1.4 角平分线
湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计
湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册1.4《角平分线的性质》是初中数学的重要内容，主要介绍了角平分线的性质。
本节课的内容是学生学习几何知识的基础，也是学生进一步学习圆的知识的前提。
通过本节课的学习，学生可以掌握角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线的概念等基础知识，对几何图形有一定的认识。
但是，学生对角平分线的性质还没有接触过，对于如何运用角平分线的性质解决实际问题还需要引导。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解角平分线的性质，并能够运用角平分线的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.角平分线的性质的推导过程。
2.如何运用角平分线的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、学生自主探究法、合作交流法等教学方法。
通过引导学生提出问题、自主探究、合作交流的方式，激发学生的学习兴趣，培养学生的几何思维能力。
六. 教学准备教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具。
学生准备课本、笔记本等学习工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引导学生思考：“如何找到一个角的平分线？”学生可以自由发言，教师引导学生提出问题，引出本节课的主题——角平分线的性质。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示角平分线的性质，让学生初步了解角平分线的性质。
然后，教师引导学生自主探究，让学生通过观察、思考、推理等过程，推导出角平分线的性质。
3.操练（10分钟）教师通过PPT展示一些练习题，让学生运用角平分线的性质解决问题。
学生在纸上完成练习题，教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些巩固题，让学生再次运用角平分线的性质解决问题。
湘教版八下数学1.4角平分线的性质说课稿
湘教版八下数学1.4角平分线的性质说课稿一. 教材分析湘教版八下数学第1.4节“角平分线的性质”，是在学生学习了角的概念、角的计算等基础知识后，进一步引导学生探究角平分线的性质。
本节内容通过探究角平分线的性质，培养学生的观察能力、推理能力及动手操作能力，使学生能更好地理解和运用角平分线的相关知识。
二. 学情分析学生在学习本节内容时，已经具备了角的基本知识，对角的计算、角的大小比较等有一定的了解。
但学生在角平分线的性质的理解上，可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、推理等方法，深入理解角平分线的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能理解角平分线的性质，并能运用角平分线的性质解决相关问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、操作、推理等方法，培养观察能力、推理能力及动手操作能力。
3.情感态度与价值观目标：学生体验数学探究的过程，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：角平分线的性质。
2.教学难点：角平分线性质的推理和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：引导探究法、讨论法、演示法。
2.教学手段：黑板、粉笔、几何画板、教学课件。
六. 说教学过程1.导入：通过复习角的基本知识，引导学生进入对新知识的学习。
2.探究角平分线的性质：引导学生观察、操作、推理，探究角平分线的性质。
3.讲解与演示：教师讲解角平分线的性质，并用几何画板进行演示。
4.练习与讨论：学生进行练习，教师引导学生讨论，巩固角平分线的性质。
5.总结与拓展：教师引导学生总结本节课的内容，并进行拓展。
七. 说板书设计板书设计如下：角平分线的性质1.定义：角平分线是将一个角平分成两个相等角的线段。
2.性质：角平分线上的任意一点，到角的两边的距离相等。
3.应用：解决与角平分线相关的问题。
八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习结果和课堂讨论等方面进行。
教师应关注学生在学习过程中的参与程度、理解程度和运用能力，及时发现和解决问题。
1.4《角平分线》第1课时教学课件(共19张PPT)
（三）课堂探究二：角平分线的性质的
逆定理
1. 你内能容写包出括这：个课定程理名的称逆、命学题科吗、?它年是真 命题级吗、? 上/下册、版本、主讲教师工
角平作分单线位的和性姓质名定等理。的片逆尾命包题括是制：作
_______单__位、__录_ 制时间等信息。
_
__________
_____。
2.探究新知 已知：在么AOB内部有一点P，且 PD⊥内O容A，包P括E⊥：O课B，程D名、称E为、垂学足科且、P年D=PE， 求证级：、点上P在/下么册A、OB版的本角、平主分讲线教上师。工
作单位和姓名等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
(B层）(3)已知：如图，在⊿ABC中，AD 是它的角平分线，且 BD=C内D容,DE包⊥括AB：,D课F⊥程A名C称,垂、足学为科E、、F年。 求证级：、EB上=F/C下册、版本、主讲教师工
作单位和姓名A 等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
作单位和姓名等。片A 尾包括制作 单位、录制D时间等信息。
O
1 2
C P
E
B
3.角平分线的性质定理是：_________
___
_ ___ _____.
内容包括：课程A 名称、学科、年 D
级、上/下册、版本、主讲教师工
作O 单单12位位和、姓录名制P等时。间片C等尾信包息括。制作E NhomakorabeaB
角平分线性质定理几何语言表示： ∵ ∴
D
C
D P
C
A
E
图四
A
E
B
图五
(C层）6.如图，在∠AOB内部求作一点P, 使PC=PD,并且P到∠AOB两边的距离相等。
内容包括：课程名称、学科、年 级、上/下册、版B 本、主讲教师工 作单位和姓名等。片尾包括制作
1.4、角平分线1
1.4、角平分线(一)
课型
新授课
教学目标
1．要求学生掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理，会用这两个定理解决一些简单问题。
2．理解角平分线的性质定理和判定定理的证明。
3．能够作已知角的角平分线，并会熟练地写出已知、求作和作法，可以说明为什么所作的直线是角平分线。
教学重点
角平分线性质定理及其逆定理。
6．给出规范的表述并进一部阐释它的内涵和与角平分线性质定理的关系。因学生已经接触过线段垂直平分线判定定理的证明，所以不妨把这个证明的任务留给学生课后完成。知道对于角平分线，也有类似的结论。
三、用直尺和圆规作角的平分线
1．讲述与作图有关的数学史知识，尤其是与本节课内容接近的三等分任意角问题；让学生对此有初步的了解，开阔学生的视野，让学生体会数学家坚韧不拔的科学探索精神。
4．拿出准备好的纸折的角，在老师示范的同时按要求把角和角的边对折几次，观察折痕的性质。由折纸的过程，可以观察到折痕和角的边垂直，并且对应的折痕长度相等。
5．说出猜想：折痕和角的两边垂直，并且对应的折痕长度相等。说明白已是通过折纸的过程和观察得到上述猜测的。
6．在老师的表扬和鼓励中，树立起自信，知道思考的重要性。继续思考刚才的问题，发现实例中应用角平分线性质的几个例子都有类似的特点。
3．综合学生的发现，对于其中应用角平分线性质的几个例子，让学生猜想：它们应用的性质有没有什么相同的地方?
