中考探索性问题

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中考数学探索性问题答题策略——以江苏省部分地市中考试题为例

２０２４年４月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀中考数学探索性问题答题策略以江苏省部分地市中考试题为例◉江苏省仪征市实验中学东区校㊀王小琪◉江苏省仪征市月塘中学㊀雷业红㊀㊀摘要:数学探索是一种重要的研究问题㊁解决问题的方法,也是人们探索和发现新知识的重要手段,有利于培养和发展创造思维能力．探索性问题已成为近年来中考数学的热点题型,本文中结合中考真题,对常见的几种探索性问题进行了归类㊁整合与解析,帮助学生熟悉探索性问题的答题策略,掌握解答的方法与技巧．关键词:规律探索型;条件探索型;结论探索型;存在性探索型;尝试性解答㊀㊀初中数学课程标准要求教师引导学生通过实践㊁思考㊁探索㊁交流,获得知识,形成技能,发展思维,学会学习 ,探索性题型正是为了适应加强对学生综合能力考查的新形势,在近年来中考数学试题中出现的一种新颖的题型．探索性问题的解答过程本身就是一个探索㊁发现的过程,这一类问题对培养学生的创造性思维㊁想象能力㊁实践能力㊁探索创新能力有很大的帮助．１规律探索型解答规律探索类问题的策略是:运用化归思想,根据题目的设问方式,采用提出问题－分析问题－解决问题－深度思考逐步深入的模式分步解答;要善于从所提供的数字或图形信息中,寻求其内在的共同之处,找到这个存在于特殊之中的共性,也就找到了规律．例１㊀(２０２２年江苏省盐城市中考试题第２７题)ʌ发现问题ɔ小明在练习簿的横线上取点O为圆心,相邻横线的间距为半径画圆,然后半径依次增加一个间距画同心圆,描出了同心圆与横线的一些交点,如图１所示,他发现这些点的位置有一定的规律．ʌ提出问题ɔ小明通过观察,提出猜想:按此步骤继续画圆描点,所描的点都在某二次函数图象上．ʌ分析问题ɔ小明利用已学知识和经验,以圆心O 为原点,过点O的横线所在直线为x轴,过点O且垂直于横线的直线为y轴,相邻横线的间距为一个单位长度,建立平面直角坐标系,如图２所示．当所描的点在半径为５的同心圆上时,其坐标为．ʌ解决问题ɔ请帮助小明验证他的猜想是否成立．ʌ深度思考ɔ小明继续思考:设点P(０,m),m为正整数,以O P为直径画☉M,是否存在所描的点在☉M上?若存在,求m的值;若不存在,说明理由．图１㊀㊀㊀图２解析:对于分析问题 ,根据题意可知,所描的点在半径为５的同心圆上时,其纵坐标为y＝５－１＝４,横坐标x＝ʃ５２－４２＝ʃ３,所以点的坐标为(－３,４)或(３,４)．对于解决问题 ,设所描的点在半径为n(n为正整数)的同心圆上,则该点的纵坐标为(n－１),横坐标为ʃn２－(n－１)２＝ʃ２n－１,所以该点的坐标为(－２n－１,n－１)或(２n－１,n－１)．因为(ʃ２n－１)２＝２n－１,又n－１＝２n－１－１２,所以该点在二次函数y＝１２(x２－１),即y＝１２x２－１２的图象上．故小明的猜想正确．对于深度思考 ,假设该点在第二象限,坐标为(－２n－１,n－１),☉M的圆心坐标为(０,１２m),所以由(ʃ２n－１－０)２＋(n－１－１２m)２＝１２m解得m＝n２n－１＝(n－１＋１)２n－１＝(n－１)２＋２(n－１)＋１n－１＝n－１＋２＋１n－１．又因为m,n均为正整数,所以n－１＝１,于是m＝１＋２＋１＝４．７４学习指导２０２４年４月下半月㊀㊀㊀故存在所描的点在☉M 上,m 的值为４．思路与方法:本题考查了勾股定理㊁二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系等知识．在分析问题中,根据题意可得知该点的纵坐标为４,再利用勾股定理,即可求出该点的横坐标;在解决问题这一步中,设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上,即可推知该点的纵坐标为(n －１),利用勾股定理又可得出该点的坐标为(－２n －１,n －１)或(２n －１,n －１),利用点横㊁纵坐标间的关系,可得出该点在二次函数y ＝１２x ２－１２的图象上,进而即可验证小明的猜想正确;在深度思考中,先假设该点的坐标为(－２n －１,n －１),再根据☉M 的圆心坐标,结合勾股定理,用含n 的代数式表示出m 的值,最后结合m 与n 均为正整数,即可求出m ,n 的值．