人教A版选修(22)2.3数学归纳法教学设计

2.3 数学归纳法教学设计（第一课时）
恒大足球学校卢峥
三维目标：
1. 知识与技能
（1）通过多米诺骨牌实例探究，类比得出数学归纳法的产生过程，并理解数学归纳法的原理与实质；
（2）掌握数学归纳法证明的两个步骤，初步会用“数学归纳法”证明与自然数有关的简单命题；
（3）通过数学归纳法进一步理解归纳法的思想，并理解数学归纳法中的核心----递推思想.
2. 过程与方法
（1）通过引领学生探究某些问题的证明，认识到综合法、分析法以及反证法的不足，体会学习数学归纳法的必要；
（2）通过多米诺骨牌，经历知识产生与形成的一般过程，培养学生观察、分析、逻辑推理及归纳概括的能力，体会数学思想方法的广泛性，感受数学的博大与精深；（3）通过师生、生生的互动交流过程，从各层次认识所学问题和方法的本质，享受这个过程所带来的各种认识和收获，在学习交流中不断提高辨证思维素质以及
发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力. 为下一步的学习奠定良好的基
础.
3. 情态与价值观
（1）引导学生通过论证相关问题，总结数学归纳法的思想方法，体会数学推理方法的思想和本质，培养学生求真务实的科学态度和积极进取的创新精神，培养学
生辩证唯物主义观点，提高学生的思维推理能力.
(2) 通过学习数学归纳法的证明方法，使学生拥有实事求是的态度和严密的逻辑性.
使学生不断认识和体会数学知识的深刻内涵和应用价值，从而激发学生学习数
学的兴趣；
（3）通过引领学生利用数学归纳法论证各类数学问题.不断培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学意识和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神，并通过学科教学逐步引导学生形成正确的人生观和价值观.
教学重点：
数学归纳法的原理及步骤
教学难点：
数学归纳法中递推思想的理解
教 具：多媒体 几何画板
教学方法：设疑探究、分层推进教学法
教学过程：
一、设疑导入：
前面我们学习了合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明，进一步认识了数学中
常见的推理论证的方法.
PPT 展示下列问题分别采用的证明方法是？
学生回答完成这三道题分别采用的证明方法：分析法，综合法，反证法. 请学生思考：6
)12)(1(3212222++=++++n n n n （*N n ∈）的证明方法？ 采用分析法，综合法，反证法能完成上述等式的证明吗？显然都不能，这就需要我
们寻找新的证明方法.
二、创设情境,引入主题
PPT 展示“多米诺骨牌游戏”，同学们都见过或玩过多米诺骨牌游戏吗？播放多米
诺骨牌录像. 几何画板展示多米诺骨牌.
提问：大家想一下满足怎样的条件，所有多米诺骨牌才能都能倒下：
(1) 第 块骨牌倒下；
(2) 任意 的两块骨牌， 块倒下一定导致 倒下.
只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以 倒下． 将“多米诺骨牌原理”类比到数学式子的证明中：
由此，尝试着归纳出这种方法的原理及步骤，类比得出：
【数学归纳法的原理及步骤】
一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0（*0N n ∈）时命题成立；
（2）（归纳递推）假设n=k(*0,N k n k ∈≥)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.
上述证明方法叫做数学归纳法
有了此法，以前的一些猜想就可进行证明了，而且还可论证更丰富的数学问题.
三、应用举例：
例1 用数学归纳法证明6
)12)(1(3212222++=++++n n n n （*N n ∈） 【分析】证明与自然数n 有关的等式问题，用数学归纳法还是比较方便的，要注意数学归纳法的步骤的规范性，不要丢掉关键的字或词，如：当n=k+1时命题也成立中的“也”字.
【证明】(1）当n =1时,左边=12=1，右边=1 ∴n=1时，等式成立.
(2) 假设n=k （k ∈N*）时，等式成立，即6)12)(1(3212222++=
++++k k k k 那么，当n=k+1时
左边 =
=12+22+…+k 2+(k +1)2
=右边
∴n=k+1时，原不等式也成立. 由（1）、（2）知当n ∈N *时，原不等式都成立.
【点评】数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 再看一下证明步骤结构图：
命题对所有从n 0开始的正整数n 都成立.
练习 用数学归纳法证明
1＋3＋5＋‥＋（2n －1）＝2n
例2 用数学归纳法证明：
（黑板板书） 若n = k ( k ≥n 0 ，k ∈ N* ) 时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立. 验证n= n 0 时命题成立.
注意 ：
1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两步同样重要，两步骤缺一不可.
2. 第二步证明，由假设n ＝k 时命题成立，到n=k+1时．必须用假设条件，否则不是数学归纳法.
3. 最后一定要写“由（1）（2）……”
四、小结：
知识线：
（1）数学归纳法的原理与实质————类比多米诺骨牌原理；
（2）数学归纳法的步骤；
（3）数学归纳法中的递推的内涵.
思想方法线：
（1）数学归纳法；
（2）递推的思想方法.
题目线：
（1）利用数学归纳法证明与自然数n 有关的等式问题；
（2）利用数学归纳法证明关于数列的公式（通项、前n 项和）；
（3）利用数学归纳法证明与自然数n 有关的不等式问题；
（4）利用数学归纳法证明与自然数n 有关的平面几何问题；
（5）利用数学归纳法证明与自然数n 有关的整除问题.
五、针对训练 巩固提高：
1．用数学归纳法证明121*11(,1)1n n a a a a n N a a ++-+++
+=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为( )
A. 1
B. 1+a
C. 21a a ++
D. 231a a a +++
2. 用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n -+-++-=+++-++ *()n N ∈,则从k 到k+1时,左边所要添加的项是( )
A. 121k +
B. 112224k k -++
C. 121k -+
D. 112122
k k -++ 3．用数学归纳法证明)1,(12131211>∈<-++++
n N n n n 时，在第二步证明从n ＝k 到
n ＝k ＋1成立时，左边增加了的项数为 .
4．用数学归纳法证明2
2131211,1*n N n n >++++∈- 时，当1+=k n 时，在假设的基础上不等式两边应该增添的项是 .
三、解答题
5．用数学归纳法证明：
（1）2)12(531n n =-++++ .
(2) 12222112-=++++-n n .
（3）1
2)12)(12(1751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n . 6．已知数列
,,)1(1,,431,321,211 +⨯⨯⨯n n 计算,,,321S S S 由此推测计算n S 的公式，并给出证明.
附加题：
数列{}n a 满足,2n n S n a =-*n N ∈,先计算前4项后,猜想n a 的表达式,并用数学归纳 法证明.。