2021届新高考版高考数学素养提升训练：专题5 高考中圆锥曲线解答题的提分策略
高中圆锥曲线题型及解题方法
高中圆锥曲线题型及解题方法
高中数学中的圆锥曲线是指椭圆、双曲线和抛物线这三种曲线。
下面是一些常见的高中圆锥曲线题型及其解题方法：
1.椭圆题型：
o方程转化：将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定椭圆的中心、长轴和短轴的长度。
o图形性质：通过关键参数判断椭圆的形状，并确定焦点和直径等性质。
2.双曲线题型：
o方程转化：将标准方程转化为对称轴方程或标准方程。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定双曲线的中心、焦距和各轴的长度。
o图形性质：通过关键参数判断双曲线的形状，确定焦点、渐近线和渐近角等性质。
3.抛物线题型：
o方程转化：将标准方程转化为顶点形式或焦点式。
o确定关键参数：通过比较方程的系数，确定抛物线的顶点、焦距和开口方向。
o图形性质：通过关键参数判断抛物线的形状，确定
对称轴、焦点和准线等性质。
解题方法的关键在于确定关键参数，然后利用这些参数来判断曲线的形状和性质。
同时，要熟练掌握方程转化的方法，以便在解题过程中将方程转化为更容易分析的形式。
除了掌握相应的公式和技巧，还需要多做练习，加深对圆锥曲线图形和性质的理解。
同时，理论和实践相结合，通过画图、观察和推理的方式加深对圆锥曲线的认识。
最重要的是理解概念和思想，而不只是死记硬背。
只有真正理解了圆锥曲线的几何性质，才能更好地应用于解题，并在应用过程中灵活运用。
届数学二轮复习第二部分专题篇素养提升文理专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合应用学案含解析
第3讲圆锥曲线的综合应用JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一．2．以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题．对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查．⊙︱真题分布︱(理科）年份卷别题号考查角度分值202 0Ⅰ卷20椭圆的简单性质及方程思想、定点问题12Ⅱ卷19椭圆离心率的求解,利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程12Ⅲ20椭圆标准方程和求三角形12(文科）Ⅲ卷21椭圆标准方程和求三角形面积问题，椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积,12201 9Ⅰ卷21直线与圆的位置关系，定值问题12Ⅱ卷20椭圆的定义及其几何性质、参数的范围12Ⅲ卷21直线与抛物线的位置关系、定点问题12201 8Ⅰ卷20直线的方程，直线与抛物线的位置关系、证明问题12Ⅱ卷20直线的方程,直线与抛物线的位置关系、圆的方程12Ⅲ卷20直线与椭圆的位置关系、证明问题12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一圆锥曲线中的最值、范围问题错误!错误!错误!错误!典例1（2020·青海省玉树州高三联考）已知直线l：x－y＋1＝0与焦点为F的抛物线C：y2＝2px（p〉0）相切．（1）求抛物线C的方程；（2)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．【解析】（1)将l：x－y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px联立得:y2－2py＋2p＝0，∵l与C相切,∴Δ＝4p2－8p＝0，解得：p＝2，∴抛物线C的方程为:y2＝4x。
（2）由题意知，直线m斜率不为0，可设直线m方程为：x ＝ty＋1，联立｛y2＝4x，x＝ty＋1得：y2－4ty－4＝0．设A（x1，y1），B(x2，y2）,则y1＋y2＝4t，∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝4t2＋2，∴线段AB中点M(2t2＋1,2t)．设A,B,M到直线l距离分别为d A,d B，d M,则d A＋d B＝2d M＝2·错误!＝2错误!错误!＝2错误!错误!，∵（t－错误!)2＋错误!≥错误!，∴当t＝错误!时，错误!min＝错误!,∴A,B两点到直线l的距离之和的最小值为：22×错误!＝错误!。
高考圆锥曲线大题题型及解题技巧
高考圆锥曲线大题题型及解题技巧x高考圆锥曲线大题题型及解题技巧一、基本概念圆锥曲线是椭圆、双曲线与圆锥体的综合体，它说明物体穿过三种物理媒质，如水、气体和固体物质，以及它们之间的相互转换性。
二、圆锥曲线的基本特点1、圆锥曲线具有规律性：它的主要特征是抛物线的函数形式呈现出以对称中心为中心的规律性，在此基础上拓展形成了螺旋状的曲线；2、圆锥曲线与旋转有关：圆锥曲线的曲线形状可以用某种旋转的路径进行描述；3、圆锥曲线的曲线表示有多种变化：圆锥曲线可以表示为二维图形或三维图形，可以表示为数学方程式，也可以表示为一组矢量。
三、圆锥曲线大题解题技巧1、分析题干：根据题干内容，在解题之前要细致地分析题干，弄清楚问题的范围，是对一组数据进行分析，还是对某种形式的函数进行分析，要把握好范围和类型，以便选择正确的解题方法；2、画出曲线图：如果是需要求曲线的半径、圆心坐标和焦点等信息，可以先画出曲线图，有助于理清思路；3、推导出数学公式：如果是要分析曲线的性质，可以根据曲线的特性，推导出相应的数学公式，以便求解；4、运用矩阵的相关理论：在计算曲线的性质时，可以运用矩阵的相关理论，根据相关的矩阵的乘法，求出所求的值。
五、练习1、(XX年某省某市高考)已知圆锥曲线的参数方程为：$$left{begin{array}{l} x^{2} + y^{2}=a^{2} z^{2} a>0, a eq 1 end{array}ight.$$(1)求出曲线的中心坐标；(2)求出曲线的渐近线方程和焦点坐标。
解：(1)令参数方程中的参数$a=frac{1}{m}$，代入参数方程可得：$$left{begin{array}{l} x^{2} + y^{2}=frac{1}{m^{2}} z^{2} m>0, meq 1 end{array}ight.$$令$z=0$，得到$x^{2} + y^{2}=0$，由此可知曲线的中心坐标为：$(0, 0)$。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线作为高等数学中的重要内容，在高考中常常出现，并且是考察学生数学运算能力和理解能力的重要方面。
圆锥曲线问题在高考中的常见题型有：直线与圆锥曲线的交点问题、圆锥曲线的参数方程问题、圆锥曲线的性质和应用问题等。
下面我们来一一介绍这些常见题型的解题技巧。
一、直线与圆锥曲线的交点问题这是圆锥曲线问题中最常见的一个题型，题目通常要求求出直线与圆锥曲线的交点坐标。
解题技巧如下：1. 分析题目给出的直线和圆锥曲线，确定直线方程和圆锥曲线方程；2. 将直线方程代入圆锥曲线方程中，解方程得出交点坐标；3. 特别要注意，当圆锥曲线为椭圆或双曲线时，有两个交点，需要分别求解；4. 当圆锥曲线为抛物线时，还需要注意直线的位置与抛物线的开口方向。
二、圆锥曲线的参数方程问题圆锥曲线的参数方程问题通常考查学生对参数方程的理解和应用能力，解答这类问题的关键在于用参数代换替换变量。
解题技巧如下：1. 给出的圆锥曲线通常可以用参数方程表示，将已知的参数方程代入题目求解；2. 注意参数方程的参数范围，有时需要根据范围重新调整参数；3. 对于给出的参数方程，需要将参数代换替换变量，进而得出答案。
三、圆锥曲线的性质和应用问题圆锥曲线的性质和应用问题通常要求学生掌握圆锥曲线的基本性质，以及如何应用这些性质解决实际问题。
解题技巧如下：1. 需要牢记圆锥曲线的基本性质，例如椭圆的焦点、双曲线的渐近线等；2. 掌握各种类型圆锥曲线的标准方程和参数方程；3. 对于应用问题，需要在掌握了基本性质的前提下，将问题转化为数学模型，进而解决。
以上就是圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，希望对大家备战高考有所帮助。
在复习期间，建议大家多做练习题，加深对圆锥曲线知识的理解，提高解题能力。
多思考，灵活运用各种解题技巧，相信大家一定能在高考中取得好成绩！。
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案练习题.docx
精选圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222by a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A ，B 异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
高考数学圆锥曲线及解题技巧汇总
高考数学圆锥曲线及解题技巧汇总高考数学圆锥曲线及解题技巧汇总在高中数学圆锥曲线知识点学习中，很多同学都遇到难题，说圆锥曲线难，也是高考必考之一在选择、填空、解答这几种题型中,都有圆锥曲线的身影, 接下来小编总结了高考数学圆锥曲线及解题技巧,希望对你有用。
高考数学圆锥曲线及解题技巧1:牢记核心知识点核心的知识点是基础，好多同学在做圆锥曲线题时，特别是小题，比如椭圆，双曲线离心率公式和范围记不清，焦点分别在x轴，y轴上的双曲线的渐近线方程也傻傻分不清，在做题时自然做不对。
高考数学圆锥曲线及解题技巧2:计算能力与速度计算能力强的同学学圆锥曲线相对轻松一些，计算能力是可以通过多做题来提升的。
后期可以尝试训练自己口算得到联立后的二次方程，然后得到判别式，两根之和，两根之积的整式。
当然也要掌握一些解题的小技巧，加快运算速度。
高考数学圆锥曲线及解题技巧3:思维套路拿到圆锥曲线的题，很多同学说无从下手，从表面感觉很难。
老师建议：山重水复疑无路，没事你就算两步。
大部分的圆锥曲线大题，都有共同的三部曲：一设二联立三韦达定理。
一设：设直线与圆锥曲线的两个交点，坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线方程为y=kx+b。
二联立：通过快速计算或者口算得到联立的二次方程。
三韦达定理：得到二次方程后立马得出判别式，两根之和，两根之积。
走完三部曲之后，在看题目给出了什么条件，要求什么。
例如涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。
总结起来：找值列等量关系，找范围列不等关系，通常结合判别式，基本不等式求解。
高考数学圆锥曲线及解题技巧4:直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△>0，直线与圆锥曲线相交;△=0，直线与圆锥曲线相切;△<0，直线与圆锥曲线相离.若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点.注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论高考数学圆锥曲线及解题技巧5:圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
2021届山东高考数学教学案：解专项突破(五) 圆锥曲线的综合问题含解析
