高考数学(文科) 2020年宝鸡市高考一检模拟检测(一)数学(文科)参考答案
2020年高考(文科)数学一诊试卷(Word解析版)
2020年高考（文科）数学一诊试卷一、选择题1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣35．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．38．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．512．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828 20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．21．已知函数（a∈R且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，则A∩B＝（）A．{0，2，4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，∴A∩B＝{2，4}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．已知复数，则|z|＝（）A．B．5C．13D．【分析】利用复数的运算法则求出z，再求其模长即可．解：因为复数2＝i（2+i）+2＝1+2i；∴|z|；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，复数的模长，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知非零向量，给定p：∃λ∈R，使得，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由q可得向量同向共线，进而判断出关系．解：由q可得向量同向共线，∴q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理、简易逻辑，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若2sin，则tanα＝（）A．4B．3C．﹣4D．﹣3【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．解：若2sin，即2cos•（﹣sin）＝2•，即﹣sin，∴，故tanα＝﹣4，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．5．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则它的离心率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可知（2，﹣1）在y x上，可得a2＝4b2，即可得到离心率．解：由题可知（2，﹣1）在双曲线的渐近线y x上，则a＝2b，即a2＝4b2，所以e，故选：A．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，根据条件表示出a、b关系是关键，属于中档题．6．已知集合，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（）A．B．C．D．【分析】从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，由此能求出其正弦值相等的概率．解：∵集合，sin sin，，sin sin，，从A中任选两个角，基本事件总数n，其正弦值相等包含的基本事件个数m，∴其正弦值相等的概率是p．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：年份123451.40.90.750.60.3羊只数量（万只）草地植被指数 1.1 4.315.631.349.7根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，去掉第一年数据后得到的相关系数为r2，则|r1|＜|r2|；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据两组数据的相关性，对题目中的命题判断正误即可．解：对于①，羊只数量与草场植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为|r1，因为第一组数据（1.4，1.1）是离群值，去掉后得到的相关系数为r2，其相关性更强，所以|r1|＜|r2|，②正确；对于③，利用回归直线方程，不能准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数，只是预测值，所以③错误；综上知，正确的判断序号是②，共1个．故选：B．【点评】本题考查了数据分析与线性相关性的判断问题，是基础题．8．已知函数，且a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，则a、b、c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【分析】推导出0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，由此能比较三个数的大小．解：∵函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为（0，+∞），0＜0.20.2＜0.20＝1，log34＞1，1，∵a＝f（0.20.2），b＝f（log34），，∴b＞c＞a．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．已知圆锥的顶点为A，高和底面的半径相等，BE是底面圆的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】建立直角坐标系．不妨设OB＝1．高和底面的半径相等，得OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB，利用向量夹角公式即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设OB＝1．因为高和底面的半径相等，∴OE＝OB＝OA，OA⊥底面DEB．∵点D为底面圆周上的一点，且∠ABD＝60°，∴AB＝AD＝DB；∴D为的中点则O（0，0，0），B（0，﹣1，0），D（1，0，0），A（0，0，1），E（0，1，0），∴（0，﹣1，﹣1），（﹣1，1，0），∴cos，，∴异面直线AM与PB所成角的大小为．∴异面直线AB与DE所成角的正弦值为．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角，本题转化为向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），若函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点，则ω的范围是A．（，]B．（，]C．（，]D．（，]【分析】先根据两角和与差的三角函数个数化简解析式，再把问题转化为sin（2）有三个根，借助于正弦函数的性质即可求解．解：因为函数f（x）＝sinωx（sinωx+cosωx）（1﹣cos2ωx）sin2ωx sin（2）（ω＞0），∵函数f（x）的图象与直线y＝1在（0，π）上有3个不同的交点；即sin（2）1有3个根；∴sin（2）有三个根；∵x∈（0，π）；∴2∈（，2ωπ）；∵2π2ωπ2π⇒ω．故选：C．【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数以及方程根的个数问题的求解，属于综合性题目．11．已知点M（﹣4，﹣2），抛物线x2＝4y，F为抛物线的焦点，l为抛物线的准线，P为抛物线上一点，过P做PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为（）A．B．C．D．5【分析】画出图形，设出P的坐标，结合抛物线的定义，转化说明|QR|+|MR|的最小值就是MF的距离即可．解：设P（m，），则过P的切线的斜率为：k，Q（m，﹣1），k PQ，k PQ ＞k＝﹣1，根据抛物线的定义，|PF|＝|PQ|．l1为FQ的垂直平分线，|RF|＝|RQ|，|QR|+|MR|的最小值为|MF|5，故选：D．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查数形结合以及转化思想计算能力，是中档题．12．已知定义在R上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且满足xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，f（1）＝e，则f（x）的最小值为（）A．﹣e B．e C．D．【分析】构造函数，则e x，设F（x）＝e x+c，即f（x）＝xe x+cx，又f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，再利用导数即可求得f（x）的最小值．解：由xf'（x）﹣f（x）＝x2e x，构造函数，则e x，所以可以设F（x）＝e x+c，即，f（x）＝xe x+cx，又因为f（1）＝e得c＝0，所以f（x）＝xe x，由f'（x）＝e x（x+1）＝0得x＝﹣1，所以当x＜﹣1时f'（x）＜0，即f（x）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，当x＞﹣1时f'（x）＞0，f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，所以，故选：D．【点评】本题主要考查了构造函数，以及利用导数研究函数的最值，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数，则4．【分析】先求出f（log 2），从而f（），由此能求出结果．解：∵函数，∴f（log 2），∴f（）＝2．故答案为：4．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知向量，满足||，向量，夹角为120°，且（）⊥，则向量||＝．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式可得||•||cos，2，及||的值，而||展开可求出其值．解：因为（）⊥，所以（）•0，即2＝0，因为||，向量，夹角为120°，整理可得2＝||•||cos，2，即﹣2＝||•（），所以||＝2，所以||故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，及和向量的模的求法，两个向量的数量积公式的应用，属于基础题．15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且，a＝8，，则c＝9．【分析】根据可求出cos C，进而求出sin C．由可得sin A，最后利用正弦定理求出c的值．解：由得，∴．显然，结合，∴，∴．∵a＝8，由正弦定理得，即，∴c＝9．故答案为：9．【点评】本题考查正余弦定理的应用及二倍角公式等知识点．同时考查学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养．属于基础题．16．大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房．蜂房的结构如图所示，开口为正六边形ABCDEF，侧棱AA'、BB'、CC'、DD'、EE'、FF'相互平行且与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成．瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园．英国数学家麦克劳林通过计算得到∠B′C′D′＝109°28′16''．已知一个房中BB'＝5，AB＝2，tan54°44′08''，则此蠊房的表面积是216．【分析】连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，由OB′C′D′为菱形，可求OC′＝2•6，B′C′＝3，进而可求CC′，可求S，即可计算得解S表面积的值．梯形BB′CC′解：连接BD，B′D′，则由题意BD∥B′D′，BD＝B′D′＝6，∵OB′C′D′为菱形，∠B′C′D′＝109°28′16''，tan54°44′08''，∴OC′＝2•26，B′C′＝3，∴CC′＝BB′4，∴S梯形BB′CC′27，∴S表面积＝63216．故答案为：216．【点评】本题主要考查了勾股定理在解三角形中的应用，考查了菱形的性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在等差数列{a n}中，a1＝﹣8，a2＝3a4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，T n为数列{b n}的前n项和，若，求n的值．【分析】（Ⅰ）先设公差为d，由a1＝﹣8，a2＝3a4，求出d，进而求出a n；（Ⅱ）先利用（1）中求出的a n求b n，再利用裂项相消法求T n，从而解决n的值得问题．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差是d，由a1＝﹣8，a2＝3a4得：﹣8+d＝3（﹣8+3d）解得d＝2，所以a n＝﹣10+2n；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a n＝﹣10+2n，∴，所以T n＝2[（）+（）+…+（）]，由T n解得n＝9．【点评】本题主要考查等差数列及裂项相消法求和，属于基础题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底前ABCD为平行四边形，点P在面ABCD内的射影为A，PA＝AB＝1，点A到平面PBC的距离为，且直线AC与PB垂直．（Ⅰ）在棱PD找点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求三棱锥P﹣EAC的体积．【分析】（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．连接BD，交AC点O，说明OE∥PB，然后证明PB与平面ACE平行（Ⅱ）说明AC⊥平面PAB，则AC⊥AB，设AC＝x，通过等体积法转化求解即可．解：（Ⅰ）点E为PD中点时直线PB与面ACE平行．证明：连接BD，交AC点O，则点O为BD的中点，因为点E为PD中点，故OE为△PDB的中位线，则OE∥PB，OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB与平面ACE平行．（Ⅱ）根据题意AC⊥PB，PA⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，则有AC⊥PA，PA∩PB ＝P，所以AC⊥平面PAB，则AC⊥AB设AC＝x，，得AC＝1，则．【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断定理与形状的应用，是基本知识的考查．19．甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与实践，实现了沙退人进．2019年，古浪县八步沙林场“六老汉”三代入治沙群体作为优秀代表，被中宣部授予“时代楷模”称号．在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了50个风蚀插钎，以测量风蚀值（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹走的沙层厚度越小，说明固沙效果越好，数值为0表示该插针处没有被风蚀）通过一段时间的观测，治沙人记录了坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数），并绘制了相应的频率分布直方图．（I）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的概率；（Ⅱ）若一个插钎的风蚀值小于30，则该数据要标记“*”，否则不标记．根据以上直方图，完成列联表：标记不标记合计坡腰坡顶合计并判断是否有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？（Ⅲ）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为和，若||＞20cm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果存在差异，试根据直方图计算和（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异．附：K2．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（I）利用频率分布直方图计算“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的频率值；（Ⅱ）由频率分布表填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）计算和，求出||，即可得出结论．