5.6几何证明举例(1)
几何证明举例第6节第5课时
5.6.5几何证明举例---HL定理及已知一直角边和斜边作直角三角形的尺规作图学习目标1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力；2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理及解决实际问题。
教学重点应用直角三角形全等的“HL”判定定理解决问题。
教学难点证明“HL”定理的思路的探究和分析。
教学过程（一）初步探究：HL的证明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？写出你的证明过程？（二）HL应用：用三角尺可以作角平线如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线，你能说出它的理由吗？（三）再次探究：三角形全等条件的探索如图，已知∠ACB=BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。
（四）尺规作图：已知线段l，m（l＜ｍ），求作：Ｒｔ△ＡＢＣ，使直角边ＡＣ等于ｌ，斜边ＡＢ等于ｍ。
（五）课堂练习1、判断下列命题的真假，并说明理由。
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。
2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.（六）当堂检测1、已知：如图（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）.（1）（2）（3）2、已知：如图（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________.3、已知：如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（_______）反思。
青岛版八年级数学上册重难点
青岛版八年级数学上册重难点青岛版数学八年级上册重难点汇总第一章全等三角形1.1全等三角形教学重点：全等三角形的性质。
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。
1.2如何确定三角形的同余教学重点：掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法。
教学难点：探究满足“两边一角”对应相等的两个三角形是否全等，如何画出相应的图形。
1.3直尺和量规图纸教学重点：轴对称与轴对称图形的概念及识别。
教学难点：轴对称与轴对称图形的区别和联系。
第二章图形的轴对称性2.2轴对称的基本性质教学重点：了解轴对称的基本性质，绘制轴对称图形，以及关于坐标轴对称点的坐标。
教学难点：在直接坐标系中，会求已知点关于坐标轴的对称点坐标。
2.3轴对称图形教学重点：理解连接对应点的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。
教学难点：能够使用轴对称特性制作对称点、对称图形、对称轴等。
2.4线段的垂直平分线教学重点：掌握直线段垂直平分线的性质。
能够利用直线段垂直平分线的性质来解决简单的实际问题。
教学难点：能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线。
能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的实际问题。
2.5角平分线的性质教学重点：重点是角平分线的性质。
教学难点：角平分线性质的由来与应用。
2.6等腰三角形教学重点：掌握等腰三角形的性质，等边三角形的性质。
教学难点：等腰三角形性质的探索。
第三章分数3.1分式的基本性质教学重点：分数的定义。
教学难点：分式有意义、值为零的条件的应用。
3.2减少分数教学重点：找到分子分母中的公因式，并利用分式的基本性质约分。
教学难点：分子、分母是多项式的分式的约分。
3.3分数的乘法和除法教学重点：探索分式的乘除法的法则。
教学难点：多项式分子或分母分数的乘法和除法及应用问题。
3.4分式的通分教学重点：确定最简单的公分母。
教学难点：分母是多项式的分式的通分。
3.5分数的加减法教学重点：同分母分数的加减法的法则，进行异分母分式的加减运算。
5.6几何证明举例(1)
，
• 则能使△ABD≌△ACD（任加一条件）
• （4）如图AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=60°，
• ∠CDE=80°,那么∠ABC
。
D
（第3题）
小结
判定三角形全等的方法有:
“ASA”, “ AAS”,“SAS” “SSS”.
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
再见
2021/6/20
证明：∵∠B=∠B′, ∠C=∠C′
（已知）
∴∠A=∠A′ （三角形内角和定理）
在△ABC与△ABC中， ∠A=∠A′ （已证） AB=A′B′ （已知） ∠B=∠B′ （已知）
∴△ABC≌△ABC （ASA）
已知：如图，AB=CB, AD=CD. 求知：∠A=∠C
2021/6/20
5
全全等全等三等三角三角形角形对形对应对应边应边上角上的的的高平中相分线等线相相等等
B(E)
F A
C
O Dபைடு நூலகம்
达标测评：
• 1、选择题：
• （1）（2011江西南昌）如图
• 下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
.
• A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
• C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
• （2）下列各组条件中，可保证ΔABC与ΔA′B′C′全等的是（ ）
.
情境导入
• 如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块， • 现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃， • 那么最省事的办法是（ ） • (A)带①和②去 (B)带①去 • (C)带②去 (D)带③去 •
你还记得有关全等三角形的 几个公理吗?
