几何证明举例4
八年级数学理科班讲义教学-几何证明
B CD AOB CE DA A CB ’ CA B C B ’ C 8、八年级数学理科班：直角三角形全等判定、性质姓名一、【直角三角形全等的特殊判定方法】知识要点：一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等。
简记为HL 。
1、【定理证明】已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，AC=A’C’，AB=A’B’ 求证： Rt △ABC ≌Rt △A’B’C’2、【直角三角形全等判定方法梳理】如图，具有下列条件的Rt △ABC 和Rt △A’B’C’（其中∠C=∠C’=90°）是否全等？如果全等在（ ）里打“√”，并在“——”上填写判定三角形全等的理由，如果不全等，在（ ）里打“×”. （1）AC=A’C’，∠A=∠A’ （ ） _______ （2）AC=A’C’，BC=B’C’ （ ） _______ （3）AB=A’B’，BC=B’C’ （ ） _______ （4）∠A=∠A’，∠B=∠B’ （ ） ________3、【应用练习】 选择题1．下列说法正确的有（ ）① 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等② 两条边分别相等的两个直角三角形全等 ③ 两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ④ 斜边相等的两个等腰直角三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知，如图，BD ⊥AC 于D,CE ⊥AB 于E,BD 与CE 相交于O ， 且BD=CE ，则图中全等的三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对3．如果两个三角形的两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边 所对的角（ ）A ．相等B ．不相等C ．互余或相等D ．相等或互补4．如图，已知：∠A=∠D=90°,AB=CD,求证：AC=DBBC F E DABC FE D AB C F E D A5．如图，已知：AB=CD,AE ⊥BC,DF ⊥BC,BF=CE.求证：AB ∥CD6．如图，已知：AB=AE, ∠B=∠E=90°,AF 垂直平分CD,求证：BC=DE7．如图，已知：AD 平分∠BAC,DB ⊥AB,DF ⊥AC 于点F ，ED=CD,求证:AC=AE+2BE.8．已知：AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD=BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ， 求证：CE=DF二、直角三角形的性质 1、【定理】①直角三角形的两个锐角互余（显然） ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 2、【定理证明】已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB 的中线.求证：AB CD 21例1．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB与E，连接DE，取BC的中点M，DE的中点N，问：MN与DE有什么样的位置关系，并说明理由。
(完整版)初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75°∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G ,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。
2017年秋八年级数学上册 19.2 证明举例(4)教案 沪教版五四制
重点
运用定义、定理、公理，证明命题，掌握数学语言的转化.
难点
正确分析问题，把握解题的关键，会构造有效的图形解决问题.
教学
准备
全等三角形的性质和判定，等腰三角形、直角三角形的性质，等腰三角形的判定，其他几何性质等.
学生活动形式
讨论，交流，总结，练习
教学过程
设计意图
课题引入：
课前练习
1、已知：如图，AB=AC，D、E分别是AB、AC上的点，且AD=AE。
知识呈现：
新课探索一
例题1已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，且∠1=∠2。
求证：AD⊥BC。
新课探索二
探索如图△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，E是AC上一点，延长BC到D，使CD=CE，联结BE，AD。则BE与AD在数量上有什么关系？在位置上又有什么特殊关系？
课内练习
1、已知：如图，OA=OB，AC=BD，且OA⊥AC，OB⊥BD，点M在CD上，∠AOM=∠BOM。
证明举例
课题
19.2（4）证明举例
设计
依据
（注：只在开始新章节教学课必填）
教材章节分析：
学生学情分析：
Hale Waihona Puke 课型新授课教学
目
标
能利用定义、定理、公理等证明命题，掌握数学语言的转化.
经历命题证明的分析过程，感受解决几何证明问题的一般方法，体会数学语言的转化功能.
数学的几何推理是非常严谨的，每一步必须有理有据，因果关系严密
求证：OM⊥CD。
课堂小结：
利用等腰三角形的判定、性质及三线合一，使证题过程简单化。（注重证明线与线垂直）。
课外
作业
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
几何证明(4个概念2个性质3个判定2个定理2个应用2种思想方法1个轨迹)八年级数学上册沪教版
2 个性质3个判定
考点05 线段的垂直平分线
7.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
(D )
8.已知： 如图，QA＝QB.
求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上．
(2)区别：定义、公理、定理都是真命题，都可以作为进一步判断其
他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据；而命题不一定是真
命题，因而不能作为进一步判断其他命题真假的依据．
考点04 互逆定理
6. [2022·江苏无锡宜兴市二模]下列命题的逆命题成立的是
①同旁内角互补，两直线平行
①④ .
②等边三角形是锐角三角形
证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为点C，
故∠QCA=∠QCB=90°.
在Rt△QCA 和Rt△QCB中，
∵QA=QB，QC=QC，
∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）.
∴AC=BC.
∴点Q在线段AB的垂直平分线上．
你能根据分析
中后一种添加辅
助线的方法，写
出它的证明过程
吗？
考点06 角 平 分 线
AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.
15.如图，点B，E，F，C在同一条直线上，AE⊥BC，DF⊥BC，
AB=DC，BE=CF.试判断AB与CD的位置关系，并证明.
A
解：AB//CD，理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°
B
F
∵在Rt△ABE和Rt△DCF中， AB=DC，
解析几何中证明四点共圆的四种方法
解析几何中证明四点共圆的四种方法作者：徐加生来源：《新高考·高三语数外》2010年第04期圆具有丰富的几何性质,它与三种圆锥曲线之间有着千丝万缕的内在联系.圆的性质的应用是近几年高考命题中体现“在知识交汇点设计问题”这一思路的良好素材,应引起我们足够的重视.本文介绍证明四点共圆问题的四种方法,供同学们参考.一、直接求出圆的方程例1设0=1和双曲线x2cosθ-y2sinθ=1有四个不同的交点.(1) 求θ的取值范围;(2) 证明这四个交点共圆,并求该圆半径的取值范围.解析(1) 将方程x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1联立,解得x2=sinθ+cosθ,y2=cosθ-sinθ.由两曲线有四个交点,知x2>0,y2>0. 又0(2) 由(1)得x2+y2=2cos θ0二、利用圆系方程来判断例2由抛物线y2=2px(p>0)外一点P引抛物线的两条割线PAB,PCD,其倾斜角分别为α,β,且α+β=π,问A,B,C,D四点能否共圆?解析设点P 坐标为(a,b),又直线PAB的斜率为tan α,直线PCD的斜率为tan β(显然α,β均不等于0与),故而直线PAB的方程为y-b-tanα(x-a)=0,直线PCD的方程为y-b-tanβ(x-a)=0.又α+β=π,于是将两方程相乘(合并),可得直线PAB, PCD合并起来的轨迹方程为(y-b)2-tan2α(x-a)2=0.又抛物线的方程为y2-2px=0,故A,B,C,D四点坐标都满足方程(y-b)2-tan2α(x-a)2+λ(y2-2px)=0,即tan2αx2-(λ+1)y2-2(atan2α-pλ)x+2by+a2tan2α-b2=0.令λ+1=-tan2α且4(atan2α-pλ)2+4b2-4(a2tan2α-b2)>0,则上述方程表示圆,故而当点P 坐标适当时,A,B,C,D四点可以共圆.三、证明同弦所对的圆周角相等或互补例3设A,B是双曲线x2-=1上的两点,N(1,2)是线段AB的中点.如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C,D两点,那么A,B,C,D四点是否共圆?为什么?解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则-=1,-=1,x1+x2=2,y1+y2=4.