2021届山东高考数学一轮创新教学案：解答题专项突破（五）圆锥曲线的综合问题含解析解答题专项突破(五)圆锥曲线的综合问题圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程、研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算,对考生解决问题的能力要求较高,通常以压轴题的形式呈现．热点题型1圆锥曲线中的定点问题典例1(2019·广州二模）已知抛物线y2＝4x的焦点F与椭圆C:错误!＋错误!＝1(a〉b>0）的一个焦点重合,且点F关于直线y ＝x的对称点在椭圆上．(1)求椭圆C的标准方程;(2）过点Q0，－错误!且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点,在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M点的坐标,若不存在，说明理由．解题思路（1)求出抛物线的焦点F关于直线y＝x的对称点，结合已知条件及a，b,c的关系，求解椭圆的标准方程．(2)假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点，求出AB垂直于两坐标轴时以AB为直径的圆的方程,联立方程组解得定点坐标，然后利用向量数量积证明一般结论．规范解答(1）由抛物线y2＝4x，得其焦点为F(1,0)，从而得点F关于直线y＝x的对称点为(0，1)，故b＝1，c＝1,因此a＝错误!，∴椭圆C 的标准方程为错误!＋y 2＝1。
（2)假设存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点． 当AB ⊥x 轴时，以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1。
①当AB ⊥y 轴时,以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y ＋错误!2＝错误!。
②联立①②,得错误!∴定点M (0,1)．证明：设直线l ：y ＝kx －错误!，代入错误!＋y 2＝1，有(2k 2＋1)x 2－错误!kx －错误!＝0。
设A （x 1，y 1)，B （x 2，y 2），x 1＋x 2＝错误!，x 1x 2＝－错误!。
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧
圆锥曲线问题在高考的常见题型及解题技巧圆锥曲线是解析几何中的一个重要分支，涉及广泛且难度较大。
在高考中，经常出现各种关于圆锥曲线的问题，如求解方程、定位点、证明定理、计算面积等等。
本文将介绍圆锥曲线问题在高考中的常见题型及解题技巧，以供大家参考。
常见题型1. 判定方程类型判定方程 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$ 的类型。
同学们需要掌握二次型的知识，使用行列式和 $\Delta$ 判别法即可。
其中，行列式 $AC-B^2$ 确定了方程的类型：$AC-B^2>0$ 时，方程为椭圆方程；2. 求曲线方程通常给出几何条件，让同学们求出曲线方程。
此类问题需要根据情况选择不同的方法，在此介绍两种主要的解法：（1）通过几何条件确定曲线类型，再代入方程求解。
例如，已知一个抛物线上的顶点坐标和另外一点的坐标，可以用顶点公式和对称性解出对称轴和开口方向，进而确定方程。
（2）确定曲线焦点和准线，利用焦准式求解方程。
例如，已知一个双曲线的焦距和离心率，可以通过求出曲线的焦点和准线，利用焦准式求解方程。
3. 定位点通常给出一个几何条件，要求定位某个点的坐标。
此类问题有多种方法，例如利用坐标系的对称性、平移、伸缩等变化来确定点的位置，或者利用直线方程、曲线方程的关系求解点的坐标等。
4. 证明定理此类问题一般是让同学们证明某个定理或者结论。
需要掌握各种定理的证明方法，例如对偶证明、取对数证明、辅助线证明、画图论证等。
5. 计算面积此类问题一般要求同学们计算某个图形或者曲面的面积。
需要灵活运用面积公式、积分等方法，注意确定积分区间以及被积函数的形式。
解题技巧1. 建立坐标系建立坐标系是解决圆锥曲线问题的前提，可以帮助理清几何图形的关系和计算各种量的大小。
要注意选择坐标系的方向和起点，以便于计算和简化计算公式。
2. 利用几何条件圆锥曲线问题往往给出具体的几何条件，同学们需要认真理解并灵活运用。
常见的几何条件有点的坐标、直线的方程、曲线类型、焦准距等等。
2021届新高考数学一轮：专题五 圆锥曲线的综合及应用问题 第3课时
解：(1)∵椭圆 E：ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上的点到椭圆一个焦 点的距离的最大值和最小值分别为 a＋c，a－c，
∴依题意有，a＋c＝3(a－c)，即 a＝2c. ∵a2＝b2＋c2，∴b＝ 3c. 故可设椭圆 E 的方程为4xc22＋3yc22＝1. ∵点 P1，32在椭圆 E 上，
xP＝3
±km k2＋9.
将点m3 ，m的坐标代入 l 的方程得 b＝m33－k，
因此 xM＝k3kk－2＋39m .
四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP
互相平分，即 xP＝2xM.
于是 3
±kk2m＋Leabharlann ＝2×k3kk－2＋39m ，解得 k1＝4－ 7，k2＝4＋ 7. ∵ki>0，ki≠3，i＝1,2， ∴当 l 的斜率为 4－ 7或 4＋ 7时，四边形 OAPB 为平行 四边形.
9 ∴将其代入椭圆 E 的方程得41c2＋34c2＝1，即 c2＝1. ∴椭圆 E 的方程为x42＋y32＝1.
(2)依题意，直线 l 不可能与 x 轴垂直，故可设直线 l 的方 程为 y－1＝k(x－1)，
即 y＝kx－k＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)为 l 与椭圆 E 的两个 交点，
第3课时
题型 圆锥曲线中的探索性问题 探索性问题是近几年高考的热点问题，是一种具有开放性 和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备.要求解答者自 己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括.探索 性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存 在，若结论不正确则不存在.解决探索性问题的注意事项： (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再 推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维 开放，采取另外的途径.
高考大题增分专项五 高考中的解析几何 2021年高中总复习优化设计一轮用书理数
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②解:若l1或l2的斜率不存在,则四边形QRST的面积为2.
若两条直线的斜率存在,设l1的斜率为k,则l1的方程为y=k(x+1),
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处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及 平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系; 弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几 何性质解题,往往使问题简化.
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消去y(或消去x)得ax2+bx+c=0.若a≠0,Δ=b2-4ac,Δ>0⇔相交;Δ<0⇔ 相离;Δ=0⇔相切.若a=0,得到一个一次方程:①C为双曲线,则l与双 曲线的渐近线平行;②C为抛物线,则l与抛物线的对称轴平行.求解 直线与圆锥曲线位置关系问题时,判别式Δ起着关键性的作用,第一, 可以限定所给参数的范围;第二,可以取舍某些解以免产生增根.
从点M所引的两条切线不垂直.
当m≠±2时,设过点M所引的切线l的斜率为k,
则l的方程为y=k(x-m)+2.
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(1+2k2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0. 因为Δ=16k2(mk-2)2-4(1+2k2)[2(mk-2)2-4]=0,所以(m2-4)k24mk+2=0.(*) 设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1,k2是方程(*)的两根,
高考大题增分专项五 高考中的解析几何 2021年高考数学复习优化一轮用书文数
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1.判定直线与圆位置关系的两种方法 (1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情 况):Δ>0⇔相交,Δ<0⇔相离,Δ=0⇔相切. (2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直 线的距离为d,则d<r⇔相交,d>r⇔相离,d=r⇔相切.判定圆与圆位置 关系与判定直线与圆位置关系类似(主要掌握几何方法). 2.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利 用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.
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解:(1)由题易知,抛物线C的焦点为F(1,0), 当直线l的斜率不存在时,即x=1,不符合题意; 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1), 即kx-y-k=0,
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(2)直线AB与抛物线C相切,证明如下:
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对点训练2(2019安徽阶段性测试)如图,点O为坐标原点,直线l经 过抛物线C:y2=4x的焦点F.设点A是直线l与抛物线C在第一象限的 交点.以点F为圆心,|FA|为半径的圆与x轴的负半轴的交点为B,与抛 物线C在第四象限的交点为D.
(1)若点O到直线l的距离为 ,求直线l的方程; (2)试判断直线AB与抛物线C的位置关系,并给出证明.
(1)解:由题意,得a=2,b=1,
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范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的 关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通 过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围 和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线 与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点 的坐标范围等.