5.6三角形中位线-推荐下载
一问多探，开拓思维
实验操作，形成概念
应用，巩固新知 模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、
讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。 利用制作的多媒体课件，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的 目的。
教学目标设计
1．知识目标： （1）掌握三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。 （2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。 （3）理解性质定理的证明方法，了解线段倍半问题的证明思路和基本方法。 2．能力目标： （1）引导学生通过观察、实验、猜想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析 问题和探究解决问题的能力。 （2）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问 题的能力。 3．情感目标：利用制作的 Powerpoint 课件，感受、欣赏变化万千的几何世界之中的数学美； 创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。
教学策略设计
课堂组织策略： 根据本节课定理的结论容易识记，而定理的应用思维要求较高的特点，采用拓展课本例题
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
《几何证明举例》教案 (公开课获奖)
§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。
3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。
4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。
教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。
教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。
证明：等腰三角形的两个底角相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。
青岛版初中数学课本(新目录)
青岛版初中数学课本(新目录)青岛版初中数学教材总目录七年级上册第1章基本的几何图形1.1我们身边的图形世界1.2几何图形1.3线段、射线和直线1.4线段的比较与作法第2章有理数2.1有理数2.2数轴2.3相反数与绝对值第3章有理数的运算3.1有理数的加法与减法3.2有理数的乘法与除法3.3有理数的乘方3.4有理数的混合运算3.5利用计算器进行有理数的运算第4章数据的收集、整理与描述4.1普查和抽样调查4.2简单随机抽样4.3数据的整理4.4扇形统计图第5章代数式与函数的初步认识5.1用字母表示数5.2代数式5.3代数式的值5.4生活中的常量与变量5.5函数的初步认识第6章整式的加减6.1单项式与多项式6.2同类项6.3去括号6.4整式的加减第7章一元一次方程7.1等式的基本性质7.2一元一次方程7.3一元一次方程的解法7.4一元一次方程的应用七年级下册第8章角8.1角的表示8.2角的比较8.3角的度量8.4对顶角8.5垂直第9章平行线9.1同位角、内错角、同旁内角9.2平行线和它的画法9.3平行线的性质9.4平行线的断定第10章一次方程组10.1熟悉二元一次方程组10.2二元一次方程组的解法10.3三元一次方程组10.4列方程组解应用题第11章整式的乘法11.1同底数幂的乘法11.2积的乘方与幂的乘方11.3单项式的乘法11.4多项式乘多项式11.5同底数幂的除法11.6零指数幂与负整数指数幂第12章乘法公式与因式分解12.1平方差公式12.2完整平方公式12.3用提公因式法进行因式分解12.4用公式法举行因式分化第13章平面图形的认识13.1三角形13.2多边形13.3圆第14章位置与坐标14.1用有序数对透露表现位置14.2平面直角坐标系14.3用偏向和距离描绘两个物体的相对位置八年级上册第1章全等三角形1.1全等三角形1.2如何断定三角形全等1.3尺规作图第2章图形的轴对称2.1图形的的轴对称2.2轴对称的根本性子2.3轴对称图形2.4线段的垂直平分线2.5角平分线的性质2.6等腰三角形第3章分式3.1分式的基本性质3.2分式的约分3.3分式的乘法与除法3.4分式的通分3.5分式的加法与减法3.6比和比例3.7可化为一元一次方程的分式方程第4章数据阐发4.1加权平均数4.2中位数4.3众数4.4数据的离散程度4.5方差4.6用计算器计算平均数和方差第5章几何证明初步5.1界说与命题5.2为甚么要证明5.3甚么是几何证明5.4平行线的性子定理和断定定理5.5三角形的内角和定理5.6几何证明举例八年级下册第6章平行四边形1.1平行四边形及其性质1.2平行四边形的断定1.3特殊的平行四边形1.4中位线定理第7章实数5.1算术平方根5.2勾股定理5.32是有理数吗5.4由边长断定直角三角形5.5平方根5.6立方根5.7用计算器求平方根和立方根5.8实数第8章一元一次不等式8.1不等式的基本性质8.2一元一次不等式8.3列一元一次不等式解应用题8.4一元一次不等式组第9章二次根式7.1二次根式及其性质7.2二次根式的加减法7.3二次根式的乘除法第十章一次函数10.1函数的图像10.2一次函数和它的图像10.3一次函数的性子10.4一次函数与二元一次方程10.5一次函数与一元一次不等式10.6一次函数的应用第十一章图形的平移与旋转11.1图形的平移11.2图形的旋转11.3图形的中央对称九年级上册（待更改）第1章特殊四边形1.1平行四边形及其性子1.2平行四边形的判定1.3非凡的平行四边形1.4图形的中心对称1.5梯形1.6中位线定理第2章图形变换2.1图形的平移2.2图形的旋转2.3图形的位似第3章一元二次方程3.1一元二次方程3.2用配办法解一元二次方程3.3用公式法解一元二次方程3.4用因式分解法解一元二次方程3.5一元二次方程的应用第4章对圆的进一步认识4.1圆的对称性4.2肯定圆的前提4.3圆周角4.4直线与圆的位置关系4.5三角形的内切圆4.6圆与圆的位置干系4.7弧长及扇形面积的计算九年级下册（待更改）第5章对函数的再探索5.1函数与它的表示法5.2一次函数与一元一次不等式5.3反比例函数5.4二次函数5.5二次函数y