第21章二次根式
九年级上册数学21章22章知识点
九年级上册数学21章22章知识点一、二次根式（第 21 章）（一）二次根式的概念形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中\（a\）叫做被开方数。
要理解二次根式，需要注意以下几点：1、二次根式必须含有二次根号“＼（＼sqrt{｝＼）”。
2、被开方数\（a\）必须是非负数，即\（a\geq 0\）。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{20}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（＼（x\）为任意实数）都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
（二）二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a\geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{4^2} ＝ 4\），＼（＼sqrt{（－3)＾2} ＝ 3\）。
2、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））times\sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）3、＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼sqrt{9} ＝ 3\）（三）二次根式的运算1、二次根式的加减法先将二次根式化为最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式合并。
例如，＼（＼sqrt{8} ＋＼sqrt{18} ＝ 2\sqrt{2} ＋ 3\sqrt{2} ＝5\sqrt{2}＼）2、二次根式的乘除法乘法：＼（＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＼）（＼（a\geq0\），＼（b\geq 0\））除法：＼（＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））（四）二次根式的化简化简二次根式就是把被开方数中的完全平方数因子开出来。
九年级数学上册第21章二次根式21.1二次根式ppt作业课件新版华东师大版
B．14
C．19
D．以上都不对
11．若 （a－2）2＋a－2＝0，则 a 的取值范围是____a_≤__2____．
12．若|a＋b＋1|与 a＋2b＋4互为相反数，则(a＋b)2018＝__1____．
13．若 x、y 是实数，且 y＝ x2－9＋x－93－x2＋7，则 5x＋6y＝_－___2_2___．
A. （－3）2＝－3 B．－ 32＝－3 C. （±3）2＝±3 D. 32＝±3
6. （2a－1）2＝1－2a，则(
7．当 m＜0 时，化简 mm2的结果是__－__1____．
8．化简： (1) （－412）2；
解：412
(2) （3.14－π）2.
解：π－3.14
9．(绍兴期中)若实数 x 满足|x－3|＋ x2＋8x＋16＝7，化简 2|x＋4|
－ （2x－6）2的结果是( A )
A．4x＋2
B．－4x－2
C．－2
D．2
10．已知实数 x，y 满足|x－3|＋x y－8＝0，则以 x，y 的值为两边长
的等腰三角形的周长是( C )
A．14 或 19
18．已知非零实数 a，b 满足 a2－8a＋16＋|b－3|＋ （a－5）（b2＋1） ＋4＝a，求 ab－1 的值
解：由题意得：(a－5)(b2＋1)≥0，∴a≥5， ∴ a2－8a＋16＝ （a－4）2＝|a－4|＝a－4， ∴ a2－8a＋16＋|b－3|＋ （a－5）（b2＋1）＋4＝a－4＋|b－3|＋ （a－5）（b2＋1）＋4 ＝a，∴|b－3|＋ （a－5）（b2＋1）＝0. 又∵|b－3|≥0， （a－5）（b2＋1）≥0， ∴|b－3|＝ （a－5）（b2＋2）＝0，∴b＝3，a＝5， ∴ab－1＝52＝25.
第21章 二次根式
第21章 二次根式二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 。
二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 。
三、学习过程 （一）知识准备：（1）已知x 2= a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）学习内容1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________．4AC问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称．因此，一般地，我们把形如a≥0）•的式子叫做，”称为．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0例11xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．例2．当x在实数范围内有意义？（四）知识梳理1．非负数a的算术平方根a(a≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。
第二十一章 二次根式
第二十一章 二次根式知识点归纳1．定义：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式。
2．二次根式a 有意的条件：3．性质：（1）双重非负性：即a ≥0且a ≥0（2）⎩⎨⎧<-≥==0,0,2a a a a a a（3）2)(a =a (a ≥0)4．同类二次根：被开方数相同的二次根式最简同类二次根式：⎩⎨⎧尽的因数或因式被开方数不含开方开得或分母不含根号被开方数不含分母）（5．把根号外面的因数或因式移到根号内：()()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=--=≥≥=0,00,0222b a b a b a b a b a b a b a 6．二次根式的大小比较：先把根号外的因数或因式全部移到根号内，再进行大小比较。
7．分母有理化： （1）()01>=∙=a a aa a a a（2）()()()0,0,01≠-≥≥-+=+-+=-b a b a ba ba ba ba ba b a（3）()()()0,0,01≠-≥≥--=-+-=+b a b a ba ba ba ba b a ba8．运算法则：（1）加减法则：将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（2）乘除法则：()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=≥≥=∙0,00,0b a b ab a b a ab b a （3）混合运算法则。
复习题1．已知a, b, c 满足04122212=+-+++-c c c b b a ，求)(c b a +-的值。
2．已知y=32552--+-x x ，求2xy 的值。
3．已知a （a －3）≤0，若b=2－a ，求b 的取值范围。
4．已知点P （x,y ）在函数x xy -+=21的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的哪个像限？ 5．若()a a 21122-=-，求a 的取值范围。
6．已知实数a, b, c 满足32388++-+--=--+-+c b a c b a b a b a 请问：长度分别为a, b, c 的三条线段能否构成一个三角形？若能，求出该三角形的面积。
第二十一章 二次根式训练题
第二十一章 二次根式训练题21.1 二次根式一、选择题1．下列各式：15，12-b ，22b a +，1202-m ，144-中，二次根式的个数是（ ） A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 2．如果x 25-是二次根式，那么x 应满足的条件是（ ） A. x ≤2.5B. x ≥2.5C. x ＜2.5D. x ＞2.5 3．()2310-等于（ ） A. 30B. －300C. 300D. －304．下列各式中，一定能成立的是（ ）A.()()225.25.2=- B.()22a a =C.1122-=+-x x x D.3392+•-=-x x x5．下列各式中，正确的是（ ） A. a a =2 B. a a ±=2C. a a =2D. 22a a =6．计算()()222112a a -+-的结果是（ ）A. 24-aB. 0C. a 42-D. 24-a 或a 42-7．把a a 1-的a 移入根号内，得到（ ）A.aB. a -C. a -D. a --8．若0＜a ＜1则414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a a ，结果为（ ） A. a 2B. a 2-C. a 2D. a 2-9．实数a ，b 在数轴上对应位置如图，化简2a b a --的结果是（ ）A. －bB. bC. 2a －bD. b －2a 10．