反比例函数与几何图形练习
(江西人教)数学中考专题突破【专题4】反比例函数与几何图形综合题(20页)
本的途径，预计2015年仍会延续此命题方式．
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
考向互动探究
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？
2．∠BCO与∠BPD有怎样的数量关系？
3．tan∠BCO的值是多少？怎样求线段OC的长？
4．要求点D的坐标，需要求出哪两条线段的长？怎样求？
5．怎样确定反比例函数的解析式？
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
【解题思路】
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
例 1 [2014·南昌] 如图 T4－1，在平面直角坐标系中，Rt△ 1 PBD 的斜边 PB 落在 y 轴上，tan∠BPD＝ .延长 BD 交 x 轴于点 C， 2 过点 D 作 DA⊥x 轴，垂足为 A，OA＝4，OB＝3. (1)求点 C 的坐标； k (2)若点 D 在反比例函数 y＝ (k＞0)的图象上，求反比例函数 x 的解析式．考点探究专题四来自反比例函数与几何图形综合题
图T4－3
考点探究
专题四
反比例函数与几何图形综合题
解：(1)过点 C 作 CE⊥AB 于点 E. ∵四边形 ABCD 是梯形，AD＝BC ∴DO＝CE， ∴△AOD≌△BEC，∴AO＝BE＝2. ∵BO＝6，∴DC＝OE＝4， ∴C(4，3)． k 设反比例函数的解析式为 y＝ (k≠0)， x k 根据题意，得 3＝ ， 4
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？
2．B，C，D三点的坐标可以看作由点A(2，6)通过怎样的平
移得到？
3．在将矩形向下平移的过程中，哪两点能同时落在函数图 象上？ 4．将矩形向下平移 a个单位后点A，C对应的点A′，C′的 坐标怎样表示？
专题训练：反比例函数与几何的综合应用(含答案)
专训3 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知量，然后结合函数的图象用含未知数的代数式表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组)，解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数表达式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．【2015·枣庄】如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝6x (x >0)的图象交于A (m ，6)，B (3，n )两点．(1)求一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出使kx ＋b <6x 成立的x 的取值范围；(3)求△AOB 的面积．2．如图，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，AO ＝CD ＝2，AB ＝DA ＝5，反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象过CD 的中点E .(1)求证：△AOB ≌△DCA ； (2)求k 的值；(3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，试判断点G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由．反比例函数与四边形的综合类型1 反比例函数与平行四边形的综合3．如图，过反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象上一点A 作x 轴的平行线，交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点B ，过B 作BC ∥OA 交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点D ，交x 轴于点C ，连接AD 交y轴于点E ，若OC ＝3，求OE 的长．4．【2015·烟台】如图，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y ＝kx(x >0)的图象过对角线的交点P 并且与AB ，BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则△ODE 的面积为________．5．【2015·德州】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB ，AC 相交于点D ，且BE ∥AC ，AE ∥OB .(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)如果OA ＝3，OC ＝2，求出经过点E 的双曲线对应的函数表达式．6．【2015·武威】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝kx (k >0，x >0)的图象上，点D 的坐标为(4，3)．(1)求k 的值；(2)若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝kx (k >0，x >0)的图象上时，求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．类型4 反比例函数与正方形的综合7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数y ＝kx (x ＞0，k ≠0)的图象经过线段BC 的中点D .(1)求k 的值；(2)若点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动(不与点D 重合)，过点P 作PR ⊥y 轴于点R ，作PQ ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式并写出x 的取值范围．反比例函数与圆的综合8．如图，双曲线y ＝kx (k >0)与圆O 在第一象限内交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为________．9．如图，反比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象与圆O 相交．某同学在圆O 内做随机扎针试验，求针头落在阴影区域内的概率．参考答案1．解：(1)∵A (m ，6)，B (3，n )两点在反比例函数y ＝6x (x >0)的图象上，∴m ＝1，n ＝2，即 A (1，6)，B (3，2)．又∵A (1，6)，B (3，2)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k ＋b ，2＝3k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝8， 即一次函数表达式为y ＝－2x ＋8.(2)根据图象可知使kx ＋b <6x成立的x 的取值范围是0<x <1或x >3.(3)如图，分别过点A ，B 作AE ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，垂足分别为E ，C ，设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0，得x ＝4，即D (4，0)．∴OD ＝4. ∵A (1，6)，B (3，2)，∴AE ＝6，BC ＝2. ∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝12×4×6－12×4×2＝8.2．(1)证明：∵点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，∴∠AOB ＝∠DCA ＝90°.在Rt △AOB 和Rt △DCA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝DC ，AB ＝DA ， ∴Rt △AOB ≌Rt △DCA .(2)解：在Rt △ACD 中，∵CD ＝2，DA ＝5，∴AC ＝DA 2－CD 2＝1. ∴OC ＝OA ＋AC ＝2＋1＝3. ∴D 点坐标为(3，2)． ∵点E 为CD 的中点， ∴点E 的坐标为(3，1)． ∴k ＝3×1＝3.(3)解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，∴△BFG ≌△DCA . ∴FG ＝CA ＝1，BF ＝DC ＝2，∠BFG ＝∠DCA ＝90°.易知OB ＝AC ＝1，∴OF ＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为(1，3)．∵1×3＝3，∴点G (1，3)在反比例函数的图象上．3．解：设点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，6a ，由题易知四边形ABCO 是平行四边形，∴AB ＝OC ＝3.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a －3，6a . ∴(a －3)·6a ＝－3.∴a ＝2.∴A 点的坐标为(2，3)，B 点的坐标为(－1，3)． ∵C 点的坐标为(－3，0)，∴直线BC 对应的函数表达式为y ＝32x ＋92.∴⎩⎨⎧y ＝32x ＋92，y ＝－3x ，整理得x 2＋3x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－2. ∴D ⎝⎛⎭⎫－2，32. ∴直线AD 对应的函数表达式为y ＝38x ＋94.∴OE ＝94.4.154点拨：因为C (0，2)，A (4，0)，由矩形的性质可得P (2，1)，把P 点坐标代入反比例函数表达式可得k ＝2，所以反比例函数表达式为y ＝2x 易知D 点的横坐标为4，所以AD＝24＝12.又易知点E 的纵坐标为2，所以2＝2CE .所以CE ＝1.所以BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC－S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－94－1＝154.5．(1)证明：∵BE ∥AC ，AE ∥OB ， ∴四边形AEBD 是平行四边形． ∵四边形OABC 是矩形，∴DA ＝12AC ，DB ＝12OB ，AC ＝BO .∴DA ＝DB .∴四边形AEBD 是菱形． (2)解：连接DE ，交AB 于F ，易知DE ＝OA ＝3. ∵四边形AEBD 是菱形，∴EF ＝DF ＝12DE ＝32，AF ＝12AB ＝12OC ＝1.∴E ⎝⎛⎭⎫92，1. 设所求反比例函数表达式为y ＝k x，把点E ⎝⎛⎭⎫92，1的坐标代入得1＝k 92，解得k ＝92. ∴所求反比例函数表达式为y ＝92x.6．解：(1)如图，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，∵点D 的坐标为(4，3)， ∴OF ＝4，DF ＝3. ∴OD ＝5. ∴AD ＝OD ＝5.∴点A 的坐标为(4，8)． ∴k ＝xy ＝4×8＝32. ∴k ＝32.(2)如图，将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，使得点D 落在反比例函数y ＝32x (x >0)的图象上D ′点处，过点D ′作x 轴的垂线，垂足为F ′.∵DF ＝3，∴D ′F ′＝3. ∴点D ′的纵坐标为3. ∵点D ′在y ＝32x 的图象上，∴3＝32x ，解得x ＝323，即OF ′＝323.∴FF ′＝323－4＝203.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为203.7．解：(1)∵正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，∴C (0，2)．∵D 是BC 的中点，∴D (1，2)．∵反比例函数y ＝kx (x ＞0，k ≠0)的图象经过点D ，∴k ＝2.(2)当P 在直线BC 的上方，即0＜x ＜1时， ∵点P (x ，y )在该反比例函数的图象上运动， ∴y ＝2x.∴S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·⎝⎛⎭⎫2x －2＝2－2x .当P 在直线BC 的下方，即x ＞1时，同理求出S 四边形CQPR ＝CQ ·PQ ＝x ·⎝⎛⎭⎫2－2x ＝2x －2. 综上，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2（x ＞1），2－2x （0＜x ＜1）.8．4 点拨：∵圆O 在第一象限关于直线y ＝x 对称，y ＝kx (k ＞0)也关于直线y ＝x 对称，P 点坐标是(1，3)，∴Q 点的坐标是(3，1)．∴S 阴影＝1×3＋1×3－2×1×1＝4.故答案是4. 9．解：∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴阴影部分的面积占圆O 面积的14.∴针头落在阴影区域内的概率为14.。
2020届中考数学大二轮素养突破2.题型二 反比例函数与几何图形的计算(含答案)
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
第 2 题图
3. 如图所示，在直角平面坐标系 xOy 中，点 A、B、C 为反比例函数 y＝k(k>0)上不同的三点，连接 OA、 x
OB、OC.过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，过点 B、C 分别作 BE、CF 垂直 x 轴于点 E、F，OC 与 BE 相交于点 M， 记△AOD、△BOM、四边形 CMEF 的面积分别为 S1、S2、S3，则( )
原点 O 成中心对称．∴S△AOB＝S△BOC＝S△COD＝S△AOD＝2k＝2，∴S 四边形 ABCD＝2×4＝8.
8. 3 【解析】如解图，连接 OB，∵E、F 是反比例函数 y＝k(x＞0)的图象上的点，EA⊥x 轴于点 A， x
FC⊥y 轴于点 C，∴S△AOE＝S△COF＝12k，∵AE＝BE，∴S△BOE＝S△AOE＝12k，S△BOC＝S△AOB＝k，∴S△BOF＝S△BOC －S△CDF＝k－12k＝12k，∴点 F 是 BC 的中点，∴S△OEF＝S 矩形 AOCB－S△AOE－S△COF－S△BEF＝2k－2k－2k－12×12k＝ 9，解得 k＝3. 4
∴S△PMO＝S△PNO＝2，∴S
矩形
OMPN＝4，∴OM·ON＝4，∴OM＝ 4 ，∴AP＝ 12 －ON＝3ON－ON＝2ON，BP
ON
OM
＝ 12 －OM＝ 8 ，∴S△APB＝1AP·BP＝1×2ON× 8 ＝8.
ON
ON
2
2
ON
第 6 题解图
7. 8 【解析】∵y＝4的图象与 y＝x 的图象都关于原点 O 成中心对称，∴这两个函数图象的交点关于 x
专题：反比例函数与几何图形结合
专题4：反比例函数与几何图形结合方法点睛反比例函数与几何图形结合常涉及以下几个方面：1．求反比例函数与一次函数的解析式：(1)找到或求出反比例函数图象上一点的坐标，利用待定系数法求解；(2)找到或求出一次函数图象上两点的坐标，再利用待定系数法求解．注：当已知一次函数与反比例数函数图象上的一个交点A的坐标及交点B的横(纵)坐标，确定两个函数的解析式时，先利用点A的坐标求得反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求得点B的坐标，再利用A，B两点的坐标确定一次函数解析式．2、(1)给出图形面积求点的坐标：根据解析式用只含一个参数的代数式表示该点的坐标，列出关于该图形面积的等式进行求解．(2)点的存在性问题：涉及线段和面积的关系，图形的判定等，对这类题应观察图形，结合问题，建立数学模型，按照题意列出等量关系式进行求解．典例分析例1：（2022达州中考）如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于(,2)A m ，B 两点，分别连接OA ，OB ．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）求AOB 的面积；（3）在平面内是否存在一点P ，使以点O ，B ，A ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P专题过关1.（2022西宁中考）如图，正比例函数4y x =与反比例函数()0k y x x=>的图象交于点(),4A a ，点B 在反比例函数图象上，连接AB ，过点B 作BC x ⊥轴于点()2,0C ．（1）求反比例函数解析式；（2）点D 在第一象限，且以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出．．．．点D 的坐标．2.（2022绵阳中考）如图，一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=在第一象限交于(2,8)M 、N 两点，NA 垂直x 轴于点A ，O 为坐标原点，四边形OANM 的面积为38．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）点P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使PMN 的面积最小时点P 的位置（不需证明），并求出点P 的坐标和PMN3.（2022眉山中考）已知直线y x =与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于点(2,)M a ．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，将直线y x =向上平移b 个单位后与k y x=的图象交于点(1,)A m 和点(,1)B n -，求b 的值；（3）在（2）的条件下，设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，求证：AOD BOC ≌△△．4.（2022衡阳中考）如图，反比例函数myx=的图象与一次函数y kx b=+的图象相交于()3,1A，()1,B n-两点．（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）设直线AB交y轴于点C，点M，N分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形OCNM是平行四边形，求点M的坐标．A，B两点．5.（2022常德中考）如图，已知正比例函数1y x=与反比例函数2y的图象交于()2,2y y<时x的取值范围；（1）求2y的解析式并直接写出12（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．6.（2022绥化中考）在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22k y x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）当21y y >时，求x 的取值范围；（3）若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．7.（2022大庆中考）已知反比例函数k y x =和一次函数1y x =-，其中一次函数图象过(3,)a b ，31,3k a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭两点．（1）求反比例函数的关系式；（2）如图，函数1,33y x y x ==的图象分别与函数(0)k y x x =>图象交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点P ，使得ABP △周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．8.（2022湘潭中考）已知()3,0A 、()0,4B 是平面直角坐标系中两点，连接AB ．（1）如图①，点P 在线段AB 上，以点P 为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P 的反比例函数表达式；（2）如图②，点N 是线段OB 上一点，连接AN ，将AON 沿AN 翻折，使得点O 与线段AB 上的点M 重合，求经过A 、N 两点的一次函数表达式．9.（2022成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数26y x =-+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于(),4A a ，B 两点．（1）求反比例函数的表达式及点B 的坐标；（2）过点A 作直线AC ，交反比例函数图象于另一点C ，连接BC ，当线段AC 被y 轴分成长度比为1:2的两部分时，求BC 的长；（3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P 是第三象限内的反比例函数图象上一点，ABPQ 是完美筝形时，求P ，Q 两点的坐标．10.（2022河南西华二模）如图，反比例函数(0)my x x=>的图象与一次函数y kx b =+的图象交于(14)B ，和(1)C n ，两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出不等式(0)mkx b x x+> 的解集；（3）将直线BC 向下平移5个单位长度得到直线l ，已知点P ，Q 分别为x 轴、直线l 上的动点，当PC PQ +的值最小时，请直接写出点P 的坐标．11.（2022河南西华一模）在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky x x=>的图象经过点()2,3A ，()6,B a ，直线l ：y ＝mx ＋n 经过A ，B 两点，直线l 分别交x 轴，y 轴于D ，C 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）在y 轴上是否存在一点E ，使得以A ，C ，E 为顶点的三角形与△CDO 相似？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．12.（2022河南长垣一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y x =与反比例函数1y x=（x ＞0）的图象交于点A ，将直线y x =沿y 轴向上平移k 个单位长度，交y 轴于点B ，交反比例函数图象于点C ，且13BC OA =．AD ⊥y 轴于点D 、CE ⊥y 于点E ．（1）求证：△BCE ∽△OAD ；（2）求点A 和点C 的坐标；（3）求k 值．13.（2022河南虞城二模）如图，点A 为直线y ＝3x 上位于第一象限的一个动点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位长度到点C ，以AB ，BC 为边构造矩形ABCD ，经过点A 的反比例函数()0ky x x=>的图象交CD 于点M ．（1）若B(1，0)，求点M 的坐标；（2）连接AM ，当AM ⊥OA 时，求点A 的坐标．14.（2022河南商城二模）如图，一次函数2y x =与反比例函数(0)ky k x=>的图象交于点A ，B ，点P 在以点(2,0)C -为圆心，1为半径的C 上，Q 是AP 的中点，OQ 长的最大值为32时．（1）试确定反比例函数ky x=的表达式．（2）C 与x 轴在点C 的左侧交于点M ，请直接写出劣弧MP 的长是___________．（sin 310.52︒≈，sin 400.64︒≈，sin530.8︒≈．）15.（2022新乡二模）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数为11y k x =和反比例函数22k y x=图像交于A ，B 两点，矩形OAEC 的边EC 交x 轴于点D ，AD ⊥x 轴，点D 的坐标为（2，0），且AE=ED ．（1）求这两个函数的解析式；（2）点P 为y 轴上的一个动点，当PE-PA 的值最大时，求点P 的坐标．16.（2022河南西平一模）如图，一次函数11y k x b =+经过点()4,0A ，()0,4B ，与反比例函数()220k y x x=>的图象交于点()1,C n ，D 两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出当210k k x b x<+≤时x 的取值范围；（3）点P 在x 轴上，是否存在PCD 是以CD 为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．17.（2022河南天一大联考）如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y 2k x=的图象交于点A （m ，2），B （﹣1，4），与y 轴交于点C ，连接OA ，OB ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△OAB 的面积；（3）若点P 在y 轴上，且BP 12=OA ，请直接写出点P 的坐标．18.（2022河南实验中学一模）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，D是AB边的中点，反比例函数yk x（x＞0）的图象经过点D，与BC边交于点E．（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；（2）若点P在y轴上，当△PDE的周长最小时，求出此时点P的坐标．19.（2022河南虞城二模）如图，一次函数142y x=-+交反比例函数(0)ky xx=>于A，B两点，过点A作AC x⊥轴于点C，AOC△的面积为3．（1）求反比例函数的解析式；（2）D为y轴上一个动点，当DA DB+有最小值时，求点D的坐标．20.（2022河南夏邑一模）在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)k y x x=>的图象经过点(2,3),(6,)A B a ，直线:l y mx n =+经过A ，B 两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式，并在下面的平面直角坐标系中描绘出一次函数的大致图象．（2）当直线l 向下平移b 个单位时，与(0)k y x x=>的图象有唯一交点，求b 的值．（3）若直线AB 分别交x 轴，y 轴于D ，C 两点，在y 轴上是否存在一点Q ，使得ACQ 与CDO 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（2022南阳方城二模）如图，在矩形OABC 中，2,4AB BC ==，点D 是边AB 的中点，反比例函数1(0)k y x x=>的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为2(0)y mx n m =+≠．（1）求反比例函数1(0)k y x x=>的解析式和直线DE 的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，PDE △的周长最小值是______．22.（2022洛阳一模）如图，反比例函数()0k y k x =≠的图象与正比例函数32y x =-的图象相交于(),3A a ，B 两点．（1）求k 的值及点B 的坐标；（2）请直接写出不等式32k x x >-的解集；（3）已知AD x ∥轴，以AB 、AD 为边作菱形ABCD ，求菱形ABCD 的面积．23.（2022开封二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数()0n y n x=≠与一次函数()0y kx b k =+≠的图像相交于点()1,A m ，()3,1B --两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出n kx b x+>的解集．（3）已知直线AB 与y 轴交于点C ，点(),0P t 是x 轴上一动点，作PQ ⊥x 轴交反比例函数图像于点Q ，当以C ，P ，Q ，O 为顶点的四边形的面积等于2时，求t 的值．24.（2022鹤壁一模）如图，在矩形ABCO 中，84AB BC ==，，点D 是边AB 的中点，反比例函数11(0)k y x x=<的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为()2220y k x b k =+≠．（1）求反比例函数和直线DE 的解析式．（2）在x 轴上找一点P ，使PDE △的周长最小，求出此时点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，PDE △的周长最小值是_________．25.（2022周口扶沟一模）如图，正比例函数y x =的图象与反比例函数k y x=（0x >）的图象交于点()1,A a ，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CA CB =，点C 坐标为()2,0-．（1）求k 的值；（2）求AB 所在直线的解析式．26.（2022信阳一模）如图，直线y=-2x+b与x轴、y轴分别相交于点A，B，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，已知（1）求直线AB的解析式；（2）求点D的坐标，并判断点D是否在双曲线y=12x，说明理由.27.（2022雅安中考）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A的坐标为（m，2），点B在x轴上，将△ABO向右平移得到△DEF，使点D恰好在反比例函数y＝8x（x＞0）的图象上．（1）求m的值和点D的坐标；（2）求DF所在直线的表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF的另一交点为点G，求S△EFG．28.（2022盘锦中考）如图，平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是菱形，点A 在y 轴正半轴上，点B 的坐标是(4,8)-，反比例函数(0)k y x x=<的图象经过点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）点D 在边CO 上，且34CD DO =，过点D 作DE x 轴，交反比例函数的图象于点E ，求点E 的坐标．29．（2022天门中考）（7分）如图，OA＝OB，∠AOB＝90°，点A，B分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x ＞0）的图象上，且点A的坐标为（1，4）．（1）求k1，k2的值；（2）若点C，D分别在函数y＝（x＞0）和y＝（x＞0）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得△COD≌△AOB．若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由．30.（2022恩施中考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知∠ACB=90°，A(0，2)，C(6，2)．D 为等腰直角三角形ABC 的边BC 上一点，且S △ABC =3S △ADC ．