上海市闸北区2010届高三数学
2010年上海市三校生高考数学试题及解答
2010年上海市三校生高考数学试题及解答一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集，集合，则.2．若复数满足（是虚数单位），则.3．已知直线的倾斜角大小是，则.4．若关于的二元一次方程组有唯一一组解，则实数的取值范围是.5．已知函数和函数的图像关于直线对称，则函数的解析式为. 到渐近线的距离为.7．函数的最小正周期.8．若，则目标函数的最小值为.9．执行如图所示的程序框图，若输入的值是，则输出的值是.10．已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为．11．某中学在高一年级开设了门选修课，每名学生必须参加这门选修课中的一门，对于该年级的甲乙名学生，这名学生选择的选修课相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列的前项和为，若，则其公比的取值范围是 . 13．已知函数.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是.14．函数的定义域为，其图像上任一点满足．①函数一定是偶函数；②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数可以是奇函数；④函数如果是偶函数，则值域是或；⑤函数值域是，则一定是奇函数．其中正确命题的序号是（填上所有正确的序号）．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知，，则的值等于………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.16．一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于…（）（A）. （B）. （C）. （D）.17．若直线通过点，则………………………………（）（A）. （B）.（C）. （D）.18．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．那么，可推知方程解的个数是………………………………………………………（）（A）. （B）. （C）. （D）.三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是米，底面的边长是米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？(精确到米2)20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点．（1）若是的中点，求；（2）设，求△周长的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆.（1）直线过椭圆的中心交椭圆于两点，是它的右顶点，当直线的斜率为时，求△的面积；（2）设直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线过椭圆与轴负半轴的交点，求实数的值．22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数．（1）若函数的图像过原点，求的解析式；（2）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列的前项和为，且，．从中抽出部分项, 组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为，其中．（1）求的值；（2）当取最小时，求的通项公式；（3）求的值．四区联考2012学年度第二学期高三数学一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．4；9．；10．；11．；12．；13．；14．②③⑤二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D ；16．B；17．B ；18．C三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是米，高是米所以这个四棱锥冷水塔的容积是．(2)如图，取底面边长的中点，连接，答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△中，，由得，解得．（2）∵∥，∴，在△中，由正弦定理得，即∴,又．记△的周长为，则=∴时，取得最大值为.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：(1)依题意，，，由，得，设，∴；(2)如图，由得，依题意，，设，线段的中点，则，，，由，得，∴22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解:（1）过原点，得或（2）是偶函数，即，又恒成立即当时当时，，当时，，综上：（3）是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数．令，当时；时，由于时，是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）令得，即；又（2）由和，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，所以．解法一：数列是正项递增等差数列，故数列的公比，若，则由得，此时，由解得，所以，同理；若，则由得，此时组成等比数列，所以，，对任何正整数，只要取，即是数列的第项．最小的公比．所以．………（10分）解法二: 数列是正项递增等差数列，故数列的公比，设存在组成的数列是等比数列，则，即因为所以必有因数，即可设，当数列的公比最小时，即，最小的公比．所以．（3）由（2）可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列，其中，那么的公比是，其中由解法二可得．，所以。
上海市2010届高三数学上学期期末试题分类汇编：解析几何新人教版.doc
上海市2010届高三数学上学期期末试题分类汇编第8部分:解析几何一、选择题:17. （2010年1月普陀区高三质量调研）若直线1l ：22x ay a +=+与直线2l ：1ax y a +=+不重合，则12l l ∥的充要条件是（ C ）A. 1a =-；B. 12a =； C. 1a =； D. 1a =或1a =-. 【解析】由两直线12l l ∥可得：122(0,1)11a a a a a a +=≠≠≠-+，解得1a =，故选C 。
17．（2010年1月上海市宝山区高三质量测试）已知：圆C 的方程为0),(=y x f ，点),(00y x P 不在圆C 上，也不在圆C 的圆心上，方程0),(),(:'00=-y x f y x f C ，则下面判断正确的是……( B )(A) 方程'C 表示的曲线不存在；(B) 方程'C 表示与C 同心且半径不同的圆； (C) 方程'C 表示与C 相交的圆；(D) 当点P 在圆C 外时，方程'C 表示与C 相离的圆。
二、填空题3. （2010年1月普陀区高三质量调研）抛物线280y x +=的焦点坐标为 .(2,0)-10. （2010年1月普陀区高三质量调研）设1F ，2F 分别是椭圆14922=+y x 的左、右焦点．若点P 在椭圆上，且52=+，则向量1PF 与向量2PF 的夹角的大小为 ．90︒2．（2010年1月上海市宝山区高三质量测试）若圆22260++-+=x y x y m 与直线3x+4y+1=0相切，则实数m= ． 66．（2010年1月上海市宝山区高三质量测试）某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根柱支撑，其中最高支柱的高度是 ． 3.84米三、解答题:23. （2010年1月普陀区高三质量调研理）（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分.） 如图，已知圆222:C x y r +=与x 轴负半轴的交点为A . 由点A 出发的射线l 的斜率为k . 射线l 与圆C 相交于另一点.B（1）当1r =时，试用k 表示点B 的坐标；（2）当1r =时，求证：“射线l 的斜率k 为有理数”是“点B 为单位圆C 上的有理点”的充要条件；（说明：坐标平面上，横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道，一个有理数可以表示为qp，其中p 、q 均为整数且p 、q 互质）（3）定义：实半轴长a 、虚半轴长b 和半焦距c 都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.当k 为有理数．．．且01k <<时，试证明：一定能构造偶数个“整勾股双曲线”(规定：实轴长和虚轴长都对应相等的双曲线为同一个双曲线)，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B 的横坐标、纵坐标和半径r 的数值构成. 说明你的理由并请尝试给出构造方法. 23. （2010年1月普陀区高三质量调研文）（本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分.）如图，已知圆222:C x y r +=与x 轴负半轴的交点为A . 由点A 出发的射线l 的斜率为k ，且k 为有理数．．．. 射线l 与圆C 相交于另一点.B （1）当1r =时，试用k 表示点B 的坐标； （2）当1r =时，试证明：点B 一定是单位圆C 上的有理点；（说明：坐标平面上，横、纵坐标都为有理数的点为有理点.我们知道，一个有理数可以表示为qp，其中p 、q 均为整数且p 、q 互质） （3）定义：实半轴长a 、虚半轴长b 和半焦距c 都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”.当01k <<时，是否能构造“整勾股双曲线”，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B 的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成？若能，请尝试探索其构造方法；若不能，试简述你的理由.23. （本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题7分，第3小题7分.） （1）解：设点B 的坐标为22(,)B x y . 由题意，点A 的坐标为(1,0)-， 于是可设射线l 的方程为(1)y k x =+，代入圆C 的方程可得：222(1)1x k x ++=2222(1)2(1)0k x k x k ⇔+++-=…① 方程①中，一个解必为1x =-，则由根与系数关系可知点B 的横坐标为22211k x k -=+；代入直线方程可得2221ky k =+. 所以，点B 的坐标即为22212,11k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. （2）（理科）充分性：设射线l 的斜率qk p=（其中p 、q 均为整数且p 、q 互质） 则由（1）可知222222211q p p q x p q q p ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2222221q p pq y p q q p ⎛⎫ ⎪⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 因为p 、q 均为整数，所以2x 、2y 必为一个有理数，从而B 点必为一个有理点.必要性：若B 点为有理点，则可设121q x p =，222qy p =（其中1p 、1q 、2p 、2q 均为整数且1p 和1q 互质、2p 和2q 互质）于是，22122111y q p k x p p q ==⋅++，因为1p 、1q 、2p 、2q 均为整数，所以k 必为一个有理数.（2）（文科）同理科（2）的充分性证明. （3）证：设B 点的坐标为22(,)x y .当01k <<时，B 点必定落在第一象限的四分之一圆周上，即20x >，20y >.而由22222x y r +=，所以B 的横坐标2x 、纵坐标2y 以及圆的半径r 必能构成某个双曲线的一组实半轴长、虚半轴长和半焦距的数据. 由（2）结论可知，此时点B 的坐标应为22222,p q x r p q⎧-⎪=⋅⎪+⎨其中p 、q 此时均为正整数且p 、q 互质.说明：文科若只能构造出某个具体的“整勾股双曲线”，则可给2分.22．（2010年1月上海市宝山区高三质量测试）（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．已知点12,F F 是双曲线M ：22221-=x y a b的左右焦点，其渐近线为=y ，且右顶点到左焦点的距离为3． (1)求双曲线M 的方程；(2) 过2F 的直线l 与M 相交于A 、B 两点，直线l 的法向量为(,1),(0)=->rn k k ，且0⋅=u u u r u u u rOA OB ，求k 的值；(3)在(2)的条件下，若双曲线M 在第四象限的部分存在一点C 满足2+=u u u r u u u r u u u u rOA OB mF C ，求m 的值及△ABC 的面积∆ABC S ．22．解: (1) 由题意得2213-=y x ．…………………………………………………………4分 (2) 直线l 的方程为(2)=-y k x ，由2213(2)⎧-=⎪⎨⎪=-⎩y x y k x 得2222(3)4(43)0-+-+=k x k x k （*）所以2122212243433⎧+=-⎪⎪-⎨+⎪⋅=-⎪-⎩k x x k k x x k ………………………………………………………………6分 由0⋅=u u u r u u u rOA OB 得12120⋅+⋅=x x y y即2221212(1)2()40+⋅-++=k x x k x x k代入化简，并解得=k （舍去负值）……………………………………………9分 (3)把=k *）并化简得24490+-=x x ，此时1212194+=-⎧⎪⎨⋅=-⎪⎩x x x x ，所以||4==AB …………………………………11分设00(,)C x y ，由2+=u u u r u u u r u u u u r OA OB mF C得0012⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x m y 代入双曲线M 的方程解得32=-m （舍），m=2，所以3(,)22-C ，……………………………………14分点C 到直线AB的距离为=d ，所以1||2∆=⋅=ABC S d AB 16分。
2010年上海市高三数学复习综合卷3新人教版
2010年高三数学复习综合卷（3）一．填空题：1．集合},30{R x x x A ∈≤<=，},21{R x x x B ∈≤≤-=，则=B A _____________．2．若53sin -=θ，则行列式θθθθcos sin sin cos 的值是______________ ．3．函数1log )(2+=x x f （0>x ）的反函数是=-)(1x f_________________．4．若用样本数据10-1213、、、、、来估计总体的标准差，则总体的标准差点估计值是____________． 5．函数x x x x f cos )cos (sin )(+=（R x ∈）的最小正周期为_______________． 6．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为_________3cm ． 7．连结球面上任意两点的线段称为球的弦，已知半径为5的球上有两条长分别为6和8的弦，则此两弦中点距离的最大值是____________．8．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ” 的概率为（结果用数值表示）9．运行如图所示的程序流程图，则输出I 的值为_________________．10．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足n n a S -=1，则该数列所有项的和为11．下列有关平面向量分解定理的四个命题．．．．中， 所有正确命题的序号是 . ① 一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基； ② 一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③ 平面向量的基向量可能互相垂直； ④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.（第9题图）12．在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为 . 二．选择题13．已知a ，b 都是实数，则“b a >”是“22b a >”的………………………………（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件14．rn C （1≥>r n ，n ，Z r ∈）恒等于………………………………………………（ ） A ．11-+-r n C r r n B ．11--+r n C r r n C ．111-++-r n C r r n D ．11--+r n C r n 15．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频 率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]， 样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)， [102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98 克并且小于104克的产品的个数是( ).A.90B.75C.60D.4516．若不等式[(1)]lg 0a n a a --<对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{1}a a >．B ．1{0}2a a <<． C ．1{01}2a a a <<>或． D ．1{01}3a a a <<>或． 三．解答题：17．若集合2)2(log |{2>--=x x x A a ，0>a 且}1≠a（1）若2=a ，求集合A ； （2）若A ∈49，求a 的取值范围．第8题图18．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，060=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，PC 与平面ABCD 所成角的大小为2arctan ，M 为PA 的中点． （1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求异面直线BM 与PC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．19．已知ABC ∆三个顶点分别是A （3，0）、B （0，3）、C (cos sin )αα，，其中322ππα<<． （1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求sin cos αα-的值．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数12||)(2-+-=a x ax x f （a 为实常数）．（1）若1=a ，作函数)(x f 的图像；（2）设)(x f 在区间]2,1[上的最小值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （3）设xx f x h )()(=，若函数)(x h 在区间]2,1[上是增函数，求实数a 的取值范围．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k 中，是否存在正整数m ，使得不等式210052nn a S >-对一切满足m n >的正整数n 都成立？