2013石景山初三二模数学试题及答案-2013.06石景山二模答案
初三数学石景山初三期末数学试题及答案
初三数学期末复习资料石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．1．若两个相似三角形的相似比为1∶4，则它们的面积比为A ．1∶2B ．2:1C ．1∶4D ．1∶16 2．已知，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC =4，则tan B 的值是A ．43 B ．34 C ．35D3．如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ．若AB =4，OC =2， 则半径OB 的长为A ．4B. 22 C ． 52 D ．54．已知点（x ，y ）是反比例函数6yx=（x >0）图象上的一点，则当0<x <2时，下列关系成立的是A ．3=yB ．3<yC ．3>yD ．不能确定5．分别写有数字1，2，2，3，5的五张卡片，除数字不同外其它均相同，从中任意抽取一张，那么抽到无理数的概率是 A ．51B ．52C ．53 D ．54 6．在同一平面直角坐标系内，将函数245y x x =++的图象沿x 轴方向向右平移3个单位长度后得到的图象顶点坐标是 A ．(2,4)-B ．(2,4)C ．(1,1)-D ．(1,1)7．如图，AB 为⊙O 的直径，EF 切⊙O 于点D ，过点B 作BH ⊥EF 于点H ，交⊙O 于点C ，连接BD ．若∠ABH =50°，则∠ABD 的度数是A ．50°B ．40°C ．30°D ．25°第7题 第8题8．如图，矩形ABCD 中，BC =4，AB =3，E 为边AD 上一点，DE =1，动点P 、Q 同时从点C 出发，点P 沿CB 运动到点B 时停止，点Q 沿折线CD —DE —EB 运动到点B 时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P 、Q 同时出发t 秒时，△CPQ 的面积为y cm 2．则y 与t 的函数关系图象大致是第3题BACB A第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的半径是 ． 10．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD =2BD第10题11．如图，⊙M 的圆心为M （－2,2），半径为2，直线AB 过点A （0，-2）, B （2,0）,则⊙M 关于y 轴对称的⊙'M 与直线AB 的位置关系是 ．12．已知，在x 轴上有两点A （a ,0），B （b , 0）（其中b <a <0），分别过点A ，点B 作x 轴的垂线，交抛物线23x y =于点C ，点D ．直线OC 交直线BD 于点E ，直线OD 交直线AC 于点F ．若将点E ，点F 的纵坐标分别记为E y ,F y ，则E y F y （用“>”、 “<” 或“=”连接）． 三、解答题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 13．计算：()0345tan 30cos 212π--︒+︒+．14．已知：抛物线的解析式为)1)(4(2-+-=x x y ．（1）求抛物线与y 轴的交点坐标；（2）写出这个抛物线的对称轴方程； （3）求出抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围．15．已知：如图，在△ABC 中，30=∠ABC ，105=∠BAC ，4=AB cm ，求AC 的长．16．现有4根小木棒，长度分别为：2，3，4，5 (单位：cm)，从中任意取出3根．（1）列出所选的3根小木棒的所有可能情况；（2）如果用这3根小木棒首尾顺次相接，求它们能搭成三角形的概率．17．如图，⊙C 经过坐标原点O ，并与两坐标轴相交于A 、D 两点，已知∠点D 的坐标为)2,0(，求点A 的坐标及圆心C 的坐标．18．已知：如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于)3,1(-A 、),3(n B 两点，连接OA 、OB ．（1）求两个函数的解析式； （2）求△ABO 的面积．ED C B A19．我们知道：15角可以看做是60角与45角的差．请借助有一个内角是60的直角三角形和等腰直角三角形构造出一个图形并借助它求出15sin 的值 (要求画出构造的图形) ．20．已知：△ABC 中，102=AB ，4=AC ，26=BC ．（1）如图1，点M 为AC 的中点，在线段BC 上取点N ，使△CMN 与△ABC 相似，求线段MN 的长； （2）如图2,，是由81个边长为1的小正方形组成的9×9正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，试直接写出在所给的网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数，并在图2中画出其中的一个（不需证明）．四、解答题（本题共3道小题，每小题6分，共18分）21．某种产品的年产量不超过1 000 t ，该产品的年产量与费用之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图甲）；该产品的年销量与销售单价之间的函数图象是线段（如图乙），若生产的产品都能在当年销售完，问该产品年产量为多少吨时，所获得的毛利润最大．（毛利润=销售额-费用）2c bx x y ++-=2过A 、B 两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x 轴的直线t x =，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？图1 图2 t ）t ）D23．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，10==AC AB ，12=BC ，P 是劣弧BC的中点，过点P 作⊙O的切线交AB 延长线于点D ． （1）求证：BC DP //； （2）求DP 的长．五、解答题（本题共2道小题，每小题7分，共14分） 24．已知二次函数32++=bx ax y 图象的对称轴为直线1=x ． （1）用含a 的代数式表示b ；（2）若一次函数5+=kx y 的图象经过点)1,4(A 及这个二次函数图象的顶点，求二次函数32++=bx ax y 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点)2,(t t P 在二次函数32++=bx ax y 图象上，则点P 叫做图象上的2倍点，求出这个二次函数图象上的所有2倍点的坐标．25．已知：抛物线1C ：622-+-=bx x y 与抛物线2C 关于原点对称，抛物线1C 与x 轴分别交于A （1,0），B （m,0）,顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ． （1）求m 的值；（2）求抛物线2C 的解析式；（3）若抛物线1C 与抛物线2C 同时以每秒1个单位的速度沿x 轴方向分别向左、向右运动，此时记A ，B ，C ，D ，M ，N 在某一时刻的新位置分别为'''''',,,,,N M D C B A ，当点'A 与点'D 重合时运动停止．在运动过程中，四边形''''N C M B 能否形成矩形？若能，求出此时运动时间t （秒）的值，若不能，说明理由．DCBA石景山区2012-2013学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．6； 10．9； 11．相交； 12．=． 三、解答题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 13.解：()0345tan 30cos 212π--︒+︒+.=1123232-+⨯+ ……………………4分 =33. ……………………5分 14.解：（1）令0=x 得8=y ，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0,8）；………1分（2）令0=y 得1=x 或4-=x ，所以对称轴方程为23-=x ； ………3分 （3）根据图象可知：抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范.14<<-x ………5分15．解：过点A 作BC AD ⊥，垂足为D . ………1分在Rt △ADB 中，30=∠ABC ，4=AB2sin ==∴B AB AD ， ………2分 60=∠BAD ………3分又 105=∠BAC 45=∠∴DAC ，………4分 222==∴AD AC . ………5分16.解：（1）所有可能情况：（2,3,4）、（2,3,5）、(2,4,5)、(3,4,5); ………4分 （2）能搭成三角形的情况有3种，所以，能搭成三角形的概率为43. .……5分 17. 解：连结D 、A ，过点C 分别作坐标轴的垂线段CF CE ,.………1分90=∠DOA DA ∴为⊙C 的直径 ………2分 30=∠OBA 30=∠∴ADO 又 2=DO 332=∴OA ∴点A 的坐标为)0,332(， OA CE OD CF //,// 且C 为DA 中点，111N33,1==∴CE CF ∴圆心C 的坐标为)1,33(. ………5分 18. 解:(1) 点)3,1(-A 在xmy =的图象上，∴3-=m 反比例函数的解析式为x y 3-=； ………1分又 点),3(n B 在xy 3-=的图象上，1-=∴n由题意,得⎩⎨⎧-=+-=+133b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==41b k ，∴一次函数的解析式为4-=x y ； ………3分(2)如图，作⊥AC y 轴，x AE ⊥轴，x BD ⊥轴.=--+=∆∆∆OBD OCA AEDB ACOE OAB S S S S S 梯形矩形 4. ………5分19. 解：如图，△ABC 为有一个内角为60的直角三角形，△ADC 为等腰直角三角形，所以15=∠DAB . ………1分作AB DE ⊥，垂足为E . ………2分 设1=DC ,则1=AC ，由勾股定理2=AD ，由∠60=BAC 可得2=AB ，3=BC ………3分 ∴13-=BD在Rt BED ∆中，30=∠B ∴ 213-=DE ………4分 在Rt DEA ∆中，426sin -==∠ADEDDAE∴即42615sin -=. ………5分 20.解： (1)如图：①当N 为BC 中点，AB MN // 此时△CMN ∽△CAB ,有21==AB MN CA CM ∵102=AB∴10=MN ； ………2分 ②当△1CMN ∽△CBA 时，有B CMN ∠=∠1∴AB MN BC CM 1=， 又 26=BC∴352=MN .………4分∴MN 的长为10或352（2）8个，如图（答案不唯一）. ………5分 (8个，两条对角线，每条对角线4个图形)E CBAD四、解答题（本题共3道小题，每小题6分，共18分） 21.解：设年产量（t ）与费用（万元）之间函数解析式为21ax y =，由题意可得a 210001000=，解得：10001=a ，即：100021x y =. ……1分设年销量（t ）与销售单价（万元/t ）之间的函数解析式为b kx y +=2，由题意，可得⎩⎨⎧+⋅=+=.030,100020b k b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=301001b k ，即：3010012+-=x y ………3分 设毛利润为y 万元，由题意，可得=y )301001(+-x x 10002x -（其中10000≤≤x ）………4分 =x x 301000112+-，因为10001115000>=x ，所以当10000≤≤x 时，y 随x 的增大而增大， 因而在1000=x 时，图象达到最高点，故当年产量为1000吨时，所获得的毛利润最大. ………………6分 22. 解：（1）易得A （0，2），B （4，0） ……………… 1分将x =0，y =2代入c bx x y ++-=2得2=c ………………2 分 将x =4，y =0，2=c 代入c bx x y ++-=2得到,27=b2272++-=∴x x y ……………… 3分 （2）由题意，易得217(,2),(,2)22M t t N t t t -+-++……………… 4分从而得到t t t t t MN 4)221(22722+-=+--++-=)40(<<t …… 5分当2=t 时，MN 有最大值4 . ………………6 分23.（1）证明：连结APAC AB = ∴弧AB =弧AC又 P 是劣弧BC 的中点，∴弧BP =弧CP ………………1分 ∴弧ABP =弧ACP ， ∴AP 为⊙O 的直径 又 DP 为⊙O 的切线，∴DP AP ⊥ ………………2分 作BC AM ⊥，垂足为M∴M 为BC 中点， ∴AM 必过圆心O ， 即：P O M A ,,,四点共线∴BC DP //. ………………3分（2）在Rt AMB ∆中，BC BM 21==6，8=∴AM ，43tan =∠BAM在Rt OMB ∆中，设r OB =，则由勾股定理得2226)8(+-=r r解得=r 425，225=AP ………………5分在Rt APD ∆中，DAP AP DP ∠⋅=tan =.87543225=⨯ ………………6分五、解答题（本题共2道小题，每小题7分，共14分） 24．解：（1）由题意，得12=-ab……………………………………1分 ∴a b 2-=且0≠a ． ……………………………………2分 （2）由直线5+=kx y 过点A （4,1）∴541+=k ，解得1-=k∴5+-=x y ……………………………………3分 设抛物线顶点坐标为（1，n ），代入5+-=x y 中，可得451=+-=n∴抛物线顶点坐标为（1，4）， ……………………………………4分 代入322+-=ax ax y 中，可得1-=a∴抛物线的解析式为322++-=x x y ．…………………………………５分 （3）∵点P （t ，2t ）在抛物线上∴3222++-=t t t …………………………………6分 解得3±=t∴这个抛物线上的2倍点有两个，分别是（32,3）和（32,3--）．…………………………………7分25．解： （1）∵抛物线622-+-=bx x y 过点 A （1,0）∴620-+-=b …………………………………1分 ∴8=b∴抛物线1C 的解析式为 2)2(268222+--=-+-=x x x y ∴)2,2(M令0=y ，则06822=-+-x x 解这个方程，得3,121==x x∴3=m ……………………………………2分 （2）由题意，抛物线2C 过点C （-3,0）,D （-1,0）,N （-2，-2）∴抛物线2C 的解析式为 6822)2(222++=-+=x x x y …………3分 （3）过点'M 作H M '⊥x 轴于点H ， …………………………………4分 若四边形''''N C M B 是矩形，则''OM OB =由题意，设'M )2,2(t -，'B )0,3(t -，则H )0,2(t - ………………5分 在Rt △OH M '中，2222'''OB OM H M OH ==+∴222)3(2)2(-=+-t t …………………………………6分解得21=t ∴21=t 秒时，四边形''''N C M B 是矩形．………………………………7分。
北京市石景山区2013届高考二模数学理试题(WORD解析版)
2013年北京市石景山区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•石景山区二模）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，那么C U（A∩B）（）A．{0，1} B．{2，3} C．{0，1，4} D．{0，1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．分析：找出A与B的公共元素，求出两集合的交集，在全集中找出不属于交集的部分，即可确定出所求的集合．解答：解：∵集合A={0，1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∩B={2，3}，又全集U={0，1，2，3，4}，则C U（A∩B）={O，1，4}．故选：C．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•石景山区二模）在复平面内，复数z1的对应点是Z1（1，1），z2的对应点是Z2（1，﹣1），则z1•z2=（）A．1B．2C．﹣i D．i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的几何意义可得z1=1+i，z2=1﹣i，再利用复数的乘法运算法则即可得出．解答：解：∵在复平面内，复数z1的对应点是Z1（1，1），z2的对应点是Z2（1，﹣1），∴z1=1+i，z2=1﹣i，∴z1•z2=（1+i）（1﹣i）=12﹣i2=1+1=2．故选B．点评：熟练掌握复数的几何意义、复数的乘法运算法则是解题的关键．3．（5分）（2013•石景山区二模）在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（）A．ρ=2sinθB．ρ=﹣2sinθC．ρ=2cosθD．ρ=﹣2cosθ考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先在直角坐标系下求出圆心在，且过极点的圆的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式化成极坐标方程即可．解答：解：∵在极坐标系中，圆心在，且过极点的圆的直角坐标方程是：x2+（y﹣1）2=1，即x2+y2﹣2y=0，它的极坐标方程为：ρ=2sinθ．故选A．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程、点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画圆的位置．4．（5分）（2013•石景山区二模）如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，则判断框内可以填入（）A．k≤10 B．k≤16 C．k≤22 D．k≤34考点：程序框图．专题：图表型．分析：由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．解答：解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k＜33，或者k≤22．故选C．点评：本题考查识图的能力，考查根据所给信息给循环结构中判断框填加条件以使程序运行的结果是题目中所给的结果．5．（5分）（2013•石景山区二模）设，，c=log32，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b考点：不等关系与不等式．专题：计算题．分析：通过a，b的6次方，判断a与b的大小，判断c的大小范围，即可判断大小关系．解答：解：因为=＞1，，因为a6=8，b6=9，所以b＞a，因为c=log32∈（0，1），所以b＞a＞c．故选D．点评：本题考查数值大小的比较，基本知识的应用．6．（5分）（2013•石景山区二模）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥αC．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．m⊥n，n⊥β，β⊥α考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．解答：解：对于A，”m⊥n，n∥α”，如正方体中AB⊥BC，BC∥平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；对于B，“m∥β，β⊥α”，如正方体中A′C′∥面ABCD，面ABCD⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m⊥α，故不正确；对于C，根据m⊥β，n⊥β，得m∥n，又n⊥α，根据线面垂直的判定，可得m⊥α，可知该命题正确；对于D，“m⊥n，n⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB，AB⊥面BCC′B′，面ABCD⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m⊥α，故不正确．故选C．点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．7．（5分）（2013•石景山区二模）已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图，设正六边形ABCDEF的顶点A、B、C、F在抛物线y2=2px上．根据抛物线的对称性，设A（x1，1），F（x2，2），由抛物线方程和正六边形的性质建立关于x1、x2和p的方程组，解之可得2p=，由此即可得到抛物线焦点到准线的距离．解答：解：由题意，设正六边形ABCDEF的顶点A、B、C、F在抛物线y2=2px上，设A（x1，1），F（x2，2），可得，。
北京市石景山区中考数学二模试卷（含答案解析）
北京市石景山区中考数学二模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．﹣a＞c B．a＞b C．ab＞0 D．a＞﹣32．一种细胞的直径约为0.000052米，将0.000052用科学记数法表示为（）A．5.2×105 B．5.2×10﹣5 C．5.2×10﹣4 D．52×10﹣63．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．130°B．50° C．40° D．25°4．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．在某次体育测试中，九年级（1）班的15名女生仰卧起坐的成绩如表：成绩（次∕分钟）44 45 46 47 48 49人数（人） 1 1 3 3 5 2则此次测试成绩的中位数和众数分别是（）A．46，48 B．47，47 C．47，48 D．48，486．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上任意一点（与点B不重合），则∠BPC 的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．如图，l1反映了某公司的销售收入（单位：元）与销售量（单位：吨）的关系，l2反映了该公司的销售成本（单位：元）与销售量（单位：吨）的关系，当该公司盈利（收入大于成本）时，销售量应为（）A．大于4吨 B．等于5吨 C．小于5吨 D．大于5吨8．如图，某河的同侧有A，B两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为AC＝2km，BD＝3km，这两条小路相距5km．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A，B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A．距C点1km处 B．距C点2km处 C．距C点3km处 D．CD的中点处9．如图是北京3月1日﹣7日的PM2.5浓度（单位：μg/m3）和空气质量指数（简称AQI）的统计图，当AQI不大于50时称空气质量为“优”，由统计图得到下列说法：①3月4日的PM2.5浓度最高②这七天的PM2.5浓度的平均数是30μg/m3③这七天中有5天的空气质量为“优”④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关其中说法正确的是（）A．②④ B．①③④C．①③ D．①④10．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是（）A．20 B．24 C．48 D．60二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若二次根式有意义，则x的取值范围为________．12．分解因式：a2b﹣4ab+4b＝___________．13．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，图中阴影部分的面积是12π，则⊙O的半径为_________．14．关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝______，c＝_________．15．下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：线段a．求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为2a．作法：如图，（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线DE交BC于点F；（3）在射线FD上顺次截取线段FG＝GA＝a，连接AB，AC．所以△ABC即为所求作的等腰三角形．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：①_____________：②_____________．16．某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率，结果如表：移植的棵数n 300 700 1000 5000 15000成活的棵数m 280 622 912 4475 135450.933 0.889 0.912 0.895 0.903成活的频率根据表中的数据，估计这种树苗移植成活的概率为_______（精确到0.1）；如果该地区计划成活4.5万棵幼树，那么需要移植这种幼树大约______万棵．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：（π﹣）0+6cos45°+﹣|﹣3|．18．解不等式﹣≥﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．19．如图，在△ABC中，CD＝CA，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．求证：∠ACE＝∠DBF．20．已知x2﹣10xy+25y2＝0，且xy≠0，求代数式﹣÷的值．21．列方程或方程组解应用题：某校的软笔书法社团购进一批宣纸，用720元购进的用于创作的宣纸与用120元购进的用于练习的宣纸的数量相同，已知用于创作的宣纸的单价比用于练习的宣纸的单价多1元，求用于练习的宣纸的单价是多少元∕张？22．如图，四边形ABCD是矩形，点E在AD边上，点F在AD的延长线上，且BE＝CF．