反比例函数y 1=kx(k≠0)的图象经过点D ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若AB 所在直线解析式为()20y ax b a =+≠，当12y y >时，求x 的取值范围．31.（2022河南中考）如图，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点()2,4A 和点B ，点B 在点A 的下方，AC 平分OAB ∠，交x 轴于点C ．（1）求反比例函数的表达式．（2）请用无刻度的直尺和圆规作出线段AC 的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B 铅笔作图）（3）线段OA 与（2）中所作的垂直平分线相交于点D ，连接CD ．求证：CD AB ∥．32.（2022荆州中考）小华同学学习函数知识后，对函数()()2410410x x y x x x⎧-<≤⎪=⎨-≤->⎪⎩或通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．x…－4－3－2－134-12-14-01234…y (1)4324941140－4－243-－1…请根据图象解答：（1）【观察发现】①写出函数的两条性质：______；______；②若函数图象上的两点()11,x y ，()22,x y 满足120x x +=，则120y y +=一定成立吗？______．（填“一定”或“不一定”）（2）【延伸探究】如图2，将过()1,4A -，()4,1B -两点的直线向下平移n 个单位长度后，得到直线l 与函数()41y x x=-≤-的图象交于点P ，连接PA ，PB ．①求当n ＝3时，直线l 的解析式和△PAB 的面积；②直接用含．．．．n ．的代数式表示．．．．．．△PAB 的面积．33.（2022牡丹江中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD ，A 在y 轴的正半轴上，B ，C 在x 轴上，AD//BC ，BD 平分ABC ∠，交AO 于点E ，交AC 于点F ，CAO DBC ∠=∠．若OB ，OC 的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个根，且OB OC >．请解答下列问题：（1）求点B ，C 的坐标；（2）若反比例函数()0ky k x=≠图象的一支经过点D ，求这个反比例函数的解析式；（3）平面内是否存在点M ，N （M 在N 的上方），使以B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是边长比为2:3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N 的坐标；若不存在，请说明理由．34.（2022驻马店六校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数kyx(x>0)的图象和矩形ABCD在第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6)．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．35.（2022周口川汇区一模）如图，正方形ABCD的边AB在x轴上，点D的坐标为（2，2），点M是AD的中点，反比例函数ykx的图象经过点M，交BC于点N．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是x轴上的一个动点，求PM+PN的最小值．36.（2022郑州外国语一模）如图，点()4,B a 是反比例函数()120y x x=>图象上一点，过点B 分别向坐标轴作垂线，垂足为A ，C ．反比例函数()0ky x x=>的图象经过OB 的中点M ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E ．连接DE 并延长交x 轴于点F ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求BDF 的面积；（3）设直线DE 的解析式为1y k x b =+，请结合图像直接写出不等式1kk x b x+<的解集______．37.（2022郑州二模）如图1，点A、B是双曲线y=kx（k＞0）上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段AC、AD、BE、BF，AC和BF交于点G，得到正方形OCGF（阴影部分），且S阴影=1，△AGB的面积为2．（1）求双曲线的解析式；（2）在双曲线上移动点A和点B，上述作图不变，得到矩形OCGF（阴影部分），点A、B在运动过程中始终保持S阴影=1不变（如图2），则△AGB的面积是否会改变？说明理由．38.（2022信阳三模）如图，在矩形OABC中，BC＝4，OC，OA分别在x轴、y轴上，对角线OB，AC交于点E；过点E作EF⊥OB，交x轴于点F．反比例函数kyx=（x＞0）的图像经过点E，且交BC于点D，已知S△OEF＝5，CD＝1．（1）求OF的长；（2）求反比例函数的解析式；（3）将△OEF沿射线EB个单位长度，得到△O'E'F'，则EF的对应线段E'F'的中点（填“能”或“不能”）落在反比例函数kyx=（x＞0）的图上．39.（2022河南新野一模）如图，()()4,30P m m m ->是双曲线12y x =-上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线k y x=于E 、F 两点．（1）求直线AB 的解析式；（2）若12BFBP =，求k 的值和EF 的长．40.（2022平顶山二模）如图，四边形ABCD，EFGH均为菱形，其中点E，A，B，F四点均在x轴上，点D，H在y轴上，EH∥AD．双曲线y=kx(x>0)的图象过点C(5，4)，交边GH于点P(103，a)．（1）填空：k=______，a=______；（2）求菱形EFGH的面积．41.（2022南阳卧龙一模）如图，已知在平面直角坐标系中，点(3,4)B 在反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象上，过点B 作BA x ⊥轴于点A ，连接OB ，将OAB 向右平移，得到,'''''O A B O B 交双曲线于点(3,)C a a ．（1）求k ，a 的值；（2）求OAB 向右平移的距离；（3）连接,BC OC ，则OBC 的面积为____________．42.（2022洛阳伊川一模）如图，已知点()0,1A 在y 轴上，点()10B ,在x 轴上，以AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ，此时反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象恰好经过点C ，D ．（1）直接写出点D 的坐标和反比例函数的表达式；（2）将正方形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转，当点C 的对应点C '落在x 轴上时，判断点D 的对应点D ′是否落在反比例函数k y x =的图象上，并说明理由．43.（2022洛阳二模）如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点分别为()1,2A ，()4,2B ，()7,5C ，曲线():0k G y x x=>．（1）求点D 的坐标；（2）当曲线G 经过ABCD 的对角线的交点时，求k 的值；（3）若曲线G 刚好将ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，则直接写出k 的取值范围是______．44.（2022河南林州一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 坐标为()2,4，点M 是AB 的中点，反比例函数k y x=的图象经过点M ，交CD 于点N ．（1）求反比例函数的表达式；（2）若反比例函数图象上的一个动点(),P m n 在正方形ABCD 的内部（含边界），求POC △面积的最小值．45.（2022河南兰考一模）如图，在平面直角坐标系中，ABCD 的顶点分别为(1,2),(4,2),(7,5)A B C ，曲线(0)k y k x=>．（1）当曲线经过ABCD 的对角线的交点时，求k 的值．（2）若曲线刚好将ABCD 边上及其内部的“整点”（横、纵坐标都为整数的点）分成数量相等的两部分，求k 的取值范围．46.（2022河南兰考二模）如图，在矩形OABC 中，2AB =，4BC =，D 是AB 边的中点，反比例函数()0k y x x=>的图象经过点D ，与BC 边交于点E ．（1）求反比例函数的表达式及点E 的坐标；（2）若点P 在y 轴上，当△PDE 的周长最小时，直接写出△PDE 的面积．47.（2022河南滑县一模）如图，平行四边形OABC 的顶点A ，C 都在反比例函数y k x=（k ＞0）的图象上，已知点B 的坐标为（8，4），点C 的横坐标为2．（1）求反比例函数y k x=（k ＞0）的解析式；（2）求平行四边形OABC 的面积S ．48.（2022河南邓州一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A （1，0），D （0，2），反比例函数k y x =的图象经过了矩形的顶点B ，且1tan 2ABD ∠=．（1）求反比例函数表达式；（2）动手画直线OB ，记为y mx =，结合图象直接写出关于x 的不等式0k mx x ->的解集．。
2.反比例函数与几何图形结合(6道)
反比例函数与几何图形结合1．如图，已知点A(5，0)，B(0，5)，把一个直角三角尺DEF 放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动，其中∠EFD＝45°，ED＝2，点G为边FD 的中点．(1)求直线AB的解析式；(2)如图，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y＝kx(k≠0)的解析式；(3)在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，请说明理由．解：(1)设直线AB的解析式为y＝ax＋b，把A 、B 的坐标分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋b ＝0b ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5； (2)∵A (5，0)， ∴OA ＝5，当D 与A 重合时，则OE ＝OD －DE ＝5－2＝3， ∵∠EFD ＝45°， ∴EF ＝DE ＝2， ∴F (3，2)，D (5，0)， ∵G 为DF 的中点， ∴G (4，1)，∵点G 在y ＝kx 图象上， ∴k ＝4×1＝4，∴经过点G 的反比例函数的解析式为y ＝4x ；(3)设F (t ，－t ＋5)，则D 点横坐标为t ＋2，代入直线AB 的解析式可得y ＝－(t ＋2)＋5＝－t ＋3， ∴D (t ＋2，－t ＋3)， ∵G 为DF 的中点， ∴G (t ＋1，－t ＋4)，若反比例函数图象同时过G 、F 点，则可得t (－t ＋5)＝(t ＋1)(－t ＋4)，解得t ＝2，此时F 点坐标为(2，3)，设经过F 、G 的反比例函数解析式为y ＝sx ，则s ＝2×3＝6， ∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F ，其函数解析式为y ＝6x .2. 如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx 的图象相交于点A (－2，1)，点B (1，n )． (1)求此一次函数和反比例函数的解析式；(2)请直接写出满足不等式kx ＋b －mx ＜0的解集；第2题图(3)如图，在平面直角坐标系的第二象限内边长为1的正方形EFDG 的边均平行于坐标轴，若点E (－a ，a )，当曲线y ＝mx (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点时，求a 的取值范围． 解：(1)∵点A (－2，1)在反比例函数y ＝mx 的图象上， ∴m ＝－2×1＝－2，∴反比例函数的解析式为y ＝－2x ；∵点B (1，n )在反比例函数y ＝－2x 的图象上， ∴－2＝n ，即点B 的坐标为(1，－2)．将点A (－2，1)、B (1，－2)分别代入y ＝kx ＋b 中得：212k b k b -=+⎧⎨=-+⎩，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝－1， ∴一次函数的解析式为y ＝－x －1； (2)∵－x －1－(－2x )＜0，∴－x －1＜－2x ，观察两函数图象，发现：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴满足不等式kx ＋b －mx ＜0的解集为－2＜x ＜0或x ＞1； (3)过点O 、E 作直线OE ，如解图所示．第2题解图∵点E 的坐标为(－a ，a )， ∴直线OE 的解析式为y ＝－x .∵四边形EFDG 是边长为1的正方形，且各边均平行于坐标轴，∴点D 的坐标为(－a ＋1，a －1)， 代入直线y ＝－x ，得： a －1＝－(－a ＋1)， ∴点D 在直线OE 上．将y ＝－x 代入y ＝－2x (x ＜0)得： －x ＝－2x ，即x 2＝2， 解得x ＝－2或x ＝2(舍去)．∵曲线y ＝－2x (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点， ∴－a ≤－2≤－a ＋1，解得2≤a ≤2＋1.故当曲线y ＝mx (x ＜0)与正方形EFDG 的边有交点时，a 的取值范围为2≤a ≤2＋1.3. 如图，一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝kx (x >0)的图象交于点A (m ，3)和B (3，1)．第3题图(1)填空：一次函数的解析式为________，反比例函数的解析式为________；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围． 解：(1)y ＝－x ＋4，y ＝3x ；【解法提示】将B (3，1)分别代入y ＝－x ＋b 与y ＝kx 中，解得b ＝4，k ＝3，则一次函数的解析式为y ＝－x ＋4，反比例函数的解析式为y ＝3x .(2) 由(1)得3＝3m ，∴m ＝1，则A 点坐标为(1，3)．设P 点坐标为(a ，－a ＋4)(1≤a ≤3)，则S ＝12OD ·PD ＝12a (－a ＋4)＝－12(a －2)2＋2， ∵－12＜0，∴当a ＝2时，S 有最大值，此时S ＝－12×(2－2)2＋2＝2； 由二次函数的性质得，当a ＝1或3时，S 有最小值，此时 S ＝－12×(1－2)2＋2＝32， ∴S 的取值范围是32 ≤ S ≤2.4. 如图，矩形AOCB 的顶点B 在反比例函数y ＝kx (k >0，x >0)的图象上，且AB ＝3，BC ＝8.若动点E 从A 开始沿AB 向B 以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F 从B 开始沿BC 向C 以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t 秒． (1)求反比例函数的解析式；第4题图(2)当t ＝1时，在y 轴上是否存在点D ，使△DEF 的周长最小？若存在，请求出△DEF 的周长最小值；若不存在，请说明理由；(3)在双曲线上是否存在一点M ，使以点B 、E 、F 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知点B 的坐标为(3，8)，且点B 在y ＝kx 上， ∴k ＝3×8＝24，∴反比例函数的解析式为y ＝24x ；(2)存在．t ＝1时，E (1，8)，F (3，6)，则EF ＝22， 如解图，延长EA 使A ′E ＝EA ，连接DE ′，E ′F ，则E ′F ＝25，C △DEF ＝DE ＋DF ＋EF ＝22＋DE ′＋DF ≥22＋E ′F ＝22＋25，∴C △DEF min ＝22＋25， 此时点D 为E ′F 与y 轴的交点，第4题解图∵E ′(－1，8)，F (3，6)，设直线E ′F 的解析式为：y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝83k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12b ＝152，∴直线E ′F 的解析式为：y ＝－12x ＋152，∴此时D (0，152)，即：y 轴上存在点D (0，152)，使△DEF 的周长最小，且最小值为22＋2 5.(3)存在，若四边形BEMF 为平行四边形，则有三种可能，已知E (t ，8)，F (3，8－2t )，0<t ≤3. ①BE ∥FM ，此时M 在F 右侧，M (248－2t，8－2t )， 又∵BE ＝FM ，∴3－t ＝248－2t －3，即t 2－10t ＋12＝0，解得t 1＝5－13，t 2＝5＋13(舍去)． ②BF ∥EM ，此时M 在E 正上方，M (t ，24t )， ∵ME ＝BF ，∴24t －8＝2t ，t 2＋4t －12＝0， 解得t 1＝2，t 2＝－6(舍去)．③EF ∥BM ，易知点M 一定不在反比例函数上， 故综上，t ＝2或5－13.5．在平面直角坐标系xOy 中，点B 在x 轴上，四边形OACB 为平行四边形，且∠AOB ＝60°，反比例函数y ＝kx (k ＞0)在第一象限内过点A ，且与BC 交于点F . (1)若OA ＝10，求反比例函数的解析式； (2)若F 为BC 的中点，且S △AOF ＝243，求OA 的第5题图长及点C 的坐标；(3)在(2)的条件下，在x 轴上是否存在一点P ，使得PF ＋P A 最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)如解图①，过点A 作AH ⊥OB 于H ，第5题解图①∵∠AOB ＝60°，OA ＝10，∴AH ＝OA ·sin ∠AOB ＝53，OH ＝OA ·cos ∠AOB ＝5， ∴点A 的坐标为(5，53)， 将点A (5，53)代入y ＝kx ，得 53＝k5，解得k ＝253，∴反比例函数的解析式为y ＝253x ；(2)如解图①，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，设OA ＝a (a ＞0)， ∵∠AOB ＝60°，∴AH ＝OA ·sin ∠AOB ＝32a ，OH ＝OA ·cos ∠AOB ＝12a ， ∴S △AOH ＝12AH ·OH ＝12×32a ·12a ＝38a 2，∵S △AOF ＝243，∴S ▱AOBC ＝2S △AOF ＝483， ∵F 为BC 的中点， ∴S △OBF ＝14S ▱AOBC ＝123，∵BF ＝12BC ＝12OA ＝12a ，∠FBM ＝∠AOB ＝60°， ∴FM ＝BF ·sin ∠FBM ＝34a ，BM ＝BF ·cos ∠FBM ＝14a ， ∴S △BMF ＝12FM ·BM ＝12×34a ·14a ＝332a 2， ∴S △FOM ＝S △OBF ＋S △BMF ＝123＋332a 2， ∵点A ，F 都在y ＝kx 的图象上， ∴S △AOH ＝S △FOM ， 即38a 2＝123＋332a 2， 解得a ＝82，∴OA ＝82，∴OH ＝42，AH ＝3OH ＝3×42＝46，∵S▱AOBC＝OB·AH＝483，即OB·46＝483，解得OB＝62，∴AC＝OB＝62，∴C(102，46)；(3)存在．如解图②，作点F关于x轴的对称点F′，连接AF′交x轴于点P，此时PF＋P A最小，第5题解图②由(2)可知，A(42，46)，FM＝34a＝26，BM＝14a＝22，∴OM＝62＋22＝82，∴点F的坐标为(82，26)，∴点F′的坐标为(82，－26)，设直线AF′的解析式为y＝mx＋n，将点A(42，46)，F′(82，－26)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧42m ＋n ＝4682m ＋n ＝－26， 解得⎩⎨⎧m ＝－332n ＝106， ∴y ＝－332x ＋106，令y ＝0，即－332x ＋106＝0， 解得x ＝2023，∴在x 轴上存在点P ，使得PF ＋P A 最小，点P 的坐标为(2023，0)．6．如图，反比例函数y ＝m x (x ＞0)与一次函数y ＝kx ＋63交于点C (2，43)，一次函数图象与两坐标轴分别交于点A 和点B ，动点P 从点A 出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动；同时，动点Q 从点O 出发，沿OA 以相同的速度向点A 运动，运动时间为t 秒(0＜t ≤6)，以点P 为圆心，P A 为半径的⊙P与AB交于点M，与OA交于点N，连接MN、MQ.第6题图(1)求m与k的值；(2)当t为何值时，点Q与点N重合；(3)若△MNQ的面积为S，试求S与t的函数关系式．解：(1)将C(2，43)代入y＝mx中得，m＝83，将(2，33)代入y＝kx＋63中得，2k＋63＝43，∴k＝－3；(2)由(1)知，k＝－3，∴直线AB的解析式为y＝－3x＋63，∴A(6，0)，B(0，63)，∴AB＝12.∵AM是直径,∴∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠AOB.又∵∠MAN＝∠BAO，∴△MAN∽△BAO，∴ANAO＝MNBO＝AMAB.∵OQ＝AP＝t，AM＝2AP＝2t，OA＝6，OB＝63，AB＝12∴AN6＝MN63＝2t12,∴AN＝t，MN＝3t,∴ON＝OA－AN＝6－t.∵点Q与点N重合,∴ON＝OQ.即6－t＝t.∴t＝3;(3)①当0＜t ≤3时，QN ＝OA －OQ －AN ＝6－2t, ∴S ＝12QN ·MN ＝12(6－2t )·3t ＝－3t 2＋33t ; ②当3＜t ≤6时，QN ＝OQ ＋NA －OA ＝t ＋t －6＝2t －6, ∴S ＝12QN ·MN ＝12(2t －6)·3t ＝3t 2－33t ，即：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3t 2＋33t （0＜t ≤3）3t 2－33t （3＜t ≤6）.。
2023中考数学专项： 反比例函数与几何图形综合问题(重点突围)(学生版)
专题16反比例函数与几何图形综合问题【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一反比例函数中K值的几何意义】 (1)【考向二反比例函数与三角形的综合问题】 (4)【考向三反比例函数与矩形的综合问题】 (6)【考向四反比例函数与菱形的综合问题】 (9)【考向五反比例函数与正方形的综合问题】 (11)【考向六反比例函数与圆的综合问题】 (15)【直击中考】【考向一反比例函数中K值的几何意义】【变式训练】1．（2023·安徽宿州·统考一模）如图，若反比例函数______在反比例函数3．（2022·黑龙江绥化·校考二模）如图，在过点A、C两点，点B在4．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）AC交y轴于点B，若点B是=【考向二反比例函数与三角形的综合问题】(1)求反比例函数的解析式；(2)过点A作AP垂直OA，交反比例函数的图象于点①求直线AC的解析式；②求点P的坐标．【变式训练】(1)求反比例函数的解析式；(2)坐标平面内有一点D，若以A(1)求反比例函数的表达式；(2)求等边△ACD的边长．【考向三反比例函数与矩形的综合问题】(1)直接写出B，C，D三点的坐标；(2)若将矩形向下平移，矩形的两个顶点值．【变式训练】上两点，的顶点【考向四反比例函数与菱形的综合问题】（1）求k的值及AB所在直线的函数表达式；（2）将这个菱形沿x轴正方向平移，当顶点【变式训练】是菱形，点(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)设点P是直线AB上一动点，且ABCD(1)求双曲线y2的函数关系式及(2)判断点B是否在双曲线上，并说明理由；(3)若BA的延长线与双曲线【考向五反比例函数与正方形的综合问题】(1)求反比例函数的解析式；(2)若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形标，并判断点B′是否在该反比例函数的图象上，说明理由．【变式训练】在平面直角坐标系中，点(1)求反比例函数的解析式；(2)求四边形OAFM 的面积．2．（2022·山东济南·校考一模）如图，四边形35AE OE =．中点，以备用图4．（2022春·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，已知点()6,0A -、()7,3D -，点B 、C 在第二象限内．(1)点B 的坐标_________；(2)将正方形ABCD 以每秒2个单位的速度沿x 轴向右平移t 秒，若存在某一时刻t ，使在第一象限内点B 、D 两点的对应点B '、D ¢正好落在某反比例函数的图像上，请求出此时t 的值以及这个反比例函数的解析式；(3)在（2）的情况下，问是否存在y 轴上的点P 和反比例函数图像上的点Q ，使得以P 、Q 、B '、D ¢四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【考向六反比例函数与圆的综合问题】【变式训练】在反比例函数。
反比例函数与几何图形的综合
反比例函数与几何图形的小综合题型一反比例函数与三角形结合1．（2020•沙坪坝区校级月考）如图，一次函数y＝x+32分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P为反比例函数y=kx（k≠0，x＜0）图象上一点，过点P作y轴的垂线交直线AB交于C，作PD⊥PC交直线AB于D，若AC•BD＝7，则k的值为（）A．﹣2B．﹣3C．−72D．−92【点睛】设P（m，n）．则AC=√2n，BD=−√2m，构建方程求出mn的值即可．【解析】解：设P（m，n）．则AC=√2n，BD=−√2m，∵AC•BD＝7，∴﹣2mn＝7，∴mn=−72，∴k=−72．故选：C．2．如图，在平面直角坐标系中，OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为12．【解析】解：∵OB在x轴上，∠ABO＝90°，点A的坐标为（2，4），将△AOB绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点C恰好落在反比例函数y=kx的图象上，∴点C的坐标为（6，2），∴2=k6，解得，k＝12，3．（2020•薛城区期中）在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为（1，0），顶点A 的坐标为（0，2），顶点B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C 的对应点C ′的坐标为 （52，0） ．【解析】解：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，∵∠ACO +∠BCD ＝90°，∠OAC +∠ACO ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BCD ，在△ACO 与△BCD 中，{∠OAC =∠BCD∠AOC =∠BDC AC =BC ，∴△ACO ≌△BCD （AAS ）∴OC ＝BD ，OA ＝CD ，∵A （0，2），C （1，0）∴OD ＝3，BD ＝1，∴B （3，1），∴设反比例函数的解析式为y =kx，将B （3，1）代入y =k x，∴k ＝3，∴y =3x，∴把y ＝2代入y =3x ，∴x =32，当顶点A 恰好落在该双曲线上时，此时点A 移动了32个单位长度，∴C 也移动了32个单位长度，此时点C 的对应点C ′的坐标为（ 52，0）故答案为（52，0）．4．（2020•盐湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为4的等边△OAB 的OA 边在x 轴的正半轴上，反比例函数y =kx （x ＞0）的图象经过AB 边的中点C ，且与OB 边交于点D ，则点D 的坐标为 （√3，3） ．【解析】解：∵△AOB 是等边三角形，边长为4，∴B （2，2√3），∵BC ＝CA ，∴C （3，√3），把点C 坐标代入y =k x上，得到k ＝3√3，∵直线OB 的解析式为y =√3x ， 由{y =√3xy =3√3x，解得{x =√3y =3或{x =−√3y =−3（舍弃）∴D （√3，3），故答案为（√3，3）． 题型二 反比例函数与四边形结合5．（2020•北海期末）如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴的正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，直线y =12x ﹣1经过点C 交x 轴于点E ，双曲线y =kx经过点D ，则k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：根据矩形的性质知点C 的纵坐标是y ＝1，∵直线y =12x ﹣1经过点C ，∴1=12x ﹣1， 解得，x ＝4，即点C 的坐标是（4，1）．∵矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴正半轴上，AB ＝3，BC ＝1，∴D （1，1），∵双曲线y =kx 经过点D ，∴k ＝xy ＝1×1＝1，即k 的值为1．故选：A ．6．（2020•秀洲区二模）平面直角坐标系中，菱形AOBC 的位置如图所示，点A 在x 轴负半轴上，B （1，√3），反比例函数y =kx 在第二象限的图象经过点C ，则k ＝ −√3 ．【点睛】根据菱形的性质可以求得点C 的坐标，再根据点C 在反比例函数图象上，从而可以求得k 的值．【解析】解：∵点A在x轴负半轴上，B（1，√3），∴OB＝2，点C的纵坐标是√3，∴OA＝2，∵四边形AOBC是菱形，点A在x轴的负半轴，∴点C的坐标为（﹣1，√3），∵反比例函数y=kx在第二象限的图象经过点C，∴√3=k−1，得k=−√3，故答案为：−√3．7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，BE∥AC，AE∥OB，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点E，若点A、C的坐标分别为（3，0），（0，2），则k的值为92．【解析】解：∵BE∥AC，AE∥OB，∴四边形AEBD是平行四边形，∵四边形OABC是矩形，C的坐标为（0，2），∴DA=12AC，DB=12OB，AC＝OB，AB＝OC＝2，∴DA＝DB，∴四边形AEBD是菱形；连接DE，交AB于F，如图所示：∵四边形AEBD是菱形，∴AB与DE互相垂直平分，∵OA＝3，OC＝2，∴EF＝DF=12OA=32，AF=12AB＝1，3+32=92，∴点E坐标为：（92，1）．∵函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k=92×1=92，故答案为：92．8．（2020•盘龙区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是2√26．【解析】解：∵正方形OABC的边长是6，∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，∴M （6，k 6），N （k6，6），∴BN ＝6−k 6，BM ＝6−k 6，∵△OMN 的面积为10，∴6×6−12×6×k 6−12×6×k 6−12×（6−k6）2＝10，∴k ＝24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M ′，连接NM ′交x 轴于P ，则NM ′的长＝PM +PN 的最小值，∵AM ＝AM ′＝4，∴BM ′＝10，BN ＝2，∴NM ′=√BM′2+BN 2=√102+22=2√26，故答案为2√26．