ax2的图象和性质5.6二次函数y ax2bx c的图象和性质5.7确定二次函数的解析式5.8二次函数的使用5.9用图象法解一元二次方程第6章频率与概率6.1频数与频率6.2频数分布直方图6.3用频率估计概率6.4用树状图计较几率课题进修质数的漫衍第7章空间图形的初步认识7.1几种常见的几何体7.2棱柱的侧面睁开图7.3圆柱、圆锥的侧面展开图第8章投影与识图8.1从不同的方向看物体8.2盲区8.3影子和投影8.4正投影。
青岛版八年级数学上册同步练习附答案5.6 几何证明举例
5.6 几何证明举例1. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB的延长线于点E，连接CE. 求证：∠BCE=∠A +∠ACB .（第1题图）2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D. 求证：∠CAB=∠AED.（第2题图）3. 如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB 边，BC边于点E，F．求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P．（第3题图）4. 如图，在△ABD中，∠BAC= 90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H. 求证：AE =FH.（第4题图）5. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，AB=AC.（1）如果DE∥BC，求证：AD=AE.（2）如果AD=AE，求证：DE∥BC.（第5题图）6. 如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.（第6题图）7. 如图，E，F是线段BC上两点，AB∥CD，AB=DC，CE=BF. 求证：AE=DF.（第7题图）8. 如图，DE∥BC，A是DE上一点，AD=AE，AB=AC. 求证：BE=CD.（第8题图）9. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC=BC，点E在AC上，且CE=CD. 连接BE 并延长交AD于点F. 求证：BF⊥AD.（第9题图）10. 如图，AC与BD相交于点O，且AC=BD，AD=BC. 求证：OA=OB.（第10题图）答案1. 证明：∵BC 的垂直平分线交BC 于点D ， ∴BE =CE ， ∴∠BCE =∠CBE .∵∠CBE =∠A +∠ACB ，∴∠BCE =∠A +∠ACB .2. 证明：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA =EB ， ∴∠EAB =∠B .∵∠C =90°，∴∠CAB +∠B =90°.又∵∠AED +∠EAB =90°，∴∠CAB =∠AED .3.证明：∵P 是AB 边的垂直平分线上的一点， ∴P A = PB ．同理可得，PB = PC ．∴P A =PC ．∴P 是AC 边的垂直平分线上的一点． ∴AB ，BC ，AC 的垂直平分线相交于点P ．4. 证明：∵BF 平分∠ABC ，F A ⊥AB ，FH ⊥BC ， ∴F A =FH ，∠ABF =∠EBD .又∵∠AFB +∠ABF = 90°，∠DEB +∠EBD = 90°， ∴∠AFB =∠DEB ，∴∠AFB =∠AEF .∴AF =AE .∴AE =FH .5. 证明：（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠C .∵DE ∥BC ，∴∠B=∠ADE ，∠C=∠AED .∴∠ADE=∠AED ，∴AD =AE .（2）∵AD =AE ，∴∠ADE=∠AED=21（180°-∠A ）. ∵AB =AC ，∴∠B =∠C=21（180°-∠A ）. ∴∠B=∠ADE ，∴DE ∥BC .6. 证明：连接AD .在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，AD AD DC DB AC AB∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠B =∠C .7. 证明：∵CE =BF ，∴CE+EF =BF+EF ，即CF =BE .∵AB ∥CD ，∴∠B =∠C .在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，CF BE C B DC AB∴△ABE ≌△DCF （SSS ），∴AE =DF .8. 证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .∵BC ∥DE ，∴∠DAB =∠ABC ，∠EAC =∠ACB ， ∴∠DAB =∠EAC ，∴∠DAC =∠EAB .在△DAC 和△EAB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC AB EAC DAC AE AD∴△DAC ≌△EAB （SAS ），∴BE =CD .9. 