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20181213小学奥数练习卷(知识点：排列组合)含答案解析

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20181213小学奥数练习卷(知识点：数列分组)含答案解析.doc

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20181213小学奥数练习卷（知识点：数列分组）含答案解析小学奥数练习卷（知识点：数列分组）题号一二总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．填空题（共 11 小题） 1．表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组，如第一组是（数，我），第二组是（学，们）．数学是思维的体操数学是思维的体操数学我们参加希望杯竞赛我们参加希望杯竞赛那么第 2005 组是． 2．将下列 10 个数分成两组，每组 5 个，要求两组中各数的乘积相等： 6，8，9，13，21，26，35，44，50，55 请在下面写出你的思考过程．． 3．把自然数 1、2、3、4、按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第行第列． 4．一列数，前 3 个是 1，9，9，以后的每个数都是它前面相邻 3 个数的和除以 3所得的余数，这列数中的第 2005 个数是． 5．右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：则排在由上而下的第 10 行中从右边数第三个位置的数是． 6．观察三角形数阵：那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是，2010 是第行第个数． 7．自然数列 1，2，3，，n，，它的第 n 组含有 2n﹣1 个数，第 10 组中各数的和是． 8．设自然数按下图的格式排列： 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 98 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 （1）200 所在的位置是第行，第列；（2）第 10 行第 10 个数是． 9．将奇数按下列方式分组：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），．（1）第 15 组中第一个数是；（2）第 15 组中所有数的和是；（3）999 位于第组第号． 10．给定以下数列：，，，，，，，，，，，（1）是第项；（2）第 244 项是；（3）前 30 项之和是． 11．将自然数按下面的规律分组：（1，2），（3，4，5，6），（7，8，9，10，11，12），（13，14，15，16，17，18，19， 20），，第 1991 组的第一个数和最后一个数各是．第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．解答题（共 13 小题） 12．在下面的一列数中，只有一个九位数，它是．1234，5678，9101112，13141516，13．甲、乙两包糖的重量比是 4：1，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为 7：8，那么两包糖的总重量是多少克？ 14．将偶数排成下表： A B C D E 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 2432 30 28 26 那么，1998 这个数在哪个字母下面？15．在下面的数表中，第 100 行左边的第一个数是什么？ 5 4 3 2 67 8 9 13 12 11 1014 15 16 17 21 20 19 18 16 ．把自然数 1 ～ 200 按下面的方法分成 A 、 B 、 C 三组．试问：（1）每组各有多少个数？最后一个数各是多少？（2）C 组的第 56 个数是几？（3）172 在哪一组的第几个数？ 17．自然数按下图所示的方法排列．问：（l）射线 b 上第 1995 个数是几？（2）数 1995 在哪条射线上？ 18．有一数列：101，203，105，207，109，211，求这数列的前 20 项的和． 19．根据下图回答：（1）第一行的第 8 个数是几？（2）第五行第六列上的数是几？（3）200 的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？ 20．一列数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，，其中自然数 n 出现 n 次．那么，这列数中的第 1999 个数除以 5 的余数是． 21．有这样一列数：123，654，789，121110，131415，181716，192021，．还有另一列数：1，2，3，6，5，4，7，8，9，1，2，1，1，1，0，1，3，1，4，1，5，1，8，1，7，1，6，1，9，2，0，2，1，，第一列数中出现的第一个九位数是，第二列数的第 1994 个数在一列数中的第个数的位上．22．1，1，2，2，3，3，1，1，2，2，3，3，1，1，其中 1，1，2，2，3，3这六个数字按此规律重复出现，问：（1）第 100 个数是什么数？（2）把第一个数至第 52 个数全部加起来，和是多少？（3）从第一个数起，顺次加起来，如果和为 304，那么共有多少个数字相加？ 23．把由 1 开始的自然数依次写下来： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14．重新分组，按三个数字为一组： 123，456，789，101，112，131，，问第 10 个数是几？ 24．有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到 1993 个数这 1993个数之和．参考答案与试题解析一．填空题（共 11 小题） 1．表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组，如第一组是（数，我），第二组是（学，们）．数学是思维的体操数学是思维的体操数学我们参加希望杯竞赛我们参加希望杯竞赛那么第 2005 组是（维，杯）．【分析】分别观察上下二行，上一行 8 个字是按顺序重复的，下一行的 9 个字也是按顺序重复出现的，然后分别找出每一行第 2005 组中是规律的第几个字．【解答】解：20058=250（组）5（个），在第一行规律中第 5 个字是：维； 20059=222（组）7（个），在第二行的规律中第 7 个字：杯；所以第 2005 组是：（维，杯）．【点评】先观察找出规律，然后找出第 2005 组中的是规律中的第几个字即可． 2．将下列 10 个数分成两组，每组 5 个，要求两组中各数的乘积相等： 6，8，9，13，21，26，35，44，50，55 请在下面写出你的思考过程． 441321506=55263589 ．【分析】将这些数分解质因数，然后根据质因数的个数进行分组．【解答】解： 6=23 8=222 9=33 13=13 21=37 26=213 35=5744=2211 50=255 55=511 从上面可以看出 44 和 55 肯定分在不同组，13 和26 分在不同组，顺着这个思路不难得出下面的两组 441321506=55263589 【点评】此题只要保证两组算式中的相同质因数的个数相同即可． 3．把自然数 1、2、3、4、按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第五百七十行第二列．【分析】把 7 个连续的数看成一组，每组中前三个数是一行，这三个数是从左到右增大的，后 4 个数在一行，这 4 个数按照从右到左增大的；先求出 1995 里面有多少个这样的一组，还余几，再根据余数进行推算．【解答】解：19957=285；没有余数，1995 里面正好有中 285 组，是第 285 组的最后一个数，在第二列； 2852=570；所以 1995 是第五百七十行，第二列．故答案为：五百七十，二．【点评】先找出这个数阵周期性的规律，再根据规律求解． 4．一列数，前 3 个是 1，9，9，以后的每个数都是它前面相邻 3 个数的和除以 3所得的余数，这列数中的第 2005 个数是0 ．【分析】根据题意，列出这个数列：1、9、9、1、1、2、1、1、1、0、2、0、2、1、0、0、1、1、2、1易见，从第四个数开始每十三个数一个循环．由于前面还有三个数，所以需用 2005 减去 3 得再除以 13，即可得出答案．【解答】解：（2005﹣3）13=154， 2005 为循环节中的最后一个，即 0；答：这列数中的第 2005 个数是 0．故答案为：0．【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出规律，再根据规律，列式解答即可． 5．右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：则排在由上而下的第 10 行中从右边数第三个位置的数是．【分析】通过对已知数据进行观察分析可发现各行的前后两个数分别为行数的倒数，倒数第二个数等于前一行的最后一个数与本行的最后一个数的差，倒数第三个数等于前一行的倒数第二个数与本行的倒数第二个数的差，根据此规律解题即可．【解答】解：因为第 10 行最后一个数是，第 9 行最后一个数是，第 8 行最后一个数是，所以第 9 行倒数第二个数是﹣ = ，第十行倒数第二个数是﹣ = ，所以，第 10 行右数第三个数是﹣ = ．故答案为：．【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，做此类题的关键是观察分析发现规律，根据规律解题． 6．观察三角形数阵：那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是 462 ，2010 是第 45 行第 74 个数．【分析】（1）仔细观察：从左到右，第几个数上的数就是几，而且第一行 1 个数，第二行 3 个数，第三 5 个数，所以行数2﹣1=个数，则第二十一行有：212﹣1=41 个数，到这一行为止，共有：1+3+5++41=441 个数，那第 22 行由左到右的第 21 个数是 441+21=462．（2）2010 应该是第 2010 个数，那么 1+3+5+加到多少大概在 2010 左右呢？由（1）可知，第22行有222﹣1=43个数字，第这一行为止，共有1+3+5++43=484个数字，离 2010 个数字很远，试下到 44 行共有多少个数字，第 44 行有 442﹣1=87 个数字，到这一行为止共有：1+3+5++87=（1+87）442=1936个数字，2010﹣1936=74，说明 2010 在第 45 行第 74 个数字．【解答】解：（1）通过分析数阵可知：行数2﹣1=该行数字个数，则第二十一行有：212﹣1=41 个数．到这一行为止，共有：1+3+5++41=441 个数，那第 22 行由左到右的第 21 个数是 441+21=462．（2）从左到右，第几个数上的数就是几，2010 应该是第 2010 个数；可先试下到 44 行共有多少个数字，第 44 行有 442﹣1=87 个数字，到这一行为止共有： 1+3+5++87=（1+87）442=1936 个数字， 2010﹣1936=74，说明 2010 在第 45 行第 74 个数字．故答案为：462、45、74．【点评】完成此类题目的关健是认真分析数阵，找出其中数据的规律特点，从而据规律进行解答． 7．自然数列 1，2，3，，n，，它的第 n 组含有 2n﹣1 个数，第 10 组中各数的和是 1729 ．【分析】此题关键是读懂题意：由题意知，第 1 组有 21﹣1=1 个数，即 1．第2 组有 22﹣1=3 个数，即 1，2，3．以此类推．【解答】第 1 组到第 9 组共有自然数：1+3+5++ （29﹣1）= =81 （个）．因此，第 10 组第 1 号数是 82，第 10 组有 210﹣1=19 个数，所以第 10 组各数之和为．故答案为：1729．【点评】由简单到复杂，学会从最基本的入手． 8．设自然数按下图的格式排列： 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 （1）200 所在的位置是第 4 行，第 15 列；（2）第 10 行第 10 个数是 91 ．【分析】（1）我们看出：第一竖列都是行号的平方数．如 4=2 2 ，9=3 2 ，25=5 2 其数列发展也是按正方形来排列的 1234 ，正好构成一个正方形，123456789 又围成一个较大的正方形，其发展是按顺时针方向来旋转的．由此类推第 14 行第一列是 14 2 =196，此时也是此行最大．200只能在其外一圈的正方形上．200 就出现在第 15 列第 4 行．（2）第 2 题也可以得出第 10 行第 1 列为 10 2 =100，第 10 个数就得减 9 即得到91．【解答】解：（1）注意到第一列是完全平方数：1，4，9，16，25，按（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），分组，则 200 在 196 与 225 之间，属第 15 组，倒数第 4 个数，在第 4 行、第 15 列上．（2）第 10 行第 10 个数是位于第 10 行第 10 列上的数 91．【点评】数列题目需要看其数字发展的规律，往往从平方，加减，方形，斜线等角度来观察． 9．将奇数按下列方式分组：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），．（1）第 15 组中第一个数是 211 ；（2）第 15 组中所有数的和是 3375 ；（3）999 位于第 32 组第 4 号．【分析】从分组情况看第几组就有几个奇数如第 3 组就有三个奇数，第一题先看从第 1 组到第 14 组的奇数有多少个，再看下一个奇数是几，第二题利用等差数列来解题比较容易．第三题先求出大致是第几组再利用等差数列求是第几个数．【解答】解：（1）从第 1 组到第 14 组的奇数有 1+2+3++14= =105（个）．因此，第 15 组最初一个数是第 106 个奇数：2106﹣1=211．（2）在第 15 组中的数是以 211 为首项，公差为 2，项数等于 15 的等差数列，其和是 15211+ 2=3375．（3）设 999 位于第 n 组，因 3132=992，3233=1056，所以 n=32，第 32 组最初一个数是：[2（1+2++31）﹣1]+2=993．因此，999 是第 32 组的第 4 号数．【点评】此题是数列的题目的典型应用，需要熟练掌握其中的方法与技巧，要用试一试的办法找其规律． 10．给定以下数列：，，，，，，，，，，，（1）是第 429 项；（2）第 244 项是；（3）前 30 项之和是 17 ．【分析】从给定的数列看数列中分母是几，以此为分母的数就有几个．比如：分母是 4，则以 4 为分母的数便有 4 个．同理分母是 7 的得数有 7 个，所以第一题分母是 29 分子是 23 则前面有 28 组数加 23 个数．第二、三题需要试一试前多少组共多少个数．找到合适的组数在确定第几个数．【解答】（1）以分母相同的分数分组，并记分母为 n 的分数属于第 n 组，从而是第 29 组的第 23 号数，第 n 组由 n 个分数组成，从第 1 组到第 28 组有 1+2+3++28= =406 个分数，因此位于第 406+23=429 项．（2）因 2120=420，2221=462，2322=506，故第 244 项在第 22 组，前 21组有 =231个分数，从而第244项是居于第22组中的第13号数，是．（3）前30 项之和为 1+ （1+2）+ （1+2+3）++ （1+2++7）+ + =1 +2+ +3+ +4+ =10+=17 ．故答案为：429，，17 ．【点评】这类题目需要求前几项的和及其变形应用，是有一定难度的． 11．将自然数按下面的规律分组：（1，2），（3，4，5，6），（7，8，9，10，11，12），（13，14，15，16，17，18，19， 20），，第 1991 组的第一个数和最后一个数各是 3962091 3966072 ．【分析】每一组数的个数都在增加，第 n 组数的个数为 2n 个数，这组的第一个数就是前一组数的最后一个数+1，这个数是 2+4+6++2（n﹣1）+1；当然，这组数的最后一个数是 2+4+6++2n；当 n=1991 时，代入 1991 可得解．【解答】解：2+4+6++2（1991﹣1）+1 =2（1+2+3++1990）+1 =（1+1990）1990+1 =3962091；2+4+6++21991 =2（1+2+3++1991） =（1+1991）1991 =3966072；答：第 1991组的第一个数和最后一个数各是 3962091、3966072；故答案为：3962091，3966072．【点评】此题考查了数表中的规律，每一组数的个数为组数的 2 倍，正整数依次填入，发现规律，解决问题．二．解答题（共 13 小题） 12．在下面的一列数中，只有一个九位数，它是979899100 ．1234，5678，9101112，13141516，【分析】每 4 个相邻的正整数组成数列中的一个数，两位数中的前三个 10、11、12 已经和 9 组成了数列中的第三个数，余下的两位数还有 99﹣9﹣3=87，874=213，即有组成了 21 个 8位数，余下的三个两位数是 97、98、99 和 100组成第 25 个数列中的数979899100，刚好是一个九位数，从第 26 个数101102103104 开始就至少是 12位数，所以该数列只有一个九位数．【解答】解：99﹣9﹣3=87， 874=213，余下的三个两位数是 97、98、99 和 100 组成第 25 个数列中的数 979899100，刚好是一个九位数，从第 26 个数 101102103104 开始就至少是 12 位数，所以该数列只有一个九位数．故答案为：979899100．【点评】此题考查了数列中的规律． 13．甲、乙两包糖的重量比是 4：1，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为 7：8，那么两包糖的总重量是多少克？【分析】把甲、乙两包糖的重量比是 4：1理解为甲包糖是两包糖的总重量的，把后来甲、乙两包糖的重量比变为 7：8理解为后来甲包糖是两包糖的总重量的，即两包糖总重的（﹣）是10克，把两包糖的总重量看作单位1，根据对应数对应分率=单位1的量进行解答即可．【解答】解：4+1=5， 7+8=15， 10（﹣）， =10 ， =30（克）；答：两包糖的总重量是 30 克．【点评】解答此题的关键是抓住题中两包糖的总重量不变，判断出单位1，根据对应数对应分率=单位1的量进行解答即可． 14．将偶数排成下表： AB C D E 2 4 6 8 1614 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26 那么，1998 这个数在哪个字母下面？【分析】由图表看出：偶数依次排列，每 8 个偶数一组依次按 B、C、D、E、D、C、B、A 列顺序排．看A 列，E 列得到排列顺序是以 16 为周期来循环的．求出 1998 里面有多少个这样的周期，还余几，再根据余数判断．【解答】解：199816=12414 所以，1998 与 14 同列在 B 列．【点评】本题关键找出这个数表中数字循环的周期性规律，再根据规律求解． 15．在下面的数表中，第 100 行左边的第一个数是什么？ 5 4 3 2 6 7 8 9 13 12 11 10 14 15 1617 21 20 19 18 【分析】因为每行有 4 个数，前 99 行共有 994=396（个）数；这个数表中开始的最小的一个数为 2，奇数行是从右到左的顺序依次增加的；偶数行的数是从左到右依次增加的；整个数表可以看成是以 2 开始的自然数列，第 100 行的第一个数是第 397 个数，由此求解．【解答】解：994=396（个）；又因为这个数表中开始的最小的一个数为 2，所以，依数列的排列规律可知，第100 行的左边第 1 个数为： 396+1+1=398；答：第 100 行左边的第一个数是 398．【点评】解决本题关键是找出这些数的排列规律，然后根据规律求解． 16 ．把自然数 1 ～ 200 按下面的方法分成 A 、 B 、 C 三组．试问：（1）每组各有多少个数？最后一个数各是多少？（2）C 组的第 56 个数是几？（3）172 在哪一组的第几个数？【分析】完成本题目要根据数列的组数、数横排及竖排的排列特点及规律，结合高斯求和的有关知识进行解答．【解答】解：各组中偶数项中的数据及奇数项中的数据有以下特点：奇数项：A 组：6n﹣5，B 组：6n﹣4，C 组：6n﹣3，按竖列递增 k=2n﹣1，偶数项：A 组：6n，B 组：6n﹣1，C 组：6n﹣2，按竖列递减 k=2n；每一组的第 k 项 k=2n﹣1，k=2n，n=1，2，3据此可知：（1）200=633+2=634﹣4（属于 B 组奇数项），n=34，k=2n﹣1=67；所以：B 组有 67 项最后一个数 200，是 B 组的第 67 项；A 组有 67 项，最后一个数 199，是 A 组的第 67 项； C 组有 66 项，最后一个数 196，是 C 组的第 66 项．（2）C 组 k=56 项 n=28 是：628﹣2=166．（3）172=628+4=629﹣2 （C 组偶数项），C 组偶数项，n=29，k=229=58，所以，172 是 C 组的第 58 个数．【点评】完成此类题目要认真分析式中数据的排列特点，找出规律进行解答． 17．自然数按下图所示的方法排列．问：（l）射线 b 上第 1995 个数是几？（2）数 1995 在哪条射线上？【分析】通过观察可知，射线 b 上的数列为等差数列，公差为 3，根据高斯求和有关公式可知：末项=首项+（项数﹣1）公差，所以射线 b 上第 1995 个数是2+（1995﹣1）3；射线 c 上的数都为 3 的倍数，而 19953=665，1995为 3 的倍数，所以所以数 1995 在射线 C 上．【解答】解：（1）2+（1995﹣1）3 =2+19943， =5984；答：射线 b 上第 1995 个数是 5984．（2）因为射线c 上的数都为 3 的倍数，又 19953=665，所以数 1995 在射线 C上．答：数1995 在射线 C 上．【点评】完成本题要认真分析射上数列上数据的特点，找出其内在规律，然后据规律进行解答． 18．有一数列：101，203，105，207，109，211，求这数列的前 20 项的和．【分析】把这列数字看成两列数，奇数项一列，偶数项一列；奇数列为：101，105，109，可以看成是公差为 4 的等差数列，共 10 项；偶数项为：203，207，211，可以看成是公差为 4 的等差数列，共 10 项；根据等差数量求和公式求解．【解答】解：（1）101+（10﹣1）4=137，（101+137）102=1190， 203+（10﹣1）4=239，（203+239）102=2210，前 20 项的和是： 1190+2210=3400．答：这数列的前 20 项的和是3400．【点评】本题先把数量根据特点分组，再给各组找到规律，根据规律计算． 19．根据下图回答：（1）第一行的第 8 个数是几？（2）第五行第六列上的数是几？（3）200 的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？【分析】按图斜线划分分组比较容易发现（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），也就是每组的个数分别有 1，2，3，4，5，，第一行的第 8 个数是几即求前 7 个组共有多少数？我们还发现：自上而下第 m 行，自左而右第 n 列上的数在第（m+n﹣1）组中，照此可以解决第 2 题．先算出 200 在哪一组？再算出所在组的第一个数．【解答】解：（1）如图，所有自然数按自右上至左下以斜线分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），第 n 组第 1 号数是第一行的第 n 个数．从第 1 组到第（n﹣1）组有： 1+2+3++（n﹣1）= 个数，从而第 n 组第1 号数是 +1．因此，第 1 行第 8 个数是 +1=29．（2）一般地，自上至下第m 行，自左至右第 n 列上的数在第（m+n﹣1）组中，第五行第六列上的数在第 10 组中，第 10 组第 1 号数是 +1=46，第 10组在第五行的数是 46+5﹣1=50．（3）1920=380，2021=420，故 200 在第 20 组中，第 20 组第一个数是+1=191，因此数 200 在第 10 行第 11 列的位置上．【点评】解题关键在于斜线分组将题目化繁为简在解决比较简单． 20．一列数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，，其中自然数 n 出现 n 次．那么，这列数中的第1999 个数除以 5 的余数是 3 ．【分析】自然数 n 出现了 n 次，这 n 个 n 中的第一个数位于这列数的 n（n+1）﹣n+1= n（n﹣1）+1，最后一个数 n 位于这列数中的第（1+2++n）= n（n+1）个数．如：2，位于这列数的第 2 位和第三位；3，位于第四位和第六位之间；以此类推，可得出是哪个数是这列数中的第 1999 个数， n（n﹣1）+11999 n （n+1），又．因此，这列数中的第 1999 个数是 63，它除以 5 的余数是 3．【解答】解：自然数 n 出现了 n 次，这 n 个 n 中的最后一个数 n 位于这列数中的第（1+2++n= n（n+1）个数．又．因此，这列数中的第 1999 个数是 63，它除以 5 的余数是 3．故答案为：3．【点评】此题考查了数列中的规律，猜测法猜出这个数是解决问题的一个方法． 21．有这样一列数：123，654，789，121110，131415，181716，192021，．还有另一列数：1，2，3，6，5，4，7，8，9，1，2，1，1，1，0，1，3，1，4，1，5，1，8，1，7，1，6，1，9，2，0，2，1，，第一列数中出现的第一个九位数是 102101100 ，第二列数的第 1994 个数在一列数中的第 234 个数的万位上．【分析】第一列数中出现的第一个九位数时应该是最小的三位数 100 出现时，此数列每 6 个数一循环，前三个正整数正着数，后三个正整数倒着数，组成两个由连续的三个正整数构成的数，1006=164，前 96 个数构成 16 个循环，32 个数字，第 33 个数是 979899，则出现最小的三位数 100 时是 100、101、102 三个正整数倒数，即 102101100；第二列数都是单个数，1﹣9 占数列的前 9 个数，从 10﹣99，把一个数 10 分成了1，0 占 2 个数，这样 10﹣99 共占了（99﹣9）2=180 个数，从 100 开始，100﹣999 是把如 100 分成 1，0，0 占 3 个数，999﹣99=900，9003=2700，显然 1994 小于（2700+180+9）即第二列的第 1994 个数应该在 100﹣999 这些三位数中间，1994﹣9﹣180=1805，这 1805 个数那么在第一列数中组成的数都是 9 位数，18059=2005；说明第二列数的第 1994 个数在第一列数中九位数中的第 201 个数的第 5 位，如：702701700 中的中间的第五位刚好是万位．这个数在第一列中是第几个数，应该再加上 9 个一位数组成的三位数 3个、90 个两位数组成的六位数 30 个．【解答】解：此数列每 6 个数一循环，前三个正整数正着数，后三个正整数倒着数，组成两个由连续的三个正整数构成的数，1006=164，前 96 个数构成16 个循环，32 个数字，第 33 个数是 979899，则出现最小的三位数 100 时是100、101、102 三个正整数倒数，即 102101100；（1994﹣9﹣180）9=2005，说明第二列数的第 1994 个数在第一列数中九位数中的第 201 个数的第 5 位，如：701702703 中的中间的第五位刚好是万位． 200+1+93+903=234，答：第一列数中出现的第一个九位数是 102101100，第二列数的第 1994 个数在一列数中的第 234 个数的万位上．故答案为：102101100，234，万．【点评】此题考查了数列中的规律．理清思路是关键． 22．1，1，2，2，3，3，1，1，2，2，3，3，1，1，其中 1，1，2，2，3，3这六个数字按此规律重复出现，问：（1）第 100 个数是什么数？（2）把第一个数至第 52 个数全部加起来，和是多少？（3）从第一个数起，顺次加起来，如果和为 304，那么共有多少个数字相加？【分析】根据题意，可知，1，1，2，2，3，3 这六个数字按此规律重复出现，可以根据有余数的除法中，余数的规律求解即可．【解答】解：（1）因为 1006=164，所以第 100 个数与第 4 个数相同，为 2．（2）因为 526=84，所以第 1 个数至第 52 个数的和为（1+1+2+2+3+3）8+（1+1+2+2）=102．（3）因为 1+1+2+2+3+3=12，30412=254，又 1+1+2=4，所以从第一个数起，顺次相加，共加到第 256+3=153 个数，其总和才恰为 304．答：（1）第 100 个数是 2 数；（2）把第一个数至第 52 个数全部加起来，和是 102；（3）从第一个数起，顺次加起来，如果和为 304，那么共有 153 个数字相加．【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．23．把由 1 开始的自然数依次写下来： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14．重新分组，按三个数字为一组： 123，456，789，101，112，131，，问第 10 个数是几？【分析】重新分组的是一个三位数，要求第 10 个数是几，只要求出第 28、29、30 个数字是多少即可解决问题．【解答】解：从 1 到 9 有 9 个数字，10 到 19 有 20 个数字，从 1 到 19 一共由 29个数字，第 28 个数字是 1，第 29 个数字是 9，下一个数字应是 20 的第一个数字 2，所以第 10 个三位数是 192．【点评】此题主要利用数中所含数字的个数重新分组，算出数字的个数是关键，进一步找出分组的规律解决问题． 24．有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到 1993 个数这 1993个数之和．【分析】仔细观察这一数列，若把 1 抽出，则正好成为一个等差数列：1993，1992，1991，1990，；在原数列中三个数一组出现一个 1，则 1993 个数 19933=6641．可分为 664 组，最后一个也是 1，即 665 个 1，其余是 1993﹣665=1328个数，即除了 1 之外，最大是 1993，最小应是 1993﹣1328+1=666，首先算出这 1328 个数的和再加665 个 1 即可．【解答】解：1665+（666+1993）13282 =665+265913282 =665+1765576 =1766241；答：这 1993 个数的和为 1766241．【点评】此题主要通过分组发现数里面隐含的等差数列，从而找到问题的突破口，更好的解决问题．。

20181213小学奥数练习卷(知识点：完全平方数性质)含答案解析

20181213小学奥数练习卷(知识点：完全平方数性质)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：完全平方数性质）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方．A．14B．17C．28D．292．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共33小题）3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是．（2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为．6．有些三位数具有下面的性质：（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；所有满足这些性质的三位数之和为．7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是．8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是．9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有对．11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=．12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是．13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=．14．A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊奇的发现，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是．（填字母）15．有4个不同的数字共可组成18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个位数是一个完全平方数，倒数第二个四位数也是完全平方数，那么这两个数的和是．16．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是的平方．17．自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是．18．已知：503=125000，603=216000，如果a3=195112，且a为整数．那么a=．19．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是．20．十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如1×1=12，2×2=22，3×3=33，类推）21．在1﹣﹣﹣2012这2012个自然数中，是平方数但不是立方数的一共有个．22．如果存在n个连续自然数的平方和为质数，则n的所有取值的平方和等于．23．设M是三个相邻整数的平方和，则M的个位数字可能是．24．甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元．付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付．付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲元．25．一个四位数是完全平方数，四个数字的和是偶数，千位数字和百位数字的和为3，个位数字为偶数，那么这个数是．26．若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有个．27．把1，2，3，4，5，6，7，8，9按另一种顺序填在下表的第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数的和都是平方数．28．已知自然数n满足：12除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是．29．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有个．30．如果一个两位数与它的反序数（比如：52的反序数是25）的和是一个完全平方数，则称为“灵巧数”请写出所有的”灵巧数”：．31．给1999加上一个三位数，使结果是一个平方数，这样的三位数共有个．32．有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这18个数中最大的数是．33．已知两个质数的平方差等于21，那么，这两个质数的平方和等于．34．在2×2=4，3×3=9，4×4=16，5×5=25，6×6=36，…等这些算式中，4，9，16，25，36…叫做完全平方数．那么不超过2007的最大的完全平方数是．35．自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数有个．三．解答题（共15小题）36．一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？37．A、B、C三人到D老师家里玩，D老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个四位数．已知这三个四位数都是完全平方数（比如4=22，100=102，4、100都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是0，个位数都不是0，每个小朋友只能看见别人帽子上的数．这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：A说：“B、C帽子上数的个位数相同．”B、C同时说：“听了A的话，我知道自己的数是多少了．”A说：“听了B、C的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一个偶数．”求：A、B、C帽子上的数之和．38．从1至100中最多能取出个数，才能够确保其中任意两个数的最小公倍数与最大公因数的商不是一个完全平方数？39．某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．40．有多少种方法可以将22012表示成四个正整数的完全平方和？请证明你的结论．41．有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？42．有一对四位数对（2025，3136），拥有如下的特点：每个数都是完全平方数，并且第二个四位数的每个数码比第一个四位数的对应数码都大1．请找出所有满足这个个点的五位数数对．（如果找出的一对五位数为a和b，请写成（a，b）的形式．）43．少年官游乐厅内悬挂着250个彩色灯泡，按1﹣250编号．它们的亮暗规则是：第1秒，全部灯泡变亮；第2秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第3秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态．这样继续下去，第250秒时，亮着的灯泡有个．44．把既不是平方数也不是立方数的正整数（0除外）按从小到大的顺序排列，得到2，3，5，6，7，10，…，其中第1000个数是多少？45．将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数．则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2=3025，所以3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？46．老师为自己班级的50名学生做了50张分别写着1到50的数字卡片，每张卡片都是一面红色，另一面蓝色，两面都写着相同的数字．老师把这50张卡片都蓝色朝上地摆在桌上，对同学们说：“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是你自己序号的倍数，你就把它们都翻过来，蓝的就翻成红的，红的就翻成蓝的．”那么，当全体学生都按老师的要求翻完以后，红色朝上的卡片有多少张？47．在每个人心里都默记住两个不等于0的数．算出这两个数和的平方，其结果记做“共”，算出这两个数差的平方，其结果记做“迎”；再算出这两个数的乘积，记做“接”．请你你的“共”，“迎”，“接”来计算式子：（）2=？．请大家一起同声回答．48．是否能将1～l6这16个自然数排成一排，使得任相邻两个数的和都等于自然数的平方？如果能，请写出排法，如果不能，请说明理由．49．如果l，2，3…n可以这样重排，使得每个数加上它的序号的和都是平方数，那么n就称为“迎春数”．例如，自然数1，2，3，4，5可以重新排列为3，2，1，5，4；这时每个数加上它的序号的和都是平方数，那么5就是一个“迎春数”．问：在6，7，8，9，10，11中哪几个是“迎春数”？50．求同时满足下列三个条件的自然数a，b：（1）a＞b；（2）；（3）a+b是平方数．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方．A．14B．17C．28D．29【分析】首先利用枚举法得出所有的可能，进而利用已知分析得出所有可能，进而得出答案．【解答】解：先枚举出所有三位五重复数字的完全平方数．（1）根据甲的第一句话，排除了625，841，961 三种情形（2）根据乙的第一句话，知道乙拿到的一定不是2，4，6，从而只剩下了196，256，289，576，784 （更重要的是，此时此刻甲和丙并不知道乙知不知道结果，因此他们不能进一步缩小范围．）（3）根据丙的话，知道丙拿的一定不是6，否则就不可能知道结果，于是又排除了196，256，576．（4）根据甲的第二句话，知道甲在第二句话之后还不知道结果，因此甲一定是2．甲是由于丙的话排除了256，从而知道了自己是289的．（5）最后一句话没有用，但最后一句话是事实，因为丙不知道到底是289还是784，他只有听到了甲说完上一句话才能知道．故此数是17的平方．故选：B．【点评】此题主要考查了完全平方数的特征，利用枚举法得出所有可能是解题关键．2．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31【分析】A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值，然后求出α+β+γ的最小值即可．【解答】解：A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值：3×5﹣1是2的倍数，α的最小值为15，2×3﹣1是5的倍数，γ的最小值为6，2×5﹣1是3的倍数，β的最小值为10，所以α+β+γ的最小值是：15+6+10=31；故选：D．【点评】根据题意，推导出满足条件的α、β、γ值，是解答此题的关键．二．填空题（共33小题）3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=1090．【分析】由10个正整数取9个数相加只有9个不同的和，可得出有一个重复的数，设9个数的和中重复的数为x、s=a1+a2+…+a10，将这十个数相加即可得出x+813=9s，变形后可得出x+3=9s﹣810=9（s﹣90）是9的倍数，结合给定的数可得出x=87、s=100，继而可求出该10个正整数，将其平方再相加即可得出结论．【解答】解：∵只有9个不同的和，∴有一个重复．设9个数的和中重复的数为x，s=a1+a2+…+a10，∴x+86+87+88+89+90+91+93+94+95=9s，即x+813=9s，∴x+3=9s﹣810=9（s﹣90）是9的倍数，∴x=87，s=100，∴10个正整数分别是：14，13，13，12，11，10，9，7，6，5．∴a12+a22+…+a102=142+132+132+122+112+102+92+72+62+52=1090．故答案为：1090．【点评】本题考查了完全平方数的性质以及因数与倍数，将9个数之和全部相加，找出x+813=9s是解题的关键．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是0．（2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=8．【分析】（1）2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5=2n（1+2+4+8+16+32）=2n×63是9的倍数，可得2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数；（2）求出2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5，其和为335×（2+4+8+7+5+1）+2+4+8+7+5=14164847，即可得出结论．【解答】解：依题意可知：（1）2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5=2n（1+2+4+8+16+32）=2n×63是9的倍数，所以2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是0．（2）2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5，其和为335×（2+4+8+7+5+1）+2+4+8+7+5=14164847，各位数字之和为1+4+1+6+4+8+4+7=35，3+5=8直到各位数字之和为一位数，则k=8．故答案为0，8．【点评】本题考查数字和问题，考查逻辑推理，考查学生分析解决问题的能力，确定2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5是关键．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为13462．【分析】由题意，、、都是完全平方数，所以、、分别是16，64，49或36，64，49或81，16，64，可得四位数是1649或3649或8164，即可求出满足这个性质的四位数之和．【解答】解：由题意，、、都是完全平方数，所以、、分别是16，64，49或36，64，49或81，16，64，所以四位数是1649或3649或8164，所以满足这个性质的四位数之和为1649+3649+8164=13462．故答案为13462．【点评】本题考查位值原理，考查学生对概念的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．有些三位数具有下面的性质：（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；所有满足这些性质的三位数之和为1993．【分析】完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，再根据性质，得出满足条件的三位数为816、649、164、364．求和可得结论．【解答】解：完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，以16作为十位数、个位数，百位数取8，以49作为十位数、个位数，百位数取6，以64作为十位数、个位数，百位数取1或3，满足条件的三位数之和为816+649+164+364=1993，故答案为1993．【点评】本题考查完全平方数性质，考查学生对题意的理解，确定完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，再根据性质，得出满足条件的三位数是关键．7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是120．【分析】可以先确定A的值，由于一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，而质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，则B的十位上数字只能是2，又因为合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间，可以缩小范围再确定这三个数．【解答】解：根据分析，先确定A，∵一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，∴A=49；∵质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，∴B的十位上数字只能是2，而个位只能是3，故B=23；∵合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间即，∴C=48，故A+B+C=49+23+48=120，故答案是：120．【点评】本题考查了完全平方数性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质，以及质数合数的特征缩小范围，最后确定三个数的值．8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是2601．【分析】显然，将2016的四个数字重新编排后的数在1026～6210之间，要组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，而个位数为6和1的数中可以一个一个排除，缩小范围，最后确定答案．【解答】解：根据分析，将2016的四个数字重新编排，设此四位数为A=n2，322＜1026≤A≤6210＜802，32＜n＜80，要想组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，个位数为1和6的数有：2061、2601、6021、6201、1206、1026、2016、2106，共八个数，其中，若个位数为6，则n=36、46、56、66、76，而362=1296，462=2116，562=3136，662=4356，762=5776，均不合题意，故排除，所以个位数为1，而2061、2601、6021、6201，这四个数中只有2601=512，是一个平方数，此四位数是2601，故答案是：2601．【点评】本题考查了完全平方数的性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质，排除掉不合题意的数，再缩小范围确定结果．9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是225．【分析】小于1000的最大P型平方数，33的平方数是1089，这个数需要小于33的平方的平方数．q﹣2和q+2的差是4．只要找到数字相差4的不超过33的质数组合即可．【解答】解：小于33的质数有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2等数字差是4的两个质数有19和23最大．21﹣2=19，21+2=23.21×21=441．故答案为：441．【点评】本题关键在于找到q﹣2和q+2的差是4的质数，而且小于33的质数．要注意找到的是这两个质数，题中要找的是一个平方数441，不是21．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有3对．【分析】先讨论确定（a，b）=1，再得出设a﹣2b=p （p是质数），则x+2y=p，x﹣2y=1，p=4y+11～21被4除余1的质数有：5，13，17，即可得出结论．【解答】解：（1）若a﹣2b=2，则a=2b+2所以，2ab=4b2+4b4b2＜4b2+4b＜4b2+4b+1=（2b+1）2因为两个完全平方数之间不存在完全平方数，所以，2ab不是完全平方数．这种情况舍去．（2）若（a，b）=d≠1，设b=kd，则a=（2k+1）d，2ab=d2（4k2+2k）因为2ab是完全平方数，所以，4k2+2k是完全平方数，由于4k2＜4k2+2k＜4k2+4k+1=（2k+1）2同理这也是不可能的．综上所述，（a，b）=1从而，a﹣2b是奇数，所以，a是奇数，因为2ab是完全平方数，所以a=x2，b=2y2，（x＜10，y＜5）所以，a﹣2b=x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）设a﹣2b=p （p是质数），则x+2y=p，x﹣2y=1，两式相减得到4y=p﹣1所以，p=4y+11～21被4除余1的质数有：5，13，17，所以，这样的数对（a、b）共有3组解：①a=9，b=2；②a=49，b=18；③a=81，b=32．故答案为3．【点评】本题考查完全平方数的性质，考查质数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=3．【分析】由题意，五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7，再分类讨论验证可得结论．【解答】解：由题意，五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7，若是，则代入验证可得1232=15129，∴A=1，B=2，A+B=3．若是，则代入验证可得1172=13689，1272=16129，不符合题意，故答案为3．【点评】本题考查完全平方数性质考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是得出五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7．12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是2401．【分析】首先找到这些数字中尾数只能是1或者4才能构成平方数．再枚举这些数字，然后进行分解．只要分解出一个不是平方数的数字就不符合题意．【解答】解：首先根据是平方数判断尾数可以是1或者4．没有一个平方数尾数是2的．尾数是1和尾数是4时有1024，1204，2014，2104，2041，2401，4201，4021共8个数字．对以上8个数字进行分解得：①1024=25，②1204=4×301（不符合题意），③2014=2×1007（不符合题意），④2104=8×263（不符合题意）⑤2041=13×157（不符合题意），⑥2401=492（符合题意），⑦4201（质数），⑧4021（质数）．故答案为：2401【点评】本题关键是尽可能找到一个条件缩小可能出现的数字范围，比如如果是平方数尾数的特征是固定的．根据这些特征进行筛选．13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=22或2．【分析】设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，用①×9﹣②×4可以得到（3a+2b）（3a﹣2b）=77，然后把77进行分解，进而解得a、b的值．【解答】解：设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，①×9得，72n﹣63=9a2…③，②×4=72n﹣140=4b2…④式，③代入④式，得到9a2﹣4b2=77，即（3a+2b）（3a﹣2b）=77，又77=1×77=7×11，即或，解得a=13或3，分别把a=13或3，代入①得，8n﹣7=169，或8n﹣7=9，8n=176，或8n=16解得：n=22，或n=2，所以n=22或n=22．故答案为：22或2．【点评】本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是设出8n﹣7=a2，18n﹣35=b2．14．A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊奇的发现，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是N．（填字母）【分析】根据题意得：A、B、C都比他们的妻子多花63元，每个人花的钱是完全平方数，每对夫妻均有x2﹣y2=63．（x、y代表买到羊的只数，x＞y），即（x+y）（x﹣y）=63，求出方程的三组解（32，31），（12，9），（8，1），根据A比M 多买了23只羊，B比L多买了11只羊，可得结论．【解答】解：根据题意得：A、B、C都比他们的妻子多花63元，每个人花的钱是完全平方数，每对夫妻均有x2﹣y2=63．（x、y代表买到羊的只数，x＞y），即（x+y）（x﹣y）=63，而63=1×63=3×21=7×9（x+y与x﹣y的奇偶性一样），有或或，得到三组解（32，31），（12，9），（8，1），题目中B比L多买了11只羊，差11的只有一组，12﹣1=11，所以B=12，L=1，A比M多买了23只羊，32﹣9=23和31﹣8=23，但是若M=8，M和L是夫妻，矛盾，所以A=32，M=9，所以A的妻子是N．故答案为N．【点评】此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．15．有4个不同的数字共可组成18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个位数是一个完全平方数，倒数第二个四位数也是完全平方数，那么这两个数的和是10890．【分析】四个数字只有18个不同四位数，可以得出，四个数字中有一个为0；设：四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，下面从c值入手讨论（结合0＜a＜b＜c）：根据平方数个位特点：c=4，5，6，9，然后分情况讨论：得出符合条件的c值，进一步解决问题．【解答】解：设：四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，下面从c值入手讨论（结合0＜a＜b＜c）：根据平方数个位特点：c=4，5，6，9，当c=4时：只有32×32=1024；但是4201不是平方数，排除，当c=5时候：45×45=2025；55×55=3025都不符合，排除，当c=6时候：都不符合排除，c=9时：33×33=1089；9801=99×99 符合条件；最小：1089，倒数第二：9801，进而求出这两个数的和．这两个数的和是：1089+9801=10890．故答案为：10890．【点评】设出四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，根据平方数特点，解决问题．16．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是7777777的平方．【分析】通过观察与计算，1234567654321是1111111的平方，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49，是7的平方，因此它们的积是7777777的平方．【解答】解：1234567654321=11111112，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49=72，1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）=77777772．故答案为：7777777．【点评】对于在各种类型的题目，要仔细观察，进行试算，从中发现规律或技巧，进而解决问题．17．自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是110．【分析】先将3960写成62×2×5×11的形式，显然可以看出，再乘以2×5×11即可得出答案．【解答】解：因为3960=62×2×5×11，所以3960乘以2×5×11就可变成6×2×5×11=660的平方，故答案为：110．【点评】此题解答的关键在于通过分解质因数，求得n的最小值．18．已知：503=125000，603=216000，如果a3=195112，且a为整数．那么a=58．【分析】根据503=125000，603=216000，a3=195112，且a为整数，得出50＜a ＜60，由于个位数为2，可得结论．【解答】解：因为125000＜195112＜216000，503=125000，603=216000，a3=195112，所以50＜a＜60，由于个位数为2，则a=58．故答案为58．【点评】本题考查整数的确定，考查立方数的求解，比较基础．19．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是6084．【分析】首先个位只能为4（为0需2个0，为6需要十位数为奇数；其次，不用的数字只能是2（为0或6则被3整除余2，为8则被3整除而不被9整除），这样以来，只有6084、6804、8064、8604四种可能，然后进行验证即可得出结论．【解答】解：先个位只能为4（为0需2个0，为6需要十位数为奇数；其次，不用的数字只能是2（为0或6则被3整除余2，为8则被3整除而不被9整除），这样以来，只有6084、6804、8064、8604四种可能，因为78×78=6084，所以6084符合题意，它是78的平方；故答案为：6084．【点评】解答此题的关键是根据题意，进行推导，确定出个位数是4，不用的数是2是解答此题的关键．20．十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是1328．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如1×1=12，2×2=22，3×3=33，类推）【分析】十个不同奇数的平方之和的最小值，即从1开始，到19结束，求出1～19的10个不同奇数的平方之和，然后求出这个最小值被4除的余数，然后用10个不同奇数的平方之和减去这个最小值被4除的余数即可．。

