全等辅助线秘籍五
全等三角形常见五种辅助线添法专训(学生版)
全等三角形常见五种辅助线添法专训【目录】辅助线添法一 倍长中线法辅助线添法二 截长补短法辅助线添法三 旋转法辅助线添法四 作平行线法辅助线添法五 作垂线法【经典例题一倍长中线法】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】1(2023春·吉林·八年级校考阶段练习)【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法回答下列问题．(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)探究得出AD的取值范围．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【问题解决】(3)如图2，在△ABC中，CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE．【变式训练】1(2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期末)小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≅△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小明证明△BED≅△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)AD的取值范围是；(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：AB= AC．2(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接CE．①证明△ABD≌△ECD；②若AB=5，AC=3，设AD=x，可得x的取值范围是；(2)如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF．3(2023·江苏·八年级假期作业)【观察发现】如图①，△ABC 中，AB =7，AC =5，点D 为BC 的中点，求AD 的取值范围．小明的解法如下：延长AD 到点E ，使DE =AD ，连接CE ．在△ABD 与△ECD 中BD =DC∠ADB =∠EDCAD =DE∴△ABD ≅△ECD (SAS )∴AB =．又∵在△AEC 中EC -AC <AE <EC +AC ，而AB =EC =7，AC =5，∴<AE <．又∵AE =2AD ．∴<AD <．【探索应用】如图②，AB ∥CD ，AB =25，CD =8，点E 为BC 的中点，∠DFE =∠BAE ，求DF 的长为．(直接写答案)【应用拓展】如图③，∠BAC =60°，∠CDE =120°，AB =AC ，DC =DE ，连接BE ，P 为BE 的中点，求证：AP ⊥DP ．【经典例题二截长补短法】【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法(往往需证2次全等)．【模型图示】(1)截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．例：如图，求证BE+DC=AD方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE (2)补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE+DC=AD方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE1(2023·江苏·八年级假期作业)把两个全等的直角三角形的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．(1)若∠ACD=30°，∠MDN=60°，∠MDN两边分别交AC、BC于点M、N，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当∠ACD+∠MDN=90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在(2)的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系(直接写出结论，不必证明)【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．若AE、CD为△ABC的角平分线．(1)求∠AFC的度数；(2)若AD=6，CE=4，求AC的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的平分线时，在AB上截取AE=AC，连接DE，易证AB=AC+CD．(1)如图②，当∠C≠90°，AD为△ABC的角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想.(2)如图③，当∠ACB≠90°，AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明.3(2023·江苏·八年级假期作业)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF=12∠BAD．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时(如图1)，请说明EF=BE+FD的理由．(2)当点E、F分别在边BC、CD延长线上时(如图2)，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．【经典例题三旋转法】【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等．注：旋转需要特定条件(两个图形的短边共线)，该方法常在半角模型中使用．【模型图示】例：如图，已知AB=AC，∠ABM=∠CAN=90°，求证BM+CN=MN方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE=MN1(2022秋·湖北孝感·八年级统考期中)已知：△ABC≌△DEC，∠ACB=90°，∠B=32°．(1)如图1当点D在AB上，∠ACD．(2)如图2猜想△BDC与△ACE的面积有何关系？请说明理由．