OA ＝1，AB ＝3，∴∠AOD ＝π3.∴∠AOB ＝2π3.∴OA ·OB ＝1×1×co s 2π3＝－12.答案：－12二、解答题6.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD ＝a ，AB ＝b ，则AC ＝a ＋b ，BD ＝a －b ， 由已知|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2.则(a －b )2＝|a －b |2＝4，即a 2－2a ·b ＋b 2＝4， 则1－2a ·b ＋4＝4，所以a ·b ＝12.所以|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋4＝6，即|a ＋b |＝ 6.故|AC |＝6，即对角线AC 的长为 6.7．在直角三角形ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠A ＝90°，CD 是直角三角形ABC 的角平分线，求CD 的长．解：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,3)，则CA ＝(0，－3)，CB ＝(4，－3)，|CA |＝3，|CB |＝42＋－2＝5.设D (x,0)，则CD ＝(x ，－3)， 又∵CD 是直角三角形ABC 的角平分线，∴CD ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫CA |CA |＋CB |CB |＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤，－3＋，－5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ5，－8λ5，∴⎩⎪⎨⎪⎧4λ5＝x ，－8λ5＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，λ＝158，CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3，故CD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋－2＝352，∴CD 的长为352.8．某人骑车以每小时a 公里的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度为2a 公里/小时时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解：设a 表示此人以每小时a 公里的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a . 设实际风速为v ，那么此人感到的风速为v －a ，如图所示，设OA ＝－a ，OB ＝－2a ，∵PO ＋OA ＝PA ，∴PA ＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速．∵PO ＋OB ＝PB ，∴PB ＝v －2a ，于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB .由题意：∠PBO ＝45°，PA ⊥BO ，BA ＝AO ， 从而△POB 为等腰直角三角形， ∴PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a ， ∴实际为风速是2a 的西北风．。
高中数学 2.5 向量的应用第一课时互动课堂学案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学学案
高中数学 2.5 向量的应用第一课时互动课堂学案 苏教版必修4 疏导引导1.向量在平面几何中的应用向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题. 案例1 求证平行四边形对角线互相平分，【探究】如图所示，已知ABCD 的两条对角线相交于点M ，设AM =x AC ，BM =y BD ，则 AM =x AC =x AB +x AD ，AM =AB +BM =AB +y BD =AB +y （AD -AB ）=（1-y ）AB +y AD .于是我们得到关于基底{AB 、AD }的AM 的两个分解式，因为分解式是唯一的，所以⎩⎨⎧=-=.,1y x y x 解得x=21，y=21，故M 是AC 、BD 的中点，即对角线AC 、BD 在交点互相平分. 通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为：①建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.②通过向量运算，解决几何元素之间的关系.③把运算结果翻译成几何关系.规律总结 （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的定义.(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件.(3)证明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件a ⊥b ⇔a ·b =0.(4)求与夹角相关的问题,常用向量的夹角公式cosθ=||||b a b a ••. 2.向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x,y ）既可表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决.案例2 求通过点A （-1，2），且平行于向量a =（3，2）的直线方程.【探究】过点A 且平行于向量a 的直线是唯一确定的，把这条直线记为l ，在l 上任取一点P （x,y ），则AP ∥a .如果P 不与A 重合,由向量平行,它们的坐标满足条件223)1(-=--y x . 整理得方程2x-3y+8=0.反过来,所有以此方程的解(x,y)为坐标的点也一定在直线l 上,所以这个方程,就是所求的直线方程.规律总结 设直线的倾角为α,斜率为k,向量a =(a 1,a 2)平行于l,则有 k=tanα=12a a . 活学巧用【例1】 如图，若D 是△ABC 内一点，且有AB 2-AC 2=DB 2-DC 2.求证:AD ⊥BC.解析:欲证AD ⊥BC,只须证明AD⊥BC 即可. 设AB =a ,AC =b .AD =e ,DB =c .DC =d,则a =e +c ，b =e +d. ∴a 2-b 2=(e +c )2-(e +d)2=c 2+2e ·c -2e ·d -d 2.由已知a 2-b 2=c 2-d 2,∴c 2+2ec -2e d-d 2=c 2-d 2.故有e ·(d -c )=0,∴AD ⊥BC ,即AD ⊥BC.【例2】 已知直角三角形的两条直角边长分别为4和6,试用向量求出两直角边中线所成钝角的余弦值.解析:本题给出了直角三角形的两直角边长,用坐标法,写出相应点的坐标,再用向量夹角公式求解.以直角边所在直线为x 轴,y 轴建立如图直角坐标系,则A （4，0），B （0，6），设AF ，BE 分别为OB 、OA 边上的中线，则E （2，0），F （0，3）.因AF =（-4，3），BE =（2，-6）.所以cos 〈AF ·BE 〉501013||||-=•BE AF BEAF .所以两中线所成钝角的余弦值为501013-. 【例3】 平面内三点A 、B 、C 在一条直线上，OA =（-2，m ），OB =（n ，1），OC =（5，-1）.且OA ⊥OB ，求实数m,n 的值.解析：因为A 、B 、C 三点共线. 所以AC =λAB . 因为AC =OC -OA =（7，-1-m ）, AB=OB -OA =（n+2，1-m ）,所以（7,-1-m ）=λ(n+2,1-m).)2()1().1(1),2(7⎩⎨⎧-=++=m m n λλ 所以m·n -5m+n+9=0. 