20181213小学奥数练习卷(知识点：竖式数字谜)含答案解析

20181213小学奥数练习卷(知识点：竖式数字谜)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：竖式数字谜）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．加法算式中，七个方格中的数字和等于（）A．51B．56C．49D．48第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共44小题）2．根据下面的乘法竖式，可判断出最后的乘积是．3．如图是一个空白的除法竖式迷．要使计算成立，商最大时，被除数是．4．如图，在方框中填入适当的数字，使得竖式成立，则所得结果的各位数字和最大是．5．已知除法竖式如图：则除数是，商是．6．如图的式子中每一个中文字代表1～9中的一个数码，不同的文字代表不同的数码：则被乘数为．7．在乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立．这个乘法算式的积是．8．填入合适的数字，使如图所示乘法竖式成立．两个乘数的和是．9．请将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后一行的五位数是．10．下面的加法竖式中，所有数字互不相同，其中，数字2、0、1、6已经填好，那么，这个加法竖式的和是．11．将下面的乘法竖式补充完整，最后一行的乘积是．12．如图是一个乘法数字谜，最后的乘积为13．图中的乘法竖式，最后结果为．14．如图，乘法竖式中已经填出了3和8，那么，乘积是．15．在如图所示除法整式的每个方框中，填入适当的数字，使算式成立．那么算式中的被除数是．16．在如图的乘法整式中，每一个“□”和英文字母都代表一个数字；其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，而“□”中可以填写在任意的数字，已知P=6，那么五位数HAPPY是．17．如图，一道除法竖式中已经填出了“2016”和“0”，那么被除数是．18．如图乘法算式中只有四个位置上的数已知，它们分别是2，0，1，6请你在空白位置填上数字，使得算式能够成立．那么乘积为．19．如图算式中，不同的汉字代表不同的数字，那么，代表的四位数最大是．20．如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘数中较小的是．21．如图的乘法竖式中，相同的汉子代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字：乘法竖式正确填写后，“”所代表的四位数是．22．如图，一道乘法竖式已经填出了2、0、1、6，那么乘积是．23．如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘积是．24．如图的两个竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字．两个△和两个□中填入的数字分别相同：那么，“花园探秘”的值是．25．如图，将竖式填写完全后，所得的乘积是．26．请把如图所示的算式谜补充完整，那么被除数为．27．在下面的空格中填入合适的数字，使得乘法竖式成立，其中的乘积为．28．在如图的方格中填入适当的数字，使乘法竖式成立，那么乘积是．29．已知图中的除法竖式成立，则被除数等于．30．在如图的方格中填入适当的数字，使乘法竖式成立，那么乘积是．31．如图，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．所有的汉字都不为0，也不与图中已经出现的数字相同，那么四位数“中环杯棒”=．32．已知0.+0.b=，相同的字母代表相同的数字，不同的字母也可以代表相同的数字（比如a=b=1），则=．33．将如图的乘法竖式数字填充完整，其中，两个乘数的和是．34．在如图的每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，那么，这个算式的乘积是．35．如图，一道除法竖式中已经填出了“2015”和“0”，那么被除数是36．在如图的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法算式成立，乘积等于．37．在图中的竖式除法中，被除数为？38．在下面算式的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法竖式成立，两个乘数之和是39．在下面算式的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法整式成立，两个乘数之和是40．如图除法竖式中的商是．41．如图的两个竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么四位数=．42．请在如图的每个方框中填入适当的数字，使得竖式成立（现已填入“2015”）那么竖式中乘积的最大值是．43．在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立，那么这个算式的乘积是．44．请将0～9折10个数分别填入如图的10个方框中，使得减法算式成立．如果“6”、“1”这两个数字分别填在被减数的前两个方框中，那么算式的差是．45．在如图每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，两个乘数的和是．三．计算题（共1小题）46．在下面□中填入合适的数．四．解答题（共4小题）47．下面竖式中的两个乘数之和为多少．48．在如图算式中的所有空格内各填入一个数码，使得算式成立．49．a，b，c，d，e都是自然数，且0＜c＜b＜a＜d＜e≤9，若如图的算式成立，求．50．如图，一个四位数加上一个三位数和为2015，这两个数的数字和等于．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．加法算式中，七个方格中的数字和等于（）A．51B．56C．49D．48【分析】根据两数相加最大进位是1可知．个位数字相加结果是14，十位和百位数字相加和为18，千位有1个进位1．即可求解．【解答】解：依题意可知：根据两数相加最大进位是1可知．个位数字相加结果是14，十位和百位数字相加和为18，千位有1个进位1．14+18+18+1=51．故选：A．【点评】本题考查对竖式谜的理解和运用，关键是找到只有1的进位问题解决．二．填空题（共44小题）2．根据下面的乘法竖式，可判断出最后的乘积是9708．【分析】假设两位数为AB，三位数为8CD，由竖式中可知：该两位数与三位数相乘后，中间一行没有，故C必为0，然后再根据两位数与一位数相乘的规律即可求出A、B、D的数字．【解答】解：为方便说明，假设两位数为AB，三位数为8CD，由竖式中可知：该两位数与三位数相乘后，中间一行没有，故C必为0，由竖式可知：AB×8还是两位数，故A必为1，由于1B×D是三位数，故B必定大于1，因为1B×8是两位数，所以B不能大于2，故B只能等于2，所以两位数为12，由于12×D是三位数，故D必定为9，所以三位数为809，故最后乘积为12×809=9708，故答案为：9708．【点评】本题考查竖式数字谜，解题的关键是熟练运用两个数相乘的竖式运算规律，本题属于中等题型．3．如图是一个空白的除法竖式迷．要使计算成立，商最大时，被除数是10879．【分析】注意观察竖式可知五位数中，万位是1，千位为0，除数的十位只能是1，由于商要最大，所以商的百位最大为9，从9开始讨论即可得出答案．【解答】解：为方便说明：可用字母表示各个空格，如图所示，由于竖式除法可知：FGH减去KL后是所得的数是个位数，从而可知F=1，G=0，K=9，由于要使商最大，∴A最大为9，可从9开始尝试，由于K=9，9乘以DE后所得的两位数，十位为9，故D=1，E只能是1或0，当E=0时，所以除数为10，此时KL必定为90，由于FGH减去KL所得的数为个位数，即10H减去90所得数为个位数，由减法可知，该式不可能成立，当E=1时，所以除数为11，此时KL必定为99，由于商要最大，所以B先从9开始考虑，当B=9时，此时OP=99，由于MN减去OP所得的数为个位数，即MN减去99所得的数为个位数，由减法可知：此式不可能成立，所以B=8，此时OP=88，由于商要最大，所以C可以从9开始考虑，当C=9时，此时SM=99，由于余数为0，所以QR=SM=99，所以J=9，所以MN=88+9=97，所以H=8，I=7，所以被除数为10879，除数为11，此时商最大为989，故答案为：10879，【点评】本题考查竖式数字谜，解题的关键是根据竖式除法以及竖式减法先得出F、G、K的值，然后根据商最大判断A、B、C的情况，本题属于中等题型．4．如图，在方框中填入适当的数字，使得竖式成立，则所得结果的各位数字和最大是36．【分析】首先根据已知数字找到能确实的数字，然后根据进位和找到数字的最大和最小再排除即可．【解答】解：根据题意可知求最大：根据已知数字0判断第一个乘数的十位有可能是0或者5，再因为数字6，只能是与5的乘积加上一个进位．故第一个十位数字是5．根据乘数的乘积有数字6并且是三位数，那么首位数字乘积加上一个进位就是小于10的，那么3×2=6满足条件而且最大1×5=5满足条件而且最小；①当第一个乘数的首位数字是2，第二个乘数的首位是3．再根据含有数字1的结果是4位数，而且是偶数乘以5加上进位满足1的条件．最大是4，那么第一个乘数的个位数字就是4．即：254×342=86868（数字和为36）②当第一个乘数的首位数字是1，第二个乘数的首位数字是5时152×582=88464（数字和为30）也是满足条件的，故答案为：36【点评】本题考查对数式谜的理解和综合运用，关键在找到确定数字，再进行枚举排除．问题解决．5．已知除法竖式如图：则除数是15，商是29．【分析】根据题意，由除法竖式的计算方法进行推算即可．【解答】解：根据竖式可知，除数与商的个位数相乘的积的末尾是5，可得，除数的个位数与商的个位数必有一个是5，另一个是奇数；假设，商的个位数是5，即商是25，由135÷5=27，27×2=54，大于被除数的前两位，不符合题意，那么除数的个位数字是5；由□5×2是两位数，并且小于4□，可知除数的十位数字小于或等于2，假设是2即25×2=50＞4□，不符合题意，那么除数只能是15；又因为15×9=135，所以，商是29，被除数是29×15=435．竖式是：故答案为：15，29．【点评】根据题意，由除法竖式的计算方法进行推算即可．6．如图的式子中每一个中文字代表1～9中的一个数码，不同的文字代表不同的数码：则被乘数为142857．【分析】根据汉字代表数字的特点，设出相同的文字用同一个字母代替，利用给出的算式列出等式，进一步利用数字特点解答即可．【解答】解：设“学奥林匹克“=A，“数”=B，则3×（A+100000B）=10A+B，3A+300000B=10A+B，7A=299999B，A=42857B．只可能B=1，符合题意，从而A=42857，B=1．所以被乘数是142857．故答案为：142857．【点评】考查了竖式数字谜，此题主要抓住相同的文字，设出同一个字母表示，再利用十进制列出等式，进一步利用数字特点解答即可．7．在乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立．这个乘法算式的积是8820．【分析】（1）根据两个乘数的末尾数字相乘得0，可以第一个乘数的末尾可能是0或5，在根据第一个乘数的末尾数字与第二个乘数的十位数字相乘的末尾数字是5，可以确定第一个乘数的个位就是5．（2）根据第一个乘数与第二个乘数个位6相乘得一千多，就能确定第一个数的百位数字是2或3，分别计算245÷6=1470，345×6=2070，由此断定第一个乘数就是245．（3）因为积是八千多，所以能确定第一个乘数245乘第二位乘数的十位数字积是六百多或七百多，由此确定第二个数的十位数字是3．【解答】解：245×36=8820．【点评】抓住积的特征联系乘数各位数字进行推理．8．填入合适的数字，使如图所示乘法竖式成立．两个乘数的和是925．【分析】根据第一个因数的个位与第二个因数十位乘积的末位数是1，可确定第一个因数和第二个因数的十位是1，或9，或3、7，如是1，第二个因数的十位与第一个因数相乘的积是二位数，与算式矛盾；如是9，则第一个因数应是几十九，它与2的乘积不可能得到几百零几，所以第一个因数的个位是3或7，如是7，则第一个因数应是几十七，它与2的乘积不可能得到几百零几，所以第一个因数的个位是3，第二个因数的十位是7，据此可推出第一个因数的十位是5，进而推出第二个因数的百位是8．【解答】解：53+872=925答：两个乘数的和是925．故答案为：925．【点评】本题的重点是根据第一个因数的个位与第二个因数十位乘积的末位数是1，来推出第一个因数和第二个因数十位上的数是多少．9．请将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后一行的五位数是30975．【分析】根据竖式乘法以及乘法与加法的法则即可求出答案．【解答】解：为方便说，各空格标示字母，如图所示，由竖式可知：E=0，由于ABC×5是一个四位数，且最高为1，若A=1时，此时1BC×5不可能是四位数，故A=2，由于2BC×D=2F5，故D=1，且B=F，因为1+F=10，所以F=9，所以ABC表示三位数是295，DE5表示三位数是105，所以最后结果为30975故答案为：30975【点评】本题考查竖式数字谜，解题的关键是熟练竖式乘法，以及乘法、加法的法则，本题属于中等题型．10．下面的加法竖式中，所有数字互不相同，其中，数字2、0、1、6已经填好，那么，这个加法竖式的和是1053．【分析】此题的思路就是根据黄金三角得出C=9．知道ABDEF从3、4、5、7、9中选，再根据条件推算ADF，最后推出BE即可．【解答】解：式子中的空格用字母表示，如上图．（1）因出现黄金三角，所以C一定为9．（2）由题目要求数字互不相同，所以ABDEF只能是3、4、5、7、8．（3）A+2+D应该有的情况为：①AD取3与4、5、7、8的组合有：3+4+2=9，9已有不行；3+5+2=10，0已有不行；3+7+2=12，2已有不行；3+8+2=13，3已有不行．②AD取4与5、7、8的组合有：4+5+2=11，1已有不行；4+7+2=13，3没有可以；4+8+2=14，4已有不行．③AD取5与7、8的组合有：5+7+2=14，4没有可以；5+8+2=15，5已有不行．④AD取7、8组合，7+8+2=17，7已有不行．综上可得：AD取4与7，5与7两种组合符合条件．若AD为4、7时，F=3⇒BE为5、8．当B=5时，B+6+1=12，即E为2不是5，所以不行；当B=8时，B+6+1=15，即E=5行．若AD为5、7时，F=4⇒BE为3、8．当B=3时，B+6+1=10，即E为0不是8，所以不行；当B=8时，B+6+1=15，即E为5不是3，所以不行．故：只有E=5，F=3一种符合条件．即答案是1053．【点评】此题首先应看到黄金三角，从而确定C，然后才便于推算出结果．11．将下面的乘法竖式补充完整，最后一行的乘积是2016．【分析】观察式子的特点，得知F一定为6，AB与C积的个位是2，AB与D积的个位是6．这是此题的着手点，然后再找条件，进行逐步检验得出符合条件的式子即可．【解答】解：将题目中的空格用字母表示，如上图．（1）F+0=6⇒F=6（2）B×D积的个位是6⇒BD进行组合的数应为1与6、2与3、2与8、4与4、4与9、6与6、7与8⇒B可为1、2、3、4、6、7、8．（3）B×C积的个位是2⇒BC进行组合的数应为1与2、2与6、3与4、4与8、6与7、8与9⇒B可为1、2、3、4、6、7、8、9．（4）B可选的数有：1、2、3、4、6、7、8共7种情况．（5）AB×D积是两位数，AB×C积是三位数⇒C＞D①若B=1时，则只能D=6，C=2，所以D＞C不行．②若B=2时，则D可为3、8，B可为1、6．因C＞D，所以只能C=6，D=3⇒A2×63，A可取2﹣﹣9．即得：22×63=1386，32×63=2016，42×63=2646，52×63=3276，62×63=3906，72×63=4536，82×63=5166，92×63=5796．这些积只有32×63的积符合G0H6的形式，其它均不行，故只有A=3，32×63行．③若B=3时，则D=2，C=4⇒A3×42，A可取3﹣﹣9．经检验（过程同上）都不行．④若B=4时，则D为4、9，C为3、8⇒D=4，C=8⇒A4×84，A可取2﹣﹣9．经检验（过程同上）只有24×84的积符合G0H6的形式，其它均不行，故A=2，24×84行．⑤若B=6时，则D为1、6，C为2、7⇒D=1，C=2或D=1，C=7或D=6，C=7三种可能，即A6×71，A6×21，A6×76三种．经检验（过程同上）A6×71和A6×76中没有符合的，只有A6×21中96×21积符合G0H6的形式，其它均不行，故只有96×21行．⑥若B=7时，则D=8，C=6，所以D＞C不行．⑦若B=8时，则D为2、7，C为4、9⇒D=2，C=4或D=2，C=9或D=7，C=9三种可能，即A8×42，A8×92，A8×97三种．经检验（过程同上）A8×92和A8×97中没有符合的，只有A8×42中的48×42积符合G0H6的形式，其它均不行，故只有48×42行．综上得：32×63=2016，24×84=2016，96×21=2016，48×42=2016故：最后一行的乘积是2016．【点评】此题突破口好找，但检验麻烦，一定要认真细心才行．12．如图是一个乘法数字谜，最后的乘积为56500【分析】将此题的空用不同字母分别代替，如图．根据图形结构可得这题的着手点是题目中的出现数字多的部分，所以应从K入手，然后一步一步地去推算出来所有字母代表的数字．【解答】解：用不同字母表示不同位置的空格，如上图．（1）∵2+0+2＜10，∴2+9+K和的个位数是6⇒K=5，（2）∵2+9+5=16，∴J+1=5⇒J=4，（3）∵ABC×F=22GH，ABC×D=452，452的6倍＞22GH＞452的4倍，∴F＞4D⇒D只能是1或者2，又∵C×D积的个位是2，⇒CD可能是（1×2）、（2×1）、（3×4）…，∴CD只要两种情况C=1，D=2或C=2，D=1，①C=1，D=2时：∵ABC×D=452⇒AB1×2=452⇒2和1﹣﹣9的任意一个数相乘个位都不肯能出现5．∴这种情况不行．②C=2，D=1时：ABC×D=452⇒AB2×1=452⇒A=4，B=5，ABC×E=90S⇒452×E=90S⇒4×E＜10⇒E是1，2．若E=1时，452×1积不能出现90S形式，所以E不能是1，只能是2．若E=2时，452×2=904，符合90S的形式，所以E是2，S=4．ABC×F=22GH，F＞4D，D=1⇒F是5、6、7、8、9．若F=5时，452×5=2260，符合22GH的形式⇒G=6，H=0．若F=6时，452×6=2712，2712＞22GH的形式，所以F=6不行．∵6与452的积大于22GH，∴7、8、9与452的积就更大于22GH⇒F是7、8、9时也不行．综上所述得：A=4，B=5，C=2，D=1，E=2，F=5，G=6，H=0，S=4，J=4，K=5．（4）H+0+0=0，N为0的个位⇒N=0（5）G+S=6+4=10，M为10的个位⇒M=0（6）2+0+2+1=5，L为5的个位⇒L=5故：452×125的积是56500．【点评】此题着手点好找，就是过程太麻烦，要求能做到耐心与细心才行．13．图中的乘法竖式，最后结果为4485．【分析】用字母代表空白的位置，如图．观察图中的情况可从AB与C、D、5三个数的乘积的数位入手，逐步推算即可．【解答】解：（1）∵AB×5=E1F是个三位数⇒AB最小是20，又∵AB×C=2H，∴A=2，C=1．（2）AB×5=2B×5=E1F⇒E=1，B×5=1F⇒B=2，F=0或B=3，F=5，∵AB×D=22×D=G0S是个三位数⇒D为5、6、7、8、9．①若B=2，F=0时，22×5=110，22×6=132，22×7=154，22×8=176，22×9=198这些积中没一个符号G0S形式的，所以此情况不行．②若B=3，F=5时，23×5=115，23×6=138，23×7=161，23×8=184，23×9=207这些积只有207符号G0S的形式，D=9．总结得：B=3，F=5，D=9．（3）23×195=4485．故：最后结果为4485．【点评】此题的入手点是积的数位，像这类题只有入手点正确就可推出结果．14．如图，乘法竖式中已经填出了3和8，那么，乘积是1843．【分析】首先根据进位分析结果的首位是1，再根据乘积的尾数是3的共有2种情况，分析排除即可．【解答】解：依题意可知：结果中有1个进位那么前两位数字是18，乘积中最大数字就是两位数乘一位数的最大99×9=891结果是800多，不会有900多．故第一个结果首位是8，第二个结果中的首位数字就是9．尾数是3的共有1×3或者7×9，再根据第二个乘积是两位数，即97×19=1843故答案为：1843【点评】本题的关键是找到结果首位是1，相加得18的只能是9和8，再加上进位，乘积尾数是3的情况可以确定2种，枚举即可问题解决．15．在如图所示除法整式的每个方框中，填入适当的数字，使算式成立．那么算式中的被除数是53036．【分析】首先根据已知数字确定尾数分别是2，1，7．根据尾数判断除数和商的数字，最后根据除数和商的乘积加上余数就是被除数．【解答】解：依题意可知乘积的结果的个位数字分别是2，1，7．根据尾数是1的共有1×1，3×7，9×9．再根据尾数是7的乘积是1×7，3×9，两次都有数字3，那么优先考虑除数的尾数是3的情况．那么商分别是4079．再根据除数与7的积是两位数，那么首位数字只能是1，即13×4079+9=53036故答案为：53036【点评】本题的关键是找到乘积的尾数是2，1，7．在根据数字的尾数判断除数的十位，被除数=除数×商+余数或者倒推填写竖式解决问题．16．在如图的乘法整式中，每一个“□”和英文字母都代表一个数字；其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，而“□”中可以填写在任意的数字，已知P=6，那么五位数HAPPY是90662．【分析】首先根据数字1进行推理出来乘数的结果是十位数字是0+6组合，再确定第一个乘数的首位数字2，再用枚举法找出第二个乘数的个位满足题意合适的数字，接下来末尾分析即可．问题解决．【解答】解：依题意可知首先根据数字P=6，十位数字中没有进位，那么第一个结果中的四位数的十位是0．再根据乘数中的数字1和得数中的数字2判断第一个乘数的百位是2．再根据第一个结果中含有2个数字0，如果千位数字是1，那么需要乘数乘以5，经过检验不符合条件，那么四位数的千位数字或者为2．那么第二个乘数的个位数字就是6，7，8，9这四种可能性．根据尾数判断只有数字7符合．即286×7=2002．再根据结果中的百位数字P是6，得最后的三位数尾数是8，那么乘数中的百位数字就是3．故答案为：90662【点评】本题的关键是根据数字1进行推理出来乘数的结果是十位数字是0+6组合，再确定第一个乘数的首位数字2，再用枚举法找出第二个乘数的个位满足题意合适的数字，接下来末位分析即可．问题解决．17．如图，一道除法竖式中已经填出了“2016”和“0”，那么被除数是83720．【分析】根据题意可知被除数的个位是0，因被除数的十位与0与相减的差是2，所以被除数的十位上的数是2，再根据被除数的百位与6的差是1，可确定被除数的百位上的数是7，又根据除数与与商的十位数及商的个位数相乘的得数的末位数是0，可确定商的个位数或除数的个位数有一个是0或5，0不符合题意，只能是5，又除数与商的百位数相乘的结果的末尾数是6，所以只能是商的个位数是5，则除数的个位数只能是一个偶数，不能是2，如是2则与除数与5相乘的十位数上不可能是2，可以是4，不能是6，因如是6，则除数与5相乘的十位数上不可能是2，同理也不能是8，所以除数的个位数只能是4，且除数与商的个位数5相乘得数是一个三位数，所以除数的百位数只能是1，就是1几十4与5的乘积得到是几百二十，这样可确定除数的十位数是8，进而可确定除数与商的个位数相乘得数是920，再根据除数与商的十位数相乘是三位数，上面的四位数减这个三位数是92，可确定商的十位数也是5，进而再根据除数和商的百位数上的商的个位数是6，可确定商的百位数是4．据此解答．【解答】解：【点评】本题的重点是根据已知的条件，先确定商的个位数是5，进而推出除数是多少，再进一步解决问题．18．如图乘法算式中只有四个位置上的数已知，它们分别是2，0，1，6请你在空白位置填上数字，使得算式能够成立．那么乘积为2205．【分析】根据题意第一个因数是六十几，它与第二个因数相乘的十位相乘后得到的积与这个数与个位数相乘的积的和是二千几百零几，可确定第二个因数的十位数是3或4，再根据积的十位数是0，可确定第一个因数的个数与第二个因数的十位数相乘的末尾数是9，可确定第二个因数的十位数是3，因4不论和谁相乘的末尾数不能得到9，这样就可确定第一个因数的个位数是3，再根据第一个因数63与第二个因数相乘得几百一十几，可推出第二个因数的个位数是5．据此解答．【解答】解：答：乘积是2205．故答案为：2205．【点评】本题的重点是先确定第二个因数的十位数是多少，进而推理解答问题．19．如图算式中，不同的汉字代表不同的数字，那么，代表的四位数最大是1786．【分析】根据和是2016，要使代表的四位数最大，可确定“数”是1，因“探”不能为0，“学”最大是9，如是9，则“探”是1，不合题意，“学”是8，则“探”是2，“花”与“秘”的和的末尾应是1，且不能进位，不合题意，所以“学”是7，“秘”是3或2，要使“花”最大，则“探”应是2，所以“花”是9，则“秘”是2，不合题意，“花”是8“秘”是3，则“园”最大是6，“行”是0，据此解答．【解答】解：答：代表的四位数最大是1786．【点评】本题的重点是先确定中数是几，再把数从大到小进行推理，得出符合条件的数．20．如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘数中较小的是152．【分析】根据题意可知第一个因数与第二个因数相乘的积是一百几十几，可确定第一个因数的个位数是1，第二个因数的个位数也是1，又第一个因数与第二个因数的百位数相乘得一个四位数，所以第二个因数的百位上的数是大于5的数，又因它与2的乘积是十几，再根据第一个因数与第二个因数的百位数相乘的倒数第二位数是6，可确定第二个因数的百位数是9或7，所以乘数较小的数是152．【解答】解：答：乘数较小的数是152．故答案为：152．【点评】本题的重点是先确定第一个因数的百位数是几，进而求出第二个因数百位上的数，从面解决问题．21．如图的乘法竖式中，相同的汉子代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字：乘法竖式正确填写后，“”所代表的四位数是1537．【分析】根据乘法口诀可确定“学”是1、5或6，“学”如是1，则“学”与“数”的乘积应是“数”不合题意，所以“学”是5，则根据“数学”与“学”的乘积是一个两位数，可确定数只能是1，进而可得出“园”是7，再积的最高位是5，可确定“花”是3．如“学”是6，则根据则根据“数学”与“学”的乘积是一个两位数，可确定数只能是1，则“园”是9，进而推出“花”是1或6，都不符合题意．【解答】解：答：”所代表的四位数是1537．故答案为：1537．【点评】本题的重点是先确定“学”是几，进而进行推理解答．22．如图，一道乘法竖式已经填出了2、0、1、6，那么乘积是6156．【分析】首先判断根据数位相乘结果是一个四位数和一个三位数，那么两位数的乘数中的十位数字小于2只能是1，再根据个位数字是6，那么乘数的尾数是3，同时四位数的结果是1000多那么百位数字只能是5，再根据数字关系求解即可．【解答】解：依题意可知乘数中的三位数乘以2结果是一个四位数，那么百位数字是大于4的数字，再根据数字0得知结果是1000多是数字那么乘数中的百位数字是5．而且乘数的三位数的十位数字乘以2没有进位．同时这三位数乘以一个数还是结果是三位数推理出乘数中2前面的数字是1，即乘数的两位数是12．再根据结果中的尾数是6，那么三位数的乘数的个位是3．再根据数字1得0+1=1，那么这个三位乘数是513故答案为：6156【点评】本题的关键是找到结果数字中位数的关系，利用末位分析法和首位分析法再结合已知数字进行排除即可问题解决．23．如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘积是612．。

