科学计算方法11(插值方法)
插值方法
插值方法
n次插值
为了计算函数值或分析函数的性态，必 须首先由实验或观测数据找出函数关系 的一个近似表达式.插值与逼近就是用简 单函数为各种离散数据建立连续的数学 模型，使其既能达到精度要求，又使计 算量尽可能小.插值与逼近理论是数值计 算的最基本内容.
插值的概念
已知函数y=f(x)在n+1个互异点x0, x1, …, xn上的函数值分别为y0, y1, …, yn ，构造 一个简单的函数P(x)，满足条件 P(xi) ＝yi (i=0,1,…n) (1) 称这类问题为插值问题，称P(x)为函数 f(x)的插值函数， f(x)为被插值函数，点x0, x1, …, xn为插值节点，称(1)为插值条件.
( x x1 ) l0 ( x) ( x0 x1 )
其中
( x x0 ) l1 ( x) ( x1 x0 )
抛物插值（二次插值）
已知函数y=f(x)在三个互异点x0, x1, x2上的函数值分别 为y0, y1, y2，构造求一个二次式L2(x)，满足条件: L2(x0)= y0 ，L2(x1)= y1 ，L2(x2)= y2. 二次Lagrange插值多项式为 L２(x)= y0l0(x) + y1l1(x) + y2l2(x)
已知
100 10,
121 11,
144 12
，试利用插
值法近似计算
115
.
分析 由题中已知条件本题可利用三点二次Lagrange 插值，也可利用三点二次Newton插值，它们所得结 果相同. 解 利用三点二次Lagrange插值.记 f ( x) x , x0 100, x1 121, x2 144, y0 10, y1 11, y2=12， 则f(x)的二次Lagrange插值多项式为
《拉格朗日插值法》课件
在数值分析中的应用
数值积分
01
拉格朗日插值法可用于数值积分，通过插值多项式逼近被积函
数，进而求得积分的近似值。
数值微分
02
利用拉格朗日插值法可以近似求得函数的导数值，用于数值微
分计算。
求解常微分方程
03
通过构造插值多项式，可以将常微分方程转化为代数方程组，
进而求解微分方程的近似解。
在数据拟合中的应用
重要性
拉格朗日插值法是数值分析中的基础方法之一，它为解决各种实际问题提供了重要的数学工具。通过 拉格朗日插值法，我们可以更好地理解和逼近数据，从而为进一步的数值分析和科学计算提供基础。
拉格朗日插值法的历史和发展
历史
拉格朗日插值法由意大利数学家约瑟夫·拉格朗日于18世纪提出。在此之前，人们已经意识到可以通过已知的数 据点来逼近未知的函数值，但缺乏系统的数学方法。拉格朗日的插值法为这个问题提供了一个完整的解决方案， 并在随后的几个世纪中得到了广泛的应用和发展。
深入研究拉格朗日多项式的性质
拉格朗日多项式是拉格朗日插值法的基础，但其性质仍有许多未知之处。未来的研究可以深入探索拉格 朗日多项式的性质，以期为插值法的发展提供新的思路和方法。
THANK YOU
多项式形式
插值多项式的一般形式为 (L(x) = sum_{i=0}^{n} y_i l_i(x))，其中 (l_i(x)) 是拉格朗日插值基函数。
求解插值多项式的系数
系数求解
通过已知的数据点和构造的插值多项 式，求解出多项式的系数。
求解方法
常用的求解方法是高斯消元法或追赶 法，通过求解线性方程组得到插值多 项式的系数。
《拉格朗日插值法》ppt课件
• 引言 • 拉格朗日插值法的基本概念 • 拉格朗日插值法的实现步骤 • 拉格朗日插值法的优缺点分析 • 拉格朗日插值法的应用实例 • 总结与展望
算术平均值和插入法
算术平均值和插入法算术平均值和插值法是数学和统计学中常见的概念和方法，用于描述和分析一组数据的集中趋势和插值估计。
算术平均值，也称为平均数，是描述一组数据集中趋势的统计量。
计算算术平均值的步骤是将一组数据的所有数值相加，然后除以数据的个数。
例如，如果有一组数据：5, 7, 9, 11，那么它们的算术平均值为(5+7+9+11)/4=8。
算术平均值是一个常见的统计量，它可以用来代表一组数据的集中位置。
当数据集中趋势比较明显且分布相对均匀时，算术平均值可以很好地反映数据的整体特征。
然而，当数据集中趋势不明显或者存在极端值时，算术平均值可能会受到影响，不再准确地代表数据的中心位置。
插值法是一种用于估计数据的方法，在数学和统计学中有广泛的应用。
插值法基于已知的数据点，通过对数据点间的曲线进行插值，来估计未知数据点的数值。
插值法可以用于估计缺失数据、预测趋势和填补噪声等场景。
常见的插值方法包括线性插值、多项式插值和样条插值等。
线性插值是一种简单且常用的插值方法，它假设两个数据点之间的变化是线性的。
多项式插值是通过使用多项式函数来拟合数据点，以便估计未知数据点的数值。
样条插值是通过使用分段多项式函数来拟合数据点，以减少插值的误差。
插值法的应用非常广泛。
例如，在气象学中，可以使用插值方法来估计气温、降雨量等数据点之间的数值。
在金融学中，可以使用插值方法来估计资产价格、股票收益率等未知数据点。
在地理学和地图制作中，可以使用插值方法来估计地形、海拔等未知区域的数值。
总结来说，算术平均值和插值法是数学和统计学中常见的概念和方法。
算术平均值可以用来描述一组数据的集中趋势，插值法可以用来估计未知数据点的数值。
这些方法在各个学科和领域中都有广泛的应用，为我们研究和分析数据提供了有力的工具。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