由OA ·OB =0得m-2n=0， ②由①②得⎩⎨⎧==.3,6n m 或⎪⎩⎪⎨⎧==.23,3n m 【例4】 已知直线l ：Ax+By+c=0,n =（A·B）求证：n⊥l.证明：设（x 0,y 0）为l 的方程的一个解，则Ax 0+By 0+C=0（*）.对l 的方程和（*）式两边作差，整理得A （x-x 0）+B （y-y 0）=0.由向量垂直的条件，得向量n=（A ，B ）与向量（x-x 0,y-y 0）垂直，由于动点（x,y ）的集合就是直线l ，所以n⊥l.【例5】如图所示，是并列的三个大小相同的正方形，求证：∠1+∠2+∠3=90°.解：以O 为坐标原点，OC 、OG 所在的直线为x,y 轴建立坐标系如图，设正方形边长为1，则OD =（3，1），OE =（2，1），作向量OH =（3，-1）， 则OE 与OH 的夹角等于∠2+∠3.∵|OE |=5，|OH |=10.OE ·OH =2×3+1×（-1）=5. ∴cos〈OE ·OH 〉22||||=OH OE OHOE . ∵〈OE ·OH 〉∈［0°,180°］， ∴〈OE ·OH 〉=45°,即∠2+∠3=45°.∵∠1=45°，∴∠1+∠2+∠3=90°.。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 向量的应用教案 苏教版必修4(2021年最新整理)
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2.5 向量的应用错误!教学分析1．在生产和日常生活中，有时会遇到既有大小，又有方向的量，这就为采用向量法解决问题提供方便,向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征，通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁．这样向量又为解决几何问题提供了理论基础，本节主要在于让学生了解向量来源于实际又为解决实际问题及几何问题提供方便,教学中注意难度的控制，同时还要注意,向量也是解决许多物理问题的有力工具．2．本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工具的优越性．对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算"来代替“数和数的运算”．这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果．代数方法的流程图可以简单地表述为：则向量方法的流程图可以简单地表述为：这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”，也是本节的重点．3．研究几何可以采取不同的方法．这些方法包括:综合方法——不使用其他工具，对几何元素及其关系直接进行讨论;解析方法——以数（代数式)和数（代数式）的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论;向量方法--以向量和向量的运算为工具,对几何元素及其关系进行讨论；分析方法—-以微积分为工具，对几何元素及其关系进行讨论,等等．前三种方法都是中学数学中出现的内容．有些平面几何问题，利用向量方法求解比较容易．使用向量方法的要点在于用向量表示线段或点，根据点与线之间的关系，建立向量等式，再根据向量的线性相关与无关的性质，得出向量的系数应满足的方程组，求出方程组的解，从而解决问题．使用向量方法时，要注意向量起点的选取,选取得当可使计算过程大大简化．①通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；②认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；④利用这个结果，对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题．教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较，得出抽象的数学模型．例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型．同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题．这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用．三维目标1．通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”．理解并掌握用向量方法解决平面几何问题的步骤．明了平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示．2．通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识，激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义．教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段．重点难点教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步曲"．教学难点：如何将实际问题化归为向量问题．课时安排2课时错误!第1课时导入新课思路1.（直接导入)向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景,当向量和平面坐标系结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算．这就为我们解决物理问题和几何研究带来了极大的方便．本节专门研究平面几何中的向量方法．思路2.(情境导入）由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题．下面通过几个具体实例,说明向量方法在平面几何中的运用．推进新课错误!一、向量在几何中的应用1．证明线段平行问题，包括相似问题,常用向量平行(共线）的条件a∥b⇔a＝λb⇔xy2－x2y1＝0(b≠0)．12．证明垂直问题，常用向量垂直的条件a⊥b a·b＝0x1x2＋y1y2＝0.3．求夹角问题利用夹角公式cosθ＝错误!＝错误!。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.5 向量的应用》9
平面向量复习与小结灌云县陡沟中学顾继勇教学目标：1．进一步了解平面向量的根本定理及其几何意义，掌握平面向量的分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解向量共线的坐标表示；2．进一步理解平面向量数量积的概念及其几何意义，掌握平面向量数量积的坐标表示，并会简单应用；3．进一步掌握将物理问题、实际问题转化为数学问题．教学重点：1．向量共线定理的应用；2．向量根本定理的应用；3．向量的数量积及其坐标表示的应用．教学难点：1．如何将结论和条件建立联系，如何利用图形将未知向量关系转化为向量关系；2．如何利用向量知识解决物理问题及平面几何问题．教学方法：启发教学，谈话式教学相结合．教学过程：2．知识梳理：〔1〕向量是指既有、又有的量，向量的模是指向量的；零向量是指的向量，方向；单位向量是指的向量；〔2〕向量共线定理：；〔3〕平面向量的根本定理：．〔4〕假设A1，1 ，B2，2，那么= ，||= ．〔5〕向量与的夹角为，那么= ．二、学生活动1．命题：①假设≠，且·=·，那么=；②假设=，那么3＜4；③··=··, 对任意向量，，都成立；④2·2=·2；其中正确命题的个数为____ ；2．设，，，用，作基底可将表示，那么实数= ，q= ；3．=〔1，1〕，=〔0，－2〕当= 时, 与共线；4．假设，，且，那么向量与的夹角为．三、数学应用例1 ∣a∣=2，︳b ︳=2，且 a●b=-1﹙1﹚求 a与 b的夹角﹙2﹚求﹙ a-2b﹚●b﹙3﹚当为何值时，向量 ab与向量a-3b 互相垂直例2 〔1〕在ΔABC中，设，，假设，，试以向量、为基底表示向量．〔2〕O为△ABC所在平面内的一点，且满足，试判断△ABC的形状．例3 〔1B〔2〕向量＝1，2，＝–2，–4，||=，假设＋·=，求向量与的夹角．例4 〔1〕设向量、不共线， = 2＋，=＋，=–2，且A、B、D三点共线，求实数的值．〔2〕=2– 3，= 23，其中，不共线，向量=2– 9，问是否存在这样的实数，，使与共线．四、小结1．向量共线的两种处理方法：共线定理和坐标关系；2 向量的两种表现形态：几何表示与坐标表示．要善于转化，向量是处理角的问题重要工具．。