巩固练习1．（2020•铜山区二模）如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴的负半轴上，顶点D （a ，b ）在反比例函数y =kx的图象上，直线AC 交y 轴点E ，且S △BCE ＝4，则k 的值为（ ）A ．﹣16B ．﹣8C ．﹣4D ．﹣2【解析】解：D （a ，b ），则CO ＝﹣a ，CD ＝AB ＝b ，∵矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数y =kx （x ＜0）的图象上，∴k ＝ab ，∵△BCE 的面积是4，∴12×BC ×OE ＝4，即BC ×OE ＝8，∵AB ∥OE ，∴BC OC=AB EO，即BC •EO ＝AB •CO ，∴8＝b ×（﹣a ），即ab ＝﹣8，∴k ＝﹣8故选：B ．2．（2020•九龙坡区校级期末）如图，已知反比例函数y =ax和一次函数y ＝kx +b 的图象相交于点A （﹣1，y 1）、B （4，y 2）两点，则不等式ax ≤kx +b 的解集为（ ）A ．x ≤﹣1或x ≥4B ．﹣1≤x ≤4C ．x ≤4D ．x ≤﹣1或.0＜x ≤4【解析】解：不等式a x≤kx +b 的解集就是反比例函数值小于或等于一次函数值的自变量的取值范围，观察图象可得：第二象限x ≤﹣1，第四象限0＜x ≤4，故选：D ．3．（2020•深圳模拟）如图，点A 是双曲线y =3x上的动点，连结AO 并延长交双曲线于点B ，将线段AB 绕B 顺时针旋转60°得到线段BC ，点C 在双曲线y =kx上的运动，则k ＝ ﹣9 ．【解析】解：∵双曲线y =3x 关于原点对称，∴点A 与点B 关于原点对称．∴OA ＝OB ．连接OC ，AC ，如图所示．∵将线段AB 绕B 顺时针旋转60°得到线段BC ，∴△ABC 是等边三角形，OA ＝OB ，∴OC ⊥AB ，∠BAC ＝60°，∴tan ∠OAC =OCOA =√3，∴OC =√3OA ．过点A 作AE ⊥y 轴，垂足为E ，过点C 作CF ⊥y 轴，垂足为F ，∵AE ⊥OE ，CF ⊥OF ，OC ⊥OA ，∴∠AEO ＝∠OFC ，∠AOE ＝90°﹣∠FOC ＝∠OCF ，∴△AEO ∽△OFC ．∴AE OF=EO FC=AO OC．∵OC =√3OA ，∴OF =√3AE ，FC =√3EO ．设点A 坐标为（a ，b ），∵点A 在第一象限，∴AE ＝a ，OE ＝b ．∴OF =√3AE =√3a ，FC =√3EO =√3b ．∵点A 在双曲线y =3x上，∴ab ＝3．∴FC •OF =√3b •√3a ＝3ab ＝9，设点C 坐标为（x ，y ），∵点C 在第四象限，∴FC ＝x ，OF ＝﹣y ．∴FC •OF ＝x •（﹣y ）＝﹣xy ＝9．∴xy ＝﹣9．∵点C 在双曲线y =kx 上，∴k ＝xy ＝﹣9．故答案为：﹣9．4．（2020•普陀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A 、C 在坐标轴上，点B 的坐标是（2，2）．将△ABC 沿x 轴向左平移得到△A 1B 1C 1，点B 1落在函数y =−6x 的图象上．如果此时四边形AA 1C 1C 的面积等于552，那么点C 1的坐标是 （﹣5，112） ．【解析】解：如图，∵点B 的坐标是（2，2），BB 1∥AA 1，∴点B 1的纵坐标为2， 又∵点B 1落在函数y =−6x 的图象上，∴当y ＝2时，x ＝﹣3，∴BB 1＝AA 1＝5＝CC 1，又∵四边形AA 1C 1C 的面积等于552，∴AA 1×OC =552，∴OC =112，∴点C 1的坐标是（﹣5，112）．故答案为：（﹣5，112）．5．（2020•九龙坡区校级期末）如图，菱形OABC 在直角坐标系中，点A 的坐标为（52，0），对角线OB =2√5，反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）经过点C ．则k 的值为 3 ．【解析】解：∵四边形OABC 是菱形，∴OA ＝AB ＝BC ＝CO ，设点C 的坐标为（a ，b ），∵点A 的坐标为（52，0），对角线OB =2√5，∴点B 的坐标为（a +52，b ），OC =52，∴{a 2+b 2=(52)2(a +52)2+b 2=(2√5)2，解得a =32，b ＝2，∴ab =32×2=3，∵反比例函数y =kx （k ≠0，x ＞0）经过点C ，点C 的坐标为（a ，b ），∴b =ka ，∴k ＝ab ＝3． 故答案为：3．6．以矩形ABCD 两条对角线的交点O 为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE ⊥AC ，垂足为E ．若双曲线y =32x（x ＞0）经过点D ，则OB •BE 的值为 3 ．【解析】解：如图，∵双曲线y =32x （x ＞0）经过点D ，∴S △ODF =12k =34， 则S △AOB ＝2S △ODF =32，即12OA •BE =32，∴OA •BE ＝3，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OB ，∴OB •BE ＝3，故答案为：3．7．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =k x（k ＞0）的图象与半径为5的⊙O 交于M 、N 两点，△MON 的面积为3.5，若动点P 在x 轴上，则PM +PN 的最小值是 5√2 ．【解析】解：如图设点M （a ，b ），N （c ，d ），∴ab ＝k ，cd ＝k ，∵点M，N在⊙O上，∴a2+b2＝c2+d2＝25，作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），∴S△OMN=12k+12（b+d）（a﹣c）−12k＝3.5，∴bc﹣ad＝7，∴kca−kac=7，∴ac=k(c2−a2)7，同理：bd=k(b2−d2)7，∴ac﹣bc=k(c2−a2)7−k(b2−d2)7=k7[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，∵M（a，b），N'（c，﹣d），∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，∴MN'＝5√2，故答案为：5√2。
反比例函数与几何综合(一)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：思考反比例函数与几何综合的处理思路是什么？问题2：什么是关键点？问题3：将函数特征与几何特征联系起来的桥梁是什么？问题4：围绕关键点以及横平竖直线段长将几何特征与函数特征结合分析时有几种方式？分别是什么？以下是问题及答案，请对比参考:问题1：思考反比例函数与几何综合的处理思路是什么？答：反比例函数与几何综合的处理思路：①从关键点入手．通过关键点坐标和横平竖直线段长的互相转化可将函数特征和几何特征综合在一起进行研究．②对函数特征和几何特征进行转化、组合，列方程求解．若借助反比例函数模型，能快速将函数特征转化为几何特征．问题2：什么是关键点？答：关键点是几何图形与函数图象的交点，在处理反比例函数与几何综合的问题时从关键点入手分析．问题3：将函数特征与几何特征联系起来的桥梁是什么？答：通过关键点坐标与横平竖直线段长的相互转化，可将函数特征与几何特征综合起来一起进行研究．问题4：围绕关键点以及横平竖直线段长将几何特征与函数特征结合分析时有几种方式？分别是什么？答：可以采用两种方式：①根据函数特征设出坐标，表达线段长，利用几何特征建等式；②根据几何特征设出线段长，表达坐标，代入函数建立等式．反比例函数与几何综合（一）一、单选题(共8道，每道12分)1.如图，直线与双曲线在第一象限内的交点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积之比为4：1，则k的值为( )A. B.C.2D.3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合2.如图，均是等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，斜边都在x轴上，则点的坐标是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合3.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A(3，0)，B(0，6)分别在x 轴，y轴上，反比例函数（x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为( )A.(1，14)B.(2，8)C.(2，7)D.(1，16)答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合4.如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数（x<0）的图象上，顶点B，C在x轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为( )A.-6B.-8C.-9D.-12答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合5.如图，在反比例函数的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为( )A.2B.4C.6D.8答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合6.如图，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=3BC，则k的值为( )A.3B.6C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合7.如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于( )A.60B.80C.30D.40答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合8.直线y=-2x-2与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，过点B作x 轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为( )A.-1B.-2C.-4D.-8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：反比例函数与几何综合。
反比例函数中的平行四边形(解析版)九年级数学下册常考点微专题提分精练(人教版)
专题06 反比例函数中的平行四边形1．如图，在第一象限内，A 是反比例函数()110k y k x=>图象上的任意一点，AB 平行于y 轴交反比例函数()220k y k x=<的图象于点B ，作以AB 为边的平行四边形ABCD ，其顶点C ，D 在y 轴上，若7ABCD S =，则这两个反比例函数可能是（ ）A ．2y x =和3y x =-B ．3y x =和4y x=-C ．4y x =和5y x=- D ．5y x=和6y x =-2．如图，反比例函数ky x=的图像经过平行四边形ABCD 的顶点C ，D ，若点A 、点B 、点C 的坐标分别为()3,0，()0,4，(),a b ，且7.5a b +=，则k 的值是____．【答案】9【分析】根据平移和平行四边形的性质将点D 也用a 、b 表示，再根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相等列式算出a 、b ，再由点坐标求出k 的值． 【详解】解：∵()3,0A ，()0,4B ，∴A 可以看作由B 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的，根据平行四边形的性质，D 也可以看作由C 向右平移3个单位，向下平移4个单位得到的， ∵(),C a b ，∴()3,4D a b +-， ∵7.5a b +=，∴(),7.5C a a -，()3,3.5D a a +-， ∵C 、D 都在反比例函数图象上，∴它们横纵坐标的乘积相等，即()()()7.53 3.5a a a a -=+-，解得 1.5a =， ∴()1.57.5 1.59k =⨯-=． 故答案为：9．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的结合，解题的关键是根据题目条件，用同一个未知数设出反比例函数图象上的点，然后用反比例函数图象上点的性质列式求解．3．如图，在平面直角坐标系中，点A 在反比例函数y ＝kx（x ＜0）的图像上一点，点B 是y轴正半轴上一点，以OA 、AB 为邻边作平行四边形ABCO ，若点C 和BC 的中点D 都在反比例函数y ＝4x（x ＞0）的图像上，则k 的值是___________．∵四边形ABCO是平行四边形，∴8k =-， 都答案为：-8．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用、三角形的全等、平行四边形的性质、中位线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．4．如图，已知反比例函数(0)ky x x=>与正比例函数(0)y x x =的图象，点(1,4)A ，点(4,)A b '与点B ′均在反比例函数的图象上，点B 在直线y x =上，四边形AA B B ''是平行四边形，则B 点的坐标为__．【详解】解：反比例函数点点点四边形点【点睛】本题考查了反比例函数综合及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出B ′点坐标是解题的关键．5．如图，分别过反比例函数1y x=图像上的点P 1（1，y 1），P 2（1+2，y 2），P 3（1+2+3，y 3），．．．，Pn （1+2+3+．．．+n ，yn ）作x 轴的垂线，垂足分别为A 1，A 2，A 3，．．．，An ，连接A 1P 2，A 2P 3，A 3P 4，．．．，An -1Pn ，再以A 1P 1，A 1P 2为一组邻边画一个平行四边形A 1P 1B 1P 2，以A 2P 2，A 2P 3为一组邻边画一个平行四边形A 2P 2B 2P 3，以此类推，则B 2的纵坐标是__________；点B 1，B 2，．．．，Bn 的纵坐标之和为__________．1 123(1)n n n n +=++++++++1y x=的图象上，1123(1)n n n +++++++++14(2)n n +++1(n n ++⨯+1115n n -++-+三、解答题(共0分)6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =kx +b 的图象与双曲线y =-8x交于点M （-4，m ）、N （n ，-4），与x 轴交于A ．(1)求k、b的值；(2)①将直线y=kx+b向上平移4个单位分别交x轴、y轴于点B、C，画出这条直线；②P是平面直角坐标系中的一点，若以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．解：①由（1）知直线MN的解析式为y=-x-2，将直线y=-x-2向上平移4个单位，得y=-x+2，当x=0时，y=2，∴点C坐标为（0，2），当y=-x+2=0时，x=2，∴点B坐标为（2，0），平移后的直线如图所示：②以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直线MN与x轴的交点A的坐标为（-2，0），分情况讨论：∥且AP=CB，当CA，CB为边时，AP CB∵点C（0，2）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点A（-2，0），∴点B（2，0）向左平移2个单位，向下平移平移2个单位得到点P（0，-2），点P坐标为（0，-2）；∥且AP=CB，当BC，BA为边时，AP CB同理可得点P坐标为（-4，2）；∥且AC=BP，当AC，AB为边，AC BP同理可得点P坐标为（4，2），综上，满足条件的点P坐标为（0，-2）或（-4，2）或（4，2）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，平移的性质，平行四边形的判定等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．7．综合与探究如图，已知，()0,4A ，()3,0B -，()2,0C ，D 为B 点关于AC 的对称点，反比例函数k y x=的图象经过D 点．(1)证明四边形ABCD 为菱形； (2)求此反比例函数的解析式； (3)已知在ky x=的图象（0x >）上有一点N ，y 轴正半轴上有一点M ，且四边形ABMN 是平行四边形，求M 点的坐标．8．如图，一次函数22y x =+的图象与x 轴交于点B ，与反比例函数(0)y k x=≠的图象的一个交点为()A 2m ，．（1）直接写出反比例函数的解析式；（2）过点A 作AC x ⊥轴，垂足为点C ，设点P 在反比例函数图象上，且△PBC 的面积等于6，请求出点P 的坐标；（3）设M 是直线AB 上一动点，过点M 作MN//x 轴，交反比例函数ky x=的图象于点N ，若以B 、O 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M 的坐标．9．如图，一次函数y kx b =+与反比例函数y x=的图像交于点()1,6A ，()3,B n 两点．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)连接OA 、OB ，求AOB 的面积；(3)直线a 经过点()0,1且平行于x 轴，点M 在直线a 上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M 、N 的坐标，如果不可以，说明理由．ADO S=BDO S =8AOB ADO BDO S S S =-=；（3）∴M （4，1），N （0，7）；②当AM 为为平行四边形对角线时，130612m n +=+⎧⎨+=+⎩， 解得25m n =⎧⎨=⎩， ∴M （2，1），N （0，5）；③当AN 为为平行四边形对角线时，103621m n +=+⎧⎨+=+⎩， 解得23m n =-⎧⎨=-⎩， ∴M （-2，1），N （0，-3）；综上所述，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，M （4，1），N （0，7）或M （2，1），N （0，5）或M （-2，1），N （0，-3）．【点睛】本题为反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图像与x 轴交点、平行四边形的性质、方程思想及数形结合思想等知识，在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中注意数形结合，在（3）中确定出M 、N 的位置是解题的关键．10．如图，一次函数1y x =+与反比例函数k y x=的图象相交于(,2)A m ，B 两点，分别连接OA ，OB ．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)求AOB 的面积；(3)在平面内是否存在一点P ，使以点O ，B ，A ，P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12AOB OCA OCB S S S OC =+=⋅）解：存在，理由如下：OA 与OB 为邻边时，点11．如图，已知一次函数1y kx b =+与反比例函数2k y x=的图象交于第一象限内的点(16)A ，和(6)B m ，，与x 轴交于点C ，交y 轴于点D ．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)连接OA 、OB ，求AOB ∆的面积；(3)点P 为坐标平面内的点，若点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形，请直接写出点P 的坐标． (6)B m ，1m ∴=，(61)B ∴，，当AP OC ∥且AP OC =时，则7AP OC ==，(16)A ，，P ∴点坐标为当AP OC '∥(1,6)A ，P '∴点坐标为：当AO P ∥P ''∴点坐标为：综上所述：点12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1＝2x ﹣4（k ≠0）的图象与反比例函数y 2＝x的图象交于A 、B 两点．(1)求A、B的坐标．(2)当x为何值时，2x﹣4＞6 x(3)如图，将直线AB向上平移与反比例函数y＝6x的图象交于点C、D，顺次连接点A、B、C、D，若四边形ABCD是平行四边形，求S四边形ABCD的值．则FE ＝m ＝8，13．如图，一次函数1y x =+与反比例函数y x =的图象交于点A 和B （-2，n ），与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数解析式；(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，过点P作PD//y轴，交线段AB于点D，是否存在点P使得四边形DPOC为平行四边形？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y＝kx（k≠0）的图象交于B，D两点，且AC＝BC．（1）写出点A，B的坐标为：A（，），B（，）（2）求出点D的坐标，并直接写出当反比例函数的值大于一次函数的值时对应x的取值范围；（3）若P是x轴上一点，PM⊥x轴交一次函数于点M，交反比例函数于点N，当O，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．【答案】（1）−2，0；2，2；（2）0＜x＜2或x＜−4；（3）（2，0），（−2，0），（−2＋1【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的15．如图1，菱形ABCD 顶点A 在y 轴上，顶点D 在反比例函数()0y x x=>上，边BC 交y 轴于点E ，AD x ∥轴，2AE EC =，5AD =．(1)求k ．(2)如图2，延长BA 交x 轴于点F ，问是否在该反比例函数上存在的点P ，坐标轴上的点Q ，使得以A、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q的坐标，若不存在请说明理由．16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x =-的图像与反比例函数2y x=（0k ≠）的图像交于()2,A a -、(),2B m 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，连接OA 、OB ．(1)求反比例函数2ky x=（0k ≠）的表达式； (2)求△AOB 的面积；(3)点N 为坐标轴上一点，点M 为2y 的图像上一点，当以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有满足条件的N 点的坐标． AOBS=1(02)N ，【分析】(1)8k ， (02)C ，-1(02)N ∴，②如图2，四边形是平行四边形，2(0N ∴-，③如图3，四边形3CM ∴∥【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法、17．如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数y x=（k 为常数，0x >）的图像经过点()2,A m ，()6,B n 两点．(1)m 与n 的数量关系是（ ）A ．3m n =B ．3n m =C ．8m n +=D ．4m n -= (2)如图2，若点A 绕x 轴上的点P 顺时针旋转90°，恰好与点B 重合． ①求点P 的坐标及反比例函数的表达式； ②连接OA 、OB ，则AOB 的面积为_________；(3)若点M 在反比例函数(0)k y x x=>的图像上，点N 在y 轴上，在（2）的条件下，是否存在以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．②借助割补法求面积，将AOB 的面积补全在五边形中，利用边分别看作平行四边形的边和对角线，进行分类讨论求得分别代入y =②如图，作AE y ⊥轴，AF x ⊥轴，BG x ⊥轴，综上所述，AOB的面积为8．(3)-=-x x x xx x x x -=-18．如图1，动点M 在函数()0y x x =>的图象上，过点M 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数()40y x x=>的图象于点B 、C ，作直线BC ，设直线BC 的函数表达式为y kx b =+．（1）若点M 的坐标为()2,4．①B 点坐标为______，C 点坐标为______，直线BC 的函数表达式为______；②点D 在x 轴上，点E 在y 轴上，且以点B 、C 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D 、E 的坐标；（2）连接BO、CO．=时，求OB的长度；①当OB OC②如图2，试证明BOC的面积是个定值．8m84。
中考数学反比例函数专题训练(含答案)
中考数学反比例函数专题训练（含答案）一、反比例函数的图象与性质1.已知反比例函数的解析式为y＝( |a|－2 ) / x，则a 的取值范围是( )A. a ≠2B. a ≠－2C. a ≠±2D. a＝±22.反比例函数y＝－3 / x，下列说法不正确的是( )A. 图象经过点(1，－3)B. 图象位于第二、四象限C. 图象关于直线y＝x 对称D. y 随x 的增大而增大3.下列各点中，与点(－3，4) 在同一个反比例函数图象上的点的是( )A. (2，－3)B. (3，4)C. (2，－6)D. (－3，－4)4.点M(a，2a) 在反比例函数y＝8 / x 的图象上，那么a 的值是( )A. 4B. －4C. 2D. ±25.如果反比例函数y＝(a－2) / x ( a 是常数) 的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是( )A. a＜0B. a＞0C. a＜2D. a＞26.若点A(－3，y1)，B(－2，y2)，C(1，y3) 都在反比例函数y＝－12 / x 的图象上，则y1，y2，y3 的大小关系是( )A. y2＜y1＜y3B. y3＜y1＜y2C. y1＜y2＜y3D. y3＜y2＜y17.反比例函数y＝k / x 的图象经过点A(－1，2)，则当x＞1 时，函数值y 的取值范围是( )A. y＞－1B. －1＜y＜0C. y＜－2D. －2＜y＜08.若点A(a，b) 在反比例函数y＝3 / x 的图象上，则代数式ab－1 的值为________．9.反比例函数y＝(2m－1)xm2－2，x＞0时，y 随着x 的增大而增大，则m 的值是________.10.已知一个反比例函数的图象位于第二、四象限内，点P(x0，y0) 在这个反比例函数的图象上，且x0y0＞－4.请你写出这个反比例函数的表达式__________．(写出符合题意的一个即可)11.已知A(x1，y1)，B(x2，y2) 都在反比例函数y＝－2 / x 的图象上．若x1x2＝－4，则y1y2 的值为________．12.已知A(1，m)，B(2，n) 是反比例函数y＝k/x 图象上的两点，若m－n＝4，则k 的值为________．13.已知反比例函数的图象经过三个点A(－4，－3)、B(2m，y1)、C(6m，y2)．若y1－y2＝4，则m 的值为________．14.已知反比例函数y＝m / x 在其所在象限内y 随x 的增大而减小，点P(2－m，m＋1) 是该反比例函数图象上一点，则m 的值为________．15.已知A(x1，y1)，B(x2，y2) 是反比例函数y＝k / x 图象上的两点，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝2，y1＋y2＝－4/3，则k＝________．16.已知点A(x1，y1)、B(x2，y2) 是反比例函数y＝k/x 图象上的两点，且(x1－x2)(y1－y2)＝9，3x1＝2x2，则k 的值为________．17.在平面直角坐标系xOy 中，点A(a，b) (a＞0，b＞0) 在双曲线y＝k1/x 上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y＝k2/x 上，则k1＋k2 的值为________．18.反比例函数y＝k/x 的图象上有一点P(2，n)，将点P 向右平移1 个单位，再向下平移1 个单位得到点Q，若点Q 也在该函数的图象上，则k＝________．19.已知A、B 两点分别在反比例函数y＝(2m－3) / x ( m ≠3/2 ) 和y＝(3m－2) / x ( m ≠2/3) 的图象上，且点A 与点B 关于y 轴对称，则m 的值为________．【参考答案】二、反比例函数与几何图形或一次函数结合1.若一次函数y＝ax＋6 (a≠0) 的图象与反比例函数y＝3/x 的图象只有一个交点，则a 的值为________．2.若直线y＝－x＋m 与双曲线y＝n/x (x＞0) 交于A(2，a)，B(4，b) 两点，则mn 的值为________．3.一次函数y1＝－x＋6 与反比例函数y2＝8/x (x＞0) 的图象如图所示，当y1＞y2 时，自变量x 的取值范围是________．4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋2 与反比例函数y＝1/x 的图象有唯一公共点．若直线y＝－x＋b 与反比例函数y＝1/x 的图象没有公共点，则b 的取值范围是________.5.如图，过x 轴的正半轴上任意一点P，作y 轴的平行线，分别与反比例函数y＝3/x (x＞0)，y＝－6/x (x＞0) 的图象相交于点A，B，若C 为y 轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC 的面积为________．6.如图，矩形ABCD 的顶点A，C 在反比例函数y＝k/x (k＞0，x＞0) 的图象上，若点A 的坐标为(3，4)，AB＝2，AD∥x 轴，则点C 的坐标为________．7.如图，正方形ABCD 的边长为2，点B 与原点O 重合，与反比例函数y＝k/x 的图象交于E、F 两点，若△DEF 的面积为9/8，则k 的值为________．8.如图，已知反比例函数y＝4/x 的图象经过Rt△OAB 斜边OB 的中点D，与直角边AB 相交于点C，则△OBC 的面积为________．9.如图，反比例函数y＝k/x 的图象经过平行四边形ABCD 对角线的交点P，已知点A、C、D 在坐标轴上，BD⊥DC，平行四边形ABCD 的面积为6，则k＝________．10.如图，点A，C 分别是正比例函数y＝x 的图象与反比例函数y＝4/x 的图象的交点，过A 点作AD⊥x 轴于点D，过C 点作CB⊥x 轴于点B，则四边形ABCD 的面积为________．11.如图，点A 是反比例函数y＝－8/x 图象上的一点，过点A 的直线与y 轴交于点B，与反比例函数y＝k/x (x＞0) 的图象交于点C、D.若AB＝BC＝CD，则k 的值为________．12.如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝k/x 在第一象限的图象经过点B，若OA2－AB2＝8，则k 的值为________．【参考答案】。
反比例函数与几何图形的面积
反比例函数图象与几何图形的面积 签名_______一. 反比例函数与矩形面积 1. 如图，P 是反比例函数y kxk =≠()0的图象上一点，过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，求这个反比例函数的解析式。