(温馨提示：两三角形可以看成是等底的)【变式训练】1(2023春·全国·八年级专题练习)(1)如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF=45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由；(2)如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF= 1∠BAD，此时(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．22(2021秋·天津和平·八年级校考期中)在△BAC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于E，(1)如图(1)所示，若B，C在AE的异侧，易得BD与DE，CE的关系是DE=；(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时，(BD<CE)，其余条件不变，问BD与DE，CE的关系如何？请予以证明；(3)若直AE绕点A旋转到图(3)的位置，(BD>CE)，问BD与DE，CE的关系如何？请直接写出结果，不需证明．3(2021秋·河南周口·八年级统考期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．(1)操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；(2)猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；(3)拓展延伸若AB=5，BD=7，请你直接写出△ADE的面积．【经典例题四作平行线法】2(2022秋·江苏·八年级专题练习)如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．求让：MD=ME【变式训练】4(2022秋·江苏·八年级专题练习)P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA =CQ，连PQ交AC边于D．(1)证明：PD=DQ．(2)如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=6，求DE的长．5(2022秋·八年级课时练习)读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB =CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.6(2023春·全国·七年级专题练习)已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图(1)，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图(2)，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则(1)中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图(3)，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上(点D不与A，B重合)，DE所在直线与直线BC交于点M，若CE=2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【经典例题五作垂直法】1(2022秋·湖北武汉·八年级统考期中)我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①直接写出∠E与∠A的数量关系；②连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由．(2)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若已知DE=DC =AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．【变式训练】1(2022秋·八年级课时练习)如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC =BC，延长CA到点E，使得AE=AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．(1)求证：△EAF≌△DAF；(2)如图2，连接CF，若EF=FC，求∠DCF的度数．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．(1)现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．(2)请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．【重难点训练】4(2023·江苏·八年级假期作业)如图，AD为△ABC中BC边上的中线(AB>AC)．(1)求证：AB-AC<2AD<AB+AC；(2)若AB=8cm，AC=5cm，求AD的取值范围．5(2023·江苏·八年级假期作业)如图1，在△ABC中，若AB=10，BC=8，求AC边上的中线BD的取值范围．(1)小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE=BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．(2)问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB=BM，BC=BN，∠ABM=∠NBC=∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．6(2023春·全国·七年级专题练习)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)如图2，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是．A.SSSB.SASC.AASD.ASA(2)如图2，AD长的取值范围是．A.6<AD<8B.6≤AD≤8C.1<AD<7D.1≤AD≤7【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】(3)如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．