4．让学生拿出纸折的角，把角对折至两条边完全重合，注意角的顶点处要折好；然后把角的两条边对折几次，让学生观察折痕的特点。可以带学生完成上述操作，以便学生顺利地把注意力集中到观察折痕上。
5．让学生说出他们的猜想，并说明他们怎么想到的，暴露学生的思维过程，一是为了让学生理顺自己的思路，二是可以找到学生思维的进程。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
学生通过学习角平分线，可以进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的中垂线、垂直平分线的性质，对几何图形的变换有一定的了解。
但部分学生对角平分线的概念和性质理解不够深入，运用角平分线解决实际问题的能力较弱。
三. 教学目标1.理解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决简单几何问题；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.运用角平分线解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、示范法、讨论法、实践法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握角平分线的性质和应用。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备角平分线的模型或实物；3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或实物展示，引导学生回顾线段的中垂线、垂直平分线的性质。
提问：线段的垂直平分线和中垂线有什么关系？它们在几何图形中有什么作用？2.呈现（10分钟）展示角平分线的模型或实物，引导学生观察并思考：角平分线是什么？它有什么特点？通过示范和讲解，阐述角平分线的定义及其性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线解决简单几何问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并讲解原因。
5.拓展（10分钟）出示拓展题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
学生分组讨论，教师巡回指导。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）设计简洁明了的板书，突出角平分线的性质和应用。
1.4 角平分线(1)
D
A
P C E B
你能写出下面这个定理的逆命题吗? 性质定理:角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这
个角的平分线上．
这是一个真命题吗？如果是，请证明；如果不是，请举 出反例． 不是真命题，是假命题．在角的外部，也存在到角两边 距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上．
【解析】选B.A由“SSS”得△BDE≌△BDF,∴∠EBD＝∠FBD, ∴BD是∠ABC的平分线；C由∠ABD＝∠CBD可得BD是∠ABC的平 分线；D由角平分线的判定定理可知BD是∠ABC的平分线；B条
件不足，不能判定BD是∠ABC的平分线.
1.（益阳·中考）已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的 距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（
用尺规作角的平分线.
【例2】已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
A C
作法:1.在OA和OB上分别截取
OD,OE,使OD=OE. 2.分别以点D和E为圆心,以大 O B
于DE/2长为半径作弧,两弧在
∠AOB内交于点C. 3.作射线OC. 则射线OC就是∠AOB的平分线.
你能说明射线OC为什么
4 角平分线
第1课时
1、能够证明和灵活运用角平分线性质定理和判定定理；
2、能够用尺规作已知角的平分线.
还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你是怎样 得到的?
与小组同学交流.
角平分线上的点到角两边的距离相等.
证明：角平分线上的点到角两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别为D，E． 求证：PD=PE． D
1.4角平分线教案
1.4角平分线-----三角形三个内角的平分线1．能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．2．能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．【学习重点】三角形三条角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等的性质的证明【学习难点】三角形三条角的平分线相交于一点，这点到三边的距离相等的性质的运用【教学过程】一、先学（15分钟）1.导入课题，出示目标（1）能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．（2）能利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算．2.出示自学指点请同学们认真看课本P30 --31的内容，思考并完成下列问题：（1）回顾：角平分线的性质定理和角平分线的判定定理的内容；（2）如何证三条直线交于一点？（3）通过例2的证明，你能得到什么结论？（5分钟后进行提问和检测，比比谁学得好。
）（学生自学，老师巡查监督学生自学，调整学习进度）提问：1、角平分线性质定理：学生回答，老师总结：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2、角平分线判定定理：学生回答，老师总结：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
3、如何证三条角平分线交于一点？学生回答，老师总结：基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点；要想证明三条角平分线相交于一点, 只要能证明两条的交点在第三条直线上即可。
4、通过例2的证明，你能得到什么结论？学生回答，老师总结：定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.新知探究例2、求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
已知：如图，△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB 、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F。
求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PF=PF.证明：∵BM 是∠ABC的平分线，点P在BM上∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)同理，PF=PE∴PD=PE=PF∴点P在A的平分线上(在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上)即 ∠A 的平分线经过点P ，且PD=PF=PF.新知归纳三角形三条角平分线性质定理： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时 角平分线》教案
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一课时主要让学生掌握角平分线的性质。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生推理、证明的能力。
本课时内容是学生在学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，为后续学习线段平分线、弧平分线等知识打下基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了角的概念、角的计算等知识，对角有一定的认识。
但是，对于角平分线的性质，学生可能还没有直观的理解。
因此，在教学过程中，教师需要利用直观的教具，引导学生观察、思考，从而发现角平分线的性质。
三. 教学目标1.理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质。
2.培养学生的观察能力、推理能力、证明能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.角平分线的性质。
2.如何引导学生发现并证明角平分线的性质。
五. 教学方法1.采用直观教学法，利用教具引导学生观察、思考。
2.采用问题驱动法，引导学生提出问题、解决问题。
3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流。
4.采用证明教学法，引导学生用几何证明的方法证明角平分线的性质。
六. 教学准备1.准备角平分线的教具，如量角器、直尺、三角板等。
2.准备多媒体课件，展示角平分线的性质。
3.准备练习题，巩固学生对角平分线的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师利用教具，如量角器，引导学生观察量角器上的角平分线，让学生直观地感受角平分线的作用。
同时，教师提出问题：“你们认为角平分线有什么性质呢？”引导学生思考。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示角平分线的性质。
同时，教师用几何证明的方法，引导学生证明角平分线的性质。
在这个过程中，教师要注意引导学生发现并理解角平分线的性质。
3.操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。
练习题包括判断题、填空题、解答题等题型，全面巩固学生对角平分线的理解。
1.4角平分线1
角平分线性质定理
角平分线判定定理
(1) 二者互逆，条件中都有垂直． (2) 性质定理和判断判定定理经过证明后就可以直接使用.