二. 反比例函数与三角形面积 2．如图，点A 在反比例函数y kxk =≠()0的图象上，AB 垂直于x 轴，若S AOB ∆=4，那么这个反比例函数的解析式为_____________。
评析：如图，若A 点是反比例函数y k xk =≠()0图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 的垂直于y 轴，垂足为C ，则矩形面积=ABOC S ；三角形AOB 的面积=∆AOB S _____,常做的辅助线是过图像上的点做X 轴或者Y 轴的垂线构建矩形或者直角三角形。
1．如图，正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x=1的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若∆ABC 面积为S ，则________.练习：1. （2010湖北孝感）如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上， 且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 2. 如图，A 、B 是函数y x=1的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，∆ABC 的面积为S ，则（ ） A. S ＝1 B. 12<<SC. S ＝2D. S >23、 如图，正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x=2的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，交x 轴于B ，过C 作x 轴的垂线，交x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为____________。
4、如图，反比例函数y=xk(x>0)与矩形OABC 的边AB 、BC 交于F 、E 两点，且BE=CE ，四边形OEBF 的面积为2 ；求三角形OAF 的面积和k5、如图，双曲线)0(2>=x xy 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .x。
初中数学中考复习 4 第12课时 反比例函数
第三单元 函数第12课时 反比例函数 练习1 反比例函数的图象与性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2018柳州)已知反比例函数的解析式为y ＝|a |－2x ，则a 的取值范围是( )A. a ≠2B. a ≠－2C. a ≠±2D. a ＝±22. (2019天门)反比例函数y ＝－3x ，下列说法不正确的是( )A. 图象经过点(1，－3)B. 图象位于第二、四象限C. 图象关于直线y ＝x 对称D. y 随x 的增大而增大3. 下列各点中，与点(－3，4)在同一个反比例函数图象上的点的是( ) A. (2，－3) B. (3，4) C. (2，－6) D. (－3，－4)4. 点 M (a ，2a )在反比例函数 y ＝8x 的图象上，那么 a 的值是( )A. 4B. －4C. 2D. ±25. (2019海南)如果反比例函数y ＝a －2x (a 是常数)的图象在第一、三象限，那么a 的取值范围是( )A. a ＜0B. a ＞0C. a ＜2D. a ＞26. (2019天津)若点A (－3，y 1)，B (－2，y 2)，C (1，y 3)都在反比例函数y ＝－12x 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 2＜y 1＜y 3B. y 3＜y 1＜y 2C. y 1＜y 2＜y 3D. y 3＜y 2＜y 17. 反比例函数y ＝kx 的图象经过点A (－1，2)，则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是( )A. y ＞－1B. －1＜y ＜0C. y ＜－2D. －2＜y ＜08. (2018天水)若点A (a ，b )在反比例函数y ＝3x 的图象上，则代数式ab －1的值为________．9. 反比例函数y ＝(2m －1)xm 2－2，x ＞0时，y 随着x 的增大而增大，则m 的值是________10. 已知一个反比例函数的图象位于第二、四象限内，点P (x 0，y 0)在这个反比例函数的图象上，且x 0y 0＞－4.请你写出这个反比例函数的表达式__________．(写出符合题意的一个即可)11. 已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在反比例函数y ＝－2x 的图象上．若x 1x 2＝－4，则y 1y 2的值为________．12. 已知A (1，m )，B (2，n )是反比例函数y ＝kx 图象上的两点，若m －n ＝4，则k 的值为________．13. 已知反比例函数的图象经过三个点A (－4，－3)、B (2m ，y 1)、C (6m ，y 2)．若y 1－y 2＝4，则m 的值为________．14. 已知反比例函数y ＝mx 在其所在象限内y 随x 的增大而减小，点P (2－m ，m ＋1)是该反比例函数图象上一点，则m 的值为________．15. 已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝k x 图象上的两点，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝2，y 1＋y 2＝－43，则k ＝________．16. 已知点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝kx 图象上的两点，且(x 1－x 2)(y 1－y 2)＝9，3x 1＝2x 2，则k 的值为________．点对线·板块内考点衔接5分钟1. (2019北京)在平面直角坐标系xOy 中，点A (a ，b )(a ＞0，b ＞0)在双曲线y ＝k 1x 上，点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y ＝k 2x上，则k 1＋k 2的值为________．2. (2019益阳)反比例函数y ＝kx 的图象上有一点P (2，n )，将点P 向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q ，若点Q 也在该函数的图象上，则k ＝________．3. 已知A 、B 两点分别在反比例函数y ＝2m －3x (m ≠32)和y ＝3m －2x (m ≠23)的图象上，且点A 与点B 关于y 轴对称，则m 的值为________．练习2 反比例函数与几何图形或一次函数结合点对线·板块内考点衔接15分钟1. 若一次函数 y ＝ax ＋6(a ≠0)的图象与反比例函数y ＝3x 的图象只有一个交点，则a 的值为________．2. 若直线y ＝－x ＋m 与双曲线y ＝nx (x ＞0)交于A (2，a )，B (4，b )两点，则mn 的值为________．3. (2019绥化)一次函数y 1＝－x ＋6与反比例函数y 2＝8x (x ＞0)的图象如图所示，当y 1＞y 2时，自变量x的取值范围是________．第3题图4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x 的图象有唯一公共点．若直线y＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x的图象没有公共点，则b 的取值范围是________第4题图点对面·跨板块考点迁移20分钟1. 如图，过x 轴的正半轴上任意一点P ，作y 轴的平行线，分别与反比例函数y ＝3x (x ＞0)，y ＝－6x (x ＞0)的图象相交于点A ，B ，若C 为y 轴上任意一点，连接AC ，BC ，则△ABC 的面积为________．第1题图2. (2019抚顺)如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 在反比例函数y ＝kx (k ＞0，x ＞0)的图象上，若点A 的坐标为(3，4)，AB ＝2，AD ∥x 轴，则点C 的坐标为________．第2题图3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，点B 与原点O 重合，与反比例函数y ＝kx 的图象交于E 、F 两点，若△DEF 的面积为98，则k 的值为________．第3题图4.(2019陕西黑马卷)如图，已知反比例函数y ＝4x 的图象经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB相交于点C ，则△OBC 的面积为________．第4题图5.(2019陕西报告会分享试题)如图，反比例函数y＝kx的图象经过平行四边形ABCD对角线的交点P，已知点A、C、D在坐标轴上，BD⊥DC，平行四边形ABCD的面积为6，则k＝________．第5题图6.(2019郴州)如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝4x的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为________．第6题图7. (2019陕西定心卷)如图，点A 是反比例函数y ＝－8x 图象上的一点，过点A 的直线与y 轴交于点B ，与反比例函数y ＝kx(x ＞0)的图象交于点C 、D .若AB ＝BC ＝CD ，则k 的值为________．第7题图8. (2019陕西报告会分享试题)如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y ＝kx在第一象限的图象经过点B ，若OA 2－AB 2＝8，则k 的值为________．第8题图参考答案第12课时 反比例函数练习1 反比例函数的图象与性质点对点·课时内考点巩固1. C2. D 【解析】当x ＝1时，y ＝－31＝－3，故A 选项正确；由k ＝－3＜0，图象位于第二、四象限，B选项正确；由反比例函数的对称性，可知反比例函数y ＝－3x 关于y ＝x 对称，C 选项正确；由反比例函数的性质，k ＜0，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，D 选项错误．3. C 【解析】点(－3，4)在反比例函数的图象上，∴k ＝－3×4＝－12，∵2×(－6)＝－12；∴点(2，－6)在该反比例函数的图象上，故选C .4. D 【解析】∵M (a ，2a )在y ＝8x 的图象上，∴2a 2＝8，∴a 2＝4，∴a ＝±2.5. D 【解析】由题意可得a －2＞0，解得a ＞2.6. B 【解析】∵k ＝－12＜0，∴反比例函数的图象在第二、四象限内，且在每一象限内y 随x 的增大而增大，∵A 、B 在第二象限，－3＜－2，∴0＜y 1＜y 2，∵点C 在第四象限，∴y 3＜0，∴y 3＜y 1＜y 2.7. D 【解析】根据题意，k －1＝2，解得k ＝－2，∴反比例函数解析式为y ＝－2x .当x ＝1时，y ＝－2，在第四象限内，y 值随x 值的增大而增大，∴函数值y 的取值范围是－2＜y ＜0.8. 2 【解析】∵点A (a ，b )在反比例函数y ＝3x 的图象上，∴ab ＝3，则代数式ab －1＝3－1＝2.9. －1 【解析】∵反比例函y ＝(2m －1)xm 2－2，∴m 2－2＝－1，∴m 2＝1，m ＝±1，∵x ＞0时，y 随着x 的增大而增大，∴2m －1＜0，∴m ＜12，∴m ＝－1.10. y ＝－2x (答案不唯一) 【解析】由于x 0y 0＞－4，且函数图象位于第二、四象限，则只要写出的反比例函数表达式中的k 满足－4＜k ＜0即可．11. －1 【解析】根据题意得y 1＝－2x 1，y 2＝－2x 2，∴y 1y 2＝－2x 1·(－2x 2)＝4x 1x 2＝4－4＝－1.12. 8 【解析】∵A (1，m )、B (2，n )是反比例函数y ＝k x 图象上的两点，∴m ＝k ，n ＝k 2，∵m －n ＝k －k2＝k2＝4，∴k ＝8. 13. 1 【解析】设反比例函数表达式为y ＝kx (k ≠0)．∵反比例函数经过点A (－4，－3)，∴k ＝－4×(－3)＝12，∵y 1－y 2＝4，即122m －126m ＝246m＝4，∴m ＝1.14. 2 【解析】∵点P (2－m ，m ＋1)是反比例函数y ＝mx 图象上一点，∴m ＝(2－m )(m ＋1)，解得m＝±2，∵反比例函数y ＝mx在其所在象限内y 随x 的增大而减小，∴m ＞0，∴m ＝ 2.15. 43 【解析】∵A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝k x 图象上的两点，∴y 1＝k x 1，y 2＝kx 2，∴y 1＋y 2＝k x 1＋k x 2＝k （x 1＋x 2）x 1x 2＝k ×－22＝－43，∴k ＝43. 16. －54 【解析】∵点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是反比例函数y ＝kx 图象上的两点，∴x 1y 1＝k ，x 2y 2＝k ，∴(x 1－x 2)(y 1－y 2)＝x 1y 1－x 1y 2－x 2y 1＋x 2y 2＝k －x 1k x 2－x 2k x 1＋k ＝2k －x 1x 2k －x 2x 1k ＝9，∵3x 1＝2x 2，∴x 1x 2＝23，x 2x 1＝32，∴2k －23k －32k ＝9，解得k ＝－54.点对线·板块内考点衔接1. 0 【解析】∵点A (a ，b )(a ＞0，b ＞0)在双曲线y ＝k 1x 上，∴k 1＝ab .∵点A (a ，b )与点B 关于x 轴对称，∴B (a ，－b )．∵点B (a ，－b )在双曲线y ＝k 2x上，∴k 2＝－ab .∴k 1＋k 2＝ab ＋(－ab )＝0.2. 6 【解析】∵反比例函数y ＝k x 的图象上有一点P (2，n )，∴k2＝n .又∵将点P 向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q ，∴点Q 的坐标为(3，n －1)，∵点Q 也在该函数的图象上，∴k3＝n －1，解方程组⎩⎨⎧k2＝n k 3＝n －1，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝6n ＝3.3. 1 【解析】设点A 的坐标为(a ，n )，则点B 的坐标为(－a ，n )，∵A 、B 两点分别在反比例函数y ＝2m －3x (m ≠32)和y ＝3m －2x (m ≠23)的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m －3a n ＝3m －2－a，解得m ＝1.练习2 反比例函数与几何图形或一次函数结合点对线·板块内考点衔接1. －3 【解析】联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3xy ＝ax ＋6，得ax 2＋6x －3＝0，∵一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，∴62－4a ×(－3)＝0，解得a ＝－3.2. 48 【解析】由题意得⎩⎨⎧－2＋m ＝n2①－4＋m ＝n4②， ①－②得，n4＝2，解得n ＝8，把n ＝8代入①求得m ＝6，∴mn ＝48.3. 2＜x ＜4 【解析】由y 1＞y 2可知一次函数的图象在反比例函数图象的上方，所以观察图象可得x 的取值范围为2＜x ＜4.4. －2＜b ＜2 【解析】如解图，∵直线y ＝－x ＋2与反比例函数y ＝1x的图象有唯一公共点，反比例函数的图象是中心对称图形，∴直线y ＝－x －2与反比例函数y ＝1x的图象有唯一公共点，∴－2＜b ＜2时，直线y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝1x的图象没有公共点．第4题解图点对面·跨板块考点迁移1. 92 【解析】设点P 坐标为(a ，0) 则点A 坐标为(a ，3a )，B 点坐标为(a ，－6a )，∴S △ABC ＝12AB ·OP ＝12·(3a ＋6a )·a ＝92. 2. (6，2) 【解析】∵点A (3，4)在反比例函数y ＝k x的图象上，∴k ＝3×4＝12.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC , AB ⊥BC .∵AD ∥x 轴，∴BC ∥x 轴，AB ⊥x 轴．∵AB ＝2，∴点B 的坐标为(3，2)．∴点C 的纵坐标为2.∵点C 在反比例函数y ＝12x 的图象上，∴x C ＝122＝6，∴点C 的坐标为(6，2)． 3. 1 【解析】设AF ＝a (a ＜2)，则F (a ，2)，E (2，a )，∴FD ＝DE ＝2－a ，∴S △DEF ＝12DF ·DE ＝12(2－a )2＝98，解得a ＝12或72(舍去)，∴点F 的坐标为(12，2)，∴k ＝1. 4. 6 【解析】如解图，过点D 作DE ⊥OA 于点E ，交OC 于点F ，∵S △ODE ＝S △OAC ，∴S △ODF ＝S 四边形EFCA ，∴S △OBC ＝S 四边形DEAB .设D 点的横坐标为x ，则纵坐标为4x ，∵D 为OB 的中点．∴EA ＝x ，AB ＝8x ，∴S 四边形DEAB ＝12(4x ＋8x)x ＝6，∴S △OBC ＝6.第4解题图5. －3 【解析】如解图，过点P 作PE ⊥y 轴于点E .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD .又∵BD ⊥x 轴，∴四边形ABDO 为矩形，∴AB ＝DO ，∴S 矩形ABDO ＝S ▱ABCD ＝6.∵P 为对角线交点，PE ⊥y 轴，∴四边形PDOE 为矩形且面积为3，即DO ·EO ＝3 ，∴设P 点坐标为(x ，y )，k ＝xy ＝－3.第5题解图6. 8 【解析】∵y ＝4x的图象与y ＝x 的图象都关于原点O 成中心对称，∴这两个函数图象的交点关于原点O 成中心对称．设A (t ，t )，则t ＞0，C (－t ，－t )．∵AD ⊥x 轴，BC ⊥x 轴，∴D (t ，0)，B (－t ，0)．∴BD＝2t ，AD ＝CB ＝t .∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △CBD ＝12BD ·AD ＋12BD ·BC ＝12·2t ·t ＋12·2t ·t ＝2t 2.∵点A (t ，t )在y ＝4x的图象上，∴t ＝4t.∴t 2＝4.∴S 四边形ABCD ＝2×4＝8. 7. 4 【解析】根据题意，设点D 的坐标为(a ，b )，∵AB ＝BC ＝CD ，∴点C 的坐标为(12a ，2b )，∴B (0，3b )，∴A (－12a ，4b )，∵点A (－12a ，4b )在反比例函数y ＝－8x 的图象上，∴－12a ×4b ＝－8，∴ab ＝4，即k 的值为4.8. 4 【解析】设B 点坐标为(a ，b )，∵△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∴OA ＝2AC ，AB ＝2AD ，OC ＝AC ，AD ＝BD ，∵OA 2－AB 2＝8，∴2AC 2－2AD 2＝8，即AC 2－AD 2＝4，∴(AC ＋AD )(AC －AD )＝4，∴(OC ＋BD )·CD ＝4，∴a ·b ＝4，∴k ＝4.。
专题2.10反比例函数与几何综合大题(学生版)
专题2.11反比例函数与几何综合大题一、解答题1．（2022·上海奉贤·九年级期中）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像经过点A、B(−1，0)，反比例函数y=6x的图像也经过点A，且点A横坐标是2．(1)求一次函数的解析式．(2)点C是x轴正半轴上的一点，连接AC，tan∠ACB=34，过点C作CE⊥x轴分别交反比例函数y=6x和一次函数y=kx+b(k≠0)的图像于点D、E，求点D、E的坐标．(3)在（2）的条件下，连接AD，一次函数y=kx+b(k≠0)的图像上是否存在一点F使得△EAD和△ECF相似？若存在，请直接写出点F坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形．(1)在y轴正半轴取一点E，使得△EOB是一个等腰直角三角形，EB与OA交于M，已知MB=32，求MO．≠0的图(2)若等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC=3BD．反比例函数y=象恰好经过点C和点D，求反比例函数解析式．（此题无需写括号理由）3．（2022·福建·晋江市季延中学九年级期中）如图点P(m,n)是双曲线y=k x(x<0)上一动点，且m，n为关于a的一元二次方程4a2+ba+320的两根，动直线与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，过点A与AB垂直的直线交y轴于点E，点F是AE的中点，过B点且与AB垂直的直线交FO的延长线于Q点．(1)求双曲线的解析式；(2)当OP取最小值求b的值．(3)若点O到AB的距离等于OP的最小值，求1EF+1BQ的值．>04．（2022·安徽·淮南市龙湖中学九年级期中）如图，直线y=ax+6经过点A−3,0，交反比例函数y=的图象于点B1,m．(1)求k的值；(2)点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作DC⊥y轴交线段AB于点C，连接AD，求△ACD的面积的最大值．5．（2022·广东·南山实验教育麒麟中学九年级期中）直线y=2x与反比例函数y=2x图象交于A，B两点，CA点右侧任意一点；(1)如图1，求A，B两点坐标；(2)如图2，连接BC，若∠ABC=45°，求点C的坐标；(3)如图3，设直线AC，BC分别与x轴相交于D，E两点，且AC=mCD，BC=nCE，求n−m的值．6．（2022·江苏·景山中学九年级阶段练习）在平面坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q 在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M、N的“最近距离”，记为d M，N．特别地，若图形M、N有公共点，规定值为0．(1)如图1，⊙O的半径为2，①点A0,1，则d A，⊙O=_________．>0的图像为G1，则d G1，⊙O=_________．②记反比例函数y=(2)如图2，点B2，0，⊙B的半径为1，直线l1：y=kx+3，若d l1，⊙B=135，求k的值．(3)如图3，直线l2：y=−x+4与x轴交于点C，与y轴交于点D，边长为2的正方形EFHK的中心为O，将正方形EFHK沿着x m个单位，记正方形EFHK为图形G2，若线段CD与正方形EFHK的“最近距离”满足0≤d CD，G2≤12，请直接写出m的取值范围．7．（2022·重庆第二外国语学校九年级期中）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，S△ABC＝3，且CA⊥x轴．(1)若点C在反比例函数y=k x（k≠0）的图象上，求该反比例函数的解析式；(2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，取OB的中点M，将线段OM沿着y轴上下移动，线段OM的对应线段是O1M1，直接写出四边形CM1O1N周长的最小值．8．（2022·陕西·西北大学附中九年级期中）如图，一次函数y=−x+4的图象与反比例函数y=k x（k为常数，且k≠0）的图象交与A1,a、B两点．(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；(2)点P在反比例函数第三象限的图象上，使得△PAB的面积最小，求满足条件的P点坐标及△PAB面积的最小值．9．（2021·广东·佛山市南海外国语学校九年级阶段练习）如图1，平面直角坐标系xOy中，A−4,3，反比例<0的图象分别交矩形ABOC的两边AC、BC于E、F（E、F不与A重合），沿着EF将矩形ABOC函数y=折叠使A、D重合(1)如图2，连接BC，求证：EF∥BC；(2)当点D落在矩形ABOC内部时，求k的取值范围；(3)如图3，连接CD，求CD的最小值，并直接写出此时点D的坐标．>0图象上10．（2022·山西·大同市云州区初级示范中学校九年级阶段练习）如图，已知点A为函数y=任意一点，连接OA并延长至点B，使AB=OA，过点B作BC∥x轴交函数图象于点C，过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OC．求四边形OCDA的面积．11．（2022·山东师范大学第二附属中学九年级阶段练习）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，已知顶点B(2,4)，反比例函数y=k x(x>0)的图像与BC,AB分别交于D，E，BD=12．(1)求反比例函数关系式和点E的坐标；(2)写出DE与AC的位置关系并说明理由；(3)若点F在直线AC上，点G在反比例函数y=k x(x>0)的图像上，是否存在合适的F、G点，使四边形BCFG平行四边形，若存在，请求出点G的坐标．若不存在，请说明理由．12．（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）知识拓展如图1，由DE∥BC，AD=DB，可得AE=EC；如图2，由AB∥CD∥EF，AE=EC，可得BF=FD；解决问题如图3，直线AB与坐标轴分别交于点A m，0，B0,n m＞0,n＞0，反比例函数y=m x x>0的图象与AB交于C，D两点．(1)若m+n=8，n取何值时ΔABO的面积最大？(2)若SΔAOC=SΔCOD=SΔBOD，求点B的坐标．13．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B 分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y=4x（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．(1)求直线EF的解析式；(2)求△EOF的面积；(3)若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．14．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）如图，函数y＝k x（x＞0）的图像过点A（n，2）和B（85，2n−3）两点．(1)求n和k的值；(2)将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝k x（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，直线AC：y＝ax+2分别交y轴和反比例函数y=k x（x＞0）的图象于点C和点A（2，m），点B也在反比例函数的图象上，且BC∥x轴，tan∠ACB＝2．(1)求点A、B的坐标；(2)设点D在x轴的正半轴上，点E在该反比例函数的图象上．①若四边形BDCE是菱形，求出该菱形周长；②若以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．16．（2022·浙江·九年级专题练习）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝1x（x＞0）图象上的一个动点，连结AO，AO的延长线交反比例函数y＝k x（k＞0，x＜0）的图象于点B，过点A作AE⊥y轴于点E．(1)如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F，连接EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．(2)如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝k x（k＞0，x＜0）的图象于点P，连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．17．（2021·河南·商城县第二中学九年级阶段练习）已知反比例函数y=1-m x（m为常数）的图象在第一、三象限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．18．OABC，OA在y轴上，OC在x轴上，OA=2，AB=4，双曲线k>0与矩形的边AB、BC分别交于点E、F．(1)若点E是AB的中点，求点F的坐标；(2)将△BEF沿直线EF对折，点B落在x轴上的D处，过点E作EG⊥OC于点G．问：△EGD与△DCF是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．19．（2021·辽宁·沈阳市清乐围棋学校九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y轴对称，边AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD：y1＝kx+b与反比例函数y2＝m x的图象交于点B，点E．(1)求反比例函数及直线BD的关系式；(2)直接写出不等式m x﹣kx﹣b＜0的解集．20．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，ΔAOB的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，反比例函数y=k x(x>0)的图像与边AO、AB分别相交于点C、D，连接BC．已知OC=BC，ΔBOC的面积为12．(1)求k的值；(2)若AD=6，求直线OA的函数表达式．21．（2022·浙江省武义县实验中学八年级阶段练习）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例函数y=k x 的图象过点A．(1)求k的值．(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把∠AOB三等分的操作如下：（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1x(x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于点C；（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1x的图像于点D；（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．(1)判断四边形CEDM的形状，并证明；(2)证明：O、M、E三点共线；(3)证明：∠EOB=13∠AOB．23．（2022·江苏省盐城中学新洋分校八年级阶段练习）【感知】如图1，已知反比例函数y=k x上有两点A(−2,1)，B(1,−2)，AE⊥x轴交x轴于点E，BF⊥y轴交y轴于点F，则S△AEF=______；S△BEF=_______；EF与AB的位置关系：_______．【探究】数学社团的同学们对上述问题又时行了思考，如图2，当A，B是双曲线y=k x(x>0)同一支上任意两点，过A，B分别向y轴，x轴作垂线，交y轴于点E，交x轴于点F，连接AF、BE．①试探究△AEF与△BEF面积的关系并说明理由．②试探究EF与AB之间的位置关系并说明理由．【运用】如图3，已知点A、B在反比例函数y=12x的图像上，且A(3,m)，B是反比例函数y=12x第三象限内图像上的一动点，过点A作AE⊥x轴，过点B作BF⊥y轴，垂足分别分为E，F，若四边形AEFB的面积为20，求点B的坐标．（提示，可直接运用上述所发现的结论，答案见公众号：绿爱生活）【拓展】如图4，函数y=k x(x>0)的图像与过原点O的直线相交于B、D两点，点A是第一象限内图像上的动点（点A在点B的左侧），直线AB分别交于y轴、x轴于点C、E，连接AD分别交y轴、x轴于点M、N．若AC=23AB，则AM AD=______．24．