四川大学常微分方程教案
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1
常微分方程教案（王高雄）ch1-绪论1常微分方程一、微分方程的概念方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后去求方程的解。
但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。
比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。
物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。
也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。
解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。
但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。
在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。
因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。
微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。
常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。
常微分方程第1章教案
第一章 绪论定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+=1=，3121x x x--=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+-以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x =二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210x y z ++-=等等根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算一、引例例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程.解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意1d 2(1)d 2(2)x y x x y =⎧=⎪⎨⎪=⎩由（1）得2d y x x =⎰，即2y x C =+ （3）把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式00220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s ts v t s ===⎧=-⎪⎪⎪==⎨⎪⎪=⎪⎩（）把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t ==-+ （6）把式（6）两端再积分一次，得2120.2s t C t C =-++（7）,这里12C C 、都是任意常数. 把条件020t v==代入式（6）得120C =. 把条件00t s ==代入式（7）得20C =.把12,C C 的值代入式（6）及式（7）得0.420v t =-+（8）20.220s t t =-+（9）在式（8）中令0v =，得到列车从开始制动到完全停住所需的时间20500.4t ==（s ） 再把50t =代入式（9），得到列车在制动阶段行驶的路程s =20.2502050-⨯+⨯ = 500 (m). 二、微分方程的基本概念微分方程：联系自变量、未知函数以及它的导数的关系式.例如d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =-，224T T x t∂∂=∂∂，2222220T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 常微分方程： 只含一个自变量的微分方程. d 2d y x x =，22d 0.4 d s t =- 偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程. 224T T x t∂∂=∂∂，2222220T T T x y z ∂∂∂++=∂∂∂ 微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.