将前两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2);将后两式代入,得=1,即直线AB的斜率为1,故易得直线AB的方程为x-y+1=0.因为CD是线段AB的垂直平分线,故易得直线CD的方程为x+y-3=0.将直线AB的方程x-y+1=0与双曲线方程x2-=1联立,可解得交点A(-1,0)和B(3,4)(不妨设);将直线CD的方程x+y-3=0与双曲线方程x2-=1联立,可解得交点C(-3-2,6+2)和D(-3+2,6-2)(不妨设).则=(-2-2,6+2),=(-2+2,6-2),=(-6-2,2+2),=(-6+2,2-2).容易计算得cos∠CAD==0,cos∠CBD==0,故∠CAD=∠CBD=90°.于是无论点A,B在直线CD的同侧还是异侧(实际上,这里显然A,B在CD的异侧),都有A,B,C,D四点共圆.例4设A,B是椭圆3x2+y2=λ上的两点,N(1,3)是线段AB的中点,线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C,D两点.(1) 确定λ的取值范围,并求直线AB的方程;(2) 试判断是否存在这样的λ,使得A,B,C,D四点在同一个圆上?并说明理由.解析(1) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则3+=λ,3+=λ,x1+x2=2,y1+y2=6.将前两式相减,得3(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0;将后两式代入,得=-1,即直线AB的斜率为-1,故易得直线AB的方程为x+y-4=0.将直线AB的方程代入椭圆的方程,整理得4x2-8x+16-λ=0 ①,故Δ=64+16(λ-16)>0,得λ>12,即λ的取值范围为[12,+∞).(2) 因为 CD垂直平分线段AB,所以直线CD的方程为y-3=x-1.将其代入椭圆的方程,整理得4x2+4x+4-λ=0 ②.解方程①、②,可得A1+,3-,B1-,3+,C-+,+,D--,-,则AC2 =2+2,AD2 =2+2,所以AC2+AD2=2(λ-3).又CD2=(λ-3)+(λ-3)=2(λ-3),故AC2+AD2=CD2,所以AC⊥AD.同理,BC⊥BD.于是无论A,B在CD的同侧还是异侧(实际上,这里显然A,B在CD的异侧),都有A,B,C,D四点共圆.所以只要λ>12,总有A,B,C,D四点共圆.点评在解例3和例4时,都是先求出A,B,C,D四个点的坐标,然后以CD为弦,求出角CAD和CBD,并发现它们既相等又互补,于是得出A,B,C,D四点共圆.只是在求角时,例3利用向量数量积的定义,例4利用余弦定理(勾股定理是余弦定理的特例). 注意,如果两个角相等而不互补,则两点须在弦的同侧;如果两个角互补而不相等,则两点须在弦的异侧.四、找圆心证半径相等例5设p>0是一常数,若直线x-2y-2p=0与抛物线y2=2px交于A,B两点,又O为抛物线的顶点,C(0,4p)为定点,判断A,B,O,C四点是否可以共圆?解析若A,B,O,C四点共圆,则此圆的圆心应该是弦AB的垂直平分线与弦OC的垂直平分线的交点.设A(x,y),B(x,y),则它们的坐标同时满足方程x-2y-2p=0和y2=2px,将二式联立,消去x,得y2-4py-4p2=0.而弦AB的中点H的坐标为,,即H(6p,2p),则弦AB的垂直平分线方程为2x+y-14p=0.又弦OC的垂直平分线方程是y=2p,故圆心即为点H.又可得AB====4p,而易得OH=2p,CH=2p,即有OH=CH=AH=BH.所以A,B,O,C四点可以共圆.1. 已知椭圆+=1的两个焦点分别为F,F,问椭圆上是否存在点P,使△PFF的面积为1?若存在,这样的点P有几个?这些点P是否可能在同一个圆上?1. 由椭圆+=1,得FF=2c=2 .又由△PFF的面积S=|FF||y|=1,得|y|=1,即△PFF边FF上的高为1.而椭圆短半轴长为,故由椭圆的对称性,知满足条件的点有四个,P,P,P,P .且这四点到原点距离相等,故这四点共圆.。
“四点共圆”在几何证明中的作用
“四点共圆”在几何证明中的作用
几何证明讲究严密的逻辑推理,有时仅一步之遥而将你拒之门外。
要迈出这一步,需要有充分的理由。
下面谈谈笔者的体验。
一、介绍“四点共圆”
在初中几何《圆》一章中,用反证法可证明:在一条线段同一旁有两个点,如果它们对这条线段两端所形成的视角相等,则这两点和线段两端点四点共圆。
二、证明“四点共圆”
如图⑴所示:M、N为线段AB同旁两点且∠M=∠N,则A、B、M、N四点共圆。
证明:设过A、B、N三点的圆为⊙O,假若点M在圆内,则有∠AM″B>∠AMB=∠N;假若点M在圆外则有∠AM′B<∠AMB=∠N。
因此,只有当M点在圆上时∠M=∠N。
所以A、B、M、N四点共圆。
三、应用“四点共圆”
用这个结论对下面这道题的证明起了十分重要的作用。
例题:如图⑵,B、C、D、E在同一直线L上,且BC=DE,∠1=∠2。
求证:AC=AD
分析:要证AC=AD,首先想到需要证△ABC≌△ADE或△ABD≌△AEC,但难度太大(你不妨试试)。
下面我们用“四点共圆”
证明:过A作AFL 且AF=BC(或DE),连结CF,EF。
由平行四边形判定定理可知,四边形ABCF和ADEF都是平形四边形。
∴∠1=∠3,∠2=∠4
又∠1=∠2
∴∠3=∠4
由四点共圆法可知:A、C、E、F 四点共圆,且AF、CE为圆内两条平行弦平行弦所夹弧相等,同圆中相等弧所对弦相等。
∴AC=EF
又∵AD=EF(四边形ADEF是平行四边形)
∴AC=AD。
几何法证明不等式(精选多篇)
几何法证明不等式(精选多篇)^2(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2,又因为a不等与b,所以不取等号可以在直角三角形内解决该问题=^2-(a^2+b^2)/2=/4=-(a-b)^2/4<0能不能用几何方法证明不等式，举例一下。
比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一条边与圆有一个交点交点到x轴的距离就是sinx因为点到直线，垂线段长度最小，所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;能给出其他方法的就给分(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)一个是算术，一个是几何。
人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n看做固定的。
我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出a1=a2=……=an再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。
初二数学几何证明题（5篇可选）
初二数学几何证明题（5篇可选）第一篇：初二数学几何证明题1.在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。
2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M 是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。
3.。
如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。
4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。
5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC 且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。
1.求证四边形ABCD是菱形。
2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。
7.已知正方形ABCD中，角EAF=45度，F点在CD边上，E点在BC边上。
求证：EF=BE+DF第二篇：初二几何证明题1如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DCCF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=ACADCF的形状，并证明你的结论AEB第三篇：初二几何证明题初二几何证明题1.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E。
M为AB中点，联结ME,MD、ED求证：角EMD=2角DAC证明：∵M为AB边的中点，AD⊥BC，BE⊥AC，∴MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半)∴△MED为等腰三角形∵ME=MA∴∠MAE=∠MEA∴∠BME=2∠MAE∵MD=MA∴∠MAD=∠MDA,∴∠BMD=2∠MAD,∵∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC2.如图，已知四边形ABCD中，AD=BC,E、F分别是AB、CD中点，AD、BC的延长线与EF的延长线交于点H、D求证：∠AHE=∠BGE证明：连接AC，作EM‖AD交AC于M，连接MF.如下图：∵E是CD的中点，且EM‖AD，∴EM=1/2AD，M是AC的中点，又因为F是AB的中点∴MF‖BC，且MF=1/2BC.∵AD=BC，∴EM=MF，三角形MEF为等腰三角形，即∠MEF=∠MFE.∵EM‖AH，∴∠MEF=∠AHF ∵FM‖BG，∴∠MFE=∠BGF∴∠AHF=∠BGF.3.写出“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题，并证明它是一个真命题这是经典问题,证明方法有很多种,对于初二而言,下面的反证法应该可以接受如图,已知BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,BD=CE,求证:AB=AC证明:BD平分∠ABC==>BE/AE=BC/AC==>BE/AB=BC/(BC+AC)==>BE=AB*BC/(BC+AC)同理:CD=AC*BC/(BC+AB)假设AB≠AC,不妨设AB>AC.....(*)AB>AC==>BC+ACAC*BC==>AB*AB/(BC+AC)>AC*BC/(BC+AB)==>BE>CDAB>AC==>∠ACB>∠ABC∠BEC=∠A+∠ACB/2,∠BDC=∠A+∠ABC/2==>∠BEC>∠BDC过B作CE平行线,过C作AB平行线,交于F,连DF则BECF为平行四边形==>∠BFC=∠BEC>∠BDC (1)BF=CE=BD==>∠BDF=∠BFDCF=BE>CD==>∠CDF>∠CFD==>∠BDF+∠CDF>∠BFD+∠CFD==>∠BDC>∠BFC (2)(1)(2)矛盾,从而假设(*)不成立所以AB=AC。