(完整版)排列组合练习试题和答案解析

(完整版)排列组合练习试题和答案解析
《排列组合》
一、排列与组合
1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？
2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？
3.现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是
4.有编号为1、2、3的3个盒子和10个相同的小球，现把10个小球全部装入3个盒子中，使得每个盒子所装球数不小于盒子的编号数，这种装法共有
A.9种B.12种C.15种D.18种
5.将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的方法有多少种？
6.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种？
由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.
12.从5部不同的影片中选出4部，在3个影院放映，每个影院至少放映一部，每部影片只放映一场，共有种不同的放映方法（用数字作答）。
五、元素与位置——位置分析
1.7人争夺5项冠军，结果有多少种情况？
2. 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?
（2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？
2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？
3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是
A.3761 B.4175 C.5132 D.6157
4.设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有

小学数学《排列组合》练习题（含答案）

小学数学《排列组合》练习题（含答案）

小学数学《排列组合》练习题（含答案）小学数学《排列组合》练习题（含答案）加乘原理，排列组合是四年级一个重要的学习内容，在之前的学习中，我们已经对它们有所了解，对于加乘原理我们只需要记住：加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关！排列组合的应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.可利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.本讲主要巩固加强此部分知识，注重排列组合的综合应用.排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnp（m≤n），m(1)(2) (1)mnp n n n n m=---+共个数.其中!(1) (1)nnP n n n==?-??.【例1】4名男生和2名女生去照相，要求两各女生必须紧挨着站在正中间，有几种排法？分析：分两步进行，先安排两个女生有22P 种方法，4个男生站的位置有44P 种方法，共有2424P P ?=2×1×4×3×2×1=48(种)，故有48种排法．【巩固】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案? 分析：把4个空车位看成一个整体，（4个空车位看成一样的）与8辆车一块儿进行排列．99362880P =.【前铺】讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将排列公式的计算练习一下！计算：（1）321414P P - ；（2）53633P P - 分析：（1）321414P P -=14×13×12-14×13=2002 ；（2）53633P P -=3×（6×5×4×3×2）-3×2×1=2154 .【例2】书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果同类书可以分开，一共有多少种排法？（只写出表达式，不用计算）分析：每种书内部任意排序，分别有44P ，55P ，33P 种排法，然后再排三种类型的顺序，有33P 种排法，整个过程分4步完成．44P ×55P ×33P ×33P =103680(种)．如果同类书可以分开，就相当于4+5+3=12本书随意排，有1212P 种排法.【例3】用0，1，2，3，4可以组成多少个没重复数字的三位数？分析：（法1）在本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1，2，3，4这四个数字中选择1个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有2 4P 种方法．由分步计数原理得，三位数的个数是：4×24P =48(个)．（法2）：从0，1，2，3，4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0．从0，1，2，3，4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：35P -24P =5×4×3-4×3=60-12=48(个)．不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么全排列再剔出不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【前铺】（1）用1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的三位数? （2）用1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？分析：（1）要组成三位数，自然与三个数字的排列顺序有关，所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题，可以组成35P =5×4×3=60种没有重复数字的三位数．（2）没有要求数字不能重复，所以不能直接用35P 来计算，分步考虑，用乘法原理可得：5×5×5=125（个）.注意“重复”和“没有重复”的区别！【巩固】用数码0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数? 分析：小于1000的自然数包括一位数、两位数、三位数，可以分类计算．注意“0”是自然数，且不能作两位数、三位数的首项．11124444569P P P P +?+?=（个）.很自然的知道需要根据位数分类考虑，而且首位非零的限制也需要考虑．【例4】由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?分析：先排独唱节目，四个节目随意排，有44P =24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应23P =6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．【例5】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？（1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排.分析：（1）775040P =（种）.（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ?= (种)．（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ?=（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．【例6】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜，至少要试多少次？分析：四个数字之和为9的情况有：l+1+1+6=9；1+1+2+5=9；1+1+3+4=9；1+2+2+4=9；1+2+3+3=9；2+2+2+3=9，分别计算这6种情况．对于“l+1+1+6”这种情况，我们只需考虑6，其它1放那都一样；对于“1+1+2+5”这种情况，只需考虑2和5，其它同理，可得答案：12222144444456()P P P P P P +++++=次【巩固】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：一共有多少种不同的订法?分析：可以分三种情况来考虑：(1)3所学校订的报纸数量互不相同，有98，100，102；99，100，101两种组合，每种组各有33P =6种不同的排列，此时有6×2=12种订法．(2)3所学校订的报纸数量有2所相同，有98，101，101；99，99，102两种组合，每种组各有3种不同的排列，此时有3×2=6种订法．(3)3所学校订的报纸数量都相同，只有100，100，100一种订法．由加法原理，不同的订法一共有12+6+l=19种．组合一般地，从n 个不同元素中取出m 个（m≤n ）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数.记作(1) (1)!m mn n n n m C m ?-??-+=个数这就是组合数公式.【例7】以右图中的8个点中的3个为顶点，共可以画出多少个不同的三角形?分析：从8个点中选3个点，一共有56种不同的选法．但是因为在一条直线上的3个点不能组成三角形，所以应去掉两条直线上不合要求的选法．5个点选3个的选法有10种．4个点选3个的选法有4种．所以一共可以画出56-(10+4)=42不同的三角形．【前铺】右图共有11条射线，那么图中有多少个锐角？分析：如图，最大的为锐角，它内部的各个角一定也是锐角，图中共有11条射线，任取两条作为角的两边便可确定一个锐角．因为角的两边不存在顺序关系，所以应该用组合．211C =55.几何题中的数个数问题往往可以采用这样的组合方法来解题．【前铺】讲解例题之前请根据本班情况先将组合公式计算练习一下！计算：（1）241655,,C C C ，（2）352777,,C C C分析：（1）26651521C ?==?，45543254321C ==，15551C == ；（2）3776535321C ??==?? ，57765432154321C == ，57765432154321C ==注意：从上发现规律m n mn n C C -=.【巩固】从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的乘积？分析：由于3，5，7，11都是质数，因此所得乘积各不相同，因此只要求出不同的质数对的个数就可以了．24C =6.【巩固】一个口袋中有4个球，另一个口袋中有6个球，这些球颜色各不相同．从两个口袋中各取2个球，共有多少种不同结果？分析：分步考虑，224661590C C ?=?=（种）.【例8】有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队，各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场)，然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军.问：共需比赛多少场？分析：分三部分考虑，第一组预赛、第二组顶赛和最后的决赛．第一组要赛：27C =21(场)，第二组要赛：26C =15(场)，决赛阶段要赛：24C =6(场)，总场数：21+15+6=42(场)．【拓展】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，…，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少?分析：10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：(1)5奇1偶，对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择．由乘法原理，有1×5=5种选择； (2)3奇3偶，对奇数有35C =10种选择，对偶数也有35C =10种选择．由乘法原理，有10×10=100种选择；(3)1奇5偶，对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择．由乘法原理，有5×1=5种选择．由加法原理，不同的摸法有：5+100+5=110种．【例9】某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种?分析：分三步进行：第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有15种选法；第二步，从余下的4个班中选取两个班给6种选法；第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法．根据乘法原理，一共有15×6×l=90种不同的分配方法．【拓展】从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?分析：先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36C =20种选法．由乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．【例10】工厂从100件产中任意抽出三件进行检查，问: (1)一共有多少种不同的抽法?(2)如果100件产品有2件次品,抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)如果100件产品中有2件次品，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种? 、分析：从100件产品中抽出3件检查，与抽出3件产品的顺序无关，是一个组合问题． (1)不同的抽法数就是从100个元素中取3个元素的组合数．3100C =161700（种）. (2)可分两步考虑，第一步：从2件次品中抽出一件次品的抽法有12C 种；第二步：从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有298C 种．再用分步计数原理求出总的抽法数，122989506C C ?=.(3)可以从反面考虑，从抽法总数3100C 中减去抽出的三件都是合格品的情况，便得到抽出的三件产品中至少有一件是次品的抽法总数．33100981617001520969604C C -=-=.【例11】从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？（1）恰有3名女生入选；（2）至少有两名女生入选；（3）某两名女生，某两名男生必须入选；（4）某两名女生，某两名男生不能同时入选；（5）某两名女生，某两名男生最多入选两人.分析：（1）恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为：35 81014112C C ?=；（2）要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：8871181010842753C C C C --?=.（3）4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人. 4141001C =.（4）从所有的选法818C 中减去这4个人同时入选的414C 种可能：818C -414C =42757.（5）分三类情况：4人无人入选，4人仅有1人入选，4人中有2人入选，共：8172614414414C C C C C +?+?=34749.【例12】用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数?用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数?分析：先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题有26C =15种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有24C =6种选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有15×6×l=90个．在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数90—30=60个．【例13】从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？分析：整个过程可以分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中任取三个数字，这是一个组合问题，有35C 种方法；第二步，从2，4，6，8中任取两个数字，也是一个组合问题，有24C 种方法；第三步，用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，有55P 种方法．再由分步计数原理求总的个数：35C ×24C ×55P =7200（个）.附加题目【附1】小明的书架上原来有6本书，不重新排列，再放上3本书，可以有多少种不同的放法?分析：放第一本书时，有原来的6本书之间和两端的书的外侧共7个位置可以选择；放第二本书时，有已有的7本书之间和两端的书的外侧共8个位置可以选择．同样道理，放第三本书时，有9个位置可以选择．由乘法原理，一共可以有7×8×9=504种不同的放法．【附2】一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种?分析：每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下，有6种情况，那么三个人一共有6×6×6=216种情况，其中，都不到12楼的情况有5×5×5=125种．因此，至少有一人要上12楼的情况有216-125=91种．【附3】某校组织进行的一次知识竞赛共有三道题，每道题满分为7分，给分时只能给出自然数l，2，3，…，7分．已知参加竞赛者每人三道题的得分的乘积都是36，而且任意二人各题得分不完全相同，那么请问参加竞赛的最多有多少人?分析：将36分解为不大于7的三个数的乘积，有1×6×6；3×3×4；2×3×6三种情况．考虑到因数的先后顺序，第一种情况，考虑1有三个位置可选择，其余位置放6，有3种顺序；第二种情况与第一种情况相似，有3种顺序；最后一种情况，有3×2×l=6种顺序．由加法原理，一共有12种顺序，所以参赛的最多有12人．【附4】某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出一场，体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？分析：某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时段，一共有4种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有3种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有4种选择．剩下的5个节目随意安排顺序，有55P=120种选择．由乘法原理，一共有4×3×4×120=5760种不同的播放节目方案．【附5】某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种?分析：此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分三类：(1)只会日语的2人都出场，则还需1个多面手做日语导游，有4种选择．从剩下的只会英语的人和多面手共6人中选3人做英语导游，有36C=20种，由乘法原理，有4×20=80种选择．(2)只会日语的2人中有1人出场，有2种选择．还需从多面手中选2人做日语导游，有24C=6种选择．剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游，有3 5C=10种选择．由乘法原理，有2×6×10=120种选择．(3)只会日语的人不出场，需从多面手中选3人做日语导游，有34C=4种选择．剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游，有34C=4种选择．由乘法原理，有4×4=16种选择．根据加法原理，不同的选择方法一共有80+120+16=216种．【附6】五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少个？分析：首先考虑哪三个瓶子贴错了，有35C 种可能，3个瓶子贴错后互相贴错标签又分成两种不同情况.所以共有35C ×2=20（种）.此题容易出错的是三个出错的瓶子确定后，他们之间错误的可能情况数目，有的同学很容易忽略这一环节，而有的会不假思索的把它当作一个全排列，这都是不正确的．【附7】马路上有编号为1，2，3，…，l0的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？分析：l0只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之问的六个空档中插入三只熄灭的灯，有36C =20种插法.练习十二1．给出1，2，3，4四个数字，试求：（1）可组成多少个数字不重复的四位数? （2）可组成多少个数字不重复的自然数? （3）可组成多少个不超过四位的自然数?分析：（1）44P =4×3×2×1=24个数字不重复的四位数.（2）利用1，2，3，4可组成数字不重复的一位、两位、三位、四位自然数，分类考虑：12344444P P P P +++=64个.（3）此题数位上的数字允许重复，利用1，2，3，4可组成一位、两位、三位、四位自然数．进一步考虑，一位数有4个，两位数有4×4=16个，三位数有4×4×4=64个，四位数有4×4×4×4=256个．故共有4+16+64+256=340个．2．由四个不同的非0数字组成的所有四位数中，数字和等于12的共有多少个?分析：四个数字都不同而数字和为12的数字有1，2，3，6和1，2，4，5两种情况，对于每种情况，可以组成44P =24个不同的四位数．对于所以，共可以组成24+24=48个不同的四位数．3．桌子上有3张红卡片，2张黄卡片，和1张蓝卡片，如果将它们横着排成一排，同种颜色的卡片不分开，一共有多少种排法？分析：32133213P P P P =72种.4．在1～100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法?分析：两个数的和是偶数，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题；从50个偶数中取出2个，有250C =1225种取法；从50个奇数中取出2个，也有250C =l225种取法．根据加法原理，一共有1225+1225=2450种不同的取法．5．在一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法?(2)从口袋取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法? (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法?分析：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，与顺序无关，是组合问题，其取法种数是56种．(2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，其取法种数是21种．(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，其取法种数是35种．6．在6名女同学，5名男同学中选出4名女同学，3名男同学站成一排，有多少种排法？分析：男女同学分别考虑，再整体排列．437657C C P ?? =756000(种)．。

20181213小学奥数练习卷(知识点：不等方程的分析求解)含答案解析

20181213小学奥数练习卷(知识点：不等方程的分析求解)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：不等方程的分析求解）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（）cm．A．6B．7C．8D．92．若＜，则a可取整数的范围是（）A．a=10B．a＜8C．a＜11第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共28小题）3．甲、乙、丙一起到书店，甲、乙看了同一种书，都想买一本（书价是整数元），但甲差17元、乙差8元，两人把钱合在一起，并且找丙借了3元还是不够买一本，那么，这一本书的价钱至多是元．4．神庙里有一把古老的秤，对于重量小于1000克的物体，这把秤会显示其正确的重量；对于重量大于等于1000克的物体，这把秤会显示处一个大于等于1000得随机数．小明有五个物品，它们各自的重量都小于1000克，我们分别用P、Q、R、S、T表示它们的重量．将这五个物品两两配对，放到秤上进行称量，得到下面的结果：Q+S=1200（克），R+T=2100（克），Q+T=800（克），Q+R=900（克），P+T=700（克）．那么这五个物品的重量从重到轻的顺序为．5．＜，则“（）”中可以填的质数是．6．某教师发给学生一份有100多题目的“复习题”，老师说，请你们回家去作题号能被2和3整除的题目．同学们发现，布置的题在复习题总数中占的比值X 满足这套复习题共有道．7．关于x的不等式≤x＜2的解集中有且只有四个整数，则a的取值范围为．8．是最简分数且＞，A最小是．9．甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有袋粮食．10．航模小组的所有同学站成一行，从左往右第1位、第5位、第9位…是女同学，从右往左第1位、第8位、第15位…是男同学．那么，航模小组最多有位同学．11．不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是．12．数学竞赛团体奖的奖品是10000本数学课外读物．奖品发给前五名代表队所在的学校．名次在前的代表队获奖的本数多，且每一名次的奖品的本数都是100的整数倍，如果第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和．那么，第三名最多可以获得本．13．某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分，没有得优的同学的平均分数是80分．已知全班同学的平均成绩不少于90分，那么得优的同学占全班同学的比例至少是．14．为了能有效地使用电力资源，某市的电力局从2006年1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电每千瓦时0.56元（“峰电”价），22：00至次日8：00用电每千瓦时0.28元（“谷电”价），而目前不使用峰谷电的居民用电每千瓦时0.53元．那么当峰电用量不超过每月总用电量的%时，使用峰谷电合算．（精确到1%）15．所有适合不等式＜＜的自然数n之和为．16．一本书，如果每天看50页，则5天看不完，不超过六天可以看完；如果每天看70页，则三天看不完，不超过四天可以看完；如果每天阅读n页，则在第n天刚好读完．这本书有页．17．一堆彩色球，有红、黄两种颜色，首先数出的50个球中有49个红球，以后每数出的8个球中都有7个红球．一直数到最后8个球，正好数完．如果在已数出的球中红球不少于90%，那么这堆球的数目最多只能有个．18．某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分，按每度1.50元收费．某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费元（用电都按整度数收费）．19．不等式组的整数解为．20．若x的50%不小于它的3倍与5的和，则x．21．一个数的2倍加上6不大于这个数的4倍减去4，那么这个数的取值范围是．22．不等式≥的正整数解是．23．如果不等式2x﹣a≤0的正整数解为x=1，2，3，那么a的取值范围是．24．不等式3x＜3+x的正整数解是．25．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…试解决下列问题：（1）填空：＜π＞=（π为圆周率）；（2）如果＜2x﹣1＞=3，求实数x的取值范围．26．如果117＜4×□＜149，那么□中可填的自然数有个．27．在方框里填入适当的整数，使不等式≥≥成立．那么在可以填入的整数中，所有质数的和是．28．下面括号中填什么自然数时，不等式成立？1＞＞．29．不等式如果成立，那么括号中可填的正整数有个．30．已知，X、Y为连续自然数．X=，Y=．三．解答题（共20小题）31．阅读材料：若x为大于0的整数，且满足某一不等式x＞a，则称x的最小值为不等式x＞a的“培优数”，记为Φ（x，x＞a）．例如Φ（x，x＞2）=3，Φ（x，x≥π）=4．（1）已知x为大于0 的整数，则Φ〔x，x＞〕=；（2）已知x为大于0 的整数，则Φ〔x，5（x﹣3）＞240﹣x〕的值；（3）已知x，y为大于0的整数，则Φ〔x，〕的值．32．设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的20日可能是星期几？33．某校办工厂生产一批新产品，现有两种销售方案．方案一：在这学期开学时售出该产品，可获利30000元，然后将该产品的成本（生产该产品支出的总费用）和已获利的30000元进行再投资，到这学期结束时可获利4.8%．方案二：在这学期结束时售出该产品可获利35940元，但要付成本的0.2%作保管费．那么该产品的成本超过多少元时采用方案一好？34．用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的邮票多少张？35．一场音乐会的票价有40元、60元两种．60元的有100个座位，40元的有250个座位．票房收入是15000元，观众可能有多少人？（已知两种票售出的都是整十数．）36．某出租车的收费标准是：5千米之内起步费10.8元，往后每增加1千米增收1.2元（不足1千米按1千米算）．现从A地到B地共支出车费24元，如果从A先往前走800米再乘车到B地，结果还是24元，那么如果先走AB的一半路程，再打车需要多少元？37．当关于x的方程5x﹣2k=﹣x+4的解大于1且小于3时，求整数k的值．38．已知不等式4（x﹣3）+5＜6（x﹣2）+1的最小整数解是方程4x﹣ax=3的解，求a的值．39．解不等式：1≤|3x﹣5|≤2．40．解不等式x2＞0．41．解不等式：3×30y+5×16（24﹣y）≥2100．42．解不等式组：．43．解不等式：﹣1≥．44．解不等式：﹣2＞．45．要使成立，式中的x最多可表示多少个不同的自然数？这些自然数分别是什么？46．解不等式：＜2．47．求不等式组的最小整数解．48．解不等式组：．49．解不等式：（π﹣4）x≥（4﹣π）50．已知函数f（x）=．（1）解不等式：1﹣＞；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并利用函数单调性的定义进行证明．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（）cm．A．6B．7C．8D．9【分析】设剪下的长度为x厘米，则较长的一条剩余（23﹣x）厘米，较短的一条剩余（15﹣x）厘米，由“剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍”，列出不等式：23﹣x≥2（15﹣x），解此不等式即可．【解答】解：设剪下的长度为x厘米，得：23﹣x≥2（15﹣x）23﹣x≥30﹣2xx≥7．答：剪下的长度至少是7厘米．故选：B．【点评】把剪下的长度作为未知数，根据数量关系，列出不等式，解决问题．2．若＜，则a可取整数的范围是（）A．a=10B．a＜8C．a＜11【分析】根据不等式的性质，不等式的两边同时乘18，然后再在不等式的两边同时减去4，然后解答即可．【解答】解：＜×18＜×18a+4＜15a+4﹣4＜15﹣4a＜11故选：C．【点评】本题考查了求不等方程的解，关键是灵活运用不等式的性质．二．填空题（共28小题）3．甲、乙、丙一起到书店，甲、乙看了同一种书，都想买一本（书价是整数元），但甲差17元、乙差8元，两人把钱合在一起，并且找丙借了3元还是不够买一本，那么，这一本书的价钱至多是21元．【分析】设这一本书的价钱是x元，分别表示出甲、乙所有的钱数，再根据找丙借了3元还是不够买一本，列出不等方程x﹣17+x﹣8+3＜x，然后解这个不等方程即可．【解答】解：设这一本书的价钱是x元，根据题意可，（x﹣17）+（x﹣8）+3＜x2x﹣22＜xx＜22所以，这一本书的价钱至少是：22﹣1=21（元）答：这一本书的价钱至少是21元．【点评】本题考查了利用不等方程解决实际问题，关键找到不等量关系式，列出不等方程，然后根据取值范围以及书价是整数确定极值即可．4．神庙里有一把古老的秤，对于重量小于1000克的物体，这把秤会显示其正确的重量；对于重量大于等于1000克的物体，这把秤会显示处一个大于等于1000得随机数．小明有五个物品，它们各自的重量都小于1000克，我们分别用P、Q、R、S、T表示它们的重量．将这五个物品两两配对，放到秤上进行称量，得到下面的结果：Q+S=1200（克），R+T=2100（克），Q+T=800（克），Q+R=900（克），P+T=700（克）．那么这五个物品的重量从重到轻的顺序为S，R，T，Q，P．【分析】利用一个加数加另一个加数，和大的另一个加数大，并且确定出大多数，即可得出结论．【解答】解：由Q+S=1200（克），Q+T=800（克），Q+R=900（克）得，S﹣T=400（克），S﹣R=300（克），R﹣T=100（克），所以S＞R＞T，由R+T=2100（克），Q+T=800（克），P+T=700（克）．得R﹣Q=1300（克），R﹣P=1400（克），Q﹣P=100（克），所以R＞Q＞P，而R﹣T=100（克），R﹣Q=1300（克），R﹣P=1400（克），所以T＞Q＞P，即：S＞R＞T＞Q＞P【点评】此题是不等方程的求解，主要考查了一个加数相同，和大的另一个加数大，确定出每两种物体重量的差是解本题的关键．5．＜，则“（）”中可以填的质数是7．【分析】设括号里的质数为a，然后解不等式，求出不等式的整数解即可．【解答】解：设括号里的质数为a，①则，7a＞4×12即，a＞6②＜则，6a＜5×12即，a＜10所以，6＜a＜10满足条件的质数只有7，即a=7．故答案为：7．【点评】本题结合质数的意义考查了求不等式的整数解，关键是确定要求数的取值范围．6．某教师发给学生一份有100多题目的“复习题”，老师说，请你们回家去作题号能被2和3整除的题目．同学们发现，布置的题在复习题总数中占的比值X 满足这套复习题共有101道．【分析】设这套复习题共有y道题，因为能被2和3整除的题目一定是6的倍数，由此可得：y=6m+n，其中0≤n≤5，m就是布置的题数（即题号能被6整除的题目的个数）．根据题意有：＜＜，也就是：＜＜，改写为：＜＜，整理得：＜＜．然后根据分数的基本性质讨论n和m的值即可．【解答】解：设这套复习题共有y道题，可得：y=6m+n，其中0≤n≤5，m就是布置的题数（即题号能被6整除的题目的个数）．根据题意有：＜＜，也就是：＜＜，改写为：＜＜，整理得：＜＜．如果改写为：＜＜，则无解；如果改写为：＜＜则可得：n=5、m=16，此时得：y=6×16+5=101；如果改写为：＜＜，则可得：n=7或8，但n＞5，不符合0≤n≤5，所以此时也无解；总之，这套复习题共有101道题．故答案为：101．【点评】本题属于复杂的数论问题，关键是构建布置的题数与总题数之间的关系式，然后再根据不等式筛选即可．7．关于x的不等式≤x＜2的解集中有且只有四个整数，则a的取值范围为9≤a＜12．【分析】根据解集只有四个整数，可以知道这四个整数依次是1、0、﹣1、﹣2，所以只要求﹣3＜≤﹣2【解答】解：≤﹣23﹣a≤﹣6a≥9﹣3＜﹣9＜3﹣aa＜12所以9≤a＜12【点评】这题是确定根据x的值有4个整数确定的取值范围，然后求解．8．是最简分数且＞，A最小是5．【分析】在分数中，分子与分母只有公因数1的分数为最简分数．是最简分数且＞，由于=，又=，所以A最小是5．【解答】解：由于=，又=，是最简分数且＞，所以A最小是5．故答案为：5．【点评】将两个分数通分后，化成同分母分数后再进行分析是完成本题的关键．9．甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有153袋粮食．【分析】两个关系式为：（甲库存粮﹣90）×2=乙库存粮+90；甲库存粮+若干袋粮=（乙库存粮﹣若干袋粮）×6，进而得到相应的最小整数解即可．【解答】解：设甲库原来存粮a袋，乙库原来存粮b袋，依题意可得2（a﹣90）=b+90（1）；再设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即a+c=6（b﹣c）（2）；由（1）式得b=2a﹣270 （3），将（3）代入（2），并整理得11a﹣7c=1620，由于c==a﹣232+又a、c是正整数，从而有≥1，即a≥148；并且7整除4（a+1），又因为4与7互质，所以7整除a+1，a+1最小为154，则a最小是153．答：甲库原来最少存粮153袋．故答案为：153．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题需求得最小的整数解．10．航模小组的所有同学站成一行，从左往右第1位、第5位、第9位…是女同学，从右往左第1位、第8位、第15位…是男同学．那么，航模小组最多有18位同学．【分析】设总数为S，公差为4的数列余数是a，1≤a≤3；公差为7的数列余数（a或b取0时，在头或尾就重合了），则可得S=4m+a+1=7n+b+1，是b，1≤b≤6；且7n+1≠4m+a+1；7n≠4m+a再讨论a=1时，m最大取4，n最大取2；a=2时，m最大取2，n最大取1；a=3时，n只能是0；据此把a=1、m=4代入S=4m+a+1中计算即可求出最大值【解答】解：设总数为S，公差为4的数列余数是a，1≤a≤3；公差为7的数列余数是b，1≤b≤6；（a或b取0时，在头或尾就重合了）S=4m+a+1=7n+b+1，7n+1≠4m+a+1，7n≠4m+a，a=1时，m最大取4，n最大取2，a=2时，m最大取2，n最大取1，a=3时，n只能是0，所以最大：S=4m+a+1=4×4+1+1=18答：航模小组最多有18人．故答案为：18．【点评】此题也可以利用枚举法解答：若总人数大于7，则前7个人中必有1男生在从右往左数的公差为7的数列中，而1，5是女生，不必枚举，只需考虑2、3、4、6、7、2，9.9冲突；3，10，17中17冲突；4，11，18，25中25冲突；6，13中13冲突；7，14，21中21冲突；显然，4是男生，总人数18最大．11．不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是x≤．【分析】按题意，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，可以分情况讨论，分三种情况：x＜﹣2；x＞1；﹣2≤x≤1故可以去掉绝对值，再求解．【解答】解：根据分析，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，先去绝对值，分三种情况：①x＜﹣2时，x+2＜0；x﹣1＜0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒﹣（x+2）﹣（1﹣x）≤2⇒﹣3≤2，成立；∴x＜﹣2；②x＞1时，x+2＞0；x﹣1＞0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒x+2﹣（x﹣1）≤2⇒2+1≤2，（不符合，舍去）；③﹣2≤x≤1时，x+2≥0；x﹣1≤0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒x+2﹣（1﹣x）≤2⇒2x+1≤2⇒x≤；∴﹣2≤x≤．综上，x≤时，满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|≤2，即此时x不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2．故答案是：x≤．【点评】本题考查了不等方程的分析求解，本题突破点：分三种情况讨论，逐步求解．12．数学竞赛团体奖的奖品是10000本数学课外读物．奖品发给前五名代表队所在的学校．名次在前的代表队获奖的本数多，且每一名次的奖品的本数都是100的整数倍，如果第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和．那么，第三名最多可以获得1700本．【分析】根据题意，设第三名获得x本，则第二名至少获得（x+100）本，第一名至少获得（2x+100）本，再根据第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和及总奖品数是1000本，列出不定方程，解不定方程即可．【解答】解：设第三名获得x本，则第二名至少获得（x+100）本，第一名至少获得（2x+100）本，2x+100+x+100+x+x+100≤10000，5x+300≤10000，5x≤9700，x≤1940，又因为，第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，所以，1900不符合题意，所以，用1800元还原时，第一名到第五名之和无解，所以第三名最多可以获得1700本，答：第三名最多可以获得1700本，故答案为：1700．【点评】解答此题的关键是，根据题中的数量关系，得出各个名次所的书的本数，再根据发奖的总本数，列出不定方程，最后根据每一名次的奖品的本数都是100的整数倍，解不定方程即可．13．某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分，没有得优的同学的平均分数是80分．已知全班同学的平均成绩不少于90分，那么得优的同学占全班同学的比例至少是2：3．【分析】此题可以设全班x人，得优的有y人，根据题意列出不等式为90x≥95y+80（x﹣y），再根据全班同学的平均成绩不少于90分，即可推出x与y之间的比例关系，解决问题．【解答】解：设全班x人，得优的有y人，由题意得：90x≥95y+80（x﹣y），90x≥95y+80x﹣80y，10x≥15y，已知全班同学的平均成绩不少于90分，所以10x=15y，所以y：x=10：15=2：3，即得优的同学占全班同学的比例至少是2：3．故答案为：2：3．【点评】此题主要考查学生对不等方程的解答，以及分析推理能力．14．为了能有效地使用电力资源，某市的电力局从2006年1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电每千瓦时0.56元（“峰电”价），22：00至次日8：00用电每千瓦时0.28元（“谷电”价），而目前不使用峰谷电的居民用电每千瓦时0.53元．那么当峰电用量不超过每月总用电量的89%时，使用峰谷电合算．（精确到1%）【分析】设“峰电”用量占每月电量的百分率为z时，使用“峰电”电合算，此时月用电量为a，那么原来的电价是0.53a，后来“峰电”量为az，电价就是0.56az，“谷电”量为（1﹣z）a，电价就是0.28（1﹣z）；要使使用峰谷电合算，那么峰谷电的电价钱数和就要小于原来的电价，由此列出不等式求解．【解答】解：设“峰电”用量占每月电量的百分率为z时，使用“峰电”电合算，此时月用电量为a，0.56az+0.28a•（1﹣z）＜0.53a0.56az+0.28a﹣0.28az＜0.53a0.28z+0.28＜0.530.28z＜0.25z＜89%答：当“峰电”用量不超过每月总用电量的89%时，使用“峰谷”电合算．故答案为：89．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量（不等）关系，列出不等方程，再求解．15．所有适合不等式＜＜的自然数n之和为104．【分析】先通分得到不等式＜＜，可得245＜126N＜1800，在找到满足245＜126N＜1800的所有自然数N，相加即可求解．【解答】解：＜＜，所以，＜＜，所以245＜126N＜1800，则N的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14，=8×13，=104．答：所有适合不等式＜＜的自然数N之和为104．故答案为：104．【点评】此题考查了不等式的意义及解法，难点在于求得N的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14．16．一本书，如果每天看50页，则5天看不完，不超过六天可以看完；如果每天看70页，则三天看不完，不超过四天可以看完；如果每天阅读n页，则在第n天刚好读完．这本书有256页．【分析】这本书共有n2页，则由题意得，50×5＜n2＜50×6，或70×3＜n2＜70×4．即250＜n2＜300，或210＜n2＜280，则要取250＜n2＜280．又读完这本书的天数与每天读的页数相等，说明n2为某整数的平方，而在250与280之间，然后找到这个完全平方数即可．【解答】解：这本书共有n2页，由题意得50×5＜n2＜50×6，或70×3＜n2＜70×4，即250＜n2＜300，或210＜n2＜280，所以250＜n2＜280，n2为某整数的平方，在250与280之间只有n=16的平方满足条件，所以：16×16=256（页）．答：这本书有256页．故答案为：256．【点评】解答本题关键是求出总页数n2的取值范围，然后再找到符合要求的完全平方数即可．17．一堆彩色球，有红、黄两种颜色，首先数出的50个球中有49个红球，以后每数出的8个球中都有7个红球．一直数到最后8个球，正好数完．如果在已数出的球中红球不少于90%，那么这堆球的数目最多只能有210个．【分析】设这堆球有x个，数出的50个球还剩下（x﹣50）个球，以后每数出的8个球中都有7个红球，一直数到最后8个球，正好数完，说明红球占（x﹣50）的；根据百分率的意义以及等量关系可得不等方程：49+（x﹣50）×≥90%x，然后解答即可．【解答】解：设这堆球有x个，根据题意可得，49+（x﹣50）×≥90%x392+7x﹣350≥7.2x0.2x≤42x≤210所以，x的最小值是210．答：这堆球的数目最多只能有210个．故答案为：210．【点评】此题主要考查了由不等式联系实际解决问题，根据已知得出不等方程是解答的关键．18．某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分，按每度1.50元收费．某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费24.05元（用电都按整度数收费）．【分析】首先根据题意，可得甲用户的用电量最大，乙其次，丙用户的用电量最小，再根据710、375都不能被45、80、150整除，判断出甲用户的用电量大于20度，乙用户的用电量在10度和20度之间，丙用户的用电量小于10度；然后设丙用户的用电量比10度少m度，乙用户的用电量比10度多n度，根据乙用户比丙用户多交3.75元，求出m、n的值各是多少；最后根据总价=单价×数量，求出丙用户应交多少电费，即可求出甲、乙、丙三用户共交电费多少元．【解答】解：0.45元=45分，0.80元=80分，1.50元=150分，7.10元=710分，3.75元=375分，因为710、375都不能被45、80、150整除，所以甲用户的用电量大于20度，乙用户的用电量在10度和20度之间，丙用户的用电量小于10度，设丙用户的用电量比10度少m度，乙用户的用电量比10度多n度，则45m+80n=375整理，可得m=因为1≤m≤9，1≤n≤9，m、n都是整数，所以经尝试，可得n=3时，m=3，0.45×（10﹣3）=0.45×7=3.15（元）3.15+（3.15+3.75）+（3.15+3.75+7.1）=3.15+6.9+14=24.05（元）答：甲、乙、丙三用户共交电费24.05元．故答案为：24.05．【点评】此题主要考查了单价、总价、数量的关系，考查了分析推理能力，要熟练掌握，解答此题的关键是列出不定方程求出丙用户的用电量是多少．19．不等式组的整数解为x=0，1，2．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，由，可得﹣1＜x≤2，据此求出不等式组的整数解为多少即可．【解答】解：，∵，∴﹣1＜x≤2，∴不等式组的整数解为：x=0，1，2．故答案为：x=0，1，2．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的求解方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确解一元一次不等式组的步骤：①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．20．若x的50%不小于它的3倍与5的和，则x≤﹣2．【分析】根据x的50%不小于它的3倍与5的和列出不等式得出答案即可．【解答】解：x×50%≥3x+50.5x﹣3x≥5﹣2.5x≥5x≤﹣2．故答案为：≤﹣2．【点评】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式是解决问题的关键．21．一个数的2倍加上6不大于这个数的4倍减去4，那么这个数的取值范围是x≥5．【分析】设这个数为x，根据一个数的2倍加上6不大于这个数的4倍减去4，列出不等式解答即可．【解答】解：设这个数为x，2x+6≤4x﹣42x﹣4x≤﹣4﹣6﹣2x≤﹣10x≥5所以这个数的取值范围是x≥5．故答案为：x≥5．【点评】此题考查不等方程的分析求解，理解题意，列出不等式，求得不等式的解集是解决问题的关键．22．不等式≥的正整数解是1、2、3、4、5．【分析】利用不等式的性质两边同乘6，再进一步把两边同时﹣3﹣4x，再进一步把系数化为1即可．【解答】解：≥3（1+x）≥2（2x﹣1）3+3x≥4x﹣23+3x﹣3﹣4x≥4x﹣2﹣3﹣4x﹣x≥﹣5x≤5正整数解为1、2、3、4、5．故答案为：1、2、3、4、5．【点评】本题考查了同学们解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．23．如果不等式2x﹣a≤0的正整数解为x=1，2，3，那么a的取值范围是6≤a＜8．【分析】解不等式2x﹣a≤0得x≤，其中，最大的正整数为3，故3≤＜4，从而求解【解答】解：解不等式2x﹣a≤0，得x≤，因为不等式的正整数解是1，2，3，所以3≤＜4，解得6≤a＜8．故答案为：6≤a＜8．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法．先解含字母系数的不等式，再根据正整数解的情况确定字母的取值范围．24．不等式3x＜3+x的正整数解是1．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，然后再求整数解即可．【解答】解：3x＜3+x3x﹣x＜3+x﹣x2x＜32x÷2＜3÷2x＜所以小于的正整数解是1．故答案为：1．【点评】本题考查了求不等式的解集的灵活应用，关键是掌握不等式的性质．25．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…试解决下列问题：（1）填空：＜π＞=3（π为圆周率）；（2）如果＜2x﹣1＞=3，求实数x的取值范围 1.75≤x＜2.25．【分析】根据题意可以看出对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，所以看看四舍五入后，个位数就是要求的值：（1）因为π≈3.14，所以四舍五入后个位数就为所求的值；（2）近似数值到3的范围是2.5到3.5之间，包括2.5不包括3.5，据此列方程组解答即可．【解答】解：根据题意可得：（1）因为π≈3.14＜π＞=3；（2）因为：＜2x﹣1＞=3所以：2.5≤2x﹣1＜3.52.5+1≤2x﹣1+1＜3.5+13.5≤2x＜4.53.5÷2≤2x÷2＜4.5÷21.75≤x＜2.25故答案为：3；1.75≤x＜2.25．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题得解．26．如果117＜4×□＜149，那么□中可填的自然数有8个．【分析】因为117÷4=29…1，149÷4=37…1，要使117＜4×□＜149，□中可填的自然数有30、31、32、33、34、35、36、37，共8个；由此解答即可．【解答】解：117÷4=29…1，149÷4=37…1，□中可填的自然数有30、31、32、33、34、35、36、37，共8个；故答案为：8．【点评】此题考查了数的大小比较，根据题意，先确定出取值范围，是解答此题的关键．27．在方框里填入适当的整数，使不等式≥≥成立．那么在可以填入的整数中，所有质数的和是36．【分析】把不等式≥≥看做是和，求出x的取值范围，再找出所有的质数相加即可．【解答】解：x≥x≤2020≥x≥符合条件的质数有17，19．17+19=36答：所有质数的和是36．故答案为：36．【点评】解答此题的关键是将给出的式子看作两个不等式，解不等式求出x的取值范围，进而求出x的值．28．下面括号中填什么自然数时，不等式成立？1＞＞．【分析】本题可以通分使得1、和的分子相同，再找到在72和81之间，能够被8整除的数即可求解．【解答】解：由分析可知，＞＞，在72和81之间能够被8整除的数只有10，故（）里填10，不等式成立．故答案为：10．【点评】解决此题关键是根据题中给出的分数的特点进一步找出符合题意的数．29．不等式如果成立，那么括号中可填的正整数有7个．【分析】题意是按照从小到大的顺序排列，所以此数比要大，比1要小；可以把这两个分数先化成分子相同的分数，按分子相同的分数的大小比较方法进。

