〖6套试卷汇总〗福建省福州市2020年高二(上)数学期末学业质量监测模拟试题

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福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)word

2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12iz i+=，则z =( )A. 5B. 3C.D. 22.命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A. 0R α∃∈，0tan 1α< B. 0R α∃∈，0tan 1α≤ C. R α∀∈，tan 1α<D. R α∀∈，tan 1α≤3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±4.实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数()sin 2xf x x=，则()'f x =( ) A. 2cos 2sin 2x x x x -B.2cos 2sin 2x x xx +C. 22cos 2sin 2x x x x- D. 22cos 2sin 2x x x x+ 6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A. 30/km hB. /hC. /hD. 60/km h7.已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( )A.)1,0B.)1,0C.)1,0D. ()4,08.已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A. ()2,1-B. ()()2,11,1--⋃-C. ()1,2D. ()(3,13--⋃二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A. 是团员，且体育成绩达标 B. 是团员，且体育成绩不达标 C. 不是团员，且体育成绩达标D. 不是团员，且体育成绩不达标10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A. 11//A C 平面CEFB. 1B D ⊥平面CEFC. 112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u rD. 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等11.已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A. ()f x 是奇函数B. 若()f x 是增函数，则1a ≤C. 当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D. 当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12.已知椭圆C ：22142x y +=左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A. 四边形12AF BF 为平行四边形B. 1290F PF ∠<︒C. 直线BE 的斜率为12k D. 90PAB ∠>︒第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线()xf x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为______.14.已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.15.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且122PF PF =，则M 的离心率为______.16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()()()21z mi i m R =--∈. (1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 18.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点)2,0A ，()0,1B .(1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积. 19.已知函数()321323mx mx x f x =--+3x =处有极小值.(1)求实数m 的值；(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值.20.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =.(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值.21.在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.22.已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：11ln 0x e x x -+>.2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12iz i+=，则z =( ) A. 5 B. 3C.5 D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据模长的性质求解即可.【详解】因为12i z i+=,故121i z i +===故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的运算,属于基础题. 2.命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A. 0R α∃∈，0tan 1α< B. 0R α∃∈，0tan 1α≤ C. R α∀∈，tan 1α< D. R α∀∈，tan 1α≤【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定直接判断即可.【详解】命题“0R α∃∈,0tan 1α>”的否定是“R α∀∈,tan 1α≤”. 故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题.3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据渐近线公式直接得到答案.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±.故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.4.实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】实数a ＞1，b ＞1，由不等式性质知a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12，即可判断出结论. 【详解】实数a ＞1，b ＞1⇒a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12. ∴a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.已知函数()sin 2xf x x=，则()'f x =( ) A. 2cos 2sin 2x x x x -B.2cos 2sin 2x x xx +C. 22cos 2sin 2x x x x- D. 22cos 2sin 2x x x x+ 【答案】C 【解析】【分析】根据分式的求导法则求解即可. 【详解】因为()sin 2x f x x =,故()()22sin 2'sin 2'2cos 2sin 2'x x x x x x x f x x x -⋅-==.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的分式运算,属于基础题.6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A. 30/km hB. /hC. /hD. 60/km h【答案】A 【解析】【分析】根据题意列出总费用与航速的关系,再求导分析函数的单调性与最值求解即可.【详解】由题, 100km 的航程需要100x 小时,故总的费用31100()540100f x x x x⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭.即254000()100f x x x =++.故()32222700054000'()2x f x x x x-=-=. 令'()0f x =有30x =.故当030x <<时'()0f x <,()f x 单调递减,当30x >时'()0f x >,()f x 单调递增. 使得航行的总费用最少,航速应为30/km h 故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际问题中最值问题,需要根据题意列出关于航速的函数解析式,再求导分析单调性与最值即可.属于中档题.7.已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( ) A.)1,0B.)1,0C.)1,0D. ()4,0【答案】C 【解析】【分析】求得,,A B F 的坐标表达式,再根据0AB BF ⋅=u u u r u u u r求解即可.【详解】由题,()2,0A -,()0,B b , )F.因为0AB BF ⋅=u u u r u u u r,故())2,0b b ⋅-=.即()()2224244220b b b b =⇒+=⇒-=.故22b =.1==.故F 的坐标为)1,0.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线中的顶点、虚轴顶点与焦点的坐标关系与向量数量积的运用,需要根据题意求得对应的坐标,利用数量积公式求解.属于中档题.8.已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A. ()2,1-B. ()()2,11,1--⋃-C. ()1,2D. ()(3,13--⋃【答案】B 【解析】【分析】分()2,1x ∈--与()1,2x ∈-两种情况,根据导数与单调性的关系观察求解即可. 【详解】当()2,1x ∈--时,若()'01f x x >+则()'0f x <,此时函数单调递减,故()2,1x ∈--. 当()1,2x ∈-时,若()'01f x x >+则()'0f x >,此时函数单调递增,故()1,1x ∈-. 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与分段求解不等式的方法,属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A. 是团员，且体育成绩达标 B. 是团员，且体育成绩不达标 C. 不是团员，且体育成绩达标 D. 不是团员，且体育成绩不达标【答案】AC【解析】【分析】根据题意逐个选项判定即可.【详解】对A, 是团员,且体育成绩达标同时满足①②,满足资格. 对B , 是团员,且体育成绩不达标不满足②,不满足资格.对C, 不是团员,且体育成绩达标,故可能为班干部且体育成绩达标.满足资格. 对D, 不是团员,且体育成绩不达标一定不满足②,不满足资格. 故选：AC【点睛】本题主要考查了实际问题中的逻辑推理的运用,属于基础题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A. 11//A C 平面CEFB. 1B D ⊥平面CEFC. 112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u rD. 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等【答案】AC 【解析】【分析】对A,根据11//A C EF 判定即可.对B,建立空间直角坐标系证明1B D 与平面CEF 中的CF 不垂直即可. 对C, 建立空间直角坐标系计算即可.对D,判断点D 与点1B 的中点是否在平面CEF 上即可.【详解】对A,因为E ,F 分别是11A D 和11C D 的中点故11//EF A C ,故11//A C 平面CEF 成立.对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体1111ABCD A B C D -边长为2则()12,2,2B D =---u u u u r，()0,1,2FC =-u u u r .故101430B D FC ⋅=-+=≠u u u u r u u u r .故1,B D FC u u u u r u u u r不互相垂直.又CF 属于平面CEF .故1B D ⊥平面CEF 不成立.对C,同B 空间直角坐标系有()1,2,2CE =-u u u r ,112DA DD DC +-u u ur u u u r u u u r()()()()12,0,00,0,20,2,01,2,22=+-=-.故112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r 成立.对D, 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等则点D 与点1B 中点O 在平面CEF 上.连接,AC AE 易得平面CEF 即平面CAEF .又点D 与点1B 中点O 在11A ACC 上,故点O 不在平面CEF 上.故D 不成立.故选：AC【点睛】本题主要考查了空间中的线面关系和利用空间直角坐标系判定垂直的方法与空间向量的运算等.属于中档题.11.已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( )A. ()f x 是奇函数B. 若()f x 是增函数，则1a ≤C. 当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D. 当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ABD 【解析】【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 对B,求导后利用恒成立问题分析即可.对C,根据单调性分析即可.对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可.【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.对B, ()2'cos 3f x x x a =+-,因为()f x 是增函数故2cos 30x x a +-≥恒成立.即2cos 3a x x ≤+恒成立.令2()cos 3g x x x =+,则'()6sin g x x x =-, 因为''()6cos 0g x x =->,故'()6sin g x x x =-单调递增,又'(0)0g =,故当0x <时)'(0g x <,当0x >时'()0g x >.故2()cos 3g x x x =+最小值为(0)1g =.故1a ≤.故B 正确.对C,当3a =-时由B 选项知,()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时()3sin 3f x x x x =+-,()2'cos 33f x x x =+-,令2cos 330x x +-=则有2cos 33x x =-.作出2cos ,33y x y x ==-的图像易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数()f x 恰有两个极值点.故D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与极值点等问题,属于中档题.12.已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A. 四边形12AF BF 为平行四边形B. 1290F PF ∠<︒C. 直线BE 的斜率为12k D. 90PAB ∠>︒【答案】ABC 【解析】【分析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据12F PF ∠的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明90PAB ∠=︒即可.【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B ,根据椭圆的性质有当P 在上下顶点时,2OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确.对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C 正确. 对D, 设(),P x y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-. 又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线()xf x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】1y = 【解析】【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】因为()xf x e x =-,故()'1x f x e =-,故()0'010f e =-=,又()0001f e =-=,故()xf x e x=-在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. 故答案为：1y =【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解切线方程的问题,属于基础题.14.已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.【答案】32【解析】【分析】根据面的法向量与平行于面的向量垂直求解即可.【详解】由题, ()()1,2,12,,12210n a λλ⋅=-⋅-=-+-=r r ,解得32λ=.故答案为：32【点睛】本题主要考查了法向量的性质应用,属于基础题.15.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N 的一个公共点，且12PF =，则M 的离心率为______.【答案】21- 【解析】【分析】根据抛物线与椭圆的定义转化边角关系求解即可.【详解】由抛物线的定义可知,准线为过左焦点且垂直与x 轴的直线.作1PQ F Q ⊥,则2PF PQ =, 又122PF PF =,故222211122QF PF PQ PF PF PF PQ =-=-==.故1PFQ V 为等腰直角三角形.故14PF Q π∠=,又1122PFQ PF F π∠+∠=,故124PF F π∠=.又122PF PF =,同理可得122F F PF =.故12PF F △也为等腰直角三角形.故椭圆离心率为1212221221F F c e a PF PF ====-++.21-【点睛】本题主要考查了根据抛物线与椭圆的定义与三角形中的关系求解椭圆离心率的问题,属于中档题. 16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.【答案】 (1). 2 (2). 25【解析】【分析】(1)根据PC DE ⊥与鳖臑的性质证明DE ⊥平面PAC 再求解即可.(2)根据(1)中的计算可知PC 垂直于D 所在的平面,再得出PC 垂直于E 在平面内的轨迹再计算长度即可. 【详解】(1)当E 在AC 上时,因为PA ⊥平面ABC ,故PA DE ⊥,又PC DE ⊥,故DE ⊥平面PAC . 故DE AC ⊥.又90ACB ∠=︒,D 为AB 中点,故//DE BC 所以E 为AC 中点. 故122AE AC ==. (2)取AC 中点F 则由(1)有DF ⊥平面PAC ,故PC DF ⊥,又PC DE ⊥, 设平面DEF PC G ⋂=则有PC ⊥平面DGF .故点E 的轨迹为FG .又此时2CF =,1tan 2PA PCA AC ∠==,故22sin 512PCA ∠==+.所以25sin 55FG CF PCA =⋅∠==.故答案为：(1). 2 (2).25【点睛】本题主要考查了根据线面垂直与线面垂直的性质求解立体几何中的轨迹问题,需要根据垂直关系求解对应的线段长度.属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()()()21z mi i m R =--∈. (1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 【答案】(1)2；(2)(),2-∞-. 【解析】【分析】(1)利用复数的乘法化简z 再根据纯虚数的定义计算即可.(2)求得()()22z m m i =-++,再根据复数的象限求得实部与虚部的范围即可. 【详解】(1)()()()()2122z mi i m m i =--=--+,由2020m m -=⎧⎨+≠⎩,得2m =.(2)由(1)知,()()22z m m i =-++, 因为复数z 在复平面上对应的点在第四象限, 所以2020m m ->⎧⎨+<⎩,解得2m <-,所以m 的取值范围为(),2-∞-.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与基本概念和几何意义.属于基础题.18.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点)A ，()0,1B .(1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.【答案】(1)2212x y +=；(2)23.【分析】(1)根据椭圆的基本量求解即可.(2)联立直线与椭圆的方程,求出交点的纵坐标,再根据OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+求解即可. 【详解】(1)依题意,A ,B 分别为椭圆E 的右顶点、上顶点,E 的焦点在x 轴上.设E 的方程为()222210x y a b a b+=>>,则a =1b =,所以E 的方程为2212x y +=.(2)设()11,P x y ,()22,Q x y ,不妨设12y y >, 依题意,直线l 的方程为1y x =-.由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩,得23210y y +-=, 解得113y =,21y =-, 记点()1,0为F ,则OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+1212OF y y =- 14123=⨯⨯ 23=. 所以OPQ ∆的面积为23. 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及直线与椭圆联立求三角形面积的问题,属于中档题. 19.已知函数()321323mx mx x f x =--+在3x =处有极小值. (1)求实数m 的值；(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值. 【答案】(1)1；(2)()f x 的最小值为703-，最大值为113. 【解析】(1)求导后根据()'30f =求解再检验所得的值是否满足题意即可.(2) 由(1)得()2'23f x x x =--,再求得极值点列表分析函数单调性再求最值即可.【详解】(1)依题意,()223'f mx x x m =--,因为()f x 在3x =处有极小值, 所以()'3330f m =-=, 解得1m =.经检验,1m =符合题意,故m 的值为1.(2)由(1)得()2'23f x x x =--,令()'0f x =,得3x =或1x =-.当x 变化时,()'f x ,()f x 的变化情况如下表：x-4()4,1---1()1,3-3()3,44()'f x+0 -0 +()f x703-Z113]-7Z143-由上表可知,()f x 的最小值为703-； ()f x 的最大值为113. 【点睛】本题主要考查了根据函数的极值点求解参数以及求导分析函数的单调性的问题,属于中档题. 20.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =.(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)36. 【解析】【分析】(1) 过点B 作BF CD ⊥,垂足为F ,连接BE .再分别证明PE EB ⊥与PE EA ⊥即可.(2) 分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,再根据空间向量求解线面所成的角即可.【详解】(1)证明：过点B 作BF CD ⊥,垂足为F ,则1EF AB ==,12CD E DE CF F==-=, 连接BE ,依题意,AED ∆为等腰直角三角形,故1AE DE ==,又AE DE ⊥,故AE AB ⊥,所以222EB EA AB =+=,在四棱锥P ABCE -中,因为3PB =,1PE DE ==,所以222PE EB PB +=,故PE EB ⊥, 因为PE EA ⊥,EA EB E =I ,且,EA EB ⊂平面ABCE ,所以PE ⊥平面ABCE .(2)由(1)知,PE ⊥平面ABCE ,所以PE EA ⊥,PE EC ⊥,又AE EC ⊥,所以EA ,EC ,EP 两两垂直.以E 为原点,分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则各点坐标为：()0,0,0E ,()0,0,1P ,()1,0,0A ,()1,1,0B ,()0,2,0C , ()1,0,1PA =-u u u r ,()0,2,1=-u u u r PC ,()1,1,0BC =-uu u r,设平面PBC法向量为(),,n x y z =r,则00n PC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v,故200y z x y -=⎧⎨-+=⎩, 取1y =,故()1,1,2n =r.所以3626cos ,PA n PA n PA n⋅=⨯==-u u u r ru u u r r u u u r r . 设直线PA 与平面PBC 所成角为θ,则3sin cos ,6PA n θ==u u u r r .【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与建立空间直角坐标系求解线面角的问题,属于中档题.21.在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =；(2)是，()1,0-和()3,0.【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以AB 为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可.【详解】(1)连接MF ,则MD MF =, 则根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线.则点M 的轨迹的方程为24y x =.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=, 216160m ∆=+>,124y y m +=,124y y =-,直线OP 的方程为1114y y x x x y ==, 同理：直线OQ 的方程为24y x y =, 令1x =得,141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,241,B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ,则1T x =,()12121244222T y y y y y m y y ++===-, 所以()1,2T m -.122112444A y y y y y y B -==-==.圆的半径为2r =. 所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+.展开可得()22144x y my -++=,令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-.所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.(2)①当直线PQ 不与x 轴垂直时,设其方程为()()10y k x k =-≠,()11,P x y ,()22,Q x y ,由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得,()2222240k x k x k -++=,所以()224224416160k k k ∆=+-=+>,212224k x x k++=,121=x x . 所以()()()22121212121114y y k x x k x x x x =-⎡⎤⎣-=++⎦-=-,()()2112211211x y x y kx x kx x +=-+-()121242k x x x x k=-+=-⎡⎤⎣⎦, 直线OP 的方程为11y y x x =,同理可得,直线OQ 的方程为22y y x x =, 令1x =得,111,y A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,y B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 即()22212112121210x y x y y y x y y x x x x +-+-+=, 即()220144y x y k++-=-, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-.所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.②当直线PQ 与x 轴垂直时,()1,2A ,()1,2B -,以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=,也经过点()1,0-和()3,0.综上,以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题.22.已知函数()()ln 0f x ax x a =≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：11ln 0x e x x -+>. 【答案】(1)当0a >时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)求导后分0a >与0a <两种情况分析导数的正负从而求得原函数的单调性即可.(2)根据(1)中的结论,求得()f x 最小值从而得出当0x >时,1ln x x e -≤,再构造函数式证明11ln 0x e x x -+>.或构造()1ln x g x e x x -=+,求导后根据隐零点的方法证明.【详解】(1)依题意,()f x 的定义域为()0,∞+,()()'ln 1f x a x =+, 当10x e<<时,ln 10x +<；当1x e >时,ln 10x +>. ①当0a >时,若10x e <<,则()'0f x <；若1x e >,则()'0f x >. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ②当0a <时,若10x e <<,则()'0f x >；若1x e >,则()'0f x <. 所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上,当0a >时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)法一：由(1)知,当1a =-时,()ln f x x x =-,在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 1111ln f x e e e e f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭, 故当0x >时,1ln x x e -≤. 又当0x >时,1011x ee e -->=, 所以当0x >时,11ln x e ex x ->≥-,故1ln 0x e x x -+>,所以11ln 0x e x x -+>. (2)法二：令()1ln x g x ex x -=+,则()1'ln 1x g x e x -=++, 令()1ln 1x h x e x -=++,则()h x 为增函数,且21121210c h e e -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭,111110e h e e -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭, 所以()h x 有唯一的零点0x ,0211,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 所以当00x x <<时,()'0g x <,()g x 为减函数；当0x x >时,()g x 为增函数.所以()()01000ln x e g x g x x x -=+≥.由(1)知,当1a =时,()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,故 ()01e f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即001ln x x e >-, 所以()()()0010111110x x g x e e e e ee ->-=->-=, 所以1ln 0x e x x -+>,故11ln 0x e x x -+>. 【点睛】本题主要考查了分类讨论求解函数的单调性问题以及利用导数求解函数单调性与最值从而证明不等式的问题.属于难题.。