一阶常微分方程的一般形式为：(,,)0F x y y '=称为一阶隐式方程(,)y f x y '=称为一阶显式方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为微分形式的一阶方程n 阶隐式方程的一般形式为()(,,,,)0n F x y y y '=L （*）n 阶显式方程的一般形式为 ()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'=L高阶微分方程：二阶及二阶以上的微分方程.如果（*）的左端为(),,n y y y'L 及的一次有理整式，则称（*）为n 阶线性微分方程，否则是非线性微分方程. 例如：22d y dy y t dt dt+= 是二阶非线性微分方程，而22d 0.4 d s t =-是一个二阶的线性微分方程.微分方程的解：代入微分方程能使该方程成为恒等式的函数叫做该微分方程的解.确切地说，设函数()y x ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，(),(),(),,()0n F x x 'x x ϕϕϕ⎡⎤=⎣⎦L ，那么函数()y x ϕ=就叫做微分方程()(,,,,)0n F x y y'y =L 在区间I 上的解. 称(,)()0x y y x ϕΦ=-=为（*）的隐式解.例如：2y x C =+叫做微分方程d 2d y x x=的解，则2y x C -=或20y x C --=叫做微分方程d 2d y x x=的隐式解 通解：把含有n 个独立的任意常数12,,,n c c c L 的解12(,,,,)n y x c c c ϕ=L 称为方程（*）的通解.（如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解.）定解问题：求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题.初始条件：用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.例如0x x =时，0y y =，0y'y'=.一般写成00x x y y ==，00x x y y =''= 初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.例如求微分方程(,)y'f x y =满足初始条件00x x y y ==的特解的问题，记为00(,)x x y f x y y y ='=⎧⎪⎨=⎪⎩ 特解：确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解. 例如例1中21y x =+是式（1）的特解.一般地，初值问题为()(1)(1)(1)000000(,,,,)0(),(),,()n n n F x y y y y x y y x y y x y --'⎧=⎪⎨'===⎪⎩L L 定义：一阶微分方程(,)dy f x y dx=的解()y x ϕ=是Oxy 平面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线；而方程的通解(,)y x c ϕ=对应于Oxy 平面上的一族曲线，称为方程的积分曲线族；满足初始条件00()y x y =的特解就是通过点00(,)x y 的一条积分曲线.定义：设函数(,)f x y 的定义域为D ，在D 内每一点(,)x y 处，画上一小线段，使其斜率恰好为(,)f x y ，将这种带有小线段的区域D 称为由方程所规定的方向场.在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.微分方程的等斜线方程为(,)f x y k =例（P28习题7）：微分方程22234'x y y xy -=，证明其积分曲线关于坐标原点(0,0)成中心对称的曲线，也是微分方程的积分曲线.证：设:(),[,]L y f x x a b =∈是微分方程的一条积分曲线，则满足22234['()]()(),[,]x f x f x xf x x a b -=∈ 而L 关于(0,0)成中心对称曲线':()(),[,],[,]L y f x F x x b a x a b =--=∈---∈， 所以有'()'()F x f x =-, [,]x b a ∈--当[,]x b a ∈--,[,]x a b -∈,可知22234()['()]()()x f x f x xf x ----=--即 22234['()]()()x F x F x xF x -=所以()F x 满足微分方程，故()F x 为微分方程的积分曲线.并且相对于L 关于原点(0,0)成中心对称曲线.三、微分方程的产生和发展常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具.该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用.300多年前， Newton 与Leibniz 奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念. 1676年微分方程最早出现在Leibniz 写给Newton 的一封信中，常微分方程的发展主要分为三个阶段：1.初期发展期17世纪中期到18世纪末期，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式. 代表人物莱布尼兹（德1646-1716）、牛顿（英1642-1727）2.基本理论奠定期19世纪初期到19世纪末期,主要研究解的定性理论与稳定性问题.代表人柯西Cauchy （法1789-1857）、刘维尔Liouville （法1809-1882）3.现代理论发展期19世纪末期-现在，进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法.代表人物庞加莱Poincare（法1854-1912）、李雅普诺夫Lyapunov（俄1857-1918）。