7(2023·江苏·八年级假期作业)(1)如图1，已知△ABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；(2)如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；(3)如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．8(2023·江苏·八年级假期作业)课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，且AB+BD=AC，求证：∠ABC=2∠ACB，小明的方法是：如图2，在AC上截取AE，使AE=AB，连接DE，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段AB构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长AB至F，使BF=，连接DF请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在△ABC的内部，AD，BD，CD分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，且AB+BD=AC．求证：∠ABC=2∠ACB．请你解答小芸提出的这个问题(书写证明过程)；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，点D在边BC上，AB+BD=AC，那么AD平分∠BAC小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．9(2023春·江苏·八年级专题练习)如图，在锐角ΔABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB,AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．(1)如图1，若AB>AC，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF,CF,CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想．10(2023·江苏·八年级假期作业)问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；(直接写结论，不需证明)探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．11(2023·全国·九年级专题练习)(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；(不需要证明)(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=12∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．12(2023春·全国·七年级期末)(1)问题引入：如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合(D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上)，∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．(2)知识迁移：如图2，在四边形ABCD中，∠ADC+∠B=180°，AB=AD，E，F分别是边BC，CD延长线上的点，连接AE，AF，且∠BAD=2∠EAF，试写出线段BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由．(3)实践创新：如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC平分∠DAB，点E在AB上，连接DE，CE，且∠DAB=∠DCE=60°，若DE=a，AD=b，AE=c，求BE的长．(用含a，b，c的式子表示)13(2022秋·八年级课时练习)如图，点P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求证：DP=DQ；(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．14(2022秋·全国·八年级专题练习)如图，在△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB．(1)如图1，若ACB=90°，求证：AB=AC+CD；(2)如图2，若AB=AC+BD，求∠ACB的度数；(3)如图3，若∠ACB=100°，求证：AB=AD+CD．15(2023·全国·九年级专题练习)通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．【解决问题】如图，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．证明：延长CD 到G ，使DG =BE ，在△ABE 与△ADG 中，AB =AD∠B =∠ADG =90°BE =DG∴△ABE ≌△ADG 理由：(SAS )进而证出：△AFE ≌___________，理由：(__________)进而得EF =BE +DF ．【变式探究】如图，四边形ABCD 中，AB =AD ，∠BAD =90°点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°．若∠B 、∠D 都不是直角，则当∠B 与∠D 满足等量关系________________时，仍有EF =BE +DF ．请证明你的猜想．【拓展延伸】如图，若AB =AD ，∠BAD ≠90°，∠EAF ≠45°，但∠EAF =12∠BAD ，∠B =∠D =90°，连接EF ，请直接写出EF 、BE 、DF 之间的数量关系．。
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等添加辅助线的5种常用方法
三角形全等的证明及相关问题，是初中几何部分的基础，也是重点和难点，不管是在中考还是平时的考试中，都是高频出现。
全等三角形的基础知识点就那么几条，很容易掌握，但是一般考试中的题目，不可能直接给出几组条件让我们直接写出证明过程，很多时候都要经过分析思考，添加辅助线，才能得到全等三角形。
下面就简单介绍一下构造全等三角形的五种常用方法。
一、等腰三角形三线合一法
当我们遇到等腰三角形（等边三角形）相关题目时，用三线合一性质，很容易找出思路。