插值法数学计算方法
插值法数学计算方法插值法是一种数学计算方法，用于在已知数据点的基础上，通过构建一条插值曲线来估计未知数据点的值。
插值法可以应用于各种数学问题中，例如逼近函数、插值多项式、差值等。
本文将详细介绍插值法的原理和常见的插值方法。
一、插值法的原理插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个函数表达式，该函数可以通过插值曲线来估计任意点的函数值。
根据已知数据点的数量和分布，插值法可以采用不同的插值方法来构建插值函数。
插值法的原理可以用以下几个步骤来描述：1.收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点。
这些数据点可以是实际测量得到的，也可以是其他方式获得的。
2.选择插值方法：根据问题的特性和数据点的分布，选择适合的插值方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、埃尔米特插值法等。
3.构建插值函数：通过已知数据点，利用选择的插值方法构建插值函数。
这个函数可以拟合已知数据点，并通过插值曲线来估计未知数据点。
4.估计未知数据点：利用构建的插值函数，可以估计任意点的函数值。
通过插值曲线，可以对未知数据点进行预测，获得相应的数值结果。
二、常见的插值方法1.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过构建一个具有多项式形式的插值函数来逼近已知数据点。
插值函数可以通过拉格朗日基函数计算得到，式子如下：P(x) = ∑[f(xi) * l(x)], i=0 to n其中，P(x)表示插值函数，f(xi)表示已知数据点的函数值，l(x)表示拉格朗日基函数。
2.牛顿插值法：牛顿插值法基于牛顿差商公式，通过构建一个递归的差商表来逼近已知数据点。
插值函数可以通过牛顿插值多项式计算得到，式子如下：P(x) = f(x0) + ∑[(f[x0, x1, ..., xi] * (x - x0) * (x - x1)* ... * (x - xi-1)] , i=1 to n其中，P(x)表示插值函数，f[x0, x1, ..., xi]表示xi对应的差商。
计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)
为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
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二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
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fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
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等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
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二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
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§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
计算方法 插值法 牛顿插值 拉格朗日插值
y = 0; for(j=0;j<11;j++) { y=y+l1[j]*f[j]/l2[j]; } double h=5.0/(1+m*m); //精确值 double r=fabs(y-h); cout<<"近似值 y="<<y<<"\t 精确值 h="<<h<<"\t 误差 r="<<r<<endl; //for(int i=0;i<11;i++) //System.out.println("l1["+(i-5)+"]="+f[i]); m= m+0.2; } return 0; }
continue; else{ l1[k]=l1[k]*(m-x[p]); l2[k]=l2[k]*(x[k]-x[p]); } } } //多项式的每一项相加 for(int j=0;j<11;j++){ y=y+l1[j]*f[j]/l2[j]; } double h=5.0/(1+m*m); //精确值 double r=Math.abs(y-h); System.out.println(" 近似值 y="+y+" 精确值 h="+h+" //for(int i=0;i<11;i++) //System.out.println("l1["+(i-5)+"]="+f[i]); m= m+0.2; } } }
插值法的原理与应用
插值法的原理与应用1. 插值法的概述插值法是一种数值分析方法，用于在给定数据点集合上估计未知数据点的值。
