第五讲函数的奇偶性和周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．（偶函数的图象特点：关于y轴对称；奇函数的图象特点：关于原点中心对称．）函数的周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有□01f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0).，则T＝2a(a≠0).②若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a≠0).③若f(x＋a)＝－1f（x）④若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a≠0，c为常数).函数图象的对称性①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称．②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．④若对于R上的任意x都有f(2b－x)＋f(x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．利用函数奇偶性可以解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其关于原点对称区间上的图象． (5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值． 例1 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则f (2023)＝( )A ．20232B ．1C ．0D ．－1 答案 D解析 因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，因为f (x )为R 上的奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.故选D.例2 已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈(1，2)时，f (x )＝－3x 2＋2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝( )A ．－103 B ．103 C ．－23 D ．23答案 B解析 ∵f (x ＋1)为奇函数，∴f (x ＋1)＝－f (－x ＋1)，∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，∴f ((x ＋1)＋1)＝－f (－(x ＋1)＋1)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＝－f (－x )，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)＝－f (－x ).令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，∴f (t ＋4)＝－f (t ＋2)＝f (t )，∴f (x ＋4)＝f (x ).故函数f (x )的周期为4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫143＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝103.故选B.例3 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 B ．f (sin 1)>f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3 D ．f (sin 2)>f (cos 2)答案 C解析 ∵当x ∈[3，5]时，f (x )＝1－|x －4|，f (x ＋2)＝f (x )，∴当x ∈[－1，1]时，f (x )＝f (x＋2)＝f (x ＋4)＝1－|x |，当x ∈[0，1]时，f (x )＝1－x ，∴函数f (x )在[0，1]上为减函数，又0<cos π3<sin π3<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，A 错误；0<cos 1<sin 1<1，∴f (sin 1)<f (cos 1)，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2－32，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，C 正确；f (sin 2)＝1－sin 2，f (cos 2)＝1－|cos 2|＝1＋cos 2，又sin 2π3<sin 2<1，cos 2π3<cos 2<0，∴0<1－sin 2<1－32，12<1＋cos 2<1，∴f (sin 2)<f (cos 2)，D 错误．故选C.例4 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________．答案 52解析 因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52. 例5 已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是( )A ．f (－1)<f (9)<f (13)B ．f (13)<f (9)<f (－1)C ．f (9)<f (－1)<f (13)D ．f (13)<f (－1)<f (9) 答案 C解析 ∵f (5＋t )＝f (5－t )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝5对称，∴f (－1)＝f (11)，∵函数f (x )在区间(－∞，5]上单调递减，∴f (x )在(5，＋∞)上单调递增．∴f (9)＜f (11)＜f (13)，即f (9)＜f (－1)＜f (13).例6 已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析 由f (－x )＝2－f (x )得f (x )的图象关于(0，1)对称，而y ＝x ＋1x ＝1＋1x 也关于(0，1)对称，∴对于每一组对称点，x i ＋x i ′＝0，y i ＋y i ′＝2，∴∑mi ＝1 (x i ＋y i )＝∑mi ＝1x i ＋∑mi ＝1y i ＝0＋2×m2＝m .例7 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1).若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(1，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞)D ．(0，1)∪(1，4) 答案 C解析 当－4≤x ＜0时，函数y ＝|x ＋3|关于原点对称的函数为－y ＝|－x ＋3|，即y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)，因为函数f (x )的图象上有且只有两个点关于原点对称，则等价为函数f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，作出两个函数的图象如图所示，若a ＞1，则f (x )＝log a x (x ＞0)与y ＝－|x －3|(0＜x ≤4)的图象只有一个交点，满足条件，当x ＝4时，y ＝－|4－3|＝－1，若0＜a ＜1，要使两个函数图象只有一个交点，则满足f (4)＜－1，即log a 4＜－1，得14＜a ＜1.综上可得，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1∪(1，＋∞).故选C.例8 已知函数g (x )的图象与f (x )＝x 2－mx 的图象关于点(－1，2)对称，且g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，则实数m ＝( )A ．2B ．－4C ．4D ．－1 答案 C解析 设(x ，y )是函数g (x )的图象上任意一点，则其关于(－1，2)对称的点为(－2－x ，4－y )，因此点(－2－x ，4－y )在f (x )的图象上，所以4－y ＝(－2－x )2－m (－2－x )，整理得y ＝－x 2－mx －4x －2m ，即g (x )＝－x 2－mx －4x －2m ，又g (x )的图象与直线y ＝－4x －4相切，所以方程－x 2－mx －4x －2m ＝－4x －4，即x 2＋mx ＋2m －4＝0有两个相等的实数根，则m 2－4(2m －4)＝0，可得m ＝4.故选C.例9 定义在R 上的函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，若对任意的x ∈[t ，t ＋1]，不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )恒成立，则实数t 的最大值为( )A ．－1B ．－23 C ．－13 D ．