证明：∵AC ⊥DB ，∴∠BCE =∠ACD = 90°.在△BCE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC BC BCE ACD CD CE∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴∠CBE=∠CAD . ∵在△ACD 中，∠CAD +∠ACD +∠D= 180°， 在△BDF 中，∠CBE +∠BFD +∠D= 180°，∴∠CAD +∠ACD +∠D=∠CBE +∠BFD +∠D= 180°， ∴∠ACD=∠BFD=90°，即BF ⊥AD .10. 证明：连接AB .在△ABD 和△BAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，BA AB BC AD AC BD∴△ABD ≌△BAC （SSS ），∴∠BDA=∠ACB .在△AOD 和△BOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，BC AD OCB ODA BOC AOD∴△AOD ≌△BOC （AAS ），∴OA=OB .。
青岛版数学八年级上册.5直角三角形全等的证明课件
D C
3.已知：如下图，BE=CF，DE⊥AB，交AB的延长线于点E， DF⊥AC于点F，且DB=DC. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC(已知)， ∴ ∠AED=∠CFD=90°(垂直的定义). ∴ △BDE与△CDF是直角三角形. ∵ BE=CF，BD=CD (已知) ， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF ( HL ).
直角是时，它们全等.
注意：
(1)“HL”是判定两个直角三角形全等的特殊方 法，只适用于直角三角形全等的判定，对于一 般三角形不适用，而前面学习的一般三角形全 等的四种判定方法都可以在直角三角形中使用.
(2)在用一般方法证明时，由于两个直角三角形 中已具备一对直角相等这一条件，故只需找到另
外两个条件即可.
第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例
第5课时 直角三角形全等的证明
学习目标 进一步熟悉证明题的题型，根据三角形全等推导“HL”
定理； 熟练应用“斜边、直角边”定理及其它三角形全等的判
定方法进行证明；
增强合作意识，提高逻辑思维能力.
复习导入
要判定两个三角形全等，你有哪些方法？
边角边 角边角 边边边 角角边
课堂练习 1. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D， BC=BD，若AC=8 cm，则AE+DE=____8____cm.
分析：由 DE⊥AB知，∠BDE=90°， 所以∠BDE=∠C，又BC=BD， 所以△ BDE ≌△BCE（HL）. 故DE=CE，AE+DE=AE+CE=AC=8 cm.
简称 “SAS” 简称 “ASA” 简称 “SSS” 简称 “AAS”
探究新知
要判定两个直角三角形全等，你有哪些方法？
青岛版第五章《几何证明初步》单元教学设计
青岛版第五章《几何证明初步》单元教案设计一、教材分析1、本章的主要知识有以下几点：命题的概念、定义的概念、命题的题设和结论、“如果。
，那么。
”形式的命题、真命题与假命题、为什么要证明、证明平行线的判定定理、互逆命题、证明的基本步骤和书写格式、证明三角形内角和定理、证明的方法及步骤、三角形全等的条件、几何证明的条件及应用、反证法的概念及证明过程。
2、地位与作用本章是在学习了角、平行线、平面图形的认识，轴对称和轴对称图形以及全等形与相似形等内容的基础上安排的。
在这之前，学生已经积累了一定的观察、实验、归纳、类比、猜测、和反思等数学活动经验，探索出了一些基本的平面图形的性质和判定方法，具有了一定的作图、表达的技能和合情推理的能力。
二、学情分析在几何证明初步这一章中，让学生通过观察、操作与类比，探索并掌握几何证明的方法与步骤。
理解定义、命题、真命题、假命题、定理的含义，特别是全等三角形的特征与性质以及识别方法。
让学生在以前说理的基础上，进一步学习一些主要的推理论证的方法，加强数学的理性训练。
引导学生认识证明的必要性，学会由定理、公理出发，证明有关的命题，解决一些简单的逻辑推理问题，使学生养成言必有据的正确思维习惯。
三、教案目标1、了解定义、命题、公理、定理、推论的意义，会区分命题的条件和结论，了解原命题与逆命题的概念。
2、知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，学会综合法证明的格式。
3、了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
体会反证法的含义。
4、掌握八条公理。
5、证明平行线的判定定理。
了解平行线性质定理的证明。
6、证明三角形的内角和定理，掌握它的推论。
7、证明两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。
8、证明角平分线的性质定理及其逆定理。
9、证明角平分线的性质定理及其逆定理。
10、证明等腰三角形的性质定理及判定定理。
证明等边三角形的性质定理及判定定理。
中考几何证明与计算(1)
专题----<<几何>>证明与计算（1）1,在正方形ABCD中，AB=4 ,AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；F，当∠BED=120°时，求△AEF的面积2, 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长．3,已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．4, 如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