该方法基于已知数据点之间的关系，通过建立一个插值函数来逼近未知数据点的值。
插值法在科学计算、工程应用和数据处理等领域都有广泛的应用。
2. 插值法的原理插值法的基本原理是在已知数据点上构造一个逼近函数f(x)，使得在该函数上的任意点x上的函数值等于对应的已知数据点。
常见的插值方法有多项式插值、样条插值和径向基函数插值等。
2.1 多项式插值多项式插值是一种简单而常用的插值方法，它假设插值函数f(x)是一个多项式函数。
通过选择合适的插值点和多项式次数，可以得到对给定数据集的良好逼近。
多项式插值的基本原理是通过求解一个关于插值点的线性方程组，确定插值多项式的系数。
然后，使用插值多项式对未知数据点进行逼近。
2.2 样条插值样条插值是一种光滑的插值方法，它通过使用分段多项式函数来逼近曲线或曲面。
样条插值的基本原理是将要插值的区间分成若干个小段，每个小段上都使用一个低次数的多项式函数逼近数据点。
为了使插值曲线光滑，相邻小段上的多项式函数需要满足一定的条件，如连续性和一阶或二阶导数连续性。
2.3 径向基函数插值径向基函数插值是一种基于径向基函数构造插值函数的方法，它的基本思想是通过使用径向基函数，将数据点映射到高维空间中进行插值。
径向基函数插值的基本原理是选择合适的径向基函数和插值点，将数据点映射到高维空间中，并使用线性组合的方式构造插值函数。
然后，使用插值函数对未知数据点进行逼近。
3. 插值法的应用插值法在科学计算、工程应用和数据处理等领域都有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景。
3.1 信号处理在信号处理中，经常需要通过对已知数据点进行插值来估计未知数据点的值。
例如，通过插值法可以从离散采样数据中恢复连续信号，并进行进一步的分析和处理。
3.2 机器学习在机器学习中，插值法可以用于对缺失数据进行估计。
通过对已知数据点进行插值，可以填补缺失的数据，以便进行后续的模型训练和预测。
数值分析中的(插值法)
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
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多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
科学计算器插值法使用指导
科学计算器插值法使用指导插值法是一种用于数学和科学计算的常见技术，用于估计在一组离散数据点之间的值。
它在各种领域，如工程、物理学、生物学和金融学等，都有广泛的应用。
本文将向您介绍插值法的使用指导。
1. 插值法的基本原理插值法是通过使用已知离散数据点来估计未知数据点的值。
这些已知数据点通常是在一个均匀或不均匀的网格上测得的。
插值方法可以分为多种类型，如线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等。
2. 线性插值法线性插值法是最简单的插值方法之一，假设已知数据点(x0, y0)和(x1, y1)，要估计一个点(x, y)。
线性插值法使用这两个已知数据点之间的直线来估计未知点的值。
线性插值的公式如下：y = y0 + (x - x0) * (y1 - y0) / (x1 - x0)3. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种更精确的插值方法，它使用一个多项式函数来逼近已知数据点。
假设有n+1个已知数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值的多项式表示如下：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中，li(x)是拉格朗日插值的基函数，定义如下：li(x) = Π(j ≠ i) (x - xj) / (xi - xj)4. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，它使用一个插值多项式来逼近已知数据点。
假设有n+1个已知数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值的多项式表示如下：P(x) = y0 + c0(x - x0) + c1(x - x0)(x - x1) + ... + cn(x - x0)(x -x1)...(x - xn-1)其中，cn是差商的系数，通过递归的方式计算。
差商的一般公式如下：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, xi+2, ..., xi+k] - f[xi, xi+1, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)5. 插值法的注意事项在使用插值法时，需要注意以下几点：- 插值方法的选择：根据实际问题和数据特点，选择合适的插值方法。
第5章插值法
第5章插值法第五章代数插值在⽣产实践和科学研究所遇到的⼤量函数中，相当⼀部分是通过测量或实验得到的。
虽然其函数关系y=f(x)在某个区间［a ，b ］上是客观存在的，但是却不知道具体的解析表达式，只能通过观察、测量或实验得到函数在区间［a ，b ］上⼀些离散点上的函数值、导数值等，因此，希望对这样的函数⽤⼀个⽐较简单的函数表达式来近似地给出整体上的描述。