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面面角
高考理科数学必考——几何证明与利用空间向量求线面角、面
面角
时间过的飞快，距离高考的时间就只剩76天了，同学和老师也越来越紧张了，有些地方欠缺的同学开始寝食难安，老师也赶快奉献点干货来帮助几何证明欠缺的学生。
立体几何其实难度不大，只要你会空间向量，会建系，一切就自然而然水到渠成了。
在这先分析这些立体几何的解题思路。
在立体几何中，第一问一般会让你证明线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直
1、证明线面平行的方法1、平移的方法，找到直线与平面内一条直线平行
2、利用面面平行、证明线面平行
2、证明线面垂直的方法1、证明直线与平面内相交的两直线垂直
3、证明面面平行的方法1、证明一个平面内两相交的直线与另一个平面内两相交的直线互相平行
2、证明平面内两相交的直线分别平行另一个平面
4、证明面面垂直的方法1、先证明一条直线垂直于一个平面，这条直线还在另一个平面内
利用这些方法第一问就可以轻松解决了。
在立体几何第二中，会求线面角、面面角，在第二步中，利用空间向量解决就可以
利用空间向量解决第二问的步骤1、找三垂，建立空间直角坐标系
2、写出各个点的坐标
3、求出直线向量、面的法向量
4、利用夹角公式算出余弦值
下面通过两个例题说明一下这个空间几何。
最新高中数学竞赛平面几何定理证明大全
Gerrald 加油坚持住Gerrald 加油坚持住Gerrald 加油坚持住莫利定理：将任意三角形的各角三等分，则每两个角的相邻三等分线的交点构成一个正三角形。
設△ABC中的∠B,∠C的两条三等分角线分別交于P, D两个点（图1），按照莫利定理，D是莫莱三角形的一個頂点，当然D就是△BPC的內心，因為BD, CD正好是∠CBP, ∠BCP 的角平分线。
莫利三角形的另两个頂点E, F应该分別落在CP和BP上，因此我们产生了一个念头，如果能夠在CP, BP上找到E, F这两个点，使△DEF是个正三角形，再证AE、AF正好是∠BAC的三等分线就行了为此，先把DP连起來，在CP, BP上分別取两点E, F使∠EDP＝∠FDP＝30°,于是就得到一个三角形△DEF。
为什么它是一个正三角形呢？因为D是△BPC的內心，所以DP是∠BPC的角平分线，即∠DPE＝∠DPF，由作图知∠EDP＝∠FDP ＝30°,在△DPE和△DPF中，DP是公共边，而夹此边的两角又是对应相等的，所以△DPE≌△DPF。
于是DE＝DF,即△DEF是个等腰三角形，它的腰是DE和DF，而它的頂角又是60°，所以它当然是个正三角形。
接下來，我们的目标就是希望能证明△DEF真的是莫利三角形，亦即AE, AF 的确会三等分∠BAC。
如图2所示，在AB, AC上各取一点G,H,使得BG＝BD, CH＝CD，把G、 F、E、H各点依次连起來，根据△BFD≌△BFG，△CED≌△CEH，我们就得到GF＝FD ＝FE＝ED＝EH。
下面，如果能夠证明G,F,E,H，A五点共圆，則定理的证明就完成了，因为∠GAF,∠FAE,∠EAH这三个圆周角所对的弦GF, FE, EH都等長，因而这三个圆周角也就都相等了。
为了证明G,H,E,F，A共圓，必须证明∠FGE＝∠FHE＝∠A/3。
看图2，首先我们注意到△GFE是个等腰三角形，∠GFE是它的顶角，如果这个角能求出來，其底角∠FGE也就能求出来了。
沪教版 八年级数学 暑假同步讲义 第19讲 证明举例(解析版)
几何证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．1、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．证明举例知识结构模块一：演绎证明知识精讲内容分析班假暑级年八2/ 22【例1】 填空：（1）如图，因为1=60∠︒（已知），2=60∠︒(已知)，所以__________//__________（______________________________）． （2）如图，因为//AB CD （已知），所以A D ∠+∠=__________ (______________________________)， 因为//AD BC （已知），所以A ∠+__________=__________ (______________________________)， 所以∠__________=∠__________ (______________________________)．（图1）（图2）【答案】（1）a ，b ，内错角相等，两直线平行；（2）180︒，两直线平行，同旁内角互补；B ∠，两直线平行，同旁内角互补；D ，B ，同角的补角相等．【解析】略【总结】考查有关平行线的性质和判定定理的掌握．【例2】 已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是外角∠CAE 的平分线．求证：AD // BC ． 【答案】略 【解析】证明：AB AC =，B C ∴∠=∠ CAE ∠是的外角， CAE B C ∴∠=∠+∠12B C CAE ∴∠=∠=∠AD 是CAE ∠的角平分线，12DAE CAD CAE ∴∠=∠=∠例题解析ACDB ab 1 2ABCDEDAE B ∴∠=∠ //AD BC ∴【总结】考查平行线的性质和判定，先判定平行再应用平行线的性质．【例3】 已知：如图，AD BC ⊥于D ，EF BC ⊥于F ，交EF BC ⊥AB 于G ，交CA 延长线于12E ∠∠，=．求证：AD 平分BAC ∠，填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD 平分BAC ∠，只要证明__________＝__________，而已知12∠∠＝，所以应联想这两个角分别和12∠∠＝的关系，由已知BC 的两条垂线可推出__________//__________，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论． 证明：∵ AD BC EF BC ⊥⊥，（已知）∴__________//__________（______________________________）， ∴__________＝__________（两直线平行，内错角相等）， __________＝__________（两直线平行，同位角相等）， ∵__________（已知），∴__________即AD 平分BAC ∠（______________________________）． 【答案】BAD ∠，CAD ∠，EF ，AD ；EF ，AD ，垂直于同一直线的两直线平行；BAD ∠，1∠，CAD ∠，2∠；12∠=∠，BAD CAD ∠=∠，角平分线的定义．【解析】略【总结】分析过程考查证明题的逆推法思想，证明过程利用相关平行线的性质和判定，先判定再应用相关性质．1、命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．知识精讲模块二：命题、公理、定理AF CE DB12 G班假暑级年八4/ 222、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．【例4】 判断下列语句是不是命题？ （1） 画AOB 的角平分线； （2） 两条直线相交，有几个交点？ （3） 直角大于锐角； （4） 直角大于钝角； （5） 今天可能要下雨； （6） 几何多有乐趣啊！【答案】（1）（2）（5）（6）不是命题；（3）（4）是命题【解析】命题是对某一件事情做出判断的句子，由此可知只有（3）（4）是可以判断正误的句子，即命题．【总结】考查命题的定义，能判断一个句子是否是命题．【例5】 判断下列命题的真假．（1） 平行于同一条直线的两直线平行； （2） 垂直于同一条直线的两直线平行； （3） 同角的余角相等； （4） 异号的两数相加得负数； （5） 乘积为1的两个数互为倒数．【答案】（1）（2）（3）（5）是真命题；（2）（4）是假命题【解析】判断为正确的命题叫做真命题，判断为错误的命题叫做假命题，正确的是（1）（3）（5），由此可知即为真命题，（2）（4）为假命题，注意（2）需直线在同一平面内方可成立．【总结】考查真假命题的判定，根据常见的公理定理以及定义性质等进行判断，正确的命题例题解析即为真命题．【例6】下列描述不属于定义的是（）．A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B．正三角形是特殊的三角形；C．在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形；D．含有未知数的等式叫做方程．【答案】B【解析】能界定某个对象含义的句子叫做定义，ACD都可判定，只有B不能判定正三角形是何种特殊类型的三角形．【总结】考查定义的含义，并能判定一个句子是否是定义．【例7】把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：（1）直角三角形的两个锐角互余；如果____________________，那么______________________________；（2）角平分线上点到角两边的距离相等；如果____________________，那么______________________________；（3）线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等；如果____________________，那么______________________________．