高中数学 第2章 平面向量 2.5 向量的应用学案 苏教版必修4-苏教版高中必修4数学学案
2.5 向量的应用1．会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题． 2．会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理 向量的应用阅读教材P 91～P 92的全部内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若△ABC 是直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( ) (3)在物体的运动过程中，力越大，做功越多．( ) 【解析】 (1)可能AC →·CB →＝0或BA →·AC →＝0，故错误． (2)AB →∥CD →，AB ，CD 亦可能在一条直线上，故错误． (3)W ＝F ·s ＝|F |·|s |cos θ，故错误． 【答案】 (1)× (2)× (3)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]向量在物理中的应用如图251所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．图251【精彩点拨】 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．【自主解答】 如图，作平行四边形OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°. |OA →|＝|OC →|cos 30°＝300×32＝1503(N)，|OB →|＝|OC →|s in 30°＝12×300＝150(N)．故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.1．解力向量题时，依据题意对物体进行受力分析，通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成．2．解题时要明确各个力之间的关系及它们各自在题目中的地位，借助于图形，将物理量之间的关系抽象为数学模型．[再练一题]1．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． 【解】 (1)AB →＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99 J 和－3 J. (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102 J.向量在平面几何中的应用如图252所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF⊥DE .【导学号：06460066】图252【精彩点拨】 法一，选取基底，并证明DE →·AF →＝0. 法二，建立平面直角坐标系证明AF →·DE →＝0.【自主解答】 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0，故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .用向量法证明平面几何问题的方法，有两种常见思路： (1)向量的线性运算法：选取基底→把待证问题用基底线性表示→利用向量的线性运算或数量积找相应关系→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法：建立适当的坐标系→把相关量坐标向量化→ 利用向量的坐标运算找相应关系→把向量问题几何化但比较以上两种方法，易于知道，如果题目建系比较方便，坐标法更好用．[再练一题]2．如图253，已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，求证：O 为△ABC 的垂心．图253【证明】 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则BC →＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a ，由题设：|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2，化简：a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2，得c·b ＝a·c ＝b·a ， 从而AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b·c －a·c ＝0，∴AB →⊥OC →. 同理BC →⊥OA →，CA →⊥OB →， 所以O 为△ABC 的垂心．[探究共研型]平面向量在解析几何中的应用探究1 P 0x 0y 0a k l 的方程？ 【提示】 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0)． 由题意可知P 0P →∥a ，∴y －y 0＝k (x －x 0)．探究2 如何利用向量求经过点P 0(x 0，y 0)，且与a ＝(1，k )垂直的直线l 的方程？ 【提示】 设直线l 上任意一点P (x ，y )，则P 0P →＝(x －x 0，y －y 0)．由题意可知P 0P →⊥a ，∴(x －x 0)＋k (y －y 0)＝0.已知△ABC 的三个顶点A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)，点D ，E ，F 分别为边BC ，CA ，AB 的中点．(1)求直线DE ，EF ，FD 的方程； (2)求AB 边上的高线CH 所在直线方程．【精彩点拨】 (1)先求出D ，E ，F 的坐标，再借助共线知识求方程，(2)借助数量积求解．【自主解答】 (1)由已知得点D (－1,1)，E (－3，－1)，F (2，－2)，设M (x ，y )是直线DE 上任意一点，则DM →∥DE →.DM →＝(x ＋1，y －1)，DE →＝(－2，－2)， ∴(－2)×(x ＋1)－(－2)×(y －1)＝0， 即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程． 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N (x ，y )是CH 所在直线上任意一点，则CN →⊥AB →，∴CN →·AB →＝0. 又CN →＝(x ＋6，y －2)，AB →＝(4,4)， ∴4(x ＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程．利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.[再练一题]3．已知点A (2，－1)．(1)求过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程； (2)求过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程．【解】 (1)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1)．由题意知AP →∥a ，即(x －2)－5(y ＋1)＝0，即x －5y －7＝0. 故过点A 与向量a ＝(5,1)平行的直线方程为x －5y －7＝0. (2)设所求直线上任一点P (x ，y )，则AP →＝(x －2，y ＋1)． 