还有些函数，虽然有明确的解析表达式，但却过于复杂⽽不便于进⾏理论分析和数值计算，同样希望构造⼀个既能反映函数的特性⼜便于计算的简单函数，近似代替原来的函数。
插值法就是寻求近似函数的⽅法之⼀。
在⽤插值法寻求近似函数的过程中，根据所讨论问题的特点，对简单函数的类型可有不同的选取，如多项式、有理式、三⾓函数等，其中多项式结构简单，并有良好的性质，便于数值计算和理论分析，因此被⼴泛采⽤。
本章主要介绍多项式插值、分段多项式插值和样条插值。
第⼀节插值多项式的存在唯⼀性5.1.1 插值问题设函数y=f(x)在区间［a,b ］上有定义n y y y ,...,,10且已知函数在区间［a,b ］上n+1个互异点n x x x ,...,10上的函数值，若存在⼀个简单函数y=p(x )，使其经过y=f(x)上的这n+1个已知点(00,y x ),(11,y x ),…，(n n y x ,)5-1），即p(i x )= i y ,i=0,1,…,n那么，函数p(x)称为插值函数，点n x x x ,...,10称为插节点，点(00,y x ),(11,y x ),…，(n n y x ,)a,b ］称为插值区间,求p (x)的⽅法称为插值法，f(x)称为被插函数。
若p(x)是次数不超过n 的多项式,⽤P n(x)表⽰，即n n n x a x a x a a x p ++++=...)(2210 则称)(x p n 为n 次插值多项式，相应的插值法称为多项式插值；若P(x)为分段多项式，称为分段插值，多项式插值和分段插值称为代数插值。
插值法
定理2.2: 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内
存在,在节点 ax0<x1<…<xnb上,满足插值
条件 (2.2)的插值多项式 Ln(x),对任一
x[a,b],插值余项为
f ( n1) ( x ) Rn ( x) f ( x) Ln ( x) n1 ( x) (n 1)! (2.5)
已知 (xk)=yk (k=0,1,…,n),在函数类P中寻找一 函数 (x)作为 (x)的近似表达式,使满足 (xk)=(xk)=yk ,k=0,1,…,n (2.2)
称 y=(x)为被插值函数; 称x0 , x1 ,…,xn为插值节点;
称(x)为插值函数; 称式(2.2)为插值条件;
例3: 求 (x)关于节点 x0,x1,x2的二次 Lagrange插值多 项式.
解
对节点x0,x1,x2的Lagrange插值基函数为
( x x1 )( x x 2 ) l 0 ( x) ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) l 2 ( x) ( x x 0 )( x x1 ) ( x 2 x 0 )( x 2 x1 ) ( x x 0 )( x x 2 ) , l1 ( x) ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ,
( n 1)
( x ) 所以 Rn ( x) (n 1)! n 1 ( x) f
( n 1)
若|(n+1)(x)|在[a,b]有上界Mn+1,则Lagrange插值 余项也可写成
M n 1 Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
例4 给定函数表
x 10 11 12 13
g(x) f(x)
拉格朗日插值法
01
收敛性分析是研究拉格朗日插值法的一个重要方面，它涉及到该方法在何种条 件下能够准确地逼近未知函数。
02
在理论上，如果已知数据点足够多且分布均匀，那么拉格朗日插值多项式就能 够很好地逼近未知函数。
03
然而，在实际应用中，由于计算复杂度和数据可获取性的限制，我们通常只能 使用有限数量的数据点进行插值。因此，收敛性分析对于确定拉格朗日插值法 的精度和适用范围具有重要意义。
拉格朗日插值法的几何意义
从几何意义上讲，拉格朗日插值 法是通过在已知数据点上放置一 个多项式曲线，使得该曲线尽可
能接近原始数据点。
这意味着，拉格朗日插值多项式 在每个已知数据点上取值为零， 而在其他点上取值与原函数相近。
这种几何意义有助于我们更好地 理解拉格朗日插值法的原理和应
用。
拉格朗日插值法的收敛性分析
在实际应用方面，可以考虑如何 优化拉格朗日插值法的计算效率 和存储需求，以适应大规模数据 处理的需要。此外，可以探索拉 格朗日插值法在其他领域的应用， 例如金融、生物信息学和环境科 学等。
另外，随着人工智能和机器学习 技术的不断发展，可以考虑如何 利用这些技术来改进拉格朗日插 值法，例如通过神经网络或其他 机器学习方法来自动选择合适的 插值模型和参数。这将有助于提 高插值精度和泛化能力，并减少 人工干预和主观判断的误差。
03
拉格朗日插值法还有一些局限性，例如对于非线性数据的 插值效果较差，且容易受到数据异常值的影响。为了解决 这些问题，研究者们提出了许多改进的方法，如样条插值 、克里格插值和局部加权散点平滑插值等。
对未来研究的建议和展望
未来研究可以进一步探讨拉格朗 日插值法的理论性质，例如其收 敛性和稳定性等。此外，可以研 究如何将拉格朗日插值法与其他 数学方法或机器学习方法相结合， 以提高其预测精度和泛化能力。
数值计算方法教案插值方法