【答案】（1）一个三角形是直角三角形，这个三角形两个锐角互余；（2）一条射线是一个角的角平分线，这条射线上的点到角两边的距离相等；（3）一条直线是一条线段的垂直平分线，这条直线上的点到线段两端点的距离相等．【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【例8】举出下列假命题的反例：（1）两个角是锐角的三角形是锐角三角形；（2）相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；（4）若22>，则a ba b>；（5）若已知直线a、b、c，若a b⊥．⊥，b c⊥，则a c【答案】答案不唯一，以下是几个例子【解析】（1）任意三角形中至少有两个角为锐角，取三角形两内角分别为30︒，40︒，则第三个内角为110︒，该三角形是钝角三角形；（2）对顶角必有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，两直线平行，此时取一对同位角，可知这对同位角相等，不为对顶角；（3）取一角大小为110︒，则这个角补角180********︒-︒=︒<︒； （4）取1a =-，2b =-，此时22a b <； （5）同一平面内，a b ⊥，b c ⊥，则有//a c ．【总结】假命题的反例，需对命题所涉知识点进行分析，找准题目考查的知识内容，结合知识点的理解，即可进行举例．【例9】 下列说法中，正确的是（）．A ．命题一定是正确的；B ．不正确的判断就不是命题；C ．公理都是真命题；D ．真命题都是定理． 【答案】C【解析】根据命题的定义，命题是对某一件事情做出判断的句子，判断正确的是真命题，判断错误的是假命题，由此可知AB 错误，公理是人们从长期实践中总结出来的真命题，可知C 正确，真命题且可用来推导其它命题正确与否的命题是定理，可知D 错误． 【总结】考查命题、公理、定理的定义和相互关系，公理和定理一定是真命题，但真命题不一定是定理或公理．【例10】下列命题是假命题的是（）．A ．有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；B ．有两角及其中一角的对边上的高对应相等的两个三角形全等；C ．有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；D ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等． 【答案】C【解析】三角形中，两角确定，第三个角大小也可确定，即三角形形状固定，加上一条边上的高或角平分线可确定三角形，可知AB 正确；“倍长中线法”可证明D 选项图形唯一确定，对于C 选项，三角形形状有锐角三角形和钝角三角形的差别，可作出不止一种图形，可知C 错误．【总结】考查全等三角形判定的拓展延伸，只要根据三角形的边角关系对应确定即可．【例11】已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点E 在AC 上，CE BC =，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB FC =． 【答案】略【解析】证明：EF AC CD AB ⊥⊥，9090F FCE A FCE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，A F ∴∠=∠90ACB CEF CE BC ∠=∠=︒=， ABC FCE ∴∆≅∆ AB FC ∴=【总结】垂直较多的图形中，根据同角（或等角）的余角相等易得到相等角，进而可证全等．【例12】如图，已知Rt ABC 中，90ACB CD AB ∠=︒⊥，于D AE ，为A ∠的角平分线，交CD 于E ，过E 作BC 的平行线，交AB 于点F ． 求证：AF AC =． 【答案】略【解析】证明：90ACB ∠=︒，CD AB ⊥90ACD BCD ∴∠+∠=︒，90B BCD ∠+∠=︒ ACD B ∴∠=∠ //EF BCDFE B ∴∠=∠ ACD DFE ∴∠=∠例题解析模块三：证明举例ACEBFDCABFDEAE 是A ∠的角平分线，CAE DAE ∴∠=∠ AE AE = CAE FAE ∴∆≅∆ AF AC ∴=【总结】考查等角的余角相等知识点，结合相关平行线的性质证角相等证全等即可．【例13】已知：如图，AB CD AD BC AE CF ===，，．求证：=E F ∠∠．【答案】略【解析】证明：连结AC ，AB CD AD BC AC AC ===，， ABC CDA ∴∆≅∆B D ∴∠=∠AB CD AE CF ==，AB AE CD CF ∴+=+，即BE DF = AD BC = BCE DAF ∴∆≅∆E F ∴∠=∠【总结】考查全等三角形的判定条件，在合适的知识体系条件下进行应用，不能应用平行四边形知识证明．【例14】如图，四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，交AB 于点E ， BGC GBC ∠=∠，BG 平行ED 交AD 延长线于点P ．求证：//AD BC ．【答案】略【解析】证明：DE 平分ADC ∠，2ADC EDC ∴∠=∠ //BG ED EDC BGC ∴∠=∠BGC GBC ∠=∠，2ADC BGC BGC GBC ∴∠=∠=∠+∠ 180BGC GBC C ∠+∠+∠=︒BACEDBF180ADC C ∴∠+∠=︒ //AD BC ∴【总结】考查平行线的性质和判定，经常可以跟三角形的内角和180︒结合起来．【例15】如图，已知ABC 中，D 是边BC 的中点，E F 、分别在边AB AC ，上，且//EF BC ，ED FD =．求证：AEF AFE ∠=∠．【答案】略 【解析】证明：ED FD =，FED EFD ∴∠=∠ //EF BCFED EDB EFD FDC ∴∠=∠∠=∠， AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， EDB FDC ∴∠=∠ ED FD BD DC ==， EDB FDC ∴∆≅∆ B C ∴∠=∠∴AEF AFE ∠=∠【总结】考查平行线的性质，结合全等三角形可以进行相互关联得到相关边角关系．【例16】如图，点C 是AB 上的一点，在AB 的同旁做等边ACD 和等边BCE AE ，与CD 交于点M BD ，与CE 相交于点N ．求证：CM CN =． 【答案】略【解析】证明：ACD ∆和BCE ∆是等边三角形，60AC CD BC CE ACD BCE ∴==∠=∠=︒，，60120DCE ACE DCB ∴∠=︒∠=∠=︒， ACE DCB ∴∆≅∆ CAE CDB ∴∠=∠结合60ACM DCE ∠=∠=︒，AD CD =ACM DCN ∴∆≅∆ CM CN ∴=【总结】考查等边三角形中的旋转平移，会产生全等三角形，先判定再应用相关性质．ACDBFEABCDNEM【例17】如图，已知在ABC 中，AD 平分//BAC BE AD ∠，，交CA 延长线于点E F，是BE 的中点．求证：AF BE ⊥．【答案】略 【解析】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠ //BE ADBAD FBA CAD E ∴∠=∠∠=∠，FBA E ∴∠=∠ AE AB ∴=F 是BE 的中点， AF BE ∴⊥【总结】考查平行线和角平分线一起会产生等腰三角形的基本图形，注意对基本图形的分离和等腰三角形性质的应用．【例18】如图，已知BE CF 、是ABC 的高，且．.求证：AP AQ ⊥． 【答案】略【解析】证明：BE CF 、是ABC 的高，90AFC AEB ∴∠==︒9090FAC ACF FAC ABE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，ACF ABE ∴∠=∠BP AC CQ AB ==， AQC PAB ∴∆≅∆ BAP Q ∴∠=∠ 90QAF Q ∠+∠=︒90QAF BAP ∴∠+∠=︒，即90QAP ∠=︒，得证AP AQ ⊥．【总结】考查同角的余角相等的知识点，即“子母三角形”基本图形．C【例19】 如图所示，问1234∠∠∠∠、、、要满足什么条件可以证明?AB CD【答案】2314∠+∠=∠+∠【解析】过点E 作射线//EM AB ，过点F 作射线//FN CD则有1BEM ∠=∠，4NFC ∠=∠，2134∠-∠=∠-∠ MEF EFN ∴∠=∠ //EM FN ∴ //AB CD ∴【总结】考查平行线的基本性质，在“Z ”字型平行线间角的等量关系．【例20】已知：如图所示，90AB AC A AE CF BD DC ∠=︒==＝，，，．求证：FD ED ⊥． 【答案】略【解析】证明：连结AD ，90AB AC BAC =∠=︒， 45B C ∴∠=∠=︒ BD CD =AD BC ∴⊥，即90ADC ∠=︒1452BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠=︒CD AD ∴= AE CF = AED CFD ∴∆≅∆ ADE CDF ∴∠=∠90ADE ADF ADF CDF ∴∠+∠=∠+∠=︒ 即FD ED ⊥【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合相关条件可分割成全等的两个部分．ACE DBF【例21】如图，已知锐角ABC ，分别以BC BA 、为一直角边，皆以B 为直角顶点，向ABC 内侧作等腰BCD 和BAE ，延长DA EC 、，交于点F ． 求证：DF EF ⊥．【答案】略【解析】证明：90DBC ABE ∠=∠=︒DBC ABC ABE ABC ∴∠-∠=∠-∠，即DBA CBE ∠=∠ AB BE DB BC ==， DBA CBE ∴∆≅∆ DAB CEB ∴∠=∠180CEB BAF DAB BAF ∴∠+∠=∠+∠=︒ 90ABE ∠=︒36090F CEB BAF ABE ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒即DF EF ⊥【总结】考查等腰直角三角形的旋转变形，两个等腰直角三角形叠加会产生全等三角形，先全等判定再应用性质． 