若存在，则这样的正整数m 共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m 的值；若不存在，请说明理由；（3）请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ，使得()n n u u u +++∞→ 21lim 存在，并求出这个极限值．期末复习卷（3）一．填空题：1．集合},30{R x x x A ∈≤<=，},21{R x x x B ∈≤≤-=，则=B A }31{≤≤-x x ． 2．若53sin -=θ，则行列式θθθθcos sin sin cos 的值是__257____________ ． 3．函数1log )(2+=x x f （0>x ）的反函数是=-)(1x f___12-x （R x ∈）______________．4．若用样本数据10-1213、、、、、来估计总体的标准差，则总体的标准差点估计值是．5．函数x x x x f cos )cos (sin )(+=（R x ∈）的最小正周期为_____π__________． 6．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为___π12______3cm ． 7．连结球面上任意两点的线段称为球的弦，已知半径为5的球上有两条长分别为6和8的弦，则此两弦中点距离的最大值是__7__________．8．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ”9．为10．n S =111．⑤ 作为表示该平面所有向量的基； ⑥ 一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； ⑦ 平面向量的基向量可能互相垂直； ⑧一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.（第9题图）12．在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为 2 . 二．选择题13．已知a ，b 都是实数，则“b a >”是“22b a >”的………………………………（ D ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件14．rn C （1≥>r n ，n ，Z r ∈）恒等于………………………………………………（ A ） A ．11-+-r n C r r n B ．11--+r n C r r n C ．111-++-rr r n 11--+r r n 15．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)， [102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98 克并且小于104克的产品的个数是 ( A ). A.90 B.75 C.60 D.4516．若不等式[(1)]lg 0a n a a --<对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ C ）A ．{1}a a >．B ．1{0}2a a <<． C ．1{01}2a a a <<>或． D ．1{01}3a a a <<>或． 三．解答题：17．若集合2)2(log |{2>--=x x x A a ，0>a 且}1≠a（1）若2=a ，求集合A ； （2）若A ∈49，求a 的取值范围． （1）若2=a ，2)2(log 22>--x x ，则062>--x x ，0)2)(3(>+-x x ，得2-<x 或3>x 所以}3,2{>-<=x x x A 或第8题图（2）因为A ∈49，所以2]249)49[(log 2>--a 21613log >a ， 因为021613log >=a 10<<a 且21613a < ………………11分 1413<<a 18．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，060=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，PC 与平面ABCD 所成角的大小为2arctan ，M 为PA 的中点． （1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求异面直线BM 与PC 所成角的大小 解：（1）连结AC ，因为⊥PA 平面ABCD ， 所以PCA ∠为PC 与平面ABCD 所成的角 由已知，2tan ==∠ACPAPCA ，而2=AC ， 所以4=PA ．底面积3260sin 220=⋅⋅=S ， 所以，四棱锥ABCD P -的体积3384323131=⋅⋅==Sh V ． （2）连结BD ，交AC 于点O ，连结MO ，因为M 、O 分别为PA 、AC 的中点，所以MO ∥PC ， 所以BMO ∠（或其补角）为异面直线BM 与PC 所成的角．） 在△BMO 中，3=BO ，22=BM ，5=MO ，（以下由余弦定理，或说明△BMO 是直角三角形求得）46arcsin=∠BMO 或410arccos 或515arctan ．） 19．已知ABC ∆三个顶点分别是A （3，0）、B （0，3）、C (cos sin )αα，，其中322ππα<<． （1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求sin cos αα-的值．解：（1）∵ABC ∆三个顶点分别是A （3，0）、B （0，3）、C (cos sin )αα，， ∴{cos 3 sin }AC αα=-，，{cos sin 3}BC αα=-，由AC BC =得，=即 cos sin αα=∵322ππα<<， ∴ 54πα=．（2）由1AC BC ⋅=-得，(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-即 2sin cos 3αα+=， 24(sin cos )12sin cos 9αααα+=+=，52sin cos 9αα=- 又322ππα<<， ∴sin 0α>，cos 0α<2514(sin cos )12sin cos 1()99αααα-=-=--=∴sin cos αα-=．20．已知函数12||)(2-+-=a x ax x f （a 为实常数）．（1）若1=a ，作函数)(x f 的图像；（2）设)(x f 在区间]2,1[上的最小值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （3）设xx f x h )()(=，若函数)(x h 在区间]2,1[上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：（1）当1=a 时，1||)(2+-=x x x f⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<++=0,10,122x x x x x x ．作图（如右所示）（2）当]2,1[∈x 时，12)(2-+-=a x ax x f ． 若0=a ，则1)(--=x x f 在区间]2,1[上是减函数，3)2()(-==f a g ．若0≠a ，则141221)(2--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a x a x f ，)(x f 图像的对称轴是直线ax 21=． 当0<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数，36)2()(-==a f a g ．… 当1210<<a ，即21>a 时，)(x f 在区间]2,1[上是增函数， 23)1()(-==a f a g ．当2211≤≤a ，即2141≤≤a 时，141221)(--=⎪⎭⎫⎝⎛=a a a f a g ，…当221>a ，即410<<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数，36)2()(-==a f a g ．综上可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=2123214114124136)(a ，a a ，a a a ，a a g 当当当 ．（3）当]2,1[∈x 时，112)(--+=xa ax x h ，在区间]2,1[上任取1x ，2x ，且21x x <， 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-211211221212)(112112)()(x x a a x x x a ax x a ax x h x h 212112)12()(x x a x ax x x --⋅-=．…因为)(x h 在区间]2,1[上是增函数，所以0)()(12>-x h x h ，因为012>-x x ，021>x x ，所以0)12(21>--a x ax ，即1221->a x ax ， 当0=a 时，上面的不等式变为10->，即0=a 时结论成立．当0>a 时，a a x x 1221->，由4121<<x x 得，112≤-a a ，解得10≤<a ， 当0<a 时，a a x x 1221-<，由4121<<x x 得，412≥-a a ，解得021<≤-a ，所以，实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21． 21．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k 中，是否存在正整数m ，使得不等式210052nn a S >-对一切满足m n >的正整数n 都成立？若存在，则这样的正整数m 共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m 的值；若不存在，请说明理由；（3）请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ，使得()n n u u u +++∞→ 21lim 存在，并求出这个极限值．解：（1）由题意得，n n n a a S +=22 ①， 当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a ，当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S ②，①式减去②式得，12122---+-=n n n n n a a a a a于是，1212--+=-n n n n a a a a ，111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a ， 因为01>+-n n a a ，所以11=--n n a a ，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以{}n a 的通项公式为n a n =（*N n ∈）．（2）设存在满足条件的正整数m ，则210052)1(2n n n >-+，10052>n ， 2010>n ， 又2000{=M ，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，所以2010=m ，2012，…，2998均满足条件，它们组成首项为2010，公差为2的等差数列． 设共有k 个满足条件的正整数，则2998)1(22010=-+k ，解得495=k ．所以，M 中满足条件的正整数m 存在，共有495个，m 的最小值为2010．（3）设n n S u 1=，即)1(2+=n n u n ，则)1(232221221+++⨯+⨯=+++n n u u u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211*********n n n ，其极限存在，且 ()21112lim lim 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++∞→∞→n u u u n n n ．注：n n S c u =（c 为非零常数），121+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=n S c n n u （c 为非零常数），1+⋅=n S c n n qu （c 为非零常数，1||0<<q ）等都能使()n n u u u +++∞→ 21lim 存在．。
闸北区2010学年度第一学期高三数学定位考试题
考生注意： 1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码． 3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟． 一、填空题（本题满分50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．=++⋅⋅⋅+++-∞→2)12(753lim n nn C n ． 2．已知两条不同的直线n m 、和平面α．给出下面三个命题：①α⊥m ，α⊥n n m //⇒；②α//m ，α//n n m //⇒；③α//m ，α⊥n n m ⊥⇒． 其中真命题的序号有 ．（写出你认为所有真命题的序号）3．若复数z 满足：i z z 2=-，iz z =，（i 为虚数单位），则=2z ．4．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛=0,,0,121)(2x x x x f x 与函数)(x g 的图像关于直线x y =对称，则当0>x 时，=)(x g ．5．如右图，矩形ABCD 由两个正方形拼成，则CAE ∠的正切值为 ．6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段CD 的 中点，若a AC =，b BD =，则=AE ．（用a 、b 表示）7．现剪切一块边长为4的正方形铁板，制作成一个母线长为4的圆锥V 的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥V 的体积为 ．8．某班级在5人中选4人参加4×100米接力．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排棒次方案共有 种．（用数字作答）．9．若不等式02>++c bx ax 的解集为}21|{<<-x x ，则不等式||2x b c x b a >++的解集为 ．10．设常数R ∈a ，以方程20112||=⋅+x a x 的根的可能个数为元素的集合=A ．二、选择题（本题满分15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．我们称侧棱都相等的棱锥为等腰棱锥．设命题甲：“四棱锥ABCD P -是等腰棱锥”；命题乙：“四棱锥ABCD P -的底面是长方形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面”．那么，甲是乙的 【 】A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件12．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=323)arccos(sin ππx x y 的值域是 【 】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛656ππ， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,6ππ C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡320π， D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡650π， 13．某人从2010年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率%50.2保持不变，到2015年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为 【 】A . 11314元B . 53877元C . 11597元D .63877元应的题号）内写出必要的步骤．14．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．已知在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆三个顶点的直角坐标分别为)3,4(A ，)0,0(O ，)0,(b B ．（1）若5=b ，求A 2cos 的值；（2）若AOB ∆为锐角三角形，求b 的取值范围．15．（满分15分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题9分．如图，在直角梯形ABCD 中， 90=∠=∠C B ，2=AB ，22=CD ，1=BC ．将ABCD （及其内部）绕AB 所在的直线旋转一周，形成一个几何体．（1）求该几何体的体积V ；（2）设直角梯形ABCD 绕底边AB 所在的直线旋转角θ（),0('πθ∈=∠CBC ）至''D ABC ，问：是否存在θ，使得''DC AD ⊥．若存在，求角θ的值，若不存在，请说明理由．⇒16．（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）m 万件与年促销费用x 万元（0≥x ）满足13+-=x k m （k 为常数）．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）．（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？（2）试将2011年该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数，并求2011年的最大利润．17．（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．设)(x f 为定义域为R 的函数，对任意R ∈x ，都满足：)1()1(-=+x f x f ，)1()1(x f x f +=-，且当]1,0[∈x 时，.33)(x x x f --=（1）请指出)(x f 在区间]1,1[-上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；（2）试证明)(x f 是周期函数，并求其在区间)Z ](2,12[∈-k k k 上的解析式．18．（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．已知数列{n a }和{n b }满足：对于任何*N ∈n ，有n n n b b a -=+1，λλλ()1(12n n n b b b -+=++为非零常数），且2121==b b ，． （1）求数列{n a }和{n b }的通项公式；（2）若3b 是6b 与9b 的等差中项，试求λ的值，并研究：对任意的*N ∈n ，n b 是否一定能是数列{n b }中某两项（不同于n b ）的等差中项，并证明你的结论．考生注意： 1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效． 2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码． 3. 本试卷共有18道试题，满分150分．考试时间120分钟． 一、填空题（本题满分50分）本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．=-+⋅⋅⋅+++∞→2)12(531lim nn C n ． 2．已知两条不同的直线n m 、和平面α．给出下面三个命题：①α⊥m ，α⊥n n m //⇒；②α//m ，α//n n m //⇒；③α//m ，α⊥n n m ⊥⇒． 其中真命题的序号有 ．（写出你认为所有真命题的序号）3．若复数z 满足：i z z 2=-，iz z =，（i 为虚数单位），则=2z ．4．设函数)0(41)(2≤=x x x f 与函数)(x g 的图像关=)(x g ．5．如图，矩形ABCD 由两个正方形拼成，则CAE ∠的正切值为 ．