圆锥曲线大题解题技巧
圆锥曲线大题解题技巧圆锥曲线是数学中一个重要的几何分支，它包括椭圆、双曲线和抛物线等曲线。
在解决圆锥曲线相关的大题时，掌握一些解题技巧是非常有帮助的。
以下是一些常见的解题技巧：1. 熟悉基本定义和性质：-掌握圆锥曲线的标准方程形式，了解它们的焦点、准线、偏心率等基本性质。
-理解直线与圆锥曲线的位置关系，包括相切、相交和相离。
2. 利用坐标法：-将圆锥曲线问题转化为代数问题，通过建立坐标系，将曲线方程转化为标准形式。
-利用坐标法求解直线与圆锥曲线的交点、弦长、面积等。
3.应用韦达定理：-韦达定理在解决圆锥曲线问题时非常有用，特别是在求解直线与圆锥曲线的交点问题时。
-利用韦达定理可以快速找到交点的坐标。
4. 利用参数方程：-对于某些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来简化问题。
-参数方程可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质。
5. 利用极坐标：-在处理与极点和极线相关的问题时，极坐标方法可以提供简洁的解决方案。
-极坐标方法特别适用于求解与焦点、准线相关的问题。
6. 利用图形工具：-利用几何画板等图形工具可以帮助我们直观地理解圆锥曲线的性质和问题。
-图形工具可以帮助我们验证答案的正确性。
7. 注意特殊情况：-在解决圆锥曲线问题时，要注意特殊点的存在，如顶点、焦点、准线等。
-特殊点的性质往往在解题中起到关键作用。
8. 练习和总结：-定期练习圆锥曲线相关的题目，总结解题方法和技巧。
-学习并掌握常见的解题模式和思路。
通过以上技巧的运用，可以大大提高解决圆锥曲线大题的效率和准确性。
重要的是要理解每个技巧背后的数学原理，这样才能在遇到不同问题时灵活运用。
圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略(解析版)
圆锥曲线解答题中的定点和定值问题的解题策略在圆锥曲线中有一类曲线，当参数取不同值时，曲线本身性质不变或形态发生变化时，其某些共同的性质始终保持不变，我们把这类问题成为圆锥曲线的定值问题.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考的热点题型，解题过程中应注重解题策略，善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性.题型一：定值问题解答圆锥曲线定值问题的策略：1、把相关几何量用曲线系的参变量表示，再证明结论与参数无关.求解这类问题的基本方法是“方程铺路、参数搭桥”，解题的关键是对问题进行综合分析，挖掘题目中的隐含条件，恰当引参，巧妙化归.2、把相关几何量的变元特殊化，在特例中求出几何量的定值，再证明结论与特定状态无关，即特殊到一般的思想.1、两点间的距离为定值例1：（2021·广东中山市高三期末）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()'',A x y 处的切线方程为''221x y x y a b+=，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且经过点2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设F 为椭圆C 的右焦点，直线l 与椭圆C 相切于点P (点P 在第一象限)，过原点O 作直线l 的平行线与直线PF 相交于点Q ，问：线段PQ 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】（1）2212x y +=；（2.【详解】（1）由题意知2222221112c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩1a b ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设()00,P x y ，题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=， 过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=， 椭圆C 的右焦点()1,0F ，所以直线PF 的方程为()00010y x x y y ---=，联立()000001020y x x y y x x y y ⎧---=⎨+=⎩，所以2000002,22y x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，所以PQ =====为定值. 解题思路：设动点()00,P x y ，由题意可知，切线l 的方程为0022x x y y +=，过原点O 且与l 平行的直线'l 的方程为0020x x y y +=，求出Q 的坐标，表示出PQ 的长，再化简即可.2、求某一代数式为定值例2：（2021·全国高三模拟）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，离心率2e =，焦距为4. （1）求双曲线C 的方程；（2）设M 是双曲线C 上任意一点，且M 在第一象限，直线MA 与MF 的倾斜角分别为1α，2α，求122αα+的值.【答案】（1）2213y x -=；（2）π. 【详解】（1）由242c c a=⎧⎪⎨=⎪⎩，得12a c =⎧⎨=⎩，所以2223b c a =-=，所以双曲线C 的方程为2213y x -=.（2）由（1）知双曲线C 的方程为2213y x -=，所以左顶点()1,0A -，右焦点()2,0F .设()()0000,0,0M x y x y >>，则22013y x -=.当02x =时，03y =，此时1MA k =，1π4α=，2π2α=， 所以122παα+=；当02x ≠，010tan 1MA y k x α==+，020tan 2MF yk x α==-.因为()220031y x =-，所以()()()()()00000001222220000000221211tan 22113111y x y x y x y x x y x x y x α+++-====-+-+--⎛⎫- ⎪+⎝⎭，又由点M 在第一象限，易知1π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πα∈，所以122παα+=. 综上，122αα+的值为π.解题思路：利用点在双曲线上，满足22013y x -=，利用整体代换思想求出1tan 2α和2tan α相反.例3：（2021·安徽安庆市高三一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，过椭圆左焦点F 的直线0x -+=与椭圆C 在第一象限交于点M ，三角形MFO（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点M 作直线l 垂直于x 轴，直线MA ､MB 交椭圆分别于A ､B 两点，且两直线关于直线l 对称，求证∶直线AB 的斜率为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）直线0x -+=过左焦点F ，所以()F ，c =又由124OMF M S y ∆==可知1=2M y从而椭圆经过点12M ⎫⎪⎭由椭圆定义知1242a =+=，即2a = 故椭圆的方程为22:14x C y +=.（2）由条件知，直线MA MB 、斜率存在，且两直线斜率互为相反数，设直线(12MA y k x -=：交椭圆于点()11,A x y ，直线(12MB y k x -=--：交椭圆于点()22,B x y ，由(221244y k x x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得()()22224141230k x k x k +-++--=1=1x =，112y =+故1)2A +，同理可得221)2B +，k ===即证直线AB. 解题思路：将直线(12MA y k x -=：与椭圆方程联立求出交点221)2A +的坐标，再将A 中的k 用k -替换，即可求出B 点坐标，，再利用斜率公式，化简，即可.例4.（2021·河南高三月考（理））已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),S x y 满足直线AS 与BS 的斜率之积为34-，记动点S 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程，并说明曲线C 是什么样的曲线；（2）设M ，N 是曲线C 上的两个动点，直线AM 与NB 交于点P ，90MAN ∠=︒. ①求证：点P 在定直线上；②求证：直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.【答案】（1）()221243x y x +=≠±，曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）解：由题意，得()32224y y x x x ⋅=-≠±+-， 化简，得()221243x y x +=≠±，所以曲线C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含A ，B 两点. （2）证明：①由题设知，直线MA ，NB 的斜率存在且均不为0. 设直线AM 的方程为()20x ty t =-≠，由AM AN ⊥，可知直线NA 的斜率为NA k t =-，方程为12x y t=--.由2212,{3412,x y t x y =--+=得()2243120t y ty ++=， 解得21243N ty t =-+，则2221126824343N t t x t t t -⎛⎫=-⋅--= ⎪++⎝⎭，即2226812,4343t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线NB 的斜率为222120343684243NBtt k t tt --+==--+， 则直线BN 的方程为()324y x t =-，将()324y x t=-代入2x ty =-，解得14x =-， 故点P 在直线14x =-上.②由（1），得34NA NB k k ⋅=-，34MA MB k k ⋅=-，所以3394416NA NB MA MB k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.结合1NA MA k k ⋅=-，得916MB NB k k ⋅=-为定值.即直线NB 与直线MB 的斜率之积为定值.解题思路：①设直线AM 的方程，由AM AN ⊥，可得直线AN 方程，与椭圆联立可求点N 坐标，进而可求得直线BN 方程，与AM 联立即可得证点P 在定直线上；②由（1）得34NA NB k k ⋅=-，34MA MB k k ⋅=-，又AM AN ⊥，进而可得直线NB与直线MB 的斜率之积.例5、（2021·江苏南通市高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且直线OA ，OB 的斜率之积为34-，点M为线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求证：OMBAMNS S △△为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）53. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为12，且过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22911,214c a a b +==，又222a b c =+，解得224,3a b ==，所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）设()()()112233,,,,,A x y B x y N x y ，因为点M 为线段OA 的中点，所以11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，因为B ，M ，N 三点共线，所以BN BM λ=， 所以()()3123121,122x x x y y y λλλλ=+-=+-，又因为A ，B 点在椭圆上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 又因为直线OA ，OB 的斜率之积为34-，所以1212340x x y y +=， 因为点N 在椭圆上，所以2233143x y +=，即()()()()()12122222221122341341482261x y x y x x y y λλλλ++-+-+=+，所以()22114λλ+-=，解得85λ=，所以85BN BM =,则53BM MN =，所以152132BOMB B AMNN N OM d BM Sd Sd MN AM d ⋅⋅====⋅⋅为定值.解题思路：设()()()112233,,,,,A x y B x y N x y ，根据M 为线段OA 的中点和B ，M ，N 三点共线，由BN BM λ=，表示点N 的坐标，再根据A ，B ，N 在椭圆上，结合直线OA ，OB 的斜率之积为34-，求得λ，从而得到BM 与MN 的比值，然后由1212BOMB B AMNN N OM d BM S dSd MN AM d ⋅⋅===⋅⋅求解. 例6、（2021·山东泰安市高三期末）已知椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为)(2,0A -，点31,2⎛⎫-⎪ ⎭⎝在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）过橢圆C 的右焦点F 作斜率为)(0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，AN 分别与直线2b x c=交于点P ，Q ，则FP FQ ⋅是否为定值？请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，94-. 【详解】（1）∵2a =，点31,2⎛⎫-⎪ ⎭⎝在椭圆C 上，∵219144b +=，∵23b =，∵椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）是定值94-，理由如下：设)(11,M x y ，)(22,N x y ，直线l 的方程为)()(10y k x k =-≠，由)(221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得)(22224384120k x k x k +-+-=，∵2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，设)(3,P P y ，)(3,Q Q y ，则11322P y y x =++，∵)(111151522P k x y y x x -==++， 同理可得)(22512Q k x y x -=+，∵)(11512,2k x FP x ⎛⎫- =⎪⎪ +⎭⎝，)(22512,2k x FQ x ⎛⎫- =⎪⎪ +⎭⎝， ∵)()()()()()(212121221212122511144252224k x x x x x x FP FQ kx x x x x x ---++⋅=+=++++++222222222412819434342541216444343k k k k k k k k k --+++=+=--++++，∵FP FQ ⋅为定值94-．