13 答案 C解析 ∵f (2－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∵当x ≥1时，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋3，1≤x <4，1－log 2x ，x ≥4，当1≤x ＜4时，f (x )＝3－x 为减函数，且f (x )∈(－1，2]；当x ≥4时，f (x )＝1－log 2x 为减函数，且f (x )∈(－∞，－1]，∴f (x )在[1，＋∞)上是减函数，在(－∞，1]上是增函数．若不等式f (2－x )≤f (x ＋1＋t )对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，由对称性可得|2－x －1|≥|x ＋1＋t －1|对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，即有|x －1|≥|x ＋t |⇔－2x ＋1≥2tx ＋t 2⇔(2t ＋2)x ＋t 2－1≤0对任意x ∈[t ，t ＋1]恒成立，令g (x )＝(2t ＋2)·x ＋t 2－1，则⎩⎨⎧g （t ）≤0，g （t ＋1）≤0，即⎩⎨⎧2（t ＋1）t ＋t 2－1≤0，2（t ＋1）（t ＋1）＋t 2－1≤0，即⎩⎨⎧3t 2＋2t －1≤0，3t 2＋4t ＋1≤0，解得－1≤t ≤－13，∴实数t 的最大值为－13.故选C. 轴对称(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称(当a ＝0时，恰好就是偶函数). (2)f (a －x )＝f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2轴对称．(3)f (x ＋a )是偶函数，则f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，进而可得到f (x )的图象关于直线x ＝a 轴对称． 中心对称(1)f (a －x )＝－f (a ＋x )⇔f (x )的图象关于点(a ，0)中心对称(当a ＝0时，恰好就是奇函数). (2)f (a －x )＝－f (b ＋x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0中心对称．(3)f (a －x )＋f (b ＋x )＝2c ⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 中心对称．。
函数函数的奇偶性与周期性
函数函数的奇偶性与周期性函数是数学中的一个重要概念，它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
在数学中，我们经常会遇到函数的奇偶性与周期性的问题。
本文将探讨函数函数的奇偶性与周期性的概念、性质与判断方法。
一、函数的奇偶性在数学中，奇函数和偶函数是最常见的两种特殊函数。
1.1 奇函数奇函数是指满足以下性质的函数：对于任意$x$，若$f(x)=-f(-x)$，则函数$f(x)$是奇函数。
奇函数的图像具有关于原点对称的性质。
例如，$y=x^3$就是一个奇函数。
当$x$取正值时，$f(x)$和$-f(-x)$的取值相等；当$x$取负值时，$f(x)$和$-f(-x)$的取值也相等。
奇函数的图像通常关于原点对称。
1.2 偶函数偶函数是指满足以下性质的函数：对于任意$x$，若$f(x)=f(-x)$，则函数$f(x)$是偶函数。
偶函数的图像具有关于$y$轴对称的性质。
例如，$y=x^2$就是一个偶函数。
当$x$取正值时，$f(x)$和$f(-x)$的取值相等；当$x$取负值时，$f(x)$和$f(-x)$的取值也相等。
偶函数的图像通常关于$y$轴对称。
二、函数的周期性周期函数是指具有某个周期的函数。
2.1 周期周期是指函数中最小的正数$T$，使得对于任意$x$，都有$f(x+T)=f(x)$。
周期函数是在一个周期内具有相同函数值的函数。
例如，正弦函数$y=\sin x$和余弦函数$y=\cos x$就是周期函数。
它们的周期都是$2\pi$，也就是说对于任意$x$，都有$\sin(x+2\pi)=\sin x$和$\cos(x+2\pi)=\cos x$。
2.2 周期性质周期函数有以下几个重要的性质：（1）周期函数的图像在一个周期内是重复的；（2）周期函数的图像在不同周期之间也是重复的；（3）周期函数的图像可能是对称的。
三、判断函数的奇偶性与周期性的方法为了判断一个函数的奇偶性与周期性，我们可以通过函数关系式进行分析。
函数的奇偶性和周期性
最小正周期
最小正周期的定义
如果存在一个正数T，使得对于函数 f(x)的定义域内的每一个x，都有 f(x+T)=f(x)，则称T为函数f(x)的一个 周期。所有周期中最小的一个称为最 小正周期。
最小正周期的意义
最小正周期是描述函数重复性特征的 重要参数，它可以帮助我们更好地理 解函数的性质和行为。在数学和物理 中，最小正周期常常被用来研究函数 的变化规律和行为特征。
02 函数的周期性
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，使得对于函 数f(x)的定义域内的每一个x，都有 f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期。
周期函数的性质
周期函数在其周期内的图像是重复的 。周期函数的图像是连续不断的，且 可以由一个周期内的图像平移得到整 个定义域上的图像。
偶函数的周期性
偶函数并不一定具有周期性，但如果一个偶函数具有周期性，那么它的周期一定是 $T=npi$（$n$为整数）。
04 奇偶性和周期性的应用
在数学领域的应用
奇偶性
在数学分析中，函数的奇偶性可以帮助我们研究函数的对称性质，进而简化函数的性质和图像。例如，偶函数关 于y轴对称，奇函数关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$是奇函数，因 为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$，对于所有 $x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
图像特性
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$是偶函数，因为$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$。
常见周期函数类型
正弦函数和余弦函数： y=sin(x)和y=cos(x)的最 小正周期为2π。
函数的奇偶性和周期性
函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性和周期性是数学中的两个重要概念，在函数的研究和应用中有广泛的应用。
通过研究函数的奇偶性和周期性，我们可以更好地理解和分析函数的性质和图像。
函数的奇偶性首先，让我们来了解函数的奇偶性。
一个函数被称为是奇函数，如果对于函数上的任意一点x，有f(-x) = -f(x)。
换句话说，奇函数关于y轴对称，其图像在原点具有对称性。
一个函数被称为是偶函数，如果对于函数上的任意一点x，有f(-x) = f(x)。
换句话说，偶函数关于y轴对称，其图像关于y轴具有对称性。
奇函数和偶函数是互补的概念。
一个函数既不是奇函数也不是偶函数，我们称之为非奇非偶函数。
接下来，让我们通过一个具体的例子来理解函数的奇偶性。
例子1：考虑函数y = x^3 - x，我们可以检查函数在原点附近的性质来确定其奇偶性。
首先，我们计算f(-x)和-f(x)： f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x -f(x) = - (x)^3 - x = -x^3 - x通过比较f(-x)和-f(x)，我们发现f(-x) ≠ -f(x)，因此该函数既不是奇函数也不是偶函数。
函数的周期性接下来，让我们来了解函数的周期性。
一个函数被称为是周期函数，如果存在一个正数T，对于函数的定义域上的任意一点x，有f(x+T) = f(x)。
换句话说，周期函数的图像在水平方向上存在重复性。
周期函数的周期T是一个正数，它决定了函数图像重复出现的距离。
如果一个函数的周期为T，那么对于函数图像上的任意一点x，相应的周期重复区间为[x, x + T]。
周期函数在很多领域中有广泛的应用，例如电子信号处理、音频分析等。
下面，让我们通过一个具体的例子来理解函数的周期性。
例子2：考虑函数y = sin(x)，显然sin(x)是一个周期函数。
sin(x)的周期是2π，也就是说对于函数图像上的任意一点x，有sin(x + 2π) = sin(x)。
函数的奇偶性和周期性(含解析)