大学物理数学方法：常微分方程教学案例
大学物理数学方法：常微分方程教学案例1. 引言1.1 概述本篇长文旨在探讨大学物理数学方法中的常微分方程教学案例。
常微分方程作为数学物理学科中的重要内容之一，是解决各种自然现象和工程问题中的基础方法。
通过深入研究常微分方程解法方法以及相关教学案例，我们可以更好地理解和应用这一领域。
1.2 文章结构本文主要包括以下几个部分：概述、常微分方程基础知识、常微分方程解法方法、常微分方程教学案例分析和结论与展望。
其中，概述部分将介绍本文的主题和目标，并提供整体文章结构的概览。
1.3 目的本文的目的是通过对大学物理数学方法中常微分方程教学案例的研究，探讨如何有效地教授和应用这一领域知识。
通过针对不同难度级别和实际应用场景的案例分析，旨在提高读者对常微分方程解法方法的理解，并培养其应用知识于实际问题解决能力。
以上为"1. 引言" 部分内容。
2. 常微分方程基础知识:2.1 定义与分类:常微分方程是描述函数未知函数及其导数之间关系的数学方程。
常微分方程可以分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程：表示未知函数的导数只出现了一次。
例如，dy/dx = f(x)，其中y是未知函数，f(x)是已知函数。
高阶常微分方程：表示未知函数的导数出现多次。
例如，d^2y/dx^2 + p(x)(dy/dx) + q(x)y = g(x)，其中y是未知函数，p(x)，q(x)，g(x)均为已知函数。
2.2 初值问题与边值问题:在解常微分方程时，通常会遇到两种类型的问题：初值问题和边值问题。
初值问题：在给定一个初始点（x0, y0）时，需要找到该点处的一个解析解或者数值解。
例如，求解一阶常微分方程dy/dx = f(x)，满足初始条件y(x=x0) = y0。
边值问题：在给定两个边界点（a, ya）和（b, yb）时，需要找到这两个点之间满足特定条件的解析解或者数值解。
例如，求解二阶线性常微分方程d^2y/dx^2 = f(x)，满足边界条件y(x=a) = ya和y(x=b) = yb。
2021《常微分方程课程设计》指导书 1 2
2021《常微分方程课程设计》指导书 1 2----45b183e5-6ea1-11ec-b633-7cb59b590d7d2021《常微分方程课程设计》指导书1-2第一章导言1.1课程设计的意义高校实践教学一般包括课程实验、综合设计（课程设计）、课外科技活动、社会实践、毕业设计等，基本可分为三个层次：第一，紧扣课堂教学内容，以掌握和巩固课程教学内容为主的课程实验和综合性设计；第二，以社会体验和科学研究体验为主的社会实践和课外科技活动；第三，以综合应用专业知识和全面检验专业知识应用能力的毕业设计。
课程实践（包括课程实验和课程设计）是大学教育中最重要、最基本的实践环节，直接影响后续课程的学习和后续实践的质量。
由于课程设计旨在培养学生的系统设计和分析能力，通过团队合作、基于研究的分析和工程设计来完成大型系统或软件的设计，因此课程设计不仅有利于学生的巩固，完善和整合专业课程知识，还要培养学生多方面的能力，如综合设计能力、实践能力、文献检索能力、团队合作能力、工程能力、研究性学习能力、创新能力等。
《常微分方程课程设计》（curriculumdesignoftheordinarydifferentialequations）是一门继《数学实验》和《常微分方程》（ode）之后开设的实验性课程，主要是指导性的讲解方程求解的数值方法和软件编程(如matlab，mathmatic，fortran等)并实现方程的解析解与数值解可视化分析的一个集中实践教学环节。
其宗旨在于培养学生运用计算机分析求解方程的能力，了解通过数学模型去解决实际问题的全过程，提高常微分方程课堂教学后的理解和应用效果，同时激发和提高同学们对于具有工程背景的科学研究的热情。
课程设计不仅要以实现相应的课程为目标，而且要在完成课程设计的过程中逐步培养解决未来问题的能力，培养计算机应用开发所需的各种能力和素质。
因此，在课程设计的实施中，我们不仅需要完成程序和测试，还需要编写相应的课程设计报告。
常微分方程课程设计
常微分方程 课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握常微分方程的基本概念、分类和性质，理解微分方程在数学建模和科学研究中的重要性。