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点C在x轴负半轴上，四边形OABC为菱形，反比例函数y=−12x（x>0）经过点A(a,−3)，反比例函数y=k x(k>0,x＜0)经过点B，且交BC边于点D，连接AD．(1)求直线BC的表达式．(2)求tan∠DAB的值．(3)如图2，P是y轴负半轴上的一个动点，过点P作y轴的垂线，交反比例函数y=−12x（x>0）于点N．在点P运动过程中，直线AB上是否存在点E，使以B，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2021·江苏·开明中学八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴和y轴的正半轴上，A(8，0)，B(0，6)，点C从原点O出发，沿边OA向点A运动，速度为每秒1个单位长度，点D从点A出发，沿边AB向点B运动，速度为每秒2个单位长度．设两点同时出发，运动时间为t秒（0< t<5）(1)当t=时，DC∥BO；(2)当△ADC的面积为9时，求t的值；(3)在（2）的条件下；①作射线BC，若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②过点C作直线l1⊥x轴，过点B作直线l2⊥y轴，直线l1与直线l2交于点P，反比例函数y=k x（k>0，x>0）的图像与直线l1、l2分别交于点E、F，连接EF，在y轴上是否存在点Q，使得△PEF和△QEF全等，若存在，请直接写出相应的k的值；若不存在，请说明理由．26．（2022·广东·东莞市万江第三中学三模）阅读理解对于任意正实数a，b，∵(a−b)2≥0，∴a+b−2ab≥0，∴a+b≥2ab，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2ab(a,b均为正实数)中，若ab为定值p，则a+b≥2p只有当a=b时，a+b有最小值2p．根据上述内容，回答下列问题：(1)若m>0，只有当m=______时，m+1m有最小值______．(2)探索应用如图，已知A−2,0，B0,−3，P为双曲线y=6x(x>0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．(3)实践应用建筑一个容积为800m3，深为8m的长方体蓄水池，池壁每平方米造价为80元，池底每平方米造价为120元，如何设计池底的长、宽，使总造价最低？27．（2022·山东·新泰市楼德镇初级中学九年级阶段练习）反比例函数y＝k x（k＞0）的图像与直线y＝mx+n的图像交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y＝k x的图像上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作PA∥y轴交反比例函数图像于点A，已知点A的纵坐标为94．(1)求反比例函数及直线OP的解析式；(2)在x轴上存在点N，使得△AON的面积与△BOP的面积相等，请求出点N的坐标；(3)在y轴上找一点E，使△OBE为等腰三角形，直接写出点E坐标．28．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣12x+2及双曲线y ＝k x（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m ＞0）．(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．(2)如图②过C、D两点分别作CC'∥y轴∥DD'交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+d a，求d的最大值．29．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图像上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数y=k x（k≠0）的图像上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．解决问题：(1)已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是______；（填序号）(2)如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；(3)若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．30．（2022·上海市梅陇中学九年级期中）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转．若∠BOA的两边分别与函数y=−1x,y=4x的图像交于A、B两点，(1)当OB与x轴的正半轴的夹角为45°时，求点A、B的坐标．(2)在直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转过程中，∠OAB大小会变化吗？如果不变，请求出tan∠OAB的值如果有变化，请说明理由．(3)如果AB交y轴于点C，若AC=2BC时，求点A，B的坐标．。
鲁教版数学九年级上1.2《反比例函数的图像与性质》同步练习(含答案及解析)
反比例函数的图像与性质时间：100分钟总分：100一、选择题〔本大题共10小题，共30.0分〕1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如下，那么一次函数y=ax−2b与反比例函数y =c在同一平面直角坐标系中的图象x大致是()A. B.C. D.2.如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(4,2)，C(4,4).假设反在第一象限内的图象与△ABC有交点，那么k的比例函数y=kx取值范围是()A. 1≤k≤4B. 2≤k≤8C. 2≤k≤16D. 8≤k≤163.假设A(3,y1)，B(−2,y2)，C(−1,y3)三点都在函数y=−1的图象上，那么y1，y2，xy3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y1>y2>y3C. y1=y2=y3D. y1<y3<y24.在双曲线y=1−k的任一支上，y都随x的增大而增大，那么k的值可以是()xA. 2B. 0C. −2D. 15.假设反比例函数y=2k+1的图象位于第一、三象限，那么k的取值可以是()xA. −3B. −2C. −1D. 06.如图，AB⊥x轴，B为垂足，双(x>0)与△AOB的两曲线y=kx条边OA，AB分别相交于C，D两点，OC=CA，△ACD的面积为3，那么k等于()A. 2B. 3C. 4D. 6第 1 页7.一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=mx(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如下图，假设y1<y2，那么x的取值范围是()A. −2<x<0或x>1B. x>1C. x<−2或0<x<1D. −2<x<18.如图，反比例函数y=kx(x>0)，那么k的取值范围是()A. 1<k<2B. 2<k<3C. 2<k<4D. 2≤k≤49.如图，A，B两点在反比例函数y=k1x 的图象上，C，D两点在反比例函数y=k2x的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，那么k1−k2的值是()A. 6B. 4C. 3D. 210.反比例函数y=ax (a>0,a为常数)和y=2x在第一象限内的图象如下图，点M在y=ax的图象上，MC⊥x轴于点C，交y=2x 的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y=2x的图象于点B，当点M在y=ax的图象上运动时，以下结论：①S△ODB=S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，那么点B是MD的中点．其中正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题〔本大题共9小题，共27.0分〕11.如图，点A在双曲线y=1x 上，点B在双曲线y=3x上，且AB//x轴，C、D在x轴上，假设四边形ABCD为矩形，那么它的面积为______ ．(x<0)12.如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kx图象上的点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B，点C在x轴上，假设△ABC的面积为1，那么k的值为______ ．13.如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，(x>0)的图象经过点A(5,12)，且与反比例函数y=kx边BC交于点D.假设AB=BD，那么点D的坐标为______ ．14.如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30∘，AB=BO，反比例函数y=k(x<0)的图象经过点A，假设S△ABO=√3，那么k的x值为______ ．15.点A(1,m)，B(2,n)在反比例函数y=−2的图象上，那么m与n的大小关系为______．x(a为常数)的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小，16.假如反比例函数y=a+3x写出一个符合条件的a的值为______．17.矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1的图象上，且点A的横坐标是2，那x么矩形ABCD的面积为______．(x<0)的图象上，过18.如图，假设点P在反比例函数y=−3x点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，那么矩形PMON的面积为______．19.反比例函数的图象经过点A(3,4)，那么当−6<x<−3时，y的取值范围是______．三、计算题〔本大题共3小题，共27.0分〕20.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90∘，OA=AB，且△OAB(x>0)的图象经过点B，求点B的面积为9，函数y=kx的坐标及该反比例函数的表达式．第 3 页21.如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90∘，OB=4，AB=8，且反比例函数y=k在第一象限内的图象分别交OA、xAB于点C和点D，连结OD，假设S△BOD=4，(1)求反比例函数解析式；(2)求C点坐标．)，过点P作x轴的平行线交y轴于22.如图，点P的坐标为(2,32(x>0)于点N；作PM⊥AN交双曲线y=点A，交双曲线y=kxk(x>0)于点M，连接AM.PN=4．x(1)求k的值.(2)求△APM的面积．四、解答题〔本大题共2小题，共16.0分〕(x>0) 23.如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比例函数y=kx 的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为(4,2)．(1)求反比例函数的表达式；(2)求点F的坐标．24.如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点(F不与A，B重合)，过点F的反比例(k>0)的图象与BC边交于点E．函数y=kx(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；(2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？答案和解析【答案】1. C2. C3. A4. A5. D6. C7. C8. C9. D10. D11. 212. −2)13. (8,15214. −3√315. m<n第 5 页16. −2 17. 15218. 319. −4<y <−220. 解：∵∠OAB =90∘，OA =AB ，∴12⋅OA ⋅OA =9，∴OA =3√2， ∴B(3√2,3√2)，把B(3√2,3√2)代入y =kx 得k =3√2⋅3√2=18， ∴反比例函数解析式为y =18x ．21. 解：(1)∵S △BOD =12k ，∴12k =4，解得k =8， ∴反比例函数解析式为y =8x ；(2)设直线OA 的解析式为y =ax ，把A(4,8)代入得4a =8，解得a =2， 所以直线OA 的解析式为y =2x ， 解方程组{y =8xy=2x得{y =4x=2或{y =−4x=−2，所以C 点坐标为(2,4)．22. 解：(1)∵点P 的坐标为(2,32)，∴AP =2，OA =32． ∵PN =4，∴AN =6， ∴点N 的坐标为(6,32).把N(6,32)代入y =k x 中，得k =9．(2)∵k =9，∴y =9x ． 当x =2时，y =92． ∴MP =92−32=3． ∴S △APM =12×2×3=3．23. 解：(1)∵反比例函数y =kx 的图象经过点A ，A点的坐标为(4,2)， ∴k =2×4=8，∴反比例函数的解析式为y =8x ；(2)过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点C 作CN ⊥x 轴于点N ， 由题意可知，CN =2AM =4，ON =2OM =8， ∴点C 的坐标为C(8,4)，设OB =x ，那么BC =x ，BN =8−x ， 在Rt △CNB 中，x 2−(8−x)2=42， 解得：x =5，∴点B 的坐标为B(5,0)，设直线BC 的函数表达式为y =ax +b ，直线BC 过点B(5,0)，C(8,4)， ∴{5a +b =08a +b =4，解得：{a =43b =−203，∴直线BC 的解析式为y =43x −203，根据题意得方程组{y =34x −203y =8x，解此方程组得：{x =−1y =−8或{x =6y =43 ∵点F 在第一象限， ∴点F 的坐标为F(6,43).24. 解：(1)∵在矩形OABC 中，OA =3，OC =2，∴B(3,2)，∵F 为AB 的中点， ∴F(3,1)，∵点F 在反比例函数y =kx (k >0)的图象上， ∴k =3，∴该函数的解析式为y =3x (x >0)；(2)由题意知E ，F 两点坐标分别为E(k2,2)，F(3,k3)， ∴S △EFA =12AF ⋅BE =12×13k(3−12k)， =12k −112k 2=−112(k 2−6k +9−9) =−112(k −3)2+34，在边AB 上，不与A ，B 重合，即0<k3<2，解得0<k <6，∴当k=3时，S有最大值．S最大值=34．【解析】1. 解：二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下可知a<0，对称轴位于y轴左侧，a、b异号，即b>0.图象经过y轴正半可知c>0，由a<0，b>0可知，直线y=ax−2b经过一、二、四象限，由c>0可知，反比例函数y=cx的图象经过第一、三象限，应选：C．先根据二次函数的图象开口向下可知a<0，再由函数图象经过y轴正半可知c>0，利用排除法即可得出正确答案．此题考察的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．2. 解：∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数y=kx经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=16，∴2≤k≤16．应选C．由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数y=kx经过点A时k最小，经过点C时k 最大，据此可得出结论．此题考察的是反比例函数的性质，熟知反比例函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．3. 【分析】此题考察了反比例函数的性质，主要是它的增减性，相对其它性质，这个知识比拟难理解，利用数形结合的思想更容易一些；注意反比例函数的图象，在每一分支，y随x的增大而增大或减小.因为反比例函数的系数为−1，那么图象的两个分支在二、四象限，且每一分支，y随x的增大而增大，作出判断；也可以依次将x的值代入计算求出对应的y值，再比拟．【解答】解：∵k=−1<0，∴反比例函数的两个分支在二、四象限，且每一分支，y随x的增大而增大，∵3>0，∴y1<0，∵−2<−1<0，∴0<y2<y3，∴y1<0<y2<y3，应选A．4. 解：∵y都随x的增大而增大，∴此函数的图象在二、四象限，∴1−k<0，∴k>1．故k可以是2(答案不唯一)，应选A．先根据反比例函数的增减性判断出1−k的符号，再求出k的取值范围即可．第 7 页此题主要考察反比例函数的性质的知识点，此题属开放行题目，答案不唯一，解答此题的关键是根据题意判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质解答即可．5. 【分析】此题考察的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.先根据反比例函数的性质列出关于k的不等式，求出k的取值范围，进而可得出结论．【解答】解：∵反比例函y=2k+1的图象位于第一、三象限，x∴2k+1>0，解得k>−1，2∴k的值可以是0．应选D．6. 解：连接OD，过点C作CE⊥x轴，∵OC=CA，∴OE：OB=1：2；设△OBD面积为x，根据反比例函数k的意义得到三角形OCE面积为x，∵△COE∽△AOB，∴三角形COE与三角形BOA面积之比为1：4，∵△ACD的面积为3，∴△OCD的面积为3，∴三角形BOA面积为6+x，即三角形BOA的面积为6+x=4x，解得x=2，∴1|k|=2，2∵k>0，∴k=4，应选：C．由反比例函数k的几何意义得到三角形OCE与三角形OAC面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比得到三角形ODE与三角形OBA面积之比，设三角形OAC面积为x，列出关于x的方程，求出方程的解确定出三角形OAC与三角形OCB面积之比即可此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的断定与性质，以及反比例函数k的几何意义，纯熟掌握反比例函数k的几何意义是解此题的关键．7. 解：由函数图象可知，当x<−2或0<x<1时，一次函数的图象在二次函数图象的下方．应选C．直接根据函数图象可得出结论．此题考察的是反比例函数的性质，根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．8. 解：∵A(2,2)，B(2,1)，∴当双曲线经过点A时，k=2×2=4；当双曲线经过点B时，k=2×1=2，∴2<k<4．应选C．直接根据A、B两点的坐标即可得出结论．此题考察的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定合适此函数的解析式是解答此题的关键．9. 解：连接OA、OC、OD、OB，如图：由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF =12|k1|=12k1，S△COE=S△DOF =1 2|k2|=−12k2，∵S△AOC=S△AOE+S△COE，∴12AC⋅OE=12×2OE=OE=12(k1−k2)…①，∵S△BOD=S△DOF+S△BOF，∴12BD⋅OF=12×(EF−OE)=12×(3−OE)=32−12OE=12(k1−k2)…②，由①②两式解得OE=1，那么k1−k2=2．应选：D．由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=12k1，S△COE=S△DOF=−12k2，结合S△AOC=S△AOE+S△COE和S△BOD=S△DOF+S△BOF可求得k1−k2的值．此题考察反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．10. 解：①由于A、B在同一反比例函数y=2x图象上，那么△ODB与△OCA的面积相等，都为12×2=1，正确；②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，那么四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；③连接OM，点A是MC的中点，那么△OAM和△OAC的面积相等，∵△ODM的面积=△OCM的面积=a2，△ODB与△OCA的面积相等，∴△OBM与△OAM的面积相等，∴△OBD和△OBM面积相等，∴点B一定是MD的中点.正确；应选：D．①由反比例系数的几何意义可得答案；②由四边形OAMB的面积=矩形OCMD面积−(三角形ODB面积+面积三角形OCA)，解答可知；③连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积=△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得．此题考察了反比例函数y=kx(k≠0)中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y第 9 页轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考察的一个知识点；这里表达了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．11. 解：过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线y=1x上，∴四边形AEOD的面积为1，∵点B在双曲线y=3x上，且AB//x轴，∴四边形BEOC的面积为3，∴矩形ABCD的面积为3−1=2．故答案为：2．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断．此题主要考察了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考察的一个知识点；这里表达了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．12. 解：∵AB⊥y轴，∴AB//CO，∴三角形AOB的面积=12AB⋅OB，∵S三角形ABC =12AB⋅OB=1，∴|k|=2，∵k<0，∴k=−2，故答案为−2．根据条件得到三角形ABO的面积=12AB⋅OB，由于三角形ABC的面积=12AB⋅OB=1，得到|k|=2，即可得到结论．此题考察了反比例函数系数k的几何意义，明确三角形AOB的面积=S三角形ABC是解题的关键．13. 解：∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(5,12)，∴k=12×5=60，∴反比例函数的解析式为y=60x，设D(m,60m)，由题可得OA的解析式为y=125x，AO//BC，∴可设BC的解析式为y=125x+b，把D(m,60m )代入，可得125m+b=60m，∴b=60m −125m，∴BC的解析式为y=125x+60m−125m，令y=0，那么x=m−25m ，即OC=m−25m，∴平行四边形ABCO中，AB=m−25m，如下图，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，那么△DEB∽△AFO，∴DBDE =AOAF，而AF=12，DE=12−60m，OA=√52+122=13，∴DB=13−65m，∵AB=DB，∴m−25m =13−65m，解得m1=5，m2=8，又∵D在A的右侧，即m>5，∴m=8，∴D的坐标为(8,152).故答案为：(8,152).先根据点A(5,12)，求得反比例函数的解析式为y=60x ，可设D(m,60m)，BC的解析式为y=12 5x+b，把D(m,60m)代入，可得b=60m−125m，进而得到BC的解析式为y=125x+60m−12 5m，据此可得OC=m−25m=AB，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，根据△DEB∽△AFO，可得DB=13−65m ，最后根据AB=BD，得到方程m−25m=13−65m，进而求得D的坐标．此题主要考察了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，根据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进展计算，解题时注意方程思想的运用．14. 解：过点A作AD⊥x轴于点D，如下图．∵∠AOB=30∘，AD⊥OD，∴ODAD=cot∠AOB=√3，∵∠AOB=30∘，AB=BO，∴∠AOB=∠BAO=30∘，∴∠ABD=60∘，第 11 页∴BDAD =cot∠ABD=√33，∵OB=OD−BD，∴OBOD =OD−BDOD=(√3−√33)AD√3AD=23，∴S△ABOS△ADO =23，∵S△ABO=√3，∴S△ADO=12|k|=3√32，∵反比例函数图象在第二象限，∴k=−3√3故答案为：−3√3．过点A作AD⊥x轴于点D，由∠AOB=30∘可得出ODAD=√3，再根据BA=BO可得出∠ABD=60∘，由此可得出BDAD =√33，根据线段间的关系即可得出线段OB、OD间的比例，结合反比例函数系数k的几何意义以及S△ABO=√3即可得出结论．此题考察了反比例函数系数k的几何意义、特殊角的三角函数值以及比例的计算，解题的关键是根据线段间的关系找出OB、OD间的比例.此题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据特殊角的三角函数值找出线段间的关系是关键．15. 解：∵反比例函数y=−2x中k=−2<0，∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，∵0<1<2，∴A、B两点均在第四象限，∴m<n．故答案为m<n．由反比例函数y=−2x可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在每个象限内，y 随x的增大而增大，根据这个断定那么可．此题考察的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比例函数图象所在的象限是解答此题的关键．16. 解：根据反比例函数的性质，在每一个象限内y随x的增大而减小的反比例函数只要符合a+3>0，即a>−3即可，故答案可以是：−2．利用反比例函数的性质解答．此题主要考察反比例函数y=kx，当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k>0时，在每一个象限，y随x的增大而减小．17. 解法1：如下图，根据点A在反比例函数y=1x的图象上，且点A的横坐标是2，可得A(2,12)，第 13 页根据矩形和双曲线的对称性可得，B(12,2)，D(−12,−2)，由两点间间隔 公式可得，AB =√(2−12)2+(12−2)2=32√2，AD =√(2+12)2+(12+2)2=52√2，∴矩形ABCD 的面积=AB ×AD =32√2×52√2=152；解法2：如下图，过B 作BE ⊥x 轴，过A 作AF ⊥x 轴，根据点A 在反比例函数y =1x 的图象上，且点A 的横坐标是2，可得A(2,12)， 根据矩形和双曲线的对称性可得，B(12,2)， ∵S △BOE =S △AOF =12，又∵S △AOB +S △AOF =S △BOE +S 梯形ABEF ， ∴S △AOB =S 梯形ABEF =12(12+2)×(2−12)=158，∴矩形ABCD 的面积=4×158=152，故答案为：152．先根据点A在反比例函数y=1x 的图象上，且点A的横坐标是2，可得A(2,12)，再根据B(12,2)，D(−12,−2)，运用两点间间隔公式求得AB和AD的长，即可得到矩形ABCD的面积.也可以根据A，B的坐标求得△AOB的面积，进而得到矩形的面积．此题主要考察了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是画出图形，根据反比例函数系数k的几何意义以及矩形的性质求得矩形的面积．18. 解：设PN=a，PM=b，∵P点在第二象限，∴P(−a,b)，代入y=3x中，得k=−ab=−3，∴矩形PMON的面积=PN⋅PM=ab=3，故答案为：3．设PN=a，PM=b，根据P点在第二象限得P(−a,b)，根据矩形的面积公式即可得到结论．此题考察了反比例函数系数k的几何意义.过反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为反比例函数系数k的绝对值．19. 解：设反比例函数关系式为y=kx(k≠0)，∵图象经过点A(3,4)，∴k=12，∴y=12x，当x=−6时，y=−2，当x=−3时，y=−4，∴当−6<x<−3时，−4<y<−2，故答案为：−4<y<−2．设反比例函数关系式为y=kx (k≠0)，利用待定系数法可得反比例函数关系式y=12x，根据反比例函数的性质可得在图象的每一支上，y随自变量x的增大而减小，然后求出当x=−6时，y=−2，当x=−3时，y=−4，进而可得答案．此题主要考察了反比例函数的性质，以及待定系数法求反比例函数解析式，对于反比例函数y=kx，当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．20. 利用三角形面积公式得到12⋅OA⋅OA=9，那么OA=3√2，从而得到B点坐标，然后把B点坐标代入y=kx中求出k的值得到反比例函数解析式．此题考察了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y=xk(k为常数，k≠0)；再把条件(自变量与函数的对应值)带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．21. (1)根据反比例函数y=kx (k≠0)系数k的几何意义得到S△BOD=12k=4，求出k即可确定反比例函数解析式；(2)先利用待定系数法确定直线AC的解析式，然后把正比例函数解析式和反比例函数解析式组成方程，解方程组即可得到C点坐标．此题考察了反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义：从反比例函数y=kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．22. (1)根据P的坐标为(2,32)，PN=4先求出点N的坐标为(6,32)，从而求出k=9．(2)由k可求得反比例函数的解析式y=9x .根据点M的横坐标求出其纵坐标y=92，得出MP=92−32=3，从而求得S△APM=12×2×3=3．主要考察了待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数y=kx中k的几何意义.这里表达了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．23. (1)将点A的坐标代入到反比例函数的一般形式后求得k值即可确定函数的解析式；(2)过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，首先求得点B的坐标，然后求得直线BC的解析式，求得直线和双曲线的交点坐标即可．此题考察了反比例函数图象上的点的特点、待定系数法确定反比例函数的解析式等知识，解题的关键是可以根据点C的坐标确定点B的坐标，从而确定直线的解析式．24 (1)当F为AB的中点时，点F的坐标为(3,1)，由此代入求得函数解析式即可；(2)根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，以及二次函数的性质，纯熟掌握待定系数法是解此题的关键．第 15 页。
中考数学狙击重难点系列专题26----双反比例函数图像与几何图形综合(含答案)