福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题

福建省2020学年高二数学上学期期末考试试题

高二数学上学期期末考试试题本试卷有第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分. 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第II 卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

第I 卷（选择题共60分）一、单项选择题: 本题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2673,11,a a S ===则A ．51B ．50C ．49D ．482. “1x >且2y >”是“3x y +>”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. 已知双曲线的渐近线方程为y =，实轴长为4，则该双曲线的方程为 A ．22142x y -= B ．22142x y -=或22148y x -= C ．221168x y -= D ．221168x y -=或2211632y x -= 4. 已知正方体1111,ABCD A B C D - 点E 是上底面11A C 的中心, 若1AE AA xAB y AD =++, 则x y +等于 A. 13 B. 12C. 1D. 25. 如果实数x ,y 满足条件1,220,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2z x y =+的最大值为 A. 1 B ．2 C ．4 D ．56. 设0,0a b >>，若1是2a 与b 的等差中项，则21a b+的最小值为 A. 5 B ．92C ．4D ．37. 已知数列{}n a 满足11a =，1(2)n n a a n n --=≥, 则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2019项和等于A.20191010 B. 40402021C. 20192020D. 403620198. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，1,BC=1CC =，则异面直线1AB 与1BC所成角的大小为A ．60︒B ．60︒或120︒C ．45︒D ．135︒或45︒9. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，直线l 与双曲线C 的左支交于E 点，且H 恰为线段2EF 的中点，则双曲线C 的离心率为 ABCD10. “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物第8题图单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的45. 若这堆货物总价是425655n⎛⎫- ⎪⎝⎭万元，则n 的值为A ．7B ．8C ．9D ．10二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分 11. 若0a b >>，则下列不等式中正确的是A.11a b> B.11a b a <- C. 2211a b c c >++ D. 22a b >12. 如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是A. 平面11D A P ⊥平面1A APB. 1AP DC ⋅不是定值C. 11B D PC -三棱锥的体积为定值D. 11DC D P ⊥第II 卷（非选择题共90分）三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置 13. 命题“2,13x R x x ∀∈+≤”的否定是：________________14. 已知直线l 与椭圆22184x y +=交于,A B 两点, 若AB 的中点坐标为(1,1)-, 则直线l 的方程是________________15. 设不等式220x x --≤的解集为A , 关于x 的不等式220x x a -+≤（a 为常数）的解集为B ，若A B ⊆，则a 的取值范围是________________16. 顶点在坐标原点，焦点为(0,1)F 的抛物线上有一动点A ，圆22(1)(4)1x y ++-=上有一动点M ，则||||AM AF +的最小值等于__________ ，此时||||AF AM 等于__________ (本小题第一个空3分，第二个空2分)四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）已知命题p : x R ∀∈，()2110x a x -++>；命题 q : 函数2()2f x x ax =-在区间(),0-∞ 上单调递减．（Ⅰ）若命题p 为真命题，求a 的取值范围；（Ⅱ）若命题p q ∨为假命题，求a 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S , 12a =，12n n a S +=+．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足221log n n n b a a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19. （本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，90o ADC ∠=，1BC CD ==，2AD =，PA PD ==E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证:BE ∥平面PCD ；（Ⅱ）若点F 在线段PC 上, 满足23PF PC =，求直线PA 与平面ADF 所成角的正弦值．20. （本小题满分12分）设抛物线Γ：22(0)y px p =>上一点(4,)P m 到焦点F 的距离为5．（背面还有试题）（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；（Ⅱ）过点(2,0)Q 的直线1l 与抛物线Γ交于,A B 两点, 过点A 作直线2:2l x =-的垂线，垂足为A '，判断: A O B '、、三点是否共线，并说明理由．21. (本小题满分12分)随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：415,t t N ≤≤∈，平均每趟地铁的载客人数()f t （单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：()()21250109,491250,915t t f t t ⎧⎪--≤<=⎨≤≤⎪⎩，其中t N ∈．（Ⅰ）若平均每趟地铁的载客人数不超过1000人，试求发车时间间隔t 的值；（Ⅱ）若平均每趟地铁每分钟的净收益为[]6()930()f t g t t-=415,()t t N ≤≤∈（单位：元），问当发车时间间隔t 为多少分钟时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．22.（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为4)3P ，直线l 与圆O : 221x y +=相切，且与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求三角形OAB 面积的取值范围．稿纸数学试题参考答案及评分标准说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、单项选择题: 本题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1. C2. A 3．B 4. C 5. C 6. B 7. A 8．C 9. D 10. B二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分。

福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试卷(理科) (含解析)