１.利用尺规作一个三角形三个内角的角平分线，你发 现了什么?并在信息技术课上利用几何画板验证一下。
2.认真思考独立完成 课本P习题1.9第３.４题
随堂检测
２如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB 的距离相等，则点P是( C ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对
随堂检测
3 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足 分别为A，B.下列结论中不一定成立的是( D ) A．PA＝PB B．PO平分∠APB C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
都要经过严格的推理证明才能使用！
逻辑推理是数学的一个重要特征！
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
条件
结论
已知： 如图：
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E.
求 证 ： PD＝PE
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上，PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D，E. 求证：PD＝PE.
请说出成立的理由
拓展提升
２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F， DE＝DF，求DE的长.
分析：DE 丄 AB， DF 丄 AC ，
DE＝DF，
角平分线的判定定理
求DE的长？ AD＝10 DE与AD有数量关系
解：∵DE丄AB, DF丄AC，垂足分分别为E，F
且DE＝DF
1.4角平分线的性质.ppt
角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
用符号语言表示为： ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB
D P C 1 2
A
∴PD=PE.
∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
O
E
B
∴PD=PE.
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
练习3 如图,求作一点P,使PC=PD,并
且点P到∠AOB的两边的距离相等.
B
D●
O
C● A
练习
1. 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于 点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.
证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ， ∴ ED =EC. ∴ △EDC 是个等腰三角形. ∴ ∠ECD=∠EDC. （2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC.
本节内容
1.4 角平分线的性质
复习：
1.什么叫角平分线？
角平分线是从一个角的顶点出发，
把这个角分成两个相等的角的射线..
2.怎样用尺规作角的平分线？
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法： A 画法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
定理应用所具备的条件：
北师大版八年级下册数学：1.4角平分线课件
则∠BAP__________∠CAP.
如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
E 如图，AD为△ABC的角平分线,
∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE
角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等．
相信自己 探究尝试
如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，
若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.
课堂检测
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上， 若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF. 2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE， 则∠BAP__________∠CAP. 3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，
PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= 3 ，则PE=____.
E B
角平分线的性质定理 A
角平分线上的点到这个角的 D 两边的距离相等．
O
)1 )2
P C
几何语言：
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA， PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等).
E B
你会用吗?
巩固训练.
已知:如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
D
几何语言： ∵PD=PE， PD⊥OA，PE⊥OB ∴点P在∠AOB的平分线上。
O
) )
E
P C
B
典型例析
例题：在△ABC中，∠BAC =60°，点D 在BC上，AD =10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足 分别为 E，F，且 DE=DF，求DE的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，DE=DF ∴AD平分∠BAC 又∵ ∠BAC=60°，∴ ∠BAD=30° 在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10 ∴DE=1/2AD=1/2×10=5.
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4节的内容，本节课主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。
通过本节课的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
教材通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，探索角平分线的性质和作法，培养学生的动手能力和合作意识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。
但是，对于角平分线的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行教学设计，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握角平分线的性质和作法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生观察、思考、操作、交流，发现角平分线的性质。
3.合作学习法：学生分组合作，共同探索角平分线的性质和作法。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些角的模型和画图工具，如直尺、圆规等。
3.学生活动材料：准备一些练习题和小组讨论题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入角平分线，如剪刀的剪切角、太阳伞的遮阳角等，引导学生关注角平分线在生活中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示一些角的模型，让学生观察并思考：如何作一个角的平分线？学生分组讨论，尝试用工具画出角的平分线。
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
北师大八年级数学下册教案：1.4角平分线
1.理论介绍：首先，我们要了解角平分线的基本概念。角平分线是从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等角的射线。它是几何图形中的重要组成部分，有助于解决许多几何问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了角平分线在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
此外，我在课程中发现个别学生对判定定理的理解不够深入，容易混淆。在未来的教学中，我需要针对这些难点进行更有针对性的讲解和练习，通过更多的例子和变式题目来帮助他们巩固理解。
最后，今天的课程也让我意识到，教学过程中及时反馈的重要性。在实践活动和小组讨论后，我应该给予学生更多的即时反馈，帮助他们及时纠正错误，巩固正确的方法。
2.培养学生的空间想象能力：通过画角平分线的实践活动，激发学生的空间想象力，培养学生对几何图形的认知和理解。
3.培养学生的数学建模能力：将角平分线知识应用于实际问题，让学生学会运用数学知识构建模型，解决现实问题。
4.培养学生的数学抽象能力：让学生从具体的几何图形中抽象出角平分线的概念和性质，提高数学抽象思维。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线的定义和性质这两个重点。对于难点部分，比如画角平分线的方法和角平分线在实际问题中的应用，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与角平分线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示如何使用量角器和尺规作图来画角平分线的基本原理。
北师大八年级数学下册教案：1.4角平分线
一、教学内容
北师大八年级数学下册教案：1.4角平分线
1.角平分线的定义与性质
1.4角平分线课件
（1）如图，∵AD平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC
∴PE = PF（角平分线上的点到这个角的
两边距离相等） （对）
（2）如图，∵ PE = PF
∴ AD平分∠BAC （到角两边距离相等的
点在 这个角的平分线上）
（错）
（3）如图，∵ 点P在∠BAC 的平分线上 ∴ PE = PF（角平分线上的点到 这个角的两边距离相等）（错）
第1课时
角平分线
复习旧知
1、什么叫角平分线？ 如果一条射线把一个角分成两个相等的角， 那么这条射线叫角的平分线。
2、你还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎 样得到的？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
条件：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
你能证明这一结论吗?
已知：如图OC是∠AOB的平分线，点P在
的一半）
随堂练习 1
如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线 外角平分线,它们有什么关系?
C E
D
B
老师期望:
你能说出结论并能证明它.
