【数学】江苏省泰州市第二中学2017届高三下学期第二次限时作业(1)
江苏省泰州市第二中学高一数学下学期第二次限时作业(
2015～2016学年度第二学期第二次限时作业 高一数学试卷 一、填空题：（本大题共14题，每小题5分，共70分，请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1、 直线错误!未找到引用源。
的倾斜角为_____弧度2、 若直线错误!未找到引用源。
与错误!未找到引用源。
直线平行，则实数错误!未找到引用源。
的值是_____3、 当0>x 时，函数xx x y 422++=的最小值为______ 4、 在等比数列错误!未找到引用源。
中，错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
______5、 不等式错误!未找到引用源。
的解集为______6、 若错误!未找到引用源。
，则Z=错误!未找到引用源。
的最大值为_____7、 已知,A B 两点的坐标分别为(0,4),(4,6)，则以AB 为直径的圆的标准方程为8、 数列错误!未找到引用源。
的前项和为错误!未找到引用源。
，且满足错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
______9、在等式m y x y x m y x 则的最小值为若中,65,0,0,94+>>=+的值为 ___ 10、在坐标平面内，与点A （1，2）的距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线有 条 11、若1)tan(,2)(tan =-=+βαβα，则=βα2cos 2s in ______ 12、若点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则PQ 的最小值为_ __ 13、已知下列四个命题，其中正确的是 （填序号）．（1）若210ax ax -+>在x ∈R 上恒成立，则04a <<；（2）锐角三角形ABC ∆中，3A π=，则1sin 12B <<； （3）已知直线方程为(2)(21)340m x m y m -++++=，其中m R ∈，则直线恒过定点()1,2--; （4）数列{}n a 共有5项，其中150,2a a ==，且11,1,2,3,4i i a a i +-==，则满足条件的不同数列有3个。
江苏省泰州市2017届高三数学考前模拟试卷及答案
2016～2017高三模拟考试数学试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合2{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B = ▲ ．2．函数()sin(4)6f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．3．复数(i)(12i)a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = ▲ ． 4．某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值 为 ▲ ．5．从1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是偶数的概率为 ▲ ．6．若双曲线22221x y a b -=的离心率2=e ，则该双曲线的渐近线方程为▲ ．7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10．如图，在由5个边长为1，一个顶角为60的菱形组成的图形中， AB CD ⋅= ▲ ．11．已知点,F A 是椭圆:C 2211612x y +=的左焦点和上顶点，若点 P 是椭圆C 上一动点，则PAF ∆周长的最大值为 ▲ ．第10题图DBA第4题图Read x If 5x ≤Theny ←2xElse y ←2log x End IfPrint y12．已知函数3()1f x x x =++，若对任意的x ，都有2()()2f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．在ABC ∆中，若120C =，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ= ▲ ． 14．若函数22()(1)(0)f x ax a x a a =++->的一个零点为0x ，则0x 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b .（1）若3m =，1n =-，且(λ⊥+)a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值． 16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ． 17．（本题满分14分）如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在O 上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ． （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,1)P 且互相垂直的两条直线分别与 圆22:4O x y +=交于点,A B ，与圆22:(2)(1)1M x y -+-=交于点,C D ．（1）若AB =CD 的长； （2）若CD 中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．19．（本题满分16分）已知函数2()2ln f x x x ax =+-，R a ∈．（1）若函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若a =e ，解不等式：()2f x <；（3）求证：当4a >时，函数()y f x =只有一个零点．20．（本题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11b =，22b =，12n n n n T bT b ++=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在正整数n ，使得11n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要求的n b ；若不存在，说明理由．2016～2017高三模拟考试高三数学参考答案一、填空题1．{1,1}-； 2．2π； 3．2； 4．5； 5．13；6．y =； 7．19； 8．； 9； 10．4-；11．16； 12．04a <<； 13．12+ ； 141. 二、解答题15. 解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ∴+=+-=+-a b ，若(λ⊥+)a a b ，则(0)=λ⋅+a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． ……………7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2223()5m n ++=，则2()16m n +=，所以211122()216644mn m n ⋅⨯+≤++=+⨯=a b =， 故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． ……………14分 16. 证：（1）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC CD ⊥，又因为CD AC ⊥，所以CD ⊥平面PAC ． ……………7分 （2）因为AB //CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以//AB 平面CDEF ， ……………10分 又因为平面PAB 平面CDEF EF =，AB ⊄平面CDEF ，所以//AB EF ． ……………14分17. 解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，所以10OA OB AB ===，则3AOB π∠=，所以103AB π=，………2分所以广场的面积为2211050(1010)101002343ππ⋅⋅-⋅+=+-2m ）………6分 （2）作OG CD ⊥于G ，OK AD ⊥于K G ，记OAK α∠=，则2220sin AD DG OK α===， ………8分 由余弦定理得 2222cos OD OA AD OA AD α=+-⋅221cos 210(20sin )21020sin cos 100400200sin 22ααααα-=+-⨯⨯=+⨯-230045)1)α=-+≥， ………12分所以1)OD ≥,当且仅当22.5α=时取等号，所以201)OA OB OC OD +++≤+= 因此求4条小路的总长度的最小值为 答：（1）广场的面积为501003π+- （2）4条小路的总长度的最小值为 …………14分 18. 解：（1）直线AB 斜率显然存在，设为k ，则直线:1AB y kx =+，因为22()42AB +=，所以AB = ………3分由=215k =，22211()12CD -+-=-，CD === ………6分 （2）当直线AB 斜率不存在时，ABE ∆的面积14242S =⨯⨯=； 当直线AB 斜率存在时，设为k ，则直线:1AB y kx =+，显然0k ≠，直线1:1CD y x k =-+1<得23k >, ………8分所以(,(3,)k ∈-∞+∞．因为22()42AB+=，所以AB =E 到直线AB 的距离即M 到AB的距离，为d ==，所以ABE ∆的面积12S AB d =⋅== ………12分 令234(45)t t k +=<<，则4)S ==．综上，ABE ∆面积的取值范围4]． …………16分说明：求S =范围还可以： 令214k t +=>，S ==∈19．解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()2ln f x x x ax =+-，2()2f x x a x'=+-， 由题意，对任意的0x >，都有2()20f x x a x '=+-≥，只要min 2(2)x a x+≥，由基本不等式得224x x +≥=，当且仅当1x =时取等号， 所以4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞． ………4分（2）当a =e 时，2()2ln f x x x x =+-e ，2222()20x x f x x x x-+'=+-=>e e ， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，又因为2()2ln 2f =+-⋅e e e e e =，所以()2()()f x f x f <⇔<e ，因此0x <<e ， 故不等式()2f x <的解集为(0,)e ． ………9分（3）2222()2x ax f x x a x x-+'=+-=，(0,)x ∈+∞，令2()22g x x ax =-+，当4a >时，因为2160a ∆=->,所以2()22g x x ax =-+一定有两个零点， 设为1212,()x x x x <，又因为121x x =，所以1201x x <<<，则()f x 在区间1(0,)x 或2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减， ………12分因为2111()220g x x ax =-+=，所以22111111()2ln 2ln 2f x x x ax x x =+-=--， 因为101x <<,所以221111()2ln 22ln120f x x x x =--<--<，所以21()()0f x f x <<，又()2ln ()f x x x x a =+-，则()2ln 0f a a =>，所以()f x 在(0,)+∞上只有一个零点． ………16分 说明：事实上，对任意的R a ∈，函数()y f x =只有一个零点． 20. 解：(1) 因为22n n S a =-，所以当2n ≥时，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=- ，即12n n a a -=，又1122S a =-，则12a =，所以数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，故2nn a =． ………4分由12n n n n T b T b ++=得 33111122233445112,,,,,n n n n n n n n T bT b T bT b T b T b T b T b T b T b --+++=====， 以上n 个式子相乘得11212n n n T b bT b b ++=，即12n n n T b b += ①，当2n ≥时，112n n n T b b --=②， 两式相减得 112()n n n n b b b b +-=-，即112n n b b +--=（2n ≥）， ………6分所以数列{}n b 的奇数项、偶数项分别成等差数列， 又1123T b T b =，所以32123b T b b ==+=，则1322b b b +=， 所以数列{}n b 是以11b =为首项，1为公差的等差数列，因此数列{}n b 的通项公式为n b n =． ………8分另法：由已知显然0n b ≠，因为12n n n n T bT b ++=，所以1112n n n n n n T T b b b b ++++=，则数列1{}n n n T b b +是常数列，所以111212n n n T T b b b b +==，即12n n n T b b +=，下同上． （2）当1n =时，11n n n n a b a b +++-无意义，设1121(2,)2(1)n n n n n n n a b n c n n a b n *+++++==∈--+Ｎ≥，显然1n c >，则111112221202(2)2(1)[2(2)][2(1)]n n n n n n n n nn n n c c n n n n +++++++++-⋅-=-=<-+-+-+⋅-+，即11n n c c +>>， 显然212(1)nnn n ++>-+，所以234731c c c =>=>>>，所以存在2n =，使得72b c =，33b c =， ………12分下面证明不存在2n c =，否则2122(1)n n nn c n ++==-+，即23(1)n n =+， 此式右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该式不成立．综上，满足要求的n b 为37,b b ． ………16分附加题参考答案21.A ．证明：因为CD 为圆的切线，弧BC 所对的圆周角为BAC ∠ 所以 BCD BAC ∠=∠ （1） 又因为 AB 为半圆O 的直径所以90ACB ∠=︒，又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠ （2） 由（1）、（2）得ABC CBD ∆∆ 所以2AB BCBC BA BD BC BD=⇒=⋅ ……………10分 21.B . 解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩所以4,3x y ==； ……………5分矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……………10分21.C . 解：曲线C 的普通方程是2213x y +=． ……………………………2分直线l的普通方程是0x +=． ……………………………4分 设点M的直角坐标是,sin )θθ，则点M 到直线l 的距离是d=10分21.D .证明：因为2≤(a +1+b +1)(12+12)=6， ………… 8分． …………10分，即证22≤，即证116a b +++≤，即证3(1)(1)a b =+++ 由基本不等式易得。
江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市2017届高三二模数学考试
江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市2017届高三二模数学考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2i ←1Whil e i < 6（第3题）宿迁市2017届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． 已知集合{} 03 4 A =，，，{} 102 3 B =-，，，，则A B =I ▲ ． 【答案】{}03，2． 已知复数3i1iz -=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是 ▲ ． 【答案】53． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 是 ▲ ．【答案】174． 现有1 000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm ）的数据分组及各组的频数见右上表，据此估计这1 000根中纤维长度不小于37.5 mm 的根数是 ▲ ． 【答案】1805． 100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是 ▲ ． 【答案】425（或0.16） 6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横 坐标是 ▲ ．【答案】2纤维长度频数 [22.5，25.5) 3 [25.5，28.5) 8 [28.5，31.5) 9 [31.5，34.5) 11 [34.5，37.5) 10 [37.5，40.5) 5 [40.5，43.5]4（第4题）7． 现有一个底面半径为3 cm ，母线长为5 cm 的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个 实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是 ▲ cm ． 【答案】398． 函数()2()lg 5f x x =-的定义域是 ▲ ． 【答案】[]22-，9． 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 是其前n 项和．若2345a a a a =，927S =，则1a 的值是 ▲ ． 【答案】5-10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：()()22481x y -+-=，圆2C ：()()22669x y -++=．若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和圆2C 的圆周，则圆C 的方程是 ▲ ． 【答案】2281x y +=11．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3OA =，5OC =．若AB →·AD →=-7， 则BC →·DC →的值是 ▲ ．【答案】912．在△ABC 中，已知2AB =，226AC BC -=，则tan C 的最大值是 ▲ ． 【答案】25513．已知函数20()1 0x m x f x x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，，，其中0m >．若函数()()1y f f x =-有3个不同的零点，则m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(01)，14．已知对任意的x ∈R ，()()3sin cos 2sin 2 3 a x x b x a b ++∈R ≤，恒成立，则当a b +取得最 小值时，a 的值是 ▲ ． 【答案】45- BCD O(第11题)A二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．（本小题满分14分）已知()2πsin 410α+=，()ππ2α∈，．求：（1）cos α的值； （2）()πsin 24α-的值．解：（1）法一：因为()ππ2α∈，，所以()π3π5π444α+∈，，又()2πsin 410α+=，所以()()()22272ππcos 1sin 1441010αα+=--+=--=-． …… 3分所以()ππcos cos 44αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦()()ππππcos cos sin sin 4444αα=+++72222102102=-⨯+⨯35=-． …… 6分 法二：由()2πsin 410α+=得，2ππsin cos cos sin 4410αα+=，即1sin cos 5αα+=． ① …… 3分又22sin cos 1αα+=. ②由①②解得3cos 5α=-或cos α=45．因为()ππ2α∈，，所以3cos 5α=-． …… 6分 （2）因为()ππ2α∈，，3cos 5α=-， 所以()2234sin 1cos 155αα=-=--=． …… 8分 所以()4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯-=-，()2237cos22cos 12525αα=-=⨯-=-． …… 12分所以()πππsin 2sin 2cos cos2sin 444ααα-=-()()22247252252=-⨯--⨯17250=-．…… 14分16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 证明：（1）在直三棱柱111ABC A BC -中，四边形A 1ACC 1为平行四边形． 