2019-2020学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆=1的焦距为2，则m的值是（）A．6或2 B．5 C．1或9 D．3或52．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β3．已知实数m是2，8的等比中项，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．4．f（x）=cosx﹣sinx在下列哪个区间上是单调递减的（）A．B．[﹣π，0] C．[0，π] D．5．已知函数f（x）=x+e x，g（x）=x+lnx，h（x）=lnx﹣1的零点依次为a，b，c，则a，b，c从大到小的顺序为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b6．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．167．对任意的实数a、b，记．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=l时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x ≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）C．y=F（x）在（﹣3，0）上为增函数D．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为28．直线y=2x+m和圆x2+y2=1交于点A，B，以x轴的正方向为始边，OA为终边（O是坐标原点）的角为α，OB为终边的角为β，若|AB|=，那么sin（α﹣β）的值是（）A．B．C．D．9．已知数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn﹣1=n，则S2015的值为（）A．2015 B．2013 C．1008 D．100710．若x，y满足约束条件，目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是（）A．[﹣6，2] B．（﹣6，2）C．[﹣3，1] D．（﹣3，1）11．设P是椭圆+=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，1212．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f （x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k= ．14．以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是．15．曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线围成的封闭图形的面积是．16．已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知函数f （x ）=|x ﹣1|，g （x ）=﹣x 2+6x ﹣5．（1）若g （x ）≥f （x ），求实数x 的取值范围；（2）求g （x ）﹣f （x ）的最大值．18．设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，向量=，=，已知与共线．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=2，，且△ABC 的面积小于3，求角B 的取值范围．19．已知四棱锥P ﹣ABCD 中PA ⊥平面ABCD ，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，，M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（1）求证：MQ ∥平面PCB ；（2）求截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小；（3）求点A 到平面MCN 的距离．20．已知正项等比数列{a n }（n ∈N *），首项a 1=3，前n 项和为S n ，且S 3+a 3、S 5+a 5、S 4+a 4成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{nS n }的前n 项和T n ．21．已知函数f （x ）=x 3﹣ax 2，其中x ∈R ，a 为参数（1）记函数g （x ）=f′（x ）+lnx ，讨论函数g （x ）的单调性；（2）若曲线y=f （x ）与x 轴正半轴有交点且交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证：对于任意的正实数x ，都有f （x ）≥g （x ）．22．如图，已知直线与抛物线y 2=2px （p ＞0）交于M ，N 两点，点D 的坐标为，OD ⊥MN 交MN 于点D ，OM ⊥ON ，抛物线的焦点为F ．（1）求p 的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线C ，过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 相交于点A ，B ，l 2与曲线C 相交于点D ，E ，求•的最小值．2019-2020学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆=1的焦距为2，则m的值是（）A．6或2 B．5 C．1或9 D．3或5【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．【解答】解：由题意可得：c=1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m=1，解得m=3．则m的值是：3或5．故选：D．2．已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由线面平行的判定方法，我们可以判断A的真假；根据直线与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断B的真假；根据线面垂直的判定定理，我们可以判断C的真假；根据空间平面与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断D的真假．进而得到答案．【解答】解：A中，若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l⊂α，故A错误；B中，若l上有两个点到α的距离相等，则l与α平行或相交，故B错误；C中，若l⊥α，l∥β，则存在直线a⊂β，使a∥l，则a⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故C正确；D中，若α⊥β，α⊥γ，则γ与β可能平行也可能相交，故D错误；故选C3．已知实数m是2，8的等比中项，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．【分析】根据实数m为2和8的等比中项，由等比数列的性质得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把m的值代入双曲线方程后，找出双曲线的a与b的值，根据双曲线的简单性质求出c的值，然后根据离心率的公式即可求出原双曲线的离心率．【解答】解：由实数m是2，8的等比中项，得到m2=2×8=16，解得：m=4或m=﹣4（不合题意，舍去），则双曲线方程中的a=1，b=2，则c==，所以双曲线的离心率e==．故选：A4．f（x）=cosx﹣sinx在下列哪个区间上是单调递减的（）A．B．[﹣π，0] C．[0，π] D．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=cos（x+），解2kπ≤x+≤2kπ+π可得函数的单调递减区间，结合选项可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=cosx﹣sinx=（cosx﹣sinx）=cos（x+），由2kπ≤x+≤2kπ+π可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故函数的单调递减区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，当k=0时，函数的一个单调递减区间为[﹣，]，而选项D[0，]⊊[﹣，]，故选：D．5．已知函数f（x）=x+e x，g（x）=x+lnx，h（x）=lnx﹣1的零点依次为a，b，c，则a，b，c从大到小的顺序为（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞c＞a D．a＞c＞b【考点】函数零点的判定定理．【分析】由零点的判定定理对a，b所在的区间判定，由方程h（c）=lnc﹣1=0解出c，从而解得．【解答】解：∵f（﹣1）=﹣1+＜0，f（0）=1＞0，∴a∈（﹣1，0）；∵g（）=﹣1＜0，g（1）=1＞0，∴b∈（，1）；∵h（c）=lnc﹣1=0，c=e；∴c＞b＞a；故选：A．6．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．16【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B7．对任意的实数a、b，记．若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=l时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x ≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示．则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）C．y=F（x）在（﹣3，0）上为增函数D．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2【考点】函数在某点取得极值的条件；函数奇偶性的判断．【分析】在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．【解答】解：∵f （x ）*g （x ）=max{f （x ），g （x ）}，∴f （x ）*g （x ）=max{f （x ），g （x ）}的定义域为R ，f （x ）*g （x ）=max{f （x ），g （x ）}，画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F （x ）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A 不正确y=F （x ）有极大值F （﹣1）且有极小值F （0）；故B 正确y=F （x ）在（﹣3，0）上不为单调函数；故C 不正确y=F （x ）的没有最小值和最大值，故D 不正确故选B ．8．直线y=2x+m 和圆x 2+y 2=1交于点A ，B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若|AB|=，那么sin （α﹣β）的值是（）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义．【分析】由题意根据，OA=OB=1，可得∠AOB=，从而求得sin （α﹣β）=sin （±）的值．【解答】解：直线y=2x+m 和圆x 2+y 2=1交于点A ，B ，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，若，∵OA=OB=1，∴∠AOB=，那么sin （α﹣β）=sin （±）=±，故选：D ．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，当n ≥2时，a n +2S n ﹣1=n ，则S 2015的值为（）A ．2015B ．2013C ．1008D ．1007【考点】数列递推式．【分析】根据a n +2S n ﹣1=n 得到递推关系a n+1+a n =1，n ≥2，从而得到当n 是奇数时，a n =1，n 是偶数时，a n =0，即可得到结论．【解答】解：∵当n ≥2时，a n +2S n ﹣1=n ，∴a n+1+2S n =n+1，两式相减得：a n+1+2S n ﹣（a n +2S n ﹣1）=n+1﹣n ，即a n+1+a n =1，n ≥2，当n=2时，a 2+2a 1=2，解得a 2=2﹣2a 1=0，满足a n+1+a n =1，则当n 是奇数时，a n =1，当n 是偶数时，a n =0，则S 2015=1008，故选：C10．若x ，y 满足约束条件，目标函数z=ax+2y 仅在点（1，0）处取得最小值，则a 的取值范围是（）A ．[﹣6，2]B ．（﹣6，2）C ．[﹣3，1]D ．（﹣3，1）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义结合数形结合进行判断即可．【解答】解：作出可行域如图所示，将z=ax+2y 化成y=﹣+，当﹣1＜﹣＜3时，y=﹣x+仅在点（1，0）处取得最小值，即目标函数z=ax+2y 仅在点A （1，0）处取得最小值，解得﹣6＜a ＜2．故选：B11．设P是椭圆+=1上一点，M、N分别是两圆：（x+4）2+y2=1和（x﹣4）2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值的分别为（）A．9，12 B．8，11 C．8，12 D．10，12【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】圆外一点P到圆上所有点中距离最大值为|PC|+r，最小值为|PC|﹣r，其中C为圆心，r为半径，故只要连结椭圆上的点P与两圆心M，N，直线PM，PN与两圆各交于两处取得最值，最大值为|PM|+|PN|+两圆半径之和，最小值为|PM|+|PN|﹣两圆半径之和．【解答】解：∵两圆圆心F1（﹣4，0），F2（4，0）恰好是椭圆+=1的焦点，∴|PF1|+|PF2|=10，两圆半径相等，都是1，即r=1，∴（|PM|+|PN|）min =|PF1|+|PF2|﹣2r=10﹣2=8．（|PM|+|PN|）max =|PF1|+|PF2|+2r=10+2=12．故选：C．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f （x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k= 1 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a 与b 的值，然后根据a 2=b 2+c 2，表示出c ，并根据焦点坐标求出c 的值，两者相等即可列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x 2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y 轴上，则c==2，解得k=1．故答案为：1．14．以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵树依次为9，9，11，11，乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，由此利用列举法能求出这两名同学的植树总棵数为19的概率．【解答】解：记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵树依次为9，9，11，11，乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵树依次为9，8，9，10，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是（A 1，B 1）（A 1，B 2）（A 1，B 3）（A 1，B 4）（A 2，B 1）（A 2，B 2）（A 2，B 3）（A 2，B 4）（A 3，B 1）（A 3，B 2）（A 3，B 3）（A 3，B 4）（A 4，B 1）（A 4，B 2）（A 4，B 3）（A 4，B 4）．设选出的两名同学的植树总棵数为19为事件C ，则C 中的结果有4个，它们是（A 1，B 4）（A 2，B 4）（A 3，B 2）（A 4，B 2），故所求概率为．故答案为：．15．曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线围成的封闭图形的面积是﹣．【考点】正弦函数的图象．【分析】先确定积分区间，再确定被积函数，进而求定积分，即可求得曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=围成的封闭图形的面积．【解答】解：令sinx=（0≤x ≤π），则x ∈[，]，∴曲线y=sinx（0≤x≤π）与直线y=围成的封闭图形的面积是（sinx﹣）=（﹣cosx﹣）=（﹣cos﹣）﹣（﹣cos﹣）=﹣．故答案：．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积等于8π．【考点】球的体积和表面积．【分析】利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，求出AA1，再求出△ABC外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，∴=∴AA1=2∵BC2=AB2+AC2﹣2A B•ACcos60°=4+1﹣2，∴BC=设△ABC外接圆的半径为R，则，∴R=1∴外接球的半径为=∴球的表面积等于4π×=8π故答案为：8π三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.17．已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）去掉f（x）的绝对值，由g（x）≥f（x），求出x的取值范围；（2）由（1）知g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，求出即可．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）=1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）=（﹣x2+6x+5）﹣（x﹣1）=﹣+≤，∴当x=时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．18．设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量=，=，已知与共线．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，，且△ABC的面积小于3，求角B的取值范围．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．【分析】（Ⅰ）利用向量平行，得到关于A的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简，求出角A的大小；（Ⅱ）通过a=2，，且△ABC的面积小于3，得到B的余弦值的范围，然后求角B的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为∥，则，即、所以，即，即、A是锐角，则，所以、（Ⅱ）因为a=2，，则====、由已知，，即、因为B是锐角，所以，即，C是锐角，所以B＞，故角B的取值范围是（，）19．已知四棱锥P﹣ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，，M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：MQ∥平面PCB；（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；（3）求点A到平面MCN的距离．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．【分析】此类题一般有两种解法，一种是利用空间向量方法来证明，一种是用立体几何中线面位置关系进行证明，本题提供两种解法向量法：对于（1）求证：MQ∥平面PCB，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行对于（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；对于（3）求点A到平面MCN的距离，求出平面上任一点与A连线所对应的向量，求这个向量在该平面的法向量上的投影即可，此法求点到面的距离甚为巧妙．几何法：（1）求证MQ∥平面PCB，用线面平行的判定定理证明即可；（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，先在图形中作出二面角的平面角，再证明其是二面角的平面角，然后根据题设中的条件求出平面角的三角函数值，一般要在一个三角形中求解函数值．（3）求点A到平面MCN的距离，须先作出点A在面上的垂线段，然后在三角形中求出此线段的长度即可．【解答】解：法一向量法：以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O﹣xyz，由，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，可得：，∴，设平面的PBC的法向量为，则有：令z=1，则，∴，又MQ⊄平面PCB，∴MQ∥平面PCB；（2）设平面的MCN的法向量为，又则有：令z=1，则，又为平面ABCD的法向量，∴，又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为，（3）∵，∴所求的距离；法二，几何法：（1）取AP的中点E，连接ED，则ED∥CN，依题有Q为EP的中点，所以MQ∥ED，所以MQ ∥CN，又MQ⊄平面PCB，CN⊊平面PCB，∴MQ∥平面PCB（2）易证：平面MEN∥底面ABCD，所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的二面角，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥平面MEN，过E做EF⊥MN，垂足为F，连接QF，则由三垂线定理可知QF⊥MN，由（1）可知M，C，N，Q四点共面所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角，，所以：，所以：；（3）因为EP的中点为Q，且平面MCN与PA交于点Q，所以点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍，由（2）知：MN ⊥平面QEF ，则平面MCNQ ⊥平面QEF 且交线为QF ，作EH ⊥QF ，垂足为H ，则EH ⊥平面MCNQ ，故EH 即为点E 到平面MCN 的距离．．20．已知正项等比数列{a n }（n ∈N *），首项a 1=3，前n 项和为S n ，且S 3+a 3、S 5+a 5、S 4+a 4成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{nS n }的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的前n 项和．【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和的意义即可得出；（2）利用等差数列和等比数列的前n 项和公式、“错位相减法”即可得出．【解答】解：（1）设正项等比数列{a n }（n ∈N *），又a 1=3，∴，∵S 3+a 3、S 5+a 5、S 4+a 4成等差数列， ∴2（S 5+a 5）=（S 3+a 3）+（S 4+a 4），即2（a 1+a 2+a 3+a 4+2a 5）=（a 1+a 2+2a 3）+（a 1+a 2+a 3+2a 4），化简得4a 5=a 3， ∴，化为4q 2=1，解得，∵{a n }（n ∈N *）是单调数列，∴，．（2）由（1）知，，，设，则，两式相减得，∴．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2，其中x∈R，a为参数（1）记函数g（x）=f′（x）+lnx，讨论函数g（x）的单调性；（2）若曲线y=f（x）与x轴正半轴有交点且交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≥g（x）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；（2）求出f（x）点P处的切线方程y=g（x），令h（x）=f（x）﹣g（x），根据函数的单调性求出h（x）≥0即可．【解答】解：（1）函数g（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）=3x2﹣2ax，g（x）=（3x2﹣2ax）+lnx，g′（x）=x+﹣≥2﹣，当a≤6时，则，所以g'（x）≥0，所以函数g（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．当a＞6时，令，则，可知函数g（x）在上单调递增，在单调递减，在上单调递增．证明：（2）令f （x ）=0，则x=0或x=a 若曲线y=f （x ）与x 轴正半轴有交点，则a ＞0且交点坐标为P （a ，0），又f'（x ）=3x 2﹣2ax ，则f'（a ）=a 2，所以曲线在点P 处的切线方程为y=a 2（x ﹣a ），即g （x ）=a 2x ﹣a 3，令h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣ax 2﹣a 2x+a 3，在区间（a ，+∞）上单调递减，所以当x=a 时，h （x ）有最小值，所以h （x ）≥0，则f （x ）≥g （x ）．22．如图，已知直线与抛物线y 2=2px （p ＞0）交于M ，N 两点，点D 的坐标为，OD ⊥MN 交MN 于点D ，OM ⊥ON ，抛物线的焦点为F ．（1）求p 的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线C ，过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与曲线C 相交于点A ，B ，l 2与曲线C 相交于点D ，E ，求•的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由OM ⊥ON ，得x 1x 2+y 1y 2=0，由与y 2=2px 消去x ，得，利用韦达定理，即可求p 的值；（2）设出直线l 1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l 2的方程与抛物线的交点坐标，代入•，利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．【解答】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OM ⊥ON ，得x 1x 2+y 1y 2=0 由已知得直线MN 的方程是即，则有，即①由与y 2=2px 消去x ，得②所以③把③代入①得，解得p=2当p=2时方程②成为，显然此方程有实数根所以p=2；（2）由（1）知抛物线方程为y2=4x由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y=k（x﹣1）．得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x 1+x2=2+，x1x2=1．∵l1⊥l2，∴l2的斜率为﹣．设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．•=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1=1+（2+）+1+1+（2+4k2）+1=8+4（k2+）≥8+4×2=16．当且仅当k2=，即k=±1时，取最小值16．2016年8月4日。