A
F
课堂小结
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理： 在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个 角平分线上。
3.性质定理和判定定理的关系
点在角平分线上
点到角两边的距离相等
4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的判定定理是证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
布置作业
6：作业布置 课堂作业：习题1.9第1，2，3,4题．
家庭作课业堂：学作习业之：友习p1题5-116.9第1，2，3,4题 ． 家庭作业：学习之友p15-16
1.4角平分线(备作业)
1.4角平分线一、单选题1．如图，在ABC V 中，90B Ð=°，AD 为BAC Ð的角平分线．若4BD =，则点D 到AC 的距离为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】根据题意作出点D 到AC 的距离ED ，再根据角平分线的性质求解即可．【解析】解：如图所示，过点D 作DE AC ^于点E ，则ED 的长度为点D 到AC 的距离．∵AD 为BAC Ð的角平分线，90B Ð=°，DE AC ^，4BD =，∴ED =BD =4．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到两边的距离是解题关键．2．点Р在AOB Ð的角平分线上，点Р到OA 边的距离等于5，点Q 是OB 边上的任意一点，则下列选项正确的是（ ）A ．5PQ >B ．5PO ³C ． 5PQ <D ．5PO £【答案】B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P 到OB 的距离为5，再根据垂线段最短解答．【解析】∵点P 在∠AOB 的平分线上，点P 到OA 边的距离等于5，∴点P 到OB 的距离为5，∵点Q 是OB 边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．3．如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，V COM 的面积为9，OM=6，则点C 到射线OA 的距离为（ ）A ．9B ．6C ．3D ．4.5【答案】C【分析】作CN ⊥OA ，利用面积求出CM ，根据角平分线的性质定理可得CN=CM ，即可得答案．【解析】解：过点C 作CN ⊥OA ，∵CM ⊥OB ，V COM 的面积为9，OM=6，∴S △COM=11OM CM=6CM=922´´´，∴CM=3，∵OC 为∠AOB 的平分线，CN ⊥OA ，CM ⊥OB ，∴CN=CM=3．故选C ．【点睛】本题考查了三角形面积，角平分线的性质，角平分线上的点，到角两边的距离相等；熟练掌握角平分线的性质和面积公式是解题关键．4．如图，,AD DC AB BC ^^，若,120AB AD DAB =Ð=°，则ACB Ð的度数为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．75°【答案】C【分析】根据题意先证明AC 平分BCD Ð，然后根据四边形内角和求得BCD Ð度数，则结果可求．【解析】∵,,AD DC AB BC AB AD ^^=，∴AC 平分BCD Ð，∵120DAB Ð=°，∴36090212060BCD Ð=°-°´-°=°，∴11603022ACB BCD Ð=Ð==°´°，故选：C ．【点睛】本题主要考查角平分线的判定，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．5．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，ABC S V =15，DE=3，AB=6，则AC 长是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得AC 边上的高，再利用S △ABD +S △ACD =S △ABC ，即可得解．【解析】解：作DF ⊥AC 于F ，如图：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF=3，∵S △ABD +S △ACD =S △ABC ，∴1163AC 31522´´+´´=，∴AC=4．故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6．在Rt ABC △中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð交BC 于点D ，3CD =，5DB =则AC 长为（）．A ．4B ．5C ．6D 【答案】C【分析】过D 作DE AB ^，垂足为E ，利用角平分线的性质证出ADE ADC △△≌，再利用全等的性质和勾股定理建立等式运算求解即可．【解析】解：过D 作DE AB ^，垂足为E∵AD 为BAC Ð角平分线，DE AB ^，DC AC^∴3ED CD ==∵AD AD =，DEA DCA=∠∠∴()ADE ADC HL △≌△∴AE AC=在Rt EDB V 中，4BE ===∴1122ABD S BD AC AB ED =´´=´´△∴整理可得：5(4)3AC AE ´=+´∴5(4)3AC AC ´=+´AC=解得：6故选：C【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟悉利用角平分线的性质证三角形全等是解题的关键．7．下列说法正确的有（）①角平分线上任意一点到角两边的距离相等②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据角平分线的性质定理和判定定理逐一判断即得答案．【解析】解：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故①正确；在一个角的内部，到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上，故②错误，三角形三个角平分线的交点到三边的距离相等，故③错误，④正确；综上，正确的说法是①④，有2个．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定定理，属于基本题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．8．如图，AD 平分BAC Ð，DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AEG AFG≌△△B ．AED AFD V V ≌C ．DEG DFG V V ≌D ．BDE CDFV V ≌【答案】D【分析】先利用“HL ”证明△AED ≌△AFD 得到AE =AF ，∠EDA =∠FDG ，∠DAE =∠DAF ，从而可以利用“SAS ”证明△AEG ≌△AFG ，△DEG ≌△DFG ，由此求解即可.【解析】解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，∠DEA =∠DFA =90°∵AD =AD ，∴△AED ≌△AFD （HL ），故B 不符合题意；∴AE =AF ，∠EDA =∠FDG ，∠DAE =∠DAF ，∵AG =AG ，DG =DG∴△AEG ≌△AFG （SAS ），△DEG ≌△DFG （SAS ），故A 和C 不符合题意；根据现有条件无法证明△BDE ≌△CDF ，故D 符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．9．如图，在ABC D 中，5AB =，4BC =，3AC =，点O 是三条角平分线的交点，若ACO D 的面积是32，则BOC D 的BC 边上的高是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】过点O 作OE ⊥AC 于点E ，OF ⊥BC 于点F ，由题意易得OE=1，然后根据角平分线的性质定理可求解．【解析】解：过点O 作OE ⊥AC 于点E ，OF ⊥BC 于点F ，如图所示：∵OC 平分∠ACB ，∴OE=OF ，∵ACO D 的面积是32，AC=3，∴1322ACO S AC OE =×=V ，∴OF=OE=1；故选A ．