全国通用2017年高考数学大二轮专题复习第三编考前冲刺攻略第三步应试技能专训二中档题专练理

二、中档题专练(一)1.[2016·长春监测]已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x － 3. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．解 (1)f (x )＝2sin x cos x ＋23cos 2x －3＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，因此f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.f (x )的单调递减区间为2k π＋π2≤2x ＋π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＋π3＝2sin A ＝3，又A 为锐角，所以A ＝π3. 由正弦定理可得2R ＝a sin A ＝732＝143，sin B ＋sin C ＝b ＋c 2R ＝13314， 则b ＋c ＝13314×143＝13，由余弦定理可知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ b ＋c 2－2bc －a 22bc ＝12，可求得bc ＝40，故S △ABC ＝12bc sin A ＝10 3.2．[2016·重庆测试] 如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝π3，AB ＝2，CD ＝3，M 为PC 上一点，PM ＝2MC .(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若AD ＝2，PD ＝3，求二面角D －MB －C 的正弦值． 解 (1)证明：如图，过点M 作ME ∥CD 交PD 于E ，连接AE .又PM ＝2MC ，故EM CD ＝PM PC ＝23，因为CD ＝3，所以EM ＝2.因为AB ∥CD ，故AB ∥EM .而AB ＝2，所以AB 綊EM ，故四边形ABME 为平行四边形，从而BM ∥AE ，又AE ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ，所以BM ∥平面PAD .(2)以D 为坐标原点，DC ，DP 所在射线分别为y ，z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .由已知AD ＝AB ＝2，∠BAD ＝π3，故△ABD 为等边三角形，所以DB ＝2，∠ABD ＝π3.因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝π3.记B 点的坐标为(x B ，y B,0)，则x B ＝DB ·sin∠BDC ＝3，y B ＝DB ·cos∠BDC ＝1，即B (3，1,0)．由已知PD ＝DC ＝3，故D (0,0,0，)，P (0,0,3)，C (0,3,0)，DP →＝(0,0,3)，PC →＝(0,3，－3)．由PM ＝2MC ，故PM →＝23PC →＝(0,2，－2)，DM →＝DP →＋PM →＝(0,2,1)，即M (0,2,1)．所以DB →＝(3，1,0)，MC →＝(0,1，－1)，BC →＝(－3，2,0)，设平面BDM 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BCM 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由n 1·DM →＝0，n 1·DB →＝0，得{ 2y 1＋z 1＝0， 3x 1＋y 1＝0，故可取n 1＝(－1，3，－23)，由n 2·MC →＝0，n 2·BC →＝0，得⎩⎨⎧y 2－z 2＝0，－3x 2＋2y 2＝0，故可取n 2＝(2，3，3)，从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－108，故所求二面角D －MB －C 的正弦值为368.3．[2016·贵阳监测]在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图．(1)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(2)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．解 (1)学生甲的平均成绩x 甲＝68＋76＋79＋86＋88＋956＝82，学生乙的平均成绩x乙＝71＋75＋82＋84＋86＋946＝82，又s 2甲＝16×[(68－82)2＋(76－82)2＋(79－82)2＋(86－82)2＋(88－82)2＋(95－82)2]＝77，s 2乙＝16×[(71－82)2＋(75－82)2＋(82－82)2＋(84－82)2＋(86－82)2＋(94－82)2]＝1673， 则x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛．(2)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2，且P (ξ＝0)＝C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 26＝115，则ξ的分布列为：所以数学期望E (ξ )＝0×5＋1×15＋2×15＝3.(二)1.[2016·云南统检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n,3a n －2S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n ＋2S n <S 2n ＋1.解 (1)∵对任意正整数n,3a n －2S n ＝2，∴3a n ＋1－2S n ＋1＝2， ∴3a n ＋1－3a n －2S n ＋1＋2S n ＝0，即3a n ＋1－3a n －2(S n ＋1－S n )＝0， ∴3a n ＋1－3a n －2a n ＋1＝0，解得a n ＋1＝3a n . 当n ＝1时，3a 1－2S 1＝2，即a 1＝2， ∴a n ＝2×3n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1.(2)证明：由(1)可得S n ＝2× 1－3n1－3＝3n－1，∴S n ＋1＝3n ＋1－1，S n ＋2＝3n ＋2－1，∴S n ＋2S n －S 2n ＋1＝－4×3n<0， ∴S n ＋2S n <S 2n ＋1.2.[2016·武昌调研]某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？