又E 为A 1C 与AC 1的交点，所以E 为A 1C 的中点． …… 2分同理，D 为A 1B 的中点，所以DE ∥BC ． …… 4分 又BC ⊂平面B 1BCC 1，DE ⊄平面B 1BCC 1，所以DE ∥平面B 1BCC 1． …… 7分（2）在直三棱柱111ABC A BC -中，1AA ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥． …… 9分 又AC BC ⊥，1AC AA A =I ，1AC AA ⊂，平面11A ACC ，所以BC ⊥平面11A ACC ． …… 12分 因为BC ⊂平面1A BC ，BC 1ACA 1B 1D (第16题)E所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． …… 14分17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222 1 (0)y x a b a b+=>>的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为()523，，求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →=12OC →，求直线AB 的斜率．解：（1）因为椭圆的离心率为23，所以2223a b a -=，即2259b a=．①又因为点C ()523，在椭圆上，所以2242519a b +=． ② …… 3分 由①②解得2295a b ==，． 因为0a b >>，所以35a b ==，． …… 5分 （2）法一：由①知，2259b a =，所以椭圆方程为2222915y x a a+=，即222595x y a +=．设直线OC 的方程为x my =()0m >，11()B x y ，，22()C x y ，．由222595x my x y a=⎧⎨+=⎩，得2222595m y y a +=， 所以222559a y m =+．因为20y >，所以22559a y m =+． …… 8分 因为AB →=12OC →，所以//AB OC ．可设直线AB 的方程为x my a =-．由222595x my a x y a=-⎧⎨+=⎩，得22(59)100m y amy +-=， (第17题)OA B Cxy所以0y =或21059am y m =+，得121059am y m =+． …… 11分因为AB →=12OC →，所以()()11221122x a y x y +=，，，于是212y y =，即2559a m +22059am m =+()0m >，所以35m =．所以直线AB 的斜率为5313m =． …… 14分法二：由（1）可知，椭圆方程为222595x y a +=，则(0)A a -，．设11()B x y ，，22()C x y ，．由AB →=12OC →，得()()11221122x a y x y +=，，，所以1212x x a =-，1212y y =． …… 8分 因为点B ，点C 都在椭圆222595x y a +=上， 所以()()22222222225951595.22x y a y x a a ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得24a x =，2543a y =， ……12分所以直线AB的斜率22533y k x ==． …… 14分18．（本小题满分16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏 东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°36≈，33 5.7446≈） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．领B北公l解：（1）设缉私艇在C 处与走私船相遇（如图甲），依题意，3AC BC =． …… 2分 在△ABC 中，由正弦定理得，sin sin BC BAC ABC AC∠=∠sin1203=o36=．因为sin17°36≈，所以17BAC ∠=°．从而缉私艇应向北偏东47o 方向追击． …… 5分 在△ABC 中，由余弦定理得， 2224cos1208BC AC BC+-=o，解得1334BC += 1.68615≈．又B 到边界线l 的距离为3.84sin30 1.8-=o ．因为1.68615 1.8<，所以能在领海上成功拦截走私船． …… 8分 （2）如图乙，以A 为原点，正北方向所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系xOy ． 则()223B ，，设缉私艇在()P x y ，处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私 船相遇，则3PA PB=，即()22223(2)23x y x y +=-+-．整理得，()()229993444x y -+-=， …… 12分所以点()P x y ，的轨迹是以点()99344，为圆心，32为半径的圆． 因为圆心()99344，到领海边界线l ： 3.8x =的距离为1.55，大于圆半径32，所以缉私艇能在领海内截住走私船． …… 14分 答：（1）缉私艇应向北偏东47o 方向追击；（2）缉私艇总能在领海内成功拦截走私船． …… 16分19．（本小题满分16分）AB C图甲 y 公领AB图乙6lx已知函数1()ex f x =，()ln g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程；（2）若存在12x x ，()12x x ≠，使得[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-成立，其中λ为常数，求证：e λ>；（3）若对任意的(]01x ∈，，不等式()()(1)f x g x a x -≤恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）因为ln ()()e x xy f x g x ==，所以()211e ln e ln e e x x x x x xx x y ⋅-⋅-'==，故11e x y ='=． 所以函数()()y f x g x =在x =1处的切线方程为1(1)ey x =-，即e 10x y --=． …… 2分（2）由已知等式[]1221()()()()g x g x f x f x λ-=-得1122()()()()g x f x g x f x λλ+=+．记()()()ln ex p x g x f x x λλ=+=+，则e ()e xx x p x x λ-'=． …… 4分 假设e λ≤．① 若λ≤0，则()0p x '>，所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数． 又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾． …… 6分 ② 若0e λ<≤，记()e x r x x λ=-，则()e x r x λ'=-．令()0r x '=，解得0ln x λ=．当0x x >时，()0r x '>，()r x 在()0x +∞，上为单调增函数； 当00x x <<时，()0r x '<，()r x 在()00x ，上为单调减函数． 所以0()()=1ln )0r x r x λλ-≥（≥，所以()0p x '≥， 所以()p x 在()0+∞，上为单调增函数． 又12()()p x p x =，所以12x x =，与12x x ≠矛盾．综合①②，假设不成立，所以e λ>． …… 9分 （3）由()()(1)f x g x a x -≤得ln e (1)x x a x --≤0．记ln e (1)x F x x a x --()=，0x <≤1， 则()211e e e x x xF x ax x a x x '-=-()=． ① 当1e a ≤时，因为211ee x x ≥，e 0x x >，所以0F x '()≥， 所以F x ()在(]0+∞，上为单调增函数，所以(1)F x F ()≤=0，故原不等式恒成立． …… 12分 ② 法一：当1ea >时，由（2）知e e x x ≥，3211e e a x F x a x x x -'-=()≤，当()13e 1a x -<<时，0F x '<()，()F x 为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意． 法二：当1ea >时，一方面1=1e 0F a '-<()．另一方面，111e x a ∃=<，()()111121111e e e e 10F x a x x a x a a x x '-=-=->()≥．所以01(1)x x ∃∈，，使0=0F x '()，又F x '()在(0)+∞，上为单调减函数， 所以当01x x <<时，0F x '<()，故F x ()在0(1)x ，上为单调减函数， 所以(1)F x F >()=0，不合题意．综上，1ea ≤． …… 16分20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为S n ()*n ∈N ，且满足：①12 a a ≠；②()()()22112n n r n p S n n a n n a +-=++--，其中r p ∈R ，，且0r ≠． （1）求p 的值；（2）数列{}n a 能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r =2时，数列{}n a 是等差数列．解：（1）n =1时，211(1)220r p S a a -=-=， 因为12a a ≠，所以20S ≠，又0r ≠，所以p =1． …… 2分 （2）{}n a 不是等比数列．理由如下： 假设{}n a 是等比数列，公比为q ，当n =2时，326rS a =，即211(1)6ra q q a q ++=，所以2(1)6r q q q ++=， （i ） …… 4分 当n =3时，431212+4rS a a =，即2321112(1)124ra q q q a q a +++=+，所以232(1)62r q q q q +++=+， （ii ） …… 6分由（i ）（ii ）得q =1，与12a a ≠矛盾，所以假设不成立．故{}n a 不是等比数列． …… 8分（3）当r =2时，易知3122a a a +=．由22112(1)()(2)n n n S n n a n n a +-=++--，得2n ≥时，11(1)(1)(2)211n n n n a n n a S n n +++-=+--， ① 112(1)(2)(1)(2)2n n n n a n n a S n n++++-+=+，② ②-①得，2112(1)(2)(1)(2)21(1)n n n n n a n n a n n a a n n n n +++++-+=-+--， …… 11分 即11121(1)(2)()(1)()2()1n n n n n a a n n a a a a n n ++++-+--=--， 211112()(2)()()11n n n a a n a a n a a n n n ++-+--=-+-， 即()2111111121n n n n a a a a n a a a a n n n n +++-----=-+- ()111(1)2212n n n n a a a a n n ----=-⨯-- =……()3121(1)3202223121n n a a a a -⨯⋅⋅⋅⨯--=-=⨯⨯⋅⋅⋅⨯--，所以11121121n n a a a a a an n ----==⋅⋅⋅=--，令21a a -=d ，则11n a a d n -=-(2)n ≥． …… 14分 所以1(1)(2)n a a n d n =+-≥. 又1n =时，也适合上式， 所以*1(1)()n a a n d n =+-∈N ． 所以*1()n n a a d n +-=∈N ．所以当r =2时，数列{}n a 是等差数列． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，连结AO 并延长交⊙O 于点D ，ACB ADC ∠=∠． 求证：2AD BC AC CD ⋅=⋅． 证明：连结OC ．因为ACB ADC ∠=∠，ABC ADC ∠=∠，所以ACB ABC ∠=∠． …… 3分 因为OC =OD ，所以OCD ADC ∠=∠． 所以ACB OCD ∠=∠．所以△ABC ∽△ODC ． …… 8分 所以AC BC OC CD=，即AC CD OC BC ⋅=⋅．因为12OC AD =，所以2AD BC AC CD ⋅=⋅． …… 10分B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）设矩阵A 满足：A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A 的逆矩阵1-A ． 解：法一：设矩阵a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，则1206a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以1a =-，262a b +=-，0c =，263c d +=． …… 4分DACB O（第21—A 题）解得0b =，12d =，所以10102-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ． …… 6分 根据逆矩阵公式得，矩阵11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分 法二：在A 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦两边同时左乘逆矩阵1-A 得， 1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-A 1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦．…… 4分设1-=A a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则1206⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1203--⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以1a -=，232a b -+=，0c -=，236c d -+=． …… 6分 解得1a =-，0b =，0c =，2d =，从而11002--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． …… 10分C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线232222x l y l ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）与曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：法一：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =． …… 3分将直线232222x l y l ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）代入28y x =得，282240l l -+=，…… 6分解得122l =，262l =．则1242l l -=，所以线段AB 的长为42． …… 10分 法二：将曲线218x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数）化为普通方程为28y x =， …… 3分将直线232222x l y l ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，（l 为参数）化为普通方程为302x y -+=， …… 6分由28302y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得，122x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，或926.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以AB 的长为()()2291624222-+-=． …… 10分D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x y z ，，均为正实数，且1xyz =，求证：333111xy yz zx x y y z z x++++≥． 证明：因为x y z ，，均为正实数，且1xyz =，所以3122xy yz x x y +=≥，3122yz xz y y z +=≥，3122xz xy z z x +=≥． …… 8分 所以333111xy yz zx x y y z z x++++≥． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱． （1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观 众与乐队的互动指数为2a ．求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．解：（1）设“至少演唱1首原创新曲”为事件A ，则事件A 的对立事件A 为：“没有1首原创新曲被演唱”．所以()4548C 13()1114C P A P A =-=-=．答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为1314． …… 4分（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3． 依题意，()24X ax a x =+-，故X 的所有可能值依次为8a ，7a ，6a ，5a ．则4548C 1(8)(0)14C P X a P x =====，133548C C 3(7)(1)7C P X a P x =====，223548C C3(6)(2)7C P X a P x =====，313548C C 1(5)(3)14C P X a P x =====．从而X 的概率分布为：…… 8分 所以X 的数学期望()133191876514771414E X a a a a a =⨯+⨯+⨯+⨯=．…… 10分23．（本小题满分10分）设*2n n ∈N ≥，．有序数组()12n a a a ⋅⋅⋅，，，经m 次变换后得到数组()12m m m n b b b ⋅⋅⋅，，，，，，，其中11i i i b a a +=+，，111m i m i m i b b b --+=+，，，（i =1，2，⋅⋅⋅，n ），11n a a +=，1111m n m b b -+-=，，(2)m ≥． 例如：有序数组()123，，经1次变换后得到数组()122331+++，，，即()354，，；经第 2次变换后得到数组()897，，． （1）若 (12)i a i i n ==⋅⋅⋅，，，，求35b ，的值；X 8a 7a 6a 5aP114 37 37 114（2）求证：0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中i =1，2，⋅⋅⋅，n ．（注：当i j kn t +=+时，*k ∈N ，t =1，2，⋅⋅⋅，n ，则i j t a a +=．） 解：（1）依题意，()12345678n ⋅⋅⋅，，，，，，，，， 经1次变换为：()35791113151n ⋅⋅⋅+，，，，，，，，， 经2次变换为：()812162024284n ⋅⋅⋅+，，，，，，，， 经3次变换为：()202836445212n ⋅⋅⋅+，，，，，，， 所以3552b =，． …… 3分（2）下面用数学归纳法证明对*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，．（i ）当1m =时，11110C j i i i i j j b a a a ++==+=∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，，结论成立；（ii ）假设*()m k k =∈N 时，k i b =，0C kj i jk j a+=∑，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 5分则1m k =+时，11k i k i k i b b b ++=+，，，10C C kkjj i j ki j k j j a a +++===+∑∑1101C C kk j j i j ki j k j j a a +-++===+∑∑()0111C C C C kj j ki ki j k k i k k j a a a -+++==+++∑0111111C C C kj k i k i j k i k k j a a a +++++++==++∑ 110C k j i j k j a +++==∑，所以结论对1m k =+时也成立．由（i ）（ii ）知，*m ∈N ，0C mjm i i j m j b a +==∑，，其中12i n =⋅⋅⋅，，，． …… 10分。
江苏省泰州市第二中学高三2月质量检测——数学(数学)