125. 在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30º,∠DAF=15 º.（1）求证： EF=BE+DF ； （2）若AB=3,求△AEF 的面积。
6,如图，已知在正方形ABCD 中，AB=2，P 是边BC 上的任意一点，E 是边BC 延长线上一点，E 是边BC 延长线上一点，连接AP ，过点P 作PF 垂直于AP ，与角DCE 的平分线CF 相交于点F ，连接AF ，于边CD 相交于点G ，连接PG 。
（1）求证：AP=FP（2）当BP 取何值时，PG//CFE7,如图，在ABC ∆中，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．如果,90,AB AC BAC =∠=//点D 在线段BC 上运动．且45BCA ∠= 时，①请你判断线段CF BD 、之间的位置．．关系，并说明理由(要求写出证明过程).②若,3,24==CF AC 求正方形ADEF 的边长(要求写出计算过程).8,如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，延长BC 到点F 使CF ＝AE ． （1）若把ADE △绕点D 旋转一定的角度时，能否与CDF △重合？请说明理由． （2）现把DCF △向左平移，使DC 与AB 重合，得ABH △，AH 交ED 于点G ．求证：AH ED ⊥，并求AG 的长FE D C B AF H E B C。
几何证明举例(HL)ppt
情境问题2:
如果工作人员只带了一条尺， 能完成这项任务吗？ 工作人员是这样做的，他测量了每个三角 形没有被遮住的直角边和斜边， 发现它们分 对于两个直角三角形，若满足 别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角 一条直角边和一条斜边对应相等时， 形是全等的”。你相信他的结论吗？ 这两个直角三角形全等吗？ A
3. 如图， AB⊥BC，AD⊥DC，且 AD=AB ， 求证：BC=DC
A
B
D C
4. 如图：AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD. D 求证：OA=OB. C
O A B
如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明 △ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？ 把这些条件都写出来，并在相应的括号内 填写出判定它们全等的理由。 （1） AD=BC （ HL ） （2） BD=AC （ HL ） （3）∠ DAB= ∠ CBA （ AAS ） （4）∠ DBA= ∠ CAB （ AAS ） D A
C B
判断两个直角三角形全等的方法有： (1)：SSS ； (2)：SAS ； (3)：ASA ； (4)：AAS ； (5)：HL ；
D
B
C
E
F
想一想
对于一般的三角形“S.S.A”可不可以 证明三角形全等? A
不可以.
B
D
C
但直角三角形作为特殊的三角形, 会不会有自身独特的判定方法呢 ?
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。 再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°， B´C´=BC，A´B´= AB。
按照下面的步骤画Rt△A´B´C´ ⑴ 作∠MC´N=90°;
A
∟
B
C N
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC; ⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交 射线C´N于点A´; ⑷ 连接A´B´. M B´
5.6几何证明举例(3)_青岛版
o 3.已知:ABC中,C=90,A=30 ,BD
4.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分CAD. 证:AD∥BC.
C ∵线段CD垂直平分AB(已知) ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理) ∴ 1= 3(等边对等角) 又 ∵ AB 平分 CAD( 已知 ) 3 B∴ 1= 2(角平分线的定义) O ∴ 2= 3(等量代换) ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行) D 证明:
A
R
P B Q C
o 1.已知:如图,AB=AC,A=30 ,AB的垂直平分线
MN交AC于D,则 1=
o 45
, 2=
.
o 60
A
30o
M
o 30
D 1
o 75
N C
B
2
如图，△ABC中，∠CAB=120º，AB，AC的垂直平分线分别交BC 于点E、F，则∠EAF等于（ ） A．40º B．50º C．60º D．80º
A
C
F
E
B
如图，在△ABC中，EF是AC的 垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________．
A E B C
F
2.如图，△ABC的边BC的垂直平 分线交AB于点D。若△ABC的周 长为30cm， △ADC的周长为 22cm，求BC的长
D
A
B E
C
自学检测三：
2.如图,在△ABC中, ∠C=2∠A ,DE 垂直平分 AB交AC于D,交AB于E. 求证：AD=BC.