(2)已知某企业每天的经济损失y (单位：元)与空气质量指数x 的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0≤x ≤100，400，100<x ≤300，2000，x >300，试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋dK 2＝100× 22×7－8×63 230×70×85×15≈4.575.因为4.575>3.841，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”． (2)任选一天，设该天的经济损失为X 元，则P (X ＝0)＝P (0≤x ≤100)＝20100＝15， P (X ＝400)＝P (100<x ≤300)＝65100＝1320， P (X ＝2000)＝P (x >300)＝15100＝320， 所以E (X )＝0×15＋400×1320＋2000×320＝560.故该企业一个月的经济损失的数学期望为30E (X )＝16800(元)．3．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，EF ∥AB ，CE ∶EB ＝5∶3，将三角形△EFC 折起，使C 在平面ABEF 的射影落在B 点上．(1)若M 是BC 的中点，在线段AC 上找一点H ，使MH ∥平面ABEF ，试确定H 点的位置． (2)求点B 到平面AEC 的距离．(3)若BM →＝λBC →(0<λ<1)，是否存在λ，使得平面MAE 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值为1415？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)取AC 中点H ，连接MH ，则MH ∥AB ，因为AB ⊂平面ABEF ，MH ⊄平面ABEF ，所以MH ∥平面ABEF ，即H 为AC 中点．(2)△EFC ∽△BAC ， ∴EF BA ＝EC BC ＝58＝EF 6， ∴EF ＝154，CE ＝5，BE ＝3.以B 为原点，直线BE 为x 轴，BA 直线为y 轴，BC 直线为z轴建立空间直角坐标系，BC ＝CE 2－BE 2＝4，所以E (3,0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，0，C (0,0,4)，B (0,0,0)，A (0,6,0)，CE →＝(3,0，－4)，AC →＝(0，－6,4)，BC →＝(0,0,4)，设平面AEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ⊥CE →，n ⊥AC →，⎩⎪⎨⎪⎧3x －4z ＝0，－6y ＋4z ＝0.令y ＝2，则n ＝(4,2,3)，则d ＝BC →·n |n |＝1229＝122929. (3)设M (0,0，m )，∵BM →＝λBC →，∴m ＝4λ，AM →＝(0，－6，m )，AE →＝(3，－6,0)，设平面AEM的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则n 1⊥AM →，n 1⊥AE →，则⎩⎪⎨⎪⎧－6y 1＋mz 1＝03x 1－6y 1＝0，令y 1＝1，则n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，6m ，CE →＝(3,0，－4)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，154，0，设平面CEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则n 2⊥CE →，n 2⊥EF →，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－4z 2＝0，154y 2＝0，令z 2＝3，则n 2＝(4,0,3)，cos θ＝2×4＋18m22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6m2·42＋32＝1415，解得m ＝3， ∴λ＝34，∴存在λ使得平面MAE 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值为1415.(三)1.[2016·重庆测试]设数列{a n }的各项均为正数，且a 1,22，a 2,24，…，a n,22n，…成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，若S k ≥30(2k＋1)，求正整数k 的最小值．解 (1)设等比数列的公比为q ，则q 2＝2422＝22，又由题意q >0，故q ＝2，从而a n ＝22nq＝22n －1，即数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由(1)知a 1＝2，数列{a n }是以22为公比的等比数列， 故S n ＝2[1－ 22n]1－22＝23(22n－1)． 因此不等式S k ≥30(2k ＋1)可化为23(22k －1)≥30(2k＋1)，即23(2k －1)(2k ＋1)≥30(2k＋1)， 因为2k＋1>0，所以2k ≥46，即k ≥log 246. 又5<log 246<6，所以正整数k 的最小值为6.2．[2016·广西质检]某技术公司新开发了A ，B 两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：(2)生产1件产品A ，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产1件产品B ，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元，在(1)的前提下，记X 为生产1件产品A 和1件产品B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望．解 (1)产品A 为正品的概率约为40＋32＋8100＝45.产品B 为正品的概率约为40＋29＋6100＝34.(2)随机变量X 的所有取值为180,90,60，－30.P (X ＝180)＝45×34＝35； P (X ＝90)＝15×34＝320； P (X ＝60)＝45×14＝15； P (X ＝－30)＝15×14＝120.所以随机变量X 的分布列为：E (X )＝180×5＋90×20＋60×5＋(－30)×20＝132.3. [2015·长春质监]如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ＝2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC ＝4，点M 为PC 的中点，点E 为BC 边上的动点，且BE EC＝λ.(1)求证：平面ADM ⊥平面PBC ；(2)是否存在实数λ，使得二面角P －DE －B 的余弦值为23？