江苏省泰州市第二中学2017届高三2月质量检测数 学 试 题参考公式：锥体体积公式：，其中为底面积,为高；柱体体积公式：，其中为底面积,为高；球体体积公式：，其中是R 的球的半径.样本数据的方差，其中.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={1，2，4，6，8}，B={x |x=2k ，k ∈A }，则A ∩B= ▲ .2．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a +i=2﹣bi ，则（a +bi ）2= ▲ .3．已知样本数据的方差，则样本数据的方差为 ▲ .4．执行如图所示的程序框图，若输入n=1时，则输出S= ▲ .5．同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具），点数之和是5的概率是 ▲ .6．若实数x ，y 满足243700x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤，≤，≥，≥，则z ＝3x ＋2y 的最大值为 ▲ . 7．若双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的焦距等于 ▲ .8．各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则_ ▲ .9．已知A ，B 分别是函数f （x ）=2sinωx （ω＞0）在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是 ▲ .10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 ▲ .11．已知点O 为△ABC 的垂心，， 则角A= ▲ .12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x)≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c 2的最大值为 ▲ . 13．当实数x ，y 满足x 2+y 2=1时，|x +2y +a |+|3﹣x ﹣2y |的取值与x ，y 均无关，则实数a 的取范围是 ▲ .14．已知实数不全为零，正数满足，设的最大值为，则的最小值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图，在三棱柱中，底面，，点和分别是和的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.16．(本小题满分14分) 设)(21cos sin 3sin )(2R x x x x x f ∈-+=. （1）求函数的最小正周期与值域；（2）设内角的对边分别为，为锐角，，若，求.17. (本小题满分14分)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB 平行于x 轴，且|F 1A |+|F 1B |=4．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 是椭圆C 上异于点A ，B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，若MF 2、NF 2的斜率分别为k 1、k 2，求证：k 1•k 2是定值．18．(本小题满分16分)现有半径为、圆心角为的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件，如图所示．其中分别在上，在上，且，，．记，五边形的面积为．（1）试求关于的函数关系式；（2）求的最大值．19．(本小题满分16分)已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x 均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时，；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．20．(本小题满分16分)已知数列,满足（…）．（1）若，求的值；（2）若且，则数列中第几项最小？请说明理由；（3）若（n=1,2,3,…），求证：“数列为等差数列”的充分必要条件是“数列为等差数列且（n=1,2,3,…）”．。
2017年江苏省泰州市高考数学二模试卷(解析版)
2017年江苏省泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）已知集合A＝{0，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的模是．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为．4．（5分）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是．5．（5分）100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是．7．（5分）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．8．（5分）函数f（x）＝的定义域是．9．（5分）已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3＝a4a5，S9＝1，则a1的值是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2＝1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是．11．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若•＝﹣7，则•的值是．12．（5分）在△ABC中，已知AB＝2，AC2﹣BC2＝6，则tan C的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）＝其中m＞0，若函数y＝f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是．14．（5分）已知对任意的x∈R，3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b 取得最小值时，a的值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．（14分）已知sin（α+）＝，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率．18．（16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y＝f（x）g（x）在x＝1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）＝λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足：①|a1|≠|a2|；②r（n﹣p）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．（1）求p的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r＝2时，数列{a n}是等差数列．A.[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC．求证：AD•BC＝2AC•CD．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）设矩阵A满足：A＝，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．C.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：++≥xy+yz+zx．【必做题】每小题10分，共计20分.25．（10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．26．（10分）设n≥2，n∈N*，有序数组（a1，a2，…，a n）经m次变换后得到数组（b m，1，b m，2，…，b m，n），其中b1，i＝a i+a i+1，b m，i＝b m﹣1，i+b m﹣1，i+1（i＝1，2，…，n），a n+1＝a1，b m﹣1，n+1＝b m﹣1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．（1）若a i＝i（i＝1，2，…，n），求b3，5的值；（2）求证：b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n．（注：i+j＝kn+t时，k∈N*，i＝1，2，…，n，则a i+j＝a1）2017年江苏省泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．（5分）已知集合A＝{0，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝{0，3}．【解答】解：集合A＝{0，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，则A∩B＝{0，3}；故答案为：{0，3}2．（5分）已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的模是．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：．3．（5分）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．【解答】解：模拟执行程序，可得S＝1，I＝1满足条件I＜8，S＝3，I＝4满足条件I＜8，S＝5，I＝7满足条件I＜8，S＝7，I＝10不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．4．（5分）现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是180．【解答】解：由频率分布表知：纤维长度不小于37.5mm的频率为：＝0.18，∴估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是1000×0.18＝180．故答案为：180．5．（5分）100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．【解答】解：在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张共有100种取法，其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96共16个，∴所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个．∴所得卡片上的数字为6的倍数的概率P＝＝，故答案为：．6．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是2．【解答】解：∵抛物线y2＝4x＝2px，∴p＝2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|＝x+1＝3，∴x＝2，故答案为：2．7．（5分）现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．【解答】解：设该铁球的半径为r，∵底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，∴锥体的母线、半径、高构成直角三角形，∴h＝＝4，锥体体积V＝×π×32×4＝12π，圆球体积＝锥体体积V＝＝12π，解得r＝．故答案为：．8．（5分）函数f（x）＝的定义域是[﹣2，2]．【解答】解：由lg（5﹣x2）≥0，得5﹣x2≥1，即x2≤4，解得﹣2≤x≤2．∴函数f（x）＝的定义域是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．9．（5分）已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3＝a4a5，S9＝1，则a1的值是．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2a3＝a4a5，S9＝1，∴，解得：a1＝，故答案为：．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2＝1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2＝9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是x2+y2＝81．【解答】解：由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，设C（x，0），则（x﹣4）2+（0﹣8）2+1＝（x﹣6）2+（0+6）2+9，∴x＝0，∴圆C的方程是x2+y2＝81．故答案为x2+y2＝81．11．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若•＝﹣7，则•的值是9．【解答】解：平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，∴+＝；若•＝﹣7，则（+）•（+）＝+•+•+•＝+•（+）﹣＝32﹣＝﹣7；∴＝16，∴||＝||＝4；∴•＝（+）•（+）＝•+•+•+＝﹣+•（+）+＝﹣42+0+52＝9．12．（5分）在△ABC中，已知AB＝2，AC2﹣BC2＝6，则tan C的最大值是．【解答】解：∵AB＝c＝2，AC2﹣BC2＝b2﹣a2＝6，∴由余弦定理可得：4＝a2+b2﹣2ab cos C，∴（b2﹣a2）＝a2+b2﹣2ab cos C，∴（）2﹣2××cos C+＝0，∵△≥0，∴可得：cos C≥，∵b＞c，可得C为锐角，又∵tan C在（0，）上单调递增，∴当cos C＝时，tan C取最大值，∴tan C＝＝＝．故答案为：．13．（5分）已知函数f（x）＝其中m＞0，若函数y＝f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是（0，）．【解答】解：1、当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+m）2﹣1，图象为开口向上的抛物线的在y 轴左侧的部分，顶点为（0，m2﹣1）2、当0≤x＜1时，f（f（x））＝﹣x2+1+m，图象为开口向下的抛物线在0≤x＜1之间的部分，顶点为（0，m+1）．根据题意m＞0，所以m+1＞13、当x≥1时，f（f（x））＝（x2﹣1）2﹣1，图象为开口向上的抛物线在x＝1右侧的部分，顶点为（1，﹣1）根据题意，函数y＝f（f（x））﹣1有3个不同的零点，即f（f（x））的图象与y＝1有3个不同的交点．根据以上分析的3种情况，第2及第3种情况的图象分别与y＝1有不同的2个交点，所以只需要第1种情况与y＝1有1个交点即可，所以只要m2﹣1＜1即可，解得m＜．再根据题意m＞0可得m的取值范围为（0，）故答案为（0，）．14．（5分）已知对任意的x∈R，3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是﹣．【解答】解：由题意可令sin x+cos x＝﹣，两边平方可得1+2sin x cos x＝，即有sin2x＝﹣，代入3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3，可得﹣a﹣b≤3，可得a+b≥﹣2，当a+b＝﹣2时，令t＝sin x+cos x＝sin（x+）∈[﹣，]，即有sin2x＝t2﹣1，代入3a（sin x+cos x）+2b sin2x≤3，可得﹣2bt2+3（2+b）t+3+2b≥0，对t∈[﹣，]恒成立，则△＝9（2+b）2+8b（3+2b）≤0，即为（5b+6）2≤0，但（5b+6）2≥0，则5b+6＝0，可得b＝﹣，a＝﹣．而当b＝﹣，a＝﹣时，3a（sin x+cos x）+2b sin2x＝﹣t﹣（t2﹣1）＝﹣（t+）2+3≤3．所以当a+b取得最小值﹣2，此时a＝﹣．另解：由a+b取得最小值，故令3（sin x+cos x）＝2sin2x＝λ＜0，则a+b≥，即a+b的最小值为，t＝sin x+cos x＝sin（x+）∈[﹣，]，sin2x＝t2﹣1，则λ＝3t＝2（t2﹣1），解得t＝﹣，则λ＝﹣，此时﹣（a+b）≤3，解得a+b≥﹣2，即有当a+b＝﹣2时，3at+2（﹣2﹣a）（t2﹣1）≤3，对t∈[﹣，]恒成立，即2（a+2）t2﹣3at﹣2a﹣1≥0对t∈[﹣，]恒成立，设f（t）＝2（a+2）t2﹣3at﹣2a﹣1，由f（﹣）＝0且为f（t）的最小值，所以只能把f（t）看做t为自变量的函数，则2（a+2）＞0，＝﹣，解得a＝﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．（14分）已知sin（α+）＝，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）sin（α+）＝，即sinαcos+cosαsin＝，化简：sinα+cosα＝…①sin2α+cos2α＝1…②．由①②解得cosα＝﹣或cosα＝∵α∈（，π）．∴cosα＝﹣（2）∵α∈（，π）．cosα＝﹣∴sinα＝，那么：cos2α＝1﹣2sin2α＝，sin2α＝2sinαcosα＝∴sin（2α﹣）＝sin2αcos﹣cos2αsin＝．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．【解答】证明：（1）由题意，D，E分别为A1B，A1C的中点，∴DE∥BC，∵DE⊄平面B1BCC1，BC⊂平面B1BCC1，∴DE∥平面B1BCC1；（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AC⊥BC，AC∩AA1＝A，∴BC⊥平面A1ACC1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且＝，求直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e＝＝＝，则＝，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，②解得：a2＝9，b2＝5，∴a＝3，b＝，（2）方法一：由（1）可知：＝，则椭圆方程：5x2+9y2＝5a2，设直线OC的方程为x＝my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2＝5a2，∴y2＝，由y2＞0，则y2＝，由＝，则AB∥OC，设直线AB的方程为x＝my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy＝0，由y＝0，或y1＝，由＝，则（x1+a，y1）＝（x2，y2），则y2＝2y1，则＝2×，（m＞0），解得：m＝，则直线AB的斜率＝；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2＝5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由＝，则（x1+a，y1）＝（x2，y2），则y2＝2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：，则直线直线AB的斜率k＝＝．直线AB的斜率．18．（16分）一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【解答】解：（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC＝3BC．△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC＝＝，∴∠BAC＝17°，∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，△ABC中，由余弦定理可得cos120°＝，∴BC≈1.68615．B到边界线l的距离为3.8﹣4sin30°＝1.8，∵1.68615＜1.8，∴能最短时间在领海内拦截成功；（2）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2，2），设缉私艇在P（x，y）出与走私船相遇，则P A＝3PB，即x2+y2＝9[（x﹣2）2+（y﹣2）2]，即（x﹣）2+（y﹣）2＝，∴P的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，∵圆心到边界线l：x＝3.8的距离为1.55，大于圆的半径，∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．19．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝lnx，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y＝f（x）g（x）在x＝1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）＝λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）y＝f（x）g（x）＝，y′＝，x＝1时，y＝0，y′＝，故切线方程是：y＝x﹣；（2）证明：由g（x1）﹣g（x2）＝λ[f（x2）﹣f（x1）]，得：g（x1）+λf（x1）＝g（x2）+λf（x2），令h（x）＝g（x）+λf（x）＝lnx+，（x＞0），h′（x）＝，令ω（x）＝e x﹣λx，则ω′（x）＝e x﹣λ，由x＞0，得e x＞1，①λ≤1时，ω′（x）＞0，ω（x）递增，故h′（x）＞0，h（x）递增，不成立；②λ＞1时，令ω′（x）＝0，解得：x＝lnλ，故ω（x）在（0，lnλ）递减，在（lnλ，+∞）递增，∴ω（x）≥ω（lnλ）＝λ﹣λlnλ，令m（λ）＝λ﹣λlnλ，（λ＞1），则m′（λ）＝﹣lnλ＜0，故m（λ）递减，又m（e）＝0，若λ≤e，则m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）递增，不成立，若λ＞e，则m（λ）＜0，函数h（x）有增有减，满足题意，故λ＞e；（3）由f（x）g（x）≤a（x﹣1）得lnx﹣ae x（x﹣1）≤0，令F（x）＝lnx﹣ae x（x﹣1），x∈（0，1]，则F′（x）＝﹣axe x＝xe x（﹣a），F′（1）＝﹣a①a≤，因为≥，xe x＞0，所以F′（x）≥0，所以F（x）在（0，+∞]上为单调增函数，所以F（x）≤F（1）＝0，故原不等式恒成立．