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．10．如图，在△ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线AE ，BF 相交于点O ，AE 交BC 于E ，BF 交AC 于F ，过点O 作OD ⊥BC 于D ，下列三个结论：①∠AOB =90°+∠C ；②当∠C =60°时，AF +BE=AB ；③若OD=a ，AB +BC +CA =2b ，则S △ABC =ab ．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】B【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB 与∠C 的关系，进而判定①；在AB 上取一点H ，使BH ＝BE ，证得△HBO ≌△EBO ，得到∠BOH ＝∠BOE ＝60°，再证得△HAO ≌△FAO ，得到AF ＝AH ，进而判定②正确；作OH ⊥AC 于H ，OM ⊥AB 于M ，根据三角形的面积可证得③正确．【解析】解：∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O ，∴∠OBA ＝12∠CBA ，∠OAB ＝12∠CAB ，∴∠AOB ＝180°−∠OBA −∠OAB ＝180°−12∠CBA −12∠CAB＝180°−12（180°−∠C ）＝90°＋12∠C ，①错误；∵∠C ＝60°，∴∠BAC ＋∠ABC ＝120°，∵AE ，BF 分别是∠BAC 与ABC 的平分线，∴∠OAB ＋∠OBA ＝12（∠BAC ＋∠ABC ）＝60°，∴∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°，∴∠BOE ＝60°，如图，在AB 上取一点H ，使BH ＝BE ，∵BF 是∠ABC 的角平分线，∴∠HBO ＝∠EBO ，在△HBO 和△EBO 中，BH BE HBO EBO BO BO =ìïÐ=Ðíï=î，∴△HBO ≌△EBO （SAS ），∴∠BOH ＝∠BOE ＝60°，∴∠AOH ＝180°−60°−60°＝60°，∴∠AOH ＝∠AOF ，在△HAO 和△FAO 中，HAO FAO AO AO AOH AOF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△HAO ≌△FAO （ASA ），∴AF ＝AH ，∴AB ＝BH ＋AH ＝BE ＋AF ，故②正确；作OH ⊥AC 于H ，OM ⊥AB 于M ，∵∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点O ，∴点O 在∠C 的平分线上，∴OH ＝OM ＝OD ＝a ，∵AB ＋AC ＋BC ＝2b∴S △ABC ＝12×AB ×OM ＋12×AC ×OH ＋12×BC ×OD ＝12（AB ＋AC ＋BC ）•a ＝ab ，③正确．故选：B．本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO ≌△EBO ，得到∠BOH ＝∠BOE ＝60°，是解决问题的关键．二、填空题11．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð， 5AB =，2CD =，则ABD △的面积是_______．【答案】5【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质得到DE =DC ，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分∠BAC ，∠C =90°，DE ⊥AB ，2CD =，∴DE =DC =2，∴△ABD 的面积1152522A B D E =´=´´= ．故答案为：5．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12．如图，已知90CDA CBA Ð=Ð=°，且CD CB =，则点C 在________的平分线上，点A 在________的平分线上．【答案】BAD ÐBCD Ð【分析】连接AC ，根据角平分线的判定定理以及直角三角形的两个锐角互余的性质解答即可．【解析】解：连接AC ，∵90CDA CBA Ð=Ð=°，CD CB =，∴AC 平分BAD Ð，∴点C 在BAD Ð的平分线上，DAC BAC Ð=Ð，∵90CDA CBA Ð=Ð=°，∴9090DAC BAC °-Ð=°-Ð，∴ACD ACB Ð=Ð，即AC 平分BCD Ð，∴点A 在BCD Ð的平分线上，故答案为：BAD Ð，BCD Ð．【点睛】此题考查角平分线的判定定理，直角三角形的两个锐角互余的性质，熟记角平分线的判定定理是解题的关键．13．如图，AD 是ABC V 中BAC Ð的角平分线，DE AB ^于点E ，DF AC ^于点F ，7ABC S =△，2DE =，4AB =，则AC 长是_____．【答案】3【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF ，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解析】解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF ，∴S △ABC =12×4×2+12AC×2=7，解得AC=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．14．如图，已知在ABC V 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分ABC Ð，交CD 于点E ，5BC =，2DE =，则BCE V 的面积等于___________．【答案】5【分析】过E 作EF BC ^于点F ，由角平分线的性质可求得EF DE =，则可求得BCE D 的面积．【解析】解：过E 作EF BC ^于点F ，CD Q 是AB 边上的高，BE 平分ABC Ð，2EF DE \==，11·52522BCE S BC EF D \==´´=，故答案为：5．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．15．如图，在Rt ABC △中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð交BC 于点D ．（1）若8BC =，5BD =，则点D 到AB 的距离是______；（2）若:3:2BD DC =，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长是______．【答案】315【分析】（1）过点D 作DE ⊥AB 于E ，先求出CD ，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD ，即可求解；（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE ，再求出BD ，然后根据BC=BD+CD 计算即可求解．【解析】解：（1）过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵BC=8，BD=5，∴CD=BC-BD=8-5=3，∵∠C=90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∴DE=CD=3，即点D到AB的距离是3；（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=CD=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+CD=9+6=15．故答案为3；15．【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，解题的关键是熟记性质并作出辅助线．16．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为______cm2．