10.3 变量间的相关关系与统计案例(课时测试)-2017届高三数学(文)一轮复习(解析版)

高三一轮复习（文） 10.3变量间的相关性与统计案例（检测教师版）
时间:50分钟 总分：70分
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一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）
1．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i ) (i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．
的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )
C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg
D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【答案】D
【解析】由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确． 又线性回归方程必过样本中心点(x ，y )，因此B 正确．由线性回归方程中系数的意义知， x 每增加1 cm ，其体重约增加0.85 kg ，故C 正确．当某女生的身高为170 cm 时， 其体重估计值是58.79 kg ，而不是具体值，因此D 不正确．故选D ．
2．（2016北京昌平区二模）小王的手机使用的是每月300M 流量套餐，如图记录了小王在4月1日至 4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（ ）
A ．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日
B ．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M ，这个月总流量就不会超过套餐流量
C ．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大
D ．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小 【答案】C
【解析】对应A ：
（6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2）=9.14，故A 错误；
对于B ：11×20+91.4=311.4＞300，这个月总流量就超过套餐流量，故B 错误；
对于C 、D ，结合图象C 正确，D 错误；故选：C ． 3．已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ′＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A .b ^＞b ′，a ^
＞a ′ B.b ^＞b ′，a ^＜a ′ C. b ^＜b ′，a ^
＞a ′ D.b ^＜b ′，a ^＜a ′
【答案】C
【解析】作出散点图如图所示，在散点图中作出两条直线，由图可得b ^＜b ′，a ^
＞a ′，故选C.
4.如图，5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是( )
A ．相关系数r 变大
B ．残差平方和变大
C ．相关指数R 2变大
D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强 【答案】B
【解析】由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关， 所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．故选B. 5．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：
显然所减分数y ( ) A ．y ＝0.7x ＋5.25 B ．y ＝－0.6x ＋5.25 C ．y ＝－0.7x ＋6.25
D ．y ＝－0.7x ＋5.25
【答案】D
【解析】由题意，可知所减分数y 与模拟考试次数x 之间为负相关，所以排除A ，考试次数的平均数为 x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，所减分数的平均数为y ＝1
4(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，
即直线应该过点(2.5,3.5)，代入验证可知直线y ＝－0.7x ＋5.25成立，故选D.
6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有 样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝1
2
x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A ．－1
B ．0 C.1
2 D ．1
【答案】D
【解析】 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是相等的，即y i ＝y ^
i ，代入相关系数公式r ＝1. 故选D
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
7．（2016北京通州区一模）中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图（如图），其中上面的折线代表可能出现的最高气温，下面的折线代表可能出现的最低气温． 指出最高气温与最低气温的相关性____ ；
【答案】见解析
【解析】由最高气温与最低气温的折线图得到：最高气温与最低气温之间成正 相关，即最高气温越高，相应地最低气温也越高．
8．对于下列表示五个散点，已知求得的线性回归方程为＝0.8x －155，则实数m 的值为______
【答案】8
【解析】x ＝196＋197＋200＋203＋2045＝200，y ＝1＋3＋6＋7＋m 5＝17＋m 5。

样本中心点为⎝⎛⎭⎫200，17＋m 5，将样本中心点⎝
⎛⎭⎫
200，17＋m 5代入＝0.8x －155，可得m ＝8
9. .对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是
y ^
＝1
3
x ＋a ^ ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ^
的值是______
【答案】1
8
【解析】 依题意可知样本点的中心为⎝⎛⎭⎫34，38，则38＝13×34＋a ^
，解得a ^
＝18
. 10．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm,170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm. 【答案】185
【解析】儿子和父亲的身高可列表如下：
设回归直线方程为＝＋x ，由表中数据可求得x ＝173，y ＝176，∴1=b ，3=a ，故回归直线 方程为3+=∧
x y .当x ＝182时，＝182＋3＝185.故预测他的孙子的身高为185 cm. 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）
11．某种设备的使用年限x 和维修费用y (万元)，有以下的统计数据：
(1)(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程＝x ＋； (3)估计使用年限为10年，维修费用是多少？ 【答案】见解析
【解析】(1)散点图如图所示．
(2)由表中数据，计算得∑5
i ＝
1
x i y i ＝66.5， ∑5
i ＝
1
x 2i ＝32＋42＋52＋62
＝86， x ＝4.5，y ＝3.5，
则b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52
＝66.5－6386－81
＝0.7， a ^
＝y －x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35；所以所求的线性回归方程为y ^
＝0.7x ＋0.35.
(3)当x ＝10时，y ^
＝0.7×10＋0.35＝7.35，
所以使用年限为10年，维修费用约是7.35万元．
12.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
(1)从这5(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，
求出y 关于x 的线性回归方程
^
^^
t y b a =+；
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？ (参考数据：
3
3
21
1
977,434i i
i i i x y
x ==-==∑∑)
附：回归方程错误！未找到引用源。

中 错误！未找到引用源。

【答案】见解析
【解析】(1)所有的基本事件为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)， (25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个.
设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)， 共3个.所以P (A )＝3
10
.
（2）由数据得，另3天的平均数x ＝12，y ＝27，3x y ＝972，32
x ＝432，
33
2
1
1
977,434i i i i i x y x ==-==∑∑，所以＝977－972434－432＝52
，＝27－5
2×12＝－3，
所以y 关于x 的线性回归方程为＝5
2
x －3.
(3)依题意得，当x ＝10时，＝22，|22－23|<2；当x ＝8时，＝17，|17－16|<2， 所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的.。