②法一：当a＞，由（2）知e x≥ex，F′（x）≤﹣aex2＝，当（ae）＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）为单调减函数．所以F（x）＞F（1）＝0，不合题意．法二：当a＞，一方面F′（1）＝1﹣ae＜0．另一方面，∃x1＝＜1，F（x1）≥﹣aex1＝x1（﹣ae）＝x1ae（ae﹣1）＞0．所以∃x1∈（x1，1），使F′（x0）＝0，又，F′（x）在（0，+∞）上为单调减函数，所以当x0＜x＜1时，使F′（x）＜0，故F（x）在（x0，1）上为单调减函数．所以F（x）＞F（1）＝0，不合题意．综上：a≤20．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足：①|a1|≠|a2|；②r（n﹣p）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．（1）求p的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r＝2时，数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）n＝1时，r（1﹣p）（a1+a2）＝2a1﹣2a1，其中r，p∈R，且r≠0．又|a1|≠|a2|．∴1﹣p＝0，解得p＝1．（2）设a n＝ka n﹣1（k≠±1），r（n﹣1）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，∴rS3＝6a2，2rS4＝12a3+4a1，化为：r（1+k+k2）＝6k，r（1+k+k2+k3）＝6k2+2．联立解得r＝2，k＝1（不合题意），舍去，因此数列{a n}不是等比数列．（3）证明：r＝2时，2（n﹣1）S n+1＝（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，∴2S3＝6a2，4S4＝12a3+4a1，6S5＝20a4+10a1．化为：a1+a3＝2a2，a2+a4＝2a3，a3+a5＝2a4．假设数列{a n}的前n项成等差数列，公差为d．则2（n﹣1）＝（n2+n）[a1+（n﹣1）d]+（n2﹣n﹣2）a1，化为a n+1＝a1+（n+1﹣1）d，因此第n+1项也满足等差数列的通项公式，综上可得：数列{a n}成等差数列．A.[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC．求证：AD•BC＝2AC•CD．【解答】证明：∵∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直径，∴AD垂直平分BC，设垂足为E，∵∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED，∴△ACD∽△CED，∴，∴AD•BC＝AC•CD，∴AD•BC＝2AC•CD．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）设矩阵A满足：A＝，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【解答】解：A＝，设B＝，则丨B丨＝6，B*＝，则B﹣1＝×B*＝×＝，A＝×B﹣1＝＝，A＝，丨A丨＝﹣，A*＝A﹣1＝×＝，矩阵A的逆矩阵A﹣1＝．C.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【解答】解：直线（l为参数）与曲线（t为参数）的普通方程分别为x﹣y＝﹣，y2＝8x，联立可得x2﹣5x+＝0，∴|AB|＝＝4．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：++≥xy+yz+zx．【解答】证明：∵x，y，z均为正实数，且xyz＝1，∴++＝++，∴由柯西不等式可得（++）（xy+yz+zx）≥（++）2＝（++）2＝（xy+yz+zx）2．∴++≥xy+yz+zx．【必做题】每小题10分，共计20分.25．（10分）某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．【解答】解：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）＝1﹣P ＝1﹣＝．（2）由题意可得：X＝5a，6a，7a，8a．P（X＝5a）＝＝＝，P（X＝6a）＝＝＝，P（X＝7a）＝＝＝，P（X＝8a）＝＝＝．E（X）＝5a×+6a×+7a×+8a×＝a．26．（10分）设n≥2，n∈N*，有序数组（a1，a2，…，a n）经m次变换后得到数组（b m，1，b m，2，…，b m，n），其中b1，i＝a i+a i+1，b m，i＝b m﹣1，i+b m﹣1，i+1（i＝1，2，…，n），a n+1＝a1，b m﹣1，n+1＝b m﹣1，1（m≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．（1）若a i＝i（i＝1，2，…，n），求b3，5的值；（2）求证：b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n．（注：i+j＝kn+t时，k∈N*，i＝1，2，…，n，则a i+j＝a1）【解答】解：（1）依题意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n），第一次变换为（3，5，7，9，11，13，15，…，n+1），第二次变换为（8，12，16，20，24，28，…，n+4），第三次变换为（20，28，36，44，52，…，n+12），∴b3，5＝52，（2）用数学归纳法证明：对m∈N*，b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n，（i）当m＝1时，b1，i＝a i+j C1j，其中i＝1，2，…，n，结论成立，（ii）假设m＝k时，k∈N*时，b k，i＝a i+j∁k j，其中i＝1，2，…，n，则m＝k+1时，b k+1，i＝b k，i+b k，i+1＝a i+j∁k j+a i+j+1∁k j＝a i+j∁k j+a i+j+1∁k j﹣1，＝a i∁k0+a i+j（∁k j+∁k j﹣1）+a i+k+1∁k k，＝a i C k+10+a i+j C k+1j+a i+k+1C k+1k+1，＝a i+j C k+1j，所以结论对m＝k+1时也成立，由（i）（ii）可知，对m∈N*，b m，i＝a i+j∁m j，其中i＝1，2，…，n成立。
江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考数学试题 含答案bybao
江苏省泰州中学2016-2017学年度第一学期高三数学第二次质量检测2016.12一、填空题:(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1. 已知R 为实数，集合{}(){}1,2,3,4,5,|40A B x x x ==-<，则()R AC B = 。
2. “1x >”是“()12log 20x +<"的一个条件.（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要”、“既不充分也不必要"选择一个填写).3。
已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ,若132,12aS ==,则6a = 。
4。
设曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线与直线30ax y ++=垂直,则a = .5．设实数,x y 满足条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩,则23z x y =+的最大值是.6。
已知奇函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，当[]0,2x ∈时，()2f x x =，那么()9f -= 。
7。
直线3y kx =+与圆()()22234x y -+-=相交于M ，N 两点,若23MN ≥实数k 的取值范围是 。
8.已知3sin 4cos 5αα+=，则tan α= 。
9.设平面向量()()(),0,,0,2,1a x b y c ===（其中0,0x y >>）若()()a c b c -⊥-,则a b +的最小值为 . 10。
已知函数()3sin 2cos2f x x x ωω=-（其中()0,1ω∈）,若()f x 的图象经过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则()f x 在[]0,π区间上的单调递增区间为 。
11。
已知ABC ∆中，BC=2，G 为ABC ∆的重心,且满足AG BG ⊥，则ABC ∆的面积的最大值为 .12。
已知,,x y z 均为非负实数，且2x y z ++=，则3213xy z ++的最小值为 。
13。
2017届高三第二次教学质量检测数学理试题(12页有答案)
-1012}012}01}-101}-1012} 23B．5A．4C．D．3[+高三年级第二次教学质量检测试题理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2，，，，，B={x|-2<x≤2}，则A B=A．{-1，，，B．{-1，，C．{-2，，，D．{-2，，，，2.复数2-i1+i对应的点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知向量a=(2,-1),b=(3,x)，若a⋅b=3，则x=A．3B．4C．5D．64.已知双曲线x2y2-a b23=1的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为457445.已知条件p：x-4≤6；条件q：x≤1+m，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是A．(-∞,-1]B．(-∞,9]C．1,9]D．[9，∞)6.运行如图所示的程序框图，输出的结果S=A．14B．30C．62D．1268.已知α,β是两个不同的平面，l,m,n是不同的直线，下列命题不正确的是A．πA．332D．27.(x-1)n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是xA．56B．35C．－56D．－35．．．A．若l⊥m,l⊥n,m⊂α,n⊂α,则l⊥αB．若l//m,l⊂/α,m⊂α,则l//αC．若α⊥β,αβ=l,m⊂α,m⊥l,则m⊥βD．若α⊥β,m⊥α,n⊥β,，则m⊥n9.已知f(x)=sin x+3cos x(x∈R)，函数y=f(x+ϕ)的图象关于直线x=0对称，则ϕ的值可以是πππB．C．D．263410.男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是A．2人B．3人C．2人或3人D．4人11.已知抛物线y2=4x，过焦点F作直线与抛物线交于点A，B(点A在x轴下方)，点A与1点A关于x轴对称，若直线AB斜率为1，则直线A B的斜率为12B．3C．12.下列结论中，正确的有①不存在实数k,使得方程x ln x-1x2+k=0有两个不等实根；2②已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为π6；③函数y=ln与y=ln tan x2是同一函数；④在椭圆x2y2+a2b2=1(a>b>0)，左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A,B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④B．①③C．①②D．②④13.已知等比数列{a}的前n项和为S，且a+a=5n2414.已知实数x、y满足约束条件⎨y≥2,则z=2x+4y的最大值为______．⎪x+y≤6②若a∈(0,1)，则a<a1+11-x是奇函数(第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求做答.二.填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.5,a+a=，则S=__________．n13246⎧x≥2⎪⎩15.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为__________．16.下列命题正确是．(写出所有正确命题的序号)①若奇函数f(x)的周期为4，则函数f(x)的图象关于(2,0)对称；③函数f(x)=ln；三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=A+高三理科数学试题和答案第3页共6页π2．， 20 40 60 80 ，（1）求 cos B 的值；（2）求 sin 2 A + sin C 的值．18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A B C 中，侧棱 AA ⊥ 平面 ABC ， ∆ABC 为等腰直角三角形，1 1 1 1∠BAC = 90 ，且 AA = AB ， E , F 分别是 C C , BC 的中点．1 1（1）求证：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ；1（2）求二面角 B - AE - F 的余弦值．119.（本小题满分 12 分）某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是[0 100]，样本数据分组为第一组[0， )，第二组[20， )，第 三组 [40， )，第四组 [60， )，第五组 [80 100]．（1）求直方图中 x 的值；（2）如果年上缴税收不少于 60 万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业 1200 家，试估计有多少企业可以申请政策优惠；（3）从所抽取的企业中任选 4 家，这 4 家企业年上缴税收少于 20 万元的家数记为 X ，求 X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）= 1(a > b > 0) 经过点 P (2, 2) ，离心率 e = ，直线 l 的方程为 220．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C ： x 2 y 2+ a 2 b 22 2x = 4 ．（1）求椭圆 C 的方程；（2）经过椭圆右焦点 F 的任一直线（不经过点 P ）与椭圆交于两点 A ， B ，设直线 AB 与l 相交于点 M ，记 P A , PB , PM 的斜率分别为 k , k , k ，问：是否存在常数 λ ，使得1 2 3k + k = λ k ？若存在，求出 λ 的值，若不存在，说明理由．12321.（本小题满分 12 分）已知函数 f ( x ) = ax + ln x ，其中 a 为常数，设 e 为自然对数的底数．（1）当 a = -1 时，求 f ( x ) 的最大值；（2）若 f ( x ) 在区间 (0, e ] 上的最大值为 -3 ，求 a 的值；（3）设 g ( x ) = xf ( x ), 若 a > 0, 对于任意的两个正实数 x , x ( x ≠ x ) ，1 2 1 2证明： 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x ) ．1 2请考生在第 22、23 二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用⎪⎪ 5⎩17．解：（1）∵ B = A + ， ∴ A = B -， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 分 ==2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程⎧3 x =- t + 2 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ ( t 为参数)，以原点 O 为极点， x⎪ y = 4 t ⎪5轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 ρ = a sin θ ．（1）若 a = 2 ，求圆 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程；（2）设直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，求 a 的值．23.（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲已知函数 f ( x ) = 2x -1 + 2x + 5 ，且 f ( x ) ≥ m 恒成立．（1）求 m 的取值范围；（2）当 m 取最大值时，解关于 x 的不等式： x - 3 - 2x ≤ 2m - 8 ．高三第二次质量检测理科数学答案一．ADABD CCABC CA二．13．631614．20 15． 61 16．①③ππ2 23 4 又 a = 3, b = 4 ，所以由正弦定理得 ，sin Asin B34所以， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3 分- cos B sin B所以 -3sin B = 4cos B ，两边平方得 9sin 2 B = 16cos 2 B ，3又 sin 2 B + cos 2 B = 1 ，所以 cos B = ± ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分5π 3而 B > ，所以 cos B = - ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 53 4（2）∵ cos B = - ，∴ sin B = ， ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分5 5∴面 ABC ⊥ 面 BB C C..........2 分+ = 则 F (0,0,0) ， A ( 22 2 2 2 2 1 ∵ B = A +π2，∴ 2 A = 2 B - π ，∴ sin 2 A = sin(2 B - π ) = - sin 2 B ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分4 3 24= -2sin B cos B = -2 ⨯ ⨯ (- ) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分5 5 25又 A + B + C = π ，∴ C = 3π 2- 2 B ，7 24 7 31∴ sin C = - cos 2 B = 1 - cos 2 B = ．∴ sin 2 A + sin C = ． (12)25 25 25 25分18．解答： （1）证明：∵ F 是等腰直角三角形 ∆ABC 斜边 BC 的中点，∴ AF ⊥ BC ．又∵侧棱 AA ⊥ 平面ABC ，11 1∴ AF ⊥ 面 BB 1C 1C ， AF ⊥ B 1F ．…3 分设 AB = AA = 1 ，则1，EF= ， ．∴ B F 2 + EF 2 = B E 2 ，∴ B F ⊥ EF ．.......... 4 分1 11又 AF ⋂ EF = F ，∴ B F ⊥平面 AEF ．…1而 B F ⊂ 面 AB F ，故：平面 AB F ⊥ 平面 AEF ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅5 分1 11（2）解：以 F 为坐标原点， FA ， FB 分别为 x ， y 轴建立空间直角坐标系如图，设 AB = AA = 1 ，12 2 1,0,0) ， B (0, - ,1) ， E (0, - , ) ，12 2 1 2 2AE = (- , - , ) , AB = (- , ,1) ．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分2 2 2 2 2由（1）知， B F ⊥平面 AEF ，取平面 AEF 的法向量：12m = FB = (0, ,1) ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分14 4 256 4 4 4 644 4 64 4 4 64设平面 B AE 的法向量为 n = ( x , y , z ) ，1由取 x = 3 ，得 n = (3, -1,2 2) (10),分设二面角 B - AE - F 的大小为θ ，1则 cos θ=|cos ＜＞|=| |= ．由图可知θ 为锐角，∴所求二面角 B - AE - F 的余弦值为．… ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分119．解答： 解：（I ）由直方图可得： 20 ⨯ (x + 0.025 + 0.0065 + 0.003 ⨯ 2) = 1解得 x = 0.0125 ．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分（II ）企业缴税收不少于 60 万元的频率 = 0.003 ⨯ 2 ⨯ 20 = 0.12 ， ∴1200 ⨯ 0.12 = 144 ．∴1200 个企业中有144 个企业可以申请政策优惠．⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（III ） X 的可能取值为 0,1,2,3,4 ．