函数奇偶性和周期性一、必备知识：1．奇、偶函数的概念 (1)偶函数:一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． (2)奇函数一般地，如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． 3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件． 4．周期函数的概念 (1)周期、周期函数对于函数f (x )，如果存在一个 T ，使得当x 取定义域内的 值时，都有 ，那么函数f (x )就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期:如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f (x )为奇函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ； (2)若函数f (x )为偶函数，且在[a ，b ]上为增(减)函数，则f (x )在[－b ，－a ]上为 ． 6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 7．函数的对称性如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a ＋x )＝f (b －x )，那么函数的图象有对称轴x ＝a ＋b2；如果函数f (x )，x ∈D ，满足∀x ∈D ，恒有f (a －x )＝－f (b ＋x )，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a ，0)，B (b ，0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b ，0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |. 自查自纠：1．(1)f (－x )＝f (x ) (2)f (－x )＝－f (x ) 2．Y 轴 原点3．原点对称 原点对称 必要不充分4．(1)非零常数 每一个 f (x ＋T )＝f (x ) (2)最小 5．(1)增(减)函数 (2)减(增)函数 6．奇 偶 偶 偶 奇二、题型训练题组一 1．函数()2lg 1()22x f x x -=--是_____________函数。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的一种重要工具，用来描述两个变量之间的关系。
在实际问题中，我们通常会遇到一些特殊类型的函数，比如奇函数、偶函数以及周期函数。
本文将讨论函数的奇偶性与周期性，并探究它们在数学和实际应用中的作用。
一、奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数在自变量取相反数时所具有的性质。
具体来说，一个函数 f(x) 是奇函数，当且仅当对于任意的 x，有 f(-x) = -f(x)。
反之，若对于任意的 x 有 f(-x) = f(x)，则函数 f(x) 是偶函数。
奇函数和偶函数的性质如下：1. 对于奇函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = -b。
2. 对于偶函数 f(x)，如果 f(a) = b，则 f(-a) = b。
3. 奇函数关于原点对称，即图像关于原点旋转180度后与原图像重合。
4. 偶函数关于 y 轴对称，即图像关于 y 轴对称。
在实际应用中，奇函数和偶函数广泛存在。
例如，奇函数在描述电路中的交流信号的正负变化、对称图形的性质等方面有广泛的应用。
而偶函数则在描述偶对称的物理现象、对称图形的性质等方面发挥重要作用。
二、周期函数周期函数是指函数在自变量增加或减少一个周期后，函数值保持不变的函数。
常见的周期函数包括正弦函数、余弦函数等三角函数。
周期函数的性质如下：1. 周期性：如果函数 f(x) 是周期为 T 的周期函数，那么对于任意的x 和正整数 k，都有 f(x + kT) = f(x)。
2. 周期的计算：对于三角函数，周期 T 可以通过函数的周期公式推导得出，例如正弦函数的周期为2π。
周期函数在科学和工程领域有广泛的应用，在描述物体振动、电磁波传播等现象时发挥重要作用。
周期函数的性质使得我们能够更好地理解和分析这些周期性的现象。
三、函数的奇偶性与周期性的关系奇函数和偶函数可以看作是周期函数的特殊形式。
事实上，任何一个周期函数都可以表示为奇函数和偶函数的和。
具体来说，如果一个函数 f(x) 是奇函数或偶函数，并且具有周期 T，那么它也是一个周期函数。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中一种重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在数学中，我们经常对函数的性质进行研究，其中包括奇偶性和周期性。
本文将探讨函数的奇偶性与周期性，并讨论它们在实际问题中的应用。
一、奇偶函数的定义与性质奇函数定义：对于任意实数x，若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。
换句话说，奇函数关于原点对称。
偶函数定义：对于任意实数x，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。
换句话说，偶函数关于y轴对称。
奇偶函数的性质：1. 若函数f(x)是偶函数，则f(0) = f(-0)，即函数在原点对称，图像关于y轴对称。
2. 若函数f(x)是奇函数，则f(0) = -f(-0)，即函数在原点对称，图像关于原点对称。
3. 若函数f(x)是偶函数，则可以推导出f(-x) = f(x)，即偶函数的性质在整个定义域内成立。
4. 若函数f(x)是奇函数，则可以推导出f(-x) = -f(x)，即奇函数的性质在整个定义域内成立。
二、周期函数的定义与性质周期函数定义：对于任意实数x，若存在正常数T，使得f(x+T) =f(x)，则称f(x)为周期函数。
换句话说，周期函数在自身的一个周期内，函数值具有相同的周期性重复。
周期函数的性质：1. 若函数f(x)是周期函数，则任意一个周期内的函数值都相同。
2. 若函数f(x)是周期函数，则其所有周期的长度都是T的整数倍。
3. 周期函数可以是正弦函数、余弦函数等传统函数，也可以是其他基于数学模型得出的函数。
三、奇偶函数与周期性的应用奇偶函数与周期函数在实际问题中具有广泛的应用，特别是在物理学和工程学领域。
以下是一些具体的应用案例：1. 电信号的表示在电子工程中，信号可以表示为奇函数或偶函数的组合。
根据信号的特性，我们可以通过分析奇偶性来判断信号的对称性和周期性，从而更好地进行信号处理和调整。
2. 物理振动奇函数和周期函数经常用来描述物体的振动情况。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在数学中，函数可以根据其性质进行分类，其中包括奇偶性和周期性。
本文将介绍函数的奇偶性与周期性，并探讨它们在数学中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性描述的是函数图像关于原点的对称性。
具体来说，如果对于函数f(x)，当x取正值时，有f(x) = f(-x)，即函数的值对称，那么该函数被称为偶函数。
相反，如果对于函数f(x)，当x取正值时，有f(x) = -f(-x)，即函数的值关于原点对称，那么该函数被称为奇函数。
1. 偶函数的特点偶函数的特点在于其图像关于y轴对称。
举个例子，y = x^2就是一个典型的偶函数。
当x取正值时，x^2的值保持不变。
2. 奇函数的特点奇函数的特点在于其图像关于原点对称。
比如，y = x^3就是一个典型的奇函数。
当x取正值时，x^3的值和其相反数互为相反数。
函数的奇偶性在数学中有广泛的应用。
例如，在解方程时，可以通过判断方程中的函数是偶函数还是奇函数，来确定方程的解的性质。
奇函数的图像通过原点，因此只要找到正解即可，而偶函数的图像关于y轴对称，因此需要找到两个解。
二、函数的周期性函数的周期性描述的是函数图像在一个周期内的重复性。
具体来说，如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T) =f(x)，那么该函数被称为周期函数，T被称为函数的周期。
1. 周期函数的特点周期函数的特点在于其图像在一个周期内重复出现。
一个常见的周期函数是正弦函数sin(x)。
对于任意的x，在一个周期2π内，sin(x)的值会不断重复。
周期函数在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
例如，在分析电流、振动等周期性现象时，可以使用周期函数来描述这些现象的规律。
函数的奇偶性与周期性是数学中重要的性质，通过研究函数的奇偶性与周期性，可以更深入地理解函数的行为规律。
同时，掌握函数的奇偶性与周期性也有助于解决实际问题，提高数学建模的能力。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性
一、函数的奇偶性
1.定义：关于函数f〔x〕，假设关于定义域内恣意一个x，都有f〔-x〕=-f〔x〕，那么f〔x〕为奇函数；
关于函数f〔x〕，假设关于定义域内恣意一个x，都有f〔-x〕=f〔x〕，那么f〔x〕为偶函数；
2.性质：
〔1〕函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数；
〔2〕 f〔x〕，g〔x〕的定义域为D；
〔3〕图象特点：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于原点对称；
〔4〕定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充沛条件，奇函数f〔x〕在原点处有定义，那么有f〔0〕=0；〔5〕恣意一个定义域关于原点对称的函数f〔x〕总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的方式：f〔x〕=g〔x〕+h〔x〕，其中g〔x〕=-[f〔x〕+f〔-x〕]为偶函数，h〔x〕=-[f〔x〕-f〔-x〕]为奇函数；