6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段CD 的中点，若a AC =，b BD =，则=AE ．（用a 、b 表示）7．现剪切一块边长为4的正方形铁板，制作成一个母线长为4的圆锥的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥V 的体积为 ．8．某班级在5人中选4人参加4×100米接力．如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排棒次方案共有 种．（用数字作答）．9．若不等式02>++c bx ax 的解集为}21|{<<-x x ，则不等式||2x b c x b a >++的解集为 ．10．设常数R ∈a ，以方程20112||=⋅+x a x 的根的可能个数为元素的集合=A ．二、选择题（本题满分15分）本大题共有3题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.11．我们称侧棱都相等的棱锥为等腰棱锥．设命题甲：“四棱锥ABCD P -是等腰棱锥”；命题乙：“四棱锥ABCD P -的底面是长方形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面”．那么，甲是乙的 【 】A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件12．函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=323)arccos(sin ππx x y 的值域是 【 】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛656ππ， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,6ππ C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡320π， D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡650π， 13．某人从2010年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期1万元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率%50.2保持不变，到2015年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为 【 】A . 11314元B . 53877元C . 11597元D .63877元应的题号）内写出必要的步骤．14．（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分．已知在平面直角坐标系xOy 中，AOB ∆三个顶点的直角坐标分别为)3,4(A ，)0,0(O ，)0,(b B ．（1）若5=b ，求A 2cos 的值；（2）若A ∠为钝角，求b 的取值范围．15．（满分15分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题9分．如图，在直角梯形ABCD 中， 90=∠=∠C B ，22=AB ，2=CD ，2=BC ．将ABCD （及其内部）绕AB 所在的直线旋转一周，形成一个几何体．（1）求该几何体的体积V ；（2）设直角梯形ABCD 绕底边AB 所在的直线旋转角θ（),0('πθ∈=∠CBC ）至''D ABC ，若AD AD ⊥'，求角θ的值．⇒16．（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．据测算：2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万件；如果搞促销活动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量）m 万件与年促销费用x 万元（0≥x ）满足123+-=x m ．已知2011年生产该产品的前期投入需要8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（定价不考虑促销成本）．（1）若2011年该产品的销售量不少于2万件，则该产品年促销费用最少是多少？（2）试将2011年该产品的年利润y （万元）表示为年促销费用x （万元）的函数，并求2011年的最大利润．17．（满分20分）本题有2小题，第1小题12分，第2小题8分．设)(x f 为定义域为R 的函数，对任意R ∈x ，都满足：)1()1(-=+x f x f ，)1()1(x f x f +=-，且当]1,0[∈x 时，.2)(2x x x f -=（1）请指出)(x f 在区间]1,1[-上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论；（2）试证明)(x f 是周期函数，并求其在区间)Z ](2,12[∈-k k k 上的解析式．18．（满分20分）本题有3小题，第1小题5分，第2小题7分，第2小题8分．已知数列{n a }中，2121==a a ，，且)0,2()1(11>≥-+=-+q n qa a q a n n n ． （1）设)N (*1∈-=+n a a b n n n ，证明：数列{n b }是等比数列；（2）试求数列{n a }的通项公式；谢谢大家。
2010年上海高考数学试题及答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、 不等式042>+-xx 的解集为_______________； 2、 若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3、 若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4、 行列式6cos 3sin6sin3cosππππ的值为_________； 5、 圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________；6、 随机变量ξ的概率分布率由下图给出：x7 8 9 10 P(x =ξ) 0.3 0.35 0.2 0.15则随机变量ξ的均值是__________；7、2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。
8、对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 。
9、从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P （结果用最简分数表示）。
10、在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
2010年全国高考文科数学试题及答案-上海(word版)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4AB =则m = 。
2.不等式204x x ->+的解集是 。
3.行列式cossin66sin cos 66ππππ的值是 。
4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。
5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。
若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个个体。
6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 。
7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。
8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 。
9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 。
10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。
11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。
12.在n 行m 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
2010年高考数学上海卷(秋季)文科全解析
第 1 页 共 7 页2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）解析 重庆合川太和中学 杨建一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =U 则m = 2 。
解析：考查并集的概念，显然m=22.不等式204xx ->+的解集是 {}24|<<-x x 。
解析：考查分式不等式的解法204xx ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<23.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 0.5 。
解析：考查行列式运算法则cossin 66sincos66ππππ=213cos 6πsin 6πsin 6πcos6πcos ==-π 4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+ i 26- 。
解析：考查复数基本运算z z z ⋅+=i i i i 2621)21)(21(-=-++-5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。
若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 20 个个体。
解析：考查分层抽样应从C 中抽取20102100=⨯6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 96 。
解析：考查棱锥体积公式9683631=⨯⨯=V 7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 3 。
解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯第 2 页 共 7 页8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 y 2=8x 。
2010年上海高考数学文科试卷带详解
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B = 则m = . 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出两个集的并集，根据集合的定义求元素. 【参考答案】2【试题解析】显然m =2. 2.不等式204xx ->+的解集是 . 【测量目标】解一元二次不等式.【考查方式】直接给出分数不等式，求不等式的解集. 【参考答案】{}24|<<-x x 【试题解析】204xx ->+等价于（x -2）(x +4)<0,所以4x -<<2. 3.行列式ππcossin 66ππsin cos 66的值是 .【测量目标】行列式的运算.【考查方式】直接给出行列式，根据行列式运算法则求值. 【参考答案】0.5 【试题解析】ππcossin66ππsin cos 66=πππππ1cos cos sin sin cos 666632-==.4.若复数12i z =-（i 为虚数单位），则z z z += .【测量目标】复数的基本运算.【考查方式】直接给出复数z ，求其共轭复数，进而根据运算法则求值. 【参考答案】62i -【试题解析】z z z += (12i)(12i)12i 62i -++-=-.5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个体. 【测量目标】分层抽样.【考查方式】给出样本，根据分层抽样求样本的个体. 【参考答案】20【试题解析】从C 中抽取20102100=⨯. 6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =则该四棱椎的体积是 . 【测量目标】锥的体积.【考查方式】直接给出四棱锥的底面边长和高的值，利用椎体体积公式求体积. 【参考答案】96 【试题解析】9683631=⨯⨯=V . 7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = . 【测量目标】点到直线的距离公式.【考查方式】给出圆一般方程，得到圆心坐标，根据点到直线的距离公式求解. 【参考答案】3【试题解析】圆心（1,2）到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯.8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 .【测量目标】抛物线的定义及其标准方程.【考查方式】给出符合抛物线定义的动点数据，利用代数关系求动点的轨迹方程. 【参考答案】y 2=8x【试题解析】P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，p =2所以其方程为y 2=8x. 9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 . 【测量目标】反函数的概念和性质.【考查方式】直接给出函数，求其反函数，进而得出交点坐标. 【参考答案】(0,-2)【试题解析】函数3()log (3)f x x =+的反函数为33-=xy ，另x =0，有y =2-. 10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率 为 （结果用最简分数表示）. 【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】给出等可能事件，利用排列组合求概率.【参考答案】351【试题解析】“抽出的2张均为红桃”的概率为213252C 3C 51=.11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园.在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 . 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图的逻辑结构，得到S 与a 的数量关系. 【参考答案】S ←S +a.【试题解析】依步骤得S ←S +a.12.在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中， 第11 题图 记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅.当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+= . 【测量目标】矩阵的定义.【考查方式】给出矩阵的行和列，求出各对角元素值，最后求和. 【参考答案】45【试题解析】11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=1+3+5+7+9+2+4+6+8=45.13.在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为，1(2,1)e =、 2(2,1)e =-分别是两条渐近线的方向向量.任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+ （a 、 b ∈R ），则a 、b 满足的一个等式是 .【测量目标】双曲线的几何性质，平面向量的线性运算.【考查方式】根据给出的方向向量，求出渐进线的方程，从而得到双曲线的标准方程，再利 用平面向量得到点到坐标原点的向量坐标求出啊，a ，b 关系. 【参考答案】4ab =1.【试题解析】1(2,1)e = 、2(2,1)e =-是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为.x y 21±=，又1,2,5==∴=b a c (步骤1) 双曲线方程为1422=-y x ，12OP ae be =+ =),22(b a b a -+，1)(4)22(22=--+∴b a b a ，化简得4ab =1 . （步骤2）14.将直线1:10l x y +-=、2:0l nx y n +-=、3:0l x ny n +-=（n ∈*N ，2n …）围 成的三角形面积记为n S ，则lim n n S →∞= .【测量目标】简单的极限运算.【考查方式】直接给出直线方程，观察图形得出可行域代数关系，利用极限求最小值. 【参考答案】12【试题解析】B )1,1(++n n n n 所以BO AC ⊥，（步骤1） n S =)1(21)2221(221+-=-+⨯⨯n n n n 所以lim n n S →∞=12 . (步骤2)二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩…………的目标函数z x y =+的最大值是 ( )A .1B .32C.2D.3 【测量目标】线性规划求目标函数的最值.【考查方式】直接给出约束条件，利用线性规划求目标函数的最大值.【参考答案】C 【试题解析】当直线z x y =+过点B (1,1)时，z 最大值为2. 16.“()π2π4x k k =+∈Z ”是“tan 1x =”成立的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】充要条件的判定. 【考查方式】充分，必要条件. 【参考答案】A 【试题解析】ππtan(2π)tan 144k +==，所以充分；但反之不成立，如5πtan 14=. 17.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 ( ) A.（0，1） B.（1，1.25） C.（1.25，1.75） D.（1.75，2）【测量目标】二分法的计算.【考查方式】根据给出的函数，构造新的函数，将选项带入新函数得到答案. 【参考答案】D【试题解析】04147lg)47()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数. 02lg )2(>=f 知0x 属于区间（1.75，2）.18.若ABC △的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC △ ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形内角正弦的比值，从而得到三角形边长的比值，利用余弦定理得到 余弦值，最后判断角的大小. 【参考答案】C【试题解析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得::a b c =5:11:13由余弦定理得22251113cos 02511C +-=<⨯⨯，所以角C 为钝角. 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分） 已知π02x <<，化简：2πlg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x +-+--+ .【测量目标】三角函数的诱导公式，对数的化简和计算.【考查方式】给出计算式，通过三角函数的变换，化简，再根据对数的基本运算求值. 【试题解析】原式=2lg(sin cos )lg(cos sin )lg(sin cos )0x x x x x x +++-+=．20.（本满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该 最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出 用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.【测量目标】平面图形的直观图和三视图，柱体的面积.