由题意知，AP →⊥a ，即AP →·a ＝0， 即5(x －2)＋(y ＋1)＝0，即5x ＋y －9＝0.故过点A 与向量a ＝(5,1)垂直的直线方程为5x ＋y －9＝0.[构建·体系]1．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4＝________.【解析】 由题意知f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2)． 【答案】 (1,2)2．飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h.【解析】 由速度的分解可知水平方向的分速度大小为300×cos 30°＝1503(km/h)． 【答案】 150 33．在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，则实数k ＝________. 【导学号：06460067】【解析】 如图所示，由于OA →＝(－3,1)，OB →＝(－2，k )，所以AB →＝OB →－OA →＝(1，k －1)．在矩形中，由OA →⊥AB →得OA →·AB →＝0，所以(－3,1)·(1，k －1)＝0，即－3×1＋1×(k －1)＝0，解得k ＝4.【答案】 44．过点A (3，－2)且垂直于向量n ＝(5，－3)的直线方程是________． 【解析】 设P (x ，y )为直线上的任意一点， ∴AP →＝(x －3，y ＋2)，AP →⊥n ， ∴5(x －3)－3(y ＋2)＝0， 即5x －3y －21＝0. 【答案】 5x －3y －21＝05．如图254，已知AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上任一点(不与A ，B 重合)，求证：∠APB ＝90°.(用向量方法证明)图254【证明】 连结OP ， 设向量OA →＝a ，OP →＝b ，则OB →＝－a 且PA →＝OA →－OP →＝a －b ， PB →＝OB →－OP →＝－a －b ，∴PA →·PB →＝b 2－a 2＝|b |2－|a |2＝0， ∴PA →⊥PB →，即∠APB ＝90°.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十三) 向量的应用(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．已知一物体在共点力F 1＝(2,2)，F 2＝(3,1)的作用下产生位移s ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则共点力对物体所做的功为________．【解析】 对于合力F ＝(5,3)， 其所做的功为W ＝F·s ＝52＋92＝7.【答案】 72．若A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则△ABC 的形状为________． 【解析】 AB →＝(1,1)，AC →＝(－3,3)，AB →·AC →＝0， 即AB →⊥AC →，故△ABC 为直角三角形． 【答案】 直角三角形3．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)，设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为________(速度单位：m/s ，长度单位：m)．【解析】 5秒后点P 的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)． 【答案】 (10，－5)4.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图255，已知物体重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．图255【解析】 因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.【答案】 10 N5．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________．【解析】 由OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，可得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，(OA →－OC →)·OB →＝0，即CA →·OB →＝0，CA →⊥OB →，同理可证OC →⊥AB →，OA →⊥BC →.所以O 是△ABC 的垂心，即三条高的交点．【答案】 垂心6．等腰直角三角形ABC 中，C ＝90°，且A (－1,2)，C (1,1)，则B 的坐标为________． 【解析】 设B 的坐标为(x ，y )， 则CB →＝(x －1，y －1)，又AC →＝(2，－1)． 由题意知：|CB →|＝|AC →|，且CB →·AC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝5，2x －1－y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.【答案】 (0，－1)或(2,3)7．如图256，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，则对角线AC 的长为________．【导学号：06460068】图256【解析】 ∵AC →＝AB →＋AD →， ∴AC →2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，① 又BD →＝AD →－AB →，∴BD →2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，② ∴①＋②得 AC →2＋BD →2＝2(AB →2＋AD →2)．又AD ＝1，AB ＝2，BD ＝2， ∴AC ＝ 6.【答案】 6 8．当两人提起重量为|G |的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为________．【解析】 如图，|F 1|＝|F 2|＝|G |2cos θ2.∵|F 1|＝|F 2|＝|G |，∴2cos θ2＝1，∴θ＝120°. 【答案】 120°二、解答题9．如图257所示，四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线，试用向量证明：AC ⊥BD .图257【证明】 ∵AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴AC →·BD →＝(AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝|AD →|2－|AB →|2＝0.∴AC →⊥BD →.∴AC ⊥BD .10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1)，M 是圆C 上的任一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．【解】 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)．因为MA →＝2AN →，所以(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 0＝2x －2，1－y 0＝2y －2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ， 又因为点M (x 0，y 0)在圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4上，所以(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4，所以(2x )2＋(2y )2＝4，即x 2＋y 2＝1，所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.