11.5(2)几何证明举例
数学认识几何证明
数学认识几何证明几何证明是数学中的重要部分，它要求我们通过逻辑推理和严密推导来证明或解释几何定理。
在进行几何证明时，我们需要正确运用已知的几何定理、公理和性质，以及运用数学推理方法，如演绎推理和归纳推理等。
本文将介绍几何证明的基本概念和常见的证明方法，并结合实例进行说明。
一、几何证明的基本概念几何证明是指通过推理和演绎，用严格的逻辑方法陈述和证明几何命题。
在几何证明中，我们需要合理组织思路，运用相关几何性质和已知定理来推导结论，以达到严密合理的证明目的。
几何证明的基本要素包括：1.已知条件：即已知的几何信息或性质，作为推导的起点。
2.目标结论：即需要证明的几何命题或结论。
3.推导步骤：通过逻辑推理和演绎，运用已知条件和几何性质，推导出目标结论的过程。
4.证明过程：将推导步骤用文字和符号进行详细陈述，使得逻辑关系清晰、推理合理。
在进行几何证明时，我们需要注意以下几点：1.从已知条件出发，逐步推导，每一步都要经过严密的推理。
2.不要跳过关键的步骤，任何一步都不能省略。
3.使用几何术语和符号，确保表述准确清晰。
4.用图示辅助，以便更好地理解和展示证明过程。
5.对于不同的几何证明，可以选择合适的证明方法，如直接证明法、间接证明法和反证法等。
二、几何证明的常见方法1.直接证明法直接证明法是最常用的证明方法，它通过从已知条件出发，一步步推导出目标结论。
这种证明方法严谨明确，逻辑性强。
在进行直接证明时，我们需要根据已知条件和几何性质，运用相关的推理方法，逐步推导出目标结论。
例如，下面是一个直接证明的例子：已知：AB ⊥ BC，∠ABC = 90°证明：AB² + BC² = AC²证明过程：1.连接AC，并延长AB到D；2.∵ AB ⊥ BC，∠ABC = 90°∴△ABC 和△ACD 相似（正弦定理）；3.设 AB = a，BC = b，AC = c；∴ AD = a + b；4.∵△ABC 和△ACD 相似∴ AB/AC = BC/AC = BC/AD = a/c = b/(a + b)；5.∴ a/c = b/(a + b)；∴ a（a + b）= bc；6.∴ a² + ab = bc；7.∴ a² + 2ab + b² = bc + 2ab + b²；∴ (a + b)² = AC²；8.∴ AB² + BC² = AC²；∴命题得证。
初中数学几何证明步骤整理
初中数学几何证明步骤整理几何证明是数学几何的基础，它不仅帮助我们理解几何概念和定理，还培养了我们的逻辑思维和推理能力。
在初中数学几何学习中，我们需要学会整理和掌握几何证明的步骤。
在本文中，我将为大家整理几个常见的初中数学几何证明步骤，希望可以帮助到大家。
首先，我将介绍如何证明两条直线平行。
在几何证明中，证明两条直线平行是非常常见的问题。
证明两条直线平行的基本思路是通过已知条件和几何定理来推导出两条直线平行的结论。
下面是一个常见的证明步骤：步骤一：写出已知条件和待证明的结论。
例如，已知AB与CD是两条直线，且它们之间的夹角为90度；我们需要证明AB和CD是平行的。
步骤二：根据已知条件使用几何定理进行推导。
根据已知条件，我们可以得到两个垂直的直线AB和CD，可以使用垂直定理来推导出结论。
垂直定理指出，如果两条直线相交，且相交的角度为90度，则这两条直线是垂直的。
由于AB与CD 之间的夹角为90度，所以根据垂直定理，我们可以得出AB和CD是垂直的。
步骤三：说明平行关系的推导过程。
根据步骤二的推导，我们已经得出AB和CD是垂直的。
根据几何定理，如果两条直线互相垂直，则它们之间的夹角为90度，则这两条直线是平行的。
因此，根据垂直定理，我们可以得出AB和CD是平行的。
以上就是证明两条直线平行的常见步骤。
通过这个例子，我们可以看出，几何证明的步骤大致包括确定已知条件和待证结论，利用已知条件和几何定理进行推导，以及说明推导过程达到结论。
只要按照这个步骤进行几何证明，我们就能够清晰地展示证明的逻辑和推理过程。
接下来，我将介绍如何证明两个三角形全等。
证明两个三角形全等也是初中数学几何中的重要内容。
全等是指两个三角形的对应的角度相等，对应的边长相等。
下面是一个常见的证明步骤：步骤一：写出已知条件和待证明的结论。
例如，已知AB与CD是两个三角形，要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
步骤二：根据已知条件使用几何定理进行推导。
11.5(1)几何证明举例
练 习
1 . 已知：如图，PB=PC，CE、BD相交 于点P，∠BDA=∠CEA. 求证：AB=AC. A
E
3
4
D
P B C
2. 已知：AB和CD相交于点O， OA=OD,OC=OB.