〔6〕奇函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。
3.判别方法：
〔1〕定义法
〔2〕等价方式：f〔-x〕+f〔x〕=0，f〔x〕为奇函数；
f〔-x〕-f〔x〕=0，f〔x〕为偶函数。
4.拓展延伸：
〔1〕普通地，关于函数y=f〔x〕，定义域内每一个自变量x，都有f〔a+x〕=2b-f〔a-x〕，那么y=f〔x〕的图象关于点〔a，b〕成中心对称；
〔2〕普通地，关于函数y=f〔x〕，定义域内每一个自变量x 都有f〔a+x〕=f〔a-x〕，那么它的图象关于x=a成轴对称。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是我们学习高中数学的重要内容，它在解决实际问题的过程中有着重要的应用。
而函数的奇偶性和周期性则是函数的两个重要性质，它们在函数的特殊性质中起着至关重要的作用。
函数的奇偶性指的是函数的对称性，即对于任意一个实数x，如果f(-x)=-f(x)成立，则f(x)是奇函数；如果f(-x)=f(x)成立，则f(x)是偶函数。
奇函数和偶函数有着明显的对称性，且它们有着特殊的性质。
首先来看奇函数。
奇函数的图像具有对称性，即对于图像上任意一点（x,y），该函数的图像在点(-x,-y)处也有一个相应的点，这种对称性使得奇函数在某些情况下计算更加方便。
奇函数还有一个重要的性质，即在正负区间上它的值分别相反。
这个性质在某些应用中也非常有用，例如在对称的电路中，电流的正负方向是相反的。
偶函数也有着类似的性质。
偶函数的图像具有轴对称性，即对于图像上任意一点（x,y），该函数的图像在y轴上也有一个相应的点(x,-y)，这种对称性使得偶函数在某些计算中也更加方便。
与奇函数类似，偶函数在正负区间上的值是相等的，这个性质在某些应用中也非常有用，例如在物体匀速运动的过程中，物体的速度是随时间偶对称的。
此外，函数还有一个重要的性质就是周期性。
周期函数指的是在给定的周期内函数值具有相同的周期性变化规律，即如果存在一个正数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)，则f(x)是T周期函数。
周期函数在物理和工程等领域中有着广泛的应用，例如正弦函数和余弦函数就是常见的周期函数。
在物理中，周期函数可以描述一个物体的集中振动状态，而在工程中，周期性变化的信号可以用来传输信息。
总的来说，函数的奇偶性和周期性决定着函数的一些特殊性质，这些性质又在现实生活中有着广泛的应用。
因此，对函数的奇偶性和周期性的深入理解是极为重要的，只有深刻理解了这些特殊性质，才能更好地应用它们解决实际问题。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述自然界和社会现象中的各种关系。
在数学中，函数的奇偶性和周期性是两个常见的性质，它们描述了函数图像的对称性和重复性。
本文将深入探讨函数的奇偶性和周期性，并说明它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在坐标轴上的对称性质。
具体而言，对于定义域内的任意 x 值，如果函数 f(-x) = f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是偶函数；如果函数 f(-x) = -f(x) 对于所有 x 成立，那么函数就是奇函数。
以数学中常见的函数 y = x^2 和 y = x^3 为例，前者是偶函数，后者是奇函数。
通过将 x 值取负，我们可以验证它们的对称性。
对于偶函数 y = x^2，有 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)；对于奇函数 y = x^3，有 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
函数的奇偶性不仅仅是一种几何上的对称性，还可以对函数的性质进行推理和证明。
例如，奇函数与奇函数相加、相减或与偶函数相乘的结果仍然是奇函数；而偶函数与偶函数相加、相减或与奇函数相乘的结果仍然是偶函数。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在特定区间内的重复性质。
具体而言，如果存在一个正数 T，对于定义域内的所有 x，有 f(x + T) = f(x) 成立，那么函数就是周期函数，而 T 则是函数的周期。
常见的周期函数包括三角函数（如正弦函数和余弦函数）、指数函数和对数函数等。
例如，正弦函数具有周期2π，即sin(x + 2π) = sin(x)；指数函数 e^x 则是自变量连续取整数时的周期函数，即 e^(x + 1) = e^x。
周期函数在数学和物理中有广泛的应用。
例如，三角函数可以用来描述物体的振动、电流的变化和天体运动等。
周期函数的性质使得我们能够准确地描述和预测这些现象。
结语函数的奇偶性和周期性是数学中常见且重要的概念。
高一复习资料——5函数的奇偶性、周期性
第五讲 函数的奇偶性、周期性一、知识回顾1、奇偶性1）定义：如果对于f (x )定义域内的任意一个x ：若 ，那么函数f (x )就叫偶函数； 若 ，那么函数f (x )就叫奇函数。
2）奇、偶函数的必要条件：函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。
若函数)(x f 为奇函数，且在x=0处有定义，则0)0(=f ； 3）判断一个函数的奇偶性的步骤 ①先求定义域，看是否关于原点对称;②再判断)()(x f x f -=-或)()(x f x f =- 是否恒成立。
4）奇偶函数图象的对称性奇函数的图象关于 对称；偶函数的图象关于 对称。
5）奇函数在对称区间的单调性 ；偶函数在对称区间的单调性 . 2、 周期性1）定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有)()(x f T x f =+，则称f (x )为周期函数；2）性质：①若)()(x f a x f -=+，则)(x f 的周期为a 2②若)(1)(x f a x f =+，则)(x f 的周期为a 2.二、例题变式例1、判断下列函数的奇偶性： （1）22log )(3+-=x x x f （2）11)(22-+-=x xx f （3）xx x x f -+-=11)1()(变式1、判断下列函数的奇偶性： （1）11)(-+=xxe e xf ； （2）221()lg lgf x x x=+； （3） 12)(-=x x f例2、设)(x f 是R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时，)1()(3x x x f -=，求当),0(+∞∈x时)(x f 的解析式。
变式2、)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且0≥x 时，23)(x x x f +=，则当0<x时，)(x f = .例3、已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。
函数的奇偶性及周期性
函数的奇偶性及周期性知识回顾1．函数的奇偶性奇偶性 定义 图象特点偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数 关于y 轴对称奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称2.函数奇偶性的几个重要结论 (1)f (x )为奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称；f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称． (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f (x )＝0，x ∈D ，其中定义域D 是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．3．函数的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，当a ＝b ＝0时，函数y ＝f (x )关于y 轴对称，此时函数y ＝f (x )是偶函数．(2)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称，特别地，当a ＝0，b ＝0时，f (x )＝－f (－x )，则函数y ＝f (x )关于原点对称，此时函数f (x )是奇函数．4.函数的周期性(1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 5.关于周期的结论(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a ； (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a ； (3)若f (x ＋a )＝1f x，则函数的周期为2a ； (4)若f (x ＋a )＝－1f x，则函数的周期为2a .课前检测1．下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x2．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝|x |D ．