【例22】如图，已知D E 、两点分别在AB AC 、上，AD AE BD CE BE CD ==，，、交于点F ． 求证：FB FC =． 【答案】略 【解析】证明：AD AE BD CE ==，，AD DB AE CE ∴+=+，即AB AC = AD AE A A =∠=∠， ABE ACD ∴∆≅∆ B C ∴∠=∠BD CE DFB EFC =∠=∠， DFB EFC ∴∆≅∆ FB FC ∴=【总结】考查全等三角形的判定和性质，结合题意，发现题目中的全等三角形往往不止一对．FACEDFB【例23】 如图所示，在ABC 中，2AB AC =， D 是AB 的中点，E 是AD 的中点．求证：2BC CE =．【答案】略【解析】证明：延长EF 到F ，使EF CF =，连结DF ，AE DE AEC DEF =∠=∠， AEC DEF ∴∆≅∆ A FDE AC DF ∴∠=∠=， 2AB AC AD DB ==， BD AD AC DF ∴=== ADC ACD ∴∠=∠BDC A ACD FDE ADC FDC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠ CD CD =CFD CBD ∴∆≅∆ 2BC FC CE ∴==【总结】“倍长中线法”构造全等三角形可将线段或角转移到全等或一个图形中．【习题1】 命题“互余的两个角一定是锐角”是_________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真【解析】根据互余的定义，两个角和为90︒即为互余，且角都为正值，可判断出两个角大小都在0︒到90︒之间，即为锐角．【总结】定义均为真命题，本题考查互余的定义．【习题2】 下列命题中，是真命题的有（）．A ．两锐角之和是锐角B ．钝角减去锐角得锐角C ．钝角大于它的补角D ．锐角小于它的余角【答案】C【解析】根据补角的定义，可知钝角的补角是锐角，由此可知钝角大于它的补角，C 正确，为真命题，ABD 选取合适的角度均可找到反例，都为假命题．【总结】考查关于角的互余和互补的相关概念，抓住概念，即可得出相关命题真假，若有反例则为假命题．随堂检测FAE DB班假暑级年八14/ 22【习题3】 将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式： （1）同角的余角相等； （2）直角都相等； （3）对顶角相等；（4）在一个三角形中，等角对等边．【答案】（1）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等； （2）如果有一些角是直角，那么它们都相等； （3）如果两个角互为对顶角，那么它们相等；（4）在一个三角形中，如果有两个相等的角，那么这两个角所对的边相等． 【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【习题4】 求证“三角形内角和等于180°”，并说明其中的因果关系． 【答案】略【解析】证明：如图，延长BC 到点D ，过点C 作射线//CE AB ，//CE AB （已知）B ECD ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等） A ACE ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 180ACB ACE ECD ∠+∠+∠=︒（平角定义） 180A B ACB ∴∠+∠+∠=︒（等量代换）【总结】三角形内角和的证明过程需进行记忆，充分利用平行线的相关性质即可进行证明和理解应用．【习题5】 已知：四边形ABCD 中，AD BC ，E 是线段DC 的中点，AE 是BAD ∠的平分线．求证：BE 是ABC ∠的平分线．【答案】略【解析】证明：延长AE 与BC 的延长线交于点F ，//AD BCDAE F ∴∠=∠AEDCBDE CE AED CEF =∠=∠， ADE FCE ∴∆≅∆AE EF ∴=AE 是BAD ∠的角平分线， BAE DAE F ∴∠=∠=∠ AB BF ∴= AE EF =BE ∴是ABC ∠的角平分线．【总结】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可以证明一系列的结论．【习题6】 如图，已知：在ABC 中，AD 平分BAC BD CD ∠=，．求证： AB AC =． 【答案】略【解析】证明：延长AD 到E ，使DE AD =，连结CE ，BD CD ADB CDE =∠=∠， ABD ECD ∴∆≅∆ BAD E AB CE ∴∠=∠=，AD 平分BAC ∠ CAD BAD E ∴∠=∠=∠ AC CE ∴= AB AC ∴=【总结】注意，边边角不能用来证明全等，在这个题目里面根据中点“倍长中线”构造全等三角形即可．【习题7】 如图，已知，AD 是ABC 的角平分线，2C B ∠=∠， 将ABC 沿直线AD 翻折，点C 落在AB 的E 处．试判断EBD 的形状，并加以证明． 【答案】EBD 等腰三角形【解析】证明：AED ∆是ACD ∆翻折形成，即得ACD AED ∆≅∆FACEDBAED C ∴∠=∠2C B ∠=∠，2AED B EDB B ∴∠=∠=∠+∠ B EDB ∴∠=∠ BE DE ∴=即证EBD 是等腰三角形．【总结】翻折问题，翻折前后两个三角形始终保持全等不变．【习题8】 如图，已知CA AB ⊥，E 为AB 上一点，CE 平分ACD ∠，DE 平分CDB ∠，90CED ∠=︒．求证：AB DB ⊥． 【答案】略【解析】证明：90CED ∠=︒，90ECD EDC ∴∠+∠=︒CE 平分ACD ∠，DE 平分CDB ∠， 22180ACD CDB ECD EDC ∴∠+∠=∠+∠=︒ //AC BD ∴ CA AB ⊥AB DB ∴⊥【总结】反推思想证明题可知证上下底边平行即可，根据角平分线即可快速得出结论．【习题9】 已知：如图，ABC ∆中， 90C AC BC AD DB AE CF ∠=︒===，，，．求证：DE DF =． 【答案】略【解析】证明：连结CD ，90AC BC BCA =∠=︒， 45A B ∴∠=∠=︒AD DB = CD AB ∴⊥1452ACD BCD BCA ∴∠=∠=∠=︒CD AD ∴=ACEDBFADBEC=AE CF∴∆≅∆AED CFD∴=DE DF【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合相关条件可分割成全等的两个部分．课后作业【作业1】下列语句中，正确的是（）．A．相等的角是对顶角；B．三角形的两锐角互余；C．判定两个三角形全等，至少需要一对边相等；D．面积相等的两个三角形全等．【答案】C【解析】对顶角必须是有公共顶点且角的两边互为反向延长线的角，A错误；互余是两角相加和为90︒，只有直角三角形两锐角互余，B错误；全等判定定理中，都至少包含一条边，C正确；面积相等，底和高可能都不相等，不一定全等，D错误．【总结】考查三角形中一些基本知识和相关定理的认识．【作业2】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论．（1）对顶角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同角的余角相等．【答案】（1）如果两个角互为对顶角，那么它们相等；（2）一条直线截另两条直线形成一对同位角，如果这都同位角相等，那么被截的两条直线平行；（3）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【作业3】 如图，已知：△ABC 中，∠B = 2∠C ，BC = 2AB ．求证：∠A = 90°．【答案】略【解析】证明：作ABC ∠的角平分线BD 交AC于点D ，作DE BC ⊥交BC 于E ，22ABC DBE C ∠=∠=∠ DBE C ∴∠=∠ BD DC ∴=12BE CE BC ∴==2BC AB =AB BE ∴=ABD EBD BD BD ∠=∠=，ABD EBD ∴∆≅∆ 90A BED ∴∠=∠=︒【总结】考查306090︒︒︒，，角的直角三角形问题，注意本题中不能通过取BC 中点证明．【作业4】 已知：如图，∠1=∠2，AB ＞AC ．求证：BD ＞DC ． 【答案】略【解析】证明：在AB 上截取AF AC =，连结DF ，12AD AD ∠=∠=， ADF ADC ∴∆≅∆ADC ADF DF DC ∴∠=∠=， 1ADC B ∠=∠+∠121BFD ADF B ∠=∠+∠=∠+∠ BFD B ∴∠>∠ BD DF DC ∴>=A CDACB【总结】本题应用“大角对大边”知识点，或通过延长AD 作AB 平行线也可证，但会应用到相似三角形知识点．【作业5】 已知：如图，//AD BC AE BE ，、分别平分DAB ∠和CBA DC ∠，过点E ．求证：AB AD BC =+．【答案】略【解析】证明：延长AE 交BC 延长线于点F ，//AD BCDAE F ∴∠=∠ DAE EAB ∠=∠ EAB F ∴∠=∠ AB BF ∴=BE 是CBA ∠的角平分线， AE EF ∴= AED CEF ∠=∠ADE FCE ∴∆≅∆ AD CF ∴= AB BF BC CF AD BC ∴==+=+【总结】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可以证明一系列的结论．【作业6】 已知：10812AB AC A =∠=︒∠=∠，，．求证：BC AB CD =+．【答案】略【解析】证明：在BC 上截取BE AB =，连结DE ，12BD BD ∠=∠=，ABD EBD ∴∆≅∆108AB BE BED A ∴=∠=∠=︒， 108A AB AC ∠=︒=， 36ABC C ∴∠=∠=︒由108BED ∠=︒，可得108EDC ∠=︒，故72EDC ∠=︒AC DEBFBCCE CD ∴=BC BE CE AB CD ∴=+=+【总结】考查“倍角三角形”中的角平分线分三角形为等腰三角形，由此可得线段之间的等量关系．