解题思路：设直线l 的方程，与椭圆方程联立，设)(3,P P y ，)(3,Q Q y ，由三点共线可得P y ，Q y ，结合韦达定理坐标表示FP FQ ⋅可得.3、求某一个量为定值例7、（2021·江苏盐城市伍佑中学高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为23，点A ，B ，D ，E 分别是C 的左，右，上，下顶点，且四边形ADBE 的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知F 是C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，记直线AP ，BQ的交点为T ，求证：点T 横坐标为定值.【答案】（1）22195x y +=；（2）T 横坐标为定值92，证明见解析. 【详解】（1）设椭圆C 的半焦距长为c，根据题意222231222c a a b c a b⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得32a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故C 的标准方程为22195x y +=. （2）由（1）知()30A -,，()3,0B ，()2,0F ， 设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，由010133TA PA y yk k x x =⇒=++'①， 020233TB QB y y k k x x =⇒=--，② ①②两式相除得0120123333x y x x x y --=⋅++， 又2211195x y +=，故2211195x y -=-，所以2111(3)(3)95x x y -+=-，故11113539y x x y -=-⋅+.所以0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---③ 由题意知直线PQ 不平行于x 轴，由于直线PQ 经过F 点， 所以设直线PQ 的方程为2x my =+，（直线PQ 的方程为2x my =+，可避免讨论直线PQ 的斜率是否存在，简化计算，提高正确率）代入22195x y +=整理，得22(902)5250m y my ++-=， 把12212220592559m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩代入③，所以0120123(3)(3)539x x x x y y ---=-⋅+1212(1)(1)59my my y y --=-⋅2121212()159m y y m y y y y -++=-⋅所以0033x x -+22222520()()15595925959mm m m m m ---+++=-⋅-+15=解得092x =. 所以点T 横坐标为定值92. 解题思路：设00,,()T x y ，11(,)P x y ，()22,Q x y ，根据TA PA k k =，TB QB k k =可得0126123333x y x x x y --=⋅++，根据11(,)P x y 在椭圆C 上，代入方程化简整理可得0120123333x y x x x y --=⋅=++1212(3)(3)59x x y y ---，设直线PQ 的方程为2x my =+，与椭圆C 联立，得到关于y 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,y y y y +⋅的表达式，代入上式即可.例8、（2021·湖北武汉市高三月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右顶点分别为A ，B ，过椭圆内点2,03D ⎛⎫⎪⎝⎭且不与x 轴重合的动直线交椭圆C 于P ，Q 两点，当直线PQ 与x 轴垂直时，43PD BD ==. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线AP ，AQ 和直线l ：x t =分别交于点M ，N ，若MD ND ⊥恒成立，求t 的值.【答案】（Ⅰ）22142x y +=；（Ⅱ）29t =-或103t =.【详解】（Ⅰ）由43BD =，得24233a =+=，故C 的方程为22214x y b+=，此时24,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.代入方程2116199b +=，解得22b =，故C 的标准方程为22142x y +=. （Ⅱ）设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立.得()224322039m m y y ++-=.设()11,P x y 、()22,Q x y ，则()()1221224323292m y y m y y m -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩.①此时直线AP 方程为11(2)2y yxx ，与x t =联立.得点11(2),2t y M t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理，点22(2),2t y N t x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭.由MD ND ⊥，1MD ND k k ⋅=-.即()()1212(2)(2)1222233t y t y t x t x ++⋅=-⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以221212288(2)0333t y y t my my ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.即()2221212122864(2)0339m t y y t m y y y y ⎛⎫⎡⎤++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 将①代入得：()()()222222232(2)2323264039929292t m m t m m m ⎡⎤-+-⎛⎫⎢⎥+--+= ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 化简得：()22222232(2)323264203t t m m m ⎛⎫⎡⎤-++---++= ⎪⎣⎦⎝⎭. 即222(2)403t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.2223t t ⎛⎫+=±- ⎪⎝⎭.解得29t =-或103t =.解题思路：设直线PQ 方程为：23x my =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理得1212,y y y y +，再联立AP 方程得M 同理得N 坐标，结合MD ND ⊥恒成立得1MD ND k k ⋅=-，化简计算可得参数t 值.例9、（2021·陕西榆林市高三一模（理））已知椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a与抛物线2:2(0)C x py p =>有相同的焦点F ，抛物线C 的准线交椭圆Γ于A ，B 两点，且1AB =.（1）求椭圆Γ与抛物线C 的方程；（2）O 为坐标原点，若P 为椭圆Γ上任意一点，以P 为圆心，OP 为半径的圆P 与椭圆Γ的焦点F 为圆心，F 交于M ，N 两点，求证：MN 为定值.【答案】（1）椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C的方程为：2x =；（2）证明见解析. 【详解】（1）椭圆222:1(1)Γ+=>y x a a可得焦点(，抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p =①，由22221p y y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得22214p x a +=，解得x =，所以1AB ==②，由①②可得：24a =，p =所以椭圆Γ的方程为：2214y x +=，抛物线C的方程为：2x =；（2）设(,)P m n ，则2214+=n m ，圆P 的方程为：2222()()-+-=+x m y n m n ，圆F的方程为：22(5+-=x y ，所以直线MN的方程为：(10+--=mx n y ， 设点F 到直线MN 的距离为d ，则2d ====.||2MN ==. 所以MN 为定值.解题思路：设(,)P m n ，则2214+=n m ，写出圆P 和圆F 的方程，两个圆的方程相减可得直线MN 的方程，计算点F 到直线MN 的距离为d ，再利用||MN =.题型二、证明动直线过定点或动点在定直线上的问题解答圆锥曲线的定点问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.1、直线过定点问题例10、（2020·江西吉安市高三其他模拟（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点12P ⎫⎪⎭，且离心率e =（1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点Q ⎫⎪⎪⎝⎭总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e =所以22221b e a =-=⎝⎭，即224a b =， 又椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点12P ⎫⎪⎭，代入椭圆方程可得223114a b +=， 联立方程组可得222231144a b a b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，()2216410k m ∆=-+>，即2241m k <+， 122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，AQ BQ k k +===，即()()1221kx m x kx m x ⎛⎛+++ ⎝⎭⎝⎭()121220kx x m x x ⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭得()()22244814033k m km m m k ⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得m =，直线l 的方程为(y k x =-，所以，直线l 恒过定点).解题思路： 设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，又因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，将韦达定理代入得出答案.例11、（2021·湖北襄阳市高三期末）已知A ，B 分别为椭圆()222:11x C y a a+=>的左､右顶点，P 为C 的上顶点，8AP PB ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()6,0作关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 分别交椭圆于()11,M x y 与()22,N x y ，且12x x ≠，证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明见解析，定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】解：（1）由题意得(),0A a -，(),0B a ，()0,1P ，则(),1AP a =，(),1PB a =-.由8AP PB ⋅=，得218a -=，即3a =所以椭圆C 的方程为2219x y +=（2）由题易知：直线MN 的斜率存在，且斜率不为零，设直线MN 方程为x my n =+，()0m ≠，联立22990x my nx y =+⎧⎨+-=⎩， 得()2229290m y mny n +++-=，由0>得2290m n -+>，∴12229mn y y m -+=+，212299n y y m -=+，因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，∴1212066y y x x +=--，整理得()()1212260my y n y y +-+=， 即()()2222926099m n mn n m m ---=++，解得：32n =直线MN 方程为：32x my =+，所以直线MN 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.解题思路：设直线MN 方程并联立椭圆方程，结合韦达定理求得12,y y +12y y ，又因为关于x 轴对称的两条不同直线1l ，2l 的斜率之和为0，所以1212066y yx x +=--，通过计算化简即可求得定点.例12、（2021·山东德州市高三期末）已知点1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，离心率为2，点P 是以坐标原点O 为圆心的单位圆上的一点，且120PF PF ⋅=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为k 的直线l （不过焦点）交椭圆于M ，N 两点，若x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）22121x y +=；（2）证明见解析，（-2,0）. 【详解】(1)设椭圆的标准方程为()22221,,x y P x y a b+=由题意可得2222221(,)(,)0c a x y x c y x c y b c a ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪-⋅+=⎪+=⎪⎩解得：222211a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩即椭圆C 的标准方程：22121x y +=.(2)设直线l ：1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+则1111221122,1111MF NF y kx m y kx mk k x x x x ++====++++ 有22121x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去 y 得：222(12)4220k x mkx m +++-=，所以2221222122168(1)(12)04122212k m m k mk x x k m x x k ⎧⎪∆=--+>⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩因为x 轴上任意一点到直线1MF 与1NF 的距离均相等， 所以x 轴为直线1MF 与1NF 的角平分线，所以111212011MF NF kx m kx mk k x x +++=+=++，即 12122()()20kx x m k x x m ++++= 所以2222242()201212m mk km k m k k --+++=++ 整理化简得：2m k =即直线l ：2(2)y kx m kx k k x =+=+=+ 故直线恒过定点（-2,0）.