【答案】6【分析】过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN,连接AP，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PH=PE=PQ，再根据三角形的面积求出BC，然后求出AC+AB，再根据S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC即可得解.【解析】解：如图，过点P作PH⊥AM，PQ⊥AN，连接AP∵BP和CP为∠MBC和∠NCB角平分线∴PH=PE，PE=PQ∴PH=PE=PQ=3∵S△BPC=12×BC×PE=7.5∴BC=5∵S△ABC= S△ACP+ S△ABP-S△BPC=1 2×AC×PQ+12×AB×PH-7.5=12×3（AC+AB）-7.5∵AC+AB+BC=14，BC=5∴AC+AB=9∴S△ABC=12×3×9-7.5=6 cm2【点睛】本题考查了角平分线上点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于S△ABC的面积的表示．17．如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△ACD ；④AE=AF ；⑤BE=CF ；⑥BD=CD ．其中正确结论的个数是_______.【答案】2【解析】∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴△ADE ≌△ADF∴AE=AF ，故正确结论的个数是2.18．如图，ABC V 中，60BAC Ð=°，BAC Ð的角平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于D ，DE AB ^交AB 的延长线于点E ，DF AC ^于F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分ADF Ð；④2AB AC AE +=；其中正确的结论的序号是__________．【答案】①②④【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD ＝∠FAD ＝30°，故此可知ED ＝12AD ，DF ＝12DF ，从而可证明②正确；③若DM 平分∠ADF ，则∠EDM ＝90°，从而得到∠ABC 为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE＝FC，从而可证明④．【解析】解：如图所示：连接BD、DC．①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED＝DF．∴①正确．②∵∠EAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝30°．∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°．∵∠AED＝90°，∠EAD＝30°，AD．∴ED＝12AD．同理：DF＝12∴DE＋DF＝AD．∴②正确．③由题意可知：∠EDA＝∠ADF＝60°．假设MD 平分∠ADF ，则∠ADM ＝30°．则∠EDM ＝90°，又∵∠E ＝∠BMD ＝90°，∴∠EBM ＝90°．∴∠ABC ＝90°．∵∠ABC 是否等于90°不知道，∴不能判定MD 平分∠ADF ．故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB ＝DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DCìíî＝＝，∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE ＝FC ．∴AB ＋AC ＝AE −BE ＋AF ＋FC又∵AE ＝AF ，BE ＝FC ，∴AB ＋AC ＝2AE ．故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．三、解答题19．已知：如图，,BD AC CE AB ^^，垂足分别为D ，E ，BD 与CE 相交于点O ，AO 平分BAC Ð．求证：OB OC =．【答案】证明见解析【分析】根据角平分线性质定理可得OE OD =，再证明BOE COD V V ≌，即可得到答案．【解析】证明：∵AO 平分BAC Ð，,BD AC CE AB^^∴ OE OD =，90,90BEO CDO Ð=Ð=o o在BOE △和COD △中，90BEO CDO OE ODBOE COD ìÐ=Ð=ï=íïÐ=Ðîo∴BOE CODV V ≌∴OB OC=【点睛】本题考查角平分线性质定理，三角形的性质和判定，灵活应用知识点结合图形思考分析是解题重点．20．如图，某市有两个粮食市场C 、D ，附近有两条交叉的公路,AO BO ．现计划修建一座大型粮仓P ，为了运输方便，希望该粮仓到两条公路,AO BO 的距离相等，且到两个粮食市场C 、D 的距离也相等，请在图中设计出该粮仓的位置．（尺规作图，不写作法，写清结论．）【答案】答案见解析【分析】到OA 和OB 的距离相等，则点P 在∠AOB 的角平分线上；到点C 、D 的距离也相等，则点P 还应该在CD 的中垂线上，那么P 点就是∠AOB 的角平分线和 CD 中垂线的交点．【解析】【点睛】本题考查角平分线和线段中垂线的实际应用，理解它们的概念才能正确解题．21．如图所示，已知90B C Ð=Ð=°，DM 平分ADC Ð，AM 平分DAB Ð．求证：M 是BC 的中点．【答案】见解析【解析】解析：首先过点M 作MN AD ^，再根据角平分线的性质可得MN MC =，MN MB =，进而得到MB MC =．答案：证明：如图，过点M 作MN AD ^，∵DM 平分ADC Ð，MN AD ^，90C Ð=°，∴MN MC =，又∵AM 平分DAB Ð，90B Ð=°，∴MN MB =，∴MB MC =，∴M 是BC 的中点．题型解法：证明本题的关键在于对角平分线性质的理解，以及作出正确的辅助线，从而根据角平分线的性质解题．22．如图，点P 为ABC Ð和MAC Ð的平分线的交点．求证：点P 在ACN Ð的平分线上．【答案】见解析【解析】解析：欲证点P 在ACN Ð的平分线上，只需证明点P 到AC 与CN 的距离相等即可，可以分别作出点P 到BM ，AC ，CN 的垂线，结合题意证明即可．答案：证明：如图，过点P 作PE BM ^于点E ，PF AC ^于点F ，PG CN ^于点G ，∵点P 为ABC Ð和MAC Ð的平分线的交点，∴PE PF =，PE PG =，∴PF PG =，∴点P 在ACN Ð的平分线上．23．如图，一块余料ABCD ，//AD BC ，现进行如下操作：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点G ，H ；再分别以点G ，H 为圆心，大于12G H 的长为半径画弧，两弧在ABC Ð内部相交于点O ，画射线BO ，交AD 于点E ．（1）求证：AEB ABE Ð=Ð；（2）若100A Ð=°，求EBC Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）40゜【分析】（1）利用平行线的性质及角平分线的性质解答；（2）利用等边对等角的性质求解．【解析】解：（1）证明：∵AD BC ∥，∴AEB EBC Ð=Ð．由作图可知，BE 是ABC Ð的平分线，∴EBC ABE Ð=Ð，∴AEB ABE Ð=Ð；（2）∵100,A ABE AEBÐ=°Ð=Ð∴()1180100402ABE AEB Ð=Ð=´-°=°°．∴40EBC AEB Ð=Ð=°．【点睛】此题考查平行线的性质，角平分线的画法及性质，等边对等角的性质，熟记角平分线的画法是解题的关键．24．如图，ABC V 中，90,,ACB CD AB CE Ð=°^是ACD Ð的角平分线，BF CE ^，求证：EF CF =．【答案】证明见解析【分析】先利用等角的余角相等得到∠BCD =∠A，再利用角平分线定义得到∠ACE=∠DCE，接着利用三角形外角性质得∠BEC=∠ACE +∠A =∠DCE +∠BCD，即∠BEC =∠BCE，于是可判断BC=BE，然后根据等腰三角形的性质易得EF=CF．【解析】Q CD^AB，\∠BDC= 90°，\∠BCD+∠CBD= 90°，Q∠A +∠CBD = 90°，\∠BCD =∠A，Q CE是∠ACD的角平分线，\∠ACE=∠DCE，\∠BEC=∠ACE +∠A =∠DCE +∠BCD，\∠BEC =∠BCE，\BC = BE，Q BF CE^，\EF= CF．