２条件探索型解答条件探索类问题的策略是:从结论出发,逆向追索,补充使结论成立的条件,当然很可能满足结论的条件不唯一．这也正是开放性探索问题的一大特点．具体的解题方法因题而异,具有多样性,值得我们不断探索．例２㊀(２０２２年江苏省苏州市中考全真模拟试题第２７题)(１)ʌ问题提出ɔ苏科版«数学»九年级(上册)习题２．１有这样一道练习题:如图３①,B D ,C E 是әA B C 的高,M 是B C 的中点,点B ,C ,D ,E 是否在以点M 为圆心的同一个圆上?为什么?在解决此题时,若想要说明点B ,C ,D ,E 在以点M 为圆心的同一个圆上 ,在连接MD ,M E 的基础上,只需证明．图３(２)ʌ初步思考ɔ如图３②,B D ,C E 是锐角三角形A B C 的高,连接D E ,求证øA D E ＝øA B C ．小敏在解答此题时,利用了圆的内接四边形的对角互补进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)(３)ʌ推广运用ɔ如图３③,B D ,C E ,A F 是锐角三角形A B C 的高,三条高的交点G 叫做әA B C 的垂心,连接D E ,E F ,F D ,求证:点G 是әD E F 的内心．解析:(１)根据圆的定义可知,当点B ,C ,D ,E 到点M 点距离相等时,则它们在圆M 上,所以只需证明M E ＝MD ＝M B ＝M C ．图４(２)如图４,取B C 的中点M ,连接M E ,MD ．由B D ,C E 是锐角三角形A B C的高,可知øB D C ＝øC E B ＝９０ʎ．在R t әB D C 中,因为M 是B C 的中点,所以MD ＝M B ＝M C ．同理,可得M E ＝M B ＝M C ．所以M B ＝M C ＝MD ＝M E ．故四边形B C D E 是☉M 的内接四边形．因此øE B C ＋øE D C ＝１８０ʎ．又øA D E ＋øE D C ＝１８０ʎ,所以øA D E ＝øE B C ,即øA D E ＝øA B C ．(３)证明:在圆M 的内接四边形B C D E 中,可知øC B D ＝øC E D ．在圆的内接四边形E F C A 中,øC A F ＝øC E F ．因为øC B D ＋øA C B ＝９０ʎ,øC A F ＋øA C B ＝９０ʎ,所以øC B D ＝øC A F ,则øC E D ＝øC E F ,即E G 平分øD E F ．同理,可知D G 平分øE D F ．所以点G 是әD E F 的内心．思路与方法:本题主要考查了有关三角形㊁圆的综合问题,熟练掌握三角形㊁圆的相关知识及证明方法是解题的关键．第(１)问根据圆的定义即可求解．第(２)问根据题意作图４,取B C 的中点M ,再连接M E ,MD ;首先求出øB D C ＝øC E B ＝９０ʎ,然后得出MD ＝M B ＝M C ＝M E ,即可证明四边形B C D E 是☉M 的内接四边形,进而求证即可．第(３)问,首先在圆的内接四边形B C D E 中,可知øC B D ＝øC E D ,在圆的内接四边形E F C A 中,可知øC A F ＝øC E F ,然后求出øC B D ＝øC A F ,即可得出øC E D ＝øC E F ,进而得出E G 平分øD E F ,同理D G 平分øE D F ,即可得证．３结论探索型解答结论探索类问题的策略是:采用执因索果的思路,从找原因开始,一步步顺推前进．由于解题思路和推导的角度不同,使得答案具有不确定性．图５例３㊀(２０２２年江苏省扬州市中考试题第２８题)如图５,在әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,øC ＝６０ʎ,点D 在B C 边上由点C 向点B 运动(不与点B ,C 重合),过点D 作D E ʅA D ,交射线A B 于点E ．(１)分别探索以下两种特殊情形时线段A E 与８４２０２４年４月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀B E 的数量关系,并说明理由:①点E 在线段A B 的延长线上且B E ＝B D ;②点E 在线段A B 上且E B ＝E D ．(２)若A B ＝６．①当D E A D ＝３２时,求A E 的长;②直接写出运动过程中线段A E 长度的最小值．