若2442=+--a a a ，则实数a 的取值范围是（ ） A. a ＞2B. a ＜2C. a ≥2D. a ≤2二、填空题11．若11-+-x x 有意义，则x .12．已知522+-+-=x x y ，则=x y .13．()26= ，()26-= ，26= ，由此得出式子()22a a =成立的条件是 .14．当x = 时，19+x 取值最小，这个最小值为 . 15．已知011=-++b a ，那么20062006b a += .16．当-1＜a ＜3时，()()=-++2231a a .17．x x x -=+-636122成立的条件是 .18．若a ，b ，c 为三角形三边，且满足012135=-+-+-c b a ，则△ABC 是 三角形.19．当a ＜－1时，=+--++2244121a a a a . 20．在实数范围内因式分解：=-44x . 三、解答题21．如果a a a --=++1122，求a 的取值范围.22．如果－3＜x ＜5，求96251022++++-x x x x 的值.23．求231294a a a a -+-+--+的值.24．已知x ，y 满足022132=+-+--y x y x ，求y x 542-的平方根.25．设x ，y 为实数，满足y ＜2144+-+-x x ，化简11--y y.26．已知：1-=a ，3=b . 求22222221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ab b a ab b a 的值.27．若x ＜35-. 求证：12253094942922=++-+-x x x x28．已知：实数a 满足0332=++a a a . 化简：1212+++-a a a .29．已知a 、b 、c 为△ABC 三边. 化简()()()()2222b ac c a b c b a c b a --+--+--+++.30．a 、b 为实数，且b ＜3133+-+-a a . 化简：13442--+-b b b .21.2 二次根式的乘除一、选择题1．化简4125等于（ ）A.4125 B. 2101±C. 25D. 101212．下列计算错误的是（ ） A.542516=B.3836427= C.232924=D. 556517-=-3．计算227818⨯÷得（ ）A. 649B.66 C. 618D. 6344．若a ＜0，b ＜0，下列命题错误的是（ ） A. ab 的算术平方根是ab B. b a ab •=C.b a ab •=D.b a ab -•-=5．下列等式成立的是（ ） A. b a b a +=+22 B. ab a b a --=-C.ba b a =D.ab b a -=-226．下列式中计算错误的是（ ）A.2065946.292223.1983.181x x x x x ==••=⨯B. 70514707014141457014570==⨯⨯⨯=C. y x xy y x y x y x xy 22221111-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- D. ()()()()()()n m n m n m n m n m n m n m n m n m 222-=--+-=-+-7．化简：()xy y x --1得（ ） A. y x - B. x y -C. y x --D. x y --8．331++x x 分母有理化，得（ ）A. 131+xB. 3331+xC. 1+xD. 33-x9．当3323+-=+x x x x 时，x 取值范围是（ ） A. x ≤0B. x ≤－3C. x ≥－3D. －3≤x ≤010．当092=-+-y x ，则()=+1x y （ ） A. 33B. 33±C. 33-D. 23二、填空题11．二次根式x 12，a 35，y x 315，24x x +中，最简二次根式是 .12．=⨯1219 ，()()=-⨯-94 ，222425-= .13．12= ，714⨯= .14．化简=⨯83332 ，=-1973 .15．已知一个长方体的长a =6，宽b =15，高c =35，那么这个长方体的体积是 . 16．化简=⨯33832ab b a .17．下列二次根式：①21、②224041-、③28x -、④()1122 x x x +-、⑤5x 、⑥38、⑦22259y x +、⑧()()()b a b a b a +-2中最简二次根式有 （填序号）. 18．若根式()y x b a --+86为最简二次根式时，x = ，y = . 19．若3＜a ＜4，化简()()=--2243a a .20．计算=33155 ，=÷4.0324 ，=÷4312122 .三、解答题21．计算下列是中式.（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-••102132531（2）n m n m n m 3233•••（3）1012655÷（4）32643a a ÷22．比较下列各组中两个数的大小. （1）112-和53-（2）7232和32723．已知5=+y x ，3=xy ，求代数式yx x y +的值.24．已知实数a 满足a a a =-+-19931992，求21992-a 的值.25．已知长方形的长是π140（cm ），宽是π35（cm ），求与长方形面积相等的圆的半径.26．已知⎩⎨⎧=+=++13053y x y x 化简：x y -23.27．已知：x =1，先化简再求值334312x x xx +-.28．已知：1011+=+a a . 求221a a +及a a 1-的值.29．已知：3121122+-+-=x x y . 求yx y y x x -++的值.30．设()1123-+++=+++c b a c b a . 求222c b a ++的值.21.3 二次根式的加减一、选择题1．下列计算正确的是（ ） A. 2222=+ B. 743=+ C.752863=+D.942188+=+ 2．计算47548213123-+的结果是（ ）A. 2B. 0C. -3D. 33．计算)93()34(3ab a b a b a a b a b +-+的结果是（ ）A.abB. 7abC. 0D. 13ab4．若103-=a ，则代数式262--a a 的值为（ ） A. 0B. 1C. -1D. 105．若2=a ，则a a a a -+的值是（ ）A. 223+B. 223-C. 223+-D. 223--6．=--994411（ ） A. 114B. 114-C. 0D. 112-7．计算：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y y x x xy x y x 42933（其中y ＞0）结果等于（ ）A. xy 2-B. 0C. xy xyD. xy 38．下列各组中是同类二次根式是（ ） A. a a 和32aB. x x 3和xx 42 C.x 2和43xD. 33a 和a 39．已知：1018222=++a a a a ，则a=（ ）A. 4B. 2±C. 2D. 4±10．把()4222311xy y x x y y x -++--化简的结果是（ ） A. x y -34B. y x --32 C . x y -32D. x y --32二、填空题11．二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将被开方数 的二次根式合并.12．=+212 ，=+5424 ，=-813953 .13．计算：=-32x xy ；=-21a a a .14．设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，周长是l ，已知40=a cm ，160=c cm ，109=l cm ，那么b = . 15．计算：()()=-÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+303220062736 . 16．计算：=⋅+-x x x 836212739 .17．若最简二次根式14432+a 与1622-a 是同类二次根式，则a 的值是 . 18．下列二次根式①5.0，②81，③18，④243，⑤5527y x ，⑥545，⑦3281，⑧y x 26，⑨y x 3，⑩22242y xy x ++中是同类二次根式的是 .（填序号）19．计算：=---31312231 .20．223+=a ，223-=b ，则=+22ab b a . 三、解答题 21．化简并求值：()()3323472++++x x ，其中32-=x .22．当321+=m 时，求m m m m m m m -+---+-22212121的值.23．已知34+=a ，34-=b ，求代数式ba b aba a +--的值.24．已知5152522=-+-x x ，求221525x x ---的值.25．已知()()0212=-+-x x ，求x x x x x x x x 3643122+-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛----的值.26．化简或计算（1）21431375518132+-+-（2）xy xy y x y x y x xy 123--+（3）()()()()y x y x y x y x 22+---+27．