几何证明——角平分线模型(高级)

几何证明——角平分线模型(高级)

【经典例题】

例1、已知如图，ABC ∆中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若

100=∠C ，求证：CD AD AB +=。

例2、如图，已知在ABC ∆中，

60=∠B ，ABC ∆的角平分线CE AD ,相交于点O ，求证：AC CD AE =+。

E

D

O

B

C

A

例3、如图，BD 平分ABC ∠，︒=∠45ADB ，BC AE ⊥，求AED ∠.

E

A

B

C

D

例4、已知，如图ABC ∆中，AD 为ABC ∆的角平分线，求证：BD AC DC AB ⋅=⋅．

例5、如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ，，的垂线，垂足分别为F E D ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ；如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线。

B

C

D

例6、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，︒=∠80ABC ，E 是腰CD 上一点，连接BE 、AC 、

AE ，若︒=∠60ACB ，︒=∠50EBC ，求EAC ∠的度数．

B

C

例7、已知：ABC ∆中，BC AB <，AC 的中点为M ，AC MN ⊥交ABC ∠的角平分线于N ．

（1）如图1，若︒=∠60ABC ，求证：BN BC BA 3=

+；

（2）如图2，若︒=∠120ABC ，则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明．

A

C

【提升训练】

1、在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-．

B

2、如图，在ABC ∆中，A ∠等于

60，BE 平分CD ABC ,∠平分ACB ∠，求证：EH DH =。

3、如图所示，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证：2AB AC AM +=。

4、已知I 是ABC ∆内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。求证：

BC

AC AB ID AI +=。

B

5、（1）如图，BD 、CE 分别是ABC ∆的外角平分线，过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、

G ，连接FG ，延长AF 、AG ，与直线BC 相交，求证：()AC BC AB FG ++=

2

1

。 （2）若BD 、CE 分别是ABC ∆的内角平分线（如图（2）），过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、G ，连接FG ，线段FG 与ABC ∆三边有怎样的数量关系？；

（3）若BD 为ABC ∠的内角平分线，CE 为ABC ∆的外角平分线（如图（3）），过点A 作BD AF ⊥，CE AG ⊥，垂足分别为F 、G ，连接FG ，则线段FG 与ABC ∆三边又有怎样的数量关系？

（3）

(2)

(1)

6、如图，已知BD ，CE 为ABC ∆的角平分钱，F 为DE 的中点，点F 到AC ，AB ，BC 的距离分别为

a FG =，

b FH =，

c FM =，若025

221222=+-+--m m ab c c 。

（1）求a ，b ，c ，

m 的值；（2）求证：)(4

1

CD BC DG -=。

A B

C

M

7．已知如图，CD 是ABC Rt ∆斜边上的高，A ∠的平分线交CD 于H ，交BCD ∠的平分线于G ， 求证：BC HF //．

8．如图，BD 、CE 为△ABC 的两条内角平分线，K 为ED 的中点，KF ⊥AB 于F ，KG ⊥AC 于G ，KH ⊥BC 于H ，求证：KF+KG=KH ．

9．已知BC AC =，︒=∠90ACB ，︒=∠15DCB ，CD BD =，AD CE ⊥

于点E ，求证：CE BC 2=．

10．（1）如图1，BP 为△ABC 的角平分线，PM ⊥AB 于M ，PN ⊥BC 于N ，AB=30，BC=23，请补全图形，并求△ABP 与△BPC 的面积的比值；

（2）如图2，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边向外作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，CD 与BE 相交于点O ，判断∠AOD 与∠AOE 的数量关系，并证明；

（3）在四边形ABCD 中，已知BC=DC ，且AB≠AD ，对角线AC 平分∠BAD ，请直接写出∠B 和∠D 的数量关系．

11．（1）已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD的延长线于P，猜想：∠PAC+∠PBC=°（直接写出结论，不需证明）．

（2）已知：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC≠45°，CD平分∠ACB，点E为AB中点，PE⊥AB交CD 的延长线于P，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立请说明理由．

12．如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；

（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：FK∥AB．