解析:(１)①如图５,因为在әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,øC ＝６０ʎ,所以øA B C ＝３０ʎ．又B E ＝B D ,所以øB D E ＝１２øA B C ＝１５ʎ．所以øB D A ＝９０ʎ－øB D E ＝９０ʎ－１５ʎ＝７５ʎ．在әA B D 中,øB A D ＝１８０ʎ－øA B D －øB D A ＝１８０ʎ－３０ʎ－７５ʎ＝７５ʎ,则øB A D ＝øB D A ＝７５ʎ,所以A B ＝B D ＝B E ．故A E ＝２B E ．图６②如图６,因为B E ＝D E ,所以øE B D ＝øE D B ＝３０ʎ,则øA E D ＝６０ʎ．所以在R tәA D E中,øE A D ＝３０ʎ,于是A E ＝２E D ．故A E ＝２B E ．图７(２)①如图７,分别过点A ,E作B C 的垂线,垂足分别为G ,H ,易知әE G D ʐәD H A (一线三垂直)．设D E ＝３a ,A D ＝２a ,则有A E ＝D E ２＋A D ２＝７a ,B E ＝６－７a ．在R t әA B C 中,øA B C ＝３０ʎ,A B ＝６,则A C ＝A B ３＝２３,B C ＝２A C ＝４３．在R t әB E G 中,øE B G ＝３０ʎ,B E ＝６－７a ,则E G ＝B E ２＝３－７２a ．在R t әAH C 中,øC ＝６０ʎ,A C ＝２３,则AH ＝３A C２＝３,DH ＝A D ２－AH ２＝４a ２－９．由әE G D ʐәDHA ,得E D A D ＝E G DH ,于是有３２＝３－７２a ４a ２－９,解得a １＝３７５,a ２＝－３７(舍)．故A E ＝７a ＝２１５．②当øE A D ＝３０ʎ时,A E 最小,且最小值为４．思路与方法:本题考查几何综合问题,涉及到特殊直角三角形㊁相似㊁等腰三角形等知识,有一定的难度;解题的思路与方法主要体现在,能够根据题意作出图７,通过添加辅助线构造一线三垂直 ,运用三角形的相似性质来解决问题．４存在性探索型解答存在性探索类问题的策略是:先假设所探索的对象成立(即存在),再结合题设和已学过的知识进行计算㊁推理与判断．如果推出的结果符合题目要求,就肯定了存在性;如果推出的结果与题目条件或有关结论矛盾,这样就否定了存在性．图８例４㊀(２０２２年江苏省苏州市中考试题第２７题)如图８,在әA B C 中,øA C B ＝２øB ,C D 平分øA C B ,交A B 于点D ,DE ʊA C ,交B C 于点E ．(１)若D E ＝１,B D ＝３２,求B C 的长;(２)试探究A B A D －B ED E是否为定值．如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由．解析:(１)因为C D 平分øA C B ,所以øA C D ＝øD C B ＝１２øA C B ．又øA C B ＝２øB ,所以øA C D ＝øD C B ＝øB ．所以C D ＝B D ＝３２．又D E ʊA C ,则øA C D ＝øE D C ,所以øE D C ＝øD C B ＝øB ．所以C E ＝D E ＝１,әC E D ʐәC D B ．所以C E C D ＝C D C B ,则B C ＝９４．(２)因为D E ʊA C ,所以A B A D ＝B CC E ．由(１)可得C E ＝D E ,于是A B A D ＝B CD E．所以A B A D －B E D E ＝B C D E －B E D E ＝C E D E ＝１．故A B A D －B E D E 是定值,且定值为１．思路与方法:本题考查了相似三角形的性质与判定．第(１)问,先证明әC E D ʐәC D B ,再根据相似三角形的性质即可求解;第(２)问,由D E ʊA C ,可得A BA D＝B C D E ,由第(１)问可得C E ＝D E ,通过计算A B A D －B ED E ＝１可得证．由上述几类探索性问题的解答可知,解答探索性问题的思路与策略是:首先认真审题,在深刻理解题意的基础上,针对不同的题型,从不同的侧面㊁不同的角度,理清条件和结论之间㊁图形特征与数式特征之间的关系,然后运用观察㊁比较㊁类比㊁联想㊁猜想㊁证明㊁计算㊁推断等多种具体方法,进行尝试性解答．Z９４。