【作业7】 如图，已知：在四边形ABCD 中，//AB CD BE ，平分ABC AB CD BC ∠+=，．求证：CE 平分BCD ∠．【答案】略【解析】证明：在BC 上截取BF AB =，连结DF ，ABE CBE BE BE ∠=∠=，ABE FBE ∴∆≅∆ A BFE ∴∠=∠ //AB CD180A EDC ∴∠+∠=︒ 180BFE EFC ∠+∠=︒ EDC EFC ∴∠=∠BC AB CD BF CF AB BF =+=+=， CD CF ∴= CFD CDF ∴∠=∠EFD EDF ∴∠=∠ EF ED ∴= EFC EDC ∴∆≅∆ FCE DCE ∴∠=∠即CE 平分BCD ∠．【总结】注意，本题不能用“倍长中线法”解题，因为条件之间的相互关联性和因果关系不能得出相应的答案，只能用“截长补短法”，注意证明全等时不能通过边边角进行证明，而是进行相应转化再得出结果．CA【作业8】 到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图若AD 平分CAB ∠，则AD 上的点E 为△ABC 的准内心．应用：（1）如图AD 为等边三角形ABC 的高，准内心P 在高AD 上，且12PD AB =，则 ∠BPC 的度数为_____________度． （2）如图已知直角ABC 中，斜边53AB BC ==，，准内心P 在边BC 上，求CP 的长．【答案】（1）90；（2）43【解析】（1）AD 是等边三角形ABC 的高，1302BAC BAC ∴∠=∠=︒ 12BD AB PD ∴=- 45BPD PBD ∴∠=∠=︒290BPC BPD ∴∠=∠=︒（2）作PD AB ⊥交AB 于点D ，依题意可知AP 是BAC ∠的角平分线，90AP AP C ADP =∠=∠=，ADP ACP ∴∆≅∆AC AD PC PD ∴==，5390AB BC C ==∠=︒，，2222534AC AB BC ∴=-=-=4AD AC ∴==541BD AB AD ∴=-=-=设CP x =，则3BP x =-，DP x =，在Rt BDP ∆中，根据勾股定理可得222BD DP BP +=，即()22213x x +=-，解得43x =，即43CP =． A B C E A C B P D【总结】考查对新定义题型的理解，本题中即对角平分线性质的运用和理解，最后把长度转化到直角三角形中应用勾股定理即可解题．【作业9】 如图，已知：点D 为等边ABC 内一点，DA DB P =，为等边ABC 外一点，BP AB DBP DBC =∠=∠，． 求证：12P C ∠=∠． 【答案】略【解析】证明：连结CD ，ABC ∆是等边三角形， AB BC AC BP ∴===DBP DBC BD BD ∠=∠=，BDP BDC ∴∆≅∆P BCD ∴∠=∠DA DB CD CD ==，ACD BCD ∴∆≅∆12BCD ACD ACB ∴∠=∠=∠ 即得12P BCD ACB ∠=∠=∠ 【总结】考查等边三角形中的全等三角形，结合题目条件先猜想再验证．C A B PD。
§5.6 几何证明举例(4)
年级八年级学科数学第五单元第10 课时总计课时 2013年 11月 6日
§5.6 几何证明举例（4）
课程标准：了解角平分线及其性质。
学习目标：
1、证明角平分线的性质定理及其逆定理，并会运用它证明有关的命题。
2、掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路。
学习重点难点：
角的平分线的性质定理及其逆定理。
我的目标以及突破重难点的设想：
学前准备：
学情分析：
学案使用说明以及学法指导：
预习案
一、教材助读
1、角平分线的性质定理及其逆定理是什么？如何证明？
探究案
探究一：角的平分线的性质定理
在前面，我们利用实验的方法得出线角的平分线的性质：“角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等”，怎样用推理的方法证明它的真实性？
归纳总结：。
1
课型： 新授 执笔： 滕广福 审核： 韩增美 马海丽 2 探究二：角的平分线的性质定理的逆定理（合作交流）
（1）说出这个命题的逆命题？
（2）这个逆命题是真命题吗？怎样证明它的正确性？
（3）求证：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
已知：
求证：
三、应用新知
例：我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结论？
已知：如图，AM ，BN ，CP 是△ABC 的三条角平分线。
求证：AM ，BN ，CP 交于一点。
课堂小结：
练习案
课本184页 练习1,2题
我的反思：。
人教版八上数学 专题4 几何证明
人教版八上数学专题4 几何证明1.如图，点M在AB上，BC=BD,MC=MD，求证：△ABC≌△ABD．2.如图，AB=AC，直线l过点A，BM⊥l，CN⊥l，垂足分别为M，N，且BM=AN．求证：△AMB≌△CNA．3.如图，AB∥CD，AB=CD，AD，BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E，F．求证：△OBE≌△OCF．4.如图，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE．求证：AC=DF．5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，作∠BCF=45∘，交AB于点F，作∠CFE=∠AFC，交BC于点E，过点E作ED⊥CA于点D，ED交CF于点G，求证：EF=EG．6.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E．求证：CE=CF．7.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，BE，CD交于点F:求证：DC=EB．8.如图，AC=BD，BD⊥AD于点D，AC⊥BC于点C．求证：∠ABC=∠BAD．9.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF⊥BD于点F．求证：∠BEF=∠DEF．10.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE=CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE．若BE⊥AF，求证：BC=AB−AD．11.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AE=CE，求证：AF=2CD．12.如图，已知点B，E，F，C在同一条直线上，AB=CD，AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F，CE=BF，求证：AB∥CD．13.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90∘，AB=AC，AD=AE．(1) 求证：△ABD≌△ACE；(2) 判断BD与CE的数量与位置关系，并证明．14.如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120∘，BE⊥AC于点D，且DE=DB，试判断△CEB的形状，并说明理由．15.将一副三角板按如图所示的方式摆放，AD是等腰直角三角板ABC斜边BC上的高，另一块三角板DMN的直角顶点与点D重合，DM，DN分别交AB，AC于点E，F．请判断△DEF的形状，并证明你的结论．答案1. 【答案】在 △BCM 与 △BDM 中，{BC =BD,MC =MD,MB =MB,∴△BCM ≌△BDM (SSS )．∴∠CBA =∠DBA ．在 △ABC 与 △ABD 中，{BC =BD,∠CBA =∠DBA,AB =AB,∴△ABC ≌△ABD (SAS )．2. 【答案】 ∵BM ⊥l ，CN ⊥l ，∴∠AMB =∠CNA =90∘，在 Rt △AMB 和 Rt △CNA 中，{AB =CA,BM =AN,∴Rt △AMB ≌Rt △CNA (HL )．3. 【答案】 ∵AB ∥CD ，∴∠A =∠D ，∠ABO =∠DCO ．在 △ABO 和 △DCO 中，{∠A =∠D,AB =DC,∠ABO =∠DCO,∴△ABO ≌△DCO (ASA )．∴BO =CO ．∵BE ∥CF ，∴∠OBE =∠OCF ，∠OEB =∠OFC ．在 △OBE 和 △OCF 中，{∠OBE =∠OCF,∠OEB =∠OFC,BO =CO,∴△OBE ≌△OCF (AAS )．4. 【答案】 ∵AB ∥DE ，∴∠B =∠E ．∵BF =CE ，∴BC =EF ．在 △ABC 和 △DEF 中，{∠A=∠D,∠B=∠E, BC=EF,∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF．5. 【答案】因为∠A=90∘，所以AB⊥CA．又ED⊥CA，所以ED∥AB，所以∠DGC=∠AFC．因为∠EGF=∠DGC，∠CFE=∠AFC，所以∠EGF=∠CFE，所以EF=EG．6. 【答案】∵∠ACB=90∘，∴∠CBE+∠CEB=90∘．∵CD为AB边上的高，∴∠BDF=90∘．∴∠DBF+∠DFB=90∘．∵BE是∠ABC的平分线，∴∠DBF=∠CBE，∴∠CEB=∠DFB．又∠CFE=∠DFB，∴∠CEB=∠CFE．∴CE=CF．7. 【答案】∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∠ADE=∠AED．∴AD=AE．∴AB−AD=AC−AE，即BD=CE．在△DBC和△ECB中，{BD=CE,∠DBC=∠ECB, BC=CB,∴△DBC≌△ECB(SAS)，∴DC=EB．8. 【答案】因为AC⊥BC，BD⊥AD，所以∠ACB=∠BDA=90∘．在Rt△ABC和Rt△BAD中，{AB=BA, AC=BD,所以Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，所以∠ABC=∠BAD．9. 