清华 电磁感应习题课

V
d B r cot 30 dr
c
l
d
0
线框中总感应电动势为：
o'
2 3 B l 4

b
2 ab
b 2 a d 2 B cot 30 0 2 rdr
线框中的感应电流：
3Bl 2 I R 4R

方向：a→b→c→a
R/3
ab段的电阻为R/3，等效电路为： 由欧姆定律有：
d

c
d
VB
R) U ad U a U d ab I ( R 3 6 0
o'

b
a、d电势相同。 方法二：法拉第电磁感应定律 设：闭合回路任意时刻法线方向与磁场夹角为 ， 则该时刻穿过回路的磁通为：
m B S BS cos
S 为此回路面积大小。
Ek V B
感生电场力
⑶ 计算：
非静电性场强： 感生电场的场强
⑴ 动生电动势： ⑵ 感生电动势： ⑶ 计算： A. 动生电动势： 回路： B. 感生电动势：
ab
b a (V B ) dl
i (V B ) dl b ab a E涡 dl
⑵ 用恒定电动势为 的电池来代替 G , a 导线的速率将趋于一个恒 定的值， V I 这个收尾速率是多少?此时回路中的 l F 电流是多少? 导线开始运动后，其上产生动生电动势： b
i
b a (V B ) dl
VBl


B
E涡 0 (ad // bc ) E涡
取abcda环路上的面元

b E涡 dl a E涡 dl E涡l
ds ldrn B ds E涡 dl S t
b 0 k r ldr 2 r

0 k b l ln 2 a
F IBlΒιβλιοθήκη 方向如图由牛二律得：
dV F IBl m dt
a V I l F b

B
G
mdV IBldt
IBl V t m
V 0
t m dV 0 IBl dt mV IBlt
方向：
F

a
l/k
o
l
B
b
2 oa 1 B ( l / k ) 2
方向：a→o
2 ob 1 B ( l l / k ) 2
即：U o Ua
方向：b→o
即：U o Ub
2 oa 1 B ( l / k ) 2 2 ob 1 B ( l l / k ) 2
d d i B ds dt dt dB d 2 dB d s B ds L dt dt dt
0
(符合楞次定律)



a

d
故：感应电动势方向 顺时针
⑵ a 点感应电场的大小，并画出 a、b、c、d 各点的感应电场方向 磁场轴对称， 所激发涡旋电场也轴对称。 即：涡旋电场的电场线是以o为心的一系 列同心圆，
可以产生此磁场的电流必平行oo′，且方向向下。 即：感生电场方向//oo′向下，且距oo′等距离点场强相同。
⑵ 两柱面间任一点的感生电场强度 取图示阴影截面(沿径向) 此面上任一点A的磁场大小为：
o
B
B'
a
I B 0 2 r
d L
dr
I
a
A
b
方向：⊙
c
r
l
I
E涡
b
o'
过A点作矩形环路L，且其中两边平行于轴，环向顺时针。则：
o
B
B'
a

d L
dr
I
a
A
b
dB S ldr cos dt
c
r
l
I
E涡
b
o'
dB 0 k dt 2 r
0 k b l ln 2 r
0 k b E涡 ln 2 r
方向：平行于轴向下 ⑶ 内外柱面间沿轴方向长为 l 的感应电动势

b a E涡 dl
m B S BS cos
V⊙
o
a

B
dl
线框中总感应电动势大小：
d m dt d BS sin dt
3 2 l 4
r
V

c
d
VB
o'


b
BS sin B sin
2 3 B l 4
当线框处于图示位置时，
图示位置：框上任一点有 V B
V⊙
a

B
r
V
bc：
(V B ) // oo' bc动 0 (V B ) dl

dl
c
d
V B
o'

b
根据对称性： ab与ac上产生的动生电动势大小相等。
在ab上取图示方向的线元 dl ，
回路：
i L E涡 dl
d B S ds dt t
S是以L为边的任意面 L的正绕向与S的法向成右手系
C. 法拉第电磁感应定律：
d i dt
S B ds
二、涡旋电场（感生电场）：
源于变化的磁场：
性质：
B dS E涡 dl t E d s 0 涡
=90
电动势方向：
根据楞次定律可判断
例3：有一质量为 m 的金属导线，可在两根相距为 l 的轨道上无摩 擦地滑动，且其运动平面处于一个与之垂直的匀强磁场 B中。 ⑴ 恒定电流 I 从发电机 G 流出，沿导轨及导线 ba 流回。求:金 属导线的速率随时间变化的函数关系（设：t =0 时，V=0 ）； ⑵ 用恒定电动势为 的电池来代替 G ,导线的速率将趋于一个 恒定的值，这个收尾速率是多少?此时回路中的电流是多少? 解：⑴ 通电后， ba在磁场中受磁力：
b c d a E涡 dl a E涡 dl b E涡 dl c E涡 dl d E涡 dl
柱外： B 0
ab间上下对边：
b E涡 dl a E涡 dl E涡l
ds ldrn
=30
线元 dl 上的动生电动势为： d (V B ) dl VBdl cos 30
d (V B ) dl VB cos 30 dl
V r
dr dl sin 30

V⊙
o
a

B
r dr dl
V B
方向：a→o 方向：b→o
即：U o Ua 即：U o Ub
设：o 点为电势零点，则：
2 Ua 1 B ( l / k ) 2 2 Ub 1 B ( l l / k ) 2
a、b 两点的电势差：
2 2) B l ( 1 Uab Ua Ub 1 2 k
小结
一、电动势及其计算：
1. 定义：
A q


(内)
Ek dl
L Ek dl
(闭合回路)
反映了电源中非静电力做功的能力。
2. 动生、感生电动势及其实质：
⑴ 动生电动势： 实质 非静电力： 非静电性场强： ⑵ 感生电动势： 实质 非静电力： 洛伦兹力
2 dB
dt
r dB L dB 2 dt 4 dt
o Ea a
∟
∟
Eb c b

Ec
d Ed
例2：两无限长同轴圆柱面，内外半径分别为a、b，电流从内圆 柱面流去，经由外圆柱面流回。若柱面上电流的变化率为： dI/dt=k > 0 。 求： ⑴ 感生电场分布；⑵ 两柱面间任一点的感生电场强度； ⑶ 内外柱面间沿轴方向长为 l 的感应电动势。 o
i

根据欧姆定律： i
ba 受磁力：
i R R
方向： a→b BVl
R
(设为原电流方向)
Fi Bil
由牛二律得：

V 0
dV Fi Bl BVl ( ) dt m m R
dV t Bl 0 dt BVl mR
ab I a
b
2 3 0 B l U ab U a U b ab I R 24 3
Ua Ub
2 ab
2 3 B l 4
3Bl 2 I 4R
同理，ad 段有：
V⊙
o
a

B
dl
r
V
ab I a
R/3
b
R/6
三、自感和互感：
LI
dI L L dt dI1 12 M dt
12 MI1
四、磁场的能量：
1. 概念： 磁能储存于磁场中，凡有磁场的地方就有磁能。
2. 公式：
⑴ 载流线圈的磁能：
1 2 Wm LI 2
⑵ 磁能密度：
1 B2 1 1 wm H 2 BH 2 2 2
⑶ 任意磁场空间的磁能：
Wm V wmdV
五、麦氏方程组：
1. 位移电流：
位移电流密度 位移电流
D Jd t