[能力提升]1．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状是________．【解析】 AB →＝DC →，∴AB →∥DC →，且|AB →|＝|DC →|，∴四边形ABCD 是平行四边形，|AB →＋AD →|＝|AC →|，|AB →－AD →|＝|DB →|，∴|AC →|＝|DB →|，∴平行四边形是矩形．【答案】 矩形2．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________. 【解析】 如图，在△AOB 中，|AB |＝3，|OA |＝|OB |＝1，∴∠AOB ＝120°，∴OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos 120°＝－12. 【答案】 －123．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________． 【解析】 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：S ＝|α||β|sin θ＝|β|sin θ＝12，所以sin θ＝12|β|，又因为|β|≤1，所以12|β|≥12， 即sin θ≥12且θ∈[0，π]，所以0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56π.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，56π 4．在△ABC 中，A (4,1)，B (7,5)，C (－4,7)，求∠A 的角平分线的方程．【解】 AB →＝(3,4)，AC →＝(－8,6)，∠A 的角平分线的一个方向向量为：AB →|AB →|＋AC →|AC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，75. 设∠A 的角平分线上任一点N (x ，y )，则AN →＝(x －4，y －1)，则AN →与所求方向向量平行，∴所求直线方程为：75(x －4)＋15(y －1)＝0，整理得7x ＋y －29＝0.。
高中数学 2.5 向量的应用学案(无答案)苏教版必修4(2021年整理)
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5向量的应用【教学目标】用向量的知识解决有关实际问题；巩固所学知识，提高分析和解决实际问题的能力．【教学重点】用向量方法解决实际问题的基本方法．【教学难点】增强应用数学的意识；能用向量知识解决相关的物理问题．【教学过程】一、引入：1．已知A(1，2)，B（4,3），C(2，4),则|AB|= ；AB·AC= ；= ;若四边形ABCD为平行四边形，则点D坐标为．CAB2．a与b=(1,2)同向，且a·b=10，则a= ．3．若|a｜=1，｜b｜=2，则：（1)若a∥b，则a·b= ；(2）若a与b的夹角为60°，则｜a+b｜= ；｜a－b|= ；（3）若a－b与a垂直，则a与b的夹角为．4．一条向正东方流淌的河水,河水流速为3m/s，若一条小船为33m/s的速度向正北方向航行，求该船的实际航速和航向．二、新授内容：例1.已知OA⊥BC，OB⊥AC，求证:OC⊥AB．【变式拓展】已知A （2，－1)，B （3，2),C （－3，－1)，BC 边上的高为AD ，求向量AD ．你能发现什么？，试采用不同的方法计算设例⋅==),20sin ,20(cos ),80sin ,80(cos .2【变式拓展】利用例2的启发，用向量的知识证明:βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-例3(1)已知在ABC∆中，BC，CA，AB的长分别为a，b，c，试用向量的方法证明：cos cos=+．a b C c B(2）已知向量OA，OB,OC满足条件OA+OB+OC=0，且｜OA｜=|OB｜=｜OC｜=1，求证:ABC∆为正三角形．例4．已知坐标平面内(1,5)OB=，(1,2)OM=,P是直线OM上一个动点，OA=，(7,1)当PA PB⋅取最小时，求OP的坐标，并求cos APB∠的值．三、课堂反馈：1．若(1,2)A ，(3,4)B ，(2,5)C x x +三点在同一条直线上,则实数x 的值为 ． 2．在ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BD = ．3．在ABC ∆中，3AB =，4AC =,5BC =，则=AB BC ⋅ ．4．某人在静水中游泳速度为3m/s,河水自西向东流速为1m/s ，若此人朝正南方向游去，则他的实际前进的方向 ；速度大小 ．5．如图,在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若错误!＝m 错误!，错误!＝n 错误!，则m＋n 的值为 ．四、课后作业： 姓名：___________ 成绩:___________1．设(1,3)A ,(3,)B n -，(2,1)C m +-，若2AB BC =-，则mn 的值为 ．2．在平面直角坐标系中，(2,2)A -，(3,1)B ，(5,4)C ,则=AB CB ⋅ ．3．已知(6,1)A ,(0,7)B -，(2,3)C --，则ABC ∆的形状为 ．4．如图在△OAC 中，B 为AC 的中点,若OC ＝x OA ＋y OB ，则x －y ＝________．5．在△ABC 中,已知A (4，1）、B （7，5)、C (－4，7），则BC 边的中线AD 的长是 ．6．在ABC ∆中，3AB =,4BC =,5CA =，则错误!·错误!＋错误!·错误!＋错误!·错误!＝ ．7．已知点A (1,－2)，若向量AB 与向量=(2,3)共线，||213AB =,则点B 的坐标为 ．8。
2019-2020学年苏教版必修4 2.5 向量的应用 学案
2．5 向量的应用1.了解平面向量在处理数学问题中的工具性作用．2.理解用向量方法解决有关几何问题、物理问题及实际问题的一般思路． 3.掌握用向量方法解决实际问题的步骤——“三步曲”．1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求力F 1和F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( ) (2)若△ABC 为直角三角形，则有AB →·BC →＝0.( ) (3)若向量AB →∥CD →，则AB ∥CD ．( )解析：(1)正确．物理中的力既有大小又有方向，所以力可以看作向量，F 1，F 2的合力可按照向量加法的平行四边形法则求解．(2)错误．因为△ABC 为直角三角形，∠B 并不一定是直角，有可能是∠A 或∠C 为直角． (3)错误．向量AB →∥CD →时，直线AB ∥CD 或AB ，CD 重合． 答案：(1)√ (2)× (3)×2．若向量OF 1→＝(2，2)，OF 2→＝(－2，3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0，5)B ．(4，－1)C ．2 2D ．5解析：选D ．F 1＋F 2＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5)，所以|F 1＋F 2|＝5.3．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3，4)，则力F 对质点P 做的功是________．解析：因为W ＝F ·s ＝(－1，－2)·(3，4)＝－11，则力F 对质点P 做的功是－11. 答案：－114．若AB →＝3e ，DC →＝5e ，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状为________． 