先化简再求值⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x x x x x 1111，其中22=x .28．当91,4==y x 时，求31441y y x y x x ---的值.29．求证：⎪⎩⎪⎨⎧-=+=3232y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=+35223362y x y x 的解.30．最简根式()y x y x --221与()183216+++y x x 能是同类二次根式吗？若能是求x 、y 值；若不能，说明理由.第二十一章 单元测试（一）一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列等式中成立的是（ ） A. ()32323-=⨯- B. y x y x +=+22 C.532=+D.2332=•x x2．已知a 为实数，下列四个命题中错误的是（ ） A. 若1-=aa ，则a ＜0 B. 若a ≠1，则111-=--a aC. 若aa 112-=-，则a ＞0D. 若a ≥-2，则12++a a 有意义3．下列各式中，最简二次根式为（ ） A. 72B.324 C.ba D. 32b a4．下式中不是二次根式的为（ ） A.12+b B. a （a ＜0） C. 0 D.()2b a -5．当a =1时，计算a a a 7251012-+-得（ ） A. 11 B. -11 C. 3D. -36．下列各组中互为有理化因式的是（ ） A. x -2和2+xB. 32+x 和x 23-C.y x +与y x --D.x 与32x7．代数式⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ab a b a b a a b a b 93243的值一定是（ ）A. 正数B. 负数C. 0D. 18．a 12的同类二次根式为（ ） A.ab3 B. a 54C. a271-D.248a9．若x ＜2，化简()()2232x x -+-的正确结论是（ ）A. -1B. 1C. 52-xD. x 25-10．()()200620052323-+值为（ ）A. 0B. 23-C. 32-D. 无法确定二、填空题（每题3分，共30分）11．若式子121++-x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ；xx x x --=--4343成立的条件是 . 12．计算：=+123 .13．23-的相反数与12-的倒数的和是 . 14．若a ，b ，c 表示三角形的三边，则()2c b a --= .15．()0332=-++b a ，则=-+11a b .16．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+•--20063232 .17．625-的算术平方根是 . 18．化简=--yx y x ，当0＜a ＜1时，=-+2122a a .19．分母有理化：=-2346，251+-的倒数是 . 20．()()=-+-2223323223.三、解答题21．计算（每题2分，共8分） （1）()7512231-（2）61312322÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-（3）()()121923121999---⨯-+- （4）261321121824--⨯÷-22．已知等腰三角形的顶角为120°，底边长为64cm ，求这个等腰三角形的面积.（3分）23．已知：,2323,2323-+=+-=y x 求22y x x y +的值.24．化简求值.ba b b a b ab b b a a b b a -÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++1，其中，53-=a ，53+=b .（3分）25．已知()2234-=x ，()2322-=y ，求（1）x+y 的值；（2）()27+-y x 的值.（4分）26．已知37+=x ，37-=x . 求233++xy y x 的值.27．解方程：()x x 3123=+.（4分）28．化简：（4分）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---b a a b a b a a b b a 22329．某船在点O 处测得小岛上的电视塔A 在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B 处，测得电视塔在船的西北方向，问向西航行多少海里船离电视塔最近？（5分）30．如图，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30°，点A 处有一所中学，AP=160m. 假设拖拉机行驶时，周围100m 内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由. 如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ，那么学校受影响的时间为多少秒？（5分）第二十一章 单元测试（二）一、选择题（每题3分，共30分）1．以下判断正确的是（ ）A. 无限小数是无理数B. 平方是3的数是3C. 1的平方根和立方根相等D. 27-无平方根 2．若a ＜-3，则()212a +-=（ ）A. a -1B. 1-aC. a +3D. a --3 3．651+与65-的关系是（ ）A. 互为相反数B. 互为倒数C. 互为有理化因式D. 相等4．把aa 1--根号外因式移到根号内，则原式=（ ） A. a B. a - C. a -- D. a -5．计算：()()()2623535+-+-的值为（ ） A. 7- B. 327-- C. 347-- D. 346--6．已知35-=+y x ，35+=xy ，则x+y 的值等于（ ）A. 2B. 5C. 1528-D. 52321528--- 7．若()x x -=-222，则x 是（ ） A. x ＜2B. x ＞2C. x ≤2D. x ≥2 8．已知-1＜x ＜2()()=--+2223x x （ ） A. 5 B. -5 C. 12--xD. 12+x 9．矩形面积为24，一边长23+，则另一边长是（ ） A. ()3224+ B. ()2324- C. ()23724+ D. ()23724- 10．已知x 、y 是正数，且有()()x y y x y x-=-3，则=x y （ ） A. 9 B. 91 C. 1 D. 1或9二、填空题（每小题3分，共30分）11．当x 时，x x 2112-++有意义.12．若最简根式()2334++a b a 和452++b a 是同类根式，则a = ，b = .13．当a ＜-2时，化简()=++-122a a .14．若a a =2，则a . 若a a -=2，则a . 若a a =2，则a .15．比较大小：①23-，②22+，③52-53-.16．当x = 时，xx -1有意义.17．若25-=x ，25+=x ，则=+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy y x y x x y . 18．使式子122---a a 有意义的a 取值范围是 .19．当a ＞2b ＞0时，=+-a b ab b a 32244 .20． ()()()=+-+÷++a b b a b ab a 2 .三、解答题21．计算（每小题2分，共6分）（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛----5431813225.024（2）ab b a ab b 3123235÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-（a ＞0，b ＞0）（3）132121231+-+++22．化简求值（每小题3分，共6分）（1）已知2352+=x . 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x x x x x 1111的值.（2）已知23-=x ，求4434234--++x x x x 的值.23．已知321+=a ，求aa a a a a a -+-+-+-22212121的值.（4分）24．设x a -=8，43+=x b ，2+=x b .（6分）（1）当x 取何实数时，a 、b 、c 均有意义.（2）当a 、b 、c 为直角△ABC 三边，求x 值.25．化简：424242422222-++--++--+-++n n n n n n n n （n ＞2）.（4分）26．已知：32+=-b a ，32-=-c b . 求bc ac ab c b a ---++222的值.（4分）27．已知a a 1=，5=b ，求1025102522222222-+-++a b b a a b b a 的值.（4分）28．已知代数式333--+-x x x ，（1）试确定x 的值；（2）利用（1）的结果求32637522++-x x 的值.（6分）。
《基础训练》九年级数学(全一册)第21章参考答案
课后训练
口11
1.D 2.C3.A4. a>-2且a^05.36.D7.(1) x<^；