解：（I）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于30”的事件为C，则P（C）＝0.08+0.16+0.36＝0.6；（Ⅱ）由频率分布表，填写列联表如下：标记不标记合计坡腰302050坡顶203050合计5050100由表中数据，计算K24＞3.841，所以有95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关；（Ⅲ）计算0.08×5+0.16×15+0.36×25+0.24×35+0.12×45+0.04×55＝25.8（cm），0.04×5+0.12×15+0.24×25+0.32×35+0.20×45+0.08×55＝32.6（cm），且||＝4.8＜20，所以判断该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是中档题．20．已知点F为椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM∥直线BN，直线AN、BM的斜率分别为k1和k2，求证：k1•k2＝e2﹣1（e为椭圆的离心率）．【分析】（Ⅰ）由题意可知，a+c＝3，a﹣c＝1，可求出a，c的值，再利用b2＝a2﹣c2求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，所以直线AM的方程为y＝k （x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，联立直线AM与椭圆方程求出点M的坐标，联立直线BN与椭圆方程求出点N的坐标，再利用斜率公式分别求出k1，k2，化简k1•k2，从而得到k1•k2＝e2﹣1．解：（Ⅰ）由题意可知，，解得，∴b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，A（2，0），B（0，），设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k，故直线AM的方程为y＝k（x﹣2），直线BN的方程为y＝kx，由得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，∴，∴，，∴，由得：，∴，，∴，∴，，∴k1k2•，又∵，∴k1•k2＝e2﹣1．【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理得应用，是中档题．21．已知函数（a∈一、选择题且a≠0）．（Ⅰ）当a时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，证明：f（x1）+f（x2）＜9﹣lna．【分析】（Ⅰ）因为a时，f′（x）＝2x⇒f′（1）＝﹣1，易求f（1）＝2，从而可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）由题意可知f′（x）＝2x（x＞0），令﹣x2+2x﹣a ＝0，通过对△＝12﹣4a符号的分析，即可求得函数f（x）的单调性与单调区间；（Ⅲ）依题意，f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，利用分析法，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，通过对其导数的分析，存在x0∈（1，2），使得g （x0）＝0，且g（x0）为（1，2）上的最小值，g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），利用对勾函数的单调性即可证得结论成立．解：（Ⅰ）因为a时，，所以f′（x）＝2x，那么f′（1）＝﹣1，f（1）＝2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2（x﹣1），即x+y ﹣21＝0，（Ⅱ）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝2x，由﹣x2+2x﹣a＝0可得：△＝12﹣4a＞0，即a＜3时，有x1，x2，x1＞x2，又当x∈（0，3）时，满足x1＞x2＞0，所以有x∈（0，x2）和（x1，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在区间（0，x2）和（x1，+∞）上为减函数．又x∈（x2，x1）时，f′（x）＞0，即f（x）在区间（x2，x1）上为增函数．当a＜0时，有x1＞0，x2＜0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；x∈（x1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a≥3时，△≤0，f′（x）≤0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）为减函数，综上所述，当a＜0时，在（0，3），f（x）为增函数；在（3，+∞），f（x）为减函数；当0＜a＜3时，f（x）在区间（0，3）和（3，+∞）上为减函数，在（3，3），f（x）为增函数；当a≥3时，在（0，+∞）上，f（x）为减函数．（Ⅲ）因为y＝f（x）有两个极值点x1，x2，则f′（x）0有两个正根x1，x2，则△＝12﹣4a＞0，x1+x2＝2，x1•x2＝a＞0，即a∈（0，3），所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣aln（x1x2）（）+1＝﹣alna+a+7，若要f（x1）+f（x2）＜9﹣lna，即要alna﹣lna﹣a+2＞0，构造函数g（x）＝xlnx﹣lnx﹣x+2，则g′（x）＝1+lnx1＝lnx，且在（0，3）上为增函数，又g′（1）＝﹣1＜0，g′（2）＝ln20，所以存在x0∈（1，2），使得g（x0）＝0，即lnx0，且x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（x0，2）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以g（x）在（1，2）上有最小值g（x0）＝x0lnx0﹣x0﹣lnx0+2＝3﹣（x0），又因为x0∈（1，2），则x0∈（2，），所以g（x0）＞0在x0∈（1，2）上恒成立，即f（x1）+f（x2）＜9﹣lna成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查导数的几何意义的应用，突出考查函数与方程思想、分类讨论思想及等价转化思想的综合运用，考查了逻辑推理能力与综合运算能力，属于难题．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的直角坐标方程为．（Ⅰ）若直线l与曲线C1交于M、N两点，求线段MN的长度；（Ⅱ）若直线l与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在曲线C 2上，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系的应用建立等量关系，进一步求出范围．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣1＝0，曲线C1的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y＝0，转换为标准式为（x﹣1）2+（y+1）2＝2，所以圆心（1，﹣1）到直线x+y﹣1＝0的距离d，所以弦长|MN|＝2．（Ⅱ）线C2的直角坐标方程为．转换为直角坐标方程为x2+y2＝4，转换为参数方程为（0≤θ≤π）．由于A（1，0），B（0，1），点P在曲线C2上，故P（2cosθ，2sinθ），所以，，（0≤θ≤π），所以2，故：，所以．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x+2|，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a．（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；（Ⅱ）对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将函数化为分段函数的形式，再分类讨论分别解不等式，最后把每种情况的解集取并集即可；（Ⅱ）易知f（x）min＝2，g（x）≥|2a+2|+a，结合题意可知2≥|2a+2|+a，由此求得实数a的取值范围．解：（Ⅰ），∴f（x）＞4即为或或，∴或x∈∅或x＞1，∴不等式的解集为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x＝﹣1时，f（x）min＝2，g（x）＝|x+2|+|x﹣2a|+a≥|（x+2）﹣（x﹣2a）|+a＝|2a+2|+a，由题意，对∀x1∈R，∃x2∈R，使得f（x1）≥g（x2）成立，故f（x）min≥g（x）min，即2≥|2a+2|+a，解得﹣4≤a≤0，∴实数a的取值范围为[﹣4，0]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，同时也涉及了绝对值不等式性质的运用，属于基础题．。
陕西省宝鸡市2020届高三数学质量检测试题(一)文 北师大版
陕西省宝鸡市2020届高三数学质量检测试题（一）文北师大版第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合和关系的韦恩(venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合是（）A, B , C, D.2.设为向量。
则是的（）A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也必要条件3.执行右面的框4图，若输出的结果为，则输入的实数的值是（）A . B. C. D.4.甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有学生1800名学生，为统计三校学生的一些方面的情况，计划采用分层抽样的方法抽取一个容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生（）A . B.C. D.5.已知为等差数列的前项和，，则为（）A . B. C. D.6.函数的最小正周期为（）A . B. C. D.7.关于直线及平面，下列命题中正确的是（）A . B.C. D.8.已知过点和点的直线与直线平行，则实数的值为（）A . B. C. D.9.对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A . B.C. D.10.定义函数，若存在常数，对任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的均值为，已知，则函数在上的均值为。
（）A . B. C. D.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.函数的定义域是_________________________12.如图，某几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积等于____________考点：由三视图求面积、体积．13.设满足约束条件，则目标函数最大值为______14.对于实数，用表示不超过的最大整数，如，，若为正整数，，为数列的前项和，则__________________________;选做题（请在下列3道题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）15. A (参数方程与极坐标系选做题)在直角坐标系中，曲线的参数方程为；在极坐标系（以原点为坐标原点，以轴正半轴为极轴）中曲线的方程为，则与的交点的距离为_________________________考点：三角形中的几何计算．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）各项均为正数的等比数列中，（Ⅰ）求数列通项公式；（Ⅱ）若等差数列满足，求数列的前项和。
2020年高考全国1卷数学(文科)模拟试卷(含答案)
2020年高考全国1卷数学（文科）模拟试卷考试时间：120分钟 满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B 2C 2D ．22、已知集合{}|12A x x =-<，12|log 1B x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，则AB =A ．{}|04x x <<B ．{}|22x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|13x x << 3、以下判断正确的个数是（ ）①相关系数r r ,值越小，变量之间的相关性越强；②命题“存在01,2<-+∈x x R x ”的否定是“不存在01,2≥-+∈x x R x ”； ③“q p ∨”为真是“p ”为假的必要不充分条件；④若回归直线的斜率估计值是1.23，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程是08.023.1ˆ+=x y. A ．4 B ．2 C.3 D ．14、设,a b 是非零向量，则“存在实数λ，使得=λa b ”是“||||||+=+a b a b ”的A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5、 已知正三角形ABC 的顶点()()3,1,1,1B A ，顶点C 在第一象限，若点()y x ,在ABC ∆的内部，则y x z +-=的取值范围是 A.()2,31- B.()2,0 C.()2,13- D.()31,0+6、使函数)2cos()2sin(3)(θθ+++=x x x f 是偶函数，且在]4,0[π上是减函数的θ的一个值是 A ．6π B ．3π C ．34π D ．67π7、在如图的程序框图中，()i f x '为()i f x 的导函数，若0()sin f x x =，则输出的结果是8、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-，则下列命题错误的是( ) A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=…C.2469899a a a a a ++++=…D.12398100100S S S S S ++++=-…9、某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形,③ 三棱锥四个面的面积中最大的值是32所有正确的说法 A 、①B 、①②C 、②③D 、①③10、已知双曲线)0,(12222＞b a by a x =-的左、右顶点分别为B A ,,右焦点为F ,过点F 且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于N M ,两点,P 为直线l 上的一点，当APB ∆的外接圆面积达到最小值时,点P 恰好在M (或N )处,则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.511、珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（ ） A ．12B ．25C ．38D ．1312、已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省宝鸡市2020届高三第一次模拟考试数学(文)试题(PDF版)
z= ������������的几何意义为（0，0）与可行域内动点（x，y）连线的斜率， 由图可知 kOA＝1，∴z≥1， 则 z= ������的取值范围为[1，+∞）．
������
故选：B．
6．（5 分）现执行如图所示的程序框图，该算法的功能是（ ）
2
A．求两个正数 a，b 的最小公倍数
B．判断两个正数 a，b 是否相等
所截得的弦长为
2，
可得圆心到直线的距离为：√22
−
12
=
√3
=
|2������| ，
√������2+������2
解得：4������2−4������2
������ 2
=
3，可得
e2＝4，即
e＝2．
故选：A．
5
12．（5 分）函数 f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为 2，则8������������+������������的最小 值是（ ）
C．|a7|＞|a8|
D．|a7|＜|a8|
【考点】83：等差数列的性质．菁优网版权所有
【解答】解：∵公差 d＞0，（S8﹣S5）（S9﹣S5）＜0，
∴S9＞S8，
∴S8＜S5＜S9，
∴a6+a7+a8＜0，∴a6+a7+a8+a9＞0，
∴a7＜0，a7+a8＞0，
∴|a7|＜|a8|，
故选：D．
10．（5 分）已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1，AB＝AA1＝2，则异面直线 AB1 与 CA1 所成角的余弦值为
q=
1的等比数列，
2
由
2020年高考模拟全国统一考试(全国Ⅰ卷)文科数学模拟试题(PDF版)及答案
不等式
f
(
x)
6
可化为：
x 4
1 − 2x
6
或
1 x 2 6
3
或
x 3 2x − 4
6
，
解得： −1 a 1或1 x 3 或 3 a 5 ，综上： −1 x 5
7
4 − 2x, x 1
（Ⅱ）作出 f ( x) = 2,1 x 3 的图像如图：
2x − 4, x 3
3
20. 已知函数 f ( x) = x3 + ax2 + bx + c ( x R) 在 x = − 2 处取得极值，其图象在点
3
(1, f (1)) 处的切线与直线 y + 2 = 0 平行.
