11.5(3)几何证明举例

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2.等角对等边,
3. 三线合一。
B
4.是轴对称图形.


在等腰三角形中,顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
是常用的辅助线,通过添画辅助线,把一个等腰三角形分成一 对全等三角形。 等腰三角形的性质定理是一个三角形中由两边相等证明两角 相等的依据;等腰三角形的判定定理,是一个由两角相等证明 两边相等的依据。 等边三角形的性质定理:等边三角形的每个内角都等于600.
等腰三角形的性质定理1:等腰三角 形的两个底角相等。 A 符号表示:
在△ABC中, ∵ AC=AB ( 已知 ) ∴ ∠B=∠C B ( 等边对等角 )
C
交流与发现
通过证明我们不仅发现等要三角形的 两底角相等成立,而且还得到如下结 论也是成立的成立的。
等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的中线﹑底边 上的高互相重合(简称“三线合一”).
( 等量代换 )
A E
D
( 等角对等边 )
B
C
例2.求证:等边三角形的每个内角都等于 60° . A 已知:如图, ABC中,AB BC CA。
求证:A B C 60
在ABC中 证明:
( 已知 AB BC B C A (等要三角形的两个底角相等 ) 同理, BC CA, A B ) C
证明中常用的一种思考方法:从需要证明的结论出发,逆推
出要使结论成立所需要的条件,再把这样的“条件”看作“结 论”,一步一步逆推,直至归结为已知条件。
等腰三角形的判定方法有下列几
种: ①定义,②判定定理 。
等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反。 。
运用等腰三角形的判定定理时,应注 意 在同一个三角形中 。
你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗?
逆命题减少一个等于600角后,仍然是真命题. 等边三角形判定定理:如果一个三角形的两 个内角都等于600 ,那么这个三角形是等边三 角形。
练 习
1.如图,D是ABC内的一点,且 DB DC, BD平分ABC,CD平分ACB。 求证:AB AC
(2)等腰三角形有哪些性质?
等腰三角形的两底角相等(简称等边对等角)。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高 互相重合(等腰三角形的三线合一)。
4. 这些性质都是真命题吗?你能否用从基本事实 3. 上述性质你是怎么得到的? 轴对称的性质
出发,对它们进行证明?
合作与探究
证明:等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角)
A
怎么写
B
D
C

已知:△ABC中,AB=AC 求证: ∠B= ∠C
证明:过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D ∴ ∠BAD = ∠CAD (角平分线定义) 在△BAD与△CAD中 AB = AC (已知) ∵ ∠BAD = ∠CAD (已证) C AD = AD (公共边) ∴ △BAD≌△CAD(SAS) ∴ ∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
已知:如图,在△ABC中,ALeabharlann Baidu=AC. 求证:∠B=∠C
A
1 2
分析:常见辅助线做法
(1)作顶角的平分线
(2)作底边上的高;
(3)作底边上的中线;
B
D
C
合作与探究
证明:等腰三角形的两个底角相等
已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
求证:∠B=∠C.
怎么想
要证∠B=∠C. 只需证△ABD≌ △ACD 只需有 AB=AC ∠ BAD= ∠CAD AD= AD
作 业
1.书面作业:
P134
第 1题 , 第 2题 , 2.预习作业: 预习全等三角形及直角三角形的性质

D

AD = AD (公共边) ∴ △BAD≌△CAD( HL ) ∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
根据以上证明,我们还可以得到什么结论?
等腰三角形底边上的高平分底边并且 平分顶角。 即得到∠BAD=∠CAD和BD=CD
通过证明我们发现 : 等腰三角形的两个底角相等 是真命题。可以作为证明其他命题的依据。

D
根据以上证明,我们还可以得到什么结论?
结论1:等腰三角形顶角的平分线平分底 边并且垂直于底边。 即得到AD⊥BC和BD=CD

已知:△ABC中,AB=AC 求证:∠B= ∠C
证明:作BC边上的中线 AD ∴ BD = CD (中线定义) ∵在 △BAD与 △CAD中 AB = AC (已知) BD = CD (已证) AD = AD (公共边) ∴ △BAD≌△CAD( SSS ) ∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)