求 ： OAC ODB 证
（ 已知 ） （ 对顶角相等 ） （ 已知 ） （ SAS ）
3.求证：线段垂直平分线上的点到这条线段两端
AE AD ____=____(已知) ∠A= ∠A( 公共角)
A
D
AC AB _____=____(已知)
E
B
隐含条件： 公共角相等
∴ △AEC≌△ADB（ SAS ）
☞ 预习检测
A
已知：如图，AB=AC，BD=CD. 求证：△ABD≌△ACD. 证明：在△ABD与△ACD中，
D AB=AC （ 已知 ）， BD=CD B C 已知 （ ） ， （ ）， 公共边 AD=AD 隐含条件： 公共边相等
（ 已知
）
（ 三角形内角和定理 ） （等量代换 （ 已知 ） （ ASA ） ）
例2
如图，点D、E分别在AB、AC上，AB=AC，DE∥BC 求证：BD=CE 证明：∵AB=AC （已知）, A （等边对等角）. ∴∠B=∠C ∵DE∥BC （已知）, 12 E D ∴∠1=∠B ∠2=∠C （两直线平行，同位角相等）. ∴∠1=∠2 （等量代换）. B C （等角对等边）. ∴AD=AE （已知）, ∵AB=AC ∴ AB－AD＝AC－AE （等式性质）， 即BD=CE
A
D
B
O
C
隐含条件： 对顶角相等 （ ）， A C 已知 已知 OA=OC （ ）， ∠AOD=∠COB 对顶角相等 ）， （
几何证明定理(精选多篇)
几何证明定理(精选多篇)第一篇：高中几何证明定理第二篇：几何证明定理第三篇：初一常用几何证明的定理第四篇：初一常用几何证明的定理总结第五篇：立体几何证明的向量公式和定理证明更多相关范文高中几何证明定理一.直线与平面平行的(判定)1.判定定理.平面外一条直线如果平行于平面内的一条直线,那么这条直线与这个平面平行.2.应用:反证法(证明直线不平行于平面)二.平面与平面平行的(判定)1.判定定理:一个平面上两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行2.关键：判定两个平面是否有公共点三.直线与平面平行的(性质)1.性质：一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任一与此平面的交线与该直线平行2.应用：过这条直线做一个平面与平面相交，那么交线平行于这条直线四.平面与平面平行的(性质)1.性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行2.应用：通过做与两个平行平面都相交的平面得到交线，实现线线平行五：直线与平面垂直的(定理)1.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直2.应用：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内所有的直线(线面垂直→线线垂直)六.平面与平面的垂直(定理)1.一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直(或者做二面角判定)2.应用:在其中一个平面内找到或做出另一个平面的垂线,即实现线面垂直证面面垂直的转换七.平面与平面垂直的(性质)1.性质一:垂直于同一个平面的两条垂线平行2.性质二:如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直3.性质三:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面内的直线,在第一个平面内(性质三没什么用,可以不用记)以上,是立体几何的定理和性质.是一定要记住的基本!。
想要变-态的这里多的是--欧拉定理&欧拉线&欧拉公式(不一样)九点圆定理葛尔刚点费马定理(费马点(也叫做费尔马点))海伦-公式共角比例定理张角定理帕斯卡定理曼海姆定理卡诺定理芬斯勒-哈德维格不等式(几何的)外森匹克不等式(同上)琴生不等式(同上)塞瓦定理梅涅劳斯定理斯坦纳定理托勒密定理分角线定理(与角分线定理不同)斯特瓦尔特定理切点弦定理西姆松定理。
初中几何证明公式及经典例题
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
证明二：如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM
说明：证明两直线垂直的方法如下：
（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。
（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。
（3）证明二直线的夹角等于90°。
三.证明一线段和的问题
（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法）
求证：EC＝ED
证明：作DF//AC交BE于F
是正三角形
是正三角形
又AE＝BD
即EF＝AC
题型展示：
证明几何不等式：
例题：已知：如图9所示， 。
求证：
证明一：延长AC到E，使AE＝AB，连结DE
在 和 中，
证明二：如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF
则易证
说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
《几何证明举例》PPT课件
出要使结论成立所需要的条件，再把这样的“条件”看作“结
论”，一步一步逆推，直至归结为已知条件。
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21
等腰三角形的判定方法有下列几 种： ①定义，②判定定理 。
等腰三角形的判定定理与性质定理的区别 是 条件和结论刚好相反。 。