y ＝e x －e －x3.【2020年浙江杭州杭州市西湖高级中学高一上学期期末考试数学试卷】若函数为奇函数，则实数( )A ．B ．C ．D ．4.【2019年浙江杭州单元测试】已知在上为奇函数，当，，则当 时，的解析式为 ________5.【2019年浙江宁波宁波效实中学高一上学期期中考试数学试卷（理）】已知定义在 上的偶函数 ，当 时，，则函数 的解析式为______________________；若有 ，则的取值范围为______________________．课中讲解考点一.奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.例2.【2020年9月陕西西安长安区第一中学高一上学期月考数学试卷】设函数，的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是()A．是偶函数B．是奇函数C．是奇函数D．是奇函数考点二.奇偶性的应用例1.【2018年4月江西南昌江西师范大学附属中学高三下学期月考数学试卷（文）】定义在上的函数满足，、，，有下列命题：①；②设，是偶函数；③设，是常函数；④若，则的值可组成等差数列．其中正确命题有________ ．（填所有正确命题序号）变式1.【2018年10月浙江金华东阳中学高一上学期月考数学试卷】已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的实数，，且，不等式恒成立，则不等式的解集为________．例2.【2017年陕西西安西安电子科技大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷】已知是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式是____________________．变式2.【2020年9月陕西西安西安交通大学第二附属中学高一上学期月考数学试卷】已知是偶函数，，当时，为增函数，若，，且，则有()A．B．C．D．例3.【2020年浙江杭州杭州源清中学高一上学期期末考试数学试卷】已知是定义在上的偶函数，那么的值是()A．B．C．D．变式3.【2019年浙江台州高一上学期期中考试数学试卷五校】已知函数是定义在上的奇函数，当时，为单调递增函数，且，则满足的的取值范围是()A．B．C．D．变式4.（多选）已知函数对任意实数，，恒有且当，．其中正确的结论是()A．B．为偶函数C．为上减函数D．为上增函数考点三.周期性的应用例1.定义在上的函数满足：，当时，，则________ ．变式1.已知函数满足，，则等于()A．B．C．D．例2.已知：函数是上的偶函数，是上的奇函数，且，若，则的值为________．变式2.定义在上的函数满足，当时，，当时，．则()A．B．C．D．例3.设偶函数对任意，都有，且当时，，则()A．B．C．D．变式3.设定义在上的函数满足，若，则()．A．B．C．D．例4.已知定义在上的函数，对任意，，都有且，则________ ．例5.设函数关于函数有以下四个结论：①值域为；②是周期函数；③是单调函数；④是偶函数；其中正确的结论个数为：()A．B．C．D．变式5.【2020年9月陕西西安西安车辆厂中学高一上学期月考数学试卷】老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出这个函数的一个性质：甲：对任意，都有；乙：在上，函数单调递减；丙：在上，函数单调递增；丁：不是函数的最小值．如果其中恰有三个人说得正确，则函数的解析式可能是________．考点四.对称性的应用例1.【2018年陕西西安雁塔区高新一中高一上学期期中考试数学试卷】定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为()A．B．C．D．变式1.已知，，方程在内有且只有一个根，则在区间内根的个数为()A．B．C．D．例2.定义在上的函数满足，又，，给出下列命题：①的图象关于直线对称，的图象与的图象关于直线对称；②的图象关于直线对称，的图象与的图象关于直线对称；③的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；④的图象关于直线对称，的图象关于直线对称．其中正确的命题是________（填入正确命题的序号）．变式2.给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．对于三次函数，有如下真命题：任何一个三次函数都有唯一的“拐点”，且该“拐点”就是的对称中心，给定函数，请你根据上面结论，计算________．例3.已知函数是上的奇函数，若将不管向左还是向右平移一个单位都将得到一个偶函数，记向左平移一个单位得到的函数为，且，则________．变式3.已知定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意实数都有，且，，则________考点五.函数的综合应用例1.【2019年重庆高二下学期期末考试数学试卷（区县卷文）】定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，则()A．B．C．D．变式1.【2019年广东深圳龙岗区高一上学期期末考试数学试卷】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．例2.【2018年9月广东深圳宝安区高三上学期月考数学试卷（理）】设的定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是________．变式2.函数是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是()．A．B．C．D．课后练习一单选题1.【2019年重庆重庆市南开中学高一上学期期中考试数学试卷】定义在上的满足：，且对任意两个不相等的实数，，都有，，则的解集为()A．B．C．D．2.【2019年浙江温州高二上学期期中考试数学试卷新力量联盟】设函数，则使得成立的的取值范围是()A．，B．，，C．，D．，，3.【2018年浙江杭州十四康桥高一上学期期中考试数学试卷】设函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是()A．B．C．D ．4.奇函数 满足 ，当 时，，则 ( )A ．B ．C ．D ．5.已知定义在 上的函数 ，对任意，都有 成立，若函数的图象关于直线 对称，则=( )A ．B ．C ．D ．6.定义在 上的偶函数 满足 ，对 ， 且 ，都有 ，则有( ) A ． B ． C ． D ．二 多选题7．（2020•山东新高考模拟演练3）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x xg x -=+，则以下结论错误的是( )A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值8．（2020•山东新高考模拟演练5）已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．49.（2020•福建泉州）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述数值之间的关系。
函数的奇偶性与周期性是函数特性的一种表现形式。
在本文中，我们将探讨函数的奇偶性与周期性，并分析其在数学中的应用意义。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数在平面直角坐标系中关于原点的对称性质。
对于函数 f(x)，若对于任意 x，都有 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意 x，都有 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
1.1 奇函数的特点奇函数具有以下特点：- 在原点处对称，即图像关于原点对称；- 若 f(x) 是奇函数，那么其图像关于 y 轴的负半轴和正半轴对称。
1.2 偶函数的特点偶函数具有以下特点：- 在 y 轴上的值相等，即图像关于 y 轴对称；- 若 f(x) 是偶函数，那么其图像关于 x 轴对称。
二、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以某个常数为周期重复出现的性质，常用于描述周期性现象。
对于函数 f(x)，若存在正数 T，使得对于任意x，都有 f(x+T) = f(x)，则称 T 为函数 f(x) 的周期。
2.1 周期函数的特点周期函数具有以下特点：- 在每个周期内，函数的取值和性质相同；- 周期函数的图像在每个周期内重复出现。
三、奇偶函数的周期性奇偶函数的周期性与其奇偶性质有一定的联系，具体如下：3.1 偶函数的周期性若 f(x) 是一个周期为 T 的偶函数，则其满足以下性质：- 在一个周期内，函数的取值和性质相同；- 函数图像在每个周期内关于 y 轴对称。
3.2 奇函数的周期性若 f(x) 是一个周期为 T 的奇函数，则其满足以下性质：- 在一个周期内，函数的取值和性质相同；- 函数图像在每个周期内关于原点对称。
四、函数奇偶性与周期性的应用函数的奇偶性与周期性在数学中有广泛的应用，特别是在函数图像的分析和计算中。
4.1 奇偶性在函数图像中的应用通过判断一个函数的奇偶性，可以有效简化函数图像的分析过程。
高中数学基础之函数的奇偶性与周期性
D.