解析：由AB →＝3e ，DC →＝5e ， 得AB →∥DC →，AB →≠DC →， 又因为ABCD 为四边形， 所以AB ∥DC ，AB ≠DC ． 又|AD →|＝|BC →|， 得AD ＝BC ，所以四边形ABCD 为等腰梯形． 答案：等腰梯形向量在几何中的应用如图所示，点O 为△ABC 的外心，以OA →、OB →为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OC 、OD 为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H .(1)若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OH →＝h ，用a 、b 、c 表示h ； (2)证明AH →⊥CB →；(3)若△ABC 中∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，外接圆的半径为R ，用R 表示|h |. 【解】 (1)由向量加法的平行四边形法则可得 OD →＝OA →＋OB →＝a ＋b ， OH →＝OC →＋OD →＝a ＋b ＋c ， 所以h ＝a ＋b ＋c .(2)证明：因为点O是△ABC的外心，所以|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，即|a|＝|b|＝|c|.而AH→＝OH→－OA→＝h－a＝b＋c，CB→＝OB→－OC→＝b－c，所以AH→·CB→＝(b＋c)·(b－c)＝|b|2－|c|2＝0.所以AH→⊥CB→.(3)在△ABC中，O是外心，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，所以∠BOC＝120°，∠AOC＝90°.于是∠AOB＝150°.|h|2＝h·h＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3R2＋2|a||b|cos 150°＋2|a||c|cos 90°＋2|b|·|c|cos 120°＝3R2－3R2－R2＝(2－3)R2.所以|h|＝6－22R.用平面向量法求解几何问题的两种思路(1)基向量法：选择适当的平面向量为已知向量或基向量，将其他向量用已知向量或基向量表示出来，利用向量运算的几何意义通过运算来解决．(2)坐标法：建立适当的平面直角坐标系，将所需要的向量用坐标表示，利用向量的坐标运算法则来解决．1.(1)如图，在▱ABCD中，E，F在对角线BD上，且BE＝FD，则四边形AECF的形状是________．(2)设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，试用向量证明：PQ∥AB．解：(1)由已知可设AB→＝DC→＝a，BE→＝FD→＝b，故AE→＝AB→＋BE→＝a＋b，FC→＝FD→＋DC→＝b＋a.又a＋b＝b＋a，则AE→＝FC→，即AE，FC平行且相等，故四边形AECF 是平行四边形．故填平行四边形．(2)证明：设DC →＝λAB →(λ＞0)， 因为PQ →＝AQ →－AP →＝AB →＋BQ →－AP → ＝AB →＋12(BD →－AC →)＝AB →＋12[(AD →－AB →)－(AD →＋DC →)]＝AB →＋12(CD →－AB →)＝12(CD →＋AB →)＝12(－λ＋1)AB →， 所以PQ →∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线， 所以PQ ∥AB ．向量在物理中的应用(1)河水从东向西流，流速为2 km/h ，一艘船以2 3 km/h 垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是________．(2)已知两个力f 1＝(1，2)，f 2＝(4，－5)(单位：牛顿)作用于同一质点，此质点在这两个力的共同作用下，由A (7，0)移动到B (20，15)(单位：米)，试求：①f 1，f 2分别对质点所做的功； ②求f 1，f 2的合力对质点所做的功．【解】 (1)由题意，如图，OA →表示水流速度，OB →表示船在静水中的速度，则OC →表示船的实际速度．则|OA →|＝2，|OB →|＝23，∠AOB ＝90°， 所以|OC →|＝4，所以船实际速度的大小为4 km/h. 故填4 km/h.(2)①因为A(7，0)，B(20，15)，所以AB→＝(13，15)，所以W1＝f1·AB→＝(1，2)·(13，15)＝1×13＋2×15＝43，W2＝f2·AB→＝(4，－5)·(13，15)＝4×13＋(－5)×15＝－23.所以f1，f2所做的功分别为43焦和－23焦．②f＝f1＋f2＝(5，－3)，W＝f·AB→＝(5，－3)·(13，15)＝5×13＋(－3)×15＝20.所以f1和f2的合力所做的功为20焦．用向量方法解决物理问题的“三步曲”2.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1，求：(1)|F1|、|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，角θ的取值范围．解：(1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知：－G＝F1＋F2，根据直角三角形可得|F1|＝|G|cos θ，|F2|＝|G|·tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F1|、|F2|皆逐渐增大．(2)由|F1|＝|G|cos θ≤2|G|，得cos θ≥12，则0°≤θ≤60°.向量在解析几何中的应用已知A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)若使四边形ABCD 是矩形，试确定点C 的坐标，并求该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值．【解】 (1)证明：因为A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)，所以AB →＝(1，1)，AD →＝(－3，3)，所以AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， 所以AB →⊥AD →，即AB ⊥AD ． (2)设点C 的坐标为(x ，y )．因为四边形ABCD 为矩形，所以AD →＝BC →， 所以(－3，3)＝(x －3，y －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3，y －2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5.所以点C 的坐标为(0，5)，所以AC →＝(－2，4)． 因为BD →＝(－4，2)，所以AC →·BD →＝(－4)×(－2)＋2×4＝16. 因为|AC →|＝25，|BD →|＝25， 所以AC →与BD →的夹角θ的余弦值为 AC →·BD →|AC →||BD →|＝1625×25＝45.故该矩形的两对角线所成的锐角的余弦值为45.(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段用向量表示，再利用向量的运算法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等等．3.已知直线l 过点A (1，1)，且垂直于向量n ＝(－2，1)．(1)求直线l 的一般方程；(2)若与直线l 垂直的直线l 1经过点B (2，0)，求l 1的一般方程． 解：(1)因为直线l 垂直于向量n ＝(－2，1)， 所以直线l 的一个方向向量为v ＝(1，2)， 所以直线l 的斜率为2，所以直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x －1)， 整理得2x －y －1＝0.