【考查方式】写出含未知量底面积代数式，利用函数的知识求最值，根据空间想像能力绘制 较为准确三视图. 【试题解析】(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l ，则l =1.2-2r (0<r <0.6)， (2) 23π(0.4)0.48πS r =--+， （步骤1） (3) 所以当r =0.4时，S 取得最大值约为1.51平方米； (4) 当r =0.3时，l =0.6，作三视图． （步骤2）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个小题满分8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n ∈*N(1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . 【测量目标】数列的通项公式与前n 项和n S 的关系.【考查方式】给出数列前n 项和的代数关系式，证明等比数列，进而求出等比数列的前n 和， 利用比较大小求解.【试题解析】(1) 当n =1时，a 1=-14；当2n …时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-， （步骤1）又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ，得151156n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（步骤2）从而1575906n n S n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(n ∈*N )； （步骤3）由S n +1 > S n ，得156522,log 114.96525n n -⎛⎫<>+ ⎪⎝⎭≈，最小正整数n =15．（步骤4） 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m . （1）若21x -比3接近0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：22a b ab +比33a b +接近2 （3）已知函数()f x 的定义域{}π,,D x x k k x ≠∈∈Z R .任取x D ∈，()f x 等于1sin x +和1sin x -中接近0的那个值.写出函数()f x 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）. 【测量目标】解一元二次不等式，不等式的基本性质，函数的单调性与最值，奇偶性和周期.. 【考查方式】给出条件求符合条件自变量的取值范围.满足条件的绝对不等式相互之间比较大小.根据函数的奇偶，周期性，以及最小值求解函数的单调区间. 【试题解析】(1) x ∈(-2,2)； （步骤1）(2) 对任意两个不相等的正数a 、b，有223322a b ab a b ab +>+>（步骤2）因为2233222()()0a b ab a b a b a b +--+-=-+-<，（步骤3）所以223322a b ab a b +-<+-，即a 2b +ab 2比a 3+b 3接近2(3) 1sin ,(2ππ,2π)()1|sin |,π1sin ,(2π,2ππ)x x k k f x x x k x x k k +∈-⎧==-≠⎨-∈+⎩,k ∈Z ，（步骤4） f (x )是偶函数，f (x )是周期函数，最小正周期T =π，函数f (x )的最小值为0，(步骤5) 函数f (x )在区间π(π,π)2k k -单调递增，在区间π(π,π+)2k k 单调递减，k ∈Z ．（步骤6） 23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆Γ的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(0,)A b 、(0,)B b -和(,0)Q a 为Γ的三顶点.（1）若点M 满足1()2AM AQ AB =+，求点M 的坐标；（2）设直线11:l y k x p =+交椭圆Γ于C 、D 两点，交直线22:l y k x =于点E .若2122b k k a=- ，证明：E 为CD 的中点；（3）设点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，如何构作过PQ 中点F 的直线l ，使得l 与椭圆Γ的两个交点1P 、2P 满足12PP PP PQ += 12PP PP PQ +=？令10a =，5b =，点P 的坐标是（-8，-1），若椭圆Γ上的点1P 、2P 满足12PP PP PQ +=，求点1P、2P 的坐标. 【测量目标】平面向量的线性运算，直线方程和椭圆标准方程，直线和椭圆的位置关系，椭圆中的探索性问题.【考查方式】通过向量坐标的基本运算求M.根据直线方程和椭圆方程的位置关系，解出两直线的斜率代数关系，再进行证明.根据向量等式的关系以及直线和椭圆方程的线性关系求出坐标.【试题解析】(1) (,)22ab M -；（步骤1）(2) 由方程组122221y k x p x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得方程2222222211()2()0a k b x a k px a p b +++-=，因为直线11l y k x p =+：交椭圆Γ于C 、D 两点， 所以∆>0，即22221a k b p +-＞0，设C (x 1,y 1)、D (x 2,y 2)，CD 中点坐标为(x 0,y 0)，(步骤2)则212102221201022212x x a k px a k b b p y k x p a k b ⎧+==-⎪+⎪⎨⎪=+=⎪+⎩， 由方程组12y k x py k x=+⎧⎨=⎩，消y 得方程(k 2-k 1)x =p ，（步骤3）又因为2221b k a k =-，所以2102222112202221a k p px x k k a k b b p y k x ya kb ⎧==-=⎪-+⎪⎨⎪===⎪+⎩，（步骤4） 故E 为CD 的中点；(3) 因为点P 在椭圆Γ内且不在x 轴上，所以点F 在椭圆Γ内，可以求得直线OF 的斜率k 2，由12PP PP PQ += 知F 为P 1P 2的中点，根据(2)可得直线l 的斜率2122b k a k =-，从而得直线l 的方程．（步骤5）1(1,)2F -，直线OF 的斜率212k =-，直线l 的斜率212212b k a k =-=-，解方程组22112110025y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y ：x 2-2x -48=0，解得P 1(-6,-4)、P 2(8,3)．（步骤6）。
闸北区2010学年度第一学期高三数学定位考答案
闸北区2010学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷答案 2011.1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．x -； 5．31； 6．4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{. 二、11．C ． 12．D ． 13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=，)3,4(--=b ，若5=b ，则)3,1(-=． ……………………………………………………2分 所以，1010||||cos =⋅=AB AO A ， …………………………………………………….2分 所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….2分 【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….2分综上所述，)425,4(∈b ． ..………………………………………………2分（2）【解一】若A ∠为锐角，则0>⋅AB AO ，即09164>++-b ，得425<b ．.….2分若B ∠为锐角，则0>⋅，即0)4(>--b b ，得0<b 或4>b ．……………….2分若O ∠为锐角，则0>⋅，即04>b ，得0>b ．………………...………………..2分 综上所述，)425,4(∈b ．..……………………………………………………………………2分 【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得22,1=-==EB AB AE DE ，….2分 所以，.3222212213122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分 （2）【解一】如图所示，以B 为原点，分别以线段BC 、BA 所在的直线为x 轴、z 轴，通过B 点，做垂直于平面ABCD 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．………………….1分 由题意，得)2,0,0(A ，)22,0,1(D ，)0,sin ,(cos 'θθC ，)22,sin ,(cos 'θθD ， ………2分 )22,sin ,(cos '-=θθAD ，)22,sin ,1(cos '--=θθDC若''DC AD ⊥，则021sin )1(cos cos 2=++-θθθ， (4)得23cos =θ，与1cos 1≤≤-θ矛盾， (1)故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)【解二】取BA 的中点E ，连DE ，E C '，则E DC '∠（或其补角）就是异面直线''DCAD 与所成的角． (1)在E DC '∆中，26''==AD EC ，1==CB DE ，.cos 22cos 2112'θθ-=-+=CC .3分 .cos 225)cos 211(212'22'θθ-=-++=+=CC DC DC .…….………….…………. .2分 02cos 232cos ''''22'2''>⋅-=⋅-+=∠∴DC ECD C EC DE EC DC E DC θ，.…….….…….…………. .2分 故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)16．解：（1）由题意可知，当0=x 时，1=m （万件），由13+-=x km 可得2=k ．所以123+-=x m ．………………………………………………………………………….3分由题意，有2123≥+-=x m ，解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元）， 所以，2011年的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(8411628+--=x x ． ……………………………………………….4分 因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ， 所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数；.………………………………………………………………………1分最大值为38、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分 单调递增区间：];1,0[单调递减区间：]0,1[-；...…………………………………………1分 零点：0=x ．.…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.33)(xxx f --= 设]1,0[21∈x x ，，21x x <，)3333()33()()(21212121x x x x x x x f x f ⋅-+-=-)3311)(33(2121x x x x ⋅+-=证明)(x f 在区间]1,0[上是递增函数由于函数x y 3=是单调递增函数，且03>x恒成立，所以03321<-xx ，0331121>⋅+x x， 0)()(21<-∴x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是增函数．…………………………………………………….4分证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数【证法一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x0)()()()(2121>---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是减函数． …………………………………………………..4分 【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得 .33)()(x x x f x f -=-=-以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数 ………………………………………..4分 （2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分 当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以.33)2()()(22k x xk x k f x f x f ---=-=-=………………………………………….4分 18．解：（1）【解一】由)0,2()1(11≠≥-+=-+λλλn b b b n n n 得， )(11-+-=-n n n n b b b b λ．又1121=-=b b a ，0≠λ，0≠n a ．所以，{n a }是首项为1，公比为λ的等比数列，1-=n n a λ．…………………………….5分由)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n b b b b b b b b ，得)2(121≥+⋅⋅⋅++=--n b b n n λλ所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ……………………………………………….6分 上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………..1分【解二】猜测1-=n n a λ，并用数学归纳法证明 …………………………………………….5分 n b 的求法如【解一】 ………………………………………………………………………..7分 【解三】猜测⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ，并用数学归纳法证明 ………………………….7分 1-n 1λ=-=+n n n b b a …………………………………………………………………..5分（2）当1=λ时，3b 不是6b 与9b 的等差中项，不合题意；……………………………….1分当1≠λ时，由32b 96b b +=得02258=-+λλλ，由0≠λ得0236=-+λλ（可解得32-=λ）..…………………………………………2分对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项． .………………………………….2分 证明：0)2(1263163=---=-+-++λλλλn n n n b b b ，263+++=∴n n n b b b ， .………………………………….3分 即，对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项．闸北区2010学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷答案 2011.1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．)0(2≥-x x ； 5．31； 6．4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{； 二、11．C ．12．D ．13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=，)3,4(--=b ，若5=b ，则．………………………………………………………………………… ….2分 所以，1010cos ==A ， …………………………………………………….2分 所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….3分 【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….3分（2）【解一】若A ∠为钝角，则0<⋅AB AO ，…………………………………………….3分即09164<++-b ，…………………………………………………….……………2分解得425>b ，故，),425(+∞∈b ． ..…………………………………………………2分【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得2,2=-==EB AB AE DE ，….2分所以，.321622223122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分 （2）连接''CC DD ，，有6'==AD AD ，θcos 882'2'-==CC DD ，………….3分由题意，得22'2'AD AD DD +=， ……………….…………………….………………….2分 即12cos 88=-θ ……………….………………….……………….………………….2分21cos -=θ，）（或 12032πθ=． ……………….………………….……………….………………….2分 16．解：（1）由题意，有2123≥+-=x m ， …………………………………………….3分 解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元）， 所以，2011年的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(84 11628+--=x x ． ……………………………………………….4分 因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ， 所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数； .………………………………………………………………………1分 最大值为2、最小值为0； .…………….……………………………………………………1分 单调递增区间：]0,1[-，单调递减区间：];1,0[ ...………………………………………1分 零点：0=x ． .…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.2)(2x x x f -=设]1,0[21∈x x ，，21x x <，221<+x x ，0)2)(()2()2()()(212122212121>-+-=---=-x x x x x x x x x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是递减函数． ………………………………………………….4分以下证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数． 【证明一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x 0)()()()(2121<---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数． ………………………………………………...4分 【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得.2)()(2x x x f x f +=-=以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数 ………………………………………..4分 （2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分 当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以).1(4)21(2)2(2)2()2()()(22-+-+=---=-=-=k k k x x k x k x k f x f x f 4分 18．解：（1）由)0,2()1(11≠≥-+=-+q n qa a q a n n n 得， )(11-+-=-n n n n a a q a a ，即)2(1≥=-n qb b n n ．又1121=-=a a b ，0≠q ，0≠n b ．所以，{n b }是首项为1，公比为q 的等比数列．…………………………………………..5分（2）由（1）有，1-=n n q b)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n a a a a a a a a)2(12≥+⋅⋅⋅++=-n q q n所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111q n q qq a n n ……………………………………………..6分 上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………1分（3）1=q 符合题意；…………………………………………………………………………2分若1≠q ，11111-->--+n n q q q 0)111)(1(1>-+--qq n ………………………………………………………………………2分⎪⎩⎪⎨⎧>-+>--0111,011q q n 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--.0111,011q q n 解得：)2,1()1,0( ∈q ………………………………………………………………………..3分综上，)2,0(∈q ………………………………………………………………………………..1分。