考点二 函数奇偶性的应用
【例 2】 (1)(2019·全国卷Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ex－1，则
当 x<0 时，f(x)＝( D ) A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
(2)(2020·长沙第一中学期末)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝ ___1_____.
又 x<0，∴－x>0. ∵x≥0 时，f(x)＝ex－1，∴－y＝e－x－1， ∴y＝－e－x＋1(x<0)，即 f(x)＝－e－x＋1(x<0)． 解法三(赋值法)：∵f(x)是奇函数，且 x≥0 时，f(x)＝ex－1， ∴f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，即 f(－1)＝－e＋1，只有 D 符合． (2)因为 f(x)－f(－x)＝xln(x＋ a＋x2)＋xln(－x＋ a＋x2)＝xln(a＋x2－x2)＝xlna ＝0，所以 a＝1.
1．(2020·福州市高三期末)下列函数为偶函数的是( B )
A．y＝tan(x＋π4)
B．y＝x2＋e|x|
C．y＝xcosx
D．y＝ln|x|－sinx
[解析] 对于选项 A，易知 y＝tan(x＋π4)为非奇非偶函数；对于选项 B，设 f(x)
＝x2＋e|x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以 y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B．最小正周期为 2π 的奇函数
C．最小正周期为 π 的偶函数
D．最小正周期为 2π 的偶函数
(2)(2020·河南南阳模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，并且满足 f(x＋
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中一种重要的工具，用来描述变量之间的关系。
在实际应用中，我们经常遇到一些特殊性质的函数，比如奇偶性与周期性。
本文将探讨函数的奇偶性与周期性的概念、特征以及在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数的图像关于坐标轴的对称性。
具体来说，若对于函数中的任意一个元素x，有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于函数中的任意一个元素x，有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
若函数既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，则称该函数为既非偶函数又非奇函数的函数。
以数学表达式为例，对于偶函数来说，f(x) = f(-x)；对于奇函数来说，f(x) = -f(-x)。
若一个函数既不满足偶函数的条件，也不满足奇函数的条件，可以通过将f(x)拆分为偶函数和奇函数的和的形式来表示。
函数的奇偶性具有以下特点：1. 若一个函数是奇函数，则它的图像关于原点对称；2. 若一个函数是偶函数，则它的图像关于y轴对称；3. 若一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则其图像对于原点和y轴都没有对称性。
函数的奇偶性在数学推导和计算中有重要的作用。
在一些题目中，我们可以通过函数的奇偶性来简化计算，减少工作量。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数在一定区间内以相同的规律重复出现。
具体来说，若对于函数中的任意一个元素x，有f(x + T) = f(x)，其中T为一个正常数，则称该函数为周期函数。
周期函数具有以下特点：1. 函数在一个周期内的变化规律是相同的；2. 函数的周期可以大于一个周期；3. 若函数的周期为T，则f(x + T) = f(x)，且对于一切正整数n，f(x+ nT) = f(x)。
周期函数在数学分析、物理学、信号处理等领域中具有广泛的应用。
很多实际问题中的变量可以通过周期函数来进行建模和分析，例如交流电信号和天体运动等。
三、函数的奇偶性与周期性的关系函数的奇偶性和周期性是两种不同的概念，但它们之间存在一定的联系。
第5讲函数的奇偶性与周期性
(2)为了使利润最大，每次应进货多少吨？
优秀课件
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1 y (3.40 2.80) 6000 6000 62.50 1.5x
x 化简得：y 3600 - (375000 3x)
f(a+x)+f(a-x)=0
f(x)+f(2a-x)=0
2.轴对称：若函数对于任意的x都有：
f(a+x)-f(a-x)=0，则函数关于轴x=a对称。
特别地，当a=0时，f(x)关于y轴对称。
f(a+x)=f(a-x)
优秀课件 f(x)=f(2a-x)
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考点三 函数的周期性
1.概念：对于函数f(x),如果存在一个不为零的 常数使得当x取定义域内的每一个值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x) 叫做周期函数.
-x2 - 2x - 3
(x 0) (x 0) 为奇函数.
(x 0)
优秀课件
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考点二 对称的知识
1.点对称：
若函数对于任意的x都有：
f(a+x)+f(a-x)=2b,则函数f(x)关于点(a,b)对称。
特别地，当b=0时，函数关于点(a,0)对称；当
a=0,b=0时,f(x)关于点(0,0)对称，也即奇函数。
优秀课件
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题型三 抽象函数的奇偶性单调性周 期性
例4.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关 于直线x=1对称，对任意的x1,x2∈[0,1/2], 都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2),且f(1)=a>0. (1)求f(1/2),f(1/4); (2)证明：f(x)是周期函数.
