2014年北京市顺义区中考二模数学试卷

2014年北京顺义中考二模数学
一、选择题（共8小题；共40分）
1. 2014 年 5 月 4 日，在“百度搜索”的“手机型号排行榜”中显示，排名第一位的是苹果 iphone 5S，关
注指数为，将用科学记数法表示为 ( )
A. B. C. D.
2. 的平方根是 ( )
A. B. C. D.
3. 某中学九（1）班个同学在课间体育活动时进行分钟跳绳比赛，跳绳个数如下：，，
，，，．这组数据中，众数和中位数分别是 ( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4. 如图是由个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体 ( )
A. 主视图改变，左视图改变
B. 俯视图不变，左视图不变
C. 俯视图改变，左试图改变
D. 主视图改变，左视图不变
5. 从，，这三个数字中随机抽取两个，抽取的这两个数的和是奇数的概率是 ( )
A. B. C. D.
6. 如图，平分，，为垂足，，则的度数是 ( )
A. B. C. D.
7. 陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球
的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格（单位：元）为 ( )
A. B. C. D.
8. 如图，已知边长为的正方形，是边上一动点（与，不重合），连接，作
交的外角平分线于，设，的面积为，下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
9. 分解因式：．
10. 如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值为．
11. 如图，是的直径，点是圆上一点，，则．
12. 如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，，小球从点
出发沿直线向点运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第一次碰到边时，小球所经过的路程为；当小球第一次碰到边时，小球所经过的路程为；当小球第（为正整数）次碰到点时，小球所经过的路程为．
三、解答题（共13小题；共169分）
13. 计算：．
14. 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
15. 已知，如图，点，在线段上，，，．求证：．
16. 已知，求的值．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点
，已知，，点在直线上，反比例函数的图象经过点．
（1）求一次函数及反比例函数的解析式；
（2）结合图象直接写出当时，不等式的解集．
18. A，B 两地相距千米，甲从 A 地出发步行前往 B 地，分钟后，乙从 B 地出发骑车前往 A
地，且乙骑车的速度是甲步行速度的倍．乙到达A 地后停留分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙二人同时到达 B 地．求甲步行的速度．
19. 如图，在中，，分别是的中点，，过点作交的延
长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
20. 保障房建设是民心工程，某市从 2009 年加快保障房建设工程．现统计了该市从 2009 年到 2013
年这年新建保障房情况，绘制成如图 1，2 所示的折线统计图和不完整的条形统计图．
（1）小颖看了统计图后说：“该市2012 年新建保障房的套数比2011 年少了．”你认为小颖的说法正确吗?请说明理由；
（2）求 2012 年新建保障房的套数，并补全条形统计图；
（3）求这年平均每年新建保障房的套数．
21. 如图，是的外接圆，，过点作交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若的半径，，求线段的长．
22.
（1）问题：如图1，在中，平分，平分．若，则
；若，则．
（2）探究：
（i）如图2，在中，，三等分，，三等分．若，则；
（ii）如图3，在中，平分，平分外角．若，则
；
（iii）如图4，在中，平分外角，平分外角．若，则
．
23. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线与轴交点为，（点在点的右侧），与轴交于点．点为坐标原点，点在直线上，且，求点的坐标．
24. 在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，再将线段
平移到，使点在上，点在上．
（1）如图 1，直接写出和的度数；
（2）在图 1 中证明：；
（3）如图 2，连接，判断的形状并加以证明．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，，这条抛
物线的对称轴与轴交于点，点为射线上一个动点（不与点重合），点为此抛物线对称轴上一点，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式；（3）过点作，连接，为的中点，试求线段的最小值．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C
4. D
5. C
6. D
7. C 【解析】设有笑脸的气球一束元，有爱心的气球一束元．
可列方程为
解得
所以第三束气球的价格为元．
8. B 【解析】如图，过点作交的延长线于点，
四边形是正方形，，
，
，，
，
，
平分，
，设，
，
即，
第二部分
9.
10.
11.
12. ；；
【解析】如图，根据已知中的点，的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，
第二次碰撞点为，第三次碰撞点为，第四次碰撞点为，第五次碰撞点为，第六次碰撞回到点，
由勾股定理，可以得出，第二次碰撞到，路程为，，第次碰到路程为．
第三部分
13. 原式．
14. 去括号得
移项得
合并同类项得
系数化为得
把它的解集在数轴上表示为
15. ，
．
，
，即．
在和中
．
．
16.
，
，．
原式
17. （1）依题意得
解得
一次函数的解析式为．
点在直线上，
．
把代入反比例函数中，得．
反比例函数的解析式为．
（2）结合图象可知，当时，不等式的解集为．
18. 设甲步行的速度是千米/小时，
由题意得
解得
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：甲步行的速度是千米/小时．
19. （1），分别是，的中点，
，．
，
四边形是平行四边形．
，，
．
平行四边形是菱形．
（2）连接，交于点．
四边形是菱形，，
，．
是等边三角形．
．
．
．
菱形
20. （1）小颖的说法不正确．
理由：虽然 2012 年新建保障房套数的年增长率为，比 2011 年的年增长率低，但是 2012 年新建保障房套数还是比 2011 年增长了，
因此，小颖的说法不正确．
（2） 2012 年新建保障房套数（万套）．
补全统计图如图：
（3）（万套）．
答：这年平均每年新建保障房的套数是万套．
21. （1）连接，并延长交于点，交于点．
，
．
．
．
，
．
是半径，
是的切线．
（2）
是直径，，，
．
，
．
，
．
．
．
22. （1）；
【解析】平分，平分，
，，
，
，
，
，
同理，当时，
，
．（2）（i）；
（ii）．
（iii）．
【解析】如图2，，三等分，，三等分，
由（1）中的证明方法可知：，，
，
．
如图3，平分，平分外角，
，，
，，
如图4，平分外角，平分外角，
，，
，，
，，
，
．
23. （1），
方程总有两个实数根．
（2），
，．
方程有两个互不相等的负整数根，
．
或
．
为整数，
或或．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，但不是整数，不符合题意．
．
（3）如图，时，抛物线解析式为．
令，得，；
令，得．
，，．
．
．
设直线的解析式为，
直线的解析式为．
设，由勾股定理可得
整理得
解得
或或．
24. （1），．
（2）连接，．
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，．
是等边三角形．
．
线段平移到，
，．
四边形是平行四边形，．
，，
．
．
，．
．
，
．
．
（）．
．
（3）是等腰直角三角形．
证明：过点作于点．
，
．
．
，，
．
，
．
．
为的中点．
为的垂直平分线．
．
．
是等腰直角三角形．
25. （1）依题意得
解得
抛物线的解析式为，即．（2）抛物线的对称轴为．
．
，
，．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
过点作轴于点，轴，交于点，
点的横坐标为，
，．
，．
，即（3）连接，．
，为的中点，
．
，，
．
．
点在的平分线所在的直线上．
的最小值为点到直线的距离．
．
点到直线的距离等于．
的最小值为．。