【答案】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠ABD=∠EDB．∴EB=ED．又EF⊥BD，∴∠BEF=∠DEF．10. 【答案】∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．又DE=CE，∴△ADE≌△FCE(AAS)．∴AE=FE，AD=CF．∵BE⊥AF，∴AB=BF．∵BC=BF−CF．∴BC=AB−AD．11. 【答案】∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEF=∠CEB=90∘．∴∠AFE+∠EAF=∠CFD+∠ECB=90∘．又∠AFE=∠CFD，∴∠EAF=∠ECB．在△AEF和△CEB中，{∠EAF=∠ECB, AE=CE,∠AEF=∠CEB,∴△AEF≌△CEB(ASA)．∴AF=CB∵AB=AC，AD⊥BC，∴BC=2CD．∴AF=2CD．12. 【答案】∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠DFC=∠AEB=90∘．∵CE=BF，∴CE−EF=BF−EF，即CF=BE．在Rt△ABE和Rt△DCF中，{AB=DC, BE=CF,∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)．∴∠B=∠C．∴AB∥CD．13. 【答案】(1) ∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，即∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，{AB=AC,∠BAD=∠CAE, AD=AE,∴△ABD≌△ACE(SAS)．(2) BD=CE，BD⊥CE，证明：如图，延长CE交BD于点F，交AB于点H．∴∠BHF=∠AHE．由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE．∵∠BAC=90∘，∴∠ACE+∠AHE=90∘．∴∠ABD+∠BHF=90∘．∴∠BFH=90∘．∴BD⊥CE．14. 【答案】△CEB是等边三角形．理由：∵AB=BC，∠ABC=120∘，BE⊥AC，∴∠CBE=∠ABE=60∘，∠BDC=∠EDC=90∘．在△BCD和△ECD中，{CD=CD,∠BDC=∠EDC, DB=DE,∴△BCD≌△ECD(SAS)．∴BC=EC．∴△CEB是等边三角形．15. 【答案】△DEF是等腰直角三角形．证明如下：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴∠DAE=∠DAC=∠C=45∘，∠ADC=90∘．∴AD=CD．∵∠MDN=90∘，∴∠ADF+∠ADE=90∘．∵∠CDF+∠ADF=∠ADC=90∘，∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中，{∠DAE=∠C, AD=CD,∠ADE=∠CDF,∴△ADE≌△CDF(ASA)．∴DE=DF．又∠MDN=90∘，即∠EDF=90∘，∴△DEF是等腰直角三角形．。
几何证明之常见辅助线做法--
几何证明常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等．1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3、遇到角平分线在三种添辅助线的方法．（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形．（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形．4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”．5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．例题精讲第一部分：常见构造全等三角形方法例1、已知：如图，在四边形ABCD中，BC AB>，AD CD=，BD平分ABC∠．求证：180A C∠+∠=︒．例2、已知：如图所示，△ABC中，90C∠=︒，AC BC=，AD DB=，AE CF=．求证：DE DF=．相关练习：D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN，DM、DN分别交BC、CA于点E、F．（1）当MDN∠绕点D转动时，求证：DE DF=；（2）若2AC=，求四边形DECF的面积．FEC AMD第二部分：倍长中线作法 【夯实基础】例：△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD CD =．求证：AB AC =．【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线△ABC 中方式1： 延长AD 到E ，AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE方式2：间接倍长作CF ⊥AD 于F ， 延长MD到N ，作BE ⊥AD 的延长线于E 使DN=MD ，连接BE 连接CD【经典例题】例1、△ABC 中，5AB =，3AC =，求中线AD 的取值范围．例2、已知在△ABC 中，AB AC =，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF EF =．求证：BD CE =．例3、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F ．求证：AF EF =．例4、已知：如图，在△ABC 中，AB AC ≠，D 、E 在BC 上，且DE EC =，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF AC =． 求证：AE 平分BAC ∠．例5、已知CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是△ABD 的中线．求证：C BAE ∠=∠．第 1 题图ABFDECEDCBA【融会贯通】1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，BAE EAF ∠=∠，AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论．2、如图，AD 为△ABC 的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F ． 求证：BE CF EF +>．3、已知：如图，△ABC 中，90C ∠=︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分BAC ∠交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ．求证：CT BE =．备选例题例1、如图，AD ∥BC ，EA 、EB 分别平分DAB ∠、CBA ∠，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．FEABCDDABCMTE例2、以的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt △ABD 、Rt △ACE ，90BAD CAE ∠=∠=︒，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系． （1）如图① 当△ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；（2）将图①中的等腰Rt △ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒（090θ<<）后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．自我测试1、在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH AC =，则ABC ∠= ．2、如图，已知AE 平分BAC ∠，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，36BAE ∠=︒，那么BED ∠= ．第2题 第3题3、如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，给出三个论断：①DE EF =；②AE CE =；③FC ∥AB ，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出三个命题，其中正确命题的个数是 ．4、如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若5AB =，3AC =，则AD 的取值范围是 ．第4题 第5题 第6题5、如图，在△ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒．AD 平分BAC ∠，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，E 为垂足．则结论：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）A ．1；B ．2；C ．3；D ．4．6、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分BAD ∠，AB AD >，下列结论中正确的是（ ）A ．AB AD CB CD ->-； B ．AB AD CB CD -=-；C ．AB AD CB CD -<-； D ．AB AD -与CB CD -的大小关系不确定． 7、考查下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；②两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等；③两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等；④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等．其中正确命题的个数有（ ）． A ．4个； B ．3个； C ．2个； D ．1个．8、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且1()2AE AB AD =+,求ABC ADC ∠+∠的度数．9、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE CF +与EF 的大小关系，并证明你的结论．10、如图，已知2AB CD AE BC DE ===+=，90ABC AED ∠=∠=︒，求五边形ABCDE 的面积．11、如图，在△ABC 中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠． 求证：AC AE CD =+．12、如图，已知90ABC DBE ∠=∠=︒，DB BE =，AB BC =． （1）求证：AD CE =，AD ⊥CE ；（2）若△DBE 绕点B 旋转到△ABC 外部，其他条件不变，则（1）中结论是否仍成立?请证明．。