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．判断以下结论的正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)假设f(x)是定义在R上的奇函数，那么f(－x)＋f(x)＝0.(√)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域一样的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(5)假设T是函数的一个周期，那么nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)(8)假设函数y＝f(x＋a)是偶函数，那么函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(9)假设函数y＝f(x＋b)是奇函数，那么函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(10)假设某函数的图象关于y轴对称，那么该函数为偶函数；假设某函数的图象关于(0,0)对称，那么该函数为奇函数．(√)考点一 判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1] (1)A ．y ＝x B ．y ＝e x C ．y ＝cos x D ．x x e e y --=解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ， ∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数，应选D. 答案：D(2)以下函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝lg|x |C ．y ＝(x －1)2D ．y ＝2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得A 是奇函数，B 是偶函数，C ，D 为非奇非偶函数． 答案：B(3)函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3，那么( )A ．不具有奇偶性B ．只是奇函数C ．只是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数． 答案：D[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称．(3)性质法：①“奇＋奇〞是奇，“奇－奇〞是奇，“奇·奇〞是偶，“奇÷奇〞是偶；②“偶＋偶〞是偶，“偶－偶〞是偶，“偶·偶〞是偶，“偶÷偶〞是偶；③“奇·偶〞是奇，“奇÷偶〞是奇．判断以下函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) 1－x1＋x；(2)f(x)＝lg1－x1＋x.解：(1)要使函数有意义，那么1－x1＋x≥0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由1－x1＋x＞0⇒－1＜x＜1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg 1＋x1－x＝lg1)11(-+-xx＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值[例2] (1)以下函数不是周期函数的是( )A．y＝sin x B．y＝|sin x|C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)解析：y＝sin x与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．答案：C(2)函数f(x)是定义在R上的偶函数，假设对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，那么求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[方法引航] (1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式围之的x通过周期变换转化到解析式围之，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，那么函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，那么函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．假设将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)〞变为“f(x＋2)＝－f(x)〞，那么f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0. 答案：0.2．假设本例(2)条件变为f (x )对于x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，求f (－2 017)＋f (2 019)的值．解：由f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2∴f (2 019)＝f (1)＝log 22＝1，f (－2 017)＝f (2 017)＝f (1)＝1， ∴f (－2 017)＋f (2 019)＝2.考点三 函数奇偶性的综合应用[例3] (1)假设函数f (x )＝2x －a 是奇函数，那么使f (x )＞3成立的x 的取值围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a .化简可得a ＝1，那么2x ＋12x －1＞3，即2x ＋12x －1－3＞0，即2x ＋1－3(2x －1)2x－1＞0，故不等式可化为2x －22x －1＜0，即1＜2x ＜2，解得0＜x ＜1，应选C. 答案：C(2)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且)21(f ＝25.①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.解：①∵在x ∈(－1,1)上f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )＝ax1＋x 2.又∵)21(f ＝25，∴a21＋14＝25.解得，a ＝1.∴f (x )＝x 1＋x 2，经检验适合题意．②证明：由f ′(x )＝1＋x 2－2x 2(1＋x 2)2＝1－x 2(1＋x 2)2.x ∈(－1,1)时，1－x 2＞0，∴f ′(x )＞0.∴f (x )在(－1,1)上为增函数．③由f (t －1)＋f (t )＜0，得f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜t －1＜1－1＜－t ＜1t －1＜－t得0＜t ＜12.(3)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，那么当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x )C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x ) 解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )． 答案：C[方法引航](1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在定义域恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进展转化.1．f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，那么b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：132．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且)21(f ＝0，那么满足f (x )＜0的x的集合为( )A.),2()21,(+∞⋃-∞∪(2，＋∞)B.)1,21(∪(1,2)C.)21,0(∪(2，＋∞)D.)1,21(∪(2，＋∞).解析：选C.由题意可得f ＝f＜0＝)21(f ，又f (x )在[0，＋∞)上递减，所以＞12，即x ＞12或x ＜－12，解得0＜x ＜12或x ＞2，所以满足不等式f＜0的x 的集合为)21,0(∪(2，＋∞)．3．函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，那么)21()21(-+f f 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213解析：选A.由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，那么)21(f －1＋)21(-f －1＝0，所以)21()21(-+f f ＝2.[方法探究]“多法并举〞解决抽象函数性质问题[典例] (2017·模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出以下四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系]①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )隐含了用什么结论？什么方法探究？ ②f (x ＋2)＝－f (x )，隐含了什么结论？用什么方法探究．③假设f (x )的图象关于x ＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？ ④f (x )在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？ ⑤f (2)，f (0)从何处计算．[解析] 第一步：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立． (赋值法)：令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0.令x ＋y ＝0，∴y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．.∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．第四步：f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)[答案] ①②③④[回忆反思] 此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，那么以下结论中正确的选项是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D 项错误，选C.2．(2016·高考卷)函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，)21()21(-=+x f x f .那么f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D.由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x ＞12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.应选D.3．(2016·高考卷)函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，那么)25(-f ＋f (1)＝________.解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进展变换求值． ∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0.∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，∴)25(-f ＝)21()21()225(f f f -=-=+-＝－4⨯12＝－2.∴)25(-f ＋f (1)＝－2.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)假设函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，那么a ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝ －x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1.答案：15．(2014·高考卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，那么)23(f ＝________.解析：由易得)21(-f ＝12)21(42=+-⨯-，又由函数的周期为2，可得)23(f ＝)21(-f ＝1.答案：1课时规训练 A 组 根底演练1．以下函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方局部翻折到x 轴上方，其余局部的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数y ＝x )21(，是非奇非偶函数．2．以下函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．xxy -+=22 D ．y ＝lg 1x ＋1解析：选D.选项D 中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y ＝lg 1x ＋1不是奇函数也不是偶函数，选项A 为偶函数，选项B 为奇函数，选项C 为偶函数．3．假设f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，那么f (3)－f (4)等于( ) A ．－1 B ．1C ．－2 D ．2解析：选A.由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，应选A.4．函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，那么f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：选A.当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x，∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2..5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，那么)25(f ＝( ) A ．0 B ．1C.12D ．－1 解析：选D.因为f (x )是周期为3的周期函数，所以)25(f ＝)21()321(-=+-f f ＝4×2)21(-－2＝－1，应选D.6．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，假设f (1)＝－5，那么f (f (5))＝________. 解析：f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15. 答案：－157．f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，那么f (2 017)＝________.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，那么f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1.答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，那么g (0)＝________. 解析：由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以－h (x )＋g (x )＝x e x --②.由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1. 答案：1.9．f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式． 解：设x ∈(0，＋∞)，∴－x ∈(－∞，0)，∴f (－x )＝x lg(2＋x )，∵f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，∴f (x )＝－x lg(2＋x )．又∵当x ＝0时，f (0)＝0，适合f (x )＝－x lg(2＋x )∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg (2＋x )x ∈[0，＋∞)－x lg (2－x )x ∈(－∞，0) 10．函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)假设函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，数a 的取值围．解：(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)，显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ，因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0)既不是奇函数，也不是偶函数． (2)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x2，当a ≤0时，f ′(x )＞0，那么f (x )在[2，＋∞)上是增函数；当a ＞0时，令f ′(x )＝2x 3－a x 2≥0，解得x ≥32a ，由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，可知32a ≤2，解得0＜a ≤16.综上，实数a 的取值围是(－∞，16]．B 组 能力突破1．假设f (x )是定义在R 上的函数，那么“f (0)＝0〞是“函数f (x )为奇函数〞的 ( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，应选.A.2．定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x x a a --＋2(a ＞0，且a ≠1)．假设g (2)＝a ，那么f (2)等于( )A ．2 B.154C.174D ．a 2 解析：选B.∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ，∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154. 3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解析：选D.由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )是以8为周期的周期函数．f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 均有f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)且f (2 016)＝2 016，那么f (2 028)＝________.解析：∵x ∈R ，f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2)－f (x )＝－f (x －2)，∴f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f (x )，那么函数f (x )是以12为周期的函数．又∵f (2 016)＝2 016，∴f (2 028)＝f (2 028－12)＝f (2 016)＝2 016.答案：2 0165．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有)()()(2121x f x f x x f +=⋅．(1)求f (1)的值；.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值围．解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝12f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)＜2⇔f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.∴x的取值围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．。
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学习目标 基础落实 金典例题
1.结合具体函数了解奇偶性的定义. 2.掌握判定一些简单函数的奇偶性的方法.