（Ⅰ）求 a,b 的值；
（Ⅱ）若对 x −1, 2 都有 f ( x) 1 恒成立，求 c 的取值范围.
故有 99.9%的把握认为观众对电影“复仇者联盟 4”结局的满意程度与性别具有相关性.
18.【解析】（Ⅰ）设等差数列an 的公差为 d ， a8 是 a5 与 a13 的等比中项.a82 =a5a13 ，即 (a1 + 7d )2 = (a1 + 4d )(a1 +12d )
d = 0 或 d = 2 ； d 0 d = 2 ，an = 2n −1
=
n 2n +1
.
19.【解析】（Ⅰ） AC = BC,O 为 AB 中点，OC ⊥ AB ，
平面VAB ⊥ 平面 ABC ，平面VAB 平面 ABC = AB ， OC 平面 ABC ，OC ⊥ 平面VAB,OC 平面 MOC ，
平面 MOC ⊥ 平面VAB ；
（Ⅱ） AC ⊥ BC 且 AC = BC = 2 ， O 分别为 AB 的中点，
2020年陕西省宝鸡中学高考模拟检测数学试题(文科)参考答案(6页)
2020年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（文科）参考答案1.【命题立意】本题考察用列举法表示集合时集合的交集运算，属于简单题。
体现了数学运算的核心素养。
【解析】集合A 与集合B 的公共元素有0,1,3，=B A {0,1,3}故选A.2.【命题立意】本题考察复数的乘法运算，属于简单题。
体现了数学运算的核心素养。
【解析】∵2(1)(3)3342i i i i i i -+=+--=-，故选B.3.【命题立意】本题考察向量数量积的坐标运算和向量垂直的充要条件，属于简单题。
体现了直观想象、数学运算的核心素养。
【解析】由题知2a +c =(7,-2),（2a +c ）〃b =7m-14=0,m=2,故选A.4.【命题立意】本题考查归纳推理，体现了逻辑推理与数据分析等核心素养【解析】根据题意可得到，这个数列从第三项起，每一项等于其前相邻两项的和。
所以此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,.......，第八项为47，即8847a b += 选A5.【命题立意】本题考查样本估计总体，体现了数据分析、直观想象等核心素养。
【解析】由选项知甲乙的平均数相同（实际：甲得分分别为10,13,12,14,16，乙得分分别为13,14,12,12,14经计算甲乙的平均数均为13），图中明显实线波动较大，方差大。
从折线图看甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．选C6.【命题立意】本题考查充分必要条件和直线和圆的位置关系问题的综合，体现了逻辑推理的核心素养。
【解析】q ：由直线y =k x +2与圆x 2+y 2=11k =⇒=，又p ：k = 3，q: k = 所以p 是q 的充分不必要条件，故选C . 7.【命题立意】本题考查了指数函数、对数函数的图像及分段函数、函数图像变换等知识点，体现了直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养．【解析1】由1133(0)()log (1),(0)x x f x x x +⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩得1131(),(0)3()log (1),(0)x x y f x x x -⎧≥⎪=-=⎨-<⎪⎩， （１）作1()3x y =的图像，然后向右平移1个单位，保留0x ≥的部分； （２）作13log y x =的图像，向左平移1个单位后再关于y 轴对称（或关于y 轴对称后再右移1个单位），保留0x <的部分．选D ．【解析2】取0x =得(0)3y f ==排A 、C ，取1x =得(1)1y f =-=，排B ，选D ．8.【命题立意】本题考查了椭圆的定义及简单性质，发现212F F F ⊥是快速解题的关键．体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．【解析】选B ．由2a =，b c ==13PF =，得2121PF a PF =-=，显然212PF F F ⊥，所以12PF F S =B ．9.【命题立意】本题考察由正弦型函数的平移伸缩变换及正弦型函数在闭区间上的最值，属于中等难度题。
宝鸡市一模考试数学(文科)答案
数学（文科）答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）第II 卷二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.）13. 1214. 315. 13×20153＋12×20152＋16×2015＝12＋22＋32＋42＋…+2015216． -2<k<1三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意，2715a a a =，………2分即2111(6)(4)a a a d d +=+，又3125d a a =+=（0d ≠）………4分得19,2a d ==-，故211na n =-+.………6分(Ⅱ)令13521n n S a a a a -=+++⋯⋯+，由（1）知21413n a n -=-+，………8分故{}21n a -是首项为9，公差为-4的等差数列. ………10分 ∴2121()(422)21122n n n nS a a n n n -=+=-+=-+.………12分18.（本小题满分12分）解： (Ⅰ) 如图， ABCD PA 平面⊥，………2分ABCD PEF63131213131=⨯⨯⨯⨯=⋅==∴∆--PA S V V ABE ABE P PAB E .…………………4分 (Ⅱ) 证明： ABCD PA 平面⊥，ABCD CD 平面⊂ PA CD ⊥∴.……………6分 是矩矩形ABCD ，AD CD ⊥∴.A AD PA =⋂ ，PAD CD 平面⊥∴.……………………8分PAD AF 平面⊂ ,DC AF ⊥∴.AD PA = ，点F 是PD 的中点, PD AF ⊥∴.……………10分又D PD CD = ， PDC AF 平面⊥∴.PDC ，PE 平面⊂ AF PE ⊥∴ . ……………………12分19. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)（42+28+14）÷6=14, …………2分 42×114=3， 28×114 =2， 14×114=1， ∴从小学、初中、高中分别抽取的学校数目为3,2,1. ……………………6分(Ⅱ)在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为123,,A A A ，2所初中分别记为12,,B B 高中记为1,C ，则抽取的2所学校的所有可能结果为：（1A ，2A ）， （1A ，3A ）， （1A ，1B ），（1A ，2B ），（1A ，1C ）， （2A ，3A ），（2A ，1B ），（2A ，2B ），（2A ，1C ），（3A ，1B ），（3A ，2B ），（3A ，1C ），（1B ，2B ），（1B ，1C ），（2B ，1C ），共15种. ……………………9分6所学校中抽取的2所均为小学（记为事件A ）的所有可能结果为 （1A ，2A ），（1A ，3A ），（2A ，3A ），共3种，所以P （A ）=31155=.……………………12分 20. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，……………………1分则2210(3(30(3(30E F D F D F -+=⎧⎪++++=⎨⎪-+-+=⎩，解得6,8,7.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩22:6870C x y x y ∴+-++=圆.……………………6分(Ⅱ)设直线0x y a ++=与圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，则,A B 坐标满足方程组2268700x y x y x y a ⎧+-++=⎨++=⎩，可得2222(7)870x a x a a +-+-+= ……① 则122127,87.2x x a a a x x +=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，……………………8分由y x a =--得 221212121267()()().2a a y y x a x a x x a x x a ++=----=+++=………9分 ∵OA OB ⊥，∴2121270x x y y a a +=-+=. ………11分以上关于a 的二次方程没有实数根，故这样的实数a 不存在在..………12分 21. （本小题满分12分）解：(Ⅰ) 11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ………………2分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………4分 ②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a -+∞.………………6分(Ⅱ)对任意(0,)x ∈+∞ ，均有(x)0f <则有ln xa x<-，………………8分设ln (x)xh x=-，则2ln 1(x)x h x '-=，令(x)0h '=得x=e ………………10分当0x e << 时，(x)0h '<，则(x)h 单调递减；当x e >时，(x)0h '>，则(x)h 单调递增，即min 1(x)(e)h h e==-∴ 1a e<-.………………12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲证明：如图所示，(I )∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB . …………2分∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠CDF ＝∠ABC .又∠ADB 与∠EDF 是对顶角，…………4分 ∴∠ADB ＝∠EDF .又∠ADB ＝∠ACB ，∴∠EDF ＝∠CDF . …………6分 (Ⅱ)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .又∵∠BAD ＝∠FAB ，…………8分 ∴△ADB ∽△ABF ，∴AB AF ＝ADAB，∴AB 2＝AF ·AD . …………10分 23．（本小题满分10分）解：(1)圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，…………2分 设圆心的极坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝1， 所以圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，54π.…………5分(Ⅱ)直线l 的极坐标方程为ρ⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＝22， ∴直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，…………7分∴圆上的点到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－22＋r cos θ－22＋r sin θ－12，即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2＋2r sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－12.∴圆上的点到直线l 的最大距离为2＋2r ＋12＝3，∴r ＝4－22.…………10分 24．（本小题满分10分）解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x ≤2，2x －7， 2<x <5，3， x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3. 所以－3≤f (x )≤3. …………5分(Ⅱ)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}，综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．…………10分。
陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测(一)文科数学答案
陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）文科数学试题参考答案1．C 【解析】因为{}1,3,6M =，{}3,4,5P =， 所以{}3M P ⋂=，{}1,3,4,5,6M P ⋃=， 因为{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，所以(){}2,7,8UM P ⋃=，由Venn 图易知，Venn 图中阴影部分表示的集合是()()UM P M P ⋃⋃⋂，故Venn 图中阴影部分表示的集合是{}2,3,7,8， 故选：C.2．C 【解析】因为12z i =+，212z i =-+， 所以()()12212z z i i ⋅=+-+43i =-+， 所以12z z ⋅的虚部为3. 故选：C3．D 【解析】设在1和2两数之间插入()n n N +∈个数，使它们与1，2组成一个等差数列{}n a ，可得1121,2a a ==， 所以数列的所有项和为11212()12(12)1822a a +⨯+==.故选：D.4．B 【解析】设642x =， 则64lg lg 264lg 2640.3019.2x ===⨯=，所以19.210x =，所以()19201010x ∈，，故选：B5．C 【解析】由频率分布直方图可得，优秀率为0.00320100%6%⨯⨯=；由()0.0030.0140.0200.003201a ++++⨯=，解得0.010a =； 故选：C. 6．C 【解析】18a =，12b =，1812m a b ∴=⨯=⨯第一次循环得：mod 18mod1260r a b ===≠，所以12,6a b == 第二次循环得：mod 12mod60r a b ===，所以跳出循环1812366m M b ⨯=== 故选：C7．B 【解析】∵圆221x y +=的圆心为(0,0)O ，半径1r =，当点P 与圆心的距离最小时，切线长PC 、PD 最小，此时四边形OCPD 的面积最小， ∴圆心到直线3415x y +=的距离2215334d ==+，∴2222PC PD d r ==-=， ∴四边形OCPD 的面积12222S PC r =⨯=. 故选：B ．8．D 【解析】如图，连接22,PF QF .因为以12F F 为直径的圆与双曲线C 的右支交于Q ，故12F Q QF ⊥.设1F P x =，则2PQ x =，13FQ x =，232F Q x a =-，22F P x a =+，由2PQF 为直角三角形，故()()()2222232x a x x a +=+-，解析43x a =， 故14FQ a =，22F Q a =， 因为12F QF 为直角三角形，故2221644a a c +=，故5e =.故选：D.9．A 【解析】1sin cos cos 32363ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 2217cos 2cos 22cos 12136639πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A10．D 【解析】解：由约束条件得如图所示区域，2416,77a a B --+⎛⎫⎪⎝⎭，代入3z x y =-，得612161277a a --+-=，解得16a =. 故选：D.11．A 【解析】设切点是000(,ln )P x x a x -, 由()1af x x'=-, 则以P 为切点的切线方程为0000ln (1)()ay x a x x x x -+=--, 因为该切线过原点，所以000000ln (1)(),ln 1,ax a x x x x e x -+=--==， 所以10ak e=->,所以a <e 且0a ≠， 故选：A12．D 【解析】由题意可得0x a e =，[]00,1x ∈， 所以[]1,a e ∈， 由()5log 34a ab =+，则534ba a =+，a 与b 的大小关系即5a 与5b 的大小关系.当1a =时，()55log 34log 71b a =+=>=，此时a b <； 当2a =时，()2255log 34log252b a =+===，此时a b =；当 2.5a =时， 2.55525555.9a ==≈2.5 2.553434933247.6b a a =+=+=+≈，所以55a b >，即a b >. 故选：D13．2【解析】由题设可得()1,1a b -=-，因为()a b c -⊥，故1110m -⨯+⨯=， 故1m =，所以()1,1c =，故2c =. 故答案为：214．12π【解析】在三角形内，蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过2的点形成的区域如阴影部分所示，因为三个阴影部分对应的圆心角的和为π，故阴影部分的面积和为1422ππ⨯⨯=，故所求的概率为22412ππ=.故答案为：12π.15．5π【解析】由题意，折叠后的四面体中，AD⊥CD，AD⊥DB，CD DB=D，AD⊥面BCD，且AB＝AC＝2，在Rt ADB中，AD3BC2，设△BCD的外心为N，外接圆半径r，过N作MN⊥平面BDC，过A作AM//DN，则四边形ADNM为矩形，MN＝AD3∵△BDC中，BD＝DC＝1，BC2，故∠BDC＝90°，21＝2r，即r＝22，则可得外接球球心O在MN的中点，R2＝ON2+r2＝231(2+＝54，四面体A﹣BCD的外接球表面积S＝4πR2＝5π．故答案为：5π．16．12-5【解析】因为413S a=-，故1436a a=-+，故149a a=-设等比数列的公比为q，则211131169a a q a qa q a⎧++=⎨=-⎩即()211131619a a q a qa q⎧++=⎪⎨-=-⎪⎩又()3110a q-≠，故231+213q qq+=--，解得12q=-，故18a=.故4418125112S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 故答案为：12-，5. 17．【解析】（1）()212cos cos 5f x x x x =--212cos 25x x =--6cos 221x x =-+216πx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭T π∴=，值域为1⎡⎤-⎣⎦.（2）由已知得2156πA ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 262πA ⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭，5266A ππ∴+=或7266ππA += 3A π∴=或2πa b <，A B ∴<，3A π∴=，1cos 2A ∴=由余弦定理得2222cos a c b bc A =+-，即2342c c =+- 解得1c =1sin 2ABCSbc A =⋅=18．【解析】设12AAa =，因为11AB EB ==， 所以11,,2AB EB BB a ==，因为E 为AB 的中点， 所以EB =，所以22211EB EB BB =+，即1EB BB ⊥，所以四边形11ABB A 是平行四边形，所以四边形11ABB A 是矩形， 因为F 为1AA 的中点， 所以1A F AF a ==，所以222211119FB A F A B a =+=，22223EF AF AE a =+=， 所以22211FB EF EB =+，即1EF EB ⊥，因为三棱柱底面ABC 是等边三角形，E 为AB 的中点， 所以CE AB ⊥，又1CE FB ⊥，AB 与1FB 相交， 所以CE ⊥平面11ABB A ，又EF ⊂平面11ABB A ， 所以CE EF ⊥，又1CE EB E =，所以EF ⊥平面1CEB ；（2）由（1）知：CE ⊥平面11ABB A ，所以CE 为三棱锥1C B E F -的高，且CE ,1,2EF EB ==11224EFB S =⨯=，所以11113F B CE C B FE EFB V V S CE --==⨯=⨯. 19．【解析】（1）bx y ae =两边同时取对，得ln ln ln bxbx y e a a =⋅+=，()()()1111121ln ln 35.100.32110iii i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑，ln ln 5.980.326 4.06a y bx =-=-⨯=，得 4.0657.97a e=≈.所以函数关系式为0.3257.97xy e =.（2）由题意抽取的6人中，老年人有456390⨯=人，设老年人为123,,A A A ，其他人是,,B C D ，所以所有的基本事件为()()()()()()()()()121311123222,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A C A D A A A B A C A D ,()()()()()()333,,,,,,,,,,,A B A C A D B C B D C D基本事件总数为15个，这2人中至少一人是老年人有12个，所以概率为124155P ==. 20．【解析】抛物线C ：24y x =的焦点为F (1,0)，（1）当1a =-时，直线:21l y x =-，联立2214y x y x=-⎧⎨=⎩，消去y 得21204x x -+=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，1214x x =，所以||AB === 点F 到直线:21l y x =-的距离5d ==， 所以FAB的面积为11||2252AB d ==. （2）因为点M ，N 关于直线l 对称，所以直线MN 的斜率为12-， 所以可设直线MN 的方程为12y x m =-+， 联立2124y x m y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 并整理得22(416)40x m x m -++=， 由22(416)160m m ∆=+->，得2m >-， 设33(,)M x y ，44(,)N x y ，所以34416x x m +=+，所以343411()2(416)2822y y x x m m m +=-++=-⨯++=-， 所以MN 的中点为(28,4)m +-，因为点M ，N 关于直线l 对称，所以MN 的中点(28,4)m +-在直线:2l y x a =+上， 所以42(28)m a -=++，得420a m =--，因为2m >-，所以12a <-. 21．【解析】(1)当1c =时，()32f x x bx x =++,求导得()2'321f x x bx =++，①2=4120b ∆-≤即b ≤≤()2'3210f x x bx =++≥恒成立，函数在R 上单调递增，无减区间；②2=4120b ∆->即b <b >，由()2'3210f x x bx =++>解得3b x -<或3b x ->，所以增区间为(,3b ---∞，()3b -+∞由()2'3210f x x bx =++<x <<，所以减区间为综上：b ≤≤R 上单调递增，无减区间；b <b >(-∞，)+∞，减区间为（2）()2'32f x x bx c =++,1x ，2x 是函数()f x 的两个极值点，∴1x ，2x 是方程2320x bx c ++=的两根, ∴2=4120,b c ∆->1223b x x +=-,123cx x ⋅=∴122x x -==, 整理得293b c -=代入2=412b c ∆-得=360∆>恒成立，即b R ∈,()2111=23f b c b b ∴=+++-21311()324b =+- 3=-2b ∴时，()min 1114f =-22．【解析】（1）sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，sin coscos sin44ππρθρθ∴+= 02πθ(044)x y x ∴+≤≤=，即1C ：4(04)x y x +=≤≤由2121x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩可得 21,:21,x t t y t t ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去参数t ，可得22(1)(1)8x y +--=即2C 普通方程为22(1)(1)8x y +--=（2）由22442{(1)(1)8()(2)82x y x y x x y x y x y y +=+==⎧⎧⇒⇒⎨⎨+--=+-+==⎩⎩， 即(2,2)P ，设所求圆圆心的直角坐标为(,0)a ，其中a >0.则222(2)(02)a a -+-=，解得 2a =，所求圆的半径2r，所求圆的直角坐标方程为: 22(2)4x y -+=.即224x y x +=，所求圆的极坐标方程为4cos ρθ= .23．【解析】（1）当2a =时，()()()33>2()122+5123+31x x f x x x x x x x ⎧-⎪=++-=--≤≤⎨⎪-<-⎩，第11页，总11页 所以当>2x 时，()()>23233f x f =⨯-=，当12x -≤≤时，()()22+53f x f ≥=-=，当1x <-时，()()()>131+36f x f -=-⨯-=，所以函数()f x 的最小值3.（2）因为函数()|1|2||f x x x a =++-当1a <-时，又[]1,1x ∈-，所以()()1+23+12f x x x a x a =+-=-单调递增，与题意不符合.当1a ≥-时，则()()()3+12>()12+2+113+211x a x a f x x x a x a x a x a x ⎧-⎪=++-=--≤≤⎨⎪--<-⎩，因为函数在区间[]1,1-上递减，则1a ≥，综上得：a 的取值范围为[)1+∞，.。
2022届陕西省宝鸡市高考模拟检测(一)数学(文科)