（1）求证：四边形EBCF是平行四边形．（2）若∠BEC＝90°，∠ABE＝30°，AB＝，求ED的长．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与双曲线y＝（m ≠0）的一个交点为B（﹣1，4）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线y＝上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标．24．绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为北京的一道靓丽的风景线．某社会实践活动小组为了了解“共享单车”的使用情况，对本校教师在3月6日至3月10日使用单车的情况进行了问卷调查，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分：请根据以上信息解答下列问题：（1）3月7日使用“共享单车”的教师人数为人，并请补全条形统计图；（2）不同品牌的“共享单车”各具特色，社会实践活动小组针对有过使用“共享单车”经历的教师做了进一步调查，每位教师都按要求选择了一种自己喜欢的“共享单车”，统计结果如右图，其中喜欢mobike的教师有36人，求喜欢ofo的教师的人数．25．如图，AB为⊙O的直径，弦BC，DE相交于点F，且DE⊥AB于点G，过点C作⊙O的切线交DE 的延长线于点H．（1）求证：HC＝HF；（2）若⊙O的半径为5，点F是BC的中点，tan∠HCF＝m，写出求线段BC长的思路．26．已知y是x的函数，如表是y与x的几组对应值．x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 5 …y … 1.969 1.938 1.875 1.75 1 0 ﹣2 ﹣1.5 0 2.5 …小明根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①x＝﹣1对应的函数值y约为________；②该函数的一条性质：_________．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l与图形M有公共点，求k的取值范围．28．已知在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一点（与点B不重合），过点C作CE⊥BC于点C，且CE＝BD（点E与点A在射线BC同侧），连接AD，ED．（1）如图1，当点D在线段BC上时，请直接写出∠ADE的度数．（2）当点D在线段BC的延长线上时，依题意在图2中补全图形并判断（1）中结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）在（1）的条件下，ED与AC相交于点P，若AB＝2，直接写出CP的最大值．29．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点P的变换点P'的坐标定义如下：当a＞b时，点P'的坐标为（﹣a，b）；当a≤b时，点P'的坐标为（﹣b，a）．（1）点A（3，1）的变换点A'的坐标是______；点B（﹣4，2）的变换点为B'，连接OB，OB'，则∠BOB'＝_______；（2）已知抛物线y＝﹣（x+2）2+m与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E．点P在抛物线y＝﹣（x+2）2+m上，点P的变换点为P'．若点P'恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D 是菱形，求m的值；（3）若点F是函数y＝﹣2x﹣6（﹣4≤x≤﹣2）图象上的一点，点F的变换点为F'，连接FF'，以FF'为直径作⊙M，⊙M的半径为r，请直接写出r的取值范围．参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．﹣a＞c B．a＞b C．ab＞0 D．a＞﹣3【分析】根据数轴的性质，实数的性质计算即可．【解答】解：由数轴得，a＜0＜b＜c，|a|＞|c|＞|b|，∴﹣a＞c，故A正确；故选：A．【点评】本题考查了实数和数轴，掌握数轴的性质，实数的性质是解题的关键．2．一种细胞的直径约为0.000052米，将0.000052用科学记数法表示为（）A．5.2×105 B．5.2×10﹣5 C．5.2×10﹣4 D．52×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000052＝5.2×10﹣5，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．如图，直线a∥b，直线l与a，b分别交于点A，B，过点A作AC⊥b于点C，若∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．130°B．50° C．40° D．25°【分析】先根据平行线的性质，得出∠ABC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠2．【解答】解：∵直线a∥b，∴∠ABC＝∠1＝50°，又∵AC⊥b，∴∠2＝90°﹣50°＝40°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线，解题时注意：两直线平行，同位角相等．4．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5．在某次体育测试中，九年级（1）班的15名女生仰卧起坐的成绩如表：成绩（次∕分钟）44 45 46 47 48 49人数（人） 1 1 3 3 5 2则此次测试成绩的中位数和众数分别是（）A．46，48 B．47，47 C．47，48 D．48，48【分析】根据众数和中位数的定义求解可得．【解答】解：由于一共有15个数据，∴其中位数为第8个数据，即中位数为47，∵48出现次数最多，有5次，∴众数为48，故选：C．【点评】本题考查中位数和众数的概念．在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数；将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上任意一点（与点B不重合），则∠BPC 的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】接OB，OC，根据四边形ABCD是正方形可知∠BOC＝90°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接OB，OC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∴∠BPC＝∠BOC＝45°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，l1反映了某公司的销售收入（单位：元）与销售量（单位：吨）的关系，l2反映了该公司的销售成本（单位：元）与销售量（单位：吨）的关系，当该公司盈利（收入大于成本）时，销售量应为（）A．大于4吨 B．等于5吨 C．小于5吨 D．大于5吨【分析】交点（5，5000）表示当销售量为5吨时，销售收入和销售成本相等，要想赢利，收入图象必须在成本图象上方，从图象得出，当x＞5时，收入大于成本．【解答】解：由图可得，当0＜x＜5时，收入小于成本；当x＝5时，收入等于成本；当x＞5时，收入大于成本．故选：D．【点评】此题为一次函数与不等式的综合应用，搞清楚交点的实际意义和函数图象的相对位置是关键．8．如图，某河的同侧有A，B两个工厂，它们垂直于河边的小路的长度分别为AC＝2km，BD＝3km，这两条小路相距5km．现要在河边建立一个抽水站，把水送到A，B两个工厂去，若使供水管最短，抽水站应建立的位置为（）A．距C点1km处 B．距C点2km处 C．距C点3km处 D．CD的中点处【分析】作出点A关于江边的对称点E，连接EB交CD于P，则PA+PB＝PE+PB＝EB．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P处时，供水管路最短．根据△PCE∽△PDB，利用相似三角形的对应边的比等于相似比求解．【解答】解：作出点A关于江边的对称点E，连接EB交CD于P，则PA+PB＝PE+PB＝EB．根据两点之间线段最短，可知当供水站在点P处时，供水管路最短．根据△PCE∽△PDB，设PC＝x，则PD＝5﹣x，根据相似三角形的性质，得＝，即＝，解得x＝2．故供水站应建在距C点2千米处．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用及最短路线问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．9．如图是北京3月1日﹣7日的PM2.5浓度（单位：μg/m3）和空气质量指数（简称AQI）的统计图，当AQI不大于50时称空气质量为“优”，由统计图得到下列说法：①3月4日的PM2.5浓度最高②这七天的PM2.5浓度的平均数是30μg/m3③这七天中有5天的空气质量为“优”④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关其中说法正确的是（）A．②④ B．①③④C．①③ D．①④【分析】根据折线统计图，可得答案．【解答】解：由第一个图的纵坐标，得①3月4日的PM2.5浓度最高，故①符合题意；②＝34.85μg/m3，故②不符合题意；③由第二个图得这七天中有4天的空气质量为“优”，故③不符合题意；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，故④符合题意；故选：D．【点评】本题考查了折线统计图，观察统计图从图中获得有效信息是解题关键．10．如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是（）A．20 B．24 C．48 D．60【分析】根据点P的移动规律，当OP⊥BC时取最小值3，根据矩形的性质求得矩形的长与宽，易得该矩形的面积．【解答】解：如图2所示，当OP⊥BC时，BP＝CP＝4，OP＝3，所以AB＝2OP＝6，BC＝2BP＝8，所以矩形ABCD的面积＝6×8＝48．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是根据所给函数图象和点的运动轨迹判断出BP＝CP ＝4，OP＝3．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．若二次根式有意义，则x的取值范围为x≥﹣2 ．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．分解因式：a2b﹣4ab+4b＝b（a﹣2）2 ．【分析】考查了对一个多项式因式分解的能力．本题属于基础题，当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对余下的多项式继续分解．此题应先提公因式，再用完全平方公式．【解答】解：a2b﹣4ab+4b＝b（a2﹣4a+4）＝b（a﹣2）2【点评】本题考查因式分解的概念，注意必须将式子分解到不能分解为止．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．13．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，图中阴影部分的面积是12π，则⊙O的半径为 6 ．【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算可得．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，根据圆周角定理可得∠AOB＝2∠C＝120°，设⊙O的半径为r，∵阴影部分的面积是12π，∴＝12π，解得：r＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．14．关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝ 1 ，c＝ 1 ．【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝4﹣4ac＝0，取a＝1找出c值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△＝22﹣4ac＝0，∴ac＝1，即当a＝1时，c＝1．故答案为：1；1．【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．15．下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程．已知：线段a．求作：等腰△ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为2a．作法：如图，（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线DE交BC于点F；（3）在射线FD上顺次截取线段FG＝GA＝a，连接AB，AC．所以△ABC即为所求作的等腰三角形．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：②有两条边相等的三角形是等腰三角形．【分析】根据垂直平分线的性质和等腰三角形的判定即可得出答案．【解答】解：根据题意知，∵DE垂直平分BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，其依据是：①线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②有两条边相等的三角形是等腰三角形，故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等、有两条边相等的三角形是等腰三角形．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，熟练掌握垂直平分线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．16．某林业部门统计某种树苗在本地区一定条件下的移植成活率，结果如表：移植的棵数n 300 700 1000 5000 15000成活的棵数m 280 622 912 4475 135450.933 0.889 0.912 0.895 0.903成活的频率根据表中的数据，估计这种树苗移植成活的概率为0.9 （精确到0.1）；如果该地区计划成活4.5万棵幼树，那么需要移植这种幼树大约 5 万棵．【分析】利用表格中数据估算这种幼树移植成活率的概率即可．然后用样本概率估计总体概率即可确定答案．【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不等增加，这种幼树移植成活率稳定的0.9左右，故这种幼树移植成活率的概率约为0.9．∵该地区计划成活4.5万棵幼树，∴那么需要移植这种幼树大约4.5÷0.9＝5万棵故本题答案为：0.9；5．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：（π﹣）0+6cos45°+﹣|﹣3|．【分析】利用零指数幂、立方根以及特殊角的三角函数值分别化简求出答案．【解答】解：原式＝1+6×+2﹣3＝3．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、立方根、绝对值等考点的运算．18．解不等式﹣≥﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：去分母，得：2（2x+1）﹣3（5x﹣1）≥﹣6．去括号，的：4x+2﹣15x+3≥﹣6．移项、合并，得：﹣11x≥﹣11．系数化为1，的：x≤1．不等式的解集在数轴上表示如下：．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．19．如图，在△ABC中，CD＝CA，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F．求证：∠ACE＝∠DBF．【分析】依据CE⊥AD，BF⊥AD，可得CE∥BF，即可得出∠DBF＝∠DCE．根据∠ACE＝∠DCE，即可得到∠ACE＝∠DBF．【解答】证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠CED＝∠BFD＝90°．∴CE∥BF．∴∠DBF＝∠DCE．∵CD＝CA，CE⊥AD，∴∠ACE＝∠DCE．∴∠ACE＝∠DBF．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．20．已知x2﹣10xy+25y2＝0，且xy≠0，求代数式﹣÷的值．【分析】根据分式的混合运算把原式化为最简分式，由已知条件得到x＝5y，代入即可得到结果．【解答】解：原式＝＝，∵x2﹣10xy+25y2＝0，∴（x﹣5y）2＝0．∴x＝5y，∴原式＝＝．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算的法则是解题的关键．21．列方程或方程组解应用题：某校的软笔书法社团购进一批宣纸，用720元购进的用于创作的宣纸与用120元购进的用于练习的宣纸的数量相同，已知用于创作的宣纸的单价比用于练习的宣纸的单价多1元，求用于练习的宣纸的单价是多少元∕张？【分析】设用于练习的宣纸的单价是x元∕张，根据等量关系：，用720元购进的用于创作的宣纸与用120元购进的用于练习的宣纸的数量相同，可得方程，再解方程即可求解．【解答】解：设用于练习的宣纸的单价是x元∕张．由题意，得，解得x＝0.2．经检验，x＝0.2是所列方程的解，且符合题意．答：用于练习的宣纸的单价是0.2元∕张．【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．找到关键描述语，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．22．如图，四边形ABCD是矩形，点E在AD边上，点F在AD的延长线上，且BE＝CF．（1）求证：四边形EBCF是平行四边形．（2）若∠BEC＝90°，∠ABE＝30°，AB＝，求ED的长．【分析】（1）由Rt△BAE≌Rt△CDF，推出∠1＝∠F，推出BE∥CF，又BE＝CF，即可证明四边形EBCF 是平行四边形；（2）Rt△BAE中，∠2＝30°，AB＝，求出AE.BE，在Rt△BEC中，求出BC，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CDF＝∠ABC＝90°，AB＝DC，AD＝BC，在Rt△BAE和Rt△CDF中，，∴Rt△BAE≌Rt△CDF，∴∠1＝∠F，∴BE∥CF，又∵BE＝CF，∴四边形EBCF是平行四边形．（2）解：∵Rt△BAE中，∠2＝30°，AB＝，∴AE＝AB•tan∠2＝1，，∠3＝60°，在Rt△BEC中，，∴AD＝BC＝4，∴ED＝AD﹣AE＝4﹣1＝3．【点评】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定．解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3（k≠0）与x轴交于点A，与双曲线y＝（m ≠0）的一个交点为B（﹣1，4）．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线y＝上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标．【分析】（1）将点B（﹣1，4）代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可；（2）根据直线解析式求得点A坐标，由求得点P的纵坐标，继而可得答案．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+3（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）都经过点B（﹣1，4），∴﹣k+3＝4，m＝﹣1×4．∴k＝﹣1，m＝﹣4．∴直线的表达式为y＝﹣x+3，双曲线的表达式为．（2）由题意，得点C的坐标为C（﹣1，0），直线y＝﹣x+3与x轴交于点A（3，0）．∴AC＝4．∵，∴yP＝±2．∵点P在双曲线上，∴点P的坐标为P1（﹣2，2）或P2（2，﹣2）．【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键．24．绿色出行是对环境影响最小的出行方式，“共享单车”已成为北京的一道靓丽的风景线．某社会实践活动小组为了了解“共享单车”的使用情况，对本校教师在3月6日至3月10日使用单车的情况进行了问卷调查，以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分：请根据以上信息解答下列问题：（1）3月7日使用“共享单车”的教师人数为人，并请补全条形统计图；（2）不同品牌的“共享单车”各具特色，社会实践活动小组针对有过使用“共享单车”经历的教师做了进一步调查，每位教师都按要求选择了一种自己喜欢的“共享单车”，统计结果如右图，其中喜欢mobike的教师有36人，求喜欢ofo的教师的人数．【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论；（2）根据题意列式计算即可得到结论．【解答】解：（1）3月7日使用“共享单车”的教师人数为：20（1+50%）＝30人，补全条形统计图如图所示．（2）36÷45%＝80． 80×（1﹣45%﹣15%）＝32（人）．答：喜欢ofo的教师有32人．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25．如图，AB为⊙O的直径，弦BC，DE相交于点F，且DE⊥AB于点G，过点C作⊙O的切线交DE 的延长线于点H．（1）求证：HC＝HF；（2）若⊙O的半径为5，点F是BC的中点，tan∠HCF＝m，写出求线段BC长的思路．【分析】（1）连接OC，想办法想办法证明∠2＝∠5即可．（2）思路一：①OF过圆心且点F是BC的中点，由垂径定理可得BC＝2CF，∠OFC＝90°；②由∠6与∠1互余，∠2与∠1互余可得∠6＝∠2，从而可知tan∠6＝m；③在Rt△OFC中，由，可设OF＝x，CF＝mx，由勾股定理，得x2+（mx）2＝52，可解得x的值；④由BC＝2CF＝2mx，可求BC的长．思路二：①由AB是⊙O的直径，可得△ACB是直角三角形，知∠6与∠4互余，又DE⊥AB可知∠3与∠4互余，得∠6＝∠3；②由∠6＝∠3，∠3＝∠2，可得∠6＝∠2，从而可知tan∠6＝m；③在Rt△ACB中，由，可设AC＝x，BC＝mx，由勾股定理，得x2+（mx）2＝102，可解得x的值；④由BC＝mx，可求BC的长．【解答】（1）证明：连接OC，如图1．∵CH是⊙O的切线，∴∠2+∠1＝90°，∵DE⊥AB，∴∠3+∠4＝90°，∵OB＝OC，∴∠1＝∠4，∴∠2＝∠3，又∵∠5＝∠3，∴∠2＝∠5，∴HC＝HF．（2）求解思路如下：思路一：连接OF，如图2．①OF过圆心且点F是BC的中点，由垂径定理可得BC＝2CF，∠OFC＝90°；②由∠6与∠1互余，∠2与∠1互余可得∠6＝∠2，从而可知tan∠6＝m；③在Rt△OFC中，由，可设OF＝x，CF＝mx，由勾股定理，得x2+（mx）2＝52，可解得x的值；④由BC＝2CF＝2mx，可求BC的长．思路二：连接AC，如图3．①由AB是⊙O的直径，可得△ACB是直角三角形，知∠6与∠4互余，又DE⊥AB可知∠3与∠4互余，得∠6＝∠3；②由∠6＝∠3，∠3＝∠2，可得∠6＝∠2，从而可知tan∠6＝m；③在Rt△ACB中，由，可设AC＝x，BC＝mx，由勾股定理，得x2+（mx）2＝102，可解得x的值；④由BC＝mx，可求BC的长．【点评】本题考查切线的性质、垂径定理、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．26．已知y是x的函数，如表是y与x的几组对应值．x …﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 5 …y … 1.969 1.938 1.875 1.75 1 0 ﹣2 ﹣1.5 0 2.5 …小明根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（2）根据画出的函数图象，写出：①x＝﹣1对应的函数值y约为 1.5 ；②该函数的一条性质：当x＜2时，y随x的增大而减小．【分析】（1）按照自变量由小到大，利用平滑的曲线连结各点即可；（2）①在所画的函数图象上找出自变量为7所对应的函数值即可；②利用函数图象的图象求解．【解答】解：（1）如右图所求；（2）①x＝﹣1对应的函数值y约为1.5；②当x＜2时，y随x的增大而减小，（答案不唯一）；故答案为：1.5，当x＜2时，y随x的增大而减小．【点评】本题考查了函数的定义：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l与图形M有公共点，求。
北京市石景山区初三数学第二次统一考试及答案