1⑵任意实数；(3)x>1；⑷x>-4且x工2;(5)任意实数；(6)xv^.
厂一2=°,厂x=2,
8•由题意得-解得-所以x—y=5.
I'-y+3=0,「：y=—3,
<
3a——6》0fa'2,
2.14cm2.
课堂练习
2
⑷亍
1.(1)14;
(2)6;
⑶2x;
2.(1)10 2;
2
⑵3
(3)66;
(4)8 xnyn.
3.(1) 2;
⑵.20;
(3).a;
(4)— .—x.
课后训练
1.B2.A
3.B
4.D5.(1)v(2)>6.>>w>
7.>1—x y8.(1)302;
(2)32;(3)竽；(4)3 x丽;(5)
page4基础训练含单元评价卷数学九年级全一册参考答案课时练习部分参考答案第二十一章二次根式21
基础训练(含单元评价卷)数学九年级全一册
参考答案
课时练习部分参考答案
第二十一章二次根式
21.1二次根式
第1课时
课前预习
1•土_a a0 0没有平方根2. .10米3. a2+b2
课堂练习
1•二次根式有：①②⑥⑦⑨；不源自二次根式的有：③④⑤⑧⑩.2.A3.
,解得-所以a=2.当a=2时，
b—4=u,得b=4.所以,》等腰三角形两边的长为2,2和4.当a=2为腰长时，2+2=4,不满足三角形三边之间的关系，舍去.当b=4为腰长时，满足题意.所以
华师版九年级上册数学第21章 二次根式 二次根式
2
a
是先开方后平方；③运算结果不同：a＝2 |a|＝ Nhomakorabea2
a
联系：与均为a非a负 0数 ,，且当2a≥0时，
a
a
0
,
a a.
2
a2 a
a2
2
a2 a
感悟新知
知3－练
1．若实数 a，b 满足|a＋1|＋ b－2＝0，则 a＋b＝ ____1____.
课堂小结
2
a
a2
a2
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
∴x＞.
1
3x 7 7
3
1 3x
7
0,
3x 7 0,
知2－练
感悟新知
（3）欲使有x意义2 ，5 x
则必有 ∴2≤x≤5.
x 2 0, 5 x 0,
（4）欲使有意义，
则必有∴x≥－x 4且4 x≠2. x2
x 4 0,
x
2
0,
知2－练
感悟新知
方法归纳: 求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法：
感悟新知
知2－练
1．式子 x－1在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是( C )
A．x>0
B．x≥－1
C．x≥1
D．x≤1
感悟新知
知2－练
2．已知 y＝ x－4＋ 4－x＋3，则xy的值为( C )
A.43
B．－43
C.34
D．－34
感悟新知
知识点 3 二次根式的性质：( a)2 a, a2 a
达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一 宇宙速度的公式是：
其中g为重力加速度，R为地v 球半gR径, ．
(完整版)七年级数学下册第二十一章二次根式有答案
1.F列说法正确的是（）若■、aa，则a<0 C. a4b8a2b42. 二次根式3.2y 2x4.C.5. 3；2（m 3）的值是（B. 2、3y| .x2(x是二次根式，则'ba, b均为非负数a> 0, b>0 a,卜一章二次根式单元测试若；a2 a,则a 05的平方根是C. 2、20）的结果是（C. 2x yb应满足的条件是B . a, b同号D . - 0b3已知a<b,化简二次根式a b的正确结果是a ab B . a abC. a.abD. a ab6. 把m —根号外的因式移到根号内，得（\ mC. D . ■- m7 . F列各式中，一定能成立的是（A. .(2.5)2( 2.5)2(a)2 c. 2x 2x 1 =x-1若x+y=0，则下列各式不成立的是2 2小x y 0 B. VxC. .x2 y20D. 、、x9.当x3时，二次根m ：2x 25x 7式的值为、5，贝U m 等于（）24B . ± 2C . 2若 x 5不是二次根式，则 x 的取值范围是 L2已知 a<2， （a 2）____ 。
当x= _______ 时，二次根式• x 1取最小值，其最小值为 ____________ 。
计算： 12 . 27 .18 _____ ； （3 48 4、27 2.一 3） ___若一个正方体的长为 2.6cm ，宽为,3cm ，高为.2cm ，则它的体积 3___ c m 。
y 、x3 .3 x 4，则 x y3的整数部分是a ，小数部分是 b ，^U •一 3a b2 1'..3 x3 1,71T x、2 B .C .D. .. 510,则x 等于（A .10.A .11.12.13.14.15. 为_ 16. 17.18.19. 20.21.23.已知a ， b ，c 为三角形的三边，则(a b c)2. (b c a)2.(b c a)222.(5,48 6、. 274, 15) .33. x 24. '18 (、2 1) (2)..m(m 3) m ? m 3，则m 的取值范围是1 1 (1)(3)25. J" 1 27('3 1)02 226 •已知：x ------------------ ，求x品1x 1的值。
人教版数学九年级上册第二十一章二次根式复习小结导学教案
人教版九年级上册数学教案第二^一章二次根式一、教材分析本章是在第13章的基础上，进一步研究二次根式的概念和运算。
在本章中, 学生将学习二次根式的概念、性质、运算法则和化简的方法，通过对二次根式的概念和性质的学习，学生将对实数的概念有更深刻的认识，通过对二次根式的加、减、乘、除运算的学习，学生将对实数的简单四则运算有进一步的了解。
学习本章的关键是理解二次根式的概念和性质，它们是学习二次根式的化简与运算的依据，重点是二次根式的化简和运算，难点是正确理解二次根式的性质和运算法则的合理性。
本章内容分为三节，第一节主要学习二次根式的概念和性质，本节既是第10章相关内容的发展，同时又是后面两节内容的基础，因此本节起承上启下的作用；第二节是二次根式的乘除运算，主要研究二次根式的乘除运算法则和二次根式的化简；第三节是二次根式的加减，主要研究二次根式的加减运算法则和进一步完善二次根式的化简。
在第21.1节“二次根式”中，教科书首先给出四个实际问题，要求学生利用已学的平方根和算术平方根的知写出这四个问题的答案，并分析所得答案的表达式的共同特点引出二次根式的概念。
在二次根式的概念中，重要的一点是理解被开方数是非负数的要求，教科书结合例题对此进行了较详细的分析。
接下去，教科书依次探讨了关于二次根式的结论：T"是一个非负数、-二二-匚、■「」•：；© M::。
对于“- -1是非负数”，教科书是利用算术平方根的概念得到的；对于• 1 =''''，教科书则采用由特殊到一般的方法归纳得出的。
在研究这个结论时，教科书首先设置“探究”栏目，要求学生利用算术平方根的概念进行几个具体的计算，并对运算过程和运算结果进行进一步的分析，最后归纳给出这条结论；对于结论’：匕亠二“—，教科书同样采用了让学生通过具体计算，分析运算过程和运算结果，最后归纳得出一般结论的方法进行研究。
第一节的内容是学习后两节内容的直接基础。
第二十一章 “二次根式”简介
第二十一章“二次根式”简介1. 什么是二次根式在数学中，二次根式是指形如√a的表达式。
其中，a是一个非负实数。
二次根式也可以写成幂的形式，即a的1/2次方。
对于任意实数a和b，若a≥0，则有√a * √b = √(a * b)。
二次根式在代数中有广泛的应用，尤其在解方程、求根和平方根等问题中起着重要的作用。
2. 二次根式的性质二次根式有许多独特的性质，下面介绍其中的一些重要性质。
•二次根式的值域对于任意非负实数a，二次根式√a的值域是[0, +∞)。
这是因为如果a为非负实数，那么√a的值必然大于等于0。
•二次根式的化简当二次根式的内部包含有完全平方数时，可以通过化简来简化表达式。
例如，√16可以化简为4，因为4是16的一个平方根。
•二次根式的运算二次根式可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
例如，√a + √b可以化简为√(a + b)。
•二次根式的公式二次根式有一些特殊的公式，如平方差公式(√a + √b)(√a - √b) = a - b。
•二次根式的应用二次根式在几何中也有广泛的应用，如计算三角形的边长、面积和体积等。
3. 二次根式的求解求解二次根式的过程通常包括以下几个步骤：1.判断二次根式的值域，即确定a的取值范围；2.根据题目中给出的条件，列写方程；3.对方程进行变形和化简，将二次根式的形式转化为一次根式或其他形式；4.解方程，求出a的值；5.将a的值代入原方程，求出二次根式的值。
4. 二次根式的扩展除了普通的二次根式，还有一些涉及到复数的扩展形式。
•虚数单位i 虚数单位i定义为i^2 = -1。
虚数单位i可以用来表示负数的平方根，例如√-1 = i。
•复数复数是由实数和虚数单位i构成的数。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数。
复数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
•共轭复数共轭复数是指具有相同实部但虚部互为相反数的两个复数。
例如，a + bi和a - bi就是一对共轭复数。
第二十一章二次根式