2019-2020学年福建省福州市高二(上)期末数学试卷

2019-2020学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数12iz i +=，则||(z = )AB ．3C ．1D ．2i -2．（5分）命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A ．0R α∃∈，0tan 1α< B ．0R α∃∈，0tan 1α C ．R α∀∈，tan 1α<D ．R α∀∈，tan 1α3．（5分）双曲线2214y x -=的渐近线方程是( )A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±4．（5分）实数1a >，1b >是2a b +>的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）已知函数sin 2()xf x x=，则()(f x '= ) A ．2cos2sin 2x x xx -B ．2cos2sin 2x x xx +C ．22cos2sin 2x x xx- D ．22cos2sin 2x x xx+ 6．（5分）一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．/hC ．/hD ．60/km h7．（5分）已知双曲线222:14x y E b-=的左顶点为A ，右焦点为F ．若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF =，则F 的坐标为( )A ．1,0)B ．1,0)C ．1,0)D ．(4,0)8．（5分）已知定义在区间(2,2)-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()f x '是()f x 的导函数，则不等式()01f x x '>+的解集为( )A ．(2,1)-B ．(2-，1)(1--⋃，1)C ．(1,2)D ．(3,1)(0,3)--二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： ①团员或班干部；②体育成绩达标．若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A ．是团员，且体育成绩达标B ．是团员，且体育成绩不达标C ．不是团员，且体育成绩达标D ．不是团员，且体育成绩不达标10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//AC 平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112CE DA DD DC =+- D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等11．（5分）已知函数3()sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1aC ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点12．（5分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12kD ．90PAB ∠>︒三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）曲线()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程为．14．（5分）已知(1,2,1)n =-为平面α的一个法向量，(2,,1)a λ=-为直线l 的方向向量．若//l α，则λ= ．15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2N y px =的焦点为2F ．若P 为M 与N 的一个公共点，且12||2||PF PF =，则M 的离心率为． 16．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥．①当E 在AC 上时，AE = ；②点E 的轨迹的长度为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数(2)(1)()z mi i m R =--∈．（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围．18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点(2,0)A ，(0,1)B ．（1）求E 的方程；（2）过点(1,0)作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积．19．已知函数321()323f x mx mx x =--+在3x =处有极小值．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 在[4-，4]上的最大值和最小值．20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =．（1）求证：PE ⊥平面ABCE ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．21．在直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，D 为直线:1l x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 22．已知函数()(0)f x axlnx a =≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：110x lnxx e-+>．2019-2020学年福建省福州市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知复数12iz i +=，则||(z = )A B ．3C ．1D ．2i -【解答】解：212(12)()2i i i z i i i ++-===--，||z ∴=．故选：A ．2．（5分）命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A ．0R α∃∈，0tan 1α< B ．0R α∃∈，0tan 1α C ．R α∀∈，tan 1α<D ．R α∀∈，tan 1α【解答】解：特称命题的否定为全称命题，故命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是R α∀∈，tan 1α，故选：D ．3．（5分）双曲线2214y x -=的渐近线方程是( )A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±【解答】解：由双曲线22221(,0)x y a b a b -=>，可得渐近线方程by x a =±，双曲线2214y x -=的1a =，2b =，可得渐近线方程为2y x =±．故选：D ．4．（5分）实数1a >，1b >是2a b +>的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：实数1a >，12b a b >⇒+>；反之不成立，例如2a =，12b =． 1a ∴>，1b >是2a b +>的充分不必要条件．故选：A ．5．（5分）已知函数sin 2()xf x x=，则()(f x '= ) A ．2cos2sin 2x x xx - B ．2cos2sin 2x x xx + C ．22cos2sin 2x x xx -D ．22cos2sin 2x x xx +【解答】解：根据题意，sin 2()xf x x=，则22(sin 2)sin 2()2cos2sin 2()x x x x x x xf x x x '-'-'==；故选：C ．6．（5分）一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( )A ．30/km hB ．/hC ．/hD ．60/km h【解答】解：一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/)km h 的关系是31100y x x =+．若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，航行的总费用：3210012700027000()(540)100100F x x x x x x x=++=+++，因为2232700027000270002700010031002800x x x x x x++++=．当且仅当227000x x=即30/x km h =时，总费用最低．故选：A ．7．（5分）已知双曲线222:14x y E b-=的左顶点为A ，右焦点为F ．若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF =，则F 的坐标为( )A ．1,0)B ．1,0)C ．1,0)D ．(4,0)【解答】解：双曲线222:14x y E b-=的左顶点为(,0)A a -，右焦点为(,0)F c ，点(0,)B b ，且0AB BF =，(a ∴，)(b c ，)0b -=，c =即20ac b -=，即22c a ac =+，可得：2240c c --=，51c =+，得F 的坐标为(51+，0)，故选：C ．8．（5分）已知定义在区间(2,2)-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()f x '是()f x 的导函数，则不等式()01f x x '>+的解集为( )A ．(2,1)-B ．(2-，1)(1--⋃，1)C ．(1,2)D ．(3,1)(0,3)--【解答】解：结合导数与单调性关系可知，21x -<<-，12x <<时，函数单调递减，此时()0f x '<，当11x -<<时，函数单调递增，此时()0f x '>，由不等式()01f x x '>+可得，(1)()0x f x +'>，解可得，11x -<<或21x -<<-，故不等式的解集(2-，1)(1--⋃，1)．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席： ①团员或班干部；②体育成绩达标．若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A ．是团员，且体育成绩达标B ．是团员，且体育成绩不达标C ．不是团员，且体育成绩达标D ．不是团员，且体育成绩不达标【解答】解：由题意可得，同时满足以下两个条件，即这两个条件缺一不可，故是团员，且体育成绩达标，或不是团员，且体育成绩达标故选：AC ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A ．11//AC 平面CEF B ．1B D ⊥平面CEFC ．112CE DA DD DC =+- D ．点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等【解答】解：如图所示，对于A ，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，11//EF AC ∴，EF ⊂平面CEF ，且11AC ⊂/平面CEF ，11//AC ∴平面CEF ，即A 正确；对于B ，若1B D ⊥平面CEF ，1B D ⊥平面11ACC A ，∴平面//CEF 平面11ACC A ，而平面CEF ⋂平面11ACC A C =，1B D ∴不可能与平面CEF 垂直，即B 错误；对于C ，11111122DA DD DC DA CD D E CD CE +-=+=+=，即C 正确；对于D ，设点1B 和点D 到平面CEF 的距离分别为1h ，2h ，正方体的棱长为1，则1111138B CEF AEFC B EF V h S V -∆-===； 211312D CEF CEFE CDF V h S V -∆-===； 12h h ∴≠，即D 错误；故选：AC ．11．（5分）已知函数3()sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( ) A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 是增函数，则1aC ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【解答】解：因为3()sin f x x x ax =+-，则33()sin()()()sin ()f x x x a x x x ax f x -=-+---=--+=-，A 正确；若()f x 为增函数，则2()cos 30f x x x a '=+-恒成立，故2cos 3a x x +恒成立，令2()cos 3g x x x =+，则可得()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞单()x 调递减，故当0x =时，()g x 取得最小值(0)1g =，所以()1min a g x =，B 正确；当3a =-时，3()sin 3f x x x x =++为奇函数，且(0)0f =，当0x >时，2()cos 330f x x x '=++>恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，根据奇函数的对称性可知函数在(,0)-∞单调递增，故()f x 在R 上单调递增，(0)0f =，即只有一个零点，C 错误；3a =时，3()sin 3f x x x x =+-为奇函数，故先考虑0x >时，函数极值存在情况，则2()cos 33f x x x '=+-，因为()6sin f x x x ''=-单调递增，则()(0)0f x f ''''>=，故()f x '单调递增，且(0)20f '=-<，f '（1）cos10=>，故存在0(0,1)x ∈使得0()0f x '=，因此，当00x x <<，()0f x '<，函数单调递减，当0x x >时，()0f x '>，函数单调递增，故0x x =为函数在0x >时的唯一的极小值，根据奇函数的对称性可知，当0x <时，存在极大值，故D 正确．故选：ABD ．12．（5分）已知椭圆22:142x y C +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ∠<︒C ．直线BE 的斜率为12kD ．90PAB ∠>︒【解答】解：直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，由椭圆的对称性可得O 为AB 的中点，又O 为12F F 的中点，可得四边形12AF BF 为平行四边形，故A 正确；由椭圆方程可得2a =，b c ==以12F F 为直径的圆与椭圆相切于短轴的两个端点，P 在圆外，可得1290F PF ∠<︒，故B 正确；由y kx =与椭圆方程2224x y +=联立，可得A ，，(B ，，即有E 0)，12BE k k =，故C 正确；设直线BE 的方程为1(2y k x =，联立椭圆方程2224x y +=，可得222222(1)40212k k x k ++-=+，由2P x ，解得2P x =，即有2P ，3，可得(AB =，2AP =，，即有22222216160(12)(2)(12)(2)k k AB AP k k k k =-+=++++，可得AB AP ⊥，即90PAB ∠=︒，故D 错误．故选：ABC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．（5分）曲线()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程为 1y = ．【解答】解：()1x f x e '=-，则(0)0k f ='=，(0)1f =，故()x f x e x =-在点(0，(0))f 处的切线方程1y =．故答案为：1y =．14．（5分）已知(1,2,1)n =-为平面α的一个法向量，(2,,1)a λ=-为直线l 的方向向量．若//l α，则λ=32．【解答】解：//l α，∴2210n a λ=-+-=，可得32λ=．故答案为：32． 15．（5分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:2N y px =的焦点为2F ．若P 为M 与N 的一个公共点，且12||2|PF PF =，则M 的离心率为 21 ．【解答】解：如图，由12||||2PF PF a +=，12||2||PF PF =，解得1||22(21)PF a =-，2||2(21)PF a =-，椭圆右焦点为抛物线焦点，P 为M 与N 的一个公共点， 212111||||2cos cos ||||2PF PG PF F F PG PF PF ∴∠=∠===，在△12PF F 中，由余弦定理可得：2222224(21)8(21)4222(21)22a a c a c -=-+-⨯-⨯⨯，整理得：2[(21)]0a c --=，即21ce a==-．故答案为：21-．16．（5分）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥．①当E 在AC 上时，AE = 2 ；②点E 的轨迹的长度为．【解答】解：如图，取AC 中点E ，连接DE ，则//DE BC ，90ACB ∠=︒，DE AC ∴⊥，由PA ⊥平面ABC ，得平面PAC ⊥平面ABC ，而平面PAC ⋂平面ABC AC =，DE ∴⊥平面PAC ，则DE PC ⊥，此时122AE AC ==；过E 作EG PC ⊥，垂足为G ，则PC ⊥平面DEG ，即E 在线段EG 上运动时，PC DE ⊥， ∴点E 的轨迹为线段EG ．则22225sin 22524PAEG EC PCA PC=∠===+．故答案为：2；255．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知复数(2)(1)()z mi i m R =--∈．（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围．【解答】解：（1）(2)(1)(2)(2)z mi i m m i =--=--+， z 是纯虚数，∴2020m m -=⎧⎨+≠⎩，得2m =；（2）由（1）知，(2)(2)z m m i =-++，复数z 在复平面上对应的点在第四象限， ∴2020m m ->⎧⎨+<⎩，解得2m <-，m ∴的取值范围为(,2)-∞-．18．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点(2,0)A ，(0,1)B ．（1）求E 的方程；（2）过点(1,0)作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积．【解答】解：（1）依题意，A ，B 分别为椭圆E 1>，可得E 的焦点在x 轴上．设E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则a =1b =，所以E 的方程为2212x y +=．（2）方法一、设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，不妨设12y y >，依题意，直线l 的方程为1y x =-．由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩，得23210y y +-=，解得113y =，21y =-，记点(1,0)F ，则121142||||12233OPQ OFP OFQ S S S OF y y ∆∆∆=+=-=⨯⨯=．所以OPQ ∆的面积为23．（2）方法二、设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，不妨设12x x <，依题意，直线l 的方程为1y x =-．由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩，得2340x x -=，解得10x =，243x =，所以124||||0|3PQ x x -=-原点O 到直线l 的距离d ==，所以112||223OPQ S PQ d ∆===．所以OPQ ∆的面积为23．19．已知函数321()323f x mx mx x =--+在3x =处有极小值．（1）求实数m 的值；（2）求()f x 在[4-，4]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）依题意，2()23f x mx mx '=--，因为()f x 在3x =处有极小值，所以f '（3）330m =-=，解得1m =．经检验，1m =符合题意，故m 的值为1．（2）由（1）得2()23f x x x '=--，令()0f x '=，得3x =或1x =-．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x4-(4,1)-- 1-(1,3)- 3 (3,4) 4 ()f x '+-+()f x703-1137-143-由上表可知，()f x 的最小值为703-；()f x 的最大值为113． 20．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得3PB =．（1）求证：PE ⊥平面ABCE ；（2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值．【解答】解：（1）证明：过点B 作BF CD ⊥，垂足为F ，则1EF AB ==，12CD EFDE CF -===，连接BE ，依题意，AED ∆为等腰直角三角形，故1AE DE ==，又AE DE ⊥，故AE AB ⊥，所以222EB EA AB =+ 在四棱锥P ABCE -中，因为3PB =1PE DE ==，所以222PE EB PB +=，故PE EB ⊥，因为PE EA ⊥，EAEB E =，且EA ，EB ⊂平面ABCE ，所以PE ⊥平面ABCE ．（2）解：由（1）知，PE ⊥平面ABCE ，所以PE EA ⊥，PE EC ⊥，又AE EC ⊥，所以EA ，EC ，EP 两两垂直．以E 为原点，分别以EA ，EC ，EP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则各点坐标为：(0E ，0，0)，(0P ，0，1)，(1A ，0，0)，(1B ，1，0)，(0C ，2，0)， (1,0,1)PA =-，(0,2,1)PC =-，(1,1,0)BC =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则00n PC n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故200y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1y =，故(1,1,2)n =．所以||3cos ,6||||PA n PA n PA n <>==．设直线PA 与平面PBC 所成角为θ，则3sin |cos ,|6PA n θ=〈〉=．21．在直角坐标系xOy 中，点(1,0)F ，D 为直线:1l x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）连接MF ，则||||MD MF =，则根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以(1,0)F 为焦点，直线1x =-为准线的抛物线．则点M 的轨迹的方程为24y x =．（2）设直线PQ 的方程为1x my =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=， △216160m =+>， 124y y m +=，124y y =-，直线OP 的方程为1114y y x x x y ==，同理：直线OQ 的方程为24y x y =，令1x =得，14(1,)A y ，24(1,)B y ，设AB 中点T 的坐标为(T x ，)T y ，则1T x =，121212442()22T y y y y y m y y ++===-，所以(1,2)T m -．2112124||44||||||y y AB y y y y -=-===．圆的半径为r =．所以AB 为直径的圆的方程为222(1)(2)44x y m m -++=+．展开可得22(1)44x y my -++=， 22(1)44x y my -++=，令0y =，可得2(1)4x -=，解得3x =或1x =-．所以以AB 为直径的圆经过定点(1,0)-和(3,0)．22．已知函数()(0)f x axlnx a =≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：110x lnx x e -+>．【解答】解：法一：（1）依题意，()f x 的定义域为(0,)+∞，()(1)f x a lnx '=+，当10x e <<时，10lnx +<；当1x e>时，10lnx +>．①当0a >时，若10x e <<，则()0f x '<；若1x e >，则()0f x '>．所以()f x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增．②当0a <时，若10x e <<，则()0f x '>；若1x e >，则()0f x '<．所以()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减．综上，当0a >时，()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减．（2）由（1）知，当1a =-时，()f x xlnx =-在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减，所以1111()()max f x f ln e e e e ==-=，故当0x >时，1xlnxe-．又当0x >时，1011x e e e-->=，所以当0x >时，11x e xlnx e->-，故10x e xlnx -+>，所以110x lnxx e-+>．解法二：（2）令1()x g x e xlnx -=+，则1()1x g x e lnx -'=++，令1()1x h x e lnx -=++，则()h x 为增函数，且21121()210c h e e -=-+<，111()110c h e e-=-+>，所以()h x 有唯一的零点0x ，0211(,)x e e∈，所以当00x x <<时，()0g x '<，()g x 为减函数；当0x x >时，()g x 为增函数．所以01000()()x g x g x e x lnx -=+．由（1）知，当1a =时，()f x xlnx =在1(0,)e 上为减函数，在1(,)e +∞上为增函数，故01()()f x f e >，即001x lnx e>-，所以0010111()(1)(1)0x x g x e e e e e e ->-=->-=，所以10x e xlnx -+>，故110x lnxx e -+>．。