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，涉及余角的定义，角平分线和三角形外角，有一定综合性，难度一般，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．25．如图，AD是ABCV的角平分线，EF是AD的垂直平分线．求证：（1）EAD EDA Ð=Ð；（2）//DF AC ；（3）EAC B Ð=Ð．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】解析：（1）根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端的距离相等可得到AE DE =，再根据三角形全等得到EAD EDA Ð=Ð；（2）根据线段垂直平分线的性质证明AF DF =，进而得到BAD ADF Ð=Ð，再利用角平分线的性质可得到BAD CAD Ð=Ð，利用等量代换可得ADF CAD Ð=Ð，再根据平行线的判定即可得到//DF AC ；（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．答案：证明：（1）如图，连接AE ，设AD 与EF 相交于点Q ，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴AE DE =，AQ DQ =，在AEQ △和DEQ V 中，∵,,,AQ DQ EQ EQ AE DE =ìï=íï=î∴AEQ DEQ V V ≌（SSS ），∴EAD EDA Ð=Ð；（2）∵EF 是AD 的垂直平分线，∴AF DF =，在AFQ △和DFQ V 中，∵,,,AQ DQ FQ FQ AF DF =ìï=íï=î∴AFQ DFQ V V ≌（SSS ），∴BAD ADF Ð=Ð，∵AD 是ABC V 的角平分线，∴BAD CAD Ð=Ð，∴ADF CAD Ð=Ð，∴//DF AC ；（3）由（1）知EAD EDA Ð=Ð，EAD CAD EAC Ð=Ð+Ð，∴EDA CAD EAC Ð=Ð+Ð，又∵EDA BAD B Ð=Ð+Ð，∴CAD EAC BAD B Ð+Ð=Ð+Ð，∵BAD CAD Ð=Ð，∴EAC B Ð=Ð．易错：证明：（1）∵EF 是AD 的垂直平分线，∴AE DE =，在AEQ △和DEQ V 中，,,,AQ DQ AEQ DEQ AE DE =ìïÐ=Ðíï=î∴AEQ DEQ V V ≌（SAS ），∴EAD EDA Ð=Ð．错因：角不是夹角，随意找三个条件证明全等．满分备考：掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质与判定的应用，可以快速解决有关线段相等，角相等或距离相等的问题．26．已知：如图1，在ABC V 中，AD 是BAC Ð的平分线．E 是线段AD 上一点（点E 不与点A ，点D 重合），满足2Ð=ÐABE ACE ．（1）如图2，若18Ð=°ACE ，且EA EC =，则DEC Ð=________°，AEB Ð=_______°．（2）求证：AB BE AC +=．（3）如图3，若BD BE =，请直接写出ABE Ð和BAC Ð的数量关系．【答案】（1）36，126；（2）见解析；（3）3180Ð+Ð=°ABE BAC 【分析】（1）18Ð=°ACE ，且EA EC =，再结合三角形的外角定理即可求DEC Ð，18Ð=°ACE ，且EA EC =，AD 是BAC Ð的平分线，2Ð=ÐABE ACE 再结合三角形内角和定理即可求解AEB Ð；（2）在AC 上截取AF AB =，连接FE ，可证()V V ≌AEF AEB SAS ，故EF EB =，AFE ABE Ð=Ð，从而可得FEC FCE Ð=Ð，所以EF FC =进而可证得：=+=+AC AF FC AB BE（3）由BD BE =，可得BED BDE Ð=Ð，BED ABE BAE Ð=Ð+Ð，Ð=Ð+ÐBDE DAC ACD ，又AD 是BAC Ð的平分线，可得ABE ACD Ð=Ð，故CE 是ACD Ð的平分线，所以BE 是ABD Ð的平分线，故Ð=Ð=ÐABE ACD DBE ，又180ACB ABC BAC Ð+Ð+Ð=°，所以ABE Ð和BAC Ð的数量关系即可求解．【解析】（1）∵18Ð=°ACE ，且EA EC =，∴∠EAC =∠ACE =18°，∴∠DEC =∠EAC +∠ACE =36°，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴∠BAD =∠CAD =18°，∵2Ð=ÐABE ACE ，∴∠ABE =36°，∴1801836126Ð=°-°-°=°AEB ；故答案为：36，126（2）在AC 上截取AF AB =，连接FE ，又∵AE =AE ，EAF EAB Ð=Ð，∴()V V ≌AEF AEB SAS ，∴EF EB =，AFE ABEÐ=Ð∵∠AFE =∠ACE +∠FEC ，∠ABE =2∠ACE ，∴FEC FCE Ð=Ð，∴EF FC=∴=+=+AC AF FC AB BE ；（3）∵BD BE =，∴BED BDE Ð=Ð，∵BED ABE BAE Ð=Ð+Ð，Ð=Ð+ÐBDE DAC ACD ，∠CAD =∠BAE ，∴∠ACD =∠ABE ，∵∠ABE =2∠ACE ，∴∠ACD =2∠ACE ，∴CE 平分∠ACB ，∴点E 到CA 、CB 的距离相等，又∵AD 是BAC Ð的平分线，∴点E 到AC 、AB 的距离相等，∴点E 到BA 、BC 的距离相等，∴BE 是ABD Ð的平分线，∴∠ABE =∠CBE ，∴Ð=Ð=ÐABE ACD DBE ，又∵180ACB ABC BAC Ð+Ð+Ð=°，∴2180Ð+Ð+Ð=°ABE ABE BAC ，即3180Ð+Ð=°ABE BAC ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质、三角形的内角和定理、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握各知识点，准确作出辅助线，熟练运用数形结合的思想．27．折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在△ABC 中，AB ＞AC （如图1），怎样证明∠C ＞∠B 呢？把AC 沿∠A 的平分线AD 翻折，因为AB ＞AC ，所以点C 落在AB 上的点C′处（如图2）．于是，由∠AC′D ＝∠C ，∠AC′D ＞∠B ，可得∠C ＞∠B ．利用上述方法（或者思路）解决下列问题：（1）如图2，上述阅读材料中，若∠B ＝45°，∠C ＝60°，则∠C′DB ＝_______°．（2）如图3，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．若CD ＝2，AB ＝6．求△ABD 的面积．（3）如图4，△ABC中，已知AD⊥BC于点D，且CD＝AB＋BD．若∠C＝24°，求∠CAB的度数．【答案】（1）15；（2）△ABD的面积为6；（3）∠CAB＝108°．【分析】（1）利用折叠的性质和三角形的外角性质，即可求出答案；（2）把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，得DC＇=CD=2，即可求出△ABD的面积；（3）把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，求得AB＇＝B＇C，然后得到∠B＇AC＝∠C ＝24°，从而得到∠B＝∠AB＇B＝48°，即可求出答案．【解析】解：（1）由折叠的性质，则∠AC′D=∠C=60°，∵∠B=45°，∴∠C′DB＝60°-45°=15°；故答案为：15°．（2）如图，把AC沿角平分线AD翻折，点C落在AB上的点C＇处，∵AD是角平分线，∠ACB＝90°，∴DC＇＝DC＝2，∠AC＇D＝∠ACD＝90°，∵DC＇是高，∴△ABD的面积为6．（3）如图，把AB沿AD翻折，点B落在BC上的点B＇处，则BD＝DB＇，∴AB＇＝AB=B＇C，∴∠B＇AC＝∠C ＝24°∴∠B＝∠AB＇B＝48°，∴∠CAB＝108°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、折叠的性质等知识点，难度适中．解题的关键是掌握所学的知识，正确的运用折叠的知识解题．。
1.4 第1课时 角平分线
1.4 角平分线
第1课时角平分线
学习目标
1．角平分线的性质定理的证明.