石景山区初三第二次统一练习数学试卷考 生 须 知1．本试卷共6页．全卷共九道大题，25道小题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号．4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回．一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上． 1. |3|-的相反数是A ．3-B ．3C ．31-D ．3±2. 下图中所示的几何体的主视图是3. 明代长城究竟有多长？4月18日，国家文物局和国家测绘局联合发布数据，明长城长度为8.8851千米，比十年前最近的一次调查又增加了2200多千米．8.8851千米用科学记数法可以表示为（保留三个有效数字）A ．31085.8⨯米B ．61085.8⨯米C ．310852.8⨯米D ．610852.8⨯米4．若10<<a ，则下列四个不等式中正确的是A ．a a 11<< B ．11<<a a C ．11<<a a D ．a a<<11 5. 对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点．．，则二次函数22y x mx m =-+-（m 为实数）的零点．．的个数是 A ．1 B ．2C ．0D ．随m 值变化 6.小明外出游玩，带上棕色、蓝色、淡黄色3件上衣和蓝色、白色2条长裤，他任意拿出1件上衣和1条长裤正好是棕色上衣和蓝色长裤的概率是A ．21 B ．51 C ．61 D ．91 7. 有一列数1a ，2a ，3a ，，n a ，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若12a =，则2009a 为 A ．2009B ．2C ．21 D ．1-A ．B ．C ．D ．8. 如图，在图1所示的正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为 A ．r R 2= B ．r R 49=C ．r R 3=D ．r R 4=二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分） 9．分解因式：=-2282b a ．10．若01|3|=-++-n m m ，则=mn .11．如图，P 为菱形ABCD 的对角线AC 上一点，AB PE ⊥于E ，AD PF ⊥于F ，3=PF ，则PE 的长是 .12．观察下列有序数对：)1,3(-，)21,5(-，)31,7(-，)41,9(-，…，根据你发现的规律，第100个有序数对是 ．三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分） 13．计算：2103)2()30(sin )3(81-+︒--+--π．14．解方程：)2(5)2(3+=+x x x ．15．反比例函数xky =的图象在第一象限的分支上有一点A （2，3），P 为x 轴正半轴上的一个动点. （1）求反比例函数的解析式；（2）当P 在什么位置时，OPA ∆为直角三角形，求出此时P 点的坐标．16．已知：如图，AB CD ⊥于点D ，AC BE ⊥于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分BAC ∠. 求证：OC OB =.17．先化简，后求值：⋅+-21x x 11124222-÷+--x x x x ，其中02=-x x ．F EP D CBA第11题图1图2第8题第16题四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）18．大楼AD 的高为10米，不远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶B 处的仰角为︒60，爬到楼顶D 点测得塔顶B 点的仰角为︒30，求塔BC 的高度．19．如图，⊙O 的直径4=AB ，点P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，联结AC ．（1）若︒=∠30CPA ，求PC 的长；（2）若点P 在AB 的延长线上运动，CPA ∠的平分线交AC 于点M ．你认为CMP ∠的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出CMP ∠的大小．五、解答题（本题满分6分）20．某单位欲招聘一名员工，现有A B C ，，三人竞聘该职位，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用两种方式进行了统计，如表一和图一.表一（1）请将表一和图一中的空缺部分补充完整； （2）竞聘的最后一个程序是由该单位的300名职工进行投票，三位竞聘者的得票情 况如图二（没有弃权票，每名职工只能推荐一个），请计算每人的得票数； （3）若每票计1分，该单位将笔试、口试、得票三项测试得分按4:3:3的比例确定A B C 笔试 85 95 90口试 80 85 图二B 40%C 25% A 35%10095 908580 75 70 分数/分 图一 竞聘人 A B C 笔试口试 第19题DB 第18题个人成绩，请计算三位竞聘者的最后成绩，并根据成绩判断谁能竞聘成功． 六、解答题（共2个小题，第21题6分，第22题3分，共9分）21．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后，还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40千米/小时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对后同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离超过10米，但小于12米．查有关资料知，甲车的刹车距离y （米）与车速x （千米/小时）的关系为y 201.01.0x x +=；乙车的刹车距离s （米）与车速x （千米/小时）的关系如右图所示．请你就两车的速度方面分析这起事故是谁的责任．22．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图１中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；（2）在图２中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3、4、5；（3）在图３中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、5、13．七、解答题（本题满分7分）23．如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（0，3），以点C 为顶点的抛物线c bx ax y ++=2恰经过x 轴上的点A 、B ．（1）求点C 的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛 物线的解析式．第21题y xO AB CD第23题第22题图 图１ 图2 图3八、解答题（本题满分7分）24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，AOB ∆为等边三角形，点A 的坐标是（34，0），点B 在第一象限，AC 是OAB ∠的平分线，并且与y 轴交于点E ，点M 为直线AC 上一个动点，把AOM ∆绕点A 顺时针旋转，使边AO 与边AB 重合，得到ABD ∆． （1）求直线OB 的解析式；（2）当M 与点E 重合时，求此时点D 的坐标；（3）是否存在点M ，使OMD ∆的面积等于33， 若存在，求出点M 的坐标； 若不存在，请说明理由．九、解答题（本题满分8分）25．（1）如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，︒=∠60ABC ，︒=∠120ADC ，请你 猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，︒=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且︒=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的 数量关系，并证明你的结论．图2第25题第24题 C BA 0yxEO 图１石景山区初三第二次统一练习数学参考答案及评分标准阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）题 号 12345678答 案 A D B A B C C D二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）题 号 91011 12答 案)2)(2(2b a b a -+6-3)1001,201(-三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分） 13．解：原式=2)21(1211+-+-- ……………………………………………4分 =21． ……………………………………………5分 14．解：原方程可化为01032=-+x x ， ……………………………………………1分解得21-=x ，352=x ． ……………………………………………5分 15．解：（1）将)3,2(A 代入xky =， ……………………………………………1分 得 6=k ．所以函数解析式为xy 6=． ……………………………………………2分 （2）当︒=∠90OPA 时，)0,2(P ． ……………………………………………3分 当︒=∠90OAP 时，过A 作x AH ⊥轴于H ，由△OAH ∽△APH ， ……………………………………………4分得 PHAHAH OH =．即 292322===OH AH PH ．所以，213292=+=OP ． 此时，点P 的坐标为（213，0）． ……………………………………………5分16．证明：∵ AB CD ⊥，AC BE ⊥，∴ OEA ODA ∠=∠． ……………………………………………1分 ∵ OA 平分BAC ∠，∴ CAO BAO ∠=∠．又OA OA =，∴ OAD ∆≌OAE ∆． ……………………………………………2分 ∴ OE OD =． ……………………………………………3分 在OBD ∆和OCE ∆中，OE OD =，OEC ODB ∠=∠，COE BOD ∠=∠， ∴ OBD ∆≌OCE ∆． ……………………………………………4分 ∴ OC OB =． ……………………………………………5分17．解：⋅+-21x x 11124222-÷+--x x x x )1)(1()1()2)(2(212-+⋅--+⋅+-=x x x x x x x 22--=x x ． ……………………………………………3分 当02=-x x 时，原式2-=． ……………………………………………5分四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分） 18．解：过点B 作AD BE ⊥交AD 延长线于点E ．……………………………………………1分 在Rt △BED 中，由题意︒=∠60BDE ． 设x DE =，则x BE 3=． ……………………………………………2分在Rt △BEA 中，由题意︒=∠30BAE ． x BE 3=，则x AE 3=． ………………3分∴ 1023==-=-=x x x DE AE AD ． ∴ 5=x ． ………………4分∴ 15510=+=+=DE AD BC ． ………………5分 答：塔BC 的高度为15米．19．解：（1）联结OC ，则PC OC ⊥．DBE 第18题在Rt △OCP 中，221==AB OC ，︒=∠30CPA ． ∴ 323==OC PC ． ……………………………………………2分（2）CMP ∠的大小不发生变化． ……………………………………………3分MPA A CMP ∠+∠=∠ CPO COP ∠+∠=2121 ︒=︒⨯=459021． …………………5分 五、解答题（本题满分6分） 20．解：（1）90；补充后的图如下：……………………………………………2分 （2）A ：30035105⨯=% B ：30040120⨯=% C ：3002575⨯=% ……………………………………………4分 （3）A ：854903105392.5433⨯+⨯+⨯=++（分）B ：954803120398433⨯+⨯+⨯=++（分）C ：90485375384433⨯+⨯+⨯=++（分）所以，B 能竞聘成功． ……………………………………………6分 六、解答题（本题共2个小题，第21题6分，第22题3分，共9分） 21．解：因为=y 201.01.0x x +，而=y 12，所以1201.01.02=+x x ．解之，得 401-=x ，302=x ．……………………………………………2分 舍去40-=x ，得 30=x 40<，所以甲车未超速行驶． ……………………………………………3分100 95 90 85 80 75 70分数/分竞聘人ABC笔试 口试第19题设s kx =，把（60，15）代入，得 k 6015=．解得 41=k ．故s x 41=. ……………………………………………4分 由题意知 124110<<x ．解得4840<<x . 所以乙车超速行驶． ……………………………………………6分 综上所述，这次事故责任在乙方． 22．解：如图所示，每问1分，共3分．七、解答题（本题满分7分）23．解：（1）联结AC ，在菱形ABCD 中，CD //AB ，DA CD BC AB ===，由抛物线对称性可知BC AC =． ……………………………………………1分 ∴ ACD ABC ∆∆,都是等边三角形． ∴ 260sin =︒==ODAD CD ． ……………………………………………2分∴ 点C 的坐标为（2，3）． ……………………………………………3分（2）由抛物线2y ax bx c =++的顶点为（2，3），可设抛物线的解析式为3)2(2+-=x a y ． 由（1）可得A （1，0），把A （1，0）代入上式， 解得3-=a ．……………………………………………5分设平移后抛物线的解析式为k x y +--=2)2(3，把（0，3）代入上式得35=k ． ∴ 平移后抛物线的解析式为35)2(32+--=x y ．……………………………………………7分即33432++-=x x y ．八、解答题（本题满分7分）y xO A B CD第23题图1图2 图3第22题24．解：（1）B （32，6）；OB l ：x y 3=． ……………………2分（2）如图1，由题意x DA ⊥轴，︒=∠=∠30BAD EAO ．此时 823===OA AE DA ，即点D （34，8）． ……………………4分（3）如图2、图3，过M 作x MN ⊥轴，设a MN =， 当M 在x 轴上方时，由︒=∠30OAM ，∴ a MA 2=，a NA 3=．=∆OMD S 33234213)2(21)334(21=⋅⋅-⋅++⋅-a a a a a a ． 解得3=a ． ……………………………………………5分 当M 在x 轴下方时，由︒=∠30NAM ，∴ a MA 2=，a NA 3=．=∆OMD S 33)334(213)2(2123421=⋅+-⋅++⋅⋅a a a a a a ． 解得1=a ． ……………………………………………6分 ∴ 1M （3，3），2M （35，1-）．……………………………………………7分 九、解答题（本题满分8分）25．解：（1）如图１，延长CD 至E ，使DA DE =．可证明EAD ∆是等边三角形． ……………………………………………1分 联结AC ，可证明BAD ∆≌CAE ∆． ……………………………………………2分 故BD CE CD DE CD AD ==+=+．……………………………………………3分A BC DEx yO 图１ E图2E图3图1图2第25题11 / 11 （2）如图２，在四边形ABCD 外侧作正三角形D B A '，可证明C B A '∆≌ADB ∆，得DB C B ='．……………………………………………4分∵ 四边形DP B A '符合（1）中条件，∴ PD AP P B +='． ……………………………………………5分 联结C B '，ⅰ）若满足题中条件的点P 在C B '上，则PC B P C B +'='．∴ PC PD AP C B ++='．∴ PC PD PA BD ++= ． ……………………………………………6分 ⅱ）若满足题中条件的点P 不在C B '上，∵ PC B P C B +'<'，∴ PC PD AP C B ++<'．∴ PC PD PA BD ++<． ……………………………………………7分 综上，PC PD PA BD ++≤． ……………………………………………8分。
2012-2013石景山初三期末考试数学试题参考答案
DCBA石景山区2012-2013学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．6； 10．9； 11．相交； 12．=． 三、解答题（本题共8道小题，每小题5分，共40分） 13.解：()0345tan 30cos 212π--︒+︒+.=1123232-+⨯+ ……………………4分 =33. ……………………5分 14.解：（1）令0=x 得8=y ，所以抛物线与y 轴的交点坐标为（0,8）；………1分（2）令0=y 得1=x 或4-=x ，所以对称轴方程为23-=x ； ………3分 （3）根据图象可知：抛物线在x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围是.14<<-x ………5分15．解：过点A 作BC AD ⊥，垂足为D . ………1分在Rt △ADB 中，30=∠ABC ，4=AB2sin ==∴B AB AD ， ………2分 60=∠BAD ………3分 又 105=∠BAC45=∠∴DAC ，………4分 222==∴AD AC . ………5分16.解：（1）所有可能情况：（2,3,4）、（2,3,5）、(2,4,5)、(3,4,5); ………4分 （2）能搭成三角形的情况有3种，所以，能搭成三角形的概率为43. .……5分17. 解：连结D 、A ，过点C 分别作坐标轴的垂线段CF CE ,.………1分90=∠DOA DA ∴为⊙C 的直径 ………2分 30=∠OBA 30=∠∴ADO 又 2=DO 332=∴OA ∴点A 的坐标为)0,332(， OA CE OD CF //,// 且C 为DA 中点，33,1==∴CE CF ∴圆心C 的坐标为18. 解:(1) 点)3,1(-A 在xmy =的图象上，∴3-=m 反比例函数的解析式为x y 3-=； ………1分又 点),3(n B 在xy 3-=的图象上，1-=∴n由题意,得⎩⎨⎧-=+-=+133b k b k ，解得：⎩⎨⎧-==41b k ，∴一次函数的解析式为4-=x y ； ………3分(2)如图，作⊥AC y 轴，x AE ⊥轴，x BD ⊥轴.=--+=∆∆∆O BD O CA AED B ACO E O AB S S S S S 梯形矩形 4. ………5分19. 解：如图，△ABC 为有一个内角为60的直角三角形，△ADC 为等腰直角三角形，所以15=∠DAB . ………1分 作AB DE ⊥，垂足为E . ………2分 设1=DC ,则1=AC ，由勾股定理2=AD ，由∠60=BAC 可得2=AB ，3=BC ………3分∴13-=BD在Rt BED ∆中，30=∠B ∴ 213-=DE ………4分 在Rt DEA ∆中，426sin -==∠AD ED DAE∴即42615sin -= . ………5分 E CB A111N20.解： (1)如图：①当N 为BC 中点，AB MN // 此时△CMN ∽△CAB ,有21==AB MN CA CM ∵102=AB∴10=MN ； ………2分 ②当△1CMN ∽△CBA 时，有B CMN ∠=∠1∴AB MN BC CM 1=， 又 26=BC∴352=MN .………4分∴MN 的长为10或352（2）8个，如图（答案不唯一）. ………5分四、解答题（本题共3道小题，每小题6分，共18分） 21.解：设年产量（t ）与费用（万元）之间函数解析式为21ax y =，由题意可得a 210001000=，解得：10001=a ，即：100021x y =. ………1分设年销量（t ）与销售单价（万元/t ）之间的函数解析式为b kx y +=2，由题意，可得⎩⎨⎧+⋅=+=.030,100020b k b k 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=301001b k ，即：3010012+-=x y ………3分 设毛利润为y 万元，由题意，可得=y )301001(+-x x 10002x - （其中10000≤≤x ）………4分 =x x 301000112+-， 因为10001115000>=x ， 所以当10000≤≤x 时，y 随x 的增大而增大，因而在1000=x 时，图象达到最高点，故当年产量为1000吨时，所获得的毛利润最大. ………………6分D 22. 解：（1）易得A （0，2），B （4，0） ……………… 1分将x =0，y =2代入c bx x y ++-=2得2=c ………………2 分 将x =4，y =0，2=c 代入c bx x y ++-=2 得到,27=b2272++-=∴x x y ……………… 3分 （2）由题意，易得217(,2),(,2)22M t t N t t t -+-++……………… 4分从而得到t t t t t MN 4)221(22722+-=+--++-=)40(<<t …… 5分当2=t 时，MN 有最大值4 . ………………6 分23.（1）证明：连结APAC AB = ∴弧AB =弧AC又 P 是劣弧BC 的中点，∴弧BP =弧CP ………………1分∴弧ABP =弧ACP ， ∴AP 为⊙O 的直径又 DP 为⊙O 的切线，∴DP AP ⊥ ………………2分 作BC AM ⊥，垂足为M ∴M 为BC 中点， ∴AM 必过圆心O ， 即：P O M A ,,,四点共线∴BC DP //. ………………3分（2）在Rt AMB ∆中，BC BM 21==6，8=∴AM ，43tan =∠BAM在Rt OMB ∆中，设r OB =，则由勾股定理得2226)8(+-=r r解得=r 425，225=AP ………………5分在Rt APD ∆中，DAP AP DP ∠⋅=tan =.87543225=⨯ ………………6分五、解答题（本题共2道小题，每小题7分，共14分） 24．解：（1）由题意，得12=-ab……………………………………1分 ∴a b 2-=且0≠a ． ……………………………………2分 （2）由直线5+=kx y 过点A （4,1）∴541+=k ，解得1-=k∴5+-=x y ……………………………………3分 设抛物线顶点坐标为（1，n ），代入5+-=x y 中，可得451=+-=n∴抛物线顶点坐标为（1，4）， ……………………………………4分 代入322+-=ax ax y 中，可得1-=a∴抛物线的解析式为322++-=x x y ．…………………………………５分 （3）∵点P （t ，2t ）在抛物线上∴3222++-=t t t …………………………………6分 解得3±=t∴这个抛物线上的2倍点有两个，分别是（32,3）和（32,3--）．…………………………………7分25．解：（1）∵抛物线622-+-=bx x y 过点 A （1,0）∴620-+-=b …………………………………1分 ∴8=b∴抛物线1C 的解析式为 2)2(268222+--=-+-=x x x y ∴)2,2(M令0=y ，则06822=-+-x x 解这个方程，得3,121==x x∴3=m ……………………………………2分 （2）由题意，抛物线2C 过点C （-3,0）,D （-1,0）,N （-2，-2）∴抛物线2C 的解析式为 6822)2(222++=-+=x x x y …………3分 （3）过点'M 作H M '⊥x 轴于点H ， …………………………………4分 若四边形''''N C M B 是矩形，则''OM OB =由题意，设'M )2,2(t -，'B )0,3(t -，则H )0,2(t - ………………5分 在Rt △OH M '中，2222'''OB OM H M OH ==+∴222)3(2)2(-=+-t t …………………………………6分 解得21=t ∴21=t 秒时，四边形''''N C M B 是矩形．………………………………7分。
2013石景山区中考数学二模
18．（ 5 分）甲、乙两位同学进行长跑训练，两人距出发点的路程
y（米）与跑步时间 x（分）之间的函数图象如图
所示，根据图象所提供的信息解答问题：
（ 1）他们在进行
米的长跑训练；
（ 2）在 3＜ x＜ 4 的时段内，速度较快的人是
；
（ 3）当 x=
时，两人相距最远，此时两人距离是多少米？（写出解答过程）
16．（ 5 分）先化简，再求值：
，其中 x 满足 x2+3x﹣ 4=0．
17．（ 5 分）已知： 如图， 一次函数 y=x+b 的图象与反比例函数
的图象交于 A、B 两点， A 点坐标为 （ 1，
m），连接 OB，过点 B 作 BC⊥x 轴，垂足为点 C，且△ BOC 的面积为 ． （ 1）求 k 的值； （ 2）求这个一次函数的解析式．
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（ 1）在统计表中， a 的值为
， b 的值为
，并将统计图补充完整；
（ 2）甲同学说： “我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．
”请问： 甲同学的体育成绩应在什么分数段内？
（填相应分数段的字母）
（ 3）如果把成绩在 B 段以上（含 B 段）定为优秀，那么该区今年 2400 名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数
2013 石景山区中考数学二模
一、选择题（本题共 32 分，每小题 4 分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案 前的字母填在相应的括号内．
1．（4 分） 3 的相反数是（
）
A．﹣ 3 B．﹣ C． 3 D．
2．（4 分）某市政府召开的全市经济形势分析会公布，全市去年地区生产总值（
GDP）实现 1091 亿元，数字 1091
2013年北京石景山初二期末数学考试题及答案