2010年高考数学上海卷(秋季)文科全解析
2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =则m = 2 。
解析：考查并集的概念，显然m=22.不等式204xx ->+的解集是 {}24|<<-x x 。
解析：考查分式不等式的解法204xx ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<23.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 0.5 。
解析：考查行列式运算法则cossin 66sincos66ππππ=213cos 6πsin 6πsin 6πcos6πcos ==-π 4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+ i 26- 。
解析：考查复数基本运算z z z ⋅+=i i i i 2621)21)(21(-=-++-5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。
若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 20 个个体。
解析：考查分层抽样应从C 中抽取20102100=⨯6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 96 。
解析：考查棱锥体积公式9683631=⨯⨯=V 7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 3 。
解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线3440x y ++=距离为3542413=+⨯+⨯8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为y 2=8x 。
解析：考查抛物线定义及标准方程定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y 2=8x9.函数3()l o g (3)f x x=+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是(0,-2) 。
2010年上海高考文科数学试题答案
2010年上海高考文科数学试题答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B = 则m = 2 。
解析：考查并集的概念，显然m=22.不等式204x x ->+的解集是 {}24|<<-x x 。
解析：考查分式不等式的解法204x x ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4<x<23.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 0.5 。
解析：考查行列式运算法则cossin 66sincos66ππππ=213cos6πsin6πsin6πcos6πcos==-π4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= i 26- 。
解析：考查复数基本运算z z z ⋅+=i i i i 2621)21)(21(-=-++-5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。
若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 20 个个体。
解析：考查分层抽样应从C 中抽取20102100=⨯6.已知四棱椎P A B C D -的底面是边长为 6 的正方形，侧棱P A ⊥底面A B C D ，且8P A =，则该四棱椎的体积是 96 。
轨迹方程为 y 2=8x 。
解析：考查抛物线定义及标准方程定义知P 的轨迹是以(2,0)F 为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y 2=8x9.函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 (0,-2) 。
解析：考查反函数相关概念、性质法一：函数3()log (3)f x x =+的反函数为33-=x y ，另x=0，有y=-2法二：函数3()log (3)f x x =+图像与x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数3()log (3)f x x =+的反函数的图像与y 轴的交点为（0，-2）10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率 为351（结果用最简分数表示）。
【VIP专享】闸北区2010学年度第二学期高三数学word版
闸北区2010学年度第二学期高三数学（文科）期中练习卷考生注意：1．本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚．3．本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．已知和都是纯虚数,那么 ．z iz -+12=z 2．函数的单调递增区间为 ．)cos(sin x x y --=π)R (∈x 3．某高中共有在读学生430人，其中高二160人，高一人数是高三人数的2倍．为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高二学生32人，则该样本中的高三学生人数为 ．4．在平面直角坐标系中，到点和到直线距离相等的动点的轨迹方程为 xOy )0,2(-A 2=x ．5．下列三个命题：①若，则； ②若，，则||||-=+0=⋅≠⋅=⋅；③若，则．其中真命题有．（写出所有真命题的=||||||=⋅//序号）6．有一公园的形状为，测得千米，千米，，则该公园ABC ∆3=AC 1=AB 60=∠B 的占地面积为 平方千米．7．设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为的球面上，则该正方体的体积为 π12．8．设是R 上的奇函数，是R 上的偶函数，若，则函数)(x f )(x g x x g x f 2)()(=+的值域为 ．)()(x g x f -9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球颜色不同的概率为______．（用分数作答）10．若函数无零点，则的取值范围为 ．x x f a x log 2)(|3|-=-a 11．设，，则的取值范围为．2log log ==y x b a 2=+b a y x +二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．设R ，则 “” 是“” 的 【 】∈b a ,b a >33b a >A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．不充分也不必要条件13．以下四个命题：①正棱锥的所有侧棱相等；②直棱柱的侧面都是全等的矩形；③圆柱的母线垂直于底面；④用经过旋转轴的平面截圆锥，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命题的个数为 【 】A ．4B ．3C ．2D ．114．一林场现有树木两万棵，计划每年先砍伐树木总量的，然后再种植2500棵%10树．经过若干年如此的砍伐与种植后，该林场的树木总量大体稳定在 【 】A ．18000颗B ．22000颗C ．25000颗D ．28000颗15．已知，，O 为坐标原点，动点满足，其中)1,2(-A )1,1(-B P n m +=，且，则动点的轨迹是 【 】R ∈n m 、2222=-n m P A ．焦距为的椭圆 B ．焦距为的椭圆332C ．焦距为的双曲线D ．焦距为的双曲线332三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分．设函数，.)12(log )(2+=x x f R ∈x （1）求的反函数；)(x f )(1x f -（2）解不等式.)(2x f )5log (21+≤-x f 17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分． 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为2元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的销售价为元（）时，一年的a 62≤≤a x 97≤≤x 销售量为万件．)12(x -（1）求该分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；L x （2）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润最大，并求的最大L L 值．)(a Q18．（满分15分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题8分．如右图，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、ABCD 'O O 下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知，圆E 60E DO '=∠柱侧面积等于．π16（1）求圆柱的体积；V （2）求异面直线与所成角的大小．BE DO θ19．（满分16分）本题有2小题，第1小题8分，第2小题8分．在数列中，，，其中．}{n a 51=a 2431+-=+n a a n n *N ∈n （1）设，证明数列是等比数列；n a b n n 2-=}{n b （2）记数列的前项和为，试比较与的大小．}{n a n n S n S 20112+n 20．（满分18分）本题有2小题，第1小题9分，第2小题9分． 在中，、为定点，为动点，记、、的对边分别为、、ABC ∆A B C A ∠B ∠C ∠a b ，已知，． c 2=c 12cos 2=C ab （1）证明：动点一定在某个椭圆上，并求出该椭圆的标准方程；C （2）设点为坐标原点，过点作直线与（1）中的椭圆交于两点，若O B l M N ，，求直线的方程．ON OM ⊥l高三数学（文科）期中练习卷评分标准与参考答案一、1. ； 2．； 3．18； 4．；i 2Z k k k ∈+-],42,432[ππππx y 82-= 5．①③； 6．； 7．8； 8．；23)0,(-∞ 9．； 10．； 11．．1811),3(+∞),2(+∞二、12. C ； 13．B ； 14．C ；15．D ． 三、16．解：（1），． ………………………………5分)12(log )(21-=-x x f ),0(+∞∈x （2）由，得)(2x f )5log (21+≤-x f ，且，05log 2>+x )12(log 22+x )12(log 5log 22-≤+x ， ………………………………………………………………5分0223)2(22≤+⨯-∴x ，221≤≤∴x 10≤≤⇒x 综上，得． ………………………………………………………………2分10≤≤x 17．解：（1）该分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式为：L x ，．………………………………………………………6分)12)(2(x a x L ---=]9,7[∈x （2）当时，此时，，42<≤a 92148<+≤a 所以，当时，的最大值， ………………………………3分214+=a x L 4)10()(2a a Q -=当时，此时，，64≤≤a 102149≤+≤a 所以，当时，的最大值．…………………………………………3分9=x L )7(3)(a a Q -=答：若，则当每件产品售价为元时，该分公司一年的利润最大，最大42<≤a 214+a L 值；若，则当每件产品售价为9元时，该分公司一年的利润4)10()(2a a Q -=64≤≤a 最大，最大值．………………………………………………………2分L )7(3)(a a Q -=18．解：（1）设圆柱的底面半径为，由题意，得r ππ1622=⨯r r 解得：．…………………………………………………5分2=r ……………………………2分.1622ππ=⨯=∴r r V （2）连接，由于，B O 'DO B O //'所以，即为与所成角， …………………1分'EBO ∠BE DO θ过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，，E F FB FO 由圆柱的性质，得为直角三角形，四边形为矩形，EFB ∆OF EO '，由，由等角定理，得52BO '==DO 60E DO '=∠ 60AOF =∠所以， 120BOF =∠可解得， …………………………………………………………………………2分32F =B 在中，………………………………………………2分EFB ∆Rt 72FB EF BE 22=+=由余弦定理， ………3分.7035112cos '2'2'2=⨯⨯-+=EO BO EO BO BE θ.703511arccos =∴θ19．解：（1）由得， …………………3分2431+-=+n a a n n )2(3)1(21n a n a n n -=+-+又，，得， ………………………………3分0121≠=-a 02≠-n a n 32)1(21=-+-+n a n a n n 所以，数列是首项为3，公比为3的等比数列， ………………………………2分}2{n a n -（2），n n n n n a n a 3232+=⇒=-，…………………………………………………………………2分)1()13(23++-=n n S n n …………1分)34025323(232011)1()13(23201122-+=--++-=--n n n n n S n n n 设函数，x x f x 323)(+=由于和都是R 上的增函数，所以是R 上的增函数．…1分x y 3=x y 32=x x f x 323)(+=又由于，， 34025733)6(<=f 3402536575)7(>=f 所以，当时，，此时，；………2分}6,5,4,3,2,1{∈n 34025)6()(<≤f n f <n S 20112+n 所以，当且时，，此时，．………2分*N ∈n 7≥n 34025)7()(>≥f n f >n S 20112+n 20．解：（1）在中，由余弦定理，有， ……………1分PAB △C ab b a cos 22222-+=，…………………………3分2222cos 12)cos 1(24||2>=+=++=+C ab C ab b a 所以，点的轨迹是以为焦点，长轴长的椭圆．…… ………………1分P C A B ，222=a 如图，以、所在的直线为x 轴，以、的中点为坐标原点建立直角坐标系．A B A B 则，和．(10)A -，(10)B ，椭圆的标准方程为：．………………………………………………………4分C 1222=+y x （2）设，11()M x y ，22()N x y ，①当垂直于轴时，的方程为，不符题意．………………………………1分MN x MN 1x =②当不垂直于轴时，设的方程为．MN x MN (1)y k x =-由得：，………………………………2分⎪⎩⎪⎨⎧-==+)1(,1222x k y y x 0)1(24]21[2222=-+-+k x k x k 所以，．2221214k k x x +=+222121)1(2k k x x +-=⋅于是：． ……………2分22212122122121]1)([)1)(1(k k x x x x k x x k y y +-=++-=--=⋅因为，所以，ON OM ⊥0=⋅所以， ………………………………………………………2分021*******=+-=⋅+⋅kk y y x x 所以，， ……………………………………………………………………1分2±=k 所以，直线的方程为：……………………………………………………1分l ).1(2-±=x y。
2010年上海各区高三二模数学试题分类汇编第4部分三角函数
2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编第4部分:三角函数一、选择题：16．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)将函数1002cos 11sin 3)(x x x f -=的图像向右平移)0(>a a 个单位，所得图像的函数为偶函数，则a 的最小值为 ( D )A ．65πB ．32πC ．3πD ． 6π13．（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）已知mx =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x【 C 】 A ．m2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±二、填空题：2．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）函数arcsin y x =（01x ≤≤）的值域为 ．[0,]2π 3．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文理科）若tan 34απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值等于 ．12 5．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文理科）函数sin cos 3y x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期T = ．π 5．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试文科）函数2sin cos 3cos2y x x x =-的最小正周期T = ．π2、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）函数x x y cos sin =的最小正周期是_________。