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． A 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
§5.6 几何证明举例(1)
年级八年级 学科 数学 第 五 单元第 7 课时 总计 课时 2013年 10月 31日1§5.6 几何证明举例（1）课程标准：掌握三角形全等的判定定理，并会运用此定理证明相关的命题。
学习目标：1、 证明并掌握定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。
并会运用此定理证明相关的命题。
2、 在证明过程中，体验数学的转化思想，提升学生综合运用知识的能力。
3、 养成善于思考，善于探究，善于推理，言必有据的好习惯。
学习重点：证明“角角边”定理。
学习难点：会灵活运用全等三角形的基本事实、性质和定理证明相关命题。
我的目标以及突破重难点的设想：学前准备：学情分析：学案使用说明以及学法指导：预习案一、忆一忆1、你还记得有关全等三角形的判定方法有哪些吗？全等三角形的性质是什么？ 其中哪些作为基本事实？2、几何证明的步骤是什么？（简写）二、做一做已知：如图，AB 和CD 相交于点O ，OA=OD ，OC=OB求证：△OAC ≌ △ODB课型： 新授 执笔： 马海丽 审核： 滕广福 韩增美2 探究案探究一：全等三角形的判定AAS求证：如果一个三角形的两角及其中一角的对边与另一个三角形的两角及其中的一角的 对边对应相等，那么这两个三角形全等。
点拨：1、判定三角形全等的根据：基本事实： 定理：2、利用全等三角形的对应边和对应角的定义，可以进一步推证有关的线段或角相等。
小试牛刀：已知：如图，AB=AC ，DB=DC.求证：∠B=∠C.探究二：全等三角形的三线（小组合作交流）已知：如图，△ABC ≌△A'B'C'，AD 和A'D'分别是对应角的平分线。
求证：AD=A'D'。
思考：全等三角形对应边上的中线以及高有什么性质？证明你的结论。
课堂小结：训练案课本177页 练习1,2题我的反思：A CBD。
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小
结
判定三角形全等的方法有: “ASA”, “ AAS”,“SAS” “SSS”. 利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
再 见
B(E)
F O A
C
D
达标测评：
• • • • • • • • • • • • • • 1、选择题： （1）（2011江西南昌）如图 下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD 的是（ ） . A.BD=DC，AB=AC B.∠ADB=∠ADC，BD=DC C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC （2）下列各组条件中，可保证ΔABC与ΔA′B′C′全等的是（ ） A.∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′ B.AB=A′B′,AC=A′C′,∠B=∠B′ A C.AB=A′B′,BC=B′C′,∠C=∠C′ D.AB=A′B′,AC=A′C′,BC=B′C′ 2、填空题： （第3题） 1 2 C B （3）（2010年江苏省宿迁市，）如图， 已知∠1＝∠2， ， 则能使△ABD≌△ACD（任加一条件） （4）如图AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=60°， ∠CDE=80°,那么∠ABC 。 D
分别相等
总结：全等三角形有哪些性质
全等三角形的 对应边、对应角相等
全等可 以证明线 段、角相பைடு நூலகம்等
对应高 对应中线 对应角平分线
周长 面积
才华初露
• 两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF， • 按如图所示的方式叠放，点O为边AC和DF的 交点，不重叠的两部分 △AOF与△DOC是否全等？为什么？
证明： ∵∠B=∠B′, ∠C=∠C′ 在△ABC与△ABC中， ∠A=∠A′ （已证） AB=A′B′ （已知） ∠B=∠B′ （已知）
（已知）
∴∠A=∠A′ （三角形内角和定理）
∴△ABC≌△ABC （ASA）
已知：如图，AB=CB, AD=CD. 求知：∠A=∠C
全等三角形对应边上的高相等 全等三角形对应边上的中线相等 全等三角形对应角的平分线相等
已知：如图， △ABC ≌ △A′B′C ′， AD、A′D′分别是
∠A 、、 ∠A ′的平分线 边 BC B ′C′上的高 上的中线
求证： AD=A′D′
A A B B B
C D D C D A′ C A′ A′ D′ D′ D′ C′ C′ C′
B′ B′ B′
全等三角形对应角的平分线、 对应边上的中线、 对应边上的高、 周长 面积
.
情境导入
• • • • • • 如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃， 那么最省事的办法是（ ） (A)带①和②去 (B)带①去 (C)带②去 (D)带③去
你还记得有关全等三角形的 几个公理吗?
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“ASA”, “ SAS”, “SSS”.
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.