故直线l 的一般方程为2x －y －1＝0. (2)因为直线l 1与l 垂直，所以l 1的一个方向向量v 0＝(－2，1)， 所以直线l 1的斜率为－12，所以直线l 1的点斜式方程为y －0＝－12(x －2)，整理得x ＋2y －2＝0.故直线l 1的一般方程为x ＋2y －2＝0.1．向量方法在平面几何中应用的五个主要方面(1)要证明两线段相等，如AB ＝CD ，则可转化为证明：AB →2＝CD →2.(2)要证明两线段平行，如AB ∥CD ，则只需证明：存在实数λ≠0，使AB →＝λCD →成立，且AB 与CD 无公共点．(3)要证明两线段垂直，如AB ⊥CD ，则可转化为证明数量积AB →·CD →＝0.(4)要证明A ，B ，C 三点共线，只需证明存在一实数λ≠0，使AB →＝λAC →.(5)要求一个角，如∠ABC ，只需求向量BA →与向量BC →的夹角即可．2．向量在物理中应用时要注意的三个问题(1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型．(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识．①力、速度、加速度和位移都是向量；②力、速度、加速度和位移的合成和分解就是向量的加、减法；③动量m v 是数乘向量；④功是力F 与在力F的作用下物体所产生的位移s的数量积．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小．【解】依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地．风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v＝v风车＋v车地，风地如图所示，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段AD→是平行四边形ACDB的对角线．因为|AC→|＝4，∠ACD＝30°，|AD→|＝2，所以∠ADC＝90°.在Rt△ADC中，|DC→|＝|AC→|·cos 30°＝2 3.即风向的实际方向是正南方向；汽车速度的大小为2 3 m/s.(1)因为不能正确地用平面向量把这个物理问题表示出来，造成了对题目束手无策；故我们要掌握相关的物理知识．(2)用向量的有关知识研究物理中有关力与速度等问题的基本思路和方法如下：①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的相互关系；②通过抽象、概括，把物理现象转化为与之相关的向量问题；③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的解；④利用这个结果，对原物理现象作出解释．1．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A．10 m/s B．226 m/sC．4 6 m/s D．12 m/s解析：选B．由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小 |v |＝102＋22＝226(m/s)．2．过点A (2，3)，且垂直于向量a ＝(2，1)的直线为________．解析：设P (x ，y )为直线上一点，则AP →⊥a ，即(x －2)×2＋(y －3)×1＝0，即2x ＋y －7＝0.答案：2x ＋y －7＝03．已知作用在点A (1，1)的三个力F 1＝(3，4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3，1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是________．解析：F ＝(8，0)，故终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1)． 答案：(9，1)4.如图，△ABC 是边长为23的等边三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则(AP →·BP →)min ＝________．解析：取AB 的中点D ，连结CD 、CP (图略)，设CP →、CD →的夹角为θ.所以AP →·BP →＝(AC →＋CP →)·(BC →＋CP →) ＝AC →·BC →＋CP →·(AC →＋BC →)＋CP →2 ＝(23)2×12－CP →·2CD →＋1＝7－6cos θ，当cos θ＝1时，AP →·BP →取得最小值1. 答案：1[学生用书P113(单独成册)])[A 基础达标]1．已知平面内四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形解析：选D ．由题意知a －b ＝d －c ，所以BA →＝CD →，所以四边形ABCD 为平行四边形．故选D ．2．如果一架飞机先向东飞行200 km ，再向南飞行300 km ，设飞机飞行的路程为s km ，位移为a km ，则( )A ．s >|a |B ．s <|a |C ．s ＝|a |D ．s 与|a |不能比较大小解析：选A ．物理量中的路程是数量，位移是向量，从而s ＝500，由位移的合成易得|a |<500，故s >|a |.3．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3的作用而处于平衡状态．已知F 1与F 2的夹角为60°，且F 1，F 2的大小分别为2 N 和4 N ，则F 3的大小为( )A ．6 NB ．2 NC ．2 5 ND ．27 N解析：选D ．由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F 3|2＝|－F 1－F 2|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝22＋42＋2×2×4×12＝28，所以|F 3|＝27 N.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC →·AB →＝5，则AC 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ．因为BD →＝AD →－AB →＝12AC →－AB →，所以BD →2＝⎝⎛⎭⎫12AC →－AB →2＝14AC →2－AC →·AB →＋AB →2，即14AC →2＝1，所以|AC →|＝2，即AC ＝2. 5．在△ABC 中，有下列四个命题： ①AB →－AC →＝BC →； ②AB →＋BC →＋CA →＝0；③若(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形； ④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形． 其中正确的命题有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④解析：选C ．因为AB →－AC →＝CB →＝－BC →≠BC →，所以①错误.AB →＋BC →＋CA →＝AC →＋CA →＝AC →－AC →＝0，所以②正确．由(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，得|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 为等腰三角形，③正确.AC →·AB →>0⇒cos A >0，所以A 为锐角，但不能确定B ，C 的大小，所以不能判定△ABC 是否为锐角三角形，所以④错误．故选C ．6．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上两点，且|AB |＝5，则AC →·CB →＝________． 解析：由已知得△ABC 为正三角形，向量AC →与CB →的夹角为120°. 所以AC →·CB →＝5·5cos 120°＝－52.答案：－527．