2. 使学生掌握一阶微分方程的解法，包括可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程以及伯努利方程等。
3. 帮助学生理解高阶微分方程的求解方法，包括常数变易法和待定系数法。
技能目标：1. 培养学生运用数学软件（如MATLAB、Mathematica等）解决常微分方程问题的能力。
2. 培养学生分析实际问题时，能够建立数学模型，转化为微分方程，并求解的能力。
3. 提高学生通过合作学习、讨论交流等方式，解决复杂微分方程问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对常微分方程的兴趣和热情，激发学生探索数学奥秘的精神。
2. 培养学生严谨的科学态度，养成独立思考、分析问题和解决问题的习惯。
3. 增强学生的团队协作意识，学会尊重他人，提高沟通表达能力。
本课程针对高年级学生，课程性质为专业基础课。
在分析课程性质、学生特点和教学要求的基础上，将课程目标分解为具体的学习成果，以便后续的教学设计和评估。
通过本课程的学习，使学生不仅掌握常微分方程的基本知识，还能将其应用于实际问题中，提高学生的综合素质和能力。
二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 常微分方程的基本概念与性质：介绍微分方程的定义、阶数、线性与非线性微分方程，分析微分方程的解及其存在唯一性定理。
2. 一阶微分方程的解法：涵盖可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等，通过实例解析各类方程的求解方法。
3. 高阶微分方程的求解：介绍常数变易法、待定系数法等求解方法，并对具体方程进行分析。
4. 微分方程组：讲解微分方程组的求解方法，包括解的存在唯一性定理、线性微分方程组的解法等。
5. 微分方程应用：结合实际案例，教授如何将微分方程应用于物理、生物、经济等领域。
教学内容安排如下：第1周：常微分方程基本概念与性质；第2周：一阶微分方程解法（可分离变量、齐次方程）；第3周：一阶微分方程解法（一阶线性方程、伯努利方程）；第4周：高阶微分方程求解方法（常数变易法、待定系数法）；第5周：微分方程组及其解法；第6周：微分方程在实际问题中的应用。
微积分-四川大学数学学院
习题课教学大纲（微积分II）（征求意见稿）课程名称：大学数学-微积分II英文名称：Calculus课程性质：必修课程代码：20113830(上册)20112530（下册）面向专业：大学数学II各专业习题课指导丛书名称：高等数学(第五版)出版单位：高等教育出版社出版日期：2002年7月主编：同济大学应用数学系习题课讲义名称：大学数学习题课系列教材--微积分编写单位：四川大学数学学院编写日期：2006年8月主编：四川大学数学学院高等数学教研室第一章函数与极限1．函数与极限2学时（1）基本内容函数的概念，函数的表示，函数的几种特性，复合函数，分段函数，极限的概念及性质，极限存在准则，重要极限，无穷小量与无穷大量，极限的计算，函数的连续与间断，闭区间上连续函数的性质。
（2）基本要求处理作业批改中发现的问题。
通过具体例子讲解极限的计算问题，连续性讨论问题，复合函数定义域及分段函数的复合问题。
第二章导数与微分2学时（1）基本内容：导数及高阶导数的定义；复合函数隐函数参数方程决定的函数和分段函数的求导；微分。
（2）基本要求：处理作业批改中发现的问题；举列说明复合函数隐函数参数方程决定的函数和分段函数的一阶二阶求导；会求微分。
第三章微分中值定理与导数的应用2学时1.中值定理及洛必达法则(1) 基本内容:中值定理的应用;洛必达法则求极限.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;通过具体例子讲解中值定理的题型和解题步骤;求各种不定形的极限并注意化简和变形技巧.2.不等式的证明和函数曲线(1)基本内容:函数单调性凹凸性的判定;函数的最值;泰勒定理.(2)基本要求:处理作业批改中发现的问题;举例说明函数导数二阶导数曲线关系;举例讲解利用曲线特征证明函数不等式;举例说明函数最值的应用;泰勒中值定理的应用方法.第四章不定积分2学时一、基本内容：复习原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质及基本积分公式，总结换元积分法和分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分的计算方法。
常微分方程课程设计论文
常微分方程课程设计论文一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握常微分方程的基本概念、方法和应用。
通过本课程的学习，学生应能理解并熟练运用常微分方程解决实际问题，具备一定的数学建模能力。
具体来说，知识目标包括：1.掌握常微分方程的定义、解的概念和性质；2.熟悉一阶、二阶线性微分方程的求解方法；3.了解常微分方程在自然科学和工程技术中的应用。