它的原理就是利用三角形全等变换中的对折重叠。
我们来看一个例题：
二、倍长中线法
遇到一个中点的时候，通常会延长经过该中点的线段。
倍长中线指延长中线至一点，使所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等。
如图所示，点D为△ABC边BC的中点．延长AD至点E，使得DE＝AD，并连接BE，则△ADC≌△EDB（SAS）。
我们来看一个例题：
三、遇角平分线作双垂线法
在题中遇见角平分线，做双垂直，必出全等三角形。
可以从角平分线上的点向两边作垂线，也可以过角平分线上的点作角平分线的垂线与角的两边相交。
在很多综合几何题当中，关于角平分线的辅助线添加方法最常用的就是这个。
看看在具体题目中怎么操作吧！
四、作平行线法
在几何题的证明中，作平行线的方法也非常实用，一般来讲，在等腰、等边这类特殊的三解形中，作平行线绝对是首要考虑。
五、截长补短法
题目中出现线段之间的和、差、倍、分时，考虑截长补短法；截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段间的等量关系。
(完整版)三角形全等添加辅助线口诀
三角形全等添加辅助线口诀人说几何很困难点就在辅助线，辅助线，如何添加？把握定理和概念，还要刻苦加钻研，找出规律凭经验，图中有角平分线，可向两边引垂线，也可将图对折看，对称以后关系现，角平分线平行线，等腰三角形来添，角平分线加垂线，三线合一试试看，线段垂直平分线，常向两边把线连，要证线段倍与半，延长缩短可试验，三角形中两中点，连接则成中位线，三角形中有中线，延长中线等中线。
几何，不谈战术谈战略学而思中考研究中心施佳辰作为和代数并列为初中数学两大知识点的几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。
话虽如此，变形金刚也不是无敌的，最终仍旧是人类的智慧更胜一筹。
实际上，每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型（变形金刚的原力所在）对于几何，我们不仅仅要在战术上坚定执行，在战略层面上也要对几何在初中三年的整体学习有一个明确的了解。
得模型者得几何，而模型思想的建立又并非一朝一夕，是需要同学们在大量的实战做题和不断总结方法中培养出来的。
对于模型的理解和认识，分为很多层面，最浅的是基本的形似，看到图形相仿或相似的题目，能够有意识的联想以前学过的题型并加以运用，套用，这是最简单的模型思想。
高一些的是神似，看到一些关键点，关键线段或是题目所给条件的相似便能够联想到所学知识点，通过推理和演绎逐步取得正确的解法，记住的是一些具体模型，这，是第二种层次。
最高的境界是，心中只有很少几种基本模型，这些模型就像种子，看到一道题目就会发芽，开花结果，随着对于题目的深入理解，不断地寻找适合的花朵，每一朵花上面都有着一种具体的模型，而每种模型之间，都会有树枝相连，相互间并不是孤立的，而是借由其他条件贯穿连接的。
达到这样的理解才能算是包罗万象，驾轻就熟。
我们对于模型的把控能不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目，我们要有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。
五种辅助线助你证全等
五种辅助线助你证全等构造全等三角形解竞赛题一、已知角平分线，利用轴对称构造全等三角形。
例1 在四边形中，对角线＞，下列结论中正确的是（）.A．＞ B．＝C．＜ D．与的大小关系不确定解：因为以AC为对称轴作△ACD的对称图形△ACE，则=＞故选A.二、已知中线，利用中心对称构造全等三角形。
例2 设G为△ABC的重心，且则△ABC的面积为（）。
解：如图，以BC的中点D为中心，将点G旋转180°至E，则四边形BGCE是平行四边形.在△BEG中，所以△BEG是直角三角形，因此例1图例2图例3图三、已知等边三角形，旋转60°构造全等三角形。
例3 已知P是等边△ABC内的一点，的度数为（）. 解：绕着点B将△ABP顺时针旋转60°，则△ABP≌△CBE，△BPE为等边三角形。
在△PCE中，所以△PCE是直角三角形，因此四、已知正方形，旋转90°构造全等三角形。
例4 已知P是正方形ABCD内的一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，的度数为（）.解：绕着点B将△ABP顺时针旋转90°，则△ABP≌△CBE，△BPE为等腰直角三角形。
在△PCE中，设所以△PCE是直角三角形，因此例4图例5图五、已知特殊角度，构造全等三角形。
例5 A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线，如图，AB=2千米，BC=3千米，在B村庄的正北方向有一个D村，测得今将△ADC区域规划为开发区，除其中4平方千米的水塘外，均作为建筑或绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少？解：分别以DA、DC为对称轴，作Rt△ADB和Rt△BDC的对称图形Rt△ADE和Rt△FDC，延长EA和FC交于G，则四边形DEGF是以DB为边长的正方形。
设由勾股定理得因此所以这个开发区的建筑及绿化用地的面积是11平方千米。
三角形全等证明思路解析：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
初中几何辅助线秘籍：常见辅助线作法口诀
初中几何辅助线秘籍：罕见辅助线作法口诀之巴公井开创作三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形罕见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
初中几何辅助线秘籍：常见辅助线作法口诀
初中几何辅助线秘籍：常见辅助线作法口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC∴△DOC≌△FOC，CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求证：CD=AD+BC。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。