福建省2020学年高二数学上学期期末考试试题理

上学期期末考试高二理科数学试卷一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，合计60分) 1．x>2是24x >的 A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件2 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ，则λ的值是（）A ．103-B ．6-C ．6D ．103３．已知“220a b +≠”，则下列命题正确的是A ．a 、b 都不为0B ．a 、b 至少有一个为0C ．a 、b 至少有一个不为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0４．若不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x ，则a －b 的值是A.－10B.－14C.10D.14５．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E G ，F ，分别为棱1111AA BB A B ，，的中点，则点G 到平面1EFG 的距离为（）C.12６．已知等比数列{}n a 是递增数列，1765a a +=，2664a a =，则公比=q（A ）4± （B ）4 （C ）2± （D ）2 7．若01a <<，01b <<，b a ≠，则a b +，2ab ，22a b +，2ab 中最大的一个是 A ．a b + B ． 2ab C ．22ab + D ． 2ab８．在双曲线822=-y x 的右支上过右焦点F 2有一条弦PQ ，|PQ|=7,F 1是左焦点，那么 △F 1PQ 的周长为A ． 28B ．2814-C ． 2814+D ． 28 9.数列{a n }的通项公式a n ＝n cosn π2，其前n 项和为S n ，则S 2012等于( ) A ．1 006 B ．2 012 C ．503 D ．0１０．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A 3B 11C 22D 10１１．在△ABC 中1,60==∠b A，其面积为3，则角A 的对边的长为（）Ａ．57 Ｂ．37 Ｃ．21 Ｄ．13１2.已知点A （3，2），F （2，0），双曲线x y 2231-=，P 为双曲线上一点。

福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末质量抽测数学试题(pdf版)

的是
A．四边形 AF1BF2 为平行四边形
B． F1PF2 ＜90
C．直线 BE 的斜率为 1 k 2
D． PAB ＞90
第Ⅱ卷
注意事项：
用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13. 曲线 f x ex x 在点 0, f 0 处的切线方程为
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5. 已知函数 f x sin 2x ，则 f x
x A． x cos 2x sin 2x
x2 C． 2x cos 2x sin 2x
x2
B． x cos 2x sin 2x x2
D．
2x
cos
2x x2
sin
2x
高二数学试题（第1页共4页）
为
．
16. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的鳖臑
P ABC 中， PA 平面 ABC ， ACB 90 ， AC 4, P PA 2 ，D 为 AB 中点，E 为 △PAC 内的动点（含边界），
且 PC DE ．①当 E 在 AC 上时，AE
；②点 E
垂线与线段 DF 的垂直平分线交于点 M ，记 M 的轨迹为 C ．
（1）求 C 的方程；
（2）若过 F 的直线与曲线 C 交于 P,Q 两点，直线 OP,OQ 与直线 x 1分别交于 A , B
两点，试判断以 AB 为直径的圆是否经过定点?若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 22. （本小题满分 12 分）
C． 5
D．2
B． 0 R , tan0 ≤1 D． R, tan ≤1

福建省福州市2020版高二上学期期末数学试卷(理科)(I)卷

福建省福州市2020版高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知命题，则￢p为（）A . ∀x∈R，x2+x﹣1≥0B .C .D . ∀x∉R，x2+x﹣1＞02. （2分）(2013·四川理) 抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A .B .C . 1D .3. （2分） (2018高二下·驻马店期末) 已知为正方形，其内切圆与各边分别切于 ,连接 ,现向正方形内随机抛掷一枚豆子（豆子大小忽略不计），记事件A:豆子落在圆内；事件B:豆子落在四边形外，则（）A .B .C .D .4. （2分）(2012·陕西理) 设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab=0”是“复数为纯虚数”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2019高三上·日喀则月考) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一下·天津期末) 某工厂A，B，C三个车间共生产2000个机器零件，其中A车间生产800个，B车间生产600个，C车间生产600个，要从中抽取一个容量为50的样本，记这项调查为①：某学校高中一年级15名男篮运动员，要从中选出3人参加座谈会，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A . 分层抽样系统抽样B . 分层抽样简单随机抽样C . 系统抽样简单随机抽样D . 简单随机抽样分层抽样7. （2分）直线与圆相交于两点，则弦的长度等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 给出以下四个说法：①残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小②在刻画回归模型的拟合效果时，相关指数的值越大，说明拟合的效果越好；③在回归直线方程中，当解释变量每增加一个单位时，预报变量平均增加个单位；④对分类变量与，若它们的随机变量的观测值越小，则判断“ 与有关系”的把握程度越大．其中正确的说法是A . ①④B . ②④C . ①③D . ②③9. （2分） (2017高二上·泉港期末) 已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用a，b，c表示，则等于（）A .B .C .D .10. （2分）以椭圆=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线渐近线方程是（）A . y=±xB . y=±xC . y=±xD . y=±x11. （2分）(2013·辽宁理) 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·泸县期末) 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知样本3，4，x，7，5的平均数是5，则此样本的方差为________．14. （1分） (2016高一下·南市期末) 在区间[﹣， ]上任取一个数x，则函数f（x）=3sin（2x﹣）的值不小于0的概率为________．15. （1分）已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k=________16. （1分）(2018·鄂伦春模拟) 设为椭圆上在第一象限内的一点，，分别为左、右焦点，若，则以为圆心，为半径的圆的标准方程为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高三上·山西期中) 某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]产品A81240328产品B71840296（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．18. （10分） (2019高二上·诸暨月考) 已知命题：表示双曲线，命题：表示椭圆．（1）若命题与命题都为真命题，则是的什么条件？（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）（2）若为假命题，且为真命题，求实数的取值范围．19. （15分）(2020·江西模拟) 年前某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，然后通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图.（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a（精确到0.01）（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为X，求X的分布列与数学期望（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布其中近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家?（结果保留整数）.附参考数据与公式：则， .20. （5分）设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且直线x－y＋1＝0被圆截得的弦长为2 ，求圆的方程．21. （10分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD交于点O，E为侧棱SC上的一点．（1）若E为SC的中点，求证：SA∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面SAC 。