2022届陕西省宝鸡市高考模拟检测（一）数学（文科）一、选择题（（每小题5分,共60分））1. 集合,,则( )A. B. C. D.2. 复数的虚部是（）A. B. C. 1 D. 23. 某乡镇实现脱贫目标后,在奔小康的道路上,继续大步前进,依托本地区苹果种植的优势,经过年的发展,苹果总产量翻了一番,统计苹果的品质得到了如下饼图:,是指苹果的外径,则以下说法中不正确的是( )A. 以上优质苹果所占比例增加B. 经过年的努力,以上优质苹果产量实现翻了一番的目标C. 的苹果产量翻了一番D. 以下次品苹果产量减少了一半4. 已知函数,则( )A. B. C. D.5. 下边程序框图的算法思想源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中“”表示除以的余数),若输入的,分别为,,则输出的( )A. B. C. D.6. 直线关于点对称的直线方程( )A. B. C. D.7. 某机构通过抽样调查,利用列联表和统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得,经查对临界值表知,,现给出四个结论,其中正确的是( )A. 因为,故有的把握认为“患肺病与吸烟有关”B. 因为,故有的把握认为“患肺病与吸烟有关”C. 因为,故有的把握认为“患肺病与吸烟无关”D. 因为,故有的把握认为“患肺病与吸烟无关”8. 函数的最小正周期是( )A. B. C. D.9. 已知满足,延长到使,连接,则与的外接圆半径的比值( )A. 小于B. 大于C. 等于D. 等于10. ,是两个不同的平面,,是两条不同的直线,则下列命题中真命题的个数为( ) ①若,,则与所成的角等于与所成的角; ②若,,,则与是异面直线; ③若,,,则; ④若,,,则.A. B. C. D.11. 已知、是双曲线(,)的左、右焦点,过的直线与双曲线的左支交于点,与右支交于点,若,且,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.12. 已知,且满足,为自然对数的底数,则( )A. B. C. D.二、填空题（（每小题5分,共20分））13. 已知平面向量,,若,则__________.14. 已知、均为锐角,且,则__________.15. 若“,”为假命题,则实数的最小值为__________.16. 已知正三棱锥的底面边长为,,,分别是棱,,的中点,若是等腰直角三角形,则该三棱锥的外接球的表面积为__________.三、解答题（（每小题12分,共60分））17. 已知是等差数列,,. (1)求的通项公式; (2)设,求数列的最小项.18. 如图,四棱锥的底面为正方形,平面,是的中点,.(1)求证:平面; (2)设直线与平面交于,求证:.19. “病毒”给人类社会带来了极大的危害,我国政府和人民认识到对抗“病毒”是一项长期而艰巨的任务,为了加强后备力量的培养,某地政府组织卫生、学校等部门,开展了一次“病毒”检测练兵活动.活动分甲、乙两组进行,甲组把份不同的“病毒”咽拭子随机分到个组,并根据份额,增加不含“病毒”的正常咽拭子,使每组有份咽拭子;乙组把份不同的“病毒”咽拭子随机分到各组,并根据份额,增加不含“病毒”的正常咽拭子,是每组有份咽拭子.规定每组先混合检测,即将份咽拭子分别取样混合在一起检验,若结果为阴性,则这份咽拭子全为阴性,只需检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这份咽拭子究竟哪份为阳性,就需要对这份再逐一检验,此时这份咽拭子的检验次数总共为次.每次检测费为元. (1)求甲组检测次数为次的概率; (2)有数学爱好者对两种方案进行了模拟获得了下列两组数据:甲方案:乙方案:根据上表数据说明这两种方案哪种更科学.20. 已知椭圆:经过点,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形. (1)求椭圆的方程; (2)过椭圆的右焦点作直线交于,两点,且,求.21. 已知函数. (1)当时,求函数在区间上最大值和最小值; (2)若函数在区间上递增,求实数的取值范围.四、选做题（（每小题10分,共20分））22A. 在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线的普通方程和曲线的极坐标方程; (2)若直线和曲线交于,两点,且,求实数的值.22B. 关于的不等式的解集为,其中. (1)求实数,的值; (2)若正数,满足,求的最小值.2022届陕西省宝鸡市高考模拟检测（一）数学（文科）答案和解析第1题：【答案】A【解析】由中方程变形得:,解得:或,即, ∵,∴.故选A.第2题：【答案】B【解析】故复数的虚部是.第3题：【答案】D【解析】假设原来苹果产量为万吨,年后,苹果产量翻了一番,即年后苹果产量为万吨.各种苹果产量在年前和年后情况列表如下: A.由饼图可知,以上优质苹果的比例从增加到,所以A是正确的;B.根据上面假设的例子,以上优质苹果从万吨到万吨,实现了倍(翻了一番)的目标,所以B是正确的;C.根据上面假设的例子,的苹果,从万吨到万吨,正好翻了一番,所以C是正确的;D.根据上面假设的例子,以下次品苹果的产量没有变,所以D是不正确的.故答案选D.第4题：【答案】C【解析】,.故选C.第5题：【答案】A【解析】,,,,故,选A.第6题：【答案】B【解析】设对称的直线方程为, 在直线上任取一点,设关于点对称点为, ∴,∴, 将点代入直线中,得到,∴对称的直线方程为.第7题：【答案】A【解析】由已知数据可得有,的把握认为“患肺病与吸烟有关”.第8题：【答案】C【解析】∵,,故排除A;,故排除B;,故选C.第9题：【答案】C【解析】设与的外接圆半径分别为,, 则由正弦定理可得, , 故. ∵,∴,∴, 即与的外接圆半径的比值为.故选:C.第10题：【答案】B【解析】①若,,由直线与平面的关系可以得到与所成的角等于与所成的角,①正确; ②若,,,(根据异面直线定义),则与是异面直线,故②正确; ③若,,,可以知道,与可能平行,也可能是异面直线,故③错误; ④若,,,如果的话,我们可以得到,当不在面上时,则不垂直,故④错误.第11题：【答案】B【解析】根据双曲线定义可知,,又∵,∴, ∵,∴,同理,根据双曲线定义:, 又∵,∴,∴在中,, ,,∴,在中,利用余弦定理, ∴,∴,∴,∴.第12题：【答案】A【解析】∵,∴,令,, ∴在单调递增,在单调递减,, ∵,∴,,即. ∵,所以,综上,.第13题：【答案】【解析】因为,,且, 设,则有,解得.第14题：【答案】【解析】由原式可得：，即，∵、均为锐角，∴，.第15题：【答案】【解析】根据条件可知,为真命题, ∴在上恒成立,∴,∴的最小值为.第16题：【答案】【解析】∵,,是棱,,的中点,且为等腰直角三角形, ∴为等腰直角三角形,且,∴, 取的外心,连接,∵为正三角形,∴平面,∴三棱锥外接球的球心在上, 连接,设外接球半径为,三角形外接圆半径为, 根据正弦定理: ,,, 在中,,即, ∴,.第17题：【答案】见解析【解析】(1)因为是等差数列,,, 由,得,所以. (2)由(1)得,即, 因为,时,数列递减,时,时,数列递增,,, 所以数列的最小项为.第18题：【答案】见解析【解析】(1)证明:设是的中点,连接,, ∵,∴, 又∵底面为正方形,∴,∴平面,∴. 又∵是的中点,∴,∴, 又,∴平面,∴,同理可证, 由,∴平面.(2)证明:设,则,且为边长为的等边三角形,由(1)知平面,由得:,得, 所以,所以.第19题：【答案】见解析【解析】(1)设“甲组检测次数为次”的事件为,设三个小组分别为,,,两个病毒咽拭子分别为,,则份病毒咽拭子分到个不同组的所有分配结果有:,,, ,,,,,,(其中表示两个病毒咽拭子均分到组;表示病毒咽拭子分到组,分到组)共种不同的方法,其中恰好分在同一组的有种可能,所以. (2)由条件可知,使用甲方案的平均检验次数为:(次),使用甲方案的平均检验次数为:(次), 所以,甲方案平均检验次数少,成本低,更科学些.第20题：【答案】见解析【解析】(1)因为椭圆两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形, 所以,则椭圆, 将点代入,可得,所以椭圆的方程为. (2)直线斜率为时不满足条件, 故设直线的方程为,,, 由可得:, 则,,, 又,所以,故,解得, 所以.第21题：【答案】见解析【解析】(1)由,且得,当时,,即在上单调递增,所以,. (2)由已知条件可知: ,(), 当时,,即在上单调递增,符合题意; 当时,令, 则,所以在上单调递增, 又因为. ①当时,,即在上单调递增,符合题意; ②当时,则存在使得时,,单调递减;时,,单调递增. 综上,时,在区间上单调递增.第22A题：【答案】见解析【解析】(1)由直线的参数方程为(为参数)得普通方程为. 由曲线的参数方程为(为参数),可得其普通方程为:,化为极坐标方程为. (2)方法一:设直线的极坐标方程为,,, 因为,所以,即. 直线和曲线的极坐标方程联立可得:, 整理得,, 则,得,均满足, 所以,解得. 方法二:设直线的参数方程为(为参数), 代入中可得:, 令,得, 设,两点所对应的参数分别为,,则, 又,所以,又,所以. 当时,,此时(直线的倾斜角为锐角); 当时,,此时(直线的倾斜角为钝角),均满足,,所以解得.第22B题：【答案】见解析【解析】(1)由不等式可得,即, 依题意,解得,. (2)依题意,,,, 所以,所以(当且仅当,即,时取等号),因此的最小值为.。
2020届陕西省宝鸡中学高三上学期第一次模拟数学(文)试题(解析版)
2020届陕西省宝鸡中学高三上学期第一次模拟数学（文）试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,3}A =-，集合{3,0,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A ．{}0,1,3 B ．{}0,3C ．{}0,1,2,3D ．{}3,2,0,1,2,3--【答案】A【解析】根据集合的交集运算,化简即可求得A B I . 【详解】因为集合{2,1,0,3}A =-,集合{3,0,1,2,3}B =-由集合的交集运算可知{}{}{}2,1,0,33,0,1,2,3=0,1,3A B ⋂=-⋂- 故选:A 【点睛】本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题. 2．i 为虚数单位，复数(1)(3)i i -+=（ ） A ．3i - B ．42i -C ．2D ．42i +【答案】B【解析】根据复数的乘法运算,展开化简即可求解. 【详解】由复数的乘法运算可得(1)(3)i i -+2=33i i i +-- =42i -故选:B 【点睛】本题考查了复数的乘法与加法运算,属于基础题.3．已知向量()2,1a =-r ，向量(),7b m =r ，向量()3,0c =r，()2a c b +⊥r r r ，则实数m的值为（ ）A ．2B ．-2C ．492D ．492-【答案】A【解析】根据向量的加法运算,先求得2a c +r r,再由向量垂直的坐标关系即可求得m 的值. 【详解】向量()2,1a =-r ,向量()3,0c =r ,向量(),7b m =r根据向量的数乘和加法的坐标运算可得则()()()222,13,07,2a c +=-+=-r r因为()2a c b +⊥r r r由向量垂直的关系可知()20a c b +⋅=r r r即()()7,2,70m -⋅= 即7140m -= 解得2m = 故选:A 【点睛】本题考查了向量的数乘运算与加法运算,向量垂直的坐标关系,属于基础题.4．观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则88a b +=（ ） A ．47 B ．76C ．121D ．123【答案】A【解析】根据数与式的归纳推理,可知从第三项开始后一项等于前两项的和,即可得88a b +.【详解】由1a b +=,223a b +=,334a b +=,447a b +=,5511a b += 可知从第三项开始后一项等于前两项的和 所以6671118a b +=+=,77111829a b +=+= 则88182947a b +=+= 故选:A 【点睛】本题考查了数与式的归纳推理的应用,找出规律是解决此类问题的关键,属于基础题. 5．某篮球教练对甲乙两位运动员在近五场比赛中的得分情况统计如下图所示，根据图表给出如下结论:(1)甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差小；(2)甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差大；(3)甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高；(4)甲的成绩较稳定,乙的成续基本呈上升状态；结论正确的是( )A ．（1）（3）B ．（1）（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）【答案】C【解析】根据图示,求得甲乙两人的平均数,由成绩的变化趋势和范围,即可判断方差的大小及稳定情况. 【详解】由图示可知,甲五次得分情况分别为:0,3,2,4,6.五次得分的平均值为03246=35x ++++=甲乙五次得分情况分别为:3,4,2,2,4.五次得分的平均值为34224=35x ++++=乙甲乙两人得分的平均数相等,因为乙得分的波动范围小,所以乙的方差小,成绩稳定. 从折线图可知,甲的成绩在不断提高,乙的成绩没有显著提高. 结合四个选项可知, (2)(3)为正确选项 故选:C 【点睛】本题考查了折线图的应用,平均数的计算与方差大小的判断,属于基础题. 6．已知条件p ：k=；条件q ：直线y= kx+2与圆x 2+y 2=1相切，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】 当3k =时，圆心到直线的距离为1，所以直线与圆相切；当直线与圆相切时，由211k =+得3k =±，所以则p 是q 的充分不必要条件, 故选A.7．已知函数()()()1133,0()log 1,0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则函数()y f x =-的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】画出函数()()()1133,0()log 1,0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像,根据()y f x =-的图像与()f x 关于y 轴对称,即可得()y f x =-的图像. 【详解】函数()()()1133,0()log 1,0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩则()f x 的图像如下图所示:因为()y f x =-的图像与()f x 关于y 轴对称,所以()y f x =-的图像如下图所示:故选:D 【点睛】本题考查了分段函数图像的画法,函数图像关于y 轴对称的画法,属于基础题.8．已知椭圆22142x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且1||3PF =，则12PF F ∆的面积为（ ）A ．22B 2C 3D 3【答案】B【解析】根据椭圆的标准方程及椭圆的定义,可得焦距2c 及2PF ,由勾股定理逆定理可判断12PF F ∆为直角三角形,进而求得12PF F ∆的面积. 【详解】圆22142x y +=的左右焦点分别为1F ,2F ,点P 在椭圆上,且1||3PF =所以1224PF PF a +== 则2431PF =-= 而2222c a b =-=所以12222F F c == 因为2221122PF F F PF =+所以12PF F ∆是以1PF 为斜边的直角三角形 则1221211122222PF F P F F S F ∆⨯=⨯⨯⨯==故选:B 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及定义,焦点三角形面积的求法,利用勾股定理的逆定理判断三角形形状,属于基础题.9．