2．角平分线的判定定理的证明.
学习难点
理解角平分线的性质定理的逆定理必须增加前提条件“在角的内部”.
学习过程
任务一：
1、自主学习：有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB平分线OC上一点P处,为尽快爬到OA或OB上控制猎物,它应该选择什么路线,两条路线长度关系怎样?
2、合作探究
问题：（1）还记得角平分线的概念吗？
（2）还记得角平分线上的点有什么性质吗？
（3）以前我们用折纸的方法得到了这个结论，我们能进行严格意义的证明吗？你能否将蜘蛛实例的结论转化为一个命题，写出已知与求证进行证明？
已知：.
求证：
证明：
O
B
P
O
P
A
B
D
C
E
定理：
几何语言：
∵∴
3、巩固练习：（1）习题1.9第2题
任务二：
1、自主学习：（1）你清楚这定理的条件与结论了吗？（2）交换定理的题设和结论得到的逆命题是什么？（3）你能证明逆命题是真命题吗？
逆命题：
已知：
求证：
证明：
由此得出定理：
推理格式：∵∴
2、巩固练习：习题1.9 第3题
任务三：角平分线定理的应用
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长. 课堂小结：
A
O B
E
C
D
P
课堂检测
如图：AO平分∠BAC,OD⊥BC,OE⊥AB,OD=OE,。
1.4角平分线的性质
B
D
P
A
C
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP 平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
1 SAPB 2 ·AB·PD=28.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质定理
验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为D,E.
求⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. O
P
E
B
在△PDO和△PEO中，
B
（3）求∆PDB的周长.
D
CPDB PD PB DB
P
PC PB DB
BC DB AD DB
A
C
AB 14
=
当堂练习
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足
分别是E，F， DE =DF， ∠EDB=
60°，则 ∠EBF=60 °， B BE= BF .
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且
推理的理由有三个， 必须写完全，不能
少了任何一个.
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
B
A
D A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）C .
∴ BD = CD ,
× ( 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )
1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理
∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． B E
(
A
34 P
12 DFC
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
课堂作业 1.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取 OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于 N.求证：CM＝CN.
等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
中转站要到三条公路的距离都相等，
货物中转站必须是三条相交直线所
组成的三角形的内角或外角平分线
l1
的交点。
l3
l2
P2
l1
P1
P3
P4
l3
l2
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到
PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分
2.联系角平分线性质：
距离
面积 s 1 ch
周长
2
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O
到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的
度数为( A ) A．110° B．120°
C．130°
D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠1 ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠12ACB，2 ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
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1.4
三角形的证明
角平分线
第1课时
1.会证明角平分线的性质定理和判定定理. 2.能应用角平分线的性质定理解决问题.
如图,107国道OA和320国道OB在某市相交 于点O,在∠AOB的内部有工厂C和D.现要修建一个 货站P,使P到国道OA和OB的距离相等,且到工厂C,D 的距离也相等.如果你是设计师,你会怎样解决这 个问题呢?
到角的两边距离相等 2.角平分线的判定定理:在一个角的内部,且_________________
的点,在这个角的平分线上.
第一章
1.4
三角形的证明
角平分线
第2课时
1.会证明三角形三个内角的平分线的性质定理. 2.会运用三角形三条内角的平分线的性质解决
实际问题.
某市有一块由三条马路围成的三角形绿地
求证:AD是△ABC的角平分线.
证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴Rt△BDE 和 Rt△CDF 是直角三角形. ∵ BD = DC, BE = CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL). ∴DE=DF. 又∵DE⊥AB,DF⊥AC, ∴AD 是△ABC 的角平分线.
两边的距离 1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的__________ 相等.
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于 点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC, ∴DE=DC. ∵在 Rt△DCF 和 Rt△DEB 中, ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL). ∴CF=EB. BD = DF, DC = DE,
(如图所示),现准备在其中建一个小亭供人们小憩,
使小亭中心到三条马路的距离相等.你能确定小亭 中心的位置吗?
1.如图,在△ABC中,E是∠BAC,∠CBD的平分线的交点.求证:点 E在外角∠BCF的平分线上. 证明:作EG⊥AB于点G,EH⊥BC于点H, EP⊥AC于点P. ∵AE平分∠BAC, EG⊥AB,EP⊥AC, ∴EG=EP. ∵BE平分∠CBG,EG⊥AB,EH⊥BC, ∴EG=EH. ∴EH=EP,EP⊥AC,EH⊥BC. ∴点E在∠BCF的平分线上.
2.在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E. (1)求证:BD+DE=AC;
(2)已知AB=15 cm,求△DBE的周长;
(3)已知AC=4 cm,求CD的长. (1)证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°, ∴CD=DE. ∵BC=BD+CD, ∴BC=BD+DE.
(2)在 Rt△ADC 与 Rt△ADE 中, ������������ = ������������, ∵ ������������ = ������������, ∴△ADC≌△ADE(HL). ∴AC=AE. ∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
2.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分 别是E,F,BE=CF.-45°=45°. ∴BE=DE. 在 Rt△ABC 中,AB= ������AC=4 ������. ∵AC=AE,∴BE= 4 ������-4. ∵CD=DE,BE=DE,∴CD=（4 ������-4）cm.
1.三角形三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分线相 三条边 的距离相等. 交于一点,并且这一点到________ 2.三角形三个内角平分线的交点只有一个,实际作图时,只需 作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两条角平分 线的交点. 3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三个顶点 的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用小三角形 的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分线交点到三 边距离的常用方法.
∵AC=BC,
∴AC=BD+DE.
(2)解:∵CD=DE,AD=AD,∠C=∠AED=90°, ∴△ACD≌△AED（HL）.∴AC=AE. ∵AC=BD+DE,∴BD+DE=AE. ∴△BDE 的周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15（cm）. (3)解:∵AC=BC, ∴∠B=∠BAC. ∵∠C=90°,∴∠B= ×90°=45°.