π6．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）函数222cos y x x =+的最小正周期=T ．p9．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）如右图所示，角α的 终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的第9题图点)53,(cos αA ，则=-ααsin cos ．75-7．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文科）函数sin(2)cos(2)36y x x ππ=+++的最小正周期T= ．p7、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）函数3cos 6sin 2)(2++=x x x f 的最大值为_______98、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）在ABC ∆中，060=∠A ，,5=AB 且35=∆S ，则BC的长为._______214. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)已知3c o s 5x =，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则t a n 2x = . 24713. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)如图，在ABC △中，2AB =，BC =，34ABC π∠=. 以点B 为圆心，线段BC 的长为半径的半圆分别交AB 所在直线于点E 、F ，交线段AC 于点D ，则弧CD 的长约为 .（精确到0.01）3.138. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试文科)敲击一次音叉A 所发出的声波可用函数()11sin 4001000y t π=⋅描述，敲击一次音叉B 所发出的声波可用函数()23sin 3601250y t π=⋅描述，则两个音叉所发出的音量较大的是 .(填入A 或B) B2．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）已知△ABC 中，3c o t 4A =-，则第13题图FAEBcos A =_______________.35-9．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科）ABC ∆中，已知2AB =，AC =ACB∠的最大值为_______________.4π4. （上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）函数])2,0[(2cos 2sin π∈+=x x x y 的值域为 . ]2,1[-1. （上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）若33cos =α，则=α2cos 31-.2．（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）函数sin cos y x x =+的最小正周期为 . π=T4．（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）若sin(2)cos(2)y x x αα=+++为奇函数，则最小正数α的值为 .43πα=8．（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）[理科]在ABC ∆中，若2,3,4===c b a ，则ABC ∆的外接圆半径长为 . 1515814．（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）[文科] 已知ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且543=⋅+⋅+⋅，则ABCS ∆=. 65（2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）[理科]已知O 是∆ABC 的外心，2=AB ，3=AC ，21+=x y ，若=⋅+⋅AO x AB y AC ，(0)xy ≠，则cos ∠=BAC . 34三、解答题20．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=．（1）求边长a 的值； （2）若3sin ABC S A ∆=，求角A 的大小（结果用反三角函数值表示）．20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解 (1)根据正弦定理，sin sin B C +=可化为b c +=． ………3分联立方程组1)a b c b c ⎧++=+⎪⎨+=⎪⎩，解得4a =． …………………6分所以，边长4a =． …………………………7分 (2)3sin ABC S A∆=，∴1sin 3sin 62bc A A bc ==，． ………………………………10分又由(1)可知，b c +=∴22222()21cos 223b c a b c bc a A bc bc +-+--===． ……………………13分 因此，所求角A 的大小是1arccos3． ………………………14分21、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）（1）已知)2,0(,πβα∈，且1tan tan <⋅βα，比较βα+与2π的大小；（2）试确定一个区间D ，)2,2(ππ-⊆D ，对任意的α、D ∈β，当2πβα<+时，恒有βαcos sin <；并说明理由。
上海市闸北区高三数学上学期期末练习卷(文)沪教版 新课标 试题
上海市闸北区2010届高三上学期期末练习卷数学（文科）考生注意：1. 本次测试有试题纸和答题纸，作答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效．2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．3. 本试卷共有20道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．若x x f 3)(=，则=-)(1x f．2．若 00210221=--x x ，则=x ．3．若指数函数)(x f 的图像经过点)41,2(，则)1(-f 的值为 ．4．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是_________．（用数字作答）5．若=||a 1||=b ，且||3||b a b a -=+，则a 与b 夹角为 ．6．某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30方向，它向正北方向航行24海里到达B 处，看灯塔S 在北偏东75方向．则此时货轮到灯塔S 的距离为 海里．7．若用与球心距离为1的平面去截球面，所得圆的面积为π，则球的表面积为 ． 8．不等式ax x 4|1||1|≥++-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 ．9．若11=b ，对于任何*∈N n ，都有0>n b ，且0)12(21221=---++n n n n b b n b nb ．则=20102log b ．10．方程组⎩⎨⎧-==|)2(|,1x x y xy 共有 组解．11．在等比数列}{n a 中，若21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 ．二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 12．135(21)lim(21)n n n n →∞++++-+= 【 】A ．14 B ．12C ．1D ．2 13．若4tan =α，31cot =β，则=+)tan(βα 【 】A ．711-B ．711C ．713- D ．71314．设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是 【 】A ．βαβα⊥⊥,//,b aB ．βαβα//,,//⊥b aC ．βαβα//,,⊥⊥b aD ．βαβα⊥,//,//b a15．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定}4,3,2,1{=A ，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有 【 】A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16．（满分12分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题6分．已知复数1z 满足()i z i +=+311，复数0z 满足4010=+⋅z z z ． （1）求复数0z ；（2）设0z 是关于x 的实系数方程02=+-q px x 的一个根，求p 、q 的值． 17．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是菱形，⊥PA 平面ABCD ，1=AB ， 1=⋅AC PA ，)900( ≤<=∠θθABC ．（1）若90=θ，E 为PC 的中点，求异面直线PA 与BE 所成角的大小；（2）试求四棱锥ABCD P -的体积V 的最小值．18．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．设x x x f 2sin 3cos 2)(2+=，a x x f x g +++=)125(21)(π，其中a 为非零实常数．（1）若31)(-=x f ，]3,3[ππ-∈x ，求x ；（2）试讨论函数)(x g 在R 上的奇偶性与单调性，并证明你的结论．19．（满分16分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题9分．一校办服装厂花费2万元购买某品牌运动装的生产与销售权．根据以往经验，每生产1百套这种品牌运动装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额)(x R （万元）满足：⎪⎩⎪⎨⎧>--≤<-+-=.5397.14508.02.44.0)(2x x x x x x R ， ，， （1）该服装厂生产750套此种品牌运动装可获得利润多少万元？（2）该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大？此时，利润是多少万元？ 20．（满分19分）本题有3小题，第1小题5分，第2小题7分，第3小题7分．记数列}{n a 的前n 项和为n S ，所有奇数项之和为'S ，所有偶数项之和为''S ． （1）若}{n a 是等差数列，项数n 为偶数，首项11=a ，公差23d =，且-''S 15S '=，求n S ； （2）若无穷数列}{n a 满足条件：①n S 531S 1n -=+)(*∈N n ，②'''S S =．求}{n a 的通项； （3）若}{n a 是等差数列，首项01>a ，公差*∈N d ，且36S '=，27S ''=，请写出所有满足条件的数列．高三数学（文科）评分标准与参考答案（2010.1）一、 1．x 3log ； 2．4-； 3．2；4．15； 5．3π； 6．212；7．π8 8．]21,(-∞； 9．2009； 10．3； 11．(][),13,-∞-+∞；11. 【解】∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=； 当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭二、12．B ；13．A ； 14．B ； 15．D ．15. 【解】“孤立元”是1的集合：}1{、}4,3,1{； “孤立元”是2的集合：}2{； “孤立元”是3的集合：}3{；“孤立元”是4的集合：}4{、}4,2,1{；三、16．解：（1）因为()i z i +=+311，所以i iiz -=++=2131，…………………2分 设()R b a bi a z ∈+=,0，且4010=+⋅z z z .所以()()42=-+-+bi a i bi a ()()43=-++⇒i a b b a …………………2分由两复数相等的定义得：⎩⎨⎧=-=+043a b b a ，解得⎩⎨⎧==11b a ………………………1分所以复数i z +=10. …………………………1分（2）由题意，得i -1是实系数方程02=+-q px x 的根， ………………………2分 所以2)1()1(=-++=i i p …………………………………………………………2分2)1()1(=-⋅+=i i q ……………………………………………………………2分17．解：（1）设O 为PC 的中点，连接OE ，则PA OE //，OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成角…1分⊥PA 平面ABCD ⊥∴OE 平面ABCDBOE ∆∴为直角三角形…………………………2分90=θ，1=AB ，2=∴AC又1=⋅AC PA ，22=∴PA 42=∴OE ，22=BO ………………………2分 所以，异面直线PA 与BE 所成角2arctan =∠OEB …………………………1分（2）由已知，四边形ABCD 的面积θsin =S ， ………………………………………1分 由余弦定理可求得θcos 22-=AC ，…………………………………………………1分∴θcos 221-=PA ，……………………………………………………………………1分∴θθcos 22sin 31-⋅=V ……………………………………………………………………1分 解1：θθθcos 162cos 1sin 622+⋅=-⋅=V …………………………………………2分所以，当0cos =θ，即90=θ时，四棱锥ABCD V -的体积V 的最小值是62．…2分 解2：θθcos 1sin 62-⋅=V 2sin 2sin 62θθ⋅=2cos 312sin 22cos 2sin 262θθθθ=⋅= ………2分 所以，当0cos =θ，即90=θ时，四棱锥ABCD V -的体积V 的最小值是62．…2分 18．解：（1）由已知x x x f 2sin 3cos 2)(2+=)62sin(21π++=x ，………………………………………………2分由31)62sin(21-=++πx 得：23)62sin(-=+πx ，………………………………1分33ππ≤≤-x ，65622πππ≤+≤-x …………………………………………………1分 362ππ-=+∴x ，4π-=x ． …………………………………………………2分（2）由已知，得212sin )(++-=a x x x g ，……………………………………………2分 ① 当21-=a 时，对于任意的R x ∈，总有 )()2sin ()2sin()(x g x x x x x g -=--=---=-，∴)(x g 是奇函数．…………………………………………………… 2分（没有过程扣1分）②当21-≠a 时， )2()2(ππ-±≠g g 或)()(ππ-±≠g g 等 所以，)(x g 既不是奇函数，又不是偶函数．………………………2分（没有过程扣1分）)6()0(πg g >，故)(x g 不是单调递增函数， …………………………………………1分又 )2()6(ππg g <，故)(x g 不是单调递减函数．………………………………………1分∴)(x g 既不是单调递减函数，也不是单调递增函数． （没举反例扣1分）注：用求导的方法做对给满分 令02cos 21)(=-=x x g ‘，6ππ±=k x ，易得：)(x g 在区间))(6,6(Z k k k ∈+-ππππ上递增，在区间))(65,6(Z k k k ∈+-ππππ上递减．19．解：（1）2.325.71)5.7(=-⨯-R ， …………………………………………6分 所以，生产750套此种品牌运动装可获得利润2.3万元…………………………………1分 （2）由题意，每生产x （百件）该品牌运动装的成本函数2)(+=x x G ，所以，利润函数⎪⎩⎪⎨⎧>---≤≤-+-=-=)5(,397.12)50(,8.22.34.0)()()(2x x x x x x x G x R x f 当50≤≤x 时，6.3)4(4.0)(2+--=x x f ， …………………………………3分故当4=x 时，)(x f 的最大值为6.3． ……………………………………………1分 当5>x 时，7.3]39)3[(7.9)(≥-+--=x x x f ，……………………………………3分 故当6=x 时，)(x f 的最大值为7.3． ……………………………………………1分所以，生产600件该品牌运动装利润最大是3.7万元 …………1分 20．解：（1）若数列}a {n 项数n 为偶数，由已知，得-''S 22315S 'n⋅==，…………3分 解得20=n ，…………………………………………………………………………………1分.3052321920201S n =⨯⨯+⨯=……………………………………………………………1分 （2）n S 531S 1n -=+ )(*∈N n ①1n 531S --=∴n S )2(≥∈*n N n ， ②①减去②得：531-=+n n a a ． ……………………………………………2分 所以数列}a {n 是从第二项开始的无穷等比数列，公比53-=q ，且1||0<<q 由题意，得221'1S q q a a -+=，22''1S q a -=，……………………………………………2分'''S S =，221251a q a a =+=∴， ……………………………………………1分 又n S 531S 1n -=+ )(*∈N n ，55821=+∴a a 211=∴a ……………………………………………………………………………………1分 所以，对应的数列的通项为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-==-2)53(511212n n a n n ………………………………1分（3）假设数列}a {n 项数n 为偶数，-''S 02S '>⋅=d n与9S '''-=-S 矛盾．故数列}a {n 项数n 不为偶数，………………1分 解法1：设数列}a {n 项数12n +=k （N k ∈），则)1(2S 1211231'+⋅+=+⋅⋅⋅++=++k a a a a a k k k a a a a a kk ⋅+=+⋅⋅⋅++=2S 22242''k k a a a a 22121+=++ ，27361'''=+=∴k k S S ，解得3k =，项数7132n =+⨯=， ……………………………………………2分d a S S S ⋅⨯+==+=2677631'''7 ，931=+∴d a ， 0391>-=d a ，3<∴d ．又*N d ∈，所以，1=d 或2=d ．当1d =时，6a 1=，此时，51)1(6+=⋅-+=n n a n ，所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．……………………………………………2分 当2d =时，3a 1=，此时，122)1(3+=⋅-+=n n a n所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．……………………………………………2分解法2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-++=⋅-++++27221()(362211)(1()1(11d k k d a k d k k a k ））⎩⎨⎧=⋅+=+++2736)1()1(211d k ka kd k a k ，解得3=k ，项数7132n =+⨯=，……………………2分 d a S S S ⋅⨯+==+=2677631'''7 ， 931=+∴d a ， 0391>-=d a ，3<∴d ．又*N d ∈，所以，1=d 或2=d ．当1d =时，6a 1=，此时，51)1(6+=⋅-+=n n a n ，所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．……………………………………………2分 当2d =时，3a 1=，此时，122)1(3+=⋅-+=n n a n所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．……………………………………………2分。