若存在，试求出实数λ的值；若不存在，说明理由．解 (1)证明：取PB 的中点N ，连接MN 、AN ， ∵M 是PC 的中点，N 是PB 的中点， ∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ＝2，又∵BC ∥AD ，∴MN ∥AD ，MN ＝AD ， ∴四边形ADMN 为平行四边形．∵AP ⊥AD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥AN ，∴AN ⊥MN . ∵AP ＝AB ，∴AN ⊥PB ，∴AN ⊥平面PBC . ∵AN ⊂平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . (2)存在符合条件的λ.以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则P (0,0,2)，D (0,2,0)，B (2,0,0)，设E (2，t,0)，从而PD →＝(0,2，－2)，DE →＝(2，t －2,0)，则平面PDE 的一个法向量为n 1＝(2－t,2,2)，又平面DEB 即为平面xAy ，其一个法向量为n 2＝(0,0,1)， 则cos 〈n 1·n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2 2－t 2＋4＋4＝23， 解得t ＝3或t ＝1，故λ＝3或λ＝13.(四)1.[2015·贵州八校联考]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设BC 中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积． 解 (1)因为m ∥n ，故有(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0 由正弦定理可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，由余弦定理可知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中， 由B ＝π3可知θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3， 由正弦定理及AD ＝3有BD sin θ＝AB sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝ADsinπ3＝2； 所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ， 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6， 由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3可知θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，a ＋2c 的最大值为43；此时a ＝23，c ＝3，所以S ＝12ac sin B ＝332.2．[2016·湖北七市联考]某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查．这1000名购物者2015年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]．购物金额的频率分布直方图如下：电商决定给抽取的购物者发放优惠券，购物金额在[0.3,0.6)内的购物者发放100元的优惠券，购物金额在[0.6,0.9]内的购物者发放200元的优惠券．现采用分层抽样的方式从获得100元和200元优惠券的两类购物者中共抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得优惠券总金额X (单位：元)的分布列和均值．解 利用分层抽样从1000人中抽取10人，发放100元优惠券的购物者有：10×(1.5＋2.5＋3)×0.1＝7(人)， 发放200元优惠券的购物者有：10×(2＋0.8＋0.2)×0.1＝3(人)． 则此3人所获优惠券的总金额X 的可能取值有：300,400,500,600，且 P (X ＝300)＝C 37C 03C 310＝35120，P (X ＝400)＝C 27C 13C 310＝63120，P (X ＝500)＝C 17C 23C 310＝21120，P (X ＝600)＝C 07C 33C 310＝1120.于是，X 的分布列为：均值为E (X )＝300×120＋400×120＋500×120＋600×120＝390. 3．[2016·武昌调研]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E 为PB 的中点，AD ⊥AE ，且PA ＝AB ＝2，AD ＝AE ＝1.(1)证明：PA ⊥平面ABCD ；(2)求二面角B －EC －D 的正弦值．解 (1)证明：∵PA ＝AB ，E 为PB 的中点，∴AE ⊥PB .在Rt △PEA 中，PE ＝PA 2－AE 2＝ 2 2－12＝1，∴PB ＝2PE ＝2.又PA ＝AB ＝2，∴PA 2＋AB 2＝PB 2，∴PA ⊥AB .又AD ⊥AE ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥PA ，∴PA ⊥平面ABCD .(2)以A 为坐标原点，射线AB 、AD 、AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .由题设知P (0,0，2)，B (2，0,0)，C (2，1,0)，D (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22， 则AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22，DC →＝(2，0,0)， DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－1，22. ∵AD ⊥AE ，AD ∥BC ，∴AE ⊥BC .由(1)知，AE ⊥PB ，∴AE ⊥平面PBC . 故AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22为平面BEC 的一个法向量．设平面DEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0n ·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝022x －y ＋22z ＝0，可取n ＝(0,1，2)．从而cos 〈n ，AE →〉＝n ·AE →|n ||AE →|＝2×223×1＝33.故二面角B －EC －D 的正弦值为63.。