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷初二数学考生 须知1．本试卷共6页．共七道大题，25道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间100分钟．3．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、或签字笔．一、 选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．36的平方根是（ ） A ． 6± B ． 6C ． 36±D ．362．223-=（ ）A ．3B ．2C ．22D ．423．当<0x 时，2x x的值为（ ）A ． 1-B ．1C ．1±D ．x4．若分式22xx -+的值是零，则x 的值是（ ） A ．0=xB ．2±=xC ．2-=xD ．2=x5．“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（ ） A ．必然事件B ．随机事件C ．确定事件D ．不可能事件6． 下列图形中，是轴对称图形的是( )ABCD7．五边形内角和的度数是( )A ．180°B ．360°C ．540°D ．720°8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，//1=502=60a b ∠︒∠︒，，，则3∠的度数为( ) A ．80°B ．70°a b123C ．60°D ．50°9．如图，已知点A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AB=DE ，BC=EF ，要使△ABC ≌△DEF ， 还需要添加一个条件是（ ） A ．∠B =∠E B ．∠BCA =∠F C ．BC ∥EFD ．∠A =∠EDF10．如图，分别写有实数25π，，取到的数是无理数的可能性大小是（ ）A ．41 B ．21 C ．34D ．1二、 填空题（本题共15分，每小题3分）11x 的取值范围是 ． 12．计算(3 ．13．等腰三角形的两条边分别为4cm 和8cm ，则这个三角形的周长为 ．14．等腰直角△ABC 中，BC =AC =1，以斜边AB和长度为1的边BB 1为直角边构造直角△ABB 1，如图，这样构造下去……， 则AB 3= ；AB n = ．15．对于非零的两个实数a 、b ，规定ab b a 11-=⊕，若()1122=-⊕x ，则x 的值为 ．三、解答题（本题共4个小题，每小题5分，共20 16+． 解：173x y --互为相反数，求+x y 的值．18．解方程：2216124x x x --=+-. 3ABCDEF19．先化简，再求值：21()(1)1x x x x x-÷+--，其中=2x . 解：四、画图题（本题满分6分）20．方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A 和点B 是格点，位置如图． （1）在图1中确定格点C 使△ABC 为直角三角形，画出一个这样的△ABC ； （2）在图2中确定格点D 使△ABD 为等腰三角形，画出一个这样的△ABD ； （3）在图2中满足题（2）条件的格点D 有________个．五、列方程解应用题（本题满分6分）21．某校决定为全校数学教师每人购买一本义务教育《数学课程标准》（以下简称《标准》），同时每人配套购买一本《数学课程标准解读》（以下简称《解读》）．其中《解读》的单价比《标准》的单价多25元．若学校购买《标准》用了378元，购买《解读》用了1053元，请问《标准》和《解读》的单价各是多少元？ 六、解答题（本题共3个小题，共17分） 22．(本小题6分)叙述并证明三角形内角和定理．要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程． 定理： 已知： 求证： 证明：23．(本小题5分) 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =36°． （1）用直尺和圆规作∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D （保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）请你找出完成问题（1）后所得到的图形中的所有等腰三角形（用字母表示，写在横线上，不要求证明）．AB C24．(本小题6分)已知：如图，△ABC 中，∠ACB ＝45°，AD ⊥BC 于D ，CF 交AD 于点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，∠BAD =∠FCD ． 求证：（1）△ABD ≌△CFD ；（2）BE ⊥AC ． 证明：七、探究题（本题满分6分）25．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，若把△ABC 沿直线DE 折叠， 使△ADE 与△BDE 重合．（1）当∠A ＝35°时，求∠CBD 的度数． （2）若AC ＝4，BC ＝3，求AD 的长．（3）当AB ＝ m （m > 0），△ABC 的面积为m +1时，求△BCD 的周长．（用含m 的代数式表示）ABCDEF BCDE石景山区2012-2013学年度第一学期期末考试初二数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）16．解：原式+--……………………………………………3分+ ……………………………………………5分 17．解：由已知可得⎩⎨⎧=--=+-03092y x y x ………………………………………………2分；解出⎩⎨⎧==1215y x 所以27=+y x . ………………………………………5分 18．解：22(2)(4)16x x ---=．...............................................................................2分48x -=．2x =-． ……………………………………………………..4分检验：2x =-时最简公分母(+2)(2)=0x x -，所以2x =-是增根．∴原方程无解． ……………………………………5分19. 解： 21()(1)1x x x x x-÷+--＝()21111x x x x -⋅-+＝1x . ……………………4分当2=x＝2. ……………………………………………5分 四、画图题（本题满分6分）20．解：(1) 画出一个如下图1中的一个三角形………………………………2分 (2) 画出一个如下图2中的一个三角形………………………………4分(3) 4．（理由如图2） ………………………………6分五、列方程解应用题（本题满分6分）21．解：设《标准》的单价为x 元，则《解读》的单价为(x +25)元. ……1分根据题意，得x 378=251053x ， …………………………………3分 解得，x =14. ………………………………………………………4分经检验x=14是所列方程的解，且符合题意. ……………………………5分 ∴x +25=39.答：《标准》的单价为14元，则《解读》的单价为39元. …………6分 （注：不检验、不作答各扣1分）六、解答题（本题共3个小题，共17分）22．(本小题6分)解：定理：三角形的三个内角和等于180°……………………1分 已知：△ABC （如图）.求证：∠A +∠B +∠ACB =180°. …………2分 证明：延长BC 到D ，过C 作CE//AB . …………3分∴ ∠1=∠A , ∠2=∠B .∵∠1+∠2+∠ACB ＝180°，∴∠A +∠B +∠ACB =180°. ………………6分 23．(本小题5分)解：(1)如右图…………………………………………2分(2) △ABC 、△ADB 、△DBC …………………5分 (每写出一个得1分)24．(本小题6分)解：证明：(1) ∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADB =∠CDF =90°.∵∠ACB ＝45°，∴∠ACD ＝∠DAC ＝45°. ……………………..1分 ∴ AD=CD . ………………………………………2分在△ABD 和△CFD 中，ABCDE1 2ABCDADB CDF AD CDBAD FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝ ∴ △ABD ≌△CFD . ………………………………3分(2) ∴ BD=FD . ……………………………………………………………4分 ∵ ∠FDB =90°，∴∠FBD ＝∠BFD ＝45°. ∵∠ACB ＝45°，∴∠CEB ＝90°.∴ BE ⊥AC ． ………………………………………………………………6分七、探究题（本题满分6分） 25．解：（1）20°． …………………………1分（2）设AD ＝x ，由已知BD ＝x ；CD ＝4-x .在△BCD 中，∠C =90°，根据勾股定理,得x 2=(4-x )2+32 ……………2分 解得x ＝258. ∴AD ＝258………………………3分 （3）设AC ＝b ，BC ＝a ，由已知m 2=a 2+b 2，且112ab m =+……………4分可求出a +b =m +2. ……………5分 由已知a +b 即为△BCD 的周长， 所以△BCD 的周长为m +2. ……………6分BC DE。
石景山区初三二模数学试卷及答案
石景山区2012年初三第二次统一练习数学试卷考生须知1．本试卷共10页．第10页为草稿纸，全卷共五道大题，25道小题．2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名和准考证号．4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回．题号一二三四五总分分数第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后的括号内．1．2的算术平方根是（）A．21B．2 C．2- D．2±2．2012年2月，国务院同意发布新修订的《环境空气质量标准》增加了PM2.5监测指标．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如果1微米=0．000 001 米，那么数据0.000 002 5用科学记数法可以表示为（）A．6105.2-⨯ B．5105.2-⨯ C．5105.2⨯- D．6105.2-⨯-3．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（）A．15︒或30︒ B．30︒或45︒ C．45︒或60︒ D．30︒或60︒4．北京市2001-2010年星级饭店客房出租率（%）的情况如下表：年份2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010出租率62 62 52 65 62 61 60 52 49 56表中出租率（%）的中位数和众数分别为（）A．61、62 B．62、62 C．61.5、62 D．60.5、625．如图，有6张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京精神——“爱国、创新、包容、厚德”的字样．背面完全相同，现将这6张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片恰好是“创新”的概率是（）第3题图爱国创新爱国包容爱国厚德爱国爱国创新爱国A．31B．32C．61D．416．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．87．将二次函数2xy=的图象如何平移可得到342++=xxy的图象（）A．向右平移2个单位，向上平移一个单位B．向右平移2个单位，向下平移一个单位C．向左平移2个单位，向下平移一个单位D．向左平移2个单位，向上平移一个单位8．已知正方形纸片的边长为18，若将它按下图所示方法折成一个正方体纸盒，则纸盒的边（棱）长是（）A．6 B．23 C．29D．32第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分式3-xx有意义的条件为．10．分解因式：=-339abba______ ________．11．已知：如图是斜边为10的一个等腰直角三角形与两个半径为5的扇形的重叠情形，其中等腰直角三角形顶角平分线与两扇形相切，则图中阴影部分面积的和是．12．如图所示，圆圈内分别标有1，2，…，12，这12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n，则电子跳蚤连续跳（2-3n）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳12-13=⨯步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳42-23=⨯步到达标有数字6的圆圈，…依此规律，若电子跳蚤从①开始，那么第3次能跳到的圆圈内所标的数字为；第2012次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为．第8题图第11题图111210987654321第12题图三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．()22145cos 314.38-⎪⎭⎫⎝⎛+︒---π．解：14．解分式方程123482---=-x xx ． 解：15．已知，如图，点D 在边BC 上，点E 在△ABC 外部，DE 交AC 于F ，若AD =AB ，∠1=∠2=∠3． 求证：BC=DE ． 证明：16．已知：0162=-+x x ，求代数式()()()()3312122+-+--+x x x x x 的值．解：17．已知一次函数y kx b =+的图象与直线3y x =-平行且经过点()3,2-，与x 轴、y轴分别交于 A 、 B 两点． (1)求此一次函数的解析式；(2)点C 是坐标轴上一点，若△ABC 是底角为︒30的等腰三角形，求点C 的坐标． 解：18．列方程（组）解应用题：如图是一块长、宽分别为60 m 、50 m 的矩形草坪，草坪中有宽度均为x m 的一横两纵的甬道．（1）用含x 的代数式表示草坪的总面积S ； （2）当甬道总面积为矩形总面积的4.10%时，求甬道的宽． 解：yx O 321FEABC D四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，梯形纸片ABCD 中，AD //BC ，∠B =30º．折叠纸片使BC 经过点A ，点B 落在点B’处，EF 是折痕，且BE =EF =4，AF ∥CD ． （1）求∠BAF 的度数；（2）当梯形的上底AD 多长时，线段DF 恰为该梯形的高？解：20．以下是根据全国 2011年国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的统计图的一部分． 请根据以上信息，解答下列问题：（产量相关数据精确到1万吨）（1）请补全扇形统计图；（2）通过计算说明全国的粮食产量与上一年相比，增长最多的是 年； （3）2011年早稻的产量为 万吨；（4）2008-2011这三年间，比上一年增长的粮食产量的平均数为多少万吨，若按此平均数增长，请你估计2012年的粮食产量为多少万吨．（结果保留到整数位） 解：21．已知：如图，M 是⊙O 的直径AB 上任意一点，过点M 作AB 的垂线MP ，D 是MP 的延长线上一点，联结AD 交⊙O 于点C ，且PC PD =． （1）判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若22tan =D ，3=OA ，过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ．求弦AN 的长．A B D E CB 'F M CODP BA 6%22%%早稻夏粮秋粮2011年各类粮食占全体 粮食的百分比分组统计图解：22．阅读下面材料：小阳遇到这样一个问题：如图（1），O 为等边△ABC 内部一点，且3:2:1::=OC OB OA ，求AOB ∠的度数.小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△CO A 绕点A 逆时针旋转60°，使点C 与点B 重合，得到△O AB '，连结O O '. 则△O AO '是等边三角形，故OA O O ='，至此，通过旋转将线段OA 、OB 、OC 转移到同一个三角形B O O '中. （1）请你回答：︒=∠AOB . （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题： 已知：如图（3），四边形ABCD 中，AB=AD ，∠DAB =60°，∠DCB =30°，AC =5，CD =4.求四边形ABCD 的面积. 解：五、解答题（本题满分22分,第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知：直线122y x =+分别与 x 轴、y 轴交于点A 、点B ，点P （a ，b ）在直线AB 上，点P 关于y 轴的对称点P ′ 在反比例函数xky =图象上．(1) 当a =1时，求反比例函数xky =的解析式；(2) 设直线AB 与线段P'O 的交点为C ．当P'C =2CO 时，求b 的值；(3) 过点A 作AD //y 轴交反比例函数图象于点D ，若AD =2b，求△P ’DO 的面积．解：y xO DCBA图⑴ 图⑵ 图⑶（C ）OCBAO'OCB A24．在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为 ； (2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.解：A B C D E AE B C D图1 图2 备用图25．已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝2x交于点B、C（B在右、C在左）．（1）求抛物线的解析式；∠=∠，（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得BFE CFE 若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．解：yOx备用图草稿纸石景山区2012初三第二次统一练习数学参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）题 号 12345678答 案Ｂ A D D A C C Ｂ二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分） 9．3≠x ； 10．()()b a b a ab 33-+； 11．225-225π； 12．10；6． 三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）13．解：()22145cos 3--14.38-⎪⎭⎫⎝⎛+︒-π=4223122+⨯-- ……………………………4分 =322+…………………………………………………5分 14． 123482---=-xxx解：()()123228---=-+x x x x ……………………………1分 ()()()42382--+-=x x x ……………………………3分46822+---=x x x ……………………………4分∴10-=x经检验：10-=x 是原方程的根．………………………5分15．证明：∵∠1=∠2=∠3∴DAE BAC ∠=∠…………………………… 1分 又∵AFE DFC ∠=∠∴E C ∠=∠ …………………………… 2分 在△ABC 和△ADE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AB EC DAE BAC …………………………… 3分 ∴△ABC ≌△ADE ……………………………………………………… 4分∴BC=DE ． ……………………………………………………… 5分 16．解：原式222922144x x x x x -++-++= …………………………………2分1062++=x x ………………………………… 3分当0162=-+x x 时，162=+x x ………………………………… 4分 原式11=． …………………………………5分17．解：(1)∵一次函数y kx b =+的图象与直线3y x =-平行且经过点()3,2-∴⎩⎨⎧-=+-=323b k k 解得⎩⎨⎧=-=33b k∴一次函数解析式为33+-=x y …………………………………1分(2)令0=y ，则1=x ；令0=x 则3=y∴()()3,0,0,1B A∵1=OA ,3=OB …………………………2分 ∴2=AB ∴︒=∠30ABO若AC AB =，可求得点C 的坐标为()0,31C 或()3,02-C ………………………4分 若CA CB =如图︒=︒-︒=∠3030603OAC ，3330tan 3=︒=OA OC ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,03C …………………………………………5分 ∴()0,31C ,()3,02-C ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛33,03C 18．解：（1）S = 6050⨯－（60 x + 2×50 x －2×x 2 ）=3000 + 2x 2－160x ．………2分 （2）由题意得：-2x 2+160x =60501000104⨯⨯， ………………3分解得 x = 2 或 x = 78． …………………………………4分 又0＜x ＜50，所以x = 2，答：甬道的宽是2米． ……………………………………5分 19. 解：（1）∵BE =EF ∴∠EFB =∠B ，由题意，△EF B '≌△BEF∴∠EFB ’ =∠EFB =∠B=30° ∴△BFA 中，︒=︒-︒-︒-︒=∠90303030180BAF ……………………………………2分 （2）联结DF ，∵AD //BC ，AF ∥CD∴四边形AFCD 是平行四边形 ……………………………………3分 ∴∠C =∠A FB =60°∴CD =AF =3230cos =︒EF ……………………………………4分 若BC DF ⊥，则360cos =︒=CD FC此时3=AD ． ……………………………………5分 20．（1）72%；（2）2011；（3）3427； ……………………每空1分，共3分（4）（57121-52871）÷3≈=1417 ………………………………………4分57121+1417=58538. ………………………………………5分21.（1）联结CO , … …………………………………1分∵DM ⊥AB∴∠D+∠A=90° ∵PC PD = ∴∠D=∠PCD ∵OC=OA ∴∠A=∠OCA∴∠OCA+∠PCD=90° ∴PC ⊥OC∴直线PC 是⊙O 的切线 …………………………………2分 （2）过点A 作PC 的平行线AN 交⊙O 于点N ． ∴∠NAC=∠PCD=∠D, AN ⊥OC,设垂足是Q ∴Rt △CQA 中 ∴22tanD QAC tan ==∠ ∴设CQ=x ，AQ=x 2 ∴OQ=x -3∵222AQ OQ OA +=∴222)3()2(3x x -+=解得2=x …………………………………4分 ∴22=AQ∴242==AQ AN …………………………………5分22. 解：（1）150° ………………………1分(2) 如图，将△ADC 绕点A 顺时针旋转60°，使点D 与点B 重合，………2分 得到△O AB '，连结O C '. 则△O AC '是等边三角形，可知4,5'===='DC BO CA O C ，ADC ABO ∠=∠'……………………3分 在四边形ABCD 中，︒=∠-∠-︒=∠+∠270360DCB DAB ABC ADC ,)(360''ABO ABC BC O ∠+∠-︒=∠∴︒=︒-︒=90270360． ……………………4分34522=-=∴BC 6432543215432''-=⨯⨯-⨯=-=∴∆∆BCO ACO ABCD S S S 四边形．………………5分23．（1）∵点P 在直线AB 上, 1=a 时，2121+⨯=b =25………………………1分 ∴)25,1(P ，∴)25,1(-'P ，代入x k y = 得25-=k ， ∴x y 25-= …………………………2分 （2）联结'PP∵点P 和点P '关于y 轴对称 ∴'PP ∥x 轴 ∴OCA C PP ∽△△'P 'Pxy ODC BA O 'DCBA∴'PP ∶=OA C P '∶CO …………3分 ∵CO C P 2'= ∴'PP =OA 2∵221+=x y 与x 轴交于点A 、点B ∴)0,4(-A ，)2,0(B 可得4=OA∴8'=PP ∴a =4∴42421=+⨯=b ………………………5分 （3）当点P 在第一象限时：∵点P 和点P '关于y 轴对称且),(b a P∴),('b a P -∵y AD ∥∴)24-(b D ， ∵D P 、点点'在xk y =上 ∴b a b⨯-=⨯-24 ∴2=a∴32221=+⨯=b ∵),23,4(-D )3,2('-P∴29'=DO P S △ …………6分当点P 在第二象限时：)24-(bD -，∴b a b⨯-=-⨯-24∴2-=a∴12)2(21=+-⨯=b∵),21,4(--D )1,2('P∴23'=DO P S △ …………7分24.解：（1）DC DB 2= (2) DC DB 2=证明：过点C 作CF ∥BE 交AD 的延长线于点F , 在 AD 上取点G 使得CF CG = ∴76∠=∠=∠F7654321AEBCG D∵︒=∠=∠=∠602BAC CED BED ∴︒=∠=∠606F ,︒=∠30CED ∴41205∠=︒=∠∵︒=∠+∠=∠=∠+∠6021713 ∴23∠=∠ ∵AC AB = ∴△ABE ≌△CAG ∴AG BE AE CG ==, ∵︒=∠-∠=∠306CED GCE ∴EG CG =∴BE AG CG CF 2121=== 由△DBE ∽△DCF 得2==FCBEDC BD∴DC DB 2=(3) 结论：DC DB 2=.25.解：（1）点A （0，2m -7）代入y ＝－x 2＋2x ＋m -2，得m =5∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3 ………………………2分（2）由⎩⎨⎧=++-=x y x x y 2322得⎪⎩⎪⎨⎧==323y x ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=323y x∴B （32,3），C （32,3--）B （32,3）关于抛物线对称轴1=x 的对称点为)32,32('-B可得直线C B '的解析式为32632-+=x y ，由⎩⎨⎧=-+=132632y x y ，可得⎩⎨⎧==61y x∴)6,1(F ………………………5分（3）当)2,2(t t M --在抛物线上时，可得03242=-+t t ，4131±-=t ， 当)2,(t t P --在抛物线上时，可得32=t ，3±=t ，舍去负值，所以t 的取值范围是34131≤≤+-t ．………………8分87654321E D CBAGF图(2)。
2013石景山区中考数学二模