第二十一章二次根式第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解（a≥0）是一个非负数，（）2=a（a≥0），=a（a≥0）．（3）掌握·＝（a≥0，b≥0），= ·；= （a≥0，b>0），= （a≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念． 再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定， 并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维， 得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点， 给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1．二次根式（a≥0）的内涵．（a≥0）是一个非负数；（）2＝a（a≥0）；=a （a≥0） 及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1．对（a ≥0）是一个非负数的理解；对等式（）2＝a（a≥0）及=a（a≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力， 培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：21．1 二次根式3课时21．2 二次根式的乘法3课时21．3 二次根式的加减3课时教学活动、习题课、小结2课时共6页，当前第1页12345621．1.1 二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1．重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“（a≥0）”解决具体问题．教学过程abc 一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是_________．问题2：如图，在直角三角形abc中，ac=3，bc=1，∠c=90°，那么ab边的长是__________．问题3：正方形的面积为s,则它的边长为_____.老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x= ，所以所求点的坐标（，）．问题2：由勾股定理得ab=问题3：二、探索新知很明显、、，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如（a≥0） 的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。
第二十一章二次根式
第二十一章二次根式21．2 二次根式的乘除(一)教学内容a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标a≥0，b≥0）a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；•（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）及它们的运用．a≥0，b≥0）．关键：要讲清a<0,b<0）b，如教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．1．填空（1；（2=_______．（3．参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．2．利用计算器计算填空（1（2（3（4（5．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，•并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为反过来例1．计算（1（2（3（4分析：a≥0，b≥0）计算即可．解：（1（2（3=（4例2 化简（1（2（3（4（5a≥0，b≥0）直接化简即可．解：（1×4=12（2×9=36（3×10=90（4（5三、巩固练习（1）计算（学生练习，老师点评）①②(2) 化简练习全部教材P8四、应用拓展例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4解：（1）不正确．×3=6（2）不正确．＝五、归纳小结本节课应掌握：（1（a≥0，b≥0）a≥0，b≥0）及其运用．六、布置作业1，4，5，6．（1）（2）．课本P1221．2 二次根式的乘除（二）教学内容a ≥0，b>0）（a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．教学目标a ≥0，b>0）和a ≥0，b>0）及利用它们进行运算． 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．教学重难点关键1a ≥0，b>0）a ≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题：1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．2．填空（1）；（2）=________；（3）；（4）=________．3．利用计算器计算填空:（1），（2，（3），（4．每组推荐一名学生上台阐述运算结果．（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1．计算：（1（2（3（4分析：上面4a ≥0，b>0）便可直接得出答案．解：（1（2==（3（4例2．化简：（1（2（3 （4a ≥0，b>0）就可以达到化简之目的．解：（1=（283b a =（38y = （413y = 三、巩固练习教材P11 练习1．四、应用拓展例3．=，且x 为偶数，求（1+x 的值．分析：a ≥0，b>0时才能成立． 因此得到9-x ≥0且x-6>0，即6<x ≤9，又因为x 为偶数，所以x=8．解：由题意得9060x x -≥⎧⎨->⎩，即96x x ≤⎧⎨>⎩ ∴6<x ≤9 ∵x 为偶数 ∴x=8∴原式=（1+x （1+x （1+x∴当x=8时，原式的值=6．五、归纳小结a ≥0，b>0a ≥0，b>0）及其运用． 六、布置作业教材P 11 习题21．2 2、7、8、9．21.2 二次根式的乘除(三)教学内容最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．教学目标理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键1．重点：最简二次根式的运用．2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）1．计算（1（2（35=3a2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，•那么它们的传播半径的比是_________．．二、探索新知观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．老师点评：不是．2==例1．(1)例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．解：因为AB2=AC2+BC2所以AB==132====6.5（cm）因此AB的长为6.5cm．三、巩固练习教材P11练习2、3四、应用拓展例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=-，32=-从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算））的值．分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的．AC解：原式=……×）=））=2002-1=2001五、归纳小结本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．六、布置作业习题21．2 3、7、10．教材P12。
第21章 二次根式