《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

《排列组合》知识点总结+典型例题+练习(含答案)

排列组合考纲要求1.了解排列的意义，理解排列数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.2.了解组合的意义，理解组合数公式，并能用它们解决一些简单的实际问题.3. 了解组合数性质. 知识点一：排列1.排列的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.若m <n ，这样的排列叫选排列；若m ＝n ,这样的排列叫全排列.2.排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有排列的个数，从n 个不同元素中取出m 元素的排列数，记作mn P .(1) P m n ＝n (n －1)(n －2) … (n －m ＋1)； (2) ==!P n n n n (n －1)(n －2) … 3×2×1； (3) P m n ＝()!!n n m -； 规定：0！＝1.知识点二：解决排列问题的基本方法.1. 优限法：即先排特殊的元素，或者特殊的位置.2．捆绑法：相邻问题，把相邻的元素看成一个整体，然后再参与其他元素的排列. 3．插空法：对元素互不相邻的排列问题，常常采用插空法，首先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空位中.4. 排除法：即从正面难以考虑时可以考虑它的对立面，用全部结果数减去对立事件的方法数.5.枚举法：即将所有排列按照一定的规律，一一列举出来的方法. 知识点三：组合1.组合的定义：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个不同的元素，组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.组合数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个不同的元素的所有组合的个数，从n个不同元素中取出m 元素的组合数，记作mn C .(1)()()()121P C P !mm nnmn n n n n m m ---+==;(2)()!C !!mn n m n m =-(n ，*N ∈m ，且m ≤n ).3. 组合数性质：(1) C =C m n mn n-； (2) 111C +C C m m m n n n +++=.知识点四：解组合问题的方法1.分类讨论：即分析题中的限定条件将所给元素按性质适当分类，并侧重其中一类，相应各类分类讨论，分类时要做到不重不漏.2.等价转化：即把所求问题转化为与之等价的组合问题去解决.3.排除法.4.枚举法.知识点五：计数需注意问题1.排列为有序问题，组合为无序问题，两者都是不重复问题.2.排列包括两个要素，一个是不同的元素，另一个是确定的顺序. 即排列可分成两步，第一步取出元素，第二步排列顺序.3.组合只有一个要素，就是取出元素即可，与元素的排列顺序无关.4.要注意区分分类和分步计数原理，排列和组合，元素允许重复是直接用计数原理，而元素不允许重复的是排列和组合问题. 题型一 排列定义例1 五个同学站一排照相，共多少种排法？分析：把5个元素放在5个位置上，相当于5的全排列，也共有120P 55=种排法. 解答：N =120P 55=种排法题型二 排列数公式例2 设x N *∈，10x <，(20)(21)(30)().x x x --⋅⋅⋅-=A. 1020P x -B. 1120P x -C. 1030P x -D. 1130P x -分析：排列数公式 P m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)的特点: （1）等号右边最大的数是n ; （2）等号右边最小的数是n -m +1; （3）共有m 个连续自然数相乘. 解答：30n x =-,(30)(20)111m x x =---+=,∴ (20)(21)(30)x x x --⋅⋅⋅-=1130P x -题型三 解决排列应用题 例3 用1、2、3、4、5、6个数. （1）可以组成多少个五位数？（2）可以组成多少个没有重复数字的五位数？ （3）可以组成多少个1和2相邻的六位数？ （4）可以组成多少个1和2不相邻的六位数？分析：先考虑是用分类分步还是用排列组合，就是要观察一下数字是否允许重复，数字允许重复用分类分步计数原理，数字不允许重复用排列组合，数字相邻用捆绑法，数字不相邻用插空法.解答：（1）数字可以重复，所以用分步计数原理，每个数位上都有6个数字可选，因此共有5666666⨯⨯⨯⨯=个.（2）数字不可以重复，还有顺序，所以用排列,共720P 56==N 个.（3）1和2相邻，用捆绑法，先排1和2共22P 种，与余下的4个元素共有55P 种，则共有240P P 5522=个.（4）1和2不相邻，插空法，先排余下的4个元素44P 种，,再从5个空中挑选2个即25P 种，则共有480P P 2544=个.题型四 组合定义及组合数公式例4 从8名男生2名女生中任选5人， （1）共有多少种不同的选法？ （2）恰好有一名女生的不同选法？ 分析：选取元素干同一件事就组合问题.解答：（1）所有不同选法数就从10人中任选5人的组合数即252C 510=种.（2）从2名女生中任选1人的选法有12C 种，从8名男生中选出4人的选法有48C 种，由分步计数原理，恰有一名女生的选法有140C C 4812=种.题型五 组合数公式例5 （1）已知321818C C -=x x 则x =____. （2）=+97999899C C _____.分析：灵活运用组合数性质.解答：（1）根据题意得 23x x =-或(23)18x x +-=则3x =或7x =.（2）4950299100C C C C 21009810097999899=⨯===+. 题型六 解组合应用题例6 从8件不同的服装快递，2件不同的食品快递中任选5件. （1）至少有一件食品快递的不同选法总数？ （2）最多有一件食品快递的不同选法总数？分析：解决带有限制条件的组合应用题要根据题意正确地分类或分步,巧妙运用直接法或间接法.解答：（1）法一（直接法）分两类情况求解，第一类恰有一件食品快递选法有4812C C 种，第二类恰有两件食品快递选法有3822C C 种，由分类计数原理得至少有一件食品快递的不同选法共有196C C C C 38224812=+种.法二（排除法）从10件快递中任选5件选法总数减去选出的5件全为服装快递的总数即至少有一件为食品快递的不同选法有55108196C C -=种.（2） 最多有一件食品快递可分为以下两类，第一类选出的五件快递中恰有一件食品快递有1428C C 种选法，第二类选出的五件快递中恰有0件食品快递，有0528C C 种选法,由分类计数原理知最多有一件食品快递的选法有14052828196C C C C +=种.一、选择题1.设*x N ∈，10x <，则(10)(11)(17)x x x --⋅⋅⋅-用排列数符号表示为（ ）.A.x x --1017PB.817P x -C. 717P x -D. 810P x -2.从4人中任选2人担任正副班长，结果共有（ ）种.A. 4B. 6C. 12D. 243.将5本不同的笔记本分配给4个三好学生（每个学生只能拥有一本笔记本），则所有的分法种数为（ ）.A. 5！B. 20C. 54D. 454.5名学生报考4所不同的学校（每名学生只能报考一所学校），则所有的报考方法有（ ）种.A. 5！B. 20C. 54D. 455.将6名优秀教师分配到4个班级，要求每个班有1名教师，则不同的分法种数有（ ）种.A. 46PB. 46C. 46CD. 646.为抗击郑州水患，某医院派3名医生和6名护士支援郑州，他们被分配到郑州的三所医院，每个医院分配1名医生和2名护士，共有（ ）种不同的分配方法.A. 24122613P P P P +B. 221124122613P P P P P P ++ C. 121212362412C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅ D. 121212362412C C C C C C ⋅+⋅+⋅7.从4名男生和5名女生中任取3人，其中男生至多有一人,则不同的取法共有（ ）种 . A. 30 B. 50 C. 70 D. 808.某小组有男生7人，女生3人，选出3人中有1名男生，2名女生的不同选法有（ ）种.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅9.10件产品中有2件次品，任取3件至少有1件次品的不同抽法为（ ）种.A. 1229C C ⋅ B. 312828C C C +⋅ C. 33108C C - D. 12122928C C C C ⋅-⋅10.式子(1)(2)(15)16!x x x x ++⋅⋅⋅+（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C. 16x CD. 17x C妙记巧学，归纳感悟 二、判断题：1. 34567⨯⨯⨯⨯等于37P .（ ）2. 从甲、乙、丙、丁中任选两人做正、副班长，共有12种.（ ）3. 6个座位，3个人去坐，每人坐一个座位，则共36C 种.（ ） 4. 6个点最多可确定26C 条直线.（ ） 5. 6个点最多可确定26C 条有向线段.（ ） 6. 某铁路有十个站点，共需准备210P 种车票.（ ）7. 某铁路有十个站点，有210P 种不同票价（同样的两个站点的票价相同）.（ ） 8. 某组学生约定，假期每两人互通一封信，共计12封，这个小组学生有5人.（ ） 9. 把语文、数学、英语、美术、历史这五门课排在一天的五节课中，数学必须比美术先上的排法总数为44C 种.（ ）10.从3、5、7、9中任选两个，可以组成12个不同的分数值.（ ） 妙记巧学，归纳感悟 三、填空题1.若57n n C C =，则n =_______..2.若56P 2=n ，则n =_______.3.从数字0、1、2、3、4、5中任选3个数，可组成______个无重复数字的三位偶数.4.将4本同样的书分给5名同学，每名同学至多分一本，而且书必须分完则不同的分法总数有______种.5.2名教师和5名学生中选3人去旅游，教师不能不去，也不能全去，则共有______种选法. 妙记巧学，归纳感悟 四、解答1.将5名学生排成一排照相，其中3名男生，2名女生，则以下情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须相邻； （2）甲乙互不相邻； （3）甲乙必须站两端； （4）甲乙不在两端； （5）男女相间.2. 将6本不同的书,在下列情况下有多少种分法？ （1）分成相等的三份； （2）平均分给甲乙丙三位同学；（3）分成三份，一份一本，一份两本，一份三本； （4）甲分一本，乙分两本，丙分三本；（5）如果一人分一本，一人分两本，一人分三本，分给甲乙丙. 高考链接1.（2018）某年级有四个班，每班组成一个篮球队，每队分别同其他三个队比赛一场，共需要比赛（ ）场.A. 4B. 6C. 5D. 7 2. 某段铁路共有9个车站，共需准备（ ）种不同的车票. A. 36 B. 42 C.64 D. 723. 甲袋中装有6个小球，乙袋中装有4个小球，所有小球颜色各不相同，现从甲袋中取两个小球，乙袋中取一个小球，则取出三个小球的不同取法共有（ ）种. A. 30 B. 60 C.120 D. 3604. 某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目,要求相声节目不能相邻，则不同的出场顺序有______种. 积石成山10件产品中有2件次品任取3件，至多有一件次品的不同取法总数为（ ）种.A. 312828C C C +B. 1229C C C. 33108C C - D. 12122928C C C C -2. 从4名男生和5名女生中任取3人，其中至少有男生，女生各一名，则不同的取法有（ ）种.A. 140B. 84C. 70D. 353. 某医疗小队有护士7人，医生3人，任选3人的不同选法有（ ）.A. 310CB. 310PC. 1273C C ⋅D. 2173C C ⋅4. 将4名优秀教师分配到3个班级，每个班至少分到一名教师，则不同的分配方案有（ ）种.A. 72B. 36C. 18D. 125. 5个人站成一排照相，甲不站排头，乙不站排尾的排法总数有（ ）种. A. 36 B. 78 C. 60 D. 486. 5个人站成一排照相，甲站中间的排法总数有（ ）种. A .24 B. 36 C. 60 D. 487. 5个人站成2排照相，第一排2人，第二排3人则不同的排法总数有（ ）种. A. 48 B. 78 C. 60 D. 1208. 从1、2、3、4中任选2个，再从5、6、7、8、9中任选2个可组成无重复的四位数的个数是（ ）个.A .720 B. 2880 C. 1440 D .1449. 某工作小组有9名工人，3名优秀工人，各抽5人参加比赛，要求优秀工人都参加不同的选法共有（ ）种.A. 12B.15C. 30D. 36 10. 式子(1)(2)(15)1!x x x x x ++⋅⋅⋅+-（）（x N *∈，1x >）可表示为（ ）.A. 1615P +xB. 1615x C +C.16x C D .17x C排列组合答案一、选择题二、判断题三、填空题1．12 解析：根据组合数性质1得5712n =+=2．8 解析：2(1)56n P n n =-= 8n ∴=3. 52 解析:分两类，第一类个位是零则有2520P =个；第二类，个位不是零，则有11124432P P P =个，所以共有20+32=52个.4．5 解析:只需在五人中选四人得到书即可，书相同无需排序,则有455C =种. 5．20 解析:老师不能不去，也不能全去，则只能去一人即122520C C =种.妙记巧学，归纳感悟：答案全，结果简. 四、解答题1.解：（1）把甲乙捆绑在一起有22P 种，与余下的3名学生共有44P 种，则甲乙必须相邻，有242448P P =种排法.（2）先把余下的3名学生排好有33P 种，再从形成的4个空中任选两个甲乙来排有24P 种，则甲乙不相邻有323472P P =种排法.（3）甲乙必须站两端，先排甲乙有22P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙必须站两端有323212P P =种排法.（4）先从3个位置中选2个甲乙来排有23P 种，再把余下的3名学生排在余下的3个位置有33P 种，则甲乙不在两端有233336P P =种. （5）男女相间则有323212P P =种排法.2. 解：（1）平均分堆问题.有2226423315C C C P =种方法. （2）平均分配问题，每人均分得2本.甲先取两本26C 种，乙再取两本24C 种，丙最后取两本22C 种，由分步计数原理得222642C C C =90种方法.（3）不平均分堆问题，第一份16C 种，第二份25C 种，第三份33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（4）不平均分配问题，甲先选一本16C 种，乙再选两本25C 种，丙最后选三本33C 种，则共有123653C C C =60种方法.（5）不平均分配问题，且没有指定对象，先分三份123653C C C 种，再把这三份分给甲乙丙三人有33P 种，则共有种12336533360C C C P =方法.妙记巧学，归纳感悟： 排列组合来相遇，先组后排无争议. 高考链接1.B2.D3.B4.2400 解析:相声节目不相邻，则用插空法先排5个小品节目共有55P 种,五个小品节目共形成六个空选三个空插入相声节目有36P 种,则共有53562400P P =种.积石成山。

小学奥数思维训练-排列组合(经典透析)(通用,含答案)

小学奥数思维训练-排列组合(经典透析)(通用,含答案)

保密★启用前小学奥数思维训练排列组合（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观．从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种．问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？2．某公园有两个园门，一个东门，一个西门．若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门．另外，从东门有一条道路通向游乐场．从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园．从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门．问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？3．由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？①可组成多少个没有重复数字的三位数？4．如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5．4名同学到照相馆照相。

他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？6．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？①有多少个不同的乘法算式？7．如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？①下右图中，共有多少个角？8．从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？9．国家举行足球赛，共15个队参加．比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队．各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）．然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军．问：①共需比赛多少场？①如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？参考答案：1．98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据．很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理．我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，同样的道理，从天津到上海的走法计算也应该用加法原理．【详解】解：从北京到天津走法有：4+3=7种，从天津到上海走法有：3+5+4+2=14（种）．从北京到上海的走法有：7×14=98（种）．答：小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法．2．10种【解析】【详解】解法一：这个题的已知条件比较复杂．我们可将已知条件稍加“梳理”：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线．而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线．由乘法原理，这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法．再看从东门入园后到游乐场的路线．从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门），再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线．最后由加法原理计算．从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种．解法二：“枚举法”解题．如图，图中A 表示东门，B 表示西门，C 表示龙凤亭，D 表示园中园，E 表示游乐场，F 表示水上世界，G 表示小山亭，线表示道路．不同的走法有10种．1121111A C D BA C DB A E D BA E F G BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→ 1222222A C D BA C DB ACD B AEFG BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→答：不走重复路线，共有10种不同走法．【点睛】本题主要考察加法乘法原理．先分类利用加法原理，再对每一类进行分步利用乘法原理．建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法，因为枚举法比较容易重复和遗漏．3．①48个①18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。

20181213小学奥数练习卷(知识点：约数个数与约数和定理)含答案解析.doc

20181213小学奥数练习卷(知识点：约数个数与约数和定理)含答案解析.doc

20181213小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）含答案解析）小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）题号一二三总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 1 小题） 1．恰有 20 个因数的最小自然数是（） A．120 B．240 C．360 D．432 第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 40 小题） 2．写出不大于 100 且恰有 8 个约数的所有自然数是． 3．已知自然数 n 有 10 个约数，2n 有 20 个约数，3n 有 15 个约数，那么 6n 有个约数． 4．一个自然数恰有 48 个约数，并且其中有10 个连续的自然数，那么这个数的最小值是． 5．自然数 N 有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为 4，最大的为 2684，N 有个约数． 6．四位数的所有因数中，有 3 个是质数，其它 39 个不是质数．那么，四位数有个因数．7．四位数的约数中，恰有 3 个是质数，39 个不是质数，四位数的值是． 8．大于 0 的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的 2 倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6 的所有因数为 1，2，3，6，1+2+3+6=12，6 就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81 的所有因数之和为． 9．恰好有 12 个不同因数的最小的自然数为． 10．有 10 个不同因数的最小自然数为． 11．两个正方形的面积之差为 2016 平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对． 12．60 的不同约数（1 除外）的个数是． 13．如果一个自然数 N（ N＞1）满足：N 的因数个数就是其个位数字，那么这样的 N 就称为中环数（比如 34=217，所以它有 4 个因数，正好就是 34的个位数字，所以 34 就是一个中环数）．在 2～84 中，一共有个中环数． 14．在所有正整数中，因数的和不超过 30 的共有个． 15．一个五位数是 2014 的倍数，并且恰好有 16 个因数，则的最小值是． 16．整数 n 一共有 10 个因数，这些因数从小到大排列，第 8 个是．那么整数n 的最大值是． 17．一个数恰好有 8 个因数，已知 35 和 77 是其中两个，则这个数是． 18．在 1～600 中，恰好有 3 个约数的数有个． 19．已知 a、b 是两个不同的正整数，并且 a、b 的约数个数与 2013 的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为． 20．用表示 a 的不同约数的个数．如4 的不同约数有 1，2，4 共 3 个，所以=3，那么（﹣） = ． 21．一个自然数恰有 9 个互不相同的约数，其中 3 个约数 A，B，C 满足：①A+B+C=79 ②AA=BC...。

20181213小学奥数练习卷(知识点：竖式数字谜)含答案解析.doc

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20181213小学奥数练习卷（知识点：竖式数字谜）含答案解析小学奥数练习卷（知识点：竖式数字谜）题号一二三四总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共 1 小题） 1．加法算式中，七个方格中的数字和等于（） A．51 B．56 C．49 D．48 第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共 44 小题） 2．根据下面的乘法竖式，可判断出最后的乘积是．3．如图是一个空白的除法竖式迷．要使计算成立，商最大时，被除数是． 4．如图，在方框中填入适当的数字，使得竖式成立，则所得结果的各位数字和最大是． 5．已知除法竖式如图：则除数是，商是． 6．如图的式子中每一个中文字代表 1～9 中的一个数码，不同的文字代表不同的数码：则被乘数为． 7．在乘法竖式的□中填入合适的数字，使竖式成立．这个乘法算式的积是．8．填入合适的数字，使如图所示乘法竖式成立．两个乘数的和是． 9．请将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后一行的五位数是． 10．下面的加法竖式中，所有数字互不相同，其中，数字 2、0、1、6 已经填好，那么，这个加法竖式的和是． 11．将下面的乘法竖式补充完整，最后一行的乘积是． 12．如图是一个乘法数字谜，最后的乘积为13．图中的乘法竖式，最后结果为． 14．如图，乘法竖式中已经填出了 3 和 8，那么，乘积是． 15．在如图所示除法整式的每个方框中，填入适当的数字，使算式成立．那么算式中的被除数是． 16．在如图的乘法整式中，每一个□和英文字母都代表一个数字；其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，而□中可以填写在任意的数字，已知 P=6，那么五位数 HAPPY 是．17．如图，一道除法竖式中已经填出了2016和0，那么被除数是． 18．如图乘法算式中只有四个位置上的数已知，它们分别是 2，0，1，6 请你在空白位置填上数字，使得算式能够成立．那么乘积为． 19．如图算式中，不同的汉字代表不同的数字，那么，代表的四位数最大是． 20．如图，一道乘法竖式中已经填出了 2、0、1、6，那么乘数中较小的是． 21．如图的乘法竖式中，相同的汉子代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字：乘法竖式正确填写后，所代表的四位数是． 22．如图，一道乘法竖式已经填出了 2、0、1、6，那么乘积是．23．如图，一道乘法竖式中已经填出了 2、0、1、6，那么乘积是． 24．如图的两个竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字．两个△和两个□中填入的数字分别相同：那么，花园探秘的值是． 25．如图，将竖式填写完全后，所...。