由（I ）可得：某个企业缴税少于 20 万元的概率 = 0.0125 ⨯ 20 = 0.25 =分1 3 81 1 3 27P ( X = 0) = C 0 ( )0 ( )4 = P ( X = 1) = C 1 ( )1 ( )3 = 41 3 27 1 3 3P ( X = 2) = C 2 ( )2 ( )2 = P ( X = 3) = C 3 ( )3 ( )1 =4 4 14 (5)X0 1 2 3 44 4 256∴ E ( X ) = 0 ⨯ 81+ = 1 ① 又e = , 所以 = = 4, a = 8,b 1 + 2k 2 1 + 2k 2, x x = x - 2 x - 22, k = k = 2k - 2 4 - 2 2P8125627 64 27 64 3 64 1 2561 3 1P ( X = 4) = C 4 ( )4 ( )0 =4...................................... 10 分............. 11 分27 27 3 1+ 1⨯ + 2 ⨯ + 3 ⨯ + 4 ⨯= 1． ....12 分25664 64 64 25620．解：（1）由点 P (2, 2) 在椭圆上得， 4 2 2 c 2 a 2 b 2 2 a 2②由 ①②得 c 2 2 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x 2 y 2+ = 1 ……………………..4 分 8 4（2）假设存在常数 λ ，使得 k + k = λ k .1 23由题意可设 AB 的斜率为k , 则直线AB 的方程为 y = k ( x - 2) ③代入椭圆方程x 2 y 2+ = 1 并整理得 (1+ 2k 2 ) x 2 - 8k 2 x + 8k 2 - 8 = 0 8 48k 2 8k 2 - 8设 A ( x , y ), B ( x , y ) ，则有 x + x = ④ ……………6 分 1 1 2 2 1 2 1 2在方程③中，令 x = 4 得， M (4,2 k ) ，从而 k = y 1 - 2 y 2 - 21 2 1,3 2= k - .又因为 A 、F 、B 共线，则有 k = k AF = k BF ，即有y当 a = -1 时， f ( x ) = - x + ln x ， f ' ( x ) = -1 + 1①若 a ≥ - ，则 f ' ( x ) ≥ 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, e ] 上是增函数，y1=2= k ……………8 分x - 2x - 21 2所以 k + k = 1 2 y - 2 y - 2 1 + 2 x - 2 x - 21 2= y y 1 11 +2 - 2( + )x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 1 2 1 2= 2k - 2x 1 + x 2 - 4x x - 2( x + x ) + 41 212⑤ ……………10 分将④代入⑤得 k + k = 2k - 2 1 2 8k 2- 41 + 2k2 8k 2 - 8 8k 2- 2 + 41 + 2k2 1 + 2k 2= 2k - 2 ，又 k = k - 32 2 ，所以 k + k = 2k 1 2 3 . 故存在常数 λ = 2 符合题意…………12 分21.【解答】解：（1）易知 f ( x ) 定义域为 (0, +∞) ，1 - x= ，x x令 f ' ( x ) = 0 ，得 x = 1 ．当 0 < x < 1 时， f ' ( x ) > 0 ；当 x > 1 时， f ' ( x ) < 0 ． (2)分∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数，在 (1,+∞) 上是减函数．f ( x )max= f (1) = -1．∴函数 f ( x ) 在 (0, +∞) 上的最大值为 -1 ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分（2）∵ f '( x ) = a + 1 1 1, x ∈ (0, e ], ∈ [ , +∞) ．x x e1e∴ f ( x )max= f (e ) = ae + 1 ≥ 0 ，不合题意． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分11② 若 a < - ，则由 f ' ( x ) > 0 ⇒ a +ex> 0 ，即 0 < x < -1a11由 f ' ( x ) < 0 ⇒ a +< 0 ，即 - < x ≤ e ． ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分xa从而 f ( x ) 在 (0, - ) 上增函数，在 (- （3）法一：即证 2a ( x + x 2) + 2( 12 )ln( 222 2 x 2 x21 1a a, e ) 为减函数∴ f ( x ) max 1 1 = f (- ) = -1 + ln(- ) a a1 1令 -1 + ln(- ) = -3 ，则 ln(- ) = -2a a∴- 11= e -2 -e 2 < -a ，即 a = -e 2．∵ e ，∴ a = -e 2 为所求 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分1 1 x + x x + x2 2 22 ) ≤ ax 2 + ax 2 + x ln x + x ln x 1 2 1 1 222a ( x + x ( x + x )21 2 )2 - ax 2 - ax 2 = a ⋅[ 1 21 2- x 2 - x 2 ]1 2( x - x )2= -a 1 2 2< 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9 分另一方面，不妨设 x < x ，构造函数1 2k ( x ) = ( x + x )ln(1x + x12) - x ln x - x ln x ( x > x )1 1 1x + xx + x则 k ( x ) = 0 ，而 k ' ( x ) = ln 1 - ln x = ln 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分1x + x由 0 < x < x 易知 0 < 11< 1 , 即 k ' ( x ) < 0 ， k ( x ) 在 ( x , +∞) 上为单调递减且连续， 1x + x故 k ( x ) < 0 ，即 ( x + x )ln( 11) < x ln x + x ln x 1 1相加即得证⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12 分1法二： g ' ( x ) = 2ax + 1 + ln x , g '' ( x ) = 2a + > 0.........9 分x故 g ' ( x ) 为增函数，不妨令 x > x 21令 h ( x ) = g ( x ) + g ( x ) - 2 g (1x + x12)( x > x )1h ' ( x ) = g '(x ) - g ' (x + x12) ......... 10 分易知 x > x + x x + x1 ， 故h ' ( x ) = g '(x ) - g ' ( 12 2) > 0 (11)分而 h ( x ) = 0 ， 知 x > x 时， h ( x ) > 0112(2)圆 C ： x 2 + y - a ⎫2∴圆心 C 到直线的距离 d = 2- 8 得 a = 32 或 a = 32 ⎪ -4 x - 4, x < - 523.解 (1) f (x) = ⎨6, - 5⎩ 4 x + 4, x > 22 ≤ x ≤ ⎩3 - x - 2 x ≤4 ⎧ 3 ≤ x < 3 .所以，原不等式的解集为 ⎨⎧x x ≥ - ⎬ .故 h ( x ) > 0 ， 即 2 g ( x 1 + x 2) < g ( x ) + g ( x )21 2 (12)分22.解 (1) a = 2 时，圆 C 的直角坐标方程为 x 2 + (y -1)2 = 1 ；直线 l 的普通方程为 4 x + 3 y - 8 = 0 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4 分⎛⎪ = ⎝ 2 ⎭a 2 4 ，直线 l : 4 x + 3 y - 8 = 0 ，∵直线 l 截圆 C 的弦长等于圆 C 的半径长的 3 倍，3a1 a5 = 2 ⨯ 2 ，11 .⎧2 ⎪1 ⎪2 ≤ x ≤ 2 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2 分⎪1 ⎪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7 分⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分当 - 5 12 时，函数有最小值 6 ，所以 m ≤ 6 . ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5 分另解：∵ 2x -1 + 2x + 5 ≥ (2x -1) - (2x + 5) = -6 = 6 .∴ m ≤ 6 .(2)当 m 取最大值 6 时，原不等式等价于 x - 3 - 2x ≤ 4 ，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6 分等价于 ⎨ x ≥ 3 ⎩ x - 3 - 2x ≤ 4 ⎧ x < 3 ，或 ⎨，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8 分可得 x ≥ 3 或 - 11 ⎫ ⎩ 3 ⎭⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 10 分。
2017届江苏省泰州市高三第二次模拟考试数学试卷及答案
2017～2017学年度泰州市第二次模拟考试高三数学试题(考试时间：120分钟总分：160分)命题人：朱占奎张圣官张俊龚才权丁连根审题人：丁凤桂石志群注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．（参考公式：柱体体积公式为V Sh=）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1.若复数(2)ia-+（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a= ▲．2.已知集合{}=，若{1,2,3,4}1,2,4A=，{},4B a，则A B=A B=▲．3.某高中共有1200人，其中高一、高二、高三年级的人数依次成等差数列．现用分层抽样的方法从中抽取48人，那么高二年级被抽取的人数为 ▲ ．4.已知双曲线2214x y m -=的渐近线方程为2y x =±，则m = ▲ ．5.执行右边的伪代码后，输出的结果是 ▲ ．6.若圆柱的侧面积和体积的值都是12π，则该圆柱的高为 ▲ ．7.小明通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆中投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，则周末看电影；若此点到圆心的距离小于41，则周末打篮球；否则就在家看书．那么小明周末在家看书的概率是 ▲ ．8.在等比数列{}n a 中，已知3754,2320a a a =--=，则7a = ▲ ． 9.已知函数a x x y +-=22的定义域为R ，值域为),0[+∞，则实数a 的取值集合为▲ ． 10.已知实数,x y满足40210440x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =+-的取值范围是▲ ． 11.设函数π()π)3f x x =+和π()sin(π)6g x x =-的图象在y 轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为M、N，已知O为原点，则OM ON ⋅=▲ ．12.若斜率互为相反数且相交于点(1,1)P 的两条直线被圆O ：224x y +=所截得的弦长之比为2，则这两条直线的斜率之积为▲ ．13. 若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是▲ ．14. 在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，4,6AB AD AC ===，若ABC ∆的外心恰在线段BD 上，则BC = ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分14分）已知向量1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，0πθ<<． （1）若a ∥b ，求角θ的大小； （2）若+=a b b ，求sin θ的值． 16.（本题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与直角三角形AE⊥，点NABE所在平面互相垂直，BEAE,的中点．M,分别是CD（1）求证：MN∥平面BCE；（2）求证：平面⊥BCE平面ADE．17.（本题满分14分）如图，某市有一条东西走向的公路l，现欲经过公路l上的O处铺设一条南北走向的公路m．在施工过程中发现在O处的正北1百米的A处有一汉代古迹．为了保护古迹，该市决定以A为圆心，1百米为半径设立一个圆形保护区．为了连通公路l、m，欲再新建一条公路PQ，点P、Q分别在公路l、m上，且要求PQ与圆A相切．（1）当P距O处2百米时，求OQ的长；（2）当公路PQ长最短时，求OQ的长．18.（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆:E22221(0)x ya ba b+=>>的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B、C两点，过B、C两点且分别与直线AB、AC垂直的直线相交于点D．已知椭圆E右焦点到右准线的距离为5．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；（3）求BCD∆面积的最大值．19.（（本题满分16分）已知}{n a ，}{n b ，}{n c 都是各项不为零的数列，且满足1122n n n n a b a b a b c S +++= ，n *∈N ，其中n S 是数列}{n a 的前n 项和， }{n c 是公差为(0)d d ≠的等差数列．（1）若数列}{n a 是常数列，2d =，23c =，求数列}{n b 的通项公式； （2）若n a n λ=（λ是不为零的常数），求证：数列}{n b 是等差数列； （3）若11a c d k ===（k 为常数，k *∈N ），n n k b c +=(2,)n n *≥∈N ，求证：对任意的2,n n *≥∈N ，数列{}nnb a 单调递减．20.（本题满分16分）己知()ln x f x a x a =--e ，其中常数0a >． （1）当a =e 时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()y f x =有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：1211x x a a<<<<； （3）求证：221ln 0x x x x ----≥e e ．2017～2017学年度泰州市第二次模拟考试高三数学试题(附加题)21.（［选做题］请考生在A 、B 、C 、D 四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A ．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心的割线且交圆O 于B 点，过B 作O 的切线交CD 于点1,2E DE EC =． 求证：（1）3CA CB =；（2）CA =．B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）已知矩阵010A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵020B b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，直线04:1=+-y x l 经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B所对应的变换得到直线04:3=++y x l ．（1）求,a b 的值；（2）求直线2l 的方程．AC ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若直线l 的极坐标方程为sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）已知P 为椭圆221169:x y C +=上一点，求P 到直线l 的距离的最小值．D ．（本小题满分10分，不等式选讲）已知不等式2|1|a b x +≤-对于满足条件1222=++c b a 的任意实数c b a ,,恒成立,求实数x 的取值范围．［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.(本小题满分10分)某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A 、B 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A 奖品，抛掷点数不小于3的获得B 奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数的概率；（2）设X 、Y 分别为获得A 、B 两种奖品的人数，并记X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列及数学期望．23.(本小题满分10分)已知2()(1)n f x x x =++（n N *∈），()g x 是关于x 的2n 次多项式；（1）若23()()()f x g x g x =恒成立，求(1)g 和(1)g -的值；并写出一个满足条件的()g x 的表达式，无需证明．（2）求证：对于任意给定的正整数n ，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，n a ，使得221222110121()(1)()()()n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++ ．2017～2017学年度泰州市第二次模拟考试高三数学参考答案一、填空题1．2 ； 2．{4}； 3．16； 4．2； 5．28；6．3； 7．163； 8．64； 9．{1}； 10．[1,7]；11．89-； 12．9-或19- ； 13． (,2][5,)-∞+∞ ； 14．. 二、解答题15. 解：(1) 因为//a b ，所以12sin 2cos 22θθ-⋅=⋅，即sin θθ-=， 所以tan θ= 又0πθ<<，所以2π3θ=． ……………７分(2)因为+=a b b ，所以22()+=a b b ，化简得220+⋅=a a b ，又1(2=-a ，(2cos ,2sin )θθ=b ，则21=a ，cos θθ⋅=-a b ， 所以1cos 2θθ=--，则π1sin()064θ-=-<， ……………10分又0πθ<<，πcos()6θ-=，所以ππππππsin[()]sin()cos cos()sin 66i 66n 6s 6θθθθ-+=-+-==． ……………14分16. 证：（1）取BE 中点F ，连接,CF MF ， 又M 是AE 中点，则1//,2MF AB MF AB =， 又N 是矩形ABCD 边CD 中点，所以//,MF NC MF NC =，则四边形MNCF 是平行四边形，所以//MN CF ，又MN ⊄面BCE ，CF ⊂面BCE ，所以MN ∥平面BCE ．…（2）因为平面ABCD⊥平面ABE，BC AB ⊥，所以BC ⊥平面ABE ，因为AE ⊂平面ABE ，所以BC AE ⊥，又BE AE ⊥，BC BE B ⋂=，所以AE ⊥平面BCE ， 而AE ⊂平面ADE，所以平面⊥BCE 平面ADE ． ……………14分17. 解：以O 为原点，直线l 、m 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系． 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1百米为单位长度，则圆A 的方程为22(1)1x y +-=， (1)由题意可设直线PQ 的方程为12x yq+=，即220qx y q +-=，(2)q > ，∵PQ 与圆A1=，解得83q =， 故当P距O处2百米时，OQ的长为83百米． ……………5分 （2）设直线PQ 的方程为1x yp q+=，即0qx py pq +-= ，(1,2)p q >>， ∵PQ与圆A相切，∴1=，化简得22q p q =-，则22222qPQ p q q q =+=+-，令2()(2)2q f q q q q =+>-，∴22222(1)(31)()2(2)(2)q q q f q q q q --+'=-=-- (2)q >，当322q <<时，()0f q '<，即()f q在3(2,2上单调递减；当32q +>()0f q '>，即()f q在3()2+∞上单调递增，∴()f q在q =PQ 长最短时，OQ的长为 答：（1)当P 距O 处2百米时， OQ 的长为83百米；（2）当公路PQ 长最短时， OQ 的 长为百米． ……………14分18. 解：（1）由题意得c a =，2a c c -=，解得3,a c ==，所以4b =，所以椭圆E 的标准方程为22194x y +=．