第21章 二次根式 21．1 二次根式1．理解二次根式的概念，并利用a(a ≥0)的意义解答具体题目． 2．理解a(a ≥0)是非负数和(a)2＝a.3．理解a 2＝a(a ≥0)并利用它进行计算和化简．重点1．形如a(a ≥0)的式子叫做二次根式．2.a(a ≥0)是一个非负数；(a)2＝a(a ≥0)及其运用．3.a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a<0）.难点利用“a(a ≥0)”解决具体问题．关键：用分类思想的方法导出a(a ≥0)是一个非负数；用探究的方法导出a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a<0）.一、复习引入回顾：当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根． 当a 是零时，a 等于0，它表示零的算术平方根． 当a 是负数时，a 没有意义． 二、探究新知概括：a(a ≥0)表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a(a ≥0)是一个非负数，它的平方等于a.即有：(1)a ≥0(a ≥0)；(2)(a)2＝a(a ≥0)． 形如a(a ≥0)的式子叫做二次根式．注意：在a 中，a 的取值必须满足a ≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数． 思考：a 2等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，－2，3，－3等，分别计算对应的a 2的值，看看有什么规律．概括：当a ≥0时，a 2＝a ；当a<0时，a 2＝－a. 三、练习巩固1．x 取什么实数时，下列各式有意义？(1)3－4x ； (2)x ＋1x －2； (3)（x －3）2； (4)3x －4＋4－3x. 2．计算下列各式的值： (1)(18)2; (2)(23)2；(3)(94)2; (4)(35)2.3．若a＋1＋b－1＝0，求a2020＋b2020的值．4．化简：(1)9；(2)（－4）2；(3)25；(4)（－3）2.5．若－3≤x≤2时，试化简|x－2|＋（x＋3）2.四、小结与作业小结1．师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：(1)(a)2＝a(a≥0)；(2)当a≥0时，a2＝a；当a<0时，a2＝－a.2．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．布置作业从教材相应练习和“习题21.1”中选取．本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.21.2二次根式的乘除21．2.1二次根式的乘法理解a·b＝ab(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．由具体数据发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)并运用它进行计算．通过探究a·b＝ab(a≥0，b≥0)，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣．重点a·b＝ab(a≥0，b≥0)及它的应用．难点发现规律，导出a·b＝ab(a≥0，b≥0)．一、情境引入1．填空：(1)4×9＝________，4×9＝________；(2)16×25＝________，16×25＝________；(3)100×36＝________，100×36＝________．参照上面的结果，用“>”、“<”或“＝”填空．4×9________4×9；16×25________16×25； 100×36________100×36. 2．利用计算器计算填空．2×3________6； 2×5________10； 5×6________30； 4×5________20. 二、探究新知(学生活动)让3，4个同学上台总结规律．教师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积．一般地，对二次根式的乘法规定为a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)． 例1 计算：(1)5×7； (2)13×9； (3)12× 6. 解：(1)5×7＝35； (2)13×9＝13×9＝3； (3)12×6＝12×6＝ 3. 三、练习巩固1．直角三角形两条直角边的长分别为15 cm 和12 cm ，那么此直角三角形斜边长是( )A ．3 2 cmB ．3 3 cmC ．9 cmD ．27 cm 2．化简a－1a的结果是( ) A .－a B . a C ．－－a D ．－ a3．等式x －1·x ＋1＝x 2－1成立的条件是( ) A ．x ≥1 B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤－1 4．下列各等式成立的是( ) A ．45×25＝8 5 B ．53×42＝20 5 C ．43×32＝7 5 D ．53×42＝20 6 四、小结与作业 小结1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．2．教师总结归纳二次根式的乘法规定a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)． 布置作业从教材“习题21.2”中选取．这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)，并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣．21．2.2 积的算术平方根1．理解ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)． 2．运用ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)．重点ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)及其应用． 难点ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)的理解与应用．一、情境引入一般地，对二次根式的乘法规定为a·b ＝ab(a ≥0，b ≥0)．反过来，ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)． 二、举例分析教师用多媒体出示例1，引导学生利用ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)直接化简． 例1 化简：(1)9×16； (2)16×81； (3)81×100； (4)54.解：(1)9×16＝9×16＝3×4＝12； (2)16×81＝16×81＝4×9＝36； (3)81×100＝81×100＝9×10＝90； (4)54＝9×6＝32×6＝3 6.教师用多媒体出示例2，学生板演，集体讲评，注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a ≥0，b ≥0.例2 判断下列各式是否正确，不正确的请改正：(1)（－4）×（－9）＝－4×－9； (2)41225×25＝4×1225×25 ＝41225×25＝412＝8 3. 三、练习巩固 1．化简：(1)20；(2)18；(3)24；(4)54.2．自由落体的公式为s ＝12gt 2(g 为重力加速度，它的值约为10 m /s 2)，若物体下落的高度为120 m ，则下落的时间是________s .四、小结与作业 小结1．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流． 2．教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即 ab ＝a·b(a ≥0，b ≥0)． 布置作业从教材“习题21.2”中选取．本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.21.2.3 二次根式的除法1．理解a b ＝a b (a ≥0，b>0)和a b ＝a b(a ≥0，b>0)，并运用它们进行计算．2．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．3．理解最简二次根式的概念，并运用它将不是最简二次根式的化成最简二次根式．重点1．理解a b＝a b (a ≥0，b>0)，a b ＝ab(a ≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简． 2．最简二次根式的运用． 难点发现规律，归纳出二次根式的除法规定．最简二次根式的运用．一、情境引入(学生活动)请同学们完成下列各题．1．写出二次根式的乘法规定及逆向公式． 2．填空： (1)916＝________，916＝________； (2)1636＝________，1636＝________； (3)416＝________，416＝________； (4)3681＝________，3681＝________． 规律：9 16________916；1636________1636；4 16________416；3681________3681.3．利用计算器计算填空：(1)34＝________；(2)23＝________；(3)25＝________；(4)78＝________．规律：3 4________34；23________23；2 5________25；78________78.教师用多媒体展示，每组推荐一名同学阐述运算结果，教师最后点评．二、探究新知刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定a b ＝ab(a≥0，b>0)．反过来，ab＝ab(a≥0，b>0)．下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．例1计算：(1)123；(2)32÷18；(3)14÷116；(4)648.