20181213小学奥数练习卷(知识点：约数个数与约数和定理)含答案解析

20181213小学奥数练习卷(知识点：约数个数与约数和定理)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．恰有20个因数的最小自然数是（）A．120B．240C．360D．432第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共40小题）2．写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是．3．已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有个约数．4．一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是．5．自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为2684，N有个约数．6．四位数的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数有个因数．7．四位数的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数的值是．8．大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为．9．恰好有12个不同因数的最小的自然数为．10．有10个不同因数的最小自然数为．11．两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有对．12．60的不同约数（1除外）的个数是．13．如果一个自然数N（N＞1）满足：N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为“中环数”（比如34=2×17，所以它有4个因数，正好就是34的个位数字，所以34就是一个”中环数”）．在2～84中，一共有个“中环数”．14．在所有正整数中，因数的和不超过30的共有个．15．一个五位数是2014 的倍数，并且恰好有16个因数，则的最小值是．16．整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是．那么整数n的最大值是．17．一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是．18．在1～600中，恰好有3个约数的数有个．19．已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为．20．用表示a的不同约数的个数．如4的不同约数有1，2，4共3个，所以=3，那么（﹣）÷=．21．一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：①A+B+C=79②A×A=B×C那么，这个自然数是．22．有一个自然数A，它的平方有9个约数，老师9个约数写在9张卡片上，发给学学三张、思思三张．学学说：“我手中的三个数乘积是A3．”思思说：“我手中的三个数乘积就是A2，而且我知道你手中的三个数和是625．”那么，思思手中的三个数和是．23．一个四位数，他最小的8个约数的和是43，那么这个四位回文数是．（回文数例如：1111、4334、3210123）24．一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是．25．定义：A□B为A和B乘积的约数个数，那么，1□8+2□7+3□6+4□5=．26．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是．27．一个合数至少有3个约数．．（判断对错）28．把72的所有约数从小到大排列，第4个是．29．把360的所有约数从小到大排列，第4个数是4，那么倒数第4个数是．30．已知360=2×2×2×3×3×5，那么360的约数共有个．31．一个正整数，它的2倍的约数恰好比它自己的约数多2个，它的3倍的约数恰好比它自己的约数多3个．那么，这个正整数是．32．已知300=2×2×3×5×5，则300一共有不同的约数．33．A、B两数都只含有质因数3和4，它们的最大公约数是36．已知A有12个约数，B有9个约数，那么A+B=．34．能被2345整除且恰有2345个约数的数有个．35．分母是3553的最简真分数的和是．36．若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4，则G（36）+G（42）=．37．聰聰先求出自然數N的所有約數，再將這些約數兩兩求和，結果發現，最小的和是3，最大的和是2010，那麼這個自然數N是．38．自然数N有20个正约数，N的最小值为．39．一个自然数恰好有18个约数，那么它最多有个约数的个位是3．40．数22×33×55有个不同的约数．41．设数A共有9个不同约数，B共有6个不同约数，C共有8个不同约数，这三个数中的任何两个都互不整除，则三个数之积的最小值是．三．解答题（共9小题）42．已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10，这些自然数共有多少个？43．A、B、C、D是一个等差数列，并且A有2个约数、B有3个约数、C有4个约数、D有5个约数．那么，这四个数和的最小值是．44．如果一个数的奇约数个数有2m个（m为自然数），则我们称这样的数为“中环数”，比如3的奇约数有1，3，一共2=21，所以3是一个“中环数”．再比如21的奇约数有1，3，7，21，4=22，所以21 也是一个中环数．我们希望能找到n个连续的中环数．求n的最大值．45．如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内最大的“希望数”是．46．求100至160之间有8个约数的数．47．2008的约数有个．48．100以内共有8个约数的数共有多少个？它们各是多少？49．已知三位数240有d个不同的约数（因子），求d的值．50．求360所有约数的和．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．恰有20个因数的最小自然数是（）A．120B．240C．360D．432【分析】首先把20拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因数2考虑，依次增大，找出问题的答案即可．【解答】解：20=20=2×10=4×5=2×2×5；四种情况下的最小自然数分别为：219、29×3、24×33、24×3×5，其中最小的是最后一个24×3×5=240．故选：B．【点评】此题巧用求一个数约数的方法，从最小的质因数着手，分析不同的情形，得出结论．二．填空题（共40小题）2．写出不大于100且恰有8个约数的所有自然数是24、30、40、42、54、56、66、70、78、88．【分析】恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab3或a7（a、b、c是不同的质数），由此可得结论．【解答】解：根据题意可得：2×3×5=30，2×3×7=42，2×3×11=66，2×3×13=78，2×5×7=70；3×23=24，5×23=40，7×23=56，11×23=88，2×33=54；27=128＞100．所以，所求的数从小到大依次是：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88共十个．故答案为：24、30、40、42、54、56、66、70、78、88．【点评】本题考查约数个数问题，考查学生分析解决问题的能力，确定恰有8个约数的自然数，具有形式abc或ab3或a7（a、b、c是不同的质数）是关键．3．已知自然数n有10个约数，2n有20个约数，3n有15个约数，那么6n有30个约数．【分析】n有10个约数，而2n有20个约数，按约数和定理，得知n的分解式中不含有2，3n有15个约数，假设3n的分解式中不含有3，则3n的约数应该是（1+1）×10=20个，则n的分解式中含有一个3，6n分成2×3×n，再根据约数和定理，可以求得约数的个数．【解答】解：根据分析，n有10个约数，2n有20个约数，按约数和定理，又∵，∴n的质因数分解式中含有0个2；设n=3a m x，又∵，∴n的质因数分解式中含有一个3，根据约数和定理，得n的约数和为：（a+1）（x+1）=10，解得：a=1，x=4，此时n=3×m4；故6n=2×3×n=2×3×3×m4=2×32×m4，其约数和为：（1+1）×（2+1）（4+1）=2×3×5=30，故答案是：30．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：根据约数和定理确定分解式中2和3的个数，再算约数的个数．4．一个自然数恰有48个约数，并且其中有10个连续的自然数，那么这个数的最小值是2520．【分析】因为这个数中的因数中有10个连续的自然数，那么这个数最小是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的最小公倍数，然后再验证这个最小公倍数是不是有48个约数．如果验证不到，再求2、3、4、5、6、7、8、9、10、11的最小公倍数，就这样去尝试．【解答】解：因为10=2×5，9=3×3，8=4×2，所以这10个数的最小公倍数，也就是7、8、9、10的最小公倍数．7、8的最小公倍数是56，9、10的最小公倍数是90，56和90的最小公倍数是2520．将2520分解质因数得23×32×5×7，所以它的因数个数是（3+1）×（2+1）×（1+1）×（1+1）=48个故此题填2520．【点评】此题考查是求公倍数的方法，以及如何去求约数的个数，采用的是假设验证的解题策略．5．自然数N有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其中最小的为4，最大的为2684，N有8个约数．【分析】最小的数为4，则约数最小的数为1，另外一个第二小的约数为4﹣1=3，即：3是N的一个约数，最大的约数是本身，第二大的约数和第二小的约数相乘结果即为本身，所以第二大的约数为：，再根据最大的两约数和为2684，可以求出N的值，用约数和定理求出约数的个数．【解答】解：根据分析，约数最小的数为1，最小的两个约数和为4，则第二小的约数为：4﹣1=3，约数是成对出现的，N=1×N=3×，即是第二大的约数，由于最大的两约数和为2684，则有：，解得：N=2013，分解质因数2013=3×11×61，根据约数和定理，得：2013的约数个数为：（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，故答案是：8．【点评】本题考查了约数和定理与因数倍数知识，突破点是：根据约数和第二大和第二小约数，再求出N，再算其约数的个数．6．四位数的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数有12个因数．【分析】首先判断文字中含有隐含的数字，奇偶位数和相等是11的倍数，在分析因数的个数，同时注意题中说的是3个质数．42需要分解成3个数字相乘有唯一情况．再枚举即可．【解答】解：首先根据奇偶位数和相等一定是11的倍数．因数一共的个数是3+39=42（个），将42分解成3个数字相乘42=2×3×7．=a×b2×c6．如果是11×52×26=17600（不是四位数不满足条件）．再看一下如果这个数字最小是=11×32×26=6336．=3663=11×37×32．因数的个数共2×2×3=12（个）．故答案为：12个．【点评】本题考查因数个数的求解同时考查质数与合数的理解和运用，题中隐含数字11就是本题的突破口，同时关键分析42分解成2×3×7的情况．实际就是特殊的情况，都是最小的质数．问题解决．7．四位数的约数中，恰有3个是质数，39个不是质数，四位数的值是6336．【分析】根据因数个数是42个同时需要有3个质数，42分解成3个数字相乘就有唯一情况．同时这四位数中奇数偶数位数和相等．满足11整除特性．接下来从最小的情况枚举尝试即可．【解答】解：根据奇数偶数位数和相等，所以一定是11的倍数，因数个数是3+39=42个．四位数含有3个质数，需要将42分解成3个数字相乘．42=2×3×7．所以可以写成a×b2×c6．那么看一下质数是最小的是什么情况．11×32×26=6336．当质数再打一点b=5时，c=2时，11×52×26=17600（不满足是四位数的条件）．故答案为：6336．【点评】本题考查因数个数的求法，同时对质数的理解和运用，突破口是42需要分解成3个数字相乘有唯一情况．同时数字是11的倍数．最后发现实际都是特殊情况唯一确定．问题解决．8．大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数．比如，6的所有因数为1，2，3，6，1+2+3+6=12，6就是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，81的所有因数之和为121．【分析】先找出81的所有因数，再把81的所有因数相加即可．【解答】解：81的因数：1、3、9、27、81，81的所有因数之和为：1+3+9+27+81=121，故答案为：121．【点评】本题关键是找到81的所有因数．9．恰好有12个不同因数的最小的自然数为60．【分析】首先把12分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案．【解答】解：12=1×12=2×6=3×4=2×2×3，有12个约数的自然数有：①2×2×…×2×2（11个2）=2048，②2×2×…×2（5个2）×3=96，③2×2×2×3×3=72，④2×2×3×5=60；从以上可以看出只有④的乘积最小；所以有12个约数的最小自然数是60．故答案为：60．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a 为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．10．有10个不同因数的最小自然数为48．【分析】首先把10分成两个数的乘积或3个数的乘积，用因数减1当所求自然数的质因数个数，从最小的质数2开始考虑，使2的个数最多，算出乘积比较得出答案．【解答】解：因为10=2×5=1×10，210=1024，24×3=48，所以一个自然数有10个不同的约数，则这个自然数最小：24×3=48；故答案为：48．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a 为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．11．两个正方形的面积之差为2016平方厘米，如果这样的一对正方形的边长都是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有12对．【分析】假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数2016=25×32×7，然后解答即可．【解答】解：假设大正方形的边长为x，小正方形的为y，有题意可得：x2﹣y2=2016，因式分解：（x+y）（x﹣y）=2016，x+y与x﹣y奇偶性相同，乘积2016是偶数，所以必是偶数，2016=25×32×7，2016因数的个数：（1+5）×（2+1）×（1+1）=36（个），共有因数36÷2=18对因数，其中奇因数有：（2+1）×2=6对，所以偶数有：18﹣6=12对，即，满足上述条件的所有正方形共有12对．故答案为：12．【点评】本题考查了约数个数的定理和奇偶性问题，关键是得到2016的约数的个数，难点是去掉几个奇因数；本题还可以根据x+y与x﹣y都是偶数，它们的积至少含有4这个偶数，所以2016÷4=504，然后确定504的约数是24个，即12对即可．12．60的不同约数（1除外）的个数是11．【分析】先将60分解质因数，60=2×2×3×5，再写成标准式是22×3×5，再利用约数个数公式，约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘，最后减去1，即得答案．【解答】60分解质因数60=2×2×3×5，再下称标准式是22×3×5，再利用约数个数公式，约数个数=不同质因数指数加1然后再相乘．60的不同约数（1除外）的个数是（2+1）×（1+1）×（1+1）﹣1=11个．答：答案是11个．【点评】约数个数公式的推导要用乘法原理，当然此题也可以用列举法求解．13．如果一个自然数N（N＞1）满足：N的因数个数就是其个位数字，那么这样的N就称为“中环数”（比如34=2×17，所以它有4个因数，正好就是34的个位数字，所以34就是一个”中环数”）．在2～84中，一共有6个“中环数”．【分析】由题意，对N的因数个数分类讨论，由此即可得出结论．【解答】解：由题意，N的因数个数是2，N就是2；N的因数个数是3，则N是完全平方数，由于末尾是3，不存在N满足题意；N的因数个数是4，由于末尾是4，则满足条件的数为14，34，74；N的因数个数是5，则N是完全平方数，由于末尾是5，不存在N满足题意；N的因数个数是6，则N是76满足题意；同理78满足题意，所以在2～84中，”中环数”是2，14，34，74，76，78，故答案为6．【点评】本题考查因数与倍数，考查新定义，解题的关键是对N的因数个数分类讨论．14．在所有正整数中，因数的和不超过30的共有19个．【分析】由于一个数的因数包括本身，则这个数一定不超过30，则依此可以一一检验得到符合题意的正整数的个数．【解答】解：根据分析，此正整数不超过30，故所有不超过30的质数均符合条件，有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个；其它非质数有：1、4、6、8、9、10、12、14、15共9个满足条件，故满足因数的和不超过30的正整数一共有：10+9=19个．故答案为：19．【点评】本题考查了约数的个数知识，突破点是：从质数开始排查，再检验其它非质数．15．一个五位数是2014 的倍数，并且恰好有16个因数，则的最小值是24168．【分析】2014的倍数是五位数的数最小从10070开始，再根据的约数个数，来确定这个五位数的最小值．【解答】解：根据分析，2014的倍数是五位数的数：①最小是10070=5×2014，末尾三位是：70=2×5×7，约数个数为：（1+1）（1+1）（1+1）=8个；②12084=6×2014，末三位是：84=22×3×7，约数个数为：（2+1）（1+1）（1+1）=12个；③14098=7×2014，末三位是：98=2×72，约数个数为：（1+1）（2+1）=6个；④16112=8×2014，末三位是：112=24×7，约数个数为：（4+1）（1+1）=10个；⑤18126=9×2014，末三位是：126=2×32×7，约数个数为：（1+1）（2+1）（1+1）=12个；⑥20140=10×2014，末三位是：140=22×5×7，约数个数为：（2+1）（1+1）（1+1）=12个；⑦22154=11×2014，末三位是：154=2×7×11，约数个数为：（1+1）（1+1）（1+1）=8个；⑧24168=12×2014，末三位是：168=23×3×7，约数个数为：（3+1）（1+1）（1+1）=16个；显然符合题意的只有：24168．故答案是：24168．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，突破点是：根据约数和定理一一检验，得到符合题意的数．16．整数n一共有10个因数，这些因数从小到大排列，第8个是．那么整数n的最大值是162．【分析】由于整数的因数都是成对出现，则这10个约数必然是1、、3、、、、、、、n，立即可以填出1、2、3、、、、、、、n，也就是说n必然含有质因数2和3，然后结合因数个数定理可求解．【解答】解：根据分析可知10个因数分别为1、2、3、、、、、、、n，根据因数个数定理10=1×（9+1）=（1+1）×（4+1），由于含质因数2和3，则n应为21×34或24×31，其中21×34=162更大．故答案为：162．【点评】解答本题关键是：能根据因数成对出现的特点结合因数个数和定理．17．一个数恰好有8个因数，已知35和77是其中两个，则这个数是385．【分析】先把35和77分解质因数，即35=5×7，77=7×11，则这个数至少数是：5×7×11，然后根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个数加1连乘的积就是这个数约数的个数，即（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个，正好符合要求，然后解答可得出答案．【解答】解：35=5×7，77=7×11，则这个数至少数是：5×7×11=385，共有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8（个）因数，正好符合要求．答：这个数是385．故答案为：385．【点评】此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：a=pα×qβ×rγ（其中a 为合数，p、q、r是质数），则a的约数共有（α+1）（β+1）（γ+1）个约数．18．在1～600中，恰好有3个约数的数有9个．【分析】如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P2（P为质数），然后确定在1～600中，完全平方数的个数即可．【解答】解：如果一个数恰好有3个约数，则这个数分解质因数的形式为P2（P 为质数），因为，242=576，252=625，所以，P是不大于24的质数，即2、3、5、7、11、13、17、19、23，共有9个；答：在1～600中，恰好有3个约数的数有9个．故答案为：9．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理的灵活逆用；关键是明确：当一个数的因数的个数是奇数个数时，这个数是完全平方数．19．已知a、b是两个不同的正整数，并且a、b的约数个数与2013的约数个数相同，则两数之差（大减小）的最小值为1．【分析】显然先分解质因数2013，可以求得其约数的个数为（1+1）×（1+1）×（1+1）=8，而8=2×2×2=2×4，故而可以确定a和b的分解质因数的形式，再一一检验找出差值最小的数．【解答】解：根据分析，分解质因数2013=3×11×61，有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，而一个数有8个余数，那么这个数分解质因数一定可以写成m3×n或m×n×w （m、n、w为互不相同的质数），故约数个数为8的数有多个，现举例说明两数之差最小的几组：①104=23×13与105=3×5×7均有8个约数（这是最小的满足差是1的一组）；②189=33×7与190=2×5×19均有8个约数；③23×37=296与297=33×11均有8个约数；④2013=3×11×61，2014=2×19×53均有8个约数．综上，a、b 两数之差（大减小）的最小值为1．故答案是：1．【点评】本题考查了约数个数与约数和定理，本题突破点是：先分解质因数，求出约数的个数，再算出a，b最小的差．20．用表示a的不同约数的个数．如4的不同约数有1，2，4共3个，所以=3，那么（﹣）÷=1．【分析】由题意，12的约数个数是6个，6的约数个数是4个，5的约数个数是2个，即可得出结论．【解答】解：由题意，12的约数个数是6个，6的约数个数是4个，5的约数个数是2个，所以（﹣）÷=（6﹣4）÷2=1，故答案为1．【点评】本题考查因数与倍数，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．21．一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足：①A+B+C=79②A×A=B×C那么，这个自然数是441．【分析】一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2，或者N=x8，利用其中3个约数A，B，C满足：①A+B+C=79；②A×A=B×C，进行验证即可得出结论．【解答】解：一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2，或者N=x8，（1）当N=x8，则九个约数分别是：1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，其中有3个约数A、B、C且满足A×A=B×C，不可能．（2）当N=x2y2，则九个约数分别是：1，x，y，x2，xy，y2，x2y，xy2，x2y2，其中有3个约数A、B、C且满足A×A=B×C，①A=x，B=1，C=x2，则x+1+x2=79，无解．②A=xy，B=1，C=x2y2，则xy+1+x2y2=79，无解．③A=xy，B=x，C=xy2，则xy+x+xy2=79，无解．④A=xy，B=x2，C=y2，则xy+x2+y2=79，解得：，则N=32×72=441．⑤A=x2y，B=x2y2，C=x2，则x2y+x2y2+x2=79，无解．故答案为441．【点评】本题考查约数个数和约数和定理，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N=x2y2，或者N=x8．22．有一个自然数A，它的平方有9个约数，老师9个约数写在9张卡片上，发给学学三张、思思三张．学学说：“我手中的三个数乘积是A3．”思思说：“我手中的三个数乘积就是A2，而且我知道你手中的三个数和是625．”那么，思思手中的三个数和是55．【分析】A2有9个约数，故由约数个数定理可逆推出：A的质因数分解形式为p4或pq（p、q为不相同的质数），分类讨论，即可得出结论．【解答】解：A2有9个约数，故由约数个数定理可逆推出：A的质因数分解形式为p4或pq（p、q为不相同的质数）；若A=p4，那么可把A2的9 个约数写成如下的表格形式（幻方）：学学手中必拿到了一行或一列或一条对角线；思思手中拿到的可能是（1、p、p7）（1、p2、p6）（1、p3、p5）（p、p2、p5）（p、p3、p4）；只有后两组才能确定学学手中的牌，但后两组所确定的数需要1+p4+p8=625或1+p5+p7=625，可是这两种情况p均无解；故知A的质因数分解形式不能为p4，只能为pq；若A=pq，那么可把A2的9 个约数写成如下的表格形式思思手中拿到的可能是（1、p、pq2）（1、q、p2q）（1、p2、q2）（p、q、pq）；经分析可知，只有当思思拿到（p、q、pq）时，才一定能确定学学手中的牌，此时学学手中的牌为（1、p2q、pq2），故1+p2q+pq2=625，解得A的两个质因数p、q为3和13，故思思手中的牌为（3、13、39），所求答案为3+13+39=55．故答案为55．【点评】本题考查约数和定理，考查幻方的运用，考查分类讨论的数学思想，正确运用约数个数定理是关键．23．一个四位数，他最小的8个约数的和是43，那么这个四位回文数是2772．（回文数例如：1111、4334、3210123）【分析】最小的八个约数的和为43，约数首先为自然数，首先该有1和2（如果没2的话，就不会有偶约数，最小的8个奇数的和大于43），不该有5（有5的话首末位都为0）和10，而1+2+3+4+6+7+8+9=40不够43，而回文数必然是11的倍数，所以11也是这8个约数之一，把11考虑进去，就只有下面一种情形了：1+2+3+4+6+7+9+11=43，然后求出这8个数的最小公倍数即可；由此解答．【解答】解：由分析可知：约数首先为自然数，首先该有1和2，不该有5和10，而1+2+3+4+6+7+8+9=40不够43，而回文数必然是11的倍数，所以11也是这8个约数之一，把11考虑进去，则有：1+2+3+4+6+7+9+11=43，以上数的最小公倍数为：4×7×9×11=2772，正好满足要求；答：这个四位回文数是2772；故答案为：2772．【点评】明确回文数的含义：从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”；然后根据题意，进行推导，求出这8个约数，是解答此题的关键．24．一个正整数恰有8个约数，它的最小的3个约数的和为15，且这个四位数的一个质因数减去另一个质因数的5倍等于第三个质因数的2倍，这个数是1221或2013．【分析】它的最小的3个约数的和为15，1肯定是其中一个约数，另两个最小的约数之和是14，然后通过列举，推出它的最小的3个约数只能是：1，3，11；它是4位数，所以，3和它本身肯定也是它的约数，所以已经有5个约数了，其中有两个质因数3，11，另外它至少有3个质因数，设第3个质因数为x．那么它的约数有：1，3，11，33，x，3×x，11×x，这个数本身，刚好8个，所以有x﹣5×3=2×11或者x﹣5×11=2×3，由此可以得出x=37或61；由此即可得出结论．【解答】解：它的最小的3个约数的和为15，1肯定是其中一个约数，另两个最小的约数之和是14，可能是：7、7（不符），6、8（如果是这两个，那2也是，不符），5、9（如果是这两个，那3也是，不符），4、10（如果是这两个，那2也是，不符），3、11（符合），所以可以推出它的最小的3个约数只能是：1，3，11；它是4位数，所以，33和它本身肯定也是它的约数，所以已经有5个约数了，其中有两个质因数3，11，另外它至少有3个质因数，设第3个质因数为x．那么它的约数有：1，3，11，33，x，3×x，11×x，这个数本身，刚好8个，所以有x﹣5×3=2×11或者x﹣5×11=2×3，由此可以得出x=37或61；所以它的约数有：1，3，11，33（3×11），37，111（3×37），407（11×37），1221（3×11×37）或1，3，11，33（3×11），61，183（3×61），671（11×61），2013（3×11×61）所以答案应该是1221或2013；故答案为：1221或2013．【点评】此题考查了约数个数和约数和定理，根据题意，进行推导，得出它的最小的3个约数是：1，3，11，是解答此题的关键．25．定义：A□B为A和B乘积的约数个数，那么，1□8+2□7+3□6+4□5=20．【分析】依次算出各部分约数的个数，然后相加即可．【解答】解：1×8的因数有4个2×7的因数有4个3×6的因数有6个4×5的因数有6个所以1□8+2□7+3□6+4□5=4+4+6+6=20故填20【点评】此题的关键是看懂A□B的意思，然后确定运算顺序．26．已知自然数N的个位数字是0，且有8个约数，则N最小是30．【分析】根据能被2、5整除的数的特征；自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最少，而其它质因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个；据此解答．【解答】解：自然数N的个位数字是0，它一定有质因数5和2，要使N最小，5的个数应最少为1个，而求其它因数最好都是2和3，并且2的个数不能超过2个，其它最好都是3；设这个自然数N=21×51×3a，根据约数和定理，可得：（a+1）×（1+1）×（1+1）=8，（a+1）×2×2=8，a=1；所以，N最小是：2×3×5=30；答：N最小是30．故答案为：30．【点评】本题关键是根据能被2、5整除的数的特征确定自然数N的质因数；难点是根据约数和定理得出质因数5、3和2的个数．27．一个合数至少有3个约数．√．（判断对错）【分析】根据合数的意义，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数．由此解答．【解答】解：根据合数的意义，一个合数至少有3个约数；所以这种说法是对的．。

20181213小学奥数练习卷(知识点：完全平方数性质)含答案解析

20181213小学奥数练习卷(知识点：完全平方数性质)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：完全平方数性质）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方．A．14B．17C．28D．292．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共33小题）3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是．（2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为．6．有些三位数具有下面的性质：（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；所有满足这些性质的三位数之和为．7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是．8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是．9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有对．11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=．12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是．13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=．14．A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊奇的发现，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是．（填字母）15．有4个不同的数字共可组成18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个位数是一个完全平方数，倒数第二个四位数也是完全平方数，那么这两个数的和是．16．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是的平方．17．自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是．18．已知：503=125000，603=216000，如果a3=195112，且a为整数．那么a=．19．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是．20．十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如1×1=12，2×2=22，3×3=33，类推）21．在1﹣﹣﹣2012这2012个自然数中，是平方数但不是立方数的一共有个．22．如果存在n个连续自然数的平方和为质数，则n的所有取值的平方和等于．23．设M是三个相邻整数的平方和，则M的个位数字可能是．24．甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元．付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付．付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲元．25．一个四位数是完全平方数，四个数字的和是偶数，千位数字和百位数字的和为3，个位数字为偶数，那么这个数是．26．若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有个．27．把1，2，3，4，5，6，7，8，9按另一种顺序填在下表的第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数的和都是平方数．28．已知自然数n满足：12除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是．29．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有个．30．如果一个两位数与它的反序数（比如：52的反序数是25）的和是一个完全平方数，则称为“灵巧数”请写出所有的”灵巧数”：．31．给1999加上一个三位数，使结果是一个平方数，这样的三位数共有个．32．有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这18个数中最大的数是．33．已知两个质数的平方差等于21，那么，这两个质数的平方和等于．34．在2×2=4，3×3=9，4×4=16，5×5=25，6×6=36，…等这些算式中，4，9，16，25，36…叫做完全平方数．那么不超过2007的最大的完全平方数是．35．自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数有个．三．解答题（共15小题）36．一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？37．A、B、C三人到D老师家里玩，D老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个四位数．已知这三个四位数都是完全平方数（比如4=22，100=102，4、100都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是0，个位数都不是0，每个小朋友只能看见别人帽子上的数．这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：A说：“B、C帽子上数的个位数相同．”B、C同时说：“听了A的话，我知道自己的数是多少了．”A说：“听了B、C的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一个偶数．”求：A、B、C帽子上的数之和．38．从1至100中最多能取出个数，才能够确保其中任意两个数的最小公倍数与最大公因数的商不是一个完全平方数？39．某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．40．有多少种方法可以将22012表示成四个正整数的完全平方和？请证明你的结论．41．有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？42．有一对四位数对（2025，3136），拥有如下的特点：每个数都是完全平方数，并且第二个四位数的每个数码比第一个四位数的对应数码都大1．请找出所有满足这个个点的五位数数对．（如果找出的一对五位数为a和b，请写成（a，b）的形式．）43．少年官游乐厅内悬挂着250个彩色灯泡，按1﹣250编号．它们的亮暗规则是：第1秒，全部灯泡变亮；第2秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第3秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态．这样继续下去，第250秒时，亮着的灯泡有个．44．把既不是平方数也不是立方数的正整数（0除外）按从小到大的顺序排列，得到2，3，5，6，7，10，…，其中第1000个数是多少？45．将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数．则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2=3025，所以3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？46．老师为自己班级的50名学生做了50张分别写着1到50的数字卡片，每张卡片都是一面红色，另一面蓝色，两面都写着相同的数字．老师把这50张卡片都蓝色朝上地摆在桌上，对同学们说：“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是你自己序号的倍数，你就把它们都翻过来，蓝的就翻成红的，红的就翻成蓝的．”那么，当全体学生都按老师的要求翻完以后，红色朝上的卡片有多少张？47．在每个人心里都默记住两个不等于0的数．算出这两个数和的平方，其结果记做“共”，算出这两个数差的平方，其结果记做“迎”；再算出这两个数的乘积，记做“接”．请你你的“共”，“迎”，“接”来计算式子：（）2=？．请大家一起同声回答．48．是否能将1～l6这16个自然数排成一排，使得任相邻两个数的和都等于自然数的平方？如果能，请写出排法，如果不能，请说明理由．49．如果l，2，3…n可以这样重排，使得每个数加上它的序号的和都是平方数，那么n就称为“迎春数”．例如，自然数1，2，3，4，5可以重新排列为3，2，1，5，4；这时每个数加上它的序号的和都是平方数，那么5就是一个“迎春数”．问：在6，7，8，9，10，11中哪几个是“迎春数”？50．求同时满足下列三个条件的自然数a，b：（1）a＞b；（2）；（3）a+b是平方数．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方．A．14B．17C．28D．29【分析】首先利用枚举法得出所有的可能，进而利用已知分析得出所有可能，进而得出答案．【解答】解：先枚举出所有三位五重复数字的完全平方数．（1）根据甲的第一句话，排除了625，841，961 三种情形（2）根据乙的第一句话，知道乙拿到的一定不是2，4，6，从而只剩下了196，256，289，576，784 （更重要的是，此时此刻甲和丙并不知道乙知不知道结果，因此他们不能进一步缩小范围．）（3）根据丙的话，知道丙拿的一定不是6，否则就不可能知道结果，于是又排除了196，256，576．（4）根据甲的第二句话，知道甲在第二句话之后还不知道结果，因此甲一定是2．甲是由于丙的话排除了256，从而知道了自己是289的．（5）最后一句话没有用，但最后一句话是事实，因为丙不知道到底是289还是784，他只有听到了甲说完上一句话才能知道．故此数是17的平方．故选：B．【点评】此题主要考查了完全平方数的特征，利用枚举法得出所有可能是解题关键．2．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31【分析】A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值，然后求出α+β+γ的最小值即可．【解答】解：A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值：3×5﹣1是2的倍数，α的最小值为15，2×3﹣1是5的倍数，γ的最小值为6，2×5﹣1是3的倍数，β的最小值为10，所以α+β+γ的最小值是：15+6+10=31；故选：D．【点评】根据题意，推导出满足条件的α、β、γ值，是解答此题的关键．二．填空题（共33小题）3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=1090．【分析】由10个正整数取9个数相加只有9个不同的和，可得出有一个重复的数，设9个数的和中重复的数为x、s=a1+a2+…+a10，将这十个数相加即可得出x+813=9s，变形后可得出x+3=9s﹣810=9（s﹣90）是9的倍数，结合给定的数可得出x=87、s=100，继而可求出该10个正整数，将其平方再相加即可得出结论．【解答】解：∵只有9个不同的和，∴有一个重复．设9个数的和中重复的数为x，s=a1+a2+…+a10，∴x+86+87+88+89+90+91+93+94+95=9s，即x+813=9s，∴x+3=9s﹣810=9（s﹣90）是9的倍数，∴x=87，s=100，∴10个正整数分别是：14，13，13，12，11，10，9，7，6，5．∴a12+a22+…+a102=142+132+132+122+112+102+92+72+62+52=1090．故答案为：1090．【点评】本题考查了完全平方数的性质以及因数与倍数，将9个数之和全部相加，找出x+813=9s是解题的关键．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是0．（2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=8．【分析】（1）2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5=2n（1+2+4+8+16+32）=2n×63是9的倍数，可得2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数；（2）求出2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5，其和为335×（2+4+8+7+5+1）+2+4+8+7+5=14164847，即可得出结论．【解答】解：依题意可知：（1）2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5=2n（1+2+4+8+16+32）=2n×63是9的倍数，所以2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是0．（2）2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5，其和为335×（2+4+8+7+5+1）+2+4+8+7+5=14164847，各位数字之和为1+4+1+6+4+8+4+7=35，3+5=8直到各位数字之和为一位数，则k=8．故答案为0，8．【点评】本题考查数字和问题，考查逻辑推理，考查学生分析解决问题的能力，确定2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5是关键．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为13462．【分析】由题意，、、都是完全平方数，所以、、分别是16，64，49或36，64，49或81，16，64，可得四位数是1649或3649或8164，即可求出满足这个性质的四位数之和．【解答】解：由题意，、、都是完全平方数，所以、、分别是16，64，49或36，64，49或81，16，64，所以四位数是1649或3649或8164，所以满足这个性质的四位数之和为1649+3649+8164=13462．故答案为13462．【点评】本题考查位值原理，考查学生对概念的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．有些三位数具有下面的性质：（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；所有满足这些性质的三位数之和为1993．【分析】完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，再根据性质，得出满足条件的三位数为816、649、164、364．求和可得结论．【解答】解：完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，以16作为十位数、个位数，百位数取8，以49作为十位数、个位数，百位数取6，以64作为十位数、个位数，百位数取1或3，满足条件的三位数之和为816+649+164+364=1993，故答案为1993．【点评】本题考查完全平方数性质，考查学生对题意的理解，确定完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，再根据性质，得出满足条件的三位数是关键．7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是120．【分析】可以先确定A的值，由于一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，而质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，则B的十位上数字只能是2，又因为合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间，可以缩小范围再确定这三个数．【解答】解：根据分析，先确定A，∵一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，∴A=49；∵质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，∴B的十位上数字只能是2，而个位只能是3，故B=23；∵合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间即，∴C=48，故A+B+C=49+23+48=120，故答案是：120．【点评】本题考查了完全平方数性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质，以及质数合数的特征缩小范围，最后确定三个数的值．8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是2601．【分析】显然，将2016的四个数字重新编排后的数在1026～6210之间，要组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，而个位数为6和1的数中可以一个一个排除，缩小范围，最后确定答案．【解答】解：根据分析，将2016的四个数字重新编排，设此四位数为A=n2，322＜1026≤A≤6210＜802，32＜n＜80，要想组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，个位数为1和6的数有：2061、2601、6021、6201、1206、1026、2016、2106，共八个数，其中，若个位数为6，则n=36、46、56、66、76，而362=1296，462=2116，562=3136，662=4356，762=5776，均不合题意，故排除，所以个位数为1，而2061、2601、6021、6201，这四个数中只有2601=512，是一个平方数，此四位数是2601，故答案是：2601．【点评】本题考查了完全平方数的性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质，排除掉不合题意的数，再缩小范围确定结果．9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是225．【分析】小于1000的最大P型平方数，33的平方数是1089，这个数需要小于33的平方的平方数．q﹣2和q+2的差是4．只要找到数字相差4的不超过33的质数组合即可．【解答】解：小于33的质数有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2等数字差是4的两个质数有19和23最大．21﹣2=19，21+2=23.21×21=441．故答案为：441．【点评】本题关键在于找到q﹣2和q+2的差是4的质数，而且小于33的质数．要注意找到的是这两个质数，题中要找的是一个平方数441，不是21．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有3对．【分析】先讨论确定（a，b）=1，再得出设a﹣2b=p （p是质数），则x+2y=p，x﹣2y=1，p=4y+11～21被4除余1的质数有：5，13，17，即可得出结论．【解答】解：（1）若a﹣2b=2，则a=2b+2所以，2ab=4b2+4b4b2＜4b2+4b＜4b2+4b+1=（2b+1）2因为两个完全平方数之间不存在完全平方数，所以，2ab不是完全平方数．这种情况舍去．（2）若（a，b）=d≠1，设b=kd，则a=（2k+1）d，2ab=d2（4k2+2k）因为2ab是完全平方数，所以，4k2+2k是完全平方数，由于4k2＜4k2+2k＜4k2+4k+1=（2k+1）2同理这也是不可能的．综上所述，（a，b）=1从而，a﹣2b是奇数，所以，a是奇数，因为2ab是完全平方数，所以a=x2，b=2y2，（x＜10，y＜5）所以，a﹣2b=x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）设a﹣2b=p （p是质数），则x+2y=p，x﹣2y=1，两式相减得到4y=p﹣1所以，p=4y+11～21被4除余1的质数有：5，13，17，所以，这样的数对（a、b）共有3组解：①a=9，b=2；②a=49，b=18；③a=81，b=32．故答案为3．【点评】本题考查完全平方数的性质，考查质数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=3．【分析】由题意，五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7，再分类讨论验证可得结论．【解答】解：由题意，五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7，若是，则代入验证可得1232=15129，∴A=1，B=2，A+B=3．若是，则代入验证可得1172=13689，1272=16129，不符合题意，故答案为3．【点评】本题考查完全平方数性质考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是得出五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7．12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是2401．【分析】首先找到这些数字中尾数只能是1或者4才能构成平方数．再枚举这些数字，然后进行分解．只要分解出一个不是平方数的数字就不符合题意．【解答】解：首先根据是平方数判断尾数可以是1或者4．没有一个平方数尾数是2的．尾数是1和尾数是4时有1024，1204，2014，2104，2041，2401，4201，4021共8个数字．对以上8个数字进行分解得：①1024=25，②1204=4×301（不符合题意），③2014=2×1007（不符合题意），④2104=8×263（不符合题意）⑤2041=13×157（不符合题意），⑥2401=492（符合题意），⑦4201（质数），⑧4021（质数）．故答案为：2401【点评】本题关键是尽可能找到一个条件缩小可能出现的数字范围，比如如果是平方数尾数的特征是固定的．根据这些特征进行筛选．13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=22或2．【分析】设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，用①×9﹣②×4可以得到（3a+2b）（3a﹣2b）=77，然后把77进行分解，进而解得a、b的值．【解答】解：设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，①×9得，72n﹣63=9a2…③，②×4=72n﹣140=4b2…④式，③代入④式，得到9a2﹣4b2=77，即（3a+2b）（3a﹣2b）=77，又77=1×77=7×11，即或，解得a=13或3，分别把a=13或3，代入①得，8n﹣7=169，或8n﹣7=9，8n=176，或8n=16解得：n=22，或n=2，所以n=22或n=22．故答案为：22或2．【点评】本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是设出8n﹣7=a2，18n﹣35=b2．14．A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊奇的发现，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是N．（填字母）【分析】根据题意得：A、B、C都比他们的妻子多花63元，每个人花的钱是完全平方数，每对夫妻均有x2﹣y2=63．（x、y代表买到羊的只数，x＞y），即（x+y）（x﹣y）=63，求出方程的三组解（32，31），（12，9），（8，1），根据A比M 多买了23只羊，B比L多买了11只羊，可得结论．【解答】解：根据题意得：A、B、C都比他们的妻子多花63元，每个人花的钱是完全平方数，每对夫妻均有x2﹣y2=63．（x、y代表买到羊的只数，x＞y），即（x+y）（x﹣y）=63，而63=1×63=3×21=7×9（x+y与x﹣y的奇偶性一样），有或或，得到三组解（32，31），（12，9），（8，1），题目中B比L多买了11只羊，差11的只有一组，12﹣1=11，所以B=12，L=1，A比M多买了23只羊，32﹣9=23和31﹣8=23，但是若M=8，M和L是夫妻，矛盾，所以A=32，M=9，所以A的妻子是N．故答案为N．【点评】此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．15．有4个不同的数字共可组成18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个位数是一个完全平方数，倒数第二个四位数也是完全平方数，那么这两个数的和是10890．【分析】四个数字只有18个不同四位数，可以得出，四个数字中有一个为0；设：四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，下面从c值入手讨论（结合0＜a＜b＜c）：根据平方数个位特点：c=4，5，6，9，然后分情况讨论：得出符合条件的c值，进一步解决问题．【解答】解：设：四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，下面从c值入手讨论（结合0＜a＜b＜c）：根据平方数个位特点：c=4，5，6，9，当c=4时：只有32×32=1024；但是4201不是平方数，排除，当c=5时候：45×45=2025；55×55=3025都不符合，排除，当c=6时候：都不符合排除，c=9时：33×33=1089；9801=99×99 符合条件；最小：1089，倒数第二：9801，进而求出这两个数的和．这两个数的和是：1089+9801=10890．故答案为：10890．【点评】设出四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，根据平方数特点，解决问题．16．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是7777777的平方．【分析】通过观察与计算，1234567654321是1111111的平方，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49，是7的平方，因此它们的积是7777777的平方．【解答】解：1234567654321=11111112，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49=72，1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）=77777772．故答案为：7777777．【点评】对于在各种类型的题目，要仔细观察，进行试算，从中发现规律或技巧，进而解决问题．17．自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是110．【分析】先将3960写成62×2×5×11的形式，显然可以看出，再乘以2×5×11即可得出答案．【解答】解：因为3960=62×2×5×11，所以3960乘以2×5×11就可变成6×2×5×11=660的平方，故答案为：110．【点评】此题解答的关键在于通过分解质因数，求得n的最小值．18．已知：503=125000，603=216000，如果a3=195112，且a为整数．那么a=58．【分析】根据503=125000，603=216000，a3=195112，且a为整数，得出50＜a ＜60，由于个位数为2，可得结论．【解答】解：因为125000＜195112＜216000，503=125000，603=216000，a3=195112，所以50＜a＜60，由于个位数为2，则a=58．故答案为58．【点评】本题考查整数的确定，考查立方数的求解，比较基础．19．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是6084．【分析】首先个位只能为4（为0需2个0，为6需要十位数为奇数；其次，不用的数字只能是2（为0或6则被3整除余2，为8则被3整除而不被9整除），这样以来，只有6084、6804、8064、8604四种可能，然后进行验证即可得出结论．【解答】解：先个位只能为4（为0需2个0，为6需要十位数为奇数；其次，不用的数字只能是2（为0或6则被3整除余2，为8则被3整除而不被9整除），这样以来，只有6084、6804、8064、8604四种可能，因为78×78=6084，所以6084符合题意，它是78的平方；故答案为：6084．【点评】解答此题的关键是根据题意，进行推导，确定出个位数是4，不用的数是2是解答此题的关键．20．十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是1328．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如1×1=12，2×2=22，3×3=33，类推）【分析】十个不同奇数的平方之和的最小值，即从1开始，到19结束，求出1～19的10个不同奇数的平方之和，然后求出这个最小值被4除的余数，然后用10个不同奇数的平方之和减去这个最小值被4除的余数即可．。

小学数学《排列组合》练习题(含答案)

小学数学《排列组合》练习题(含答案)