中考数学探索性问题的解法.doc

L_J 中考数学探索性问题的解法随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运血生的新题型, 这•类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。

探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。

一、结论探索型问题此类题型一般是在给定题设条件下探求结论，它要求学生在对题设条件或图形认真分析的基础上，进行归纳，大胆猜想，然后通过推理、计算获得结论。

例1、长方形的周长为24cm,面积为64cm2,则这样的长方体（）（A）有一个（B）有二个（C）有无数个（D）不存在a +b = 12解：设长方体的长为d,宽为b,贝U、址' = 64a> b可视为X2—12x+64=0的两个根•/ △二（一12） 2-4 X 64 = 144-256V0・.・该方程无实根即a、b不存在，因此选（D）a例2、在宽为a的纸带中剪出直径为a的圆5个，直径为5的圆10个，排列方法如图1,计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列方法节省原材料？ffll图2买•恩•收瓦潟暴圈3分析：通过图1观察易发现图中虚线部分具有典型性，为计算方便，取具有典型的部分（图2）进行分析，计算出结果。

易知，在等腰三角形ABC中，BC边上的高为AD,..a V2 a 今27+ 2 龙4 = 4a + — + — a 十一+ 2a = - a..•原排列方法使用纸带长为 2 2 4 4通过计算启发我们，如果把小圆分别插到大圆中，采用如下的排列方法，（如图3）这时纸带长为,a , 72 ° a ,3 ,9」、 3+18>/23 2 24 4 244- A = （6-4很）a a 0.344a可见改进后的排列方法比较合理例3、如图6、有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向点B、C、D、A移动。

中考数学专题复习5：探索性问题

中考数学专题复习5：探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，临沂）如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2－6－2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。

中考数学专题--探索性问题

AB 此时 A B > B C , k= BC > 1;
当△B G F 为直角三角形时, ∠B G F = 90°, ∴∠B A C = 45°. 此时 A B
AB = BC , k= BC = 1;
当△B G F 为钝角三角形时, ∠B G F > 90°, ∴∠B A C > 45°,
AB 此时 A B < B C , k= BC < 1,
1.(随州)如图,点 F,B,E,C 在同一直线上,并且 BF=CE,∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使△ABC≌△DEF,并给出证明. 提供的三个条件是①AB=DE;②AC=DF;③AC∥DF.
专题考点 01 条件探索问题
条件探索型是指所给问题中的结论明确,需要完备条件的题目类型.其解题基本思路类似于分析法,假设结论成立,逐步探索其成立的条件;或把可能产生的条件一一列出,逐个分析考查,多采用逆向思维方式.
例
(新疆)如图,▱ABCD 中,点 O 是 AC 与 BD 的交点,过点 O 的直线与 BA,DC
∴0< k< 1.
2.(福州中考)我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是 y=ax2+bx(a≠0). (1)对于这样的抛物线: 当顶点坐标为(1,1)时,a= ; ;
当顶点坐标为(m,m),m≠0 时,a 与 m 之间的关系式是
(2)继续探究,如果 b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线 y=kx(k≠0)上,请用含 k 的代数式表示 b;
( 2) 连接 E C , AF, 则 E F 与 A C 满足 E F = A C 时, 四边形 A E C F 是矩形, 理由如下: 由( 1) 可知△A O E ≌△C O F , ∴O E = O F . ∵A O = C O , ∴四边形 A E C F 是平行四边形, ∵E F = A C , ∴四边形 A E C F 是矩形.

例析中考中探索性问题

例析中考中探索性问题索性试题是近几年来中考比较常见的开放型试题，也是中考数学试题中出现的一种新题型。

今后的中考数学试题中必将继续出现这种题型，而且在质量上也会上一个新台阶。

一. 常见的问题的类型：1. 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。

2. 结论探索型——给定条件，但无明确结论或结论不惟一。

3. 存在探索型——在一定条件下，需探索发现某种数学关系是否存在。

4. 规律探索型——发现数学对象所具有的规律性与不变性的题目。

二. 常用的解题切入点：1. 利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置）进行归纳、概括，从而得出规律。

2. 反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4、类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、探索性问题归纳有四种题型:1、探索题设下的图形或数量之间的关系;2、探索解决问题的方法;3、探索图形具备某性质或关系的条件或结论;4、探索改变题设条件后结论是否变化.四、知识运用举例（一）条件探索型例1．（呼和浩特市中考）在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E F G H ，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 填加一个条件，使四边形EFGH 成为一个菱形．这个条件是__ ．解：AC BD =或四边形ABCD 是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）。