复习：1.数值计算方法的含义 2．误差及误差限 3.误差与有效数字4.数值计算中应注意的问题第二章 插值方法一．插值的含义 问题提出：已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。
说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。
解决方法：构造一个简单函数()P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则用()P x '作为函数值()f x '的近似值。
二、泰勒（Taylor ）插值 1.问题提出：已知复杂函数()y f x =在0x 点的函数值()0f x ，求0x 附近另一点0x h +的函数值()0f x h +。
2.解决方法：构造一个代数多项式函数()n P x ，使得()n P x 与()f x 在0x x =点充分逼近。
泰勒多项式为：()()()()()()()()()200000002!!n n n f x f x P x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-显然，()n P x 与()f x 在0x x =点，具有相同的i 阶导数值（i=0,1,…,n ）。
3.几何意义为：()n P x 与()f x 都过点()()00,x f x ；()n P x 与()f x 在点()()00,x f x 处的切线重合； ()n P x 与()f x 在点()()00,x f x 处具有相同的凹凸性；其几何意义可以由下图描述，显然函数()3f x 能相对较好地在0x 点逼近()f x 。
4.误差分析（泰勒余项定理）：()()()()()()1101!n n n f P x f x x x n ξ++-=-+，其中ξ在0x 与x 之间。
5.举例：已知函数()f x ()115f 。
计算方法-第2章-1、插值法(拉格朗日插值)
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证明：假设在区间[a,b]上f(x)的插值多项式为 Ln ( x) 令
Rn ( x) f ( x) Ln ( x)
显然在插值节点为 xi (i 0,1,, n)上 Rn ( xi ) f ( xi ) Ln ( xi ) 0 , i 0,1,, n 因此Rn ( x)在[a, b]上至少有n 1个零点
(k 0,1,2,, n)
且
n1 ( x) Ln ( x) yk ' ( x x ) k 0 k n 1 ( xk )
n
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总 结
于是, y f ( x)在节点xi (i 0 ,1, , n)上, 以l j ( x) (i 0 ,1, , n) 为插值基函数的插值多 项式(记为Ln ( x))为
本章只讨论多项式插值与分段插值
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§ 2.2
拉格朗日插值
• 此插值问题可表述为如下： • 问题 求作次数 n 多项式 Ln ( x) ，使满足条件
Ln x yi , (i 0,1,, n)
• 这就是所谓的拉格朗日（Lagrange）插值。
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§ 2.2.1
线性插值的局限性
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三、抛物插值
问题 求作二次式 L2 ( x) ，使满足条件
L2 ( x j ) y j
( j k 1, k , k 1)
二次插值的几何解释是用通过三个点
的抛物线来近似考察曲线，故称为拋物插值。类似于线性 插值，构造基函数，要求满足下式：
L2(x) yk 1lk 1 ( x) yklk ( x) yk 1lk 1 ( x)
插值法与最小二乘法
样条插值
样条插值是一种更复杂的插值方法，通过构造样条函数（如多项式样条、 立方样条等）来逼近数据点。
样条插值通过已知的多个点确定一个样条函数，然源自利用这个样条函数来 计算其他点的值。
样条插值的优点是精度高，适应性强，但计算速度较慢，且需要更多的数 据点。
05
最小二乘法的具体实现
普通最小二乘法
定义
插值法的优缺点
插值法简单易行，能够快速得到未知点的估计值。但是，插值法假设数据点之间存在线性关系，对于 非线性数据可能存在较大的误差。此外，插值法无法给出估计值的精度和不确定性。
最小二乘法案例分析
最小二乘法在回归分析中的应用
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，来估计回归参数。例如， 在金融领域，可以使用最小二乘法对股票价格进行回归分析，预测未来的股票走势。
应用场景比较
插值法
插值法适用于已知数据点之间存在线性或非线性关系的情况，尤其适用于需要 快速估算未知数据点的情况。在科学计算、工程技术和金融领域都有广泛应用。
最小二乘法
最小二乘法适用于需要找到最佳函数匹配的情况，特别是当观测数据受到随机 误差影响时。在统计学、经济学、社会学等领域中，最小二乘法被广泛应用于 回归分析。
型的数据。
最小二乘法的缺点