小学数学《排列组合》练习题（含答案）加乘原理，排列组合是四年级一个重要的学习内容，在之前的学习中，我们已经对它们有所了解，对于加乘原理我们只需要记住：加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关！排列组合的应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.可利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.本讲主要巩固加强此部分知识，注重排列组合的综合应用.排列在实际生活中常遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法．就是排列问题．在排的过程中，不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．一般地，从n个不同的元素中任取出m个（m≤n）元素，按照一定的顺序排成一列．叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．由排列的定义可以看出，两个排列相同，不仅要求这两个排列中的元素完全相同，而且各元素的先后顺序也一样．如果两个排列的元素不完全相同．或者各元素的排列顺序不完全一样，则这就是两个不同的排列．从n个不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，我们把它记做mnp（m≤n），m(1)(2) (1)mnp n n n n m=---+共个数.其中!(1) (1)nnP n n n==⨯-⨯⨯.【例1】 4名男生和2名女生去照相，要求两各女生必须紧挨着站在正中间，有几种排法？分析：分两步进行，先安排两个女生有22P 种方法，4个男生站的位置有44P 种方法，共有2424P P ⨯=2×1×4×3×2×1=48(种)，故有48种排法．【巩固】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，一共有多少种不同的停车方案? 分析：把4个空车位看成一个整体，（4个空车位看成一样的）与8辆车一块儿进行排列．99362880P =.【前铺】讲解此部分例题之前，请根据本班情况，将排列公式的计算练习一下！计算：（1）321414P P - ； （2）53633P P - 分析：（1）321414P P -=14×13×12-14×13=2002 ； （2）53633P P -=3×（6×5×4×3×2）-3×2×1=2154 .【例2】 书架上有4本不同的漫画书，5本不同的童话书，3本不同的故事书，全部竖起排成一排，如果同类型的书不要分开，一共有多少种排法？如果同类书可以分开，一共有多少种排法？（只写出表达式，不用计算）分析：每种书内部任意排序，分别有44P ，55P ，33P 种排法，然后再排三种类型的顺序，有33P 种排法，整个过程分4步完成．44P ×55P ×33P ×33P =103680(种)．如果同类书可以分开，就相当于4+5+3=12本书随意排，有1212P 种排法.【例3】 用0，1，2，3，4可以组成多少个没重复数字的三位数？分析：（法1）在本题中要注意的是0不能为首位数字，因此，百位上的数字只能从1，2，3，4这四个数字中选择1个，有4种方法；十位和个位上的数字可以从余下的4个数字中任选两个进行排列，有24P 种方法．由分步计数原理得，三位数的个数是：4×24P =48(个)． （法2）：从0，1，2，3，4中任选三个数字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位是0．从0，1，2，3，4这五个数字中任选三个数字的排列数为35P ，其中首位是0的三位数有24P 个．三位数的个数是：35P -24P =5×4×3-4×3=60-12=48(个)．不是简单的全排列，有一些其它的限制，这样要么全排列再剔出不合题意的情况，要么直接在排列的时候考虑这些限制因素．【前铺】（1）用1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的三位数? （2）用1，2，3，4，5可以组成多少个三位数？ 分析：（1）要组成三位数，自然与三个数字的排列顺序有关，所以这是一个从五个元素中取出三个进行排列的问题，可以组成35P =5×4×3=60种没有重复数字的三位数．（2）没有要求数字不能重复，所以不能直接用35P 来计算，分步考虑，用乘法原理可得：5×5×5=125（个）.注意“重复”和“没有重复”的区别！【巩固】用数码0，1，2，3，4可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数? 分析：小于1000的自然数包括一位数、两位数、三位数，可以分类计算．注意“0”是自然数，且不能作两位数、三位数的首项．11124444569P P P P +⨯+⨯=（个）.很自然的知道需要根据位数分类考虑，而且首位非零的限制也需要考虑．【例4】 由4个不同的独唱节目和3个不同的合唱节目组成一台晚会，要求任意两个合唱节目不相邻，开始和最后一个节目必须是合唱，则这台晚会节目的编排方法共有多少种?分析：先排独唱节目，四个节目随意排，有44P =24种排法；其次在独唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，对应23P =6种排法；再在独唱节目之问的3个位置中排一个合唱节目，有3种排法，由乘法原理，一共有24×6×3=432种不同的编排方法．【例5】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排；（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排.分析：（1）775040P =（种）.（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．66720P =（种）.（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×66P =1440(种)．（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．552240P ⨯= (种)．（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，25552400P P ⨯=（种）.（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．775040P =（种）.（7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3×55P ×2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列．【例6】 某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9．为确保打开保险柜，至少要试多少次？分析：四个数字之和为9的情况有：l+1+1+6=9；1+1+2+5=9；1+1+3+4=9；1+2+2+4=9；1+2+3+3=9；2+2+2+3=9，分别计算这6种情况．对于“l+1+1+6”这种情况，我们只需考虑6，其它1放那都一样；对于“1+1+2+5”这种情况，只需考虑2和5，其它同理，可得答案：12222144444456()P P P P P P +++++=次【巩固】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：一共有多少种不同的订法?分析：可以分三种情况来考虑：(1)3所学校订的报纸数量互不相同，有98，100，102；99，100，101两种组合，每种组各有33P =6种不同的排列，此时有6×2=12种订法．(2)3所学校订的报纸数量有2所相同，有98，101，101；99，99，102两种组合，每种组各有3种不同的排列，此时有3×2=6种订法．(3)3所学校订的报纸数量都相同，只有100，100，100一种订法． 由加法原理，不同的订法一共有12+6+l=19种．组 合一般地，从n 个不同元素中取出m 个（m≤n ）元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.由组合的定义可以看出，两个组合是否相同，只与这两个组合中的元素有关，而与取到这些元素的先后顺序无关.只有当两个组合中的元素不完全相同时，它们才是不同的组合.从n 个不同元素中取出m 个元素（m ≤n ）的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数.记作(1) (1)!m mn n n n m C m ⨯-⨯⨯-+=个数这就是组合数公式.【例7】 以右图中的8个点中的3个为顶点，共可以画出多少个不同的三角形?分析：从8个点中选3个点，一共有56种不同的选法．但是因为在一条直线上的3个点不能组成三角形，所以应去掉两条直线上不合要求的选法．5个点选3个的选法有10种．4个点选3个的选法有4种．所以一共可以画出56-(10+4)=42不同的三角形．【前铺】右图共有11条射线，那么图中有多少个锐角？分析：如图，最大的为锐角，它内部的各个角一定也是锐角，图中共有11条射线，任取两条作为角的两边便可确定一个锐角．因为角的两边不存在顺序关系，所以应该用组合．211C =55.几何题中的数个数问题往往可以采用这样的组合方法来解题．【前铺】讲解例题之前请根据本班情况先将组合公式计算练习一下！ 计算：（1）241655,,C C C ，（2）352777,,C C C分析：（1）26651521C ⨯==⨯，45543254321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯，15551C == ； （2）3776535321C ⨯⨯==⨯⨯ ，57765432154321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯ ，57765432154321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯注意：从上发现规律m n mn n C C -=.【巩固】从3、5、7、11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不同的乘积？分析：由于3，5，7，11都是质数，因此所得乘积各不相同，因此只要求出不同的质数对的个数就可以了．24C =6.【巩固】一个口袋中有4个球，另一个口袋中有6个球，这些球颜色各不相同．从两个口袋中各取2个球，共有多少种不同结果？分析：分步考虑，224661590C C ⨯=⨯=（种）.【例8】 有13个队参加篮球比赛，比赛分两个组，第一组七个队，第二组六个队，各组先进行单循环赛(即每队都要与其它各队比赛一场)，然后由各组的前两名共四个队再进行单循环赛决定冠亚军.问：共需比赛多少场？分析：分三部分考虑，第一组预赛、第二组顶赛和最后的决赛．第一组要赛：27C =21(场)，第二组要赛：26C =15(场)，决赛阶段要赛：24C =6(场)，总场数：21+15+6=42(场)．【拓展】一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，…，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少?分析：10个编号中5奇5偶，要使6个球的编号之和为奇数，有以下三种情形：(1)5奇1偶，对奇数只有1种选择，对偶数有5种选择．由乘法原理，有1×5=5种选择； (2)3奇3偶，对奇数有35C =10种选择，对偶数也有35C =10种选择．由乘法原理，有10×10=100种选择；(3)1奇5偶，对奇数有5种选择，对偶数只有1种选择．由乘法原理，有5×1=5种选择． 由加法原理，不同的摸法有：5+100+5=110种．【例9】 某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种?分析：分三步进行：第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有15种选法；第二步，从余下的4个班中选取两个班给6种选法；第三步，剩余的两个班给丙，有1种选法．根据乘法原理，一共有15×6×l=90种不同的分配方法．【拓展】从8名候选人中选出正、副班长各1人，再选出3名班委会成员．一共有多少种不同的选法?分析：先选正、副班长，分别有8种和7种选法．再从剩下的6人中选出3人，有36C =20种选法．由乘法原理，共有8×7×20=1120种不同的选法．【例10】 工厂从100件产中任意抽出三件进行检查，问: (1)一共有多少种不同的抽法?(2)如果100件产品有2件次品,抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)如果100件产品中有2件次品，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种? 、分析：从100件产品中抽出3件检查，与抽出3件产品的顺序无关，是一个组合问题． (1)不同的抽法数就是从100个元素中取3个元素的组合数．3100C =161700（种）. (2)可分两步考虑，第一步：从2件次品中抽出一件次品的抽法有12C 种；第二步：从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有298C 种．再用分步计数原理求出总的抽法数，122989506C C ⨯=.(3)可以从反面考虑，从抽法总数3100C 中减去抽出的三件都是合格品的情况，便得到抽出的三件产品中至少有一件是次品的抽法总数．33100981617001520969604C C -=-=.【例11】 从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛.在下列条件下，分别有多少种选法？（1） 恰有3名女生入选； （2） 至少有两名女生入选；（3） 某两名女生，某两名男生必须入选；（4） 某两名女生，某两名男生不能同时入选； （5） 某两名女生，某两名男生最多入选两人.分析：（1）恰有3名女生入选，说明男生有5人入选，应为：3581014112C C ⨯=；（2）要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：8871181010842753C C C C --⨯=.（3）4人必须入选，则从剩下的14人中再选出另外4人. 4141001C =.（4）从所有的选法818C 中减去这4个人同时入选的414C 种可能：818C -414C =42757.（5）分三类情况：4人无人入选，4人仅有1人入选，4人中有2人入选，共：8172614414414C C C C C +⨯+⨯=34749.【例12】 用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数?用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数?分析：先考虑在6个数位上选2个数位放1，这两个1的顺序无所谓，故是组合问题有26C =15种选法；再从剩下的4个数位上选2个放2，有24C =6种选法；剩下的2个数位放3，只有1种选法．由乘法原理，这样的六位数有15×6×l=90个． 在前一问的情况下组成的90个六位数中，首位是1、2、3的各30个．如果将3全部换成0，这30个首位是0的数将不是六位数，所以可以组成互不相同的六位数90—30=60个．【例13】 从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？分析：整个过程可以分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中任取三个数字，这是一个组合问题，有35C 种方法； 第二步，从2，4，6，8中任取两个数字，也是一个组合问题，有24C 种方法； 第三步，用取出的5个数字组成没有重复数字的五位数，有55P 种方法． 再由分步计数原理求总的个数：35C ×24C ×55P =7200（个）.附加题目【附1】小明的书架上原来有6本书，不重新排列，再放上3本书，可以有多少种不同的放法?分析：放第一本书时，有原来的6本书之间和两端的书的外侧共7个位置可以选择；放第二本书时，有已有的7本书之间和两端的书的外侧共8个位置可以选择．同样道理，放第三本书时，有9个位置可以选择．由乘法原理，一共可以有7×8×9=504种不同的放法．【附2】一栋12层楼房备有电梯，第二层至第六层电梯不停．在一楼有3人进了电梯，其中至少有一个要上12楼，则他们到各层的可能情况共有多少种?分析：每个人都可以在第7层至第12层中任何一层下，有6种情况，那么三个人一共有6×6×6=216种情况，其中，都不到12楼的情况有5×5×5=125种．因此，至少有一人要上12楼的情况有216-125=91种．【附3】某校组织进行的一次知识竞赛共有三道题，每道题满分为7分，给分时只能给出自然数l，2，3，…，7分．已知参加竞赛者每人三道题的得分的乘积都是36，而且任意二人各题得分不完全相同，那么请问参加竞赛的最多有多少人?分析：将36分解为不大于7的三个数的乘积，有1×6×6；3×3×4；2×3×6三种情况．考虑到因数的先后顺序，第一种情况，考虑1有三个位置可选择，其余位置放6，有3种顺序；第二种情况与第一种情况相似，有3种顺序；最后一种情况，有3×2×l=6种顺序．由加法原理，一共有12种顺序，所以参赛的最多有12人．【附4】某市的电视台有八个节目准备分两天播出，每天播出四个，其中某动画片和某新闻播报必须在第一天播出一场，体育比赛必须在第二天播出，那么一共有多少种不同的播放节目方案？分析：某动画片和某新闻播报在第一天播放，对于动画片而言，可以选择当天四个节目时段的任何一个时段，一共有4种选择，对于新闻播报可以选择动画片之外的三个时段中的任何一个时段，一共有3种选择，体育比赛可以在第二天的四个节目时段中任选一个，一共有4种选择．剩下的5个节目随意安排顺序，有55P=120种选择．由乘法原理，一共有4×3×4×120=5760种不同的播放节目方案．【附5】某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种?分析：此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，分三类：(1)只会日语的2人都出场，则还需1个多面手做日语导游，有4种选择．从剩下的只会英语的人和多面手共6人中选3人做英语导游，有36C=20种，由乘法原理，有4×20=80种选择．(2)只会日语的2人中有1人出场，有2种选择．还需从多面手中选2人做日语导游，有24C=6种选择．剩下的只会英语的人和多面手共5人中选3人做英语导游，有35C=10种选择．由乘法原理，有2×6×10=120种选择．(3)只会日语的人不出场，需从多面手中选3人做日语导游，有34C=4种选择．剩下的只会英语的人和多面手共4人中选3人做英语导游，有34C=4种选择．由乘法原理，有4×4=16种选择．根据加法原理，不同的选择方法一共有80+120+16=216种．【附6】五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况共有多少个？分析：首先考虑哪三个瓶子贴错了，有35C 种可能，3个瓶子贴错后互相贴错标签又分成两种不同情况.所以共有35C ×2=20（种）.此题容易出错的是三个出错的瓶子确定后，他们之间错误的可能情况数目，有的同学很容易忽略这一环节，而有的会不假思索的把它当作一个全排列，这都是不正确的．【附7】马路上有编号为1，2，3，…，l0的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？分析：l0只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此题可以转化为在7只亮着的路灯之问的六个空档中插入三只熄灭的灯，有36C =20种插法.练习十二1．给出1，2，3，4四个数字，试求：（1）可组成多少个数字不重复的四位数? （2）可组成多少个数字不重复的自然数? （3）可组成多少个不超过四位的自然数?分析：（1）44P =4×3×2×1=24个数字不重复的四位数.（2）利用1，2，3，4可组成数字不重复的一位、两位、三位、四位自然数，分类考虑：12344444P P P P +++=64个.（3）此题数位上的数字允许重复，利用1，2，3，4可组成一位、两位、三位、四位自然数．进一步考虑，一位数有4个，两位数有4×4=16个，三位数有4×4×4=64个，四位数有4×4×4×4=256个．故共有4+16+64+256=340个．2．由四个不同的非0数字组成的所有四位数中，数字和等于12的共有多少个?分析：四个数字都不同而数字和为12的数字有1，2，3，6和1，2，4，5两种情况，对于每种情况，可以组成44P =24个不同的四位数．对于所以，共可以组成24+24=48个不同的四位数．3．桌子上有3张红卡片，2张黄卡片，和1张蓝卡片，如果将它们横着排成一排，同种颜色的卡片不分开，一共有多少种排法？分析：32133213P P P P ⨯⨯⨯=72种.4．在1～100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法?分析：两个数的和是偶数，这两个数必然同是奇数或同是偶数，而取出的两个数与顺序无关，所以是组合问题；从50个偶数中取出2个，有250C =1225种取法；从50个奇数中取出2个，也有250C =l225种取法．根据加法原理，一共有1225+1225=2450种不同的取法．5．在一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法?(2)从口袋取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法?(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法?分析：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，与顺序无关，是组合问题，其取法种数是56种．(2)从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，其取法种数是21种．(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，其取法种数是35种．6．在6名女同学，5名男同学中选出4名女同学，3名男同学站成一排，有多少种排法？分析：男女同学分别考虑，再整体排列．437657C C P ⨯⨯ =756000(种)．。

20181213小学奥数练习卷(知识点：简单规划问题)含答案解析

20181213小学奥数练习卷(知识点：简单规划问题)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：简单规划问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共1小题）1．制作“新希望杯”水晶奖杯共需A、B、C、D、E五道工序，A工序需要5小时、B工序需要6小时、C工序需要8小时、D工序需要2小时、E工序需要7小时．有些工序可同时进行，但工序B、C必须在工序A完成之后才能进行；工序D、E必须在工序B完成之后才能进行．那么生产这种奖杯最少需（）A．17小时B．18小时C．19小时D．20小时第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共10小题）2．甲乙丙三种书．甲每本5元，乙每本3元，丙1元3本．现在要买三种书共100本（三种书都要有），总价恰好为100元．写出所有可能的购书方案（甲书的本数，乙书的本数，丙书的本数）．3．一次乐器比赛的规则规定：初赛分四轮依次进行，四轮得分的平均分不低于96分的才能进入决赛，小光前三轮的得分依次是95、97、94．那么，他要进入决赛，第四轮的得分至少是分．4．学校商店出售每支5角的铅笔，很少有人买，但经过降价，一下子全部库存铅笔都卖光，共卖得31.93元，问库存支这种铅笔，每支降价元．5．请在5×5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数X的格子恰好受到X枚皇后的攻击，每个格最多放一枚棋子，标有数的格子不能放棋子，如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某个格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子）6．请在5×5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数N的格子恰好受到N枚皇后的攻击，每个格最多一枚棋子，标有数的格子不能放棋子，如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某个格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子）．7．电话费均以整分为单位计时收费（不足1分钟按1分钟计算）．市内电话三分钟内一律收费0.30元，超过三分钟则为0.30元/分，夜间21：00后对折收费．市外电话计费正好是市内的3倍，夜间21：00后也对折收费，但超过5分钟，就另加0.10元/分的附加费，超过10分钟，则另加0.20元/分的附加费，依此类推（附加费不对折）．A市的小东在夜间20点54分时给B市的外婆打了一个电话，外婆不在，五分钟后小东再次打电话给外婆，直到21点18分8秒才挂了电话，则小东在这天夜里给外婆打电话应付元电话费．8．有三个没有刻度，容积分别为160升、119升和77升的不均匀的空桶，和无限多的水，要想量出76升水，至少需要进行次操作．（接水、互倒、倒水均算一次操作）9．有47名游客要渡河．现在只有一条小船，每次只能载6人（无船工），每渡河一次需要2分钟．那么，至少要花分钟才能渡完．10．某小学召开春季运动会，六年级1班的老师给体育委员100元钱到超市购买巧克力和矿泉水，要求全班每人至少1瓶矿泉水，运动员每人至少1块巧克力．如果全班人数是26人，有24人参赛，巧克力和矿泉水的单价分别是3元和1元，那么体育委员购买巧克力和矿泉水的方法有种．11．如图所示，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形．现知A的面积是2cm2，B的面积是4cm2，C的面积是6cm2．那么原矩形的面积是平方厘米．三．解答题（共21小题）12．在操场上做游戏，上午8：00从A地出发，匀速地行走，每走5分钟就折转90o．问：（1）上午9：20能否恰好回到原处？（2）上午9：10能否恰好回到原处？如果能，请说明理由，并设计一条路线．如果不能，请说明理由．13．有12人要到河对岸去，现只有一条船，这条船每次只能载4人．这条船至少要载几次才能将所有的人都送过河？14．解放军某连队有120名战士，每天晚上要派3名战士站岗．如果要做一个安排，使得在一段时间内他们中的任何两个人都恰好在一起站过一次岗，那么这样的安排能实现吗？15．有10棵树，栽成5排，每排4棵，你能做到么？请画图说明．16．有10只箱子，分别装有2、4、6、8、10、11、12、13、14、15斤苹果．甲乙二人轮流将苹果搬入编号为1～10的十间屋子，每人每次搬一箱，每间屋子也只能放一箱，他们约定甲将拥有第1、3、4、6、7、9、10间屋子中的苹果，乙将拥有第1、2、3、7、8、9、10间屋子中的苹果，如果遇到同一间屋子，两人就平分该屋内苹果．现在让甲先搬，他最多能保证最终比乙多拥有多少斤苹果？17．在一条公路上，每隔10千米有一个仓库，共有6个，顺序编号．1号仓库存货30吨，2号仓库存货40吨，4号仓库存货10吨，5号仓库存货15吨，6号仓库存货50吨，3号仓库为空．要把货物集中于一个仓库，如每吨货物运输1千米运费为1元，问集中到几号仓库最省运费，运费最少需多少元？18．“帅锅炒饭”店里有一张桌子，10把椅子，如何摆使桌子每一面椅子数均相等？19．甲、乙、丙三个旅客要渡过一条河，但河上没有桥，这三人恰好又都不会游泳．这时三人发现河上有两个小孩划着一条小船，船太小，最多只能载一个旅客，一个旅客和一个小孩同时过河都不行．请你给三位旅客设计一个过河方案．20．幸福小区要在四幢楼之间开个小超市，如图，如果你是小区物业管理人员，小超市放在什么位置最合理．请你画一画，并说明理由．21．某建筑公司有两个工程队，甲队有26人，乙队有14人，现要使甲、乙两队的人数比为3：2．1．请你先判断下表中给出的几种方案的可行性（可行的画“√”，不可行的画“×”），再算出甲、乙两队调整的人数．2．请你再设计一种方案，并算出结果．22．两个大人和两名儿童一起渡河，渡口只有一条小船，一次只能渡过一个大人或两名儿童，他们四人都会划船，但都不会游泳．请你帮他们设计一个渡河方案．23．红星小学一年级新生报名情况表小明：最多可编8个班．小红：每班人数不得超过35人．请你设计出合力的编班方案，与同学交流一下，说说你的理由．24．某班有四位同学参加班长竞选，结果有两人的票数并列第一，但班长只能选一个，该怎么办呢？经过讨论，形成了三种不同意见：①两人自己去协商，谁来当班长；②两人用抽签的方法决定谁当班长；③全班重新进行一次投票，在他们两人中选1人，得票多者当班长你认为以上三种方法各有什么优缺点？你更倾向于哪种方法？25．熊爸爸带着两个儿子去河对岸爬山，河上只有一只空船，船最多能载重100千克，而熊爸爸正好重100千克，两个儿子各重50千克．问他们怎样才能全部过河？26．请你设计一下，做桌面，桌腿分别用多少立方米的木料，恰好配套成方桌？27．由于德清经济发展的需要，武康和新市各有一厂家要引进某种型号的机器设备，现联系到杭州和湖州各有一厂家同时生产该种型号的机器若干台，杭州可支援德清10台，湖州可支援德清4台，现在决定将这些机器给武康8台，新市6台，每台机器的运费如下表（单位：元）设杭州运往武康的机器有x台起点/终点武康新市杭州厂400 600湖州厂400 500（1）用x的代数式表示①湖州运往武康的机器有多少台；②杭州运往新市的有多少台；③湖州运往新市的有多少台；④总运费是多少元？（2）若总运费为7000元，则杭州运往武康的机器应为多少台？（3）试问有无可能使总运费是7400元？若有可能，请写出相应的运调方案；若无可能，请说明理由．28．李阿姨准备给儿子存2万元，供他六年后上大学，银行给李阿姨提供了三种类型的理财方式：普通储蓄存款，教育储蓄存款和购买国债．①普通储蓄存款利率（2012年7月6日）如下：②教育储蓄存款的存期分为一年，三年和六年，国债有一年期，三年期和五年期等．请你调查一下教育储蓄存款和国债的利率，然后帮李阿姨设计一个合理的存款方案，使六年后的受益最大．29．某班有50名学生帮助学校平整操场．学生按身体状况分成三类，干活的效率各不相同，他们所承担的任务是挖土和运土，要求总共运土120车，挖土越多越好，三类学生的效率如表，试求最合理的人员安排．（效率指单位时间所完成的车数）30．小明想买长为2dm，宽为15cm的长方形大理石砖和边长为30cm的正方形地砖客厅铺地面．（1）你把设想画出来；（2）求需要正方形地砖和长方形大理石砖各多少块？31．某物流公司有甲乙两种型号的托运车，已知甲型车和乙型车的拖运量的比是6：5，拖运的速度比是3：4．该公司曾用6辆甲型车和8辆乙型车将一批货物运到距离40千米的目的地，8天刚好运完．根据经验，现在要将同样多的货物运到距离85千米的目的地，要求8.5天运完，该公司已安排了16辆乙型车，问还要安排多少辆甲型车？32．用手洗衣服时要先打好肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能全拧干．假设使劲拧干后，衣服上留有1千克带污物的水，现在有清水18千克，假设每次用来漂洗的水都用整千克数（假设每次漂洗结束时，污物都能均匀分布在水中）．问：（1）如果分成2次漂洗后，污物的残留量至少是漂洗前的几分之几？（2）要使污物的残留量小于漂洗前的，至少要漂洗几次？请给出符合条件的一种漂洗方案和理由．参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．制作“新希望杯”水晶奖杯共需A、B、C、D、E五道工序，A工序需要5小时、B工序需要6小时、C工序需要8小时、D工序需要2小时、E工序需要7小时．有些工序可同时进行，但工序B、C必须在工序A完成之后才能进行；工序D、E必须在工序B完成之后才能进行．那么生产这种奖杯最少需（）A．17小时B．18小时C．19小时D．20小时【分析】因为工序B、C必须在工序A完成之后才能进行；工序D、E必须在工序B完成之后才能进行，所以工序A需要先进行，即5小时，然后B和C同时进行，B需要6小时，B进行6小时后（C还差8﹣2小时），这时C、D、E 同时进行需要7小时，由此即可求出生产这种奖杯最少需要的时间．【解答】解：因为工序B、C必须在工序A完成之后才能进行；工序D、E必须在工序B完成之后才能进行，所以工序A需要先进行，即5小时，然后B和C同时进行，B需要6小时，B进行6小时后（C还差8﹣2小时），这时C、D、E同时进行需要7小时，所以生产这种奖杯最少需要的时间是：5+6+7=18（小时），答：生产这种奖杯最少需要18小时；故选：B．【点评】关键是根据题意和生产工序确定生产的顺序，再求出需要的时间．二．填空题（共10小题）2．甲乙丙三种书．甲每本5元，乙每本3元，丙1元3本．现在要买三种书共100本（三种书都要有），总价恰好为100元．写出所有可能的购书方案（甲书的本数，乙书的本数，丙书的本数）第一种：甲4本，乙18本，丙78本，第二种：甲8本，乙11本，丙81本，第三种：甲12本，乙4本，丙84本．．【分析】根据题意可设要购甲书x本，乙书y本，丙书z本，根据题意可知5x+3y+z=100，x+y+z=100，据此来解由这两个方程组成的方程组即可．【解答】解：设要购甲书x本，乙书y本，丙书z本得14x+8y+100=30014x+8y=2008（x+y）+6x=200x+y+x=25x+y=25x需是4的倍数，当x=4时，y=18，z=100﹣4﹣18=78当x=8时，y=11，z=100﹣8﹣11=81当x=12时，y=4，z=100﹣12﹣4=84当x大于12时，不合题意所以共有三种购书方案：第一种：甲4本，乙18本，丙78本第二种：甲8本，乙11本，丙81本第三种：甲12本，乙4本，丙84本故答案为：第一种：甲4本，乙18本，丙78本，第二种：甲8本，乙11本，丙81本，第三种：甲12本，乙4本，丙84本．【点评】本题的重点是根据题意列出方程组，再进行化简，然后进行讨论．3．一次乐器比赛的规则规定：初赛分四轮依次进行，四轮得分的平均分不低于96分的才能进入决赛，小光前三轮的得分依次是95、97、94．那么，他要进入决赛，第四轮的得分至少是98分．【分析】要想四轮得分的平均分不低于96分，总分应该达到96×4=384分，用这一分数减去小光前三轮的得分即可解答．【解答】解：96×4﹣95﹣97﹣94，=384﹣95﹣97﹣94，=98（分）；答：第四轮的得分至少是98分．【点评】本题主要考查简单规划问题，熟练掌握平均数的定义与求法是解答本题的关键．4．学校商店出售每支5角的铅笔，很少有人买，但经过降价，一下子全部库存铅笔都卖光，共卖得31.93元，问库存103支这种铅笔，每支降价0.19元．【分析】根据题意知道，铅笔的支数是整数，所以找3193的约数，即3193=31×103，由此即可得出31.93是哪两个整数的积．【解答】解：因为，31.93=0.31×103，所以，0.5﹣0.31=0.19（元），故答案为：103，0.19．【点评】解答此题的关键是，能够根据题目的特点，即铅笔的支数是整数，这一突破口入手解决，另外还要注意，要求的是降价的钱数．所以要注意看清题目要求．5．请在5×5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数X的格子恰好受到X枚皇后的攻击，每个格最多放一枚棋子，标有数的格子不能放棋子，如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某个格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子）【分析】1、首先找出和“1”有关系的皇后位置，横着，竖着，斜着2、这些位置里只有1个放皇后．3、这时你会发现“5”有关系的皇后位置只有4个，必须都放皇后，剩余1个放在刚才你找出的一个位置中；4、刚好满足4对应的皇后个数．可以把4对应的其他位置全部找出．5、根据7对应的位置，全部放皇后．6、“7”周围只有6个，还缺少一个，再结合4，5即可判断出最后一个．【解答】解：如图：【点评】关键是明确题意，利用试试的方法找出每个皇后的位置．6．请在5×5的棋盘中放入10个国际象棋中的皇后，使得标有数N的格子恰好受到N枚皇后的攻击，每个格最多一枚棋子，标有数的格子不能放棋子，如果有超过一枚皇后从同一方向攻击到某个格子，只计算最前方的那枚皇后（注：每只皇后可攻击同一行、同一列或同一斜线上的格子）．【分析】根据过0和1两个点做过这点的横线、竖线和斜线，在过0的这些直线所在的格子中不能放后，在过1的直线所在的格子中只能在1的后面放后，据此进行解答．【解答】解：【点评】本题主要考查了学生对过直线上的格子中过0的起线上不能放后，过1的格子后面在在一行的后面放后．7．电话费均以整分为单位计时收费（不足1分钟按1分钟计算）．市内电话三分钟内一律收费0.30元，超过三分钟则为0.30元/分，夜间21：00后对折收费．市外电话计费正好是市内的3倍，夜间21：00后也对折收费，但超过5分钟，就另加0.10元/分的附加费，超过10分钟，则另加0.20元/分的附加费，依此类推（附加费不对折）．A市的小东在夜间20点54分时给B市的外婆打了一个电话，外婆不在，五分钟后小东再次打电话给外婆，直到21点18分8秒才挂了电话，则小东在这天夜里给外婆打电话应付11.25元电话费．【分析】此题应分为三部分：①前3分钟的电话费；②后17分钟的电话费；③附加费．求出这三部分的电话费，相加即可．【解答】解：小东打电话的计费时间是从20：59至21：19，前3分钟的电话费为：0.3×3×+0.3×3×÷2=0.3+0.3=0.6（元）后17分钟的电话费为：0.3×3×17÷2=0.9×17÷2=7.65（元）附加费：0.10×5+0.20×5+0.30×5=（0.10+0.20+0.30）×5=0.60×5=3（元）总费用：0.6+7.65+3=11.25（元）答：小东在这天夜里给外婆打电话应付11.25元电话费．故答案为：11.25．【点评】解答此题，注意理清思路，分类解答．8．有三个没有刻度，容积分别为160升、119升和77升的不均匀的空桶，和无限多的水，要想量出76升水，至少需要进行8次操作．（接水、互倒、倒水均算一次操作）【分析】把大桶装满水倒入119升的桶内，把119升的桶倒掉，再把大桶得水倒入，把77升水倒入119升的桶，再次装满倒入，最后77升的桶内剩下的水就是76升．据此解答．【解答】解：①把160升的空桶接满水．②把水倒入119升的空桶内，接着把119升水倒掉，把大桶内剩的水再次倒入119升的空桶内．③把77升的空桶接满水倒入119升的桶内，再把77升的空桶接满水倒入119升的桶内，最后77升的桶内正好是76升水．160﹣119+77+77﹣119=354﹣238=76（升）操作次数：1+3+4=8（次）答：至少需要进行8次操作．故答案为：8．【点评】本题的关键是怎样用三个没有刻度的空桶组合能变成一个剩余76升的水．9．有47名游客要渡河．现在只有一条小船，每次只能载6人（无船工），每渡河一次需要2分钟．那么，至少要花38分钟才能渡完．【分析】先求出每次渡河实际人数是6﹣1=5人，再除以47，可求出最后一次剩下的人数，47÷5=9（次）…2（人），还剩下2人只需渡河1次．共渡河次数：9×2+1=19（次）；所花时间是：19×2=38（分钟）．据此解答．【解答】解：47÷（6﹣1）=47÷5=9（次）…2（人），剩下的2人还需渡河一次，共需渡河时间为（9×2+1）×2=（18+1）×2=19×2=38（分钟）答：至少要花38分钟．故答案为：38分钟．【点评】本题的关键是求出每次实际渡河的人数，及时间渡河的次数，再进行解答．10．某小学召开春季运动会，六年级1班的老师给体育委员100元钱到超市购买巧克力和矿泉水，要求全班每人至少1瓶矿泉水，运动员每人至少1块巧克力．如果全班人数是26人，有24人参赛，巧克力和矿泉水的单价分别是3元和1元，那么体育委员购买巧克力和矿泉水的方法有3种．【分析】先满足“每人1瓶矿泉水，运动员每人1块巧克力．”这个条件，需要花：3×24+1×26=98（元），那么还剩：100﹣98=2（元），可供体育委员自由支配，他利用这2元，只能购买：0、1、2瓶矿泉水，即有3种购买方法；据此解答．【解答】解：可供体育委员自由支配的钱数是：100﹣（3×24+1×26），=100﹣98，=2（元），他利用这2元，只能购买：0、1、2瓶矿泉水，即有3种购买方法；答：体育委员购买巧克力和矿泉水的方法有3种．故答案为：3．【点评】本题不要受“至少数”的干扰，要从先满足最低要求去考虑，这样能够缩小讨论的范围，然后再解答就水到渠成了．11．如图所示，一个矩形被分成A、B、C、D四个矩形．现知A的面积是2cm2，B的面积是4cm2，C的面积是6cm2．那么原矩形的面积是24平方厘米．【分析】图中的四个矩形是大矩形是被两条直线分割后得到的，矩形的面积等于一组邻边的乘积，从横的方向来看，两个相邻矩形的倍比关系是一致的，B是A的两倍，那么D也是C的两倍，从而求出D的面积，然后把A、B、C、D的面积加在一起即可．【解答】解：由题意知：B是A的两倍，那么D也是C的两倍，所以D的面积是2×6=12（cm2），从而原矩形的面积是：2+4+6+12=24（cm2），故答案为：24．【点评】此题考查组合图形的面积．三．解答题（共21小题）12．在操场上做游戏，上午8：00从A地出发，匀速地行走，每走5分钟就折转90o．问：（1）上午9：20能否恰好回到原处？（2）上午9：10能否恰好回到原处？如果能，请说明理由，并设计一条路线．如果不能，请说明理由．【分析】因操场一个封闭的图形，匀速地行走，每走5分钟就折转90°，求出9：20和9：10分到出发时用的时间，再进行解答．【解答】解：（1）上午9：（20分）恰好回到原地．我们可以设计如下的路线：我们若没定每走5分钟都按顺时针方向（或逆时针方向）折转90°，则可知每过20分钟回到原处，而到9：20恰好过了80分钟，故可知9：20恰好第4次回原处．（2）上午9：10不能回到原地．因为到上午9：10共走了70分钟，而我们可以验证不管每一步为逆时针折转90°，还是顺时针折转90°都不能在70分钟内回原地．【点评】本题的关键是根据操场的形状，和到结束时用的时间进行解答．13．有12人要到河对岸去，现只有一条船，这条船每次只能载4人．这条船至少要载几次才能将所有的人都送过河？【分析】虽然船上每次能坐4个人，但在船返回时，必须有一个人划着船返回．因此，每次只能有4﹣1=3（个）人过河，那么，小船至少要载12÷3=4（次）．【解答】解：4﹣1=3（个）12÷3=4（次）答：这条船至少要载4次才能将所有的人都送过河．【点评】本题主要考查简单规划问题，此题关键要明确：船返回时必须有一个人划着船．14．解放军某连队有120名战士，每天晚上要派3名战士站岗．如果要做一个安排，使得在一段时间内他们中的任何两个人都恰好在一起站过一次岗，那么这样的安排能实现吗？【分析】本题考察规划问题．可以把某一名战士当成研究对象，讨论其他战士是否能安排到恰好都与这名战士一起站过一次岗．【解答】解：假设战士A要和每个人都站过岗，每天和他一起站岗的为两个人，因为120﹣1=119，119不是偶数，所以不可能在一段时间内他们中的任何两个人都恰好在一起站过一次岗，总会有一个人一起站过两次岗，所以不能实现．【点评】本题较为麻烦，需要化整为零，利用奇偶性进行判断即可．15．有10棵树，栽成5排，每排4棵，你能做到么？请画图说明．【分析】每排4棵，共5排，不重复就应该有20棵，现在只有10棵，说明要重复10棵树．【解答】解：【点评】此题中每棵树都算了两遍，正好符合要求．16．有10只箱子，分别装有2、4、6、8、10、11、12、13、14、15斤苹果．甲乙二人轮流将苹果搬入编号为1～10的十间屋子，每人每次搬一箱，每间屋子也只能放一箱，他们约定甲将拥有第1、3、4、6、7、9、10间屋子中的苹果，乙将拥有第1、2、3、7、8、9、10间屋子中的苹果，如果遇到同一间屋子，两人就平分该屋内苹果．现在让甲先搬，他最多能保证最终比乙多拥有多少斤苹果？【分析】作出图形，确定甲、乙拥有房间的苹果数，即可得出结论．【解答】解：如图所示，甲拥有房间4号、6号，让甲先搬15斤苹果，则第二次搬13斤苹果，苹果有：15+13=28斤；乙拥有房间2号、8号，乙第一次搬14斤苹果，则第二次搬12斤苹果，苹果有：14+12=26斤，其余房间二人均分，因此，让甲先搬，他最多能保证最终比乙多拥有28﹣26=2斤苹果．【点评】本题考查简单规划问题，考查学生的读图能力，属于中档题．17．在一条公路上，每隔10千米有一个仓库，共有6个，顺序编号．1号仓库存货30吨，2号仓库存货40吨，4号仓库存货10吨，5号仓库存货15吨，6号仓库存货50吨，3号仓库为空．要把货物集中于一个仓库，如每吨货物运输1千米运费为1元，问集中到几号仓库最省运费，运费最少需多少元？【分析】可以把货物分别集中到1到6号仓库，把各种情况的花费情况进行计算比较，得出花费最少的一种情况即可．【解答】解：如果选择1号不动，总耗费为：（40×1+10×3+15×4+50×5）×10=3850（元）；选择2号不动时，总耗费为：（30×1+10×2+15×3+50×4）×10=2950（元）；（30×2+40×1+10×1+15×2+50×3）×10=2900（元）；选择3号不动时，总耗费为：选择4号不动时，总耗费为：（30×3+40×2+15×1+50×2）×10=2850（元）；选择5号不动时，总耗费为：（30×4+40×3+10×1+50×1）×10=3000（元）；选择6号不动时，总耗费为：（30×5+40×4+10×2+15×1）×10=3450（元）；答：根据上述计算结果可得，集中到4号仓库运费最省，需要花费2850元．【点评】本题考查学生在日常生活中，注意运用统筹法解决问题．此题告诉学生掌握了统筹法，对于进行合理调度，是十分有效的．18．“帅锅炒饭”店里有一张桌子，10把椅子，如何摆使桌子每一面椅子数均相等？【分析】一张桌子四个面，每面摆2张，共8张，还缺2张，对角摆两张，这样共10张．【解答】解：根据分析画图如下：【点评】本题不能用常规解法，要考虑重叠交叉计数的方法，类似于方阵问题．19．甲、乙、丙三个旅客要渡过一条河，但河上没有桥，这三人恰好又都不会游泳．这时三人发现河上有两个小孩划着一条小船，船太小，最多只能载一个旅客，一个旅客和一个小孩同时过河都不行．请你给三位旅客设计一个过河方案．【分析】第一次先渡两个小孩子过河，其中一个小孩再渡回来，另一个小孩在对岸上等着，这就可以渡甲旅客过去后，第二个小孩再渡回来，然后两小孩又渡过河去，又由其中的一个渡回来，乙旅客再过河，另一个小孩又回来，然后两小孩又渡过河去，又由其中的一个渡回来，丙旅客再过河，由此三人都。