解题思路：先用设而不求法表示出1212,x x x x +，然后分析得到110MF NF k k +=，代入，求出2m k =，即可证明直线过定点（-2，0）."设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.2、动点在定直线上的问题例13、（2021·山东威海市高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ ∆的面积为92.（1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【详解】 解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+，所以b =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅= 解得21,c = 所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得()2234690m y my ++-=. 显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以有12122269,3434m y y y y m m +=-=-++ ()* 直线AP 的方程为()112+2y y x x =+，直线BO 的方程为()2222y y x x =--， 联立两方程可得，所以()()121222+22y y x x x x +=-- ()()121212212121213232221my y x y my y y x x y x y my my y y ++++=⋅==---- 由()*式可得()121232y y y y m=+， 代入上式可得()()1212121221339222233322232y y y y x y y x y y y y +++==-+-=++， 解得4,x =故点M 在定直线4x =上.解题思路：设直线PQ 的方程为1x my =+，联立椭圆方程，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由韦达定理，可知12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，将直线AP 的方程()112+2y y x x =+与直线BO 的方程()2222y y x x =--联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果.例14、（2021·福建高三模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，12P ⎛ ⎝⎭在C 上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）,E F 设为短轴端点，过()0M ，1作直线l 交椭圆C 于AB 、两点(异于,E F )，直线AE BF 、交于点T .求证：点T 恒在一定直线上.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）因为点1,24P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在C 上，所以222141a b ⎝⎭+=， 又12c e a ==，222a b c =+，所以24a =，23b =， 故所求椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意知直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+. 设()11,A x y ，()22,B x y ，(10x ≠，20x ≠).()222214388034120y kx k x kx x y =+⎧⇒++-=⎨+-=⎩， 122843kx x k -+=+，122843x x k -=+，且有1212x x kx x +=. 1122::AEBFy l y x x y l y x x ⎧=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(10x ≠，20x ≠) 11111y kx x x +====，故1y ⎤=⎥⎦2kx x xx x x +++-=3x x x x +-=3=故点T 恒在一定直线3y =上.解题思路：设出直线1y kx =+，联立直线与椭圆的方程结合韦达定理求出,AE BF 的直线方程，联立求出交点纵坐标为3，进而可得结果.3、圆过定点问题例14、（2021·湖北武汉市高三月考）设P 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上异于长轴顶点A 1，A 2的任意一点，过P 作C 的切线与分别过A 1，A 2的切线交于B 1，B 2两点，已知|A 1A 2|=4，椭圆C 的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以B 1B 2为直径的圆是否过x 轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，证明见解析，定点为(1,0),(1,0)-. 【详解】解：（1）由题可知122412A A a c e a ⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得2,1a c ==，由222a b c =+得23b =， 椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设00(,)P x y ，由于P 是异于长轴顶点12,A A 的任意一点，故切线斜率存在.设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，联立方程22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kbx b +++-=，222(8)4(34)(412)0kb k b ∆=-+-=，得2234b k =+，由002200143y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 所以()220034y kx k -=+，则()22200004230x k y x k y --+-=，即222000016290y k y x k x ++=所以()200430y k x +=，则034x k y =-解得过P 点的切线方程为()000034x y y x x y -=--，即000334x x y y y =-+ 由于分别过12,A A 的切线分别为2,2x x =-=，解得12,B B 的坐标为0012006363(2,),(2,)22x x B B y y +--. 在x 轴上取点(),0M t ，则010632,2x MB t y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，020632,2x MB t y ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 所以2220122369414x MB MB t t y -⋅=-+=-. 当1t =±时，120MB MB ⋅=.所以，以12B B 为直径的圆过x 轴上的定点为12(1,0),(1,0)F F -.解题思路： 设00(,)P x y ，设过P 的椭圆的切线为y kx b =+，与椭圆方程联立由0∆=，求出切线的斜率0034x k y =-，得出切线方程000334x x y y y =-+，由条件求出12,B B 坐标，在x 轴上取点(),0M t ，由120MB MB ⋅=得出答案.【巩固训练】1、（2020·广东高三一模）已知点()2,1P --为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>上一点，且椭圆C的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，过点P 作直线PA ，PB ，与椭圆C 分别交于点A ，B ．（1）求椭圆C 的标准方程与离心率；（2）若直线PA ，PB 的斜率之和为0，证明：直线AB 的斜率为定值．【答案】（1）22163x y +=，离心率为2；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题设，得22411a b+== 由①②解得26a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22163x y +=，椭圆C 的离心率为2c e a ===． （2）直线AB 的斜率为定值1.证明：设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为k -， 记11(,)A x y ，22(,)B x y ．设直线PA 的方程为1(2)y k x +=+，与椭圆C 的方程联立，并消去y 得()()222212848840k x k k x k k ++-+--=，则2-，1x 是该方程的两根，则212884212k k x k ---=+，即21244212k k x k-++=+． 设直线PB 的方程为1(2)y k x +=-+，同理得22244212k k x k --+=+．因为()1112y k x +=+，()2212y k x +=-+，所以()()()212121212121228224121812ABkk x k x k x x y y k k k x x x x x x k +++++-+=====---+，因此直线AB 的斜率为定值．2、（2021·山西阳泉市高三期末（理））已知圆22:4C x y +=，点P 为圆C 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，设D 为PQ 的中点，且D 的轨迹为曲线E (PQD 三点可重合). （1）求曲线E 的方程；（2）不过原点的直线l 与曲线E 交于M ､N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率1k ､k ､2k 成等比数列，记以OM ，ON 为直径的圆的面积分别为S 1，S 2，试探究12S S +是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）12S S +是否为定值，为54π．证明过程见解析．【详解】（1）设(,)D x y ，则有(,2)P x y ，又P 在已知不上，∴2244x y +=，所以曲线E 的方程为2214x y +=；（2）设直线l 方程为y kx t =+，1122(,),(,)M x y N x y ，0t ≠，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x ktx t +++-=，2222644(14)(44)0k t k t ∆=-+->， ∴122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+， 111y k x =，222y k x =，∵1k ､k ､2k 成等比数列，∴2121212y y k k k x x ==，∴2221212121212()()()kx t kx t k x x kt x x t k x x x x +++++==，212()0kt x x t ++=，又0t ≠，∴12()0k x x t ++=，228014k tt k -+=+，解得12k =±．1228414kt x x kt k +=-=-+，22122442214t x x t k-==-+， 22222222121212()2162(22)4444x x x x x x k t t t t +=+-=--=-+=，22222222121122()()2244OM ON S S OM ON x y x y ππππ⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222222222211221212124()()4()2()2x y x y kx t kx t k x x kt x x t +++=++++=+++++222244825k k t t =+-+=，∴1254S S π+=为定值． 3、（2021·湖北宜昌市高三期末）已知点A 、B坐标分别是(-，0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且它们斜率之积是12-．（1）试求点P 的轨迹Γ的方程；（2）已知直线:4l x =-，过点()2,0F -的直线（不与x 轴重合）与轨迹Γ相交于M ．N 两点，过点M 作MD l ⊥于点D ．求证：直线ND 过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）221(84x y x +=≠±；（2）证明见解析，()3,0-. 【详解】（1）设(),P x y ，由题意得：12PA PB k k ⋅=-12=-，化简得22184x y +=．又x ≠±，∴点P 的轨迹方程为221(84x y x +=≠±．（2）方法一：由椭圆的对称性知，直线ND 过的定点必在x 轴上， 由题意得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，∴()1212my y y y =-+，2112:(4)4y y ND y x y x -=+++，令0y =， ∴()()12122121424y x y my x y y y y +++=-=---()1211212121221y y y my y y y y y y -+++=-=-=--，3x =-，∴直线ND 过定点()3,0-．方法二：由题意可得直线MN 的斜率不为0，设:2MN x my =-，与22184x y +=联立消去x 得：()222440m y my +--=， ()23210m ∆=+>恒成立，设()11,M x y ，()22,N x y ，则()14,D y -，12242m y y m +=+，12242y y m -=+，()12422m y m -=+，()22422m y m +=+， ()2112121122(4)2:(4)42y y x my y y y y ND y x y x my -+++-=++=++2244)2222m x m m m my -+++++=+2222(4)3)2222x x m m my my +-+++==++ ∴3x =-时0y =， ∴直线ND 过定点()3,0-.4、（2021·安徽池州市高三期末（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左顶点、右焦点分别为A ，F ，点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于D ，E 两点，直线AD ，AE 斜率分别为1k ，2k ，证明：12kk kk +为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意可得2222222312112a b c a a b c ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎪+=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎪⎪⎩，解得2a =，b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）证明：由（1）可知()1,0F ，则直线l 的方程为()1y k x =-.