双反比例函数图像与几何图形综合1. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（）A. y=﹣B. y=﹣C. y=﹣D. y=2. 如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= （k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（）A. 12B. 10C. 8D. 63. 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，∠OAB=30°，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，则下列关于m，n的关系正确的是（）A. m=﹣3nB.C.D.4. 如图，在x轴上方，∠BOA=90°且其两边分别与反比例函数y=﹣、y= 的图象交于B、A两点，则∠OAB的正切值为（）A. B. C. D.5. 如图，∠AOB=90°，且OA，OB分别与反比例函数y= （x＞0）、y=﹣（x＜0）的图象交于A，B 两点，则tan∠OAB的值是（）A. B. C. 1 D.6. 如图，A，B两点在反比例函数y= 的图象上，C、D两点在反比例函数y= 的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF= ，则k2﹣k1=（）A. 4B.C.D. 67. 如图，点是反比例函数（是常数，）上的一个动点，过点作轴、轴的平行线交反比例函数（为常数，）于点、．当点的横坐标逐渐增大时，三角形的面积( )A. 先变大再变小B. 先变小再变大C. 不变D. 无法判断8. 如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y＝−和y＝的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（）A. 3B. 4C. 5D. 69. 如图，点A在反比例函数(x>0)的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x 轴于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（）A. 3B. ﹣6C. 2D. 610. 如图，已知点A 、B分别在反比例函数（），-（）的图象上，且OA⊥OB ，则的值为（）A. B. 2 C. D. 411. 如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1= （x＞0）及y2= （x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（）A. 2B. 3C. 4D. ﹣412. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线（）分别交反比例函数和在第一象限的图象于点，，过点作轴于点，交的图象于点，连结．若BDO是等腰直角三角形，则的值是________．13. 如图，在平面直角坐标系中，有一宽度为1的长方形纸带，平行于y轴，在x轴的正半轴上移动，交x轴的正半轴于点A、D，两边分别交函数y1＝（x＞0）与y2＝（x＞0）的图像于B、F和E、C，若四边形ABCD是矩形，则A点的坐标为________．14. 如图，是反比例函数和（＜）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为________。
初中数学反比例函数k的几何意义基础训练1含答案
反比例函数k的几何意义基础训练1一．选择题（共15小题）1．如图，A、B是反比例函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x 轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为（）A．1B．2C．3D．42．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，P A⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A．1B．2C．4D．无法计算3．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C 为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（）A．4B．﹣4C．8D．﹣84．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2的值等于（）A．1B．3C．6D．85．如图，已知双曲线y＝上有一点A，过A作AB垂直x轴于点B，连接OA，则△AOB 的面积为（）A．1B．2C．4D．86．如图，点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的任意一点，过点P分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是矩形OAPB内任意一点，连接DA、DB、DP、DO，则图中阴影部分的面积是（）A．1B．2C．3D．47．如图，直线x＝t（t＞0）与反比例函数y＝（x＞0）、y＝（x＞0）的图象分别交于B、C两点，A为y轴上任意一点，△ABC的面积为3，则k的值为（）A．2B．3C．4D．58．如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A、B两点，则三角形ABC的面积等于（）A．3B．4C．5D．69．反比例函数图象的一支如图所示，△POM的面积为2，则该函数的解析式是（）A．y＝B．y＝C．y＝﹣D．y＝﹣10．如图，直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝交于A，B两点，BC⊥x轴于C，连接AC交y轴于D，下列结论：①A、B关于原点对称；②△ABC的面积为定值；③D是AC的中点；④S△AOD＝．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（）A．4B．4.2C．4.6D．512．如图，点P在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，P A⊥x轴于点A，△P AO的面积为2，则k的值为（）A．1B．2C．4D．613．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在反比例函数y＝位于第二象限的图象上，若矩形OABC的面积为6，则k的值是（）A．3B．6C．﹣3D．﹣614．位于第二象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的负半轴上，O是坐标原点，若FO⊥EF，△EOF的面积等于2，则k的值是（）A．4B．﹣4C．2D．﹣215．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接BM，若S△ABM＝2，则k的值是（）A．2B．m﹣2C．m D．4二．填空题（共15小题）16．已知反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图所示，则△AMN的面积为______．17．如图，⊙O的半径为2，双曲线的关系式分别为y＝和y＝﹣则阴影部分的面积是______．18．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的面积为______．19．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1﹣k2＝______．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在y轴上，AB＝AO，反比例函数y＝的图象经过点A，若△ABO的面积为2，则k的值为______．21．反比例函数y＝在第一象限内的图象如图，点M是图象上一点，MP垂直x 轴于点P，如果△MOP的面积为3，那么k的值是______．22．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴＝2，则S1+S2＝______．影23．如图，点A是反比例函数（x＞0）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为______．24．如图，P是反比例函数图象上一点，点P与坐标轴围成的矩形面积为3，则解析式为______．25．反比例函数如图所示，则矩形OAPB的面积是______．26．如图所示，点A是反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积是2，则k＝______．27．如图，点P在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，P A⊥x轴于点A，△P AO的面积为5，则k的值为______．28．如图是反比例函数与在x轴上方的图象，点C是y轴正半轴上的一点，过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于点A，B．若点P在x轴上运动，则△ABP的面积等于______．29．如图，若点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，且△AOM的面积是3，则k＝______．30．双曲线y1＝、y2＝在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝1，则k的值为______．反比例函数k的几何意义基础训练1参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：由题意可知：△AOC的面积为1，∵A、B关于原点O对称，∴△AOC与△BOC的面积相等，∴S△ABC＝2S△AOC＝2，故选：B．2．解：∵P A⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，∴S△POB＝2﹣1＝1．故选：A．3．解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故选：D．4．解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，∴△AOB的面积为﹣，∴﹣＝3，∴k1﹣k2＝6．故选：C．5．解：根据题意得△OAB的面积＝×|4|＝2．故选：B．6．解：∵P是反比例函数的图象的任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，∴与坐标轴构成矩形OAPB的面积＝6．∴阴影部分的面积＝×矩形OAPB的面积＝3．故选：C．7．解：由题意得，点C的坐标（t，﹣），点B的坐标（t，），BC＝+，则（+）×t＝3，解得k＝5，故选：D．8．解：设点P的纵坐标为a，则﹣＝a，＝a，解得x＝﹣，x＝，所以点A（﹣，a），B（，a），所以AB＝﹣（﹣）＝，∵AB平行于x轴，∴点C到AB的距离为a，∴△ABC的面积＝••a＝3．故选：A．9．解：∵△POM的面积为2，∴S＝|k|＝2，∴k＝±4，又∵图象在第四象限，∴k＜0，∴k＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣．故选：D．10．解：①反比例函数与正比例函数若有交点，一定是两个，且关于原点对称，所以正确；②根据A、B关于原点对称，S△ABC为即A点横纵坐标的乘积，为定值1，所以正确；③因为AO＝BO，OD∥BC，所以OD为△ABC的中位线，即D是AC中点，所以正确；④在△ADO中，因为AD和y轴并不垂直，所以面积不等于k的一半，即不会等于，所以错误．因此正确的是：①②③，故选：C．11．解：如图，∵A、B两点在双曲线y＝上，∴S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6故选：C．12．解：依据比例系数k的几何意义可得，△P AO的面积＝|k|，即|k|＝2，解得，k＝±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k＝4，故选：C．13．解：设B点的坐标为（x，y），∵矩形OABC的面积为6，∴﹣xy＝6，∴xy＝﹣6，∵B在y＝上，∴k＝xy＝﹣6，故选：D．14．解：因为位于第二象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的负半轴上，O是坐标原点，△EOF的面积等于2，所以|k|＝2，解得：|k|＝4，所以：k＝﹣4，故选：B．15．解：设A（x，y），∵直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，∴B（﹣x，﹣y），∴S△BOM＝|xy|，S△AOM＝|xy|，∴S△BOM＝S△AOM，∴S△ABM＝S△AOM+S△BOM＝2S△AOM＝2，S△AOM＝|k|＝1，则k＝±2．又由于反比例函数位于一三象限，k＞0，故k＝2．故选：A．二．填空题（共15小题）16．解：设A（a，），则M（a，），N（，），∴AN＝a﹣＝，AM＝﹣＝，∴△AMN的面积＝AN×AM＝××＝，故答案为：．17．解：双曲线y＝和y＝﹣的图象关于x轴对称，根据图形的对称性，把第二象限和第四象限的阴影部分的面积拼到第一和第三象限中的阴影中，可以得到阴影部分就是一个扇形，并且扇形的圆心角为180°，半径为2，所以：S阴影＝＝2π．故答案为2π．18．解：由k的几何意义可知：△ABO的面积为，当k＝4时，∴△ABO的面积为2：故答案为：219．解：∵反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象均在第一象限内，∴k1＞0，k2＞0．∵AP⊥x轴，∴S△OAP＝k1，S△OBP＝k2．∴S△OAB＝S△OAP﹣S△OBP＝（k1﹣k2）＝3，解得：k1﹣k2＝6．故答案为：620．解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，∵AB＝AO，△ABO的面积为2，∴S△ADO＝|k|＝1，又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，则k＝2．故答案为：2．21．解：由题意得：S△MOP＝|k|＝3，k＝±6，又∵函数图象在一象限，∴k＝6．故答案是：6．22．解：根据题意得S1+S阴影＝S2+S阴影＝5，而S阴影＝2，所以S1＝S2＝3，所以S1+S2＝6．故答案为6．23．解：设A的坐标是：（m，n）．则n＝，即mn＝2，∵AB＝m，AB边上的高是n．∴S△ABC＝mn＝×2＝1，故答案是：1．24．解：∵P是反比例函数图象上一点，∴S＝|k|＝3，又函数图象位于第二象限，k＜0，则k＝﹣3．故反比例函数的解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．25．解：设P点的坐标为（x，y），∵P在反比例函数的图象上，∴xy＝﹣4，即PB×P A＝4，∴矩形OAPB的面积是4，故答案为：4．26．解：设反比例函数的解析式为y＝．∵△AOB的面积＝△ABP的面积＝2，△AOB的面积＝|k|，∴|k|＝2，∴k＝±4；又∵反比例函数的图象的一支位于第二象限，∴k＜0．∴k＝﹣4．故答案为：﹣4．27．解：∵S△P AO＝5，∴|x•y|＝5，即|k|＝5，则|k|＝10∵图象经过第二象限，∴k＜0，∴k＝﹣1028．解：设C（0，b），∵直线AB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b，而点A在反比例函数y＝的图象上，∴当y＝b，x＝，即A点坐标为（，b），又∵点B在反比例函数y＝﹣的图象上，∴当y＝b，x＝﹣，即B点坐标为（﹣，b），∴AB＝﹣（﹣）＝，∴S△ABC＝•AB•OC＝••b＝5．故答案为：5．29．解：∵△AMO的面积为3，∴|k|＝2×3＝6．又∵图象在二，四象限，k＜0，∴k＝﹣6．故答案为：﹣6．30．解：由题意得：S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB，﹣＝1，解得：k＝6．故答案是：6．。
反比例函数及其应用(共35道)—2023年中考数学真题(全国通用)(解析版)
反比例函数及其应用（35道）一、单选题A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】延长BA 交y 轴于点D ，根据反比例函数k 值的几何意义得到1212ADO S =⨯=△，3OCBD S =矩形，根据四边形ABCO 的面积等于ADOOCBD S S−矩形，即可得解．【详解】解：延长BA 交y 轴于点D ，∵AB x ∥轴， ∴DA y ⊥轴，∵点A 在函数2(0)y x x =>的图象上，∴1212ADO S =⨯=△，∵BC x ⊥轴于点C ，DB y ⊥轴，点B 在函数3(0)y x x =>的图象上，∴3OCBD S =矩形，∴四边形ABCO 的面积等于312ADOOCBD S S−=−=矩形；故选B ．【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k 的几何意义，是解题的关键．A ．321y y y <<B ．132y y y <<C ．312y y y <<D ．231y y y <<【答案】C【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．【详解】解：在反比例函数(0)ky k x =<中，0k <，∴此函数图象在二、四象限，420−<−<，∴点()14,A y −，2(2,)B y −在第二象限，10y ∴>，20y >，函数图象在第二象限内为增函数，420−<−<， 120y y ∴<<．30>，3(3,)C y ∴点在第四象限，30y \<，1y ∴，2y ，3y 的大小关系为312y y y <<．故选：C ．【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．A ．当3x >时，12y y <B ．当1x <−时，12y y <C ．当03x <<时，12y y >D ．当10x −<<时，12y y <【答案】B【分析】结合一次函数与反比例函数的图象，逐项判断即可得． 【详解】解：A 、当3x >时，12y y >，则此项错误，不符合题意； B 、当1x <−时，12y y <，则此项正确，符合题意； C 、当03x <<时，12y y <，则此项错误，不符合题意； D 、当10x −<<时，12y y >，则此项错误，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象，熟练掌握函数图象法是解题关键．A ．123y y y <<B ．312 y y y <<C ．213y y y <<D ．321y y y <<【答案】C【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵30k =>，∴图象在一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小， ∵2101−<−<<， ∴2130y y y <<<．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数ky x =(k 是常数，0k ≠)的图象是双曲线，当0k >，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小；当 0k <，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大．【答案】A【分析】连接四边形ABCD 的对角线AC BD 、，过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF x ⊥轴，直线1y x =−与x 轴交于点M ，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定()11142四边形△ABC COD D S S OM DE CF ===⋅+，再求出直线1y x =−与x 轴交于点()1,0M ，通过联立1y x k y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩求出C D 、纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形ABCD 的对角线AC BD 、，过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF x ⊥轴，直线1y x =−与x 轴交于点M ，如图所示：根据直线1y x =+、1y x =−与双曲线()0ky k x =>交点的对称性可得四边形ABCD 是平行四边形，()11142四边形△ABC O D C D S S OM DE CF ∴===⋅+， 直线1y x =−与x 轴交于点M ， ∴当0y =时，1x =，即()1,0M ，1y x =−与双曲线()0ky k x =>分别相交于点C D 、，∴联立1y x k y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，即1k y y =−，则20y y k +−=，由0k >，解得y =，∴1112⎤⨯⨯−=⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦2=，解得34k =，故选：A ．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积求法是解决问题的关键．A ．2:3:6B ．6:3:2C ．1:2:3D ．3:2:1【答案】A【分析】首先根据长方体的性质，得出相对面的面积相等，再根据物体的压力不变，结合反比例函数的性质进行分析，即可得出答案．【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A 、B 、C 三个面的面积比是3:2:1， ∴长方体物体的A 、B 、C 三面所对的与水平地面接触的面积比也为3:2:1， ∵FP S =，0F >，且F 一定，∴P 随S 的增大而减小， ∴111::::2:3:6321A B C P P P ==．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解本题的关键在熟练掌握反比例函数的性质．A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】先根据一次函数图象确定a 、b 的符号，进而求出ab 的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A 、∵一次函数图象经过第一、二、三象限， ∴00a b >>，， ∴0ab >，∴反比例函数aby x =的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A 不符合题意；B 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴00a b <>，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B 不符合题意；C 、∵一次函数图象经过第一、三、四象限， ∴00a b ><，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C 不符合题意；D 、∵一次函数图象经过第一、二、四象限， ∴00a b <>，， ∴0ab <， ∴反比例函数aby x =的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据题意11FL F L =代入数据求得245F L =，即可求解．【详解】解：∵11FL F L =，125cm L =，19.8NF =，∴259.8245FL =⨯=， ∴245F L =，函数为反比例函数，当35cm L =时，245735F ==，即245F L =函数图象经过点()35,7． 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】由正方形的性质得2BC AB ==，可设2,2k C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,22k E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据21222k k ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⎝⎭可求出k 的值． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∵2,AB BC CD AD ==== ∵点E 为AD 的中点， ∴11,2AE AD ==设点C 的坐标为2,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则,222k kBO AO AB BO ==+=+, ∴1,22k E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∵点C ，E 在反比例函数ky x =的图象上，∴21222k k ⎛⎫⨯=⨯+ ⎪⎝⎭，解得，4k =， 故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数ky x =（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线，图象上的点()x y ，的横纵坐标的积是定值k ，即xy k =．为半径作圆，当A 与x 轴相切、B 与y 轴相切时，连结【答案】C【分析】过点,A B 分别作,y x 轴的垂线，垂足分别为,E D ，,AE BD 交于点C ，得出B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k ，则1,1AC k BC k =−=−，根据AB =【详解】解：如图所示，过点A B ，分别作y x ，轴的垂线，垂足分别为E D ，，AE BD ，交于点C ，依题意，B 的横坐标为1，A 的纵坐标为1，设(),1A k ，()1,B k∴()1,1C ，则1,1AC k BC k =−=−，又∵90ACB ∠=︒，AB =∴()()(22211k k −+−=∴13k −=（负值已舍去） 解得：4k =， 故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为与OAB 关于直线 A ．23 【答案】A【分析】过点B 作BD x ⊥轴，根据题意得出1,BD OD ==和性质得出2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，利用各角之间的关系180OBA OBD '∠+∠=︒，确定A '，B ，D 三点共线，结合图形确定)2C，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD x ⊥轴，∵(0,0),O A B ，∴1,BD OD ==∴AD OD =tan BD BOA OD ∠==，∴2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，∴60OBD ABD ∠∠==︒，120OBA ∠=︒， ∵OA B '与OAB 关于直线OB 对称， ∴120OBA '∠=︒， ∴180OBA OBD '∠+∠=︒， ∴A '，B ，D 三点共线， ∴2A B AB '==， ∵A C BC '=， ∴1BC =， ∴2CD =，∴)2C，将其代入(0,0)ky k x x =>>得：k =故选：A ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．A ．2B ．2−C ．1D ．1−【答案】A【分析】证明四边形ANOM 是矩形，根据反比例函数的k 值的几何意义，即可解答． 【详解】解：AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，90MON ∠=︒，∴四边形AMON 是矩形，四边形AMON 的面积为2， 2k ∴=，反比例函数在第一、三象限，2k ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的k 值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x 轴，y 轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为k是解题的关键．二、填空题【答案】63y x =−【分析】函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减，根据平移规则可得答案． 【详解】解：将反比例函数6y x =的图象向下平移3个单位可得平移后的解析式为：63y x =−，故答案为：63y x =−．【点睛】本题考查的是函数图象的平移，解题的关键是理解并熟记函数图象的平移规则为：上加下减，左加右减．14．（2023·陕西·统考中考真题）如图，在矩形OABC 和正方形CDEF 中，点A 在y 轴正半轴上，点C ，F 均在x 轴正半轴上，点D 在边BC 上，2BC CD =，3AB =．若点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．【答案】18y x =【分析】设正方形CDEF 的边长为m ，根据2BC CD =，3AB =，得到()3,2B m ，根据矩形对边相等得到3OC =，推出()3,E m m +，根据点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，得到()323m m m⨯=+，得到3m =，推出18y x =．【详解】解：∵四边形OABC 是矩形， ∴3OC AB ==，设正方形CDEF 的边长为m ， ∴CD CF EF m ===， ∵2BC CD =， ∴2BC m =， ∴()3,2B m ，()3,E m m +， 设反比例函数的表达式为ky x =，∴()323m m m⨯=+，解得3m =或0m =（不合题意，舍去）， ∴()3,6B ，∴3618=⨯=k ，∴这个反比例函数的表达式是18y x =，故答案为：18y x =．【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k 的几何意义．统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOC 的边两点．若AOC 的面积是 【答案】4【分析】过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =，由点B 为AC 的中点，推出C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求得直线BC 的解析式，得到A 点坐标，根据AOC 的面积是6，列式计算即可求解．【详解】解：过B ，C 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ，∴BD CE ∥， ∴ABD ACE ∽，∴BD ABCE AC =，设B 点坐标为k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则BD m =， ∵点B 为AC 的中点， ∴12BD AB CE AC ==， ∴22CE BD m ==，∴C 点坐标为22k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设直线BC 的解析式为y ax b =+， ∴22k ma b mk ma b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2232k a m k b m ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BC 的解析式为2322k k y x m m =−+， 当0x =时，32ky m =，∴A 点坐标为302k m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 根据题意得132622k m m ⋅⋅=，解得4k =， 故答案为：4．