……………4分（2）设0000(,),(,)B x y C x y -，显然直线,,,AB AC BD CD 的斜率都存在，设为1234,,,k k k k ，则001200,33y y k k x x ==+-+，00340033,x x k k y y +-=-=，所以直线,BD CD 的方程为：0000000033(),()x x y x x y y x x y y y +-=--+=++， 消去y 得0000000033()()x x x x y x x y y y +---+=++，化简得3x =， 故点D在定直线3x =上运动． ……………10分（3）由（2）得点D 的纵坐标为2000000039(3)D x x y x y y y y --=++=+，又2200194x y +=，所以220994y x -=-，则200000009354(3)4D y x y x y y y y y --=++=+=-，所以点D 到直线BC 的距离h 为00005944D y y y y y -=--=，将0y y =代入22194x y +=得x =±所以BCD ∆面积0119224ABCS BC h y ∆=⋅=⨯22000112727442224y y y -+=≤⋅=，当且仅当2200144y y -=，即0y =时等号成立，故0y =时，BCD∆面积的最大值为274． ……………16分19．解：（1）因为2d =，23c =，所以21n c n =-，因为数列}{n a 是各项不为零的常数列，所以12n a a a === ，1n S na =， 则由1122n n n n S c a b a b a b =+++ 及21n c n =-得12(21)n n n b b b -=+++ ， 当2n ≥时，121(1)(23)n n n b b b ---=+++ ，两式相减得43n b n =-，当1n =时，11b =，也满足43n b n =-，故43()n b n n *=-∈N ． …………4分（2）因为1122n n n n a b a b a b c S +++= ，当2n ≥时，11112211n n n n S c a b a b a b ----=+++ ，两式相减得11n n n n n n S c S c a b ---=， 即111()n n n n n n n S a c S c a b ---+-=，11()n n n n n n n S c c a c a b ---+=，即1n n n S d nc nb λλ-+=， 又1(1)(1)(1)22n n n n S n λλλ-+--=-=，所以(1)2n n n n d nc nb λλλ-+=，即(1)2n n n d c b -+=， 所以当3n ≥时，11(2)2n n n d c b ---+=，两式相减得132n n b b d --=(3)n ≥， 所以数列}{n b 从第二项起是公差为32d 等差数列；又当1n =时，由1111S c a b =得11c b =， 当2n =时，由2211(21)13()222b d c d c d b d -=+=++=+得2132b b d -=， 故数列}{n b 是公差为32d 等差数列． …………15分（3）由（2）得当2n ≥时，11()n n n n n n n S c c a c a b ---+=，即1()n n n n S d a b c -=-， 因为n n k b c +=，所以n n b c kd =+，即n n b c kd -=，所以1n n S d a kd -=⋅，即1n n S ka -=， 所以1(1)n n n n S S a k a -=+=+，当3n ≥时，11(1)n n S k a --=+，两式相减得 1(1)(1)n n n a k a k a -=+-+，即11n n k a a k-+=，故从第二项起数列}{n a 是等比数列， 所以当2n ≥时，221()n n k a a k-+=， 221(1)(1)()n n k n b c c kd c n k k k n k k k n k +==+=+-+=+-+=+，另外由已知条件得1221122()a a c a b a b +=+，又22c k =，1b k =，2(2)b k k =+，所以21a =，因而21()n n k a k -+=，令n d =n nba ，则111n n n n n n d b a d a b +++=(1)()(1)n k kn k k ++=++， 因为(1)()(1)0n k k n k k n ++-++=-<，所以11n nd d +<，所以对任意的2,n n *≥∈N ，数列{}n nba 单调递减． ……………16分20. 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，（1）当e a =时，()e eln e x f x x =--，e ()e x f x x'=-， 而e ()e x f x x'=-在(0,)+∞上单调递增，又(1)0f '=， 当01x <<时，()(1)0f x f ''<=，则()f x 在(0,1)上单调递减；当1x >时，()(1)0f x f ''>=，则()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以()f x 有极小值(1)0f =，没有极大值． …………3分 （2）先证明：当()0f x ≥恒成立时，有 0a <≤e 成立． 若10ex <≤，则()(ln 1)0x f x a x =-+≥e 显然成立； 若1e x >，由()0f x ≥得e ln 1xa x ≤+，令e ()ln 1xx x ϕ=+，则21e (ln 1)()(ln 1)x x x x x ϕ+-'=+， 令11()ln 1()e g x x x x =+->，由21()10g x x '=+>得()g x 在1(,)e+∞上单调递增， 又因为(1)0g =，所以()x ϕ'在1(,1)e 上为负，在(1,)+∞上为正，因此()x ϕ在1(,1)e上递减，在(1,)+∞上递增，所以min ()(1)e x ϕϕ==，从而0e a <≤．因而函数()y f x =若有两个零点，则e a >，所以(1)e 0f a =-<，由()ln (a f a a a a a =-->e e)得()ln 2a f a a '=--e ，则111()0e ea a f a a ''=->->->e e e ， 所以()ln 2a f a a '=--e 在(,)+∞e 上单调递增，所以2()()330f a f ''>=->->e e e e ，所以()ln a f a a a a =--e 在(,)+∞e 上单调递增，所以2()()22f a f >=->->e e e e e e 0，则(1)()0f f a <，所以21x a <<，由a >e 得111111()ln ln ln 0a a a a f a a a a a a a a a=--=+->+-=>e e e e e ，则 1(1)()0f f a <，所以111x a <<，综上得1211x x a a<<<<． (10)分（3）由（2）知当a =e 时，()0f x ≥恒成立，所以()ln 0x f x x =--≥e e e ， 即()ln x f x x =-≥e e e ， 设()(0)e x x h x x =>，则1()exxh x -'=， 当01x <<时，()0x ϕ'> ，所以()g x 在(0,1)上单调递增； 当1x >时，()0h x '<，所以()g x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(0)e x x h x x =>的最大值为1(1)e h =，即1x x ≤e e ，因而2x x-≤e e， 所以2()ln x x xf x x -=-≥≥e e e e，即221()ln 0x x f x x x --=--≥e e ． (16)分附加题参考答案21.A ．证：（1）∵CD 是圆O 的切线，∴2CD CA CB =⋅， 连结OD ，则OD CD ⊥， ∵BE 是圆O 的切线，∴BE ED =， 又12DE EC =，∴12BE EC =，∴30C ∠= ，则12OD OC =， 而OB OD =，∴CB BO OD OA ===，∴3CA CB =， …………5分 （2）将3CA CB =代入2CD CA CB =⋅得213CD CA CA =⋅，故CA =．……10分21.B . 解：（1）020120000a BA b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦设(,)P x y 是1l 上的任意一点，其在BA 作用下对应的点为(,)x y ''，得1l 变换到3l 的变换公式{2x ax y by '='=，则240ax by ++=即为直线1:40l x y -+=，则得1,12a b ==-． (5)分（2）0210B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，同理可得2l 的方程为240y x -+=，即240x y --=．………10分21.C . 解：（1）直线l的极坐标方程sin 4ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ= 即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l的直角坐标方程为60x y -+=；…………5分（2）P 为椭圆221169x y C +=:上一点，设(4cos 3sin )P αα,，其中[)02,α∈π，则P到直线l的距离d ==，其中4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=，∴当cos()1αϕ+=-时，d的最小值为21.D . 解： 因为2222()(112)()4a b a b c +≤++++=，所以2a b +≤，…………5分又|1-|22x c b a ≤++对任意实数c b a ,,恒成立, 故2max |-1|()2x a b ≥+=， 解得33≥-≤x x 或 ． …………10分22. 解：这5名幸运之星中，每人获得A 奖品的概率为2163=，B 奖品的概率为4263=． （1）要获得A 奖品的人数大于获得B 奖品的人数，则A 奖品的人数可能为3,4,5，则则所求概率为33244555551212151()()()()()33333243P C C C =++=． …………4分 （2）ξ的可能取值为1,3,5，且33222355121240(1)()()()()333381P C C ξ==+=，441455121210(3)()()()()333327P C C ξ==+=，0555552111(5)()()3381P C C ξ==+=， …………8分所以ξ的分布列是：故随机变量ξ的数学期望E ξ=401381⨯+⨯10275+⨯118118581=． (10)分23.解：（1）令1x =，则(1)(1)(1)f g g =，即(1)[(1)1]0g f ⋅-=， 因为(1)1310n f -=-≠，所以(1)0g =； 令1x =-，则23(1)(1)(1)fg g ⎡⎤⎡⎤--=-⎣⎦⎣⎦，即(1)(1)(1)f g g -=-，因为(1)[(1)1]0g f -⋅-=，因为(1)1310n f -=-≠，所以(1)0g -=； 例如2()(1)()n g x x n *=-∈N ． (4)分（2）当1n =时，22()1(1)f x x x x x =++=++，故存在常数01a =，11a =， 使得201()(1)f x a x a x =++．假设当n k =（k N *∈）时，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，k a ， 使得221222110121()(1)()()()k k k k k k k k f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++ ，即2221222110121(1)(1)()()()k k k k k k k k k x x a x a x x a x x a x x a x ---+-++=+++++++++ ．则当1n k =+时，2122()(1)(1)(1)k k f x x x x x x x +=++=++⋅++222111011(1)(1)()()k k k k kk k x x a x a x x a x x a x --+-⎡⎤=++⋅+++++++⎣⎦11212011110()k k k k k k k k a a x a x a x a x a x a x -+---=++++++++ 212221011110()k k k k k k k k a x a x a x a x a x a x a x +++--+++++++++231232122011110()k k k k k k k k a x a x a x a x a x a x a x +++++--+++++++++ 231010*********()()()()k k k k a a a x a a a x a a a x a a a x ----=+++++++++++++ 1212112()(2)()k k k k k k k k k k k a a a x a a x a a a x ++-----++++++++++ 2122122321210100()()()k k k k a a a x a a a x a a x a x -+++++++++++ 222122010210()()()()()k k k a x x a a x x a a a x x ++=+++++++++ 21121()()(2)k k k k k k k k a a a x x a a x ++---++++++；令00'a a =，101'a a a =+，21'm m m m a a a a --=++（2m k ≤≤），11'2k k k a a a +-=+； 故存在与x 无关的常数0'a ，1'a ，2'a ，…，'k a ，1'k a +；使得222122210121()'(1)'()'()'()'k k k k k k k k f x a x a x x a x x a x x a x +++++=+++++++++ ．综上所述，对于任意给定的正整数n ，都存在与x 无关的常数0a ，1a ，2a ，…，n a ，使得221222110121()(1)()()()n n n n n n n n f x a x a x x a x x a x x a x ---+-=+++++++++ ． …………10分。
江苏省泰州市第二中学2016-2017学年高一数学下学期期初检测试题(无答案)
泰州二中2016-2017学年度第二学期期初检测高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合{}{}220,0log 2,A x x B x x A B =-≥=<<=则____________.2. 若幂函数(,)y mx m R αα=∈的图像经过点1(8,)4，则α=____________. 3. 若一扇形的圆心角为72，半径为20cm ，则扇形的面积为_____________.4. 若1,2,+=a b a b a b ==-=则_______________.5. 函数5()log (21)f x x =+的单调增区间是____________.6. 已知1)f x =+则()f x 的解析式为__________________.7. 121(lg lg 25)1004--÷=_________________.8. 函数3sin 44y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的值域为_____________. 9. 设D ，E 分别是∆ABC 的边AB ，BC 上的点，AD=12AB ，BE=23BC.若1212(,)DE AB AC λλλλ=+为实数，则12λλ+的值为_____________. 10. 函数()lg 3f x x x =+-的零点在区间（m ，m+1）（m ∈Z ）内，则m=____________.11. 已知2tan()3,2cos 4πθθθ+=-则sin2的值为____________.12. 设α为锐角，若4cos(),sin(2)6512ππαα+=+则的值为_____________. 13．方程22sin lg 0x x π-=实数解的个数是 ．14. 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，他们的夹角为120，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+∈，其中x,y R ，则x y +的最大值为______________.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15. （本小题满分14分）已知集合{()lg(1)A x f x x ==-，集合{}2,0x B y y a x ==+≤， （1）若32a =，求A B ;（2）若A B φ=，求实数a 的取值范围。
江苏省泰州市第二中学2017届高三12月月考数学试题 Word版含答案
高三数学限时作业一、填空题： 每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．． 1．若函数cos()3y x πω=+(0)ω>的最小正周期是π，则ω= ．2．若复数(12)(1)i ai ++是纯虚数，则实数a 的值是 ．3．已知平面向量(1,1)a =- ，(2,1)b x =-，且a b ⊥ ，则实数x =4．.已知集合{}{}1,3,1,2,A B m ==,若A B ⊆,则实数m = . 5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ． 6．给出下列四个命题：（1）如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面α相交（2）如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β（3）如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直（4）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β真命题．．．的序号是 ．（写出所有真命题的序号） 7设直线ax －y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a ＝________.8．已知二次函数()f x =241ax x c -++的值域是[1,)+∞，则19a c+的最小值是 ． 9．设函数3()32f x x x =-++，若不等式2(32sin )3f m m θ+<+对任意R θ∈恒成立，则实数m 的取值范围为 ．10．若动点(,)P m n 在不等式组2400x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动，则1n m t m -=+的取值范围是 ． 11．在ABC∆中，AB 边上的中线2CO =，若动点P 满足221sin cos 2AP AB AC θθ=⋅+⋅ ()R θ∈，则()PA PB PC +⋅ 的最小值是 ．（第5题）A BC DD 1C 1B 1A 1 12．设D 是函数()y f x =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00()f x x =-，则称0x 是()f x 的一个“次不动点”，也称()f x 在区间D 上存在次不动点．若函数25()32f x ax x a =--+在区间[1,4]上存在次不动点，则实数a 的取值范围是 ． 13．已知函数132s i n (4)(+-=πx x f ，给定条件p ：24ππ≤≤x ，条件q ：2)(2<-<-m x f ，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为14．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的等差数列{}n a 及任意的正整数n 都有不等式22212n n S a a nλ+≥成立，则实数λ的最大值为二、解答题：15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos a B c B b C =+． （1）求角B 的大小；（2）设向量(cos ,cos2)m A A = ，(12,5)n =- ，求当m n ⋅ 取最大值时，tan()4A π-的值．16．（本小题满分14分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD ADC ∠=∠=︒，2AB AD =，CD AD =．（1）求证：1B CB ∠是二面角1B AC B --的平面角； （2）在A 1B 1上是否存一点P ，使得DP 与平面BCB 1与平面ACB 1都平行？证明你的结论．A117．（本小题满分14分）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。
江苏省泰州市第二中学2016-2017学年高一数学下学期期初检测试题(无答案)