福建省2020学年高二数学上学期期末联考试题理

高二数学上学期期末联考试题理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1. 22y x =的焦点坐标是（） A. (1,0)B. 1(,0)4C. 1(0,)4D. 1(0,)82.若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则( ) A. lα⊂B. //l αC. l α⊥D.l 与α相交3.直线:220l x y -+=过椭圆左焦点F 和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为（）A ．15 B．5 C ．25D．54.下列结论正确的是( ) A. 命题“若22ambm <，则a b <”的逆命题为真命题B. 命题“若1x =，则2230xx +-=”的否命题是真命题C 2,0x R x ∀∈>. 命题200:,0p x R x ∃∈≤的否定是“.”D.“2x >”是“112x <”的充要条件5.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 交于点M ，设1,,AB a AD b AA c ===，则1B M=A.1122a b c --- B.1122a b c +- C. 1122a b c -- D.1122a b c -+- 6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>C 的渐近线方程为( )A.14y x =±B.13y x =±C.12y x =± D.y x =± 7.已知曲线C 的方程为22143x y k k +=--，给定下列两个命题：:p 若3k <，则曲线C 为双曲线； :q 若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则34k <<．其中是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝8.已知A 是抛物线22(0)ypx p =>上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，A1当||4AF =时，120OFA ∠=，则抛物线的准线方程是（）A.1x =-B.3x =-C. 1x =-或3x =-D. 1y =-9.在直角梯形ABCD 中，//,,AD BC AB AD ⊥ ,E F 分别是,AB AD 的中点，PF ⊥平面ABCD ，且122AB BC PF AD ====，则异面直线,PE CD 所成角为（）A ．30︒B ．45︒C ．6010.抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是（）A.85B. 75C. 43 D. 311.设12,F F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上任意一点M 都满足12F MF ∠为锐角则椭圆离心率的取值范围是（） A. 1(0,]2 B.(0,2 C. (0,1) D. [212.椭圆2212516x y +=的左右焦点分别为12,F F ,过1F 的一条直线与椭圆交于,A B 两点,若2ABF 的内切圆面积为π,且1122(,),(,)A x y B x y ,则12||y y -=( )A.3 B.103 C.203 D.53二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若椭圆2214x y m +=的焦距为2，则m = .14.在棱长为2的正四面体ABCD 中，E 分别是BC 的中点，则DE AC = . 15.若以椭圆上一点和椭圆的两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则该椭圆长半轴长的最小值为 .16.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，圆222()4x c y c -+=与双曲线C 位于x 轴上方的两个交点分别为,M N ，若12//F M F N ,则双曲线C 的离心率为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（本题满分10分）已知命题:p 关于x 的方程2220x ax a -++=有实数根，命题:2q m a m ≤≤+． (Ⅰ) 若p 是q 的必要非充分条件，求实数m 的取值范围； (Ⅱ) 若1m =-时“p q ∨”是真命题，求实数a 的取值范围.18．（本题满分12分）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)F ，直线320x y -=与双曲线C 的一个交点的横坐标为2．（Ⅰ）求双曲线C 的标准方程；（Ⅱ）过点()0,1，倾斜角为0135的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，求OAB ∆的面积． 19．（本题满分12分）如图所示，AE ⊥平面ABCD ，且四边形AEFB 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，//BC AD ，BA AD ⊥，224AE AD AB BC ====.(Ⅰ) 求证：//CF 平面ADE ；(Ⅱ) 求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值． 20．（本题满分12分）点P 在圆22:4O x y +=上运动，PD x ⊥轴，D 为垂足，点M 在线段PD 上，满足PM MD =．(Ⅰ) 求点M 的轨迹方程； (Ⅱ) 过点11,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与点M 的轨迹相交于A 、B 两点，使点Q 被弦AB 平分，求直线l 的方程．21.（本题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A BC -中，12AA AB AC ===，BC =M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在直线11A B 上，且111A P A B λ=．(Ⅰ)证明：无论λ取何值，总有AM PN ⊥；(Ⅱ)当λ取何值时，直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值．F B22．（本题满分12分）已知抛物线2:C y x =，过点(2,0)M 作一条直线l 与抛物线C 交于,A B 两点， (Ⅰ) 证明:OA OB ⋅为定值；(Ⅱ) 设点N 是定直线2x =-上的任意一点，分别记直线AN ，MN ，BN 的斜率为1k ，2k ，3k ．问：1k ，2k ，3k 能否组成一个等差数列？若能，说明理由；若不能，举出反例.答案及评分标准一、选择题： DCBCD CBABC BB 二、填空题： 13.3或5 14.116.34+ 三、解答题： 17.解答： (Ⅰ)命题22(2)4(2)0202p a a a a a ⇔--+≥⇔--≥⇔≥或1a ≤-………………2分由p 是q 的必要非充分条件可得 [,2](,1][2,)m m +-∞-+∞Ü ………………3分所以 21m +≤-或者2m ≥………………………………4分即 3m ≤-或者2m ≥……………………………………5分 (Ⅱ)当1m =-时命题q 即11a -≤≤…………………………………………6分由“p q ∨”是真命题可知 p 真或q 真……………………………………7分即 2a ≥或1a ≤-或11a -≤≤ ………………………………………………9分实数a 的取值范围是2a ≥或1a ≤. …………………………………………10分 18.解答：（Ⅰ）设双曲线C 的标准方程是22221(0,0)x y a b a b-=>>，…………………………1分由题可知点(2,3)在双曲线C 上……………………………………………………2分从而有 22224491a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩………………………………………………………………4分解得 2213a b ⎧=⎨=⎩………………………………………………………………5分所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=……………………………………6分（Ⅱ）由已知得直线l 的方程为1y x =-+即10x y +-=………………………………7分所以原点O 到直线l的距离d ==………………………………8分解法一：联立22131y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩消去y 可得 220x x +-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 12121,2x x x x +=-=-所以2221212||()411(1)4(2)3AB x x x x =+-=+--⨯-=11分解法二：联立22131y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩解得10x y =⎧⎨=⎩或23x y =-⎧⎨=⎩ 即 ,A B 两点坐标分别为(1,0)和(2,3)- 所以||AB ===……………………………………11分所以 OAB ∆的面积113||3222S AB d ==⨯=．………………………………12分 19.解答：（Ⅰ）由已知可建立空间直角坐标系A xyz -如右图，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,4,0),(0,0,4),(2,0,4)A B C D E F ……………………………………………………1分由AE⊥平面ABCD 可知 AE AB ⊥又∵,ABAD AD AE A ⊥=∴AB ⊥平面ADEy所以 AB 是平面ADE 的一个法向量 …………………………………………3分由已知可得 (2,0,0)AB =，(0,2,4)CF =-所以 200(2)040AB CF =⨯+⨯-+⨯= 所以 AB CF ⊥…………………………………………5分又∵CF⊄平面ADE从而 //CF 平面ADE……………………………………6分（若学生采用几何法请酌情给分）（Ⅱ）与（Ⅰ）同理可知 (0,4,0)AD =是平面AEFB 的一个法向量……………………7分设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则有,n CD n CF ⊥⊥ 又由题可知 (2,2,0),(0,2,4)CD CF=-=-从而有 220240n CD x y n CF y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩取2y=可得 (2,2,1)n =…………………………………………9分从而22282cos ,433||||022n AD n AD n AD <>====⨯++ (11)分所以平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23. ………………………………12分20.解答：（Ⅰ）设点00(,),(,)M x y P x y ，………………1分由PD x ⊥轴，D 为垂足，点M 在线段PD 上，满足PM MD =可知 002x xy y=⎧⎨=⎩…………2分又由点P 在圆22:4O x y +=上可得 22004x y +=…………3分将002x xy y=⎧⎨=⎩代入上式，得 2244x y += 即 2214x y +=…………4分所以点(,)M x y 的轨迹方程为2214x y +=………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由点Q 被弦AB 平分可得 12122,1x x y y +=+=①………7分解法一：由点A 、B 在点M 的轨迹上可得 221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………………8分从而有 12121212()()()()04x x x x y y y y -++-+=……………………9分将①代入上式可得121212y y x x -=-- 即12AB k =-……………………11分故所求直线l 的方程的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=………………12分解法二：由题可知直线l 的斜率必存在（否则与点Q 被弦AB 平分矛盾），故可设直线l 的方程为1(1)2y k x -=-，即12y kx k =+-………………8分联立221412x y y kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩消去y 可得222(14)4(12)(443)0k x k k x k k ++-+--=………9分则 1224(21)14k k x x k-+=+ …………………………………………10分由①得24(21)214k k k-=+ 解得 12k =-……………………………………………………11分所以所求直线l 的方程的方程为11(1)22y x -=--，即220x y +-=………………12分21.解答：由2AB AC ==，BC = 222ABAC BC +=,故AB AC ⊥………………1分结合已知可建立空间直角坐标系如右图，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2)A B C A B C由M ，N 分别是1CC ，BC 的中点可得 (0,2,1)M ,(1,1,0)N由111A P A B λ=可得(2,0,2)P λ………………………………………………3分（1）由已知可得 (0,2,1),(12,1,2)AM PN λ==-- ………………………………4分所以 0(12)211(2)0AM PN λ=-+⨯+⨯-= 所以 AMPN ⊥……………………………………………………x5分故无论λ取何值，总有AM PN ⊥； …………………………………………6分（2）由已知得向量1(0,0,2)AA =平面ABC 的一个法向量…………………………7分结合（1）可得 11||sin ||||2AA PN AA PN θ==……………………9分从而当120λ-=时，sin θ最大，即直线PN 与平面ABC 所成的角θ最大， (11)分此时sin θ=，从而tan 2θ=. …………………………………………………………12分22.解答：（Ⅰ）证明：设直线l 的方程为2x ny =+…………………………………………………………1分联立22y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去y 可得 220y ny --=……………………………………2分设1122(,),(,)A x yB x y ，则有1212,2y y n y y +==-………………………………………3分从而22212121212(2)(2)2()42244x x ny ny n y y n y y n n =++=+++=-++= (4)分所以1212422OA OB x x y y =+=-= (5)分即 OA OB 为定值.…………………………………………………………6分（Ⅱ）能，理由如下：………………………………………………………………7分设(2,)N t -，则 13123110,,22242y t t t y tk k k x x ---===-=+++- 11 -…………………………………………8分所以 12131312122244y t y t y t y t k k x x ny ny ----+=+=+++++122112()(4)()(4)(4)(4)y t ny y t ny ny ny -++-+=++212122222212122(4)()84(4)8(8)24()1624162(8)2ny y nt y y t n n nt t t n t k n y y n y y n n n +-+--+---+====-=+++-+++………………………………………………………………………………………………………11分即 1k ，2k ，3k 能组成一个等差数列.………………………………………………12分。