全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助您证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线,对学习几何证明不久的学生而言往往就是难点.下面介绍证明全等时常见的五种辅助线,供同学们学习时参考.一、截长补短一般地,当所证结论为线段的与、差关系,且这两条线段不在同一直线上时,通常可以考虑用截长补短的办法:或在长线段上截取一部分使之与短线段相等;或将短线段延长使其与长线段相等.例1.如图1,在△ABC中,∠ABC=60°,AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB.求证:AC=AE+CD.分析:要证AC=AE+CD,AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE,则只要证明CF=CD.证明:在AC上截取AF=AE,连接OF.∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB,∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°,∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°.显然,△AEO≌△AFO,∴∠5=∠4=60°,∴∠7=180°－(∠4+∠5)=60°在△DOC与△FOC中,∠6=∠7=60°,∠2=∠3,OC=OC∴△DOC≌△FOC, CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD.截长法与补短法,具体作法就是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或就是将某条线段延长,使之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法,适合于证明线段的与、差、倍、分等类的题目。
例2:如图甲,AD∥BC,点E在线段AB上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB。
求证:CD=AD+BC。
思路分析:1)题意分析:本题考查全等三角形常见辅助线的知识:截长法或补短法。
2)解题思路:结论就是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”,即在CD上截取CF=CB,只要再证DF=DA即可,这就转化为证明两线段相等的问题,从而达到简化问题的目的。
解答过程:证明:在CD上截取CF=BC,如图乙∴△FCE≌△BCE(SAS),∴∠2=∠1。
全等辅助线秘籍五
全等辅助线秘籍五巧构等边例1在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠ABC=70°，∠BCD=170°，求∠BAD的度数。
BCDA例2如图，△ABC中，AB=AC，AD=BC，∠A=20°，求∠DCA的度数。
ADB C例3任意△ABC，试在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC的值最小AB C例4(2000 北京初二数学竞赛），在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD=BC=CE=DE。
求证：∠BAC=100°。
EDC BA例5如图所示，在△ABC 中，∠B =60°∠A =100°，E 为AC 的中点，∠DEC =80°，D 是BC 边上的点，BC =1，求△ABC 的面积与△CDE 的面积的两倍的和。
CDEBA例6如图所示，在△ABC 中，∠ACB =2∠ABC ，P 为三角形内一点，AP =AC ，PB =PC ， 求证：∠BAC =3∠BAP 。
ABCP1．如图所示，在四边形ABCD 中，BC CD =，60BCA ACD ∠-∠=︒，求证：AD CD AB +≥。
2．在ABC ∆中，AB AC =，60120A ︒<∠<︒，P 为ABC ∆内部一点，PC AC =，120PCA A ∠=︒-∠，求CBP ∠的度数。
PCBA3．在等边△ABC内有一点P，它到三个顶点A、B、C的距离分别为1、23、，求∠APB的度数。
4．在凸四边形ABCD中，∠DAC=30°，∠CAB=20°，∠ADB=50°，∠BDC=30°，四边形的对角线交于点P，求证：PB=PCB D CAP5．在等腰△ABC 中，∠B =∠C =40°，延长AB 至点D ，使AD =BC ，求∠BCD 的度数。
DCAB6．如图，D 是△ABC 外一点，AB =AC =BD +CD ，∠ABD =60°。
几何常见辅助线口诀
初中几何常见辅助线口诀三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形问题巧转换，变为△和□。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。
如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
二由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
初中几何辅助线口诀和秘籍
初中几何辅助线口诀和秘籍初中几何是数学学科中的一块重要内容，而几何辅助线是解决几何问题时常用的一种方法。
下面我将为大家介绍一些初中几何辅助线的口诀和秘籍。
一、角平分线角平分线是指将一个角分为两个相等的角的线段。
在解决几何问题时，我们常常需要用到角平分线来帮助我们求解。
如何画角平分线呢？下面是一个简单的口诀：“角平分线，一刀两半，角分两相等，求解题简单。
”二、三角形的中线三角形的中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。
在解决三角形相关问题时，中线也是一个常用的辅助线。
我们可以通过以下口诀来记忆中线的特点：“三角形中线，一条有三，中点连顶点，两边相等。
”三、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段垂直分割并且分成两个相等部分的线段。
垂直平分线在解决线段相关问题时非常有用。
下面是一个简洁的口诀来帮助我们记忆垂直平分线的画法：“垂直平分线，画在线上，两边相等，线段垂直。
”四、角的对称线角的对称线是指将一个角按照对称轴对折后，得到的两个相等角的辅助线。
在解决角相关问题时，角的对称线可以帮助我们找到一些相等角。
以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆角的对称线：“角的对称线，轴线中间，两边相等，角对称分。
”五、相似三角形的辅助线在解决相似三角形问题时，有一些特殊的辅助线可以帮助我们找到相似三角形之间的对应关系。
例如，高线可以帮助我们找到相似三角形的对应边的比例关系。