设函数()sin 2f x x =，()y f x =的图像向左平移8π个单位，再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍得到()y g x =的图像，则()y g x =在[,]124ππ-上的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．1【答案】A【解析】根据三角函数图像的变换,可得()y g x =的解析式.结合正弦函数的图像与性质,即可求得在[,]124ππ-上的最大值. 【详解】函数()sin 2f x x =将()y f x =的图像向左平移8π个单位,可得()sin 2sin 284f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍可得()3sin 24g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为,124x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 则32,4124x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以当242x ππ+=,即8x π=时取得最大值最大值为()max 3sin 32g x π==故选:A 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移伸缩变换,正弦函数的图像与性质的综合练习,属于基础题.10．已知tan α=cos(2)2πα+=（ ）A ．B ．C ．±D ．12±【答案】A【解析】根据诱导公式化简cos 22πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭,利用正弦二倍角公式展开.结合同角三角函数关系式即可化简求值. 【详解】由诱导公式及正弦二倍角公式化简cos 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭可得 cos 2sin 22sin cos 2παααα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭由tan α=可得sin cos αα=即sin αα=,两边同时平方可得22sin 3cos αα= 由同角三角函数关系式22sin cos 1αα+= 由上述两式可得21cos 4α=而()2sin cos 2cos αααα-=-⋅2α==即cos 222πα⎛⎫+=⎪⎝⎭ 故选:A 【点睛】本题考查了同角三角函数式的化简求值,诱导公式及正弦二倍角公式的应用,属于基础题.11．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若1F AB ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 1C 1D【解析】根据双曲线的对称性可知若1F AB ∆为等腰直角三角形,则11AF BF =且190AF B ∠=o ,进而由通径长与焦距关系求得双曲线的离心率.【详解】双曲线22221x y a b-=（0a >,0b >）的左右焦点分别为1F 、2F ,若1F AB ∆为等腰直角三角形则11AF BF =且190AF B ∠=o 由双曲线的对称性可知121245AF F BF F ∠=∠=o由等腰直角三角形性质可得212AF F F =即22b c a= 化简可得22b ac =,由双曲线中222b c a =- 可得2220c ac a --= 同时除以2a 可得2210e e --=解得1e = 因为1e >所以1e =故选:C 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用,双曲线离心率的求法,属于基础题. 12．若过点(1,)P m -可作曲线32()6f x x x =-+的三条切线，则实数m 的取值范围为（ ） A ．198m -<< B ．207m -<< C ．19m <-或8m > D ．20m <-或7m >【答案】B【解析】设出切点坐标,利用导数求得切线的斜率,再用两点式表示出斜率.令两个斜率相等,即可得关于切点横坐标的方程,分离参数后研究三次函数的极值情况即可求得m 的【详解】过点(1,)P m -作曲线32()6f x x x =-+的切线则2'()312f x x x =-+ 设切点坐标为()00,Q x y 则320006y x x =-+则过切点的直线方程的斜率为2000'()312k f x x x ==-+ 过切点()00,Q x y 和(1,)P m -的斜率为001PQ y mk x -=+ 则320002000063121y x x y m x x x ⎧=-+⎪-⎨-+=⎪+⎩化简可得320002312m x x x =-- 令()3200002312g x x x x =--,则()()()200000'6612621g x x x x x =--=-+ 令()0'0g x = 解得01x =-或02x =当01x <-时, ()0'0g x >,所以()0g x 单调递增 当012x -<<时, ()0'0g x <,所以()0g x 单调递减 当02x <时, ()0'0g x >,所以()0g x 单调递增 画出函数图像如下图所示:所以当01x =-时, ()3200002312g x x x x =--取得极大值为()()()()32121311217g -=⨯--⨯--⨯-=所以当02x =时, ()3200002312g x x x x =--取得极小值为()322223212220g =⨯-⨯-⨯=-所以若320002312m x x x =--有三个不同交点,则207m -<<此时满足过点(1,)P m -可作曲线32()6f x x x =-+三条切线故选:B 【点睛】本题考查了导数的几何意义与切线方程的应用,利用导数研究函数单调性、极值和最值,属于中档题.二、填空题13．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪封花纹，用于装点生活或配合其它民俗活动的民间艺术，蕴含了极致的数学美和丰富的文化信息.下图是一个半径为2个单位的圆形中国剪纸图案,为了测算图中黑色部分的面职，在圆形区域内随机投掷400个点,其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分面积是__________．【答案】94π 【解析】根据几何概型概率的计算方法即可求得黑色部分的面积.【详解】半径为2个单位的圆形面积为24S r ππ==根据几何概型概率计算公式可知,设黑色部分面积为'S 则'225400S S =,即'2254400S π= 解得9'4S π= 故答案为:94π 【点睛】本题考查了几何概型概率的计算公式用法,属于基础题.14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(1)(1)f x f x -=+，当01x <<时，2()log f x x =，则()944f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值为_____. 【答案】2【解析】根据(1)(1)f x f x -=+可知函数为周期函数,并求得周期T ,结合奇函数的性质即可求值.【详解】因为(1)(1)f x f x -=+令1x x =+,代入可得()(2)f x f x =+即()f x 为周期为2T =的周期函数()f x 为定义在R 上的奇函数,则(0)0f = 所以()944f f ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()920224f f ⎛⎫=-+++⨯ ⎪⎝⎭ ()104f f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 14f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 21log 24=-= 故答案为:2【点睛】本题考查了奇函数的性质及应用,周期函数的判断及求值,属于基础题.15．三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知60C =︒，5b =，7c =，则a =__________，ABC ∆的面积为________．【答案】8【解析】先由余弦定理求得a 的值,再根据三角形面积即可求得ABC S ∆.【详解】由余弦定理可知,2222cos c a b ab C =+- 代入可得214925252a a =+-⨯⨯⨯ 化简得25240a a --=,即()()830a a -+=所以8a = 由三角形面积公式可得1sin 2ABC S ab C ∆=代入可得185sin 602ABC S ∆=⨯⨯=o故答案为: 8;【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积的求法,属于基础题.16．如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，3BAC π∠=,2PA AB BC ===，E 是PC 的中点，求异面直线AE 和PB 所成角的余弦值___．【答案】14【解析】取BC 中点F ,连接,AF EF ,则可得AEF ∠即为AE 和PB 所成角.由垂直关系可分别求得AEF ∆的三边长,再由余弦定理即可求得AEF ∠的余弦值.【详解】因为三棱锥P ABC -中,PA ⊥平面ABC ,3BAC π∠=,2PA AB BC === 则ABC ∆为等边三角形 所以2222AE AC ==⨯= 取BC 中点, 连接,AF EF .则AEF ∠即为AE 和PB 所成角,如下图所示:1122222EF PB ==⨯=3323AF AB ===则在AEF ∆中,由余弦定理可知2222cos AF AE EF AE EF AEF =+-⋅⋅∠ 代入可得322222AEF =+-∠解得1cos 4AEF ∠=即异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为14 故答案为:14【点睛】 本题考查了异面直线夹角的求法,余弦定理解三角形中的应用,属于基础题.三、解答题17．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 正方形，E 为PD 中点.（1）求证：PB P 平面ACE ；（2）已知PA ⊥平面ABCD 且2PA AB ==，求三棱锥D ACE -体积.【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】(1)连接BD 交AC 与O ,连接OE ,根据中位线定理即可证明OE PB P ,从而证明PB P 平面ACE ;(2)根据12D ACE E ACD P ACD V V V ---==,由三棱锥体积公式即可求解. 【详解】(1)连接BD 交AC 与O ,连接OE则OE PB P ,又OE ⊆平面AEC ,且PB ⊄平面AEC所以PB P 平面ACE(2)取AD 的中点F ,连接EF ,则PA EF P PA ⊥Q 平面ABCD∴12D ACE E ACD P ACD V V V ---==. 111[()]232AD CD PA =⨯⨯⨯ 1112[(22)2]2323=⨯⨯⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了直线与平面的平行判定,三棱锥体积的求法,属于基础题.18．某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：⋯，并整理得到如下频率分布直方图：[20,30),[30,40),[80,90]（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．【答案】(1)0.4.(2)20人.(3)3:2.【解析】【详解】分析：(1)根据频率分布直方图可知,即可求解样本中分数不小于70的频率，进而得到分数小于70的概率；(2)根据题意，根据样本中分数不小于50的频率为0.9，求得分数在区间[40,50)内的人数为5人，进而求得总体中分数在区间[40,50)内的人数；（3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为60人，求得样本中分数不小于70的男生人数，即可求解.详解：(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6 ,样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.∴从总体的400名学生中随机抽取一人其分数小于70的概率估计为0.4(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为()+++⨯=，0.010.020.040.02100.9分数在区间[)40,50内的人数为1001000.955-⨯-=．所以总体中分数在区间[)40,50内的人数估计为540020100⨯=． （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为()0.020.041010060+⨯⨯=，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯= 所以样本中的男生人数为30260⨯=，女生人数为1006040-=，男生和女生人数的比例为60:403:2=点睛：本题主要考查了用样本估计总体和频率分布直方图的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.19．已知等差数列{}n a 满足124a a =+且182012a a +=，等比数列{}n b 的首项为2，公比为q .（1）若3q =，问3b 等于数列{}n a 中的第几项？（2）若2q =，数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别记为n S 和n T ，n S 的最大值为M ，试比较M 与9T 的大小.