20181213小学奥数练习卷(知识点：排列组合)含答案解析

20181213小学奥数练习卷(知识点：排列组合)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：排列组合）题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共3小题）1．红、黄、蓝、白颜色的四面小旗，每次升起一面、二面、三面、四面所表示的信号不同，并且旗的上下顺序不同所代表的信号也不同．一共可以组成（）种不同的信号．A．24B．36C．48D．642．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法．A．1152B．864C．576D．2883．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了2盆花．每次，韩梅按照以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的．要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序．A．4B．6C．8D．10第Ⅰ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共38小题）4．由数字0，1，2，8（既可全用也可不全用，但不重复用）组成的所有非零自然数，按照从小到大排列，2018排在第个．5．用3颗红色的珠子，2颗蓝色的珠子，1颗绿色的珠子串成圆形手链，一共可以串成种不同的手链．6．有3角的邮票4张，5角的邮票3张，用它们可以支付种不同的邮资．7．某五号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母I、O不可用），最后一位必须为数字．小李喜欢18这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为1和8，且1在8的前面，那么小李的号码牌有种不同的选择方式．（英文共有26个字母）8．一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点．所有经过的中心排出的序列共有种．（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）9．周老师一天要上3个班级的课，每班上1节．如果一天共有9节课，上午5节，下午4节，并且周老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么，周老师一天上课的所有排课法共有种．10．小明计划在8天中去健身馆3次，但为了防止运动过量，他不能连续2天都去．那祥的话，他一共有种满足条件的时间安排方法．11．用1、2、3、4组成五位数，要求1、2、3、4至少各出现一次，则这样的五位数共有个．12．如图，8×8的方格表中，左上方4×4部分是黑色小方格，剩下的部分为白色小方格，将整个方格表分为若干块（每块都必须包含整数块小方格，不能把单个的小方格切开），要求每块中白色小方格的数量是黑色小方格数量的3倍．最多可以分成块．13．小青蛙在A、B、C三片荷叶之间跳动．它从A叶开始跳起，每次跳跃必须跳到另外两片荷叶上，不可以落在原来的叶片上．如果想要一共跳4次后要回到A叶，这只小青蛙共有种不同的跳法．14．亚瑟王在王宫中召见6名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有2个朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．15．昊宇写好了五封信和五个不同地址的信封，要将每封信放入相应的信封中，一个信封只放入一封信．只有一封信装对，其余全部被错装的情形有种．16．一场橄榄球比赛中，一次成功的进攻可能得1、2、3、6分，其中1分只能出现在6分后面（1分必须与6分相邻，比如6、1、3就是一个可能的得分序列，6、3、1则不可能出现），但是6分后面不是一定要跟着1分．最后，上海队一共得到了10分，那么不同的得分序列有个．17．A、B两个纸片都被分成了4个区域，用黄、蓝、红三种颜色分别给它们涂色，要求相邻的区域涂色不能相同，A，B两个纸片中的涂法较多，有种不同的涂法．18．在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．19．如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种．20．一个五边形的五个内角度数都是正整数且互不相等．已知其中有一个内角为76°，剩下的四个内角度数都是三位数，并且这四个三位数正好可以写在下面3×3的方格内（分别为abc、adf、fgh、ceh，不同的字母也可以表示相同的数字），那么，满足条件的方格有种不同的填法．21．图中由20个方格组成，其中含有A的正方形有个．22．将2015，2016，2017，2018，2019这五个数字分别填入如图中写有“D，O，G，C，W”的五个方格内，使得D+O+G=C+O+W，则共有种不同的填法．23．如图是兰兰家到学校的街道示意图．兰兰沿街道从家到学校共有种不同的最短路线．24．图中由12个面积为1的方格组成，则图中和阴影梯形面积相同的长方形有个．25．用3、5、7这三个数字，能组成个不同的三位数（在每个三位数中，每个数字只能用一次）．26．现在有N（N+1）÷2张多米诺骨牌，每张骨牌上都写有两个数字，这两个数字都是1～N中的数（这两个数可以相同），任意两张骨牌上的两组数字不能都相同．现在，将这些多米诺骨牌排成若干列“火车”，每列“火车”中间的任意两张相邻骨牌上的相邻数字相同，如图给出了N=3时的一列“火车”当N=2016时，至少需要列“火车”才能将2016×（2016+1）÷2张骨牌全部用完．27．如图，在8×8的正方形网格中，A、B两点处各有一只臭虫（A点处的臭虫我们称其为a臭虫，B点处的臭虫我们称其为b臭虫）．臭虫每次走1格（向上、向下、向左、向右这四个方向中选一个方向走）．若b臭虫走两格，a臭虫走三格，最后b臭虫与A点的距离小于等于a臭虫与A点距离的走法有种．28．如图，一只蜜蜂从A处出发，回到蜂巢B处，每次只能从一个蜂房爬向右侧临近的蜂房而不准逆行，这只蜜蜂共有种回家的方法．29．小明希望1﹣12这12个数字排在一个圆周上，使得任意相邻的两个数字之差（大减小）为2或3，那么不同的排法有种（旋转后相同的排法算同一种）．30．A、B、C、D四个城市分别派出2个足球队参加一次足球锦标赛，要求任何两个球队之间比赛一场，并且同一个城市的两个代表队之间不比赛．那么一共需要安排场比赛．31．从1、2、3、4、5、6、7这七个自然数中选出两个数，使得其和为偶数，共有种不同的选法．32．如图1所示，小明从A→B，毎次都是往一个方向走三格，然后转90度后再走一格，例如图2中，从点C出发可以走到八个位置．那么小明至少走次才能从点A到达点B．33．如图，一个大正方形被分割成六个小正方形，如果两个小正方形之间有多于一个的公共点，那么称它们为相邻的．将1、2、3、4、5、6填人如图，每个小正方形内填一个数字，使得相邻的小正方形内数之差永远不是3．不同的填法有种．34．小明在如图中的黑色小方格内，每次走动，小明都进入相邻的小方格（如果两个小方格有公共边，就称它们是相邻的），每个小方格都可以重复进入多次，经过四次走动后，小明所在的不同小方格有种．35．如图，从左下角A走到右上角B，每次只能向右或者向上走一格，要求行走路径正好穿过AB一次（如图的路径穿过AB三次，仅仅接触到AB上的点不算穿过），不同的行走路径有多少种？36．如图所示，两条直线与两个圆交于9个点．从这9个点中选出4个点，要求这4个点中的任意3个点既不在一条直线上，也不在一个圆周上．不同的选法有种．37．12个边长为1厘米的等边三角形拼成如图所示，从点A出发，到点B，不允许走重复路线，最多能走厘米．38．一个五位数从五个数码中任意取出两个数码，构成一个两位数（保持数码在原先五位数中的前后顺序），这样的两位数有10个：33、37、37、37、38、73、77、78、83、87．则=．39．如图的每个方格中填入1～6中的一个数字，使每行、每列及每个粗线宫内的六个数字都恰好是1～6．格线上的提示数5表示两侧格内数字之和是5，提示数6表示两侧格内数字之和是6．相邻两格间没有提示数的，这两格内数字之和不能是5也不能是6．那么，四位数等于．40．用1、2、3、4这四个数字构成一个四位数，要求：（1）a、b、c、d互不相同；（2）b比a、d都大，c比a、d都大，这样的四位数有个．41．从图a的正六边形网格中选出图b的形状，有种不同的选法（注意：图b可以旋转）．评卷人得分三．解答题（共9小题）42．某城市的电话号码是六位数，但首位不能是0，其余各位可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任何一个数字，而且不同数位上的数字可以重复（如：222222），那么这个城市最多可以容纳多少部电话？43．用1，9，9，8四个数字可以组成若干个不同的四位数，所有这些四位数的平均值是多少？44．有2克、5克、20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出多少种不同的质量．45．如图，圆圈表示房间，实线表示地上通道，虚线表示地下通道，开始时，一个警察和一个小偷在两个不同房间中，每一次警察从所在房间的地上通道转移到相邻的房间；同时，小偷从所在房间沿着地下通道转移到相邻的房间，如果警察和小偷转移了3次都没有在任何房间相遇，那么他们有种不同的走法．46．用2，0，1，7这四个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？47．盒子里有4枚白色棋子和2枚黑色棋子，菲菲分若干次拿走所有棋子，每次至少拿走一枚，共有多少种不同拿法？48．一个机关锁如图所示，锁上共有八卦和太极共九个按键，依次按下其中四个按键后（按键按下便不可再按），若与正确按法一致则开锁，若不一致则机关重置至初始状态．已知在太极按下之前不可连续按下正对的两个卦象键（例如图中的乾、坤或兑、艮），且正确按法只有一种，那么打开这个机关锁至多需要试多少次？49．如图是某社区的街道示意图，一辆洒水车从A点出发不重复地经过所有街道又回到A点．那么洒水车有多少种不同的路线？50．冬冬有10块大白兔奶糖，他从今天起，每天至少吃一块，直到吃完．请问一共有多少种不同的吃法？参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．红、黄、蓝、白颜色的四面小旗，每次升起一面、二面、三面、四面所表示的信号不同，并且旗的上下顺序不同所代表的信号也不同．一共可以组成（）种不同的信号．A．24B．36C．48D．64【分析】可以分4种方法把小旗挂在旗杆上作信号，即①选择1面，②选择其中的2面，③选择其中的3面，④4面全挂．分别计算出再相加．【解答】解：①选择1面，4×1=4（种）；②选择2面，4×3=12（种）；③选择3面，4×3×2=24（种）；④选择4面（全挂），4×3×2×1=24（种）；4+12+24+24=64（种）．答：共有64种不同的信号．故选：D．【点评】此题分情况讨论，先根据乘法原理求出每种情况的可能，再根据加法原理进行求解．2．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使得8的两边各数之和相等，那么共有（）种不同的排法．A．1152B．864C．576D．288【分析】首先求出1，2，3，4，5，6，7的和是28，判断出8的两边各数之和都是14；然后分4种情况：（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时；（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时；（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时；（4）8的一边是1，2，4，7，另一边是3，5，6时；求出每种情况下各有多少种不同的排法，即可求出共有多少种不同的排法．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7=288的两边各数之和是：28÷2=14（1）8的一边是1，6，7，另一边是2，3，4，5时，不同的排法一共有：（3×2×1）×（4×3×2×1）×2=6×24×2=288（种）（2）8的一边是2，5，7，另一边是1，3，4，6时，不同的排法一共有288种．（3）8的一边是3，4，7，另一边是1，2，5，6时，不同的排法一共有288种．（4）8的一边是1，2，4，7，另一边是3，5，6时，不同的排法一共有288种．因为288×4=1152（种），所以共有1152种不同的排法．答：共有1152种不同的排法．故选：A．【点评】此题主要考查了排列组合问题，考查了乘法原理的应用，要熟练掌握，注意不能多数、漏数．3．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了2盆花．每次，韩梅按照以下规则往家中搬一盆花：先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的．要把所有的花搬到家里，共有（）种不同的搬花顺序．A．4B．6C．8D．10【分析】分两种情况讨论：①先取的两盆在同侧有=2种搬法；②在异侧有×=4种搬法，所以共有2+4=6种，据此解答即可．【解答】解：根据分析可得，+×=2+4=6（种）答：共有6种不同的搬花顺序．故选：B．【点评】本题考查了排列组合知识的灵活应用，关键是先分类再计数．二．填空题（共38小题）4．由数字0，1，2，8（既可全用也可不全用，但不重复用）组成的所有非零自然数，按照从小到大排列，2018排在第37个．【分析】分一位数、两位数、三位数和四位数分步计数，然后找到以“2”开头的四位数中2018 排在第几即可．【解答】解：非零一位数有3个，两位数有：3×3=9个，三位数有：3×3×2=18个，四位数中“1”在千位上的有：1×3×2×1=6个：“2”在千位上的第一个数就是2018；所以，按照从小到大排列，2018排在第3+9+18+6+1=37个；故答案为：37．【点评】本题考查了分类计数和分步计数问题的综合应用，注意0不能放在最高位．5．用3颗红色的珠子，2颗蓝色的珠子，1颗绿色的珠子串成圆形手链，一共可以串成5种不同的手链．【分析】因为是圆形手链，所以旋转和翻转相同的只能算一种，因为红色的珠子有3颗，所以可以让3颗红色的珠子相邻，也可以让2个红色的珠子相邻，也可以让红色的珠子不相邻这三种情况考虑，据此解答即可．【解答】解：①3颗红色的珠子相邻，则只有2种；②只有2颗红色的珠子相邻，有2种；③3颗红色的珠子都不相邻，有1种；2+2+1=5（种）答：一共可以串成5种不同的手链．【点评】本题考查的排列组合问题．6．有3角的邮票4张，5角的邮票3张，用它们可以支付19种不同的邮资．【分析】①单取3角的邮票共有4种方法，②同理，单取5角的邮票共有3种方法，③根据乘法原理，两种都取共有4×3=12种方法，然后相加即可．【解答】解：4+3+4×3=7+12=19（种）答：用它们可以支付19种不同的邮资．故答案为：19．【点评】解答本题要注意，先分类，再分步计数．7．某五号码牌由英文字母和数字组成，前四位有且只有两位为英文字母（字母I、O不可用），最后一位必须为数字．小李喜欢18这个数，希望自己的号码牌中存在相邻两位为1和8，且1在8的前面，那么小李的号码牌有34560种不同的选择方式．（英文共有26个字母）【分析】本题考察排列组合．【解答】解：除掉18剩余的三个位置有10×24×24=5760（种），所以18在一二位有5760种；18在二三位有5760种；18在三四位有5760种；18在四五位有5760×3=17280种；综上，共有5760×6=34560（种），故填34560．【点评】本题关键在于根据18在哪相邻的两位进行分类计数．8．一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点．所有经过的中心排出的序列共有32种．（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）【分析】本题考察排列组合．【解答】解：从一个面出发，第一次有4个不同的方向选择，这四个方向的情况数目是相同的，所以考虑一种即可，我们考虑从正面出发的情况，正→上→背→右→下→左→正正→上→背→左→下→右→正正→上→左→下→背→右→正正→上→左→背→右→下→正正→上→左→背→下→右→正正→上→右→下→背→左→正正→上→右→背→左→下→正正→上→右→背→下→左→正所以总共有4×8=32（种）故填：32．【点评】本题关键在于考虑一种情况后利用乘法原理进行计数．9．周老师一天要上3个班级的课，每班上1节．如果一天共有9节课，上午5节，下午4节，并且周老师不能连上3节课（第5节和第6节不算连上），那么，周老师一天上课的所有排课法共有474种．【分析】利用排除法即可解决问题．【解答】解：9节课全排列=504种排法，排除不满足条件的123，234，345，678，789，可得﹣5=504﹣30=474，故答案为474．【点评】本题考查排列组合，解题的关键是学会利用排除法解决问题．10．小明计划在8天中去健身馆3次，但为了防止运动过量，他不能连续2天都去．那祥的话，他一共有20种满足条件的时间安排方法．【分析】他不能连续2天都去意味着3天均不相邻，可以采用插空法解答，不去健身房有5天，5天形成了6个空，在6个空里选择三个空去健身房，共有种方法，据此解答即可．【解答】解：==20（种）答：他一共有20种满足条件的时间安排方法．故答案为：20．【点评】像这种不相邻的排列组合问题，往往采用“插空法”解答比较简洁．11．用1、2、3、4组成五位数，要求1、2、3、4至少各出现一次，则这样的五位数共有240个．【分析】由1、2、3、4至少各出现一次知第5个数有4种选法，从而知需要对AABCD型这5个数字排列，根据排列公式可得答案．【解答】解：因为1、2、3、4至少各出现一次，所以第5个数有4种选法，对于第5个数字的每一种可能，则需要对AABCD型这5个数字排列，共有=60种，综上，共有60×4=240个不同的五位数，故答案为：240．【点评】本题主要考查数字的排列组合，解题的关键是明确用排列解决问题，且理解其加法原理、乘法原理．12．如图，8×8的方格表中，左上方4×4部分是黑色小方格，剩下的部分为白色小方格，将整个方格表分为若干块（每块都必须包含整数块小方格，不能把单个的小方格切开），要求每块中白色小方格的数量是黑色小方格数量的3倍．最多可以分成7块．【分析】根据题意，考虑左上方4×4部分，根据要求每块中白色小方格的数量是黑色小方格数量的3倍，利用填数的方法，可得图中的分割方法，即可得出结论．【解答】解：根据题意，考虑左上方4×4部分，根据要求每块中白色小方格的数量是黑色小方格数量的3倍，利用填数的方法，可得图中的分割方法，其中四个1表示一块，四个2表示一块，四个3表示一块，四个4表示一块，四个5表示一块，四个6表示一块，所有7表示一块，故最多可以分成7块．故答案为7．【点评】本题给出图形，求最多分割的方法，考查学生对图形的认识，正确填格是关键．13．小青蛙在A、B、C三片荷叶之间跳动．它从A叶开始跳起，每次跳跃必须跳到另外两片荷叶上，不可以落在原来的叶片上．如果想要一共跳4次后要回到A叶，这只小青蛙共有6种不同的跳法．【分析】画出树状图，即可解决提问．【解答】解：观察树状图，可知一共有6种本题的方法．故答案为6．【点评】本题考查排组合等知识，利用树状图是解决问题的关键．14．亚瑟王在王宫中召见6名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有2个朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有6种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．【分析】首先根据题目要求旋转相同的算同一种方法，因此可只考虑其中一个人排在第一位的情况，然后根据题目条件进行后续排序即可．【解答】解：为方便起见，分别用数字1、2、3、4、5、6代表6个人，则1的朋友为2和6，即和1相邻的只能是3，4，5．由于旋转相同的算同一种方法，可以只考虑以1开始的排序方法，由于是一个圆圈，则第二位和最后一位只能从3，4，5中选，那么以1为基准可排的座位顺序为：（1）若第二位选3，则第三位选5或6，①若第三位选5，则第四位只能选2，还剩下4和6，由于最后一位只能是3，4，5，则第五位选6，第六位选4，即1，3，5，2，6，4；②若第三位选6，还剩下2，4，5，若第四位选2，则剩下4和5，相邻，不符合题意，且6和5相邻，因此第四位选4，则第五位选2，第六位选5，即1，3，5，2，6，4；（2）若第二位选4，可同样推理，得到两种排序，即1，4，6，2，5，3和1，4，2，6，3，5，（3）若第二位选5，可同样推理，得到两种排序，即1，5，2，4，6，3，和1，5，3，6，2，4．共计6种．故答案为：6．【点评】本题的突破口在于将圆圈问题直线化，在排序过程中注意不重不漏即可．15．昊宇写好了五封信和五个不同地址的信封，要将每封信放入相应的信封中，一个信封只放入一封信．只有一封信装对，其余全部被错装的情形有45种．【分析】为了方便说明，可以设五封信编号分别为1，2，3，4，5，五个信封的编号分别为A，B，C，D，E，只有一封信装对，则首先选一封装对的信，有种情况，其他四封信都装错的情况可分类列举，据此解答．【解答】解：首先选一封装对的信，为，可以以第5封信为例，即第5封信装在信封E，其他四封信全部装错．可能的情况：①1﹣B，2﹣A，3﹣D，4﹣C；1﹣B，2﹣C，3﹣D，4﹣C；1﹣B，2﹣D，3﹣A，4﹣C；②1﹣C，2﹣A，3﹣D，4﹣B；1﹣C，2﹣D，3﹣A，4﹣B；1﹣C，2﹣D，3﹣B，4﹣A；③1﹣D，2﹣A，3﹣B，4﹣C，1﹣D，2﹣C，3﹣A，4﹣B，1﹣D，2﹣C，3﹣B，4﹣A．共计9种，因此只有一封信装对，其余全部被装错的情形有×9=45种．故答案为：45．【点评】本题的突破口在于能把其中四封信全部被装错的情况找到，做到不重不漏．16．一场橄榄球比赛中，一次成功的进攻可能得1、2、3、6分，其中1分只能出现在6分后面（1分必须与6分相邻，比如6、1、3就是一个可能的得分序列，6、3、1则不可能出现），但是6分后面不是一定要跟着1分．最后，上海队一共得到了10分，那么不同的得分序列有12个．【分析】首先分析符合条件的数字可以是3，6，1组合，也可以是3，3，2，2组合．【解答】解：依题意可知：6，1，3分组合满足题意，满足题意的有3，6，1组合．那么满足条件的还有（6，2，2）组合共3种；还有22222的组合共1种．还有出现2个2分和2个3分的组合共=6（种）．故答案为：12【点评】本题考查对排列组合的理解和运用，关键问题是找到数字和为10的组合数，问题解决．17．A、B两个纸片都被分成了4个区域，用黄、蓝、红三种颜色分别给它们涂色，要求相邻的区域涂色不能相同，A，B两个纸片中B的涂法较多，有12种不同的涂法．【分析】A的涂色区域只能是最上方区域和左下方区域图同色，其排列数为；图B的涂色区域中涂同色的区域有2类，一是最上方区域和左下方区域；二是最上方区域和右下角区域，涂色种类数为+．【解答】解：图A的涂色方法有=3×2×1=6（种）图B的涂色方法有+=6+6=12（种）故：B的涂法多，有12种不同涂法．【点评】此题的解题关键是能否想到合并能涂同色的区域，而且要把这种情况找全．18．在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有10种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，份三种情况：①当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有2种不同的摆放方法，即AE、BE；②当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即AB、AF、AH、AD；③当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC、AI；④当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD、BH．综上，共有：2+4+2+2=10种不同摆放方法．【点评】本题考查了排列组合，突破点是：分情况讨论，根据不同的位置求出总的不同摆放方法．19．如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有4种．【分析】显然，只有两种情况，分别讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后可以求得总的不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，分两类情况：①按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1种不同摆放方法；②相邻两个位置互换，则共有：2种不同的摆放方法．综上，共有：1+1+2=4种不同摆放方法．故答案是：4．。