技能目标包括：1.能够熟练地求解一阶、二阶线性微分方程；2.能够运用常微分方程进行简单的数学建模；3.能够运用计算机软件辅助求解常微分方程。
情感态度价值观目标包括：1.培养学生的逻辑思维能力和科学精神；2.增强学生对数学应用价值的认识，提高学习兴趣；3.培养学生团队协作和自主学习能力。
二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括：1.常微分方程的基本概念，如解、通解、特解等；2.一阶微分方程的求解方法，如可分离变量法、齐次方程法、伯努利方程法等；3.二阶线性微分方程的求解方法，如常系数方程、变系数方程、线性非齐次方程等；4.常微分方程的应用，如物理、生物学、经济学等领域的问题。
三、教学方法为了达到教学目标，本课程将采用以下教学方法：1.讲授法：系统地传授常微分方程的基本概念、方法和应用；2.讨论法：学生分组讨论，培养学生的思考能力和团队协作精神；3.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生运用常微分方程进行数学建模；4.实验法：利用计算机软件，让学生亲自动手求解实际问题，提高实际操作能力。
四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将准备以下教学资源：1.教材：《常微分方程》；2.参考书：相关领域的学术论文、专著等；3.多媒体资料：教学PPT、视频讲座等；4.实验设备：计算机、数学软件等。
五、教学评估本课程的评估方式包括平时表现、作业、考试等，以全面客观地评价学生的学习成果。
平时表现主要考察学生的课堂参与、提问、讨论等，占总评的20%；作业包括练习题和数学建模项目，占总评的30%；考试包括期中考试和期末考试，占总评的50%。
四川大学常微分方程教案
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3.分离变量法
4.常数变易法
5.可化为变量分离形式方程的求解
教 学 内 容 提 要
一、初等积分法
1初等积分法的定义
2微分方程的隐式解
二、变量分离方程
1变量分离形式方程
2方程通解的求法
3方程特解的求法
例1
例2
三、可化为变量分离方程的类型
1一阶线性微分方程
常数变易法与常数变易公式
例3
2Bernoulli方程
例4
3齐次方程
4线性分式形式的微分方程
例5
四、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：变量分离形式方程的求解
难点：1Brnoulli方程的求解
2齐次方程的求解
3线性分式形式的微分方程的求解
作
业
、
选
作
题
作业：
习题2.11,2(1)(3)(4)(9)(12),3(2)(8)(14),4(1)(6),7(1)(3).
4)用上两节已给出的方法求解.
3具体求解方法
二、几类可解的特殊的隐式方程
1可以解出y的方程
2可以解出x的方程
3不显含y的隐式方程
4不显含x的隐式方程
例1
三、其他情形
1隐式方程中可解出 ，例2
2隐式方程轮不显含x,y，例3
教
学
重
点
与
难
点
重点：隐式方程的求解
作
业
、
选
作
题
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,2004.
数学系(常微分方程)教学大纲
《数学系（常微分方程）》教学大纲学时：51学时学分：3适用专业：数学、系统科学与工程及控制理论与应用等专业。
大纲执笔人：鲁世平大纲审定人：刘树德一、说明(500字左右)1、课程的性质、地位和任务本课程是高等师范院校数学专业和综合性大学数学专业、系统科学与工程专业、控制理论与应用等专业的一门重要基础课程，它的任务是使学生获得微分方程的有关概念、一阶微分方程的初等解法、微分方程解的存在、唯一性定理、线性微分方程解的理论、线性微分方程的求解方法和线性微分系统理论及其解法等方面的系统知识。
2、课程教学的基本要求（1）掌握微分方程的概念以及一阶微分方程的初等解法。
对微分方程解的存在性和唯一性定理证明的思想有较深刻的认识。
熟练掌握线性微分方程和线性微分系统的理论和各种解法，特别是非齐次线性方程的解法，掌握常数变易法与其它方法的区别。
（2）系统掌握微分方程的基本概念：微分方程的初值问题的解、函数线性相关和线性无关、Wronsky行列式、常数变易法、基解矩阵等。
掌握微分方程有关解的存在性的证明方法；获得较熟练的计算技能和初步的应用能力。
（3）本课程总教学时数为70课时，其中理论课时为57，讨论课时为13。
3、课程教学改革（1）注重能力的培养在教学本课程时，要注重学生变量变换和分析技巧的训练，使得这些技巧成为学生进一步学习和研究的专业技能。
此外，要培养学生利用所学的知识解决实际问题，从而达到培养学生应用能力的目的。
（2）注重本课程知识与其它相关课程的联系在讲授此课程时，要注重本课程与相关课程《线性代数》、《数学分析》和《力学》等之间的联系。
二、大纲内容第一章：基本概念（3课时）[内容要点]常微分方程。
微分方程的解、通解与特解、初始条件与初值问题、方向场与积分曲线、微分方程的实际问题举例[教学要求]1．理解微分方程及其解的定义。