闸北区2010学年度第一学期高三数学定位考答案
闸北区2010学年度第一学期高三数学（理科）期末练习卷答案 2011.1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．x -； 5．31； 6．4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{. 二、11．C ． 12．D ． 13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=，)3,4(--=b ，若5=b ，则)3,1(-=． ……………………………………………………2分 所以，1010||||cos =⋅=AB AO A ， …………………………………………………….2分 所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….2分 【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….2分综上所述，)425,4(∈b ． ..………………………………………………2分（2）【解一】若A ∠为锐角，则0>⋅AB AO ，即09164>++-b ，得425<b ．.….2分若B ∠为锐角，则0>⋅，即0)4(>--b b ，得0<b 或4>b ．……………….2分若O ∠为锐角，则0>⋅，即04>b ，得0>b ．………………...………………..2分 综上所述，)425,4(∈b ．..……………………………………………………………………2分 【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分．15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得22,1=-==EB AB AE DE ，….2分 所以，.3222212213122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分 （2）【解一】如图所示，以B 为原点，分别以线段BC 、BA 所在的直线为x 轴、z 轴，通过B 点，做垂直于平面ABCD 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系．………………….1分 由题意，得)2,0,0(A ，)22,0,1(D ，)0,sin ,(cos 'θθC ，)22,sin ,(cos 'θθD ， ………2分 )22,sin ,(cos '-=θθAD ，)22,sin ,1(cos '--=θθDC若''DC AD ⊥，则021sin )1(cos cos 2=++-θθθ， (4)得23cos =θ，与1cos 1≤≤-θ矛盾， (1)故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)【解二】取BA 的中点E ，连DE ，E C '，则E DC '∠（或其补角）就是异面直线''DCAD 与所成的角． (1)在E DC '∆中，26''==AD EC ，1==CB DE ，.cos 22cos 2112'θθ-=-+=CC .3分 .cos 225)cos 211(212'22'θθ-=-++=+=CC DC DC .…….………….…………. .2分 02cos 232cos ''''22'2''>⋅-=⋅-+=∠∴DC ECD C EC DE EC DC E DC θ，.…….….…….…………. .2分 故，不存在θ，使得''DC AD ⊥． (1)16．解：（1）由题意可知，当0=x 时，1=m （万件），由13+-=x km 可得2=k ．所以123+-=x m ．………………………………………………………………………….3分由题意，有2123≥+-=x m ，解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元）， 所以，2011年的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(8411628+--=x x ． ……………………………………………….4分 因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ， 所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数；.………………………………………………………………………1分最大值为38、最小值为0；.…………….……………………………………………………1分 单调递增区间：];1,0[单调递减区间：]0,1[-；...…………………………………………1分 零点：0=x ．.…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.33)(xxx f --= 设]1,0[21∈x x ，，21x x <，)3333()33()()(21212121x x x x x x x f x f ⋅-+-=-)3311)(33(2121x x x x ⋅+-=证明)(x f 在区间]1,0[上是递增函数由于函数x y 3=是单调递增函数，且03>x恒成立，所以03321<-xx ，0331121>⋅+x x， 0)()(21<-∴x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是增函数．…………………………………………………….4分证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数【证法一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x0)()()()(2121>---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是减函数． …………………………………………………..4分 【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得 .33)()(x x x f x f -=-=-以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递减函数 ………………………………………..4分 （2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分 当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以.33)2()()(22k x xk x k f x f x f ---=-=-=………………………………………….4分 18．解：（1）【解一】由)0,2()1(11≠≥-+=-+λλλn b b b n n n 得， )(11-+-=-n n n n b b b b λ．又1121=-=b b a ，0≠λ，0≠n a ．所以，{n a }是首项为1，公比为λ的等比数列，1-=n n a λ．…………………………….5分由)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n b b b b b b b b ，得)2(121≥+⋅⋅⋅++=--n b b n n λλ所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ……………………………………………….6分 上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………..1分【解二】猜测1-=n n a λ，并用数学归纳法证明 …………………………………………….5分 n b 的求法如【解一】 ………………………………………………………………………..7分 【解三】猜测⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111λλλλ n b n n ，并用数学归纳法证明 ………………………….7分 1-n 1λ=-=+n n n b b a …………………………………………………………………..5分 （2）当1=λ时，3b 不是6b 与9b 的等差中项，不合题意；……………………………….1分当1≠λ时，由32b 96b b +=得02258=-+λλλ，由0≠λ得0236=-+λλ（可解得32-=λ）..…………………………………………2分对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项． .………………………………….2分 证明：0)2(1263163=---=-+-++λλλλn n n n b b b ，263+++=∴n n n b b b ， .………………………………….3分 即，对任意的*N n ∈，n b 是3+n b 与6+n b 的等差中项．闸北区2010学年度第一学期高三数学（文科）期末练习卷答案 2011.1一、1．2； 2．①③； 3．2； 4．)0(2≥-x x ； 5．31； 6．4143+；7．π315； 8．24； 9．}012|{<<--x x ； 10．}3,2,1{； 二、11．C ．12．D ．13．B .三、14．解：（1）【解一】)3,4(--=，)3,4(--=b ，若5=b ，则．………………………………………………………………………… ….2分 所以，1010cos ==A ， …………………………………………………….2分 所以，.541cos 22cos 2-=-=A A .……………………………………………………….3分 【解二】)cos(2cos B A A ∠+∠= .……………………………………………………….2分)cos(AOB ∠-=π.……………………………………………………….2分54cos -=∠-=AOB .…………………………………………………….3分（2）【解一】若A ∠为钝角，则0<⋅AB AO ，…………………………………………….3分即09164<++-b ，…………………………………………………….……………2分解得425>b ，故，),425(+∞∈b ． ..…………………………………………………2分【解二】用平面几何或解析几何的方法同样给分15．解：（1）如图，作AB DE ⊥，则由已知，得2,2=-==EB AB AE DE ，….2分所以，.321622223122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V ………………….………………….4分 （2）连接''CC DD ，，有6'==AD AD ，θcos 882'2'-==CC DD ，………….3分由题意，得22'2'AD AD DD +=， ……………….…………………….………………….2分 即12cos 88=-θ ……………….………………….……………….………………….2分21cos -=θ，）（或 12032πθ=． ……………….………………….……………….………………….2分 16．解：（1）由题意，有2123≥+-=x m ， …………………………………………….3分 解得1≥x ．所以，则该产品年促销费用最少是1万元． ………………………………………….4分 （2）由题意，有每件产品的销售价格为mm1685.1+⨯（元）， 所以，2011年的利润)168(]1685.1[x m mmm y ++-+⨯⋅= x m -+=84x x -+-⨯+=)123(84 11628+--=x x ． ……………………………………………….4分 因为0≥x ，8)1(116≥+++x x ， 所以2129829)]1(116[=+-≤++++-=x x y ， ………………………………………4分当且仅当1116+=+x x ，即3=x （万元）时，利润最大为21万元．…………………..1分17．解：（1）偶函数； .………………………………………………………………………1分 最大值为2、最小值为0； .…………….……………………………………………………1分 单调递增区间：]0,1[-，单调递减区间：];1,0[ ...………………………………………1分 零点：0=x ． .…………………………..……………………………………………………1分单调区间证明：当]1,0[∈x 时，.2)(2x x x f -=设]1,0[21∈x x ，，21x x <，221<+x x ，0)2)(()2()2()()(212122212121>-+-=---=-x x x x x x x x x f x f所以，)(x f 在区间]1,0[上是递减函数． ………………………………………………….4分以下证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数． 【证明一】因为)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数．对于任取的]0,1[21-∈x x ，，21x x <，有021>->-x x 0)()()()(2121<---=-x f x f x f x f所以，)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数． ………………………………………………...4分 【证法二】设]0,1[-∈x ，由)(x f 在区间]1,1[-上是偶函数，得.2)()(2x x x f x f +=-=以下用定义证明)(x f 在区间]0,1[-上是递增函数 ………………………………………..4分 （2）设R x ∈，)(]1)1[(]1)1[()2(x f x f x f x f =-+=++=+，所以，2是)(x f 周期． ……………………………………………………………4分 当]2,12[k k x -∈时，]1,0[2∈-x k ，所以).1(4)21(2)2(2)2()2()()(22-+-+=---=-=-=k k k x x k x k x k f x f x f 4分 18．解：（1）由)0,2()1(11≠≥-+=-+q n qa a q a n n n 得， )(11-+-=-n n n n a a q a a ，即)2(1≥=-n qb b n n ．又1121=-=a a b ，0≠q ，0≠n b ．所以，{n b }是首项为1，公比为q 的等比数列．…………………………………………..5分（2）由（1）有，1-=n n q b)()()(123121--+⋅⋅⋅+-+-=-n n n a a a a a a a a)2(12≥+⋅⋅⋅++=-n q q n所以，当2≥n 时，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+=-.1,,1,1111q n q qq a n n ……………………………………………..6分 上式对1=n 显然成立．………………………………………………………………………1分（3）1=q 符合题意；…………………………………………………………………………2分若1≠q ，11111-->--+n n q q q 0)111)(1(1>-+--qq n ………………………………………………………………………2分⎪⎩⎪⎨⎧>-+>--0111,011qq n 或⎪⎩⎪⎨⎧<-+<--.0111,011q q n 解得：)2,1()1,0( ∈q ………………………………………………………………………..3分综上，)2,0(∈q ………………………………………………………………………………..1分。
2010届上海市部分重点中学高三第二次联考数学试卷
上海市部分重点中学2010届高三第二次联考理科数学试卷一、填空题（每小题4分,共计56分） 1、()i i ⋅-21=_______________2、设集合{|02}M x x =≤<,2{|230}N x x x =--<，则集合M N ⋂等于___________ 3、已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =____________4、已知函数12)(+=xx f 的图象与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则方程()2g x =的解为_______________5、若5)a 的展开式中的第四项是310a ，（a 是大于零的常数），则实数x =____________6、曲线2sin (sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数)与曲线sin a ρθ⋅=有两个公共点，则实数a 的取值范围是___________ 7、若经过两点(1,0),(0,2)A B -的直线L 与圆222(1)(1)x y R -++=相切，则2R =_____________8、数列{}n a 中，若()1525nn nn a n ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩是奇数（是偶数） n n a a a S 2212+⋅⋅⋅++=,则2lim n n S →∞=________________9、在半径为30米的圆形广场上空设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面(过轴的截面)顶角为120︒，若要光源恰好照亮整个广场，则其高度为________________米10、阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为 ________________11、在盒子里有大小相同，颜色不同的乒乓球共5个，其中红球3个，白球2个，现从中任取出一球确定颜色后再放回盒子里，共取3次，则取得红球个数的数学期望为________________（用分数表示） 12、在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ︒∠=，AD 为BC 边上的高，点O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则λμ+的值为______________13、已知ABC ∆的三个顶点在以O 为球心的球面上，且cos 3A =, 1BC =,3AC =.若球的表面积为16π，则,A B 两点的球面距离是______________.14、右表给出一个“直角三角形数阵”：每一列成等差数列，从第三行起， 每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数 为()*,,ij a i j i j N ≥∈，则ij a =_______________二. 选择题（每小题4分,共计16分）15、已知集合22{(,)|(4)(5)4, ,R}M x y x y x y =-+-≤∈,26(,)|,37x N x y x y R y ⎧≤≤⎫⎧=∈⎨⎨⎬≤≤⎩⎩⎭则p M p N ∈∈“元素”是“元素”的A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D.非充分非必要 16、函数lg ||x y x=的图象大致是17、设函数xC x f -=1020)(，集合}10,9,,8,9,10{ ---=A ，判断)(x f 在A 上的奇偶性为A. 偶函数 B .奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 18、已知圆M ：22(cos )(sin )1x y θθ++-=，直线:kx l y =，下面四个命题①对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 相切； ②对任意实数k 和θ，直线l 和圆M 有公共点；③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切； ④对任意给定的实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切 其中真命题是A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④ 三. 解答题19、(本小题满分12分)已知()1,2a =-是过(8,0)A ，),(sin t x B 两点的直线的方向向量,其中)2,0[π∈x 。