例2（荆门市中考）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_____________________．（2）如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．（3）在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为菱形，其理由是____________________________．(图3、图4用于探究)解：（1）是，此时AD BC ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（2）是，在平移过程中，始终保持AB C 1D 1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（3）33，此时∠ABC 1＝90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 3，此时点D 与点B 1重合，AC 1⊥BD 1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（二）结论探索型例1 （北京市中考）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．（2）答：与A ∠相等的角是BOD ∠（或COE ∠）．四边形DBCE 是等对边四边形．（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．证法一：如图1，作CG BE ⊥于G 点，作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点．∵ 12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边，∴BCF CBG △≌△． ∴ BF CG =．∵ BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠，BEC ABE A ∠=∠+∠，A BD E FG HCC ADBC AD BD 1B 1C ADB30︒30︒BDA C BO A DEC BOAD E C F图1G∴ BDF BEC ∠=∠．可证BDF CEG △≌△．∴ BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．证法二：如图2，以C 为顶点作FCB DBC ∠=∠，CF 交BE 于F 点．∵12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边， ∴ BDC CFB △≌△．∴ BD CF =，BDC CFB ∠=∠． ∴ ADCCFE ∠=∠．∵ADC DCB EBC ABE ∠=∠+∠+∠， FEC A ABE ∠=∠+∠，∴ ADC FEC ∠=∠．∴ FEC CFE ∠=∠． ∴ CF CE =． ∴BD CE =． ∴ 四边形DBCE 是等边四边形．说明：在结论探索题中，常见的一类就是探索存在性的问题，这类问题的特点是探求命题的结论是否存在。

中考规律探索题归纳总结

中考规律探索题归纳总结中考作为我国学生升入高中的重要考试，一直备受关注。

在备考过程中，除了掌握基础知识和解题技巧外，了解中考命题的规律也十分重要。

本文将对中考规律中的探索题进行归纳总结，帮助同学们更好地备考。

一、探索题的定义与特点探索题是中考题目中较为特殊的一类题型，与传统的选择题和填空题不同，它更注重考察学生的观察、分析、推理和实践能力。

在探索题中，通常会给出一定的背景信息、实验现象或问题，要求学生通过思考和实践，解答或解决问题。

探索题的特点主要有以下几个方面：1. 强调学生的动手能力：探索题往往需要学生进行实验、观察等操作，培养学生的实践能力和科学精神。

2. 强调学生的分析能力：通常会提出一些问题，要求学生根据给定的条件进行分析，得出结论或解决方法。

3. 培养学生的探索精神：探索题更多考察学生解决问题的思路和方法，培养学生的探索精神和创新意识。

二、探索题的常见形式和解题思路1. 实验探索题：要求学生根据实验现象分析，并进行实验加以验证，推理出结论。

解题思路：根据实验描述了解实验现象和背景，分析实验的目的、方法，进行实验操作，推理结果并写出结论。

2. 问题探索题：给出一些问题，要求学生思考并找出解决办法。

解题思路：仔细阅读问题，分析问题的关键点，积极思考并提出合理解决方案，给出解答。

3. 材料探索题：根据给定的材料或文段，分析问题并作出相关推理。

解题思路：认真阅读材料，理解材料提供的信息和背景，分析问题并进行相关推理，给出结论。

4. 实践探索题：要求学生通过实践操作解决问题，注重学生的动手能力和实践能力。

解题思路：认真阅读问题和给定条件，根据问题和条件进行实践操作，解决问题。

三、中考探索题的复习策略1. 熟悉题型和解题思路：通过大量练习，熟悉不同形式的探索题，掌握常见的解题思路和方法。

2. 注重实践能力培养：针对实验探索题和实践探索题，要多进行实践操作，培养学生的实践能力和动手能力。

3. 提高分析能力：通过解析常见的材料探索题和问题探索题，培养学生的分析能力和推理能力，提高解题技巧。

初中探索性问题教案

初中探索性问题教案教案概述：本教案旨在通过探索性问题，激发学生的思维潜能，培养学生的创新能力和解决问题的能力。

教学过程中，教师需要引导学生主动探究，积极思考，通过小组合作、讨论交流等方式，找到问题的答案。

教学目标：1. 培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

2. 培养学生团队合作、沟通交流的能力。

3. 培养学生创新思维、批判性思维的能力。

教学内容：1. 探索性问题：如何提高学生的学习效率？2. 教学方法：小组合作、讨论交流、PPT展示等。

教学步骤：1. 导入：教师通过一个有趣的例子，引出探索性问题：“如何提高学生的学习效率？”2. 小组讨论：学生分组，每组选择一个角度，进行讨论交流，寻找提高学习效率的方法。

3. 分享交流：每个小组选择代表，向全班同学分享他们的讨论成果。

其他同学可以对分享的内容进行评价、补充。

4. PPT展示：每个小组制作一份PPT，展示他们的探索过程和最终成果。

5. 总结：教师引导学生对各个小组的探索成果进行总结，筛选出提高学习效率的有效方法。

6. 课后作业：让学生根据自己的探索成果，制定一个提高学习效率的计划，并在课后进行实施。

教学评价：1. 学生参与度：观察学生在课堂上的参与情况，包括发言、讨论、展示等。

2. 学生创新能力：评价学生在探索过程中提出的新观点、新方法。

3. 学生团队合作能力：评价学生在小组合作中的表现，包括沟通交流、分工合作等。

4. 学生解决问题能力：评价学生对探索性问题的回答是否具有深度、广度。

教学反思：教师需要在教学过程中关注学生的反馈，根据学生的实际情况调整教学策略。

同时，教师也需要不断学习，提高自己的专业素养，以便更好地引导学生进行探索性学习。

通过本教案，学生能够培养探索问题的习惯，提高自己的学习效率，为未来的学习和生活打下坚实的基础。

九年级数学中考二轮复习—探索性问题

2010年中考数学二轮复习——探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（临沂）如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2－6－2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。