2013石景山区中考数学二模一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在相应的括号内．1．（4分）3的相反数是（）A．﹣3 B．﹣C．3 D．2．（4分）某市政府召开的全市经济形势分析会公布，全市去年地区生产总值（GDP）实现1091亿元，数字1091用科学记数法表示为（）A．1.091×102B．1.091×103C．10.91×103D．1.091×1043．（4分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm4．（4分）一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如下表所示：这次成绩的众数、平均数是（）A．9，8 B．9，8.2 C．10，8 D．10，8.25．（4分）甲盒装有3个红球和4个黑球，乙盒装有3个红球、4个黑球和5个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两盒中的球，从盒中分别任意摸出一个球．正确说法是（）A．从甲盒摸到黑球的概率较大B．从乙盒摸到黑球的概率较大C．从甲、乙两盒摸到黑球的概率相等D．无法比较从甲、乙两盒摸到黑球的概率6．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC=8，AB=10，OD⊥BC于点D，则BD的长为（）A．6 B．5 C．3 D．1.57．（4分）若二次函数y=x2+bx+7配方后为y=（x﹣1）2+k，则b、k的值分别为（）A．2、6 B．2、8 C．﹣2、6 D．﹣2、88．（4分）如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，则下列说法正确的是（）A．左视图面积最大B．俯视图面积最小C．左视图面积和主视图面积相等D．俯视图面积和主视图面积相等二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）分解因式：20﹣5a2=．10．（4分）抛物线y=kx2﹣5x+2的图象和x轴有交点，则k的取值范围是．11．（4分）已知：平面直角坐标系xOy中，圆心在x轴上的⊙M与y轴交于点D（0，4）、点H，过H作⊙O的切线交x轴于点A，若点M（﹣3，0），则sin∠HAO的值为．12．（4分）如图，∠AOB=45°，过OA上到点O的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为s1，s2，s3，…，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积S4=，第n（n为正整数）个黑色梯形的面积S n=．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）计算：．14．（5分）解方程：．15．（5分）如图，四边形ABCD是正方形，G是BC边上任意一点（点G与B、C不重合），AE⊥DG于E，CF∥AE 交DG于F．在图中找出一对全等三角形，并加以证明．16．（5分）先化简，再求值：，其中x满足x2+3x﹣4=0．17．（5分）已知：如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，A点坐标为（1，m），连接OB，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，且△BOC的面积为．（1）求k的值；（2）求这个一次函数的解析式．18．（5分）甲、乙两位同学进行长跑训练，两人距出发点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：（1）他们在进行米的长跑训练；（2）在3＜x＜4的时段内，速度较快的人是；（3）当x=时，两人相距最远，此时两人距离是多少米？（写出解答过程）四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）如图，四边形ABFE中，延长FE至点P，∠AEP=74°，∠BEF=30°，∠EFB=120°，AF平分∠EFB，EF=2．求AB长（结果精确到0.1）．（参考数据：≈1.73，≈1.41，sin74°≈0.6，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）20．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．（1）求证：点E为BC中点；（2）若tan∠EDC=，AD=5，求DE的长．21．（5分）为了解某区九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段统计如下：根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）在统计表中，a的值为，b的值为，并将统计图补充完整；（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？（填相应分数段的字母）（3）如果把成绩在B段以上（含B段）定为优秀，那么该区今年2400名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数有多少名？22．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、N、分别在BC、AB上，将矩形ABCD沿MN折叠，设点B 的对应点是点E．（1）若点E在AD边上，BM=，求AE的长；（2）若点E在对角线AC上，请直接写出AE的取值范围：．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）如图，抛物线y=﹣x2+ax+b过点A（﹣1，0），B（3，0），其对称轴与x轴的交点为C，反比例函数（x＞0，k是常数）的图象经过抛物线的顶点D．（1）求抛物线和反比例函数的解析式．（2）在线段DC上任取一点E，过点E作x轴平行线，交y轴于点F、交双曲线于点G，联结DF、DG、FC、GC．①若△DFG的面积为4，求点G的坐标；②判断直线FC和DG的位置关系，请说明理由；③当DF=GC时，求直线DG的函数解析式．24．（7分）如图，四边形ABCD、A1B1C1D1是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形A1B1C1D1可以绕中心O旋转，正方形ABCD静止不动．（1）如图1，当D、D1、B1、B四点共线时，四边形DCC1D1的面积为_；（2）如图2，当D、D1、A1三点共线时，请直接写出=；（3）在正方形A1B1C1D1绕中心O旋转的过程中，直线CC1与直线DD1的位置关系是，请借助图3证明你的猜想．25．（8分）（1）如图1，把抛物线y=﹣x2平移后得到抛物线C1，抛物线C1经过点A（﹣4，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=﹣x2交于点Q，则抛物线C1的解析式为；图中阴影部分的面积为．（2）若点C为抛物线C1上的动点，我们把∠ACO=90°时的△ACO称为抛物线C1的内接直角三角形．过点B（1，0）做x轴的垂线l，抛物线C1的内接直角三角形的两条直角边所在直线AC、CO与直线l分别交于M、N两点，以MN 为直径的⊙D与x轴交于E、F两点，如图2．请问：当点C在抛物线C1上运动时，线段EF的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断．参考答案与试题解析一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在相应的括号内．1．【解答】根据概念，3的相反数在3的前面加﹣，则3的相反数是﹣3．故选：A．2．【解答】1091=1.091×103．故选B．3．【解答】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．4．【解答】由表格可得，众数为：9，平均数为：=8.2．故选B．5．【解答】∵甲盒装有3个红球和4个黑球，∴摸到黑球的概率为：，∵乙盒装有3个红球、4个黑球和5个白球，∴摸到黑球的概率为：=，∵＞，∴从甲盒摸到黑球的概率较大．故选：A．6．【解答】∵AB是⊙O直径，∴∠C=90°，在Rt△ACB中，AB=10，AC=8，由勾股定理得：BC==6，∵∠C=90°，OD⊥BC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD∥AC，∵OA=OB，∴BD=DC，∴BD=BC=3，故选C．7．【解答】y=（x﹣1）2+k=x2﹣2x+1+k，则b=﹣2，1+k=7，k=6．故选C．8．【解答】观察图形可知，几何体的主视图由4个正方形组成，俯视图由4个正方形组成，左视图由3个正方形组成，所以左视图的面积最小，俯视图面积和正视图面积相等．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．【解答】20﹣5a2，=5（4﹣a2），=5（2+a）（2﹣a）．故答案为：5（2+a）（2﹣a）．10．【解答】∵抛物线y=kx2﹣5x+2的图象和x轴有交点，∴关于x的一元二次方程kx2﹣5x+2=0有实数根，∴△=（﹣5）2﹣4k×2≥0，且k≠0，解得，k≤，且k≠0．故答案是：k≤，且k≠0．11．【解答】连接MH，∵D（0，4），M（﹣3，0），∴OD=4，OM=3，由垂径定理得：OH=OD=4，在Rt△MHO中，由勾股定理得：MH=5，∵AH为⊙M切线，∴∠MHA=∠MOH=90°，∴∠HAMO+∠AHO=90°，∠AHO+∠MHO=90°，∴∠HAO=∠MHO，∴sin∠HAO=sin∠MHO==，故答案为：．12．【解答】由题意得：s1=（1+4）×3÷2=×5=，s2=（7+10）×3÷2=×17=，s3=（13+16）×3÷2=×29=，s4=（19+22）×3÷2=×41=；…s n=．故答案为：；（12n﹣7）．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．【解答】原式=4﹣1+1﹣3=．14．【解答】去分母得：x（x+2）﹣1=x2﹣4，去括号得：x2+2x﹣1=x2﹣4，解得：x=﹣，经检验x=﹣是分式方程的解．故原方程的解是x=﹣．15．【解答】△AED≌△DFC．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，又∵AE⊥DG，CF∥AE，∴CF⊥DG，∴∠CFD=90°，又∵AE⊥DG，∴∠DEA=90°，∴∠EAD+∠EDA=90°，又∵∠CDF+∠EDA=90°，∴∠EAD=∠FDC，∴△AED≌△DFC （AAS）．16．【解答】原式=，∵x2+3x﹣4=0，∴x1=﹣4，x2=1，∵x≠1，∴原式=﹣=﹣．17．【解答】（1）设B点的坐标为（x0，y0），则有y0=，即：k=x0y0，∵△BOC的面积为，∴|x0y0|=﹣x0y0=，∴k=x0y0=﹣3；（2）∵k=﹣3，∴y=﹣，当x=1时，y=﹣3，∴A点坐标为（1，﹣3），把A点坐标代入y=x+b得b=﹣4，则一次函数的解析式为y=x﹣4．18．【解答】（1）根据图象信息可知他们在进行1000米的长跑训练；（2）根据图象信息可知在3＜x＜4的时段内，速度较快的人是甲；（3）设乙距出发点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数解析式为y乙=k1x，将（4，1000）代入，得4k1=1000，解得k1=250，所以y乙=250x．在0＜x≤3的时段内，设甲距出发点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数解析式为y甲=k2x，将（3，600）代入，得3k2=600，解得k2=200，所以y2=200x．当x=3分时，两人相距最远，此时两人距离是：250x﹣200x=50x=50×3=150米．答：当x=3分时，两人相距最远，此时两人距离是150米．故答案为1000；甲；150米．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．【解答】∵∠EFB=120°，∠BEF=30°，∴∠FEO=∠FBE=30°∴FE=FB．在Rt△EOF中，∴OE=．Rt△EOA中，∴AE=，在△AEF和△ABF中，，∴△AEF≌△ABF，∴AB=AE=7.2．20．【解答】（1）连结OD，BD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，又∠ABC=90°，∴BC是⊙O切线，∵DE是⊙O切线，∴BE=DE，∴∠EBD=∠EDB，∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴BE=CE，则E为BC的中点；（2）∵∠ABC=90°，∠ADB=90°，∴∠C=∠ABD=∠EDC，sinC=，∴cosC==，tanC==，Rt△ABD中，DB==5×，Rt△BDC中，BC==5××=6，又点E为BC中点，∴DE=BC=3．21．【解答】（1）抽查的总人数是：48÷0.2=240（人），则a=240×0.25=60，b==0.35．（2）甲同学的体育成绩应在C分数段内；（3）0.45×2400=1080（名）．答：该区九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数有1080名．22．【解答】（1）过点M作MH⊥AD交AD于点H，如图，则MH=AB=3，AH=BM=，∴矩形ABCD沿MN折叠，设点B的对应点是点E，∴EM=BM=，在Rt△EHM中，EH=，∴AE=AH﹣EH=；（2）在Rt△ABC中，AC==5，如图1，M点在C点处，沿∠ACB的对角线折叠，则CE=CB=4，所以AE=AC﹣BC=1；如图2，N点在A点处，沿∠CAB的对角线折叠，则AE=AB=3，∴AE的取值范围为1≤AE≤3．故答案为1≤AE≤3．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．【解答】（1）∵抛物线y=﹣x2+ax+b过点A（﹣1，0），B（3，0），∴，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，顶点D（1，4），∵函数y=（x＞0，m是常数）图象经过D（1，4），∴k=4，则反比例解析式为y=；（2）①设G点的坐标为（m，），据题意，可得E点的坐标为（1，），F点的坐标为（0，），∵m＞1，∴FG=m，DE=4﹣，由△DFG的面积为4，即m（4﹣）=4，得m=3，∴点G的坐标为（3，）；②直线FC和DG平行．理由如下：据题意，点C的坐标为（1，0），FE=1，∵m＞1，易得EC=，EG=m﹣1，DE=4﹣，∴==m﹣1，==m﹣1，∴=，∵∠DEG=∠FEC，∴△DEG∽△FEC，∴∠EDG=∠ECF，∴FC∥DG；③∵FC∥DG，∴当FD=CG时，有两种情况：（i）当FD∥CG时，四边形DFCG是平行四边形，由上题得==m﹣1，∴m﹣1=1，即m=2，∴点G的坐标是（2，2），设直线DG的函数解析式为y=kx+b，把点D，G的坐标代入，得，解得：，∴直线DG的函数解析式是y=﹣2x+6；（ii）当FD与CG所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形，则DC=FG，∴m=4，∴点G的坐标是（4，1），设直线DG的函数解析式为y=mx+n，把点D，G的坐标代入，得，解得：，∴直线DG的函数解析式是y=﹣x+5，综上所述，所求直线DG的函数解析式是y=﹣2x+6或y=﹣x+5．24．【解答】（1）∵四边形ABCD、A1B1C1D1是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形，∴当D、D1、B1、B四点共线时，四边形DCC1D1的高为（5﹣1）÷2=2，∴==6；故答案为：6；（2）∵∠CDD1+∠ADA1=90°，∠D1DC+∠DCD1=90°，∴∠DCD1=∠ADA1，在△ADA1和△DCD1中，，∴△ADA1≌△DCD1（AAS），∴DD1=CC1，设DD1=CC1=x，∴CD1=x+1，∴x2+（x+1）2=52，解得：x=3，∴CD1=4，∴=；故答案为：；（3）CC1⊥DD1证明：连接CO，DO，C1O，D1O，延长CC1交DD1于M点．如图3所示：由正方形的性质可知：CO=DO，C1O=D1O，∠COD=∠C1OD1=90°，∴∠COD﹣∠C1OD=∠C1OD1﹣∠C1OD，即：∠COC1=∠DOD1在△COC1和△DOD1中，，∴△COC1≌△DOD1（SAS），∴∠ODD1=∠OCC1∵∠C1CD+∠OCC1+∠CDO=90°，∴∠C1CD+∠ODD1+∠CDO=90°，∴∠CMD=90°即：CC1⊥DD1．故答案为：CC1⊥DD1．25．【解答】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣（x﹣0）（x+4）=﹣x2﹣4x；图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，．∴阴影部分的面积为8．（2）由题意可知，抛物线C1只存在两个内接直角三角形．当点C在抛物线C1上运动时线段EF的长度不会发生变化．证明：∵MN为⊙D的直径，EF⊥MN∴BE=BF，∠OBN=∠MBF=∠MBA=90°∵∠MAB=∠CNM，∴△ABM∽△NBO∴，MB•NB=AB•BO=5连接FM，FN，∠MFN=90°，在△MBF和△FBN中，∠BMF=∠BFN，∠MBF=∠FBN=90°∴△MBF∽△FBN∴∴BF2=MB•NB=5，∴．。
2013年北京石景山数学中考二模答案
石景山区2013初三第二次统一练习数学参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．()()a a -+225；10．825≤k 且0≠k ； 11．53； 12．2123；）（71223-n ．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）13．解:原式=231124-+- ……………………………………………………4分 =2 ………………………………………………………5分 14． 解：()4122-=-+x x x ………………………………………………………2分∴23-=x ……………………………………………………………4分 经检验: 23-=x 是原方程的增根………………………………………………5分∴23-=x 是原方程的根.15．证明：略（找出全等三角形1分；证明4分）16．解：原式xx 1--= …………………………………………………………2分 由043=-+x x 2，得1,421=-=x x ……………………………………… 3分 由题意，1≠x ……………………………………………………… 4分∴原式45414－=----=. ………………………………………………………5分 17. 解：（1）设B 点的坐标为00(,)x y ，则有00ky x =，即： 00y x k =…………1分∵△BOC 的面积为32，∴2321210000=-=y x y x ， …………………2分∴00y x k ==-3. …………………………………………………………3分（2）∵3k =-，∴3y x=-，当1x =时，3y =-，∴A 点坐标为(1,3)-，……………………………………………………………4分 把A 点坐标代入y x b =+得4b =-，这个一次函数的解析式为4y x =-. …5分18．解：（1）1000米； ……..……..………..……..…..……………………..1分（2）甲 ………………..……..……..……..……..…………..2分 （3）设l 乙：x k y 11=，过（4，1000），故x y 2501= ……………………..3分在0＜x ≤3的时段内，设l 甲：x k y 22=，过（3，600），故x y 2002=……..4分 当3=x 时，150,600,7502121=-==y y y y .答：当3=x 时，两人相距最远，此时两人距离是150米 ………..……..……..5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 解：由∠EFB ＝120°，AF 平分∠EFB ，∴∠EFO =60°,∠EOF =90°………………………………………………………..1分 ∴FE =FB ………………………………………………………..2分 Rt △EOF 中, ∴OE =EFcos30︒=3分 Rt △EOA 中,∴AE 2.776cos 3cos ≈︒=∠=AEO OE ……………………………………..4分在△AEF 和△ABF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AF BFA EFA BF EF ∴△AEF ≌△ABF∴AB =AE 2.7= ……………………………………………..5分20.解: (1)连结OD ， ∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，又∠ABC =90°， ∴BC 是⊙O 切线 ………………………………………………..1分 ∵DE 是⊙O 切线 ∴BE=DE ， ∴∠EBD=∠EDB ， ∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC ， ∴DE=CE ， ∴BE=CE. ………………………………………………..2分 (2) ∵∠ABC =90°，∠ADB=90°， ∴∠C=∠ABD=∠EDC ，35sin =C Rt △ABD 中，DB=525tan ⨯=∠ABD AD ， …………………………………..3分Rt △BDC 中，BC=653525sin =⨯⨯=C BD ，………………………………..4分 又点E 为BC 中点，∴12DE BC ==3 .……………………………………..5分21．解：（1） 60 ， 0.35 ，补充后如右图：………………………… 3分 （2） C ; ……………4分（3）0.8×2400=1920（名） 答：该区九年级考生中体育成绩 为优秀的学生人数有1920名.…………………………5分22．解：（1）由题意，△BMN 沿MN 折叠得到△EMN ∴△BMN ≌△EMN∴EM =BM =27. 过点M 作MH ⊥AD 交AD 于点H ，则四边形ABMH 为矩形 MH =AB =3， AH =BM =27. Rt △EHM 中， EH =2133)27(2222=-=-HM EM ∴AE 2137-=. ……………………………… 3分 (2) 1≤AE ≤3. ……………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1） 抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0）10930a b a a b --+=⎧∴⎨-++=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++顶点(14)D ，函数(0ky x x=>，m 是常数）图象经过(14)D ，， 4k ∴=．…………………………………………………………………… 2分分数段（2）①设G 点的坐标为4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，，据题意，可得E 点的坐标为41m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，F 点的坐标为40m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1m > ，FG m ∴=，44DE m=-． 由△DFG 的面积为4，即14442m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3m =，∴点G 的坐标为433⎛⎫⎪⎝⎭，．………………………………………………… 3分②直线FC 和DG 平行.理由如下：方法1：利用相似三角形的性质. 据题意，点C 的坐标为(10)，，1FE =，1m > ，易得4EC m =，1EG m =-，44DE m=- 111G E m m EF -∴==-，4414DE m m CEm-==-． GE DEEF CE∴=． DEG FEC ∠=∠∴△D E G ∽△FECEDG ECF ∴∠=∠//FC DG ∴ ………………………………………………… 5分方法2：利用正切值.据题意，点C 的坐标为(10)，，1FE =， 1m > ，易得4EC m=，1EG m =-， 1444GE m m DE m -∴==-，144FE mCE m==． tan tan EDG ECF ∴∠=∠EDG ECF ∴∠=∠ //FC DG ∴．③解：方法1：FC DG ∥，∴当FD CG =时，有两种情况： 当FD CG ∥时，四边形DFCG 是平行四边形， 由上题得，GE DEEF CE=1m =-，11m ∴-=，得2m =． ∴点G 的坐标是（2，2）．设直线DG 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+．…………………………………… 6分 当FD 与CG 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形， 则DC FG =，4m ∴=，∴点G 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．…………………………………… 7分 综上所述，所求直线DG 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．方法2.在Rt ⊿DFE 中，1FE =，44DE m=-2222241(4)FD FE DE m∴=+=+-在Rt ⊿GEC 中，4EC m =，1EG m =-， 222224()(1)CG EC EG m m∴=+=+-FD CG = 22FD CG ∴=2241(4)m ∴+-224()(1)m m=+-解方程得：2m =或4m =当2m =时，点G 的坐标是（2，2）．设直线DG 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入， 得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+． 当4m =时，∴点G 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入， 得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．综上所述，所求直线DG 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．注：不同解法酌情给分B24. 解：（1）11DCC D S 四边形=1(15)22⨯+⨯=6；…………………………1分 （2）11CD DD =43； ……………………2分 （3）1CC ⊥1DD . ……………………3分 证明：连接11,,,CO DO C O DO ，延长 1CC 交1DD 于M 点.如图所示：……4分由正方形的性质可知： 11,CO DO C O DO == 1145COD C OD ∠=∠=∴1111C O D C O D C O DC OD ∠-∠=∠-∠， 即：11COC DOD ∠=∠∴△1COC ≌△1DOD ………………………………………5分 11ODD OCC ∴∠=∠1190C CD OCC CDO ∠+∠+∠= 1190C CD ODD CDO ∴∠+∠+∠=90CMD ∴∠=即：1CC ⊥1DD . ………………………………………7分25.解：（1）抛物线1C 的解析式为2(0)(4)4y x x x x =--+=--；图中阴影部分的面积与△POQ 的面积相同，18282POQ S ∆=⨯⨯=. ∴阴影部分的面积为8. …………………………………… 2分 （2）由题意可知，抛物线1C 只存在两个内接直角三角形. 当点C 在抛物线1C 上运动时线段EF 的长度不会发生变化. 证明: ∵MN 为⊙D 的直径,EF MN ⊥∴BE BF =,90OBN MBF MBA ∠=∠=∠=∵MAB CNM ∠=∠， ∴△ABM ∽△N B O∴MB ABBO NB=，5=⋅=⋅BO AB NB MB 连接,FM FN ，90MFN ∠=，在△M BF 和△FBN 中， BMF BFN ∠=∠，90MBF FBN ∠=∠= ∴△M B F ∽△FBN …………………………………… 6分 ∴BFBMBN BF = ∴2BF =5=⋅NB MB ，BF =∴EF = …………………………………… 8分。