解：(1)123＝123＝4＝2；(2)32÷18＝32÷18＝32×8＝3×4＝3×4＝23；(3)14÷116＝14÷116＝14×16＝4＝2；(4)648＝648＝8＝2 2.例2化简：(1)63；(2)3 64；(3)15；(4)68.解：(1)63＝37；(2)364＝364＝38；(3)15＝55×5＝55；(4)68＝6×28×2＝32.观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中所含的因数(或因式)的幂的指数都小于2.教师在此过程中强调，要求最后结果化成最简二次根式．三、练习巩固1．化简：(1)3512；(2)－172－132；(3)2－13；(4)13－2.2．已知1－aa2＝1－aa，则a的取值范围是________．3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5 cm，BC＝6 cm，求AB的长．第1题可由学生自主完成，第2、3题教师可给予相应的指导．四、小结与作业小结请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上．布置作业从教材“习题21.2”中选取．本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情．21．3二次根式的加减1．掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式．2．掌握二次根式加减乘除混合运算的方法．重点二次根式加减法的运算．难点探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算．一、情境引入1．合并同类项：(1)2x＋3x；(2)2x2－3x2＋5x2.解：(1)5x；(2)4x2.这几道题是你运用什么知识做的？加减法则．2．化简：(1)53；(2)48.解：(1)153；(2)4 3.3．如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并．4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．如22与32；28，38与58.二、探究新知例1计算：(1)22＋32；(2)28－38＋58；(3)7＋27＋39×7；(4)33－23＋ 3.教师多媒体展示例1.(1)如果我们把2当成x，不就转化成上面的问题了吗？因此，二次根式的被开方数相同的可以合并，如22与8表面上看是不同的，但它们可以合并．归纳：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．例2计算：(1)212－613＋348；(2)(12＋20)＋(3－5)．教师多媒体展示例2.学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．三、练习巩固1．下列计算是否正确？为什么？(1)8－3＝8－3；(2)4＋9＝4＋9；(3)32－2＝2 2.2．以下二次根式：①12；②22；③23；④27中，与3是同类二次根式的是()A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④3．计算：(1)80－20＋5；(2)18＋(98－27)；(3)12(2＋3)－34(2＋27)； (4)348－913＋312. 4．已知x ＝3＋1，y ＝3－1，求下列各式的值． (1)x 2＋2xy ＋y 2； (2)x 2－y 2.教师多媒体展示，点名回答第1，2题，第3题学生板演，教师点评． 四、小结与作业 小结请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点． 布置作业从教材相应练习和“习题21.3”中选取．本节课通过复习整式的加减法、合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣．。
初三数学知识点大全
精心整理初三数学各章节重要知识点概要倪月舟第21章二次根式1．二次根式：一般地，式子)0a(,a≥叫做二次根式.2345（（（67（（3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式.8．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12（（第是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x）：(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第三年=第三年或第一年+第二年+第三年=总和.第23章旋转1、概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角°，如果它能够与另一个图形重合，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 6、坐标系中的中心对称第24章圆1、（要求深刻理解、熟练运用）1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角形. 三 公式： 1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L=180R n π；（3）圆的面积S=πR 2.（4）扇形面积S扇形 =LR1R n 2=π； （r四 ? d 5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ）两圆外离 ? d ＞R+r ； 两圆外切 ? d=R+r ； 两圆相交 ? R-r ＜d ＜R+r ；两圆内切 ? d=R-r ； 两圆内含 ? d ＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.第25章概率1、必然事件、不可能事件、随机事件的区别2、概率m会稳定在某个一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率n常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P第一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.3. y=ax2 (a≠0)的特性：当y=ax2+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 (a≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；4．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法.5．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y= k.最值6a，的图二次函数y=ax+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式：二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：(1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下；(2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；y(4) b2－4ac＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点；b2－4ac =0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）；b2－4ac＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.10．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.第27章相似形（要求深刻理解、熟练运用）1．三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线. 2．相似形有传递性；即：∵Δ1∽Δ2Δ2∽Δ3∴Δ1∽Δ3四、位似A1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心34第1.2么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB ； cotA=tanB.3. 同角三角函数关系：sin 2A+cos 2A =1； tanA·co tA =1. tanA=A cos A sin 4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数值，要熟练记忆它们.坡平线。
