11.5(3)几何证明举例

证明中常用的一种思考方法：从需要证明的结论出发，逆推
出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结 论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件。
等腰三角形的判定方法有下列几
种： ①定义，②判定定理 。
等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反。 。
运用等腰三角形的判定定理时，应注 意 在同一个三角形中 。
Ｂ
D
根据以上证明，我们还可以得到什么结论？
结论1：等腰三角形顶角的平分线平分底 边并且垂直于底边。 即得到AD⊥BC和BD=CD
Ａ
已知：△ABC中，AB＝AC 求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：作BC边上的中线 AD ∴ BD = CD (中线定义) ∵在 △BAD与 △CAD中 AB = AC (已知) BD = CD （已证） AD = AD (公共边) ∴ △BAD≌△CAD( SSS ) ∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
这个结论是真命题，我们把它作为证明其他命题的 依据，并且把它叫做等腰三角形的性质定理！
性质定理2：等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的 中线﹑底边上的高互相重合(简称“三线合一”).
A
1
2
A
1
2
A
1
2
图⑴ ∟
D
图⑵
C B
图⑶
B
∥
D
∥
C
B
∥
符号语言 ⑴∵AB=AC, ⑵∵AB=AC, BD=CD, ∠1=∠2, ∴AD⊥BC, ∴AD⊥BC ∠1=∠2. BD=CD.
A B C （ 等式的性质 ） 又 A B C 180 （三角形的内角和定理） C C C 180 （ 等量代换 ） C 60 A B C 60 （ 等式的性质 ）
交流与探索
思考：等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什 么？这个逆命题是真命题吗？ 逆命题是真命题： 如果一个三角形的每个内角都等于600 ，那么这个三 角形是等边三角形。
⑶∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠1=∠2.
∟
D
∟
∥
C
交流与发现
写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题， 如何证明这个逆命题是正确的？ 要求：（1）写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿。
（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。
如果一个三角形的两个角相等, 那么这两个 角所对的边也相等.
B
D
∟
AD=AD (公共边)， C ∴△ABD≌△ACD (AAS) ∴AB=AC (全等三角形的对应边相等)
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角相等，那么这两 个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
符号表示：
A
在△ABC中， ∵ ∠B=∠C （ 已知 ） ∴ AC=AB ( 等角对等边）
☞ 预习检测 A 1.如图，在△ABC中， （1）如果AB=AC，可得 ∠B=∠C , （2）如果∠B=∠C，可得 AB=AC , B 2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,
则它的周长是
10 cm 或 11 cm
C
；
3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 则它的周长是
19 cm
等腰三角形的性质定理1:等腰三角 形的两个底角相等。 A 符号表示：
在△ABC中， ∵ AC=AB （ 已知 ） ∴ ∠B=∠C B ( 等边对等角 ）
C
交流与发现
通过证明我们不仅发现等要三角形的 两底角相等成立，而且还得到如下结 论也是成立的成立的。
等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边 上的高互相重合(简称“三线合一”).
2.如图，在等边 ABC中，D为BC边上一点， 且ADE 60，BD 3，CE 2，求ABC的边长。
A
A
9
E
D
B
（1）
C
B
（2）
D
C
小
结 判 定
名 称
图
形
概 念
性质与边角关系
1.两腰相等.
1.两边相等。
等 腰 三 角 形
A
有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形。
C
2.等边对等角,
你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗？
逆命题减少一个等于600角后,仍然是真命题. 等边三角形判定定理：如果一个三角形的两 个内角都等于600 ，那么这个三角形是等边三 角形。
练 习
1.如图，D是ABC内的一点，且 DB DC, BD平分ABC，CD平分ACB。 求证：AB AC
B
C
例题解析 例1.已知：如图： ∠EAC是△ABC的外角，AD平 分∠EAC，且AD∥BC . 求证：AB =AC .
AD是EAC的角平分线 （ 已知 ） 证明： EAD DAC （角平分线定义） AD // BC （ 已知 ） EAD B （二直线平行，同位角相等） DAC C （二直线平行，内错角相等） B C AB AC
作 业
1.书面作业：
P134
第 1题 , 第 2题 , 2.预习作业： 预习全等三角形及直角三角形的性质
A
怎么写
B
D
C
Ａ
已知：△ABC中，AB＝AC 求证： ∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D ∴ ∠BAD = ∠CAD (角平分线定义) 在△BAD与△CAD中 AB = AC (已知) ∵ ∠BAD = ∠CAD (已证) Ｃ AD = AD (公共边) ∴ △BAD≌△CAD(SAS) ∴ ∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
(2)等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合（等腰三角形的三线合一）。
4. 这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实 3. 上述性质你是怎么得到的？ 轴对称的性质
出发，对它们进行证明？
合作与探究
证明：等腰三角形的两个底角相等 （等边对等角）
Ｂ
D
Ｃ
AD = AD (公共边) ∴ △BAD≌△CAD( HL ) ∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
根据以上证明，我们还可以得到什么结论？
等腰三角形底边上的高平分底边并且 平分顶角。 即得到∠BAD=∠CAD和BD=CD
通过证明我们发现 : 等腰三角形的两个底角相等 是真命题。可以作为证明其他命题的依据。
(简称“等角对等边”).
如果一个三角形的两个角相等，那么这两 个角所对的边也相等。（简称等角对等边）
A
已知：如图,在△ABC中, ∠B=∠C. 求证： AB=AC. 证明：作AD⊥BC,垂足为D, 则∠ADB=∠ADC=90°(辅助线作法)， 在△ABD和△ACD中， ∠B=∠C (已知)， ∠ADB=∠ADC=90°(已证)，
已知：如图,在△ABC中,AB=AC. 求证：∠B=∠C
A
1 2
分析：常见辅助线做法
（1）作顶角的平分线
（2）作底边上的高；
（3）作底边上的中线；
B
D
C
合作与探究
证明：等腰三角形的两个底角相等
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
怎么想
要证∠B＝∠C． 只需证△ABD≌ △ACD 只需有 AB＝AC ∠ BAD＝ ∠CAD AD＝ AD
Ｂ
D
Ｃ
根据以上证明，我们还可以得到什么结论？
等腰三角形底边上的中线平分顶角并且 垂直于底边。
即得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：过点A作AD⊥BC交BC于点D ∴ ∠BDA = ∠CDA = 90° (垂直定义) ∵在Rt △BAD与Rt △CAD中 AB = AC (已知)
（ 等量代换 ）
A E
D
（ 等角对等边 ）
B
C
例2.求证：等边三角形的每个内角都等于 60° . A 已知：如图， ABC中，AB BC CA。
求证：A B C 60
在ABC中 证明：
（ 已知 AB BC B C A （等要三角形的两个底角相等 ） 同理， BC CA, A B ） C
2.等角对等边,
3. 三线合一。
B
4.是轴对称图形.
小
结
在等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
是常用的辅助线，通过添画辅助线，把一个等腰三角形分成一 对全等三角形。 等腰三角形的性质定理是一个三角形中由两边相等证明两角 相等的依据；等腰三角形的判定定理，是一个由两角相等证明 两边相等的依据。 等边三角形的性质定理：等边三角形的每个内角都等于600.
。
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 °，35 ° 为35 ____ ___ 。
学习目标
1.进一步掌握证明的基本步 骤和书写格式。 2.能用“公理”和“已经证 明的定理”为依据，证明等 腰三角形的性质定理和判定 定理。
回顾与思考
☞
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们依据
哪些基本事实，证明了哪些定理？你能说出来吗？ 2.我们已经学习过等腰三角形，我们来回忆一下 下列几个问题： (1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）