数学_2013年北京市石景山区高考数学二模试卷(理科)(含答案)
2013年北京市石景山区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知全集U ={0, 1, 2, 3, 4}，集合A ={0, 1, 2, 3}，B ={2, 3, 4}，那么C U (A ∩B)( ) A {0, 1} B {2, 3} C {0, 1, 4} D {0, 1, 2, 3, 4}2. 在复平面内，复数z 1的对应点是Z 1(1, 1)，z 2的对应点是Z 2(1, −1)，则z 1⋅z 2=( ) A 1 B 2 C −i D i3. 在极坐标系中，圆心为(1,π2)，且过极点的圆的方程是（ ）A ρ＝2sinθB ρ＝−2sinθC ρ＝2cosθD ρ＝−2cosθ4. 如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”的值，则判断框内可以填入（ ）A k ≤10B k ≤16C k ≤22D k ≤34 5. 设a =212，b =313，c =log 32，则（ ）A b <a <cB a <b <cC c <b <aD c <a <b6. 对于直线m ，n 和平面α，β，使m ⊥α成立的一个充分条件是（ ）A m ⊥n ，n // αB m // β，β⊥αC m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α7. 已知正六边形ABCDEF 的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A √34 B √32 C √3 D 2√38. 已知函数f(x)＝x −[x]，其中[x]表示不超过实数x 的最大整数．若关于x 的方程f(x)＝kx +k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A [−1,−12)∪(14,13] B (−1,−12]∪[14,13) C [−13,−14)∪(12,1] D (−13,−14]∪[12,1)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm ）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x ¯甲和x ¯乙，则 x ¯甲________x ¯乙． （填入：“>”，“=”，或“<”） 10. (2x −1)5的展开式中x 3项的系数是________．（用数字作答）11. 在△ABC 中，BC =2，AC =√7，B =π3，则AB =________；△ABC 的面积是________．12. 如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD ⊥PD ．若PC =4，PB =2，则CD =________．13. 在等差数列{a n }中，a 2=5，a 1+a 4=12，则a n =________；设b n =1a n2−1(n ∈N ∗)，则数列{b n }的前n 项和S n =________．14. 已知正数a ，b ，c 满足a +b =ab ，a +b +c =abc ，则c 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且α∈(π6,π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B ．记A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．(Ⅰ)若x 1=13，求x 2；(Ⅱ)分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ．记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2．若S 1＝2S 2，求角α的值．16. 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． （1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布列和数学期望．17. 如图1，四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，面ABCD 是直角梯形，M 为侧棱PD 上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示． （1）证明：BC ⊥平面PBD ； （2）证明：AM // 平面PBC ；（3）线段CD 上是否存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．18. 如图所示，椭圆C:x2+y2m=1(0<m<1)的左顶点为A，M 是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（1）若点P的坐标为(95, 4√35)，求m的值；（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．19. 已知函数f(x)=23x3−2x2+(2−a)x+1，其中a∈R．（1）若a=2，求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间[2, 3]上的最大值和最小值．20. 已知集合S n={(x1, x2, ..., x n)|x1, x2, ..., x n是正整数1, 2, 3, ..., n的一个排列}(n≥2)，函数g(x)={1,x>0−1,x<0.对于(a1, a2,…a n)∈S n，定义：b i=g(a i−a1)+g(a i−a2)+...+g(a i−a i−1)，i∈{2, 3, ..., n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列；排列a1，a2，…，a n为排列b1，b2，…，b n的母列．（1）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，−1，2，−3，4，3的母列；（2）证明：若a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（3）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，定义变换τ：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列a1，a2，…，a n变换为各项满意指数均为非负数的排列．2013年北京市石景山区高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. B3. A4. C5. D6. C7. B8. B 9. > 10. 80 11. 3,3√3212. 12513. 2n +1,n4(n+1) 14. (1,43]15. （1）由三角函数定义，得 x 1＝cosα，x 2=cos(α+π3)．因为 α∈(π6,π2)，cosα=13，所以 sinα=√1−cos 2α=2√23． 所以 x 2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66． （2）依题意得 y 1＝sinα，y 2=sin(α+π3)． 所以 S 1=12x 1y 1=12cosα⋅sinα=14sin2α， S 2=12|x 2|y 2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3)．依题意S 1＝2S 2 得 sin2α=−2sin(2α+2π3)，即sin2α＝−2[sin2αcos 2π3+cos2αsin2π3]＝sin2α−√3cos2α，整理得 cos2α＝0．因为 π6<α<π2，所以 π3<2α<π，所以 2α=π2，即 α=π4．16. （1）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11=16个，则A 事件包含基本事件的个数为C 31⋅C 21⋅C 11=6个， 则 P(A)=616=38，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为38，（2）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20． P(X =0)=14，P(X =5)=A 22A 42=16，P(X =10)=1A 42+A 22A 43=16，P(X =15)=A 43˙=16， P(X =20)=A 33A 44=14．所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×14+5×16+10×16+15×16+20×14=10．17. （1）证明：由俯视图可得，BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD ．又∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ BC ⊥PD ， ∵ BD ∩PD =D ， ∴ BC ⊥平面PBD ．（2）证明：取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．由左视图知 PM:PD =1:4，∴ MQ // CD ，MQ =14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB =60∘，∴ ∠ADB =30∘． 又 BD =2，∴ AB =1，AD =√3． 又∵ AB // CD ，AB =14CD ，∴ AB // MQ ，AB =MQ ．∴ 四边形ABQM 为平行四边形， ∴ AM // BQ ．∵ AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， ∴ 直线AM // 平面PBC ．（3）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34．证明如下： ∵ PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ． ∴ D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)．设 D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)，其中N(0, t, 0)． ∴ AM →=(−√3,0,3)，BN →=(−√3,t −1,0)． 要使AM 与BN 所成角的余弦值为√34，则有 |AM →||BN →|˙=√34， ∴ |3|⋅=√34，解得 t =0或2，均适合N(0, t, 0)．故点N 位于D 点处，此时CN =4；或CD 中点处，此时CN =2，有AM 与BN 所成角的余弦值为√34．18. 解：（1）依题意，M 是线段AP 的中点，因为A(−1, 0)，P(95，4√35)， 所以点M 的坐标为(25，2√35)． 由于点M 在椭圆C 上， 所以425+1225m=1，解得 m =47．（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m =1，①因为 M 是线段AP 的中点，所以 P(2x 0+1, 2y 0)． 因为 OP ⊥OM ，所以OP →⊥OM →，所以OP →⋅OM →=0，即 x 0(2x 0+1)+2y 02=0．②由①，②消去y 0，整理得 m =2x 02+x 02x 02−2．所以 m =1+12(x 0+2)+6x 0+2−8≤12−√34， 当且仅当 x 0=−2+√3时，上式等号成立． 所以m 的取值范围是(0,12−√34]． 19. （1）解：f(x)的定义域为R ，且 f ′(x)=2x 2−4x +2−a ，当a =2时，f(1)=−13，f ′(1)=−2，所以曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为 y +13=−2(x −1)，即 6x +3y −5=0．（2）解：方程f ′(x)=0的判别式为△=(−4)2−4×2×(2−a)=8a ．（1）当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．（2）当a >0时，令f ′(x)=0，得 x 1=1−√2a2，或x 2=1+√2a2．f(x)和f ′(x)的情况如下：故f(x)的单调增区间为(−∞,1−√2a2)，(1+√2a2，+∞)；单调减区间为(1−√2a2，1+√2a2)．①当0<a≤2时，x2≤2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(2)=73−2a；最大值是f(3)=7−3a．②当2<a<8时，x1<2<x2<3，此时f(x)在区间(2, x2)上单调递减，在区间(x2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(x2)=53−a−a√2a3．因为f(3)−f(2)=143−a，所以当2<a≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(3)=7−3a；当143<a<8时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(2)=73−2a．③当a≥8时，x1<2<3≤x2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递减，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(3)=7−3a；最大值是f(2)=73−2a．综上可得，当a≤2时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是73−2a，最大值是7−3a；当2<a≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a−a√2a3，最大值是7−3a；当143<a<8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a−a√2a3，最大值是73−2a；当a≥8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是7−3a，最大值是73−2a．20. （1）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，−2，1，4，−3；排列0，−1，2，−3，4，3的母列为3，2，4，1，6，5．（2）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，即：a n=a′n，a n−1=a′n−1，…，a k+1=a′k+1，a k≠a′k．显然b n=b′n，b n−1=b′n−1，…，b k+1=b′k+1，下面证明：b k≠b′k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i−1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k−l−1项比a k 大，从而b k=l−(k−l−1)=2l−k+1．同理，设排列a′1，a′2，…，a′n中有l′项比a′k小，则有k−l′−1项比a′k大，从而b′k=2l′−k+1．因为a1，a2，…，a k与a′1，a′2，…，a′k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a′k，所以l≠l′，从而b k≠b′k．所以排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1．进行一次变换τ后，排列a1，a2，…，a n变换为a k，a1，a2，…a k−1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b′1，b′2，…，b′n．所以(b′1, b′2,…,b′n)−(b1+b2+...+b n)=[g(a1−a k)+g(a2−a k)+...+g(a k−1−a k)]−[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2b k≥2．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为a i的满意指数b i≤i−1，其中i=1，2，3，…，n，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)，2即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．。
北京市石景山2013年中考二模数学试题与答案
石景山区2013年初三第二次统一练习数 学 试 卷第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在相应的括号内．1．3的相反数是( )A ．-3B ．3C ．31-D ．312．某市政府召开的全市经济形势分析会公布，全市去年地区生产总值（GDP ）实现1091亿元，数字1091用科学记数法表示为( )A ．210091.1⨯ B ．310091.1⨯ C ．31091.10⨯ D ．410091.1⨯ 3．如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE =4cm ， △ABD 的周长为14cm ，则△ABC 的周长为( ) A ．18 cm B ． 22 cm C ．24 cm D． 26 cm4．一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如下表所示：这次成绩的众数、平均数是( )5．甲盒装有3个红球和4个黑球，乙盒装有3个红球、4个黑球和5个白球．这些球除了颜色外没有其他区别．搅匀两盒中的球，从盒中分别任意摸出一个球．正确说法是( )A ．从甲盒摸到黑球的概率较大B ．从乙盒摸到黑球的概率较大C ．从甲、乙两盒摸到黑球的概率相等D ．无法比较从甲、乙两盒摸到黑球的概率6．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若 AC =8，AB =10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为( )A ．6B ．5C ．3D ．1.5 7．若二次函数72++=bx x y 配方后为k x y +-=2)1(，则b 、k 的值分别为( )A ．2、6B ．2、8C ．-2、6D ．-2、8D C B O A 第6题图 第 3题图EDCBA8． 如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，则下列说法正确的是( )A ．左视图面积最大B ．俯视图面积最小C ．左视图面积和主视图面积相等D ．俯视图面积和主视图面积相等第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．分解因式：2a 520- = ．10．抛物线252+-=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是 ． 11．已知：平面直角坐标系xoy 中，圆心在x 轴上的⊙M 与y 轴交于点D （0，4）、A ，若点M （-3，0），则HAO ∠sin 的值为 ．12．如图，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1，4，7，10，13，16，…的点作OA 的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为,,,321s s s …，观察图中的规律，第4个黑色梯形的面积=4S ，第n (n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：23)23(45tan 320--+︒-． 解：14．解分式方程：14122=---x x x ． 解：第 8题图 第 12题图 O15．如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG 于E ，CF ∥AE交DG 于F ．请在图中找出一对全等三角形，并加以证明． 证明：16． 先化简，再求值:124113+--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---x x x x x x 23，其中x 满足043=-+x x 2． 解：17．已知：如图，一次函数y x b =+的图象与反比例函数(0)ky k x=<的图象交于A 、B 两点，A 点坐标为(1,)m ，连接OB ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为点C ，且△BOC 的面积为32.（1）求k 的值；（2）求这个一次函数的解析式． 解：DCG18．甲、乙两位同学进行长跑训练，两人距出发点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答问题：（1）他们在进行米的长跑训练；（2）在3（3）当x 解：19∠EFB＝解：））O学业考试体育成绩（分数段）统计表20．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ． （1）求证：点E 为BC 中点； （2）若tan EDC =25，AD =5，求DE 的长． 解：21．为了解某区九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段（A ：40分；B ：39-35分；C ：34-30分；D ：29-20分；E ：19-0分）统计如下：分数段 人数（人） 频率 A 48 0.2 B a 0.25 C 84 b D 36 0.15 E120.05根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）在统计表中，a 的值为_____，b 的值为______，并将统计图补充完整；（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？______（填相应分数段的字母）（3）如果把成绩在30分以上（含30分）定为优秀，那么该区今年2400名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数有多少名？解：22．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 、N 、分别在BC 、AB 上，将矩形ABCD 沿MN 折叠，设点B 的对应点是点E ．（1）若点E 在AD 边上，BM =27，求AE 的长；（2）若点E 在对角线AC 上，请直接写出AE 的取值范围： ．解：ENMDCB Ay x O五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．如图，抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0），其对称轴与x 轴的交点为C , 反比例函数ky x=（x >0，k 是常数）的图象经过抛物线的顶点D ． （1）求抛物线和反比例函数的解析式． （2）在线段DC 上任取一点E ，过点E 作x 轴平行线，交y 轴于点F 、交双曲线于点G ，联结DF 、DG 、FC 、GC ． ①若△DFG 的面积为4，求点G 的坐标； ②判断直线FC 和DG 的位置关系，请说明理由； ③当DF =GC 时，求直线DG 的函数解析式．解：24．如图，四边形ABCD 、1111A B C D 是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形1111A B C D 可以绕中心O 旋转,正方形ABCD 静止不动．（1）如图1，当11D D B B 、、、四点共线时，四边形11DCC D 的面积为 __；（2）如图2，当11D D A 、、三点共线时，请直接写出11CD DD = _________； （3）在正方形1111A B C D 绕中心O 旋转的过程中，直线1CC 与直线1DD 的位置关系是______________,请借助图3证明你的猜想．解：25．（1）如图1，把抛物线2y x =-平移后得到抛物线1C ，抛物线1C 经过点(4,0)A -和原点(0,0)O ，它BBB图1 图2 图3的顶点为P ，它的对称轴与抛物线2y x =-交于点Q ，则抛物线1C 的解析式为____________；图中阴影部分的面积为_____．（2）若点C 为抛物线1C 上的动点，我们把90ACO ∠=时的△ACO 称为抛物线1C 的内接直角三角形.过点(1,0)B 做x 轴的垂线l ，抛物线1C 的内接直角三角形的两条直角边所在直线AC 、CO 与直线l 分别交于M 、N 两点，以MN 为直径的⊙D 与x 轴交于E 、F 两点,如图2.请问：当点C 在抛物线1C 上运动时，线段EF 的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断．解：图1图2石景山区2013初三第二次统一练习数学参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分） 9．()()a a -+225； 10．825≤k 且0≠k ； 11．53； 12．2123；）（71223-n ．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）13．解:原式=231124-+- ……………………………………………………4分 =2 ………………………………………………………5分 14． 解：()4122-=-+x x x ………………………………………………………2分∴23-=x ……………………………………………………………4分 经检验: 23-=x 是原方程的增根………………………………………………5分∴23-=x 是原方程的根.15．证明：略（找出全等三角形1分；证明4分）16．解：原式xx 1--= …………………………………………………………2分 由043=-+x x 2，得1,421=-=x x ……………………………………… 3分 由题意，1≠x ……………………………………………………… 4分∴原式45414－=----=. ………………………………………………………5分 17. 