泰州二中2016-2017学年度第二学期期初检测高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合{}{}220,0log 2,A x x B x x A B =-≥=<<=则____________.2. 若幂函数(,)y mx m R αα=∈的图像经过点1(8,)4，则α=____________. 3. 若一扇形的圆心角为72，半径为20cm ，则扇形的面积为_____________.4. 若1,2,+=a b a b a b ==-=则_______________.5. 函数5()log (21)f x x =+的单调增区间是____________.6. 已知1)f x =+则()f x 的解析式为__________________.7. 121(lg lg 25)1004--÷=_________________.8. 函数3sin 44y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的值域为_____________. 9. 设D ，E 分别是∆ABC 的边AB ，BC 上的点，AD=12AB ，BE=23BC.若1212(,)DE AB AC λλλλ=+为实数，则12λλ+的值为_____________. 10. 函数()lg 3f x x x =+-的零点在区间（m ，m+1）（m ∈Z ）内，则m=____________.11. 已知2tan()3,2cos 4πθθθ+=-则sin2的值为____________.12. 设α为锐角，若4cos(),sin(2)6512ππαα+=+则的值为_____________. 13．方程22sin lg 0x x π-=实数解的个数是 ．14. 给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，他们的夹角为120，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+∈，其中x,y R ，则x y +的最大值为______________.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15. （本小题满分14分）已知集合{()lg(1)A x f x x ==-，集合{}2,0x B y y a x ==+≤， （1）若32a =，求A B ;（2）若A B φ=，求实数a 的取值范围。
泰州中学2017届高三下学期期初考试数学试题 含答案bybao
江苏省泰州中学2016—2017学年度第二学期期初考试数学试题2017。
2一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）若集合{}(){}22|1381,|log 1x A x B x x x =≤≤=->,则AB = 。
1. 已知i 是虚数单位,则32ii-+的虚部为 .3.已知函数()2log ,1,1x x f x x c x ≥⎧=⎨+<⎩,则“1c =-"是“函数在R 上单调递增”的条件.4.下图是某算法流程图，则算法运行后输出的结果是 。
5．将四个人（含甲、乙）分成两组,则甲、乙为同一组的概率为 。
6。
已知抛物线28y x =的焦点恰好是椭圆()22210x y a a +=>的右焦点，则椭圆方程为 。
7。
已知正四棱锥的底面边长为2383是 。
8.平面向量a 与b 的夹角为23π,()3,0,2a b ==则2a b +=. 9.若等比数列{}na 的公比1q ≠且满足：12376,a aa a ++++=2222123718a a a a ++++=，则1234567a a a a a a a -+-+-+的值为。
10。
点P 为直线34y x=上任一点,()()215,0,5,0F F -，则12PF PF -的取值范围为 .11.在OMN ∆中，点A 在OM 上，点B 在ON 上，且//,2AB MN OA OM =，若OP xOA yOB =+，则终点P 落在四边形ABNM 内（含边界）时,21y x x +++的取值范围为 . 12。
函数()cos2xf x π=，对任意的实数t ,记()f x 在[],1t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ,则函数()()()h t M t m t =-的值域为 。
13。
已知A 是射线()00x y x +=≤上的动点，B 是x 轴正半轴上的动点，若直线AB 与圆221x y +=相切，则AB 的最小值为 .14。
【数学】江苏省泰州市第二中学2020届高三下学期第二次限时作业
江苏省泰州市第二中学2021届高三下学期第二次限时作业参考公式：样本数据x 1 ,x 2 ,… ,x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2 ,其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ,其中S 为锥体的底面积 ,h 为锥体的高．一、填空题 (本大题共14小题 ,每题5分 ,计70分. 不需写出解答过程 ,请把答案写在答题纸的指定位置上 )1．集合A ＝{－3 ,－1 ,1 ,2} ,集合B ＝ ,使得f (x 1 ) =g (x 2 )成立 ,那么实数a 的取值范围是 ▲ ．13．如图 ,用一块形状为半椭圆(y≥0 )的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ,记所得等腰梯形的面积为S ,那么的最||小值是 ▲ ．14．给出定义：假设m ﹣＜x≤m + (其中m 为整数 ) ,那么m叫做离实数x 最||近的整数 ,记作{x} =m ．在此根底上给出以下关于函数f (x ) =|x ﹣{x}|的四个命题：①函数y =f (x )的定义域为R ,值域为；②函数y =f (x )的图象关于直线x = (k ∈Z )对称； ③函数y =f (x )是周期函数 ,最||小正周期为1；④函数y =f (x )在上是增函数．其中正确的命题的序号 ▲ ．二、解答题 (本大题共6小题 ,计90分.解容许写出必要的文字说明 ,证明过程或演算步骤 ,请把答案写在答题纸的指定区域内 ) 15．(本小题总分值14分)在平面直角坐标系xOy 中 ,点,sin ,cos ),0,56(）（ααP A 其中20πα<<．(1 )假设,65cos =α求证：.PO PA ⊥ (2 )。
)4sin(2的值求若πα+=，PO PA16．(本小题总分值14分)如图 ,在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中 ,E 为BC 的中点 , F 为1DC 的中点.(1 )求证：1BD ∥平面1C DE ； (2 )求三棱锥A BDF -的体积.17．(本小题总分值14分)为了保护环境 ,开展低碳经济 ,某单位在国|家科研部门的支持下 ,进行技术攻关 ,采用了新工艺 ,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．该单位每月的处理量最||少为400吨 ,最||多为600吨 ,月处理本钱y (元 )与月处理量x (吨 )之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+ ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． (1 )该单位每月处理量为多少吨时 ,才能使每吨的平均处理本钱最||低 ?(2 )该单位每月能否获利 ?如果获利 ,求出最||大利润；如果不获利 ,那么国|家至||少需要补贴多少元才能使该单位不亏损 ?18． (本小题总分值16分)如图 ,椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>> ,以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=> ,设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．(1 )求椭圆C 的方程；(2 )求TM TN ⋅的最||小值 ,并求此时圆T 的方程；(3 )设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点 ,且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ,O 为坐标原点 ,求证：OR OS ⋅为定值．19．(本小题总分值16分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝2 ,S 6＝22． (1 )求S n ；(2 )假设从{a n }中抽取一个公比为q 的等比数列{a k n } ,其中k 1＝1 , 且k 1＜k 2＜…＜k n ＜… ,k n ∈N *．①当q 取最||小值时 ,求{ k n }的通项公式；②假设关于n (n ∈N *)的不等式6S n ＞k n ＋1有解 ,试求q 的值．20．(本小题总分值16分) 函数22()ln(21)2().3x f x ax x ax a R =++--∈(1 )假设x =2为()f x 的极值点 ,求实数a 的值；(2 )假设()y f x =在[)3,+∞上为增函数 ,求实数a 的取值范围；(3 )当12a =-时 ,方程3(1)(1)3x b f x x--=+有实根 ,求实数b 的最||大值 .高三数学(附加题)21．选修4－2：矩阵与变换二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ,试求矩阵A ．22．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中 ,曲线C 的参数方程是sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩(θ是参数 ) ,假设以O 为极点 ,x 轴的正半轴为极轴 ,取与直角坐标系中相同的单位长度 ,建立极坐标系 ,求曲线C 的极坐标方程．23．抛物线顶点在原点 ,焦点在坐标轴上 ,又知此抛物线上的一点A (m ,－3)到焦点F 的距离为5 ,求m 的值 ,并写出此抛物线的方程.24．如图 ,在正四棱锥P －ABCD 中 ,P A ＝AB ＝ 2 ,点M ,N 分别在线段P A 和BD 上 ,BN ＝13BD ．(1 )假设PM ＝13P A ,求证：MN ⊥AD ；(2 )假设二面角M －BD －A 的大小为π4,求线段MN 的长度．参考答案一、填空题：本大题共14小题 ,每题5分 ,计70分. 1. {1,2} 2. －3 3.23 4. 55 5. 2656. 3y x =±7.8. 2 9、 a =2或a≤1 10. 2x 2﹣2y 2 =1 11. k>0,且k 22≠12.13.14. ①②③ ．二、解答题： 15． (1 ) (方法一 )由题设知).sin ,cos (),sin ,cos 56(a a PO a a PA --=--=……………………2分所以2sin ()cos )(cos 56(）a a a PO PA -+--=⋅.1cos 56sin cos cos 5622+-=++-=a a a a ……………………6分 因为,65cos =a 所以.0=⋅PO PA 故.PO PA ⊥……………………7分(方法二)因为,65cos =a ,20π<<a 所以611sin =a ,故.611,65(）P ………………2分因此).611,65(),611,3011(--=-=PO PA ……………………4分 因为.0)611()65(30112=-+-⨯=⋅PO PA所以.PO PA ⊥ ……………………7分(2 )，PO PA ⊥,PO PA即.sin cos sin )56cos 2222a a a a +=+-（解得.53cos =a 因为,20π<<a 所以.54sin =a 因此 .2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-===a a a a a 从而.50217)257(222524222cos 222sin 2242sin(=-⨯+⨯=+=+a a a ）π……14分 16．解： (1 )连接1D C 与1DC 交于点F ,连接EF因为E 为BC 的中点 ,F 为1DC 的中点.所以1EF BD又 EF ⊂平面1C DE ,1BD ⊄平面1C DE所以1BD 平面1C DE - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -8分(2 )由于点F 到平面ABD 的距离为1故三棱锥A BDF -的体积111212213323A BDF F ABD ABD V V S --∆==== - - - - - - - -14分17、解： (1 )由题意可知 ,二氧化碳的每吨平均处理本钱为：1800002002y x x x=+-…………………………………………………4分200200≥= , 当且仅当1800002x x= ,即400x =时 , 才能使每吨的平均处理本钱最||低 ,最||低本钱为200元．…………………8分 (2 )设该单位每月获利为S ,那么100S x y =-…………………………………………………………………10分2211100(20080000)3008000022x x x x x =--+=-+-21(300)350002x =---因为400600x ≤≤ ,所以当400x =时 ,S 有最||大值40000-．故该单位不获利 ,需要国|家每月至||少补贴40000元 ,才能不亏损．…………14分18．此题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等根底知识 ,考查运算求解能力、推理论证能力 ,考查函数与方程思想、数形结合思想解： (1 )依题意 ,得2a = ,c e a ==,1,322=-==∴c a b c ； 故椭圆C 的方程为2214x y += ． …………………3分 (2 )方法一：点M 与点N 关于x 轴对称 ,设),(11y x M ,),(11y x N - , 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上 ,所以412121xy -=． (* ) ……………4分由(2,0)T - ,那么),2(11y x TM += ,),2(11y x TN -+= ,21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ．………6分由于221<<-x ,故当581-=x 时 ,TM TN ⋅取得最||小值为15-．由 (* )式 ,531=y ,故83(,)55M - ,又点M 在圆T 上 ,代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． …………………8分方法二：点M 与点N 关于x 轴对称 ,故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ- , 不妨设sin 0θ> ,由(2,0)T - ,那么)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ．……6分故当4cos 5θ=-时 ,TM TN ⋅取得最||小值为15- ,此时83(,)55M - ,又点M 在圆T 上 ,代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． ………8分(3) 方法一：设),(00y x P ,那么直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=- ,令0y = ,得101001y y y x y x x R --=, 同理：101001y y y x y x x S ++= , …………10分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ (** ) ………………12分又点M 与点P 在椭圆上 ,故)1(42020y x -= ,)1(42121y x -= ,……………………14分 代入 (** )式 ,得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值．……………………16分方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ- ,不妨设sin 0θ> ,)sin ,cos 2(ααP ,其中θαsin sin ±≠．那么直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ,令0y = ,得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ,同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ,………………12分故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值．…………14分19． 解： (1 )设等差数列的公差为d ,那么611665222S a d =+⋅⋅= ,解得23d = ,…2分 所以(5)3n n n S +=. …………4分 (2 )因为数列}{n a 是正项递增等差数列 ,所以数列}{n k a 的公比1>q , 假设22=k ,那么由382=a ,得3412==a a q ,此时932)34(223=⋅=k a ,由)2(32932+=n , 解得*310N n ∉= ,所以22>k ,同理32>k ； …………6分 假设42=k ,那么由44=a ,得2=q ,此时122-⋅=n k n a ,另一方面 ,2(2)3n k n a k =+ ,所以2(2)23n n k += ,即1322n n k -=⨯- , ………8分 所以对任何正整数n ,n k a 是数列}{n a 的第2231-⋅-n 项．所以最||小的公比2=q ． 所以2231-⋅=-n n k ． …………10分(3 )因为12423n n n k k a q -+== ,得132n n k q -=- ,而1q > , 所以当1q >且q N ∈时 ,所有的132n n k q -=-均为正整数 ,适合题意； 当2q >且q N ∉时 ,132n n k q N -=-∈不全是正整数 ,不合题意.而16n n S k +>有解 ,所以2(5)213nn n q++>有解 ,经检验 ,当2q = ,3q = ,4q =时 ,1n =都是2(5)213nn n q ++>的解 ,适合题意； ……………12分下证当5q ≥时 ,2(5)213nn n q++>无解, 设2(5)23n n n n b q ++= , 那么212[(1)(75)7]3n n nq n q n q b b q+-+-+--= , 因为57022q q-<- ,所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减 ,又因为(1)0f < ,所以()0f n <恒成立 ,所以10n n b b +-< ,所以1n b b ≤恒成立 , 又因为当5q ≥时 ,11b < ,所以当5q ≥时 ,16n n S k +>无解. ……………15分 综上所述 ,q 的取值为2,3,4. ………………16分20. (1)解：222[2(14)(42)]2()222121x ax a x a a f x x x a ax ax +--+'=+--=++ (1)分因为x = 2为f (x )的极值点 ,所以(2)0f '= ……2分 即22041aa a -=+ ,解得：a = 0 ……3分 又当a = 0时 ,()(2)f x x x '=- ,从而x = 2为f (x )的极值点成立． ……4分(2)解：∵f (x )在区间 ……10分(3)解：12a =-时 ,方程3(1)(1)3xb f x x --=+可化为 ,2ln (1)(1)bx x x x --+-=． 问题转化为2[ln ]b x x x x =+-在(0 , +∞)上有解 ……12分令2()ln h x x x x =+- ,那么(21)(1)1()12x x h x x x x+-'=+-=…14分 当0 < x < 1时 ,()0h x '> ,∴h (x )在(0 ,1)上为增函数 当x > 1时 ,()0h x '< ,∴h (x )在(1 , +∞)上为减函数故h (x )≤h (1) = 0 ,而x > 0 ,故()0b xh x =≤ 即实数b 的最||大值是0． ……16分21设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,这里a b c d ∈R ,,, , 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量 ,那么有110110a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦① ,……4分又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量 ,那么有210100a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦②…6分 根据①② ,那么有1010200a b c d a c --=⎧⎪-+-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩,,,, …………………………………………………8分从而2101a b c d ==-==,,,,因此2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,………………………………10分 22C ． (选修4 -4：坐标系与参数方程 )由sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩得1sin cos y x θθ-=⎧⎨=⎩ ,两式平方后相加得22(1)1x y +-= ,…………4分 ∴曲线C 是以(0,1)为圆心 ,半径等于的圆．令cos ,sin x y ρθρθ== ,代入并整理得2sin ρθ=．即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． …………10分 23证明：连接AC ,BD 交于点O ,以OA 为x 轴正方向 ,以OB 为y 轴正方向 ,OP 为z 轴建立空间直角坐标系．因为P A ＝AB ＝ 2 ,那么A (1 ,0 ,0) ,B (0 ,1 ,0) ,D (0 ,－1 ,0) ,P (0 ,0 ,1)． (1 )由BN →＝13BD → ,得N (0 ,13 ,0) ,由PM →＝13PA →,得M (13 ,0 ,23) ,所以MN →＝(－13 ,13 ,－23) ,AD →＝(－1 ,－1 ,0)．因为MN →·AD →＝0．所以MN ⊥AD ． ………………………………………4分 (2 )因为M 在P A 上 ,可设PM →＝λPA →,得M (λ ,0 ,1－λ)． 所以BM →＝(λ ,－1 ,1－λ) ,BD →＝(0 ,－2 ,0)． 设平面MBD 的法向量n ＝(x ,y ,z ) ,由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0 n ·BM →＝0得⎩⎨⎧－2y ＝0 λx －y ＋(1－λ)z ＝0其中一组解为x ＝λ－1 ,y ＝0 ,z ＝λ ,所以可取n ＝(λ－1 ,0 ,λ)．………8分 因为平面ABD 的法向量为OP →＝(0 ,0 ,1) ,所以cos π4＝|n ·OP →|n ||OP →|| ,即22＝λ(λ－1)2＋λ2 ,解得λ＝12 , 从而M (12 ,0 ,12) ,N (0 ,13,0) ,所以MN ＝(12－0)2＋(0－13)2＋(12－0)2＝226． ………10分 24解 ①假设抛物线开口方向向下 ,设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0) , 这时准线方程为y ＝p2,由抛物线定义知p2－(－3)＝5 ,解得p ＝4 ,∴抛物线方程为x 2＝－8y ,这时将点A (m ,－3)代入方程 ,得m ＝±2 6.②假设抛物线开口方向向左或向右 ,可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0) ,从p ＝|a |知准线方程可统一成x ＝－a 2的形式 ,于是从题设有⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝52am ＝9 ,解此方程组可得四组解⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1m 1＝92 ,⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝－1m 2＝－92 ,⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝9m 3＝12 ,⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－9m 4＝－12. ∴y 2＝2x ,m ＝92；y 2＝－2x ,m ＝－92；y 2＝18x ,m ＝12；y 2＝－18x ,m ＝－12.综上所述：所求结果为：y 2＝2x ,m ＝92；y 2＝－2x ,m ＝－92；y 2＝18x ,m ＝12；y 2＝－18x ,m ＝－12；x 2＝－8y ,m ＝±2 6.。