运用等腰三角形的判定定理时，应注 意 在同一个三角形中 。
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C 60
A B C 精6选0课件p（pt 等式的性质 ）
17
交流与探索
思考：等边三角形的每个内角都等于600的逆命题是什 么？这个逆命题是真命题吗？
逆命题是真命题： 如果一个三角形的每个内角都等于600 ，那么这个三
角形是等边三角形。
你能把这个逆命题的条件适当减少,使它仍然是真命题吗？
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角
为3_5_°__，3_5__°。
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2
学习目标
1.进一步掌握证明的基本步
骤和书写格式。
2.能用“公理”和“已经证
明的定理”为依据，证明等
腰三角形的性质定理和判定
定理。
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3
回顾与思考 ☞
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们依据
7
Ａ
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠Ｂ＝ ∠Ｃ
证明：作BC边上的中线 AD
∴ BD = CD (中线定义)
∵在 △BAD与 △CAD中
AB = AC (已知)
Ｂ DＣ
BD = CD （已证） AD = AD (公共边)
∴ △BAD≌△CAD( SSS )
∴ ∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)
符号表示：
高中数学几何证明选讲
高中数学几何证明选讲1.证明两条相交直线的垂直平分线相交于直线的交点处。
证明：设存在直线l1和l2相交于点A，l3是l1和l2的垂直平分线，交于点O。
需要证明AO=AO。
首先，连接点A和O，以及连接点B和O。
由于l3是垂直平分线，所以AO=BO，又由于l1和l2是相交直线，所以∠A=∠B。
根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA。
又因为∠OAB+∠OBA=180°，所以∠OAB和∠OBA是两个互补角，所以∠OAB和∠OBA都是90°，所以AO和BO是直角。
因此，垂直平分线l3与相交直线l1和l2的交点处于直线l1和l2的交点上，即O是直线l1和l2的交点。
2.证明三角形的三条中线交于一个点，并且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。
证明：设∆ABC是一个三角形，M、N、P分别是AB、BC、CA的中点，需要证明MN和AP的交点恰好是∆ABC的三条中线的交点，并且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。
连接点M与点P，连接点N与点A。
首先，根据线段的中点定理可得MP=NP。
又因为M和N分别是AB和BC的中点，所以MN∥AC。
因此，根据平行线的性质可得∠NMP=∠NAP。
又因为梯形MNPA是一个等腰梯形，所以∠PAN=∠MNP。
因此，∠PAN和∠MNP是两个互补角，所以∠PAN和∠MNP都是90°，所以MN和AP是直角。
又根据线段的中点定理可得MN=2NP。
因此，MN和AP的交点恰好是∆ABC的三条中线的交点，且这个交点离三角形的每条边的距离都是这条边的中点到对边的距离的2倍。
3.证明三角形的内心、外心和垂心共线。
证明：设∆ABC是一个三角形，O为∆ABC的外心，I为∆ABC的内心，H 为∆ABC的垂心，需要证明O、I和H共线。
首先，连接OA、OB、OC。
根据圆的性质可知，OA=OB=OC，所以O到∆ABC的三个顶点的距离相等，也就是说，O到三角形三边的距离相等。
11.5两个三角形全等的判定(二)-边角边课件(八年级下)
四、教学过程
11.5
两个三角形全等的条件 第二课时） （第二课时）
上节课我们讨论了以下问题： 上节课我们讨论了以下问题：
思考
如果两个 三角形有三组对应相等 的元素 三角形有三组对应 边或角） 那么会有哪几种 可能的情况？ 哪几种可能的情况 （ 边或角 ） ， 那么会有 哪几种 可能的情况 ？ 这时，这两个三角形一定会全等吗？ 这时，这两个三角形一定会全等吗？
温馨 提示
探究新知⑴ 探究新知⑴
把你画的三角形与同桌画的三角形 进行比较，你们的三角形全等吗？ 进行比较，你们的三角形全等吗？
知识点2：三角形全等的判定公理二： 知识点2 三角形全等的判定公理二：
如果两个三角形有两边及其 分别对应相等， 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等， SAS（ 边角边）． 那么这两个三角形全等．简记为SAS 那么这两个三角形全等．简记为SAS（或边角边）．
（角夹在两条边的中间，形成两边夹一角） 角夹在两条边的中间，形成两边夹一角）
∵
∠BAD＝∠CAD（已推出） ＝ （已推出） AD＝AD（公共边） ＝ （公共边） ∴△ABD≌△ACD（SAS） B ≌ （ ）
D
C
∴∠B ∴∠B＝∠C（全等三角形的对应角相等） 全等三角形的对应角相等）
利用“SAS” 利用“SAS”和“全等三角形的对应角相等”这两条公理证 全等三角形的对应角相等” 明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。 明了“等腰三角形的两个底角相等”这条定理。
B D C A
？
已知： 已知 如图， 例４： ：如图， AB=CB ，∠ ABD= ,△ 全等吗？ ∠ CBD ,△ ABD 和△ CBD 全等吗？ 解: CBD中 在△ ABD 和△ CBD中