解：（1）设B 点的坐标为00(,)x y ，则有00ky x =，即： 00y x k =…………1分∵△BOC 的面积为32，∴2321210000=-=y x y x ， …………………2分∴00y x k ==-3. …………………………………………………………3分（2）∵3k =-，∴3y x=-，当1x =时，3y =-，∴A 点坐标为(1,3)-，……………………………………………………………4分 把A 点坐标代入y x b =+得4b =-，这个一次函数的解析式为4y x =-. …5分18．解：（1）1000米； ……..……..………..……..…..……………………..1分（2）甲 ………………..……..……..……..……..…………..2分 （3）设l 乙：x k y 11=，过（4，1000），故x y 2501= ……………………..3分在0＜x ≤3的时段内，设l 甲：x k y 22=，过（3，600），故x y 2002=……..4分 当3=x 时，150,600,7502121=-==y y y y .答：当3=x 时，两人相距最远，此时两人距离是150米 ………..……..……..5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）19. 解：由∠EFB ＝120°，AF 平分∠EFB ，∴∠EFO =60°,∠EOF =90°………………………………………………………..1分 ∴FE =FB ………………………………………………………..2分 Rt △EOF 中, ∴OE =EFcos30︒=分 Rt △EOA 中,∴AE 2.776cos 3cos ≈︒=∠=AEO OE ……………………………………..4分在△AEF 和△ABF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AF BFA EFA BF EF ∴△AEF ≌△ABF∴AB =AE 2.7= ……………………………………………..5分20.解: (1)连结OD ， ∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，又∠ABC =90°， ∴BC 是⊙O 切线 ………………………………………………..1分 ∵DE 是⊙O 切线 ∴BE=DE ， ∴∠EBD=∠EDB ， ∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC ， ∴DE=CE ， ∴BE=CE. ………………………………………………..2分 (2) ∵∠ABC =90°，∠ADB=90°， ∴∠C=∠ABD=∠EDC ，35sin =C Rt △ABD 中，DB=525tan ⨯=∠ABD AD ， …………………………………..3分Rt △BDC 中，BC=653525sin =⨯⨯=C BD ，………………………………..4分 又点E 为BC 中点，∴12DE BC ==3 .……………………………………..5分21．解：（1） 60 ， 0.35 ，补充后如右图：………………………… 3分 （2） C ; ……………4分（3）0.8×2400=1920（名） 答：该区九年级考生中体育成绩 为优秀的学生人数有1920名.…………………………5分22．解：（1）由题意，△BMN 沿MN 折叠得到△EMN ∴△BMN ≌△EMN分数段∴EM =BM =27. 过点M 作MH ⊥AD 交AD 于点H ，则四边形ABMH 为矩形 MH =AB =3， AH =BM =27. Rt △EHM 中， EH =2133)27(2222=-=-HM EM ∴AE 2137-=. ……………………………… 3分 (2) 1≤AE ≤3. ……………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解：（1） 抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0）10930a b a a b --+=⎧∴⎨-++=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++顶点(14)D ，函数(0ky x x=>，m 是常数）图象经过(14)D ，， 4k ∴=．…………………………………………………………………… 2分 （2）①设G 点的坐标为4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，，据题意，可得E 点的坐标为41m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，F 点的坐标为40m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1m > ，FG m ∴=，44DE m=-． 由△DFG 的面积为4，即14442m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3m =，∴点G 的坐标为433⎛⎫⎪⎝⎭，．………………………………………………… 3分②直线FC 和DG 平行.理由如下：方法1：利用相似三角形的性质.据题意，点C 的坐标为(10)，，1FE =， 1m > ，易得4EC m =，1EG m =-，44DE m=- 111G E m m EF -∴==-，4414DE m m CEm-==-．G E D EE F C E∴=． D E G F E C∠=∠ ∴△D E G ∽△FEC E D G E C F ∴∠=∠ //FC DG ∴ ………………………………………………… 5分方法2：利用正切值. 据题意，点C 的坐标为(10)，，1FE =，1m > ，易得4EC m=，1EG m =-， 1444G E m m DE m -∴==-，144FE mCE m==． tan tan EDG ECF ∴∠=∠E D G E CF ∴∠=∠ //FC DG ∴．③解：方法1： F C D G ∥，∴当FD CG =时，有两种情况： 当FD CG ∥时，四边形DFCG 是平行四边形， 由上题得，GE DEEF CE=1m =-，11m ∴-=，得2m =． ∴点G 的坐标是（2，2）．设直线DG 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得422k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+．…………………………………… 6分 当FD 与CG 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形， 则DC FG =，4m ∴=，∴点G 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．…………………………………… 7分 综上所述，所求直线DG 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．方法2.在Rt ⊿DFE 中，1FE =，44DE m=-2222241(4)FD FE DE m∴=+=+-在Rt ⊿GEC 中，4EC m =，1EG m =-， 222224()(1)CG EC EG m m∴=+=+-FD CG = 22FD CG ∴=2241(4)m ∴+-224()(1)m m=+-解方程得：2m =或4m =当2m =时，点G 的坐标是（2，2）．设直线DG 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，B得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+． 当4m =时，∴点G 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入， 得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．综上所述，所求直线DG 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．注：不同解法酌情给分24. 解：（1）11DCC D S 四边形=1(15)22⨯+⨯=6；…………………………1分 （2）11CD DD =43； ……………………2分 （3）1CC ⊥1DD . ……………………3分 证明：连接11,,,CO DO C O DO ，延长 1CC 交1DD 于M 点.如图所示：……4分由正方形的性质可知： 11,CO DO C O DO == 1145COD C OD ∠=∠=∴1111C O D C O D C O DC OD ∠-∠=∠-∠， 即：11COC DOD ∠=∠∴△1COC ≌△1DOD ………………………………………5分 11ODD OCC ∴∠=∠1190C CD OCC CDO ∠+∠+∠= 1190C CD ODD CDO ∴∠+∠+∠=90CMD ∴∠=即：1CC ⊥1DD . ………………………………………7分25.解：（1）抛物线1C 的解析式为2(0)(4)4y x x x x =--+=--；图中阴影部分的面积与△POQ 的面积相同，18282POQ S ∆=⨯⨯=. ∴阴影部分的面积为8. …………………………………… 2分 （2）由题意可知，抛物线1C 只存在两个内接直角三角形. 当点C 在抛物线1C 上运动时线段EF 的长度不会发生变化. 证明: ∵MN 为⊙D 的直径,EF MN ⊥∴BE BF =,90OBN MBF MBA ∠=∠=∠=∵MAB CNM ∠=∠， ∴△ABM ∽△N B O∴MB ABBO NB=，5=⋅=⋅BO AB NB MB 连接,FM FN ，90MFN ∠=，在△M BF 和△FBN 中，BMF BFN ∠=∠，90MBF FBN ∠=∠= ∴△M B F ∽△FBN …………………………………… 6分 ∴BF BMBN BF =∴2BF =5=⋅NB MB ，BF =∴EF = …………………………………… 8分。
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北京市石景山区 初三第二次统一练习数 学 试 卷第Ⅰ卷（机读卷 共32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1—8题的相应位置上．1．一个数的倒数是-2，则这个数是 （ ）A ．-2 B. 21-C. 2D.21 2．下列计算正确的是 （ ） A ．a 2·a 3＝a 5 B ．（a 2）3＝a 5 C ．a 10÷a 2＝a 5 D ．2a 5－a 5＝23．1天24小时共有86400秒，用科学记数法可表示为（保留两个有效数字）（ ）A ．4106.8⨯秒 B ．4107.8⨯秒 C ． 3106.8⨯秒 D ．3107.8⨯秒 4. 从甲、乙、丙三人中选两名代表，甲被选中的概率为 （ ）A ．21 B.31 C.32D.15．在5×5方格纸中将图（1）中的图形N 平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移方法是 ） A ．先向下移动1格，再向左移动1格 B ．先向下移动1格，再向左移动2格 C ．先向下移动2格，再向左移动1格D ．先向下移动2格，再向左移动2格6．某青年篮球队12名队员的年龄情况如下表：（ ） A ．众数是20岁，中位数是19岁 B ．众数是19岁，中位数是19岁 C ．众数是19岁，中位数是20.5岁 D ．众数是19岁，中位数是20岁7．如图，一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是20cm ，底面圆的半径为5cm ，那么笔筒的侧面积为 （ ） A.200cm 2B.100πcm 2C.200πcm 2D.500πcm28．如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形.设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的大致图象应为 （ ）第Ⅱ卷（非机读卷 共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填写在横线上） 9．分解因式：x x 93=______________________.10．若关于x 的方程x 2+5x+k=0有实数根，则k 的取值范围是 ________________.11．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm ，则此光盘的直径是_____cm.12.定义：平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是___________. 三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分） 13．计算：|2|)215(60cos 201-+--︒+- 解：14．解方程组：⎩⎨⎧=-=+1272y x y x 15．化简：x x x x 4)2121(2-⋅+-- 解： 解：16．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF DF =.证明：17．三根垂直地面的木杆甲、乙、丙，在路灯下乙、丙的影子如图所示.试确定路灯灯炮的位置，再作出甲的影子.（不写作法，保留作图痕迹，指明结果）A BC D四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）18． 如图，在ΔABC 中，∠C=90°，点D 在BC 上，BD=4，AD=BC ，cos ∠ADC=53. （1）求DC 的长； （2）求sinB 的值. 解：（1）（2）19．如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA 、PB 分别相切于点A 、B ，不倒翁的鼻尖正好是圆心O.（1）若∠OAB=25°，求∠APB 的度数；（2）若∠OAB=n °，请直接写出∠APB 的度数． 解：（1）（2）若∠OAB=n °，则∠APB= 度．五、解答题（本题满分5分）20．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：（1）填充频率分布表中的空格；A（2）补全频率分布直方图；（3）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？（不要求说明理由）答：．频率六、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）21．个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的不纳税；（2）稿费高于800元而不高于4000元，缴纳超过800元部分稿费的14％；（3）稿费超过4000元的，缴纳全部稿费的11％．张老师得到一笔稿费，缴纳个人所得税420元，问张老师的这笔稿费是多少元？解：22.现有一张长和宽之比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图甲（虚线表示折痕）.除图甲外，请你再给出三种不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和图甲是相同的操作）.图甲图乙图①图②图③七、解答题（本题满分6分）23．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分线交AC于E，DE⊥BE.（1）试说明AC是△BED外接圆的切线；（2）若CE=1，BC=2，求△ABC内切圆的面积.（2）24．研究发现，二次函数2ax y =（0≠a ）图象上任何一点到定点（0，a41）和到定直线a y 41-=的距离相等.我们把定点（0，a 41）叫做抛物线2ax y =的焦点，定直线ay 41-=叫做抛物线2ax y =的准线.（1）写出函数241x y =图象的焦点坐标和准线方程； （2）等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数241x y =图象上，O 为坐标原点，求等边三角形的边长； （3）M 为抛物线241x y =上的一个动点，F 为抛物线241x y =的焦点，P （1，3） 为定点，求MP+MF 的最小值.解：（1）焦点坐标：准线方程： （2）（3）25．我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.把两块边长为4的等边三角形板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角形板DEF 的顶点D 与三角形板ABC 的AC 边中点O 重合，把三角形板ABC 固定不动，让三角形板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点M ，射线DF 与线段BC 相交于点N ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证△ADM ∽△ D ．此 时，AM · = ．（2）将三角形板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中090α<<，问AM · 的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设AM= x ，两块三角形板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．（图2，图3供解题用）P图2图3图1AB MND(O)EFABCMND(O)EFFED(O)MCB(N)A解：（2）（3）北京市石景山区 初三第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷（机读卷 共32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）第Ⅱ卷（非机读卷 共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）13．解：|2|)215(60cos 21-+--︒+- =212121+-+ ………………………………………4分=2. ………………………………………5分14．解方程组：)2()1(1272⎩⎨⎧=-=+y x y x解：由方程（2），得12+=y x （3） ………………………………………1分把（3）代入（1），得7)12(2=++y y ，解得1=y ； …………………………3分把1=y 代入（3），得3=x . ………………………………………4分所以，原方程组的解是⎩⎨⎧==.1,3y x ………………………………………5分15．解： xx x x 4)2121(2-⋅+-- =xx x x x x x x x )2)(2(])2)(2(2)2)(2(2[-+⋅-+--+-+ …………………………3分=xx x x x )2)(2()2)(2(4-+⋅-+=x4. …………………………………………………………5分 16．证明： ∆∆A ABC EC 和关于折痕AC 对称，A B C ∆∴≌AEC ∆. …………………………………………………………1分 ∴=∠=∠AE AB B E ，.在矩形ABCD 中，,90︒=∠=∠=D B CD AB ，.90︒=∠=∠=∴D E CD AE ， ……3分在∆∆AEF CDF 和中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AE CFD AFE DE A EF ∆∴≌CDF ∆. …………………………………………………………4分DF EF =∴. …………………………………………………………5分17． 画图3分，指出结果各1分.路灯灯泡位置在点M 处，甲的影子是QN . 四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）18． 解：（1）在直角三角形ADC 中，∠C=90°，设DC=3k ，由cos ∠ADC=53，可知AD=5k ，AC=4k.又AD=BC=BD+DC ，所以 5k=4+3k ，解得k=2.……………………2分 故DC=3k=6. ………………………………3分（2）由（1）可知AC=4k=8.在直角三角形ABC 中，AB=22AC BC +=22810+=412.……4分 所以，sinB=4144128==AB AC =41414. ……5分19．解：（1）∵ PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，A∴PA=PB. ………………………………………………1分∴OA⊥PA. ……………………………………………2分∵∠OAB=25°，∴∠PAB=65°. ………………………3分∴∠APB=180°－65°×2=50°. ………………………4分（2）2n. …………………………5分五、解答题（本题满分5分）20．（1）答案如下表；………………………2分（2）答案如下图；………………………4分（3）80.5～90.5. ………………………5分六、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）21．解：∵ 4000×11％＝440＞420，∴张老师的这笔稿费不超过4000元. ………………………1分设张老师的这笔稿费为x元，根据题意，得（x－800）×14％＝420．………………………3分解得x＝3800．………………………4分答：张老师的这笔稿费为3800元．………………………5分22. 画出一种情况得2分,两种情况得4分,三种情况得5分.七、解答题（本题满分6分）23．解：（1）取BD的中点O，联结OE.∵ OE=OB，∴∠OBE=∠OEB. 又∠0BE=∠CBE，∴∠CBE=∠OEB. ∴ BC∥OE.………………1分∴∠OEA=∠C=90°. ∴ AC⊥OE.∴ AC是△BED外接圆的切线.…………………2分（2）Rt △BCE 中，∵ ∠OBE=∠OEB ，∠C=∠BED=90°， ∴ △BCE ∽△BED. ∴21==BC CE BE DE . ………………………3分 ∴ DE=2521=BE ，∴ BD=2522=+DE BE . ∴ OE=OB=OD=54∵ BC ∥OE, ∴58AE AO OE AC AB BE ===. ∴ AE=53,AO=2512. …………………………………………………4分∴ △ABC 的内切圆半径为r=12（BC+AC-AB ）=43. ………………………5分∴ △ABC 的内切圆面积为169π. ………………………………………………6分八、解答题（本题满分8分） 24．解：（1）焦点坐标为（0，1）， ………………………………………………1分准线方程是1-=y ； ………………………………………………2分（2）设等边ΔOAB 的边长为x ，则AD=x 21，OD=x 23. 故A 点的坐标为（x 21，x 23）. …………3分 把A 点坐标代入函数241x y =，得 2)21(4123x x ⋅=， 解得0=x （舍去），或38=x . …………………………………………4分 ∴ 等边三角形的边长为38. ………………………………………………5分 （3）如图，过M 作准线1-=y 的垂线，垂足为N ，则MN=MF. ………………………6分过P 作准线1-=y 的垂线PQ ，垂足为Q ，当M 运动到PQ 与抛物线交点位置时，MP+MF 最小，最小值为PQ=4. ……………………………8分九、解答题（本题满分8分） 25．解：（1）4 …………………………1分 （2）AM · 的值不会改变． ………2分 理由如下：在△ADM 与△ D 中，∠A=∠C=60° ∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α. ∠ADM=30°+α. 即∠ADM=∠ D.∴ △ADM ∽△ D.∴CDAMCN AD =. ∴ AM · =AD ·CD=4. ………………………………4分 （3）情形1：当0°<α<60°时，1<AM<4，即1<x<4，此时两三角形板重叠部分为四边形DMBN ，过D 作DQ ⊥AB 于Q ，DG ⊥BC 于G ， ∴ DQ=DG=3.由（2）知：AM · =4得 =x4, 于是y=DQ CN DQ AM AB ⋅-⋅-2121432 xx 322334--=(1<x<4). ……………………………………6分 （或xx x y 2343832-+-=）情形2：当60°≤α<90°时，AM ≥4时，即x ≥4，此时两三角形板重叠部分为△DPN ， 如图3，过点D 作DH ∥BC 交AM 于H ，易证：△MBP ∽△MHD ， ∴MHMBDH BP =. 又MB=x-4，MH= x-2，DH=2, ∴ BP=282--x x , ∴ 28244----=x x x PN .于是)4(3223)28244(32121≥--=----⋅⋅=⋅=x xx x x x x DG PN y . ……7分 GQ 图2A BC M ND(O)F EH G P图3AB CMN D(O)EF（或)2(343232-+-=x x x x y ）综上所述，当1<x<4时，y x x 322334--=（或x x x y 2343832-+-=） 当x ≥4时，x x x y 3223--=（或)2(343232-+-=x x x x y ）. ……8分注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分.。
石景山区二模初三数学模拟试卷及答案