以下是一个简单的口诀来帮助我们记忆相似三角形的辅助线：“相似三角形辅助线，高线找比例，边线对应比例，找答案简单。
”通过以上口诀和秘籍，我们可以更加方便地使用几何辅助线来解决初中几何问题。
当然，在实际解题的过程中，我们还需要根据具体问题的要求灵活运用这些辅助线，以达到解题的目的。
总结起来，初中几何辅助线是解决几何问题时的重要工具。
通过记忆和掌握一些几何辅助线的特点和画法，我们能够更加高效地解决几何问题，提高我们的数学水平。
希望以上口诀和秘籍能够帮助到大家，让我们在初中几何学习中取得更好的成绩！。
初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换 旋转
初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换—旋转一：如何构造旋转图形1、遇中点，旋180°，构造中心对称图形，即倍长中线。
2、遇90°，旋90°，构造垂直—等腰直角三角形、正方形。
3、遇60°，旋60°，构造等边。
口诀：边相等，就旋转。
二：倒角（旋转后，常见图形）、如图，边长为的正方形AB=AD，由图形旋转的性质可知AD=AB′，故可得出Rt△ADE≌Rt△AB′E，由直角三角形的性质可得出DE的长，再由S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB′即可得出结论．解答：解：连接AE，∵∠BAB′=30°，∴∠DAB′=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠B=90°，∵正方形AB′C′D′是正方形ABCD旋转而成，∴AD=AB′，∠B′=90°，在Rt△ADE与Rt△AB′E中，AD=AB′，AE=AE，∴Rt△ADE≌Rt△AB′E，∴∠DAE==30°，∴DE=AD?tan∠DAE=×=1，∴S四边形ADEB′=2S△ADE=2××AD×DE=，∴S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB=3-．2、如图，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PA C绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为????，∠APB=????°.答案此题答案为：6；150°.解：连接PP′.∵△P′AB是△PAC绕点A旋转得到的，∴△P′AB≌△PAC.∵△P′AB≌△PAC，PA=6，PB=8，PC=10，∴P′A=PA=6，P′B=PC=10，∠PAC=∠P′AB.∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°，∴∠PAC+∠BAP=60°.∵∠PAC=∠P′AB，∴∠P′AB+∠BAP=∠P′AP=60°.∵∠P′AP=60°，PA=P′A，∴△PAP′是等边三角形，∴PP′=PA=6，∴∠P′PA=60°.∵在△PBP′中PP′=6，PB=8，P′B=10，∴△PBP′是直角三角形，∴∠BPP′=90°，∴∠APB=∠P′PA+∠BPP′=60°+90°=150°.3、如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上结果都不对答案此题答案为：A.解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．4、如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接。
【五种辅助线助你证全等】 全等辅助线
【五种辅助线助你证全等】全等辅助线五种辅助线助你证全等在证明三角形全等时，有时需添加辅助线，下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，可以帮助你更好的学习。
一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD．二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．例2．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）．分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x．延长AD至E，使DE = AD=x．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD ∠ADC=∠EDB（对顶角）∴△ADC≌△EDB ∴BE=AC=5 ∵在△ABE 中 AB-BE＜AE＜AB+BE 即7-5＜2x＜7+5 ∴1＜x ＜6 三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．例3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．分析：要证DF=EF，必须借助三角形全等．而现有图形中没有全等三角形．由等腰三角形条件，可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．则△DBH为等腰三角形．证明：作DH∥AE交BC于H．∴∠DHB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB ∴∠DHB=∠B，DH=BD ∵CE=BD ∴DH= CE 又DH∥AE，∠HDF=∠E ∠DFH=∠EFC（对顶角）∴△DFH≌△EFC （AAS）∴DF=EF 四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．例4．如图4，在△ABC 中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．分析：题设中只有一条已知线段AD，且为直角边，而要求的BE为斜边．要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形．证明：延长AD、BC相交于F．由BD为∠ABC的平分线，BD⊥AF．易证△ADB≌△FDB ∴FD= AD=a AF=2a ∠F=∠BAD 又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90°∴∠ABD=∠FAC ∵BD 为∠ABC的平分线∴∠ABD=∠CBE ∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC ∴△ACF≌△BCE（ASA）∴BE=AF=2a 五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法．