[上海]2010年全国高考文科数学试题及答案.doc
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2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（文科）考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码2.本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1.已知集合{}1,3,A m =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B =则m = 。
2.不等式204xx ->+的解集是 。
3.行列式cossin 66sincos66ππππ的值是 。
4.若复数12z i =-（i 为虚数单位），则z z z ⋅+= 。
5.将一个总数为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5:3:2。
若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取 个个体。
6.已知四棱椎P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱椎的体积是 。
7.圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d = 。
8.动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 。
9.函数3()l o g (3)f x x=+的反函数的图像与y 轴的交点坐标是 。
10. 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张均为红桃”的概率为 （结果用最简分数表示）。
11. 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。
在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。
12.在n 行m 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。
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上海市闸北区2010届高三数学（理）学科模拟考试卷（2010.4）一、填空题（本题满分55分）本大题共有11题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．1.若在行列式31214053--a 中，元素a 的代数余子式的值是 .2. 已知a 是实数，1a i i-+是纯虚数，则=a . 3．在极坐标系中，点⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πP 到圆θρcos 2=的圆心的距离是________． 4. 函数])2,0[(2cos 2sin π∈+=x x x y 的值域为 .5．若无穷等比数列{}n a 的各项和等于21a ，则1a 的取值范围是 .6. 在C 2.20，细菌受到%5的消毒溶液消毒，每小时细菌的死亡率为%11．在此环境在对一批消毒对象进行消毒，要使细菌的存活率低于原来的%5，消毒时间最少为 小时.（结果四舍五入精确到1小时）7．如图所示，AOB Rt ∆绕直角边AO 所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系xyz O -中，点)0,0,2(和点)1,2,0(-均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为 .8．设曲线C 定义为到点)1,1(--和)1,1(距离之和为4的动点的轨迹．若将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转 45，则此时曲线C 的方程为_____________．[来源:学科网ZXXK]9．已知甲盒内有外形和质地相同的1个红球和2个黑球，乙盒内有外形和质地相同的2个红球和2个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取1个球．设ξ为取出的2个球中红球的个数，则ξ的数学期望=ξE _________．10.已知向量≠，1||≠，对任意R t ∈，恒有≥-||t ||-.现给出下列四个结论： ①b a //；②b a ⊥；③)(b a a -⊥，④)(b a e -⊥.则正确的结论序号为_____________．（写出你认为所有正确的结论序号）11．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的半焦距为c ．已知原点到直线l ：ab ay bx =+的距离等于141+c ，则c 的最小值为_________． 二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.12．设函数)12(l 2)(-=x g x f ，则)0(1-f的值为 【 】 A ．0 B ．1 C ．10D ．不存在 13．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x 【 】 A ．m 2 B ．m 2± C ．m 3D ．m 3± 14．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为 【 】15．已知方程)0(0)]([222222>>=---a b b a b x k a x b 的根大于a ，则实数k 满足【 】A ．a b k >||B ．a b k <||C ．b a k >||D ．ba k <|| 三、解答题（本题满分75分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．16.（满分12分）本题有2小题，第1小题5分，第2小题7分．设R x ∈，||)21()(x x f =.（1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数)(x f 的大致图像；（2）若不等式k x f x f ≤+)2()(对于任意的R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.17．（满分14分）本题有2小题，第1小题7分，第2小题7分．如图，在平行六面体1111D C B A ABCD -中，1=AD ，2=CD ，⊥D A 1平面ABCD ，1AA 与底面ABCD 所成角为θ，θ2=∠ADC ．（1）若 45=θ，求直线C A 1与该平行六面体各侧面所成角的最大值；（2）求平行六面体1111D C B A ABCD -的体积V 的取值范围．18．（满分14分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题8分．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人． [来源:学|科|网Z|X|X|K][来源:学&科&网]（1）若9=a ，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？[来源:]（2）为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？19．（满分16分）本题有2小题，第1小题6分，第2小题10分．如图，平面上定点F 到定直线l 的距离2||=FM ，P 为该平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且2||21QF FQ PQ =⋅．[来源:] （1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点P 的轨迹C 的方程； （2）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点N ，已知1λ=，2λ=，求证：21λλ+为定值．20．（满分19分）本题有3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题9分．已知定义在R 上的函数)(x f 和数列{}n a 满足下列条件：a a =1，12a a ≠，当*∈N n 且2≥n 时，)(1-=n n a f a 且)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ． 其中a 、k 均为非零常数．（1）若数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）令n n n a a b -=+1)(*∈N n ，若11=b ，求数列{}n b 的通项公式；（3）试研究数列{}n a 为等比数列的条件，并证明你的结论．说明：对于第3小题，将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性，给予不同的评分。
闸北区2009学年度第一学期高三数学（理科）2010.4一、1.2-； 2. 1； 3．3；4. ]2,1[-； 5．),1()1,21(+∞ ； 6. 26； 7．π316； 8．12422=+x y ； 9．65； 10.④； 11．4.二、12．B ； 13．C ； 14．A ； 15．A ．三、16.（1）（2）||)21()(x x f =，||2)21()2(x x f = ………………………………………1分[来源:学,科,网Z,X,X,K]对于任意R x ∈， k x x ≤+||2||)21()21(恒成立. 令]1,0()21(||∈=t x ，则t t y +=2（10≤<t ） ………………………3分 对称轴21-=t ，则当1=t 时，2max =y ，………………………………2分 所以2≥k 即可. ……………………………………………………………1分17．（1）由平行六面体的性质，知直线C A 1与该平行六面体各侧面所成角的大小有两个，其一是直线C A 1与侧面D D AA 11所成角的大小，记为α；其二是直线C A 1与侧面B B AA 11所成角的大小，记为β．45=θ，90=∠∴ADC ，即AD CD ⊥又⊥D A 1 平面ABCD ，D A CD 1⊥∴⊥∴CD 平面D D AA 11，所以，D CA 1∠即为所求．……………………………2分所以，2arctan =α………………………………1分分别以DA ，DC ，1DA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系xyz O -， 可求得)1,2,0(1-=A ，侧面B B AA 11的法向量)1,0,1(=， 所以，C A 1与所在直线的夹角为1010arccos 1010arccos 90-=∴ β或1010arcsin ． 所以，直线C A 1与侧面B B AA 11所成角的大小为1010arccos 90- 或1010arcsin ．…3分 综上，直线C A 1与该平行六面体各侧面所成角的最大值为2arctan ． …………1分（2）由已知，有θtan 1=DA ， …………………………………………………1分 由面积公式，可求四边形ABCD 的面积为θ2sin 2，…………………………………2分[来源:Z*xx*]平行六面体1111D C B A ABCD -的体积θθθ2sin 4tan 2sin 2=⋅=V ．……………2分 所以，平行六面体1111D C B A ABCD -的体积V 的取值范围为)4,0(． ……………2分18．（1）设从今年起的第x 年（今年为第1年）该企业人均发放年终奖为y 万元．则 )101,(800602000*≤≤∈++=x N x axx y ； ………………………………………4分 解法一：由题意，有310800602000≥++xx ，…………………………………………1分 解得，10340>≥x ．………………………………………………………………1分 所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．……………1分 解法二：由于101,*≤≤∈x N x ，所以01080040030310800602000<+-=-++xx x x …2分 所以，该企业在10年内不能实现人均至少3万元年终奖的目标．……………1分（2）解法一：设10121≤<≤x x ，则=-)()(12x f x f 22800602000ax x ++11800602000ax x ++-0)800)(800())(200080060(1212>++--⨯=ax ax x x a ，………………………………4分 所以，020*******>-⨯a ，得24<a ． ………………………………………2分所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． ……………………………………………………………………………………1分 解法二：)808060200060(1)800(8006080060602000800602000a x a a a x a a a x ax x y +⋅-+=+⋅-⋅++=++=[来源:Z|xx|]……………………………………………………………………………………4分 由题意，得0800602000<⋅-a，解得24<a ． ……………………………2分 所以，为使人均发放的年终奖年年有增长，该企业员工每年的净增量不能超过23人． ……………………………………………………………………………………1分19．（1）方法一：如图，以线段FM 的中点为原点O ， [来源:学科网]以线段FM 所在的直线为y 轴建立直角坐标系xOy ．则，)1,0(F ． ……………………………2分设动点P 的坐标为),(y x ，则动点Q 的坐标为)1,(-x)1,(y x PF --=，)1,0(y PQ --=， …………2分 由2||21=⋅，得)4(21)1(22+=+x y ，…2分 方法二：由2||21FQ QF QP =⋅得，||||PF PQ =．…………………………2分 所以，动点P 的轨迹C 是抛物线，以线段FM 的中点为原点O ，以线段FM 所在的直线为y 轴建立直角坐标系xOy ，可得轨迹C 的方程为：y x 42=．…………………………………………………………4分（2）方法一：如图，设直线AB 的方程为1+=kx y ，),(11y x A ，),(22y x B ，……1分 则)1,2(--kN . ……………………………………………………………………………1分联立方程组⎩⎨⎧+==,1,42kx y y x 消去y 得，0442=--kx x ，016)4(2>+-=∆k ，故 …………………………………………1分 ⎩⎨⎧-==+.4,42121x x k x x ……………………………………………………………………………1分 由1λ=，2λ=得，1112x k x λ-=+，2222x kx λ-=+，……………………………………………………2分 整理得，1121kx --=λ，2221kx --=λ， 0442222)11(2221212121=-⋅--=⋅+⋅--=+--=+k k x x x x k x x k λλ.…………………4分 方法二：由已知1λ=，2λ=，得021<⋅λλ. …………………2分 ||||21BF NB ⋅=λλ ① …………………………………………………3分[来源:Z|xx|]如图，过A 、B 两点分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A 、1B ， 11== ② …………………………………………………3分由①，②得021=+λλ.…………………………………………………………………2分20．（1）由已知)(1-=n n a f a ，)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n ，得 =-+n n a a 1)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ),4,3,2(⋅⋅⋅=n由数列{}n a 是等差数列，得=-+n n a a 11--n n a a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n所以，1--n n a a )(1--=n n a a k ，),4,3,2(⋅⋅⋅=n ，得1=k ．………………………5分（2）由0121≠-=a a b ，可得=-=232a a b .0)()()(1212≠-=-a a k a f a f且当2>n 时，=-=+n n n a a b 10)()()()(12111≠-=⋅⋅⋅=-=----a a ka a k a f a f n n n n n所以，当2≥n 时， =--=-+-111n n n n n n a a a a b b k a a a a k a a a f a f n n n n n n n n =--=------1111)()()(，………………………4分 因此，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列．…………………………………………1分（3）解答一：写出必要条件，如，由（1）知，当1=k 时，数列{}n a 是等差数列，所以1≠k 是数列{}n a 为等比数列的必要条件． ………………………………3分 解答二：写出充分条件，如x x f 2)(=或x x f 2)(-=等，并证明 ……………… 5分 解答三：{}n a 是等比数列的充要条件是kx x f =)()1(≠k ……………………2分 充分性证明：若kx x f =)()1(≠k ，则由已知01≠=a a ，)(1-=n n a f a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n 得 1-=n n ka a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n所以，{}n a 是等比数列．……………………………………………………………2分 必要性证明：若{}n a 是等比数列，由（2）知，)(121a a k b n n -=-)(*∈N n111212121)()()(a a a a a a a a b b b n n n n -=-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++--)2(≥n ，)(1211-+⋅⋅⋅+++=n n b b b a a ． …………………………………………1分当1=k 时，)1)((121--+=n a a a a n )2(≥n ．上式对1=n 也成立，所以，数列{}n a 的通项公式为：)1)()((--+=n a a f a a n )(*∈N n ．所以，当1=k 时，数列{}n a 是以a 为首项，a a f -)(为公差的等差数列．所以，1≠k ．……………………………………………………………………1分当1≠k 时，kk a a a a n n ---+=-11)(1121)2(≥n ． 上式对1=n 也成立，所以，k k a a f a a n n ---+=-11))((1kk a a f k a a f a n -----+=-1))((1)(1……………………1分 所以，01)(=--+ka a f a ka a f =⇒)(． …………………………………………1分 即，等式ka a f =)(对于任意实数a 均成立．所以，kx x f =)()1(≠k ．……………………………………………………………1分。