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质．【答案】33【分析】过点B 作BC y ⊥轴于点C ，由旋转的性质得，AO AB =，120OAB ∠=︒，在Rt ABC 中求出BC 、AC 的长，即可得出点B 的坐标，代入反比例函数解析式即可求出k 的值．【详解】解∶过点B 作BC y ⊥轴于点C ，由旋转的性质得，AO AB =，120OAB ∠=︒， ∵点A 的坐标为(0，2)， ∴2AO AB ==， ∵120OAB ∠=︒，∴180********BAC OAB ∠∠=︒−=︒−︒=︒， ∴9030ABC BAC ∠∠=︒−=︒， ∴AC =12AB =1221⨯=，由勾股定理得BC ==∴213OC AO AC =+=+=，∴点B 的坐标为(3)， ∵点B 恰好落在反比例函数ky x =的图象上，∴3k =故答案为∶3【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化之旋转，解答本题的关键是求出点B 的坐标．【答案】>【分析】把2x =−和=1x −分别代入反比例函数2y x =中计算y 的值，即可做出判断．【详解】解：∵点()12,A y −和点()21,B y −都在反比例函数2y x =的图象上，∴令2x =−，则1212y ==−−；令=1x −，则2221y ==−−，12−>−，12y y ∴>，故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y 的值是解题的关键． 若OAB 的面积为【答案】196/136【分析】由k 的几何意义可得19212k =，从而可求出k 的值． 【详解】解：AOB 的面积为||192212k k ==， 所以k =196． 故答案为：196．【点睛】本题主要考查了k 的几何意义．用k 表示三角形AOB 的面积是本题的解题关键．【答案】3【分析】先把点A 坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B 代入即可求出m 的值． 【详解】解：∵函数()0ky k x =≠的图象经过点()3,2A −和(),2B m −∴把点()3,2A −代入得326k =−⨯=−，∴反比例函数解析式为6y x −=， 把点(),2B m −代入得：62m −−=，解得：3m =， 故答案为：3．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．【答案】1.5（满足12k <<都可以）【分析】先判断出一次函数7y x b =−+的图象必定经过第二、四象限，再根据120x x ⋅>判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即630k −<，最终选取一个满足条件的值即可． 【详解】解：70−<，∴一次函数7y x b =−+的图象必定经过第二、四象限，120x x ⋅>，∴反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限， ∴反比例函数63ky x −=（1k >且2k ≠）的函数图象经过第一、三象限，∴630k −>，∴2k <， ∵1k >， ∴12k <<，∴满足条件的k 值可以为1.5， 故答案为：1.5（满足12k <<都可以）．【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据120x x ⋅>判断出反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限．的正ABC 的顶点，现将ABC 绕原点【答案】6【分析】画出变换后的图像即可（画AOB 即可），当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，根据ABC 为等边三角形且AO BC ⊥，可得OB OA=A 、B 分别作x 轴垂线构造相似，则BFO OEA ∽，根据相似三角形的性质得出3AOE S =△，进而根据反比例函数k 的几何意义，即可求解．【详解】当点A 在y 轴上，点B 、C 在x 轴上时，连接AO ，ABC 为等边三角形且AO BC ⊥，则30BAO ∠=︒，∴tan tan30BAO ∠=︒=OB OA=， 如图所示，过点,A B 分别作x 轴的垂线，交x 轴分别于点,E F ，AO BO ⊥，90BFO AEO AOB ∠=∠=∠=︒，∴90BOF AOE EAO ∠=︒−∠=∠， ∴BFO OEA ∽，∴213BFO AOES OB S OA ⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴212BFOS−==，∴3AOE S =△， ∴6k =．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，k 的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．【答案】2/2−+【分析】过点A 作CD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC CD ⊥于点C ，证明DAO CBA ≌，进而根据全等三角形的性质得出,DA CB AC OD ==，根据点(),2A m ，进而得出()2,2B m m +−，根据点,A B 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上．列出方程，求得m 的值，进而即可求解．【详解】解：如图所示，过点A 作CD y ⊥轴于点D ，过点B 作BC CD ⊥于点C ，∴90C CDO ∠=∠=︒， ∵,90OA AB OAB =∠=︒， ∴90DAO CAB CBA ∠=︒−∠=∠ ∴DAO CBA ≌ ∴,DA CB AC OD == ∵点A 的坐标为()m,2．∴2AC OD ==，AD BC m == ∴()2,2B m m +−∵,A B 在反比例函数(0)ky x x =>的图象上，∴()()222m m m =+−解得：1m =或1m =（舍去）∴22k m ==故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，求得点B 的坐标是解题的关键．【答案】4【分析】根据题意可设点P 的坐标为()22m m ，，则()2D m m ，，把()2D m m ，代入一次函数解析式中求出m 的值进而求出点P 的坐标，再求出k 的值即可．【详解】解：∵PA x ⊥轴于点,A PB y ⊥轴于点,B PA PB =， ∴点P 的横纵坐标相同， ∴可设点P 的坐标为()22m m ，，∵D 为PB 的中点， ∴()2D m m ，，∵()2D m m ，在直线1y x =+上，∴12m m +=， ∴1m =， ∴()22P ，，∵点P 在反比例函数()0ky k x =>的图象上，∴224k =⨯=， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点P 的坐标是解题的关键．【答案】6【分析】延长CD 交x 轴于点F ，设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k 的值．【详解】解：延长CD 交x 轴于点F ，如图，由点D 在反比例函数()0k y x x =>的图象上，则设,k D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵矩形ABCD 的边AB 平行于x 轴，AB CD ∥，AD CD ⊥， ∴CD y ⊥轴，AD OF ∥， 则kDF a OF a ==，，∵AD OF ∥， ∴CDA CFO △∽△， ∴CD AD ACCF OF OC ==， ∵2AC AO =，∴23AC OC =， ∴2223CD CF DF a ===，2233k AD OF a ==， ∵8AD CD ⋅=，即2283k a a ⨯=，∴6k =， 故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键．则ABP 的面积是 【答案】152【分析】把()2,3A −代入到22k y x =可求得2k 的值，再把(),2Bm −代入双曲线函数的表达式中，可求得m 的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】∵直线11y k x b =+与双曲线22k y x =（其中120k k ⋅≠）相交于()2,3A−，(),2B m −两点，∴2232k m =−⨯=−∴263k m =−=，，∴双曲线的表达式为：26y x =−，()3,2B −，∵过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ， ∴3BP =， ∴1153(32)22ABPS=⨯⨯+=，故答案为152．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键． 三、解答题26．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如图，设反比例函数的解析式为（k ＞0）．（1）若该反比例函数与正比例函数y=2x 的图象有一个交点的纵坐标为2，求k 的值；（2）若该反比例函数与过点M （﹣2，0）的直线l ：y=kx+b 的图象交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积为时，求直线l 的解析式．【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）由题意可得A（1，2），利用待定系数法即可解决问题；（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，可得y=kx+2k，由消去y得到，解得x=﹣3或1，推出B（﹣3，﹣k），A（1，3k），根据△ABO的面积为，可得•23k+•2k=，解方程即可解决问题；试题解析：（1）由题意A（1，2），把A（1，2）代入，得到3k=2，∴．（2）把M（﹣2，0）代入y=kx+b，可得b=2k，∴y=kx+2k，由消去y得到，解得x=﹣3或1，∴B（﹣3，﹣k），A（1，3k），∵△ABO的面积为，∴×2×3k+•2k=，解得k=，∴直线l 的解析式为．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．(1)2m =，4a =，求函数3y 的表达式及(2)当a 、m 在满足0a m >>的条件下任意变化时，(3)试判断直线PH 与BC 边的交点是否在函数【答案】(1)函数3y 的表达式为325y x =−+，PGH △的面积为12(2)不变，理由见解析 (3)在，理由见解析【分析】（1）由2m =，4a =，可得(20)A ，，()20B −，，12y x=，22y x −=，则4AB =，当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；当24y =，24x −=，解得12x =−，则142H ⎛⎫− ⎪⎝⎭，；待定系数法求一次函数3y 的解析式为325y x =−+，当0x =，35y =，则()05P ，，根据()11154222PGH S ⎡⎤⎛⎫=⨯−−⨯− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△，计算求解即可；（2）求解过程同（1）；（3）设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a −⎛⎫⎪⎝⎭，，代入22y k x b =+得，2221b am a k b a a =+⎧⎪−⎨+=⎪⎩，解得221b aa k a m =+⎧⎪⎨=⎪−⎩，即1a x a a m y +−=+，当x m a =−，()11y a m a a a m ⨯+=−+=−，则直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a −，，当x m a =−，21m ay m a −=−=，进而可得结论．【详解】（1）解：∵2m =，4a =，∴(20)A ，，()20B −，，12y x=，22y x −=，∴4AB =， 当2x =，1212y ==，则()21E ，；当14y =，24x =，解得12x =，则142G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 当24y =，24x −=，解得12x =−，则142H ⎛⎫− ⎪⎝⎭，； 设一次函数3y 的解析式为3y kx b =+，将()21E ，，142G ⎛⎫⎪⎝⎭，，代入3y kx b =+得，21142k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得25k b =−⎧⎨=⎩，∴325y x =−+， 当0x =，35y =，则()05P ，，∴()1111542222PGH S ⎡⎤⎛⎫=⨯−−⨯−=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△； ∴函数3y 的表达式为325y x =−+，PGH △的面积为12；（2）解：PGH △的面积不变，理由如下：∵(0)A m ，，(0)B m a −，，1m y x =，2m ay x −=，∴AB a =，当x m =，11m y m ==，则()1E m ，；当1y a =，m a x =，解得m x a =，则m G a a ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当2y a =，m a a x −=，解得m a x a −=，则m a H a a−⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 设一次函数3y 的解析式为113k x b y =+，将()1E m ，，m G a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入113k x b y =+得，11111mk b m k b a a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得111a k m b a ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩，∴31ax a m y =−++，当0x =，31y a =+，则()01P a +，，∴()11122PGH m m a S a a a a ⎡−⎤⎛⎫=⨯−⨯+−= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦△； ∴PGH △的面积不变；（3）解：直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上，理由如下：设直线PH 的解析式为22y k x b =+，将()01P a +，，m a H a a −⎛⎫⎪⎝⎭，，代入22y k x b =+得，2221b a m a k b a a =+⎧⎪−⎨+=⎪⎩，解得221b aa k a m =+⎧⎪⎨=⎪−⎩， ∴1ax a a m y +−=+，当x m a =−，()11y am a a a m ⨯+=−+=−，∴直线PH 与BC 边的交点坐标为()1m a −，，当x m a =−，21m ay m a −=−=，∴直线PH 与BC 边的交点在函数2y 的图像上．【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．(1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求OAB 的面积；(3)过动点()0T t ，作x 轴的垂线l ，l 与一次函数y x m =−+和反比例函数ky x=的图象分别交于当M 在N 的上方时，请直接写出t 的取值范围．【答案】(1)一次函数的解析式为3y x =−+，反比例函数的解析式为2y x =(2)32(3)0t <或12t << 【分析】（1）把()1，2A 分别代入一次函数和反比例函数求出m k 、的值即可得到答案；（2）联立32y x y x =−+⎧⎪⎨=⎪⎩求出点B 的坐标，令直线AB 与x 交于点C ，由直线AB 求出点C 的坐标，最后由1122AOBAOCBOCA B SSSOC y OC y =−=⋅⋅−⋅⋅，进行计算即可得到答案；（3）直接由函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把()1，2A 代入一次函数y x m =−+，得12m −+=， 解得：3m =，∴一次函数的解析式为：3y x =−+，把()1，2A 代入反比例函数ky x =，得21k =，解得：2k =，∴反比例函数的解析式为：2y x =；（2）解：联立32y x y x =−+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：12x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩，()21B ∴，，令直线AB 与x 交于点C ，如图，，当0y =时，30x −+=， 解得：3x =， ()30C ∴，，11113323122222AOBAOCBOCA B SS SOC y OC y ∴=−=⋅⋅−⋅⋅=⨯⨯−⨯⨯=（3）解：由图象可得：，当M 在N 的上方时，t 的取值范围为：0t <或12x <<．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、求一次函数的解析式、反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数和一次函数的图象与性质，是解题的关键．(1)当气球内的气压超过150KPa 少时气球不会爆炸（球体的体积公式(2)请你利用p 与V 的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎．【答案】(1)气球的半径至少为0.2m 时，气球不会爆炸； (2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎 【分析】（1）设函数关系式为k p =，用待定系数法可得 4.8p V =，即可得当150p =时， 4.80.032150V ==，从而求出0.2r =；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 【详解】（1）设函数关系式为kp V =， 根据图象可得：1200.04 4.8k pV ==⨯=， ∴4.8p V =，∴当150p =时，4.80.032150V ==，∴3430.0323r ⨯=，解得：0.2r =，4.80k =>，p ∴随V 的增大而减小，∴要使气球不会爆炸，0.032V ≥，此时0.2r ≥， ∴气球的半径至少为0.2m 时，气球不会爆炸；（2）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎．【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反比例函数的解析式．轴的对称点，OAC 的面积是【答案】(1)y x =(2)(2P −++或(2P −−−【分析】（1）设,k A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得,k C m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，结合OAC 的面积是8．可得()182k m m m +=，从而可得答案；（2）先求解()2,4A ，()2,4C −，可得直线为28y x =+，联立828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，再解方程组即可．【详解】（1）解：∵点A 在反比例函数(0)ky k x =≠的图象上，∴设,k A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，∵点C 是点A 关于y 轴的对称点，∴,k C m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∵OAC 的面积是8．∴()182k m m m +=，解得：8k =；∴反比例函数解析式为：8y x =；（2）∵点A 的横坐标为2时， ∴842A y ==，即()2,4A ，则()2,4C −，∵直线2y x b =+过点C ， ∴44b −+=， ∴8b =，∴直线为28y x =+， ∴828y x y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，解得：24x y ⎧=−+⎪⎨=+⎪⎩或24x y ⎧=−−⎪⎨=−⎪⎩，经检验，符合题意；∴(2P −++或(2P −−−．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，轴对称的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用图形面积建立方程求解是解本题的关键．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D 在反比例函数图象上，且横坐标大于3OBDS=【答案】(1)4y x =(2)132y x =−+【分析】（1）根据四边形OABC 是边长为2的正方形求出点B 的坐标，代入ky x =求出k ；（2）设4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DH x ⊥轴，根据OBD OBH BHD ODH S S S S =+−V V V V 面积列方程，求出点D 坐标，再由待定系数法求出直线BD 的函数表达式．【详解】（1）解：四边形OABC 是边长为2的正方形， ∴4OABC S xy ==正方形， ∴4k =；即反比例函数的表达式为4y x =．（2）解：设4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点D 作DH x ⊥轴，点()2,2B ，4,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0H a ，∴12OBH S OH AB a=⋅=V 1144(2)(2)222BHD a S DH AH a a a −=⋅=⋅⋅−=V ，122ODH S OH DH =⋅=V3OBD OBH BHD ODH S S S S =+−=V V V V∴4(2)232a a a −+−=，解得：14a =，21a =−，经检验4a =，是符合题意的根，即点()4,1D ，设直线BD 的函数解析式为y kx b =+，得∶ 2241k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：123k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，即：直线BD 的函数解析式为132y x =−+．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义和待定系数法求一次函数解析式，反比例函数ky x =图象上任意一点做x 轴、y 轴的垂线，组成的长方形的面积等于k，灵活运用几何意义是解题关键．2(1)求反比例函数的解析式；(2)点C 在这个反比例函数图象上，连接【答案】(1)8y x =(2)()4,2C【分析】（1）利用正切值，求出4OB =，进而得到()2,4A ，即可求出反比例函数的解析式；（2）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，易证四边形ABOE 是矩形，得到2OE =，4AE =，再证明AED △是等腰直角三角形，得到4DE =，进而得到()6,0D ，然后利用待定系数法求出直线AD 的解析式为6y x =−+，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C 的坐标． 【详解】（1）解：AB y ⊥轴，90ABO ∴∠=︒，1tan 2AOB =∠，12AB OB ∴=，2AB =，4OB ∴=，()2,4A ∴，点A 在反比例函数()0ky x x =>的图象上，248k ∴=⨯=，∴反比例函数的解析式为8y x =；（2）解：如图，过点A 作AE x ⊥轴于点E ，90ABO BOE AEO ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABOE 是矩形，2OE AB ∴==，4OB AE ==，45ADO ∠=︒，AED ∴是等腰直角三角形， 4DE AE ∴==，246OD OE DE ∴=+=+=，()6,0D ∴，设直线AD 的解析式为y kx b =+，2460k b k b +=⎧∴⎨+=⎩，解得：16k b =−⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为6y x =−+，点A 、C 是反比例函数8y x =和一次函数6y x =−+的交点，联立86y x y x ⎧=⎪⎨⎪=−+⎩，解得：24x y =⎧⎨=⎩或42x y =⎧⎨=⎩，()2,4A ， ()4,2C ∴．【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线AD 的解析式是解题关键．(1)求反比例函数的表达式和点E 的坐标；(2)若一次函数y x m =+与反比例函数的部分时（点M 可与点,D E 重合）【答案】(1)反比例函数解析式为y x =，()22E ，(2)30m −≤≤【分析】（1）根据矩形的性质得到BC OAAB OA ∥，⊥，再由()4,1D 是AB 的中点得到()42B ，，从而得到点E的纵坐标为2，利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点E 的坐标即可； （2）求出直线y x m =+恰好经过D 和恰好经过E 时m 的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形OABC 是矩形，∴BC OAAB OA ∥，⊥， ∵()4,1D 是AB 的中点， ∴()42B ，，∴点E 的纵坐标为2，∵反比例函数()0ky x x =>的图象分别与,AB BC 交于点()4,1D 和点E ，∴14k =，∴4k =，∴反比例函数解析式为4y x =，在4y x =中，当42y x ==时，2x =， ∴()22E ，；（2）解：当直线 y x m =+经过点()22E ，时，则22m +=，解得0m =； 当直线 y x m =+经过点()41D ，时，则41m +=，解得3m =−；∵一次函数y x m =+与反比例函数()0ky x x =>的图象相交于点M ，当点M 在反比例函数图象上,D E 之间的部分时（点M 可与点,D E 重合）， ∴30m −≤≤．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与反比例函数综合，矩形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．【答案】(1)反比例函数的表达式为y x =−；一次函数的表达式为22y x =−+(2)142BC =【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线BC 的表达式为1y =，再分别求得B C 、的坐标，据此即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数()0ky x x =<的图象经过点()1,4A −，∴144k =−⨯=−， ∴反比例函数的表达式为4y x =−；∵一次函数2y x m =−+的图象经过点()1,4A −，∴()421m=−⨯−+，∴2m =，∴一次函数的表达式为22y x =−+； （2）解：∵1OD =， ∴()01D ，，∴直线BC 的表达式为1y =， ∵1y =时，14x =−，解得4x =−，则()41B −，，∵1y =时，122x =−+，解得12x =，则112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴()114422BC =−−=．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法是求函数解析式的基本方法．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求AOB 的面积； (3)请根据图象直接写出不等式【答案】(1)12y x =−，32y x =−+(2)9(3)<2x −或04x <<【分析】（1）把点B 代入反比例函数()0ky k x =≠，即可得到反比例函数的解析式；把点A 代入反比例函数，即可求得点A 的坐标；把点A 、B 的坐标代入一次函数一次函数()0y ax b a =+<即可求得a 、b 的值，从而得到一次函数的解析式；（2）AOB 的面积是AOC 和BOC 的面积之和，利用面积公式求解即可；（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x 的范围，直接得出结论． 【详解】（1）∵点()4,3B −在反比例函数ky x =的图象上，∴34k −=， 解得：12k =− ∴反比例函数的表达式为12y x =−．∵(),3A m m −在反比例函数12y x =−的图象上，∴123m m =−−，解得12m =，22m =−（舍去）．∴点A 的坐标为()2,6−．∵点A ，B 在一次函数y ax b =+的图象上，把点()2,6A −，()4,3B −分别代入，得2643a b a b −+=⎧⎨+=−⎩，解得323a b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的表达式为332y x =−+； （2）∵点C 为直线AB 与y 轴的交点，∴把0x =代入函数332y x =−+，得3y = ∴点C 的坐标为()0,3 ∴3OC =，∴AOB AOC BOC SS S =+ 1122A B OC x OC x =⋅⋅+⋅⋅11323422=⨯⨯+⨯⨯9=．（3）由图象可得，不等式k ax b x <+的解集是<2x −或04x <<．【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．。
反比例函数专题四、反比例函数与几何的综合应用
因为C(0，2)，A(4，0)，由矩形的性质可得P(2，1)， 把点P的坐标代入反比例函数解析式可得k＝2， 2 所以反比例函数解析式为y＝ . x 2 1 3 易知点D的横坐标为4，所以AD＝ ＝ .所以BD＝ . 4 2 2 2 又易知点E的纵坐标为2，所以2＝ . CE 所以CE＝1.所以BE＝3. 所以S△ODE＝S矩形OABC－S△OCE－S△BED－S△OAD
Q R P
专题训练
训练角度
3
反比例函数与圆的综合
k 8．如图，双曲线y＝ (k>0)与圆O在第一象限内交于P， x Q两点，分别过P，Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点
4 ． P的坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为______
方法点拨
∵圆O在第一象限的部分关于直线y＝x对称，双曲 k 线y＝ (k＞0)在第一象限的部分也关于直线y＝x x 对称，P点的坐标是(1，3)， ∴Q点的坐标是(3，1)．
(1)求一次函数的解析式；
专题训练
6 (2)根据图象直接写出使kx＋b＜ 成立的x的取值范围； x 6 解：根据图象可知使kx＋b＜ 成立的x的取值范围是 x 0＜x＜1或x＞3.