最小二乘法对于存在多 重共线性的自变量较为 敏感，可能会导致模型 过拟合。此外，最小二 乘法假设误差项是随机 且相互独立的，这在某 些情况下可能不成立。
04
插值法的具体实现
线性插值
01
线性插值是最简单的插值方法，适用于数据点之间变化不大的 情况。
02
线性插值通过两点确定一条直线，然后利用这条直线的斜率和
插值方法总结范文
插值方法总结范文插值方法是一种通过已知的离散数据点来估计未知数据点的方法。
在科学计算和数据分析领域中，插值方法被广泛应用。
本文将对插值方法进行总结。
首先，最简单直接的插值方法是线性插值。
线性插值假设在两个已知数据点之间的未知数据点是在这两个已知数据点之间的直线上。
线性插值的计算很简单，只需要根据两个已知数据点的坐标和未知数据点的位置来计算直线上的点的数值。
然而，线性插值的精度有限，特别是当数据点之间的变化非常剧烈时。
在这种情况下，更好的插值方法是多项式插值。
多项式插值假设在已知数据点之间有一个多项式函数，可以通过已知数据点的坐标来确定多项式的系数。
然后，使用这个多项式来估计未知数据点的数值。
多项式插值的精度可以通过增加多项式的次数来提高。
然而，随着多项式的次数增加，插值结果可能会出现振荡或者不稳定的情况。
为了避免多项式插值的问题，其他插值方法被提出。
其中一种常用的方法是样条插值。
样条插值将插值区域分成多个小区间，在每个小区间内使用低次多项式进行插值。
这样，样条插值可以保持插值结果光滑，并减少插值误差。
样条插值的计算相对复杂，需要解线性方程组来确定每个小区间的多项式系数。
然而，样条插值可以提供比多项式插值更好的精度和稳定性。
除了多项式插值和样条插值，还有其他一些插值方法被应用。
例如，径向基函数插值使用径向基函数来估计未知数据点的数值。
这种方法对于高维数据和非结构化数据具有很好的效果。
另外，Kriging插值是一种基于统计学原理的插值方法，可以利用已知数据的空间相关性来估计未知数据点的值。
总之，插值方法是一种通过已知数据来估计未知数据的方法。
线性插值和多项式插值是简单直接的方法，但精度有限。
样条插值可以提供更好的精度和稳定性。
其他插值方法，如径向基函数插值和Kriging插值，可以适用于特定的数据结构和类型。
在实际应用中，需要根据问题的特点选择合适的插值方法。
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l1( x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2 ) x1 x2 )
l2 ( x)
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
二次插值函数: P(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2
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19/60
拉格朗日方法
插值条件:P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
P(x )=y 2020/10/6 n
n
a0 a1 xn an xnn yn
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范德蒙(Vandermonde)矩阵
1
x0
A
1
x1
1 xn
x0n
x1n
xnn
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13/60
已知函数表求满足:
P(x0)=y0 和 P(x1)=y1 的线性函数 P(x)。
x y
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趣例4: 工业设计
先是雷诺和雪铁龙工作的 Paul de Casteljau 和Pierre Bézier, 随后美国通用汽 车的其它人一起推动了现在称为三次样条和Bézier 样条的建立。样条是通过很少 的控制点就能够生成复杂平滑曲线的方法。
参考: /
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P( x) l0 ( x) y0 l1( x) y1
16/60
P( x) l0 ( x) y0 l1( x) y1
l0( x)
x x1 , x0 x1
l1( x)
x x1
x0 x0
1
x x1 1
x0 x1
P( x) y0 (1 ) y1
P( x) l0 ( x) y0 l1( x) y1 ln ( x) yn
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9/60
线性插值函数
(x0 ，y0)
(x1，y1) P(x)
x0
可见 是过
和
x1
两点的直线。
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抛物插值函数
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线,故称为抛物插值。
11
考虑区间[a , b]上(n+1)个点a ≤x0＜x1＜···＜xn≤b。
如果 P(x)=a0 + a1x +···+ anxn