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联系电话：4000-916-716江苏省泰州市第二中学2017届高三下学期第二次限时作业参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ． 锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{－3，－1，1，2}，集合B ＝，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 13．如图，用一块形状为半椭圆（y≥0）的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ，记所得等腰梯形的面积为S ，则的最小值是 ▲ ．14．给出定义：若m ﹣＜x≤m+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}=m ．在此基础上给出下列关于函数f （x ）=|x ﹣{x}|的四个命题： ①函数y=f （x ）的定义域为R ，值域为；②函数y=f （x ）的图象关于直线x=（k ∈Z ）对称； ③函数y=f （x ）是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f （x ）在上是增函数．其中正确的命题的序号 ▲ ． 联系电话：4000-916-716二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点,sin ,cos ),0,56(）（ααP A 其中20πα<<．（1）若,65cos =α求证：.PO PA ⊥ （2）。
)4sin(2的值求若πα+=，PO PA16．(本小题满分14分)如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点， F 为1DC 的中点.（1）求证：1BD ∥平面1C DE ； （2）求三棱锥A BDF -的体积. 联系电话：4000-916-71617．(本小题满分14分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 联系电话：4000-916-71618． (本小题满分16分)如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．19．(本小题满分16分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 6＝22． （1）求S n ；（2）若从{a n }中抽取一个公比为q 的等比数列{a k n }，其中k 1＝1， 且k 1＜k 2＜…＜k n ＜…，k n ∈N *．①当q 取最小值时，求{ k n }的通项公式；②若关于n (n ∈N *)的不等式6S n ＞k n ＋1有解，试求q 的值． 联系电话：4000-916-71620．(本小题满分16分) 已知函数22()ln(21)2().3x f x ax x ax a R =++--∈（1）若x=2为()f x 的极值点，求实数a 的值；（2）若()y f x =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，方程3(1)(1)3x b f x x--=+有实根，求实数b 的最大值。
高三数学(附加题)21．选修4－2：矩阵与变换已知二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．22．选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是sin1cosyxθθ=+⎧⎨=⎩（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．23．已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点A(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值，并写出此抛物线的方程.联系电话：4000-916-716 联系电话：4000-916-71624．如图，在正四棱锥P －ABCD 中，P A ＝AB ＝2，点M ，N 分别在线段P A 和BD 上，BN ＝13BD ． （1）若PM ＝13P A ，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M －BD －A 的大小为π4，求线段MN 的长度． 联系电话：4000-916-716参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1. {1,2} 2. －3 3.23 4. 55 5. 2656. 3y x =±7.8. 2 9、 a=2或a≤1 10. 2x 2﹣2y 2=1 11. k>0,且k 22≠12. 13.14. ①②③ ．二、解答题： 15．（1）（方法一）由题设知).sin ,cos (),sin ,cos 56(a a PO a a PA --=--=……………………2分所以2sin ()cos )(cos 56(）a a a PO PA -+--=⋅.1cos 56sin cos cos 5622+-=++-=a a a a ……………………6分 因为,65cos =a 所以.0=⋅PO PA 故.PO PA ⊥……………………7分（方法二）因为,65cos =a ,20π<<a 所以611sin =a ，故.611,65(）P ………………2分因此).611,65(),611,3011(--=-=PO PA ……………………4分因为.0)611()65(30112=-+-⨯=⋅PO PA所以.PO PA ⊥ ……………………7分（2）因为，PO PA ⊥所以,22PO PA = 联系电话：4000-916-716即.sin cos sin )56cos 2222a a a a +=+-（解得.53cos =a 因为,20π<<a 所以.54sin =a 因此 .2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-===a a a a a 从而.50217)257(222524222cos 222sin 2242sin(=-⨯+⨯=+=+a a a ）π……14分 16．解：（1）连接1D C 与1DC 交于点F ，连接EF因为E 为BC 的中点，F 为1DC 的中点.所以1EF BD又 EF ⊂平面1C DE ，1BD ⊄平面1C DE所以1BD 平面1C DE --------------------------------------------------------8分 （2）由于点F 到平面ABD 的距离为1故三棱锥A BDF -的体积111212213323A BDF F ABD ABD V V S --∆==== --------14分 17、解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：1800002002y x x x=+-…………………………………………………4分 18000022002002x x≥⋅-=， 当且仅当1800002x x=，即400x =时， 才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．…………………8分 （2）设该单位每月获利为S ,则100S x y =-…………………………………………………………………10分2211100(20080000)3008000022x x x x x =--+=-+-21(300)350002x =---因为400600x ≤≤，所以当400x =时，S 有最大值40000-． 联系电话：4000-916-716故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．…………14分18．本题考查椭圆的方程和几何性质、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想 解：（1）依题意，得2a =，32c e a ==，1,322=-==∴c a b c ； 故椭圆C 的方程为2214x y += ． …………………3分 （2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121xy -=． （*） ……………4分由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ．………6分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-．由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． …………………8分方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM 3cos 8cos 5sin )2cos 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ．……6分故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-，此时83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =． 联系电话：4000-916-716故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． ………8分 (3) 方法一：设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， …………10分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） ………………12分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，……………………14分 代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值．……………………16分方法二：设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-，不妨设sin 0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαsin sin ±≠．则直线MP 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ，同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ，………………12分故4sin sin )sin (sin 4sin sin )sin cos cos (sin 42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ． 所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值．…………14分19． 解：（1）设等差数列的公差为d ，则611665222S a d =+⋅⋅=，解得23d =，…2分 所以(5)3n n n S +=. …………4分 （2）因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比，若，则由，得，此时，由， }{n a }{n k a 1>q 22=k 382=a 3412==a a q 932)34(223=⋅=k a )2(32932+=n 联系电话：4000-916-716解得，所以，同理； …………6分 若，则由，得，此时，另一方面，2(2)3n k n a k =+，所以2(2)23n n k +=，即1322n n k -=⨯-， ………8分 所以对任何正整数，是数列的第项．所以最小的公比． 所以． …………10分（3）因为12423n n n k k a q -+==，得132n n k q -=-，而1q >， 所以当1q >且q N ∈时，所有的132n n k q -=-均为正整数，适合题意； 当2q >且q N ∉时，132n n k q N -=-∈不全是正整数，不合题意. 而16n n S k +>有解，所以2(5)213nn n q ++>有解，经检验，当2q =，3q =，4q =时，1n =都是2(5)213nn n q++>的解，适合题意； ……………12分 下证当5q ≥时，2(5)213n n n q ++>无解, 设2(5)23nnn n b q ++=， 则212[(1)(75)7]3n n nq n q n q b b q +-+-+--=，因为57022q q-<-，所以2()2[(1)(75)7]f n q n q n q =-+-+-在*n N ∈上递减，又因为(1)0f <，所以()0f n <恒成立，所以10n n b b +-<，所以1n b b ≤恒成立， 又因为当5q ≥时，11b <，所以当5q ≥时，16n n S k +>无解. ……………15分 综上所述，q 的取值为2,3,4. ………………16分20. (1)解：222[2(14)(42)]2()222121x ax a x a a f x x x a ax ax +--+'=+--=++ (1)分*310N n ∉=22>k 32>k 42=k 44=a 2=q 122-⋅=n k n a n n k a }{n a 2231-⋅-n 2=q 2231-⋅=-n n k 联系电话：4000-916-716因为x = 2为f (x )的极值点，所以(2)0f '= ……2分 即22041aa a -=+，解得：a = 0 ……3分 又当a = 0时，()(2)f x x x '=-，从而x = 2为f (x )的极值点成立． ……4分(2)解：∵f (x )在区间 ……10分(3)解：12a =-时，方程3(1)(1)3xb f x x --=+可化为，2ln (1)(1)bx x x x --+-=． 问题转化为2[ln ]b x x x x =+-在(0，+∞)上有解 ……12分 令2()ln h x x x x =+-，则(21)(1)1()12x x h x x x x+-'=+-=…14分 当0 <x < 1时，()0h x '>，∴h (x )在(0，1)上为增函数 当x > 1时，()0h x '<，∴h (x )在(1，+∞)上为减函数故h (x )≤h (1) = 0，而x > 0，故()0b xh x =≤ 即实数b 的最大值是0． ……16分21设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,， 因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，则有110110a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦①，……4分 又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，则有210100a b c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦②…6分 根据①②，则有1010200a b c d a c --=⎧⎪-+-=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩,,,, …………………………………………………8分从而2101a b c d ==-==,,,,因此2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，………………………………10分 22C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）由sin 1cos y x θθ=+⎧⎨=⎩得1sin cos y x θθ-=⎧⎨=⎩，两式平方后相加得22(1)1x y +-=，…………4分 ∴曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于的圆．令cos ,sin x y ρθρθ==，代入并整理得2sin ρθ=．即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． …………10分 联系电话：4000-916-71623证明：连接AC ，BD 交于点O ，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴建立空间直角坐标系．因为P A ＝AB ＝2，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，D (0，－1，0)，P (0，0，1)． （1）由BN →＝13BD →，得N (0，13，0)，由PM →＝13PA →，得M (13，0，23)，所以MN →＝(－13，13，－23)，AD →＝(－1，－1，0)．因为MN →·AD →＝0．所以MN ⊥AD ． ………………………………………4分 （2）因为M 在P A 上，可设PM →＝λPA →，得M (λ，0，1－λ)． 所以BM →＝(λ，－1，1－λ)，BD →＝(0，－2，0)． 设平面MBD 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎨⎧－2y ＝0，λx －y ＋(1－λ)z ＝0，其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n ＝(λ－1，0，λ)．………8分 因为平面ABD 的法向量为OP →＝(0，0，1)，所以cos π4＝|n ·OP →|n ||OP →||，即22＝λ(λ－1)2＋λ2，解得λ＝12， 从而M (12，0，12)，N (0，13，0)，所以MN ＝(12－0)2＋(0－13)2＋(12－0)2＝226． ………10分 24解 ①若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 这时准线方程为y ＝p2，由抛物线定义知p2－(－3)＝5，解得p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y ，这时将点A (m ，－3)代入方程，得m ＝±2 6.②若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为y 2＝2ax (a ≠0)，从p ＝|a |知准线 联系电话：4000-916-716方程可统一成x ＝－a 2的形式，于是从题设有⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝52am ＝9，解此方程组可得四组解⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1m 1＝92，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝－1m 2＝－92，⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝9m 3＝12，⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－9m 4＝－12. ∴y 2＝2x ，m ＝92；y 2＝－2x ，m ＝－92；y 2＝18x ，m ＝12；y 2＝－18x ，m ＝－12.综上所述：所求结果为：y 2＝2x ，m ＝92；y 2＝－2x ，m ＝－92；y 2＝18x ，m ＝12；y 2＝－18x ，m ＝－12；x 2＝－8y ，m ＝±2 6.。