【答案】(1) 16 (2) 9M T <【解析】(1)根据等差数列的通项公式,即可求得数列{}n a 的通项公式.根据等比数列的首项与公比,求得等比数列{}n b 的通项公式,进而可求得3b .即可求出3b 等于数列{}n a 中项.(2)根据等差数列的求和公式即可求得等差数列前n 项和的最大值为M .由等比数列的前n 项和公式求得9T 的值,即可比较M 与9T 的大小.【详解】(1) 因为等差数列{}n a 满足124a a =+即214a a -=-,所以等差数列{}n a 的公差4d =-又182012a a +=得11171912a d a d +++=,代入可得178a =所以()()()117814482n a a n d n n =+-=+--=-+当等比数列{}n b 的首项为2,公比为q .当3q =时11123n n n b b q --==⨯所以22312318b b q ==⨯=所以当18482n =-+时解得16n =即3q =时3b 等于数列{}n a 中的第16项(2) 等比数列{}n b 的首项为2,若2q =由()111n n a q T q -=-可得()910921222102212T ⨯-==-=-又等差数列{}n a 中()112n n n d S na -=+代入可得 ()()214782802n n n S n n n --=+=-+ ()2220800n =--+所以当20n =时, n S 的最大值为800M =所以9M T <【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用,等差数列前n 项和的最值求法,属于基础题.20．已知ln ()x a f x x+=，()1x g x e =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若0x >时，()()g x f x ≥恒成立，求实数a 的最大值.【答案】（1）1(0,)a e -递增，1(,)a e -+∞递减.；（2）1【解析】(1)先求得导函数'()f x ,并令'()0f x =,求得两个极值点.在定义域内讨论导函数的符号,即可求得函数()f x 的单调区间;(2)通过对不等式()()g x f x ≥转化,即可分离参数a ,构造函数()(1)ln x F x x e x =--,利用导函数求得()F x 的最小值,即可求得a 的最大值.【详解】(1)∵()f x 的定义域为(0,)+∞,21ln '()a x f x x--= 由'()0f x =得,ln 1x a =-,1a x e -=,可得到下表：即()f x 在1(0,)a e -上递增,在1(,)a e -+∞上递减(2)当0x >时,()()g x f x ≥即ln 1x x a e x+-≥ 化简可得(1)ln x a x e x ≤--令()(1)ln x F x x e x =--（0x >）,只需min ()a F x ≤∵()1'()1x F x x e x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令()1x h x e x =-（0x >）,由于21'()0x h x e x=+>,所以()h x 在()0,∞+上递增 ∵121()202h e =-<,(1)10h e =-> ∴存在唯一的0(0,)x ∈+∞,使得0001()0x h x e x =-=易知()F x 在区间0(0,)x 上递减,在区间0(,)x +∞上递增∴00min 000000()()(1)ln (ln )x x F x F x x e x x e x x ==--=-+ 由0010x e x -=得001x x e =,两边取对数得00ln 0x x += ∴()()0min 1F x F x ==∴1a ≤,即a 的最大值为1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性,根据导函数研究函数的极值与最值,不等式中参数取值范围的求法,构造函数求最值形式,综合性强,属于难题.21．已知动圆Q 与直线102x +=相切，且与圆223204x y x +-+=外切. （1）求动圆Q 圆心轨迹C 的方程；（2）已知过点(),0M m 的直线l :x ky m =+与曲线C 交于A ，B 两点，是否存在常数m ，使得2211AMBM +恒为定值？ 【答案】（1）24y x =；（2）存在【解析】(1)根据两点间距离公式及相切条件,即可求得动圆圆心的轨迹方程.(2)将直线方程与抛物线方程联立,消x 后可得关于y 的一元二次方程,表示成韦达定理形式.由两点间距离公式,表示出2211AM BM +,代入12,y y 韦达定理形式,即可得,m k 的表达式.并用换元法,求得m 的值即可.【详解】(1)圆223204x y x +-+=化为标准方程为221(1)4x y -+= 则圆心为()1,0,半径为12设动圆Q 圆心坐标为(),Q x y ,由动圆Q 与直线102x +=相切,且与圆()22114x y -+=外切11+22x =+1x =+两边平方整理得24y x =所以动圆Q 圆心轨迹C 的方程为24y x =(2)由题意可将直线l 的方程为x ky m =+与抛物线2:4C y x =联立 24x ky m y x=+⎧⎨=⎩消去x 得2440y ky m --= 则124y y m =-,124y y k +=()()22222211221111||||AM BM x m y x m y +=+-+-+ ()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++ ()()2221212222222212()216822(1)1116y y y y k m k m m k k y y k m +-++===+++ 上式对任意k ∈R 恒为定值,设()222221k m t m k +=+, 整理得()()2222220m t k m t m -+-= 由2222020m t m t m ⎧-=⎨-=⎩,解得2m = 此时22111||||4AM BM += ∴存在定点2m =,满足题意【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,直线与抛物线的位置关系,抛物线中的定值问题解法,化简过程较为繁琐,属于难题.22．已知直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）若过()0,2M 且与直线l 垂直的直线'l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求||AB .【答案】（1）10x y +-=，22143x y +=；（2）7【解析】(1)根据极坐标与直角坐标方程的转化,参数方程与普通方程的转化即可得直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;(2)根据直线'l 与直线l 垂直且过()0,2M ,可得直线'l 的参数方程.将直线'l 的参数方程与曲线C 联立,结合韦达定理及参数方程的几何意义即可求得||AB .【详解】(1)由直线l极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,即sin cos 222ρθρθ+=, 根据极坐标与直角坐标的互化公式,可得直线l 直角坐标方程：10x y +-=,由曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）,则22()12x +=, 整理得椭圆的普通方程为22143x y +=. (2)由已知直线l 与'l 垂直,所以直线'l 的倾斜角为4π, 直线'l 的参数方程为cos ,42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）,把直线'l的参数方程,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22143x y +=化简得2780t ++=设1t ,2t 是上述方程的两个实根,则有1212787t t t t ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又直线'l 过点()0,2M故由上式及t 的几何意义得12||||7AB t t=-==【点睛】本题考查了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转化,参数方程的几何意义,属于中档题. 23．已知()|1||2|f x ax x=-++.（1）1a=时，求不等式()5f x≥的解集；（2）若()3f x x≤-的解集为A且[]4,2--是集合A的子集，求a的取值范围.【答案】（1）{3|x x≤-或2}x≥；（2）()3,12-【解析】(1)代入1a=,可得()|1||2|f x x x=-++.对x分类讨论即可得解不等式的解集.(2)根据不等式在[]4,2--上恒成立,去绝对值化简可得|1|5ax-<.再去绝对值即可得关于a的不等式组,解不等式组即可求得a的取值范围.【详解】(1)当1a=时,()|1||2|f x x x=-++21,2()123,2121,1x xf x x x xx x--≤-⎧⎪=-++=-<≤⎨⎪+>⎩由()5f x≥可得2152xx--≥⎧⎨≤-⎩或3521x≥⎧⎨-<≤⎩或2151xx+≥⎧⎨>⎩解不等式组可得32xx≤-⎧⎨≤-⎩或21xx≥⎧⎨>⎩即3x≤-或2x≥综上()5f x≥的解集为{3|x x≤-或2}x≥(2)由题意可知,()3f x x<-在[]4,2--上恒成立即|1|23ax x x---<-在[]4,2--上恒成立即|1|5ax-<在[]4,2--上恒成立由|1|5ax-<可得46ax-<<又[4,2]x ∈--∴446426a a -<-<⎧⎨-<-<⎩,即31232a a ⎧-<<⎪⎨⎪-<<⎩ ∴312a -<< 故a 的取值范围为()3,12-【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法,属于中档题.。
2020年陕西省室鸡市一模(文)(试题+答案)
2020年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔记清楚，将答案书写在答题卡规定位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合{2,1,0,3}A =-，集合{3,0,1,2,3}B =-，则A B =I （ ） A. {0,1,3} B. {0,3} C. {0,1,2,3} D. 3,2,0,1,{2,3}--2. i 为虚数单位，复数(1)(3)i i -+=（ ）A. 3i -B. 42i -C. 2D. 42i + 3. 已知向量(2,1)a =-r ，向量(,7)b m =r ，向量(3,0)c =r，若(2)a c b +⊥r r r ，则实数m 的值为（ ） A. 2B. 2-C.492D. 492-4. 观察下列各式223344351,3,4,7,11,a b a b a b a b a b +=+=+=+=+=L ，则88a b +=（ ） A. 47 B. 76 C. 121D. 1235. 某篮球教练对甲乙两位运动员在近五场比赛中的得分情况统计如下图所示：根据图表给出如下结论：（1）甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差小. （2）甲乙两人得分的平均数相等且甲的方差比乙的方差大. （3）甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高。
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2020年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（文科）参考答案1.【命题立意】本题考察用列举法表示集合时集合的交集运算，属于简单题。
体现了数学运算的核心素养。
【解析】集合A 与集合B 的公共元素有0,1,3，=B A {0,1,3}故选A.2.【命题立意】本题考察复数的乘法运算，属于简单题。
体现了数学运算的核心素养。
【解析】∵2(1)(3)3342i i i i i i -+=+--=-，故选B.3.【命题立意】本题考察向量数量积的坐标运算和向量垂直的充要条件，属于简单题。
体现了直观想象、数学运算的核心素养。
【解析】由题知2a +c =(7,-2),（2a +c ）〃b =7m-14=0,m=2,故选A.4.【命题立意】本题考查归纳推理，体现了逻辑推理与数据分析等核心素养【解析】根据题意可得到，这个数列从第三项起，每一项等于其前相邻两项的和。
所以此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,.......，第八项为47，即8847a b += 选A5.【命题立意】本题考查样本估计总体，体现了数据分析、直观想象等核心素养。
【解析】由选项知甲乙的平均数相同（实际：甲得分分别为10,13,12,14,16，乙得分分别为13,14,12,12,14经计算甲乙的平均数均为13），图中明显实线波动较大，方差大。
从折线图看甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高．选C6.【命题立意】本题考查充分必要条件和直线和圆的位置关系问题的综合，体现了逻辑推理的核心素养。