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第21章二次根式1．二次根式：一般地，式子叫做二次根式.注意：（1）若这个条件不成立，则不是二次根式；（2）是一个重要的非负数，即；≥0.2．重要公式：（1）,（2）；3．积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；4．二次根式的乘法法则：.5．二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小.6．商的算术平方根：，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.7．二次根式的除法法则：（1）；（2）；（3）分母有理化的方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式.10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.12．二次根式的混合运算：（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等.第22章一元二次方程1. 一元二次方程的一般形式: a≠0时，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a、 b、 c；其中a 、 b,、c可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax2+bx+c=0 (a≠0)时，Δ=b2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；4．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x）：(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第三年 = 第三年或第一年+第二年+第三年=总和.第28章解直角三角形1.三角函数的定义：在RtΔABC中,如∠C=90°，那么sinA=； cosA=；tanA=； cotA=.2．余角三角函数关系 ------ “正余互化公式”如∠A+∠B=90°, 那么：sinA=cosB； cosA=sinB； tanA=cotB； cotA=tanB.3. 同角三角函数关系：sin 2A +cos 2A =1； tanA²cotA =1. tanA=4. 函数的增减性：在锐角的条件下，正弦，正切函数随角的增大，函数值增大；余弦，余切函数随角的增大，函数值反而减小.5．特殊角的三角函数值：如图：这是两个特殊的直角三角形，通过设k, 它可以推出特殊角的直角三角函数值，要熟练记忆它们.6.解直角三角形：对于直角三角形中的五个元素，可以“知二可求三”，但“知二”中至少应该有一个是边.7．坡度： i = 1:m = h/l = tanα；坡角: α.8. 方位角：9．仰角与俯角：第23章旋转1、概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角2、旋转的性质：（1）旋转前后的两个图形是全等形；（2）两个对应点到旋转中心的距离相等（3）两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角3、中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．4、中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．（2）关于中心对称的两个图形是全等图形．5、中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．6、坐标系中的中心对称两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．第27章相似形（要求深刻理解、熟练运用）1．三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线.2．相似形有传递性；即：∵Δ1∽Δ2Δ2∽Δ3∴Δ1∽Δ3四、位似1、位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，且每组对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．2、掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．3、位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．4、利用位似，可以将一个图形放大或缩小．作图时要注意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．第25章概率1、必然事件、不可能事件、随机事件的区别2、概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）, 记作P（A）= p. 注意：（1）概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.（2）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.3、求概率的方法（1）用列举法求概率（列表法、画树形图法）（2）用频率估计概率：一大面，可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.第26章二次函数1. 二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0)2. 关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c；抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡；其中c叫二次函数在y轴上的截距, 即二次函数图象必过（0，c）点.3. y=ax2 (a≠0)的特性：当y=ax2+bx+c (a≠0)中的b=0且c=0时二次函数为y=ax2 (a≠0);这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：（1）图象关于y轴对称；（2）顶点（0，0）；4．求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值, 从而求出解析式-------待定系数法.5．二次函数的顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)；由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标（h, k），对称轴方程 x=h 和函数的最值 y最值= k.6．求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标（h,k）和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.7. 二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动；y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：k值增大 <=> 图象向上平移；k值减小 <=> 图象向下平移；（x-h）值增大 <=> 图象向左平移；(x-h)值减小 <=> 图象向右平移.8. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象及几个重要点的公式：9. 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)中，a、b、c与Δ的符号与图象的关系：(1) a＞0 <=> 抛物线开口向上； a＜0 <=> 抛物线开口向下；(2) c＞0 <=> 抛物线从原点上方通过； c=0 <=> 抛物线从原点通过；c＜0 <=> 抛物线从原点下方通过；(3) a, b异号 <=> 对称轴在y轴的右侧； a, b同号 <=> 对称轴在y轴的左侧；b=0 <=> 对称轴是y轴；(4) b2－4ac＞0 <=> 抛物线与x轴有两个交点；b2－4ac =0 <=> 抛物线与x轴有一个交点（即相切）；b2－4ac＜0 <=> 抛物线与x轴无交点.10．二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.第24章圆1、（要求深刻理解、熟练运用）1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR2.（4）扇形面积S扇形=；（5）弓形面积S弓形=扇形面积S AOB±ΔAOB的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh；(r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 ==πrR. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交⇔ d＜r ；直线与圆相切⇔ d=r ；直线与圆相离⇔ d＞r.5．圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）两圆外离⇔ d＞R+r；两圆外切⇔ d=R+r；两圆相交⇔ R-r＜d＜R+r；两圆内切⇔ d=R-r；两圆内含⇔ d＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.。