联立22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=.设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，所以()()1212121212112222k x k x y yk k x x x x --+=+=+++++12331122k x x ⎛⎫=-+- ⎪++⎝⎭()()()()()12121212123434222224x x x x k k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=-=-⎢⎥⎢⎥+++++⎣⎦⎣⎦2222228344324128244343k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222223816122412161612k k k k k k ⎡⎤++⎢⎥=--+++⎢⎥⎣⎦ 222112k k k k ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭， 所以1211kk kk k k ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭（定值）.5、（2021·安徽蚌埠市高三二模（理））已知圆()22:224E x y ++=，动圆N 过点()2,0F 且与圆E 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）P ，Q 是曲线C 上的两个动点，且OP OQ ⊥，记PQ 中点为M ，OP OQ t OM ⋅=，证明：t 为定值.【答案】（1）22162x y +=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）点()2,0F 在圆()22:224E x y ++=内，∴圆N 内切于圆E，∴NE NF EF +=>，所以N 点轨迹是以E ，F为焦点的椭圆，且a =2c =，从而b =故点N 的轨迹C 的方程为：22162x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，若直线PQ 斜率存在，设直线PQ 方程为y kx m =+，联立22162y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222136360k x kmx m +++-=，122613km x x k -+=+，21223613m x x k-=+ 因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅=，即12220x x y y +=.化简得：()()22121210k x x km x x m ++++=，即()22222366101313m km k km m k k--+⋅+⋅+=++， 从而，222330m k --=，①因为OP OQ ⊥，且M 为PQ 中点，所以2PQ OM =， 在直角ABC 中，记原点O 到直线PQ 的距离为d ，则2OP OQ d PQ d OM ⋅==，由①知，原点O 到直线l的距离为d ===所以t.若直线PQ 斜率不存在，设直线PQ 方程为x n =，联立22162x n x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得p n ⎛ ⎝，,n ⎛ ⎝ 由OP OQ ⊥得n =t = 综上，t.6、（2021·江苏无锡市高三月考）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>过点(2,1)-，216y x =-的准线l 交x 轴于点A ，过点A 作直线交椭圆C 于M ，N ．（1）求椭圆C 的标准方程和点A 的坐标； （2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）设P ，Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，问：直线PM 于QN 的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由．【答案】（1）22182x y +=，()4,0A ；（2）(4)6y x =±-；（3）PM 与QN 的交点恒在直线2x =上，理由见解析.【详解】（1）由题意，椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>过点(2,1)-可得22411a b +=且2c e a ==，又由222c a b =-， 解得228,2a b ==，即椭圆C 的方程为22182x y +=，又由抛物线216y x =-，可得准线方程为:4l x =，所以()4,0A .（2）设()00,N x y ，则004,22x y M +⎛⎫⎪⎝⎭， 联立方程组()2200220018241328x y x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得001,x y ==当5,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-；当5,,(1,2M N ⎛ ⎝⎭时，可得直线:4)MN y x =-； 所以直线MN的方程为4)y x =-. （3）设()()4,,4,P t Q t -，可得:4MN x ky =+， 设()()1122,,,M x y N x y联立方程组224480x ky x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得()224880k y ky +++=，所以12122288,44k y y y y k k +=-=++，则1212y y ky y +=-， 又由直线111114:44y t tx y PM y x x x --=+--，222224:44y t y tx QN y x x x ++=---， 交点横坐标为()121212242ky y y y x y y ++==+，所以PM 与QN 的交点恒在直线2x =上.7、（2021·全国高三专题练习）已知椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l 与x 轴的正半轴和y 轴分别交于点Q P 、，与椭圆Γ相交于两点M N 、，各点互不重合，且满足12PM MQ PN NQ λλ==，. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）若直线l 的方程为1y x =-+，求1211λλ+的值； （3）若123，试证明直线l 恒过定点，并求此定点的坐标.【答案】（1）221124x y +=；（2）83-；（3）证明见解析，(2,0). 【详解】（1）由题意，因为椭圆22221(0)x y a b a bΓ+=>>：过点(02)，，可得2b =， 设焦距为2c ，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列， 可得222(2)(2)2(2)a b c +=，即2222a b c +=又因为222a b c =+，解得212a =，所以椭圆Γ的标准方程为221124x y +=.（2）由直线l 的方程为1y x =-+，可得而(01)(10)P Q ，，，， 设1122()()M x y N x y ，，，，因为12PM MQ PN NQ λλ==，，可得1111122222(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y λλ-=---=--，，，，，， 从而111222(1)(1)x x x x λλ=-=-，，于是12121211x x x x λλ==--，，所以12121212111122x x x x x x λλ++=+-=-，由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得24690x x --=，可得12123924x x x x +==-，，所以1212121211118223x x x x x x λλ++=+-=-=-. （3）显然直线l 的斜率k 存在且不为零，设直线l 的方程为()()0y k x m m =->，1122()()M x y N x y ，，，， 可得(0,)(,0)P km Q m -，， 由1PMMQ ，可得11111()()x y km m x y λ+=--，，， 所以()111x x m λ=-，从而111xm x λ=-，同理222xm x λ=-，又123，∴212122()30x x m x x m -++=①，联立221124()x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22222(13)63120k x k mx k m +-+-=，则()42222222364(13)(312)121240k m k k m k k m -∆=+-=+->②，且2221212226312,1313k m k m x x x x k k -+==++③③代入①得2222222231263122300131313k m k m m m m k k k ---⋅+=⇒=+++，∴2m =，(满足②) 故直线l 的方程为()2y k x =-，所以直线l 恒过定点(20)，. 8、（2020·湖北高三月考）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若平面上一点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7. （1）求抛物线C 的方程；（2）又已知点P 为抛物线C 上任一点，直线PA 交抛物线C 于另一点M ，过M 作斜率为43k =的直线MN 交抛物线C 于另一点N ，连接.PN 问直线PN 是否过定点，如果经过定点，则求出该定点，否则说明理由.【答案】（1）28y x =；（2）过定点，1,34⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】(1)由已知，定点(2,3)A 到焦点F 与到准线:2pl x =-的距离之和等于7.272p ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则4p =，即抛物线的方程28y x =(2)设11(,)P x y ，22(,)M x y ，33(,)N x y ，则121211212222888PM y y y y k y y x x y y ++=-=+=-，同理：238MNk y y =+，138PN k y y =+， 由23843MN k y y ==+知：236y y +=，即236y y =- ① 直线11128:()PM y y x x y y -=-+，即1212()8y y y y y x +-=过(2,3)A 求得1211633y y y -=- ② 同理求直线PN 方程1313()8y y y y y x +-= ③ 由①②得13133()2y y y y =+- 代入③得1313()3()28y y y y y x +-++=13()(3)280y y y x +-+-=故3y =且280x -=时，直线PN 恒过点1,34⎛⎫⎪⎝⎭. 9、（2021·北京高三期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上. 【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【详解】解：（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12， 所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+， 直线BN 的方程是()322y x =-. 所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上. ②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2223484120kx k x k+-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834kx x k +=+，212241234k x x k-⋅=+. 所以直线AM 的方程是()1122y y x x =++. 令4x =，得1162=+y y x . 直线BN 的方程是()2222y y x x =--.令4x =，得2222y y x =-. 所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+- ()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦. ()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦ ()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-+++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭. 所以点Q 在直线4x =上.10、（2021·安徽高三月考（理））已知圆22:5O x y +=，椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左右焦点为12,F F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图P 为圆上任意一点，过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A ，B 两点． （ⅰ）若直线PA 的斜率为2，求直线PB 的斜率； （ⅱ）作PQ AB ⊥于点Q ，求证：12QF QF +是定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）（i ）12-；（ii ）证明见解析．【详解】解：（1）由题意得：222221a b c ba ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩2,1,a b c ===得椭圆的标准方程为：2214x y +=（2）（ⅰ）设()00,P x y ，切线()00y y k x x -=-，则22005x y +=。
解题思维7圆锥曲线解答题的提分策略ppt
求较高.
示例1
2 2
2
[2020山东,12分]已知椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,且
2
过点A(2,1).