【解析】q ：由直线y =k x +2与圆x 2+y 2=11k =⇒=，又p ：k = 3，q: k = 所以p 是q 的充分不必要条件，故选C . 7.【命题立意】本题考查了指数函数、对数函数的图像及分段函数、函数图像变换等知识点，体现了直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养．【解析1】由1133(0)()log (1),(0)x x f x x x +⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩得1131(),(0)3()log (1),(0)x x y f x x x -⎧≥⎪=-=⎨-<⎪⎩， （１）作1()3x y =的图像，然后向右平移1个单位，保留0x ≥的部分； （２）作13log y x =的图像，向左平移1个单位后再关于y 轴对称（或关于y 轴对称后再右移1个单位），保留0x <的部分．选D ．【解析2】取0x =得(0)3y f ==排A 、C ，取1x =得(1)1y f =-=，排B ，选D ．8.【命题立意】本题考查了椭圆的定义及简单性质，发现212F F F ⊥是快速解题的关键．体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．【解析】选B ．由2a =，b c ==13PF =，得2121PF a PF =-=，显然212PF F F ⊥，所以12PF F S =B ．9.【命题立意】本题考察由正弦型函数的平移伸缩变换及正弦型函数在闭区间上的最值，属于中等难度题。
体现了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养。
【解析】由()y f x =的图像向左平移8π个单位得到)42sin()]8(2sin[ππ+=+=x x y ，再将图像上所有点的横坐标不变纵坐标变为原来的3倍得到)42sin(3)(π+=x x g ，再由∈x ,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦得434212πππ≤+≤x ，故)(x g 的最大值为3. 选A. 10.【命题立意】本题考察三角函数的诱导公式及二倍角公式，属于中等难度。
体现了逻辑推理、数学运算的核心素养。
【解析】法一：因为tan 0α=，所以α为第二或第四象限，α的正余弦函数值异号， 又cos(2)sin 22sin cos 02παααα+=-=->，故选A. 法二：=+)22cos(απ2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα---=-===++,选A 11.【命题立意】本题考查双曲线的的简单性质，a 、b 、c 、e 之间的关系．体现了数学运算及逻辑推理等核心素养．【解析】由已知得A 、B 的坐标为2(,)b c a±，由1F AB ∆为等腰直角三角形得22b c a =， 即222ac c a =-，2210e e --=，解得1e =±1e >，所以e =C ．12.理、直观想象、数学运算等核心素养．【解析】因为2()312f x x x '=-+，设过切点32(,6)t t t -+的切线为322(6)(3t 12t)()y t t x t --+=-+-，又切线过(1,)P m -点， 所以322(6)(312)(1)m t t t t t --+=-+--，即322312t m t t =--设32()2312g t t t t =--，2()6612g t t t '=--，()6(2)(1)02,1g t t t t t '=-+=⇒==- 显然()g t 极大值为(1)g -，()g t 极小值为(2)g因为过点(1,)P m -可作曲线32()6f x x x =-+的三条切线，所以(1)(2)g m g ->>2312161224720m m ⇒--+>>--⇒>>- ，选B ．13.【命题立意】本题考查几何概型和模拟实验，部分估计整体，体现了数学建模、数学运算等核心素养.【解析】4940022522ππ=⇒=⨯S S14.【命题立意】本题考查函数奇偶性与周期性，求函数的值．体现了数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养．【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数得()()f x f x -=-，且(0)0f =，又(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 是以２为周期的周期函数，因此(4)(0)0f f ==，29111()()()log ()24444f f f -=-=-=-=，故9()(4)24f f -+=. 15.【命题立意】本题考察利用余弦定理解三角形，属简单题。
体现了数学运算和逻辑推理的核心素养。
【解析】由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=代入已知数据可得25240a a --=解得a=8或a=-5(舍去)，故a=8，01sin602ABC S ab ==16.【命题立意】本题考察异面直线所成角的定义及其解三角形。
体现了直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
【解析】取BC 的中点F ，连接AF,EF,易知AEF ∠即为AE 和PB 所成角，在三角形AEF 中易知AE=2，EF=2，AF=3,由余弦定理得1cos 4AEF ∠=17.【命题立意】本题第一问考察线面垂直的判定定理，第二问考察三棱锥体积的计算。
了体现了直观想象和逻辑推理、数学运算的核心素养。
【解析】（1）连接BD 交AC 与O ，连接OE ， 2分则OE ∥PB ，又OE ⊆平面AEC ，且PB ⊄平面AEC 5分所以PB ∥平面ACE 6分（2）取的中点，连接,则平面 8分由已知得 10分 31==--ACD E ACE D V V 321222131**21=⨯⨯⨯⨯=⨯EF CD AD . 12分 （2）又解：因为 平面 8分又2PA AB ==，四边形是正方形，为中点， 所以11111112[(*)*][(22)2]22322323D ACE E ACD P ACD V V V AD CD PA ---===⨯=⨯⨯⨯⨯⨯= 12分 18.【命题立意】本题考查利用频率分布直方图进行样本估计和概率计算，体现了数学建模、数学抽象，数据分析等核心素养.【解析】（1）由频率分布直方图知，样本中分数小于70的频率为：()10.020.04100.4-+⨯= 所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率为0.4. 4分（2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为()9.01002.004.002.001.0=⨯+++ 分数在区间[40，50)内的人数为559.0100100=-⨯-，AD F EF EF PA // PA ⊥ABCD ABCD EF 面⊥∴121==PA EF PA ⊥ABCD ABCD E PD所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为540020100⨯= 8分 （3）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(),601001004.002.0=⨯⨯+所以样本中分数不小于70的男生人数为160302⨯=， 所以样本中男生人数为60230=⨯，女生人数为,4060100=- 所以样本中男生和女生人数的比例为60:40=3:2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3:2. 12分 19.【命题立意】本题考查等差、等比数列的基本计算和求和，等差数列前n 项和的最值问题，体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.【解析】（1）23118b b q ==． 由已知得214a a -=-，所以等差数列{}n a 的公差4d =-．由182012a a +=，得1818221210a d a +=⇒=．18(18)d 10(18)(4)482n a a n n n ∴=+-=+-⨯-=-+ 3分令348218n b -+==，得16n =．3b ∴等于数列{}n a 中的第16项． 6分（2）12b q ==，91092(12)22102212T ⨯-∴==-=-． 8分 又22(1)78(4)2802(20)8002n n n S n n n n -=+⨯-=-+=--+， 10分 ∴20n = 时，最大值800M =． 9M T ∴<． 12分20.【命题立意】本题考查了导数与函数单调性的关系、构造函数，导数研究函数的性质，隐零点的探索和隐零点代换等知识点，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．【解析】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，21ln '()a x f x x--=2分 由'()0f x =得，ln 1x a =-，1a x e -=，可得到下表：………………3分即()f x 在上递增，在上递减． 5分（2）当0x >时， ()()g x f x ≥等价于(1)ln x a x e x ≤--令()(1)ln x F x x e x =-- (0x >)，只需min ()a F x ≤ 7分1'()(1)()x F x x e x=+-， 令1()(0)x h x e x x =->，由于21'()0x h x e x=+>，所以()h x 在(0,)+∞上递增，121()20,(1)102h e h e =-<=->，∴存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得0001()0x h x e x =-=， 易知()F x 在区间0(0,)x 上递减，在区间0(,)x +∞上递增，00min 000000()()(1)ln (ln )x x F x F x x e x x e x x ∴==--=-+ 10分由0010x e x -=得001x x e =，两边取对数得00ln 0x x +=， min 0()()1F x F x ∴==，所以1a ≤，即a 的最大值为１. 12分21.【命题立意】本题考查了轨迹方程的求法、方程思想、整体代换，设而不求、双参式定值探索方法等知识点，体现了数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养．【解析】（1）圆223204x y x +-+=化为标准方程为()22114x y -+=， 1分 设动圆Q 圆心坐标为(),Q x y ，由动圆Q 与直线102x +=相切，且与圆()22114x y -+=外切， 11122x x =++=+， 3分 两边平方整理得24y x =.所以动圆Q 圆心轨迹C 的方程为24y x =. 5分 （2）由题意可设直线l 的方程为x ky m =+，则直线l 的方程与抛物线2:4C y x =联立，消去x 得：2440y ky m --=，则124y y m =-，124y y k +=， 7分()()22222211221111AM BM x m y x m y +=+-+-+()()()22122222222121211111y y k y k y k y y +=+=+++()()()()222121222222221221682111621y y y y k m k m k y y k m m k +-++===+++ 10分 上式对任意k R ∈恒为定值，设()222221k m t m k +=+，整理得222(22)(2)0m t k m t m -+-= 由2222020m t m t m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩得m=2， 此时221114AM BM +=.∴存在定点M(2, 0)，满足题意.12分 22.【命题立意】本题考查了极坐标与参数方程的基本概念、极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中的参数几何意义求弦长等知识点，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．【解析】（1）由直线l 极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin cos 222ρθρθ+= 根据极坐标与直角坐标的互化公式，可得直线l 直角坐标方程：10x y +-=， 2分由曲线C的参数方程为2cos ,x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），则22()12x +=， 整理得椭圆的普通方程为22143x y +=． 4分 （2）由已知直线l 与l '垂直，所以直线l '的倾斜角为4π， 直线l '的参数方程为cos ,42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 6分把直线l '的参数方程,222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22143x y +=得：2780t ++=， 设1t ，2t是上述方程的两个实根，则有1212787t t t t ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩8分 又直线l '过点()0,2M ，故由上式及t的几何意义得：127AB t t =-==10分 23.【命题立意】本题考查含绝对值不等式的求法，求参数的取值范围，体现了数学运算、数学抽象等核心素养.【解析】（1）当1a =时，()12f x x x =-++()212123,2121,1x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<≤⎨⎪+>⎩, 2分()21552x f x x --≥⎧≥⇒⎨≤-⎩或3521x ≥⎧⎨-<≤⎩或2151x x +≥⎧⎨>⎩ 4分 综上()5≥x f 的解集为{}32x x x ≤-≥或 6分（2）由题意可知，()[]34,2f x x <---在上恒成立， 即[]1234,2ax x x ---<---在上恒成立，即15ax -<[]4,2--在上恒成立 由1546ax ax -<⇒-<<又[]2,4--∈x ，∴⎩⎨⎧<-<-<-<-624644a a ，⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-23123a a ，312a ∴-<< 故a 的取值范围为3(,1)2- 10分。