点P 在平面上做匀速直线运动，速度v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P 的坐标为________．解析：由题意知，P 0P →＝5v ＝(20，－15)，设点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15，解得点P 的坐标为(10，－5)． 答案：(10，－5)8．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．解析：如图，向量α与β在单位圆O 内，其中因|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，故以向量α，β为边的三角形的面积为14，故β的终点在如图的线段AB ⎝⎛α∥AB →且圆心O 到AB 的距离为⎭⎫12上，因此夹角θ取值范围为⎣⎡⎦⎤π6，5π6.答案：⎣⎡⎦⎤π6，5π69．如图，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，M 为CE 的中点，用向量的方法证明：(1)DE ∥BC ；(2)D ，M ，B 三点共线．证明：以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系．令|AD →|＝1，则|DC →|＝1，|AB →|＝2.因为CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， 所以四边形AECD 为正方形．所以可求得各点坐标分别为E (0，0)，B (1，0)， C (0，1)，D (－1，1)，A (－1，0)． (1)因为ED →＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)， BC →＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)， 所以ED →＝BC →，所以ED →∥BC →，即DE ∥BC ．(2)连接MD ，MB ，因为M 为EC 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫0，12，所以MD →＝(－1，1)－⎝⎛⎭⎫0，12 ＝⎝⎛⎭⎫－1，12，MB →＝(1，0)－⎝⎛⎭⎫0，12 ＝⎝⎛⎭⎫1，－12. 因为MD →＝－MB →，所以MD →∥MB →. 又MD 与MB 有公共点M ， 所以D ，M ，B 三点共线．10．已知点P (－3，0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解：设点M (x ，y )为轨迹上的任一点，设A (0，b )，Q (a ，0)(a >0)， 则AM →＝(x ，y －b )，MQ →＝(a －x ，－y )， 因为AM →＝－32MQ →，所以(x ，y －b )＝－32(a －x ，－y )，所以a ＝x 3，b ＝－y2，即A ⎝⎛⎭⎫0，－y 2，Q ⎝⎛⎭⎫x3，0， P A →＝⎝⎛⎭⎫3，－y 2，AM →＝⎝⎛⎭⎫x ，32y ， 因为P A →·AM →＝0， 所以3x －34y 2＝0，即所求轨迹方程为y 2＝4x (x >0)．[B 能力提升]1．已知P 为△ABC 所在平面内一点，且满足AP →＝15AC →＋25AB →，则△APB 的面积与△APC的面积之比为________．解析：5AP →＝AC →＋2AB →， 2AP →－2AB →＝AC →－AP →－2AP →，－2(P A →＋PB →)＝PC →，如图所示，以P A ，PB 为邻边作▱P AEB ，则C ，P ，E 三点共线，连接PE 交AB 于点O ，则PC →＝2EP →＝4OP →，所以S △APB S △APC ＝2S △APO S △APC ＝2|OP ||PC |＝12.答案：1∶22．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝3，点D 在线段BC 上，且BD ＝12DC ．求：(1)AD 的长； (2)∠DAC 的大小． 解：(1)设AB →＝a ，AC →＝b ， 则AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →＝23a ＋13b . 所以|AD →|2＝AD →2＝⎝⎛⎭⎫23a ＋13b 2＝49a 2＋2×29a ·b ＋19b 2＝49×9＋2×29×3×3×cos 120°＋19×9＝3.故AD ＝ 3. (2)设∠DAC ＝θ，则θ为向量AD →与AC →的夹角．因为cos θ＝AD →·AC →|AD →||AC →|＝⎝⎛⎭⎫23a ＋13b ·b 3×3＝13b 2＋23a ·b 33＝13×9＋23×3×3×⎝⎛⎭⎫－1233＝0，所以θ＝90°，即∠DAC ＝90°.3.(选做题)如图，在直角三角形ABC 中，已知BC ＝a ，若长为2a 的线段PQ 以A 为中点，问PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大，并求出这个最大值．解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝c，AC＝b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且PQ＝2a，BC＝a.设点P(x，y)，则Q(－x，－y)，所以BP→＝(x－c，y)，CQ→＝(－x，－y－b)，BC→＝(－c，b)，PQ→＝(－2x，－2y)，所以BP→·CQ→＝－x(x－c)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.所以cos θ＝PQ→·BC→|PQ→||BC→|＝cx－bya2，所以cx－by＝a2cos θ，所以BP→·CQ→＝－a2＋a2cos θ，故当cos θ＝1，即θ＝0(BC→与PQ→的方向相同)时，BP→·CQ→最大，其最大值为0.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.5 向量的应用》
专题十平面向量的线性运算
邵伯高级中学赵仁军
教学目标：
1．平面向量的线性运算
1加法、减法、数乘运算．
2三角形法那么、平行四边形法那么．
2．两个定理
1向量共线定理
如果存在一个实数λ，使b＝λaa≠0，那么b与a是共线向量；反之，如果b与aa≠0是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa
2平面向量根本定理
如果e1和e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
教学重点：
向量的基底运算
教学难点：
三角形和四边形中向量的运算．
教学方法：
复习课、启发式——引导发现、合作探究．
教学过程：
一、问题情境
我们已经学过平面向量的运算及其性质，知道：
建立坐标系是解决平面向量问题的一个好方法。
那么，在不可以建立坐标系的问题中，一般都牵涉向量的基底的运算．基底是指平面内两个不共线向量，在几何图形中常见基底向量多为多边形的边上的向量．
二、建构数学
1．平面向量的根本概念填写下表：
2．共线向量．
如果平面向量表示的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做
共线向量或平行向量．平行于记作
例2 如图10－2，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF ＝1，CA ＝CB ＝2，假设错误!错误!，n ∈R ，那么m 2
＋n －22
的取值范围为________．
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五、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．平面向量的定义与运算法那么；
2．平面向量的一维共线问题；
3．平面向量要注重数形结合，注重培养我们的想象能力．。