例5．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD．分析：由角的平分线条件，在BC上截取BE=BA，可构造△ABD≌△EBD，从而AD=DE．则只要证明DE=CD．证明：在BC上截取BE=BA，连接DE．由BD平分∠ABC，易证△ABD≌△EBD ∴AD=DE ∠A=∠BED 又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°∴∠DEC=∠C，∴DE=CD ∴AD=CD 1）用天平测量物体质量时，物体放在天平的左盘，砝码放在天平的右盘，当右盘中不放最小砝码时，左盘下沉，放最小砝码时，右盘下沉，这时取下最小砝码，向右移动游码，让天平横梁再次平衡．（2）物体的质量等于砝码的质量加游码对应的刻度值．（3）食用油的质量等于食用油和烧杯的质量减剩余食 2）减烧杯的质量。
初中几何辅助线秘籍：常见辅助线作法口诀
初中几何辅助线秘籍：罕见辅助线作法口诀之吉白夕凡创作三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形罕见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
初中几何辅助线口诀和秘籍
初中几何辅助线口诀和秘籍初中几何学是数学学科中的一门重要课程，学习几何学除了需要掌握基本的概念和定理外，还需要学会灵活运用辅助线。
辅助线是指在几何图形中，为了解决问题而临时引入的辅助线段或辅助点。
正确使用辅助线可以帮助我们更好地理解和解决几何问题。
下面，我将为大家介绍一些初中几何中常用的辅助线口诀和秘籍。
一、辅助线口诀1. 平分线辅助口诀：平分线的作用是将线段、角等等平均分成两份。
当我们遇到需要将线段或角平分的问题时，可以使用平分线来解决。
平分线的特点是与所要平分的线段或角相交于一点，并将其平分为两份。
2. 垂直平分线辅助口诀：垂直平分线的作用是将线段平分，并且垂直于所要平分的线段。
当我们需要将线段垂直平分时，可以使用垂直平分线来解决。
垂直平分线的特点是与所要平分的线段相交于中点，并且与该线段垂直。
3. 高线辅助口诀：高线的作用是求解三角形的高。
当我们需要求解三角形的高时，可以使用高线来解决。
高线的特点是从一个顶点引垂线到对边，该垂线即为三角形的高。
4. 中位线辅助口诀：中位线的作用是将三角形的两个顶点与对边的中点连线。
当我们需要求解三角形的中位线时，可以使用中位线来解决。
中位线的特点是连接三角形的两个顶点与对边中点，将三角形分成两个相等的小三角形。
5. 角平分线辅助口诀：角平分线的作用是将角平分为两个相等的角。
当我们需要将角平分时，可以使用角平分线来解决。
角平分线的特点是从角的顶点引一条线段与角的两边相交于一点，并将角平分为两个相等的角。
二、辅助线秘籍1. 利用垂直平分线求解线段的长度：当我们需要求解一个线段的长度时，可以通过引入垂直平分线的方式来解决。
首先，我们将该线段的两个端点与垂直平分线的两个交点相连，然后利用勾股定理求解。
2. 利用高线求解三角形的面积：当我们需要求解一个三角形的面积时，可以通过引入高线的方式来解决。
首先，我们从一个顶点引垂线到对边，然后利用面积公式S=底×高/2求解。
初二数学证明三角形全等做辅助线的方法
初二数学证明三角形全等做辅助线的方法我刚学初二数学证明三角形全等的时候，真是一头雾水，尤其是做辅助线这部分。
一开始我也是瞎摸索，就像在黑暗里找东西一样。
我试过连接两点作辅助线。
比如说有时候给了一个四边形里有三角形，看起来乱乱的，我就想着那我把四边形里某个关键的对角连起来看看，就像给它开出一条路似的。
我遇到一个题，是两个三角形看起来有点像，但又缺条件来证明全等。
我把四边形里两个两点一连，嘿，一下子就把隐藏的一些边或者角的关系给挖掘出来了。
我还试过作平行线作辅助线呢。
这就好比给两个图形搭一个一样高度的架子，让它们能更方便地比较。
有一次一个三角形在一个很奇怪的图形组合里，我怎么看怎么不会证全等。
我想了好久，后来试着作了一条平行线，突然就发现那些对等的角就像排队一样整齐地出现在眼前。
但是这也不是每次都行得通的，有好多时候我作了平行线，却发现走了弯路，根本没用。
当时心里那个沮丧啊。
还有垂直平分线做辅助线的情况。
就像是把一个东西在中间拉条对称线一样。
比如说在直角三角形里的一些全等证明。
我当时没注意直角这个特殊条件，到处乱试辅助线，后来发现把斜边的垂直平分线作出来后，就能把一些等量关系找到了。
有时候见到中点也要特别注意，可以倍长中线来作辅助线。
这就好比把一条绳子突然拉长，原来隐藏的关系就暴露了。
我之前有次就是见到中点了，没当回事，按平常的思路去做辅助线，结果卡在那里。
后来重新看题，发现把中线一延长，那些对应的边和角就能和另一个三角形建立关系了。
总结起来呀，做辅助线真的要多观察图形的特点，比如有没有特殊角，有没有中点，是不是在什么特殊的图形组合里。
多尝试不同的方法，就像试不同的钥匙开一把锁一样，有时候第一眼看过去觉得没希望的方法，试了试可能就成功了呢。
虽然有时候会失败，但失败了不怕，多思考为什么不行，慢慢就会找到感觉了。
全等三角形中做辅助线技巧窍门要点大汇总
全等三角形中做协助线技巧重点大汇总口诀：三角形图中有角均分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称此后关系现。
角均分线平行线，等腰三角形来添。
角均分线加垂线，三线合一试一试看。
线段垂直均分线，常向两头把线连。
线段和差及倍半，延伸缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连结则成中位线。
三角形中有中线，延伸中线等中线。
一、由角均分线想到的协助线口诀：图中有角均分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称此后关系现。
角均分线平行线，等腰三角形来添。
角均分线加垂线，三线合一试一试看。
角均分线拥有两条性质： a 、对称性； b 、角均分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角均分线的协助线的作法，一般有两种。
①从角均分线上一点向两边作垂线；②利用角均分线，结构对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
往常状况下， 出现了直角或是垂直等条件时， 一般考虑作垂线； 其余状况下考虑结构对称图形。
至于选用哪一种方法，要联合题目图形和已知条件。