福建省2020学年高二数学上学期期末考试试题理

高二数学上学期期末考试试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分． 1．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0 ，则┐p 为( )A ．∃x 0∈R ，x 20＋1>0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0 C ．∃x 0∈R ，x 20＋1<0D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤02. 数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前（）项之和等于9．A ．98B ．99C ．96D ．973.设变量x ，y 满足约束条件⎝ ⎛x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，324. 下列命题中为真命题的是( )A ．命题“若x>y ，则x>|y|”的逆命题B ．命题“若x>1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>0，则x>1”的逆否命题5．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是 ( )A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n6．3x >是113x <的（） A ．必要不充分条件 B.充要条件C. 充分不必要条件D.既非充分又非必要条件7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ， b ，c ，若acos A ＝bsin B ，则sin Acos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．18．下列函数中，当x 取正数时，最小值为2 的是（） A. 4y x x=+B.1lg lg y x x =+C.y =D. 223y x x =-+9．设双曲线x 2a 2－y29＝1(a>0)的渐近线方程为3x ±4y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．110．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．1211．若函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1312．对二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a 为非零整数．．)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f(x)的零点B ．1是f(x)的极值点C ．3是f(x)的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f(x)上二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．函数f(x)＝x 2＋2x f ’(1)，则f(1)＝_____．14．在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_____． 15．曲线f(x)＝x ＋1x2(x ＞0)在点(1,f(1))处的切线方程为________________．16．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且PF 1⊥PF 2，则 e 21＋e 22e 21e 22的值为________．三、解答题:本大题共6小题,满分70分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实根；q ：不等式4x2＋4(m －2)x ＋1>0的解集为R.若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝10，cos B ＝255，D 为AC 的中点，求BD 的长．19. (本小题满分12分)设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝21，a 5＋b 3＝13.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和S n .20．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝2AA 1，∠ABC ＝90°，D 是BC 的中点．(1)求证：A 1B ∥平面ADC 1； (2)求二面角C 1－AD －C 的余弦值；(3)试问线段A 1B 1上是否存在点E ，使AE 与DC 1成60°角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值．(1)求实数c 的取值范围；(2)若f(x)在x ＝2处取得极值，且当x ＜0时，f(x)＜16d 2＋2d 恒成立，求实数d 的取值范围．22.(本小题满分12分)如图，已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为32，点A ，B 分别是椭圆C 的长轴、短轴的端点，点O 到直线AB 的距离为655.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点E(3,0)，设点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，满足EP ⊥EQ ，求EP →·QP →的取值范围．参考答案BBAAD CDDAB DA-3 5 3x ＋y －5＝0217. 解 p 为真命题⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m<0⇒m>2；q 为真命题⇔Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0⇒1<m<3.由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，知p 与q 一真一假．当p 真，q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧m>2，m ≤1或m ≥3⇒m ≥3；当p 假，q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m<3⇒1<m ≤2.综上，实数m 的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．18．解：(1)因为2asin A ＝(2b －c)sin B ＋(2c －b)sin C ，由正弦定理得2a 2＝(2b －c)b ＋(2c －b)c ，整理得2a 2＝2b 2＋2c 2－2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc 2bc ＝22，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π4. (2)由cos B ＝255，得sin B ＝1－cos 2B ＝1－45＝55，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝－⎝⎛⎭⎪⎫22×255－22×55＝－1010.由正弦定理得b ＝asin Bsin A＝10×5522＝2，所以CD ＝12AC ＝1，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝(10)2＋12－2×1×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝13，所以BD ＝13. 19．解解得d=2,q=2 ∴a n =2n-1b n =2n-1(2)a n b n ＝2n －12n －1，S n ＝1＋321＋522＋…＋2n －32n －2＋2n －12n －1，① 2S n ＝2＋3＋52＋…＋2n －32n －3＋2n －12n －2.②②－①，得S n ＝2＋2＋22＋222＋…＋22n －2－2n －12n －1＝2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n －1＝2＋2×1－12n －11－12－2n －12n －1＝6－2n ＋32n －1.20．解：(1)证明：连接A 1C ，交AC 1于点O ，连接OD.由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，得四边形ACC 1A 1为矩形，O 为A 1C 的中点．又D 为BC 的中点，所以OD 为△A 1BC 的中位线，所以A 1B ∥OD ，因为OD ⊂平面ADC 1，A 1B⊄平面ADC 1，所以A 1B ∥平面ADC 1.(2)由ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，且∠ABC ＝90°，得BA ，BC ，BB 1两两垂直．以BC ，BA ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz. 设BA ＝2，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C 1(2,0,1)，D(1,0,0)，所以AD ＝(1，－2,0)，1AC ＝(2，－2,1)．设平面ADC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则有⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AC 1→＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x －2y ＋z ＝0.取y ＝1，得n ＝(2,1，－2)．易知平面ADC 的一个法向量为v ＝(0,0,1)．所以cos 〈n ，v 〉＝n ·v |n|·|v|＝－23.因为二面角C 1－AD －C 是锐二面角，所以二面角C 1－AD －C 的余弦值为23.(3)假设存在满足条件的点E.因为点E 在线段A 1B 1上，A 1(0,2,1)，B 1(0,0,1)，故可设E(0，λ，1)，其中0≤λ≤2. 所以AE ＝(0，λ－2,1)，1DC ＝(1,0,1)．因为AE 与DC 1成60°角，所以|cos 〈AE ，1DC 〉|＝AE →·DC 1→|AE →|·|DC 1→|＝12.即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1λ－22＋1·2＝12，解得λ＝1或λ＝3(舍去)．所以当点E 为线段A 1B 1的中点时，AE 与DC 1成60°角． 21解：(1)∵f(x)＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x)＝x 2－x ＋c ，要使f(x)有极值，则方程f ′(x)＝x 2－x ＋c ＝0有两个不相等的实数解，从而Δ＝1－4c ＞0，∴c ＜14.即实数c 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14. (2)∵f(x)在x ＝2处取得极值， ∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0，∴c ＝－2. ∴f(x)＝13x 3－12x 2－2x ＋d.∵f ′(x)＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1]时，f ′(x)＞0，函数单调递增；当x ∈(－1,2]时，f ′(x)＜0，函数单调递减． ∴x ＜0时，f(x)在x ＝－1处取得最大值76＋d ，∵x ＜0时，f(x)＜16d 2＋2d 恒成立，∴76＋d ＜16d 2＋2d ，即(d ＋7)(d －1)＞0， ∴d ＜－7或d ＞1，即实数d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞). 22解：(1)由离心率e ＝c a ＝32，得b a ＝ 1－e 2＝12. ∴a ＝2b.①∵原点O 到直线AB 的距离为655，直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0，- 11 - ∴ab a 2＋b2＝655.② 将①代入②，得b 2＝9，∴a 2＝36.则椭圆C 的标准方程为x 236＋y 29＝1. (2)∵EP ⊥EQ ，∴EP ―→·QP ―→＝0，∴EP ―→·QP ―→＝EP ―→·(EP ―→－EQ ―→)＝EP ―→2.设P(x ，y)，则y 2＝9－x 24， ∴EP ―→·QP ―→＝EP ―→2＝(x －3)2＋y 2＝x 2－6x ＋9＋9－x 24 ＝34(x －4)2＋6. ∵－6≤x ≤6，∴6≤34(x －4)2＋6≤81. 故EP ―→·QP ―→的取值范围为[6,81]．。

福建省2020学年高二数学上学期期末考试试题理

上学期期末考试试卷高二数学理科必修5 选修2-1 2-2 选讲4-5一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=≤-=02,01x x xQ x x P ，则()Q P C R ⋂= （）A.()1,0B.(]2,0C.(]2,1D.[]2,12．已知m 为实数，i 为虚数单位，若0)1(2>-+i m m ，则=-+im im （） A. 1- B. 1 C. i - D. i3. “0<x ”是“0)1ln(<+x ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题正确的是（） A.若βα⊥，β⊥m ，则α//m B.若α//m ，m n ⊥，则α⊥n C.若α//m ，α//n ，β⊂m ，β⊂n ，则βα// D.若β//m ，α⊂m ，n =⋂βα，则n m //5.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（） A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2)6.设1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使0)(22=⋅+F OF （O 为原点）且21PF PF λ=，则λ的值为( )A ．2B ．21C ．3D ．317.1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的左、右两支分别交于点B ，A ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．4C D8．当[]1,2-∈x 时，不等式03423≥++-x x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[]3,5--B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--89,6 C ．[]2,6-- D ．[]3,4--9.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB E =，为1AA 的中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为（） A ．1010B ．51C ．53D ．1010310.在正三棱柱111C B A ABC -中，若41==AA AB ，点D 是1AA 的中点，则点A 到平面1DBC 的距离是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 11.设函数x x f ln )(=，xbax x g +=)(，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线,则当x >1时，)(x f 与)(x g 的大小关系是（） A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f < C ．)()(x g x f = D ．不确定 12.已知函数)()(b x e x f x-=)(R b ∈.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ,使得0)()(>'+x f x x f ,则b 的范围是（）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65,C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-65,23 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,38 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 13. 命题“若0=a ，则0=ab ”的逆否命题是__________________. 14.=-++⎰-dx x x x 1122)4( ．15.椭圆221164x y +=上的一点A 关于原点的对称点为B ，F 为它的右焦点，若AF BF ⊥，则AFB ∆的面积是 .16.当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围________.17. 已知函数x x x x f ln 4321)(2+--=在()1,+t t 上不单调,则实数t 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（12分）已知()211f x x x =--+ （1）求()f x x >的解集；（2）若不等式m x x x f +-≥2)(在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,1上解集非空，求m 的取值范围．19.（12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，AC BC ⊥，2==AC BC ，31=AA ，D 为AC 的中点.20.（13分）已知函数4)(23-+-=ax x x f . (1) 若)(x f 在34=x 处取得极值，求实数a 的值； (2) 在(1)的条件下，若关于x 的方程m x f =)(在[]1,1-上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围；(3) 若存在),0(0+∞∈x ，使得不等式0)(0>x f 成立，求实数a 的取值范围.21.（14分）如图，点)0,3(B 是圆()163:22=++y x A 内的一个定点，点P 是圆A 上的任意一点，线段BP 的垂直平分线l 和半径AP 相交于点Q ，当点P 在圆A 上运动时，点Q 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)点)0,2(E ,)1,0(F ，直线QE 与y 轴交于点M ，直线QF 与x 轴交于点N ，求FM EN ⋅的值.22.（ 14 分）已知常数0>a ，函数22)1ln()(+-+=x xax x f . (Ⅰ)讨论)(x f 在区间()+∞,0上的单调性；(Ⅱ)若)(x f 存在两个极值点1x ，2x ，且0)()(21>+x f x f ，求实数a 的取值范围．参考答案1-5CDBDD 6-10AACDB 11-12BA13.若，则.. 14. 15.4 16. 17.18.解：，当时，有，得；当时，有，得；当时，有，得.综上所述：原不等式的解集为.（2）由题，，设所以,当时,;当时,;当时,即19.2021.解(1)因为点在的垂直平分线上，所以，∴，从而点的轨迹是以为焦点的椭圆，这时，，，∴，所以曲线的方程为.(2)由题设知，直线的斜率存在.设直线的方程为，，，由，得，因为，，所以，所以，因为点，，共线，，所以，即，又直线与轴的交点纵坐标为，所以，，所以.22.(Ⅰ)f ′(x)＝1＋ax a －（x ＋2）22（x ＋2）－2x ＝（1＋ax ）（x ＋2）2ax2＋4（a －1）. (*) 当a ≥1时，f ′(x)>0，此时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．当0<a<1时，由f ′(x)＝0得x 1＝2a 1－a (x 2＝－2a 1－a舍去)．当x ∈(0，x 1)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 1，＋∞)时，f ′(x)>0. 故f(x)在区间(0，x 1)上单调递减，在区间(x 1，＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f(x)在区间a 1－a 上单调递减，在区间，＋∞1－a上单调递增.(Ⅱ)由(*)式知，当a ≥1时，f ′(x)≥0，此时f(x)不存在极值点，因而要使得f(x)有两个极值点，必有0<a<1.又f(x)的极值点只可能是x 1＝2a 1－a 和x 2＝－2a 1－a，且由f (x)的定义可知， x>－a 1且x ≠－2，所以－2a 1－a >－a 1，－2a 1－a ≠－2，解得a ≠21.此时，由(*)式易知，x 1，x 2分别是f (x)的极小值点和极大值点．而f(x 1)＋f(x 2)＝ln(1＋ax 1)－x1＋22x1＋ln(1＋ax 2)－x2＋22x2＝ln[1＋a(x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2]－x1x2＋2（x1＋x2）＋44x1x2＋4（x1＋x2）＝ln(2a －1)2－2a －14（a －1）＝ln(2a －1)2＋2a －12－2.令2a －1＝t. 由0<a<1且a ≠21知，当0< a < 21 时，－1< t <0；当21< a <1时， 0< t ＜1. 记g(t)＝ln t 2＋t 2－2.(i)当－1<t <0时，g(t)＝2ln(－t)＋t 2－2，所以g ′(x)＝t 2－t22＝t22t －2< 0，因此，g (t)在区间(－1，0)上单调递减，从而g(t)<g(－1)＝－4<0. 故当0<a<21时，f(x 1)＋f(x 2)<0.(ii)当0<t<1时，g(t)＝2ln t ＋t 2－2，所以g ′(t)＝t 2－t22＝t22t －2< 0，因此，g(t)在区间(0，1)上单调递减，从而g(t)>g(1)＝0.故当21<a<1时，f(x 1)＋f(x 2)>0.综上所述，满足条件的a 的取值范围为，11.。

福建省2020学年高二数学上学期期末考试试题理 (2)

上学期期末考高二理科数学试题（考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1. 已知命题:1p x ∀>，总有lg 0x >，则p ⌝为( ) A.x ∃≤1，使得lg 0x ≤ B ．x ∃>1，使得lg 0x ≤ C.1x ∀>，总有lg 0x ≤ D ．1x ∀≤，总有lg 0x ≤2. 已知抛物线)0(22>=p px y 上点),4(m M 到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（）A. 4-=xB. 4=xC. 2-=xD. 2=x3. 若“a x >” 是“0ln >x ”的必要不充分条件 ,则a 的取值范围是（） A.)1,(-∞ B.]1,(-∞ C.),1(+∞ D.),1[+∞4. 直线y kx b =+与曲线22ln y ax x =+-相切于点()1,4P ，则b 的值为（）A.3B. 3-C.1-D. 15. 已知双曲线22221(0)x y a b a b -=>>的离心率等于2，则双曲线的渐近线与圆1)2(22=+-y x 的位置关系是（）A.相离B.相切C.相交D.不确定6. 某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20，45）岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况频率分布直方图如图所示，利用频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（）A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为5，则输入的实数a 的范围是( ) A. [)6,24 B. [)24,120 C. (),6-∞ D. ()5,248.若()(1)xxf x a b e =-<<，则（） A.()()f a f b = B. ()()f a f b <C. ()()f a f b >D. (),()f a f b 大小关系不能确定9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴两个端点分别为A 、B ，椭圆上一动点P （不同于AB ）和A 、B 的连线的斜率之积为常数λ，则椭圆C 的离心率为( )B.10．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（）A ．21 B ．1030 C ．1530 D ．1015 11.已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点和右焦点，且2122b F F a =，点P 为双曲线C 右支上一点，I 为12PF F ∆的内心，若1212I P F I P FI F F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为( ).A1 .B1 .C1 .D12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有5()(2)()2xf x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有唯一一个整数，则实数m 的取值范围是（） A. (,0]2e -B. (,0)2e - C ．3(,0]4e - D ．39(,]42e e- 二、填空题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分。