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得
解题思维7 高考中圆锥曲线
解答题的提分策略
考情解读
高考中圆锥曲线解答题常考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的
几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,定点、定值、最值、取值范围、
存在性、探索性问题,综合考查各种数学思想方法和技能、数学学科核
心素养.这类试题的命制有一个共同特点:起点低.一般第(1)问较为简单,
|DQ|为定值.
思维导引 (1)由题意求得a2,b2,即可确定椭圆方程.
(2)首先对直线MN的斜率分存在和不存在两种情况讨论,当斜率存在时,设
直线MN的方程为y=kx+m,联立直线与椭圆的方程,结合·=0及根
2 1
与系数的关系,求得直线MN的方程为y=k(x- )- (k≠1),当斜率不存在时,
4
2
5
题设可得x1+x2= .
2
=
……………………………………………………………....…...②
3
2
+ ,
由ቐ
可得9x2+12(t-1)x+4t2=0, …………...……………………...③
2 = 3
1
12(−1)
12(−1) 5
2
2
则Δ=(12t-12) -144t >0,所以t< ,所以x1+x2=.从而- 9 =2,
21高考数学理科全国一轮复习考点考法精练：第十章素养提升5高考中圆锥曲线解答题的提分策略 含解析
素养提升5 高考中圆锥曲线解答题的提分策略1.[2020湖北省部分重点中学高三测试,12分]已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =√22,以上顶点和右焦点为直径端点的圆与直线x +y - 2=0相切. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)是否存在斜率为2的直线,使得当直线与椭圆C 有两个不同的交点M ,N 时,能在直线y =53上找到一点P ,在椭圆C 上找到一点Q ,满足PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.2.[2020陕西省百校第一次联考,12分]已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e =√32,椭圆的左焦点为F 1,短轴的两个端点分别为B 1,B 2,且F 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)过左顶点A 作椭圆的两条弦AM ,AN ,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求证:直线MN 与x 轴的交点为定点.3.[2020洛阳市第一次联考,12分]已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的一个焦点,C 1与C 2的公共弦的长为2√6. (1)求椭圆C 2的方程.(2)过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向. (i)若|AC |=|BD |,求直线l 的斜率;(ii)设C 1在点A 处的切线与x 轴的交点为M ,证明:当直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.4.[2020陕西省部分学校摸底检测,12分]已知圆O :x 2+y 2=1和抛物线E :y =x 2 - 2,O 为坐标原点.(1)已知直线l 与圆O 相切,与抛物线E 交于M ,N 两点,且满足OM ⊥ON ,求直线l 的方程;(2)过抛物线E 上一点P (x 0,y 0)作两条直线PQ ,PR 与圆O 相切,且分别交抛物线E 于Q ,R 两点,若直线QR 的斜率为 - √3,求点P 的坐标.5.[2020江西红色七校第一次联考,12分]如图5-1,已知点M (2,1)在椭圆C :x 2a 2+y2b2=1(a >b >0)上,点A ,B 是长轴的两个端点,且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)已知点E (1,0),过点M (2,1)且斜率为k 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ,若点E 总在以MN 为直径的圆内,求直线l 的斜率k 的取值范围.图5-16.[2019安徽宣城二模,12分]已知椭圆C 的方程为x 24+y 22=1,A 是椭圆上的一点,且点A 在第一象限内,过点A且斜率等于 - 1的直线与椭圆C 交于另一点B ,点A 关于坐标原点的对称点为D. (1)证明:直线BD 的斜率为定值; (2)求△ABD 面积的最大值.7.[12分]已知动圆C 过定点F (1,0),且与定直线x = - 1相切.(1)求动圆圆心的轨迹E 的方程.(2)过点M ( - 2,0)的直线l 与轨迹E 交于不同的两点P ,Q ,试探究在x 轴上是否存在定点N (异于点M ),使得∠QNM +∠PNM =π,若存在,求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.素养提升5高考中圆锥曲线解答题的提分策略1.(1)由椭圆的离心率e =√22,得c 2a 2=c 2b 2+c 2=12,得b =c.上顶点为(0,b ),右焦点为(b ,0),以上顶点和右焦点为直径端点的圆的方程为(x - b2)2+(y - b2)2=(a2)2=b 22,所以圆心到直线x +y - 2=0的距离为2=√22b ,即|b - 2|=b ,得b =c =1,a =√2,所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1.(5分)(2)不存在.理由如下:设直线的方程为y =2x +t ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x 3,53),Q (x 4,y 4),MN 的中点为D (x 0,y 0).由{y =2x +t,x 22+y 2=1,消去x 得9y 2 - 2ty +t 2 - 8=0,则Δ=4t 2 - 36(t 2 - 8)>0, - 3<t <3.(7分)所以y 1+y 2=2t9,y 0=y 1+y 22=t9.由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得(x 1 - x 3,y 1 - 53)=(x 4 - x 2,y 4 - y 2), 所以y 1 - 53=y 4 - y 2,y 4=y 1+y 2 - 53=29t - 53,(9分)(也可由PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =NQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 知四边形PMQN 为平行四边形,而D 为线段MN 的中点,因此,D 也为线段PQ 的中点,所以y 0=53+y 42=t 9,可得y 4=2t - 159)又 - 3<t <3,所以 - 73<y 4< - 1,(11分)与椭圆上的点的纵坐标的取值范围是[ - 1,1]矛盾.2.(1)由题意得F 1( - c ,0),e =ca =√32①,不妨令B 1为短轴的上端点,则B 1(0,b ),B 2(0, - b ),所以F 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c ,b )·(c , - b )=c 2 - b 2=2 ②. (2分)又c 2=a 2 - b 2 ③.由①②③得a 2=4,b 2=1,所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1.(4分)(2)由题可知,A ( - 2,0),直线AM ,AN 的斜率存在且不为零,设直线AM 的斜率为k ,则直线AN 的斜率为 - 1k,直线AM 的方程为y =k (x +2).由{y =k(x +2),x 24+y 2=1,得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2 - 4=0 (*),Δ>0.易知方程(*)的一个根为 - 2,设M (x M ,y M ), 则 - 2x M =16k 2 - 41+4k2,得x M =2 - 8k 21+4k 2,(7分)所以y M =k (x M +2)=4k1+4k2,得M (2 - 8k 21+4k 2,4k1+4k 2),同理可得(将k 换为 - 1k)N (2k 2 - 8k 2+4, - 4kk 2+4),(8分)则直线MN 的斜率k MN =4k1+4k 2+4k k 2+42 - 8k 21+4k 2 - 2k 2 - 8k 2+4=20k 3+20k - (16k 4 - 16)=20k(k 2+1) - 16(k 2 - 1)(k 2+1)=- 5k 4k 2 - 4,所以直线MN 的方程为y +4kk 2+4=- 5k 4k 2 - 4(x - 2k 2 - 8k 2+4). (10分)令y =0,则x =16(1 - k 2)5(k 2+4)+2k 2 - 8k 2+4=- 6k 2 - 245(k 2+4)=- 6(k 2+4)5(k 2+4)= - 65.所以直线MN 与x 轴的交点为定点( - 65,0).(12分)3.(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2 - b 2=1 ①.又C 1与C 2的公共弦的长为2√6,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为(±√6,32),所以94a 2+6b 2=1 ②.由①②,解得a 2=9,b 2=8. 故椭圆C 2的方程为y 29+x 28=1. (4分)(2)如图D 5 - 1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).图D 5 - 1(i)因为AC⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 同向,且|AC |=|BD |,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 从而x 3 - x 1=x 4 - x 2,即x 1 - x 2=x 3 - x 4,于是(x 1+x 2)2 - 4x 1x 2=(x 3+x 4)2 - 4x 3x 4 ③.设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y =kx +1(易知k ≠0). 由{y =kx +1,x 2=4y,得x 2 - 4kx - 4=0,Δ1>0. 则x 1+x 2=4k ,x 1x 2= - 4 ④.由{y =kx +1,y 29+x 28=1,得(9+8k 2)x 2+16kx - 64=0,Δ2>0.(6分)则x 3+x 4= -16k 9+8k 2,x 3x 4= -649+8k 2⑤.将④⑤代入③,得16(k 2+1)=162k 2(9+8k 2)2+4×649+8k 2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2,所以(9+8k 2)2=16×9,解得k =±√64,即直线l 的斜率为±√64.(8分)(ii)由x 2=4y 得y'=x2,所以C 1在点A 处的切线方程为y - y 1=x12(x - x 1),即y =x 1x 2− x 124.令y =0,得x =x 12,即M (x12,0),所以FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x12, - 1).(10分)又FA⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1 - 1),于是FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 122- y 1+1=x 124+1>0,因此∠AFM 是锐角,由∠MFD =180° - ∠AFM 得∠MFD 是钝角. 