专题训练
(3)求△AOB的面积 解：如图，分别过点A，B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分 别为E，C，设直线AB交x轴于点D. 令y＝0，则－2x＋8＝0，解得x＝4， 即D(4，0)．
x
(x＜0)于点D，交x轴于点C，
连接AD交y轴于点E，若 OC＝3，求OE的长．
专题训练
6 解：设点A的坐标为(a， )，由题易知四边形ABCO是平行 a 四边形，∴AB＝OC＝3. 6 6 ∴点B的坐标为(a－3， ).∴(a－3)· ＝－3. a a 解得a＝2，经检验知，a＝2是原方程的解．
反比例函数与几何综合专题(基础篇)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题26.14反比例函数与几何综合专题（基础篇）（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（）A ．y=B ．y=C ．y=D ．y=2．如图，点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，过点A 作AC ⊥x 轴垂足为C ，OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，当AC ＝1时，△ABC 的周长为（）A ．1B 1+C D2+3．如图，点A 是双曲线y =6x是在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不）A ．13y x=-B ．3y x =-C ．16y x=-D ．6y x=-4．如图，反比例函数ky x=（0x >）的图象经过点()1,2A 和点(),B m n ，过点B 作BC y⊥轴与C ，若ABC 的面积为2，则点B 的坐标为（）A ．23,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,1D ．()1,25．如图，菱形AOBC 的边BO 在x 轴正半轴上，点A (2，，反比例函数kyx=图象经过点C ，则k 的值为()A ．12B ．C ．D ．6．在ABC 中90ACB ∠=︒，将Rt ABC 放在如图所示的平面直角坐标系中，ABC 的边AC x ∥轴．1AC =，点B 在x 轴上，点C 在反比例函数2(0)y x x=>的图像上，将ABC 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到111A B C △，此时点1A 在反比例函数()0ky x x=<的图像上．11B C 与此图像交于点P ，则点P 的纵坐标是（）A ．92-B ．72-C ．94-D ．74-7．如图，点A 在双曲线y ＝6x上，过A 作AC ⊥x ，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，且AC ＝1.5，则△ABC 的周长为（）A ．6.5B ．5.5C ．5D ．48．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，在OAB ∆中，AO AB =，AC OB ⊥于点C ，点A 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上，若4OB =，3AC =，则k 的值为（）．A ．12B ．8C ．6D ．39．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，60BOC ∠=︒，顶点C 的坐标为(m ，反比例函数()0ky k x=<的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连结BD ，当DB x ⊥轴时，k 的值是（）A ．B ．C ．D ．-10．如图，平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，点P 是y 轴上一动点，若△PMN 的面积为2，则k 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图反比例函数图像过A(2，2)，AB ⊥x 轴于B ，则△OAB 的面积为_______12．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝kx（x ＞0）图象上的两点，且A 、B 两点的纵坐标分别为2和1，C 在x 轴上，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，则k ＝_____．13．如图，在平面直角坐标系中，△ABO 边AB 平行于y 轴，反比例函数(0)k y x x=>的图像经过OA 中点C 和点B ，且△OAB 的面积为9，则k =________14．我市某校想种植一块面积为400平方米的长方形草坪，要求两邻边均不小于10米，草坪的一边长y （米）与另一边长x （米）之间的关系如图中曲线AB 所示，其中AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ，连接AB ，则四边形ACDB 的面积为______平方米．15．在平面直角坐标系中，OA ＝AB ，∠OAB ＝90°，反比例函数ky x=（x ＞0）的图像经过A 和B 两点其中A （2，m ），且点B 的纵坐标为n ，则n ＝______．16．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝kx﹣（k＜0）交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，若BC平分∠ABO交OA于点C，AC＝2OC，则k 的值为____．17．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在反比例函数y=kx(x>0)图象上，C在x轴上，AB//x轴，BC与双曲线交于点D，且BD=3CD=6，则k=_______．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数8yx=的图象经过A（2，4），B两点，∠AOB＝45°，则点B的坐标为________．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，某反比例函数的图象经过点()1,3A--．()1求该反比例函数的解析式；()2点(),3B m 和()3,C n 均在该反比例函数的图象上，点P 在x 轴上，请画出使PB PC+的值最小的P 点位置，并求出此时点P 的坐标．20．（8分）如图，点P 的坐标是(32)-，，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线(0)ky x x =>于点N ，作PM AN ⊥交双曲线(0)k y x x=>于点M ，连接AM ．已知PN =4．(1)求k 的值；(2)求APM △的面积．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A ，B 在函数()0ky x x=>的图象上（点A 的纵坐标大于点B 的纵坐标），点A 的坐标为（2，4），过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，连结OA ，AB ．(1)求k 的值．(2)若CD ＝2OD ，求四边形OABC 的面积．22．（10分）如图，矩形ABCD 的两边AD AB 、的长分别为3、8.边BC 落在x 轴上，E 是DC 的中点，连接AE ，反比例函数my x=的图象经过点E ，与AB 交于点F ．(1)直接写出AE 的长；(2)若2AF AE -=，求反比例函数的解析式．23．（10分）如图，一次函数4y x =-+的图象与反比例函数()0ky k x=≠在第一象限内的图象交于()1,A n 和()3,B m 两点．(1)求反比例函数的表达式．(2)在第一象限内，当一次函数4y x =-+的值大于反比例函数()0ky k x=≠的值时，写出自变量x 的取值范围(3)求△AOB 面积．24．（12分）如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A 、C 在反比例函数ky x=的图象上，顶点B 、D 在x 轴上．已知点()32A -，、(50)B -，．(1)直接写出点C 、D 的坐标；(2)求反比例函数的解析式；(3)求平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的长；(4)求平行四边形ABCD 的面积S ．参考答案1．C试题分析：利用三角形面积公式得出xy=10，进而得出答案．解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，∴xy=10，∴y 与x 的函数关系式为：y=．故选C ．考点：根据实际问题列反比例函数关系式．2．B【分析】依据点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，AC ⊥x 轴，AC ＝1，可得OC ，再根据CD 垂直平分AO ，可得OB ＝AB ，再根据△ABC 的周长＝AB+BC+AC ＝OC+AC 进行计算即可．解：∵点A 在反比例函数y ＝﹣x（x ＜0）的图象上，AC ⊥x 轴，∴AC×OC ∵AC ＝1，∴OC ∵OA 的垂直平分线交x 轴于点B ，∴OB ＝AB ，∴△ABC 的周长＝AB+BC+AC ＝OB+BC+AC ＝OC+AC +1，故选：B ．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，比较容易掌握．3．D【分析】连接OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD ≌△OAE ，设A 点坐标为（a ，6a ），得出OD =AE =6a，CD =OE =a ，最后根据反比例函数图象上点C 的坐标特征确定函数解析式．解：如图，连接OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=6x的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∴△COD≌△OAE（AAS），设A点坐标为（a，6a），得出OD=AE=6a，CD=OE=a，∴C点坐标为（-6a，a），∵-6a•a=-6，∴点C在反比例函数y=-6x图象上．故选：D．【点拨】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．4．A【分析】根据三角形面积公式得到12•m•（2−n）＝2，即2m−mn＝4，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到mn＝2，则可计算出m＝3，n＝23，从而可确定B点坐标．解：∵△ABC的面积为2，∴12•m •（2−n ）＝2，即2m −mn ＝4，∵反比例函数k y x=（x ＞0）的图象经过点A （1，2）和点B （m ，n ），∴1×2＝mn ，∴2m −2＝4，解得m ＝3，∴n ＝23，∴B （3，23）．故选A ．【点拨】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义：在反比例函数k y x =图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．5．C【分析】根据题意可求出菱形的边长．再根据边BO 在x 轴正半轴上，即可判断AC x ∥轴，从而可求出C 点坐标，代入反比例函数解析式求解即可．解：∵点A (2，，∴4OA =，∴菱形的边长为4，即4AC =．∵边BO 在x 轴正半轴上，∴AC x ∥轴，∴246C A x x AC =+=+=，C A y y ==∴C (6，．将C (6，代入k y x =，得：6k =解得：k =故选C ．【点拨】本题考查两点的距离公式，菱形的性质，坐标与图形以及求反比例函数解析式．利用数形结合的思想是解题关键．6．A【分析】首先由边AC ∥x 轴，AC ＝1，点C 在函数2(0)y x x=>的图像上，求得点C 的坐标，继而求得点A 与点B 的坐标，然后由旋转的性质、平移的性质，求得△A 1B 1C 1各顶点的坐标，再由点A 1在函数()0k y x x=<的图像上，B 1C 1与此图像交于点P ，求得答案．解：∵边AC ∥x 轴，AC ＝1，∴点C 的横坐标为1，∵点C 在函数2(0)y x x =>的图像上，∴y ＝2，∴点C 的坐标为：（1，2），∴点A 的坐标为：（0，2），点B 的坐标为：（1，0），∵将ABC 先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到111A B C △，，∴A 1的坐标为：（-3，﹣3），B 1的坐标为：（-2，-5），C 1的坐标为：（-2，﹣3），∵点A 1在函数()0k y x x=<的图像上，∴k ＝xy ＝-3×（﹣3）＝9，∴此反比例函数的解析式为：9y x =，∵线段B 1C 1的解析式为：x ＝-2∴点P 的横坐标为：-2，∴点P 的纵坐标为：92y =-．故选：A ．【点拨】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求反比例函数解析式、旋转的性质、平移的性质以及点与函数的关系．注意求得△A 1B 1C 1各顶点的坐标是关键．7．B【分析】由于BD 是OA 的垂直平分线，那么OB AB =，据图可知A 点的纵坐标是1.5，把 1.5y =代入反比例函数解析式，易求OC ，进而可求ABC ∆的周长．解：如图所示，BD Q 是OA 的垂直平分线，OB AB ∴=，1.5AC = ，∴点A 的纵坐标是1.5，把 1.5y =代入6y x=，得61.5x =，解得4x =，4OC ∴=，ABC ∴∆的周长 1.54 5.5AC AB BC AC OB BC AC OC =++=++=+=+=，故选：B ．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质，解题的关键是求出A 点的坐标．8．CC 点坐标，结合AC 长即可得到A 点坐标，根点A 在反比例函数的图像上，将点A 的坐标代入反比例函数解析式中可得k 值．解：∵AO AB =，∴OAB ∆为等腰三角形，又∵AC OB ⊥，∴C 为OB 中点，∵4OB =，∴2OC =，∵3AC =，∴A 点坐标为（2，3），将A 点坐标代入反比例函数(0)k y k x=≠得，32k =，∴6k =．故选：C ．【点拨】本题考查反比例函数图像上的点的性质，等腰三角形的判定和性质．利用等腰三角形的性质求得反比例函数上点的坐标是解题关键．9．C【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得AC//OB，则AE⊥y轴，再由∠BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE OE＝2，OC＝2CE＝4，接着根据菱形的性质得OB＝OC＝4，∠BOA＝30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD＝3，所以D点坐标为（−4，3），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．解：延长AC交y轴于E，如图，∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∴AC//OB，∴AE⊥y轴，∵∠BOC＝60°，∴∠COE＝30°，∴CO=2CE而顶点C的坐标为(m，∴OE＝CE=-m，CO=-2m，∵CO2=CE2+OE2，即（-2m）2=（-m）2+（2，解得m=-2∴OC＝2CE＝4，∴C(2,-∵四边形ABOC为菱形，∴OB ＝OC ＝4，∠BOA ＝30°，∴OD =2BD在Rt △BDO 中，DO 2=BD 2+OB 2，即（2BD ）2=BD 2+42，∴BD ＝3，∴D 点坐标为（−4，3），∵反比例函数()0k y k x =<的图象经过点D ，∴k ＝故选：C ．【点拨】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．10．B【分析】由题意易得点M 到y 轴的距离即为△PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有11k k MN a a a +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，进而根据三角形面积公式可求解．解：由平行于y 轴的直线l 分别与反比例函数k y x =（x ＞0）和1y x=-（x ＞0）的图象交于M 、N 两点，可得：点M 到y 轴的距离即为△PMN 以MN 为底的高，点M 、N 的横坐标相等，设点1,,,k M a N a a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴11k k MN a a a+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∵△PMN 的面积为2，∴111222PMN k S MN a a a+=⋅=⨯⨯= ，解得：3k =；故选B ．【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数与几何的综合是解题的关键．11．2【分析】根据题意可得OB=2，AB=2，然后根据三角形的面积公式即可求出结论．解：∵反比例函数图像过A(2，2)，AB ⊥x 轴于B ，∴OB=2，AB=2∴S △ABC =12OB·AB=2故答案为：2．【点拨】此题考查的是坐标与图形的面积，掌握三角形的面积公式是解决此题的关键．12．6【分析】过点A 作AG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，易证△AGC ≌CHB ，根据全等三角形的性质，可得GC 和CH 的值，根据A 、B 的纵坐标，表示出横坐标，列方程求解即可．解：过点A 作AG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，如图所示，则有∠AGC =∠CHB =90°，∴∠GAC +∠GCA =90°，∵∠ACB =90°，AC =BC ，∴∠ACG +∠HCB =90°，∴∠GAC =∠HCB ，∴△AGC ≌CHB （AAS ），∴AG =CH =2，GC =BH =1，∴=3∵A 、B 在反比例函数的图象上，∴,22k A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B （k ,1），∴32k k -=,∴k =6，故答案为：6．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，设计等腰直角三角形的性质，构造全等三角形是解题的关键．13．6【分析】延长AB 交x 轴于D ，根据反比例函数k y x =（x ＞0）的图象经过点B ，设B k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则OD ＝m ，根据△OAB 的面积为9，列等式可表示AB 的长，表示点A 的坐标，根据线段中点坐标公式可得C 的坐标，从而得出结论．解：延长AB 交x 轴于D ，如图所示：∵AB y ∥轴，∴AD ⊥x 轴，∵反比例函数k y x=（x ＞0）的图像经过OA 中点C 和点B ，∴设B k m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则OD ＝m ，∵△OAB 的面积为9，∴192AB OD ⋅=，即12AB •m ＝9，∴AB ＝18m ，∴A （m ，18k m +），∵C 是OA 的中点，∴C 11822k m m +⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴11822k k m m+=⋅，∴k ＝6，故答案为：6．【点拨】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特征，线段的中点坐标公式，三角形面积公式，解本题的关键是设未知数建立方程解决问题．14．750【分析】由题意得y 与x 的函数关系式为400y x =，则当10x =时，4004010y ==，当40x =时，4001040y ==，即可得40AC =，10BD =，401030CD =-=，即可得．解：∵长方形草坪的面积为400平方米，∴y 与x 的函数关系式为400y x =，∴当10x =时，4004010y ==，当40x =时，4001040y ==，∵AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，∴40AC =，10BD =，401030CD =-=，∴四边形ABCD 的面积为：()()2401030750m 2+⨯=，故答案为：750．【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质．15【分析】过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，作BD ⊥AC ，垂足为D ，通过证△AOC ≌△ABD 可得：OC ＝AD ＝m ，AC ＝BD ＝2，即可求得B 点的纵坐标．解：如图：过A 作AC ⊥y 轴，垂足为C ，作BD ⊥AC ，垂足为D ，∵∠BAO ＝90°，∴∠OAC +∠BAD ＝90°，∠BAD +∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAO ，∵∠D ＝∠ACO ＝90°，AO ＝AB ，∴△ACO ≌△DAB （AAS ），∴AD ＝CO ，BD ＝AC ，∵A （2，m ），∴OC ＝AD ＝m ，AC ＝BD ＝2．∴点B 坐标为()2,2m m +-∴()()222m m m =+-∴解得11m =+21m =（舍去）∴n ＝m ﹣2，．【点拨】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，关键是求得BD 的长．16．【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则OC =CD ，利用面积法结合AB =2OC ，可得出AB =2OA ，利用勾股定理可得出OA =，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA ，OB的长，结合OA =可求出k 值．解：如图，过点C 作CD ⊥D ，∵BC 平分∠ABO ，∴OC =CD ，∵12BOC S OC OB ∆=⋅，1122ABC S AC OB AB CD ∆=⋅=⋅，∴2ABC BOC S AC AB S OC OB∆∆===，∴AB =2OB ，∴OA ==，当x =0时，y，当y =0时，x =∴OB =-，=OA∴()-，解得：3k =-，故答案为：-．3【点拨】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积、勾股定理以及一次函数图象上点的坐标特征，利用面积法找出OA=是解题的关键．173【分析】过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，求得CD=2，AB=BC=AC=8，利用直角三角形的性质求得CE=4，CF=1，设A，，D，利用OF-OE=CE+CF=5，列方程求解即可．解：过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，∵△ABC是等边三角形，BD=3CD=6，∴CD=2，AB=BC=AC=8，∵AB//x轴，∴∠ACE=∠BCF=30°，∴CE=4，CF=1，由勾股定理得AEDF设AOF，解得：k【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是通过含30°角的直角三角形的三边关系表示点A 和点B 的坐标．18．3⎛ ⎝⎭【分析】将OA 绕O 点顺时针旋转90°到OC ，连接AB 、CB ，作AM ⊥y 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，通过证得△AOB ≌△COB （SAS ），得到AB =CB ，证得△AOM ≌△CON （AAS ），求得C （4，-2），设B 点的坐标为（m ，8m），根据AB =BC ，得到关于m 的方程，解方程求得m 的值，即可求得B 的坐标．解：将OA 绕O 点顺时针旋转90°到OC ，连接AB 、CB ，作AM ⊥y 轴于M ，CN ⊥x 轴于N ，∵点A 的坐标为（2，4），∴AM =2，OM =4，∵∠AOB =45°，∴∠BOC =45°，在△AOB 和△COB 中，OA OC AOB COB OB OB ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOB ≌△COB （SAS ），∴AB =CB ，∵∠AOM +∠AON =90°=∠CON +∠AON ，∴∠AOM =∠CON ，在△AOM 和△CON 中，AOM CON AMO ONC OA OC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△AOM ≌△CON （AAS ），∴CN =AM =2，ON =OM =4，∴C （4，-2），设B 点的坐标为（m ，8m ），∵AB =CB ，∴2222882442m m m m-+-=-++（）（）（）（），解得m =-（负值不合题意，舍去）故答案为：⎛ ⎝．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．19．（1）3y x =；（2）P 点坐标为5()20【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）先求出B,C 的坐标，再根据对称性作A 点关于x 轴的对称点’A ，连接'BA 交x 轴于P 点，求出直线'BA 的解析式即可得到P 点坐标．解：解:()1设反比例函数解析式为k y x=把()1,3A 代入，得133k =⨯=，∴反比例函数解析式为3y x=()2把(3,)B m 代入得33m =，解得1m =，B ∴点坐标为(3)1，；作A 点关于x 轴的对称点’A ，连接'BA 交x 轴于P 点，则’3(1)A -，，''PA PB PA PB BA +=+= ，设直线'BA 的解析式为y mx n =+，则331m n m n +=-⎧⎨+=⎩，解得25m n =⎧⎨=-⎩∴直线'BA 的解析式为25y x =-，当0y =时，250x -=，解得52x =P ∴点坐标为5()20．【点拨】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法的应用．20．(1)-14(2)4【分析】（1）由题意可得出3AP =，2N y =-．再根据PN =4，可求出AN =7，即得出N 的坐标，最后将N 的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k 的值；（2）由题意可得出3M x =，代入所求出的反比例函数解析式，即得出M 的纵坐标，从而可求出PM 的长，最后由三角形面积公式计算即可．解：（1）由题意可知3AP =，2N =-．∵PN =4，∴AN =AP +PN =3+4=7，∴7N x =，∴N (7，-2)．将N (7，-2)代入k y x =，得：27k -=解得：14=-k ．（2）由题意可知3M x =．由（1）可知反比例函数解析式为：14y x =-，将3M x =代入14y x =-得：143M y =-∴1482(33P M PM y y =-=---=，∴11834223APM S AP PM =⋅=⨯⨯=△．【点拨】本题考查坐标与图形，求反比例函数的解析式，反比例函数与几何的综合．利用数形结合的思想是解题关键．21．(1)8(2)443【分析】（1）将点A 的坐标（2，4）代入()0k y x x=>，可得结果；（2）利用反比例函数的解析式可得点B 的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果．（1）解：将点A 的坐标（2，4）代入()0k y x x =>，可得k ＝xy ＝2×4＝8，∴k 的值为8；（2）∵k 的值为8，∴函数k y x =的解析式为8y x =，∵CD ＝2OD ，OD ＝2，∴CD ＝4，∴OC ＝6，∴点B 的横坐标为6，将x ＝6代入8y x =，得43y =，∴点B 的坐标为（6，43），∴S 四边形OABC ＝S △AOD ＋S 梯形ABCD ＝12×2×4＋12×(43＋4)×4＝443．【点拨】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，运用数形结合思想是解答此题的关键．22．(1)5(2)4y x=-【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）设E 点的坐标为（x ，4），F 点的坐标是（x −3，1），代入m y x =求出x ，再求出m ，即可得出答案．解：(1)∵矩形ABCD 的两边AD AB 、的长分别为3、8，∵点E 为DC 的中点，∴CE =DE =4，在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE 5=；(2)∵AF −AE ＝2，∴AF ＝5＋2＝7，∴BF ＝8−7＝1，设E 点的坐标为（x ，4），F 点的坐标是（x −3，1），代入m y x=得：m ＝4x ＝（x −3）•1，解得：x ＝−1，即m ＝−4，所以当AF −AE ＝2时反比例函数表达式是4y x=-．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质等知识点，能求出E 点的坐标是解此题的关键．23．(1)3y x=．(2)1﹤x ﹤3．(3)4．【分析】（1）把A n 的值，再代入反比例函数解析式可求得k ，即可得出反比例函数的表达式；（2）根据A ，B 点的横坐标，结合图象可直接得出满足条件的x 的取值范围；（3）设一次函数与x 轴交于点C ，可求得C 点坐标，利用AOB AOC BOC S S S =-△△△可求得ABO 的面积．（1）解：（1）∵点A 在一次函数图象上，∴n =-1+4=3，∴A （1，3），∵点A 在反比例函数图象上，∴k =3×1=3，∴反比例函数的表达式为3.y x=（2）结合图象可知当一次函数值大于反比例函数值时，x 的取值范围为1＜x ＜3．（3）如图，设一次函数与x 轴交于点C ，在y =-x +4中，令y =0可求得x =4，∴C （4，0），即OC =4，将B （3，m ）代入y =-x +4，得m =1，∴点B 的坐标为（3，1）．114341 4.22AOB AOC BOC S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 故△AOB 的面积为4．【点拨】本题是反比例函数与一次函数的综合题，主要考查函数图象的交点问题，掌握两函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．24．(1)C (3，-2)；D （5，0）(2)6y x =-(3)10BD =；AC =20S =【分析】（1）由题意，点A 、C ，点B 、D 关于原点对称，即可得出答案；（2）直接将点()32A -，代入反比例函数k y x =，即可求出解析式；（3）直接根据B 、D BD 的长，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，有勾股定理可求出OA 的长，即可得出AC 的长；（4）由2ABD S S = ，即可求解．（1）解：由题意点A 、C ，点B 、D 关于原点对称，且()32A -，、(50)B -，，∴C (3，-2)；D （5，0）．（2）∵反比例函数图象经过点（-3，2），∴()326k xy ==-⨯=-反比例函数的解析式为6y x=-．（3）()5510BD =--=；过点A 作AE ⊥x 轴于E ，在Rt △AEO 中，AO ===∴2AC AO ==（4）Δ122210202ABD S S ==⨯⨯⨯=．【点拨】本题考查反比例函数，平行四边形，熟练运用反比例函数的对称性是解题的关键．。
人教版2020年春数学九年级下册：《专题 反比例函数与几何图形》达标检测(含答案)
《专题反比例函数与几何图形》达标检测1．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(－3，4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝kx(x＜0)的图象经过顶点B，则k的值为( )A．－36 B．－32 C．－27 D．－122．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4与x轴、y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线y＝kx上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好落在此双曲线上，则a的值是( ) A．4 B．3 C．2 D．13．如图，反比例函数y＝2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为．4．正比例函数y1＝mx(m＞0)的图象与反比例函数y2＝kx(k≠0)的图象交于点A(n，4)和点B，AM⊥y轴，垂足为M，若△AMB的面积为8，则满足y1>y2的实数x的取值范围是．5．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为(a，a)．如图，若曲线y＝3x(x>0)与此正方形的边有交点，则a的取值范围是．6．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为A(2，0)，C(－1，2)，反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象经过点B.(1)求k 的值；(2)将▱OABC 沿x 轴翻折，点C 落在点C′处，判断点C′是否在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上，请通过计算说明理由．7.如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AB ⊥x 轴，垂足为A.反比例函数y ＝kx (x>0)的图象经过点C ，交AB 于点D.已知AB ＝4，BC ＝52.(1)若OA ＝4，求k 的值；(2)连接OC ，若BD ＝BC ，求OC 的长．8．如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y＝kx(x＞0)的图象经过点B.(1)求k的值；(2)将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形MABC′，NA′BC.设线段MC′，NA′分别与函数y＝kx(x＞0)的图象交于点E，F，求线段EF所在直线的解析式．9．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为(4，2)．过点D(0，3)和E(6，0)的直线分别与AB，BC交于点M，N.(1)求直线DE的解析式和点M的坐标；(2)若反比例函数y＝mx(x＞0)的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；(3)若反比例函数y＝mx(x＞0)的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围．参考答案1．B 2．C 3．44．2＜x＜0或x＞25．3≤a≤3＋16．解：(1)∵四边形OABC为平行四边形，∴BC∥OA. ∵A(2，0)，C(－1，2)，∴B(1，2)．将B(1，2)代入反比例函数解析式，得2＝k1，∴k ＝2.(2)点C′在反比例函数y ＝kx 的图象上，理由如下：∵▱OABC 沿x 轴翻折，点C 落在点C′处， ∴C ′点坐标是(－1，－2)． ∵反比例函数解析式为y ＝2x ，当x ＝－1时，y ＝2－1＝－2， ∴点C′在反比例函数y ＝2x 的图象上．7.解：(1)作CE ⊥AB ，垂足为E.∵AC ＝BC ，AB ＝4，∴AE ＝BE ＝2. 在Rt △BCE 中，BC ＝52，BE ＝2，∴CE ＝32.∵OA ＝4，∴点C 的坐标为(52，2)．∵点C 在y ＝kx的图象上，∴k ＝5.(2)设A 点的坐标为(m ，0)，∵BD ＝BC ＝52，∴AD ＝32.∴D ，C 两点的坐标分别为(m ，32)，(m －32，2)．∵点C ，D 都在y ＝k x 的图象上，∴32m ＝2(m －32)．∴m ＝6.∴点C 的坐标为(92，2)．作CF ⊥x 轴，垂足为F ，∴OF ＝92，CF ＝2.在Rt △OFC 中，OC 2＝OF 2＋CF 2， ∴OC ＝972. 8．解：(1)∵四边形OABC 是面积为4的正方形， ∴OA ＝OC ＝2.∴点B 坐标为(2，2)．∴k ＝xy ＝2×2＝4. (2)∵正方形MABC′，NA ′BC 是由正方形OABC 翻折所得， ∴ON ＝OM ＝2OA ＝4.∴点E 横坐标为4，点F 纵坐标为4. ∵点E ，F 在函数y ＝4x 的图象上，∴E(4，1)，F(1，4)．设直线EF 解析式为y ＝mx ＋n ，将E ，F 两点坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋n ＝1，m ＋n ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝5. ∴直线EF 的解析式为y ＝－x ＋5.9．解：(1)设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵点D ，E 的坐标分别为(0，3)，(6，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝b ，0＝6k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝3.∴直线DE 的解析式为y ＝－12x ＋3.由题意，令2＝－12x ＋3.∴x ＝2.∴M(2，2)．(2)∵y ＝mx (x ＞0)经过点M(2，2)，∴m ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4x .当x ＝4时，y ＝－12×4＋3＝1.∴N(4，1)．∵当x ＝4时，y ＝4x ＝1，∴点N 在函数y ＝4x 的图象上．(3)4≤m ≤8.。
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反比例函数与四边形的综合提升
1、 如图，已知正比例函数y=2x 和反比例函数的图象交于点A （m ，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围；
（3）若双曲线上点C （2，n ）沿OA 方向平移个单位长度得到点B ，
判断四边形OABC 的形状并证明你的结论．
2、如图，点A （m ，m+1），B （m+3，m-1）都在反比例函数
x k y 的图象上．
（1）求m 、k 的值：
（2）若M 为x 轴上一点，N 为y 轴上一点，以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，则这样的四边形有______个．请直接写出此时平行四边形的四个顶点的坐标．
3、阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵≥0， ∴≥0，
∴≥，只有当a ＝b 时，等号成立． 根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m ＞0，只有当m ＝ 时 ， ．
（2）探索应用：如图2，已知A(－3，0)，B(0，－4)，P 为双曲线
（x ＞0）上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ．求四边
形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．
4、如图，在平面直角坐标系中，A （16，0）、C （0，8），四边形OABC 是矩形，D 、E 分别是OA 、BC 边上的点，沿着DE 折叠矩形，点A 恰好落在y 轴上的点C 处，点B 落在点B ′处． （1）求D 、E 两点的坐标；
（2）反比例函数x k
y =(k ＞0)在第一象限的图象经过E 点，
判断B ′是否在这个反比例函数的图象上？并说明理由；
（3）点F 是（2）中反比例函数的图象与原矩形的AB 边的交点，
点G 在平面直角坐标系中，以点D 、E 、F 、G 为顶点的四边形
是平行四边形，求G 点的坐标．
5、如图，一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于点P （n ，2），与x 轴交于点A （﹣4，0），与y 轴交于点C ，PB ⊥x 轴于点B ，且AC=BC ．
（1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．
6、已知点A 、B 分别是x 轴、y 轴上的动点,点C 、D 是某个函数图象上的点,当四边形ABCD （A 、B 、C 、D 各点依次排列）为正方形时,称这个正方形为此函数图象的伴侣正方形．例如：如图,正方形ABCD 是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形． （1）若某函数是一次函数y=x+1,求它的图象的所有伴侣正方形的边长；
（2）若某函数是反比例函数x k
y =(k ＞0),它的图象的伴侣正方形为ABCD,点D （2,m ）（m ＜2）在反比
例函数图象上,求m 的值及反比例函数解析式．
7、如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，A（－2，0）、
B（0，1）、C（d，2）。
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图像上。
请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线B′C′交y轴于点G。
问是否存在x轴上的点M和反比例函数图像上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形。
如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由。