中考数学探索性问题的解法

中考数学探索性问题的解法随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运而生的新题型，这一类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。

探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。

1．长方形的周长为24cm ，面积为64cm 2，则这样的长方体（）（A ）有一个（B ）有二个（C ）有无数个（D ）不存在2．在宽为a 的纸带中剪出直径为a 的圆5个，直径为2a的圆10个，排列方法如图1，计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列方法节省原材料？3.如图6、有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 同时出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向点B 、C 、D 、A 移动。

（1）证明四边形PQEF 是正方形；（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时其面积有最大值、最小值，各是多少？4.如图7，在直角坐标系中，点O′的坐标为（2，0），⊙O′与x 轴交于原点O 和点A ，又B 、C 、E 三点的坐标分别为（－1，0），（0，3），（0，b ），且0<B<3。

（1）求点A 的坐标和经过B 、C 两点的直线的解析式；（2）当点E 在线段OC 上移动时，直线BE 与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时，b 的取值范围。

二、存在探索型问题这类问题是在题设条件下探索相应的数学对象是否存在，它要求学生充分利用题设条件，通常是先在“假设对象存在”的前提下，根据条件下进行计算或推理，从而对“是否存在的数学对象”作出正确推断。

中考探索规律题型总结

3.字母规律：考察字母序列中的规律。学生需要观察字母的顺序、间隔、组合等规律，找出规律并推测下一个或缺失的字母。
4.单词规律：考察单词序列中的规律。学生需要观察单词的拼写、词义、词性等规律，找出规律并推测下一个或缺失的单词。
5.颜色规律：考察颜色序列中的规律。学生需要观察颜色的变化、组合、重复等规律，找出规律并推测下一个或缺失的颜色。
解决"探索规律"Байду номын сангаас型的关键是仔细观察，寻找数字、图形、字母、单词或颜色之间的规律，并通过逻辑推理来得出答案。学生可以运用归纳、类比、比较等思维方法，训练自己的观察力和推理能力。
为了提高解决这类题型的能力，建议学生多做相关的练习题，积累经验，并注意总结不同类型的规律模式。此外，学生还可以培养自己的思维灵活性和逻辑推理能力，通过阅读、思考和讨论来提升对事物规律的敏感度。
在中考中，"探索规律"是一种常见的题型，主要考察学生观察、归纳和推理的能力。下面是对"探索规律"题型的总结：
1.数字规律：考察数字序列中的规律。学生需要观察数字之间的关系，找出规律并推测下一个或缺失的数字。
2.图形规律：考察图形序列中的规律。学生需要观察图形的形状、方向、大小、排列等特征，找出规律并推测下一个或缺失的图形。

中考探索型问题的解题思路-4页word资料

中考探索型问题的解题思路探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断补充并加以证明的题型。

探索型问题具有较强的综合性，解决此类问题需要用方程、函数图象及其性质、特殊四边形的性质、全等三角形等重点知识，这类题为中考常考题型，因此教学中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，确实提高分析问题、解决问题的能力。

下面谈谈探索性问题的分类和解题思路：一、条件探索型问题条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要探求此结论成立应具备的充分条件的问题。

解决这类问题的思路一般是从结论出发执果寻因，逆向推理逐步探寻结论成立的充分条件，或把结论可能产生的条件一一列出，逐个分析考查。

例1 （2011湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BF=CE，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件是___（只需写出一个）解析：本题是考查三角形全等判定方法的条件探索性问题，思路是利用全等三角形的多个条件思考、分析，并大胆猜想，寻求尽可能多的方法。

解题关键是由BF＝CE，可得BC＝EF，三角形全等具备了两个条件。

要证明△ABC≌△DEF，还需要一个条件，可补充AC=DF或∠B=∠E或∠A=∠D，分别根据SAS、ASA、AAS判定△ABC≌△DEF。

二、结论探索型问题结论探索型问题是指题目中结论不确定，不惟一，或题目结论需要类比、引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论。

解决这类问题的思路一般是从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因到果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求结论。