基本不等式公式四个几何证明
基本不等式公式四个几何证明好的，以下是为您生成的关于“基本不等式公式四个几何证明”的文章：在咱们数学的世界里，基本不等式公式就像是一座坚固的桥梁，连接着不同的数学知识和解题思路。
今天，咱们就来好好聊聊基本不等式公式的四个几何证明，这可是相当有趣的哟！先来说说基本不等式公式到底是啥。
它是这样的：对于任意的正实数 a 和 b ，都有a + b ≥ 2√(ab) ，当且仅当 a = b 时，等号成立。
那这四个几何证明到底是怎么回事呢？我给您慢慢道来。
第一个证明，咱们可以借助矩形的面积来说明。
假设咱们有一个矩形，它的长和宽分别是 a 和 b 。
那这个矩形的面积就是 ab 。
然后呢，我们再以这个矩形的对角线为边长，构造一个正方形。
这个正方形的面积就是 (a + b)² / 4 。
因为正方形的面积肯定大于等于矩形的面积，所以就有(a + b)² / 4 ≥ ab ，整理一下就得到了a + b ≥ 2√(ab) 。
记得有一次，我给学生们讲这个证明的时候，有个调皮的小家伙举手说：“老师，我还是不太明白。
”我就走到他身边，拿起他桌上的尺子和铅笔，重新给他画了一遍那个矩形和正方形，边画边解释：“你看啊，这个正方形把矩形包在里面了，是不是正方形的面积更大呀？”小家伙眼睛一下子亮了起来，兴奋地说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。
第二个证明，咱们可以用圆的半径来帮忙。
想象有两个圆，它们的半径分别是√a 和√b 。
那么这两个圆的面积之和就是πa + πb 。
而以 a+ b 为直径的圆的面积是π(a + b) / 4 。
因为大圆的面积肯定大于等于两个小圆的面积之和，所以就有π(a + b) / 4 ≥ πa + πb ，同样能推出基本不等式公式。
第三个证明，咱们可以通过三角形的边长关系来搞定。
假设有一个直角三角形，两条直角边分别是√a 和√b ，斜边就是√(a + b) 。
根据三角形的三边关系，斜边肯定大于等于两条直角边的算术平均值，也就是√(a + b) ≥ (√a + √b) / 2 ，两边平方一下，也能得到基本不等式公式。
初中几何证明题五大经典(含答案)
经典题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）证明：过点G 作GH ⊥AB 于H ，连接OE ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E 、G 、O 、F 四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG∵∠EGO=∠FHG=90° ∴△EGO ∽△FHG ∴FG EO =HGGO∵GH ⊥AB ，CD ⊥AB ∴GH ∥CD∴CD COHG GO =∴CDCO FG EO = ∵EO=CO ∴CD=GF2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内部的一点，∠PAD ＝∠PDA ＝15°。
求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：作正三角形ADM ，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15°∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA ，AP=AP ∴△MAP ≌△BAP∴∠BPA=∠MPA ，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD ，MP=CP ∵∠PAD ＝∠PDA ＝15°∴PA=PD ，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD∴△BAP ≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD∵∠BPA=∠MPA ，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60°∵MP=BP ，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC 是正三角形3、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．证明:连接AC ，取AC 的中点G,连接NG 、MG ∵CN=DN ，CG=DG ∴GN ∥AD ，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM ，AG=CG ∴GM ∥BC ，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F经典题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；（2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 证明：（1）延长AD 交圆于F ，连接BF ，过点O 作OG ⊥AD 于G ∵OG ⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB ⌒ ∴∠F=∠ACB又AD ⊥BC ，BE ⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD∴BH=BF 又AD ⊥BC ∴DH=DF∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH ）=2GD 又AD ⊥BC ，OM ⊥BC ，OG ⊥AD ∴四边形OMDG 是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB 、OC∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC ，OM ⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM由（1）知AH=2OM ∴AH=BO=AO2、设MN 是圆O 外一条直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条割线交圆O 于B 、C 及D 、E ，连接CD 并延长交MN 于Q ，连接EB 并延长交MN 于P. 求证：AP ＝AQ ．证明：作点E 关于AG 的对称点F ，连接AF 、CF 、QF ∵AG ⊥PQ ∴∠PAG=∠QAG=90°又∠GAE=∠GAF ∴∠PAG+∠GAE=∠QAG+∠GAF 即∠PAE=∠QAF∵E 、F 、C 、D 四点共圆 ∴∠AEF+∠FCQ=180° ∵EF ⊥AG ，PQ ⊥AG ∴EF ∥PQ∴∠PAF=∠AFE ∵AF=AE∴∠AFE=∠AEF ∴∠AEF=∠PAF ∵∠PAF+∠QAF=180° ∴∠FCQ=∠QAF ∴F 、C 、A 、Q 四点共圆 ∴∠AFQ=∠ACQ 又∠AEP=∠ACQ ∴∠AFQ=∠AEP3、设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）证明：作OF ⊥CD 于F ，OG ⊥BE 于G ，连接OP 、OQ 、OA 、AF 、AG ∵C 、D 、B 、E 四点共圆 ∴∠B=∠D ，∠E=∠C ∴△ABE ∽△ADC ∴DFBGFD 2BG 2DC BE AD AB === ∴△ABG ∽△ADF ∴∠AGB=∠AFD ∴∠AGE=∠AFC ∵AM=AN ， ∴OA ⊥MN 又OG ⊥BE ，∴∠OAQ+∠OGQ=180° ∴O 、A 、Q 、E 四点共圆 ∴∠AOQ=∠AGE 同理∠AOP=∠AFC ∴∠AOQ=∠AOP又∠OAQ=∠OAP=90°，OA=OA ∴△OAQ ≌△OAP ∴AP=AQ 在△AEP 和△AFQ 中 ∠AFQ=∠AEP AF=AE ∠QAF=∠PAE ∴△AEP ≌△AFQ ∴AP=AQ4、如图,分别以△ABC 的AB 和AC 为一边,在△ABC 的外侧作正方形ABFG 和正方形ACDE ，点O 是DF 的中点，OP ⊥BC求证：BC=2OP （初二）证明：分别过F 、A 、D 作直线BC 的垂线，垂足分别是L 、M 、N ∵OF=OD ，DN ∥OP ∥FL ∴PN=PL∴OP 是梯形DFLN 的中位线 ∴DN+FL=2OP ∵ABFG 是正方形 ∴∠ABM+∠FBL=90° 又∠BFL+∠FBL=90° ∴∠ABM=∠BFL又∠FLB=∠BMA=90°，BF=AB ∴△BFL ≌△ABM ∴FL=BM同理△AMC ≌△CND ∴CM=DN∴BM+CN=FL+DN ∴BC=FL+DN=2OP经典题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）证明：连接BD 交AC 于O 。