掌握微分方程的一些基本概念，如微分方程的阶数、线性与非线性，通解与特解，初始条件与初值问题等。
《常微分方程》教学大纲
《常微分方程》教学大纲课程编码：110826课程名称：常微分方程学时/学分：72/4先修课程：《数学分析》、《高等代数》、《大学物理》适用专业：数学与应用数学开课教研室：分析方程教研室一、课程性质与任务1．课程性质：本课程是数学与应用数学专业的专业必修课。
2．课程任务：《常微分方程》是数学科学联系实际的主要桥梁之一。
通过本课程的学习，使学生正确掌握常微分方程的各种基本概念和处理微分方程问题的思维方法，诸如定性和定量近似求解的思想。
通过学习，使学生熟练掌握用来精确求解几类重要的常微分方程（组）的方法，包括各种初等解法和线性常系数方程（组）的解法，以及了解定性和稳定性的初步理论和方法。
通过常微分方程的教学，使学生了解和掌握常微分方程这一学科的基本概念，理论，培养学生的理论思维能力，为从事数学学科的教学和研究打下一定的理论基础，同时它在训练学生分析问题和初步解决某些实际问题的能力方面起着显著作用。
二、课程教学基本要求《常微分方程》是数学与应用数学专业的一门重要专业课，安排在三年级上学期进行，把学生前阶段学习的数学分析、高等代数、解析几何、普通物理等方面的知识首次较普遍、较深入地结合起来，用以初步解决数学理论和实际问题中出现的一批重要而基本的微分方程问题，同时在这个过程中自然地提出和建立起常微分方程本身的基础理论和基本方法，也为若干后继课程（如数理方程、微分几何、泛函分析等）作好准备。
该课程主要以讲授为主，理论课时为72学时，考核方式为闭卷考试。
成绩考核形式：末考成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％)。
成绩评定采用百分制，60分为及格。
三、课程教学内容第一章绪论1.教学基本要求让学生了解常微分方程的历史，以及它在生活实践中的应用；激发学生对本课程学习的兴趣。
了解常微分方程中的基本概念，为后续学习打好基础。
2.要求学生掌握的基本概念、理论、技能通过本章的教学使学生初步掌握常微分方程产生于社会实践中,掌握常微分方程的线性、非线性,解、隐式解,通解、特解,积分曲线、方向场等基本概念.3.教学重点和难点教学重点是常微分方程及其解的概念，能判断方程的阶数，线性与非线性。
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求解的基本思想:
1)不显含未知函数y的方程
2)不显含自变量x的方程
3)齐次方程
4)全微分方程
例3，例4
三、平面保守系统
1一个具体例子
相平面，轨道，相图
2更一般的情况
四、Riccati方程
1Riccati方程的求解
2一种特殊情况
3结果
五、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点；1方程的奇解判别
2高阶微分方程求解的基本思想:
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.了解常微分方程的一般形式
2.通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型
教 学 内 容 提 要
一、问题的提出
常微分方程的一般形式
1)函数方程(泛函方程):
2)微分方程
A常微分方程
B偏微分方程
3)n阶常微分方程(n阶方程)
二、几个具体的例子
例1物体作水平运动
例2自由落体运动
例3弹簧振子的水平自由运动
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第三周，第1次课
章节
名称
第五讲:§2.2恰当方程形式
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.什么是恰当方程
2．如何判定微分方程是恰当的
3．如何寻求恰当方程的解
4．如何使方程变得恰当
选作题：
平面上安放长度为 的细磁棒,如果撒上一些小铁钉,他们将按磁场的方向排列.可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷,磁量分别为+1和-1.试求出这个磁场满足的微分方程.进而,画出磁场的方向场图并分析上面的积分曲线.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第五周，第2次课
章节
名称
第八讲:§3.1存在性与唯一性
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1．深刻理解线性系统解的存在唯一性定理的理论意义;
丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第一周，第2次课
章节
名称
第二讲:§1.2微分方程求解思想
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.了解微分方程的精确解与近似解
[8]叶彦谦,常微分方程讲义(第二版),北京：人民教育出版社,1982.