求函数 P(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足:
P(x0)=y0 , P(x1)=y1, P(x2)=y2
P(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2 x x0 x1
y0 P( x0 ) 1 y0 0 y1 0 y2 l0(x) 1
0
y1 P( x1 ) 0 y0 1 y1 0 y2
满足 P(xk)= yk (k = 0,1,…,n)
插值条件
则称 P(x) 为 插值多项式, 称 x0, x1, ···, xn为 插
值节点。
由插值条件
P(x0)= y0 P(x1)=y1 ············
a0 a1 x0 a0 a1 x1
an x0n an x1n
y0 y1
x0 y0
过两点直线方程
P(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
P(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
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x1 y1
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The voyage of discovery is not in seeking new landscapes but in having new eyes.
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5/60
趣例5: 游戏与电影
Ref:20h2t0t/1p0:/6///art/movies/462393-special-effects-dawnplanet-apes/
6/60
数据和插值函数
如果一个函数P(x)满足P(xi) =yi (i=0,…, n), 那么 函数P(x)插值了一系列数据点(x0,y0 ), ···(xn,yn )， 其中P(x)称为插值函数,点x0 , ···,xn称为插值节点。
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已知函数表求满足:
x
P(x0)=y0和P(x1)=y1 y
的线性函数 P(x)
x0 y0
x1 y1
过两点直线方程
P(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
引例 求 115 的近似值 真实值: 10.7238
115 10 11 10 (115 100) 10.7143 121 100
---- Marcel Proust
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P(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
记
l0( x)
x x1 , x0 x1
l1( x)
x x1
x0 x0
x
x0
x1
l0(x) 1
0
l1(x) 0
1
y0 P( x0 ) 1 y0 0 y1, y1 P( x1 ) 0 y0 1 y1
趣例1: 图像放大
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1/60
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2/60
趣例2: 图像修复
2020/10/6
Non-damaged
Damaged
3/60
趣例3: 数据可视化
/talks/david_mccandless_the_beauty_of_data_vis ualization?language=zh-cn
y2
P( x 2020/10/6 1
)
0 y0
0 y1
1 y2
l1(x) 0 l2(x) 0
1 0
x2 0 0 1
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x x0 x1 x2 l0(x) 1 0 0 l1(x) 0 1 0 l2(x) 0 0 1
l0 (
x)
(x ( x0
x1 )( x1 )(
x x2 ) x0 x2 )
P(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
函数是描述自然界客观规律的重要工具。
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插值函数类的选择:
选择多项式函数的理由: 计算方面多项式函数是计算机最基本的函 数, 计算多项式函数的值只需用加和乘运算, 且 积分和微分均非常方便。 理论方面多项式函数简单明了的数学性质。 有一个简单的原理可以说明什么时候存在给定 次数的插值多项式。
I=imread('yao.png'); J=imread(ha=1:-0.01:0
K=alpha*I+(1-alpha)*J; pause(0.3),imshow(K,[]) end
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二次插值问题
已知函数表 x
x0
x1
x2
y
y0
y1
y2