故当直线l 绕点F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.(12分)4.(1)由题意知直线l 的斜率存在,设l :y =kx +b ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由直线l 与圆O 相切,得√k 2+1=1,所以b 2=k 2+1.由{y =kx +b,y =x 2 - 2,消去y 得x 2 - kx - b - 2=0,Δ>0. 所以x 1+x 2=k ,x 1x 2= - b - 2.(2分)由OM ⊥ON ,得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即x 1x 2+y 1y 2=0, 所以x 1x 2+(kx 1+b )(kx 2+b )=0,所以(1+k 2)x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=0, 所以b 2( - b - 2)+(b 2 - 1)b +b 2=0, 解得b = - 1或b =0(舍去).所以k =0,故直线l 的方程为y = - 1. (5分)(2)设Q (x 3,y 3),R (x 4,y 4),则 直线RQ 的斜率k RQ =y 3 - y 4x 3 - x 4=(x 32 - 2) - (x 42 - 2)x3 - x 4=x 3+x 4,所以x 3+x 4= - √3.由题意知直线PQ ,PR 的斜率均存在,即x 02≠1.设PQ :y - y 0=k 1(x - x 0),由直线PQ 与圆O 相切,得01012=1,即(x 02 - 1)k 12 - 2x 0y 0k 1+y 02- 1=0,设PR :y - y 0=k 2(x - x 0),同理可得(x 02 - 1)k 22 - 2x 0y 0k 2+y 02- 1=0.故k 1,k 2是方程(x 02 - 1)k'2 - 2x 0y 0k'+y 02 - 1=0的两个根,所以k 1+k 2=2x 0y 0x 02 - 1. (8分)由{y =k 1x +y 0 - k 1x 0,y =x 2 - 2,得x 2 - k 1x +k 1x 0 - y 0 - 2=0,故x 0+x 3=k 1, 同理可得x 0+x 4=k 2,则2x 0+x 3+x 4=k 1+k 2,即2x 0 - √3=2x 0y 0x 02 - 1,所以2x 0 - √3=2x 0(x 02- 2)x 02 - 1,解得x 0= -√33或x 0=√3. (11分)当x 0= -√33时,y 0= - 53;当x 0=√3时,y 0=1.故点P 的坐标为( -√33, - 53)或(√3,1). (12分)5.(1)由已知可得A ( - a ,0),B (a ,0),则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( - a - 2, - 1)·(a - 2, - 1)= - 3,解得a 2=8. 又点M (2,1)在椭圆C 上,所以228+12b 2=1,解得b 2=2,所以椭圆C 的标准方程为x 28+y 22=1.(4分)(2)设N (x 1,y 1),直线l 的方程为y =k (x - 2)+1,代入椭圆C 的方程消去y 得(4k 2+1)x 2+4(2k - 4k 2)x +4(4k 2 - 4k -1)=0,Δ>0, (6分) 则2x 1=4(4k 2 - 4k - 1)4k 2+1,即x 1=2(4k 2 - 4k - 1)4k 2+1,则y 1=- 4k 2 - 4k+14k 2+1. (8分)因为点E 总在以MN 为直径的圆内,所以必有EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,即(1,1)·(x 1 - 1,y 1)=x 1+y 1 - 1<0, (10分)将x 1,y 1代入上式得4k 2 - 8k - 34k 2+1+- 4k 2 - 4k+14k 2+1<0,解得k > - 16,所以满足条件的直线l 的斜率k 的取值范围是( - 16,+∞). (12分)6.(1)设D (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则A ( - x 1, - y 1),直线BD 的斜率k =y 2 - y 1x 2 - x 1.因为D ,B 两点都在椭圆上, 所以x 124+y 122=1 ①,x 224+y 222=1 ②, (2分)由② - ①得y 2 - y 1x 2 - x 1= - 12×x 1+x 2y 1+y 2.因为k AB =y 1+y 2x 1+x 2= - 1,所以k =y 2 - y 1x 2 - x 1=12.故直线BD 的斜率为定值12.(5分)(2)连接OB ,因为A ,D 两点关于原点对称,所以S △ABD =2S △OBD . 由(1)可知直线BD 的斜率k =12,设直线BD 的方程为y =12x +t ,因为点D 在第三象限,所以 - √2<t <1且t ≠0.点O 到直线BD 的距离d =1+4√5. (7分)由{y =12x +t,x 24+y 22=1,消去y 并整理得3x 2+4tx +4t 2 - 8=0,易知Δ>0,则x 1+x 2= - 4t3,x 1x 2=4(t 2 - 2)3. (9分)所以|BD |=√1+(12)2×√(x 1+x 2)2 - 4x 1x 2=√52×√( -4t 3)2 - 4×4(t 2 - 2)3=√52×√96 - 32t 23. (10分)所以S △ABD =2S △OBD =2×12×|BD |×d =√52×√96 - 32t 232|t|√54√23×√t 2(3 - t 2)≤4√23×t 2+(3 - t 2)2=2√2,当且仅当t 2=3- t 2,即t = -√62时等号成立. 所以△ABD 面积的最大值为2√2.(12分) 7.(1)解法一 依题意知,动圆圆心到定点F (1,0)的距离与圆心到定直线x = - 1的距离相等.(1分) 由抛物线的定义,可得动圆圆心的轨迹E 是以F (1,0)为焦点,直线x = - 1为准线的抛物线,其中p =2. (2分) ∴动圆圆心的轨迹E 的方程为y 2=4x.(3分) 解法二 设动圆圆心C (x ,y ),依题意得√(x - 1)2+y 2=|x +1|,(2分) 化简得y 2=4x.即动圆圆心的轨迹E 的方程为y 2=4x. (3分) (2)假设存在点N (x 0,0)满足题设条件.由∠QNM +∠PNM =π可知,直线PN 与QN 的斜率互为相反数,即k PN +k QN =0 ①. (4分) 易知直线PQ 的斜率必存在且不为0,设直线PQ :x =my - 2(m ≠0). (5分) 由{y 2=4x,x =my - 2,消去x 得y 2 - 4my +8=0. (6分) 由Δ=( - 4m )2 - 4×8>0,得m >√2或m < - √2. (7分) 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=8. (8分)由①得k PN +k QN =y 1x 1 - x 0+y 2x 2 - x 0=y 1(x 2 - x 0)+y 2(x 1 - x 0)(x 1 - x 0)(x 2 - x 0)=0,∴y 1(x 2 - x 0)+y 2(x 1 - x 0)=0,即y 1x 2+y 2x 1 - x 0(y 1+y 2)=0,消去x 1,x 2,得14y 1y 22+14y 2y 12- x 0(y 1+y 2)=0,(9分) 即14y 1y 2(y 1+y 2) - x 0(y 1+y 2)=0.(10分) ∵y 1+y 2≠0,∴x 0=14y 1y 2=2,(11分)∴存在点N (2,0),使得∠QNM +∠PNM =π.。
2021年高考数学(文)冲刺之突破专题05 突破圆锥曲线解答题的瓶颈
1 突破圆锥曲线解答题的瓶颈-------------- -----------------把握考点 明确方向-------------------------------时间2019 2018 2017 2016 2015 Ⅰ卷 直线方程，直线与抛物线的位置关系直线方程，直线与椭圆 的 位置关系 直线与椭圆 的位置关系，椭圆 方程定点问题 直线与椭圆 的位置关系，证明定值， 轨迹方程 直线与抛物线的位置关系，探索性问题 Ⅱ卷 直线与椭圆 的位置关系，面积最值直线与抛物线 的位置关系， 圆的方程 直线与椭圆 的 位置关系，轨迹方程，定点问题 直线与椭圆 的位 置关系，面积、范围问题 直线与椭圆 的位置 关系，证明定值，探索性问题 Ⅲ卷 直线与抛物线的 位置关系，定点、面积问题 直线与椭圆 的位置关系， 范围定值问题直线与抛物线的位置关系，直线与圆的方程 直线与抛物线的位置关系，轨迹方程[思维流程] ------------------------------- 导图助思 快速切入--------------------------------------------------------------知识整合 易错题示-------------------------------1.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断. 弦长公式：|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|，或|AB |＝ 1＋ 1 |y 1－y 2|.k 22.解决范围、最值问题的常用方法(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解.(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域.3.定点问题的思路(1)动直线 l 过定点问题，解法：设动直线方程(斜率存在)为 y ＝kx ＋t ，由题设条件将 t 用 k 表示为 t ＝mk ，得 y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m ,0).知识整合。
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2021届新高考版高考数学素养提升训练专题5高考中圆锥曲线解答题的提分策略
1[2019全国卷Ⅰ，12分]已知抛物线C:y2=3x的焦点为F ,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF |+|BF |=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
(1)设出直线l的方程:y=x+t,求出t值,即得直线l的方程.(2)先通过方程思想及向量运算求出A,B两点的纵坐标,进而得A,B两点的横坐标,再利用两点间的距离公式求得|AB|.
设直线l :y=x+t,A(x 1,y1),B(x2,y2).................................................................................... ①(1)由题设得F (,0),根据抛物线的焦半径公式可知:|AF |+|BF |=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.②由可得9x2+12(t - 1)x+4t2=0, .................................................................................... ③则Δ=(12t - 12)2 - 144t2>0,所以t,
所以x1+x2= - .
从而- ,得t= - .
所以l的方程为y=x - . .............................................................................................................. ④(2)由可得y2 - 2y+2t=0,则Δ=( - 2)2 - 4×2t>0,所以t. .......................................... ⑤所以y1+y2=2.。