北京市石景山区2008年初三第二次统一练习数 学 试 卷第Ⅰ卷（机读卷 共32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母按规定要求涂抹在“机读答题卡”第1—8题的相应位置上．1．一个数的倒数是-2，则这个数是 （ ）A ．-2 B. 21-C. 2D.21 2．下列计算正确的是 （ ）A ．a 2·a 3＝a 5B ．（a 2）3＝a 5C ．a 10÷a 2＝a 5D ．2a 5－a 5＝23．1天24小时共有86400秒，用科学记数法可表示为（保留两个有效数字） （ ）A ．4106.8⨯秒 B ．4107.8⨯秒 C ． 3106.8⨯秒 D ．3107.8⨯秒 4. 从甲、乙、丙三人中选两名代表，甲被选中的概率为 （ ）A ．21 B.31 C.32D.1 5．在5×5方格纸中将图（1）中的图形N 平移后的位置如图（2）中所示，那么正确的平移方法是（ ）A ．先向下移动1格，再向左移动1格B ．先向下移动1格，再向左移动2格C ．先向下移动2格，再向左移动1格D ．先向下移动2格，再向左移动2格6则这12名队员年龄的 （ ） A ．众数是20岁，中位数是19岁 B ．众数是19岁，中位数是19岁 C ．众数是19岁，中位数是20.5岁 D ．众数是19岁，中位数是20岁7．如图，一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是20cm ，底面圆的半径为5cm ，那么笔筒的侧面积为 （ ） A.200cm 2B.100πcm 2C.200πcm 2D.500πcm28．如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形.设穿过的时间为t ，大正方形内除去小正方形部分的面积为S （阴影部分），那么S 与t 的大致图象应为 （ ）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填写在横线上） 9．分解因式：x x 93-=______________________.10．若关于x 的方程x 2+5x+k=0有实数根，则k 的取值范围是________________.11．如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB=3cm ，则此光盘的直径是_____cm.12.定义：平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ,若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是___________.三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分） 13．计算：|2|)215(60cos 21-+--︒+-解：14．解方程组：⎩⎨⎧=-=+1272y x y x 15．化简：x x x x 4)2121(2-⋅+--解： 解：16．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EFDF =.证明：17出甲的影子.（不写作法，保留作图痕迹，指明结果） 四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）18． 如图，在ΔABC 中，∠C=90°，点D 在BC 上，（1）求DC 的长； （2）求sinB 的值. 解：（1） （2）19．如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA 、PB分别相切于点A 、B ，不倒翁的鼻尖正好是圆心O. （1）若∠OAB=25°，求∠APB 的度数； （2）若∠OAB=n °，请直接写出∠APB 的度数． 解：（1）（2）若∠OAB=n °，则∠APB= 度． 五、解答题（本题满分5分）20．为了让学生了解环保知识，增强环保意识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”，共有900名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请你根据下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：（1）填充频率分布表中的空格； （2）补全频率分布直方图；（3）全体参赛学生中，竞赛成绩落在哪组范围内的人数最多？（不要求说明理由） 答： ．频率分布表 六、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）AB 21．个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：（1）稿费不高于800元的不纳税；（2）稿费高于800元而不高于4000元，缴纳超过800元部分稿费的14％；（3）稿费超过4000元的，缴纳全部稿费的11％．张老师得到一笔稿费，缴纳个人所得税420元，问张老师的这笔稿费是多少元？解：22.现有一张长和宽之比为2∶1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图甲（虚线表示折痕）.除图甲外，请你再给出三种不同的操作，分别将折痕画在图①至图③中（规定：一个操作得到的四个图形和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和图甲是相同的操作）.图甲 图乙图① 图② 图③七、解答题（本题满分6分）23．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B 的平分线交AC 于E ，DE ⊥BE.（1）试说明AC 是△BED 外接圆的切线； （2）若CE=1，BC=2，求△ABC 内切圆的面积. 解：（1） （2）八、解答题（本题满分8分）24．研究发现，二次函数2ax y =（0≠a ）图象上任何一点到定点（0，a 41）和到定直线a y 41-=的距离相等.我（0，a41）ax y =的准线. 叫做抛物线2ax y =的焦点，定直线ay 41-=叫做抛物线（1）写出函数241x y =图象的焦点坐标和准线方程；（2）等边三角形OAB 的三个顶点都在二次函数241x y =图象上，O 为坐标原点，求等边三角形的边长； （3）M 为抛物线241x y =上的一个动点，F 为抛物线241x y =的焦点，P （1，3） 为定点，求MP+MF 的最小值.解：（1）焦点坐标：准线方程：（2） （3）九、解答题（本题满分8分）25．我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.把两块边长为4的等边三角形板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角形板DEF 的顶点D 与三角形板ABC 的AC 边中点O 重合，把三角形板ABC 固定不动，让三角形板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点M ，射线DF 与线段BC 相交于点N ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证△ADM ∽△CND ．此时，AM ·CN= ．（2）将三角形板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中090α<<，问AM ·CN 的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设AM= x ，两块三角形板重叠面积为y ，求y 与x 的函数关系式．（图2，图3供解题用） 解：（2） （3）北京市石景山区2008年初三第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准第Ⅰ卷（机读卷 共32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）第Ⅱ卷（非机读卷 共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）三、解答题（共5个小题，每小题5分，共25分） 13．解：|2|)215(60cos 21-+--︒+- =212121+-+ ………………………………………4分=2. ………………………………………5分14．解方程组：)2()1(1272⎩⎨⎧=-=+y x y x解：由方程（2），得12+=y x （3） ………………………………………1分把（3）代入（1），得7)12(2=++y y ，解得1=y ； …………………………3分把1=y 代入（3），得3=x . ………………………………………4分所以，原方程组的解是⎩⎨⎧==.1,3y x ………………………………………5分15．解： xx x x 4)2121(2-⋅+-- =xx x x x x x x x )2)(2(])2)(2(2)2)(2(2[-+⋅-+--+-+ …………………………3分=xx x x x )2)(2()2)(2(4-+⋅-+=x4. …………………………………………………………5分 16．证明： ∆∆A ABC EC 和关于折痕AC 对称，A B C ∆∴≌AEC ∆. …………………………………………………………1分 ∴=∠=∠AE AB B E ，.在矩形ABCD 中，.90︒=∠=∠=∴D E CD AE ， ……3分在∆∆AEF CDF 和中，A E F ∆∴≌CDF ∆.分DF EF =∴. 分17． 画图3分，指出结果各1分.路灯灯泡位置在点M 处，甲的影子是QN . 四、解答题（共2个小题，每小题5分，共10分）18． 解：（1）在直角三角形ADC 中，∠C=90°，设DC=3k ，由cos ∠ADC=53，可知AD=5k ，AC=4k. 又AD=BC=BD+DC ，所以 5k=4+3k ，解得k=2.……………………2分 故DC=3k=6. ………………………………3分（2）由（1）可知AC=4k=8.在直角三角形ABC 中，AB=22AC BC +=22810+=412.……4分所以，sinB=4144128==AB AC =41414. ……5分19．解：（1）∵ PA 、PB 切⊙O 于A 、B ，∴ PA=PB. ………………………………………………1分AABC D∴ OA ⊥PA. ……………………………………………2分 ∵ ∠OAB=25°，∴∠PAB=65°. ………………………3分 ∴ ∠APB=180°－65°×2=50°. ………………………4分 （2）2n. …………………………5分 五、解答题（本题满分5分）20．（1）答案如下表； ………………………2分 （2）答案如下图； ………………………4分（3）80.5～……………分），过40001分设张老师的这笔稿费为x 元，根据题意，得 （x －800）×14％＝420． ………………………3分解得 x ＝3800． ………………………4分 答：张老师的这笔稿费为3800元． ………………………5分22. 画出一种情况得2分,两种情况得4分,三种情况得5分. 七、解答题（本题满分6分）23．解：（1）取BD 的中点O ，联结OE. ∵ OE=OB ， ∴ ∠OBE=∠OEB. 又∠0BE=∠CBE ， ∴ ∠CBE=∠OEB. ∴ BC ∥OE. ………………1分 ∴ ∠OEA=∠C=90°. ∴ AC ⊥OE.∴ AC 是△BED 外接圆的切线. …………………2分 （2）Rt △BCE 中，∵ ∠OBE=∠OEB ，∠C=∠BED=90°， ∴ △BCE ∽△BED. ∴21==BC CE BE DE . ………………………3分 ∴ DE=2521=BE ，∴ BD=2522=+DE BE . ∴ OE=OB=OD=54频率分布表 B频率分布直方图∵ BC ∥OE, ∴58AE AO OE AC AB BE ===. ∴ AE=53,AO=2512. …………………………………………………4分∴ △ABC 的内切圆半径为r=12（BC+AC-AB ）=43. ………………………5分∴ △ABC 的内切圆面积为169π. ………………………………………………6分八、解答题（本题满分8分）24．解：（1）焦点坐标为（0，1）， ………………………………………………1分准线方程是1-=y ； ………………………………………………2分（2）设等边ΔOAB 的边长为x ，则AD=x 21，OD=x 23. 故A 点的坐标为（x 21，x 23）. …………3分 把A 点坐标代入函数241x y =，得 2)21(4123x x ⋅=， 解得0=x （舍去），或38=x . …………………………………………4分 ∴ 等边三角形的边长为38. ………………………………………………5分 （3）如图，过M 作准线1-=y 的垂线，垂足为N ，则MN=MF. ………………………6分过P 作准线1-=y 的垂线PQ ，垂足为Q ，当M 运动到PQ 与抛物线交点位置时，MP+MF 最小，最小值为PQ=4. ……………………………8分九、解答题（本题满分8分）25．解：（1）4 …………………………1分 （2）AM ·CN 的值不会改变． ………2分 理由如下：在△ADM 与△CND 中，∠A=∠C=60° ∠DNC=∠DBN+∠BDN=30°+α. ∠ADM=30°+α. 即∠ADM=∠CND.∴ △ADM ∽△CND.GQ图2ABCMND(O)F E∴CDAMCN AD =. ∴ AM ·CN=AD ·CD=4. ………………………………4分（3）情形1：当0°<α<60°时，1<AM<4，即1<x<4，此时两三角形板重叠部分为四边形DMBN ，过D 作DQ ⊥AB 于Q ，DG ⊥BC 于G ，∴ DQ=DG=3.由（2）知：AM ·CN=4得CN=x4, 于是y=DQ CN DQ AM AB ⋅-⋅-2121432 xx 322334--=(1<x<4). ……………………………………6分 （或xx x y 2343832-+-=）三角形板重情形2：当60°≤α<90°时，AM ≥4时，即x ≥4，此时两叠部分为△DPN ，如图3，过点D 作DH ∥BC 交AM 于H ，易证：△MBP∽△MHD ，∴ MHMBDH BP =. 又MB=x-4，MH= x-2，DH=2,∴ BP=282--x x ,∴ 28244----=x x x PN .于是)4(3223)28244(32121≥--=----⋅⋅=⋅=x xx x x x x DG PN y . ……7分 （或)2(343232-+-=x x x x y ）综上所述，当1<x<4时，y x x 322334--=（或x x x y 2343832-+-=） 当x ≥4时，x x x y 3223--=（或)2(343232-+-=x x x x y ）. ……8分 注：若有其他解法，请参照评分标准酌情给分.H G P图3AB CMN D(O)EF。
北京石景山区初三化学二模试题及答案
北京市石景山区2013年初三第二次统一练习化学试卷考生须知1．本试卷共8页，共四道大题，35道小题，满分80分。
考试时间100分钟。
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效。
4．本试卷化学方程式中的“”和“→”含义相同。
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Cl 35.5 Ca 40一、选择题（每小题只有一个选项符合题意。
共25个小题，每小题1分，共25分。
）1．空气中体积分数约为21%的气体是A．氮气B．氧气C．二氧化碳D．水蒸气2．下列变化中，属于化学变化的是A．酒精挥发B．冰雪融化C．干冰升华D．镁条燃烧3．“2H2”表示A．2个氢元素B．2个氢原子C．2个氢分子D．2个氢离子4．天然气是重要的化石燃料，其主要成分是A．甲烷B．一氧化碳C．氮气D．氢气5．下列食品中，能提供丰富蛋白质的是A．西瓜B．鸡蛋C．花生油D．西红柿6．下列物质中，不能．．与水形成溶液的是A．食盐B．蔗糖C．植物油D．氢氧化钠7．下列物质在氧气中燃烧，发出白光、生成使澄清石灰水变浑浊气体的是A．木炭B．一氧化碳C．铁丝D．红磷8．下列物质中，能用作磷肥的是A．KCl B．MgSO4C．Ca (H2PO4)2D．NH4NO3 9．下列物质溶于水时，溶液温度明显降低的是A．硝酸铵B．浓硫酸C．烧碱D．食盐10．下列生活用品所使用的主要材料，属于有机合成材料的是A ．青花瓷瓶B ．橡胶轮胎C ．真丝围巾D ．羊毛衫11．下列金属中，活动性最强的是A ．银B ．铜C ．锌D ．铝12．下列是一些物质的pH ，其中碱性最强的是A ．苹果汁（2.9~3.3）B ．肥皂水（9.8~10.2）C ．玉米粥（6.8~8.0）D ．番茄汁（4.0~4.4）13．下列实验操作中，不正确．．．的是A ．蒸发食盐水B ．称量固体C ．滴加液体药品D ．倾倒液体14．草木灰的主要成分是碳酸钾（K 2CO 3）。
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石景山区2013初三第二次统一练习数学参考答案阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅．2．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．()()a a -+225；10．825≤k 且0≠k ； 11．53； 12．2123；）（71223-n ．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）13．解:原式=231124-+- ……………………………………………………4分 =2 ………………………………………………………5分14． 解：()4122-=-+x x x ………………………………………………………2分∴23-=x ……………………………………………………………4分 经检验: 23-=x 是原方程的增根………………………………………………5分∴23-=x 是原方程的根.15．证明：略（找出全等三角形1分；证明4分）16．解：原式xx 1--= …………………………………………………………2分 由043=-+x x 2，得1,421=-=x x ……………………………………… 3分 由题意，1≠x ……………………………………………………… 4分∴原式45414－=----=. ………………………………………………………5分 17. 解：（1）设B 点的坐标为00(,)x y ，则有00ky x =，即： 00y x k =…………1分∵△BOC 的面积为32，∴2321210000=-=y x y x ， …………………2分∴00y x k ==-3. …………………………………………………………3分（2）∵3k =-，∴3y x=-，当1x =时，3y =-，∴A 点坐标为(1,3)-，……………………………………………………………4分 把A 点坐标代入y x b =+得4b =-，这个一次函数的解析式为4y x =-. …5分18．解：（1）1000米； ……..……..………..……..…..……………………..1分（2）甲 ………………..……..……..……..……..…………..2分 （3）设l 乙：x k y 11=，过（4，1000），故x y 2501= ……………………..3分在0＜x ≤3的时段内，设l 甲：x k y 22=，过（3，600），故x y 2002=……..4分 当3=x 时，150,600,7502121=-==y y y y .答：当3=x 时，两人相距最远，此时两人距离是150米 ………..……..……..5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19. 解：由∠EFB ＝120°，AF 平分∠EFB ，∴∠EFO =60°,∠EOF =90°………………………………………………………..1分 ∴FE =FB ………………………………………………………..2分 Rt △EOF 中, ∴OE =EFcos30︒=3分 Rt △EOA 中,∴AE 2.776cos 3cos ≈︒=∠=AEO OE ……………………………………..4分在△AEF 和△ABF 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AF AF BFA EFA BF EF ∴△AEF ≌△ABF∴AB =AE 2.7= ……………………………………………..5分20.解: (1)连结OD ， ∵AB 为直径，∴∠ADB =90°，又∠ABC =90°， ∴BC 是⊙O 切线 ………………………………………………..1分 ∵DE 是⊙O 切线 ∴BE=DE ， ∴∠EBD=∠EDB ， ∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠CDE=90°，∴∠C=∠EDC ， ∴DE=CE ， ∴BE=CE. ………………………………………………..2分 (2) ∵∠ABC =90°，∠ADB=90°， ∴∠C=∠ABD=∠EDC ，35sin =C Rt △ABD 中，DB=525tan ⨯=∠ABD AD ， …………………………………..3分Rt △BDC 中，BC=653525sin =⨯⨯=C BD ，………………………………..4分 又点E 为BC 中点，∴12DE BC ==3 .……………………………………..5分21．解：（1） 60 ， 0.35 ，补充后如右图：………………………… 3分 （2） C ; ……………4分（3）0.8×2400=1920（名） 答：该区九年级考生中体育成绩 为优秀的学生人数有1920名.…………………………5分22．解：（1）由题意，△BMN 沿MN 折叠得到△EMN ∴△BMN ≌△EMN∴EM =BM =27. 过点M 作MH ⊥AD 交AD 于点H ，则四边形ABMH 为矩形 MH =AB =3， AH =BM =27. Rt △EHM 中， EH =2133)27(2222=-=-HM EM ∴AE 2137-=. ……………………………… 3分 (2) 1≤AE ≤3. ……………………………… 5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．解： （1）抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0）10930a b a a b --+=⎧∴⎨-++=⎩解得：23a b =⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++顶点(14)D ，函数(0ky x x=>，m 是常数）图象经过(14)D ，， 4k ∴=．…………………………………………………………………… 2分分数段（2）①设G 点的坐标为4m ⎛⎫ ⎪⎝⎭m ，，据题意，可得E 点的坐标为41m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，F 点的坐标为40m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1m >，FG m ∴=，44DE m=-． 由△DFG 的面积为4，即14442m m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3m =，∴点G 的坐标为433⎛⎫⎪⎝⎭，．………………………………………………… 3分②直线FC 和DG 平行.理由如下：方法1：利用相似三角形的性质. 据题意，点C 的坐标为(10)，，1FE =，1m >，易得4EC m =，1EG m =-，44DE m=- 111G E m m EF -∴==-，4414DE m m CEm-==-． GE DEEF CE∴=． DEG FEC ∠=∠∴△D E G ∽△FECEDG ECF ∴∠=∠//FC DG ∴ ………………………………………………… 5分方法2：利用正切值.据题意，点C 的坐标为(10)，，1FE =，1m >，易得4EC m=，1EG m =-， 1444GE m m DE m -∴==-，144FE mCE m==． tan tan EDG ECF ∴∠=∠EDG ECF ∴∠=∠ //FC DG ∴．③解：方法1：FC DG ∥，∴当FD CG =时，有两种情况： 当FD CG ∥时，四边形DFCG 是平行四边形， 由上题得，GE DEEF CE=1m =-，11m ∴-=，得2m =． ∴点G 的坐标是（2，2）．设直线DG 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+．…………………………………… 6分 当FD 与CG 所在直线不平行时，四边形ADCB 是等腰梯形， 则DC FG =，4m ∴=，∴点G 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入，得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．…………………………………… 7分 综上所述，所求直线DG 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．方法2.在Rt ⊿DFE 中，1FE =，44DE m=-2222241(4)FD FE DE m∴=+=+-在Rt ⊿GEC 中，4EC m =，1EG m =-， 222224()(1)CG EC EG m m∴=+=+-FD CG = 22FD CG ∴=2241(4)m ∴+-224()(1)m m=+-解方程得：2m =或4m =当2m =时，点G 的坐标是（2，2）．设直线DG 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入， 得422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得26.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是26y x =-+． 当4m =时，∴点G 的坐标是（4，1）．设直线AB 的函数解析式为y kx b =+，把点D G ，的坐标代入， 得414.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AB 的函数解析式是5y x =-+．综上所述，所求直线DG 的函数解析式是26y x =-+或5y x =-+．注：不同解法酌情给分B24. 解：（1）11DCC D S 四边形=1(15)22⨯+⨯=6；…………………………1分 （2）11CD DD =43； ……………………2分 （3）1CC ⊥1DD . ……………………3分 证明：连接11,,,CO DO C O DO ，延长 1CC 交1DD 于M 点.如图所示：……4分由正方形的性质可知： 11,CO DO C O DO == 1145COD C OD ∠=∠=∴1111C O D C O D C O DC OD ∠-∠=∠-∠， 即：11COC DOD ∠=∠∴△1COC ≌△1DOD ………………………………………5分 11ODD OCC ∴∠=∠1190C CD OCC CDO ∠+∠+∠=1190C CD ODD CDO ∴∠+∠+∠=90CMD ∴∠=即：1CC ⊥1DD . ………………………………………7分25.解：（1）抛物线1C 的解析式为2(0)(4)4y x x x x =--+=--；图中阴影部分的面积与△POQ 的面积相同，18282POQ S ∆=⨯⨯=. ∴阴影部分的面积为8. …………………………………… 2分 （2）由题意可知，抛物线1C 只存在两个内接直角三角形. 当点C 在抛物线1C 上运动时线段EF 的长度不会发生变化. 证明: ∵MN 为⊙D 的直径,EF MN ⊥∴BE BF =,90OBN MBF MBA ∠=∠=∠= ∵MAB CNM ∠=∠， ∴△ABM ∽△N B O∴MB ABBO NB=，5=⋅=⋅BO AB NB MB 连接,FM FN ，90MFN ∠=，在△M BF 和△FBN 中， BMF BFN ∠=∠，90MBF FBN ∠=∠= ∴△M B F ∽△FBN…………………………………… 6分 ∴BFBMBN BF = ∴2BF =5=⋅NB MB ，BF =∴EF = …………………………………… 8分。