20181213小学奥数练习卷(知识点：哈密尔顿圈与哈密尔顿链)含答案解析

20181213小学奥数练习卷(知识点：哈密尔顿圈与哈密尔顿链)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：哈密尔顿圈与哈密尔顿链）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．填空题（共25小题）1．如图，桌上有10个甜甜圈，编号1﹣10号．从1号甜甜圈开始吃，按顺时针方向，每隔两个吃一个（1号甜甜圈之后吃的是4号甜甜圈）6号甜甜圈是第个吃到的．2．将1、2、3、4四个数字填到下面的减法算式里，使得差最小，这个最小的差是．3．编号为1～10的10名篮球运动员轮流进行三人传球训练，第1轮由编号（1，2，3）的队员训练，然后，依次是编号（4，5，6）（7，8，9）（，10，1，2），…队员训练．当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第轮训练．4．如图：电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了2013步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了2012步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里数字的乘积是．5．A、B、C、D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球，第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子，…．，当第50位小朋友放完后，A盒中球的个数是．6．如图，在一个圆圈上有n个点，小红从A点出发，沿逆时针方向跳动前行，每跳一步隔过的点数相同，希望一圈后能回到A点，他先每隔两个点跳一步，结果能跳到B点，他又试着每隔4个点跳一步，也只能跳到B点，最后他每隔6个点跳一步，正好回到A点．若10＜n＜100，则n=．7．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有块糖果．8．如图所示，在一个圆周上放了1枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子．若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下枚白子．9．如图，有l6把椅于摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码．现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进l36个，这时他到了第号椅子．10．如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有个白子．11．50枚棋子围成一个圆圈，依次按顺时针方向在棋子上编上号码1、2、3、50，然后按顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止．如果剩下的棋子的号码是42，那么第一个被取走的棋子是号棋子．12．若干个同学围成一个圆圈，每人手里有一些糖果．假设按顺时针方向，第一个人的糖果比第二个人的多一个，第二个人的糖果比第三个人的多一个，以此类推倒数第二个人的糖果比最后一个人的多一个．下面开始做传递糖果的游戏．第一个人给第二个人1块糖果，第二个人给第三个人2块糖果，如此直到最后一个人给第一人数目与人数相同的糖果，这样算一轮．经过若干轮直到游戏不能做为止．最后发现恰有两个相邻的同学其中一人的糖果数是另一人的5倍，则所有同学的人数为，游戏前后一个同学手里糖果数为．13．有5个黑色和白色棋子围成一圈，规定：将同色的和相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，如果从图5（1）的初始状态开始依照上述规定操作下去，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上黑子最多能有个．14．圆周上均匀地放置了31枚棋子，其中黑棋子14枚，白棋子17枚，若将圆周上任意两枚棋子变换位置称为一次对换，则最少经过次对换可使黑棋子在圆周上互不相邻（两枚黑棋子之间至少有一枚白棋子）．15．圆周上均匀地放置了100枚棋子，其中黑棋子48枚，白棋子52枚．若将圆周上任意两枚棋子变换位置称为一次对换，那么最少要经过次对换可使黑棋子在圆周上互不相邻（两枚黑棋子之间至少有一枚白棋子）．16．有一颗棋子放在图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到2号位置；第二次跳两步，跳到4号位置；第三次跳三步，跳到7号位置…这样一直进行下去．棋子永远跳不到的位置是号．17．把“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”12枚生肖棋子围成如图的样子，如果按顺时针方向计数，每数到第“12”就将该生肖棋子取走，然后，再从下枚生肖棋子开始数，不断重复上面的过程，要求最后一个只留下“虎”，应该从12生肖中的开始数起．18．9个小朋友围坐在一张圆桌边，每人想好一个数并告诉坐在他两边的人，然后，每人将他两边人告诉他的平均数报出来，报的结果如图，则报10的人想的数是．19．如图，圆周上写有3，1，8三个数，称如下操作为一次操作：在所有相邻的两个数之间写上这两个相邻的数的和．图1到图2为第1次操作，那么第5次操作后，圆周上所有数的和为．20．班级召开联欢会，大家围成一个椭圆形，在男孩小明的左边依次是2名女同学，一名男同学，又4名女同学，一名男同学，6名女同学，一名男同学，如此下去，在小明的右边排列规律与他的左边相同，直至两名男同学之间有8名女同学，那么，小明班级共有学生名．21．将自然数1到2012依次等距离地排列在圆周上，从1开始每隔5个数删去一个数．第一次删去的是7，在圆周上如此不断地删下去，则第340次删去的数是．22．如图，一个圆盘上均匀地依次表示第1、2、3、…、12个洞．有一只小虫从1号洞按顺时针方向起跳，规定它跳的步数是它起跳洞的数码．例如，第1次从第1洞跳到第1洞，第2次从第2洞跳2步到第4洞，第3次从第4洞起跳，跳4步到第8洞，…．第m次从第x洞起跳，跳x步，如果小虫按照这个规则从第1洞起跳，跳了100次到第N（N=1、2、3、…12）洞，则它共跳了多少步？N是几？23．盒中有10个白球和10个黑球．每次取出两个，如果取出的两个球同色，则放回一个，如果取出的两个球异色，则不放回．经过若干次之后，盒中仅剩余一个黑球，则最少取了次，最多取了次．24．若干名小朋友排成一行，从左边第一人开始每隔2人发一个苹果，从右边第一个人开始每隔4人发一个橘子，结果有10人拿到了两种水果，那么这群小朋友最少有人．25．小明和小华下棋，他们执棋从①号位出发，轮流顺着箭头方向前进（如图）．小明走的规则是在三步一步、三步一步…（即①～④～⑤～②…），小华走的规则是二步一步、二步一步…（即①～③～④～⑥…）．那么在他们各自走了100次以后，小明的棋子走到了号位，小华的棋子走了号位．第Ⅱ卷（非选择题）二．解答题（共20小题）26．如图，在一个圆周上有3个1，进行如下操作：在相邻的两个数之间写上它们的和，如：第1次操作后，圆周上有6个数：1，2，1，2，1，2．如此操作3次．问：（1）此时圆周上有多少个数？（2）此时圆周上的所有数的和是多少？27．有30个人围成一圈，从小军开始，按顺时针方向1至7报数，报到7的人被淘汰出局，再从被淘汰者后面第一人开始同样报数，报到7者同样被淘汰，这样一直报下去…．（1）小军第四次报数时，报的是几号？（2）小军第几次报数时被淘汰？28．如图，圆周上顺次排列着1、2、3、…、12这十二个数，我们规定：相邻的四个数a1、a2、a3、a4顺序颠倒为a4、a3、a2、a1，称为一次“变换”（如：1、2、3、4变为4、3、2、1，又如：11、12、1、2变为2、1、12、11）．能否经过有限次“变换”，将十二个数的顺序变为9、1、2、3、…8、10、11、12（如图）？请说明理由．29．如图的圆周上放置有3000枚棋子，按顺时针依次编号为1，2，3， (2999)3000．首先取走3号棋子，然后按顺时针方向，每隔2枚棋子就取走1枚棋子，…，直到1号棋子被取走为止．问：此时，（1）圆周上还有多少枚棋子？（2）在圆周上剩下的棋子中，从编号最小一枚棋子开始数，第181枚棋子的编号是多少？30．有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2块，…，即前一名小朋友总比后一名小朋友多2块糖果．他们按次序围成圆圈做游戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友2块糖果，第二名小朋友给第三名小朋友4块糖果，…，即每一名小朋友总是将前面传来的糖果再加上自己的2块传给下一名小朋友，当游戏进行到某一名小朋友收到上一名小朋友传来的糖果但无法按规定给出糖果时，有两名相邻小朋友的糖果数的比是13：1，问最多有多少名小朋友？31．6个小朋友围成一圈，每人心里想好一个数，并把这个数告诉左右相邻的两个人，然后每个人把左右两个相邻人告诉自己的数的平均数亮数来（如图），问亮出11的人原来心中想的数是多少？32．电子跳蚤游戏盘（如图所示）为△ABC，AB=8，AC=9，BC=10，如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点，BP0=4．第一步跳蚤跳到AC边上P1点，且CP1=CP0；第二步跳蚤从P1点跳到AB边上P2点，且AP2=AP1；第三步跳蚤从P2点跳回到BC边上P3点，且BP3=BP2…跳蚤按上述规则跳下去，第2007次落点为P2007，请计算P0与P2007之间的距离．33．圆周上放有N枚棋子，如图所示，B点的﹣枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的l枚棋子，然后顺时针每格一枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是l4的倍数，请帮肋小洪精确计算一下圆周上还有多少枚棋子？34．电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了1991步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了1949步，落在另一个圆圈里．问：这两个圆圈里数字的乘积是多少？35．在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图．小明像玩跳棋那样，从A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔．你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？36．圆周上放置有7个空盒子，按顺时针方向依次编号为1、2、3、4、5、6、7．小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子，再将第3枚白色棋子放入6号盒子，…放置第k﹣1枚白色棋子后，小明依顺时针方向向前数了k﹣1个盒子，并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按照这个规则共放置了200枚白色棋子．随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方向和同样的规则在这些盒子中放了300枚红色棋子．请回答：每个盒子各有多少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？37．如图，小刚在圆周上放了1枚黑子和2010枚白子，从黑子开始，按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚，即留下奇数号棋子，取走偶数号棋子，若黑子初始位置是2011号，则最后剩下的棋子最初是第多少枚？38．将编号为1到1000的瓶子依序排在一个圆上，从1号瓶子开始放入一颗糖果，接着每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖，因此在1、16、31、…号瓶内放入糖，当在991号瓶放入糖后，下次放入糖的瓶子为6号，并继续每间隔14个瓶子后，在下一个瓶子内再放入一颗糖，依此方式一直操作下去，直到再也无法于没有放糖的瓶子内放入糖为止，请问最后这个圆上共有多少个瓶子没有糖？39．一摞2014张的卡片，方浩拿着它，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片扔掉，把下一张卡片放到这摞卡片的最下面；再把第三张卡片扔掉，把下一张卡片放在最下面；反复这样地做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞2014张卡片中从上往下数的第几张？40．1﹣2014，这2014个数按逆时针的顺序排在一个圆上，从1开始，保留1消去2，保留3消去4，按这样的顺序每隔一个数消去一个数．有2014个人，请问你站在第几位是最后剩下的那个？41．有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上1；第二次，再将两个半圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第三次，再将四个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第四次，再将八个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的…如此进行了100次．请问：最后圆周上的所有数之和是多少？42．1000个学生坐成一圈，依次编号为1，2，3，…，1000．现在进行1，2报数：1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下，3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下…学生们依次交替报1或2，凡报1的学生立即离开，报2的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人．问：这个学生的编号是几号？43．有一摞100张卡片由小马拿着，他从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这摞卡片的最下面．再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面．反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？44．有11个人围成一个圆圈，并依次编成1～11号，从1号起依次发《趣味数学》书，发书的方法是：隔1人发1本，隔2人发1本；再隔1人发1本，隔2人发1本；再隔1人发1本，隔2人发1本…．这样发下去，试问最少要准备多少本书才能使发给每人的本数同样多？45．某工厂生产一种圆盘形玩具．在圆盘正面的圆周上均匀分布安装10个小球，其中3个为红球，7个为白球，如图所示，若两个圆盘都正面朝上，可以圆心对圆心，红球对红球，白球对白球叠放在一起，就算同一种规格．问：这类玩具一共可以有多少种不同的规格？参考答案与试题解析一．填空题（共25小题）1．如图，桌上有10个甜甜圈，编号1﹣10号．从1号甜甜圈开始吃，按顺时针方向，每隔两个吃一个（1号甜甜圈之后吃的是4号甜甜圈）6号甜甜圈是第7个吃到的．【分析】利用列举法，将每次吃的甜饼依次列举出来，即可得出结论．【解答】解：如图，第一个吃1号，第二个吃4号（隔2，3号），第三个吃7号（隔5，6好），第四个吃10号（隔8，9号），由于第1，4号已吃，所以第五个吃5号（隔2，3号），由于7号已吃，所以第六个吃9号（隔6，8号），而10，1，4，5已吃，所以第七个6号（隔2，3号），故答案为7．【点评】本题主要考查了列举法，解本题的关键是根据题目中的要求列举出每次吃的甜饼的编号．2．将1、2、3、4四个数字填到下面的减法算式里，使得差最小，这个最小的差是7．【分析】由题意可知，被减数十位数要大于减数的十位数．要使差最小，被减数十位数不能是4，1也不能取，否则差小于0．当被减数十位数取2时，这个减法算式最小的情况应该是23﹣14=9；当被减数十位数取3时，这个减法算式最小的情况应该是31﹣24=7．【解答】解：要使差最小应是算式：31﹣24=7，即：答：这个最小的差是7．故答案为：7．【点评】解决本题抓住差最小是一位数，得出被减数的十位比减数的十位大1，再由此进行推算即可．3．编号为1～10的10名篮球运动员轮流进行三人传球训练，第1轮由编号（1，2，3）的队员训练，然后，依次是编号（4，5，6）（7，8，9）（，10，1，2），…队员训练．当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第11轮训练．【分析】一共是10人，而每次有3人进行训练，要使1、2、3号同时训练，中间隔的人数应是10和3的最小公倍数，由此求出中间又隔了多少人，进而求出隔的轮数，再加上1轮即可求解．【解答】解：10×3=30，30÷3+1=11（轮）；答：当再次轮到编号（1，2，3）的队员时，将要进行的是第11轮训练．故答案为：11．【点评】本题关键是找出三人再次同时训练时中间隔的人数，再根据每3人一轮进行求解．4．如图：电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈．现在，一只红跳蚤从标有数字“0”的圆圈按顺时针方向跳了2013步，落在一个圆圈里．一只黑跳蚤也从标有数字“0”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了2012步，落在另一个圆圈里．那么这两个圆圈里数字的乘积是36．【分析】本题的关键是要找出12个数一循环：若余数为0，圆圈所标的数字是0；若余数为1，圆圈所标的数字是11；若余数为2，圆圈所标的数字是10；若余数为3，圆圈所标的数字是9；…；若余数为11，圆圈所标的数字是1．确定顺时针方向，然后再求2013被12整除后余数是多少来决定是哪个数；确定逆时针方向，然后再求2012被12整除后余数是多少来决定是哪个数．【解答】解：根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环．①2013÷12=167…9，按顺时针方向跳，故该圆圈所标的数字是9．②2012÷12=167…8；按逆时针方向跳，故该圆圈所标的数字是4．9×4=36．答：这两个圆圈里数字的乘积是36．故答案为：36．【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．5．A、B、C、D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球，第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子，…．，当第50位小朋友放完后，A盒中球的个数是6．【分析】A B C D 8 6 3 1（原），7 5 2 4（第1个小朋友取后），6 4 5 3（第2个小朋友取后），5 3 4 6（第3个…），4 6 3 5（第4个…），3 5 6 4（第5个…），6 4 5 3（第6个…），第6个小朋友与第2个重复，即4组一循环；则以此类推：（50﹣1）÷4=12…1（次）；即：除去前一次不规则的数组，还应有49次重复组，余下一次，那么，第50个小朋友取后A B C D 四个盒子中应分别是：6，4，5，3个小球．【解答】解：由分析可知：第6个小朋友与第2个重复，即4组一循环；则以此类推：（50﹣1）÷4=12…1（次）；第50个小朋友取后A B C D 四个盒子中应分别是：6，4，5，3个小球；答：当50位小朋友放完后，A盒中求的个数是6；故答案为：6．【点评】解答此题的关键是先进行列举，进而分析，找出规律，然后进行解答，得出结论．6．如图，在一个圆圈上有n个点，小红从A点出发，沿逆时针方向跳动前行，每跳一步隔过的点数相同，希望一圈后能回到A点，他先每隔两个点跳一步，结果能跳到B点，他又试着每隔4个点跳一步，也只能跳到B点，最后他每隔6个点跳一步，正好回到A点．若10＜n＜100，则n=91．【分析】由题意，可以得到点数除以3余1，除以5余1，除以7余0，100以内的数只有91．【解答】解：由题意，可以得到点数除以3余1，除以5余1，除以7余0，因为10＜n＜100，所以n=91，故答案为91．【点评】本题考查余数问题，考查学生分析解决问题的能力，得到点数除以3余1，除以5余1，除以7余0是关键．7．甲，乙二人先后从一个包裹中轮流取糖果，甲先取1块，乙接着取2块，然后甲再取4块，乙接着取8块，…，如此继续．当包裹中的糖果少于应取的块数时，则取走包裹中所有糖果，若甲共取了90块糖果，则最初包裹中有260块糖果．【分析】通过题意，甲取1块，乙取2块，甲取4块，乙取8块，…，1=20，2=21，4=22，8=23…，可以看出，甲取的块数是20+22+24+26+28+…，相应的乙取得块数是21+23+25+27+29+…，我们看一看90是甲取了几次，乙相应的取了多少次，把两者总数加起来，即可得解．【解答】解：甲取的糖果数是20+22+24+…+22n=90，因为1+4+16+64+5=90，所以甲共取了5次，4次完整的，最后的5块是包裹中的糖果少于应取的块数，说明乙取了4次完整的数，即乙取了21+23+25+27=2+8+32+128=170（块），90+170=260（块），答：最初包裹中有260块糖果．故答案为：260．【点评】判断出甲乙取得次数是解决此题的关键．8．如图所示，在一个圆周上放了1枚黑色的围棋子和2012枚白色的围棋子．若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下503枚白子．【分析】从黑子的右面第一枚白子开始编号为1，2，3，…2012，则黑子为2013；从黑子计数，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，首先取走的依次是2、4、6、8…2012号，到此时剩余奇数号；继续取，取走的依次是1、5、9、…4n﹣3号（n=1、2、3…），因为2013=4×504﹣3，所以2013此时被取走；余下的是3，7，11，15，…2011，规律是4n﹣1，n=1，2，3…，求出3到2011以4为等差的等差数列的个数，即可得解．【解答】解：（2011﹣3）÷4+1=503（枚），答：若从黑子开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚，则当取到黑子时，圆周上还剩下503枚白子．故答案为：503．【点评】此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链问题，锻炼了学生的认真分析问题的能力．9．如图，有l6把椅于摆成一个圆圈，依次编上从1到16的号码．现在有一人从第1号椅子顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进328个，再逆时针前进485个，又顺时针前进l36个，这时他到了第15号椅子．【分析】做时可以将题目分开，即顺时针前进了（328+328+136）个，也就是792个；而逆时针前进了（485+485）=970个；再用逆时针前进的个数减去顺时针前进的个数，也就是说逆时针前进了（970﹣792）=178个；那么总共有16个椅子，即11×16+2个，但它是逆时针前进的，所以是15号．【解答】解：[（485+485）﹣（328+328+136）]÷16=178÷16=11…2（个）16+1﹣2=15（号）答：他到了第15号椅子．故答案为：15．【点评】此题应结合题意，先算出顺时针和逆时针分别前进了多少个，进而再用逆时针前进的个数减去顺时针前进的个数，然后结合图进行分析计算即可得出结论．10．如图，先将4黑1白共5个棋子放在圆上，然后在同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，再将原来的5个棋子拿掉．如此不断操作下去，圆圈上的5个棋子中最多有3个白子．【分析】如下图所示：经过3次将同色相邻的两个棋子之间放入一个白色棋子，（红色圈内是放入的棋子）；在异色的和相邻的两个棋子之间放入一个黑色棋子，然后将原来的5个棋子拿掉，就又回到第一次的结果了，说明3次一个循环，在这些图中，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上白子最多能有3个．【解答】解：由上图可以看出，对于圆圈上呈现5个棋子的情况，圆圈上白子最多能有3个．答：圆圈上的5个棋子中最多有3个白棋子．故答案为：3．【点评】此题考查了哈密尔顿圈与哈密尔顿链中蕴含的规律．11．50枚棋子围成一个圆圈，依次按顺时针方向在棋子上编上号码1、2、3、50，然后按顺时针方向每隔一枚拿掉一枚，直到剩下一枚棋子为止．如果剩下的棋子的号码是42，那么第一个被取走的棋子是7号棋子．【分析】此题剩下的号码是偶数，所以，要从奇数开始拿起，假设先从1开始拿起，可以进行讨论找出规律解决问题．【解答】解：假设第一枚拿走1则：第一圈剩下：2，4，6，8，…50，第二圈剩下：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，第三圈剩下：4，12，20，28，36，44，第四圈剩下：4，20，36，第五圈剩下：4，36，最后剩下：36，要想剩下42顺推一下即可：1+42﹣36=7，第一个拿走7即可．答：应该从第7个棋子开始取．故答案为：7．【点评】本题利用剩下的是偶数这一特点，先从1开始拿起，逐步推算，得出最后剩下的数，然后再看它离42还差几，然后把1加上几即可．12．若干个同学围成一个圆圈，每人手里有一些糖果．假设按顺时针方向，第一个人的糖果比第二个人的多一个，第二个人的糖果比第三个人的多一个，以此类推倒数第二个人的糖果比最后一个人的多一个．下面开始做传递糖果的游戏．第一个人给第二个人1块糖果，第二个人给第三个人2块糖果，如此直到最后一个人给第一人数目与人数相同的糖果，这样算一轮．经过若干轮直到游戏不能做为止．最后发现恰有两个相邻的同学其中一人的糖果数是另一人的5倍，则所有同学的人数为3或9，游戏前后一个同学手里糖果数为1或3．【分析】这是一道难题，分析出里面的数量关系是关键，找到隐含的等量关系．里面含有两个未知数，设有N人，游戏前最后一个人有T块糖，则游戏的实质其实是每一个人都给第一个人一块糖，这个过程称为一轮．则游戏只能进行T 轮．第二个人一开始应该有T+N﹣2块糖，T轮之后应该只有N﹣2块糖，第一人一开始应该有T+N﹣1块糖，因为每轮他会多N﹣1块糖，T轮就会多T （N﹣1）块糖．【解答】解：设有N人，游戏前最后一个人有T块糖，则游戏的实质其实是每一个人都给第一个人一块糖，这个过程称为一轮．则游戏只能进行T轮．第二个人一开始应该有T+N﹣2块糖，T轮之后应该只有N﹣2块糖，第一人。

20181213小学奥数练习卷(知识点：凑数谜)含答案解析

20181213小学奥数练习卷(知识点：凑数谜)含答案解析

小学奥数练习卷（知识点：凑数谜）题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共2小题）1．如图，在5×5的空格内填入数字，使每行、每列及每个粗线框中的数字为1，2，3，4，5，且不重复．那么五角星所在的空格内的数字是（）A．1B．2C．3D．42．在如图的算式中，每个汉字代表0至9中的一个数字，不同汉字代表不同的数字．当算式成立时，“好”字代表的数字是（）A．1B．2C．4D．6第Ⅰ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共43小题）3．在下列横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，且没有汉字代表7，“迎”、“春”、“杯”均不等于1，那么“迎”、“春”、“杯”所代表三个数字的和是．．4．有算式：（好问+好学）×学问=410，其中的“好问”、“好学”、“学问”表示三个自然数，且相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么，好问+好学+学问=．（备注：这里“好问”，“好学”，“学问”都是两位数）5．在×=这个等式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么，=．6．在下面加法竖式中，八个不同的字母分别代表2～9这八个数字，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么=．7．如图十个不同的字母分别表示0﹣9这十个不同的数字，如果下面的加法竖式是成立的．那么是，是，是．8．在如图的乘法算式中，A、B、C、D、E、F、G、H、I分别表示彼此不同的一位数，则“FIGAA”表示的五位数是．9．如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．10．如图五角星中，位于顶点处的“华”、“罗”、“庚”、“金”、“杯”5个汉字分别代表1至5的数字，不同的汉字代表不同的数字．每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数．如果“杯”代表数字“1”，则“华”代表的数字是或．11．把1、2、3、4、5、6、7、8填入如图的○内，使每边上三个数的和相等而且最大，这个最大的每边三个数的和是，再把○填完整．12．如图的竖式中，同样的图形代表相同的数字，不同的图形代表不同的数字．要使竖式正确，△里应该填，◇里应该填，□里应该填．13．观察上式中的算式谜，两个三位数的乘积是一个五位数ABC62，已知这两个三位数是由6个不同的数字组成，那么三位数=．14．在如图的算式迷中填入适当的数字使竖式成立，则竖式中两个乘数之和为．15．在如图的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则“”所代表的三位数是．16．如图的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，当竖式成立时，“尊”、“敬”、“的”、“大”、“师”五个汉字代表的数字之和是．17．在下面算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么下面的积是．18．在如图所示每个格子里填入数字1～4中的一个，使得每一行和每一列数字都不重复，每个“L”状大格子跨了两行和两列，线上圆圈中的数表示相邻两个格子内数字的和（如图给出了一个填1～3的例子，如图中第3行从左到右三格依次为2，3，1），那么如图中最下面一行的两个数字按从左到右的顺序依次组成的四位数是．19．下面的数字谜中的不同的汉字代表不同的数字，那么四位数““的最小值是．20．“二零一六学而思杯赛”九个汉字代表九个不同的数字，并满足如下算式，那么，四位数的最大值是．++=2016．21．请将1～6分别填入如图的6个圆圈中，使得每条直线上的圆圈中填的所有数的和都相等（图中有3条直线上各有3个圆圈，有2条直线上各有2个圆圈）；那么两位数=．22．在算式“×8=×5”中，不同的汉字代表不同的数字，则“”所代表的六位偶数是．23．四位数除以两位数的余数恰好为，如果不同的汉字表示不同的数字且和不互质，那么四位数最大是．24．如图的两个竖式中，相同的汉子代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么六位数=．25．请将0﹣9分别填入下面算式的方框中，每个数字恰用一次，或已将“1”、“3”、“0”填入，若等式成立，那么等式中唯一的四位被减数是．26．如图，一个环上有6个圆圈，如果从标S的圆圈开始填入数字1～6，填入哪个数字，就以顺时针方向前进几个圆圈填下一个数字（这个数字可任意填写），如果恰好可以将1～6全部填入，则称为完全环，如图所示就是一种完全环的填法．请将如图的完全环补充完整，那么5位数ABCDE是．27．在中的圆圈中填入从1到16的自然数（每一个数用而且只能用一次），使连接在同一直线上的4个圆圈中的数字之和都相等，这称为一个8阶幻星图，这个相等的数称为8阶幻星图的幻和．那么，8阶幻星图的幻和为，并继续完成以下8阶幻星图．28．如图，三个圆圈两两相交组成了七个部分，在七个部分中填入3～9这七个数，使得每个圆圈中四个数的和都是23，则图中“△”处应填入．29．在如图的算式中，a，b表不同的数字，都不为0．那么，这个算式的答数是．30．在如图所示的算式谜中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则“陈”+“杯”+“好”+“啊”=．31．在图中，分别将1﹣9这九个数字填入九个圆圈内，使两条直线上的五个数字和相等，那么中心处的圆圈内可以填入的数字是．32．如图所示，在□中填上适当的数，使除法竖式算式成立，那么被除数等于．33．如图的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么所代表的三位数是．34．在图中的乘法算式中，不同汉字代表不同数字，相同汉字代表相同数字，在算式的方格中填入适当的数字，使得算式成立，那么所代表的三位数是．35．如图，将1～6这六个数字填入图中的圆圈内，使得每一个圆圈内的数字等于其下面相邻两个圆圈内的数字之差（大减小），当然，最下面三个圆圈内的数字不用遵从这个规定（这三个圆圈没有下面相邻的圆圈了）．那么，最上面的那个圆圈内的数字为（有多个答案的话都要写出来）36．正四面体PQRS的四个顶点与六条棱上各写着一个数，一共有10个数，这10个数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、11．每个数都使用一次，每条棱上的数表示其连接的两个顶点上的数之和，棱PQ上的数为9，则棱RS上的数为．37．在如图的两个空白的圆圈内填入适当的自然数，使得三角形每条边上三个数的和都相等，那么，左下角的圆圈内应填．38．如图减法算式中，不同的汉字代表不同的数字．那么四位数的最小值是．39．请在如图的每个箭头里填上适当的数字，使得箭头里的数字表示箭头所指方向有几种不同的数字．那么四位数是（如图是一个3×3的例子）．40．如图算式中，最后的乘积为．41．在如图的每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．那么，这个算式的乘积是．42．将0～9这10个数字分别填入加法竖式的方框中，那么和的最大值是．43．在空格内填入数字1﹣6，使得每个雪花和三个方向上六个格内数字都不重复，如图1是一个完整的例子，请填出如图2空格中的数字，那么图中四个英文字母所代表的四位数是44．如图算式中，不同的汉字代表不同的数字．如果=2015，且是质数，那么=．45．将1～7填入下左图的○中，使得图中四个三角形的三个顶点数之和都等于11．A+B=．评卷人得分三．解答题（共5小题）46．把1，2，7，8，9，10，12，13，14，15填入图中的小圆内，使每个大圆圈上的六个数的和是60．47．在图的算式中，A，B，C，D代表0～9中四个各不相同的数字，且A是最小的质数，求四位数．48．在如图的算式中，“希“、“望”、“杯”三个字分别代表0～9中三个不同的数字，求“希望杯”代表的数．49．一个正六边形被剖分成6个小三角形，如图，在这些小三角形的7个顶点处填上7个不同的整数，能否找到一个填法，使得每个小三角形顶点处的3个数都按顺时针方向从小到大排列，如果可以，请给出一种填法；如果不可以，请说明理由．50．将1、2、…、7填入下图的圆圈内，要求每个数值能且只能使用一次，每个圆圈内的数都等于箭头指向这个圆圈的所有圆圈内的数之和的个位数．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，在5×5的空格内填入数字，使每行、每列及每个粗线框中的数字为1，2，3，4，5，且不重复．那么五角星所在的空格内的数字是（）A．1B．2C．3D．4【分析】首先根据排除法在第一宫格中必须有4，那么第二行的第二列的数字只能为4．继续使用排除法即可推理成功．【解答】解：依题意可知：首先根据在第一宫格中必须有4，那么第二行的第二列的数字只能为4．同理在第二行第四列的数字只能是1．继续推理可得：所以再五角星的空格位置填写1．故选：A．【点评】本题是考察对凑数谜的理解和运用，关键的问题是使用排除法．问题解决．2．在如图的算式中，每个汉字代表0至9中的一个数字，不同汉字代表不同的数字．当算式成立时，“好”字代表的数字是（）A．1B．2C．4D．6【分析】“”一定是111的倍数，表示为：111n=37×3×n，不同汉字代表不同的数字，所以n≠1，然后根据n=2、3、4、5、6逐个筛选即可．【解答】解：根据分析可得，“”，表示为：111n=37×3×n，不同汉字代表不同的数字，所以n≠1，n=2，则“”=37×6（符合要求）或74×3（不符合要求），n=3，则“”=37×9（不符合要求），n=4，则“”=74×6（不符合要求），n=5，则“”=37×15（不符合要求），n=6，则“”=74×9（不符合要求），所以，“”=37×6=222，即“好”字代表的数字是2．故选：B．【点评】本题解答的突破口知道“好好好”一定是37与3倍数，再根据不同汉字代表不同的数字验证解答即可．二．填空题（共43小题）3．在下列横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，且没有汉字代表7，“迎”、“春”、“杯”均不等于1，那么“迎”、“春”、“杯”所代表三个数字的和是15．．【分析】确定不含5，为7的倍数，且不为49，考虑3，6，9的分配，即可得出结论．【解答】解：若含5，则必为“加”，此时=56，3和9各剩一个，无法满足，所以不含5，为7的倍数，且不为49，考虑3，6，9的分配．第一种情况，吧=9，则3，6在左侧，且不是3的倍数，则=14或28，无解；第二种情况，9在左侧，则3，6在右侧，可得1×2×4×9×7=63×8，所以“迎”、“春”、“杯”所代表三个数字的和是15．故答案为15．【点评】本题考查凑数谜，考查学生的计算能力，确定不含5，为7的倍数，且不为49，考虑3，6，9的分配是关键．4．有算式：（好问+好学）×学问=410，其中的“好问”、“好学”、“学问”表示三个自然数，且相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么，好问+好学+学问=51．（备注：这里“好问”，“好学”，“学问”都是两位数）【分析】先把410分解质因数，然后根据“相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字”拆分变形为三个自然数的和即可．【解答】解：（好问+好学）×学问=410=41×2×5=41×10=（20+21）×10所以，好问+好学+学问=20+21+10=51故答案为：51．【点评】解答此题的关键是把410分解质因数．5．在×=这个等式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么，=1207、1458、1729．【分析】根据式子的特点，我们可从“个位分析”入手，B×A的个位是B，可能分为：第一种，A=1，B为2﹣﹣9；第二种，A是奇数3、7、9，B=5；第三种，A为2、4、8，B没可取的值；第四种，A=6，B为2、4、8．然后用“枚举法”对第一、二、四种存在的情况一一检验，即可得出答案．【解答】解：因为B×A的个位是B，所以可能有下列4种情况：第一种，A=1，B为2﹣﹣9时，有12×21=252，13×31=403，14×41=574，15×51=765，16×61=976均不符合舍去而17×71=1207，18×81=1458，19×91=1729这三个都符合；第二种，A是奇数3、7、9，B=5时，有35×53=1855，75×57=4275，95×59=5605均不符合，舍去；第三种，A为2、4、8，B直接没有可取得值，所以舍去；第四种，A=6，B为2、4、8时，62×26=1612，64×46=2944，68×86=5848均不符合舍去．综上可得符合的有：17×71=1207，18×81=1458，19×91=1729故：ACDB=1207、1458、1729．【点评】用枚举法来对此题解答，注意不要有遗漏即可．6．在下面加法竖式中，八个不同的字母分别代表2～9这八个数字，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么=2526．【分析】首先找到题中的特殊情况，结果中的首位字母只能是数字2，再看个位数字满足O+X=10，同时十位满足W+I=9，枚举即可排除．【解答】解：依题意可知：首先分析数字是从2﹣9的，那么3个不同数字相加最大进位是2，所以N=2；再根据个位数字为E，那么O+X=10．向前进位1，然后得出W+I=9；分析数字和为9的数字有3+6或者是4+5．数字和为10的有3+7或者4+6．那么得出结论根据4和6的数字重复，得数数字10的一定是3+7．当O=3时．I的数字是4或者是5，T+S结果需要为20或21，没有满足条件的数字．当O=7，I的数字是4或5．T+S结果需要为16或者17．那么9+8满足条件．剩下的数字E=6．故答案为：2526．【点评】本题是考查凑数谜的理解和应用，关键问题是找到题中的特殊情况，字母N和E就是本题的突破口．问题解决．7．如图十个不同的字母分别表示0﹣9这十个不同的数字，如果下面的加法竖式是成立的．那么是29786，是850，是31486．【分析】根据此式得特点，先从个位和十位入手，推出G、H的取值，再考虑千位和万位的情况，推出N与B的取值及AM的数字特点；然后以前面已推出的结果为条件再推出CD的取值，之后是H的取值与A、M取值，最后剩下的数是E的值，这样一步步就得出结果了．【解答】解：①由个位上E+G+G=E，十位上D+F+F和的个位上数是D⇒个位上没有进位，十位上有进位，G与F可能是0或5⇒G=0，F=5．②由千位上的B落下和是N，万位上A落下的和是M⇒B≥8，N为0或者1，A+1=M⇒A、M为连续的两个自然数．又因G=0⇒N=1，B=9，百位上的进位是2即C+D+D+1（进位1）的进位是2⇒D 必须为6、7、8⇒A、M在2、3、4中⇒H≠3．③经检验D是6、7均不行，只有D=8，C=7可以⇒H=4⇒A=2，M=3．④剩下的只有6，所以E=6．综上得：A=2，B=9，C=7，D=8，E=6，F=5，G=0，H=4，M=3，N=1．故：ABCDE是29786，DFG是850，MNHDE是31486．【点评】解此题的关键是抓住式子的特点，找出突破口才行的．8．在如图的乘法算式中，A、B、C、D、E、F、G、H、I分别表示彼此不同的一位数，则“FIGAA”表示的五位数是15744．【分析】首先找到题中的特殊情况，根据第一个乘积是三位数，尾数相同可以枚举排除，再根据A和C确定B，然后就可以求解．【解答】解：依题意可知：A、B、C、D、E、F、G、H、I共9个数字，题中没有数字0．再根据结果是三位数，那么首位字母可以是C=2，A=4或者C=3，A=9不满足三位数的条件．所以A=4，C=2．再根据进位B=9，E=8．根据E+H=A=4那么H=6，A加上进位等于I=5．所以D=3，F=1．即：49×32=15744．故答案为：15744．【点评】本题考查凑数谜的理解和运用，突破口就是字母C和第一个乘积是三位数限制了百位数字不能太大，问题解决．9．如图中，“华罗庚金杯”五个汉字分别代表1﹣5这五个不同的数字．将各线段两端点的数字相加得到五个和，共有10种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．【分析】根据“每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数”可以看出这5个和比原来1、2、3、4、5要大些；五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；然后结合最小和最大的自然数即可确定每个顶点处有几种选值，再确定共有几种情况．【解答】解：五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；观察这新的5个连续自然数，最小的自然数4只能是4=1+3，最大的自然数8只能是5+3，并且2与1，4与5不能组合，这样就有如下组合：因为每个顶点有2种不同的选值，所以共有2×5=10种；答：共有10种情况使得这五个和恰为五个连续自然数．故答案为：10．【点评】此题重点考查学生的数字分析与组合能力，关键是确定一个顶点有几种选值．10．如图五角星中，位于顶点处的“华”、“罗”、“庚”、“金”、“杯”5个汉字分别代表1至5的数字，不同的汉字代表不同的数字．每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数．如果“杯”代表数字“1”，则“华”代表的数字是3或4．【分析】根据“每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数”可以看出这5个和比原来1、2、3、4、5要大些；五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；然后结合最小和最大的自然数即可解决问题．【解答】解：五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；观察这新的5个连续自然数，最小的自然数4只能是4=1+3，最大的自然数8只能是5+3，根据这点可知，和“杯”在一条线段上的“华”可能是3或4，（2与1的和不在新的和内，5必须与3组合）．答：“华”代表的数字是3或4．故答案为：3；4．【点评】此题考查了数字分析推理能力，难点是确定新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多多少．11．把1、2、3、4、5、6、7、8填入如图的○内，使每边上三个数的和相等而且最大，这个最大的每边三个数的和是15，再把○填完整．【分析】1+2+3+4+5+6+7+8=36，36÷4=9，4个交点的和最大是5+6+7+8=26，26不能被4整除，所以只有24符合要求，即4个交点的和最大是24，然后求出幻和，然后凑数即可．【解答】解：1+2+3+4+5+6+7+8=3636÷4=926不能被4整除，所以只有24符合要求，即4个交点的和最大是24，所以幻和是：9+24÷4=15因为，3+7+6+8=24所以，四个顶点上的数可以是3、7、6、8，6+2+7=7+5+3=3+4+8=8+1+7所以，填图如下：【点评】本题考查了极值问题与幻方问题的综合应用，关键是确定最大的幻和．12．如图的竖式中，同样的图形代表相同的数字，不同的图形代表不同的数字．要使竖式正确，△里应该填1，◇里应该填9，□里应该填0．【分析】（1）两个三位数的和不可能是两千多，所以可以判断△是1；（2）根据和的末位数字是8，可以确定◇是4或者9；根据百位数字其中一个是1，那另一个至少8，也可能是9，两者结合就判断◇是9；（3）根据十位数字8，加进上来的1，加□得9，可以判断□为0．【解答】解：△里应该填1，◇里应该填9，□里应该填0．【点评】此题抓住数的特征找出突破口进行分析推理．13．观察上式中的算式谜，两个三位数的乘积是一个五位数ABC62，已知这两个三位数是由6个不同的数字组成，那么三位数=906．【分析】首先根据数字1推理出第一个乘数的首位数字是2．第二行的结果中尾数是6．个位没有进位上面的数字是0．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：①首先根据数字1推理出第一个乘数的首位数字是2．第二行的结果中尾数是6．那么根据结果中十位数字是6，推理出第三行结果的十位上是数字0．②再根据结果的尾数是2，第一个乘数百位数字是2，那么第二个乘数的个位与第一个乘数相乘的积是第三行的四位数，个位上只能是数字7．③再判断第一个乘数的十位数字8才能符合十位和百位都是0．推理出第一行的四位数字是2002．③第一个乘数是286．④第二个乘数的百位数字需要小于4才能保证第五行乘积的结果是三位数．第二个乘数的百位数字只能是3．286×317=90662．故答案为：906【点评】本题考查对凑数谜的理解和运用，关键是找到题中第一个四位数的结果2002的由来问题解决．14．在如图的算式迷中填入适当的数字使竖式成立，则竖式中两个乘数之和为310、810．【分析】为了好表述两个乘数用AB2×CDE表示．根据2与D积个位数的特点推算出D=5，然后再依次去推断、检验E、B、A、C的取值，最后把得出的两个乘数进行相加即可．【解答】解：为了好表述两个乘数用AB2×CDE表示．①2×D积的个位数是0⇒D为0或5，如D=0，就不存在AB2×D的积□□0了⇒只能D=5．②2×E积的个位是6⇒E为3或8．若E=3时，B×3积的个位数是1⇒B=7，A×3+2（进位）和要有进位⇒A≥3⇒AB2×D最小是372×5积不符合□□0的形式⇒E=3不行⇒只能E=8．③B×E+1（进位）=B×8+1（进位）和的个位数是1⇒B为0或5．若B=0⇒A≥2；又因AB2×D即最小是202×5不符合□□0的形式⇒B=0不行⇒只能B=5．④AB2×D=□□0，即A52×5=□□0⇒A=1．⑤2×C积的个位数是2⇒C为1或6．若C=1，AB2×C=□□2即152×1=152符合□□2的形式，所以行；若C=6，AB2×C=152×6=912也符合□□2的形式，所以也行；综上得：AB2×CDE有152×158和152×658两种．152+158=310，152+658=810．故：竖式中两个乘数之和为310、810．【点评】此题根据竖式给出的数字的特点，主要是利用了两数相乘积个位数的数字进行的推断．15．在如图的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则“”所代表的三位数是709．【分析】首先分析陈+省+身的结果尾数是6，如果是26那么只能是9+9+8才行不符合题意，所以陈+省+身=16，继续推理即可．【解答】解：依题意可知：陈+省+身的结果尾数是6，如果是26那么只能是9+9+8才行不符合题意，所以陈+省+身=16根据十位推理出陈+省=7．根据百位陈=7．所以陈=7，省=0，身=9．故答案为：709．【点评】本题考查对凑数谜的理解和运用，关键是找到个位的数字和是16．问题解决．16．如图的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，当竖式成立时，“尊”、“敬”、“的”、“大”、“师”五个汉字代表的数字之和是22．【分析】首先分析津可能是0或者是5．天也可能是0或者是5，如果津是5有进位不符合题意．津=0．天=5．继续推理即可求解．【解答】解：依题意可知：①津可能是0或者是5．天也可能是0或者是5，如果津是5有进位不符合题意．津=0．天=5．②省+进位后结果个位是敬同时还需要向前进位只能是省=9，并且是2的进位才能符合题意．③陈加1个进位等于尊．④大+大+身结果是20多的没有重复数字的可能的情况是6+6+8+1进位尾数是1不符合题意．7+7+8+1尾数是3首位没有数字填写，只能是8+8+7+1进位尾数是4．⑤陈=2，尊=3，师=6符合条件．3+1+4+8+6=22．故答案为：22【点评】本题考查对凑数谜的理解和运用，关键是找到题中百位向千位进位2．问题解决．17．在下面算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么下面的积是68523、68524、68529．【分析】先据c与ade的乘积是ade本身，可得c为1；再由d+0没有进位和c+b=6，得到b=5；后由d+0=8与其后面的进位情况推算出d=7；再后由d+b+a=1b与b+d的进位情况推出a=2，至此可得e的可能值，即知道了积68bae是多少了．【解答】解：①e×c=e，d×c=c，a×c=a⇒c=1；②c+b=6，d+0没有进位⇒b=5；③d+0=8，d+b+a的最大进位是2⇒d=6或7，可6已有⇒d=7；④d+b+a=1b⇒7+5+a=15⇒b+d有进位时a=2，没有进位时a=3⇒b+d=1a，b+d=3⇒5+7=12成立，5+7=3这是不成立的⇒a=2；⑤因式子中有了0、6、8和a=2，b=5，c=1，d=7⇒e可以为：3、4、9．68bae=68523、68524、68529．故：下面的积是68523、68524、68529．【点评】此题只要找准突破点C，推得它的值，后面其它的值就好推算了，所以找准突破点是关键．18．在如图所示每个格子里填入数字1～4中的一个，使得每一行和每一列数字都不重复，每个“L”状大格子跨了两行和两列，线上圆圈中的数表示相邻两个格子内数字的和（如图给出了一个填1～3的例子，如图中第3行从左到右三格依次为2，3，1），那么如图中最下面一行的两个数字按从左到右的顺序依次组成的四位数是2143．【分析】按照题目要求，每个“L”状大格子跨了两行和两列，线上圆圈中的数表示相邻两个格子内数字的和填入具体的数字，即可得出结论．【解答】解：如图所示，根据每个“L”状大格子跨了两行和两列，线上圆圈中的数表示相邻两个格子内数字的和，由于1+2=3，4+2=6，3+2=5，结合每一行和每一列数字都不重复，可得最下面一行的两个数字按从左到右的顺序依次组成的四位数是2143．故答案为2143．【点评】本题考查凑数字，考查学生的动手能力，正确理解题意，得出图形是关键．19．下面的数字谜中的不同的汉字代表不同的数字，那么四位数““的最小值是1026．【分析】数字谜中出现了“黄金三角”，所以可知“学”=1，“三”=9，“而”=0，四位数““最小，可令“思”=2，则“未”+“年”=11，经尝试“好”+“来”+“级”=16时，““取得最小值．【解答】解：数字谜中出现了“黄金三角”，所以可知“学”=1，“三”=9，“而”=0，四位数““最小，可令“思”=2，则“未”+“年”=11，经尝试“好”+“来”+“级”=16时，““的最小值为1026，填法如下（不唯一）：．故答案为1026．【点评】本题考查凑数字，考查学生分析解决问题的能力，抓住四位数为最小值，。

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