与角有关的协助线EA（一）、截取构全等如图 1-1 ，∠ AOC=∠BOC ，如取 OE=OF ，并连 ODC接 DE 、 DF ，则有△ OED ≌△ OFD ，从而为我们证FBA图1-1明线段、角相等创建了条件。
E例1． 如图 1-2 ，AB//CD ， BE 均分∠ BCD ，CE 均分∠ BCD ，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD 。
BF例2．已知：如图 1-3 ， AB=2AC ，∠ BAD=图1-2∠ CAD ，DA=DB ，求证 DC ⊥ACD C.\例3．已知：如图1-4，在△ ABC中，∠ C=2∠ B,AD均分∠ BAC，求证：AB-AC=CD剖析：本题的条件中还有角的均分线，在证明A中还要用到结构全等三角形，本题仍是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的E线段上截取短的线段，来证明。
试一试看能否把短的延伸来证明呢？CB D练习图 1-41．已知在△ ABC中，AD均分∠ BAC，∠ B=2∠C，求证： AB+BD=AC2．已知：在△ ABC中，∠ CAB=2∠B，AE均分∠ CAB交BC于E，AB=2AC，求证： AE=2CE3．已知：在△ ABC中，AB>AC,AD为∠ BAC的均分线，M为AD上任一点。
全等三角形中做辅助线的技巧
全等三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（—）、截取构全等如图1-1，/ AOC h BOC如取OE=OF并连接DE DF,则有△ OED^A OFD从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1. 如图1-2，AB//CD，BE平分/ BCD CE平分/ BCD 点E 在AD上,求证：BC=AB+CD例2. 已知：如图1-3，AB=2AC Z BAD=/ CAD DA=DB 求证DC! AC D C例3. 已知：如图1-4，在△ ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？练习1. 已知在△ ABC中, AD平分/ BAC / B=图1-42/C,求证：AB+BD=AC2.已知：在厶ABC中,/ CAB=/ B，AE平分/ CAB交BC于E，AB=2AC 求证：AE=2CE3. 已知：在厶ABC中, AB>AC,A为/ BAC的平分线，M为AD上任一点求证：BM-CM>AB-AC4. 已知：D是厶ABC的/BAC勺外角的平分线AD上的任一点，连接DB DC 求证：BD+CD>AB+AC（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
完整word版全等三角形常用辅助线做法
五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例 1．如图 1，在△ ABC 中，∠ ABC=60 °， AD 、CE 分别平分∠ BAC 、∠ ACB ．求证：AC=AE+CD ．分析：要证AC=AE+CD ，AE 、CD 不在同一直线上．故在AC 上截取 AF=AE ，则只要证明 CF=CD ．证明：在 AC 上截取 AF=AE ，连接 OF．∵ AD 、 CE 分别平分∠ BAC 、∠ ACB ，∠ ABC=60 °∴∠ 1+∠ 2=60 °，∴∠ 4=∠ 6=∠ 1+∠ 2=60 °．显然，△ AEO ≌△ AFO ，∴∠ 5=∠4=60°，∴∠ 7=180°－（∠ 4+ ∠ 5） =60 °在△ DOC 与△ FOC 中，∠ 6=∠ 7=60°，∠ 2=∠ 3， OC=OC∴△ DOC ≌△ FOC， CF=CD∴ AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例 2：如图甲， AD∥BC，点 E 在线段 AB上，∠ ADE=∠CDE，∠ DCE=∠ECB。
求证： CD=AD+BC。
思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。
2）解题思路：结论是 CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取 CF=CB，只要再证 DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
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全等辅助线秘籍五
巧构等边
例1
在四边形ABCD中，已知AB=BC=CD，∠ABC=70°，∠BCD=170°，求∠BAD的度数。
B
C
D
A
例2
如图，△ABC中，AB=AC，AD=BC，∠A=20°，求∠DCA的度数。
A
D
B C
例3
任意△ABC，试在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC的值最小
A
B C
例4
(2000 北京初二数学竞赛），在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，恰有AD=BC=CE=DE。
求证：∠BAC=100°。
E
D
C B
A
例5
如图所示，在△ABC 中，∠B =60°∠A =100°，E 为AC 的中点，∠DEC =80°，D 是BC 边上的点，BC =1，求△ABC 的面积与△CDE 的面积的两倍的和。
C
D
E
B
A
例6
如图所示，在△ABC 中，∠ACB =2∠ABC ，P 为三角形内一点，AP =AC ，PB =PC ， 求证：∠BAC =3∠BAP 。
A
B
C
P
1．如图所示，在四边形ABCD 中，BC CD =，60BCA ACD ∠-∠=︒，求证：AD CD AB +≥。
2．在ABC ∆中，AB AC =，60120A ︒<∠<︒，P 为ABC ∆内部一点，PC AC =，
120PCA A ∠=︒-∠，求CBP ∠的度数。
P
C
B
A
3．在等边△ABC内有一点P，它到三个顶点A、B、C的距离分别为123
、，求∠APB的度数。
4．在凸四边形ABCD中，∠DAC=30°，∠CAB=20°，∠ADB=50°，∠BDC=30°，四边形的对角线交于点P，求证：PB=PC
B D C
A
P
5．在等腰△ABC 中，∠B =∠C =40°，延长AB 至点D ，使AD =BC ，求∠BCD 的度数。
D
C
A
B
6．如图，D 是△ABC 外一点，AB =AC =BD +CD ，∠ABD =60°。
求∠ACD 的度数。
D
C
A
B。