授课教师
张伟年
职称
教授
单位
数学学院
授课时间
2005年9月—2006年1月
注：表中（）选项请打“√”
四川大学教案
【理科】
周次
第一周，第1次课
章节
名称
第一讲:§1.1常微分方程模型
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
2．理解线性系统解的存在唯一性是近似计算的前提;
3．掌握线性系统的存在唯一性定理及其证明.
教 学 内 容 提 要
一、问题的提出
解的存在性为方程的求解提供理论基础；
的存在唯一性是近似计算的前提。
二、存在唯一性定理
定理
三、矩阵函数的性质
四、定理的证明
证明共分五步完成
小结
五、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：线性系统解的存在唯一性定理
难点：线性系统解的存在唯一性定理的证明
作
业
、
选
作
题
作业：
习题3.11,2,3.
选作题：
设 连续,且 其中 , 非负.试用逐步逼近法证明：
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,2004.
4)用上两节已给出的方法求解.
3具体求解方法
二、几类可解的特殊的隐式方程
1可以解出y的方程
2可以解出x的方程
3不显含y的隐式方程
4不显含x的隐式方程
例1
三、其他情形
1隐式方程中可解出 ，例2
2隐式方程轮不显含x,y，例3
教
学
重
点
与
难
点
重点：隐式方程的求解
作
业
、
选
作
题
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
例3
2Bernoulli方程
例4
3齐次方程
4线性分式形式的微分方程
例5
四、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
重点：变量分离形式方程的求解
难点：1Brnoulli方程的求解
2齐次方程的求解
3线性分式形式的微分方程的求解
作
业
、
选
作
题
作业：
习题2.11,2(1)(3)(4)(9)(12),3(2)(8)(14),4(1)(6),7(1)(3).
丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,1963.
四川大学教案
【理科】
周次
第二周，第2次课
章节
名称
第四讲:§2.1变量分离形式
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1.什么是方程的隐式解
教材名称
《常微分方程》
作者
张伟年,
杜正东,
徐冰
出版社及
出版时间
高等教育出版社
2006.4
可选参考书
[1]V.I.Arnold(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，1985.
[2]蔡燧林,常微分方程,杭州：浙江大学出版社,1988.
[3]丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,2004.
定理
二、证明思路
1.Jacobi行列式不为0
2.建立方程组
3.求解参数
补充:隐函数定理，联系数学分析相关知识。
4.解与方程的对应
三、本讲习题
教
学
重
点
与
难
点
难点：1了解一个微分方程的解中的参数与微分方程的解的关系；
2给定任意一个函数能否找到一个微分方程使其的解正好是这个函数？
作
业
、
选
作
题
作业：
习题1.31(1)(3).
授课
方式
理论课（√）；实践课（ ）；实习（ ）
教 学
时 数
2
教
学
目
的
及
要
求
1．方程的奇解与包络
2．利用初等积分法求解一些特殊的高阶微分方程
3．平面保守系统的轨道
4．Riccati方程的解
教 学 内 容 提 要
一、奇解
1曲线族的包络包络的性质
C-判别曲线例1
2方程的奇解
3方程的奇解判别
p-判别曲线例2
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,2004.
王柔怀、伍卓群,常微分方程讲义,北京：人民教育出版社,1963.
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【理科】
选作题：
设 , 是方程 的两个互异解.求证对于该方程的任一解 ,下式
恒成立,其中 是某常数.
教
学
手
段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,2004.
参
考
资
料
与
备
注
V.I.Arnold(阿诺德),常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版社，1985.
丁同仁、李承治,常微分方程教程(第二版),北京：高等教育出版社,2004.