2019-2020年福建省福州市高二数学上学期期末考试试题(理)(有答案)[精品]

福建省福州市高二数学上学期期末考试试题理（完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．） 1、已知复数3i1iz +=-，其中为i 虚数单位，则复数的共轭复数z 所对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2、双曲线221102x y -=的焦距为（）A ．B ．C ．D ．3、若抛物线)0(22>=p px y 的焦点在直线022=--y x 上，则该抛物线的准线方程为（） A ．2=x B ．4=x C ．2-=x D ．4-=y4、条件p ：,2>x 3>y ，条件q ：5>+y x ，6>xy ，则条件p 是条件q 的（） A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．即不充分也不必要条件 D ．充要条件5、在等差数列{}n a 中，24=a ，且651021=+++a a a ，则公差d 的值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．26、已知R m ∈，若复数i m m m m z )152()65(22--+++= 为纯虚数，则m 为（） A ．3- B ．3-2或- C ．2- D ．5 7、下列命题错误．．的是：（） A ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实数根，则0≤m ”；B ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；C ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件； D ．若q p ∨为真命题，则q p ,至少有一个为真命题。

8、设椭圆的标准方程为22135x y k k+=--，其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是（） A ．54<<k B ．53<<k C ．3>k D ．43<<k 9、ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511，则ABC ∆为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形10、过点(1,1)M 的直线与椭圆22143x y +=交于,A B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（）A ．4370x y +-=B ．3470x y +-=C ．3410x y -+=D ．4310x y --=11、如果1P ，2P ，…，n P 是抛物线C ：24y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，n x ，F 是抛物线C 的焦点，若1210n x x x +++=，则12n PF P F P F +++=（）A ．220n +B ．20n +C ．210n +D ．10n +12、斜率为2的直线l 过双曲线12222=-by a x (0,0>>b a )的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．e >5B ．1<e <3C ．1<e <5D ．e <2二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

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一、选择题1．已知集合{}32,A x x n n N ==+∈，{}2,4,6,8,10B =，则A B =（）A ．φB ．{}2C ．{}8D ．{}2,82．下列四个函数中，在区间()0,∞+上是减函数的是（）A.3log y x =B.3x y =C.y =D.1y x=3．已知,,a b m R ∈，则下列说法正确的是（）A.若a b >>B.若a b <，则22am bm <C.若11a b<，则a b > D.若33a b >，则a b >4．某几何体的三视图如图所示，其中三个圆半径都相等，且每个圆中两条半径互相垂直，若该几何体的表面积是68π，则它的体积是A ．1123π B C ．2243π D 5．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.1,22⎛⎫⎪⎝⎭ B.1,22⎛⎫⎪⎝⎭或1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭C.1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.1,22⎛⎫-⎪⎝⎭6．某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是( ) ． A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．非上述答案7．函数f （x ）=log 2x ﹣1x的零点所在的区间为（） A.（0，1） B.（l ，2） C.（2，3）D.（3，4）8．函数的图象可能是（）A. B.C. D.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，18a =，42a =且满足()*212n n n a a a n N ++=-∈，若510S a λ=，则λ的值为（） A.13- B.3- C.12-D.2-10．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.11．已知函数，若函数与函数有相同的值域，则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．12．已知函数()ln f x x x =+，则()1f '的值为（） A.1 B.-2C.-1D.2二、填空题13．若命题：2,10x R kx kx ∀∈--<是真命题，则实数k 的取值范围是______． 14．求曲线3231y x x =-+在点()1,1-处的切线方程是________.15．如图，在正方形内有一扇形（见阴影部分），扇形对应的圆心是正方形的一顶点，半径为正方形的边长。

在这个图形上随机撒一粒黄豆，它落在扇形外正方形内的概率为__ _16．集合A ，B 满足{}1,2,3,4,5,6,7,8A B ⋃=，AB =∅，若A ，B 中的元素个数分别不是A ，B 中的元素，则满足条件的集合A 的个数为____．（用数字作答）三、解答题 17．设数列的前项和为，满足，又数列为等差数列，且，.（1）求数列、的通项公式；（2）记，求数列的前项和.18．在极坐标系中，已知点，直线为.求点的直角坐标与直线的普通方程；19．某市在“创文”期间，创“文明行车、出行安全”．交警部门通过路面监控随机抽样40辆小轿车调查经过某区间路段的汽车行驶速度，现将行车速度分成六段，得到如图所示的频率分布直方图，根据图解答下列问题．（1）估计这40辆小型车辆车速的平均数；（2）假设车速在以下为安全行驶，估计某小型轿车途径该路段时为安全行驶的概率；（3）若在这40辆车中随机抽取两辆车速为内的轿车，求两辆车速都在内的概率． 20．在中，角的对边分别为（1）已知，求的大小；（2）已知，求的大小．21．若，，，比较，，的大小.22．在正方体1111ABCD A B C D 中.(Ⅰ)求证：11A C //平面ABCD ；(Ⅱ)求二面角11A BD C --的平面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题二、填空题13．(]4,0-. 14．32y x =-+ 15． 16．三、解答题 17．(1)，;(2).【解析】试题分析：⑴设的公差为，根据，求得数列的通项公式；当时，求得，当时，，可得的通项公式；⑵先求出，运用数列的求和方法，裂项相消求和，化简整理可得答案；解析：（1）设的公差为，则∴∴当时，，∴当时，∴∴（2）由（1）知，∴18．（1）（2）【解析】【分析】根据将点与直线极坐标方程化为直角坐标与直角坐标方程.【详解】因为，所以，因为，所以【点睛】(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.19．（1）77；（2）0.65；（3）.【解析】试题分析：（1）根据定义求解这40辆小型车辆的平均车速；（2）根据频率分布直方图可知：车速在内的频率分别为0.05、0.1、0.2、0.3，从而可得结果；（3）从图中可知，车速在[60，65）的车辆数，车速在[65，70）的车辆数，设车速在[60，65）内的2辆车记为，车速在[65，70）内的4辆车记为，列出所有基本事件，车速在[65，70）的车辆数，然后求解概率．试题解析：（1）根据频率分布直方图可知，平均数的估计值为：；（2）根据频率分布直方图可知：车速在内的频率分别为0.05、0.1、0.2、0.3；所以车速在以下的频率为，故某小型轿车途径该路段时为安全行驶的概率估计为0.65；（3）由（2）可知：车速在内的频率为0.05，车辆数为，车速在内的频率为0.1，车辆数为，车速在内的2辆车记为，车速在内的4辆车记为，设在车速内随机抽取两辆小型轿车，两辆车速都在内为事件，则从6辆车中随机抽取2辆车的所有可能结果为：，共15种；事件包含的基本事件为共6种；所以，故在车速为内随机抽取两辆小型轿车，两辆车速都在内的概率为．20．(1) .（2）.【解析】试题分析：（1），解得，，再由正弦定理即可求解；（2）由余弦定理，求得，即可得到，即可求解的大小．试题解析：（1），所以在中，，由正弦定理有；（2）由余弦定理有，于是，，．21．.【解析】分析：利用作差法比较大小即可.详解：∵，，，∴，即，，即，综上可得：.点睛：作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．22．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）13.【解析】【分析】（Ⅰ）连接AC，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，证明四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，再由线面平行的判定可得A1C1∥平面ABCD；（Ⅱ）找出二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，再由余弦定理求解．【详解】(Ⅰ)证明：连接AC，交BD于O，在正方体1111ABCD A B C D-中，11AA//CC，11AA CC=，∴四边形11AA C C为平行四边形，则11A C//AC．AC ⊂平面ABCD，11A C⊄平面ABCD，11A C//∴平面ABCD；(Ⅱ)连接1A O，1C O，则1A O BD⊥，1C O BD⊥，即11A OC∠为二面角11A BD C--的平面角．设正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，则11A C=，11A O C O===．在11A OC中，221121cos A OC3∠+-==．∴二面角11A BD C--的平面角的余弦值为13．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角的求法，正确找出二面角的平面角是关键，是中档题．一、选择题1．学校某课题组为了解本校高二年级学生的饮食均衡发展情况，现对各班级学生进行抽样调查已知高二班共有52名同学，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是 A ．13B ．19C ．20D ．512．某高校有男学生3000名，女学生7000名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生300名，女学生700名进行调查，则这种抽样方法是（） A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法3．方程1x -=( ) A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半圆4．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2=BD•BC ．拓展到空间，在四面体A-BCD 中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在△BCD 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（） A.2ABCBCOBCD S SS=⋅B.2ABDBODBOC SSS=⋅C.2ADCDOC BOC SSS=⋅D.2BDCABDABC SSS=⋅5．命题“,ln x R x x ∀∈>”的否定为（） A.,ln x R x x ∀∈≤ B.,ln x R x x ∀∈< C.000,ln x R x x ∃∈≤D.000,ln x R x x ∃∈>6．袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P 表示“取出的都是黑球”；事件Q 表示“取出的都是白球”；事件R 表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是( )A ．P 与R 是互斥事件B ．P 与Q 是对立事件C ．Q 和R 是对立事件D ．Q 和R 是互斥事件，但不是对立事件 7．执行如图的程序框图，若输出的，则输入的值可以为（）A ．4B ．6C ．8D ．108．设，则是的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．已知2sin()3-=-p a ,且(,0)2απ∈-，则tan(2)πα-= （）B.D.2-10．下列复数为纯虚数的是（） A.21i +B.2i i +C.11i-D.2(1)i -11．函数()cos xf x e x =⋅在()()0,0f 处切线斜率为（） A.0B.1-C.1D.212．中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（） A.3 B.4C.5D.6二、填空题13．命题“∃x ∈（0，2π），cosx ＞x”的否定是______．14．设复数(,)a bi a b R +∈的模为3，则()()a bi a bi +-=__________．15．若变量x 、y 满足约束条件2020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为__________．16．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果I为____．三、解答题17．已知函数，（1）若曲线在点处的切线方程为，求；（2）求函数的极值.18．已知，，其中.（1）若，且为真，求的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．19．如图，在三棱锥中，，，°,平面平面，分别为中点.（1）求证：平面;（2）求二面的大小.20．设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式有解，求的取值范围．21．（1）求的展开式中的常数项；（2）设，求．22．某周末，郑州方特梦幻王国汇聚了八方来客.面对该园区内相邻的两个主题公园“千古蝶恋”和“西游传说”，成年人和未成年人选择游玩的意向会有所不同.某统计机构对园区内的100位游客（这些游客只在两个主题公园中二选一）进行了问卷调查.调查结果显示，在被调查的50位成年人中，只有10人选择“西游传说”，而选择“西游传说”的未成年人有20人.（1）根据题意，请将下面的22⨯列联表填写完整；（2）根据列联表的数据，判断是否有99%的把握认为选择哪个主题公园与年龄有关.附参考公式与表：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题二、填空题13．(0,2),cos x x x π∀∈≤ 14．9 15．8 16．16；三、解答题17．（1）,．（2）见解析.【解析】试题分析：由题意知函数的定义域为，.（1）由，，得，进而得到切线方程，即可求得的值；（2）由，，分和分类讨论，即可求得函数的极值．试题解析：由题意知函数的定义域为，.（1），，∴.∴在点处的切线方程为，即，∴．（2）由，可知：①当时，，函数为上的增函数，函数无极值．②当时，由，解得.又当时，；当时，.从而函数在处取得极大值，且极大值为，无极小值. 综上，当时，函数无极值；当时，函数在处取得极大值，无极小值.18．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）为真时的条件,当且仅当与都为真时才为真；（2）判断充分不必要条件时,如果无法进行正面判断,则可以使用其逆否命题进行判断,然后转化为集合之间的包含关系,得出答案．试题解析：解：（1）由，解得，所以又，因为，解得，所以．当时，，又为真，都为真，所以．（2）由是的充分不必要条件，即，，其逆否命题为，由（1），，所以，即．考点：1．一元二次不等式．2．命题及其关系．3．充分必要条件．【方法点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题．解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误．充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化,进而成为命题所表示的范围间的大小关系,转化为集合的问题．另外需注意等号的取舍．19．（1）详见解析（2）【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得，进而由线面平行的判定定理，即可正面的结论；（2）以D为原点建立空间空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量的夹角公式，即可求解二面角的大小。