1.（2010·广东卷）若函数f（x）＝3x＋3－x与g（x）＝3x－3－x
的定义域均为R，则
（D ）
A.f（x）与g（x）均为偶函数 B.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 C.f（x）与g（x）均为奇函数 D.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x）＝－f（－
x）. 所以f（0）＝－f（－0），所以f（0）＝0.
当x∈［－2,0）时，－x∈（0,2］， f（x）＝－f（－x）＝－［－（－x）2＋2（－x）＋1］
＝x2＋2x－1. 所以当x∈［－2,2］时，f（x）的表达式为
x2＋2x－1, f（x）＝ 0,
解：因为f（x）和g（x）的定义域均为R，关于原点对称，且f （－x）＝3－x＋3x＝f（x），g（－x）＝3－x－3x＝－（3x－3－x） ＝－g（x），由函数的奇偶性可知，f（x）为偶函数， g（x）是奇函数.故选D.
2.下列命题中：
(1)若f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则f(0)=0；
当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2,则f（7）＝
＝( C )
A.13
B.2
C. 13 D. 2
2
13
解：因为f（x）·f（x＋2）＝13,
所以f（x＋2）·f（x＋4）＝13,所以f（x）＝f（x＋4）,所以函数f
（x）是以周期为4的周期函数，
故f（99）＝f（4×24＋3）＝f 3
13
f 1
13 2
,选C.
题型1：判断函数的奇偶性
例1判断下列函数的奇偶性：
所以f（－x）＝f（x），故f（x）是偶函数.
题型2：函数的奇偶性与周期性
例2 函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x∈R， 均有f（x＋4）＝f（x）成立，当x∈（0,2］时，f（x）＝－x2＋2x ＋1. （1）求x∈［－2,2］时，f（x）的表达式； （2）求x∈［2,6］时，f（x）的表达式.
（ห้องสมุดไป่ตู้）
f
(
x)
1
2 2x
1
x＋2,x<－1, （2）f（x）＝ 0,｜x｜<1；
－x＋2,x>1.
解：（1）函数f（x）的定义域为｛x｜x∈R，且x≠0｝,关于原
点对称，又因为 f (x) 1 2 1 2 2x 1 2x
2x 1
1 2x 1 2x
2x 1 1 2 1 2 f (x)
x2-6x+7,
f（x）＝ 0, －x2＋10x-23，
2≤x<4, x＝4, 4<x≤6.
点评：已知函数f（x）的性质（如奇偶性、周期性）且已知f
（x）在某个范围内的表达式，要求所给范围内的表达式，要注意 转化思想的运用.
【变式迁移】
2.已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），
（1） f x 1 x2 ；
| x2| x2
（2） f (x) 1g(x 1 x2 ； （3）f(x)= x+1，(x＞0)，
x-1，(x＜0)；
（4）f
(x)
x(
1 2x
1
1) 2
.
解：（1）定义域x∈(-1,0)∪(0,1),而 是奇函数.
f (x) 1 x，2 所以f(x) x
（2）定义域是R，
2x 1
2x 1
2x 1
所以f（x）是奇函数.
（2）f（x）的定义域关于原点对称，因为当x<－1时，－x>1,
所以f（－x）＝－（－x）＋2＝x＋2＝f（x）（x<－1）.
当x>1时，－x<－1, 所以f（－x）＝－x＋2＝f（x）（x>1）.
当｜x｜<1时，｜－x｜＜1,所以f（－x）＝0＝f（x），
解法2：(图形特征判断)画出f(x)的图象，从图象上可以
看出，此函数的图象关于原点对称，故函数为奇函数. （4）
定义域为{x∈R|x≠0}，f(x)=
x
1，x 而1
2(2x 1)
f (x) x
2x 1 2(2x 1)
x
1 2x 2(2x 1)
所以f(x)是偶函数.
点评：奇、偶函数的判定方法
①定义法：先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称（注
(2)偶函数必不是单调函数；
(3)奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域的交集为非空集合，则函
数f(x)·g(x)一定是奇函数；
(4)若函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)一定是偶函数.
正确命题的个数有( D )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解：(1)正确，由f(x)是奇函数，有f(0)=-f(0),所以f(0)=0；(2)正确； (3)正确；(4)正确.故选D.
－x2＋2x＋1，
－2≤x<0, x＝0,
0<x≤2.
（2）当x∈［2,4）时，x－4∈［－2,0）， 所以f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）－1＝x2－6x＋7,
当x∈（4,6］时，x－4∈（0,2］， 所以f（x）＝f（x－4）＝－（x－4）2＋2（x－4）＋1
＝－x2＋10x－23, 又x＝4时，f（4）＝f（0）＝0. 所以当x∈［2,6］时f（x）的表达式为
3.已知f（x）是R上的奇函数，且f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）
时，f（x）＝x＋2,则f（7）＝
( B)
A.3
B.－3
C.1
D.－1
解：因为f（x＋4）＝f（x），所以f（x）是以周期为4的函数，又 f（x）为奇函数，
所以f（7）＝f（8－1）＝f（－1）＝－f（1）＝－3,选B.
4.函数f（x）满足f（x）·f（x＋2）＝13,若f（1）＝2,则f（99）
意化简函数解析式），再计算是否f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成
立.
②图象法：f(x)
f(x)的图象关于y轴对称；f(x)
f(x)的图象关于原点对称.
③性质法：（ⅰ）“奇±奇”＝“奇”，“偶±偶”＝
“偶”，“奇×奇”＝“偶”，“偶×偶”＝“偶”，“奇
×偶”＝“奇”.
【变式迁移】
1.判断下列函数的奇偶性：
f(-x)+f(x)=lg(x+ 1 x2 )+lg(-x+ 1 x2 )=0，f(x)是奇函数.
（3）解法1：(定义判断)定义域为{x|x≠0},关于原点对称，
因为当x＞0时,f(-x)=-x-1=-(x+1)=-f(x).
当x＜0时,f(-x)=-x+1=-(x-1)=-f(x).
由此有f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数.