4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 °,35 ° 为35 ____ ___ 。
学习目标
1.进一步掌握证明的基本步 骤和书写格式。 2.能用“公理”和“已经证 明的定理”为依据,证明等 腰三角形的性质定理和判定 定理。
回顾与思考

1.我们学习了证明的相关知识,你还记得我们依据
哪些基本事实,证明了哪些定理?你能说出来吗? 2.我们已经学习过等腰三角形,我们来回忆一下 下列几个问题: (1)什么叫做等腰三角形?(等腰三角形的定义)
☞ 预习检测 A 1.如图,在△ABC中, (1)如果AB=AC,可得 ∠B=∠C , (2)如果∠B=∠C,可得 AB=AC , B 2.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,
则它的周长是
10 cm 或 11 cm
C

3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm, 则它的周长是
19 cm
2.如图,在等边 ABC中,D为BC边上一点, 且ADE 60,BD 3,CE 2,求ABC的边长。
A
A
9
E
D
B
(1)
C
B
(2)
D
C

结 判 定
名 称


概 念
性质与边角关系
1.两腰相等.
1.两边相等。
等 腰 三 角 形
A
有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形。
C
2.等边对等角,

D

根据以上证明,我们还可以得到什么结论?
等腰三角形底边上的中线平分顶角并且 垂直于底边。
即得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC

已知:△ABC中,AB=AC 求证:∠B= ∠C
证明:过点A作AD⊥BC交BC于点D ∴ ∠BDA = ∠CDA = 90° (垂直定义) ∵在Rt △BAD与Rt △CAD中 AB = AC (已知)
A B C ( 等式的性质 ) 又 A B C 180 (三角形的内角和定理) C C C 180 ( 等量代换 ) C 60 A B C 60 ( 等式的性质 )
交流与探索
思考:等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什 么?这个逆命题是真命题吗? 逆命题是真命题: 如果一个三角形的每个内角都等于600 ,那么这个三 角形是等边三角形。
(简称“等角对等边”).
如果一个三角形的两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等。(简称等角对等边)
A
已知:如图,在△ABC中, ∠B=∠C. 求证: AB=AC. 证明:作AD⊥BC,垂足为D, 则∠ADB=∠ADC=90°(辅助线作法), 在△ABD和△ACD中, ∠B=∠C (已知), ∠ADB=∠ADC=90°(已证),
这个结论是真命题,我们把它作为证明其他命题的 依据,并且把它叫做等腰三角形的性质定理!
性质定理2:等腰三角形的顶角平分线﹑底边上的 中线﹑底边上的高互相重合(简称“三线合一”).
A
1
2
A
1
2
A
1
2
图⑴ ∟
D
图⑵
C B
图⑶
B

D

C
B

符号语言 ⑴∵AB=AC, ⑵∵AB=AC, BD=CD, ∠1=∠2, ∴AD⊥BC, ∴AD⊥BC ∠1=∠2. BD=CD.
B
D

AD=AD (公共边), C ∴△ABD≌△ACD (AAS) ∴AB=AC (全等三角形的对应边相等)
等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形的两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等。(简称等角对等边)
符号表示:
A
在△ABC中, ∵ ∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC=AB ( 等角对等边)
⑶∵AB=AC, AD⊥BC ∴BD=CD, ∠1=∠2.

D


C
交流与发现
写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题, 如何证明这个逆命题是正确的? 要求:(1)写出它的逆命题:______。
(2)画出图形,写出已知、求证,并进行证明。
如果一个三角形的两个角相等, 那么这两个 角所对的边也相等.
B
C
例题解析 例1.已知:如图: ∠EAC是△ABC的外角,AD平 分∠EAC,且AD∥BC . 求证:AB =AC .
AD是EAC的角平分线 ( 已知 ) 证明: EAD DAC (角平分线定义) AD // BC ( 已知 ) EAD B (二直线平行,同位角相等) DAC C (二直线平行,内错角相等) B C AB AC
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