例2 （2011潍坊）一个y关于x的函数同时满足两个条件：①图象过（2，1）点；②当x>0时，y随x的增大而减小。

这个函数解析式为____________（写出一个即可）。

解析：本题考查函数知识的结论开放型试题，题目条件已确定，而结论不惟一。

我们目前所学的常见函数有一次函数、反比例函数、二次函数，结合其各自的概念性质和图像，可以得到不同的函数关系式。

中考数学复习专题探索性问题

[中考数学复习专题] 探索性问题:就是问题的条件或结论不直接给出，需要经过观察、分析、分类、推理、化归、特殊化、一般化、数形结合及猜想等一系列的探索活动，逐步确定要求的结论或条件．其命题方式主要有填空题、选择题和综合题，其中以综合题为主．下面结合具体题目进行分析.1、条件探索型：总体思路是采用分析法，把结论看作已知进行逆推，探索结论成立需要的条件．【例1】点D E ，分别在线段A B A C ，上，B E C D ，相交于点O AE AD=，，要使A B E A C D△≌△，需添加一个条件是（只要写一个条件）．【例2】求出一个二次函数，使得当时，当时，当时.【练习】1。

()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤(x y ，为整数)写出符合上述条件的点P的坐标______：．2. M,N,P,Q 分别是四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，当四边形ABCD 满足条件时，四边形MNPQ 为矩形；3.关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和为？若存在，求出满足条件的负数值，若不存在，请说明理由？2、结论探索型：解这类探索题的总体思路是先假定结论存在，并以此进行推理．【例1】如图①，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CD 切⊙O 于点C ，AD⊥CD，垂足为D ．(1)求证：AC 2=AB·AD； (2)若将直线CD 向上平移，交⊙O 于C 1、C 2两点，其他条件不变，可得到图②所示的图形，试探索AC 1、AC 2、AB 、AD 之间的关系，并说明理由；(3)把直线C 1D 继续向上平移，使弦C 1C 2与直径AB 相交（交点不与A 、B 重合），其他条件不变，请你在图③中画出变化后的图形，标好字母，并试着写与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明。

【例2】如图2－6－4所示，已知：直线m∥n，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点．（1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形______________；理由是：__________.（2）如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应的图形；（2）说明方案设计理由．【练习】（1）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________．（2）请你写一个先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解的结果．（3）已知E、F为平行四边形ABCD对角线DB的三等分点，连结AE并延长交CD于P，连结PF并延长交AB于Q．猜测AQ、BQ间的关系是．猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？3、存在性探索型【例1】如图，四边形O A B C是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边B C折叠，使点B落在边O A的点D处．已知折痕C E=，且3tan4E D A∠=．（1）判断O C D△与AD E△是否相似？请说明理由；（2）求直线C E与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线C E与x轴所围成的三角形和直线l、直线C E与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．例2 如图，已知O为坐标原点，∠AOB=300，∠ABO=900，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．【练习】1。

中考数学复习专题教案中考中的探索性问题[

中考复习专题教案——中考中的探索性问题江苏省清江中学钱旭东探索性问题主要是相对于封闭性问题而言的，它的形式多种多样，取材广泛。

近几年来，探索性问题在中考试卷中频频出现，成为中考试卷中的一个亮点。

解决这类问题，往往需要我们展开观察、试验、类比、归纳、猜想等一系列的探索活动。

通过探索性问题的解题活动，不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，有利于思维品质的提高，也有利于自主探索、创新精神的培养。

一、探索数据规律例1.(2003年北京市)观察下列顺序排列的等式:9×0＋1=1 9×1＋2=11 9×2＋3=21 9×3＋4=31 9×4＋5=41 猜想:第n 个等式(n 为正整数)应该为 . 答案：91109()n n n -+=-（或911011()()n n n -+=-+）例2．观察下列等式，你会发现什么规律？3×5＝15而15＝４２－15×7＝35而35＝6２－17×9＝63而63＝8２－1将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：。

答案：（2n －1）×（2n ＋1）＝(2n)2 －1说明：在解决这种探索数据规律的问题时，我们通常是先考察一些特殊的情况，通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论。

在解题的过程中，我们往往需要对题目中的数据进行适当变化，以使得数据的规律更加明显。

二、探索函数关系例3．(2004年常州市)用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形。

设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x 。

④③②①（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S 与x 之间的关系式。

答：S= 。

（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个格点。

初三数学第二轮总复习(7)探索性问题

10.探索：在如图①至图③中，三角形ABC的面积为a,
（1）如图①，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.若△ACD的面积为S，则S1=＿＿＿＿＿＿（用含a的代数式表示）；
（2）如图②，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD-BC，AE=CA，连接DE，若△DEC的面积为S，则S2=（用含a的代数式表示）并写出理由；
（3）在图②的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图③），若阴影部分的面积为S3，则S3=＿＿＿＿＿＿（用汗a的代数式表示）
发现：象上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图③），此时，我们称△ABC向外扩展了一次，可以发现，扩展后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的＿＿＿＿倍。
（1）我们知道图（a）的正方形木块有8个顶点、
12条棱、6个面，请你将图（b）（c）(d)
(e)中木块的顶点数、棱数、面数填入下表：
（2）根据上表，各种木块的顶点数、棱数、面数
之间的数量关系可以归纳出一定的规律，
请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式
3.如图①②③中，点E，D分别是正三角形ABC、正四边形AB-CM、正五边形ABCMN中以C为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于点P
（1）图①中∠APD的度数为________；
（2）图②中∠APD的度数为________，
图③∠APD的度数为_______；
（3）根据前面的探索，你能否将本题推
广到一般的正n变形情况？若能，写出推广的题目和结论：若不能，请说明理由。
4.一只青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的
格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为，

第4讲 (学生3份)中考专题-探索性问题

第4讲专题-探索性问题探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．考点精讲考点一：条件探究型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．典型例题例1 、如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为 60度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．对应训练1．如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．考点二：结论探究型此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论．典型例题例2 、已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=2CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=2CB．又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=2CB．（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=2时，则CD= ，CB=．对应训练2．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△AB C，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．考点三：规律探究型规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.典型例题例3 、观察方程①：x+2x=3，方程②：x+6x=5，方程③：x+12x=7．（1）方程①的根为：x1=1，x2=2；方程②的根为：x1=2，x2=3；方程③的根为：x1=3，x2=4；（2）按规律写出第四个方程： =9；此分式方程的根为：x1=4，x2=5；（3）写出第n个方程（系数用n表示）： =2n+1；此方程解是：x1=n，x2=n+1．对应训练3．如图，一个动点P在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到（1，1），第二次从（1，1）运动到（2，0），第三次从（2，0）运动到（3，2），第四次从（3，2）运动到（4，0），第五次从（4，0）运动到（5，1），…，按这样的运动规律，经过第2013次运动后，动点P的坐标是．考点四：存在性探究型此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．典型例题例4 、如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）FCEF的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．对应训练4．问题探究：（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．问题解决：（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．针对训练1、如图所示，点A、B在直线MN上，AB=11cm，⊙A、⊙B的半径均为1cm，⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0)，当点A出发后______________秒两圆相切.2、已知：如图，在 ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.（1）求证：BE=DG；（2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.3、正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值．4.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作EF∥BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作AD⊥AC 于D ．下列四个结论：①BOC=90°+12∠A；②以E 为圆心、BE 为半径的圆与以F 为圆心、CF 为半径的圆外切； ③设OD=m ，AE+AF=n ，则AEF S mn =△；④EF 不能成为△ABC 的中位线．其中正确的结论是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）5.已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△.当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．AD FCＢＯＥAE CF BD图1图3ADFECBADBCE 图2F6.如图，抛物线2=-++与x轴交与A(1，0)，B(-3，0)两点.y x bx c（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.7、如图，抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M ，使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍；（3）连结OA ，AB ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由．yx O AB8.如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2.（1）求EC∶CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P,（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（3）在图的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．充实自己，成功就在你的足下！11充实自己，成功就在你的足下！ 12 9.如图，已知：在O 中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是 BC上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC 、CF 、BD 、OD ．（1）求证：ACH AFC △∽△；（2）猜想：AH AF 与AE AB 的数量关系，并说明你的猜想；（3）探究：当点E 位于何处时，14?AEC BOD S S =△△::并加以说明．。

中考数学二轮复习：探索性问题

中考数学二轮复习：探索性问题六．探索性问题一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探索型，(2)结论探索型，(3)存在性探索型等.条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。

探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。

题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。

解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。

解题时应注意知识的综合运用。

二、理解掌握例一、已知：（如图）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的条件是_____（只填一个）.(答案：∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB2=APAC)说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。

例二、如图，☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分)结论1: PA=PB=PT 结论2:AT⊥BT.(或AT2+BT2=AB2) 结论3: ∠BAT=∠TBO1 结论4: ∠OTA=∠PTB结论5:∠APT=∠BO1T 结论6:∠BPT=∠AOT结论7:ΔOAT∽ΔPBT 结论8:ΔAPT∽ΔBO1T 设OT=R, O1T=r, 结论9:PT2=Rr结论10: AB=2√Rr 结论11:S梯形AOO1B=(R+r)√Rr结论12:以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T 点.说明：你还能得出其它的结论吗？试试看。